Calcul Stochastique 2 Annie Millet

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1 M - Mahémaiques Appliquées à l Économie e à la Finance Universié Paris 1 Spécialié : Modélisaion e Méhodes Mahémaiques en Économie e Finance Calcul Sochasique Annie Mille

2 Table des maières 1. Processus d Iô de dimension quelconque Rappels Variaion quadraique - Croche d une maringale locale Processus d Iô réel Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale Processus d Iô de dimension d Formule d Iô générale Propriéés du Brownien Caracérisaions de Lévy Propriéés de Markov Exercices Équaions différenielles sochasiques Soluion fore - Diffusion Soluion faible Quelques propriéés des diffusions Flo sochasique e Propriéé de Markov Généraeur infiniésimal Théorème de comparaison Processus de Bessel Lien avec les EDP Problème parabolique Formule de Feynman-Kac Exemples en finance Problème de Surm-Liouville - Temps d occupaion Inroducion à la formule de Black & Sholes Exercices Théorème de Girsanov Changemen de probabilié Formule de Cameron Marin Théorème de Girsanov Condiion de Novikov e généralisaions Exisence de soluions faibles Exemples d applicaion à des calculs d espérance Théorème de représenaion prévisible Exercices Applicaions à la finance Modélisaion d un marché financier en emps coninu Modélisaion d un marché à d acifs risqués e k faceurs Descripion des sraégies

3 Absence d opporunié d arbirage - Mesure maringale équivalene Probabilié risque neure Modèle de Black & Sholes généralisé Absence d opporunié d arbirage e changemen de probabilié - Prime de risque Compléude du marché Calcul du porefeuille de couverure dans le modèle de Black & Sholes Volailié Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Processus de Bessel généraux Modèle de Cox-Ingersoll-Ross Calcul du prix d un zéro-coupon Exercices

4 1 1 Processus d Iô de dimension quelconque Le bu de ce chapire es d éendre les noions de mouvemen Brownien, de processus d Iô e la formule d Iô de la dimension 1 à une dimension d arbiraire. 1.1 Rappels Nous rappelons ou d abord quelques définiions e noaions du cours de Calcul Sochasique 1. La filraion donne «l informaion» don on dispose à chaque insan. Définiion 1.1 Soi Ω, F, P un espace probabilisé. i Une filraion es une famille croissane F, de sous-ribus de F, c es à dire elle que F s F F si s. ii On di que la filraion F saisfai les condiions usuelles si elle es : coninue à droie, i.e., F = F + := s> F s. complèe, i.e., oues les ribus F coniennen les ensembles négligeables, ce qui revien à demander que PA = enraîne A F. Convenion. Dans oue la suie on se donne un espace probabilisé filré Ω, F, F,, P e on suppose que sa filraion F saisfai les condiions habiuelles. On supposera de plus que la ribu F es la compléée de la ribu riviale {, Ω}, ce qui enraîne que les v.a. F mesurables son presque sûremen consanes. Ceci ne sera pas rappelé dans les énoncés. Définiion 1. Un processus sochasique à valeurs dans R d es une famille X, de variables aléaoires X : Ω, F R d, R d. i Le processus sochasique X es F -adapé si X es mesurable de Ω, F dans R d, R d pour ou insan. ii Le processus sochasique X es progressivemen mesurable ou progressif si pour ou insan, l applicaion s, ω X s ω es mesurable de B, ] F dans R d, R d. iii Soi X un processus sochasique. Sa filraion naurelle es F X, où F X = σσx s, s, ], N où N désigne les ensembles négligeables. Si le processus X es coninu à droie, sa filraion naurelle F X saisfai les condiions habiuelles. Théorème 1.3 Soi X un processus sochasique à valeurs dans R d, adapé e coninu à droie. Alors X es progressif. La noion de emps d arrê joue un rôle crucial dans la héorie. Définiion 1.4 Une variable aléaoire τ : Ω, + ] es un emps d arrê relaivemen à la filraion F, ou F -emps d arrê, si {τ } F pour ou. Si τ es un emps d arrê relaivemen à F, on noe F τ = {A F : A {τ } F,, + }. Enfin si X es un processus F -adapé, on noe X τ ω = X τω ω; si le processus X es coninu à droie e adapé, X τ 1 {τ<+ } es F τ -mesurable. Les exemples suivans de emps d arrê son imporans. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

