ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

Transcription

1 Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier Toulouse cedex 09 [email protected] [email protected]

2 2

3 Tble des Mtières 1 Rppels Nombres réels Corps commuttif Totlement ordonné Borne inférieure, supérieure R est rchimédien Q est dense dns R Suites Définition de l limite Stbilité des limites Convergence monotone Suites de Cuchy Limites clssiques Limites de fonctions Intervlles Définition des limites Limites de fonctions et limites de suites Stbilité des limites Limite et supremum Fonctions continues Définitions et propriétés élémentires Propriétés lgébriques Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct Le théorème de Weierstrss Le théorème des vleurs intermédiires Continuité uniforme Le théorème de Heine Fonctions en esclier Dérivtion Définition de l dérivée en un point Dérivée en un point Dérivées à guche, à droite

4 4 Tble des Mtières Grphe et tngente Règles de clcul Dérivées des fonctions usuelles Dérivée d une fonction composée Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor Extrem d une fonction Théorème de Rolle, théorème des ccroissements finis Théorème de Rolle Théorème des ccroissements finis Fonctions réciproques des fonctions strictement monotones Règle de l Hospitl Dérivées successives Formules de Tylor-Lgrnge et de Tylor-Young Exemples et remrques L formule de Tylor-Young Développements limités Définition d un développement limité Développements limités usuels Fonction exponentielle Sinus et cosinus Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique L fonction (1 + x) α L fonction logrithme népérien Exemples de d.l. u voisinge de Développement limité u voisinge de l infini Opértions sur les développements limités Développement limité d une combinison linéire de f et g Développement limité du produit de f et g Développement limité de l composée de f et g Développement limité du quotient de f pr g Division d un polynôme pr un utre suivnt les puissnces croissntes Exemples d utilistion des développements limités Fonctions convexes Fonctions convexes Crctéristions des fonctions convexes Intégrtion Intégrle des fonctions en esclier Intégrle des fonctions continues Intégrle des fonctions continues pr morceux Le théorème fondmentl du clcul intégrl Primitives et intégrles

5 Tble des Mtières Primitives d une fonction continue Primitives usuelles Primitives d un développement limité Intégrtion pr prties Chngement de vrible Résultts générux Trinômes du second degré Intégrtion des frctions rtionnelles Fctoristion complexe d un polynôme Fctoristion réelle d un polynôme Frctions rtionnelles Décomposition en éléments simples de première espèce Décomposition en éléments simples de deuxième espèce Intégrtion des frctions rtionnelles Quelques chngements de vrible clssiques Fonctions de l forme F(cosx, sin x) Fonctions de l forme F(coshx, sinh x) ( Fonctions de l forme F ) 1/n ) x, ( x+b cx+d Fonctions de l forme F ( x, x 2 + bx + c ) Equtions différentielles linéires du premier ordre Équtions différentielles linéires homogènes d ordre Problème de Cuchy pour les équtions différentielles homogènes Équtions différentielles linéires non homogènes d ordre Méthode de l vrition de l constnte Rccord de deux solutions Un exemple élémentire Un deuxième exemple Applictions des équtions différentielles Courbes plnes prmétrées Arcs de courbes prmétrés Dérivées, développements limités Tngente à un rc de courbe prmétré Droites du pln Tngente en un point d un rc de courbe prmétré Tngente en un point sttionnire Position de l courbe pr rpport à s tngente Brnches infinies Exemple d étude d un rc prmétré Index

6 6 Tble des Mtières

7 Avnt-Propos L rédction de ce polycopié bénéficié de versions préliminires, d une prt le polycopié Suites Numériques de Jen-Pierre Dedieu et Jen-Clude Ykoubsohn qui servi de bse pour l rédction du chpitre 1 et d utre prt un cours polycopié de Solenn Autret correspondnt à cet enseignement. Nous remercions tout prticulièrement Solenn Autret qui nous fourni les fichiers des figures utilisées ici.

8 8 Tble des Mtières

9 1. Rppels 1.1 Nombres réels Définition 1.1 Le corps des nombres réels, que l on note R, est défini xiomtiquement de l fçon suivnte : c est un corps commuttif, totlement ordonné, qui vérifie l xiome de l borne supérieure. Dns les lignes qui suivent nous llons préciser ces termes Corps commuttif Définition 1.2 Un corps commuttif K est un ensemble équipé de deux opértions notées + et qui vérifient : (K, +) groupe commuttif + b = b + + (b + c) = ( + b) + c + 0 = 0 + = + ( ) = ( ) + = 0 (K, ) groupe commuttif b = b (bc) = (b)c 1 = 1 = 1 = 1 = 1, ( 0) (b + c) = b + c Totlement ordonné Définition 1.3 Un corps (K, ) est totlement ordonné lorsque, pour tout, b, c K, l reltion vérifie :, b et b = b b et b c c b ou b réflexivité ntisymétrie trnsitivité ordre totl et lorsqu elle est comptible vec l ddition et l multipliction : b + c b + c b et c 0 c bc.

10 10 Rppels Borne inférieure, supérieure Définition 1.4 Soit A une prtie de R et soit R. On dit que est un mjornt de A si pour tout x A on x, est un minornt de A si pour tout x A on x, A est mjoré s il un mjornt, A est minoré s il un minornt, A est borné s il est mjoré et minoré. Exemple 1.1 L intervlle ]0, 1] est borné : 2 est un minornt, 2 est un mjornt. Proposition 1.1 Lorsque A est mjoré et non-vide, l ensemble des mjornts de A est un intervlle illimité à droite : si est un mjornt de A et si b lors b est un mjornt de A. Axiome de l borne supérieure. Soit A R mjoré et non-vide. L ensemble des mjornts de A est du type [M, + [. On ppelle M l borne supérieure de A. On l note M = supa. Proposition 1.2 Lorsque A est minoré et non-vide, l ensemble des minornts de A est du type ],m]. On ppelle m l borne inférieure de A. On l note m = inf A. Définition 1.5 Si l borne supérieure M (resp. inférieure m) de A est un élément de A on l ppelle le mximum 1 ou le plus grnd élément de A (resp. le minimum ou le plus petit élément de A). On note lors M = mxa (resp. m = min A). Exemple 1.2 L ensemble des mjornts de ]0, 1[ est l intervlle [1, + [. Ainsi, sup ]0, 1[= 1 et mx ]0, 1[ n existe ps. L ensemble des mjornts de ]0, 1] est l intervlle [1, + [ mis cette fois-ci mx ]0, 1] = 1. Une crctéristion de l borne supérieure est donnée pr l proposition suivnte : Proposition 1.3 Soit A une prtie mjorée et non vide de R. Il y équivlence entre 1. M = sup A, 2. M est le plus petit des mjornts de A, 3. M est un mjornt de A et, pour tout ǫ > 0, il existe x A tel que M ǫ < x. On une proposition similire pour l borne inférieure : 1 Au féminin de l djectif le dictionnire de l Acdémie donne mxim et l lngue technique utilise tntôt mximum (vitesse mximum), tntôt mxim (tempérture mxim). Pluriel cournt des mximums, comme des lbums ou des pensums, le pluriel ltin mxim étnt réservé à l lngue scientifique. Les mthémticiens disent u pluriel des mxim, mis les grmmiriens demndent qu on trite le mot comme frnçis et qu on dise des mximums.

11 1.2 Suites 11 Proposition 1.4 Soit A une prtie minorée et non vide de R. Il y équivlence entre 1. m = inf A 2. m est le plus grnd des minornts de A, 3. m est un minornt de A et, pour tout ǫ > 0, il existe x A tel que x < m + ǫ. Définition 1.6 Soit f : E R où E est un ensemble quelconque. On note et idem pour min, sup et mx. inf f(x) = inf {f(x) x E} x E R est rchimédien Théorème 1.1 R est rchimédien, c est à dire que, pour tout x R, il existe un entier n N tel que x < n. Démonstrtion. Si x 0 on prend n = 1. Supposons que x > 0. L ensemble A = {k N : k x} est mjoré pr x et contient 0. Nous pouvons donc considérer s borne supérieure M = sup A. Prenons ǫ = 1/2. D près l proposition 1.3 il existe k A tel que M 1/2 < k M de sorte que M < M +1/2 < k +1 et que k +1 / A (sns quoi M ne serit ps le supremum de A). Ainsi, k+1 > x et on prend n = k Q est dense dns R Proposition 1.5 Entre deux réels il y toujours un rtionnel : pour tout x et y R vec x < y, il existe un rtionnel p/q tel que x < p/q < y. On dit que Q est dense dns R. Démonstrtion. Pr le théorème 1.1, il existe un entier q > 0 tel que 1/(y x) < q insi qu un entier n > 0 tel que qx < n. L ensemble A = {n N : qx < n} est minoré pr 1 et non vide. Admettons que tout ensemble non vide d entiers, ici A N, possède un minimum. Notons p = min A. On donc p 1 qx < p de sorte que qx < p qx + 1 et x < p/q x + 1/q < y pr l première inéglité. 1.2 Suites Définition 1.7 Une suite numérique est une ppliction u : N R. On dit que v est une sous-suite d une suite u lorsque v = u k où k : N N est une ppliction strictement croissnte. Une suite u se note trditionnellement u = (u n ) n 0 (ou, plus simplement, (u n )) et une sous-suite v = u k = (u kn ) n 0.

12 12 Rppels Définition de l limite Définition 1.8 On dit que l suite u = (u n ) n 0 dmet une limite l qund n tend vers l infini si pour tout ǫ > 0, il existe un entier n 0 0 tel que pour tout n n 0 on u n l ǫ. On dit ussi que l suite u converge vers l ou encore que l suite u est convergente et on note lim n + u n = l Définition 1.9 On dit que l suite u = (u n ) n 0 pour limite (resp. ) qund n tend vers l infini si pour tout M > 0, il existe un entier n 0 0 tel que pour tout n n 0 on u n M (resp. u n M). On note lim u n = ( resp. lim u n = ). n + n + Théorème 1.2 L limite d une suite est unique Stbilité des limites Proposition 1.6 Soient u = (u n ) n 0 et v = (v n ) n 0 deux suites ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies). Alors, pour utnt que les opértions envisgées soient définies, 1. L suite u + v pour limite l + m, 2. L suite uv pour limite lm, 3. Sous l condition u n 0 pour tout n et l 0, l suite 1/u pour limite 1/l, 4. L suite λu pour limite λl, 5. L suite u pour limite l. Noter que les formes suivntes sont indéterminées : +( ), 0, 1/0, /. Proposition 1.7 Soient u = (u n ) n 0 et v = (v n ) n 0 deux suites ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies). Si u n v n pour tout n 0 lors l m Attention! u n < v n pour tout n 0 n implique ps l < m! Convergence monotone Définition 1.10 Une suite u est croissnte lorsque u n u n+1 pour tout n 0, décroissnte si u n u n+1 pour tout n 0. Une suite est mjorée (resp. minorée) lorsqu il existe A tel que u n A (resp. u n A) pour tout n 0. Une suite est bornée lorsqu elle est mjorée et minorée.

13 1.2 Suites 13 Théorème 1.3 Lorsqu une suite u est croissnte (resp. décroissnte) et mjorée (resp. minorée) elle converge vers l = sup {u n : n 0} (resp. l = inf {u n : n 0}). Lorsqu une suite u est croissnte (resp. décroissnte) et n est ps mjorée (resp. minorée) s limite est (resp. ). Définition 1.11 Deux suites u et v sont djcentes lorsque u est croissnte et v est décroissnte, lim n v n u n = 0 Proposition 1.8 Deux suites djcentes convergent vers l même limite l R. De plus u n l v n pour tout n 0. Théorème 1.4 (Bolzno - Weierstrss) Toute suite bornée possède une sous-suite convergente Suites de Cuchy Définition 1.12 Une suite u est de Cuchy si ( ǫ > 0) ( N N) ( n N) ( m N) u n u m ǫ. Remrque 1.1 Il revient u même de dire que ( ǫ > 0) ( N N) ( n N) ( p 0) u n u n+p ǫ. Cel revient à supposer que m n et à prendre m = n + p dns l définition précédente. Théorème 1.5 Une suite est convergente si et seulement si elle est de Cuchy. Démonstrtion. Soit u une suite de Cuchy. Notons N(ǫ) un entier tel que Cette suite est bornée. En effet, pour tout n N(1) 1 et ( n N) ( m N) u n u m ǫ. u n mx { u k, 0 k N(1) 1} u n u m 1 pour tout n et m N(1). On en déduit que u n u n u N(1) + u N(1) u n u N(1) + u N(1) 1 + u N(1)

14 14 Rppels pour tout n N(1). Ainsi, pour tout n N, on toujours u n mx { u 0,..., u N(1) 1, 1 + u N(1) }. En vertu du théorème de Bolzno-Weirstrss, il existe une sous-suite de u qui est convergente : il existe une suite strictement croissnte d entiers k = (k n ) telle que lim n u kn = l utrement dit, pour tout ǫ > 0, il existe un entier M(ǫ) tel que, pour tout k n M(ǫ) on u kn l ǫ. Montrons que u pour limite l. Donnons nous ǫ > 0 insi qu un terme de l soussuite u kp vec k p M(ǫ/2) et k p N(ǫ/2). Un tel entier existe puisque limk n =. Pour tout n N(ǫ/2) on u n l = (u n u kp ) + (u kp l) u n u kp + u kp l ǫ 2 + ǫ 2 = ǫ et le théorème est prouvé. Exemple 1.3 Soit b un entier b 2. Pour tout n 1 on se donne un entier x n {1 b,..., 1, 0, 1,...,b 1}. L suite s n = n k=1 x k b k est convergente Limites clssiques 1. lim n + n, Z () Si = 0 lors l suite est constnte : n 0 = 1. (b) Si 1 lors n n et lim n = +. (c) Si 1 lors n = 1/n lors limn = 0. P(n) 2. lim, P et Q sont des polynômes n + Q(n) Supposons que vec d 0 et que P(x) = x +... d x d Q(x) = b 0 + b 1 x +...b e x e vec b e 0. P(n) () Si d < e lors lim n + Q(n) = 0, P(n) (b) Si e < d lors lim n + Q(n) = ±, le signe étnt celui de d/b e,

15 1.3 Limites de fonctions 15 P(n) (c) Si d = e lors lim n + Q(n) = d. b d 3. lim n + rn, r R () Si r 1 cette suite n ps de limite. (b) Si r > 1 lors limr n = +. (c) Si 1 < r < 1 lors limr n = lim n + 1/n = 1, > 0 n 5. lim = +, > 1 et p N n + np 6. lim n + n n p = 0, > 1 et p N n 7. lim n + n! = Limites de fonctions Intervlles On ppelle intervlle un ensemble du type ],b[, ],b], [,b[, [,b] vec < b < ou bien ],b[, ],b], ], [, [, [, ], [. Noter que =], [ et R =], [ sont des intervlles. Un intervlle est ouvert s il est du type ],b[, ],b[, ], [ ou ], [, Un intervlle est fermé s il est du type, [,b], ],b], [, [ ou ], [, Un intervlle est borné s il est du type ],b[, ],b], [,b[, [,b], Un intervlle est compct s il est fermé et borné donc du type [,b] Définition des limites Définition 1.13 (Limites finies) Soient f :], b[ R, c [, b] et l R. 1. (Limite) lim x c f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec x c η et x c, on f(x) l ε. 2. (Limite à guche) lim x c,x<c f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c η x < c, on f(x) l ε. 3. (Limite à droite) lim x c,x>c f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c < x c + η, on f(x) l ε. 4. (Limite à l infini) Lorsque f :], [ R on dit que lim x f(x) = l lorsque : pour tout ε > 0, il existe M > tel que, pour tout x M, on f(x) l ε.

16 16 Rppels Définition 1.14 (Limites infinies) Soient f :], b[ R et c [, b]. 1. lim x c f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec x c η et x c, on f(x) N. 2. (Limite à guche) lim x c,x<c f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c η x < c, on f(x) N. 3. (Limite à droite) lim x c,x>c f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe η > 0 tel que, pour tout x I vec c < x c + η, on f(x) N. 4. (Limite à l infini) Lorsque f :], [ R on dit que lim x f(x) = lorsque : pour tout N > 0, il existe M > tel que pour tout x M on it f(x) N. Proposition 1.9 (Unicité) L limite est unique. Proposition 1.10 L limite en un point existe si et seulement si les limites à droite et à guche existent en ce point et sont égles Limites de fonctions et limites de suites Théorème 1.6 Soient f : I R, c I et l R = R {, }. On lim x c f(x) = l si et seulement si lim n f(u n ) = l pour toute suite (u n ) telle que u n I et u n c pour tout n 0 et lim n u n = c Stbilité des limites Proposition 1.11 (Opértions lgébriques) Soient f, g : I R deux fonctions ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies) lorsque x c (c est dns I ou bien c est l une des bornes, éventuellement infinie, de I). Alors, pour utnt que les opértions envisgées soient licites, 1. lim x c f(x) + g(x) = l + m, 2. lim x c f(x)g(x) = lm, 3. Sous l condition f(x) 0 pour tout x I et l 0, lim x c 1/f(x) = 1/l, 4. lim x c λf(x) = λl. Proposition 1.12 (Composition des pplictions) Soient I et J deux intervlles et c I. Soit f : I J et supposons que que lim x c f(x) = l J. Soit g : J R tel que lim y l g(y) = m. Alors, on lim x c g f(x) = m. Proposition 1.13 (Inéglités) Soient f, g : I R deux fonctions ynt pour limites respectives l et m (finies ou infinies) lorsque x c (c est dns I ou bien c est l une des bornes, éventuellement infinie, de I). Si f(x) g(x) pour tout x I lors l m. Attention! f(x) < g(x) pour tout x I n implique ps l < m!

17 1.3 Limites de fonctions Limite et supremum Proposition 1.14 Soient f : I R une fonction croissnte (pour tout x,y I, si x y lors f(x) f(y)). Notons b = supi si I est mjoré et b = sinon. Sous cette hypothèse, si f est mjorée sur I lim x b f(x) = supf(x) x I et sinon lim f(x) =. x b

18 18 Rppels

19 2. Fonctions continues Dns tout ce chpitre I désigne un intervlle. L définition de l continuité présentée ici est essentiellement due à Cuchy. Augustin Louis Cuchy, Définitions et propriétés élémentires Définition 2.1 Soit f : I R. f est continue à droite en c I lorsque f est continue à guche en c I lorsque lim f(x) = f(c). x c,x>c lim f(x) = f(c). x c,x<c f est continue en c I si et seulement si lim x c f(x) = f(c). f est continue sur I si et seulement si elle est continue en tout point de I. On écrit ussi lim x c + f(x) et lim x c f(x) pour les limites à droite et à guche. Remrque 2.1 A l ide des quntificteurs, l définition de l continuité en c I se trduit insi : ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η f(x) f(c) ε). Le nombre η dépend à l fois de ε et de c ; on le note donc η = η(ε,c). f est discontinue en c lorsque ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η et f(x) f(c) > ε). Exemple 2.1 (Exemples de fonctions continues) 1. Les fonctions constntes (f(x) = ), 2. L fonction identité (f(x) = x), 3. L vleur bsolue (f(x) = x ), 4. Toute fonction lipschitzienne (f : I R est lipschitzienne s il existe λ > 0 tel que, pour tout x,y I, on it f(x) f(y) λ x y ).

