Problème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt)

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Problème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt)"

Transcription

1 Problème : Calcul d'échéanciers de prêt bancaire (15 pt) 1 Principe d'un prêt bancaire et dénitions Lorsque vous empruntez de l'argent dans une banque, cet argent (appelé capital) vous est loué. Chaque mois vous devez payer un loyer correspondant à l'argent que la banque vous a prêtée et vous devez aussi rembourser une partie du capital emprunté, qu'on appelle le remboursement. En résumé vous devez payer chaque mois une mensualité qui est la somme du loyer et du remboursement jusqu'à ce que vous ayez remboursé tout le capital emprunté. Le loyer est le coût de l'emprunt : c'est ce que la banque vous demande de payer en échange du service qu'elle vous rend en vous prêtant de l'argent. Le loyer est calculé chaque mois en fonction du capital emprunté et du taux de l'emprunt. Le taux est un pourcentage. Les banques indiquent le taux annuel noté ta mais pour le calcul on utilise le taux mensuel tm = ta/12. Dans le langage des banquiers : la durée du prêt est calculée en nombre de mois. l'argent prêté est appélé capital. On note E le capital emprunté initialement. On note C i le capitial qui n'est pas encore remboursé et qui est donc loué pour le mois i. chaque mois vous vous engagez à verser à la banque une mensualité xe M qui est la somme du loyer et du remboursement. le loyer à payer au mois i pour le prêt du capital C i est noté L i. Il est calculé à partir du taux mensuel tm de la manière suivante : L i = tm 100 C i le remboursement au mois i est ce qu'il reste de la mensualité M une fois que vous avez payé le loyer, c'est-à-dire M L i. Mais pour ne pas rembourser plus que le capital emprunté on utilise la fonction min : R i = min(c i, M L i ) Après chaque remboursement le capital à rembourser diminue. Le capital loué pour le mois i + 1 correspond à l'argent que vous n'avez pas ni de rembourser. Il est calculé par la formule suivante : C i+1 = C i R i Un échéancier de prêt indique pour chaque mois i le capital C i restant, le loyer L i et le remboursement R i. La durée du prêt est le nombre de mois n nécessaires pour rembourser le capital E emprunté initialement, autrement dit on cherche à calculer le nombre n tel que C n = 0 ou de manière équivalente R 1 + R R n = E Exemple Vous empruntez un capital E = 1000= C avec un taux annuel ta = 24.36% par an. Le taux mensuel est donc tm = ta/12 = 2.03%. Vous choississez de versez une mensualité M = 150= C chaque mois. Le premier mois vous n'avez encore rien remboursé donc le capital restant C 1 = E. Le capital C 1 = 1000= C est donc loué et vous coûte un loyer L1 = C 1 = 20.3= C. Le remboursement du premier mois est donc R 1 = M L 1 = = 129.7= C. Autrement dit, sur la mensualité de 150= C versée le premier mois : seuls = C servent à rembourser l'emprunt, les 20.3= C restant servent à payer le loyer. Le second mois le capital emprunté C 2 est ce que vous n'avez pas encore remboursé : C 2 = C 1 R 1 = = 870.3= C. La suite des calculs pour les mois suivants s'eectue de la même façon. 1

2 2 2 Dénition de l'échéancier à l'aide d'une suite récurrente Les formules données dénissent une suite récurrente qui permet de calculer pour chaque mois i le capital restant C i puis le loyer L i puis le remboursement R i C 1 = capital E emprunté initialement (E = 500=Cdans l'exemple) C i+1 = C i R i L i = tm 100 C i R i = min(c i, M L i ) 3 But du problème Il s'agit de programmer le calcul des échéanciers de prêt. Ce programme vous serra utile le jour où vous aurez besoin d'un prêt bancaire. Questions 4 Calcul à la main d'un échéancier Q1. (1 pt) Complétez le tableau suivant pour un taux mensuel tm = 2.03% et une mensualité M = 150=C en utilisant les équations de la suite récurrente indiquées précédemment. Cette question ne nécessite aucun calcul. i = 1 C 1 = E = 500 L 1 = tm 100 C 1 = R 1 = min(c 1, M L 1 ) = i = 2 C 2 = C 1 R 1 L 2 = tm 100 C... R 2 = min(c..., M L... ) = = = min(, ) = = 7.31 = i = 3 C 3 = L 3 = tm R 3 = min(......, ) = = = min(, ) = = 4.41 = et ainsi de suite jusqu'au mois n tel que C n = 0 i = 4 C 4 = L 4 = tm R 4 = min(......, ) = = = min(71.88, ) = = 1.46 = i = 5 C 5 = L... = tm R... = min(......, ) = = = min(, ) =.... =.... = Programmation du calcul d'échéanciers 5.1 Dénitions de types Un prêt est déni par le capital initial emprunté E, le taux mensuel tm, la mensualité M. 2

3 3 Q2. (1 pt) Complétez les dénitions de types suivantes. L'ensemble Montant correspond aux sommes d'argent positives ou nulles. Le capital, les mensualités, les loyers, les remboursements sont des valeurs de l'ensemble Montant. À l'aide des types Montant et Taux dénissez l'ensemble Prêt qui correspond à l'ensemble des vecteurs (E, tm, M). DÉFINITION MATHÉMATIQUE D'ENSEMBLES déf Montant = déf Taux = {t t } déf NumMois = déf Prêt = DÉFINITION INFORMATIQUE DE TYPES... montant =... (*..... *) ;;... taux =... (* *) ;;... nummois =... (*.... *) ;;... prêt = ;; 5.2 Programmation du calcul de la suite C i, L i, R i Q3. (0,5 pt) Complétez les spécications des fonctions suivantes : Prol capital : Montant Sémantique : (capital (E, tm, M) i) est le capital emprunté au mois i, c'est-à-dire C i Prol loyer : Sémantique : (loyer (E, tm, M) i) est le loyer du mois i, c'est-à-dire L i Prol remb : Sémantique : (remb (E, tm, M) i) est le remboursement du mois i, c'est-à-dire R i Q4. (1 pt) À partir de la suite récurrente dénissant C i, L i, R i, complétez les équations qui dénissent les fonctions capital, loyer, remb. RÉALISATION INFORMATIQUE 3

