Mathématiques financières. Peter Tankov

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1 Mahémaiques financières Peer ankov Maser ISIFAR Ediion 13-14

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3 Preface Objecifs du cours L obje de ce cours es la modélisaion financière en emps coninu. L objecif es d un coé de comprendre les bases de la héorie d opions e d un aure coé d acquérir les premières noions de la gesion des risques financiers. La noion cenrale du cours es l absence d arbirage. Un arbirage es une sraégie d invesissemen à coû iniial nul, qui a un pay-off posiif ou nul à une dae fuure quel que soi le scénario d évoluion du marché, e un pay-off sricemen posiif dans cerains scénarios. Elle perme ainsi, avec probabilié posiive, de réaliser un gain sans invesissemen iniial e sans risque. L absence d arbirage perme de définir le juse prix d un acif comme le prix qui ne condui pas à une opporunié d arbirage. Pour cerains acifs le calcul de ce prix de non-arbirage ne nécessie pas de faire appel à un modèle, pour d aures on sera obligé de faire des hypohèses sur la dynamique des acifs. Par exemple, la celebre formule de Black e Scholes pour les prix des opions Call e Pu suppose que le cours de l acif sous-jacen peu êre décri par un mouvemen brownien géomérique. De même, pour cerains acifs e dans cerains modèles l hypohèse d absence d arbirage perme de déerminer l unique prix ; dans d aures siuaions on obiendra un inervalle non-vide des prix, qui son ous compaibles avec l absence d arbirage. Une aure noion cenrale es celle de couverure. La couverure es l uilisaion d une sraégie de rading dans des acifs liquides afin de minimiser ou annuler le risque d une posiion financière (a priori, la vene d une opion). Si le prix de vene n es pas dans l inervalle des prix compaibles avec l absence d arbirage (par exemple, si la banque a réussi à vendre l opion à un prix plus élevé que le juse prix), alors la couverure perme d exploier l opporunié d arbirage e de réaliser un gain sans risque. Organisaion du polycopié Ce polycopié conien quare chapires ; au débu de chaque chapire, en ialique, vous rouverez la lise des conceps qui consiuen le socle minimal des connaissances nécessaires pour valider la maière. La plupar de ces conceps

4 4 son encadrés ou mises en évidence d une aure manière dans le exe des chapires.

5 able des maières 1 Inroducion aux produis dérivés Forwards e fuures Equivalence des prix de forwards / fuures Valorisaion des forwards par non-arbirage Inroducion aux opions Propriéés des prix de calls/pus Opion américaines La formule de Black e Scholes 19.1 Mouvemen brownien géomérique Dynamique d un porefeuille auofinançan Consrucion du porefeuille de réplicaion La formule de Black e Scholes Les grecques Discréisaion e couverure en gamma Volailié implicie Valorisaion d opions exoiques Evaluaion risque-neure Changemen de numéraire Opions à barrière e réplicaion saique Swaps de variance Volailié locale e la formule de Dupire Modèles à volailié locale Modèle CEV Arbre rinomial de pricing Equaion e formule de Dupire Volailié implicie dans les modèles à volailié locale Calibraion de la volailié locale Inerpolaion de la volailié implicie

6 6 ABLE DES MAIÈRES

7 Chapire 1 Inroducion aux produis dérivés Différens ypes des aux d inérê. Formule de valorisaion d un forward sur un acif financier (acion, obligaion). Classificaion des opions e erminologie associée, forme des foncions pay-off. Propriéés des prix des calls / pus en foncion du srike e du emps resan jusqu à maurié. Sraégies classiques opionnelles : bull spread, bear spread, calendard spread, buerfly spread. Equivalence enre un call américain e un call européen. 1.1 Forwards e fuures Un forward es un conra enre deux conreparies dans lequel l une des conreparies s engage à vendre e l aure à acheer un bien à une dae donnée (noée par ), à un prix donné (le prix à erme ou prix forward du bien). Le prix e les aures caracérisiques du conra son donc déerminés à la signaure (dae ) mais la livraison e le paiemen on lieu à l échéance (dae ). On di que la parie qui s engage à acheer le bien a une posiion longue, e la parie qui s engage à vendre a une posiion coure. Les forwards, comme les aures produis dérivés, son uilisés pour ransférer les risques enre les paricipans du marché, pour la spéculaion, ou bien pour exploier des arbirages poeniels. ransfer des risques : une compagnie ravaillan à l expor peu uiliser des forwards sur aux de change pour éliminer le risque de flucuaion du cours d un devise éranger. Spéculaion : un invesisseur qui pense que le cours d un indice va moner peu prendre une posiion longue en forwards sur ce indice pour réaliser 7