20 20 Fonctions continues 5. Les polynômes, les frctions rtionnelles (suf ux pôles), 6. Les fonctions trigonométriques sin et cos, 7. Les fonctions puissnce (f(x) = x, x > 0), exponentielle (f(x) = α x, α > 0), logrithme. Proposition 2.1 Soient f : I R et c I. f est continue en c I si et seulement si f est continue à guche et à droite de c. Proposition 2.2 Soient f : I R et c I. f est continue en c si et seulement si pour toute suite (u n ) telle que u n I et lim u n = c on lim f(u n ) = f(c). Démonstrtion. Si f est continue en c lors pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que f(x) f(c) ε pour tout x I tel que x c η. Prenons une suite (u n ) dns I qui converge vers c et montrons que l suite (f(u n )) converge vers f(c). Soit ε > 0, soit η > 0 comme ci-dessus. Puisque l suite (u n ) converge vers c il existe N N tel que u n c η pour tout n N. Pr continuité de f on f(u n ) f(c) ε pour tout n N. Si f n est ps continue en c, il existe ε > 0 tel que, pour tout η > 0, il existe x η I vérifint x η c η et f(x η ) f(c) > ε. On construit une suite u n c en prennt u n = x η vec η = 1/n. Comme f(u n ) f(c) > ε pour tout n l suite (f(u n )) ne converge ps vers f(c). Exemple 2.2 (Exemples de fonctions discontinues) 1. L fonction f(x) = 1/x si x 0 et f(0) = 0 est discontinue en 0, 2. L fonction prtie entière (f(x) = E(x), encore notée x ) est discontinue en tout point entier, 3. L fonction définie pr f(x) = 0 si x R \ Q et f(x) = 1/q si x Q vec x = p/q, p Z, q N \ {0}, p et q premiers entre eux, est continue en tout point irrtionnel et discontinue en tout point rtionnel. Proposition 2.3 (Prolongement pr continuité) Soit f : I R R une fonction continue sur I =],b[. Supposons que lim x b f(x) = l R. Alors, l ppliction f définie pr f(x) = f(x) si x < b et f(b) = l est continue. On l ppelle le prolongement pr continuité de f à ],b]. Exemple 2.3 Puisque lim x 0 sin x/x = 1 on peut prolonger pr continuité l fonction sinx/x à R tout entier en lui donnnt l vleur 1 à l origine. 2.2 Propriétés lgébriques Proposition 2.4 L continuité est stble pr les opértions élémentires : si f et g sont continues en c I lors f + g, λ f (λ R), f g, f/g (si g(x) 0 pour tout x I) et mx(f,g) sont continues en c.

21 2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct 21 Démonstrtion. Pour l somme : notons η(c,f,ε) > 0 et η(c,g,ε) > 0 les nombres ssociés à f et g de l remrque 2.1. Soit ε > 0 et soit η = min(η(c,f,ε/2), η(c,g,ε/2)). Pour tout x I tel que x c η on x c η(c,f,ε/2) de sorte que f(x) f(c) ε/2. De l même mnière g(x) g(c) ε/2. Pr l inéglité du tringle on : (f(x) + g(x)) (f(c) + g(c)) f(x) f(c) + g(x) g(c) ε 2 + ε 2 = ε. Pour le mx : une première réduction consiste à écrire que mx(f(x),g(x)) = g(x) + mx(f(x) g(x), 0). Il suffit donc de prouver que si f est continue en c lors mx(f(x), 0) est continue en c. Pour ce fire on envisge trois cs : 1. f(c) > 0. L définition de l continuité vec ε = f(c)/2 prouve l existence d un η > 0 tel que f(c) f(x) f(c) f(c) 2 2 de sorte que f(x) f(c)/2 > 0 pour tout x I, x c η. Sur l ensemble I [c η,c + η] l fonction f est > 0 et donc mx(f(x), 0) = f(x) qui est continue en c. 2. f(c) < 0. On risonne de l même mnière mis ici mx(f(x), 0) = f(c) = 0. Dns ce cs mx(f(c), 0) = 0 et l on doit prouver que ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η mx(f(x), 0) ε). Comme mx(f(x), 0) f(x) il suffit de prouver que ( ε > 0) ( η > 0) ( x I) ( x c η f(x) ε) ce qui est donné pr l continuité de f en c. Proposition 2.5 Soient I et J deux intervlles, f : I J, g : J R et c I. Si f est continue en c et g continue en f(c) lors g f est continue en c. Démonstrtion. Soit ε > 0 et soit η > 0 tel que g(y) g(f(c)) ε si y f(c) η. Un tel η existe prce que g est continue en f(c). Soit θ > 0 tel que f(x) f(c) η pour tout x I dès que x c θ. Un tel θ existe prce que f est continue en c. On bien g(f(x)) g(f(c)) ε si x c θ. 2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct Le théorème de Weierstrss Krl Theodor Wilhelm Weierstrss,

22 22 Fonctions continues Théorème 2.1 Soit f : [,b] R une fonction continue. Alors l ensemble f([,b]) = {f(x) : x [,b]} est borné et il existe x m [,b] et x M [,b] tels que f(x m ) = inf x [,b] f(x) = min x [,b] f(x) et f(x M ) = sup x [,b] f(x) = mx x [,b] f(x). Remrque 2.2 Les hypothèses de ce théorème sont essentielles : Prenons f(x) = x si 0 x < 1, f(1) = 1/2. Alors sup 0 x 1 f(x) = 1 mis ce n est ps un mximum (f est discontinue en 1). L fonction f(x) = 1/x si 0 < x 1 n est ps bornée sur l intervlle considéré. Dns cet exemple f est continue, l intervlle considéré est borné mis n est ps fermé. Considérons f(x) = exp(x) si < x 0. On inf <x 0 exp(x) = 0 mis ce n est ps un minimum. Ici f est continue et l intervlle considéré est fermé mis il n est ps borné. Démonstrtion. Montrons que f est mjorée, risonnons pr l bsurde. Supposons que l ensemble {f(x) : x [,b]} ne soit ps mjoré. Pour tout n N il existe c n [,b] tel que f(c n ) n. L suite (c n ) est bornée. D près le théorème de Bolzno- Weierstrss (théorème 1.4) il existe une sous-suite (c kn ) de (c n ) qui converge vers une limite c. Comme c kn b pr pssge à l limite dns cette inéglité c b et puisque f est continue sur [,b], lim n + f(c kn ) = f(c). D utre prt, pr construction, f(c kn ) k n pr conséquent, f(c) = lim n + f(c kn ) = ce qui est bsurde. Notons M = sup x [,b] f(x). Pr l proposition 1.3, pour tout entier n > 0, il existe c n [,b] tel que M 1 < f(c n n) M. Pr le théorème de Bolzno-Weierstrss (théorème 1.4), il existe une sous-suite (c kn ) de (c n ) qui converge vers une limite x M [,b]. Pr continuité, lim n + f(c kn ) = f(x M ) et pr pssge à l limite dns l inéglité ci-dessus lim n + f(c kn ) = M. Ainsi, f(x M ) = M et le sup est tteint en x M, c est donc un mx! Le théorème des vleurs intermédiires Ce théorème est du à Bolzno. Bernrd Plcidus Johnn Nepomuk Bolzno, Théorème 2.2 Soit f : I R une fonction continue définie sur un intervlle I R, borné ou non, fermé ou non. Pour tout,b I et tout nombre y compris entre f() et f(b), il existe c [,b] tel que y = f(c). Démonstrtion. Soit y compris entre f() et f(b). L ensemble {x [,b] : f(x) y} est non vide (si pr exemple f() y f(b) lors est dns l ensemble) et il est

23 2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct 23 mjoré pr b. Il dmet donc une borne supérieure c = sup{x [,b] : f(x) y}. Montrons que y = f(c). Pr l proposition 1.3, pour tout entier n > 0, il existe x n [,b] vec f(x n ) y et tel que c 1 n < x n c. L suite (x n ) converge donc vers c. Puisque f(x n ) y et que f est continue, pr pssge à l limite dns cette inéglité on obtient f(c) y. Montrons mintennt que y f(c). Supposons que f() y f(b). Si c = b c est évident. Si c < b, puisque c est l borne supérieure, on y < f(x) pour tout x ]c,b]. En fisnt tendre x vers c et puisque f est continue, on obtient y f(c). Le cs f(b) y f() se trite de l même mnière. Corollire Si f : [,b] R est continue et si f()f(b) 0 lors il existe c [,b] tel que f(c) = Tout polynôme à coefficients réels et de degré impir possède une rcine réelle. 3. Toute fonction continue g : [,b] [,b] dmet un point fixe : il existe c [,b] tel que g(c) = c. On peut résumer le théorème des vleurs intermédiires et le théorème de Weierstrss en l énoncé suivnt : Corollire 2.2 L imge d un intervlle pr une ppliction continue est un intervlle, l imge d un intervlle compct pr une ppliction continue est un intervlle compct Continuité uniforme Définition 2.2 Soit f : I R. On dit que f est uniformément continue sur I lorsque pour tout ε > 0 il existe η > 0 tel que pour tout x,y I tels que x y η on f(x) f(y) ε. Remrque 2.3 L définition «epsilonesque» de l continuité est ( x I) ( ε > 0) ( η(ε,x) > 0) ( y I) ( x y η f(x) f(y) ε) et celle de l continuité uniforme ( ε > 0) ( η(ε) > 0) ( x I) ( y I) ( x y η f(x) f(y) ε). Dns le premier cs η dépend de x et ε, dns le second cs η ne dépend que de ε. Proposition 2.6 Toute fonction uniformément continue est continue. Exemple 2.4 Toute fonction lipschitzienne f : I R est uniformément continue sur I. f(x) = x 2 n est ps uniformément continue sur R. Démonstrtion. Soit λ > 0 tel que f(x) f(y) λ x y pour tout x,y I ; on peut prendre η = ε/λ. Pour obtenir x 2 y 2 ε il fut que x y ε/ x+y. Il fut donc prendre η ε/ x+y pour tout x,y R tels que x+y 0. Héls inf {ε/ x + y : x + y 0} = 0 et un tel η ne surit être > 0.

24 24 Fonctions continues Le théorème de Heine Heinrich Edurd Heine Théorème 2.3 Toute fonction continue sur un intervlle compct est uniformément continue sur cet intervlle. Démonstrtion. Soit f : [,b] R continue. Si f n est ps uniformément continue lors il existe ε > 0 tel que pour tout η > 0 il existe x η et y η [,b] vec x η y η η et f(x η ) f(y η ) > ε. Prenons η = 1/n où n est un entier positif. On obtient insi deux suites (x n ) et (y n ) qui vérifient x n,y n [,b], x n y n 1/n et f(x n ) f(y n ) > ε. En utilisnt le théorème de Bolzno-Weierstrss (théorème 1.4) on peut extrire de ces suites deux sous-suites convergentes (x kn ) et (y kn ). Comme x kn y kn 1/k n elles ont une limite commune l. Comme ε < f(x kn ) f(y kn ) et puisque f est continue on ε lim n f(x kn ) f(y kn ) = f(l) f(l) = 0 ce qui est bsurde. Exemple 2.5 f(x) = x 2 est uniformément continue sur [0,M]. On peut prendre η = inf {ε/ x + y : 0 x,y M} qui est un nombre > 0. Que vut-il? Fonctions en esclier Définition 2.3 Une fonction g : [,b] R est dite en esclier s il existe une subdivision de l intervlle [,b] : = 0 < 1 <... < n 1 < n = b et des nombres réels c k tels que g(x) = c k pour tout x ] k 1, k [ et 1 k n. Remrque 2.4 Les nombres c k n ont ucun lien vec les vleurs g( k ). Une telle fonction peut donc être discontinue ux points k mis elle possède en tout point une limite à droite et une limite à guche. Théorème 2.4 Toute fonction continue sur un intervlle compct peut être pprochée uniformément sur cet intervlle pr une fonction en esclier. Autrement dit : soit f : [,b] R continue et soit ε > 0. Il existe une fonction en esclier g : [,b] R telle que f(x) g(x) ε pour tout x [,b]. Démonstrtion. Pr le théorème 2.3 f est uniformément continue. Il existe donc η > 0 tel que x y η f(x) f(y) ε. Prenons n = (b )/η et définissons une fonction en esclier pr ( g(x) = f + k b ) [ lorsque x + k b [, + (k + 1)b, 0 k n 1, n n n

25 2.3 Propriétés des fonctions continues sur un intervlle compct 25 et g(b) = f(b). Lorsque x [ [ + k b, + (k + 1)b n n on ( f(x) g(x) = f(x) f + k b ) ε n prce que Lorsque x = b on f(x) g(x) = 0. ( x + k b ) η. n

26 26 Fonctions continues

27 3. Dérivtion Pierre de Fermt ( ), juriste et mthémticien frnçis, est un précurseur du clcul différentiel : il est le premier à utiliser l formule (sinon le concept) du nombre dérivé. Blise Pscl, dns l première moitié du XVII e siècle, le premier mené des études sur l notion de tngente à une courbe - lui-même les ppelit «touchntes». Dès l seconde moitié du XVII e siècle, le clcul différentiel et intégrl connut une vncée prodigieuse grâce ux trvux de Newton et de Leibniz. Le mrquis de l Hospitl prticip ussi à l fin du XVII e à étoffer cette nouvelle théorie, notmment en utilisnt l dérivée pour clculer une limite dns le cs de formes indéterminées prticulières. Il est possible, à l ide de l notion de dérivée, de crctériser les points du grphe d une fonction dmettnt une tngente. L pluprt des fonctions continues intervennt dns les clculs usuels sont dérivbles suf en certins points isolés. Il est nturel de svoir si cette propriété est vrie pour toutes les fonctions continues. En 1872, Krl Weierstrss ( ) donné une réponse négtive à cette question en définissnt une fonction continue qui n est dérivble en ucun point (f(x) = n=0 cos(3n x)/2 n ). 3.1 Définition de l dérivée en un point Dérivée en un point Définition 3.1 Soit f une fonction réelle définie sur un intervlle ],b[, et soit x 0 ],b[. On dit que f est dérivble en x 0 si le rpport f(x 0 + h) f(x 0 ) h dmet une limite dns R qund h 0, ou de mnière équivlente, si le rpport f(x) f(x 0 ) x x 0 dmet une limite dns R qund x x 0. Cette limite est notée f (x 0 ) (ou ussi df dx (x 0)) et est ppelée dérivée (ou prfois ussi nombre dérivé ) de f en x 0. Le rpport f(x) f(x 0) x x 0 est ppelé tux d ccroissement de f en x 0.

28 28 Dérivtion Interpréttion géométrique de l dérivée. Avec les nottions de l définition, si M 0 est le point (x 0,f(x 0 )) du grphe de f, et M le point (x,f(x)), le rpport f(x) f(x 0 ) x x 0 désigne l pente de l droite (M 0 M) dns un repère orthonormé. Lorsque f est dérivble en x 0, ce rpport dmet une limite lorsque x x 0, et cette limite est l pente de l tngente u grphe de f u point M 0. Exemple. Soit f définie pr f(x) = x n. De l identité x n x n 0 x x 0 = x n 1 + x n 2 x x n 2 0 x + x n 1 0 vec x x 0, on déduit que f est dérivble en tout point x 0 R, et que f (x 0 ) = nx n 1 0. L proposition suivnte nous donne un critère de dérivbilité qui ser utile pour l suite. Proposition 3.1 Soit f :],b[ R et soit x 0 ],b[. Il y équivlence entre les trois énoncés suivnts : (i) f est dérivble en x 0. (ii) Il existe un réel l et une fonction ε définie sur ],b[ tels que f(x) = f(x 0 ) + l (x x 0 ) + (x x 0 )ε(x) et lim x x0 ε(x) = 0. Dns ce cs l = f (x 0 ). (iii) Il existe un réel l tel que et l = f (x 0 ). f(x) f(x 0 ) l (x x 0 ) lim = 0, x x 0 x x 0 Démonstrtion. (i) (ii). Il suffit de poser ε(x) = f(x) f(x 0) f (x 0 ) (x x 0 ) x x 0 si x x 0 et ε(x 0 ) = 0. (ii) (iii). évident. (iii) (i). évident. Proposition 3.2 Soit f :],b[ R et soit x 0 ],b[. Si f est dérivble en x 0 lors f est continue en x 0. Démonstrtion. Pour x x 0, nous vons f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) x x 0 (x x 0 ). En pssnt à l limite dns cette identité, nous vons f(x) f(x 0 ) lim (f(x) f(x 0 )) = lim lim (x x 0 ) = f (x 0 ) 0 = 0. x x 0 x x0 x x 0 x x0

29 3.1 Définition de l dérivée en un point. 29 Définition 3.2 On dit que f est dérivble sur ],b[ lorsque f est dérivble en tout point de ],b[. Dns ce cs l fonction x f (x), définie sur ],b[, est ppelée fonction dérivée de f et est notée f Dérivées à guche, à droite Il existe des fonctions (pr exemple x x ) non dérivbles en un point mis telles que leur tux d ccroissement en ce point dmette une limite finie à guche et/ou à droite. Ceci nous mène à l définition suivnte. Définition 3.3 (i) Soit f : [,b[ R. L fonction f est dérivble à droite en si f(x) f() lim existe. Cette limite est notée f x + d (). Nous dirons que f est dérivble x sur [,b[ lorsque f est dérivble dns ],b[ et à droite en. f(x) f(b) (ii) Soit f :],b] R. L fonction f est dérivble à guche en b si lim x b x b existe. Cette limite est notée f g(b). (iii) Nous dirons que f est dérivble sur ],b] lorsque f est dérivble dns ],b[ et à guche en b. Nous dirons que f est dérivble sur [,b[ lorsque f est dérivble dns ],b[ et à droite en. Nous dirons que f est dérivble sur [,b] lorsque f est dérivble dns ],b[, à droite en, et à guche en b. Exemple. Si f(x) = x, lors f d (0) = 1 et f g(0) = 1. Proposition 3.3 Soit f :],b[ R R,x 0 ],b[. Alors f est dérivble en x 0 si et seulement si f est dérivble à guche en x 0, f est dérivble à droite en x 0 et f g(x 0 ) = f d (x 0) Grphe et tngente Soit f une fonction dérivble en x 0 ],b[. Dns un repère (O, i, j) l tngente u grphe de f u point (x 0,f(x 0 )) pour éqution y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Rppelons que l éqution de l sécnte pssnt pr les points (x 0,f(x 0 )) et (x 1,f(x 1 )) est y = f(x 0 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ). Lorsque les dérivées à guche et à droite ne sont ps égles, on introduit l notion de demi-tngente. Si f est dérivble à droite (resp. à guche) en x 0, l courbe représenttive de f dmet une demi-tngente à droite (ou à guche) u point (x 0,f(x 0 )). Les équtions de ces droites sont respectivement : y = f(x 0 ) + f d(x 0 )(x x 0 ) et y = f(x 0 ) + f g(x 0 )(x x 0 ). Tngente prllèle à j. Si f est continue en x 0, mis n est ps dérivble en x 0, et si f(x) f(x lim 0 ) f(x) f(x x x0 x x 0 = ou si lim 0 ) x x0 x x 0 =, lors, dns un repère (O, i, j), le grphe de f en x 0 dmet une tngente prllèle à j.