4 4 Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) capital (E, tm, M) 1 = (2) capital pret i + 1 = (3) loyer (E, tm, M) i = (4) remb = ( , ) Remarque Les fonctions mutuellement récursives sont des fonctions qui font appel les unes aux autres. Par exemple f appelle g qui appelle h qui appelle f. Pour implanter des fonctions mutuellement récursives en Ocaml on doit les dénir ensembles au moyen de la construction suivante : let rec f =... and g =... and h =... ; ; Q5. (1 pt) Donnez l'implantation en ocaml des trois fonctions mutuellement récursives capital, loyer, remb. Implantation let rec (capital :... ->... -> montant ) = function... -> function i -> and (loyer : ) = function... -> > and (remb : ) = ;; Q6. (0,25 pt) Donnez le type de la fonction min utilisée : Prol min : Création d'un échéancier à partir d'un intervalle d'entiers Principe 4

5 5 On commence par construire l'intervalle des mois pour la durée du prêt puis on utilise les fonctions capital, loyer, remb pour calculer le relevé (i, C i, L i, R i ) de chaque mois. Dénition de types Q7. (1 pt) À l'aide des ensembles NumMois, Taux et Montant, dénissez les ensembles suivants : Intervalle est l'ensemble des intervalles de mois. Par exemple, [1 ;... ; n] Intervalle Relevé est l'ensemble des vecteurs (i, C i, L i, R i ) Échéancier est l'ensemble des successions des relevés d'un échéancier. DÉFINITION MATHÉMATIQUE D'ENSEMBLES déf Intervalle = déf Relevé = déf Échéancier = DÉFINITION INFORMATIQUE DE TYPES... intervalle = ;;... relevé = ;;... écheancier = ;; 5.4 Création de l'intervalle des numéros de mois de 1 à n Q8. (1.5 pt) Dénissez la fonction créer-intervalle : Prol créer-intervalle : N Sémantique : créer-intervalle n = [1 ; 2 ;... ; n] Exemples : 1. créer-intervalle 0 = créer-intervalle 5 = RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) créer-intervalle = (2) créer-intervalle = cas

6 6 5.5 Création de l'échéancier On donne la spécication de la fonction calculer-relevés qui utilise les caractéristiques (E, tm, M) d'un prêt pour calculer les relevés de chaque mois de l'intervalle d'entiers donné. Dans un premier temps on vous demande d'utiliser cette fonction à partir de sa spécication ; elle sera implantée plus tard. Prol calculer-relevés : Prêt Intervalle Échéancier Sémantique : calculer-relevés (prêt, [i 1 ;... ; i n ]) = [(i 1, C i1, L i1, R i1 ) ;... ; (i n, C in, L in, R in ) ] Q9. (1 pt) Utilisez les fonctions créer-intervalle et calculer-relevés pour dénir la fonction créer-échéancier qui construit l'échéancier à partir des caractéristiques (E, tm, M) d'un prêt et d'un nombre n de mois : Prol créer-échéancier : Prêt NumMois Échéancier Sémantique : créer-échéancier (prêt, n) = [(1, C 1, L 1, R 1 ) ;... ; (n, C n, L n, R n ) ] RÉALISATION INFORMATIQUE let (créer_écheancier : ) = function ;; Q10. (1 pt) Donnez les équations récursives qui dénissent la fonction calculer-relevés spéciée précédemment : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) calculer-relevés ( , ) = (2) calculer-relevés ( , ) = calculer-relevés (prêt, ) 6 Prêts multiples et surendettement Pour lutter contre le surendettement, une banque sérieuse calcule la somme des échéanciers de tous vos prêts non remboursés avant de vous en accorder un nouveau. 6

7 7 Q11. (0,25 pt) Complétez le prol de la spécication de la fonction somme-échéancier : Prol somme-échéancier : Sémantique : somme-échéancier (ech, ech ) est un échéancier qui respecte les contraintes suivantes : 1. il contient les relevés des échéanciers ech et ech 2. il fait la somme des relevés pour les mois communs aux deux échéanciers. Autrement dit, si ech contient le relevé (i, c, l, r) et ech contient le relevé (i, c, l, r ) alors l'échéancier calculé par somme-échéancier (ech, ech ) doit contenir un relevé du mois i qui fait la somme des capitaux c, c, des loyers l, l et des remboursements r, r Exemple : somme-échéancier ( [ (1, c 1, l 1, r 1 ) ; (2, c 2, l 2, r 2 ) ], [ (2, c 2, l 2, r 2 ) ; (3, c 3, l 3, r 3 ) ] ) = [ (1, c 1, l 1, r 1 ) ; (2, c 2 + c 2, l 2 + l 2, r 2 + r 2 ) ; (3, c 3, l 3, r 3 ) ] Q12. (1,25 pt) Complétez les équations récursives qui dénissent la fonction somme-échéancier : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) somme-échéancier ( [ ], [ ] ) = (2) somme-échéancier ( , ) = (3) somme-échéancier ( , ) = (4) cas i = somme-échéancier ((i, c, l, r) , (i, c, l, r ) ) = (4 ) cas i < somme-échéancier ((i, c, l, r) , ) = (4 ) cas somme-échéancier ((i, c, l, r) , ) = Q13. (0,25 pt) On remarque que l'équation est inutile c'est un cas particulier de l'équation et de l'équation