8 8 CHAPIRE 1. INRODUCION AUX PRODUIS DÉRIVÉS un gain dans le cas d un mouvemen favorable du cours sans avoir à débourser immédiaemen de l argen (ce qui serai nécessaire en invesissan direcemen dans l indice). Cee sraégie n es pas une sraégie d arbirage car elle compore un risque de pere dans le cas d un mouvemen défavorable du cours de l indice. Arbirage : si les forwards son surévalués par rappor à la valeur du bien sous-jacen, on peu réaliser un gain sans risque en prenan une posiion coure en forwards e en achean simulanémen le bien pour le socker jusqu à l échéance. Ainsi, la livraison du bien es assurée, e on récupère la différence enre le prix à erme e le prix spo (compan) du bien, moins le coû de l opéraion (financemen + sockage). Un fuure es un conra qui perme de réaliser les mêmes objecifs qu un conra forward, mais qui es coé dans un marché organisé. Le rôle du marché es d assurer la liquidié e d éliminer le risque de conreparie. La liquidié es assurée puisque les conras son sandardisés : le nombre de différenes daes de livraison es limié e les sous-jacens son décris de manière précise. Ainsi, le nombre de différens conras coés es relaivemen faible e par conséquen, le volume pour chaque conra es élevé ce qui perme de facilemen rouver un acheeur / vendeur. De plus, pour chaque conra sandardisé le cours es publié en coninu, rendan la valorisaion plus ransparene. Le risque de conreparie es éliminé puisque ous les conras on une conreparie unique : la chambre de compensaion du marché, qui a rès peu de chances de faire faillie. Pour se proéger conre le défau des paricipans du marché, la chambre de compensaion uilise le dépo de garanie e les appels de marge. Lorsqu un agen prend une posiion coure ou longue sur un conra fuure, il doi déposer un monan spécifique, qui dépend du cours du fuure, sur un compe ouver auprès de la chambre de compensaion (margin accoun). Ensuie, ce compe es crédié ou débié ous les jours d un monan qui dépend de l évoluion du cours du fuure. Soi F le cours de cloure du fuure à la dae. Si l invesisseur a pris une posiion longue, à la dae son compe va êre crédié d un monan égal à F F 1, e s il a pris une posiion coure, son compe sera débié de ce même monan. Lorsque le solde du compe baisse au-delà d un cerain niveau, l invesisseur reçoi un appel de marge, qui l informe qu il doi compléer son dépo iniial par un monan approprié. Si le solde du compe devien élevé, l invesisseur peu en reirer une parie. A la dae d échéance du conra, le compe es une dernière fois crédié / débié d un monan égal à F F 1, e le solde es remis à l invesisseur. Dans le cas d un fuure avec reglemen financier, le conra s arrêe là ; avec livraison physique l invesisseur se voi livrer le bien sous-jacen e doi le payer au prix F Equivalence des prix de forwards / fuures Avan de procéder, il es imporan de fixer les noaions concernan les aux d inérê.