5 1 Processus d Iô de dimension quelconque Proposiion 1.5 Soi X, un processus à valeurs dans R d, F -adapé e A R d. Rappelons la convenion inf = +. i Si A es fermé e X es coninu, D A = inf{ : X A} es un F -emps d arrê. ii Si A es un ensemble ouver e X es coninu à droie, alors le emps d aeine de A noé T A = inf{ > : X A} es un F +-emps d arrê. Démonsraion. i De façon évidene, la coninuié de X. e le fai que A es fermé enraînen {D A } = {ω : inf s Q,s dx s ω, A = } F, où dx, A = inf y A dx, y. ii Pour vérifier {T A } F +, il suffi de vérifier que {T A < } F pour ou. De plus, si s < e X s ω A, la coninuié à droie de X. ω e le fai que A es ouver enraînen qu il exise ε ], s el que pour ou r s, s + ε, X r ω A, d où {T A < } = s<,s Q {X s A} F. Remarquons que T A n es pas nécessairemen un F -emps d arrê. Les maringales jouen un rôle cenral dans la héorie; elles on la propriéé fondamenale consammen uilisée en finance : le processus X,, T] es complèemen déerminé par sa valeur X T à l insan erminal T. Définiion 1.6 Un processus réel F -adapé X = X, es une F -maringale si E X ] < + auremen di X L 1 Ω pour ou. EX F s ] = X s pour ou s. Si X es une F -maringale elle que EX < + pour ou, on di que X es une maringale de carré inégrable. On peu définir une maringale sans filraion préalable, en demandan que ce soi une F X - maringale où F X es la ribu naurelle de X. Clairemen, si X es une F -maringale, c es aussi une F X -maringale. Enfin, un processus X = X i, i = 1,, d, à valeurs dans Rd es une F -maringale si chacune de ses composanes X, i, i = 1,, d es une F -maringale. Rappelons qu une F -maringale X par rappor à une filraion F qui saisfai les condiions habiuelles adme une modificaion coninue à droie e limiée à gauche cadlag. Toues les maringales que nous considérerons seron donc coninues à droie. Le héorème d arrê s éend aux maringales coninues à droie. Théorème 1.7 Théorème d arrê Soi M une F -maringale coninue à droie. i Soi S, T des F -emps d arrê bornés par une consane K, i.e., els que S T K. Alors M T es inégrable e EM T F S = M S p.s. ii Soi T un emps d arrê. Le processus arrêé M T, défini par M T = M T 1.1 es encore une F -maringale. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

6 1.1 Rappels 3 Démonsraion. i Pour ou n 1, soi S n ω = k n sur {S k 1 n, k n }, k K n + 1 e T n défini de façon similaire. Alors S n e T n son des F -emps d arrê qui ne prennen qu un nombre fini de valeurs e els que S S n T n, lim n S n = S e lim n T n = T. Si A F Sn, en découpan l ensemble A suivan les valeurs prises par S n e en uilisan la propriéé de maringale, on voi que M A S n dp = k M A {S n=k} KdP, c es à dire que M Sn = EM K F Sn. Puisque F Sn F Tn, on a donc EM Tn F Sn = EEM K F Tn F Sn = M Sn. On en dédui que pour A F S F Sn, M A S n dp = M A T n dp. De plus, les suies de emps d arrê S n, n 1 e T n, n 1 éan décroissanes, le calcul précéden monre que les suies M Sn, F Sn e M Tn, F Tn son des maringales descendanes, donc uniformémen inégrables. Puisque la maringale M es coninue à droie, M T = lim n M Tn e M S = lim n M Sn p.s. e dans L 1. On en dédui que pour ou A F S, M A SdP = M A TdP, ce qui ermine la démonsraion. On remarque que cee démonsraion s éend aisémen au cas où S e T son des emps d arrê non bornés els que S T si la maringale M es uniformémen inégrable, donc fermée. ii Si s, il suffi d appliquer la parie i aux emps d arrê s T T, pour déduire que M T es une F T -maringale. Monrons que ce processus F -adapé inégrable es encore une F -maringale. Soi A F s. De façon évidene, A {T > s} F s T, e puisque EM T F s T = M s T, M T dp = M s T dp. A {T >s} A {T >s} De plus, sur {T s}, M T = M T = M s T ; on en dédui M A TdP = M A s TdP, ce qui ermine la démonsraion. Cee proposiion jusifie la définiion suivane qui perme de «localiser» la noion de maringale en inroduisan une suie croissane de emps d arrê. Définiion 1.8 Un processus F -adapé e coninu à droie M es une F -maringale locale s il exise une suie croissane τ n de F -emps d arrê elle que τ n e M τn := M τn, es une F -maringale pour ou n. Remarque Soi M une maringale locale. En remplaçan la suie de emps d arrê τ n par τ n n on voi que l on peu demander que chaque maringale M τn soi uniformémen inégrable. Pour ou n 1, soi S n = inf{ : M n}. Alors S n es un emps d arrê e si la maringale locale M es coninue, on peu, en remplaçan τ n par τ n n S n, demander que la maringale M τn soi bornée. Même si M es une maringale locale inégrable, ce n es pas nécessairemen une maringale. On pourra voir un conre-exemple dans 11], page 18. Définiion 1.1 Le processus B, es un mouvemen Brownien sandard réel - ou unidimensionnel si les propriéés a-c son vérifiées : a PB = = 1 le mouvemen Brownien es issu de l origine. b Pour s, B B s es une variable réelle de loi gaussienne, cenrée de variance s, noée N, s. c Pour ou n e 1 n, les variables aléaoires B, B 1 B,, B n B n 1 son indépendanes. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