30 30 Dérivtion 3.2 Règles de clcul Proposition 3.4 Soit I =],b[ un intervlle de R, x 0 I, et soient f et g deux fonctions de I dns R dérivbles en x 0. Alors : (i) Pour tout λ R, l fonction λf est dérivble en x 0 et (λf) (x 0 ) = λf (x 0 ). (ii) L fonction f + g est dérivble en x 0 et (iii) L fonction fg est dérivble en x 0 et (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ). (iv) Si de plus, g(x 0 ) 0, l fonction f/g est dérivble en x 0 et ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ). g g(x 0 ) 2 Démonstrtion. (iv) Posons q = f g. Comme g est dérivble en x 0, elle est continue en ce point. Pr conséquent il existe un intervlle [x 0 η,x 0 + η] I sur lequel g ne s nnule ps. Pour tout x [x 0 η,x 0 + η], vec x x 0, nous vons q(x) q(x 0 ) x x 0 = f(x)/g(x) f(x 0)/g(x 0 ) x x 0 = f(x)g(x 0) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 )(x x 0 ) = f(x)g(x 0) f(x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g(x) g(x)g(x 0 )(x x 0 ) ( 1 f(x) f(x0 ) = g(x 0 ) + f(x 0 ) g(x ) 0) g(x). g(x)g(x 0 ) x x 0 x x 0 Nous obtenons l identité souhitée en pssnt à l limite qund x x 0 dns cette églité : q q(x) q(x 0 ) (x 0 ) = lim x x0 x x 0 ( 1 f(x) f(x0 ) = lim g(x 0 ) + f(x 0 ) g(x ) 0) g(x) x x0 g(x)g(x 0 ) x x 0 x x 0 = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g(x 0 ) 2.

31 3.3 Dérivées des fonctions usuelles Dérivées des fonctions usuelles Fonction Fonction dérivée Domine de dérivtion λ R 0 R x n, n N nx n 1 R x n, n Z nx n 1 R \ {0} sin(x) cos(x) R cos(x) sin(x) R tn(x) 1 cos 2 (x) = 1 + tn2 (x) ] π 2 + kπ, π 2 + kπ[,k Z e x e x R ln(x) 1 x ]0, + [ 3.4 Dérivée d une fonction composée Soient I et J deux intervlles ouverts de R. Soient f une fonction de I dns J et g une fonction de J dns R. L fonction composée de f pr g, notée g f, est définie sur I pr g f(x) = g(f(x)). Proposition 3.5 Sous les hypothèses énoncées ci-dessus, si f est dérivble en x 0 I et si g est dérivble en f(x 0 ), lors g f est dérivble en x 0 et (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Démonstrtion. Schnt que f est dérivble en x 0 et que g est dérivble en y 0 = f(x 0 ), nous vons f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) vec lim 0 ε f = 0, g(y) = g(y 0 ) + g (y 0 )(y y 0 ) + (y y 0 )ε g (y y 0 ) vec lim 0 ε g = 0. En substitunt f(x) à y dns le développement de g nous obtenons g(f(x)) = g(f(x 0 )) + g (f(x 0 )) ( f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) ) soit encore + ( f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) ) ε g ( f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) ), g(f(x)) = g(f(x 0 )) + g (f(x 0 ))f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε(x x 0 ),

32 32 Dérivtion vec ε(x x 0 ) = g (f(x 0 ))ε f (x x 0 ) + ( f (x 0 ) + ε f (x x 0 ) ) ε g ( f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) ). En utilisnt lim 0 ε f = 0 et lim 0 ε g = 0, nous vérifions que lim 0 ε = 0. Autre preuve. Posons y 0 = f(x 0 ), et soit G l fonction définie sur J pr g(y) g(y 0 ) si y y 0, G(y) = y y 0 g (y 0 ) si y = y 0. Comme l fonction g est dérivble en y 0, l fonction G est continue en y 0. L fonction f est continue en x 0, donc l fonction G f est continue en x 0 et lim (G f)(x) = g (f(x 0 )). x x 0 Soit x I, x x 0. De l définition de G, il découle que (g f)(x) (g f)(x 0 ) = g(f(x)) g(y 0 ) = G(f(x))(f(x) f(x 0 )). Pr conséquent nous vons En pssnt à l limite nous vons (g f)(x) (g f)(x 0 ) lim x x 0 x x 0 (g f)(x) (g f)(x 0 ) x x 0 = G(f(x)) f(x) f(x 0) x x 0. = lim x x0 G(f(x)) lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 = g (f(x 0 ))f (x 0 ). Exemple 1. Soient I un intervlle ouvert de R et f une fonction définie de I dns R. Soit h l fonction définie sur I pr h(x) = (f(x)) n. Si f est dérivble en x 0, lors h est dérivble en x 0 et h (x 0 ) = n(f(x)) n 1 f (x 0 ). En effet, h = g f vec g(y) = y n. Exemple 2. Soient I un intervlle ouvert de R et f une fonction définie de I dns R +. Si f est dérivble en x 0, lors l fonction h définie sur I pr h(x) = ln(f(x)) est dérivble en x 0 et (ln f) (x 0 ) = f (x 0 ) f(x 0 ). ( ) x Exemple 3. Soit h(x) = exp 2. On pose f(x) = x2 et g(x) = exp(x). On 2 2 vérifie que ( ) x (g f) (x) = g (f(x))f 2 (x) = x exp. 2

33 4. Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor 4.1 Extrem d une fonction Définition 4.1 Soit I un intervlle de R et f une fonction de I dns R. Soit x 0 I. On dit que x 0 est un minimun locl de f dns I s il existe α > 0 tel que x [x 0 α,x 0 + α] I, f(x 0 ) f(x). On dit que x 0 est un mximum locl de f dns I s il existe α > 0 tel que x [x 0 α,x 0 + α] I, f(x 0 ) f(x). On dit que x 0 est un minimun globl de f dns I si x I, f(x 0 ) f(x). On dit que x 0 est un mximum globl de f dns I si x I, f(x 0 ) f(x). Un extremum de f dns I est soit un mximum globl soit un minimum globl, et un extremum locl de f dns I est soit un mximum locl soit un minimum locl. Remrques. 1. Le théorème de Weierstrss nous donne l existence des extrem d une fonction f continue, sur un intervlle fermé borné. 2. f peut voir plusieurs extrem locux. 3. f n est ps nécessirement dérivble, voire même continue, u point où elle dmet un extremum. Pr exemple, x x dmet un minimum globl en x 0 = 0 et n est ps dérivble en ce point. Théorème 4.1 Soit f une fonction de [,b] dns R. Si x 0 ],b[ est un extremum locl de f et si f est dérivble en x 0, lors f (x 0 ) = 0.

34 34 Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor Démonstrtion. Nous montrons ce résultt dns le cs où x 0 est un mximum locl de f (le cs d un minimum locl se trite de mnière identique). Soit α > 0 tel que [x 0 α,x 0 + α] I, et tel que c soit un mximum de f dns [x 0 α,x 0 + α]. Nous vons f(x) f(x 0 ) pour tout x [x 0 α,x 0 + α]. Donc En pssnt à l limite nous vons f(x) f(x 0 ) x x 0 0 pour tout x ]x 0,x 0 + α]. f (x 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 0. De même et f(x) f(x 0 ) x x 0 0 pour tout x [x 0 α,x 0 [, f (x 0 ) = lim x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 0. Nous en déduisons que f (x 0 ) = 0, et le théorème est démontré. Pour déterminer les extrem locux et globux de f dns I, on peut les rechercher prmi les points où f s nnule, mis ussi ux extrémités de I et ux points où f n est ps dérivble Fig. 4.1 Extrem de x x(1 x) sur [0, 1]. Cette fonction dmet un mximum globl en x =.5 sur [0, 1], et dmet deux minim globux dns [0, 1] en x = 0 et x = 1.

35 4.2 Théorème de Rolle, théorème des ccroissements finis Théorème de Rolle, théorème des ccroissements finis Théorème de Rolle (Michel Rolle, ) Théorème 4.2 Soit f une fonction continue de [,b] dns R. Si f est dérivble sur ],b[ et si f() = f(b), lors il existe c ],b[ tel que f (c) = 0. Démonstrtion. Nous svons que f([,b]), l imge de [,b] pr f, est un intervlle [m,m]. De plus, il existe x m [,b] et x M [,b] tels que f(x m ) = m et f(x M ) = M. Nous llons distinguer le cs où m = M du cs où m < M. Si m = M, f est constnte sur [,b] et f (x) = 0 pour tout x ],b[. Si m < M, nous vons soit m < f() = f(b) M soit m f() = f(b) < M. Lorsque m = f(x m ) < f() = f(b) M, x m est un minimum de f dns [,b] et x m ],b[. Donc f (x m ) = 0. Lorsque m f() = f(b) < M = f(x M ), x M est un mximum de f dns [,b] et x M ],b[. Donc f (x M ) = 0. M y Tngente u grphe de f f() = f(b) Sécnte u grphe de f m c b x Fig. 4.2 Illustrtion du théorème de Rolle Théorème des ccroissements finis Théorème 4.3 Soit f une fonction continue de [,b] dns R, dérivble dns ],b[. Alors il existe (u moins) un point c ],b[ tel que f(b) f() = f (c)(b ). Démonstrtion. L démonstrtion repose sur le théorème de Rolle. À prtir de l fonction f, nous définissons une fonction g telle que g() = g(b). Posons g(x) = f(x) f(b) f() (x ). b

36 36 Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor Il est évident que g() = g(b), g est continue sur [,b], et g est dérivble dns ],b[. De plus, g (x) = f (x) f(b) f() pour tout x ],b[. D près le théorème de Rolle, il b existe c ],b[ tel que Le théorème est donc démontré. 0 = g (c) = f (c) f(b) f(). b Fonctions réciproques des fonctions strictement monotones Proposition 4.1 Soit f une fonction continue d un intervlle I R dns R, dérivble sur I. 1. f (x) 0 pour tout x I si et seulement si f est croissnte sur I. 2. f (x) 0 pour tout x I si et seulement si f est décroissnte sur I. 3. f (x) = 0 pour tout x I si et seulement si f est constnte sur I. 4. Si f > 0 à l intérieur de I, lors f est strictement croissnte sur I. 5. Si f < 0 à l intérieur de I, lors f est strictement décroissnte sur I. Démonstrtion. (i) Supposons que f (x) 0 pour tout x I. Si x 1 et x 2 sont deux points de I tels que x 1 < x 2, en ppliqunt le théorème des ccroissements finis sur l intervlle [x 1,x 2 ], nous vons f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) 0 vec c ]x 1,x 2 [ (l inéglité découle du fit que f (c) 0). Réciproquement, si f est dérivble sur I et croissnte, lors pour tout x 0 I et tout x I, vec x x 0, nous vons f(x) f(x 0 ) x x 0 0. (Il suffit d utiliser l croissnce de f et de distinguer les cs x < x 0 et x > x 0.) Donc pr pssge à l limite qund x x 0, nous récupérons f (x 0 ) 0. (ii) L deuxième équivlence se démontre de mnière nlogue. (iii) Si f > 0 à l intérieur de I, lors f(x 2 ) f(x 1 ) = f (c)(x 2 x 1 ) > 0 pour tout x 1 I et x 2 I tels que x 1 < x 2. Donc f est strictement croissnte sur I. Le dernier énoncé se démontre de mnière nlogue. Nous pouvons étendre les énoncés 4 et 5 de l proposition précédente u cs où f s nnule en un nombre fini de points.

37 4.2 Théorème de Rolle, théorème des ccroissements finis 37 Proposition 4.2 Soit f une ppliction dérivble sur un intervlle [,b]. Si f (x) 0 pour tout x [,b], (respectivement f (x) 0 pour tout x [,b]) et si f s nnule une seule fois en c ], b[ lors f est strictement croissnte (respectivement strictement décroissnte). Le résultt peut être étendu u cs d une fonction qui s nnule un nombre fini de fois sur l intervlle ],b[. Démonstrtion. On trite le premier cs. Supposons que f ne soit ps strictement croissnte. Alors il existe x, y ], b[, x < y tel que f(x) = f(y). L fonction f étnt croissnte, on f(t) = f(y) pour tout t [x,y]. Or f est dérivble dns ]x,y[. Donc de l proposition précédente, nous déduisons que f = 0 dns ]x,y[. Mis cel contredit le fit que f ne s nnule qu une fois. Théorème 4.4 Soit I =],b[ et f une fonction réelle définie dns I et dérivble dns I. Si f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0) pour tout x I, lors (i) f dmet une limite à droite en dns R (notée α) et une limite à guche en b dns R (notée β), (ii) f est une bijection de I sur J =]α,β[ (respectivement sur J =]β,α[), (iii) l bijection réciproque de f, notée f 1, est dérivble sur J et (f 1 ) (y) = 1 f (x) = 1 f (f 1 (y)) vec y = f(x). En prticulier, f 1 est strictement croissnte (respectivement strictement décroissnte) et nous vons lim f 1 (y) = ( respectivement lim f 1 (y) = b ) y α y α et lim f 1 (y) = b y β ( respectivement lim y α f 1 (y) = ). Démonstrtion. Tritons le cs où f (x) > 0 pour tout x I, l utre cs se trite de mnière nlogue. Nous svons que f est strictement croissnte sur I, donc l limite de f à droite en existe et elle est éventuellement égle à. Notons-l α. De même l limite de f à guche en b existe, notons-là β. Si < x 1 < x 2 < b, nous vons f(x 1 ) < f(x 2 ), donc f est injective. Montrons que f est surjective de I sur J. Soit y J. Étnt donné que lim x x b f(x) = α < y < lim f(x) = β, + il existe 1 et b 1 tels que < 1 < b 1 < b et α < f( 1 ) < y < f(b 1 ) < β. D près le théorème des vleurs intermédiires, il existe c ] 1,b 1 [ tel que f(c) = y. Donc f est une bijection de I sur J. Il existe donc une fonction réciproque g de J dns I. Il est fcile de montrer que g est continue dns J (nous lissons cette question à titre d exercice). Nous vons g(y) g(y 0 ) y y 0 = g(y) g(y 0 ) f(g(y)) f(g(y 0 )),

38 38 Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor pour tout y J, y 0 J, y y 0. En pssnt à l limite, nous obtenons g(y) g(y 0 ) lim y y 0 y y 0 = lim 1 y y0 f(g(y)) f(g(y 0 )) g(y) g(y 0 ) = 1 f (g(y 0 )). L fonction g = f 1 est donc dérivble sur J et l expression de l dérivée est étblie Règle de l Hospitl (Guillume de l Hospitl , élève de Johnn Bernoulli) Proposition 4.3 Soient f et g deux fonctions définies sur un intervlle ouvert I telles que f() = g() = 0 vec I. Si f et g sont dérivbles en et si g () 0, lors l limite de f/g existe en et f(x) lim x g(x) = f () g (). Démonstrtion. Étnt donné que g() = 0 et g () 0, il existe un intervlle [ α, + α] I, vec α > 0, sur lequel g ne s nnule qu u point (cel découle du développement g(x) = (g () + ε g (x ))(x ) vec lim 0 ε g = 0). Nous vons f(x) g(x) f(x) f() f(x) f() = g(x) g() = x g(x) g() x pour tout x [ α, + α], x. En pssnt à l limite nous obtenons f(x) lim x g(x) = lim x f(x) f() x g(x) g() lim x x = f () g (). 4.3 Dérivées successives Définition 4.2 Soit f une fonction définie sur un intervlle ouvert I R, dérivble sur I. Si f est dérivble en x 0 I, s dérivée est notée f (x 0 ) et est ppelée dérivée seconde de f en x 0. Si f est dérivble sur I, nous dirons que f est deux fois dérivble sur I. Nous utilisons ussi l nottion f = f (1) et f = f (2). Plus générlement, si f (n 1) est dérivble (en un point x 0 ou sur I) nous définissons l dérivée n-ième de f pr f (n) = (f (n 1) ). Pr convention, il est utile, dns certines formules, de poser f (0) = f. Exemples. Les fonctions exp, ch, sh, sin, cos, les fonctions polynômes dmettent des dérivées de tout ordre. Nous dirons qu elles sont indéfiniment dérivbles.

39 4.3 Dérivées successives 39 Proposition 4.4 Soient f et g deux fonctions n fois dérivbles en x 0. Alors, pour tout λ,µ R, l fonction λf + µg est n fois dérivble en x 0 et (λf + µg) (n) = λf (n) + µg (n). Proposition 4.5 (Formule de Leibniz) Soient f et g deux fonctions m fois dérivbles en x 0. Alors f g est m fois dérivble en x 0 et ( f g) (m)(x0 ) = m k=0 ( m k ) f (k) (x 0 )g (m k) (x 0 ). Démonstrtion. Montrons ce résultt pr récurrence sur n. Soit n N, 1 n m, et soit (P n ) l propriété suivnte : (P n ) ( f g) (n)(x0 ) = L propriété (P 1 ) est vérifiée cr n k=0 ( n k ) f (k) (x 0 )g (n k) (x 0 ). ( ) (1) f g = f g + fg et 1 k=0 ( 1 k f (1) g (0) + f (0) g (1). Supposons que l propriété (P n ) soit vérifiée pour n < m. Nous vons ( f g) (n+1) = = = = = = (( ) (n) ) f g ( n ( ) n ) f (k) g (n k) vec (Pn ) k k=0 n ( ) n ( ) f (k) g (n k) k=0 k n ( n k n ( n k k=0 k=0 n+1 k=1 ( n k 1 = f (0) g (0) + ) [f (k+1) g (n k) + f (k) g (n+1 k) ] ) f (k+1) g (n+1 [k+1]) + n k=1 ) f (k) g (n+1 k) + [ ( n k 1 ) + ) f (k) g (1 k) = n ( ) n f (k) g (n+1 k) k k=0 n ( ) n f (k) g (n+1 k) k ) ] f (k) g (n+1 k) + f (n+1) g (0). k=0 ( n k L propriété (P n+1 ) découle de l formule de Pscl : ( ) ( ) ( n n n = k 1 k k ).

40 40 Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor 4.4 Formules de Tylor-Lgrnge et de Tylor-Young En nlyse, l formule de Tylor-Lgrnge, du nom du mthémticien Brook Tylor ( ), qui l étblit en 1712, donne une pproximtion d une fonction plusieurs fois dérivble u voisinge d un point pr un polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de l fonction en ce point. Théorème 4.5 (Formule de Tylor-Lgrnge) Soient I un intervlle ouvert, f une fonction n fois dérivble dns I, vec n N. Alors, pour tout x 0 I et x 0 + h I, il existe θ ]0, 1[ tel que f(x 0 + h) = f(x 0 ) + hf (1) (x 0 ) + h2 2! f(2) (x 0 ) + + hn 1 (n 1)! f(n 1) (x 0 ) + hn n! f(n) (x 0 + θh). Démonstrtion. Posons x 0 +h = x, et considérons l fonction F définie dns I pr F(t) = f(x) f(t) Pr un clcul fcile nous obtenons (x t) f (1) (t) 1! (x t)n 1 f (n 1) (t). (n 1)! Définissons G sur I pr F (t) = (x t)n 1 f (n) (t). (n 1)! ( ) n x t G(t) = F(t) F(x 0 ). x x 0 Nous vons G(x 0 ) = G(x). Pr ppliction du théorème de Rolle, il existe c entre x et x 0 tel que ( ) (x c) 0 = G (c) = F n 1 (c) + n F(x (x x 0 ) n 0 ). Pr conséquent, nous obtenons F(x 0 ) = 1 (x x 0 ) n (c) = 1 (x x 0 ) n (x c) n 1 f (n) (c) = (x x 0) n f (n) (c), n (x c) n 1F n (x c) n 1 (n 1)! n! qui donne l formule ttendue. Corollire 4.1 Si P est une fonction polynôme de degré d N, définie pr P(x) = x + d x d ( d 0), lors P (d+1) = 0, et P(x) = d k=0 x k k! P (k) (0). En prticulier vons k = P(k) (0) k!.