8 8 Q14. (1 pt) Donnez la preuve de terminaison de l'équation (4 ) : Terminaison : mesure (ech 1, ech 2 ) = preuve : (i) Justions que la mesure choisie retourne des valeurs dans N : la fonction retourne et de deux naturels est un (ii) Montrons que la mesure décroit strictement à chaque appel récursif. Pour (ii), on repère les équations qui comportent des appels récursifs et on prouve la décroissance pour chaque appel récursif. ech 2 { }} { (4 ) somme-échéancier ( (i, c, l, r) , ) } {{ } appelle appel somme-échéancier ( , ) } {{ } appel engendré Pour l'équation (4'), on doit démontrer que : mesure ( (i, c, l, r) , ech 2 ) ? > mesure ( , )? > ok > Calcul de l'échéancier correspondant au remboursement complet Dans les questions précédentes on a construit l'échéancier pour un nombre de mois n xé à l'avance. Désormais on cherche à construire l'échéancier jusqu'à la n du remboursement, autrement dit jusqu'à ce qu'il ne reste plus de capital emprunté, c'est-à-dire jusqu'au mois n tel que C n = 0. Prol générer-suite-échéancier : Prêt Relevé Échéancier Sémantique : (générer-suite-échéancier prêt (i, C i, L i, R i )) génère l'échéancier depuis le relevé du mois i + 1 jusqu'au relevé du mois n, tel que C n = 0 c'est-à-dire [ (i + 1, C i+1, L i+1, R i+1 ) ;... ; (n, C n, L n, R n ) ] Exemples extraits de l'échéancier de la partie Ÿ4 : 1. générer-suite-échéancier prêt (5, 0, 0, 0) = générer-suite-échéancier prêt (3, , 4.41, ) = [ ; ] 8

9 9 Q15. (1 pt) Complétez la spécication et la réalisation de la fonction générer-suite-échéancier en utilisant la dénition de C i, L i, R i par une suite récurrente et sans utiliser les fonctions capital, loyer, remb : RÉALISATION INFORMATIQUE Algorithme : dénition récursive de la fonction par des équations (1) générer-suite-échéancier prêt (n,......, L n, R n ) = (2) générer-suite-échéancier prêt (i, C i, L i, R i ) = (générer-suite-échéancier ) avec C i+1 = C i R i L i+1 = tm 100 C i+1 R i+1 = min(c i+1, M L i+1 ) Q16. (1 pt) Complétez l'implantation de la fonction générer-suite-échéancier : Implantation let rec (générer_suite_échéancier : pret -> releve -> echeancier) = function (E,tm,M) -> function (i,ci,li,ri) -> let in let in in ;; Q17. (1 pt) Utilisez la fonction générer-suite-échéancier pour réaliser la fonction calculer-échéancier : Prol calculer-échéancier : Prêt Échéancier Sémantique : calculer-échéancier prêt génère l'échéancier depuis le premier mois jusqu'au dernier mois de remboursement, c'est-à-dire [ (1, C 1, L 1, R 1 ) ;... ; (n, C n, L n, R n ) ] avec C n = 0 9

10 10 Indication : Avec quel relevé faut-il commencer pour obtenir l'échéancier demandé? Exécutez la fonction à la main pour vérier votre réponse. Implantation let (calculer_écheancier :... ) = ;; 8 Compléments d'information pour les curieux qui veulent en savoir plus que leur banquier. Il est possible de calculer la durée du prêt sans avoir recours au calcul de la suite. Certaines suites récursives peuvent être reformulées sous la forme d'équations mathématiques non récursives. Remarque On ne sait pas le faire pour toute suite récurrente. Pour plus d'informations consultez Wikipédia à la rubrique : terme général d'une suite récurrente Par exemple que la suite de raison q S n (q) def = q 0 + q q n est une suite récursive (les mathématiciens disent récurrente). En mathématique la récursivité est cachée dans les.... La dénition récursive précise est la suivante : S 0 (q) = q 0 = 1 S n+1 (q) = S n (q) + q n+1 Cette suite récursive peut s'exprimer sans récursivité par la formule : S n (q) = 1 + qn+1 1 q Preuve que les deux formulations (récursive et directe) sont équivalentes d'où par diérence terme à terme en factorisant S n (q) = q 0 + q q n q S n (q) = q q n + q n+1 S n (q) q S n (q) = q 0 q n+1 (1 q)s n (q) = 1 + q n Caclul des termes R n sans utiliser C n ni L n Tant que le captial restant C i est supérieur au remboursement on peut simplier la formule qui dénit R i : R i def = min(c i, M L i ) def = M L i or L i = C i tm = M C i tm 10

11 11 Cette dernière égalité est utilisée dans le calcul suivant : R i = M L i def = M C i tm or C i = C i 1 R i 1 = M (C i 1 R i 1 ) tm = M C i 1 tm + R i 1 tm = R i 1 + R i 1 tm d'après l'égalité R i 1 = M C i 1 tm = R i 1 (1 + tm) On peut donc redénir la suite (R i ) directement R 0 =? R i = R i 1 (1 + tm) Il reste à déterminer R 0 de sorte que R 1 = M L 1 On veut que R 1 = R 0 (1 + tm). Or on a dénit R 1 = M L 1 = M (C 1 tm) avec C 1 = E c'est-à-dire R 1 = M (E tm). Il faut donc choisir R 0 pour que les deux manière de calculer R 1 coïncident, on doit donc avoir l'égalité : R 0 (1 + tm) } {{ } = M (E tm) } {{ } Il faut donc prendre M (E tm) 1 + tm R 1(méthode 2) def R 0 = La suite des termes R i est donc équivalente à M (E tm) R 0 = 1 + tm R i = R 0 (1 + tm) i R 1(méthode 1) 8.2 Détermination de n par une formule directe On rappelle que E = R 1 + R R n En utilisant la dénition précédente de R i et en posant q def = 1 + tm on peut réécrire E de la manière suivante : d'où E = R 1 + R R n = R 0 q 1 + R 0 q R 0 q n = R 0 (q 1 + q q n ) = R 0 (q S n 1 (q)) = R 0 (q 1 1 qn q ) = R 0 q qn 1 q 1 M (E tm) = q q qn 1 q 1 = M (E tm) qn 1 q 1 M (E tm) = q 1 (q n M (E tm) 1) = 1 + tm 1 (q n 1) M (E tm) = tm (q n 1) 11

