Trading de Volatilité

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1 M émoire moire d Eude d Approfodisseme Tradig de Volailié Chrisia DIDION & Thomas JANNAUD Valdo DURRLEMAN Ecole Polyechique

2 Sommaire Iroducio. Modèle de Blac-Scholes. Iroducio 44. Modèle de Blac & Scholes Sesibiliés e couverure associée Les «Grecques» Simulaios de rajecoires e erreur associée Volailié implicie Ifluece de la volailié sur les prix Volailié empirique Imporace de l erreur de couverure Les «Grecques» e le radig de volailié Volailié.9.5 Applicaio au radig..4. Le modèle CEV Coclusio Aexes. Iroducio.4 3. Des élémes de calculs Desié de probabilié Formule du Call Approximaios Approximaio de Schroder Approximaio de Saara Volailiés Impac du faceur e de la maurié Simulaios 4

3 Iroducio Le radig de volailié es ue des caracérisiques esseielles des marchés d opios : la volailié es ue mesure de quaificaio du risque de reme e de prix dʌu acif fiacier. E effe pour de ombreux observaeurs les marchés d opios so ava ou des marchés où se cofroe l offre e la demade de volailié Nadi e Wagoer [] : les orgaismes fiaciers s egage das l acha ou la vee d opios misa pricipaleme sur leur habilié à prévoir la volailié fuure des acifs sous-jaces ou e se couvra core les variaios de prix. D ailleurs lʌuilisaio du modèle e de la formule Blac-Scholes es rès répadue sur les marchés fiaciers à el poi que ceraies coaios e se doe qu e iveau de volailié e o plus e prix absolu. Das ue première parie ous aborderos e déails le modèle de Blac & Scholes afi d e dégager les grades liges e les sraégies classiques de radig qui y so associées mais aussi les limies de ce modèle oamme cocera l absece de prise e compe du caracère o cosa de la volailié. Aisi ous élargiros l éude au modèle CEV ue exesio classique du modèle de Blac & Scholes permea l iroducio d ue volailié sochasique e aisi de mieux décrire cerais ypes de marchés. Les algorihmes implémeés das ce ravail o éé écris à lʌaide du lagage scilab e les codes de ces algorihmes se rouve e aexe à la fi du rappor. Nous avos uilisé d aures logiciels do oamme Maple pour l éude de cerais calculs qui apparaîro doc pixellisés au leceur aeif. Nous eos d ores e déjà à remercier Mosieur Niar Toui pour sa formaio e Mahémaiques Sochasiques à l Ecole Polyechique e plus pariculièreme Mosieur Valdo Durrlema qui ous a apporé ou so souie e sas qui cee éude aurai pas éé possible. 3

4 . Modèle de Blac-Scholes. Iroducio Ue opio fiacière es u produi fiacier qui doe le droi e o lʌobligaio - dʌacheer ue acio appelée sous-jace «S» : o parlera das ce cas de call «c» - ou de vre le sous-jace : pu «p» - à u prix prédéermié à lʌavace appelé le srie «K» éude - à ue échéace doée pour les opios européees qui fero l obje de cee Cee opio se égocie sur u marché dʌopios spécialisé core ue prime : o parlera du prix de l opio. Le résula dʌue opio à so échéace le «pay-off» e dép que du prix du sous-jace. Le résula - pour lʌacheeur dʌu call sera - pour le veur dʌu call sera La formule de Blac-Scholes perme le calcul de la valeur héorique dʌue opio à parir des doées suivaes : - la valeur acuelle de lʌacio sous-jacee : S - le emps qui rese à lʌopio ava so échéace : T- - le prix dʌexercice fixé par lʌopio : K - le aux dʌiérê sas risque : r - la volailié du prix de lʌacio : sigma Le prix héorique dʌue opio dʌacha call es caracérisé par so pay off: Nore bu es de calculer ere aure le prix de l opio qui es doé par lʌespérace du pay off fial acualisé 4

5 . Modèle de Blac & Scholes Pour ce faire il covie d explicier les hypohèses du modèle de Blac Scholes u modèle à deux acifs : l u risqué l aure pas. À l isa le prix de l acif sas risque es R e le prix de l acio es S. O a les hypohèses suivaes : - S sui u mouveme browie géomérique - σ la volailié es coue à lʌavace e es cosae - L acha e la vee de sous-jace es possible à ou mome e sas frais ce qui s ue limie au modèle au vu de la réalié des rasacios - L acha e la vee es illimiée : l iroducio d u plafod complique sérieuseme le modèle - Les vees à découver so auorisées or ous les marchés e permee pas e héorie cee hypohèse - Il Ʌy a pas de divide - r le aux dʌiérê es cou à lʌavace e es cosa - L opio es européee O suppose que : où R représee le aux d iérê isaaé. E fai o va prre Ro. Le prix de l acio {S} es régi par l équaio différeielle sochasique où µ es u paramère réel pee de la parie liéaire e le paramère σ s appelle la volailié de {W} mouveme Browie sadard e quaifie le degré du caracère aléaoire de l évoluio de S. Das le modèle de Blac Scholes origiel les paramères r µ e s so des cosaes. O a das ce cas O cherche u porefeuille auofiaça pouva répliquer parfaieme ue opio. U porefeuille de valeur v a ou isa cosiue de acios e d ue quaié de cash v S es auofiaça si 5

6 dv v S r d ds Ue focio v S suffisamme coiue elle que v v S devrai vérifier par la formule d Iô : dv v ½ σ² S² vʌʌ xx d vʌ x s Aisi si ue elle focio exise écessaireme Aisi v es soluio de v S r vʌ ½ σ² S² vʌʌ xx e vʌ x. v x vʌ x r vʌ ½ ² x² vʌʌ xx e vt x hx afi que le porefeuille soi égal au pay-off e T. Aisi si ue elle focio v exise alors v S réplique exaceme l opio. E effecua le chageme de variable vxexpru/σl[x-r-/σ²] o es rameé à u problème de Diriche admea comme uique soluio uxe[pxw] xw]] où pexp-rthexpr-/σ²t σx Ceci prouve l exisece e l uicié d ue elle focio v. Le prix de l opio es doc doe par v So. Ecoomiqueme parla puisqu il exise ue sraégie «répliquae» de l opio avec u el prix p l opio e peu êre vue à u prix plus hau ou plus car il y aurai das le cas coraire des possibiliés d arbirage. Il es remarquable que l o puisse écrire C sous la forme d u pay off fial acualisé : Le pay off fial acualisé es 6

7 d où Soi e uilisa l expressio iégrale de ST doe avec Limies du modèle: : lʌexpériece more quʌe réalié la volailié dép du prix dʌexercice e de la maurié e plus des hypohèses de o plafoeme e de la grauié des rasacios. Grâce à cee formule ous allos pouvoir défiir ue sraégie d ivesisseme e ea de réduire le risque à éro pour cela o va uiliser la codiio d auofiaceme qui perme de déermier la dyamique de la valeur d u porefeuille. 7

8 .3 Sesibiliés e couverure associée Si ue baque commercialise des opios ou des produis dérivés pour u clie e dehors du marché fiacier elle se rouve face à u problème pour gérer ce risque. Si l opio es coée sur u marché elle peu aiséme euraliser so risque. Elle v l opio e achèe la même sur le marché e réalisa juse ue opéraio de courage. Cepa aux vues du développeme acuel du marché u cora peu êre vu pour u besoi spécifique sas qu il ai forcéme de cora correspoda coé sur le marché. Le risque supporé par la baque devie plus difficile de gérer. Par ue sraégie de couverure elle peu euraliser so risque ce que l o va morer e uilisa u algorihme sous scilab..3. Les «Grecques» La sesibilié de l opio es mesurée par ciq paramères qu o appelle grecques : - le Dela mesure la sesibilié éa la dérivé de la valeur d ue opio par rappor aux variaios du prix du sous-jace : o s iéressera ici beaucoup au Dela qui joue u rôle pariculier c C S - le Gamma mesure la sesibilié de l opio aux variaios du Dela Γ S C - le Thea mesure la sesibilié d ue opio au emps resa jusqu à l échéace au emps T Θ C C τ - le Vega mesure la sesibilié de l opio par rappor à σ V C C S τ Φ d σ σ - le Rho mesure la sesibilié d ue opio au aux d iérê à cour erme : o se s iéressera pas ici au Rho aux vus des modèles uilisés 8

