Théorie de la Mesure et Intégration

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Théorie de la Mesure et Intégration"

Transcription

1 Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY

2 2

3 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble Définitions Tribu engendrée, tribu image réciproque Exemples Produit d espaces mesurables La tribu borélienne Compléments : π-système, λ-système, classe monotone Mesure, espace mesuré Définitions Propriétés élémentaires, caractérisation d une mesure finie Prolongement d une mesure et applications Théorème de prolongement (Carathéodory) Mesure extérieure Application : la mesure de Borel Ensembles négligeables, tribu et mesure complétée Produit fini d une famille d espaces mesurés Applications mesurables Définition d une application mesurable Propriétés générales Propriétés des fonctions mesurables réelles Fonction à valeur dans R = [, + ] Transport d une mesure, mesure image Approximation d une fonction mesurable réelle

4 5 Théorie de la mesure et probabilités Introduction Exemples élémentaires Ensemble fini : Ω = {ω 1,...ω n } Cas d un ensemble infini dénombrable Ω = {ω i, i N} Probabilités conditionnelles, événements indépendants Variables aléatoires Variables aléatoires réelles Variables aléatoires, vecteurs aléatoires, indépendance 42 II Intégration 45 6 Intégration des fonctions mesurables positives Intégrale (supérieure) des fonctions étagées Intégrale d une fonction mesurable positive Propriété vraie presque partout Propriétés générales Théorème de transfert (changement de variable) Mesures définies par des densités Mesures absolument continues, étrangères Absolue continuité et densité Théorème de changement de variable, λ mesure de Lebesgue Caractérisation de la mesure produit, théorème de Fubini- Tonelli Intégration des fonctions mesurables quelconques Intégrale d une fonction mesurable Définitions L ensemble L Propriétés générales Premières propriétés, lemme de Fatou Théorème de la convergence dominée et applications Exemples Théorème de Fubini pour les fonctions mesurables quelconques Le théorème de Fubini Exemples La convolution Convolution de deux mesures

5 7.4.2 Convolution d une fonction et d une mesure, de deux fonctions Exemples Théorie de l intégration et probabilités Espérance et moments Espérance Moments Covariance et corrélation Propriétés des moments Inégalités Variable aléatoire réelle (vecteur aléatoire) et densité Retour sur l indépendance III Compléments 77 9 Les espaces L p et L p, p N +{ } Définitions des espaces L p Les espaces L p, p N Les espaces L, L Propriétés des espaces L p, 1 p p est une norme Complétude des espaces L p Autres propriétés Dual des espaces L p Quelques résultats d analyse fonctionnelle dans L 1 (R, B R, λ) La transformée de Fourier Définitions Propriétés générales Exemples Propriétés générales X = R d : théorèmes d injectivité et d inversion Théorème d injectivité Théorème d inversion Propriétés analytiques (sur R) Transformée de Fourier dans L 1 : propriétés analytiques Transformée de Fourier dans L

6 Index 93 6

7 Introduction H. Lebesgue est généralement considéré comme le père de la théorie moderne de l intégration. Sa définition de fonction intégrable reste la plus satisfaisante à ce jour. On doit cependant également citer trois mathématiciens qui ont aidé Lebesgue à formuler son intégrale. Les deux premiers sont G. Peano et C. Jordan : G. Peano a défini le premier les notions de mesure intérieure et extérieure, tandis que C. Jordan est le premier à intégrer sur des ensembles distincts d intervalles, appelés ensembles Jordan-mesurables. Le troisième est le mathématicien E. Borel, qui définit les notions de tribus (boréliennes) et de mesures de Borel. C est la première apparition de mesures σ-finie sur un espace mesurable (et non une algèbre). Pourquoi H. Lebesgue a-t-il eu besoin de toutes ces notions? D ou viennent les notions de tribus, de mesure extérieure? Une réponse est la résolution du problème de Lebesgue, que nous aborderons rapidement. Nous discuterons ensuite brièvement des différences fondamentales entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue, avant d aborder le domaine des probabilités. Le cours sera ensuite divisé en 2 grandes parties : la théorie de la mesure, théorie abstraite qui sera ensuite appliquée à une nouvelle théorie de l intégration : l intégrale de Lebesgue. 7

8 Le problème de Lebesgue L objectif de Lebesgue est le suivant : tenter de généraliser la notion de longueur (aire, volume,...) à une famille de parties plus grandes que les intervalles (pavés). Plus précisément, il cherche une fonction vérifiant les 3 propriétés suivantes : invariance par translation σ-additivité λ( i I normalisation A i ) = i I λ : P(R n ) [0, + ] v R n, λ(a + v ) = λ(a) λ(a i ), I dénombrable, A i disjoints λ([0, 1] n ) = (Vitali) : le problème de Lebesgue n a pas de solution : il faut affaiblir les hypothèses. Deux solutions sont apportées. Elles conduisent à deux notions différentes de mesure : on demande seulement la σ-sous-additivité λ( i I A i ) i I λ(a i ), I dénombrable Une solution unique appelée mesure extérieure. On travaille sur un sous-ensemble B de P(R n ) : Une solution unique sur la tribu des boréliens appelée mesure de Borel ou mesure de Lebesgue (cette dernière étant en fait la mesure sur la tribu complétée). Intégrale de Riemann, intégrale de Lebesgue Concernant l intégration, l idée de Lebesgue est la suivante : plutôt que de définir les fonctions horizontalement par f(t), il définit les fonctions verticalement par f 1 (x). L intégrale est alors une somme sur les valeurs et non sur le support. 8