12 12 donc q n 1 = q n = E tm M E tm M E E tm tm + 1 = E tm + M E tm M E tm = M M E tm On applique le logarithme népérien à chaque membre. On rappelle que ln(x n ) = n ln(x). On obtient : ( ) ln(q n ) = n ln(q) = ln M M E tm Donc ( ) n = ln M M E tm ln(q) et nalement, en remplaçant q par sa dénition 1 + tm, on obtient une formule qui donne la durée du prêt en fonction des caractéristiques (E, tm, M) du prêt. Le nombre de mois pour rembourser le capital est le nombre entier immédiatement supérieur à : ( ) ln M M E tm ln(1 + tm) 12

Devoir surveillé d'informatique UE INF121 durée : 2h00

Devoir surveillé d'informatique UE INF121 durée : 2h00 Devoir surveillé d'informatique UE INF121 durée : 2h00 Répondez sur le sujet. Ne vous ez pas à la taille des pointillés : la taille des pointillés ne correspond pas forcément à la taille de la réponse.

Plus en détail

SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES

SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES SUITES ET SÉRIES GÉOMÉTRIQUES Sommaire 1. Suites géométriques... 2 2. Exercice... 6 3. Application des suites géométriques aux mathématiques financières... 7 4. Vocabulaire... 7 5. Exercices :... 8 6.

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Récursivité et Récurrence

Récursivité et Récurrence Université Joseph Fourier UFR IMAG Département Licence Sciences et Technologie LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re année INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE Récursivité et Récurrence Fonctions

Plus en détail

LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re ANNÉE UE INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE

LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re ANNÉE UE INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE Université Joseph Fourier UFR IMA LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re ANNÉE Département Licence Sciences et Technologie UE INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE Devoir maison - Dénition

Plus en détail

Leçon 01 Exercices d'entraînement

Leçon 01 Exercices d'entraînement Leçon 01 Exercices d'entraînement Exercice 1 Etudier la convergence des suites ci-dessous définies par leur terme général: 1)u n = 2n3-5n + 1 n 2 + 3 2)u n = 2n2-7n - 5 -n 5-1 4)u n = lnn2 n+1 5)u n =

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées

DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées DUT Techniques de commercialisation Mathématiques et statistiques appliquées Francois.Kauffmann@unicaen.fr Université de Caen Basse-Normandie 3 novembre 2014 Francois.Kauffmann@unicaen.fr UCBN MathStat

Plus en détail

Intérêts. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M

Intérêts. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M Intérêts Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M 1. LA NOTION D INTÉRÊT 1.1. Définition. Définition 1. L intérêt est la rémunération d un prêt d argent effectué par un agent économique

Plus en détail

Taux d'évolution, cours de Terminale STG

Taux d'évolution, cours de Terminale STG Taux d'évolution, cours de Terminale STG F.Gaudon 7 novembre 2007 Table des matières Évolutions 2 2 Évolutions successives 3 2. Taux global............................ 3 2.2 Taux moyen............................

Plus en détail

Correction du premier sujet

Correction du premier sujet Correction du premier sujet Problème 1 1. Soit (u n ) la suite arithmétique de premier terme u 1 = 3 et de raison. Donner la somme des 0 premiers termes de cette suite. Préciser la formule utilisée.. Soit

Plus en détail

Calcul rapide des puissances

Calcul rapide des puissances Calcul rapide des puissances Par Mathtous Il s'agit de puissances à exposant entier naturel (avec la convention a 0 = 1, et a 1 = a). Si on applique la dénition pour calculer a n, on calcule de proche

Plus en détail

Correction Code nécessaire à la compilation : let bs ="\\" let nl = "\n" ;; let appliquer = List.map ;; (* affichage d'un noeud *)

Correction Code nécessaire à la compilation : let bs =\\ let nl = \n ;; let appliquer = List.map ;; (* affichage d'un noeud *) Correction Code nécessaire à la compilation : let bs ="\\" let nl = "\n" let appliquer = List.map (* affichage d'un noeud *) let (noeud_vers_ch : int -> string) = function n -> "fib(" ^ (string_of_int

Plus en détail

Le capital placé reste invariable et produit des intérêts égaux pour chaque période de placement.

Le capital placé reste invariable et produit des intérêts égaux pour chaque période de placement. 3. Les intérêts composés 3. Les intérêts composés 3.1. Introduction ➊ Placement à intérêts simples Le capital placé reste invariable et produit des intérêts égaux pour chaque période de placement. ➋ Placement

Plus en détail

Valeur cible et solveur. Les calculs effectués habituellement avec Excel utilisent des valeurs numériques qui constituent les données d'un problème.

Valeur cible et solveur. Les calculs effectués habituellement avec Excel utilisent des valeurs numériques qui constituent les données d'un problème. Valeur cible et solveur Atteindre une valeur cible Les calculs effectués habituellement avec Excel utilisent des valeurs numériques qui constituent les données d'un problème. A l'aide d'un certain nombre

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0.

FONCTION EXPONENTIELLE ( ) 2 = 0. FONCTION EXPONENTIELLE I. Définition Théorème : Il eiste une unique fonction f dérivable sur R telle que f ' = f et f (0) =. Démonstration de l'unicité (eigible BAC) : L'eistence est admise - Démontrons

Plus en détail

Étude expérimentale de la complexité de la fonction de Fibonacci (24 pt) Première partie du problème (8 pt)

Étude expérimentale de la complexité de la fonction de Fibonacci (24 pt) Première partie du problème (8 pt) Étude expérimentale de la complexité de la fonction de Fibonacci (24 pt) L'objectif de ce problème est d'étudier le nombre d'appels récursifs eectués lors du calcul des nombres de Fibonacci. C'est un exemple

Plus en détail

Repère n 13. Redécouvrez le crédit à la consommation FEDERATION BANCAIRE FRANCAISE

Repère n 13. Redécouvrez le crédit à la consommation FEDERATION BANCAIRE FRANCAISE LES MINI-GUIDES BANCAIRES Repère n 13 Redécouvrez le crédit à la consommation FEDERATION BANCAIRE FRANCAISE juillet 2004 Ce mini-guide vous est offert Tous droits réservés. La reproduction totale ou partielle