7 4 1 Processus d Iô de dimension quelconque Rappelons que les rajecoires du Brownien B son p.s. coninues, e même Höldériennes d ordre α < 1, mais p.s. qu elles ne son pas dérivables ni même des foncions de classe C. 1 On supposera souven que la ribu F considérée es la ribu naurelle de B, noée F B, e saisfai donc le héorème d arrê 1.7. La propriéé c monre que pour ou s <, l accroissemen B B s es indépendan de la ribu Fs B = σσb u, u s, N. Le mouvemen Brownien es donc une F B -maringale. Rappelons des propriéés du Brownien qui seron d un usage consan, e pourron êre monrées à ire d exercice. Proposiion 1.11 Soi B un Brownien. Alors i Scaling Pour oue consane c >, le processus cb /c es un mouvemen Brownien e B es un mouvemen Brownien. ii B, es FB -maringale. iii Pour ou θ R, le processus exp θb θ, es une F B-maringale. La figure suivane monre rois exemples de rajecoires de B obenues par simulaion Variaion quadraique - Croche d une maringale locale Rappelons les noaions suivanes. Définiion 1.1 Soi Ω, F, F,, P un espace filré. Pour a = 1, e T ], + ] on noe : { } H a F = h progressivemen mesurable el que pour ou, E h s a ds <, { } Ha loc F = h progressivemen mesurable el que pour ou, h s a ds < p.s., { T } Ha T F = h progressivemen mesurable el que E h s a ds < +. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

8 1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 5 En pariculier soi h un processus cadlag F -adapé; si pour ou > on a h s ds < + p.s., alors h H loc, si E h sds < pour ou, alors h H F,... Lorsque la filraion F es la filraion naurelle F B d un mouvemen Brownien B, on noera simplemen H1 loc := H1 loc F B, H loc := H loc F B,... La propriéé suivane des inégrales sochasiques par rappor au mouvemen Brownien es fondamenale. Théorème 1.13 Soi B un mouvemen Brownien e F B sa filraion naurelle. Soi h H ; alors le processus I = h sdb s es une F B -maringale de carré inégrable e à rajecoires p.s. coninues. Soi h H loc par exemple un processus cadlag, F B-adapé el que h sds < + p.s. Alors l inégrale sochasique I = h sdb s peu êre consruie comme une maringale locale coninue. Rappelons la noion de variaion saisfaie par les inégrales de la borne supérieure déerminises. Définiion 1.14 i Soi s < e f : s, ] R. La foncion f es à variaion bornée sur s, ] si V s,] f < +, où { } V s,] f := sup f i+1 f i : {s = < 1 < < n } subdivision de s, ]. i La foncion f :, + es à variaion finie sur, + si elle es à variaion bornée sur ou inervalle, T]. ii Le processus X es à variaion bornée sur s, ] resp. à variaion finie si ses rajecoires son p.s. à variaion bornée sur s, ] resp. p.s. à variaion finie. De façon évidene, si b H1 loc F, le processus I = b sds es à variaion finie; en effe pour ou T, V,T] I T b d. Le comporemen des inégrales sochasiques es ou aure. Proposiion 1.15 Soi M une F -maringale locale p.s. coninue à variaion finie. Alors pour ou la variable aléaoire M es presque sûremen consane égale à M. Démonsraion. Puisque M es p.s. consane, en remplaçan M par M M, on peu supposer M =. i Fixons T e supposons que M es une maringale coninue e que sa variaion V,T] M es p.s. bornée par C. Soi = { = < 1 < < n = T } une subdivision de, T], = sup n 1 i= i+1 i son pas e pour k n 1 soi X k = M k+1 M k. Alors n 1 E M T = E M T M = EXk + k= 1 i<j n 1 EX i X j. Si i < j, X i es F i mesurable, donc indépendane de X j e EX i X j = EX i EX j F i =. Donc E M T = n k= EX k CE sup k M k+1 M k e par coninuié des rajecoires de M, p.s. la foncion M ω es uniformémen coninue sur, T]. Quand, on a donc sup k:k+1 M k+1 M k p.s. andis que sup k:k+1 M k+1 M k C. En 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

9 6 1 Processus d Iô de dimension quelconque appliquan le Théorème de convergence dominée, on en dédui E sup k M k+1 M k quand. On en dédui E M T = ce qui enraîne M T = p.s. ii Supposons que M es une maringale p.s. coninue. Pour ou n, soi τ n = inf{, T] : V,] M n} T avec la convenion inf = +. La définiion de V,] monre que c es un processus F - adapé, coninu. La Proposiion 1.5 i monre que τ n es une suie de F -emps d arrê; de façon évidene, τ n es croissane e converge vers T. Le héorème d arrê 1.7 monre que le processus M τn = M τn, es une F -maringale. De plus, par consrucion, V,T] M τn n p.s. Soi, T]; la parie i monre donc que M τn = p.s. puis la coninuié p.s. de M perme, en faisan endre n vers l infini, d en déduire que M = p.s. iii Soi mainenan M une maringale locale coninue e soi τ n une suie de emps d arrê qui croi vers T elle que M τn, es une maringale coninue. Pour ou n cee maringale es à variaion bornée sur, T] e es donc nulle p.s. d après ii. On conclu de nouveau par passage à la limie en n en uilisan la coninuié p.s. de M. La proposiion précédene monre que le mouvemen Brownien n es p.s. pas à variaion bornée sur, T] e que l inégrale sochasique σ sdb s ne peu pas êre définie ω par ω e n es pas à variaion finie, sauf si elle es nulle. La «bonne noion» pour les inégrales sochasiques, ou comme pour le Brownien, es celle de variaion quadraique. Pour ou processus X défini sur, T], T e oue subdivision = { = < 1 < < k = T }, k 1 T X = X i+1 X i. i= Définiion 1.16 Soi X :, T] Ω R un processus sochasique défini sur, T]. On di que X es de variaion quadraique finie si pour ou, T], X, X = lim T exise en probabilié, c es à dire que pour oue suie n de subdivisions de, T] don le pas end vers, la suie T n converge en probabilié vers une limie noée X, X. Les deux résulas suivans donnen les rappors enre processus à variaion bornée e à variaion quadraique finie. Proposiion 1.17 Soi X un processus coninu à variaion bornée sur, T]. Alors X es de variaion quadraique nulle sur, T]. Démonsraion. Soi = { = < 1 < < k = T } une subdivision de, T]. Alors k 1 k 1 X i+1 X i X i+1 X i sup X i+1 X i. i<k i= i= La coninuié uniforme p.s. de X sur l inervalle, T] enraîne sup i k 1 X i+1 X i p.s. quand. De plus p.s. k 1 i= X i+1 ω X i ω V,T] X. ω < +, ce qui ermine la démonsraion. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