9 f(i) Riemann discret i [1,n] contre x.card(f 1 (x)) Lebesgue discret x R Les principales différences entre les deux intégrales sont alors les suivantes : Riemann mesure des intervalles A A Lebesgue mesure des boréliens B B A 1 A fonctions en escalier B 1 B fonctions étagées limite uniforme limite simple dominée fonctions réglées ( 0) fonctions mesurables ( 0) Mesures et probabilités La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui permet de modéliser les phénomènes aléatoires. Celle-ci repose sur une formalisation développée par le mathématicien russe Kolmogorov dans les années Son axiomatique repose sur les notions de tribu et de mesure développées par Borel dans les années La théorie de l intégrale de Lebesgue développée à la même époque a permis d asseoir en toute généralité la notion de moment d une variable aléatoire. Nous aborderons les relations entre la théorie de la mesure et de l intégration et la théorie des probabilités à la fin de chaque chapitre de ce cours. 9

10 10

11 Première partie Théorie de la mesure 11

12

13 Chapitre 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble Dans toute la suite, X sera un ensemble quelconque non vide. On note alors P(X) l ensemble des parties de l ensemble X. 1.1 Définitions Définition (algèbre de Boole, ou de parties de X) A P(X) est une algèbre (de Boole) si pour tout A, B A : 1. {, X} A 2. A c = X\A A 3. A B A 4. A B A C est une semi-algèbre (notée S) si les conditions 1) et 3) sont vérifiées et que le complémentaire d un élément de S est réunion finie d éléments de S. On remarquera que certaines de ces conditions sont redondantes. Ainsi, par passage au complémentaire, si A contient l ensemble vide elle contient X et réciproquement. De même, 2) et 3) implique 4) et 2) et 4) implique 3). Remarque L algèbre A engendrée par une semi-algèbre est constituée des réunions finies de parties de S. Définition (σ-algèbre ou tribu) A P(X) est une tribu (sur X) si c est une algèbre stable par réunion dénombrable croissante. 13

14 Remarque Une tribu est alors stable par réunion dénombrable et intersection dénombrable. Définition (Espace mesurable) Un ensemble X muni d une tribu A P(X) est appelé espace mesurable et noté (X, A). 1.2 Tribu engendrée, tribu image réciproque Proposition ) Toute intersection quelconque de tribus est une tribu. 2) Une réunion finie de tribus n est pas forcément une tribu. Preuve - 1) Soit (A i ) i I une famille de tribus. Montrons que i I A i est une tribu : (1) : i I, X A i, donc X i I A i (2) : soit A i I A i.alors i I, A A i donc i I, A c A i, et finalement A c i I A i. (3) : soit (A n ) n N une famille d éléments de i I A i. Alors n N, i I, A n A i, soit i I, A n A i et A n A i. n N n N i I 2) Soit X = {a, b, c}. Alors A a = {φ, {a}, {b, c}, X} et A b = {φ, {b}, {a, c}, X} sont des tribus. Mais A a A b = {φ, {a}, {b, c}, {b}, {a, c}} n est pas une tribu, car {a, b} = {a} {b} / A a A b. On en déduit la proposition suivante qui définit la notion de tribu engendrée : Proposition (tribu engendrée) Soit M P(X). L intersection de toutes les tribus contenant M est une tribu appelée tribu engendrée par M et notée σ(m). C est la plus petite tribu contenant M. Cette proposition tient lieu de définition. Il est également possible de transporter une tribu par image réciproque d une fonction quelconque. Cette propriété vient de la compatibilité entre les opérations ensemblistes et la fonction d ensemble image réciproque : 14

15 1. f 1 (A c ) = f 1 (A) c 2. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) 3. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) De telles relations sont bien évidemment fausses concernant l image directe. Théorème (tribu image réciproque) Soit Y un ensemble, (X, A) un espace mesurable et f : Y X une application. Alors 1. f 1 (A) = {f 1 (A), A A} est une tribu sur Y appelée tribu image réciproque par f (ou tribu engendrée par f) 2. (lemme de transport) M P(X), f 1 (σ(m)) = σ(f 1 (M)). Ce théorème tient lieu de définition. Preuve - 1) Montrons que B = f 1 (A) est une tribu. i- f 1 (X) = Y B. ii- A, B A, f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) donc B est stable par intersection fini. iii- A A, f 1 (A c ) = ( f 1 (A) ) c donc B est stable par passage au complémentaire. iv- f 1 ( n N A n ) = n N f 1 (A n ) donc B est stable par union dénombrable. Finalement, B = f 1 (A) est une tribu. 2) Soit M P(X). Nous allons montrer les deux inclusions : f 1 (σ(m)) est une tribu (cf point 1)) qui contient f 1 (M) donc σ(f 1 (M) f 1 (σ(m)). Posons R = {A σ(m), f 1 (A) σ(f 1 (M))}. Il est facile de voir que R est une tribu et que R contient M. On en déduit que σ(m) R ce qui implique f 1 (σ(m) σ(f 1 (M)). Finalement (σ(f 1 (M)) f 1 (σ(m)) σ(f 1 (M) et on a l égalité recherchée. 1.3 Exemples 1. L ensemble des pavés (produits d intervalles (a 1, b 1 ),..., (a p, b p )) de R p est une semi-algèbre. 15

