Relation entre la Volatilité Implicite et la Volatilité Réalisée.

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1 Relaion enre la Volailié Implicie e la Volailié Réalisée. Le cas des séries avec la coinégraion fracionnaire. Rappor de Recherche Présené par : Mario Vázquez Velasco Direceur de Recherche : Benoî Perron Le 9 mars 2006

2 Table de Maières SOMMAIRE 1 Lise des Tableaux e Figures 2 1 INTRODUCTION 3 2 INFORMATIONS PERTINENTES Volailié e Opions financières Coinégraion Fracionnaire 9 3 REVUE D ÉTUDES PRÉCEDENTES Sephen Figlewsky Bandi-Perron Chrisensen-Nielsen Quelques Faiblesses des éudes anérieures 16 4 ANALYSE THÉORIQUE Le Modèle 18 5 ANALYSE EMPIRIQUE Spécificaion du Modèle Les Données Résulas Empiriques 24 6 CONCLUSION 29 ANNEXE 31 FIGURE 1 33 RÉFÉRENCES 35

3 SOMMAIRE Dans cee éude, on s inéresse à déerminer si la volailié implicie dans les opions sur indices boursiers es une prévision non biaisée de la volailié réalisée des rendemens de ces derniers. On éudie ceci par le biais d un modèle de régression linéaire simple enre les deux variables. L esimaion des paramères pour ce modèle, es faie en uilisan la méhode de «Narrow Band Frequency Domain Leas Squares (FDLS)» qui es un procédé dans le domaine des fréquences. L uilisaion de cee méhodologie es jusifiée par la liéraure anérieure, qui monre que les séries de volailié de ce ype d acifs financiers son des processus saionnaires de mémoire longue, e qu on peu les modéliser à parir d une relaion de coinégraion fracionnaire. Ce rappor es inspiré des ravaux de Bandi e Perron (BP) (2004) e de Chrisensen e Nielsen (CN) (2004). En effe, on effecue une réesimaion du ravail de BP e on uilise les résulas héoriques de CN pour calculer les écars-ypes, valides asympoiquemen, des esimaeurs FDLS des paramères. Pour l applicaion empirique, on uilise des séries de volailié des rendemens pour un indice du marché boursier américain. D après nos résulas, on conclue, de façon cohérene avec la liéraure précédene, que la volailié implicie es une esimaion convergene de la volailié réalisée dans le long erme. Mos Clés : Volailié Implicie e Réalisée; Saionnarié; Coinégraion fracionnaire; Processus de Mémoire longue. 1

4 Lise des Tableaux e de Figures TABLEAUX En ANNEXE Tableau 1 : Saisiques Descripives pour les séries uilisées. Tableau 2 : Résulas des esimaions de paramères de d. Tableau 3 : Esimaions de paramères de α e β par MCO e NBLS (résula asympoique) Tableau 4 : Esimaions de paramères de α e β par NBLS (simulaion) FIGURES Figure 1 : Graphiques des esimaions des paramères d pour les séries de volailié. 2

5 1. INTRODUCTION L éude de la volailié de cerains acifs financiers es devenue un suje rès imporan dans le domaine de la finance. Cee imporance vien en grande parie du fai qu elle perme de mesurer l inceriude concernan l évoluion du rendemen d un acif donné (une acion ou un indice boursier, par exemple). De même, le fai que les prix de ces acifs soien rès variables ne peu êre négligé, surou lorsqu on y invesi nore argen. De nos jours, n impore quel invesisseur es conscien de ces flucuaions qui inroduisen un élémen de risque dans son porefeuille. C es pour cela que les invesisseurs désiren choisir le degré «d exposiion» au risque compaible à leur niveau de olérance à ce dernier. C es pour cee raison qu ils cherchen à se couvrir conre les fais adverses qui puisen affecer les marchés financiers. Ce souci se fai valoir (au moins pariellemen) à ravers l inclusion de divers produis dérivés, comme les opions financières (don une définiion es présenée posérieuremen dans le exe) dans les porefeuilles d invesissemen. Ainsi, la connaissance de la volailié de ce ype d acifs coningens joue un rôle esseniel dans l évaluaion e dans la couverure d un invesissemen quelconque, surou lorsque celui-ci es risqué. Par conséquen, la prévision de cee volailié es indispensable afin de conrôler le risque (e lorsque possible, le diminuer), De fai, l anicipaion d évenuelles variaions du comporemen des prix dans les marchés, nous perme de nous prévenir conre de possibles peres. Du poin de vue héorique, l imporance de la volailié es due aussi au fai que dans la plus par des modèles de valorisaion d acifs coningens, disposer d une mesure du risque de chaque acif, ainsi que des marchés où ils ransigen, es vial. En même emps, il y a d aures modèles dans lesquels on a besoin de connaîre la volailié d un acif dans une période dans le fuur. Les modèles de choix de porefeuille, dans l approche moyenne-variance, qui demanden la variance des acifs pour obenir les poids opimaux son un bon exemple. D aure par, éan donné que la volailié es reliée aux variaions du rendemen d un acif, on l esime souven en uilisan l écar ype d échanillonnage des rendemens anérieurs de 3

