Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

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1 Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle : y 3 ( y 2) 1/3 2 solutions différentes ȳ : t 0 et ỹ : t t 3 correspondnt à l même donnée initile ȳ(0) ỹ(0) 0. Fire une représenttion grphique de ces deux solutions. Y--t-il une unique solution y de donnée initile y(0) 0? 1.2 Unicité dns l loi de Mlthus : Etnt donnée une constnte non nulle, considérons l éqution différentielle : y y (1) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette éqution différentielle si et seulement si, pour toute vleur t pour lquelle y(t) est définie, y est dérivle et vérifie y (t) y(t). ) Soit t y(t) une solution de cette éqution. Fixons-nous un instnt initil de référence t 0 et posons z(t) y(t)e (t t 0). (i) Montrer que y est une solution de l éqution différentielle (1) si et seulement si z est une solution de l éqution différentielle z 0 et que y(t) est définie u point t dès que z(t) est définie u même point. (ii) En déduire que z et y sont définies sur R tout entier. Clculer z(t) et y(t) pout tout t en fonction de l vleur y(t 0 ). ) Montrer que 2 solutions ȳ et ỹ de l éqution différentielle (1) qui se croisent (i. e. telles qu il existe une vleur t 1 telle que ȳ(t 1 ) ỹ(t 1 ) ) coïncident pour tout t. 1

2 1.3 Unicité dns l loi logistique : Etnt données des constntes strictement positives et, considérons l éqution différentielle : y y y 2 (2) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette éqution différentielle si et seulement si, pour toute vleur t pour lquelle y(t) est définie, y est dérivle et vérifie y (t) y(t) y(t) 2. A. Comment deviner l expression des solutions : ) Montrer que les fonctions constntes ȳ et ỹ, définies pr ȳ(t) et ỹ(t) 0 pour tout t, sont des solutions de l éqution différentielle (2) définies sur R tout entier. Montrer que ce sont les seules solutions constntes de l éqution différentielle (2), c est pourquoi nous les ppellerons dns l suite solutions sttionnires de l éqution différentielle (2). ) On rppelle qu une primitive de l fonction g(x) 1, définie sur ], 0 [ ] 0, + [, x est l fonction G(x) ln( x ). Clculer une primitive de l fonction h(x) 1 ; pour quelles vleurs de x est-elle définie? dérivle? clculer lors s x dérivée. c) Montrer qu il existe une fonction F, définie et dérivle en tout point x différent de 0 et de, et telle que d dx F (x) ( ). x x Clculer F (x) en tout point x ], 0 [ ] 0, [ ], + [. d) Fixons un instnt initil quelconque t 0 et intéressons-nous à toute solution y : t y(t) de l éqution différentielle (2) telle que y(t 0 ) soit différent de 0 et de. Cette solution est définie sur un intervlle ouvert 1 I ] α, β [ contennt le point t 0. Notons t 1 le dernier point de l intervlle ] α, t 0 [ où y prend l vleur 0 ou (si y(t) est différent de 0 et de en tout point t ] α, t 0 [, on pose t 1 α ). Notons t 2 le premier point de l intervlle ] t 0, β [ où y prend l vleur 0 ou (si y(t) est différent de 0 et de en tout point t ] t 0, β [, on pose t 2 β ). 1 Ici α peut éventuellement prendre l vleur (qund l solution est définie sur l intervlle ], β [ ) et β peut éventuellement prendre l vleur + (qund l solution est définie sur l intervlle ] α, + [ ). Enfin, lorsque l solution est définie sur R entier, on α et β +. 2

