Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

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1 Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler lorsqu elles sont exctes. Le théorème de Poincré v nous donner un critère reltivement simple pour s ssurer qu une forme est excte. Toujours à l proposition 1.16, on commencé à générliser le théorème fondmentl de l nlyse en exprimnt l intégrle le long d une courbe γ d une forme différentielle ω en fonction des vleurs d une primitive de ω sur le bord de γ. L formule de Green-Riemnn est une générlistion en dimension 2 de ce résultt. Plus précisément, on v exprimer l intégrle d une fonction sur un ouvert simple de R 2 en fonction de l intégrle d une certine forme différentielle ω qui ser une primitive, en un sens à préciser) sur le bord de qui est une courbe) Dérivée extérieure d une 1-forme On commence pr introduire l dérivée d une 1-forme sur un ouvert de R 2 on verr u chpitre suivnt comment cel se générlise en dimension supérieure). Plus générlement, on définit dns ce prgrphe les 2-formes différentielles. Définition On note dx dy l ppliction { R dx dy : 2 ) 2 R u, v) u 1 v 2 u 2 v 1 detu, v) où on noté u u 1, u 2 ) et v v 1, v 2 ). Plus générlement, si ϕ 1 et ϕ 2 sont deux formes linéires sur R 2, on note ϕ 1 ϕ 2 l ppliction qui u couple u, v) R 2 ) 2 ssocie le réel ϕ 1 u)ϕ 2 v) ϕ 2 u)ϕ 1 v). Remrque En prticulier on dx dx, dy dy et dy dx dx dy. Définition Soit U un ouvert de R 2. On ppelle 2-forme différentielle de clsse C k une ppliction de l forme ω : x, y) fx, y) dx dy, où f est une ppliction de clsse C k de U dns R. ω est en prticulier une ppliction de clsse C k de U dns l espce des formes bilinéires sur R 2. Définition Soient U un ouvert de R 2 et ω fx, y) dx dy une 2-forme continue sur U. Lorsque cel un sens on note ω fx, y) dx dy. U U 75

2 L2 Prcours Spécil - Clcul différentiel et intégrl Définition Soit ω P x, y) dx + Qx, y) dy une 1-forme sur un ouvert U de R 2. On ppelle dérivée extérieure de ω sur U l 2-forme ) Q P dω x, y) x, y) dx dy. Remrque On en fit dω dp dx + dq dy. Exemple Si ω cosx + y) dx + x 2 y dy lors dω 2xy + sinx + y) ) dx dy. Définition On dit que l 1-forme différentielle ω est fermée sur U si dω sur U. Si on note ω P x, y) dx + Qx, y) dy lors ω est fermée sur U si et seulement si pour tout x, y) U on Q P x, y) U, x, y) x, y) Théorème de Poincré Soit U un ouvert de R 2. On fit mintennt le lien entre les 1-formes exctes utiles en prtique) et les 1-formes fermées propriété fcile à vérifier pr un simple clcul de dérivée). Proposition Une 1-forme excte de clsse C 1 sur U est fermée sur U. Démonstrtion. Soit ω P x, y) dx + Qx, y) dy une 1-forme excte sur U. Il existe une fonction f différentible telle que pour tout x, y) U on f x, y) P x, y) et f x, y) Qx, y). Comme P et Q sont de clsse C 1 sur U, f est en fit une fonction de clsse C 2. Pour tout x, y) U on lors pr le théorème de Schwrtz Cel prouve que dω. Q f x, y) x, y) f P x, y) x, y). Bien sûr, il serit plus intéressnt de montrer l contrposée, à svoir qu une forme fermée est excte. Ce n est mlheureusement ps vri en générl, mis le théorème de Poincré nous ssure que c est vri dès que l ouvert U est étoilé : Définition On dit de l ouvert U qu il est étoilé s il existe U tel que pour tout w U on [, w] U. On rppelle que [, w] est pr définition l ensemble {t + 1 t)w, t [, 1]}. Exemples R 2 est un ouvert étoilé de R 2. Une prtie convexe de R 2 est étoilée. L ouvert R 2 \ {, } n est ps étoilé. Théorème Théorème de Poincré). On suppose que U est un ouvert étoilé. Alors toute 1-forme différentielle fermée de clsse C 1 sur U est excte. Démonstrtion. On suppose que l ouvert U est étoilé pr rpport u point, b) et on considère une forme ω fermée sur U. Pour x, y) U on considère l courbe prmétrée { [, 1] U γ x,y : t + tx ), b + ty b)) 76 J. Royer - Université Toulouse 3