9 1.1. FORWARDS E FUURES 9 aux d inérê De manière générale le aux d inérê es une convenion ; la quanié fondamenale sur les marchés es le coû du capial (prix d une obligaion), qui es unique ; mais ce prix peu êre exprimé de différenes manières avec des aux d inérê différens. Nous noerons par B ( ) le prix d une obligaion zéro-coupon d échéance observé à la dae. Pour simplifier la noaion, nous noerons parfois le prix de cee obligaion observé à la dae = simplemen par B( ). Dans ce poly, nous uiliserons esseniellemen deux aux d inérê : Le aux périodique es défini par rappor à une période : jour, mois, année. Le prix d une obligaion zéro-coupon d échéance es alors donné par B( ) = 1 (1 + r), où r es le aux périodique e es le nombre de périodes jusqu à l échéance ( es exprimé en années pour le aux annuel, en mois pour le aux mensuel ec.) Le aux coninu ou exponeniel correspond à l expression du prix de zérocoupon B( ) = e r, où es le emps jusqu à l échéance exprimé en années. héorème 1. Supposons que le aux d inérê périodique journalier r es consan e le même pour les prês e les empruns. Alors le prix à erme d un bien doi êre égal, à oue dae, au cours du conra fuure de même échéance poran sur le même bien. Démonsraion. Soi n l échéance du conra forward. On noe par f le prix à erme à la dae e par F k le cours du conra fuure de même échéance à la dae k n. On uilise la sraégie suivane : Dae Prendre une posiion longue sur (1+r) n forwards d échéance n e une posiion coure sur 1 + r fuures de même échéance Dae k, < k < n Payer l appel de marge d un monan (1 + r) k (F k F k 1 ) ; ajuser la posiion en conras fuures à (1 + r) k+1 conras Dae n Payer le dernier appel de marge d un monan (1+r) n (F n F n 1 ) On suppose que les monans des appels de marge payés / reçus aux daes inermédiaires son soi emprunés à la banque au aux r soi placés au aux r (en foncion de leur signe) ; l appel payé ou reçu à la dae k doi donc êre acualisé au aux r enre la dae k e la dae n. Par ailleurs, à la dae n, on es long de (1 + r) n forwards e cour de (1 + r) n conras fuures, qui arriven ous à l échéance. Le bilan de l opéraion es donc

10 1 CHAPIRE 1. INRODUCION AUX PRODUIS DÉRIVÉS Appels de marge acualisés : (1 + r) n (F n F ) Conras fuures : (1 + r) n (F n S n ) Conras forward : (1 + r) n (S n f ) Soi au oal : (1 + r) n (F f ) Supposons que F > f. Alors cee sraégié, à coû nul, es clairemen un arbirage. Si, au conraire, F < f, alors la sraégie opposée (posiion coure en forwards e longue en fuures) es un arbirage. On conclu que f doi êre égal à F : le cours d un conra fuure es égal au prix à erme Valorisaion des forwards par non-arbirage En vue de l équivalence enre forwards e fuures démonrée au paragraphe précéden, nous nous concenrons désormais sur la valorisaion des forwards. Le premier exemple concerne le forward sur un acif pouvan êre vendu à découver : un acif financier, ou un marchandise non-périssable qui es uilisé comme un invesissemen e peu êre empruné pour êre vendu à découver (par exemple, meal précieux). héorème (Forward sur un acif pouvan êre vendu à découver). Le prix à erme d échéance d un acif pouvan êre vendu à découver es donné par F = e r (S I), où S es le prix spo e I es la valeur présene en = des dividendes (coupons) versés par l acif (dans ce cas I > ) ou bien le coû de sockage de l acif enre e, payable en = (dans ce cas I < ). Démonsraion. Supposons dans un premier emps que F > e r (S I). Alors, la sraégie suivane à coû nul, perme de réaliser un gain de F e r (S I). C es donc un arbirage (connu sous le nom d arbirage cash and carry). Dae Enre e Dae Prendre une posiion coure sur le forward ; empruner le monan S (si I ) ou S I (si I < ) à la banque ; acheer l acif ; payer le coû de sockage (si (I < )) Socker l acif ; le cas échéan, récupérer les dividendes (coupons) e les placer à la banque Livrer l acif e récupérer le monan F dans le cadre du conra forward ; si I <, rembourser e r (S I) à la banque ; si I, rembourser e r S à la banque e récupérer les dividendes capialisés Ie r. Ce argumen monre que nécessairemen F e r (S I) : puisque le forward perme de posséder l acif à la dae, le prix à erme ne peu êre supérieur au prix spo de l acif plus le coû addiionnel du capial nécessaire pour acheer l acif aujourd hui au lieu de le faire à la dae moins le monan de dividendes qu on ouche si on déien l acif enre e. Remarquons que pour l inégalié dans ce sens, la vene à découver n es pas nécessaire ; cee inégalié a donc une