10 1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 7 On remarque d ailleurs que la démonsraion précédene e le Théorème de convergence dominée enraînen que si V,] X C p.s. où C es consane, T converge vers dans L 1. Le résula suivan a éé monré dans le cours de Calcul Sochasique 1. Théorème 1.18 Le mouvemen Brownien B es de variaion quadraique finie sur ou inervalle, T] e B, B =. Plus précisémen, lorsque, E T B, c es à dire que la convergence a lieu dans L. De plus, si σ H loc, le processus σ sdb s, es de variaion quadraique σ s ds sur chaque inervalle, ]. Nous allons ou d abord le généraliser à des maringales locales coninues. Noaion Soi = { = < 1 < < } une subdivision de, + elle que pour ou >,, ] ne comprend qu un nombre fini de poins. Par analogie avec les noaions précédenes, pour ou > en ajouan à la subdivision e pour ou processus X noons T X = i+1 X i i X. 1. Le processus X es à variaion quadraique finie si pour ou la famille de processus T X converge en probabilié vers X, X quand le pas de la subdivision sur, ] end vers. Le résula suivan es fondamenal. Il relie la variaion quadraique à une maringale associée au carré du processus. Théorème 1.19 Soi M une F -maringale locale coninue. Alors M es de variaion quadraique finie e sa variaion quadraique M, M es l unique processus croissan, adapé, coninu, nul en zéro el que M M, M, es une F maringale locale. De plus, pour s < e oue suie n de subdivisions don le pas n end vers, la suie sup s Ts n M M, M s converge vers en probabilié. Si de plus, M es une maringale de carré inégrable c es à dire que EM < + pour ou, alors M M, M, es une F maringale coninue elle que pour ou couple de emps d arrê bornés S T C, EM T M S F S = E M T M S F S = E M, M T M, M S F S. Démonsraion. L unicié de la décomposiion découle de la Proposiion En effe, soi M = Y + A = Z + B où A, B son des processus coninus à variaion finie e nuls en, Y, Z son des maringales locales, coninues puisque M., A. e B. le son. Alors la différence Y Z = B A es une maringale locale coninue à variaion finie nulle en, donc es nulle d après la Proposiion Pour prouver l exisence, nous disinguerons plusieurs éapes. Pour alléger les noaions, nous ne ferons pas référence à la filraion pour les emps d arrê, maringales,... En remplaçan M par M M, qui es aussi une maringale ou une maringale locale, nous supposerons que M =. 1 On suppose que M es une maringale bornée par C. Pour oue subdivision, s <, noons i e k les eniers els que i s < i+1 e k < k+1. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

11 8 1 Processus d Iô de dimension quelconque Alors si i = k, la propriéé de maringale de M enraîne que Si i < k, E T M T s M Fs = E M M i M s M i F s = E M M s F s = EM M s F s. E M i+1 M i F s = E Mi+1 M s F s + Ms M i. Avec la convenion n j=n 1 x j = si n 1 > n, on en dédui E T M T s M Fs = E M i+1 M s + D aure par, pour ou s a < b c < d, k 1 j=i+1 M j+1 M j + M M k Fs. EM b M a M d M c F s ] = EM b M a EM d M c F c ] F s ] =. En décomposan M M s comme somme d accroissemens sur les poins {s, i+1,, k, } on obien donc E M M s F s = E M i+1 M s + k 1 j=i+1 M j+1 M j + M M k Fs, On en dédui que E M M s F ] ] s = E M M s F s = E T M Ts M F s]. 1.3 Le processus M T M, es donc une maringale de carré inégrable e EM = ET M pour ou. Soi M une maringale coninue bornée par C. Fixons a en noons n une suie de subdivisions de, a] don le pas end vers. Monrons que la suie Ta n M, n converge dans L, c es à dire es de Cauchy dans L. Soi e deux subdivisions; noons la subdivision obenue en prenan l union des poins de e. Noons X = T M T M. Puisque M T M, es une maringale, X es égalemen une maringale nulle en elle que X, a es bornée. Le calcul précéden appliqué à X au lieu de M monre que ] ] EXa = E Ta M Ta M = E T a X. De plus, T a X T a T M + T a T M ]. Pour vérifier que la suie Ta n M es de Cauchy, il suffi donc de vérifier que E T a T M ] converge vers quand +. Soi s k e l l unique élémen de el que l s k < s k+1 l+1. Alors T s k+1 M T s k M = M sk+1 M l M sk M l = M sk+1 M sk M sk+1 +M sk M l. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