3 Pr définition de t 1 et t 2, y(t) est différent de 0 et de l intervlle ] t 1, t 2 [. (i) Montrer que F (y(t)) et vérifient d dt F (y(t)). (ii) Montrer que, pour tout t ] t 1, t 2 [, on en tout point de d dt F (y(t)) existent en tout point t ] t 1, t 2 [ et y(t) y(t) e (t t 0) y(t 0 ) y(t 0 ) Constnte. et que cette dernière constnte et son inverse sont strictement positifs. (iii) Montrer pr illeurs que, si α y(t) < t 1, lors y(t) e (t t0) ou son inverse devrit tendre vers 0 qund t tend vers t 1 à droite. Montrer que c est contrdictoire vec le résultt de l question (ii); en déduire que t 1 α. (iv) Montrer pr que, si t 2 < β y(t), lors y(t) e (t t0) ou son inverse devrit tendre vers 0 qund t tend vers t 2 à guche. Montrer que c est contrdictoire vec le résultt de l question (ii); en déduire que t 2 β. (v) En déduire que : - y(t) est différent de 0 en tout point de l intervlle I ] α, β [, - y(t) est différent de 0 en tout point de l intervlle I, - y(t) le même signe que y(t 0 ) sur tout l intervlle I, - y(t) le même signe que y(t 0) sur tout l intervlle I, - pour tout t I, y(t) y(t) e (t t 0) le même signe que y(t 0) y(t 0 ) - pour tout t I y(t), y(t) e (t t y(t 0) 0 ) y(t 0 ) Constnte. (vi) Posons C y(t 0). Montrer que, pour tout t 1 ] α, β [ et pour y(t 0 ) tout t ] α, β [,, 3

4 y(t) / 1 + C e (t t 0) y(t 0) ( ) y(t 0 ) + y(t 0) e (t t 0) y(t 1) ( ). y(t 1 ) + y(t 1) e (t t 1) e) Fixons un instnt initil quelconque t 0 et considérons mintennt n importe quelle solution t y(t) de l éqution différentielle (2), différente des solutions ȳ et ỹ considérées 2 à l question A ), définie sur un intervlle ouvert 3 I ] α, β [ contennt t 0. (i) En quoi l hypothèse y est différente de ȳ et de ỹ est-elle priori différente de l hypothèse y(t 0 ) est différent de 0 et de fite à l question d)? Donner des exemples de fonctions f et g, différentes de ȳ et de ỹ, telles que f(t 0 ) 0 et g(t 0 ). (ii) Montrer que cette hypothèse implique l existence d un même point t 2 ] α, β [ où y(t 2 ) est à l fois différent de 0 et de (on pourr utiliser le théorème des vleurs intermédiires). (iii) Montrer qu on lors, pour tout t ] α, β [ et tout t 1 ] α, β [, y(t) y(t 2) ( ) y(t 2 ) + y(t 2) e (t t 2) y(t 1) ( ). y(t 1 ) + y(t 1) e (t t 1) y(t 0) ( ). y(t 0 ) + y(t 0) e (t t 0) 2 Rppelons que l hypothèse y est différente de ȳ et de ỹ signifie qu il existe u moins une vleur de t I et une vleur t I telles que y(t) soit différent de 0 et y(t ) soit différent de. 3 Ici ussi α peut éventuellement prendre l vleur (qund l solution est définie sur l intervlle ], β [ ) et β peut éventuellement prendre l vleur + (qund l solution est définie sur l intervlle ] α, + [ ). 4