9 Dela : Le Dela mesure la variaio de l opio lorsque le sous-jace varie d ue uié. D après la relaio d auofiaceme le Dela ous doe le ombre d acios à uiliser pour couvrir ue opio. O rappelle que pour le Call : c C Cs N d S Sous-jace Ifluece du prix du sous jace sur la valeur du call Sous-jace Ifluece du prix du sous jace sur la valeur du pu 9

10 K K Ifluece du sous-jace sur le dela avec Kprix du srie Pour couvrir sa posiio le veur de call ue posiio e Dela-eure. Il cosiue u porefeuille d acios. Sur u cerai ombre d acios il respece oujours deux codiios: acheer acios par call vu gérer e coiu Exemple cocre Soi calculé par des méhodes de pricig. Pour couvrir la vee d u call la baque achèe doc acios par opio vue. Si elle v opios d achas o a doc la posiio suivae: - La posiio acheeur logue es : acios - La posiio veur coure es : opios. Le dela global d ue posiio es le gai posiif ou égaif réalisé lorsque le cours de l acio augmee d ue uié. O cosidère ici que le prix de l acio e du call so ormalisés à ue uié moéaire. Si l acio moe de o a alors les gais suivas - Gai posiio coure pour opios :. - Gai posiio o logue pour acios :. Le global vau doc. O peu uiliser ce processus pour - u acheeur de call aussi avec ue posiio iversée posiio de veurs d acifs par call acheé - u acheeur de pu posiio logue pu couvere par ue posiio logue acio

11 - u veur d opio de pu posiio coure pu couvere par ue posiio coure l acio O fera des simulaios avec scilab e emps discre car bie évidemme la oio de emps coiu es impossible à respecer au sei du marché pour des raisos évidees de emps d ajuseme aisi que paieme des rasacios qui e so pas grauies. Le Gamma Γ Gamma es la variaio du dela d ue opio quelcoque lorsque l acif sous-jace varie d ue uié. Γ S C Css Φ d Sσ τ Φ es la focio de desié de la loi ormale cerée réduie. Lorsque le sous-jace es près du srie le es isable pour impore quelle opio d où u Γ élevé. Loi de cee posiio le es sable K Le Gamma e focio du sous-jace Le Γ es impora das ue sraégie dela eure. Si le Γ es élevé les rééquilibrages sero ombreux à cause de la fore isabilié de la couverure. La sraégie idéale de dela eure correspod à u Γ e u proche de. Thêa Θ Θ doe la sesibilié de l opio par rappor au emps. La valeur d ue opio dimiue avec le emps : Θ es oujours égaif. Das cee éude o s iéressera peu au rôle de Θ lors de la sraégie de dela eure.

12 Pour le call : Θ C C τ K Thêa e focio du sous-jace Remarque : Pour u call o a : Θ rs /σ²s²γ rc Le Véga V V mesure la sesibilié du prix de l opio par rappor aux variaios de la volailié de l acio. Pour le call o a: V C S d σ C τ Φ σ Il es iéressa de oer que la valeur de l opio d acha es ue focio croissae de la volailié. E effe ue volailié fore augmee les chaces d exercer le call e augmee doc so prix. Das le cas du modèle de Blac ad Scholes V sera peu uilisé car σ es cosae.

13 Vega e focio du sous-jace à σ cosa. K Rho ρ : Rho mesure la sesibilié du prix de l opio par rappor au aux d iérê r. Cela mesure le risque lié à la variaio du aux d iérê à cour erme. Das le modèle de Blac ad Scholes rho a peu d iérê car r es supposé cosa e e praique sur la durée de vie de l opio r e varie pas rop. Au vu de ces doées ous avos simulé des rajecoires d acios afi de calculer à chaque pas δτττ le dela associé afi de oujours coserver das ore porefeuille ue posiio à risque eure : o cosidère que l o uilise seuleme des posiios sur des calls e le sous- jace associé. Le programme se rouve e aexe. O peu redoer quelques repères fodameaux : - u call a u posiif compris ere e ; - u pu a u égaif compris ere e ; - le sous-jace a u de ; l acif sas risque a u ul. - ue opio proche de la moaie a souve u voisi de ½ ou - - ue opio rès «das la moaie» a u ~ ou - car elle a ue fore probabilié d êre exercée - ue opio rès e dehors de la moaie a u ~ : o e l exerce pas Remarque sur la dépace du prix de l opio par rappor au srie: Le call par exemple a plus de chace d êre exercé si le srie es faible. De ce fai la prime es corrélée égaiveme par rappor au srie. P P P 3 K K K 3 3

14 .3. Simulaios de rajecoires e erreur associée Simulaio : Pour oues os simulaios ous avos choisi u S 3 e u srie K Voici les résulas associés à os simulaios : E ver : ue rajecoire e oir le dela associé e e bleu le dela moye à u isa doe. K Le dela se sabilise rès foreme à l approche de la maurié : le prix de l opio éa coiu si celui ci es bie au dessus du srie ava maurié puisqu il va ceraieme falloir payer le call a l acheeur il es ormal de chercher à s assurer core ce risque e posséda lʌacio. e iverseme si le prix ava maurié es bie e dessous du srie. Rappel Hisogramme de lʌerreur sur simulaios. 4

15 De ombreuses aures simulaios coduise à cee forme pour l erreur. Derma more que la volailié vérifie [] : O a doc comparé os valeurs simulées avec la formule de Derma résulas résumés brièveme ci-dessous. O a pu prouver que lʌespérace de lʌerreur vers comme /N. La démosraio de ce résula es e aexe. pas T d sigma² formule_derma Les représee les valeurs de logsigma² pour T 5 e focio de logpas. La pee de la courbe bleue es de. La courbe bleue représee la formule approchée de Derma. O remarque aussi que σ e dép que de peu de paramères au vu du ableau. O a aisi logσ a logpas ie σ ² e es le ombre d iervalles 5

16 Hisogramme de lʌerreur sur simulaios. E rouge le racé d ue gaussiee de même variace cerée. Ce graphe es pariculièreme iéressa : a priori e para d u porefeuille de valeur ulle o e peu pas créer de richesse de maière ceraie. Le modèle de Blac Scholes idique d ailleurs quelle sraégie perme d obeir u risque ul. Cepa e discre puisque das la réalié o e peu avoir de sraégie e emps coiu si la moyee de l erreur semble êre ulle l erreur elle e l es pas. O revira sur ce poi ulérieureme. Nous allos ous iéresser aux causes de l erreur : Quelles formes du sous jace coduise à ue erreur posiive ou égaive? Eude des cas exrêmes : - Cas : le sous jace augmee oujours e sui ds µ Sd σ S d - Cas : le sous jace dimiue oujours e sui ds µ Sd σ S d Ces cas correspode à de «faux» mouvemes browies : ue marche aléaoire où il y a pas de rebrousseme de chemi. Das le premier cas Erreur -83 Das le secod Erreur -7 6