41 4.4 Formules de Tylor-Lgrnge et de Tylor-Young Exemples et remrques. 1 Si x 0 = 0, l formule de Tylor-Lgrnge s écrit f(x) = f(0) + x 1! f(1) (0) + x2 2! f(2) (0) + + xn 1 (n 1)! f(n 1) (0) + xn n! f(n) (ξ), vec ξ dns l intervlle ]0,x[ ou ]x, 0[ selon que x est positif ou négtif. En prticulier pour f(x) = exp(x), nous vons exp(x) = 1 + x 1! + x2 2! + + xn 1 (n 1)! + xn exp(ξ) vec ξ entre 0 et x. n! 2 Si f(x) = sin(x), pour x 0 = 0 et n = 5, nous vons sin(x) = sin(0) + x 1! sin(1) (0) + x2 2! sin(2) (0) + x3 3! sin(3) (0) + x4 4! sin(4) (0) + x5 5! sin(5) (ξ) = x x3 6 + x5 cos(ξ) vec ξ entre 0 et x Si f(x) = cos(x), pour x 0 = 0 et n = 5, nous vons cos(x) = cos(0) + x 1! cos(1) (0) + x2 2! cos(2) (0) + x3 3! cos(3) (0) + x4 4! cos(4) (0) + x5 5! cos(5) (ξ) = 1 x2 2 + x4 24 x5 sin(ξ) vec ξ entre 0 et x. 124 On en déduit l encdrement suivnt 1 x2 2 + x4 24 x L formule de Tylor-Young cos(x) 1 x2 2 + x x Corollire 4.2 (Formule de Tylor-Young ) Soit I un intervlle ouvert contennt x 0, et soit f une fonction n fois dérivble dns I telle que f (n) soit continue en x 0 (cette hypothèse est vérifiée si f (n+1) (x 0 ) existe). Alors il existe une fonction ε, définie u voisinge de 0, telle que f(x 0 +h) = f(x 0 )+ h 1! f (x 0 )+ h2 2! f(2) (x 0 )+ + hn n! f(n) (x 0 )+h n ε(h) vec lim ε(h) = 0. h 0 Démonstrtion. Appliquons l formule de Tylor-Lgrnge à f à l ordre n, nous vons f(x 0 + h) = f(x 0 ) + (x 0 + h x 0 ) f (x 0 ) + (x 0 + h x 0 ) 2 f (2) (x 0 ) + 1! 2! + (x 0 + h x 0 ) n 1 f (n 1) (x 0 ) + hn (n 1)! n! f(n) (x 0 + θ h h), vec θ h ]0, 1[ (nous ( utilisons l nottion θ h pour bien indiquer que θ h dépend de h). Posons ε(h) = 1 n! f (n) (x 0 + θ h h) f (n) (x 0 ) ). Nous vons lim h 0 (x 0 + θ h h) = x 0 et lim h 0 ε(h) = 0 cr f (n) est continue en x 0. Le corollire est donc démontré.

42 42 Théorèmes des ccroissements finis, formules de Tylor

43 5. Développements limités 5.1 Définition d un développement limité Définition 5.1 Soit f une fonction définie sur un intervlle I =], b[ contennt 0. Nous dirons qu un polynôme P de degré inférieur ou égl à n est un développement limité d ordre n N en 0 (en brégé «d.l. d ordre n en 0» ) de l fonction f si f(x) P(x) lim = 0. x 0 x n De mnière équivlente, un polynôme P de degré inférieur ou égl à n est un d.l. d ordre n N en 0 de f s il existe une fonction ε définie sur I telle que lim h 0 ε(h) = 0 et f(x) = P(x) + x n ε(x). Remrque 5.1 (Nottion o ) Soit u une fonction définie dns un intervlle contennt 0 (disons ] ǫ,ǫ[). On dit que u = o(x n ) (prononcer : u est un petit o de x n ) lorsque lim x 0 u(x)/x n = 0. Avec cette définition, un polynôme P de degré n est un d.l. d ordre n N de f en 0 lorsque f = P + o(x n ). Attention : il ne fut ps confondre les o et les O qui ont une tout utre significtion! Le polynôme P est prfois ppelé l prtie régulière du développement limité et le terme ε(x)x n est le terme complémentire du d.l.. C est le terme complémentire qui donne l ordre du développement limité. Exemple. Soit f l fonction cosinus sur R. Nous pouvons vérifier que cos(x) = 1 x2 2 +x2 ε 1 (x) et cos(x) = 1 x2 2 +x3 ε 2 (x), vec lim 0 ε 1 = lim 0 ε 2 = 0. Dns le premier développement P(x) = 1 x2 est un développement d ordre 2, lors 2 que dns le second P est un développement d ordre 3. Remrquons qu il n y ucune contrdiction cr ε 1 (x) = xε 2 (x). Le terme complémentire d un d.l. n est donc ps nécessirement unique. Dns l prtique, il est intéressnt de rechercher l ordre le plus élévé possible. Proposition 5.1 Soit f une fonction définie sur un intervlle ouvert I contennt 0 et n N. Alors f u plus un d.l. d ordre n en 0.

44 44 Développements limités Démonstrtion. Supposons qu il existe deux polynômes P et Q de degré u plus n tel que f(x) P(x) f(x) Q(x) lim = 0 et lim = 0. x 0 x n x 0 x n De mnière équivlente, nous vons On donc f(x) = P(x) + x n ε 1 (x) = Q(x) + x n ε 2 (x) vec lim 0 ε 1 = lim 0 ε 2 = 0. P(x) Q(x) lim = 0. x 0 x n Si P Q n est ps nul, P Q est un polynôme de degré r n, et P(x) Q(x) = c 0 + c 1 x c r x r. Soit i = min{0 j r c j 0}. Nous vons P(x) Q(x) = (c x n i + c i+1 x c r x r i ) 1 x n i. P(x) Q(x) Si i = n, lors i = n = r et lim x 0 = c x n r 0, et si i < n, lors P(x) Q(x) lim x 0 x = +. Nous vons donc une contrdiction et l preuve est complète. n Définition 5.2 Si P est un polynôme de degré n N et si k {0, 1,...,n}, vec P(x) = n i=0 ix i, l troncture de P u degré k est le polynôme T k (P) défini pr T k (P)(x) = k i=0 ix i. Proposition 5.2 Si P est le d.l. d ordre n N en zéro d une fonction f, lors, pour 0 k < n, le polynôme T k (P) (l troncture de P u degré k) est le développement limité d ordre k en zéro de f. Définition 5.3 Soit f une fonction définie sur un intervlle ouvert I R, et soit x 0 I. Un polynôme P est un développement limité d ordre n en x 0 (en brégé un d.l. d ordre n en x 0 ) de f s il existe une fonction ε telle que f(x) = P(x x 0 ) + (x x 0 ) n ε(x) vec lim x x0 ε(x) = 0. Remrque 5.2 Pour clculer un d.l. d ordre n en x 0 d une fonction f il suffit de clculer le d.l. d ordre n en 0 de l fonction h f(h + x 0 ). L nottion o devient ici f = P(x x 0 ) + o((x x 0 ) n ). L proposition suivnte donne des conditions nécessires et suffisntes pour qu une fonction dmette un d.l. d ordre 0 en 0 et un d.l. d ordre 1 en 0.

45 5.2 Développements limités usuels 45 Proposition 5.3 (i) Pour qu une fonction f dmette un d.l. d ordre 0 en 0 il fut et il suffit que f soit continue en 0. On lors f(x) = f(0) + ε(x) vec lim 0 ε = 0. (ii) Pour qu une fonction f dmette un d.l. d ordre 1 en 0 il fut et il suffit que f soit dérivble en 0. On lors f(x) = f(0) + xf (0) + xε(x) vec lim 0 ε = 0. Démonstrtion. (i) f est continue en zéro si et seulement si lim f(x) f(0) = x 0 f(x) f(0) lim = 0, ce qui est équivlent u fit que f(0) est un d.l. d ordre 0 en 0 x 0 x 0 de f. f(x) f(0) (ii) Si f est dérivble lors lim = f f(x) f(0) xf (0) (0). Donc, lim = x 0 x x 0 x 0, et P(x) = f(0) + xf (0) est un d.l. d ordre 1 en 0 de f. Si P(x) = x est un d.l. de f d ordre 1 en 0, lors il existe une fonction ε qui tend vers 0 en 0 telle que f(x) = x + xε(x). Donc f dérivble en zéro et f (0) = 1. Remrque 5.3 Une fonction peut dmettre un d.l. d ordre n 2 en 0 sns que f soit n fois dérivble. Pr exemple, l fonction f : R R définie pr { x f(x) = 3 sin( 1 ) si x 0, x 2 0 si x = 0, dmet un d.l. d ordre 2 en 0 cr x sin( 1 x 2 ) tend vers 0 lorsque x tend vers 0. L fonction f est donc continue et dérivble en zéro, mis f n est ps continue en zéro donc n est ps dérivble en zéro : ( ) 1 f (x) = 3x 2 sin 2x3 x 2 x 3 ( ) ( ) 1 1 cos = 3x 2 sin 2x ( ) 1x x 2 x cos. 2 2 Pr contre si une fonction f est n fois dérivble dns un intervlle ouvert contennt 0 et si f (n) est continue en 0, du théorème de Tylor-Young, nous déduisons que n f (k) (0) k=0 est un d.l. d ordre n en 0. k! 5.2 Développements limités usuels Rppelons que l formule de Tylor-Young permet de déterminer le développement limité d une fonction :

46 46 Développements limités Si f est une fonction n fois dérivble dns un intervlle ouvert I R contennt x 0 et si f (n) est continue en x 0 lors f(x 0 + h) = f(x 0 ) + h 1! f(1) (x 0 ) + h2 2! f(2) (x 0 ) + + hn n! f(n) (x 0 ) + h n ε(h) où ε est une fonction définie sur un voisinge de 0 et telle que lim h 0 ε(h) = 0. Nous llons mintennt donner les développements limités des fonctions usuelles en Fonction exponentielle L fonction exp est indéfiniment dérivble dns R, et, pour tout entier n, exp (n) = exp. Nous vons donc exp(x) = 1 + x + x2 2! + xn n! + xn ε(x) vec lim 0 ε = Sinus et cosinus Les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivbles dns R, sin (n) (x) = sin ( ) x + nπ 2 et cos (n) (x) = cos ( ) x + nπ 2 pour tout entier n. Nous vons donc cos(x) = 1 x2 2! + x4 x2n + + ( 1)n 4! (2n)! + x2n+1 ε(x) vec lim ε = 0, 0 sin(x) = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n x 2n+1 (2n + 1)! + x2n+2 ε(x) vec lim 0 ε = 0. Remrque. L fonction cosinus est pire. Nous remrquons que les d.l. de cette fonction ne contient que des monômes d exposnt pir. De même, l fonction sinus est impire et ses d.l. ne contiennent que des monômes d exposnt impir. Proposition 5.4 (i) Si f est une fonction pire définie dns un intervlle ouvert I contennt 0, dérivble jusqu à l ordre n dns I, lors f (2k+1) (0) = 0 si 2k + 1 n, et f(x) = f(0) + x2 2! f(2) (0) + + x2k 2! f(2k) (0) + x 2k+1 ε(x) vec lim 0 ε = 0 et 2k + 1 n. (ii) Si f est une fonction impire définie dns un intervlle ouvert I contennt 0, dérivble jusqu à l ordre n dns I, lors f (2k) (0) = 0 si 2k n, et f(x) = x 1! f(1) (0) + x3 3! f(3) (0) x2k 1 (2k 1)! f(2k 1) (0) + x 2k ε(x) vec lim 0 ε = 0 et 2k n.

47 5.2 Développements limités usuels 47 Démonstrtion. Si f est pire, il suffit d écrire que les dérivées de f et g, vec g(x) = f( x), sont égles en zéro, pour obtenir les reltions souhitées. Si f est impire, nous utiliserons l églité des dérivées de f et g, vec g(x) = f( x) Fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique Les fonctions ch et sh sont indéfiniment dérivbles dns R, ch est pire, sh est impire, ch (2k) = ch et sh (2k+1) = ch. Nous vons ch(x) = 1 + x2 2! + + x2n 2n! + x2n+1 ε(x) vec lim 0 ε = 0, sh(x) = x + x3 3! + + x2n+1 (2n + 1)! + x2n+2 ε(x) vec lim 0 ε = L fonction (1 + x) α L fonction x (1 + x) α, où α R, est indéfiniment dérivble dns ] 1, + [, et pour tout entier n N nous vons Nous en déduisons ((1 + x) α ) (n) = α(α 1) (α n + 1)(1 + x) α n. (1 + x) α = 1 + αx α(α 1)x2 + 1! 2! vec lim ε = α(α 1) (α n + 1)xn n! + x n ε(x), Pour α = 1, nous obtenons x = 1 x + x2 + + ( 1) n x n + x n ε(x) vec lim 0 ε = 0, 1 1 x = 1 + x + x2 + + x n + x n ε(x) vec x ], 1[, lim 0 ε = 0. Pour α = 1/2, nous vons 1 + x = 1 + x 2 x (2n 3) + + ( 1)n 11 x n + x n ε(x), lim ε = (2n) 0

48 48 Développements limités Remrque. Nous vons 1 1 x = 1 + x + + xn + xn+1 1 x et 1 1 x = 1 + x + + xn + xn+1 1 x, pour tout x 1. Cette expression nous donne directement les d.l. en 0 de l fonction x 1 x. Il suffit de poser ε(x) =. 1 x 1 x L fonction logrithme népérien L fonction x ln(1+x) est indéfiniment dérivble dns ] 1, + [, et l fonction x ln(1 x) est indéfiniment dérivble dns ], 1[. Nous vons les d.l. en 0 suivnts ln(1 + x) = x x ( 1)n 1xn n + xn ε(x), vec lim 0 ε = 0, ln(1 x) = x x2 2 xn n + xn ε(x), vec lim 0 ε = Exemples de d.l. u voisinge de 0 (i) À l ide de sin( on obtient sin( + x) = sin() (1 x2 (ii) Avec nous vons ( + x) α = + x) = sin() cos(x) + cos() sin(x), 2! + x4 4! ) x2n + + ( 1)n (2n)! + cos() (x x3 3! + x5 5! + + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! ( 1 + α x 1! ( + x) α = α ( 1 + x ) α lorsque 0, + α(α 1) 2! x 2 ) + x 2n+1 ε(x), vec lim ε = 0. 0 ) α(α 1) (α n + 1) x n x n ε(x), 2 n! n vec lim ε = Développement limité u voisinge de l infini Si f est une fonction définie sur ], + [, il est prfois possible d écrire ( ) 1 f(x) = P + 1 x xnε(x) vec lim ε = 0, +

49 5.3 Opértions sur les développements limités 49 et P est un polynôme de degré n. Un tel développement est ppelé développement limité de f u voisinge de +. Un exemple est donné en section 5.4. Mis, suivnt les fonctions considérées, il existe d utres développements possibles, pr exemple en fonction de 1/x α, α > 0, à l plce de 1/x. C est l rison pour lquelle nous n borderons ps cette notion de fçon générle. 5.3 Opértions sur les développements limités Dns ce prgrphe, f et g sont deux fonctions dmettnt chcune un d.l. d ordre n en 0 : f(x) = P(x) + x n ε f (x), g(x) = Q(x) + x n ε g (x), vec lim 0 ε f = 0, lim 0 ε g = 0, P(x) = x + + n x n, et Q(x) = b 0 + b 1 x + + b n x n Développement limité d une combinison linéire de f et g Proposition 5.5 Pour tout α R et β R, αp + βq est le d.l. d ordre n en 0 de αf + βg Développement limité du produit de f et g Proposition 5.6 Le polynôme T n (P Q) (l troncture du polynôme P Q u degré n) est est le d.l. d ordre n en 0 de f g. Exemples. 1 Déterminons le développement limité d ordre 2 en 0 de l fonction cos(x)/(1 x). Nous vons cos(x) = 1 x2 2 +x2 ε 1 (x) et 1 1 x = 1+x+x2 +x 2 ε 2 (x), vec lim 0 ε 1 = lim 0 ε 2 = 0. Nous obtenons cos(x) 1 x = 1 + x + x2 2 + x2 ε(x) vec lim 0 ε = 0. 2 Déterminons le développement limité d ordre 4 en 0 de l fonction cos(x) sin(x). En utilisnt les d.l. des fonctions sinus et cosinus, nous obtenons cos(x) sin(x) = x 2x3 3 + x4 ε(x) vec lim 0 ε = 0.

50 50 Développements limités Développement limité de l composée de f et g L composition des développements limités est délicte. Proposition 5.7 Nous supposons que f est une fonction d un intervlle ouvert I contennt 0, et que f est à vleurs dns un intervlle ouvert J contennt 0. Nous supposons que l fonction g est définie sur l intervlle J. (Comme précédemment nous supposons que P est le d.l. d ordre n en 0 de f et que Q est le d.l. d ordre n en 0 de g.) Si f(0) = 0 lors le polynôme T n (Q P) (l troncture du polynôme Q P u degré n) est le d.l. d ordre n en 0 de f g. Exemples. 1 Déterminons le développement limité d ordre 2 en 0 de l fonction exp(sin(x)). Nous vons f(x) = sin(x), g(x) = exp(x), et f(0) = 0. Avec les nottions de l proposition, P(x) = x, Q(x) = 1+x+ x2 x2, Q P(x) = Q(x) = 1+x+ = T 2! 2! 2 (Q P). 2 Déterminons le développement limité d ordre 4 en 0 de l fonction cos(sin(x)). Ici f(x) = sin(x), g(x) = cos(x), f(0) = 0, P(x) = x x3 x2, Q(x) = 1 + x4, 3! 2! 4! et T 4 (Q P)(x) = 1 x x4 24. ( x x3 3! Q P(x) = 1 2! ) 2 + ( x x3 3! 4! ) 4, Développement limité du quotient de f pr g Le d.l. de f/g, s il existe, est défini vi le quotient de l division d un polynôme pr un utre suivnt les puissnces croissntes. Cette notion est introduite à l section suivnte. Proposition 5.8 Si g(0) 0, le quotient, de l division suivnt les puissnces croissntes d ordre n, de P pr Q est le d.l. d ordre n en 0 de f/g Division d un polynôme pr un utre suivnt les puissnces croissntes Proposition 5.9 Soient A et B deux polynômes, et soit n un entier nturel. Si B(0) 0 lors il existe un couple unique (Q n,r n ) de deux polynômes tel que (i) Q n est de degré inférieur ou égl à n, (ii) A(x) = B(x)Q n (x) + x n+1 R n (x). Le polynôme Q n est ppelé quotient de l division, suivnt les puissnces croissntes d ordre n, de A pr B.