6 l acif en quesion sur une période donnée. Cee procédure, nous fourni d une esimaion de sa volailié hisorique. Or, avoir une bonne esimaion de la volailié fuure de cerains acifs n es souven pas facile, parce que, enre aures subiliés, la volailié n es pas observable e on doi uiliser des proxys pour l éudier. De plus, elle n es presque jamais consane, mais pour beaucoup d acifs, elle change sochasiquemen à ravers le emps. Une bonne inuiion de ceci es donnée par Gafaoui (2004, page 7) qui affirme que : «la volailié es sensible aux événemens poliiques, économiques e financiers ce qui explique en parie qu'elle varie au cours du emps en s'accompagnan souven d'un phénomène de non- saionnarié». Par conséquen, il es souven difficile d appliquer les modèles communs de prévision. Un exemple classique d un modèle de valorisaions d acifs coningens, où on a besoin d une mesure de volailié, es celui proposé par Black-Scholes [1973]. Ce modèle ser à calculer le prix héorique d une opion d acha (Call) européenne à parir des plusieurs valeurs don la seule variable qui n es pas direcemen observable au emps, quand on veu évaluer l opion, es précisémen σ, la volailié fuure du sous-jacen. Dans ce cas, la volailié qu on doi esimer es celle que le rendemen du sous-jacen expérimenera enre la dae (aujourd hui, par exemple), e la dae d expiraion de l opion, T. Dans la praique, on effecue (même si on sai que la volailié change à ravers le emps), une esimaion poncuelle en uilisan les données hisoriques e on considère cee dernière comme éan la volailié aendue sur oue la vie de l opion. Pour les conras d opions qui son déjà sur le marché, on observe : le prix du Call, la dae d échéance, le aux d inérê, le prix d exercice e du sous-jacen. On peu inverser 1 la formule de Black-Scholes (BS) de façon à obenir la valeur de σ que vérifie l égalié enre le prix de marché de l opion e sa valeur héorique. Cee valeur de σ, ainsi obenue, es la volailié implicie, qui es souven inerpréée comme éan la «prévision du marché» de la volailié du sous-jacen, sous l hypohèse d efficacié des marchés. De même, on peu calculer les variaions du rendemen du sous-jacen pendan une période donnée e obenir une esimaion de sa volailié réalisée (ex pos). On peu répéer cee procédure plusieurs fois pendan une longue période de emps, e générer des séries emporelles pour chacune des volailiés. 1 Même s il n exise pas une forme explicie pour inverser la formule mean en évidence σ, on peu obenir sa valeur par des méhodes numériques couranes, à l aide d une calcularice programmable ou d un ordinaeur. 4