17 Alors que l o pourrai s are a ue erreur posiive e l aure égaive il e es rie. Eude des rajecoires Nous avos effecué d aures simulaios e avos exhibé les rajecoires du prix de l acio coduisa a u résula fial rès gaga ou rès perda cʌes-à-dire lorsque l erreur es supérieure à e valeur absolue. E ver les rajecoires perdaes e bleu les gagaes. rajecoires perdaes rajecoires gagaes. 7

18 Comme me o peu le remarquer sur les graphes précédes il e semble pas a première vue y avoir de poi commu ere rajecoires de même ype : par exemple o aurai pu peser à des caracérisiques commues du syle dépar for suivi d ue pere de viesse ou iverseme. O va ici comparer simulaéme des rajecoires gagaes e perdaes. Sur ces deriers graphes comparés o e peu pas o plus relever simpleme des pois commus. Sur le premier graphe la rajecoire gagae es bie e dessous de la perdae puis presque égale par la suie. La gagae es bie au dessus de la perdae ava que ces rajecoires e se rejoige. Il covira doc de s iéresser à u aure faceur : la volailié 8

19 .4 Volailié Remarque sur le modèle de BS. Le modèle de Blac e Scholes e dép fialeme que d u paramère o direceme observable : la volailié. C es ue mesure de l ampliude du phéomèe aléaoire qui régi le cours d ue acio. De plus les formules de prix e les sraégies de couverure associées so avec ce modèle héorique e prea des acifs simples comme u call ou u pu rès facileme calculables d où sa porabilié au mode de l ereprise sacha qu e plus ce modèle aule e héorie le risque lié aux opéraios de couverure Remarque des fodaeurs de cee héorie Il exise u phéomèe iéressa relaé par Fisher Blac lui-même : l uilisaio massive de ce modèle par les praicies a pour effe d impacer par so exisece le cours des acifs. «Les opéraeurs save maiea uiliser la formule e les variaes. Ils l uilise elleme bie que les prix de marché so gééraleme proches de ceux doés par la formule même lorsqu il devrai exiser u écar impora».4. Volailié implicie C es le seul paramère o direceme observable. Ceraies opios simples so coées sur des marchés orgaisés d où il es aisé d obeir des reseigemes sur ce paramère e se serva des doées du marché. Il fau exraire la volailié par u moye précis. Ue méhode qui pourrai êre uilisée es celle de l esimer saisiqueme à parir de l observaio des cours. O e l emploi pas du fai que la culure des milieux fiaciers es a-saisique mais aussi parce les fiaciers o beaucoup plus cofiace das le marché que das le modèle. Du coup o iverse le problème: la formule de Blac-Scholes doa le prix de l opio d acha es ue focio de paramères cous à l isa ie S K T e d u paramère icou : la volailié sigma. O vérifie que la formule de Blac-Scholes es ue focio sriceme croissae e coiue de sigma bijecive sur l esemble des valeurs a priori possibles de l opio. O uilise alors le prix de marché pour exraire umériqueme la volailié implicie soluio uique à l isa de l équaio C S TK σ implicie Prime coée K T pour ue coaio de l acif S. Das le cas de Blac e Scholes la volailié implicie devrai e héorie égaler la volailié hisorique se défiissa par l écar ype des remes du sous jace. 9

20 E réalié o observe u comporeme différe : La volailié implicie dép de la maurié e du srie de l opio. Cee dépace éa d aua plus fore que la maurié de l opio es coure. La forme de la courbe es ou à fai sigificaive o parle d u smile de volailié. Volailié implicie du call e focio du srie Ce graphique ous idique la dépace au srie de la volailié d ue opio d acha européee. σ σ K De maière plus géérale la volailié implicie es ue focio σ σ i TK représeée das u espace 3D par ue«appe de volailié». O voi que le smile es l iersecio de cee appe e d u pla orhogoal à l axe T. L iersecio avec u pla orhogoal à l axe K es ue courbe die de srucure par ermes. Il exise ypes de ace cocera les courbes de smile comme moré sur le graphique : le smile opios sur devises covexe d abord décroissa puis croissa e le smile pour opios sur acios covexe e décroissae sur ous les sries.

21 Opios sur devises Opios sur acios.4. Ifluece de la volailié sur les prix T srie So 3 r 5% Prix de l opio e focio de sigma

22 sigma e focio du prix de l opio Sur ces deux graphiques l u es bie eu le symérique de l aure par rappor a la droie d équaio y x o peu se rre compe que σ e p so liés par ue relaio quasi-liéaire. La croissace du prix d ue opio par rappor à σ peu s expliquer de la maière suivae : Le prix es boré iférieureme par Le prix d ue acio es pas boré supérieureme Plus ue acio es volaile plus elle aeidra des valeurs grades e plus o a de chaces d exercer l opio. Ceci r le call rès aracif pour le clie qui gage S K où K es fixé à l avace. Par u raisoeme d offre e de demade ou bie de coû pour le veur iérê à vre ue elle opio o peu doc comprre que plus sigma es grad plus le prix de l opio es élevé. O peu relier ceci au Vega do o a parlé précédemme ici la courbe es quasiliéaire de par le fai que das Blach Scholes σ es ue cosae. O peu aussi simuler la surface de volailié associée comme décri das le paragraphe précéde e uilisa le modèle de Blac Scholese ce afi de relier le prix p aux paramères T e K :

23 .4.3 Volailié empirique Lors des simulaios précédees des rajecoires gagaes e perdaes o a a priori pas rouvé de poi commu ere oues les rajecoires gagaes : cepa il covie de s aarder sur la volailié empirique ie réalisée. E simula le prix S du sous jace par rappor à ue volailié sigma il se peu que l o soi sur ue rajecoire ω Ω elle que S varie rès peu ou au coraire rès foreme pour la même raiso si o simule u mouveme browie o peu obeir des rajecoires sas rebrousseme. O peu alors cosidérer que S a suivi l équaio : ds µ Sd σ ' SdW Avec σ la volailié réalisée : o cherche alors quel es ce σ qui correspod le plus à ore rajecoire. O rappelle volailié réalisée l expressio défiie comme sui uiqueme pour ue acio qui sui Blac & ScholesBS : Si σ '² Varl S i E effe si ds µ Sd σ SdW Alors e prea la forme iégrée de Blac & Scholes o a immédiaeme Si l S µ σ ² / Wi W S σ i i D où Si Varl σ '² S i Si l acif suivai u modèle BS de paramère σ que l o e coai pas o pourrai a priori le calculer aisi coaissa S pour ou. E effe sur ue rajecoire du browie doée presque sureme N Wi Wi² > doc quad le pas vers o a bie la formule de la variace éocée plus hau Cepa ici o e coai qu u ombre fii de valeurs de S e doc même si le sous jace suivai effeciveme le modèle de Blac & Scholes o aurai σʌ différe de σ. o oera oujours σ Ʌ la volailié réalisée. 3