51 5.4 Exemples d utilistion des développements limités 51 L lgorithme de clcul du quotient de l division, suivnt les puissnces croissntes d ordre n, de A pr B est illustré ci-dessous sur un exemple. Posons A(x) = 2 x+x 3, B(x) = 1 + x + x 2 et n = 3. Nous vons A(x) = B(x)(2 3x + x 2 + 3x 3 ) + x 3 ( 4x 3x 2 ). Le moyen de clculer Q 3 (x) = 2 3x + x 2 + 3x 3 est décrit dns le tbleu suivnt. 2 x +x x + x 2 2(1 +x +x 2 ) 2 3x + x 2 + 3x 3 3x 2x 2 +x 3 3x(1 +x +x 2 ) x 2 +4x 3 x 2 (1 +x +x 2 ) 3x 3 x 4 3x 3 (1 +x +x 2 ) 4x 4 3x Exemples d utilistion des développements limités Les développements limités sont utilisés dns le clcul de limites, dns l construction de l courbe représenttive d une fonction, notmment pour préciser l position reltive de l courbe et d une symptote. sin(x sin(x)) Clcul de limite. Clculons (si elle existe) l limite en zéro de 1 + x3 1. L limite se présente sous forme indéterminée. Nous vons sin(x sin(x)) = x3 6 +x3 ε 1 (x), lim 0 ε 1 = 0, et Nous en déduisons 1 + x3 1 = x3 2 +x3 ε 2 (x), lim 0 ε 2 = 0. sin(x sin(x)) lim x x3 1 = lim x 0 x x3 ε 1 (x) x x3 ε 2 (x) = 1 3. Position d une courbe pr rpport à son symptote. Pour cel, on peut fire un développement limité u voisinge de +. On introduit une vrible uxiliire u = 1. Lorsque x tend vers +, u tend vers 0. x Considérons pr exemple l fonction f(x) = x exp( 2x+1 ). Nous vons lim x 2 f = +. Posons u = 1 2x+1. Alors = 2u + u 2, et x x 2 exp(2u+u 2 ) = 1+(2u+u 2 )+ 1 2 (4u2 )+u 2 ε(u) = 1+2u+3u 2 +u 2 ε(u) vec lim 0 ε = 0.

52 52 Développements limités De sorte que f(x) = x( ε( 1)) = x ε( 1 ). L droite x x 2 x 2 x x x x d éqution x x + 2 est donc symptote à l courbe représenttive de f. De plus, f(x) (x + 2) = ε( 1 ). Comme ε tend vers 0 en 0 on sit que pour des réels x x x x ssez grnd, ε( 1 ) 1. Pr conséquent, u voisinge de +,f(x) (x + 2) 0 et x l courbe représenttive de f est u dessus de son symptote Fig. 5.1 Courbe représenttive de f et son symptote en +.

53 6. Fonctions convexes 6.1 Fonctions convexes Définition 6.1 Soit I un intervlle de R et soit f une fonction de I dns R. L fonction f est convexe sur I lorsque pour tout x, y I, λ [0, 1], l inéglité suivnte est vérifiée f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Interpréttion géométrique. Soient x et y deux réels de l intervlle I. Le segment relint les points X = (x,f(x)) et Y = (y,f(y)) est ppelé corde [X,Y ]. L fonction f est convexe sur I lorsque pour tout x I et tout y I vec x < y, l corde relint les points X = (x,f(x)) et Y = (y,f(y)) est u dessus du grphe { } (ξ,f(ξ)) ξ [x,y]. Exemples. Les fonctions x, x 2, e x sont convexes sur R. Définition 6.2 Une fonction est dite concve lorsque f est convexe. De l définition il découle qu une fonction f est concve sur I lorsque pour tout x, y I, λ [0, 1], l inéglité suivnte est vérifiée f(λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y). Remrquons que f est concve si et seulement si toute corde joignnt deux points de l courbe représenttive de f est u dessous de celle-ci. Exemple. L fonction logrithme népérien (ln( )) est concve sur ]0, [. Ce résultt découle du théorème 6.1. L inéglité de concvité pour le logrithme est donc ln(λx + (1 λ)y) λ ln(x) + (1 λ) ln(y) pour tout x R +, y R + et λ [0, 1] ce qui s écrit ussi λx + (1 λ)y x λ y 1 λ.

54 54 Fonctions convexes f(y) Corde relint les deux points λf(x) + (1 λ)f(y) f(x) (z,f(z)) x z = λx + (1 λ)y y Fig. 6.1 Interpréttion de l convexité 6.2 Crctéristions des fonctions convexes Proposition 6.1 Si f est et dérivble sur un intervlle I, lors les deux énoncés suivnts sont équivlents : (i) f est convexe sur I, (ii) Pour tout x I et tout y I, on f(y) f(x) f (x)(y x). Démonstrtion. Montrons que (i) (ii). Pr hypothèse nous vons f(x + λ(y x)) f(x) + λ(f(y) f(x)) pour tout λ [0, 1], d où f(x + λ(y x)) f(x) f(y) f(x) pour tout λ ]0, 1]. λ En pssnt à l limite qund λ 0 +, nous obtenons f (x)(y x) f(y) f(x). Montrons que (ii) (i). En ppliqunt deux fois le point (ii), nous obtenons f(x) f(x + λ(y x)) λf (x + λ(y x))(y x), f(y) f(x + λ(y x)) + (1 λ)f (x + λ(y x))(y x). En multiplint l première inéglité pr (1 λ) et l seconde pr λ, près ddition membre à membre, il vient (1 λ)f(x) + λf(y) f(x + λ(y x)) = f(λy + (1 λ)x) pour tout λ [0, 1].

55 6.2 Crctéristions des fonctions convexes 55 Corollire 6.1 Si f est définie et dérivble sur un intervlle I, lors les deux énoncés suivnts sont équivlents : (i) f est convexe sur I, (ii) f est croissnte sur I. Démonstrtion. Supposons que f soit convexe sur I. En ppliqunt deux fois le point (ii) de l proposition précédente nous obtenons f(y) f(x) f (x)(y x) et f(x) f(y) f (y)(x y). Pr ddition membre à membre, nous vons 0 (f (x) f (y))(y x) pour tout x I et tout y I, ce qui est équivlent u fit que f est croissnte. Supposons mintennt que (ii) soit vérifié. Pour tout x I et tout y I, vec le théorème des ccroissements finis, nous vons f(y) f(x) = f (x + θ(y x))(y x) vec θ ]0, 1[. Supposons que x < y (le cs y < x se trite de mnière identique). Comme f est croissnte, nous vons f (x + θ(y x)) f (x) et f(y) f(x) f (x)(y x). Le point (i) est étbli (il suffit d ppliquer l proposition précédente). Théorème 6.1 (Crctéristion des fonctions convexes deux fois dérivbles) Si f est définie et deux fois dérivble sur un intervlle I, lors les deux énoncés suivnts sont équivlents : (i) f est convexe sur I, (ii) f 0 sur I. Démonstrtion. Ce résultt découle du corollire précédent et du fit que si f est deux fois dérivble sur I, lors f est croissnte sur I est équivlent à f 0 sur I. Une ppliction de l convexité. L fonction logrithme étnt concve, nous vons ( ) u p ln p + vq ln(u) + ln(v) = ln(uv) pour tout u ]0, [, v ]0, [, q et où p ]1, + [ et q ]1, + [ sont tels que p q strictement croissnte nous en déduisons = 1. L fonction logrithme étnt uv up p + vq q pour tout u [0, [, v [0, [. Cette inéglité est connue sous le nom d inéglité de Young. Nous llons utiliser l inéglité de Young pour démontrer l inéglité de Hölder ( n n ) 1/p ( n ) 1/q u k v k u k p u k q, k=1 k=1 k=1

56 56 Fonctions convexes vec p ]1, + [, q ]1, + [ et 1 p + 1 q = 1. Ici (u 1,...,u n ) R n et (v 1,...,v n ) R n. Pour démontrer l inéglité de Hölder, on pose u k = u k ( n k=1 u k p ) 1/p et v k = Prtnt de l inéglité de Young, nous vons v k ( n k=1 v k q ) 1/q. u k v k u k p p + v k q q pour tout 1 k n. En sommnt les différentes inéglités de k = 1 à k = n, nous obtenons 1 ( 1 n k=1 u k p ) 1/p ( n k=1 v k q ) 1/q n u k v k k=1 n k=1 u k p p + n k=1 v k q q = 1. L inéglité de Hölder s en déduit imméditement. Pour q = p = 2, l inéglité de Hölder est un cs prticulier de l inéglité de Cuchy-Schwrz. L inéglité de Hölder se générlise à des sommes infinies (encore ppelées séries), et ux intégrles. Si f et g sont des fonctions continues sur l intervlle [,b], nous vons b ( b ) 1/p ( b ) 1/q f(t)g(t) dt f(t) p g(t) q.

57 7. Intégrtion L origine de l théorie ctuelle de l intégrtion remonte à l ntiquité vec le souci de l mesure des ires, des longueurs et des volumes ; «géomètre» signifie en grec ncien «rpenteur» c est à dire «celui qui mesure l terre». Trois idées fondent le concept de mesure ; l première est l définition de l mesure pour des ensembles simples : b pour l longueur du segment [,b], L 1 L 2 pour l ire d un rectngle dont les côtés mesurent L 1 et L 2, L 1 L 2 L 3 pour le volume d un prllélépipède rectngle dont les côtés ont pour longueurs L 1, L 2 et L 3. L seconde idée est celle d ddition : l mesure de l réunion de deux ensembles disjoints est égle à l somme des mesures de ces ensembles. L troisième idée est celle de continuité de l mesure : insi l longueur du cercle est l limite des longueurs des polygones réguliers inscrits dns ce cercle et ceter. C est cette voie que nous llons suivre pour construire l intégrle d une fonction continue : on commence pr définir l intégrle d une fonction constnte, puis celle d une fonction en esclier et enfin celle d une limite d une suite de fonctions en esclier. L forme moderne de cette construction est due à Georg Friedrich Bernhrd Riemnn, , et à Jen Gston Drboux, L théorie de l mesure trouver s forme chevée grâce ux trvux de Henri Léon Lebesgue, Intégrle des fonctions en esclier Définition 7.1 Soit = t 0 < t 1 <... < t n = b une subdivision de l intervlle [,b] ( < < b < ) et soit f : [,b] R une fonction en esclier telle que f(x) = c k pour tout x ]t k 1,t k [, 1 k n. On définit l intégrle de f sur [,b] pr b f(x)dx = n c k (t k t k 1 ). k=1 On définit ussi f(x)dx = b b f(x)dx et f(x)dx = 0. Remrque 7.1 Cette définition ne dépend ps de l vleur de f ux noeuds de l subdivision.

58 58 Intégrtion Théorème L intégrle ne dépend ps de l description de f : soient t 0 < t 1 <... < t n et c k, 1 k n, d une prt et s 0 < s 1 <... < s m et d l, 1 l m, deux descriptions de f. Alors n k=1 c k(t k t k 1 ) = m l=1 d l(s l s l 1 ). 2. L intégrle est linéire en f : quels que soient les fonctions en esclier f,g : [,b] R et les nombres réels α et β on : b (αf(x) + βg(x))dx = α b f(x)dx + β b g(x)dx. 3. L intégrle est positive : si f(x) 0 pour tout x [,b] lors b f(x)dx Si f(x) g(x) pour tout x [,b] lors b f(x)dx b g(x)dx. 5. b f(x)dx b f(x) dx. 6. Reltion de Chsles. Pour tout b c et l fonction en esclier f : [,c] R on : c f(x)dx = b f(x)dx Intégrle des fonctions continues c Théorème 7.2 Soit f : [, b] R une fonction continue. b f(x)dx. 1. Il existe une suite de fonctions en esclier g n : [,b] R telle que lim sup n x b f(x) g n (x) = 0. On dit lors que l suite (g n ) converge uniformément vers f sur [,b]. ( ) b 2. Pour une telle suite (g n ), l suite numérique g n(x)dx est convergente, 3. Pour deux telles suites (g n ) et (h n ) on b lim n g n (x)dx = lim n b h n (x)dx. On note b f(x)dx cette limite commune et on l ppelle l intégrle de f sur [,b]. Démonstrtion. 1. L construction d une suite (g n ) de fonctions en esclier qui pprochent f est une conséquence du théorème 2.4. On prend g n en esclier telle que f(x) g n (x) 1/n pour tout x [,b] d où sup x b f(x) g n (x) 1/n et donc l limite de ces quntités est nulle. ( ) b 2. On v montrer que l suite g n(x)dx est de Cuchy (définition 1.12). On en déduir qu elle est convergente (théorème 1.5). Pr hypothèse ( ε > 0) ( N(ε) N) ( n N(ε)) sup f(x) g n (x) ε x b

59 7.2 Intégrle des fonctions continues 59 ou, ce qui revient u même, ( ε > 0) ( N(ε) N) ( n N(ε)) ( x [,b]) f(x) g n (x) ε. Nous devons montrer que ( ε > 0) ( N N) ( p,q N) b g p (x)dx b g q (x)dx ε. Prenons ε > 0, N = N(ε/2(b )), p et q N. Il existe une subdivision = t 0 < t 1 <... < t n = b et des nombres réels c p,k et c q,k tels que g p (x) = c p,k et g q (x) = c q,k pour tout x ]t k 1,t k [ et 1 k n. Remrquer que cette subdivision est l même pour les deux fonctions g p et g q ; on l obtient en «mêlnt» les subdivisions originelles de g p et g q. Notons que g p (x) g q (x) g p (x) f(x) + f(x) g q (x) de sorte que b g p (x)dx b ce qu il fllit démontrer. b g q (x)dx g p (x) g q (x) dx 3. Prenons mintennt deux suites (g n ) et (h n ) telles que et ε 2(b ) + ε 2(b ) = ε b b ε b dx = ε ( ε > 0) ( N g (ε) N) ( n N g (ε)) ( x [,b]) f(x) g n (x) ε ( ε > 0) ( N h (ε) N) ( n N h (ε)) ( x [,b]) f(x) h n (x) ε. Pr ce qui précède, ces deux suites convergent vers I g et I h lorsque n. Prenons ε > 0, N = mx(n g (ε/2(b )),N h (ε/2(b )) et n N. Le même risonnement que celui fit pour g p et g q montre que b b g n (x)dx h n (x)dx ε. En pssnt à l limite on obtient I g I h ε. Comme ε > 0 est rbitrire ceci prouve que I g = I h. Remrque 7.2 Le lecteur ttentif ur remrqué que nous n vons ps vriment utilisé l continuité de f mis seulement le fit qu une fonction continue peut être pprochée uniformément pr des fonctions en esclier. De telles fonctions sont ppelées «fonctions réglées». Ce sont ussi les fonctions qui possèdent en tout point une limite à droite et une limite à guche.

60 60 Intégrtion Théorème 7.3 Les fonctions considérées ici sont continues sur [,b]. 1. L intégrle est linéire en f : quels que soient f,g : [,b] R et les nombres réels α et β on : b (αf(x) + βg(x))dx = α b f(x)dx + β b g(x)dx. 2. L intégrle est positive : si f(x) 0 pour tout x [,b] lors b f(x)dx Si < b, si f(x) 0 pour tout x [,b] et si b f(x)dx = 0 lors f(x) = 0 pour tout x [,b]. 4. Si f(x) g(x) pour tout x [,b] lors b f(x)dx b g(x)dx. 5. b f(x)dx b f(x) dx. 6. Reltion de Chsles. Pour tout b c et l fonction en esclier f : [,c] R on : c f(x)dx = b f(x)dx + c b f(x)dx. Démonstrtion. Pr pssge à l limite dns le théorème 7.1 on obtient les points 1, 2, 4, 5, 6. Pour 3 on risonne b bsurdo. Si f(x 0 ) > 0 prenons ε = f(x 0 )/2 dns l définition de l continuité. Il existe η > 0 tel que f(x) f(x 0 ) f(x 0 )/2 pour tout x [x 0 η,x 0 + η]. Sur cet intervlle on donc f(x) f(x 0 )/2. On en déduit que ce qui contredit l hypothèse. b f(x)dx 2η f(x 0) 2 > 0 Proposition 7.1 (Appliction u clcul des limites) Soit f : [, b] R continue. Alors lim b n ( f + k b ) b = f(x)dx. n n k=1 Démonstrtion. L prtie de droite est l intégrle sur [, b] de l fonction en esclier f n (x) = f ( ) [ ] + k b n sur l intervlle + (k 1) b b, + k n n. D près le théorème 2.3 ε > η > 0 x,y [,b] x y η f(x) f(y) ε. Ceci prouve, pour tout n (b )/η, que f(x) f ( ) + k b ε pour tout x [ ] + (k 1) b b, + k n n n et donc que f(x) f n (x) ε pour tout x [,b]. L suite (f n ) est donc une suite de fonctions en esclier qui converge uniformément vers f sur [,b]. Il suffit lors d utiliser le théorème 7.2 pour conclure. Exemple 7.1 lim n n k=1 n 1 k 2 + n = dx x = π 2 4.

61 7.3 Intégrle des fonctions continues pr morceux Intégrle des fonctions continues pr morceux On réunit mintennt les fonctions en esclier et les fonctions continues en un même lot : Définition 7.2 Une fonction f : [, b] R est continue pr morceux lorsqu il existe une subdivision = t 0 < t 1 <... < t n = b telle que f soit continue sur chque intervlle ]t k 1,t k [, 1 k n, et posséde en tout point t k une limite à droite et une limite à guche. On dit lors que f n qu un nombre fini de discontinuités de première espèce. On définit l intégrle de f sur [,b] pr b n tk f(x)dx = f(x)dx. t k 1 k=1 Les propriétés de cette intégrle sont celles énoncées u théorème 7.1. Il suffit d y remplcer les mots «en esclier» pr «continue pr morceux». Le lecteur ttentif ur remrqué que ces fonctions sont elles ussi des fonctions réglées. 7.4 Le théorème fondmentl du clcul intégrl Théorème 7.4 (Théorème de l moyenne) Soient f et g : [,b] R continues vec g(x) 0 pour tout x [,b]. Il existe c [,b] tel que b f(x)g(x)dx = f(c) En prticulier, il existe c [,b] tel que b b f(x)dx = (b )f(c). g(x)dx. Démonstrtion. Puisque f est continue sur un intervlle compct elle est bornée sur cet intervlle et tteind ses bornes (théorème 2.1) : f(x m ) = min f(x) f(x) mx f(x) = f(x M). x [,b] x [,b] En multiplint cette inéglité pr g(x) puis en intégrnt on obtient f(x m ) b g(x)dx b f(x)g(x)dx f(x M ) b g(x)dx. Si b g(x)dx = 0 c est que g(x) = 0 pour tout x (théorème 7.3). Mézlor on prend pour c n importe quoi et b f(x)g(x)dx = f(c) b g(x)dx = 0. Si b g(x)dx > 0 il suffit d ppliquer le théorème des vleurs intermédiires (théorème 2.2 ) à f et y = b f(x)g(x)dx/ b g(x)dx pour conclure. L seconde ssertion résulte de l première vec g = 1.

62 62 Intégrtion Théorème 7.5 (Théorème fondmentl du clcul intégrl) Soient I un intervlle quelconque, I et soit f : I R une fonction continue. Pour tout x I posons F(x) = x f(t)dt. Cette fonction est définie sur I, F() = 0, elle est dérivble et F (x) = f(x). Démonstrtion. F(x+h) F(x) = x+h f(t)dt x f(t)dt = x+h f(t)dt = hf(c x h ) pr le théorème de l moyenne vec c h compris entre x et x + h. Lorsque h 0 on c h x et f(c h ) f(x) d où F(x + h) F(x) lim h 0 h = f(x). 7.5 Primitives et intégrles Primitives d une fonction continue Définition 7.3 Soit I un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction quelconque. On dit que F : I R est une primitive de f dns I lorsque F est dérivble et que s dérivée est f. Exemple 7.2 log x est une primitive de 1/x (x 0). L fonction signe(x) ne possède ps de primitive (risonner pr l bsurde). Toutefois, pour tout x R, x 0 signe(t)dt = x. Théorème 7.6 (Existence de primitives) Soit I un intervlle ouvert et soit f : I R une fonction continue. 1. f dmet des primitives, 2. Si F 1 et F 2 sont deux primitives de f lors F 1 F 2 est constnte, 3. Soit I. Toute primitive de f s écrit F(x) = α + x f(t)dt, α R, 4. Si F est une primitive de f lors b f(t)dt = F(b) F(). Remrque 7.3 Ce théorème est en défut lorsque I n est ps un intervlle. Pr exemple, toute primitive de f = 0 sur R \ {0} s écrit F(x) = α si x < 0 et F(x) = β si x > 0 où α et β sont deux constntes rbitrires.