16 2. σ( ) = {, X} est une algèbre appelée algèbre triviale (ou grossière : c est la plus petite des tribus sur X). 3. P(X) appelée tribu discrète (c est la plus grosse des tribus). 4. {A P(X), A ou A c fini} est une algèbre mais pas une tribu. 5. Soit X = {a, b, c} un ensemble formé de trois points distincts. Alors la classe de parties de X définie par τ a = {φ, {a}, {b, c}, X} est une tribu. 6. σ( ouverts de R n ) = B tribu des boréliens. Remarque (importante) Une erreur fréquente est de croire que si A A et que B A, alors B A. C est faux comme le prouve l exemple de la tribu τ a où {b, c} τ a mais {b} / τ a, même si {b} {b, c}. 1.4 Produit d espaces mesurables Définition (produit de deux espaces mesurables) Soient (X i, A i ), i = 1, 2 deux espaces mesurables : on appelle tribu produit sur X 1 X 2 la tribu A 1 A 2 engendrée par les parties {A 1 A 2, A i A i, i = 1, 2}. L espace mesurable (X 1 X 2, A 1 A 2 ) est appelé espace mesurable produit. Définition (produit d une famille d espaces mesurables) Soient (X i, A i ), i I une famille d espaces mesurables : on appelle tribu produit sur Π X i la tribu A i engendrée par les parties i I i I { Π A i, A i A i i I et A i = X i sauf pour un nombre fini }. i I L espace mesurable ( Π X i, A i ) est appelé espace mesurable produit. i I i I 1.5 La tribu borélienne Définition (tribu borélienne) Soit X un espace topologique. La tribu engendrée par les ouverts de X s appelle la tribu borélienne. Proposition Sur X = R p la tribu borélienne est engendrée par : les ouverts les fermés les pavés 16

17 la démonstration de cette proposition est laissée en exercice. On peut notamment se servir des résultats qui suivent. Les questions de dénombrabilité interviennent naturellement dans la théorie des espaces mesurables boréliens, comme le montrent les propositions suivantes : Proposition Soit X un espace topologique et (X n ) une famille dénombrable de boréliens de réunion X. Alors A B(X) n, A X n B(X n ) Preuve - L implication est directe car l ensemble A = {A P(X), A X n B(X n )} est une tribu contenant les ouverts de X donc la tribu engendrée par les ouverts i.e. la tribu borélienne. Pour la réciproque, notons B n = {A X n, A B(X)}. C est une tribu sur X n contenant les ouverts de X n (intersection d ouverts de X avec X n par définition), donc B(X n ) B n. Soit A A. Alors A X n B n B(X) et comme A = n N A X n, A est borélien comme union dénombrable de boréliens. Remarque Cette caractérisation des boréliens est très importante puisqu elle permet d étendre des résultats vrais sur les (X n, B(X n )) a l espace mesurable (X, B(X)) tout entier. Le cas X = [0, + [, X n = [n, n + 1[ est un exemple important. Dans le cas d espaces topolgiques à base dénombrable d ouverts (i.e. tels qu il existe une famille dénombrable d ouverts engendrant tous les ouverts de X), on peut caractériser les boréliens uniquement à partir de cette base : Lemme Si X admet une base dénombrable d ouverts, sa tribu borélienne est engendrée par cette base. Preuve - Soit A la tribu engendrée par cette base. Elle contient alors les réunions dénombrables des ouverts de la base et donc par définition, tous les ouverts. Finalement, elle contient la tribu borélienne. Réciproquement, la tribu borélienne contient la base d ouverts donc A, et les deux tribus coïncident. 17

18 Remarque Si O 1 et O 2 sont deux bases dénombrables d ouverts de X 1 et X 2, alors O 1 O 2 est une base dénombrable d ouverts de X 1 X 2 Théorème Soient X i, i = 1, 2 deux espaces topologiques à base dénombrable d ouverts. Alors la tribu produit des tribus boréliennes B 1 B 2 est la tribu borélienne de X 1 X 2 muni de la topologie produit. Preuve - Soient τ 1 et τ 2 les topologies (ou ouverts) de X 1 et X 2. Posons A 1 = {A P(X 1 ), A τ 2 B(X 1 X 2 )}. C est une tribu contenant τ 1 donc B(X 1 ) τ 2 B(X 1 X 2 )}. Posons alors A 2 = {A P(X 2 ), B(X 1 ) A B(X 1 X 2 )}. C est une tribu contenant τ 2 (d après le résultat précédent) donc B(X 1 ) B(X 2 ) B(X 1 X 2 )} puis par passage a la tribu engendrée, B(X 1 ) B(X 2 ) B(X 1 X 2 )}. - Montrons maintenant l inclusion inverse : Si O 1 et O 2 sont deux bases dénombrables d ouverts de X 1 et X 2, alors O 1 O 2 est une base dénombrable d ouverts de X 1 X 2 et σ(o 1 O 2 ) σ(o 1 ) σ(o 2 ). Finalement on conclut grâce au lemme précédent. On a prouvé au passage que la tribu produit est toujours (même sans l hypothèse de dénombrabilité) incluse dans la tribu borélienne de X 1 X Compléments : π-système, λ-système, classe monotone Il est souvent intéressant de travailler sur des familles plus simples que des tribus, et les notions suivantes seront donc utiles dans la suite : Définition (π-système) Un π-système est une famille de parties de X stable par intersection finie et contenant X. Exemple π = {], x], x R} est un pi-système très utile (cf. fonctions de répartitions). Définition (λ-système) Un λ-système est une famille de parties de X stable par différence et limite croissante( (réunion dénombrable croissante). Définition (classe monotone) Une classe monotone est une famille de parties de X stable par union (resp. intersection) dénombrable croissante (resp. décroissante). 18