12 1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 9 On en dédui T a T M T a M sup M sk+1 + M sk M l. k Puisque M es coninue bornée, le héorème de convergence dominée enraîne que E sup M sk+1 + M sk M l 4 quand +. k Il suffi d après l inégalié de Schwarz de prouver que E T a M rese bornée par une consane, c es à dire que sup E Ta M < +. Soi une subdivision qui conien a = n. Alors T a M = n 1 M i+1 M i i= n 1 n = M i+1 M i 4 + i= i= i= i= n 1 M i+1 M i j=i+1 M j+1 M j n 1 n = M i+1 M i 4 + M Mi+1 i T a M T i+1 M. L équaion 1.3 monre que E T a M T i+1 M F i+1 ] = E Ma M i+1 F i+1 ]. Puisque M i+1 M i es F i+1 -mesurable, on en dédui n 1 E Ta M = E M i+1 M i 4 i= n 1 + i= n 1 E M i+1 M i E T a M T i+1 M F i+1 ] n 1 = E M i+1 M i 4 + E M i+1 M i M a M i+1 ] i= E sup k i= ] M k+1 M k + sup M a M k Ta M. k Puisque sup M C e M =, l équaion 1.3 pour e a enraîne que ET a M C e donc E T a M 1C ET a M 1C La suie Ta n M, n 1 es donc de Cauchy dans L ; elle converge dans L donc aussi en probabilié vers une limie noée M, M a. 3 Soi M une maringale coninue bornée par C. Il rese à vérifier que le processus M, M a les propriéés annoncées. Soi n une suie de subdivisions don le pas n end 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

13 1 1 Processus d Iô de dimension quelconque vers. Pour ou m < n, le processus T n M T m M es une maringale e l inégalié de Doob enraîne que E Ts n M Ts m M 4E Ta n M Ta m M ]. sup s a Soi mk un enier el que pour ou m mk, E Ts m M T mk s M k. On peu supposer que la suie mk es sricemen croissane e, d après le lemme de Borel Canelli, de la suie T. n M, n 1 on peu donc exraire une sous-suie T mk. M, k 1 qui converge p.s. uniformémen sur l inervalle, a]. Par un procédé diagonal, on peu faire en sore d exraire une nouvelle sous-suie qui converge uniformémen sur ou inervalle, N] pour ou enier N. La limie M, M es donc p.s. coninue. De plus, la limie éan indépendane de la suie de subdivisions choisie, on peu faire en sore que la suie de subdivisions soi elle que n n+1 e que n n soi dense dans, +. Alors, si s < son des poins de n n, il exise n el que s, n pour ou n n. On en dédui alors de façon évidene que Ts n T n pour n n, d où M, M s M, M e que le processus M, M es croissan par coninuié. Enfin, en faisan endre n vers l infini dans l équaion 1.3 écrie pour la subdivision n e en uilisan l inégrabilié uniforme de la suie T n M, n 1 qui découle du fai que cee suie es bornée dans L d après 1.4, on dédui que M M, M es une maringale. 4 Soi M une maringale locale coninue e T n une suie de emps d arrê qui croî p.s. vers + e elle que pour ou n le processus Xn = M Tn défini par 1.1 es une maringale coninue bornée. La démonsraion précédene monre qu il exise un processus croissan An nul en el que pour ou n, Xn An, es une maringale. De plus la maringale arrêée Xn + 1 An + 1 Tn = Xn An + 1 Tn es une maringale e An + 1 Tn es un processus croissan nul en. L unicié monrée en 1 perme de déduire que An + 1 Tn = An Tn p.s. Ceci perme de définir sans ambiguïé un processus croissan M, M = An pour ou T n. L unicié vien de l unicié sur ou inervalle, T n ]. Fixons >, ε > e δ >. La suie de emps d arrê T n end vers +, donc pour n assez grand S = T n es el que PS < δ e la maringale M S es bornée. La première parie monre que lorsque le pas de la subdivision end vers, T MS converge vers M S, M S en probabilié. Puisque Ts M S = Ts M e M S, M S s = M, M s pour s, S], on en dédui que pour assez pei P sup Ts M M, M s ε δ + P sup Ts MS M S, M S s ε δ. s s 5 Supposons enfin que M es une maringale es de carré inégrable. D après l inégalié de Doob, E sup M s E M. s D aure par, soi T n une suie de emps d arrê qui croî p.s. vers + e elle que pour ou n le processus X n = M Tn es une maringale coninue bornée. Pour ou, E M, M Tn = Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