7 L idée d uiliser la volailié implicie (dans d aures conras déjà ransigés sur le marché sur un sous-jacen donné) comme esimaeur de la volailié qui sera réalisée, s appuie sur l hypohèse héorique que les marchés financiers son «informaionnellemen efficiens». Donc, les prix de marché (des opions) devraien parfaiemen refléer oue l informaion imporane disponible. Ainsi, selon Chrisensen (2003, page 3) «si les paricipans dans le marché d opions son raionnels, la volailié implicie devrai êre la meilleure prévision du marché de la vraie volailié fuure du sous-jacen au cours de oue la vie de l opion». Cee volailié es assumée consane duran cee période. En conséquence, il es assez inuiif d éablir la relaion linéaire suivane : σ = α + βσ + ε (1.1) R R BS où σ es la volailié réalisée à la période, σ la volailié implicie par la formule de BS à la dae (qu on suppose es la volailié fuure enre les daes, aujourd hui, e T, l échéance de BS l opion), donnée par la formule de (BS) e ε es l erreur el que E[ε σ ]=0. BS Pouran, le premier problème qui se pose pour éudier nore équaion de régression es d abord de choisir la méhode d esimaion adéquae pour l équaion (1.1). Dans la liéraure anérieure, on monre que les méhodes communes pour faire ce ype de régression avec des séries de volailiés ne son pas appropriées en général. Ceci es dû au fai que dans ce ype de séries emporelles, on rouve fréquemmen des violaions aux hypohèses des méhodes d esimaion comme ceux des Moindres Carrées. Par exemple, on rouve souven que les erreurs dans l équaion de régression son corrélées avec le régresseur en opposiion avec l hypohèse BS que E[ε σ ]=0. De plus, des ravaux récens affirmen que la volailié sui un processus de mémoire longue e qu il exise de la coinégraion de ype fracionnaire enre les deux volailiés. Ceci pourrai rendre invalides ceraines des méhodes les plus souven uilisés pour esimer l équaion. Par ailleurs, dans la présene éude, inspirée par le ravail de Bandi-Perron (BP), on s inéresse aussi à rouver si ces condiions de mémoire longue e coinégraion fracionnaire se 5

8 vérifien. Le ravail de BP (2004) monre que sous l hypohèse radiionnelle de semi-maringale pour le prix des opions, on aurai en effe une équaion du ype : E[ σ ] β PRV R BS = α + β1σ + 2 où PRV es la prime de risque de la volailié (si le risque a un prix), e E[] l espérance incondiionnel. Or, comme la prime de risque es en général corrélée avec la volailié implicie 2, ne pas la prendre en compe impliquerai que les esimaeurs MCO ne soien pas convergens (biais causé par le manque de variables). Ceci es aussi vrai si les séries son coinégrées de façon fracionnaire. Donc, en suivan la démarche de leur ravail, on esime les paramères de nore équaion par la méhode de FDLS. Cee approche économérique produi des esimaeurs convergens, e ce même en présence d une (rès possible) relaion de coinégraion fracionnaire e de l exisence d une prime de risque de volailié (inobservable e supposée corrélée avec le régrésseur) el que monré dans leur ravail. Cee méhode consise à esimer le paramère βˆ dans une équaion comme (1.1) avec des echniques du domaine des fréquences. Plus spécifiquemen, pour calculer ce paramère, on uilise seulemen une parie des fréquences auour de 0. La méhode sera appliquée sur des données de volailiés pour l indice S&P100. D aure par, souven dans des éudes anérieures on s inéressai à savoir si la volailié implicie, éai un esimaeur non biaisé de la volailié réalisée 3. Touefois, dans cee éude, e de façon plus cohérene avec le modèle e les echniques d esimaion uilisées, on sui une inerpréaion légèremen différene des paramères. Auremen di, oujours d après le modèle fourni dans le ravail de BP (2004), on uilise aussi le fai que dans (1.1) α soi égale à l espérance incondiionnelle de la prime de risque. Sous cee hypohèse, on va pluô définir l absence de biais comme le fai que les deux séries de volailiés bougen une par une, c'es-à-dire, que si une subi un choc, l aure devra le subir égalemen ô ou ard (e donc α peu êre différen de 0). De ce fai, on veu eser H 0 : β=1 conre H 1 : β 1, mais on inerprèe ce es pluô comme éan une 2 Ceci es dû au fai que dans beaucoup de modèles, la prime de risque es une foncion linéaire de la volailié sousjacene, or la volailié implicie es aussi une foncion de la volailié sous-jacene. Il es donc assez inuiif que les deux variables soien corrélées. Voir l aricle de BP (2004) pour plus de déails sur le suje. 3 Surou un grand nombre de ravaux anérieurs uilisen la relaion (1.1) pour eser le non-biais à cour erme, ou bien comme un es sur l efficacié des marchés d opions. On s aendrai alors à ce que les coefficiens soien β=1 e α=0. 6