Plus en détail

RAPPEL MATHÉMATIQUE Méthodes quantitatives (30 610 94 + 30 620 92)

RAPPEL MATHÉMATIQUE Méthodes quantitatives (30 610 94 + 30 620 92) RAPPEL MATHÉMATIQUE Méthodes quantitatives (30 610 94 + 30 620 92) 1. Suites géométriques Définition Suite Une suite,,,, est un ensemble de nombres. L indice de chaque terme de la suite indique la ou l

Plus en détail

Chapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations

Chapitre 5. Calculs financiers. 5.1 Introduction - notations Chapitre 5 Calculs financiers 5.1 Introduction - notations Sur un marché économique, des acteurs peuvent prêter ou emprunter un capital (une somme d argent) en contrepartie de quoi ils perçoivent ou respectivement

Plus en détail

Université de Nice-Sophia Antipolis École Supérieure en Sciences Informatiques

Université de Nice-Sophia Antipolis École Supérieure en Sciences Informatiques Université de Nice-Sophia Antipolis École Supérieure en Sciences Informatiques 20042005 Controle de Mathématiques Discrètes du 24 Janvier 2005 Nom : Prénom : Groupe: Durée : 2 heures 1 2 3 4 5 Tous documents

Plus en détail

T.D. 1. Licence 2, 2014 15 - Université Paris 8

T.D. 1. Licence 2, 2014 15 - Université Paris 8 Mathématiques Financières Licence 2, 2014 15 - Université Paris 8 C. FISCHLER & S. GOUTTE T.D. 1 Exercice 1. Pour chacune des suites ci-dessous, répondre aux questions suivantes : Est-ce une suite monotone?

Plus en détail

La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail

La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES. Ce qui est demandé. Les étapes du travail La maison Ecole d ' Amortissement d un emprunt Classe de terminale ES Suites géométriques, fonction exponentielle Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence L objectif de cet exercice

Plus en détail

Développements limités. Notion de développement limité

Développements limités. Notion de développement limité MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un

Plus en détail

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2

Exercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2 Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations

Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM. Applications des mathématiques. Equations Collège du Sud, Bulle 2-ème année OS PAM 3-ème année OC AM Applications des mathématiques Equations Résolution de l'équation f(x) = 0 par diverses méthodes Version pour Mathematica Edition 2014/2015 Marcel

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Table des matières 1 Intérêt simple 1 1.1 Exercices........................................ 1 2 Intérêt composé 2 2.1 Taux nominal, taux périodique, taux réel.......................

Plus en détail

Chapitre 02 Suites arithmétiques et géométriques

Chapitre 02 Suites arithmétiques et géométriques Chapitre 02 Suites arithmétiques et géométriques Classe de terminale STMG APPRENTISSAGES PARALLELES : ALGORITHMIQUE : VARIABLES ET AFFECTATIONS, INSTRUCTIONS SIMPLES, BOUCLE «POUR» RAPPELS DE PREMIERE

Plus en détail

Cours de mathématiques - Alternance Gea

Cours de mathématiques - Alternance Gea Cours de mathématiques - Alternance Gea Anne Fredet 17 octobre 2005 1 Suites On appelle suite numérique toute application de N ou une partie de N vers R. On notera par u n le terme général d une suite.

Plus en détail

chapitre 4 Nombres de Catalan

chapitre 4 Nombres de Catalan chapitre 4 Nombres de Catalan I Dénitions Dénition 1 La suite de Catalan (C n ) n est la suite dénie par C 0 = 1 et, pour tout n N, C n+1 = C k C n k. Exemple 2 On trouve rapidement C 0 = 1, C 1 = 1, C

Plus en détail

COURS GESTION FINANCIERE SEANCE 5 VOCABULAIRE BANCAIRE ET FINANCIER MATHEMATIQUES FINANCIERES

COURS GESTION FINANCIERE SEANCE 5 VOCABULAIRE BANCAIRE ET FINANCIER MATHEMATIQUES FINANCIERES COURS GESTION FINANCIERE SEANCE 5 VOCABULAIRE BANCAIRE ET FINANCIER MATHEMATIQUES FINANCIERES SEANCE 5 VOCABULAIRE BANCAIRE ET FINANCIER MATHEMATIQUES FINANCIERES Objet de la séance 5: les séances précédentes

Plus en détail

Guide Le Crédit Réfléchi : tout pour bien connaître le crédit!

Guide Le Crédit Réfléchi : tout pour bien connaître le crédit! Guide Le Crédit Réfléchi : tout pour bien connaître le crédit! Le Crédit en France Comprendre le crédit : zoom sur le crédit à la consommation Les termes du crédit : lexique «En France, plus d'1 ménage

Plus en détail

Annuités. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M

Annuités. Administration Économique et Sociale. Mathématiques XA100M Annuités Administration Économique et Sociale Mathématiques XA100M En général, un prêt n est pas remboursé en une seule fois. Les remboursements sont étalés sur plusieurs périodes. De même, un capital

Plus en détail

Corrigé Pondichéry 1999

Corrigé Pondichéry 1999 Corrigé Pondichéry 999 EXERCICE. = 8 = i ). D'où les solutions de l'équation : z = + i et z = z = i. a. De manière immédiate : z = z = b. Soit θ la mesure principale de arg z : cos θ = Par suite arg z

Plus en détail

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES Table des matières Version 2012 Lang Fred 1 Intérêts et taux 2 1.1 Définitions et notations................................ 2 1.2 Intérêt simple......................................