63 7.5 Primitives et intégrles Primitives usuelles Fonction f(x) Une primitive F(x) Domine de vlidité x n, n N x n+1 n + 1 R 1 x xn, n N \ {1} x α, α R \ Z 1 x n+1 n + 1 x α+1 α + 1 ln( x ) ], 0[ ou ]0, + [ ]0, + [ ], 0[ ou ]0, + [ exp(x) exp(x) R cosh(x) sinh(x) R sinh(x) cosh(x) R tnh(x) ln(cosh(x)) R cos(x) sin(x) R sin(x) cos(x) R x 2 rctn(x) R 1 x ln x 1 ], 1[, ] 1, 1[ ou ]1, [ 2 x x 2 rcsin(x) ] 1, 1[ 1 x2 + 1 rgsinh(x) R 1 x2 1 rgcosh(x) ]1, [ Remrque 7.4 L continuité n est ps une condition nécessire à l existence d une primitive. L fonction définie pr f(x) = sin(1/x) si x 0 et 0 si x = 0 n est ps

64 64 Intégrtion continue en 0 mis elle possède l primitive x 2 cos 1 x x 2 t cos 1 t dt Primitives d un développement limité Proposition 7.2 Si une fonction continue f dmet un développement limité p n (x) en x 0 à l ordre n lors l fonction F(x) = α + x x 0 f(t)dt dmet le développement limité P n+1 (x) = α + x x 0 p n (t)dt et ce dernier est d ordre n + 1. Démonstrtion. Écrivons f(x) = p n(x) + (x x 0 ) n ε(x) vec lim x x0 ε(x) = 0. On x x F(x) = α + p n (t)dt + (t x 0 ) n ε(t)dt. x 0 x 0 Pr le théorème de l moyenne (théorème 7.4) x (t x 0 ) n ε(t)dt = (x x 0 )(c x 0 ) n ε(c) x 0 vec c compris entre x et x 0 de sorte que lim 1 x x x 0 (t x (x x 0 ) n+1 0 ) n ε(t)dt = lim (c x 0 ) n x x x 0 0 (x x 0 ) nε(c) lim ε(c) = 0. x x 0 Ceci prouve que x x 0 (t x 0 ) n ε(t)dt = (x x 0 ) n+1 E(x) vec lim x x0 E(x) = Intégrtion pr prties Théorème 7.7 Soient f,g : I R de clsse C 1 et,b I. Alors b f (t)g(t)dt = f(b)g(b) f()g() Démonstrtion. (fg) = f g + fg et on intègre. Exemple I n = b f(t)g (t)dt. 1. x 1 ln tdt = x ln x x en prennt f (t) = 1 et g(t) = ln t. 1 0 (1 t 2 ) n dt = 2n 1 0 t 2 (1 t 2 ) n 1 dt = 2nI n + 2nI n 1 en prennt f (t) = 1 et g(t) = (1 t 2 ) n. On en déduit que I n = 2n 2n + 1 I n 1 =... = 2n(2n 2) (2n + 1)(2n 1) I 0 = 2n(2n 2) (2n + 1)(2n 1)

65 7.7 Chngement de vrible 65 Théorème 7.8 (Formule de Tylor vec reste intégrl) Soient f : I R de clsse C n+1, x et x 0 I. Alors n (x x 0 ) k x f(x) = f (k) (x t) n (x 0 ) + f (n+1) (t)dt. k! x 0 n! k=0 Démonstrtion. Pr récurrence sur n. Pour n = 0 c est le théorème 7.5. Pour psser de n à n + 1 on intègre pr prties x (x t) n x 0 f (n+1) (t)dt en posnt u = (x t) n /n! et n! v = f (n+1) (t) qui donne u = (x t) n+1 /(n + 1)! et v = f (n+2) (t) d où = (x t)n+1 f (n+1) (t) (n + 1)! ] x x + x 0 x (x t) n+1 x 0 (n + 1)! f (n+2) (t)dt = (x x 0 ) n+1 f (n+1) (x t) n+1 (x 0 ) + f (n+2) (t)dt. (n + 1)! x 0 (n + 1)! L hypothèse de récurrence nous donne, pour cette dernière expression n (x x 0 ) k = f(x) f (k) (x 0 ) k! d où le résultt. k=0 7.7 Chngement de vrible Résultts générux Théorème 7.9 Soient I et J deux intervlles, α,β J, φ : J I de clsse C 1 et f : I R continue. Alors β φ(β) f(φ(s))φ (s)ds = f(t)dt. α Démonstrtion. x α f(φ(s))φ (s)ds et φ(x) f(t)dt ont toutes deux pour dérivée en φ(α) x l fonction f(φ(x))φ (x) et elles prennent l vleur 0 en x = α. Elles sont donc égles. Exemple Soit x ] π, π [. On 2 2 x 0 tnsds = x 0 φ(α) 1 ( sin s)ds = cos s Dns cet exemple φ(s) = cos s et f(t) = 1/t. 2. Soit p R. On b s (1 + s 2 ) pds = 1 b 2 2s (1 + s 2 ) pds = 1 1+b t pdt = 2 cos x 1 dt t = ln(cosx). [ ] 1+b2 1 2(1 p)t p si p 1, [ 1 ln t] 1+b si p = 1.

66 66 Intégrtion On posé ici φ(s) = 1 + s 2 et f(t) = 1/t p. 3. Soient p,q R, p,q > 0. Considérons 1 0 tp (1 t) q dt. Ici f(t) = t p (1 t) q et l on envie de poser t = φ(s) = sin 2 s. Il fudr donc remplcer dt pr 2 sin s cos sds, t p (1 t) q pr sin 2p s cos 2q s et les bornes pr 0 et π/2 d où 1 0 t p (1 t) q dt = 2 π/2 0 sin 2p+1 (s) cos 2q+1 (s)ds Trinômes du second degré L mise sous forme cnonique d un trinôme du second degré consiste à rmener x 2 + bx + c ( 0) à l une des formes suivntes vi un chngement de vrible ffine : K(y 2 1) si = b 2 4c > 0 Ky 2 si = b 2 4c = 0 K(y 2 + 1) si = b 2 4c < 0 Ces formes cnoniques sont obtenues vi le clcul suivnt : ( x 2 + bx + c = x b 2 x + b2 4 b c ) ( ( = x + b ) 2 ( ) ) b 2 4c Si = 0 on pose y = x + b 2 et l on obtient l deuxième forme, si < 0 on : x 2 + bx + c = 4 ( (2x ) ) 2 + b 1 et on pose y = 2x+b pour obtenir l première forme et si > 0 lors x 2 + bx + c = 4 ( (2x ) ) 2 + b + 1 et on pose y = 2x+b pour obtenir l troisième forme. Exemple I = 1 1 ds (s + 2)(3 s). Posons t = (2s 1)/5 ; le trinôme devient (s+2)(3 s) = 25(1 t 2 ) et l intégrle est égle à I = 1 2 1/5 3/5 dt = 1 (rcsin(1/5) rcsin( 3/5)). 1 t 2 2

67 7.8 Intégrtion des frctions rtionnelles I = 1 0 ds s 2 + s + 1. Posons t = (2s+1)/ 3 ; le trinôme devient s 2 +s+1 = (t 2 +1)3/4 et l intégrle est égle à I = 2 3/ 3 dt 3 t2 + 1 = 2 (rctn(3/ 3) rctn(1/ ) 3). 3 1/ Intégrtion des frctions rtionnelles Commençons pr rppeler les résultts essentiels qui concernent l fctortion des polynômes et l décomposition en éléments simples d une frction rtionnelle Fctoristion complexe d un polynôme Définition 7.4 Un polynôme à coefficients complexes en l vrible z est une expression du type P(z) = z n z n où les k C. Leur ensemble est noté C[z]. Lorsque les k R on dit que le polynôme est à coefficients réels ; leur ensemble est noté R[x] (il est d usge de noter z l vrible complexe et x l vrible réelle). À tout polynôme P on ssocie une fonction polynomile définie sur C pr Cette fonction est ussi notée P. z C z n z n. Définition 7.5 Si n est le plus grnd entier tel que n 0 on dit que P(z) est de degré n et l on écrit deg P = n. Sous cette définition le degré du polynôme nul P(z) = 0 n est ps défini et le degré d un polynôme constnt non nul est 0. Définition 7.6 On dit que r C est une rcine de P lorsque P(r) = 0. On dit ussi que r est un zéro de P. Exemple Le polynôme nul une infinité de zéros (n importe quel nombre complexe), un polynôme de degré 0 (non nul) n en possède ps, un polynôme de degré 1 en un et un seul, un polynôme de degré 2 en 2 ou Les rcines de z n 1 sont les nombres complexes r k = e 2kiπ/n, k = 0...n Les rcines de z n +1 sont les nombres complexes r k = e (2k+1)iπ/n, k = 0...n 1.

68 68 Intégrtion Définition 7.7 (Division euclidienne) Étnt donné deux polynômes A et B, B 0, il existe un unique couple de polynômes Q et R qui stisfsse ux conditions A = BQ + R et (R = 0 ou deg R < deg B). L opértion qui ssocie Q et R à A et B s ppelle l division euclidienne de A pr B, Q est son quotient et R son reste. Lorsque R = 0 on dit que B divise A. Proposition 7.3 Un polynôme P dmet r C pour rcine si et seulement si z r divise P. Lorsque (z r) m divise P et que (z r) m+1 ne divise ps P on dit que l rcine r est de multiplicité m. P dmet r pour rcine de multiplicité m si et seulement si P (k) (r) = 0 pour tout k = 0...m 1 et P (m) (r) 0 (ici P (k) (z) désigne le polynôme dérivé d ordre k). Théorème 7.10 (Théorème fondmentl de l lgèbre, d Alembert-Guss) Tout polynôme P à coefficients complexes de degré deg P 1 possède une rcine r C. Corollire 7.1 Soit P un polynôme à coefficients complexes de degré n 1. Notons r k C, 1 k p, ses rcines distinctes et m k l multiplicité de r k. Alors m m p = n et p P(z) = z n z n = n (z r k ) m k. Exemple 7.7 k=1 1. Un polynôme de degré 1 s écrit P 1 (z) = (z r). 2. Un polynôme de degré 2 s écrit P 2 (z) = (z r 1 )(z r 2 ) vec r 1 r 2 ou P 2 (z) = (z r) z n 1 = n 1 ( ) k=0 z e 2kiπ/n. 4. z n + 1 = n 1 ( ) k=0 z e (2k+1)iπ/n Fctoristion réelle d un polynôme Lorsque P(x) = x n x n est un polynôme à coefficients réels et si r est une rcine de P, lors r n r n = 0 de sorte que, en prennt le conjugué de cette expression, r n r n = r n r n = 0. Ceci prouve que si r = α + iβ vec β 0 lors r = α iβ est ussi rcine de P, distincte de r. Toutes deux contribuent insi à un fcteur du second degré sns rcines réelles dns l fctoristion de P. On obtient

69 7.8 Intégrtion des frctions rtionnelles 69 Corollire 7.2 Tout polynôme P à coefficients réels de degré n 1 s écrit p q P(x) = x n x n = n (x r k ) m k (x 2 + b l x + c l ) n l vec r k,b l,c l R, b 2 l 4c l < 0 et m m p + 2n n q = n. Exemple 7.8 ( x 1 + i 3 2 k=1 l=1 x 4 + x = (x 2 x + 1)(x 2 + x + 1) = ) ( ) ( ) ( x 1 i 3 x 1 + i x 1 i 3 2 ) Frctions rtionnelles Une frction rtionnelle à coefficients complexes est une expression du type Q(z) = A(z) B(z) = z m z m b 0 + b 1 z b n z n où les k,b l C et B 0. Leur ensemble est noté C(z). L ensemble des frctions rtionnelles à coefficients réels est noté R(x). Une frction rtionnelle est irréductible lorsque l ensemble des zéros de A et l ensemble des zéros de B sont disjoints. Dns ce cs, les zéros de B sont ppelés pôles de l frction rtionnelle. Les multiplicités des pôles sont les multiplicités en tnt que rcines de B. Pr exemple z + 1 Q(z) = z 3 z 2 z + 1 = 1 (z 1) 2 pour unique pôle z = 1 de multiplicité 2. Lorsque l on effectue l division euclidienne de A(z) pr B(z) on obtient A(z) = E(z)B(z) + R(z). Ainsi Q(z) = A(z) B(z) = E(z) + R(z) B(z) vec R = 0 ou bien deg R < deg B. Le polynôme E s ppelle l prtie entière de l frction. Exemple 7.9 Considérons Q(z) = z5 + z 4 + z 3 + z z 4 + z 2. S prtie entière s obtient pr division euclidienne de A pr B. On obtient Q(z) = 1 + z + 1 z 4 + z = 1 + z z 2 (1 + z 2 ) = 1 + z + 1 (z i)(z + i)z 2. Cette seconde frction est irréductible et ses pôles sont i, i et 0 de multiplicités respectives 1, 1 et 2.

70 70 Intégrtion Décomposition en éléments simples de première espèce Théorème 7.11 Notons Q(z) = A(z)/B(z) une frction rtionnelle irréductible, r 1,...,r n ses pôles, de multiplicités respectives m 1,...,m n et E(z) C[z] s prtie entière. Il existe des coefficients ki C pour lesquels Q(z) = A(z) B(z) = E(z) + n k=1 m k i=1 ki (z r k ) i. Cette décomposition est ppelée «décomposition en éléments simples de première espèce» de l frction rtionnelle. Elle est unique. Exemple 7.10 Considérons Elle se décompose en Q(z) = 1 + z + Q(z) = 1 + z + 1 (z i)(z + i)z 2. z i + b z + i + c z + d z 2. Pour clculer on multiplie les deux membres de cette identité pr z i et on fit z = i ce qui donne = i/2. On procède de même pour z + i d où b = i/2 et pour z 2 ce qui donne d = 1. On obtient c = 0 pr identifiction d où Q(z) = 1 + z + i 2(z i) i 2(z + i) + 1 z Décomposition en éléments simples de deuxième espèce L exemple précédent montre qu une frction rtionnelle à coefficients réels peut posséder une décomposition en éléments simples de première espèce dont les coefficients sont complexes. Notons que, en réduisnt les deux termes complexes u même dénominteur, on Q(z) = 1 + z + i 2(z i) i 2(z + i) + 1 z = 1 + z z z 2 qui est une décomposition à coefficient réels. Ce résultt est tout à fit générl. On : Théorème 7.12 Soit Q(x) = A(x)/B(x) une frction rtionnelle irréductible réelle et soit E(x) s prtie entière. Notons B(x) = b p (x r k ) m k k=1 q (x 2 + b l x + c l ) n l l=1

71 7.9 Quelques chngements de vrible clssiques 71 l fctoristion réelle du polynôme B(x) : b, r k, b l et c l R vec b 2 l 4c l < 0. Il existe des coefficients α ki, β lj, γ lj R pour lesquels Q(z) = A(z) B(z) = E(z) + p k=1 m k i=1 α ki q (z r k ) + i l=1 n l j=1 β lj x + γ lj (x 2 + b l x + c l ) j. Cette décomposition s ppelle l décomposition en éléments simples de deuxième espèce. Elle est unique Exemple 7.11 Ce théorème donne Q(x) = 1 x 2 (x 2 + x + 1) 2 = x + b x 2 + cx + d x 2 + x ex + f (x 2 + x + 1) Intégrtion des frctions rtionnelles Vi une décomposition en éléments simples (de seconde espèce) on se rmène à l intégrtion des éléments suivnts 1. E(x), l prtie entière de l frction, c est un polynôme, 2. Les éléments simples de première espèce 1/(x r) n, 3. Les éléments simples de deuxième espèce (αx+β)/(x 2 +bx+c) n vec b 2 4c < 0. Pour intégrer cette dernière frction on l écrit αx + β (x 2 + bx + c) = α (2x + b) n 2 (x 2 + bx + c) + 2β αb n 2(x 2 + bx + c) n. L première frction est du type u /u n et s intègre en u n 1 /(n 1) si n > 1 ou bien en log u si n = 1. Pr un chngement de vrible déqut l seconde frction se met sous l forme I n = 1/(X 2 +1) n (voir le prgrphe 7.7.2). Lorsque n = 1 elle s intègre en rctnx. Lorsque n > 1 une intégrtion pr prties permet de relier I n et I n 1 (poser u = 1 et v = (X 2 + 1) 1 n dns I n 1 ). 7.9 Quelques chngements de vrible clssiques Notons F une frction rtionnelle de deux vribles comme pr exemple F(x,y) = xy/(x 2 + y 3 ).

72 72 Intégrtion Fonctions de l forme F(cos x, sin x) En posnt t = tn(x/2) on obtient de sorte que sin x = F(cosx, sin x)dx = 2t 1 t2 1 + t2, cos x = 1 + t 2 F ( ) 1 t 2 2t 2dt 1 + t 2, 1 + t t 2 et l on s est rmené à une frction rtionnelle. Des chngements de vribles mieux dptés sont possibles dns des cs plus prticuliers Fonctions de l forme F(cosh x, sinh x) On utilise le chngement de vrible t = e x qui conduit à ( 1 + t 2 F(coshx, sinh x)dx = F, 1 ) t2 dt 2t 2t t. ( Fonctions de l forme F x, ( ) ) x+b 1/n cx+d Lorsque d bc 0 on pose t = ( x+b 1/n cx+d) ce qui conduit à ( ( ) ) 1/n ( ) x + b dt n b t n 1 dt F x, dx = F cx + d ct n,t ( ct n ) 2 qui est l intégrle d une frction rtionnelle Fonctions de l forme F ( x, x 2 + bx + c ) L mise sous forme cnonique du polynôme du second degré (prgrphe 7.7.2) conduit ux trois formes suivntes ( G X, ) X 2 1 dx, G (X, ) ( 1 X 2 dx, G X, ) X dx où G est ussi une frction rtionnelle. On utilise lors les chngements de vrible X = ± cosh t ou X = 1/ sin t dns le premier cs, X = cos t ou X = sin t dns le second et enfin X = sinht ou X = tnt dns le troisième.

