Problème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt)

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1 Problème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt) 1 Principe d'un prêt bancaire et dénitions Lorsque vous empruntez de l'argent dans une banque, cet argent (appelé capital) vous est loué. Chaque mois vous devez payer un loyer correspondant à l'argent que la banque vous a prêtée et vous devez aussi rembourser une partie du capital emprunté, qu'on appelle le remboursement. En résumé vous devez payer chaque mois une mensualité qui est la somme du loyer et du remboursement jusqu'à ce que vous ayez remboursé tout le capital emprunté. Le loyer est le coût de l'emprunt : c'est ce que la banque vous demande de payer en échange du service qu'elle vous rend en vous prêtant de l'argent. Le loyer est calculé chaque mois en fonction du capital emprunté et du taux de l'emprunt. Le taux est un pourcentage. Les banques indiquent le taux annuel noté ta mais pour le calcul on utilise le taux mensuel tm = ta/12. Dans le langage des banquiers : la durée du prêt est calculée en nombre de mois. l'argent prêté est appélé capital. On note E le capital emprunté initialement. On note C i le capitial qui n'est pas encore remboursé et qui est donc loué pour le mois i. chaque mois vous vous engagez à verser à la banque une mensualité xe M qui est la somme du loyer et du remboursement. le loyer à payer au mois i pour le prêt du capital C i est noté L i. Il est calculé à partir du taux mensuel tm de la manière suivante : L i = tm 100 C i le remboursement au mois i est ce qu'il reste de la mensualité M une fois que vous avez payé le loyer, c'est-à-dire M L i. Mais pour ne pas rembourser plus que le capital emprunté on utilise la fonction min : R i = min(c i, M L i ) Après chaque remboursement le capital à rembourser diminue. Le capital loué pour le mois i + 1 correspond à l'argent que vous n'avez pas ni de rembourser. Il est calculé par la formule suivante : C i+1 = C i R i Un échéancier de prêt indique pour chaque mois i le capital C i restant, le loyer L i et le remboursement R i. La durée du prêt est le nombre de mois n nécessaires pour rembourser le capital E emprunté initialement, autrement dit on cherche à calculer le nombre n tel que C n = 0 ou de manière équivalente R 1 + R R n = E Exemple Vous empruntez un capital E = 1000= C avec un taux annuel ta = 24.36% par an. Le taux mensuel est donc tm = ta/12 = 2.03%. Vous choississez de versez une mensualité M = 150= C chaque mois. Le premier mois vous n'avez encore rien remboursé donc le capital restant C 1 = E. Le capital C 1 = 1000= C est donc loué et vous coûte un loyer L1 = C 1 = 20.3= C. Le remboursement du premier mois est donc R 1 = M L 1 = = 129.7= C. Autrement dit, sur la mensualité de 150= C versée le premier mois : seuls = C servent à rembourser l'emprunt, les 20.3= C restant servent à payer le loyer. Le second mois le capital emprunté C 2 est ce que vous n'avez pas encore remboursé : C 2 = C 1 R 1 = = 870.3= C. La suite des calculs pour les mois suivants s'eectue de la même façon. 1

2 2 2 Dénition de l'échéancier à l'aide d'une suite récurrente Les formules données dénissent une suite récurrente qui permet de calculer pour chaque mois i le capital restant C i puis le loyer L i puis le remboursement R i C 1 = capital E emprunté initialement (E = 500=Cdans l'exemple) C i+1 = C i R i L i = tm 100 C i R i = min(c i, M L i ) 3 But du problème Il s'agit de programmer le calcul des échéanciers de prêt. Ce programme vous serra utile le jour où vous aurez besoin d'un prêt bancaire. Questions 4 Calcul à la main d'un échéancier Q1. (1 pt) Complétez le tableau suivant pour un taux mensuel tm = 2.03% et une mensualité M = 150=C en utilisant les équations de la suite récurrente indiquées précédemment. Cette question ne nécessite aucun calcul. i = 1 C 1 = E = 500 L 1 = tm 100 C 1 = R 1 = min(c 1, M L 1 ) = i = 2 C 2 = C 1 R 1 L 2 = tm 100 C... R 2 = min(c..., M L... ) = = = min(, ) = = 7.31 = i = 3 C 3 = L 3 = tm R 3 = min(......, ) = = = min(, ) = = 4.41 = et ainsi de suite jusqu'au mois n tel que C n = 0 i = 4 C 4 = L 4 = tm R 4 = min(......, ) = = = min(71.88, ) = = 1.46 = i = 5 C 5 = L... = tm R... = min(......, ) = = = min(, ) =.... =.... = Programmation du calcul d'échéanciers 5.1 Dénitions de types Un prêt est déni par le capital initial emprunté E, le taux mensuel tm, la mensualité M. 2