11 1.1. FORWARDS E FUURES 11 validié plus large que l inégalié dans le sens opposé que nous allons mainenan démonrer. Supposons mainenan que F < e r (S I). Alors, la sraégie suivane es un arbirage. Dae Prendre une posiion longue sur le forward ; vendre l acif à découver (l empruner puis le vendre) ; récupérer le coû de sockage (si I < ) ; placer le monan S (si I ) ou S I (si I < ) à la banque ; Dae Si I <, récupérer e r (S I) à la banque ; si I, récupérer e r S à la banque. Prendre livraison de l acif moyennan le paiemen du prix F dans le cadre du conra forward ; resiuer l acif à celui à qui on l avai empruné ; si I >, lui verser les dividendes capialisés Ie r. Puisque cee deuxième sraégie nécessie de vendre à découver l acif, elle es plus difficile à mere en place ; le prê de l acif ne sera ypiquemen pas graui (aux repo) e il y a le danger de racha forcé : les couriers forcen souven leurs cliens à racheer les ires vendus à découver lorsque leurs prix monen rop brualemen. Forwards sur marchandises Lorsque le sous-jacen du conra forward es un bien non-financier, qui es déenu non pas comme invesissemen mais par exemple parce qu il fai parie d un cycle de producion, il n es en général pas possible de l empruner pour le vendre à découver. Dans ce cas le prix forward vérifie uniquemen F e r (S + U), où U es le coû de sockage, avec en général une inégalié srice. La différence enre la parie droie e la parie gauche correspond à l uilié addiionnelle que l agen économique ire du fai qu il déien physiquemen l acif : F = e r (S + U Y ). Pour avoir des quaniés indépendanes du emps e du volume, on écri souven F = F ( ) = e (r+u y) S, où u es le coû de sockage par unié de emps e par unié d acif, e y es appelé la prime de convenance (convenience yield). Si l acif es facilemen disponible sur le marché, la prime de convenance n es pas rès élevée e r + u y > : la courbe des prix à erme (F ( )) es croissane ; on di qu elle es en repor (ou en conango en anglais). S il y a un risque de rupure des socks, il es imporan de déenir l acif physiquemen pour assurer la coninuié de producion e la prime de convenance peu êre élevée : dans ce cas, r + u y < e la courbe des prix à erme es décroissane ; on di qu elle es en dépor (backwardaion en anglais).

12 1 CHAPIRE 1. INRODUCION AUX PRODUIS DÉRIVÉS 1. Inroducion aux opions Les opions les plus simples, de ype Call e Pu, son une exension rès naurelle des forwards : alors qu un forward donne à son déeneur l obligaion d acheer / vendre l acif sous-jacen à une dae fuure à un prix déerminé, l opion Call européen donne à son déeneur le droi mais non l obligaion d acheer l acif sous-jacen à une dae d échéance fuure à un prix déerminé K, appelé prix d exercice ou srike, e l opion Pu européen donne le droi mais non l obligaion de vendre l acif sous-jacen au prix K à la dae. Les opions Call e Pu américaines donnen le droi d acheer ou vendre l acif sous-jacen à la dae ou à oue dae fuure anérieure à. Lorsqu à la dae, le déeneur d un Call ou Pu exerce le droi que lui confère son opion, il ouche S K pour un Call e K S pour un Pu. Il es clair qu il n exercera son droi que si le monan qu il récupère es posiif : le déeneur d un Call ouche donc sysémaiquemen le monan e pour un Pu, le monan H = (S K) + H = (K S ) +, où la noaion () + designe la parie posiive. Ce monan H s appelle le pay-off de l opion. erminologie K : srike (prix d exercice). : dae de maurié (échéance). Une opion es à la monnaie à la dae si à cee dae K = S. Une opion es dans la monnaie : si elle devai expirer aujourd hui son pay-off serai posiif. La valeur inrinsèque d une opion es la quanié d argen qu elle rapporerai si elle devai expirer aujourd hui (la valeur du pay-off aujourd hui). La valeur emps d une opion es égale à son prix moins sa valeur inrinsèque. Noaion Nous noerons par Call (, K) le prix d un Call européen d échéance e srike K observé à la dae. Nous écrirons parfois égalemen Call(, K) lorsque =. Le prix d un Call américain sera noé par CallAmer (, K), e les prix des Pus européen e américain, respecivemen, par Pu (, K) e PuAmer (, K). Les opions plus complexes, qu on appelle les opions exoiques, don quelques exemples son donnés ci-dessous, son souven définies direcemen en ermes de leur pay-off. Opions à barrière : le paiemen a lieu (n a pas lieu) si le sous-jacen a dépassé un niveau conracuel (la barrière) avan cee dae. Exemple (up and ou call) H = (S K) + 1 M <B, où M = max u S u