14 1. Variaion quadraique - Croche d une maringale locale 11 E M Tn e la suie M Tn, n es une F Tn, n maringale bornée dans L qui converge dans L vers M. De plus, le héorème de convergence monoone monre que E M, M = lim n E M, M Tn = lim n E M Tn. Enfin la maringale discrèe M Tn, n 1 es fermée par M L e converge dans L vers M puisque n F Tn = F ; on a donc E M, M = EM < +. L inégalié de Doob monre alors que pour ou s, Ms M, M s sup Mr + M, M r L 1. r L exercice 1.4 ii monre que cee maringale locale coninue uniformémen inégrable es une maringale. Il suffi d appliquer le Théorème d arrê 1.7 pour conclure la démonsraion. Le croche de deux maringales locales coninues M e N es défini par polarisaion. Théorème 1. Soi M e N des F -maringales locales coninues. Il exise un unique processus coninu, adapé, à variaion finie M, N nul en el que M N M, N, soi une maringale locale coninue. De plus pour oue suie n de subdivisions de, ] don le pas end vers, la suie sup s M i+1 s M i sn i+1 s N i s M, N s converge vers en probabilié. i n Démonsraion. L unicié découle de la proposiion Pour l exisence, il suffi de vérifier que M, N = 1 ] M + N, M + N M N, M N. 4 a les propriéés annoncées. C es la différence de deux processus croissans e c es donc un processus à variaion finie. Définiion 1.1 On di que le processus M, N es le croche de M e N e que le processus M, M aussi noé M es le processus croissan associé à M. Définiion 1. Un processus X es une semi-maringale coninue s il adme la décomposiion X = X +M +A pour ou, où M es une F -maringale locale coninue, A es un processus coninu à variaion finie, M = A =. On dédui aisémen la Proposiion 1.3 La variaion quadraique d une semi-maringale coninue X = X +M+ A es finie e égale M, M. La décomposiion de X es unique à indisinguabilié près. On noe donc X, X = M, M e on di que ce processus croissan es le croche de X. De même, si X = X + M + A e Y = Y + N + B son des semi-maringales coninues avec les maringales locales coninues M, N e les processus à variaion finie A e B on défini le croche de X e Y comme X, Y = M, N = 1 ] X + Y, X + Y X Y, X Y. 4 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

15 1 1 Processus d Iô de dimension quelconque Démonsraion. Soi X = X + M + A une semi-maringale coninue. Si X adme une aure décomposiion X = X + M + Ā où Ā es un processus à variaion finie, M es une maringale locale coninue, M = Ā =, on a X = X, le processus M M = Ā A es une maringale locale coninue à variaion finie, es es donc nulle p.s. d après la Proposiion Soi une subdivision de, ]. D après la Proposiion 1.17 le processus A es à variaion quadraique nulle e pour prouver que la variaion quadraique de X es celle de M, il suffi de vérifier que M i+1 M i A i+1 A i sup M i+1 M i V ar,] A. i i Puisque les rajecoires de M son p. s. coninues donc uniformémen coninues sur, ] e que V ar,] A < + on dédui que p.s., le majoran end vers quand. 1.3 Processus d Iô réel. Définiion 1.4 Soi B un mouvemen Brownien, F B sa filraion naurelle, x R, b H1 locfb e σ Hloc FB. Le processus X défini par X = x + σ s db s + b s ds 1.5 es un processus d Iô; il es à rajecoires coninues. Le processus b es sa dérive, le processus σ es le coefficien de diffusion e x es la condiion iniiale. L équaion 1.5 es souven égalemen noée { dx = b d + σ db, 1.6 X = x. Le Théorème 1.13 monre que M = σ sdb s es une F B -maringale locale coninue. Un processus d Iô X = x + σ sdb s + b sds es donc une semi-maringale locale coninue. On di que σ sdb s es sa «parie maringale» même si c es seulemen une maringale locale e que x + b sds es sa «parie à variaion finie». La parie maringale de X es une «vraie» F B -maringale si le coefficien de diffusion σ es cadlag el que E < + pour ou >, ou plus généralemen si σ H F B. C es une σ sds maringale bornée dans L si σ H F. Les résulas de la secion précédene donnen donc immédiaemen quelques propriéés imporanes des processus d Iô. Corollaire 1.5 i Le croche d un processus d Iô X = x + σ sdb s + b sds es défini par X, X = σ sds pour ou. ii Plus généralemen, le croche croisé de deux processus d Iô X = x + σ sdb s + b sds e Y = y + σ sdb s + b s ds es celui de leurs paries maringales, soi X, Y = σ s σ s ds. iii Soi X = x + σ sdb s + b sds = x + σ sdb s + b s ds, un processus d Iô, où b, b H1 loc F B, σ, σ H loc F B, x, x R. Alors, x = x, b = b ds dp p.p. e σ = σ ds dp p.p., c es à dire que la décomposiion de X es unique. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

16 1.4 Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale 13 iv Soi X un processus d Iô qui es une F B es nulle ds dp p.p. -maringale locale. Alors sa dérive b Démonsraion. i e ii son des conséquences immédiaes de la Proposiion 1.17, du Théorème 1.18 e de la polarisaion. iii La différence D = b s b s ds = σ s σ s db s es don un processus à variaion bornée sur, T] à cause de l inégrale déerminise e une maringale locale coninue à cause de l inégrale sochasique e du Théorème La Proposiion 1.17 monre que la variaion quadraique de l inégrale sochasique de σ σ es nulle p.s. sur ou inervalle, ], soi σ s σ s ds =, e σ = σ ds dp p.p. sur, ] Ω. On en dédui que b s b s ds = pour ou, ce qui ermine la démonsraion puisque X = x = x. iv Le processus d Iô X = x+ σ sdb s + b sds es coninu. Puisque x+ σ sdb s es une F B -maringale locale coninue, par différence le processus b sds es une maringale locale coninue e es à variaion finie sur ou inervalle, ]. Il es donc consan e égal à p.s. d après la Proposiion Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale Processus d Iô de dimension d Nous éendons ou d abord la définiion du mouvemen Brownien réel au cas d un processus de dimension quelconque. Définiion 1.6 Soi B = B 1, B,...,B r, un processus r-dimensionnel e F une filraion. On di que B es un F -Brownien sandard r-dimensionnel si les processus B i, 1 i r son des F -Browniens réels indépendans, c es à dire : B = e pour s i B B s sui une loi normale N, sid r. ii l accroissemen B B s es indépendan de la ribu F s. Quand la filraion n es pas précisée, on di que B es un Brownien sandard d-dimensionnel si c es un mouvemen Brownien pour sa filraion naurelle F B. Si B es un Brownien sandard pour la filraion F, c es aussi un Brownien sandard pour sa filraion naurelle F B. Le Brownien es un processus gaussien à accroissemens indépendans. Nous commerons l abus de noaion consisan à idenifier un veceur x 1,, x r R r e la marice colonne de ses composanes dans la base canonique. Nous noerons donc B = B 1. B r. Nous généralisons de même la noion de processus d Iô. Noons Md, r l ensemble des marices d r à d lignes e r colonnes. On di qu un processus X = Xj i : 1 i d, 1 j r, à valeurs dans Md, k apparien à H1 locf resp. H locf, H F, H F si chaque composane Xk i es un processus réel qui apparien à Hloc 1 F resp. H loc F, H F, H F. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