3 3 Q2. (1 pt) Complétez les dénitions de types suivantes. L'ensemble Montant correspond aux sommes d'argent positives ou nulles. Le capital, les mensualités, les loyers, les remboursements sont des valeurs de l'ensemble Montant. À l'aide des types Montant et Taux dénissez l'ensemble Prêt qui correspond à l'ensemble des vecteurs (E, tm, M). DÉFINITION MATHÉMATIQUE D'ENSEMBLES déf Montant = déf Taux = {t t } déf NumMois = déf Prêt = DÉFINITION INFORMATIQUE DE TYPES... montant =... (*..... *) ;;... taux =... (* *) ;;... nummois =... (*.... *) ;;... prêt = ;; 5.2 Programmation du calcul de la suite C i, L i, R i Q3. (0,5 pt) Complétez les spécications des fonctions suivantes : Prol capital : Montant Sémantique : (capital (E, tm, M) i) est le capital emprunté au mois i, c'est-à-dire C i Prol loyer : Sémantique : (loyer (E, tm, M) i) est le loyer du mois i, c'est-à-dire L i Prol remb : Sémantique : (remb (E, tm, M) i) est le remboursement du mois i, c'est-à-dire R i Q4. (1 pt) À partir de la suite récurrente dénissant C i, L i, R i, complétez les équations qui dénissent les fonctions capital, loyer, remb. RÉALISATION INFORMATIQUE 3

4 4 Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) capital (E, tm, M) 1 = (2) capital pret i + 1 = (3) loyer (E, tm, M) i = (4) remb = ( , ) Remarque Les fonctions mutuellement récursives sont des fonctions qui font appel les unes aux autres. Par exemple f appelle g qui appelle h qui appelle f. Pour implanter des fonctions mutuellement récursives en Ocaml on doit les dénir ensembles au moyen de la construction suivante : let rec f =... and g =... and h =... ; ; Q5. (1 pt) Donnez l'implantation en ocaml des trois fonctions mutuellement récursives capital, loyer, remb. Implantation let rec (capital :... ->... -> montant ) = function... -> function i -> and (loyer : ) = function... -> > and (remb : ) = ;; Q6. (0,25 pt) Donnez le type de la fonction min utilisée : Prol min : Création d'un échéancier à partir d'un intervalle d'entiers Principe 4

5 5 On commence par construire l'intervalle des mois pour la durée du prêt puis on utilise les fonctions capital, loyer, remb pour calculer le relevé (i, C i, L i, R i ) de chaque mois. Dénition de types Q7. (1 pt) À l'aide des ensembles NumMois, Taux et Montant, dénissez les ensembles suivants : Intervalle est l'ensemble des intervalles de mois. Par exemple, [1 ;... ; n] Intervalle Relevé est l'ensemble des vecteurs (i, C i, L i, R i ) Échéancier est l'ensemble des successions des relevés d'un échéancier. DÉFINITION MATHÉMATIQUE D'ENSEMBLES déf Intervalle = déf Relevé = déf Échéancier = DÉFINITION INFORMATIQUE DE TYPES... intervalle = ;;... relevé = ;;... écheancier = ;; 5.4 Création de l'intervalle des numéros de mois de 1 à n Q8. (1.5 pt) Dénissez la fonction créer-intervalle : Prol créer-intervalle : N Sémantique : créer-intervalle n = [1 ; 2 ;... ; n] Exemples : 1. créer-intervalle 0 = créer-intervalle 5 = RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) créer-intervalle = (2) créer-intervalle = cas

6 6 5.5 Création de l'échéancier On donne la spécication de la fonction calculer-relevés qui utilise les caractéristiques (E, tm, M) d'un prêt pour calculer les relevés de chaque mois de l'intervalle d'entiers donné. Dans un premier temps on vous demande d'utiliser cette fonction à partir de sa spécication ; elle sera implantée plus tard. Prol calculer-relevés : Prêt Intervalle Échéancier Sémantique : calculer-relevés (prêt, [i 1 ;... ; i n ]) = [(i 1, C i1, L i1, R i1 ) ;... ; (i n, C in, L in, R in ) ] Q9. (1 pt) Utilisez les fonctions créer-intervalle et calculer-relevés pour dénir la fonction créer-échéancier qui construit l'échéancier à partir des caractéristiques (E, tm, M) d'un prêt et d'un nombre n de mois : Prol créer-échéancier : Prêt NumMois Échéancier Sémantique : créer-échéancier (prêt, n) = [(1, C 1, L 1, R 1 ) ;... ; (n, C n, L n, R n ) ] RÉALISATION INFORMATIQUE let (créer_écheancier : ) = function ;; Q10. (1 pt) Donnez les équations récursives qui dénissent la fonction calculer-relevés spéciée précédemment : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) calculer-relevés ( , ) = (2) calculer-relevés ( , ) = calculer-relevés (prêt, ) 6 Prêts multiples et surendettement Pour lutter contre le surendettement, une banque sérieuse calcule la somme des échéanciers de tous vos prêts non remboursés avant de vous en accorder un nouveau. 6