73 8. Equtions différentielles linéires du premier ordre 8.1 Équtions différentielles linéires homogènes d ordre 1 Définition 8.1 Soient I un intervlle ouvert de R,, b et c des fonctions continues sur I. Une éqution de l forme (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x) x I, (8.1) est ppelée éqution différentielle linéire du premier ordre. L fonction y est l inconnue de cette éqution. Lorsque que c(x) = 0 pour tout x I, l éqution est dite homogène. On ppelle solution de l éqution (8.1) toute fonction y dérivble dns I qui vérifie l églité (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x) pour tout x I. L éqution est dite d ordre 1 ou du premier ordre cr seule l dérivée du premier ordre de y pprît. L éqution est dite linéire cr, pour x I fixé, l ppliction (y(x),y (x)) (x)y (x) + b(x)y(x) est linéire (en tnt qu ppliction de R 2 dns R). Exemples et contre exemples. Les équtions y + y = 0 et y + y = sin(x) sont des équtions différentielles linéires de premier ordre. Les équtions différentielles y + y = 0 et y + y 2 = 0 ne sont ps des équtions linéires. Les équtions différentielles y +2y +y = 0 et y +xy = 0 sont linéires, mis ne sont ps de premier ordre elle dépendent de l dérivée seconde de y. Si l fonction ne s nnule ps sur I, nous pouvons réécrire l éqution précédente sous l forme y (x) = b(x) c(x) y(x) + x I. (x) (x) Proposition 8.1 Soit α une fonction continue dns un intervlle ouvert I de R. Considérons l éqution différentielle linéire homogène du premier ordre Soit x 0 un point fixé de I. L fonction ( x ) y x0 (x) = exp α(t)dt x 0 y (x) = α(x)y(x) x I. (8.2)

74 74 Equtions différentielles linéires du premier ordre est solution de (8.2). L ensemble E des solutions de l éqution (8.2) est un espce vectoriel réel de dimension 1 qui dmet y x0 pour bse. Nous vons donc E = { } y y = Cy x0, C R. Démonstrtion. Remrquons tout d bord que l fonction nulle pprtient à E et que si y 1 et y 2 pprtiennent à E et λ R, lors λy 1 + y 2 E (en d utres termes E est stble pr combinison linéire). Il est fcile de vérifier que E (muni de l ddition des fonctions et de l multipliction des fonctions pr un réel) est un espce vectoriel réel. Montrons que tout élément y de E s écrit sous l forme y = Cy x0 vec C R. Soit y E. Étnt donné que y x 0 ne s nnule ps sur I, l fonction z = y y x0 est dérivble sur I et z = y y x0 y x 0 y (y x0 ) 2 = αy y x 0 αy x0 y (y x0 ) 2 = 0. Donc z est constnte sur I et l proposition est démontrée. Exemple. Résolvons l éqution différentielle (x 2 + 1)y (x) + xy(x) = 0, x R. Cette éqution s écrit encore sous l forme y (x) = x y(x), x R, (8.3) x cr x x ne s nnule ps sur R. L fonction x x 0 t t dt = 1 2 ln(1 + x2 ). Toute solution de l éqution (8.3) est donc de l forme y(x) = C exp( 1 2 ln(1 + x2 )) = x x 2 +1 C 1 + x 2 est continue sur R et vec C R. Corollire 8.1 Soit α une fonction continue sur un intervlle ouvert I de R. Si y est solution de l éqution (8.2) et si y s nnule en un point x 1 de I, lors y est identiquement nulle sur I. Démonstrtion. ( Si y est solution de l éqution (8.2), d près l proposition 8.1, ) ( x ) x y(x) = Cexp x 0 α(t)dt, vec C R et x 0 I. L fonction x Cexp x 0 α(t)dt ne s nnule ps sur I. Comme y(x 1 ) = 0, C = 0 et y 0.

75 8.2 Problème de Cuchy pour les équtions différentielles homogènes Problème de Cuchy pour les équtions différentielles homogènes On ppelle problème de Cuchy ou problème de condition initile pour l éqution (8.2) le système y (x) = α(x)y(x) y(x 0 ) = y 0 (8.4) où x 0 I,y 0 R sont donnés. Proposition 8.2 Soit α une fonction continue sur un intervlle ouvert I de R. Le problème de Cuchy (8.4) dmet pour unique solution l fonction ( x ) y(x) = y 0 exp α(t)dt. x 0 Démonstrtion. Il est fcile de vérifier que y est une solution du problème de Cuchy (8.4). Supposons que ce problème dmette deux solutions y 1 et y 2. Alors l fonction z = y 1 y 2 vérifie z (x) = α(x)z(x) z(x 0 ) = 0. D près le corollire 8.1, z 0, ce qui prouve l unicité. 8.3 Équtions différentielles linéires non homogènes d ordre 1 Proposition 8.3 Soient I un intervlle ouvert de R,, b et c des fonctions continues sur I. Notons E(c) l ensemble des solutions de l éqution (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x) x I, (8.5) et notons E(0) l ensemble des solutions de l éqution homogène ssociée (c est à dire l éqution correspondnt à c = 0). (i) Si y 1 E(c), lors E(c) = { y est dérivble dns I y = y 1 + z vec z E(0) }. (ii) Si de plus ne s nnule ps dns I, lors l fonction y 1 (x) = y x0 (x) x x 0 c(t) (t)y x0 (t) dt, vec y x 0 (x) = exp est une solution prticulière de l éqution (8.5). ( x x 0 b(t) (t) dt ), (8.6) Démonstrtion. (i) Soit y 1 un élément donné de E(c). Si y est une utre solution de l éqution (8.5), lors il est fcile de vérifier que y 1 y E(0). On donc E(c) { y est dérivble dns I y = y 1 + z vec z E(0) }.

76 76 Equtions différentielles linéires du premier ordre Montrons l inclusion inverse. Si y = y 1 + z vec z E(0), on vérifie fcilement que y est solution de l éqution (8.5). (ii) L fonction y 1 définie en (8.6) est dérivble sur I et Nous vons donc y 1(x) = y x 0 (x) x x 0 c(t) c(x) dt + (t)y x0 (t) (x) (x)y 1(x) + b(x)y 1 (x) = ((x)y x 0 (x) + b(x)y x0 (x)) L proposition est donc démontrée. x pour tout x I. x 0 c(t) dt + c(x) = c(x). (t)y x0 (t) Remrque. Si une éqution différentielle non homogène dmet une solution évidente, il est préférble d utiliser cette solution prticulière pour décrire E(c) à l ide du point (i), plutôt que de clculer l solution prticulière donnée en (8.6). Pr exemple l éqution y + xy = x dmet y(x) = 1 comme solution évidente. L ensemble des solutions de cette éqution est donc { 1 + C e x2 2 C R }. Une solution prticulière de l éqution (8.5) peut ussi être obtenue pr l méthode connue sous le nom de méthode de l vrition de l constnte décrite dns l section suivnte. Corollire 8.2 Soient, b, c des fonctions continues sur un intervlle ouvert I de R, x 0 I et y 0 R. Si ne s nnule ps dns I, lors le problème de Cuchy (x)y (x) + b(x)y(x) = c(x), y(x 0 ) = y 0, (8.7) dmet pour unique solution l fonction y 1 (x) = y x0 (x) x x 0 c(t) (t)y x0 (t) dt, vec y x 0 (x) = y 0 exp ( x ) b(t) x 0 (t) dt. Démonstrtion. Nous vons y 1 (x 0 ) = y x0 (x 0 ) = y 0. Remrquons que (x)y x 0 (x) + b(x)y x0 (x) = 0 dns I. Donc (x)y 1(x) + b(x)y 1 (x) = ((x)y x 0 (x) + b(x)y x0 (x)) x x 0 c(t) (t)y x0 (t) dt + (x)y c(x) x 0 (x) (x)y x0 (x) = c(x). Corollire 8.3 Soient, b, c 1, et c 2 des fonctions continues sur un intervlle ouvert I de R. Notons E(c 1 ) l ensemble des solutions de l éqution (x)y (x) + b(x)y(x) = c 1 (x) x I, (8.8)

77 8.4 Méthode de l vrition de l constnte 77 et E(c 2 ) l ensemble des solutions de l éqution Alors (x)y (x) + b(x)y(x) = c 2 (x) x I. (8.9) E(c) = { y est dérivble dns I y = y 1 + y 2 vec y 1 E(c 1 ) et y 2 E(c 2 ) }. Cette identité est souvent écrite sous l forme E(c) = E(c 1 ) + E(c 2 ). Démonstrtion. L preuve s obtient fcilement à l ide de l ssertion (i) de l proposition Méthode de l vrition de l constnte Le but de cette section est de trouver une solution prticulière de l éqution (8.5) à prtir de l connissnce d une solution prticulière non nulle de l éqution homogène ssociée : (x)y (x) + b(x)y(x) = 0 x I. (8.10) Nous supposons de plus que ne s nnule ps sur I. Soit z une solution de (8.10) ne s nnulnt ps sur I. Si y est une solution de (8.5), lors l fonction K(x) = y(x) est z(x) dérivble. Nous vons donc Comme z + bz = 0, et y (x) = K (x)z(x) + K(x)z (x). (x)y (x) + b(x)y(x) = (x) (K (x)z(x) + K(x)z (x)) + b(x)k(x)z(x) = c(x), nous vons (x)k (x)z(x) = c(x) pour tout x I. Étnt donné que z ne s nnule ps sur I, nous vons K(x) = k 0 + x x 0 c(t) (t)z(t) dt, où x 0 est un point prticulier de I. Les solutions de l éqution (8.5) sont donc de l forme x c(t) y(x) = k 0 z(x) + z(x) x 0 (t)z(t) dt. Exemple 1. Résoudre y x y = 1 sur ]1, + [. x 2 1 Nous commençons pr résoudre l éqution homogène y x y = 0 sur ]1, + [. L x 2 1

78 78 Equtions différentielles linéires du premier ordre fonction 1 2 ln(x2 1) est une primitive de homgènes sont donc de l forme vec C R. y(x) = C exp x sur ]1, + [. Les solutions de l éqution x 2 1 ( ) 1 2 ln(x2 1) = C x 2 1, Nous recherchons ensuite une solution prticulière de l éqution non homogène de l forme y(x) = C(x) x 2 1. En écrivnt que y vérifie l éqution non homogène, nous obtenons C 1 (x) = x2 1. Nous vons donc C(x) = rg cosh(x) et y(x) = rg cosh(x) x 2 1. Les solutions de l éqution non homogène sont donc de l forme y(x) = C x rg cosh(x) x 2 1. Exemple 2. Résoudre y x y = 1 sur ] 1, 1[. x 2 1 Pr un clcul nlogue à celui de l exemple précédent, nous montrons que les solutions de l éqution homogène sont de l forme y(x) = C 1 x 2. Recherchnt une solution de l éqution non homogène de l forme y(x) = C(x) 1 x 2, nous obtenons C (x) = 1 1 x 2 et C(x) = rcsin(x). Les solutions de l éqution non homogène sont donc de l forme y(x) = C 1 x 2 + rcsin(x) 1 x 2 vec C R. 8.5 Rccord de deux solutions Un exemple élémentire Nous souhitons résoudre l éqution différentielle xy (x) 2y(x) = 0 pour x R. Les théorèmes précédents ne s ppliquent ps cr l fonction (x) = x s nnule en zéro. Pour résoudre l éqution dns R, nous llons déterminer les solutions sur ], 0[ et sur ]0, [ et essyer de rccorder en x = 0 les solutions insi trouvées pour obtenir une solution définie sur R. Les solutions sur ], 0[ sont de l forme et les solutions sur ]0, [ sont de l forme y 1 (x) = C 1 x 2 vec C 1 R, y 2 (x) = C 2 x 2 vec C 2 R. Quels que soient C 1 et C 2, y 1 dmet une limite à guche en zéro, y 2 dmet une limite à droite en zéro et ces limites sont égles à 0. L fonction y définie sur R pr y 1 (x) si x ], 0[ y(x) = 0 si x = 0 y 2 (x) si x ]0, [

79 8.5 Rccord de deux solutions. 79 est continue dns R. De plus, elle est dérivble en x = 0, cr lim h 0 + y(h) y(0) h 0 C 1 h 2 = lim h 0 + h 0 = 0 et lim h 0 y(h) y(0) h 0 L fonction y définie pr y 1(x) = 2C 1 x si x ], 0[ y (x) = 0 si x = 0 y 2(x) = 2C 2 x si x ]0, [, C 2 h 2 = lim h 0 h 0 = 0. est églement continue dns R. De plus y vérifie l éqution différentielle xy (x) 2y(x) = 0 dns R, cr l éqution est vérifiée dns ], 0[, ]0, [, et en x = 0 (cr 0y (0) 2y(0) = 0). Cet exemple montre que l ensemble des solutions d une éqution différentielle linéire d ordre 1 peut être un espce vectoriel de dimension > 1 (ici de dimension 2) Un deuxième exemple Nous souhitons résoudre l éqution différentielle linéire x(x 2 1)y (x) + 2y(x) = x 2 dns ]0, + [, en rccordnt une solution définie sur ]0, 1[ vec une solution définie sur ]1, + [. Dns I 1 =]0, 1[, les solutions de l éqution homogène x(x 2 1)y (x) + 2y(x) = 0 sont de l forme y 1 (x) = C 1 x 2 1 x 2 vec C 1 R. L méthode de l vrition de l constnte permet de montrer que, dns I 1, les solutions de x(x 2 1)y (x) + 2y(x) = x 2 sont de l forme y 1 (x) = ln(x)x2 x C 1x 2 1 x 2 vec C 1 R. Dns I 2 =]1, [, les solutions de l éqution homogène x(x 2 1)y (x) + 2y(x) = 0 sont de l forme x 2 y 2 (x) = C 2 vec C x 2 2 R, 1 et les solutions de x(x 2 1)y (x) + 2y(x) = x 2 sont de l forme y 2 (x) = ln(x)x2 x C 2x 2 x 2 1 vec C 2 R. Recherchons mintennt les conditions que doivent vérifier C 1 et C 2 pour que ces deux solutions puisse être rccorder de mnière continue. On vérifie fcilement que si C 1 = 0 lors lim y ln(x)x 2 1(x) = lim x 1 x 1 x 2 1 = 1 2,

80 80 Equtions différentielles linéires du premier ordre et que si C 1 0 lors lim y 1(x) = lim x 1 x 1 ( ln(x)x 2 x C ) 1x 2 = + signe(c 1 x 2 1 ). Il fut donc choisir C 1 = 0 pour que y 1 dmette une limite à guche en 1. De même, y 2 dmet une limite à droite en 1 si et seulement si C 2 = 0. Et dns ce cs l limite est 1. L fonction y définie dns ]0, [ pr 2 ln(x)x 2 si x 1 y(x) = x si x = 1, 2 est dérivble dns ]0, [ et elle vérifie l éqution différentielle dns ]0, [. 8.6 Applictions des équtions différentielles. Les équtions différentielles permettent de modéliser des phénomènes physiques, chimiques, économiques. Donnons quelques exemples élémentires. Exemple 1. Refroidissement d un corps. Un corps C est plcé dns une pièce dont l tempérture de l ir est constnte et égle à T 0. L tempérture initile du corps θ 0 est supérieure à T 0. On suppose que le volume d ir est suffisnt pour que l tempérture de l pièce reste constnte. L tempérture θ(t) du corps C ser une fonction décroissnte du temps. En première pproximtion, on peut supposer que l vrition de θ (c est à dire θ (t)) est proportionnelle à l écrt de tempérture θ(t) T 0. Schnt que T 0 = 20 o, θ 0 = 100 o, et que θ(20) = 60 o (le temps est ici exprimé en minutes), clculer le temps pour lequel l tempérture de C ser égle à 30 o. Exemple 2. Circuit électrique. Dns un circuit électrique constitué d une résistnce R et d une inductnce L, l intensité i du cournt électrique et l différence de potentiel E ux bornes du circuit sont reliées pr l éqution différentielle di dt (t) + R E(t) i(t) = L L. Déterminer l intensité du cournt i(t) dns le circuit dns le cs où E(t) = E 0 est constnt et i(0) = I 0. Exemple 3. Un question de géométrie. Trouver l courbe du pln pssnt pr le point (0, 2) et telle que le coefficient directeur de l tngente en chque point de l courbe soit égl à trois fois l ordonnée en ce point.

81 9. Courbes plnes prmétrées 9.1 Arcs de courbes prmétrés Afin d étudier des courbes plnes telles que le cercle, l prbole, l ellipse ou bien le lemniscte de Bernouilli, plusieurs pproches sont possibles. L pproche géométrique, l plus ncienne de toutes, consiste à décrire une courbe pr un procédé de construction : le cercle est le lieu des points du pln situés à une même distnce (le ryon r) d un point donné (le centre (, b)). Une seconde pproche (Descrtes) consiste à décrire l courbe en question pr une éqution : le cercle est l ensemble des points (x,y) R 2 qui vérifient (x ) 2 + (y b) 2 = r 2. L troisième pproche, celle que nous llons étudier ici, consiste à décrire une courbe pr une prmétristion : le cercle devient l ensemble des points (x(t),y(t)) R 2 définis pr x(t) = + r cos t, y(t) = b + r sin t, 0 t < 2π. Définition 9.1 On ppelle rc de courbe prmétré une ppliction f : I R 2 définie sur un intervlee I de R. Pour tout t I on note f(t) = (f 1 (t),f 2 (t)) : f 1 et f 2 sont les pplictions coordonnées ssociées à f. L rc géométrique ssocié à f est l ensemble f(i) = { f(t) R 2 : t I }. Il fut bien fire l différence entre rc de courbe prmétré et rc géométrique. D un point de vue cinémtique, l rc géométrique est le lieu du mouvement lors que l rc prmétré est une loi horire ynt pour support ce lieu géométrique. Exemple L droite vectorielle x + by = 0 vec (,b) (0, 0) est prmétrée pr x = bt, y = t, t R, 2. L droite ffine x+by+c = 0 vec (,b) (0, 0) est prmétrée pr x = x 0 bt, y = y 0 + t, t R, où (x 0,y 0 ) est un point de l droite (x 0 + by 0 + c = 0), 3. L demi-droite y = x, x 0, est prmétrée pr x(t) = t 2, y(t) = t 2, t R, 4. Le cercle (x ) 2 + (y b) 2 = r 2 est prmétré pr x(t) = + r cos t, y(t) = b + r sin t, 0 t < 2π, mis ussi pr x(t) = + r(1 t 2 )/(1 + t 2 ), y(t) = b + 2rt/(1 + t 2 ), t R; dns ce second cs l rc géométrique correspondnt est le cercle privé du point ( r,b). Ce point est obtenu comme limite lorsque t ±,

82 82 Courbes plnes prmétrées 5. L ellipse x y2 b 2 = 1 est prmétrée pr x(t) = cos t, y(t) = b sin t, 0 t < 2π, 6. L rc d hyperbole y 2 x 2 = 1 situé dns le demi pln y > 0 est prmétré pr x(t) = sinht, y(t) = cosht, t R, 7. L prbole y x 2 = 0 est donnée pr y(t) = t 2, x(t) = t, t R, 8. Plus générlement, l rc géométrique décrit pr y = g(x), x I, est prmétré pr y(t) = g(t), x(t) = t, t I. 9.2 Dérivées, développements limités Définition 9.2 (Limite, continuité, dérivbilité) Soit f = (f 1,f 2 ) un rc de courbe prmétré défini sur un intervlle I R. Nous dirons que (l 1,l 2 ) est l limite de f qund t tend vers t 0 I lorsque l 1 est l limite de f 1 en t 0 et l 2 l limite de f 2 en t 0. Nous dirons que f est continu en t 0 I lorsque f 1 et f 2 sont continues en t 0. Nous dirons que f est dérivble en t 0 I lorsque f 1 et f 2 sont dérivbles en t 0. L dérivée de f en t 0 est f (t 0 ) = (f 1(t 0 ),f 2(t 0 )) R 2. De l même mnière, l dérivée n-ième de f = (f 1,f 2 ) en t 0, si elle existe, est le vecteur f (n) (t 0 ) = (f (n) 1 (t 0 ),f (n) 2 (t 0 )). Avec ces définitions on : Théorème 9.1 (Formule de Tylor-Young) Soient I un intervlle ouvert, t 0 I et f un rc de courbe prmétré n fois dérivble dns I tel que f (n) soit continu en t 0. Alors il existe une fonction vectorielle ε : I R 2 telle que f(t 0 + h) = f(t 0 ) + h 1! f(1) (t 0 ) + h2 2! f(2) (t 0 ) + + hn n! f(n) (t 0 ) + h n ε(h) vec lim h 0 ε(h) = (0, 0). On dit lors que n k=0 hk f (k) (t 0 )/k! est un développement limité de f en t 0 à l ordre n. Exemple 9.2 f(t) = (cos(t), sin(t)), t R, possède le d.l. en 0 à l ordre 2 : f(t) = (1, 0) + t(0, 1) t2 2 (1, 0) + t2 (ε 1 (t),ε 2 (t)) vec lim t 0 ε(t) = (0, 0).