5 B. Comment prouver l unicité de l solution et comment trouver son intervlle mximl de définition : Fixons un instnt initil de référence quelconque t 0. Pour toute donnée de x 0 R, considérons l fonction x définie pr l formule x(t) x 0 ) x 0 + ( x 0 e (t t 0) On ppeller intervlle de définition 4 de x le plus grnd intervlle ] α, β [ contennt t 0 tel que x(t) et x (t) soient définies en tout point t ] α, β [. ) Montrer que x est une solution de (2) définie sur ] α, β [ et vérifint l condition initile x(t 0 ) x 0. ) Clculer x(t) pour tout t si l on connit s vleur x(t 1 ) en un instnt t 1 ] α, β [. c) S il existe un instnt t ] α, β [ tel que x(t) ȳ(t), montrer que ] α, β [ ], + [ et que x(t) ȳ(t) pour tout t R. d) S il existe un instnt t ] α, β [ tel que x(t) ỹ(t), montrer que ] α, β [ ], + [ et que x(t) ỹ(t) pour tout t R. e) Pour toute solution y de l éqution différentielle (2), différente des solutions ȳ et ỹ et définie sur un intervlle ] α, β [ contennt t 0, s il existe un instnt t ] α, β [ ] α, β [ tel que x(t) y(t), montrer que ] α, β [ est inclus dns ] α, β [ et que x(t) y(t) pour tout t ] α, β [. Pour cette dernière rison, l intervlle de définition ] α, β [ de l solution x est l intervlle mximl sur lequel est définie l solution de donnée initile x(t 0 ) x 0, c est pourquoi x est qulifiée de solution mximle de donnée initile x(t 0 ) x 0. Nous vons églement prouvé que x est l unique solution de donnée initile x(t 0 ) x 0 et que 2 solutions qui se croisent coïncident. En prticulier, une solution ne croise jmis une des solutions sttionnires (suf si elle est constnte et égle à cette solution sttionnire). f) Si 0 < x 0 <, montrer que l solution x est lors définie sur ], + [. Montrer que x(t) tend lors vers qund t tend vers + et que x(t) tend vers 0 qund t tend vers. Fire une représenttion grphique de cette solution tennt compte de toutes ces informtions. g) Si x 0 >, montrer que x ( 0 ) x 0 > 1 et que x 0 + x 0 e (t t 0) s nnule en un unique instnt t situé à guche de t 0. En déduire que l intervlle de définition de l solution x est lors de l forme ]α, + [. 4 Comme l fonction x dépend des vleurs de t 0 et de x 0, son domine de définition en dépend ussi, donc les vleurs de α et de β dépendent priori des vleurs de t 0 et de x 0, comme on pourr le vérifier dns les questions f) et g). Ici α peut éventuellement prendre l vleur (qund l solution est définie sur l intervlle ], β [ ) et β peut éventuellement prendre l vleur + (qund l solution est définie sur l intervlle ] α, + [ ). Enfin, lorsque l solution est définie sur R entier, on α et β +. 5

6 Dns ce cs, clculer α en fonction de t 0 et de x 0. Montrer que x(t) tend vers qund t tend vers + et que x(t) tend vers + qund t tend lors vers α. Fire une représenttion grphique de cette solution tennt compte de toutes ces informtions. x 0 ( h) Si x 0 < 0, montrer que > 1 et que x 0 + 0) x 0 x e (t t 0) s nnule en un unique instnt t situé à droite de t 0. En déduire que l intervlle de définition de l solution x est lors de l forme ], β [. Dns ce cs, clculer β en fonction de t 0 et de x 0. Montrer que x(t) tend vers 0 qund t tend vers et que x(t) tend vers qund t tend vers β. Fire une représenttion grphique de cette solution tennt compte de toutes ces informtions. 2 Un peu de cours : comment générliser cette démrche à d utres équtions différentielles? A quoi sert un théorème d unicité? Définition 2.1 Soit f une fonction de R dns R ; considérons l éqution différentielle 5 : y f(y) (3) Une solution sttionnire est une solution constnte de cette éqution; l vleur de cette constnte est l position d équilire correspondnte. Ainsi, les différentes positions d équilire de l éqution différentielle (3) sont les zéros de l fonction f, c est à dire les vleurs i telles que f( i ) 0. Comme dns les exercices précédents, on cherche à prouver l existence et l unicité de l solution d une éqution différentielle lorsqu on fixe s condition initile. Théorème 2.2 Soit f une fonction de R dns R ; considérons l éqution différentielle : y f(y) (4) Si f est dérivle en tout point de R et de dérivée continue 6, lors, à chque choix de l instnt initil t 0 R et de l vleur initile y 0 R, correspond une unique solution t y(t) de l éqution différentielle (4) qui vérifie l condition initile y(t 0 ) y 0 ; 5 Ceci signifie qu une fonction y est solution de l éqution différentielle (3) ou (4) si et seulement si, pour toute vleur t pour lquelle y(t) est définie, y est dérivle et vérifie y (t) f(y(t)). 6 On dit que f est prtout dérivle lorsque s dérivée f (x) existe pour tout x R ; on dit que s dérivée est continue lorsque l fonction x f (x) est elle-même continue en tout point x R. 6

