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1 FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons que f ne s'annule pas sur R. Soit la fonction h définie sur R par h() = f () f ( ). Pour tout réel, on a : h'() = f '() f ( ) + f () f '( ) ( ) = f '() f ( ) f () f '( ) = f () f ( ) f () f ( ) = 0 La fonction h est donc constante. Comme h(0) = f (0) f (0) =, on a pour tout réel : f () f ( ) =. La fonction f ne peut donc pas s'annuler. - Supposons qu'il eiste une fonction g telle que g ' = g et g(0) =. Comme f ne s'annule pas, on pose k() = g() f (). g '() f () g() f '() g() f () g() f () k '() = = ( f ()) 2 f () k est donc une fonction constante. Or k(0) = g(0) f (0) = = donc pour tout : k() =. Et donc f () = g(). L'unicité de f est donc vérifiée. ( ) 2 = 0. Définition : On appelle fonction eponentielle l'unique fonction dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. On note cette fonction ep. Conséquence : ep(0) = Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe représentative de la fonction eponentielle :

2 2 Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la fonction eponentielle est croissante. Mais sa croissance est très rapide, ainsi ep(2) dépasse le milliard. II. Etude de la fonction eponentielle ) Dérivabilité Propriété : La fonction eponentielle est continue et dérivable sur R et ( ep )' = ep Démonstration : Conséquence immédiate de sa définition 2) Variations Propriété : La fonction eponentielle est strictement croissante sur R. Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I. que la fonction eponentielle ne s'annule jamais. Or, par définition, ep(0) = donc pour tout, ep > 0. Comme ( ep )' = ep > 0, la fonction eponentielle est strictement croissante. 3) Limites en l'infini Propriété : lim ep = 0 et lim ep = + - Propriété démontrée au paragraphe III. - 4) Courbe représentative On dresse le tableau de variations de la fonction eponentielle : + ep ( )' + ep 0 +

3 3 III. Propriété de la fonction eponentielle ) Relation fonctionnelle Théorème : Pour tous réels et y, on a : ep( + y) = ep ep y Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et réciproquement. Démonstration : Comme ep 0, on pose f () = ep( + y) ep ep( + y)ep ep( + y)ep Pour tout, on a f '() = ep avec y un nombre réel. ( ) 2 = 0. Donc la fonction f est constante. ep( y) ep( + y) Comme f (0) = = ep y, on en déduit que = ep y. ep(0) ep Corollaires : Pour tous réels et y, on a : a) ep( ) = ep b) ep( y) = ep ep y c) ep( n) = ( ep ) n avec n!

4 4 Démonstration : a) ep ep ( ) = ep ( ) = ep(0) = b) ep y ( ) = ep( + ( y) ) ( ) = ep ep y = ep ep y = ep ep y c) La démonstration s'effectue par récurrence. L'initialisation est triviale. La démonstration de l'hérédité passe par la décomposition : ep ( n + ) ( ) = ep( n)ep = ep ( ) = ep n + 2) Le nombre e ( ) n ep = ( ep ) n+. Définition : L'image de par la fonction eponentielle est notée e. On a ainsi ep = e Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchée de e. Notation nouvelle : ( ) = e ep = ep( ) = ep() On note pour tout réel, ep = e Comme π, le nombre e est un nombre irrationnel, c'est à dire qu'il s'écrit avec un nombre infini de décimales sans suite logique. Ses premières décimales sont : e 2, Le nombre e est également un nombre transcendant. On dit qu un nombre est transcendant s il n est solution d aucune équation à coefficients entiers. Le nombre 2 par eemple, est irrationnel mais n est pas transcendant puisqu il est solution de l équation 2 = 2. Un tel nombre est dit «algébrique». Le premier à s intéresser de façon sérieuse au nombre e est le mathématicien suisse Leonhard Euler (707 ; 783), ci-dessus. C est à lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas

5 5 qu il s agisse de l initiale de son nom mais peut être car e est la première lettre du mot eponentiel. Dans «Introductio in Analysin infinitorum» publié en 748, Euler eplique que : e = +! + 2! + 3! +... Rappelons que par eemple 5! se lit "factoriel 5" et est égal à Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 8 décimales eactes. Nous devons aussi à Euler la démonstration de l irrationalité de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi résumer l'ensemble des propriétés de la fonction eponentielle : Propriétés : Pour tous réels et y, on a : a) e 0 = et e = e b) e > 0 et (e )' = e c) e + y = e e y, e y = e e, y e = e, d) lim e = 0 et lim e = + ( ) n e = e n, avec n!. Remarque : On retrouve les propriétés des puissances. Démonstration de d) (eigible BAC) : - Soit la fonction g définie par g() = e. Pour positif, g '() = e e 0 = 0 car la fonction eponentielle est croissante. Donc la fonction g est croissante sur 0;+. On dresse ainsi le tableau de variations : 0 + g '() 0 + g() Comme g(0) =, on a pour tout, g(). Et donc g() = e 0, soit e. D'après le théorème de comparaison des limites, on en déduit que lim e = + car lim = +. - lim e = lim e X = lim X + X + e = 0. X