Plus en détail

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR

MATHEMATIQUES ECE 1 NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR MATHEMATIQUES ECE NOTIONS DE COURS A CONNAITRE PAR COEUR CALCULS NUMERIQUES Fractions, puissances, racines carrées, résolution d équations et inéquations GENERALITES SUR LES FONCTIONS ) Nombre dérivé d

Plus en détail

3 2 Séries numériques

3 2 Séries numériques BCPST 9 5 3 Séries numériques I Généralités A) Dénition Soit (a n ) n N une suite à valeurs dans R. On appelle série de terme général a n, et on note a n la suite dénie par : S n = On dit que S n est la

Plus en détail

1 Problème : multiplication avec quantités innies (14 pt)

1 Problème : multiplication avec quantités innies (14 pt) 1 Problème : multiplication avec quantités innies (14 pt) On souhaite dénir la multiplication sur les entiers et les fractions en ajoutant la possibilité de représenter les quantités innies notées et +.

Plus en détail

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015

T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 T ES/L DEVOIR SURVEILLE 3 16 JANVIER 2015 Durée : 3h NOM : Prénom : Calculatrice autorisée «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse,

Plus en détail

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines

FctsAffines.nb 1. Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008. Fonctions affines FctsAffines.nb 1 Mathématiques, 1-ère année Edition 2007-2008 Fonctions affines Supports de cours de mathématiques de degré secondaire II, lien hpertete vers la page mère http://www.deleze.name/marcel/sec2/inde.html

Plus en détail

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES

CHAPITRE 2 SUITES RÉELLES ET COMPLEXES CHAPITRE SUITES RÉELLES ET COMPLEXES Les suites sont un objet fondamental à la fois en mathématiques et dans l application des mathématiques aux autres sciences. Nous verrons dans ce cours et les travaux

Plus en détail

3 ème FONCTIONS. Pratiquer une démarche scientifique et technologique. Capacités

3 ème FONCTIONS. Pratiquer une démarche scientifique et technologique. Capacités 3 ème Les exercices de ce chapitre permettent de travailler des compétences scientifiques du socle commun. Pratiquer une démarche scientifique et technologique Capacités Rechercher, extraire et organiser

Plus en détail

Ma banque, mes emprunts et mes intérêts

Ma banque, mes emprunts et mes intérêts Ma banque, mes emprunts et mes intérêts Alexandre Vial 0 janvier 2009 Les intérêts cumulés Je place 00 e à 4% par an pendant un an. Donc au bout d un an, j ai 00 + 00. 4 = 00 00( + 4 ) =04 e. 00 Cependant,

Plus en détail

Rappels de macro-économie. La monnaie et le crédit

Rappels de macro-économie. La monnaie et le crédit Rappels de macro-économie La monnaie et le crédit Les différents types de monnaie La monnaie fiduciaire : pièces et billets : M1 La monnaie scripturale : avoirs bancaires M2 La masse monétaire : M = M1

Plus en détail

Chapitre : Annuités. I/ Généralités : Professeur : AUOATIF MAJID. A/ Définition : B/ types d annuités : A/ Valeur acquise : 1) Exemple :

Chapitre : Annuités. I/ Généralités : Professeur : AUOATIF MAJID. A/ Définition : B/ types d annuités : A/ Valeur acquise : 1) Exemple : I/ Généralités : A/ Définition : Une annuité est une suite de versements faits à intervalles. La période de l'annuité est l'intervalle de temps qui sépare. consécutifs. La période peut avoir une durée

Plus en détail

Taux d évolution moyen.

Taux d évolution moyen. Chapitre 1 Indice Taux d'évolution moyen Terminale STMG Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Indice simple en base 100. Passer de l indice au taux d évolution, et réciproquement.

Plus en détail

Chapitre 1. La valeur et le temps. 1 Exercice 01-16. 2 Corrigé rigé de l exercice 01-16

Chapitre 1. La valeur et le temps. 1 Exercice 01-16. 2 Corrigé rigé de l exercice 01-16 Chapitre 1 La valeur et le temps 1 Exercice 01-16 16 Échéance commune de plusieurs effets Définition. L échéance commune de plusieurs effets est l échéance d un effet unique qui, le jour de l équivalence,

Plus en détail

Utilisation des fonctions financières d Excel

Utilisation des fonctions financières d Excel Utilisation des fonctions financières d Excel TABLE DES MATIÈRES Page 1. Calcul de la valeur acquise par la formule des intérêts simples... 4 2. Calcul de la valeur actuelle par la formule des intérêts

Plus en détail

Apllication au calcul financier

Apllication au calcul financier Apllication au calcul financier Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 1 er novembre 2011 Intérêts Généralités L intérêt est la rémunération du placement d argent. Il dépend : du taux d intérêts

Plus en détail

Prêt à terme à taux variable

Prêt à terme à taux variable DÉCLARATION DU COÛT D EMPRUNT EN VERTU DE L ARTICLE 450 DE LA LOI SUR LES BANQUES Prêt à terme à taux variable Date Type de prêt 500 Place d'armes, 22 ième étage, Montréal (Québec), H2Y 2W3 Adresse de

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Devoir a la Maison n 7

Devoir a la Maison n 7 Nom :.....Prénom : LFKL 1ere L Note :.. / 20 Appréciation : Signature d'un parent : Temps de préparation 3 10 mai 2006 semaines Code des couleurs de font : Devoir a la Maison n 7 En noir : questions En

Plus en détail

Semaine 6 : La notation For

Semaine 6 : La notation For Semaine 6 : La notation For Les fonctions d'ordre supérieur telles que map, atmap ou lter fournissent des constructions puissantes pour manipuler les listes. Mais parfois le niveau d'abstraction requis

Plus en détail

Chapitre II: VARIATIONS DU BILAN NOTION DE RESULTAT

Chapitre II: VARIATIONS DU BILAN NOTION DE RESULTAT Chapitre II: VARIATIONS DU BILAN NOTION DE RESULTAT I. MOUVEMENTS COMPTABLES Nous avons vu que le Bilan représente la photographie de la situation de l entreprise à une date donnée : chaque opération nouvelle

Plus en détail

INTERROGATION ECRITE N 3 PFEG INTERROGATION ECRITE N 3 PFEG

INTERROGATION ECRITE N 3 PFEG INTERROGATION ECRITE N 3 PFEG Q1 - Quelle est la différence entre une banque de détail et une banque de gros ou universelle? Une banque de détail reçoit des dépôts de ses clients et leur accorde des crédits. Elle se limite aux métiers