7 l intervlle mximl sur lequel cette solution est définie (et dérivle) est de l forme I y0 ] α, β [, où α et β dépendent 7 de t 0 et de y 0. De plus, (i) Si y(t) dmet une limite y 1 qund t tend vers β (pr vleurs inférieures à β ), lors : - soit β est fini, et lors y 1 vut + ou, - soit β +, et lors y 1 vut +, ou, ou est égl à une des positions d équilire. (ii) Si y(t) dmet une limite y 2 qund t tend vers α (pr vleurs supérieures à α ), lors : - soit α est fini, et lors y 2 vut + ou, - soit α, et lors y 2 vut +, ou, ou est égl à une des positions d équilire. On utilise le théorème 2.2 pour démontrer les corollires suivnts : Corollire 2.3 Si f est dérivle en tout point de R et de dérivée continue, deux solutions différentes de l éqution différentielle : y f(y) (5) ne se croisent jmis; d utre prt une solution ne rencontre jmis une position d équilire (suf s il s git d une solution sttionnire), plus précisément : (i) si x et y sont deux solutions de l éqution différentielle (5) et s il existe un point t 1 tel que x(t 1 ) y(t 1 ), lors x(t) y(t) pour tout t, (ii) si x et y sont deux solutions mximles de l éqution différentielle (5) de même condition initile x(t 0 ) y(t 0 ), lors les intervlles de définition de x et de y coïncident et on x(t) y(t) pour tout t, (iii) si x et y sont deux solutions de l éqution différentielle (5) dont les intervlles de définition mximux sont notés respectivement ] α, β [ et ] α, β [, s il existe deux points t 1 et t 2 tels que y(t 2 ) x(t 1 ) et si on pose T t 2 t 1, on α α + T, β β + T et les deux solutions sont identiques, à un déclge dns le temps près, i. e. y(t) x(t T ) pour tout t, (iv) si i est une position d équilire de l éqution différentielle (5) (ce qui signifie que f( i ) 0 ) et si y est une solution de l éqution différentielle (5), lors soit y est une solution sttionnire vérifint y(t) i pour tout t, soit y(t) i pour tout t. 7 Ici α peut éventuellement prendre l vleur (qund l solution est définie sur l intervlle ], β [ ) et β peut éventuellement prendre l vleur + (qund l solution est définie sur l intervlle ] α, + [ ). Lorsque l solution est définie sur R entier, on α et β +. Enfin, les limites y 1 et y 2 que nous clculerons peuvent prendre une vleur finie ou les vleurs + ou +. 7