9 preuve de l exisence d'une relaion de co-mouvemen à long erme enre les deux séries 4 e non comme un es formel de non-biais ni d efficacié de marchés. L imporance de vouloir eser cee hypohèse vien de l uilié poenielle qu on pourrai irer. De ce fai, on pourrai se servir de la volailié implicie, qui es simple à calculer, pour l uiliser comme prévision de la volailié fuure à long erme, e donc épargner beaucoup de emps e d effor qu on uilise à faire des esimaions indépendanes pour prévoir cee dernière. Ainsi, d après BP (2004), le fai d uiliser ces echniques, nous perme d'éudier la relaion de long erme enre la volailié implicie e la réalisée. Ensuie, une fois que l on a obenu les esimés des paramères, on se ser du résula héorique proposé par Chrisensen e Nielsen (2004), (CN dorénavan) sur la disribuion de βˆ pour rouver (lorsque possible) ses écars-ypes, valides asympoiquemen. Finalemen, on fai des simulaions pour rouver des inervalles de confiance pour l esimaeur de α (ainsi que de β dans un deuxième emps) e eser les hypohèses qui nous inéressen pour pouvoir en irer des conclusions. Ce ravail es organisé de la façon suivane : la secion 2 inrodui au leceur quelques définiions e noions de base sur les conceps des volailiés implicie, volailié réalisée e les processus de mémoire longue. La secion 3 conien une peie révision sélecionnée des éudes précédenes. Dans la secion 4 on présene quelques conceps sur l analyse des séries saionnaires fracionnellemen coinégrés. Quan à la secion 5, elle compore l analyse empirique avec une brève descripion des données. On présene aussi le calcul les paramères de l équaion (1.1) à l aide des FDLS e ses écar-ypes 5 (ainsi que des inervalles de confiance calculées par simulaion pour α e β) afin de eser les hypohèses. Finalemen, la secion 6 présene la conclusion. 4 Ceci implique que même si les séries s écaren emporairemen l une de l aure, elles devron oujours revenir l une vers l aure. 5 Seulemen pour l'esimaeur de β dans le cas du résula asympoique de CN. 7

10 2 INFORMATIONS PÉRTINENTES On commence dans cee secion par un bref survol de quelques conceps nécessaires afin de mieux comprendre les echniques uilisées dans l éude. On présene d abord quelques propriéés de la volailié du poin de vue financier, ensuie on rappelle la définiion d une opion financière e finalemen on inrodui ceraines noions sur les processus de mémoire longue. 2.1 VOLATILITÉ ET OPTIONS FINANCIÈRES. Par souci de simplicié, on défini le rendemen d un acif financier quelconque, qui ne paie pas des dividends, enre les daes -1 e comme éan r = log(s /S -1 ), où S es le prix de l acif au momen. On supposera aussi que le rendemen es une variable aléaoire qui sui le processus: r = μ + ε Où μ es une consane e ε un brui blanc, indépendan de oue aure valeur anérieure ou posérieure. À la limie, ce processus dévien : ds S = μ d + σ db (2.1) où σ es la volailié de l acif, e B le Mouvemen Brownien. (voir, par exemple, Figlewski, 2004). La volailié réalisée pourrai aussi êre calculée simplemen comme les déviaions des rendemens par rappor à leur moyenne, comme : T T σ, T = ( ri r ) où r = T T i= 1 r i i= De plus, il fau rappeler deux caracérisiques imporanes de la volailié : En général, elle n es pas consane, mais change avec le emps. Elle es hauemen persisane (voir BP, 2004) D aure par, rappelons qu une opion es un insrumen financier donnan à son déeneur le droi, mais pas l obligaion, d acheer (call) ou de vendre (pu) un cerain bien sous-jacen, à un prix 8

11 spécifié, à une dae dans le fuur. Il exise basiquemen deux ypes d opions : Européennes e Américaines. La principale différence enre les deux es que les opions Européennes ne peuven pas êre exercées qu à échéance (c'es-à-dire à dae T), andis que les Américaines peuven êre exercées à n impore quel momen enre e T. Par souci de simplicié dans cee éude on ne raie que le cas des opions Européennes. 2.2 COINTÉGRATION FRACTIONNAIRE. On défini X (une série emporelle), comme éan un processus covariance saionnaire, si E[X ] = μ e la covariance enre X e X +j exise e es elle que Cov(X, X +j )= γ(j) ne dépend pas de (voir Robinson, 2003). On appelle une série inégrée d ordre zéro, I(0), si elle es covariance saionnaire (e a une densié specrale finie à l origine), e inégrée d ordre un, I(1), si lorsqu elle es différenciée une fois (c es à dire x - x -1 ), la série dévien I(0) (CN, 2004). Dans le domaine de l économérie, on éudie souven la relaion de coinégraion enre des processus saionnaires, où une combinaison linéaire des séries I(1) es I(0). Dans le cas bivarié par exemple, si x, e y son I(1), mais qu il exise e qui es I(0) e un β fixe el que y = β x + e alors on di que y e x son coinégrés (CN, 2004). Si mainenan on prend un processus x el que (1-L) d x = e (où L es l opéraeur de reard : L i x = x -i ), avec e I(0) e (1-L) d définie par son expansion binomiale, on di que le processus x es «inégré fracionnaire d ordre d». On dénoe un el processus x I(d), avec d éan n impore quel réel (don 0 e 1 son des cas pariculiers), (CN, 2004). Dans ce cas, on appelle d le paramère de mémoire longue. Plus spécifiquemen, dans le cas où 0 d < ½ on assiserai à un processus fracionairemen inégré qui es covariance saionnaire, mais si ½ d < 1, alors le processus serai non-saionnaire. En généralisan l idée de coinégraion, si x, e y son I(d), e il exise e I(d e ) avec d>d e dans l inervalle (0,1) e si on a un β fixe el que y = β x + e, alors on di que y e x son fracionnairemen coinégrés (CN, 2004). 9