19 Proposition π-système et λ-système tribu. 2. algèbre et classe monotone tribu. 3. (lemme de Dynkin, ou théorème λπ) Tout λ-système contenant un π-système contient la tribu engendrée par ce dernier. 4. (théorème de la classe monotone) Toute classe monotone contenant une algèbre contient la tribu engendrée par cette dernière. Preuve - La démonstration des deux premières équivalences est laissée en exercice. [lemme de Dynkin] - Soit λ(π) le λ-système engendré par π (c est l intersection de tous les λ-systèmes contenant π). Alors λ(π) σ(π) car une tribu est un λ-système. Montrons que λ(π) est une tribu, i.e. est stable par intersection fini (d après 1)). On définit l ensemble A 1 = {A λ(π), A B λ(π) B π}. C est un λ-système contenant π donc λ(π) A 1. Soit maintenant A 2 = {A λ(π), A B λ(π) B λ(π)}. C est un λ-système contenant π d après le résultat précédent donc λ(π) A 2. Finalement λ(π) = σ(π). [théorème de la classe monotone] - Soit M(A) la classe monotone engendrée par A (c est l intersection de toutes les classes monotones contenant A). Alors M(A) σ(a) car une tribu est une classe monotone. Montrons que M(A) est une tribu, i.e. est une algèbre (d après 2)). On définit l ensemble A = {A M(A), A c M(A)}. C est une classe monotone contenant A donc M(A) A et M(A) est stable par passage au complémentaire. Soit A 1 = {A M(A), A B M(A) B A}. C est une classe monotone contenant A donc M(A) A 1. Soit A 2 = {A M(A), A B M(A) B M(A)}. C est une classe monotone contenant A d après le résultat précédent donc M(A) A 2 et M(A) est stable par union finie. Finalement M(A) = σ(a). 19

20 20

21 Chapitre 2 Mesure, espace mesuré 2.1 Définitions Contrairement a l intuition (et au vocabulaire), la définition d une mesure est au départ relative à un espace X muni d une algèbre A et non à un espace mesurable. Cependant, et ce sera l objet du prochain chapitre, il sera toujours possible d étendre univoquement une mesure (σ-finie) à la σ-algèbre engendrée par A, et donc de parler de mesure sur un espace mesurable. Définition (Mesure sur une algèbre, espace mesuré) On appelle mesure sur l algèbre A toute fonction µ : A R + = [0, + ] non constante avec + et σ-additive : pour toute famille dénombrable A n d éléments de A deux à deux disjoints telle que n A n A, µ( n A n ) = n µ(a n ) L espace (X, A, µ) est appelé espace mesuré. Remarque Un espace mesuré n est donc pas pour l instant obligatoirement mesurable. Nous verrons cependant qu il pourra toujours être considéré comme tel grâce au théorème de prolongement. Définition La mesure est finie (ou bornée) si µ(x) < Elle est σ-finie si X est réunion dénombrable d ensembles de mesure finie. On appelle mesure de probabilité (ou simplement probabilité) toute mesure vérifiant µ(x) = 1. 21

22 Il est toujours possible de construire une mesure (sur une algèbre) à partir d une fonction d ensemble σ-additive sur une semi-algèbre : Lemme Soit S une semi-algèbre et µ : S [0, + ] une fonction σ- additive. Alors µ se prolonge de manière unique en une mesure sur l algèbre engendrée par S. Preuve - Par additivité, le seul prolongement possible est n µ( A i ) = i=1 n µ(a i ) i=1 On vérifie aisément que c est bien une mesure sur l algèbre engendrée par S (composée des réunions finies d éléments de S). 2.2 Propriétés élémentaires, caractérisation d une mesure finie Toute mesure µ vérifie les propriétés suivantes : Proposition µ( ) = (σ-sous-additivité) µ( n N A n ) n N µ(a n ). 3. (monotonie) Si A B, A, B A alors µ(a) µ(b). 4. (continuité) Si A n A A, µ(a n ) µ(a). Remarque Nous verrons que cette dernière propriété caractérise les mesures. Preuve - 1. Une mesure n est pas constante égale à + donc il existe A, µ(a) < +. De µ(a) = µ(a ) = µ(a) + µ( ) on déduit µ( ) = On écrit : + n=1 A n = + n=1 ( A n \ n 1 k=1 A k ) 22

23 avec la convention : 0 A k = φ. Alors : k=1 ( + ) µ A n = n=1 + n=1 µ ( A n \ n 1 k=1 A k ) + n=1 µ (A n ). 3. De B = A B\A, on déduit : µ(b) = µ(a) + µ(b\a) µ(a). 4. On construit la suite (B n ) n 1 selon : Alors pour tout n 1, et donc B 1 = A 1 B n = A n \A n 1 pour n 2 + n=1 A n = A n = n k=1 B k + B k Comme les B n sont deux à deux disjoints par construction, on a : ( + ) ( + ) + µ A n = µ B k = µ(b k ) n=1 = lim k=1 n n k=1 Théorème Une fonction k=1 k=1 µ(b k ) = lim n µ µ : A R + = [0, + ] ( n k=1 B k ) = lim n µ (A n) non égale à + et additive est une mesure si et seulement si elle vérifie la propriété de continuité croissante : A n A A µ(a n ) µ(a) Preuve - Nous avons déjà vu que toute mesure vérifie cette propriété. La n réciproque est évidente car si B n est une suite d ensemble disjoints, B i B n et la continuité croissante entraîne la σ-additivité. n N Il existe de plus une caractérisation très utile des mesures finies : 23 i=1

24 Théorème Soit µ : A [0, + ] telle que : 1. (finitude) µ(x) < (additivité) A, B A, A B =, µ(a B) = µ(a) + µ(b). 3. (Condition de Carathéodory) A n µ(a n ) 0. Alors µ est une mesure (finie par hypothèse) et réciproquement, toute mesure finie vérifie ces trois propriétés. Preuve - Pour la première partie du théorème, il nous faut montrer la σ- additivité de µ. Soit B i une famille dénombrable d ensembles de A deux à deux disjoints telle que B = + n B i A. Posons A n = B i = B\ B i. La suite A n i N décroît vers 0 donc µ(b\ i=1 par hypothèse (3). Mais d après (2) i=1 i=n+1 n B i ) 0 n + n n n µ(b) = µ([b\ B i ] [ B i ]) = µ(b\ B i ) + i=1 i=1 et la condition de carathéodory implique la σ-additivité µ(b) = + i=1 µ(b i ) i=1 n µ(b i ) Réciproquement, soit µ une mesure finie et A n. La continuité croissante implique µ(x\a n ) µ(x). Mais i=1 µ(x) = µ([x\a n ] [A n ]) = µ(x\a n ) + µ(a n ) et comme toutes les quantités sont finies, on a µ(a n ) = µ(x) µ(x\a n ) 0. 24