3 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Figure 11.1 Domines convexe et donc étoilé, étoilé mis ps convexe et non étoilé. puis on pose fx, y) ω. γ x,y Notnt ω P x, y) dx + Qx, y) dy cel donne fx, y) 1 P γx,y t))x ) + Qγ x,y t))y b) ) dt. Soit x, y ) U. Il existe un voisinge V de x dns R tel que x, y ) pprtient à V pour tout x V, et donc γ x,y t) U pour tous x V et t [, 1]. L ppliction t, x) P γ x,y t))x ) + Qγ x,y t))y b) ) est de clsse C 1 sur [, 1] V et s dérivée prtielle pr rpport à x est donnée pr P P γ x,y t)) + t γx,y t) ) x ) + Q γx,y t) ) ) y b). Pr le théorème de dérivtion sous l intégrle, on obtient que f est dérivble pr rpport à x et f 1 1 P x, y ) P γ x,y t)) dt+ t γx,y t) ) x ) + Q γx,y t) ) ) y b) dt. Soit x, y) U. Pour t [, 1] on note gt) P γ x,y t)). g est de clsse C 1 et pour t [, 1] on g t) P γx,y t) ) x ) + P γx,y t) ) y b). Comme ω est fermée, on églement Ainsi f x, y) g t) P 1 γx,y t) ) x ) + Q γx,y t) ) y b). gt) + tg t) ) dt 1 d ) tgt) dt g1) P x, y). dt De l même fçon on montre que f est dérivble pr rpport à y sur U et pour tout x, y) U on f x, y) Qx, y). Cel prouve que En prticulier ω est une forme excte. df P x, y) dx + Qx, y) dy ω. Année

4 L2 Prcours Spécil - Clcul différentiel et intégrl Remrque On note qu on obtient en outre une expression explicite pour une primitive. Exemple Attention, l forme différentielle ω x x 2 + y 2 dy y x 2 + y 2 dx. est fermée mis n est ps excte sur R 2 \ {, )} Formule de Green-Riemnn On dir qu un ouvert bornée de R 2 un bord C 1 pr morceux si s frontière est union finie de supports de courbes γ i pour i 1, N vec N N) fermées, simples, et C 1 pr morceux. On dir que est orienté de sorte que soit à s guche si pour tout i 1, N et lorsque t croit, le point γ i t) «se déplce en lissnt à s guche». Cel signifie qu en tout point γ i t), l bse ν, γ i t)) est directe, où ν est un vecteur norml sortnt u point γ i t). Figure 11.2 Orienttion du bord d un ouvert de R 2. Si U est un ouvert contennt l dhérence de et ω est une 1-forme continue sur U, on note lors N ω ω. γ i i1 On considère mintennt un ouvert élémentire de R 2 : { x, y) R 2 < x < b, ϕ 1 x) < y < ϕ 2 x) } { x, y) R 2 c < y < d, ψ 1 y) < x < ψ 2 y) }, vec < b, c < d, ϕ 1 et ϕ 2 sont C 1 pr morceux sur [, b], ψ 1 et ψ 2 sont C 1 pr morceux sur [c, d], et on ϕ 1 ϕ 2 et ψ 1 ψ 2. Lemme Soit P x, y) dx et Qx, y) dy deux 1-formes continues sur un ouvert U contennt. Alors on b P x, y) dx P t, ϕ1 t)) P t, ϕ 2 t)) ) dt et Qx, y) dy d c Qt, ψ1 t)) + Qt, ψ 2 t)) ) dt. Démonstrtion. On montre l première églité. L deuxième se montre de fçon nlogue. On prmètre le bord de à l ide des qutres courbes suivntes : γ 1 définie sur [, b] pr γ 1 t) t, ϕ 1 t)), γ 2 définie sur [ϕ 1 b), ϕ 2 b)] pr γ 2 t) b, t), γ 3 définie sur [, b] pr γ 3 t) t, ϕ 2 t)), γ 4 définie sur [ϕ 1 ), ϕ 2 )] pr γ 4 t), t). Pour toute 1-forme continue sur un ouvert contennt on ω ω + ω ω ω. γ 1 γ 2 γ 3 γ 4 78 J. Royer - Université Toulouse 3