7 7 Q11. (0,25 pt) Complétez le prol de la spécication de la fonction somme-échéancier : Prol somme-échéancier : Sémantique : somme-échéancier (ech, ech ) est un échéancier qui respecte les contraintes suivantes : 1. il contient les relevés des échéanciers ech et ech 2. il fait la somme des relevés pour les mois communs aux deux échéanciers. Autrement dit, si ech contient le relevé (i, c, l, r) et ech contient le relevé (i, c, l, r ) alors l'échéancier calculé par somme-échéancier (ech, ech ) doit contenir un relevé du mois i qui fait la somme des capitaux c, c, des loyers l, l et des remboursements r, r Exemple : somme-échéancier ( [ (1, c 1, l 1, r 1 ) ; (2, c 2, l 2, r 2 ) ], [ (2, c 2, l 2, r 2 ) ; (3, c 3, l 3, r 3 ) ] ) = [ (1, c 1, l 1, r 1 ) ; (2, c 2 + c 2, l 2 + l 2, r 2 + r 2 ) ; (3, c 3, l 3, r 3 ) ] Q12. (1,25 pt) Complétez les équations récursives qui dénissent la fonction somme-échéancier : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) somme-échéancier ( [ ], [ ] ) = (2) somme-échéancier ( , ) = (3) somme-échéancier ( , ) = (4) cas i = somme-échéancier ((i, c, l, r) , (i, c, l, r ) ) = (4 ) cas i < somme-échéancier ((i, c, l, r) , ) = (4 ) cas somme-échéancier ((i, c, l, r) , ) = Q13. (0,25 pt) On remarque que l'équation est inutile c'est un cas particulier de l'équation et de l'équation

8 8 Q14. (1 pt) Donnez la preuve de terminaison de l'équation (4 ) : Terminaison : mesure (ech 1, ech 2 ) = preuve : (i) Justions que la mesure choisie retourne des valeurs dans N : la fonction retourne et de deux naturels est un (ii) Montrons que la mesure décroit strictement à chaque appel récursif. Pour (ii), on repère les équations qui comportent des appels récursifs et on prouve la décroissance pour chaque appel récursif. ech 2 { }} { (4 ) somme-échéancier ( (i, c, l, r) , ) } {{ } appelle appel somme-échéancier ( , ) } {{ } appel engendré Pour l'équation (4'), on doit démontrer que : mesure ( (i, c, l, r) , ech 2 ) ? > mesure ( , )? > ok > Calcul de l'échéancier correspondant au remboursement complet Dans les questions précédentes on a construit l'échéancier pour un nombre de mois n xé à l'avance. Désormais on cherche à construire l'échéancier jusqu'à la n du remboursement, autrement dit jusqu'à ce qu'il ne reste plus de capital emprunté, c'est-à-dire jusqu'au mois n tel que C n = 0. Prol générer-suite-échéancier : Prêt Relevé Échéancier Sémantique : (générer-suite-échéancier prêt (i, C i, L i, R i )) génère l'échéancier depuis le relevé du mois i + 1 jusqu'au relevé du mois n, tel que C n = 0 c'est-à-dire [ (i + 1, C i+1, L i+1, R i+1 ) ;... ; (n, C n, L n, R n ) ] Exemples extraits de l'échéancier de la partie Ÿ4 : 1. générer-suite-échéancier prêt (5, 0, 0, 0) = générer-suite-échéancier prêt (3, , 4.41, ) = [ ; ] 8

9 9 Q15. (1 pt) Complétez la spécication et la réalisation de la fonction générer-suite-échéancier en utilisant la dénition de C i, L i, R i par une suite récurrente et sans utiliser les fonctions capital, loyer, remb : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) générer-suite-échéancier prêt (n,......, L n, R n ) = (2) générer-suite-échéancier prêt (i, C i, L i, R i ) = (générer-suite-échéancier ) avec C i+1 = C i R i L i+1 = tm 100 C i+1 R i+1 = min(c i+1, M L i+1 ) Q16. (1 pt) Complétez l'implantation de la fonction générer-suite-échéancier : Implantation let rec (générer_suite_échéancier : pret -> releve -> echeancier) = function (E,tm,M) -> function (i,ci,li,ri) -> let in let in in ;; Q17. (1 pt) Utilisez la fonction générer-suite-échéancier pour réaliser la fonction calculer-échéancier : Prol calculer-échéancier : Prêt Échéancier Sémantique : calculer-échéancier prêt génère l'échéancier depuis le premier mois jusqu'au dernier mois de remboursement, c'est-à-dire [ (1, C 1, L 1, R 1 ) ;... ; (n, C n, L n, R n ) ] avec C n = 0 9