13 1.. INRODUCION AUX OPIONS 13 - L inérê de cee opion es qu elle es moins chère que la call sandard mais offre des garanies rès similaires en siuaion normale (si la barrière es suffisammen haue). Opions asiaiques : le payoff dépend de la valeur moyenne du cours de l acif sous-jacen pendan la vie de l opion (pour empêcher la manipulaion des prix) : H = ( 1 S u du K Opions muli-sousjacen : sur un panier d acions, un panier de aux de change ec. ( n ) + H = w i S i K i=1 Opions forward sar. Le srike d une elle opion es déerminé à une dae fuure selon une règle spécifique, par exemple, H = (S ms ) +, où < es une dae fuure e m es un nombre fixé dans le conra (moneyness de l opion). Comme les fuures e les forwards, les opions peuven êre uilisées pour le ransfer des risques, pour prendre des paris sur l évoluion des acifs de base, e évenuellemen pour exploier des arbirages poeniels, ou en offran beaucoup plus de liberé e souplesse dans ces uilisaions. Les deux exemples suivans illusren l uilisaion d opions pour conrôler e limier les risques associés aux flucuaions des cours boursiers. Exemple 1 (Pu proecif). Un Pu proecif es une combinaison d une posiion longue dans un acif e d une opion Pu sur le même acif. Le pay-off à l échéance de l opion es alors donné par H = (K S ) + +S = max(s, K). Ce monage perme donc de limier les peres à un niveau K souhaié. Exemple (Consiuion d un fonds garani). Cerains fonds d invesissemen offren à leurs cliens une garanie de performance minimale. Ce ype de garanie peu êre mis en place en uilisan des opions. Supposons que l invesissemen iniial es normalisé à 1, e que l invesisseur es assuré de recevoir au moins K à l échéance. Pour ne pas créer une opporunié d arbirage, la valeur K, appelée le plancher, doi êre choisi de sore que KB( ) < 1, où B( ) es le prix d une obligaion zéro-coupon d échéance. La sraégie suivane perme alors de respecer la conraine ou un gardan un poeniel de gain : Invesir une fracion λ du fonds dans l acif risqué S. Pour simplifier la noaion nous supposons que la valeur iniiale de l acif risqué a égalemen éé normalisée à 1. Uiliser le monan résiduel pour l acha d un Pu sur λs d échéance e srike K, ou, de manière équivalene, λ Pus sur S de srike K/λ. ) +

14 14 CHAPIRE 1. INRODUCION AUX PRODUIS DÉRIVÉS Le pay-off de la parie opionnelle à la dae es égal à (K λs ) +, e la valeur du fonds es donnée par λs + (K λs ) + = max(k, λs ). Pour que cee allocaion soi réalisable, la valeur λ doi vérifier la conraine du budge : la somme du monan invesi en l acif risqué e du prix de l opion doi valoir 1 : λ + Pu λs (, K) = 1, (1.1) où Pu λs (, K) es le prix de l opion sur λs d échéance e srike K. Soi f(λ) = λ + Pu λs (, K) Alors, f() = KB( ) < 1 e f(1) = 1 + Pu S (, K) > 1. Donc, si f(λ) es une foncion coninue, il exise λ (, 1) qui vérifie (1.1). En an qu un produi spéculaif, les opions permeen de prendre des paris sur cerains scénarios d évoluion du marché selon les sraégies suivanes. Sraégies opionnelles L acha d un Call perme de parier sur la hausse du sous-jacen, e l acha d un Pu sur la baisse, avec beaucoup plus de levier, mais aussi beaucoup plus de risque que l acha du sous-jacen lui-même. Le Bull spread (acha d un Call de srike K 1, vene d un Call de srike K > K 1, de même échéance) e le Bear spread (vene d un Pu de srike K 1, acha d un Pu de srike K > K 1, de même échéance) son aussi des paris direcionnels ; ils on l avanage d êre moins chers que les opions elle-mêmes, mais les gains son limiés. Le Sraddle (acha simulané d un Call e un Pu de même srike, ypiquemen choisi égal à la valeur présene du sous-jacen, e même échéance) perme de parier sur la hausse de volailié du sous-jacen (plus le sous-jacen s éloigne de sa valeur présene, plus le sraddle va rapporer). Le Buerfly spread (acha d un Call de srike K h e d un Call de srike K + h ; vene de Calls de srike K, ous de même échéance où le srike K es ypiquemen égal à la valeur présene du sous-jacen) perme de parier sur la baisse de la volailié : le pay-off es maximal si le sous-jacen rese proche de sa valeur. Le calendar spread (acha d un Call de srike K e échéance 1 e vene d un Call de srike K e échéance < 1 ) perme égalemen de parier sur la hausse de la volailié Propriéés des prix de calls/pus Dans cee secion, pour obenir les relaions vérifiées par les prix des différenes opions, nous allons employer une propriéé plus faible que l absence d arbirage : la non-dominaion.