12 Si un processus covariance saionnaire x a une foncion de disribuion specrale coninue, alors il possède aussi une foncion de densié specrale définie par : f 1 i j λ ( λ ) = γ ( j e π ) (2.2) 2 j= pour des fréquences π λ π. f(λ) es une foncion paire non négaive, périodique de période 2π au-delà de l inervalle [-π, π].(robinson, 2003). Aussi, sous ceraines condiions addiionnelles, un processus inégré fracionnaire d ordre d vérifie: f ( ) ~ c 2d λ λ lorsque 0 λ (2.3) où c es une consane e le symbole «~» veu dire que le raio des côés gauche e droi enden vers 1 à la limie (voir Robinson, 2003 pour plus de déailles). Un el processus es di qu il possède une mémoire longue parce que les auocorrélaions diminuen rès lenemen ; en fai, à un aux hyperbolique (CN, 2004). Dans le cadre de ce ravail, on va considérer des processus saionnaires de mémoire longue, don leur paramère d se rouve dans la zone saionnaire, c'esà-dire, 0 d < ½, parce que c es pour ce ype de séries qu on peu appliquer le résula de CN. Mainenan que l on a donné quelques noions e définiions, on peu procéder, dans la secion suivane, à l analyse de quelques résulas d une peie sélecion de ravaux anérieurs fais sur le suje. 10

13 3 REVUE DE LITTERATURE Parmi la liéraure élaborée au suje de la relaion enre la volailié implicie e la volailié réalisée, on choisi de parcourir brièvemen les 3 principaux ravaux sur lesquels cee éude s es inspirée. 3.1 «FORECASTING VOLATILITY» La première éude prise en compe dans le présen ravail es celle du Sephen Figlewski, (2004), iniulée «Forecasing Volaily». Ce aricle es divisé principalemen en deux grandes paries : La première, où il propose différens modèles pour faire des prévisions sur la volailié fuure d un acif financier, e la deuxième où il se me à éudier, propremen di, une relaion linéaire enre les deux ypes de volailié similaire à celle de (1.1) qui nous inéresse. Dans la première parie, il uilise en fai des modèles qui essayen de prévoir la volailié fuure en se basan seulemen sur des données hisoriques, e en supposan que la volailié es, d un cerain poin de vue, consane. Dans le cas de cee dernière, il esime la volailié hisorique sur une période de =1,2, T en appliquan la formule : v 2 ( r r ) = ( T 1) 2, où r es le rendemen de la période, r es la moyenne arihméique du rendemen e T es la aille de l échanillon. Ensuie il l annualise par : σ His = 2 T v. Quand il compare la volailié prédie avec celle réalisée, il rouve de «bonnes» esimaions pour des coures périodes. Le problème ici, es que l évidence empirique monre que l hypohèse de la volailié consane n es pas vérifiée, sauf parfois, pour des coures périodes (ce qui es consisan avec ses résulas). Deuxièmemen, Figlewski analyse les modèles de la famille ARCH pour faire les prévisions de volailié. Dans sa discussion sur cee méhodologie, il rouve que ces modèles on des désavanages pour prédire la volailié, enre aures : qu ils son difficiles à ajuser, e qu en général les prévisions se focalisen seulemen sur une période dans le fuur. De plus, les modèles 11