24 Das les simulaios même si S es simulée avec le modèle de Blac Scholes e le paramère σ c es σʌ qui es le paramère perie. O esime le prix du pay-off fuur e pesa que S va avoir ue volailié σ mais fialeme S sui ue rajecoire avec ue volailié réalisée de σʌ ce qui fai que le pay-off a plus comme valeur fiale mais ue valeur fiale o ulle. Plus claireme le prix d u call es ue focio croissae de sigma d où les propriéés suivaes. O pese que S va avoir ue volailié σ doc o fai payer le prix correspoda au clie. Or S a esuie ue volailié réalisée de σ Ʌ. Si σ Ʌ < σ le clie paie le call plus cher que ce qu il aurai du. Nous ous rerouvos doc avec V ii V auofia résidu residu >. V auofia es le prix du call avec σ Ʌ comme paramère. Il perme d obeir u P&L fial ul sas risque. Nous ous rerouvos doc gagas si σ Ʌ < σ Le même raisoeme ie ecore si σ Ʌ > σ Il fau bie comprre que si S suivai vériableme le modèle de Blac Scholes avec σ comme paramère puisque l o e fai pas de quelcoque moyee sur les rajecoires du browie mais que l o e choisi ue e pariculier alors ou peu se produire : le mouveme browie peu êre oujours croissa par exemple ou bie il peu osciller ere - e sur ue rès logue période avec ue «pee» le browie es p.s o dérivable rès faible. Mais si e moyee le browie au carré es e b.sqr e chaque ; o peu à juse ire peser que ce browie es plus suscepible d avoir ue volailié b que σ. Il e fau pas cofodre volailié réalisée e implicie. Le marché pese que l acio a ue volailié égale à la volailié implicie. Il e dédui u prix pour le call correspoda. C es e chercha pour quelle volailié o obie le prix du marché que l o peu e déduire la volailié implicie. Ceci peu se faire rès simpleme par dichoomie lorsque l o a la focio Prix fσ qui es ue focio croissae. Programme réalisé code e aexe 4

25 graphique de σ ² σ² e focio de l erreur Au vu de ce graphique l erreur es claireme corrélée à la volailié réalisée du sous jace. A la lumière de cee remarque o peu éudier de ouveau les rajecoires gagaes e perdaes e o peu se rre compe qu effeciveme les rajecoires gagaes e bleu semble plus «aplaies» e ce ses qu elles so mois volailes que les perdaes. 5

26 .5 Applicaio au radig.5. Imporace de l erreur de couverure O morera que l erreur de couverure es proporioelle à la racie du pas de emps que l o oera /. Aisi pour diviser l erreur par il fau doc réacualiser le porefeuille 4 fois plus souve. T3>T T>T T Gamma d u call opio call pour des mauriés différees. T 365 j T 3 j T 7 j Hisogrammes de l erreur de couverure pour différes pas de réacualisaio. - L erreur de couverure es cerée e idépae du faceur haussier ou o de l acio - L erreur de couverure es d aua plus grade que la réacualisaio es faible - Le Gamma es plus éroi e plus impora pour des mauriés plus imporaes cʌes-à-dire proches du emps d exercice : il es plus difficile de se couvrir juse ava l échéace surou au voisiage du srie. - E Aexe ous avos mis ue démosraio cocera u ecadreme de cee erreur 6

27 .5. Les «Grecques» e le radig de volailié O rappelle que pour u porefeuille de call das le modèle de Blac ad Scholes : Θ rs /σ²s²γ rv Or ue sraégie classique d ue baque voire plus préciseme des mare-maers qui e parie pas pari sur le ses de lʌévoluio du sous-jace es d avoir u dela proche de : o parle de sraégie dela eure. Θ /σ²s²γ rv Pour ue baque la plupar du emps V c es-à-dire que les posiios coures fiace les posiios logues d où Θ /σ²s²γ O peu aussi se rameer à cee équaio de maière plus simple e prea r ce que l o peu faire e gééral e cosidéra des valeurs acualisées : das ce cas o peu aussi éudier la sraégie d u rader qui va eer d uiliser la volailié pour faire u gai. O voi doc claireme que le Θ e le Γ défii précédemme d u porefeuille dela-eure so de siges coraires. O rappelle qu u Θ > es u avaage car le porefeuille pr de la valeur avec le emps : de ce fai o peu se demader s il vau oujours mieux avoir u Θ > quie à avoir u Γ <. Or ceci es pas évide car selo que le sige du gamma du porefeuille iiialeme la variaio du cours de l acio S aura ue coséquece différee sur le dela e sur la valeur de ce porefeuille. Si gamma es posiif iiialeme éa la dérivée secode du porefeuille par rappor à S la valeur V du porefeuille sera iiialeme ue focio covexe de S e sa variaio sera posiive quelque soi la variaio de S. Ue posiio gamma posiive bééficie doc de ou mouveme de cours du sous-jace alors que les mêmes mouvemes coduiraie à des baisses de la valeur d u porefeuille gammaégaif. De ce fai e radig l avaage d u porefeuille gamma-posiif es évide. E gros e maière de volailié si la volailié augmee ere le mome où le rader achèe e exerce so opio il es gaga. Cepa cee aalyse a de ses que localeme. La posiio es assimilable à ue parabole qu aux eviros du prix auquel la couverure d-eure a éé raiée. Il e fau pas oublier que ou le challege cosise à gérer so Thêa e so Gamma qui so oujours de siges opposés. 7

28 V La variaio du porefeuille d ue posiio dela-eure dû à la variaio δs du prix s écri localeme : δv V ½.Γ. δs² S VS es doc localeme ue parabole do l exrémum correspodse présee doc localeme comme ue parabole do l exremum correspod au cours S pour lequel. Ue posiio gamma posiive das ce cas-là es gagae quelque soi le ses de variaio. Acheer ue opio es équivale à acheer de la volailié doc o a iérê à ce que la volailié fuure soi la plus fore possible pour le call. Das ce cas le fai de gérer des opios e uilisa le gamma es u pari sur la différece ere la volailié iiiale e la volailié fuure. Cepa comme évoqué précédemme le fai d avoir u Γ posiif es modéré par le fai d avoir u Θ égaif e de plus cee peie aalyse a de ses que de maière locale. La parabole es ue modélisaio qu au voisiage du prix pour laquelle o a fai ue couverure dela-eure e e gééral o symérique. Nous allos désormais cosidérer u iervalle de emps. Nous allos doc aalyser le résula d ue posiio e prea e compe le emps ie e prea e compe l impac du Θ sur le porefeuille. V ½.Γ. δs² Θ. Pa deux phéomèes se compese : Θ fai baisser le porefeuille o suppose qu o a Γ> adis qu ue variaio de S l augmee. O a doc ue variaio δs c du cours de l acio qui compese exaceme la dépréciaio de l opio par le emps. 8

29 E résolva V avec l approximaio faie précédemme o coclu que c appelé commuéme poi mor es égal à c. Θ. Γ ie c σ S O remarque que le sau miimal de S dép liéaireme de σ. Plus la volailié es imporae plus o a de chace pour u call d êre gaga avec cee sraégie. L ar du rader es doc de jouer avec u esemble de paramères qui dégage des aces ou sesibiliés pluô à cour erme afi de dégager u profi. Nous veos de voir succiceme u exemple où o pouvai faire du radig de volailié. Aisi l esemble des modèles proposés das cee éude aura permis de dégager des caracérisiques sur les ieracios ere les différees variables mis e jeu lorsque l o fai du radig. Nous allos rapideme morer que l aalyse es pas ou à fai symérique selo qu o ravailler sur les pus e les calls. Si o pr u call e u pu do le sous-jace vau 5 de srie 5 e de maurié 9 jours. Le aux dʌiérê es de 95 % e volailié es esimée à 55 % e hebdomadaire. O a : T- 9/ ; σ 55.sqr54 ; r 975 ; d 457 ; d - 84 ; Nd ; Nd ; d où C 5 Nd K.exp-rT-. Nd 36 P C-S K.exp-rT-. 44 Le dela du call es égal à Nd 56 celui du pu à -494 : lʌélasicié du call.s/c es à 7 e celle du pu à -56 : le call es 7 fois plus sesible e le pu 56 fois plus sesible que le sous-jace. E règle géérale les opios so plus sesibles que leur sous-jaces e il y a pas de symérie Pu-Call. Aisi ous avos eé de morer quelques aspecs de l uivers du radig sas pour aua avoir eu l ambiio de balayer l esemble du domaie car beaucoup rop vase. Cepa ous ous sommes aachés à illusrer l iérê de l aalyse du modèle de BS aisi que ces limies. C es pour cela que ous allos eer d éudier u modèle qui pr e compe ue volailié o cosae : le modèle CEV 9