5 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn En prticulier P x, y) dx b b P t, ϕ 1 t)) 1 dt + b ϕ2b) P t, ϕ 2 t)) 1 dt + P t, ϕ 1 t)) dt b ϕ 1b) ϕ2) P b, t) dt ϕ 1) P t, ϕ 2 t)) dt. P, t) dt On montre mintennt l formule de Green-Riemnn : Théorème [Formule de Green-Riemnn] Soit un ouvert élémentire de R 2 et ω une 1-forme de clsse C 1 sur un ouvert contennt. Alors on dω On rppelle que si on note ω P x, y) dx + Qx, y) dy on dω ω. ) Q P x, y) x, y) dx dy. Démonstrtion. D près le théorème de Fubini et le lemme précédent on dω d c d c x, y) dx dy Q ψ2y) ψ 1y) Q x, y) dx P x, y) dx dy ) b ϕ2x) dy ϕ 1x) ) P x, y) dy dx Qψ2 y), y) Qψ 1 y), y) ) b dy P x, ϕ2 x) P x, ϕ 1 x) ) dx Qx, y) dy + P x, y) dx ω. Remrque Ce résultt peut être étendus à des ouverts plus générux, pr exemple des ouverts simples. Les intégrles sur les frontières communes ux différentes prties élémentires se compensent. L formule de Green-Riemnn est utile dns les deux sens. Selon le problème considéré, on peut vouloir rmener un clcul d intégrle double u clcul d une intégrle curviligne ou l inverse. Exemple L formule de Green-Riemnn peut pr exemple servir à clculer l ire d un ouvert de R 2 vi l une des églités suivntes : Aire) x dy y dx 1 x dy y dx. 2 Année

6 L2 Prcours Spécil - Clcul différentiel et intégrl 11.4 Exercices Exercice 1. On considère sur le demi-pln U {x, y) R 2 x > } l forme différentielle ω x dy y dx x 2 + y 2. Montrer que ω est excte et déterminer ses primitives. Exercice 2. On considère sur le demi-pln U {x, y) R 2 y > } l forme différentielle ω 2x y dx x2 y 2 dy. 1. Montrer que ω est excte et déterminer ses primitives. 2. Soit Γ une courbe C 1 pr morceux llnt de A 1, 2) à B 3, 8). Clculer Exercice 3. On considère l forme différentielle ω y 3 6xy 2 )dx + 3xy 2 6x 2 y)dy. 1. Montrer que ω est excte sur R Clculer l intégrle de ω sur le demi-cercle supérieur de dimètre [AB], llnt de A 1, 2) vers B 3, 4). 3. On considère mintennt l courbe prmétrée γ : [, 1] R 2 définie pr γt) 1 + 3t t 2, 2 + 4t 2t 2 ). Clculer l intégrle de ω le long de γ. Exercice Déterminer l ensemble des fonctions ϕ de clsse C 1 de R dns R telles que ϕ et l forme différentielle ω définie sur R 2 pr ω 2xy 1 + x 2 dx + ϕx)dy, ) 2 est excte. 2. Déterminer lors une primitive de ω. 3. On considère l courbe Γ d éqution 3x 2 7y orientée dns le sens direct. Quelle est l nture de cette courbe? Clculer l intégrle de ω sur Γ. Exercice 5. On considère l nneu A {x, y) R 2 1 x 2 + y 2 4}. Retrouver l ire de A en utilisnt l formule de Green Riemnn. Exercice 6. On note D le contour du domine D défini pr D {x, y) R 2 x, y, x 2 + y 2 1}. Clculer l intégrle curviligne de ω xy 2 dx + 2xydy le long de D prcouru dns le sens direct 1. en utilisnt un prmétrge de D, 2. en utilisnt l formule de Green Riemnn. Exercice 7. Utiliser le théorème de Green Riemnn pour clculer les intégrles curvilignes suivntes les courbes sont prcourues dns le sens trigonométrique) 1. C R x 2 y dx + xy dy où C R est le cercle centré en, ) et de ryon R >, 2. C R x 2 y) dx + y 2 + x) dy où C R est comme précédemment, 3. T 2x2 + y 2 ) dx + x + y) 2 dy où T est le contour du tringle de sommets A 1, 1), B 2, 2) et C 1, 3), prcouru dns le sens direct. Exercice 8. Utiliser le théorème de Green Riemnn pour clculer l ire du domine délimité pr l courbe prmétrée pr θ cos 3 θ, sin 3 θ) pour θ llnt de à 2π. Γ ω. 8 J. Royer - Université Toulouse 3

7 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Exercice 9. Le but de cet exercice est de clculer l vleur de l intégrle 1. Montrer que cette intégrle est convergente. 2. On considère sur R 2 \ {, )} l forme différentielle ω + e y x ) ) ) sinx) y cosx) dx + x cosx) + y sinx) dy x 2 + y 2. Montrer que ω est fermée. 3. Soit R > 1. On considère le domine D R { x, y) R 2 y >, } 1 R 2 < x2 + y 2 < R 2, sinx) x et on note Γ R son contour, orienté de sorte à lisser D R sur s guche. Déterminer l vleur de ω. Γ R 4. Pour r > on note γ r le demi-cercle { x, y) R 2 y >, x 2 + y 2 r } 2, orienté dns le sens trigonométrique, puis I r γ r ω.. Étudier l limite de I r lorsque r tend vers. b. Montrer que I r tend vers lorsque r tend vers +. sinx) 5. En déduire l vleur de x dx. dx. Année

8 L2 Prcours Spécil - Clcul différentiel et intégrl 82 J. Royer - Université Toulouse 3