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re année INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE

LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re année INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE Université Joseph Fourier UFR IMA Département Licence Sciences et Technologie LICENCE SCIENCES & TECHNOLOGIES 1 re année INF121 ALGORITHMIQUE ET PROGRAMMATION FONCTIONNELLE Devoir maison 1 & 2 (à faire

Plus en détail

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que :

En 2005, année de sa création, un club de randonnée pédestre comportait 80 adhérents. Chacune des années suivantes on a constaté que : Il sera tenu compte de la présentation et de la rédaction de la copie lors de l évaluation finale. Les élèves n ayant pas la spécialité mathématique traiteront les exercices 1, 2,3 et 4, les élèves ayant

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématique financière à court terme I) Les Intérêts : Intérêts simples Mathématiques financières - Intérêts terme échu et terme à échoir - Taux terme échu i u équivalent à un taux terme à échoir i r

Plus en détail

3 Fonctions logarithmiques

3 Fonctions logarithmiques Log-Cours_standard.nb 12 3 Fonctions logarithmiques Edition 2007-2008 / DELM Liens hypertextes Cours de niveau avancé (plus étoffé): http://www.deleze.name/marcel/sec2/cours/logarithmes/log-cours_avance.pdf

Plus en détail

FONCTIONS FINANCIÈRES

FONCTIONS FINANCIÈRES FONCTIONS FINANCIÈRES Echéancier d'un prêt ÉNONCÉ DU CAS Vous souhaitez établir l'échéancier mensuel d'un emprunt de 500 000 F sur 10 ans au taux nominal de 9 %. Vous vous intéressez à la répartition de

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir

Plus en détail

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel ISEL - Année Mathématiques Suites - Rappel Raisonnement par récurrence Soit une propriété P (n) dépendant d'un entier naturel n. Pour montrer que cette propriété est vraie à partie de l'entier n 0 :. on

Plus en détail

Géométrie vectorielle plane, cours, première S

Géométrie vectorielle plane, cours, première S Géométrie vectorielle plane, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2015 Table des matières 1 Géométrie vectorielle dans un repère 2 1.1 Compléments sur la colinéarité.................................

Plus en détail

Raisonnement par récurrence Suites numériques

Raisonnement par récurrence Suites numériques Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.

Plus en détail

Plan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes.

Plan. 5 Actualisation. 7 Investissement. 2 Calcul du taux d intérêt 3 Taux équivalent 4 Placement à versements fixes. Plan Intérêts 1 Intérêts 2 3 4 5 6 7 Retour au menu général Intérêts On place un capital C 0 à intérêts simples de t% par an : chaque année une somme fixe s ajoute au capital ; cette somme est calculée

Plus en détail

9. Équations différentielles

9. Équations différentielles 63 9. Équations différentielles 9.1. Introduction Une équation différentielle est une relation entre une ou plusieurs fonctions inconnues et leurs dérivées. L'ordre d'une équation différentielle correspond

Plus en détail

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui :

Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Sommaire SAMEDI 7 JANVIER 202 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : Un rappel de cours sur les suites ; Page 2 Deu eercices intitulés

Plus en détail

Série d exercices 4. /s k

Série d exercices 4. /s k ACT-10412 Mathématiques financières Série d exercices 4 1. Un prêt est remboursé à l aide de n paiements annuels égaux. Après n 1 années, le montant total de capital remboursé s élève à 3 955,20. La part

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite

I Exercices. 1 Définition de suites. 2 Sens de variation d une suite I Exercices 1 Définition de suites Pour toutes les suites (u n ) définies ci-dessous, on demande de calculer u 1, u, u 3 et u 6 1 u n = 7n n + { u0 = u n+1 = u n + 3 3 u n est le n ième nombre premier

Plus en détail

ANNUITES. Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. -annuités non constantes

ANNUITES. Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. -annuités non constantes ANNUITES I Notions d annuités a.définition Les annuités définissent une suite de versements identiques ou non effectués à intervalles de temps égaux. Le processus de versements dépend du montant de l annuité,

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

I Suites géométriques, maths fi (1 + α + α 2 + + α n )

I Suites géométriques, maths fi (1 + α + α 2 + + α n ) UPV MathsL1S1 1 Suites. Maths fi I Suites géométriques, maths fi (1 + α + α 2 + + α n ) I Deux résultats fondamentaux 1) 1 + 2 + + n = n (n + 1) / 2 On peut connaître ce résultat par coeur. (D ailleurs

Plus en détail

Athénée Royal d'uccle 1. Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h

Athénée Royal d'uccle 1. Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h Athénée Royal d'uccle 1 Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h A.Droesbeke Version : 015 Table des matières I Algèbre 1 1 Rappel du cours de 3 ème 3 1.1 Les exposants......................................

Plus en détail

Chapitre 2. Valeur acquise par un capital

Chapitre 2. Valeur acquise par un capital MATHEMATIQUES FINANCIERES Le temps, c'est de l'argent Si un capital est placé pendant "un temps assez long", on utilise les intérêts composés. En règle générale, à moins d'être complètement étranger aux

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE

EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par

Plus en détail

L emprunt indivis - généralités

L emprunt indivis - généralités L emprunt indivis - généralités Les modalités de calcul d un échéancier de remboursement d un emprunt indivis forment un thème d étude des outils de gestion en BTS HR (partie mathématiques financières)

Plus en détail

Recherche dans un tableau

Recherche dans un tableau Chapitre 3 Recherche dans un tableau 3.1 Introduction 3.1.1 Tranche On appelle tranche de tableau, la donnée d'un tableau t et de deux indices a et b. On note cette tranche t.(a..b). Exemple 3.1 : 3 6

Plus en détail

TD 3 : suites réelles : application économique et nancière

TD 3 : suites réelles : application économique et nancière Mathématiques Appliquées Cours-TD : K. Abdi, M. Huaulmé, B. de Loynes et S. Pommier Université de Rennes 1 - L1 AES - 009-010 TD 3 : suites réelles : application économique et nancière Exercice 1 Calculer