30 . Le modèle CEV. Iroducio Sur les marchés europées de maière hisorique o a moré que lorsque le prix de l acio moai le comporeme des ages sur le marché avai comme impac ue baisse de la volailié e iverseme lorsque le prix de l acio dimiue la volailié augmee comme si le marchai s affolai. Nous eos à préciser que ce ype de comporeme es pas prése sur le marché asiaique où c es pluô l iverse. Le modèle CEV pour le pricig des opios suppose aisi que le prix de l acio S es régi par le processus de diffusio suiva : ds µ Sd σ S dw où dw es u mouveme browie Le CEV modèle suppose la relaio suivae ere les cours des acios S e de la volailié σ S. σ S σ S * Où es ue cosa posiive. O remarque que l élasicié de la variace par rappor au prix es égal à. E effe e cosidéra pour l élasicié alors o a dσ σ ds S. Après iégraio des deux membres o a doc log σ log S logσ soi σ σ S ie la formule *. 3

31 Remarque: - Das le cas < la volailié e les prix so iverseme proporioels. Scholes. - Si alors l élasicié vau e les prix so disribués comme das Blac ad. Des élémes de calculs.. Desié de probabilié Si o cosidère désormais l équaio suivae: ds µ S d σ S dz avec Alors µ S rs as e σ S σ S ds r a Sd σ S dz < Soi S Y S. Par la formule d Io o a Y S Y Y S S S soi dy r a Y σ d σ Y dz. O irodui la oio de desié de probabilié f ST ; S T >. 3

32 3 Si X sui la loi : dw X d X dx σ µ si ; X X f > es la desié de probabilié de X codiioelleme à X alors f par cosrucio vérifie les équaios de Kolmogorov suivaes : Kolmogorov Bacward Equaio f X f X X f X µ σ Kolmogorov Forward or Foer-Plac Equaio ] [ ] [ f f X X f f X X µ σ Si o uilise la e équaio de Kolmogorov o obie pour Y [ ]. f Y a r Y Yf Y f σ σ avec ; ; J T y Y f T S S f T T > > où S J. E prea T Y x Y x h a r b a T τ σ σ

33 33 O obie ; * x I e x T S S f x T > avec [ ]. * * * τ τ σ T a r a r S e S x e a r e x I K es la focio de Bessel modifié Γ! r r r r x x I Remarque: r es le aux d iérê sas risque a es le aux de divide versé de maière coiue Cee desié de probabilié rasiioelle ; T S S f T > a éé doée pour la première fois par Cox. Cox a obeu la formule suivae pour le call: * * Γ Γ x r x K G x e Ke K G x e e S C τ ατ où Γ v m u du u e m G m v ] [ es la focio de disribuio gamma. Nous e feros pas la preuve de cee formule qui a oamme éé préseée par Che ad Lee. Le bu es d approcher ces formules par des focios du χ. Ue boe approximaio a éé rouvée par Saara : ous allos doc l uiliser direceme après avoir moré les approximaios rouvées par Schroder.

34 Formule du Call Formule du Call Formule du Call Formule du Call E suiva la méhode de Schroder avec la focio f défiie précédemme o a :. ; ; ; C C e ds T S S f K e ds T S S f S e ds K S T S S f e C r T K T r T K T T r T T K T r > > > τ τ τ τ soi Formule valable pour ou < où * K y * r S e x ] [ * τ σ a r e a r ad a défii comme précédemme D après Schroder Q es défii aisi : ;! 4 ; 4 4 Q e dy y e e dy y e e dy e y y y dy e y I y y Q y y y y Γ Γ Γ Γ Γ Γ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ υ ; y x Q Ke x y Q e S C r a τ τ

35 35 où. ; G dy y e dy y e Q y y υ υ υ υ υ υ υ Γ Γ..3 Approximaios..3 Approximaios..3 Approximaios..3 Approximaios..3. Approximaio de Schroder..3. Approximaio de Schroder..3. Approximaio de Schroder..3. Approximaio de Schroder Par u algorihme o peu approcher la soluio comme l a fai Schroder e uilisa des variables spécifiques. Das ore cas o s iéressera à l approximaio du χ e sigala les pricipales éapes. L approximaio a éé faie de la maière suivae: dy y P Q. avec ~ N δ δ Y alors. ] [ N N N N N N P P P Y P F dy y f Q Y Y δ δ δ δ δ δ Où N es la disribuio ormale classique

36 Schroder résume aisi les premières disribuios : Avec N la desié de la focio ormale. Remarque : Cepa si o cherche le υ el que υ 35 cela ous fai que peu de possibiliés de simulaios pour bea : das la formule de C υ ou la seule soluio pour uiliser les formules précédees es seuleme avec bea e das ce cas o rerouve Blac ad Scholes...3. Approximaio de Saara Saara a lui moré qu o pouvai approcher de la maière suivae Q sacha que pour ue disribuio du X² χ' υ suivaes µ h es approximaiveme ormal si o pr les valeurs h h p h h m σ h P[ mp] P h υ υ 3 υ 3 υ P υ m h 3h. Avec les approximaios suivaes o rouve que; 36

37 37. ].5 [ ' ' ' ' ; mp P h mp h h hp P P P P Q h h h h h h h Φ Φ Φ > > > > υ σ υ µ σ µ υ σ µ υ σ µ υ χ υ υ χ υ υ χ χ υ Ce qui ous doe ue formule plus simple à appliquer a priori pour des simulaios car υ peuve prre ue ifiié de valeurs pourvu que ces variables saisfasse aux codiios du problèmes. Ce so ces formules que l o va uiliser pour la simulaio umérique Ce so ces formules que l o va uiliser pour la simulaio umérique Ce so ces formules que l o va uiliser pour la simulaio umérique Ce so ces formules que l o va uiliser pour la simulaio umérique O rappelle que où * K y τ * a r S e x ] [ * τ σ a r e a r o prra ici a pour simplifier les calculs ; y x Q Ke x y Q e S C r a τ τ

38 .3 Simulaios.3. Volailiés Volailié réalisée au carré e focio du P&L. Avec > o es oujours perda e uilisa la echique du porefeuille auofiaça décri das le modèle de Blac Scholes à ue acio qui sui le modèle CEV. Ceci es cofirmé par le fai que la volailié réalisée es oujours beaucoup plus élevée que la volailié réelle de l acio. Elle vau 3 doc 9 au carré qui es bie iférieur a oues les valeurs sur le graphique. O rappelle volailié réalisée l expressio défiie comme sui uiqueme pour ue acio qui sui Blac & ScholesBS : Si σ '² Varl S i Ici o va éudier la volailié du modèle CEV. 38

39 Volailié au carré. réalisée Il fau sousraire 9 pour obeir vol realisee ² vol² Si bea < o es oujours gaga e modélisa ue acio qui se codui comme CEV avec u modèle de Blac Scholes. Ceci peu paraire icogru : o possède ue sraégie gagae à chaque coup!! L explicaio réside das le fai que le prix d u call évalué avec BS es plus élevé que le prix d u call évalué avec CEV pour bea <. De fai o possède ue mise de dépar plus imporae que la mise qui perme d avoir u porefeuille auofiaça. Bie que ore réplicaio e soi pas opimale elle rese saisfaisae puisque l o es ecore gaga a maurié. Poura : si l o s iéresse à la volailié réalisée o se r compe que vol realisee ² > vol² e gééral. ie les pois de ce uage so souve au dessus de 9 e ordoée e 9 σ². Ceci sigifie que l o a eu ue sraégie a pere sas comper le fai que l o a pas la sraégie adapée au cours de l acio. Il es doc remarquable que sur u ombre de simulaios aussi grad e para d u prix plus for que «prévu» e e appliqua ue sraégie perdae das la majorié des cas que l o soi oujours gaga. 39