14 de la famille ARCH nécessien souven un grand nombre d observaions avan d avoir «un bon comporemen» (Figlewski, 2004). Dans la deuxième parie de son ravail, Figlewski exrai la volailié implicie à parir des données d opions avec mauriés enre 7 e 182 jours. Avec ces données, il a éudié le modèle σ R = σ IV + ε avec E(ε)=0 e E(σ IV ε)=0, où σ R e σ IV, son les séries de volailié réalisée e implicie, respecivemen 6. Cee équaion équivau à (1.1) e il l uilise pour eser les hypohèses que les marchés son efficiens e que la volailié implicie (IV) es un esimaeur non biaisé de la volailié réalisée (RV). Pour ce faire, il uilise l équaion de régression simple: σ R = α + β1σ IV + ε (3.1) pour eser l hypohèse nulle H 0 : β=1 e α=0. Avec plus de 17,000 données journalières sur le SP100, il calcule les volailiés avec des échéances T=1 mois e T=6 mois pour des opions «ahe-money» 7. Pour les deux séries des volailiés, il esime (3.1) par MCO; il obien des esimés de paramères α=0.136 (0.012) e β=0.022 (0.05), où les chiffres enre parenhèses son des écar-ypes radiionnelles de MCO. À la lumière de ses résulas, il rejee H 0. Après il ajuse en plus de (3.1) les modèles : σ R = α + β 2σ His + ε (3.2) σ R = α + β1σ IV + β 2σ His + ε (3.3) où σ HIST es la volailié hisorique (calculée comme monrée ci hau), mais en uilisan un souséchanillon qui prend en compe seulemen les opions avec échéance à cour erme (n=852). Il rouve les résulas ci-dessous: 6 Il fau noer que dans cee sous-secion on a gardé la même noaion originale que celle que Figlewski a dans son ravail. 7 On di qu une opion es «a-he-money» quand son prix d exercice es égal au prix du sous-jacen sur lequel es émise l opion (K=S) 12

15 α β 1 β 2 R 2 adj (0.017) (0.101) (0.024) (0.165) (0.024) (0.097) (0.203) SOURCE : Table III.3 (Figlewski, 2004, p111) En se basan sur ses résulas, il conclu que, apparemmen, σ IV n appore aucune informaion sur σ R, surou si on a déjà pris en compe l informaion que donne σ His. (Figlewski, 2004). Cependan, dans une revue d aures aricles que Figlewski menionne plus loin dans son ravail, ceux-ci monren que la σ IV appore de l informaion sur la volailié fuure, mais que σ IV es un esimaeur biaisé de cee volailié (voir Figlewski, 2004, page 98), laissan ainsi la pore ouvere à de nouvelles éudes. 3.2 «LONG MEMORY AND THE RELATION BETWEEN IMPLIED AND REALIZED VOLATILITY» Le second aricle es celui de Federico Bandi e Benoi Perron (2004). Dans ce aricle, les aueurs menionnen qu il exise de l évidence empirique dans des ravaux récens qui souiennen que σ BS es un esimaeur non-biaisé e efficien de σ R, lorsqu on conrôle les rois élémens qui son supposés «conaminer» les résulas de la régression (1.1), à savoir (voir BP, 2004) : Des erreurs dans les variables «Overlapping Daa» Le manque de variables. De plus, ils soulignen le fai que la volailié soi hauemen persisane. En effe, ils considèren qu il exise une sore de co-mouvemen de long erme enre les séries de la σ BS e de σ R, e que la relaion enre elles soi du ype de coinégraion fracionnaire. 13