15 1.. INRODUCION AUX OPIONS 15 Définiion 1 (Propriéé de non-dominaion). Soi X le gain erminal d une sraégie de coû iniial x. Si X dans ous les éas de la naure alors x. Il es facile de voir qu il exisen des marchés vérifian la non-dominaion e admean des arbirages. Parié call-pu Supposons dans un premier emps que l acif sous-jacen ne verse pas de dividende. Alors, les prix du Call e du Pu de même srike e même échéance son liés par la relaion suivane : En effe, à la dae, on a Call (, K) Pu (, K) = S KB ( ), Call (, K) Pu (, K) = (S K) + (K S ) + = S K. Par le principe de non-dominaion, à la dae, la différence enre le prix du Call e le prix du Pu de même srike e échéance doi donc êre égale au prix d un porefeuille don la valeur à la dae es S K, c es-à-dire à S KB ( ). Bornes sur les prix des calls e pus En conséquence de la parié call-pu, on obien les bornes suivanes pour les prix de calls / pus : (S K) + < (S KB ( )) + Call (, K) S. (1.) (KB ( ) S ) + Pu (, K) KB ( ). (1.3) La valeur emps d une opion Call sur un acif ne versan pas de dividende es donc oujours posiive. Dépendance des prix d opions par rappor aux paramères Le prix d un Call es décroissan par rappor au srike (e le prix d un Pu es croissan) K 1 K Call(, K 1 ) Call(, K ). Cee propriéé découle de l exisence de la sraégie Bull spread qui consise à acheer un Call de srike K 1 e à vendre un Call de srike K. Comme cee sraégie a un pay-off posiif, son prix doi êre posiif. De plus, le pay-off d un Bull spread ou d un Bear spread es borné par K K 1 ; cela implique que Call (, K) e Pu (, K) son Lipschiz en K avec la consane B ( ). Les prix des Calls/Pus son convexes par rappor au srike. Cee propriéé correspond à la sraégie Buerfly spread. On vérifie que cee sraégie a égalemen un pay-off posiif dans ous les éas de la naure ce qui implique la convexié. Le prix d un Call es croissan avec la maurié : 1 implique Call( 1, K) Call(, K). Cee propriéé correspond à la sraégie Calendar spread : acheer un Call de maurié e vendre un Call de même srike de maurié 1. A la dae 1, cee sraégie a un pay-off posiif par (1.) ; son prix doi donc êre posiif à oue dae.