40 Repariio saisique du P&L. O disigue e ue rès fore probabilié. Pour des raisos de lisibilié le graphe a éé coupé près de : la plus grade coceraio de valeurs s y rouvai. La sraégie se révèle doc oujours gagae mais avec ue rès fore probabilié d avoir u rès faible gai proche de..3. Impac du faceur e de la maurié Modele CEV : Prix d u call e focio de sa maurie e de bea Ici K So 3. O a divisé l uié de emps e abscisse e ie T pour e abscisse. Le prix es calculé a la dae ie CSo K T- es represeé. 4

41 Valeurs de bea : rouge: 3 - oir : Blac Scholes - cya : 8 - ver : 6- bleu : 3 Rappel : ds µ Sd σ S dw Plus bea es for e plus le prix du call es elevé graphe. Ceci rejoi u raisoeme eu précédemme ou l o expliquai que plus ue acio es volaile e plus le prix de l opio associé es for. Il es agréable de voir que les prix des opios coverge avec le emps vers So K ce qui es aurel : lorsque l o vers la maurié l opio vers sa valeur irisèque. Afi de calculer les prix des opios ous avos uilise la formule suivae : C Eexp-r.T S T K : le prix d u call es l esperace du pay-off acualisé. Nous avos approché l espérace par la moyee sur des simulaios de S. 4

42 Coclusio Ce eseigeme dʌapprofodisseme ous a permis de ravailler e profodeur sur des modèles asse classiques comme le modèle de Blac & Scholes ou le modèle CEV. Nous avos pu ous rre compe de la maière do ravaillaie les igéieurs fiaciers afi de pricer des opios européees e d élaborer des sraégies selo la voloé de se couvrir d u risque ou au coraire de parier sur la hausse ou la baisse de différes faceurs oamme la volailié. Ceci ous a ameé à éudier les «Grecques» isrumes fiaciers mahémaiques uilisés quoidieeme par l esemble des aceurs d u Fro Office mais aussi à comprre l imporace d ue réacualisaio fréquee d u porefeuille lors d ue sraégie de couverure grâce à l éude d u aricle de E. Derma e la écessié de cosidérer l esemble des faceurs agissa sur le pricig d ue opio afi de mieux cerer so évoluio. Nous ous sommes iéressés à u modèle pariculier de volailié sochasique ou e aya développés des echiques algorihmiques applicables rès rapideme à d aures modèles comme par exemple le modèle de Heso. L iérê aura éé de créer u esemble asse large de programmes du plus simple au plus complexe permea aisi d illusrer ore propos à l aide de simulaios probaes. E défiiive ce ravail sur le radig de volailié ous a permis de découvrir pleieme le domaie de la fiace de marché e de ous familiariser avec les oios e ouils qui y so couramme uilisés. Nous avos mis e praique os coaissaces acquises dura le cours de fiace e d iiiaio au calcul sochasique aisi que ore faculé à programmer des algorihmes. Nous avos aisi pu mesurer le ravail d u igéieur quaiaif au sei d u dépareme de recherche d ue baque expériece que ous aimerios reouveler lors du sage proposé par l Ecole à la fi de ce Programme d Approfodisseme. 4

43 Bibliographie [] N. Toui Cours de lʌecole Polyechique Ioducio au calcul sochasique [] E. Derma Goldma Sachs Quaiaive Sraegies Research Noes [3] J.C. Hull Opios Fuures Oher Derivaives. Preice-Hall Upper Saddle River fourh ediio. [4] P. Taov Calibraio de modèles e couverure de produis dérivés Cours de DEA Paris VII [5] M. Schroder Compuig he CEV Opio Pricig Formula The joural of Fiace Vol. 44 No. Mar. 989 [6] F. Blac M. Scholes The pricig of opios ad corporae liabiliies Joural of Poliical Ecoomy [7] J.C. Cox S.A. Ross M. Rubisei Opios pricig : a simplified approach Joural of Fiacial Ecoomics [8] N. El Karoui M. Jeablac-Picque S. Shreve Robusess of he Blac ad Scholes Formula Mahemaical Fiace vol. 8 Issue [9] J.C. Cox The cosa elasiciy of variace opio pricig mode Joural of Porfolio Maageme 996 pp [] M. Saara Approximaios o he No-Ceral Chi-Square Disribuio Biomerica [] R.R. Che ad C.F. Lee A cosa elasiciy of variace CEV family of soc price disribuios i opio pricig: review ad iegraio J. Fia. Sud. 993 pp

44 Aexe : code des simulaios Trajecoire racig error BS e comparaiso aiso gaussiee Ce programme perme dʌobeir le P&L fial dʌu porefeuille auofiaca lorsque lʌacio sui u profil de ype Blac Scholes. Il race lʌhisogramme de la répariio saisique du P&L aisi que la gaussiee associée a ue elle loi. Les momes dʌordre 3 e 4 de la disribuio so aussi calculés. fucio [res] simuler_bsb pas gt K r So mu sigma ra res erosb; maxii floorgt/pas; for :b S eros maxii; S So; for i:maxii Si Si * expmu -.5*sigma^*pas sqrpas*sigma*rad"ormal"; d logso/kr*gt/sigma*sqrgt /*sigma*sqrgt; d d - sigma * sqrgt; p So * phid - K * exp-r * gt * phid; V p; for l :maxii - raio dela_bsgt*l/maxii Sl gt r K; V raio*sl V - raio * Sl *expr*pas; res V - posiifsmaxii - K; // si lʌo décommee les quelques liges qui suive o peu visualiser les cours dʌacio // qui mee a des P&L exrémaux //if res >.5 he //disp"oui"; //dispres; //plod:maxii S ; //lebool; // //if res < -.5 he //disp"oui bis"; //dispres; 44

45 //plod:maxii S 3; //lebool; // if ra >.5 he hisplolispace- res moy sumres/b; dispmoy; sigg res - moy*res - moyʌ/b; dispsigg; sigg sqrsigg; x lispace-5 5 5; y /sqr*%pi*sigg*exp-x^/*sigg^; plodxy5; //mome ordre 4 rrr ; for :b rrr rrr res - moy^4; dispsqrsqrrrr/b; fucio fucio [res] dela_bs S gt r K res philogs/kr*gt - /sigma*sqrgt - /*sigma*sqrgt-; fucio fucio [res] phix // igl -if à x de e^-²// sqrpi res ; if x > he res / / * erfx/sqr; else res / - / * erf-x/sqr; fucio fucio [res] posiifx resmaxx ; fucio fucio [res] iifa b x res x; if a he res b; fucio simuler_bs

46 Courbes de pricig Ce programme perme de visualiser sur u seul graphique le prix dʌu call évalué suiva le modele CEV pour différees valeurs de bea aisi que pour Blac Scholes. Les prix des call du modele CEV so calculés e ea compe du fai que prix espérace du pay-off acualisé que lʌo assimile a la moyee sur simulaios. //lesprix.sci fucio [res] calculer_prixpas gt K r So mu sigma ra maxii floorgt / pas; eros6 maxii for i :maxii gt - i - * pas; // blac scholes d logso/kr*/sigma*sqr /*sigma*sqr; d d - sigma * sqr; p So * phid - K * exp-r * * phid; i p; i prix_call.3 sigma. So r mu K; 3 i prix_call.6 sigma. So r mu K; 4 i prix_call.9 sigma. So r mu K; 5 i prix_call. sigma. So r mu K; 6 i prix_call.6 sigma. So r mu K; 6 i prix_call.8 sigma. So r mu K; res ; if ra >.5 he for i :6 plod:maxii i : i; fucio fucio [res] phix // igl -if à x de e^-²// sqrpi res ; if x > he res / / * erfx/sqr; else res / - / * erf-x/sqr; 46