6 6 Méthode : Simplifier les écritures Simplifier l'écriture des nombres suivants : A = e7 e 4 e 5 B = e 5 ( ) 6 ( e 3 C = ( e ) + e ) e 2 e 6 A = e7 e 4 = e7 4 e 5 = e3 e 5 = e 3 ( 5) = e 8 e 5 B = ( e ) 5 6 e 3 = e 5 ( 6) e 3 = e 30 e 3 = e 30 3 = e 33 C = ( e ) = e4 ( ) e e 2 6 = e e e 4 = e 6 + ( e ) 4 e 2 e 6 Propriétés : Pour tous réels a et b, on a : a) e a = e b a = b b) e a < e b a < b Méthode : Résoudre une équation ou une inéquation a) Résoudre dans R l'équation e 2 3 e 2 = 0. b) Résoudre dans R l'inéquation e 4. a) e 2 3 e 2 = 0 e 2 3 = e = = 0 = 3 ou = Les solutions sont -3 et. b) e 4 e 4 e

7 7 L'ensemble des solutions est l'intervalle 4 ;+. IV. Limites et croissances comparées Propriétés (croissances comparées) : a) lim b) lim e e = + et pour tout entier n, lim = + n e = 0 et pour tout entier n, lim n e = 0 Démonstration : a) - On pose f () = e 2 2. On a : f '() = e et f ''() = e. Pour tout strictement positif, f ''() = e 0. On dresse alors le tableau de variations : 0 + f ''() + f '() Signe de f '() + f () On en déduit que pour tout strictement positif f () > 0 et donc e > 2 2. Et donc e > 2. e Comme lim = +, on en déduit par comparaison de limites que lim 2 = +. - Dans le cas général, il faut montrer que : e n = n e n n n et appliquer le résultat précédent. b) - lim e = lim ( Xe ) X = lim X + X + X e X = lim X + e X X = 0.

8 8 - Dans le cas général, il faut montrer que : lim < lim n e < lim et appliquer le résultat précédent. X + e X X + e X X n X n Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction eponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Eemple : Comparaison de la fonction eponentielle et de la fonction! 4 différentes fenêtres graphiques. dans On constate que pour suffisamment grand, la fonction eponentielle dépasse la fonction! 4. Propriété : e lim = 0 Démonstration : Il s'agit de la définition du nombre dérivé de la fonction eponentielle en 0. Méthode : Calculer des limites Calculer les limites suivantes : a) lim ( + e ) 3 b) lim e c) lim e + e 2 a) lim e 3 = 0 donc lim ( + e ) 3 = +

9 9 b) lim = donc lim e = e = e c) Le dénominateur comprend une forme indéterminée de type " ". Levons l'indétermination : e + + e = e 2 e e 2 e e Comme lim = lim + Donc lim e 2 e + = e 2 e e = +, on a lim 2 = = et donc lim e = lim e + e =. 2 2 e = 0 V. Fonctions de la forme e u Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction! e u est dérivable sur I. Sa dérivée est la fonction! u'()e u( ). - Admis - Eemple : Soit f () = e 4+3 alors f '() = 4e 4+3 Propriété : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les fonctions! u() et! e u( ) ont le même sens de variation. Démonstration : On a (e u )' = u'e u Comme e u > 0, u' et (e u )' sont de même signe. Eemple : La fonction! est décroissante sur ;0 et sur 0;+ donc la fonction! e est également décroissante sur ;0 et sur 0;+.

10 0 Méthode : Etudier une fonction Soit f la fonction définie sur R par f () = e 2. a) Etudier les limites de f à l'infini. b) Calculer la dérivée de la fonction f. c) Dresser le tableau de variation de la fonction f. d) Tracer la courbe représentative de la fonction f. a) lim = et lim e 2 = + donc lim e 2 = lim e 2 = lim 2 e b) f '() = e = lim 2 2 = 0 2 e e 2 = 2 e 2 c) Comme e 2 > 0, f '() est du signe de 2. f est donc croissante sur l'intervalle ;2 et décroissante sur l'intervalle 2;+. On dresse le tableau de variations : 2 + f '() d) f () 2 e 0 Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 22-5 du code de la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation epresse de l'auteur. et- tiques.fr/inde.php/mentions- legales

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