16 16 CHAPIRE 1. INRODUCION AUX PRODUIS DÉRIVÉS Cas d un sous-jacen versan des dividendes Pour des opions sur un sous-jacen versan des dividendes la relaion de parié Call-Pu es modifiée. A l échéance nous avons oujours Call (, K) Pu (, K) = S K, cependan pour percevoir ce flux à la maurié, il n es pas nécessaire d invesir S B ( )K à la dae. Si l acion verse des dividendes discres connus D 1,..., D N aux daes 1,..., N <, alors en achean une acion e en emprunan N D i B ( i ) + KB ( ) i=1 à la banque à la dae, on aura le flux S K à la dae. La parié Call-Pu devien donc Call (, K) Pu (, K) = S N D i B ( i ) KB ( ). Pour les indices conenan plusieurs acions, on uilise un général l approximaion de aux de dividende coninu, i.e., on suppose que l indice S verse en coninu un dividende égal à qs d. Dans ce cas il es facile de voir que pour s assurer d avoir S à la maurié, on doi invesir le monan S D ( ) à la dae, où D ( ) = e q( ). La parié Call-Pu devien donc i=1 Call (, K) Pu (, K) = S D ( ) KB ( ). La dérivaion des bornes analogues à (1.) (1.3) es laissée en exercice. 1.. Opion américaines Pour les opions américaines, l exercice es possible à oue dae avan la maurié ou à la maurié. Le prix d une opion américaine es donc en général supérieur au prix de l opion européenne correspondane : CallAmer (, K) Call (, K), PuAmer (, K) Pu (, K). La différence enre les deux prix s appelle la prime d exercice anicipée. Dans le cas pariculier du Call américain sur un acif ne versan pas de dividende, par la formule (1.), on a CallAmer (, K) Call (, K) > (S K) +, <. En l absence de dividendes, il n es donc jamais opimal d exercer le call américain avan l échéance, e le prix du call américain es égal au prix de l opion européenne correspondane. Pour le Pu, la siuaion es rès différene. Supposons qu à une dae, S < K(1 B ( )). Alors l exercice immédia de l opion rappore K S >

17 1.. INRODUCION AUX OPIONS 17 KB ( ), alors que le prix de l opion européenne es borné par KB ( ) par la formule (1.3). Dans cee siuaion, le prix du Pu américain es donc sricemen supérieur à celui du Pu européen e la prime d exercice anicipée es sricemen posiive. Il es alors inéressan de comprendre de combien le prix du Pu américain peu exceder le prix du Pu européen. Le résula suivan donne une réponse à cee quesion. héorème 3. Supposons que le aux d inérê es consan e égal à r. Alors, PuAmer (, K) Pu (, K) K(1 e r( ) ). Démonsraion. Soi ε >. Puisque pour s > (K S s ) + (Ke (r+ε)( s) S s ) + + K(1 e (r+ε)( ) ), le prix à la dae d un Pu américain es majoré par la somme du prix d une opion américaine qui verse (Ke (r+ε)( s) S s ) + si elle es exercée en s e de la quanié K(1 e (r+ε)( ) ). Or, (Ke (r+ε)( s) S s ) + < (Ke r( s) S s ) + Pu s (, K), ce qui monre que cee opion américaine modifiée ne sera jamais exercée avan l échéance, e que donc son prix coincide avec le prix du Pu européen. On en dédui : PuAmer (, K) Pu (, K) K(1 e (r+ε)( ) ), e en faisan endre ε vers zéro, le héorème es démonré.

18 18 CHAPIRE 1. INRODUCION AUX PRODUIS DÉRIVÉS

19 Chapire La formule de Black e Scholes Le modèle de Black-Scholes-Samuelson (mouvemen brownien géomérique) pour le cours d un acif. Volailié e espérance de rendemen du prix dans ce modèle. Volailié e espérance de rendemen d un processus de prix arbiraire ; calcul à l aide de la formule d Iô. Dynamique d un porefeuille auofinançan avec un seul acif risqué ; noion du levier financier ; acualisaion. Sraégie de réplicaion d une opion européenne dans le modèle de Black- Scholes. EDP de Black-Scholes. Couverure en dela. Evaluaion des prix des opions européennes par espérance risque-neure. Formule de Black-Scholes. Rôle, expression e propriéés des sensibiliés (grecques els que Dela, Vega, Gamma, Rho, hea) des opions Call e Pu dans le modèle de Black-Scholes. Robusesse de la formule de Black-Scholes. Volailié implicie : définiion, algorihme de calcul, phénomène de smile de volailié implicie..1 Mouvemen brownien géomérique Soi (W ) un mouvemen brownien sandard. Le modèle de Black-Scholes- Samuelson pour le prix d un acif risqué s écri ( S = S e b σ ) +σw. (.1) On suppose par ailleurs qu il exise un acif sans risque don le prix à l insan es S = e r. Pour erminer la descripion de nore marché, nous supposons 19