47 fucio fucio [res] prix_callbea sigma pas So r T mu srie maxii floort/pas; b 3; fi 3; vec eros b; for :b oo 3; S So; for i :maxii if oo > he S S S * mu *pas exp.5 * bea * logs * sqrpas*sigma*rad"ormal"; if S < he oo -; vec maxs-srie ; if oo < he vec ; fi fi-; if vec > he vec ; fi fi-; ; res exp-r * T * sumvec:/b; fucio Couverure opio de CEV Le cours du sous jace S sui ici le modèle CEV e o essaye de couvrir lʌopio avec u porefeuille auofiaça de Blac Scholes. Les résulas so impressioas suiva que bea > ou bea <. Le programme race la loi de répariio du P&L fial e la volailié réalisée. fucio [res] simuler_bsb pas gt K r So mu sigma ra bea res erosb; maxii floorgt/pas; for :b S eros maxii; S So; for i :maxii Si ; while 47

48 Si Si Si * mu *pas exp.5 * bea * logsi * sqrpas*sigma*rad"ormal"; if Si> he brea; // Si Si * expmu -.5*sigma^*pas sqrpas*sigma*rad"ormal"; d logso/kr*gt/sigma*sqrgt /*sigma*sqrgt; d d - sigma * sqrgt; p So * phid - K * exp-r * gt * phid; V p; for l :maxii - raio dela_bsgt*l/maxii Sl gt r K; V raio*sl V - raio * Sl *expr*pas; res V - posiifsmaxii - K; vari eros maxii; for www:maxii vari www logswww/swww; res vari * variʌ/pas * maxii; if res > he res ; if ra >.5 he hisplolispace- res // variace realisee dispmeares:; [qq rr] sorres :; plodresrr: res rr:-; fucio fucio [res] dela_bs S gt r K x logs/kr*gt - /sigma*sqrgt - /*sigma*sqrgt-; res phix; fucio fucio [res] phix // igl -if à x de e^-²// sqrpi res ; if x > he res / / * erfx/sqr; else res / - / * erf-x/sqr; fucio fucio [res] posiifx resmaxx ; fucio fucio [res] iifa b x res x; if a he res b; fucio 48

49 Surface de volailié e prix du call par rappor à sigma e iverseme Ce programme race ue courbe e 3 dimesios de la volailié implicie d ue acio suiva le prix e le emps resa ava la maurié. Coaissa la focio doa le prix dʌue opio e focio de sa volailié e de l échéace ous iversos cee focio pour coaire la volailié par dichoomie. Effeciveme le prix es ue focio croissae de la volailié. Il lʌes aussi e focio de lʌéchéace. fucio [res] courbe_sigmak r So // sigma e focio du prix e du emps // o iverse juse la deriere lige!! y fx das la focio du dessus. ici x f-y sigma eros ; for p : for : sigmap iverser_bs/ K r So p/; plo3d:/ :/ sigma; res sigma; fucio // focio iversio fucio [res] iverser_bsgt K r So p // sigma e focio du prix a ; b ; while b - a >. sigma ab / ; p_rouv prixgt K r So sigma; if p_rouv < p he a sigma; else b sigma res sigma; fucio // FONCTIONS BASIQUES fucio [res] prixgt K r So sigma d logso/kr*gt/sigma*sqrgt /*sigma*sqrgt; d d - sigma * sqrgt; res So * phid - K * exp-r * gt * phid; 49

50 fucio fucio [res] phix // igl -if à x de e^-²// sqrpi res ; if x > he res / / * erfx/sqr; else res / - / * erf-x/sqr; fucio Programmes pour le modele CEV Nous meos ici 4 programmes que ous avos uilise pour simuler coveableme le modele CEV ie calculer le prix dʌu call e le dela de couverure. Mehodes : Programme : formules explicies de resoluio de l equaio de porefeuille auofiaca programme : mehode saisique de calcul de prix du call programme 3 : combiaiso des premiers afi de simuler des porefeuilles auofiacas comme ous l avos fai poru Blac Scholes. Programme 4 : resoluio umerique de l equaio de porefeuille auofiaca. Prix du Call e focio CEV : Ce premier programme perme de calculer le prix du call e focio des parameres usuels : T sigma bea K So mu r. Il a éé implémeé suiva les aricles de Schroder e Saara Cepa il e focioe pas puisque le prix doe es pas a la boe échelle il es égaif. Le prix a par core ue dérivée ere e ce qui ous permera de calculer le dela de couverure de l opio das le programme 3. fucio res pricer_cevfgt K r So mu sigma bea sar *r/sigma^*-bea*expr *-bea* gt-; /// variables uilisées das la formule y sar*k^-bea; x sar*so^-bea*expr *gt* - bea;//rq --> implémeaio apres v / - bea; *x; v / - bea; * y; //fucio res QQ S gt r Kv // p So * Q*yv- K * exp-r * gt * -Q*xv; // calcul avec phi u-ec... bea< p- So * QQ*yv- K * exp-r * gt * -QQ*xv; // calcul avec phi -... ec... 5

51 dispp; // o affiche celle globale dispp; // prix calcules par formules differees res p; fucio fucio res QQv res phi-hv*pqv*-hv.5*-hv*mqhv*pqv- v/^hv/hv*sqr*pqv*mqhv*pqv; // ici o a chagé la formule de dela fucio fucio res phix // igl -if à x de e^-²// sqrpi res ; if x > he res / / * erfx/sqr; else res / - / * erf-x/sqr; fucio fucio QQ Qv QQphimuqhvpqv-/v^hv/sigmaqhvpqv; // formule avec muv ec.. fucio fucio hhh hv hhh -/3*v*v3**/v*^; fucio fucio pqq pqv pqq v*/v^; fucio fucio mqq mqu mqq u-*-3*u; fucio fucio muqq muqup muqq u*u-*p -u*-u*mqu*p^/; fucio fucio sigmaqq sigmaqup sigmaqq u^**p*mqu*p; fucio 5

52 Prix du Call e focio CEV : Ici la mehode saisique perme de calculer le prix du call. Elle es malheureuseme rop logue pour avoir calculer de ombreux prix das u programme de simulaio d evergure. D aure par elle rese res imprecise puisque sur simulaios le prix varie ecore a 5 pres ce qui empeche de calculer le dela de couverure par la formule dela dc/ds. fucio [res] pricer_cevf_saisiquet srie r So mu sigma bea pas maxii floort/pas; b ; fi ; vec eros b; for :b oo 3; S So; for i :maxii if oo > he S S S * mu *pas exp.5 * bea * logs * sqrpas*sigma*rad"ormal"; if S < he oo -; vec maxs-srie ; if oo < he vec ; fi fi-; if vec > he vec ; fi fi-; ; res exp-r * T * sumvec:/b; fucio Prix du Call e focio CEV : 3 Nous combios ici les programmes precedas pour racer comme das le premier programme suiva Blac Scholes la courbe de la repariio e loi du P&L fial aisi que la moyee de celui-ci e les parameres adjaces. Le prix iiial es doe par la méhode saisique avec lʌespérace du pay off acualisé. Le dela de couverure es calcule par la derivee du prix du call : dc/ds ou l o a uilise le premier programme pour calculer le prix. O s es e effe ru compe que le prix calcule eai egaif mais avai ue derivee ere e e qu a ue cosae pres il pouvai doc ere le vrai prix. 5