8 Corollire 2.4 Considérons l éqution différentielle : y f(y), (6) où f est une fonction dérivle en tout point de R et de dérivée continue; si les zéros de f sont en nomre fini et ordonnés pr ordre croissnt (i. e si les zéros sont notés 1, 2,..., k où 1 < 2 <... < k ), lors (i) si y est une solution dont l donnée initile y(t 0 ) y 0 vérifie i < y 0 < i+1 (où 1 i k 1 ), lors son intervlle mximl de définition est ], + [, on i < y(t) < i+1 pour tout t, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ] i, i+1 [, et lors t y(t) est croissnte et vérifie : lim y(t) i, lim y(t) i+1, t t + soit f(x) < 0 pour tout x ] i, i+1 [, et lors t y(t) est décroissnte et vérifie : lim y(t) i+1, lim y(t) i, t t + (ii) si y est une solution dont l donnée initile y(t 0 ) y 0 vérifie y 0 > k, lors on y(t) > k pour tout t situé dns l intervlle de définition, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ] k, + [, et lors t y(t) est croissnte, l intervlle mximl de définition de cette solution est de l forme ], β [ (où β est soit fini et supérieur à t 0, soit égl à + ), et on : lim y(t) k, lim y(t) +, t t β soit f(x) < 0 pour tout x ] k, + [, et lors t y(t) est décroissnte, l intervlle mximl de définition de cette solution est de l forme ] α, + [ (où α est soit fini et inférieur à t 0, soit égl à ), et on : lim y(t) +, lim y(t) k, t α t + (iii) si y est une solution dont l donnée initile y(t 0 ) y 0 vérifie y 0 < 1, lors on y(t) < 1 pour tout t situé dns l intervlle de définition, et de plus soit f(x) > 0 pour tout x ], 1 [, et lors t y(t) est croissnte, l intervlle mximl de définition de cette solution est de l forme ] α, + [ (où α est soit fini et inférieur à t 0, soit égl à ), et on : lim y(t), lim y(t) 1, t α t + soit f(x) < 0 pour tout x ], 1 [, et lors t y(t) est décroissnte, l intervlle mximl de définition de cette solution est de l forme ], β [ (où β est soit fini et supérieur à t 0, soit égl à + ), et on : lim y(t) 1, lim y(t). t t β 8

9 Appliction 1 : Etnt données des constntes strictement positives et, considérons l éqution différentielle : y y 2 y (7) ce qui signifie qu une fonction y est solution de cette éqution différentielle si et seulement si, pour toute vleur t pour lquelle y(t) est définie, y est dérivle et vérifie y (t) y(t) 2 y(t). ) Donner toutes les solutions constntes et les positions d équilire de l éqution différentielle (7). ) Sur une même figure, dessiner le grphe des solutions constntes, puis (en utilisnt les résultts ci-dessus), l llure d une solution y telle que 0 < y(0) <, l llure d une solution y telle que y(0) >, l llure d une solution y telle que y(0) < 0, l llure d une solution y telle que y(0) et l llure d une solution y telle que y(0) 0 c) On se donne des vleurs réelles y 0 ] 0, [ et t 0 R. Connissnt l solution ỹ telle que ỹ(0) y 0, en déduire l solution y telle que y(t 0 ) y 0. d) Dns chcun des cs suivnts, clculer l solution mximle y de l éqution différentielle (7) de donnée initile y(t 0 ) y 0, préciser son intervlle mximl de définition ] α, β [ et l limite de y(t) qund t tend vers α et qund t tend vers β : qund 0 < y(t 0 ) <, qund y(t 0 ) >. e) D près l nlyse priori de ce modèle fite u chpitre 1, à quel type de popultion peut éventuellement s ppliquer le modèle donné pr l éqution différentielle (7)? Appliquons ce modèle à une popultion d une certine espèce d oiseux. Montrer que le modèle prévoit que, si l popultion de cette espèce se situe à un certin moment en dessous d un certin seuil S, lors cette espèce s éteint petit à petit. Clculer ce seuil S en fonction des coefficients et de l éqution différentielle (7). Est-ce une conclusion réliste? A-t-on déjà oservé des popultions en voie d extinction? Montrer que le modèle prévoit que, si l popultion de cette espèce se situe à un certin moment u dessus d un certin seuil S, lors il existe une dte β telle que cette popultion explose (i. e. tende vers l infini) à cette dte. Clculer ce seuil S et cette dte β en fonction des coefficients, de l éqution différentielle (7), de t 0 et de y(t 0 ) y 0. Est-ce une conclusion réliste? A-t-on déjà oservé des popultions qui explosent à une dte donnée? Le monde y survivrit-il? Modifier le modèle de mnière à répondre ux ojections éventuelles. 9

10 Appliction 2 : Si les théorème et corollires ci-dessus sont vris, comment se fit-il que l éqution différentielle y 3 (y 2 ) 1/3 dmette (d près l exemple 1.1) deux solutions différentes ȳ et ỹ de même donnée initile : ȳ(0) ỹ(0) 0? 10