25 Chapitre 3 Prolongement d une mesure et applications 3.1 Théorème de prolongement (Carathéodory) Théorème (de prolongement (admis)) Toute mesure σ-finie sur une algèbre A se prolonge de manière unique en une mesure (σ-finie) sur σ(a). La démonstration de ce théorème est hors programme. Cependant la notion de mesure extérieure est intéressante et est donc donnée ici. Le lemme d égalité des mesures est quant à lui fondamental. 3.2 Mesure extérieure Afin de prouver le théorème, on définit la mesure extérieure d une mesure µ : Définition (mesure extérieure de µ) Soit µ une mesure sur une algèbre A X. Alors µ : P(X) [0, + ] A µ (A) = inf µ(a n ) {A A n n, A n A} est appelée mesure extérieure de µ sur X. Une partie A X sera dite µ -mesurable si E P(X), µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) n 25

26 Remarquons que µ prolonge µ sur A : Lemme A A, µ (A) = µ(a) Preuve - Soit A n un recouvrement quelconque de A (A n A n, A n A). Alors µ(a) = µ( (A A n ) µ(a A n ) µ(a n ) par σ-additivité n N n N n N et monotonie. donc µ(a) µ (A). De plus, la famille A 1 = A, A 2 = A 3 =... = est un recouvrement de A donc µ (A) µ(a n ) = µ(a) et l égalité est prouvée. n N Proposition µ est monotone et σ-sous-additive. Preuve - monotonie Soit A B. Alors tout recouvrement de B recouvre A et µ (A) µ (B) croissance Soit {A n, n N} une famille dénombrable et soit ɛ > 0 fixé. Alors Comme A n N, (B n k ) A, (k,n) N 2 B n k on a µ(bk n ) µ (A n ) + ɛ2 n k N µ (A) µ(bk n ) µ (A n ) + ɛ (k,n) N 2 n N et ɛ étant arbitraire, on obtient la σ-sous-additivité. Cette propriété des mesures extérieures associées aux mesures classiques peut d ailleurs servir de définition : Définition (mesure extérieure) Une application Φ : P(X) [0, + ] est appelée mesure extérieure si : 1. Φ ( ) = (σ-sous-additivité) Φ ( A n ) Φ (A n ). n N n N 3. (monotonie) A, B A, A B Φ (A) Φ (B). 26

27 Le théorème de prolongement est alors une conséquence directe des lemmes suivants : Lemme (lemme d égalité des mesures) Deux mesures sur (X, A) espace mesurable égales sur un π-système π A et σ-finies sur π sont égales sur σ(π). Preuve - Soit R = {A A, µ 1 (A) = µ 2 (A)}. Alors R contient π par hypothèse. Il suffit alors de montrer que R est un λ-système pour prouver le lemme en vertu du lemme de Dynkin. - Si µ 1 est finie alors µ 2 est finie car X π et l égalité µ(a\b) = µ(a) µ(b) vraie pour les mesures finies prouve que R est stable par différence. Si A n est une suite croissante d éléments de R de limite A, µ 1 (A) = lim µ 1 (A n ) = lim µ 2 (A n ) = µ 2 (A) - On suppose maintenant que µ 1 est σ-finie sur π, i.e. {π n }, µ 1 (π n ) < + n et (π n ) = X. n N Alors on peut appliquer le résultat precedent (lemme d égalité des mesures finies) aux espaces mesurables (π n, A π n ) ce qui prouve que les mesures µ 1 et µ 2 sont égales sur σ πn (π π n ). On montre (exercice) l égalité suivante : σ πn (π π n ) = σ X (π) π n Posons ( ) n 1 n N, Π n = π n ( π i ) c i=1 Alors Π n σ X (π) π n = σ πn (π π n ) et Π n = X, la somme étant n N disjointe. Finalement, ( ) A σ(π), µ 1 (A) = µ 1 Π n ) = n N(A µ 1 (A Π n ) n N = ( ) µ 2 (A Π n ) = µ 2 Π n ) n N n N(A = µ(a) 27

28 Le lemme d égalité des mesures est intéressant en lui même puisqu il permet de caractériser les mesures σ-finies uniquement par leur donnée sur un π- système. Dans le cas du π-système π = {], x], x R}, le théorème assure que deux mesures ayant la même fonction de répartition (F (x) = µ(], x])) sont égales. Lemme L ensemble M des parties µ -mesurables est une tribu et µ est σ-additive (et donc une mesure) sur M. Preuve - Montrons tout d abord que M est une algèbre et que µ est finiment additive sur M. La stabilité par passage au complémentaire est évidente. Soient A, B M. Alors pour tout E P(X) : µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) = µ (E A B) + µ (E A c B) + µ (E A B c ) + µ (E A c B c ) µ (E A B) + µ (E (A B) c ) par sous-additivité de µ. Mais cette même sous-additivité donne µ (E) = µ (E (A B) E (A B) c ) µ (E A B) + µ (E (A B) c et finalement on a l égalité. Pour l additivité finie on prouve pour A et B disjoints l égalité renforcée : µ (E (A B)) = µ (E (A B) A) + µ (E (A B) A c ) = µ (E A) + µ (E B) Soit maintenant une suite de parties disjointes {A n, n N}. Alors on a n n µ (E) = µ (E ( A i )) + µ (E ( A i ) c ) = i=1 i=1 n n µ (E A i ) + µ (E ( A i ) c ) i=1 n i=1 i=1 µ (E A i ) + µ (E ( i N 28 A i ) c )