53 La courbe fiale es effeciveme ue courbe e cloche ceree e ce qui idique que le premier programme es pas compleeme abhera. La courbe es doé à la fi de ce programme. fucio res simuler_cevfb pas gt K r So mu sigma ra bea res erosb; maxii floorgt/pas; p pricer_cevf_saisiquegt K r So mu sigma bea.; disp"calcul"; for :b S eros maxii; S So; for i :maxii Si Si Si * mu *pas exp.5 * bea * logsi * sqrpas*sigma*rad"ormal"; V p; for l :maxii - raio ledelagt - gt*l/maxii K r Sl mu sigma bea; V raio*sl V - raio * Sl *expr*pas; res V - posiifsmaxii - K; if ra >.5 he hisplolispace- res moy sumres/b; dispmoy; sigg res - moy*res - moyʌ/b; dispsigg; sigg sqrsigg; x lispace-5 5 5; y /sqr*%pi*sigg*exp-x - moy^/*sigg^; plodxy5; //mome ordre 4 rrr ; for :b rrr rrr res - moy^4; dispsqrsqrrrr/b; fucio fucio res ledela K r So mu sigma bea dhh.5; p pricer_cevfgt K r So-dhh mu sigma bea; 53

54 p pricer_cevfgt K r Sodhh mu sigma bea; res p - p/dhh; fucio fucio res pricer_cevfgt K r So mu sigma bea sar *r/sigma^*-bea*expr *-bea* gt-; /// variables uilisées das la formule y sar*k^-bea; x sar*so^-bea*expr *gt* - bea;//rq --> implémeaio apres v / - bea; *x; v / - bea; * y; //fucio res QQ S gt r Kv // p So * Q*yv- K * exp-r * gt * -Q*xv; // calcul avec phi u-ec... bea< p- So * QQ*yv- K * exp-r * gt * -QQ*xv; // calcul avec phi -... ec... // dispp; // o affiche celle globale // dispp; res p; fucio fucio res QQv res phi-hv*pqv*-hv.5*-hv*mqhv*pqv- v/^hv/hv*sqr*pqv*mqhv*pqv; // ici o a chagé la formule de dela fucio fucio res phix // igl -if à x de e^-²// sqrpi res ; if x > he res / / * erfx/sqr; else res / - / * erf-x/sqr; fucio fucio QQ Qv QQphimuqhvpqv-/v^hv/sigmaqhvpqv; // formule avec muv ec.. fucio fucio hhh hv hhh -/3*v*v3**/v*^; fucio fucio pqq pqv pqq v*/v^; fucio fucio mqq mqu 54

55 mqq u-*-3*u; fucio fucio muqq muqup muqq u*u-*p -u*-u*mqu*p^/; fucio fucio sigmaqq sigmaqup sigmaqq u^**p*mqu*p; fucio fucio res posiifx resmaxx ; fucio fucio res iifa b x res x; if a he res b; fucio fucio [res] pricer_cevf_saisiquet srie r So mu sigma bea pas maxii floort/pas; b ; fi ; vec eros b; for :b oo 3; S So; for i :maxii if oo > he S S S * mu *pas exp.5 * bea * logs * sqrpas*sigma*rad"ormal"; if S < he oo -; vec maxs-srie ; if oo < he vec ; fi fi-; if vec > he vec ; fi fi-; ; res exp-r * T * sumvec:/b; fucio 55

56 //simuler_cevf // courbe simulée pour seuleme valeurs car le programme rese u peu le Prix du Call e focio CEV : 4 Ce programme uilise ecore ue mehode differee des aures : o resoud cee fois umeriqueme l equaio de porefeuille auofiaca coraireme au premier programme qui ravaille sur la formule explicie. La resoluio umerique es rue difficile par le ype de schema aux differeces fiies a uiliser pour modeliser ue equaio aux derivees parielles. Nous avos uilise schemas : u schema explicie e u schema implicie.aucu des deux Ʌa marche puisque les marices associees eaie oujours divergees. Il y a des diaies de maieres differees dʌapprocher ue equaio e il fau e rouver ue associee a ue marice covergee i.e de orme <. Nous reiros cepa la facilie d implemeaio d ue elle mehode aisi que la viesse d execuio. Elle perme de 56

57 calculer dela e le porefeuille e ue seule fois pour chaque isa e de maiere aussi precise quʌo le souhaie. fucio [res res] approche_delad dx T max sig be r // bie faire aeio a ce que / dx <<!!! floort / d; x floormax / dx; v erosx ; // d : b d iervalles de emps dx pour S disp; dispx; // iiialisaio for :x s - * dx; v max s-; ; A erosx 3 x 3; for l :x // d abord lige apres coloe x l - * dx; y ; if x > he y exp.5*be*logx; Al l d * r d * sig * sig * y / dx * dx; Al l- d * r*x / * dx - d * sig * sig * y / *dx * dx; Al l -d * r*x / * dx - d * sig * sig * y / *dx * dx; l ; Al l d * r d; Al l -d * r*x / * dx; l x 3; x l - * dx; Al l d * r d * sig * sig * exp.5*logx / dx * dx; Al l- d * r*x / * dx - d * sig * sig * exp.5*logx / *dx * dx; BBB A ^ -; vec eros x 3; for l :x vecl vl- vec ; vecx 3 x * dx; vec vecʌ; for : vec BBB * vec; vec ; vecx 3 x * dx; for l :x 57

58 vl- - vecl; // calcul de dela dv/dx res erosx ; for :x if - * dx < he res ; else res ; for : p - ; // o fai e desca vu que l o coai v. T e qu o veu aller jusqu a for l :x - resl p vl p - vl- p/*dx; res v; fucio 58

59 Aexe : Modèle d Heso U aure modèle classique de volailié es le modèle d Heso993 : u ravail ideique à celui réalisé sur le modèle CEV peu êre fai. Nous e doeros ici que les élémes écessaires à ue implémeaio machie e vue de simulaio. Heso a cosidéré le modèle suiva pour ue acio S e ue variace v: ds dv µ S d v S dw κ[ v v ] d δ v dw avec dw dw ρd κδ so des cosaes posiives e v représee le erme moye du processus v. le processus pour v peu-êre obeue e cosidéra que d Orsei-Uhlebec : E appliqua Iô o a: v d dw d v σ. [ δ ] d v dw v dv δ E o obie quelque chose de comparable à précédemme v sui u processus Par aalogie avec Blach ad Scholes o peu devier ue soluio de la forme : E posa r T SP Ke C Sv P x l S x r T e P Ke C xv E par différes chagemes de variables du ype : P C e x P rke T r T P Ke P r C S C x x S S C x e S P x e P Ke T P x x r x La soluio doée par Heso es la suivae : 59

60 6 T r x P Ke P e C xv φ φ φ π φ d i v f e Re xv P j x i j x l S { } x i v T D T D f j φ φ φ ; ; exp τ φρδ δ τ φ φ τ g ge l d i b a r i ; D d j τ τ φ τ d d ge e m D ;. u i i b u i 4 i b 4 d j j j j φ φ δ φρδ δ φ φ φρδ αγ d i b d i b j j g ρδφ ρδφ 4 δ γ αγ d m ± ± ± j u i φ φ α φρδ i b j δ γ Grâce à ce esemble d équaios o peu faire des simulaios du même ype que celles pour le CEV.

61 Aexe 3 : : focios du χ Soi variables aléaoires idépaes de même loi ormale cerée e réduie alors par défiiio la variable X elle que sui ue loi du χ² à degrés de liberé. Alors la desié de X oée sera: pour ou posiif où Γ es la focio gamma. LɅespérace mahémaique de X vau e sa variace vau. 6

62 ANNEXE 4: Calcul Esperace

63 e doc

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