10 10 Indication : Avec quel relevé faut-il commencer pour obtenir l'échéancier demandé? Exécutez la fonction à la main pour vérier votre réponse. Implantation let (calculer_écheancier :... ) = ;; 8 Compléments d'information pour les curieux qui veulent en savoir plus que leur banquier. Il est possible de calculer la durée du prêt sans avoir recours au calcul de la suite. Certaines suites récursives peuvent être reformulées sous la forme d'équations mathématiques non récursives. Remarque On ne sait pas le faire pour toute suite récurrente. Pour plus d'informations consultez Wikipédia à la rubrique : terme général d'une suite récurrente Par exemple que la suite de raison q S n (q) def = q 0 + q q n est une suite récursive (les mathématiciens disent récurrente). En mathématique la récursivité est cachée dans les.... La dénition récursive précise est la suivante : S 0 (q) = q 0 = 1 S n+1 (q) = S n (q) + q n+1 Cette suite récursive peut s'exprimer sans récursivité par la formule : S n (q) = 1 + qn+1 1 q Preuve que les deux formulations (récursive et directe) sont équivalentes d'où par diérence terme à terme en factorisant S n (q) = q 0 + q q n q S n (q) = q q n + q n+1 S n (q) q S n (q) = q 0 q n+1 (1 q)s n (q) = 1 + q n Caclul des termes R n sans utiliser C n ni L n Tant que le captial restant C i est supérieur au remboursement on peut simplier la formule qui dénit R i : R i def = min(c i, M L i ) def = M L i or L i = C i tm = M C i tm 10

11 11 Cette dernière égalité est utilisée dans le calcul suivant : R i = M L i def = M C i tm or C i = C i 1 R i 1 = M (C i 1 R i 1 ) tm = M C i 1 tm + R i 1 tm = R i 1 + R i 1 tm d'après l'égalité R i 1 = M C i 1 tm = R i 1 (1 + tm) On peut donc redénir la suite (R i ) directement R 0 =? R i = R i 1 (1 + tm) Il reste à déterminer R 0 de sorte que R 1 = M L 1 On veut que R 1 = R 0 (1 + tm). Or on a dénit R 1 = M L 1 = M (C 1 tm) avec C 1 = E c'est-à-dire R 1 = M (E tm). Il faut donc choisir R 0 pour que les deux manière de calculer R 1 coïncident, on doit donc avoir l'égalité : R 0 (1 + tm) } {{ } = M (E tm) } {{ } Il faut donc prendre M (E tm) 1 + tm R 1(méthode 2) def R 0 = La suite des termes R i est donc équivalente à M (E tm) R 0 = 1 + tm R i = R 0 (1 + tm) i R 1(méthode 1) 8.2 Détermination de n par une formule directe On rappelle que E = R 1 + R R n En utilisant la dénition précédente de R i et en posant q def = 1 + tm on peut réécrire E de la manière suivante : d'où E = R 1 + R R n = R 0 q 1 + R 0 q R 0 q n = R 0 (q 1 + q q n ) = R 0 (q S n 1 (q)) = R 0 (q 1 1 qn q ) = R 0 q qn 1 q 1 M (E tm) = q q qn 1 q 1 = M (E tm) qn 1 q 1 M (E tm) = q 1 (q n M (E tm) 1) = 1 + tm 1 (q n 1) M (E tm) = tm (q n 1) 11

12 12 donc q n 1 = q n = E tm M E tm M E E tm tm + 1 = E tm + M E tm M E tm = M M E tm On applique le logarithme népérien à chaque membre. On rappelle que ln(x n ) = n ln(x). On obtient : ( ) ln(q n ) = n ln(q) = ln M M E tm Donc ( ) n = ln M M E tm ln(q) et nalement, en remplaçant q par sa dénition 1 + tm, on obtient une formule qui donne la durée du prêt en fonction des caractéristiques (E, tm, M) du prêt. Le nombre de mois pour rembourser le capital est le nombre entier immédiatement supérieur à : ( ) ln M M E tm ln(1 + tm) 12