83 9.3 Tngente à un rc de courbe prmétré Tngente à un rc de courbe prmétré Droites du pln Une droite ffine est l ensemble des points (x,y) R 2 qui vérifient une éqution du type x + by + c = 0 vec (, b) (0, 0). L éqution de cette droite n est ps unique, elles sont toutes du type λx + λby + λc = 0 vec λ 0. Insistons sur le fit que l éqution x+by+c = 0 ne définit ps une droite lorsque = b = 0. C est l ensemble vide si c 0 et le pln tout entier sinon. L éqution d une droite peut ussi s écrire de fçon prmétrique (exemple 9.1) : x = αt + x 0, y = βt + y 0, t R, vec (α,β) (0, 0). Cette éqution n est ps, elle non plus, unique : on obtient le même ensemble de points prmétré pr x = α t+x 0, y = β t + y 0, t R, vec (α,β ) (0, 0), si et seulement si α = λα, β = λβ et β x 0 α y 0 = λ(βx 0 αy 0 ) pour un sclire λ 0. L tngente à une courbe en un point M se définit comme l position limite de l droite pssnt pr M et un point voisin M pris lui ussi sur l courbe lorsque M M. Il fut donc définir ce que l on entend pr limite d une fmille de droites. Compte tenu de l non unicité de l éqution définissnt une droite on obtient l définition suivnte : Définition 9.3 Notons D(s) l droite d éqution (s)x + b(s)y + c(s) = 0 et pr D l droite d éqution x + by + c = 0. Nous dirons que D(s) D lorsque s s 0 lorsqu il existe, pour tout s, un sclire λ(s) 0 tel que λ(s)(s), λ(s)b(s) b et λ(s)c(s) c qund s s Tngente en un point d un rc de courbe prmétré Définition 9.4 Soit f : I R 2 une courbe prmétrée et soit t 0 I. Supposons que les points f(t 0 ) et f(t) soient distincts pour tout t t 0 et proche de t 0. Il existe lors une unique droite pssnt pr ces deux points, nous l notons D t,t0. Nous dirons que f dmet une tngente en t 0 lorsque cette droite dmet une position limite lorsque t t 0. L droite D t,t0 dmet l éqution qui est équivlente à (x f 1 (t 0 ))(f 2 (t) f 2 (t 0 )) (y f 2 (t 0 ))(f 1 (t) f 1 (t 0 )) = 0 (x f 1 (t 0 )) f 2(t) f 2 (t 0 ) t t 0 (y f 2 (t 0 )) f 1(t) f 1 (t 0 ) t t 0 = 0. Supposons que f soit dérivble en t 0 et que f (t 0 ) (0, 0). En pssnt à l limite dns l éqution précédente on obtient l éqution de l tngente : (x f 1 (t 0 ))f 2(t 0 ) (y f 2 (t 0 ))f 1(t 0 ) = 0.

84 84 Courbes plnes prmétrées Noter que l hypothèse f (t 0 ) (0, 0) implique f(t 0 ) f(t) pour tout t u voisinge de t 0. On donc prouvé le théorème suivnt : Théorème 9.2 Soient I un intervlle ouvert, t 0 I et f un rc de courbe prmétré dérivble en t 0 et tel que f (t 0 ) (0, 0). On dit lors que f(t 0 ) est un point régulier de l courbe. Elle possède lors une tngente en f(t 0 ) qui pour éqution Exemple 9.3 tngente. (x f 1 (t 0 ))f 2(t 0 ) (y f 2 (t 0 ))f 1(t 0 ) = L droite ffine x +by +c = 0 vec (,b) (0, 0) est s propre 2. Le cercle x 2 + y 2 = 1, prmétré pr x(t) = cost, y(t) = sin t, 0 t < 2π, dmet pour tngente u point (1, 0) (t = 0) l droite d éqution x = Le cercle x 2 +y 2 = 1, prmétré pr x(t) = (1 t 2 )/(1+t 2 ), y(t) = 2t/(1+t 2 ), dmet pour tngente u point (1, 0) (t = 0) l droite d éqution x = L rc géométrique décrit pr y = g(x), g : I R, prmétré pr y(t) = g(t), x(t) = t, dmet u point (t,g(t)) l tngente d éqution y = g (t)(x t) + g(t). Remrque On peut montrer que le concept de tngente ne dépend ps de l prmétristion mis seulement de l rc géométrique (voir l exemple 9.3). 2. L rc de courbe prmétré x(t) = t 3, y(t) = t 3, t R, correspond à l rc géométrique y = x, x R. Il ne possède ps de tngente en (0, 0) (t = 0). Pr contre x(t) et y(t) sont de clsse C 1 et ont pour dérivées en t = 0 : x (0) = 0 et y (0) = 0. L existence d un «vecteur vitesse» n implique donc ps celle d une tngente lorsque ce «vecteur vitesse» est nul! Nous llons donc nous intéresser de plus près à ces points Tngente en un point sttionnire Définition 9.5 Soit f : I R 2 une courbe prmétrée dérivble sur I. Un point f(t), t I, est ppelé point sttionnire de l courbe lorsque f (t) = (0, 0). Soient t I et t + h I deux points tels que f(t) f(t + h) pour tout h 0 voisin de 0. Nous llons rechercher l position limite, qund h 0, de l droite D t+h,t d éqution (x f 1 (t))(f 2 (t + h) f 2 (t)) (y f 2 (t))(f 1 (t + h) f 1 (t)) = 0, lorsque f (t) = (0, 0). Supposons que f soit k fois dérivble dns I, vec k > 1, qu il existe 1 < r k tel que f (r) (t) (0, 0) et notons p le plus petit entier pour lequel f (p) (t) (0, 0). L formule de Tylor-Young (théorème 9.1) donne f(t + h) = f(t) + f (p) (t) hp p! + hp ε(h)

85 9.4 Position de l courbe pr rpport à s tngente 85 vec lim 0 ε = (0, 0). En pssnt à l limite dns l éqution suivnte de D t+h,t p! (x f 1 (t)) f 2(t + h) f 2 (t) h p p! (y f 2 (t)) f 1(t + h) f 1 (t) h p = 0, nous obtenons l éqution de l tngente à l courbe u point f(t) : (x f 1 (t))f (p) 2 (t) (y f 2 (t))f (p) 1 (t) = 0. Exemple 9.4 Soit f définie sur R pr f(t) = (t 2,t 3 ). En t = 0 nous vons f(0) = (0, 0), f (0) = (0, 0) et f (0) = (2, 0). L tngente à l courbe u point (0, 0) est donc l courbe d éqution y = Position de l courbe pr rpport à s tngente Soit f un rc de clsse C k (I) : f est dérivble jusqu à l ordre k dns I et f (k) est continue sur I. Soit t 0 I, et supposons qu il existe un plus petit entier p [1,k] et tel que f (p) (t 0 ) (0, 0). Dns ce cs, pour q k, nous vons f(t 0 + h) = f(t 0 ) + hp p! f(p) (t 0 ) + q 1 k=p+1 h k k! f(k) (t 0 ) + hq q! f(q) (t 0 ) + h q ε(h) vec lim 0 ε = (0, 0). Supposons que, pour k {p+1,,q 1}, les vecteurs f (k) (t 0 ) soient colinéires u vecteur directeur f (p) (t 0 ) de l tngente à l courbe en f(t 0 ) et que le vecteur f (q) (t 0 ) ne soit ps colinéire à f (p) (t 0 ). Dns ce cs, il existe des sclires λ p+1,,λ q 1 tels que f (k) (t 0 ) = λ k f (p) (t 0 ). Ainsi f(t 0 + h) = f(t 0 ) + hp p! f(p) (t 0 ) + q 1 k=p+1 ( = f(t 0 ) + hp hp! p! f(p) (t 0 ) 1 + λ p+1 (p + 1)! + λ p+2 λ k h k k! f(p) (t 0 ) + hq q! f(q) (t 0 ) + h q ε(h) + hq q! f(q) (t 0 ) + h q ε(h) vec lim 0 ε = (0, 0). h 2 p! (p + 2)! + + λ q 1 h q 1 p p! ) (q 1)! Posons M(t 0 ) = f(t 0 ) et introduisons le repère (M(t 0 ),f (p) (t 0 ),f (q) (t 0 )). Notons (X(t 0 + h),y (t 0 + h)) les coordonnées de f(t 0 + h) dns ce nouveu repère. Nous vons X(t 0 + h) = hp p! Y (t 0 + h) = hq q! ( 1 + λ p+1 hp! ( 1 + q!ε 2 (h) (p + 1)! + λ h 2 p! p+2 (p + 2)! + + λ q 1 ), h q 1 p p! ) (q 1)! + p!hq p ε 1 (h)

86 86 Courbes plnes prmétrées où ε 1 et ε 2 tendent vers 0 lorsque h tend vers 0. Ainsi, pour h suffismment petit, les coordonnées de f(t 0 + h) dns ce repère sont du signe respectivement du h p et h q puisque les utres termes deviennent négligebles lorsque h est proche de 0. Pour plcer le point M(t 0 + h) dns le repère (M(t 0 ),f (p) (t 0 ),f (q) (t 0 )), qutre cs sont à distinguer en fonction de l prité de p et de q. (+, ) Y (t 0 + h) f (q) (t 0 ) (+,+) M(t 0 + h) M(t 0 ) X(t 0 + h) f (p) (t 0 ) : vecteur tngent (, ) (+, ) O Fig. 9.1 Le point M(t 0 + h) est à plcer dns un des 4 qudrngles

87 9.4 Position de l courbe pr rpport à s tngente 87 Point d inflexion. (+, ) f (q) (t 0 ) (+,+) (, ) M(t 0 ) f (p) (t 0 ) (+, ) Si p et q sont impirs lors h p et h q sont de même signe que h. Lorsque h est négtif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (, ). Lorsque h est positif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (+, +). L tngente trverse donc le support de l rc. On dit que le point M(t 0 ) est un point d inflexion. Point ordinire. Si p est impir et q est pir lors h p est du signe de h et h q (+, ) f (q) (t 0 ) (+,+) (, ) M(t 0 ) f (p) (t 0 ) (+, ) est toujours positif. Lorsque h est négtif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (, +). Lorsque h est positif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (+, +). Le support reste toujours u dessus de s tngente. On dit que le point M(t 0 ) est un point ordinire. Point de rebroussement de première espèce. Si p est pir et q est impir lors h p est toujours positif et h q est du signe de h. Lorsque h est négtif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (+, ). Lorsque h est positif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (+, +).

88 88 Courbes plnes prmétrées (+, ) f (q) (t 0 ) (+,+) (, ) M(t 0 ) f (p) (t 0 ) (+, ) Le support trverse s tngente. On dit que le point M(t 0 ) est un point de rebroussement de première espèce. Point de rebroussement de seconde espèce. Si p est pir et q est pir (+, ) f (q) (t 0 ) (+,+) (, ) M(t 0 ) f (p) (t 0 ) (+, ) lors h p et h q sont toujours positif. Lorsque h est négtif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (+, +). Lorsque h est positif, le point M(t 0 + h) est dns le qudrngle (+, +). Le support ne trverse ps s tngente. On dit que le point M(t 0 ) est un point de rebroussement de seconde espèce. 9.5 Brnches infinies Définition 9.6 Soit (I,f) un rc prmétré. L rc (I,f) dmet une brnche infinie en t 0 I lorsque lim t t 0 (f 2 1(t) + f 2 2(t)) = +.

89 9.6 Exemple d étude d un rc prmétré 89 Si lim f 1 (t) = l 1 R et lim f 2 (t) = ±, t t 0 t t0 l droite d éqution x = l 1 est symptote à l courbe prmétrée (I,f). Si lim f 1 (t) = ± et lim f 2 (t) = l 2 R, t t 0 t t0 l droite d éqution y = l 2 est symptote à l courbe prmétrée (I,f). Exminons mintennt le cs où Supposons que l on it Lorsque lim f 1 (t) = ± et lim f 2 (t) = ±. t t 0 t t0 f 1 (t) lim t t 0 f 2 (t) f 1 (t) lim t t 0 f 2 (t) = α et = α R ou lim t t 0 f 2 (t) f 1 (t) = β R. lim (f 1 (t) αf 2 (t)) = γ R, t t 0 lors l droite d éqution x = αy + γ est symptote à l courbe prmétrée (I,f). Lorsque f 2 (t) lim t t 0 f 1 (t) = β et lim t t 0 (f 2 (t) βf 1 (t)) = γ R, lors l droite d éqution y = βx + γ est symptote à l courbe prmétrée (I,f). Remrque. Lorsque lim f 1 (t) = ± et lim f 2 (t) = ±, t t 0 t t0 l courbe prmétrée (I, f) n dmet ps nécessirement une droite pour symptote en t = t 0. Les conditions données ci-dessus sont des conditions suffisntes pour l existence d une droite symptote. Pr exemple, l courbe prmétrée (R,f) définie pr f(t) = (t t,t + 1 t 2 ) est symptote à l courbe d éqution y = x 2 en t = et en t =. 9.6 Exemple d étude d un rc prmétré Dns ce prgrphe, nous noterons (x,y) les fonctions composntes de f. Le pln générl de l étude est le suivnt. 1 On précise le domine de définition de f s il n est ps explicitement donné. 2 On cherche à réduire l intervlle de définition de l rc en utilisnt des propriétés prticulières des fonctions coordonnées que nous noterons ici x et y : recherche éventuelle de périodicité de f, recherche éventuelle de symétries. 3 - Clcul des dérivées x et y, tbleu des vritions.

90 90 Courbes plnes prmétrées 4 Étude des points sttionnires. 5 Étude des brnches infinies. 6 Recherche éventuelle des points doubles. Tritons un cs prticulier. Considérons l rc prmétré (I, f), vec f = (x, y), I = R \ {1, 1}, les fonctions coordonnées x et y étnt définies pr x(t) = t2 + 1 t 2 1 et y(t) = t2 t 1. L fonction f est indéfiniment dérivble dns I, et x (t) = Le tbleu des vritions est 4t (t 2 1) 2, y (t) = t(t 2) (t 1) 2. t x (t) x(t) ր ր ց ց 5 3 ց 1 1 y (t) y(t) ր ր ց ց ր Points sttionnires. Le point f(0) = ( 1, 0) est un point sttionnire. On fit un développement limité de f pour déterminer le comportement de l courbe u voisinge du point f(0). Nous vons ( x(t) y(t) ) = ( 1 0 ) ( ) ( t 2 + t ) ( 0 et f (2) (0) = ) + t 3 ε(t), vec lim ε = 0. 0 ( 2 Les vecteurs f (3) (0) = ne sont ps colinéires. Donc 1 1 p = 2 est pir et q = 3 est impir. Le point f(0) est un point de rebroussement de première espèce. L éqution de l tngente est (x ( 1)) ( 1) (y 0) ( 2) = 0, soit encore y = x Brnches infinies. Nous vons une brnche infinie u voisinge de t = 1, t = 1, t =, et t =. 1 En +, lim t y(t) = et lim t x(t) = 1, et l droite verticle x = 1 est symptote u support. De même en, lim t y(t) = et lim t x(t) = 1, et l droite verticle x = 1 est symptote u support. )

91 9.6 Exemple d étude d un rc prmétré 91 M(0) y = 1 2,t 1 + y = x + 3 2,t 1 Fig. 9.2 Trcé sur ] 1, 1[ 2 En 1, lim t 1 y(t) = 1, lim 2 t 1 + x(t) = + et lim t 1 x(t) =. L droite horizontle y = 1 est symptote u support. 2 3 En 1, lim t 1 + y(t) = lim t 1 + x(t) = + et lim t 1 y(t) = lim t 1 x(t) =. On étudie l limite du quotient y(t) : x(t) y(t) lim t 1 x(t) = lim t 1 On étudie l limite de y x. Nous vons t 2 (t + 1) t = 1. y(t) x(t) = t2 t 1 t2 + 1 t 2 1 = t2 + t + 1. t + 1 Ainsi, lim t 1 y(t) x(t) = 3. L droite y = x + 3 est symptote u support u 2 2 voisinge de 1. Pour connître l position du support pr rpport à son symptote, on étudie le signe de y(t) x(t) 3 2 = t2 + t + 1 t = 2t2 t 1 2(t + 1) = 2(t 1)(t + 1) 2. 2(t + 1) Donc lorsque t < 1, le support est u dessous de son symptote, et lorsque t > 1 il est u dessus.

92 92 Courbes plnes prmétrées y = 1 2 t 1 x = 1 t Fig. 9.3 Trcé sur ], 1[

93 9.6 Exemple d étude d un rc prmétré 93 x = 1 t 1 + y = x t + M(2) Fig. 9.4 Trcé sur ]1, + [. Fig. 9.5 Trcé sur le domine de définition.

94 94 Courbes plnes prmétrées

95 Index éqution différentielle linéire du premier ordre, 73 rc de courbe prmétré, 81 rc géométrique, 81 rchimédien, 11 symptote, 51 borné, 10 borne inférieure, 10 borne supérieure, 10 brnche infinie, 88 développement limité, 43 demi-tngente, 29 fonction concve, 53 continue, 19 continue à droite, 19 continue à guche, 19 continue pr morceux, 61 convexe, 53 dérivble, 27 à droite, 29 à guche, 29 en esclier, 24, 57 limite, 15 limite à droite, 15 limite à guche, 15 limite à l infini, 15 limite infinie, 16 réciproque, 37 formule de Leibniz, 39 de Tylor Young, 82 de Tylor-Lgrnge, 40 de Tylor-Young, 41 formule de Tylor reste intégrl, 65 frction rtionnelle, 69 décomposition en éléments simples de deuxième espèce, 71 décomposition en éléments simples de première espèce, 70 irréductible, 69 pôle, 69 prtie entière, 69 inf, 10 intégrle, 58 intervlle borné, 15 compct, 15 fermé, 15 ouvert, 15 mjoré, 10 mjornt, 10 mx, 10 mximum, 10 mximun globl, 33 locl, 33 min, 10 minimum, 10 minimun globl, 33 locl, 33 minoré, 10 minornt, 10 o, 43, 44 plus grnd élément, 10 95

96 96 Index plus petit élément, 10 point ordinire, 87 polynôme, 67 degré, 67 divise, 68 division euclidienne, 68 multiplicité, 68 quotient, 68 rcine, 67 reste, 68 zéro, 67 primitive, 62 problème de Cuchy, 75 de condition initile, 75 subdivision, 24 suite, 11 djcentes, 13 bornée, 12 converge, 12 croissnte, 12 décroissnte, 12 de Cuchy, 13 limite, 12 limite infinie, 12 mjorée, 12 minorée, 12 numérique, 11 sous-suite, 11 sup, 10 tngente, 29 théorème de Bolzno-Weierstrss, 13 de Heine, 24 de Rolle, 35 des ccroissements finis, 35 des vleurs intermédiires, 22 Weierstrss, 22 totlement ordonné, 9