Plus en détail

Chapitre 4 : cas Transversaux. Cas d Emprunts

Chapitre 4 : cas Transversaux. Cas d Emprunts Chapitre 4 : cas Transversaux Cas d Emprunts Échéanciers, capital restant dû, renégociation d un emprunt - Cas E1 Afin de financer l achat de son appartement, un particulier souscrit un prêt auprès de

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle La fonction exponentielle L expression «croissance exponentielle» est passée dans le langage courant et désigne sans distinction toute variation «hyper rapide» d un phénomène. Ce vocabulaire est cependant

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SÉRIE L. Session 2012

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SÉRIE L. Session 2012 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SÉRIE L Session 2012 ÉPREUVE ANTICIPÉE DE MATHÉMATIQUES-INFORMATIQUE Durée de l épreuve : 1 heure 30 Coefficient : 2 Le candidat doit traiter les deux exercices. Le candidat est invité

Plus en détail

15/02/2009. Le calcul des intérêts. Le calcul des intérêts. Le calcul des intérêts Les intérêts simples. Le calcul des intérêts Les intérêts simples

15/02/2009. Le calcul des intérêts. Le calcul des intérêts. Le calcul des intérêts Les intérêts simples. Le calcul des intérêts Les intérêts simples Le taux d intérêt Comparer ce qui est comparable 2 Chapitre 1 La valeur du temps Aide-mémoire - 2009 1 Deux sommes de même montant ne sont équivalentes que si elles sont considérées à une même date. Un

Plus en détail

Règles du jeu officielles du Monopoly

Règles du jeu officielles du Monopoly Règles du jeu officielles du Monopoly Garanties presque sans erreurs BUT DU JEU : Etre le dernier joueur à rester en jeu, c'est-à-dire le dernier joueur n'ayant pas fait faillite. PREPARATION 1. Prenez

Plus en détail

Les Crédits et ouverture de crédit

Les Crédits et ouverture de crédit Les Crédits et ouverture de crédit Contexte général Besoin d une nouvelle voiture, votre machine à lessiver tombe en panne ou besoin d effectuer quelques travaux dans votre maison? De grosses dépenses

Plus en détail

Financer son Entreprise

Financer son Entreprise 1 En élaborant votre business plan, vous avez évalué vos besoins et établi votre plan de financement. Subventions, prêts, garanties, aides fiscales et sociales En fonction de votre profil, de votre lieu

Plus en détail

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1

Examen 2 Mathématiques L1S1 TD 1104 2015 2016 Université Paris 1 Examen Mathématiques LS TD 04 05 06 Université Paris Nom : Prénom : Durée : heure. Calculatrice interdite. Aucun document autorisé. Chaque question de la partie QCM vaut un point. Identifiez toutes les

Plus en détail

Module d'analyse des données

Module d'analyse des données *** Année 2007 *** Module d'analyse des données P.L. Toutain, A. Bousquet-Mélou UMR 181 de Physiopathologie et Toxicologie Expérimentales INRA/ENVT Ecole Nationale Vétérinaire de Toulouse 24/04/2007 Avant

Plus en détail

FEUILLES D ACTIVITÉ COMPLÉMENTAIRES 4 CARTES DE RÔLE INITIALES Distribuer selon le tableau que vous trouverez dans les directives

FEUILLES D ACTIVITÉ COMPLÉMENTAIRES 4 CARTES DE RÔLE INITIALES Distribuer selon le tableau que vous trouverez dans les directives FEUILLES D ACTIVITÉ COMPLÉMENTAIRES 4 CARTES DE RÔLE INITIALES Distribuer selon le tableau que vous trouverez dans les directives BANQUE MONDIALE FMI Vous êtes le ou la représentante pour l'organisation

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

Suites Géométriques et Arithmético-Géométriques

Suites Géométriques et Arithmético-Géométriques Suites Géométriques et Arithmético-Géométriques Table des matières 1 suites géométriques 2 1.1 exploitation dans une situation donnée........................... 2 1.1.1 activités..........................................

Plus en détail

Chapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows

Chapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows Chapitre 4 - La valeur de l argent dans le temps et l'actualisation des cash-flows Plan Actualisation et capitalisation Calculs sur le taux d intérêt et la période Modalités de calcul des taux d intérêts

Plus en détail

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

I. FONCTION LOGARITHME NEPERIEN www.mathsenligne.com STI2D - TN4 - LOGARITHME NEPERIEN COURS (/5) CONTENUS CAPACITES ATTENDUES COMMENTAIRES Fonction logarithme népérien. Utiliser la relation fonctionnelle pour transformer une écriture.

Plus en détail

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI

Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI Fonction logarithme népérien, cours de Terminale STI F.Gaudon 5 juillet 010 Table des matières 1 Construction de la fonction logarithme népérien Propriétés analytiques.1 Étude de la fonction.......................................

Plus en détail

Mathématiques pour l'informatique? Au programme. Objectif du semestre

Mathématiques pour l'informatique? Au programme. Objectif du semestre Mathématiques pour l'informatique? Calcul des Ensembles David Teller 09/02/2007 Q L'informatique, au juste, c'est quoi? A L'informatique, c'est : de l'électronique de la théorie des processus de la linguistique

Plus en détail

Un peu de calculs financiers

Un peu de calculs financiers Un peu de calculs financiers 1. Les intérêts simples Intérêt : somme rapportée par le prêt d un capital. Il est proportionnel au montant de la somme prêtée et à la durée du prêt Période : le temps est

Plus en détail

Investissement dans la construction de nouveaux bâtiments résidentiels (travaux mis en place) Méthodologie

Investissement dans la construction de nouveaux bâtiments résidentiels (travaux mis en place) Méthodologie Investissement dans la construction de nouveaux bâtiments résidentiels (travaux mis en place) Méthodologie Division de l investissement et du stock de capital Méthodologie L'investissement dans la construction

Plus en détail