29 par monotonie. Le résultat étant vrai pour tout n, il vient µ (E) i N µ (E A i ) + µ (E ( A i ) c ) et par sous σ-additivité, µ (E) µ (E ( A i )) + i N i N µ (E ( A i ) c ). De nouveau la même sous σ-additivité donne également i N l inégalité inverse, et donc l égalité. Finalement, i N A i est µ -mesurable. La σ-additivité est alors une conséquence directe de l additivité finie et de la sous σ-additivité. Lemme A M. La démonstration de ce lemme est laissée en exercice. 3.3 Application : la mesure de Borel Avant de construire la mesure de Borel, nous rappelons qu une fonction d ensemble additive µ 0 définie sur une semi-algèbre S admet un unique prolongement en une fonction additive µ sur l algèbre engendrée par S. Elle est définie par : n n µ( S i ) = µ 0 (S i ) i=1 pour toute famille finie disjointe. Corollaire Par le théorème précédent, la mesure de Borel est l unique prolongement à la tribu des boréliens de la fonction longueur sur les intervalles de R (resp. à la fonction volume sur les pavés de R p ) étendue à l algèbre engendrée par les intervalles (resp. à l algèbre engendrée par les pavés). Théorème (admis) Toute mesure borélienne invariante par translation est proportionnelle à la mesure de Borel. i=1 3.4 Ensembles négligeables, tribu et mesure complétée Définition (ensemble négligeable, tribu complète) Soit (X, A, µ) un espace mesuré. On appelle ensemble négligeable (ou de mesure nulle) toute partie B P(X) telle qu il existe A A, B A et µ(a) = 29

30 0. On dit que la tribu A est complète (pour la mesure µ) si les ensembles négligeables sont mesurables. Remarquons qu en général l adjonction des ensembles négligeables élargit la tribu. Théorème Il existe un unique prolongement de µ σ-finie à la tribu complétée A engendrée par A et l ensemble des ensembles négligeables tel que (A, µ) soit complet. (X, A, µ) est appelé espace complété. C est une conséquence directe du théorème de prolongement. Exemple La mesure (resp. tribu) complétée de la mesure de Borel (resp. tribu borélienne) s appelle mesure (resp. tribu) de Lebesgue. 3.5 Produit fini d une famille d espaces mesurés Une autre application du théorème de prolongement est l existence et l unicité de la mesure produit sur le produit (fini) d espaces mesurés : Définition (produit fini d une famille d espaces mesurés) Soient (X i, A i, µ i ), i I une famille finie d espaces mesurés σ-finis : on appelle mesure produit sur ( Π X i, A i ) l unique mesure µ i vérifiant i I i I i I µ i ( Π A i ) = Π µ i (A i ), i I i I i I A i A i i I L espace mesuré ( Π X i, i I i I A i, µ i ) est appelé espace mesuré produit. i I Remarque Il existe une caractérisation différente de la mesure produit fondée sur les marginales qui sera donnée en abordant le théorème de Fubini. 30

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM365 Intégration 2 Année 2011 12 Théorie de la Mesure et Intégration Amaury Lambert 1 1. Responsable de l UE. Mél : amaury.lambert@upmc.fr

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Intégrale de Lebesgue

Intégrale de Lebesgue Intégrale de Lebesgue L3 Mathématiques Jean-Christophe Breton Université de Rennes 1 Septembre Décembre 2014 version du 2/12/14 Table des matières 1 Tribus (σ-algèbres) et mesures 1 1.1 Rappels ensemblistes..............................

Plus en détail

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à

Intégration et probabilités 2012-2013. TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé. 1 Petites questions. n hésitez pas à m envoyer un mail à Intégration et probabilités 212-213 TD3 Intégration, théorèmes de convergence Corrigé xercice ayant été voué à être préparé xercice 1 (Mesure image). Soient (, A, µ) un espace mesuré, (F, B) un espace

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Théorie de la Mesure et Intégration

Théorie de la Mesure et Intégration Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Cours Intégration MA62. Université de Reims

Cours Intégration MA62. Université de Reims Cours Intégration MA62 Frédéric Hérau Université de Reims mai 2006 Table des matières Introduction 2 1 Préliminaires et Rappels 3 1.1 La droite achevée R............................... 3 1.2 Rappels sur

Plus en détail

Théorie de la mesure. S. Nicolay

Théorie de la mesure. S. Nicolay Théorie de la mesure S. Nicolay Année académique 2011 2012 ii Table des matières Introduction v 1 Mesures 1 1.1 Sigma-algèbres................................. 1 1.2 Mesures.....................................

Plus en détail

L3 Maths : Cours d Intégration (partie I)

L3 Maths : Cours d Intégration (partie I) L3 Maths : Cours d Intégration (partie I) Noureddine Igbida 1 2012-2013 1. Institut de recherche XLIM, UMR-CNRS 6172, Faculté des Sciences et Techniques, Université de Limoges 123, Avenue Albert Thomas

Plus en détail

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS

Cours de Probabilités. Jean-Yves DAUXOIS Cours de Probabilités Jean-Yves DAUXOIS Septembre 2013 Table des matières 1 Introduction au calcul des probabilités 7 1.1 Espace probabilisable et loi de variable aléatoire........ 8 1.1.1 Un exemple

Plus en détail

Probabilités Approfondies

Probabilités Approfondies Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématique 2005-2006 Probabilités Approfondies Polycopié: J. Lacroix & P. Priouret, Cours: J. Lacroix 1 Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION

THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Université Pierre et Marie Curie Licence de Mathématiques Années 2004-2005-2006 LM 363 THÉORIE DE LA MESURE ET INTÉGRATION Cours de P. MAZET Edition 2004-2005-2006 Table des matières Table des matières

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie

Plus en détail

Intégration, probabilités et analyse de Fourier

Intégration, probabilités et analyse de Fourier Intégration, probabilités et analyse de Fourier E. Kowalski ETH Zürich kowalski@math.ethz.ch Do not infest your mind with beating on The strangeness of this business; at pick d leisure Which shall be shortly,

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Mesures et Intégration

Mesures et Intégration Mesures et Intégration Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005 30 avril 2008 Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l EPFL par Marc Troyanov, version 2005-2006. Table des

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION.

THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THÉORIE DE LA MESURE ET DE L INTÉGRATION. THIERRY GALLAY Transcrit par Tancrède LEPOINT 29 UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER, GRENOBLE TABLE DES MATIÈRES Avant-propos Biographie sommaire...........................................

Plus en détail

Intégration sur des espaces produits

Intégration sur des espaces produits Chapitre 5 Intégration sur des espaces produits 5.1 Produit de deux mesures Étant donnés deux espaces mesurés (Ω 1, F 1, µ 1 ) et (Ω 2, F 1, µ 2 ), le but de cette section est de construire une mesure

Plus en détail

Cours de Probabilités

Cours de Probabilités Université Paris-Daupine Année 2013/2014 DMI2 Cours de Probabilités Joseph Lehec Table des matières 1 Théorie de la mesure 2 1.1 Définitions......................................... 2 1.2 La mesure de

Plus en détail

Cours MP. Espaces vectoriels normés

Cours MP. Espaces vectoriels normés Table des matières Espaces vectoriels normés B. Seddoug. Médiane Sup, Oujda I Norme et distance 1 I.1 Définitions..................... 1 I.2 Evn produit.................... 12 I.3 Notions topologiques

Plus en détail

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65

Sommaire. Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires... 5. Chapitre 2 Variables aléatoires à densité... 65 Sommaire Chapitre 1 Variables et vecteurs aléatoires............... 5 A. Généralités sur les variables aléatoires réelles.................... 6 B. Séries doubles..................................... 9

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

Mesure et Intégration (Notes de cours de L3)

Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 30 mai 2014 Table des matières 1 Dénombrement 3 I Combinatoire des ensembles

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 2009-2010. Sylvain Rubenthaler

Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 2009-2010. Sylvain Rubenthaler Intégration et probabilités (cours + exercices corrigés) L3 MASS, Université de Nice-Sophia Antipolis 9- Sylvain ubenthaler Table des matières Introduction iii Dénombrement (rappels). Ensembles dénombrables...............................

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Continuité en un point

Continuité en un point DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

Dépôt légal : 2014 Achevé d imprimer en 2014 (Paris)

Dépôt légal : 2014 Achevé d imprimer en 2014 (Paris) F. Maisonneuve, Mathématiques 2. Intégration, transformations intégrales et applications. Cours et exercices, Paris : Presses des MINES, Collection Les cours, 2014. ISBN : 978-2-35671-074-1 Presses des

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

VIII Relations d ordre

VIII Relations d ordre VIII Relations d ordre 20 février 2015 Dans tout ce chapitre, E est un ensemble. 1. Relations binaires Définition 1.0.1. On appelle relation binaire sur E tout triplet R = (E, E, Γ) où Γ est une partie

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Opérateurs non-bornés

Opérateurs non-bornés Master Mathématiques Analyse spectrale Chapitre 4. Opérateurs non-bornés 1 Domaine, graphe et fermeture Soit H un espace de Hilbert. On rappelle que H H est l espace de Hilbert H H muni du produit scalaire

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Introduction à la Topologie

Introduction à la Topologie Introduction à la Topologie Licence de Mathématiques Université de Rennes 1 Francis Nier Dragoş Iftimie 2 3 Introduction Ce cours s adresse à des étudiants de Licence en mathématiques. Il a pour objectif

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires Chapitre I Probabilités Bcpst 1 2 novembre 2015 I Exemples d expériences aléatoires Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avant de l avoir réalisée... ce qui

Plus en détail

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1

Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1. Cours de Mathématiques 1 Université de Cergy-Pontoise Département de Mathématiques L1 MPI - S1 Cours de Mathématiques 1 Table des matières 1 Un peu de formalisme mathématique 7 1.1 Rudiments de logique........................................

Plus en détail

Licence 3ème année (L3 S6) année 2008-2009 UFR Sciences Université Picardie Jules Verne, Amiens. Probabilités. Barbara SCHAPIRA

Licence 3ème année (L3 S6) année 2008-2009 UFR Sciences Université Picardie Jules Verne, Amiens. Probabilités. Barbara SCHAPIRA Licence 3ème année (L3 S6) année 2008-2009 UF Sciences Université Picardie Jules Verne, Amiens Probabilités Barbara SCHAPIA 4 juin 2009 Table des matières 1 Probabilités et variables aléatoires 4 1.1 Espaces

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS

ANALYSE MATHEMATIQUE. Jean SCHMETS UNIVERSITE DE LIEGE Faculté des Sciences Institut de Mathématique ANALYSE MATHEMATIQUE Introduction aux espaces fonctionnels Notes du cours de la seconde candidature en sciences mathématiques ou en sciences

Plus en détail

TD 1 & 2 Rappels de probabilités

TD 1 & 2 Rappels de probabilités Master IF, ENS de Lyon Évaluation de performance 5 & 22 septembre 20 TD & 2 appels de probabilités lionel.rieg@ens-lyon.fr Probabilités discrètes. Calcul de probabilités Exercice Soient A et B des événements