16 Bandi e Perron (2004), uilisen un modèle de valorisaion d opions qui implique que les séries de volailié possèden de la mémoire longue 8. Pour esimer les paramères de l équaion (1.1) de façon cohérene avec cee hypohèse (e avec celle de la coinégraion fracionnaire), ils uilisen la méhode de NBLS (qui es un cas pariculier de FDLS pour des fréquences auour de 0). Cee méhodologie es consisane même dans le cas de erreurs saionnaires corrélés avec une variable indépendane (BP, 2004). Dans leur ravail, Bandi e Perron fon l éude des volailiés en se servan des données journalières enre Janvier 1988 e Ocobre 2003, de l indice SP100 (OEX) e d une série de volailiés implicies calculées par le «Chicago Board Opions Exchange» (CBOE), pour des opions (synhéiques) «a-he-money» sur l indice SP100 avec échéance d un mois (la série VXO) 9. Ils présenen une équaion de régression semblable à (1.1) e fon l esimaion du βˆ par MCO e NBLS avec différenes valeurs du paramère de fenêre (bandwidh) «m». Ils fon appel ensuie aux simulaions (par sous-échanillonnage) pour calculer les erreurs sandard des paramères, e pour ainsi êre capables de eser leurs hypohèses. En bref, ils argumenen, appuyés sur les esimaions de paramères d qu ils effecuen, que les processus de volailié son fracionnairemen coinégrés, e ceci es associé aux mouvemens de long erme. Auremen di, les séries de volailié possèden de la mémoire longue. De même, ils rouven des esimés de α enre e e de β enre e e des inervalles de confiance qui ne permeen pas de rejeer l hypohèse nulle 10. En conséquence, ils rouven égalemen que la volailié implicie es un esimaeur approximaivemen non biaisé de la volailié réalisée (BP, 2004, page 27). Ils inerprèen ce résula pluô comme éan une évidence de l exisence d une relaion de co-mouvemen à long erme enre les volailiés, e non comme éan un es formel de non-biais à cour erme, ni d efficacié des marchés, ni de validié d un cerain modèle de valorisaion d opions (BP, 2004, page 27). Finalemen ils argumenen que ces résulas n impliquen que l exisence de une relaion de co-mouvemens de long erme enre les deux variables. 8 Ce modèle es une exension d un modèle cié dans l aricle de Come, F., L. Couin, and E. Renaul «Affine Fracional Sochasic Volailiy Models» Mimeo, 2003, selon documené par les aueurs. 9 Pour une explicaion bien déaillée sur la série VXO, le leceur es dirigé vers le sie web du Chicago Board Opions Echange (CBOE) au lien : hp:// 10 Ils se soucien seulemen de eser H 0 : β=1 VS H 1 : β 1. 14

17 3.3 «ASYMPTOTIC NORMALITY OF NARROW-BAND LEAST SQUARES IN THE STATIONARY FRACTIONAL COINTEGRATION MODEL AND VOLATILITY FORECAST.» Finalemen, l aricle de Ben Jasper Chrisensen e Moren Orregard Nielsen (2004) es rès imporan à menionner dans le cadre de cee éude. L appor principal de ce exe es la disribuion asympoique des esimaeurs du paramère β dans la régression (1.1) lorsqu on uilise la méhode de «Narrow Band Frequency Domain Leas Squares (NBLS)», dans le cas des processus saionnaires de mémoire longue. Dans leur aricle, CN (2004) procèden à l analyse des processus coinégrés de mémoire longue e en fon l applicaion empirique avec des données de volailié financière. En général, ce ype de séries on la paricularié de monrer une grande dépendance sérielle mais sans êre nécessairemen des processus avec racine uniaire (CN, 2004). Pour l applicaion de leur héorie, les aueurs éudien un modèle où ils considèren aussi la possibilié que les séries des données pour σ BS e σ R soien fracionnairemen coinégrées. D un côé, ils se serven des données de haue fréquence (avec des coisaions oues les 5 minues) pour les rendemens de l indice SP500, enre le 1 janvier 1988 e le 31 décembre 1995, pour calculer la série de volailié réalisée. D un aure côé, parmi les opions exisanes sur le SP500, ils prennen la coisaion des lundis pour le Call de plus coure maurié e qui es plus proche d êre «a-he-money», e inversen aussi la formule de (BS) pour esimer la série de volailié implicie (voir CN, 2004, page 13 pour plus de déails). À la différence des aures ravaux, les données qu ils uilisen pour esimer la relaion (1.1) ne son pas les séries de volailiés qu ils on calculé à l origine, mais des «log-volailiés». De même, ils esimen le paramère d pour leurs données e rouven des valeurs auour de De ce fai, ils esimen les paramères de (1.1) par FDLS e calculen les écars-ypes de βˆ en uilisan leur disribuion asympoique pour eser l hypohèse de non-biais H 0 : β=1. Ils spécifien que, si les séries son coinégrées de façon fracionnaire, alors cee hypohèse exprime une relaion de non-biais à long erme. 15