20 CHAPIRE. LA FORMULE DE BLACK E SCHOLES égalemen qu il es possible d acheer ou vendre l un ou l aure acif sans coû de ransacion ni resricion sur le volume, e que sur le marché il n y a pas d opporunié d arbirage. Pour comprendre l origine du erme σ dans l exponenielle, calculons l espérance e la variance du rendemen de l acif risqué enre i 1 e i, i = i i 1 : R i = S i S i 1 S i 1 E[R i ] = e b i 1 = b i + O( i ), Var[R i ] = e b i (e σ i 1) = σ i + O( i ). La volailié d un acif es radiionnellemen définie comme l écar ype des rendemens. Comme le aux d inérê, la volailié doi êre rapporée à une période de emps : on parle de la volailié journalière, mensuelle, annualisée ec. Dans ce cours, on uilisera exclusivemen la volailié annualisée, qui es donc donnée par Var[R i ] i On voi alors que dans l écriure (.1), σ représene la volailié annualisé de l acif sur une peie période. Dans la suie, on dira simplemen que σ es la volailié du prix dans le modèle de Black-Scholes. Le coefficien b, quan à lui, représene l espérance annualisé du rendemen. Une aure façon d écrire la formule (.1) es sous forme d une équaion différenielle sochasique (l EDS classique de Black-Scholes-Samuelson) ds S = bd + σdw. (.) Le lien enre les deux formules peu êre éabli par la formule d Iô. Dans le modèle de Black-Scholes, la volailié apparaî donc comme le coefficien devan le brownien dans l écriure (.) pour le processus de prix. Par analogie avec le modèle Black-Scholes, lorsque le processus de prix d un acif peu êre écri sous la forme (.), on appelera le coefficien devan le brownien sa volailié, e le coefficien devan d espérance du rendemen. Par exemple, supposons que le prix d une opion es donnée par une foncion connue du prix du sous-jacen vérifian le modèle de Black-Scholes : P = u(, S ). Alors, par la formule d Iô on peu écrire dp P = u + bs u S + 1 σ S u S u(, S ) d + σs u S u(, S ) dw On voi alors que la volailié du prix de l opion es donnée par σs u S u(, S ).

21 .. DYNAMIQUE D UN POREFEUILLE AUOFINANÇAN 1. Dynamique d un porefeuille auofinançan On considère un porefeuille financier conenan une ceraine quanié de l acif sans risque e une ceraine quanié de l acif risqué. On suppose que le géran de ce porefeuille peu modifier les posiions en vendan l acif sans risque pour acheer l acif risqué e vice versa, mais à aucun momen l argen n es rajoué ni reiré du porefeuille. Un el porefeuille s appelle un porefeuille auofinançan. Soi δ le nombre d uniés de l acif risqué e X la valeur du porefeuille à l insan. En supposan dans un premier emps que le porefeuille es reajusé aux daes discrèes 1,..., n, son évoluion enre deux daes de réajusemen consécuives es X i+1 X i = δ i (S i+1 S i ) + (X i δ i S i ) S i+1 S i S i En passan aux quaniés infiniesimales, on a alors L équaion du porefeuille auofinançan exprimée en ermes du nombre d uniés de l acif risqué dx = δ ds + (X δ S )rd. Lorsque le prix du porefeuille X es ou le emps posiif, on peu exprimer la sraégie d invesissemen de manière équivalene en ermes de la proporion (ou poids) de la richesse oale invesié en l acif risqué, noée par ω. Cee proporion es reliée au nombre d uniés à acheer via ω = δs X. En ermes de la proporion invesie en acif risqué, l équaion du porefeuille auofinançan devien dx X = (1 ω )rd + ω ds S = (ω b + (1 ω )r)d + ω σdw. On voi que la volailié d un porefeuille qui invesi la proporion ω dans l acif risqué es égale à ω σ, e que son espérance de rendemen en exces du rendemen de l acif sans risque es égale à ω (b r). Dans ce porefeuille, le monan invesi en l acif sans risque es donné par X (1 ω ), c es-à-dire, si ω > 1, la sraégie consise à empruner pour invesir un monan supérieur à la valeur du porefeuille en l acif risqué. Dans ce cas, on di que le porefeuille compore un levier. Le levier augmene à la fois l espérance du rendemen e le risque (volailié) du porefeuille. Acualisaion Ces expressions e le raiemen qui va suivre se simplifien en choisissan l acif sans risque comme numéraire, c es-à-dire en expriman la valeur du porefeuille, e celle de l acif risqué non pas en euros mais en nombre d uniés de l acif sans risque : X = X S, S = S S.

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