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30

Table des matières. 3 Suites de nombres réels 29. 3.2 Limites... 30 Table des matières 1 Généralités 3 1.1 Un peu de logique................................. 3 1.1.1 Vocabulaire................................ 3 1.1.2 Opérations logiques............................ 4 1.1.3

Plus en détail

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies

Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention

Plus en détail

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS

Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Statistique appliquée à la gestion et au marketing http://foucart.thierry.free.fr/statpc Chapitre 4 NOTIONS DE PROBABILITÉS Les chapitres précédents donnent des méthodes graphiques et numériques pour caractériser

Plus en détail

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres 1 Introduction Le nombre de piles obtenus au cours d une série de n lancers de pile ou face ou plus généralement dans

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I

TOPOLOGIE - SÉRIE 1. x f 1 B i f(x) B i x f 1 (B i ). f 1 ( i I B i) = i I f 1 (B i ); en effet. f 1 B i = f 1 B i et f 1 (B \ B ) = A \ f 1 B ; i I TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A B une application. Prouver que (a) A f 1 fa pour tout A A, avec égalité si f est injective; (b) ff 1 B B pour tout B B, avec égalité si f est surjective; Preuve.

Plus en détail

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2. Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2. Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année. Ionel Sorin CIUPERCA COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR 2 Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année Ionel Sorin CIUPERCA Le but de ce cours est d introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathématique

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

À propos des matrices échelonnées

À propos des matrices échelonnées À propos des matrices échelonnées Antoine Ducros appendice au cours de Géométrie affine et euclidienne dispensé à l Université Paris 6 Année universitaire 2011-2012 Introduction Soit k un corps, soit E

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique Notes de cours Cours introductif sur la théorie des domaines Paul-André Melliès Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique 1 Ensembles ordonnés Definition 1.1 (ensemble

Plus en détail

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR

COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Université Paris VII. Préparation à l Agrégation. (François Delarue) COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE D UNE FILE D ATTENTE À UN SERVEUR Ce texte vise à l étude du temps d attente d un client à la caisse d un

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA)

Agrégation interne de Mathématiques. Session 2009. Deuxième épreuve écrite. (et CAERPA) Agrégation interne de Mathématiques (et CAEPA Session 2009 Deuxième épreuve écrite 2 NOTATIONS ET PÉLIMINAIES On désigne par le corps des nombres réels et par C le corps des nombres complexes. Si f est

Plus en détail

Thème 3 : ensembles, espaces de probabilités finis

Thème 3 : ensembles, espaces de probabilités finis Thème 3 : ensembles, espaces de probabilités finis Serge Cohen, Monique Pontier, Pascal J. Thomas Septembre 2004 1 Généralités : ensembles et parties d un ensemble Définition 1.1 On appelle ensemble une

Plus en détail

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13

Suites réelles. 4 Relations de comparaison des suites 9 4.1 Encore du vocabulaire... 9. 5.2 Quelques propriétés... 13 Maths PCSI Cours Table des matières Suites réelles 1 Généralités 2 2 Limite d une suite 2 2.1 Convergence d une suite....................... 2 2.2 Deux premiers résultats....................... 3 2.3 Opérations

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

MA6.06 : Mesure et Probabilités

MA6.06 : Mesure et Probabilités Année universitaire 2002-2003 UNIVERSITÉ D ORLÉANS Olivier GARET MA6.06 : Mesure et Probabilités 2 Table des matières Table des matières i 1 Un peu de théorie de la mesure 1 1.1 Tribus...............................

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Rappels sur les applications linéaires

Rappels sur les applications linéaires Rappels sur les applications linéaires 1 Définition d une application linéaire Définition 1 Soient E et F deux espaces vectoriels sur un même corps K et f une application de E dans F Dire que f est linéaire

Plus en détail

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U

CHAPITRE V. de U U dans Hom(F, F ) est de classe C. b dans Hom(F,F ) est de classe C, l application b b. de U U CHAPITRE V FIBRÉS VECTORIELS 1. Fibrés vectoriels 1. Cartes et atlas vectoriels Soit B une variété différentielle. Considérons un B -ensemble, c est à-dire un ensemble M muni d une application p : M B.

Plus en détail

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD

Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : Accès à l'université chez DUNOD Les supports de cours suivants font référence au cours de Mr SOL et à son livre : "Accès à l'université" chez DUNOD Les supports de cours ne sont pas complets, ils ne contiennent ni les démonstrations,

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Exercices corrigés. Université de Poitiers, Guilhem Coq. TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures

Exercices corrigés. Université de Poitiers, Guilhem Coq. TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures Université de Poitiers, Guilhem Coq Année 29-2 L3 6L2 : théorie de la mesure xercices corrigés TD2 : fonctions mesurables, propriétés des mesures xercice Soit f :, T R, BR une application mesurable et

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants :

Un peu de topologie. Espaces métriques. Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo. Enseignants : Documents disponibles sur www.math.polytechnique.fr/ laszlo Un peu de topologie Enseignants : F. Golse (golse@math.polytechnique.fr), Y. Laszlo (laszlo@math.polytechnique.fr), C. Viterbo (viterbo@math.polytechnique.fr)

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est

Plus en détail

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009

Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur. Sup Galilée - année 2008-2009 Notes du cours Mathématiques pour l ingénieur Sup Galilée - année 2008-2009 Benoît Merlet Ces notes de cours s adressent aux élèves ayant suivi le cours. Elles contiennent peu d explications. Elles pourront

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2.1 Probabilité conditionnelle Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0. Soit alors P(A B), la probabilité que A se réalise, B étant réalisé.

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

3.8 Introduction aux files d attente

3.8 Introduction aux files d attente 3.8 Introduction aux files d attente 70 3.8 Introduction aux files d attente On va étudier un modèle très général de problème de gestion : stocks, temps de service, travail partagé...pour cela on considère

Plus en détail