18 D après leurs résulas, ils ne peuven pas rejeer l hypohèse que les deux séries de volailié son fracionnairemen coinegrées, ni que l erreur de coinégraion a seulemen une mémoire coure. Ainsi, oues les propriéés de mémoire longue son communes pour la volailié implicie e réalisée (CN, 2004 page 19). À la lumière des inervalles de confiance qu ils rouven, ils ne peuven pas rejeer l hypohèse que β=1, ce qui es cohéren avec la liéraure anérieure, qui souien que la VI es un esimaeur non-biaisé dans le long erme. Finalemen, Chrisensen e Nielsen souiennen leur héorie e méhodologie en affirman que celle-ci es rès uile parce qu elle produi des «esimaeurs consisans e asympoiquemen normaux, même lorsque les MCO ne son pas convergens» (CN, 2004, 20). 3.4 QUELQUES FAIBLESES DES ÉTUDES ANTERIEURES: En général, on peu remarquer qu il n y a pas de consensus sur les méhodes à uiliser pour faire de bonnes prévisions sur la volailié. On remarque aussi (par exemple dans le cas de Figlewski (2004)), qu on peu rouver des fois que l esimaion βˆ es saisiquemen < 1 (ce qui pourrai suggérer l exisence d une prime de risque par exemple). Dans le cas des MCO, ceci peu êre dû à la manque des variables (corrélées avec σ BS ), ou bien qu il exise des erreurs de mesure dans celles-ci. Ces deux phénomènes rendraien les esimaions par MCO non convergens (e probablemen biaisés vers 0). Sinon, l aure problème qui peu arriver, es qu il y ai de l auocorrélaion des erreurs, ce qui enraînerai le fai que les écar-ypes radiionnels de MCO soien faux. En ce qui concerne l éude de la relaion (1.1) dans le cas spécifique de Figlewski, il a uilisé l esimaion par MCO e a rejeé H 0, ce qui es en désaccord avec une bonne parie de la liéraure exisane, surou pour la for probable exisence de coinégraion fracionnaire (qui rend invalides les écar-ypes habiuels de MCO). Une explicaion possible de son reje, pourrai êre le fai que les erreurs dans sa régression soien auocorrélés ou même que les séries qu il a en 16

19 fai uilisé suiven des processus coinégrés. De ce fai, les esimaions des écar-ypes de MCO ne son plus valides e nous enraînen à effecuer de mauvaises conclusions. Mainenan, après avoir parcouru une peie parie de la liéraure anérieure sur le suje, nous sommes prês à nous consacrer davanage sur la relaion qui nous inéresse, le cadre héorique qui la souien, le modèle que l on pose ainsi que la méhode d esimaion. Nous allons voir ceci de façon plus approfondi dans les secions suivanes. 17

20 4 ANALYSE THÉORIQUE Après avoir vu quelques résulas sur des ravaux anérieurs, on va procéder à la présenaion du cadre héorique sur lequel se base cee éude. Il es imporan de souligner que la grande majorié des conceps, explicaions e idées qui suiven son prises surou des ravaux de Bandi-Perron (2004) e de Chrisensen-Nielsen (2004). Tel que menionné au sommaire, ce ravail es simplemen une ré-esimaion du modèle de BP avec des données mises à jour, mais en ajouan le résula héorique de CN. 4.1 LE MODÈLE Tel que proposé par BP, on suppose un modèle de volailié sochasique pour le rendemen des acifs, el que celui de l équaion (2.1. Rappelons nous que le prix héorique d une opion d acha (Call) européenne C, avec un prix d exercice K e de maurié au emps T (mesuré en années) sur un sous-jacen ayan un prix de S à la dae, es donné selon la formule de Black- Scholes par 11 : rt C S, K, T, r, σ ) = S Φ( δ 1 ) e KΦ( δ ) ( 2 (4.1) avec ( S ) 1 2 ln + r σ T K + 2 δ 1 = e δ 2 = δ 1 σ T σ T où Φ es la f.d.p. d une Loi Normale Cenrée Réduie, r le aux d inérê sans risque e σ la volailié du rendemen du sous-jacen enre les daes e T, la «vie» de l opion. De ce fai, si on peu observer le prix d un Call sur le marché, C Mk, on peu inverser (4.1) de façon numérique pour rouver la valeur de σ qui égalise le prix héorique avec le prix sur le marché. Auremen di, c es la valeur σ BS el que C(S,K,T,r,σ BS )=C Mk. Cee valeur sera donc la volailié implicie de l opion. On peu répéer ceci plusieurs fois pendan une période donnée e consruire une série BS emporelle de volailiés implicies σ pour chaque dae. De même, on peu consruire une 11 Voir Hull, 2003 pour plus de déails sur la formule de BS e pour un excellen livre de exes sur les opions. 18