17 14 1 Processus d Iô de dimension quelconque Définiion 1.7 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ = σk i : 1 i d, 1 k r : Ω, + Md, r H loc, b = b 1,, b d : Ω, + R d H1 loc, e x = x 1,, x d R d. Le processus X à valeurs dans R d es un processus d Iô de condiion iniiale x, de coefficien de diffusion σ e de coefficien de dérive b si pour ou i = 1,, d, r X i = xi + σk i sdbk s + b i sds. 1.7 k=1 En noaion maricielle, si on comme l abus de noaion qui consise à idenifier un veceur x = x 1,, x d de R d e la marice colonne de ses coefficiens dans la base canonique, l équaion 1.7 peu s écrire où on noe X = X 1. X d, x = x 1. x d X = x +, σs = σsdb s + σ 1 1s.. σ1 dd bsds, σ 1 rs. σd r s, bs = b 1 s. b d s. Considérons les processus d Iô unidimensionnels ξ = x + r k=1 σ k sdb k s + bsds e ξ = x + r σ j sdbs k + k=1 bsds, pour b, b H1 loc e σ k, σ k H loc. Alors le processus bsds es coninu à variaion finie, andis que le processus r k=1 σ ksdbs k es une maringale locale coninue comme somme de maringales locales coninues. Les processus ξ e ξ son donc des semi-maringales. Pour rouver leurs croches, on remarque ou d abord que pour chaque indice k = 1,, r, le processus σ ksdbs k σ ks ds, es une F -maringale locale. Soi k l ; supposons d abord que les processus σ k e σ l son éagés, c es à dire n 1 σ k = ξk i 1 ] i, i+1 ] e σ l = i= n ξl i 1 ] i, i+1 ], = < 1 < e ξk i, ξj l F i -mesurables. i=1 Soi s < ; sans pere de généralié, on peu supposer que les insans s e son ajoués à la lise des i, avec s = I e = n. Alors, E σ k udbu k σ l udbu l n 1 n 1 F s = E ξk i ξ j l Bk i+1 B k i ]B l j+1 B l j ] F s = i= j= s σ k udb k u s σ l udb l u. En effe l indépendance de F i, B k i+1 B k i e B l i+1 B l i, enraîne par exemple que : si I i = j, puisque EB k i+1 B k i B l i+1 B l i F i = EB k i+1 B k i B l i+1 B l i ] =, on en dédui Eξ i k ξi l EBk i+1 B k i B l i+1 B l i F i FI =. Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

18 1.4 Processus d Iô de dimension d - Formule d Iô générale 15 L indépendance de B l j+1 B l j e de F j enraîne : si i < I j, ξ i k Bk i+1 B k i Eξ j l EBl j+1 B l j F j F I =, si I i < j, Eξk ibk i+1 B k i ξ j l EBl j+1 B l j F j FI =, Cee propriéé s éend ensuie à des processus σ k e σ l de HF pour lesquels on dédui que r σ k sdbs k r σ k s ds, k=1 k=1 es une F -maringale. Par localisaion, on monre enfin que ce processus es une F - maringale locale si on sai seulemen que les processus σ k, 1 k r appariennen à H loc F. Le croche des processus ξ e ξ es donc celui de leurs paries maringales m = r k=1 σ ksdbs k, e m = r k=1 σ ksdbs k soi ξ, ξ r = m, m = σ k s σ k sds. Le croche de la maringale locale m es égal à celui de ξ, soi ξ, ξ = m, m = k=1 r σ k s ds = k=1 σs ds, où σs désigne la norme euclidienne dans R r du veceur σ 1 s,, σ r s Formule d Iô générale Les résulas de la secion précédene son résumés dans la Proposiion 1.8 Soi B un F -Brownien sandard à valeurs dans R r, X un processus d Iô à valeurs dans R d de la forme 1.7. Alors X es à rajecoires coninues. Pour chaque i = 1,, d, le processus bi sds, es coninu à variaion finie c es à dire que chacune de ses composanes es à variaion finie, nul en. Le processus σsdb s es une maringale locale coninue c es à dire que chacune de ses composanes es une maringale locale coninue nulle en. La décomposiion es unique. Le croche des composanes X i e X j, 1 i, j d es X i, X j = r σk i sσj k sds. k=1 La formule d Iô, monrée pour un processus d Iô réel dans le cours de Calcul Sochasique 1, se généralise immédiaemen à des processus d Iô mulidimensionnels. Rappelons la ou d abord en dimension 1 sous sa forme la plus simple. Théorème 1.9 Soi X = x+ σsdb s+ bsds, où x R, B es un F -Brownien, b H1 loc, σ H loc. Soi f : R R une foncion de classe C. Alors pour ou, fx = fx + = fx + f X s dx s + 1 f X s d X, X s 1.8 f X s σsdb s + f X s bx s + 1 ] f X s σ s ds. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille

19 16 1 Processus d Iô de dimension quelconque On peu donc formellemen poser dfx = f X dx + 1 f X d X, X où X, X = σ sds. La formule d Iô adme la version suivane en dimension quelconque, don la démonsraion similaire à celle en dimension 1, es omise. Noons A la ransposée de la marice A. Théorème 1.3 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ un processus à valeurs dans Md, r qui apparien à H loc F, b un processus à valeurs dans R d qui apparien à H1 locf e x R d. Noons X = x + σsdb s + b sds le processus d Iô défini par les équaions 1.7 pour ou i = 1,, d e soi f : R d R une foncion de classe C. Alors si on noe as = σsσs la marice d d définie par a i,j s = r k=1 σi k sσj k s pour i, j {1,, d}, on a : d f fx = fx + X s dxs i + 1 d f X s d X i, X j s 1.9 x i x i x j = fx + i=1 k j=1 d i=1 i,j=1 f X s σ i x jdbs j + i d i=1 f x i X s b i sds + 1 d f X s a i,j sds. 1.1 x i,j=1 i x j Noons f la marice carrée symérique f x x i x j, 1 i, j d,, le produi scalaire dans R d e f f la marice colonne don les composanes son les dérivées parielles x x i. On peu alors écrire formellemen la formule d Iô f dfx = x X, dx + 1 Trace σσ f x X d. Si la foncion f dépend aussi du emps, on a la seconde version de la formule d Iô. Théorème 1.31 Soi B un F -Brownien sandard de dimension r, σ un processus à valeurs dans Md, r qui apparien à H locf, b un processus à valeurs dans R d qui apparien à H1 loc F e x R d. Noons X = x + σsdb s + b sds le processus d Iô défini par les équaions 1.7 pour ou i = 1,, d e soi f :, + R d R une foncion de classe C 1,, c es à dire de classe C 1 par rappor à la première variable e de classe C par rappor à la seconde variable x. Alors si as = σsσs, on a : f d f, X = f, x + s, X f sds + s, X s dxs i x i + 1 = f, x + + d i,j=1 i=1 f x i x j s, X s d X i, X j s ds 1.11 r k=1 d i=1 f s, X s + f x i s, X s σ i k sdbk s d i=1 f x i s, X s b i s + 1 d i,j=1 ] f s, X s a i,j s ds. x i x j Calcul Sochasique - Annie Mille 6 ocobre 9

20 1.5 Propriéés du Brownien. 17 De nouveau, l équaion 1.11 peu s écrire de façon compace sous la forme df, X = f f, X d + x, X, dx + 1 Trace σσ f x, X d. Un cas pariculier rès simple de cee formule es le résula suivan qui es une «formule d inégraion par paries». On la monrera comme exercice. Si f :, + R es de classe C 1 e B es un Brownien sandard unidimensionnel, fsdb s = fb B s f sds. La formule d Iô perme de monrer que si B es un Brownien sandard unidimensionnel e si X es un processus F B-adapé, p 1+ e T > son els que E T X s p ds < +, alors T p T E X s db s pp 1] p T p 1 E X s p ds 1.1 On pourra monrer cee inégalié rès uile dans l exercice 1.8. Le résula suivan renforce la conclusion. L une des inégaliés es monrée dans l exercice 1.8. Théorème 1.3 Théorème de Burkholder-Davies-Gundy Pour ou p 1, + il exise des consanes universelles k p > e K p > qui ne dépenden que de p elles que oue F - maringale coninue M de carré inégrable e pour ou T >, k p E M p T E sup M s p K p E M p T Propriéés du Brownien Caracérisaions de Lévy s T Remarquons que si B es un Brownien sandard d-dimensionnel, pour ou i, j = 1,, d les processus B i, e Bi Bj δ i,j, son des F B -maringales avec δ i,j = pour i j e δ i,i = 1. La démonsraion es faie dans l exercice 1.7 Nous allons monrer que ces propriéés caracérisen le Brownien, ce qui sera fondamenal pour raier des changemens de probabilié. Noons u, v le produi scalaire des veceurs u, v R d e u la norme euclidienne de u, Théorème 1.33 Caracérisaion de Paul Lévy Soi X = X = X 1,, Xd, un processus F -adapé à valeurs dans R d. i On suppose pour ou u R d, les processus X e exp u, X u /] son des F -maringales. Alors, X es un F -Brownien sandard de dimension d. ii On suppose que le processus défini pour j = 1,, d par M j = X j X j es une F -maringale locale coninue nulle en M i = pour ou i e que les croches de M i e M j son M i M j = δ i,j Alors M es un F -Brownien sandard de dimension d. 6 ocobre 9 Calcul Sochasique - Annie Mille