Théorie de la Mesure et Intégration

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1 Ecole Nationale de la Statistique et de l Administration Economique Théorie de la Mesure et Intégration Xavier MARY

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3 Table des matières I Théorie de la mesure 11 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble Définitions Tribu engendrée, tribu image réciproque Exemples Produit d espaces mesurables La tribu borélienne Compléments : π-système, λ-système, classe monotone Mesure, espace mesuré Définitions Propriétés élémentaires, caractérisation d une mesure finie Prolongement d une mesure et applications Théorème de prolongement (Carathéodory) Mesure extérieure Application : la mesure de Borel Ensembles négligeables, tribu et mesure complétée Produit fini d une famille d espaces mesurés Applications mesurables Définition d une application mesurable Propriétés générales Propriétés des fonctions mesurables réelles Fonction à valeur dans R = [, + ] Transport d une mesure, mesure image Approximation d une fonction mesurable réelle

4 5 Théorie de la mesure et probabilités Introduction Exemples élémentaires Ensemble fini : Ω = {ω 1,...ω n } Cas d un ensemble infini dénombrable Ω = {ω i, i N} Probabilités conditionnelles, événements indépendants Variables aléatoires Variables aléatoires réelles Variables aléatoires, vecteurs aléatoires, indépendance 42 II Intégration 45 6 Intégration des fonctions mesurables positives Intégrale (supérieure) des fonctions étagées Intégrale d une fonction mesurable positive Propriété vraie presque partout Propriétés générales Théorème de transfert (changement de variable) Mesures définies par des densités Mesures absolument continues, étrangères Absolue continuité et densité Théorème de changement de variable, λ mesure de Lebesgue Caractérisation de la mesure produit, théorème de Fubini- Tonelli Intégration des fonctions mesurables quelconques Intégrale d une fonction mesurable Définitions L ensemble L Propriétés générales Premières propriétés, lemme de Fatou Théorème de la convergence dominée et applications Exemples Théorème de Fubini pour les fonctions mesurables quelconques Le théorème de Fubini Exemples La convolution Convolution de deux mesures

5 7.4.2 Convolution d une fonction et d une mesure, de deux fonctions Exemples Théorie de l intégration et probabilités Espérance et moments Espérance Moments Covariance et corrélation Propriétés des moments Inégalités Variable aléatoire réelle (vecteur aléatoire) et densité Retour sur l indépendance III Compléments 77 9 Les espaces L p et L p, p N +{ } Définitions des espaces L p Les espaces L p, p N Les espaces L, L Propriétés des espaces L p, 1 p p est une norme Complétude des espaces L p Autres propriétés Dual des espaces L p Quelques résultats d analyse fonctionnelle dans L 1 (R, B R, λ) La transformée de Fourier Définitions Propriétés générales Exemples Propriétés générales X = R d : théorèmes d injectivité et d inversion Théorème d injectivité Théorème d inversion Propriétés analytiques (sur R) Transformée de Fourier dans L 1 : propriétés analytiques Transformée de Fourier dans L

6 Index 93 6

7 Introduction H. Lebesgue est généralement considéré comme le père de la théorie moderne de l intégration. Sa définition de fonction intégrable reste la plus satisfaisante à ce jour. On doit cependant également citer trois mathématiciens qui ont aidé Lebesgue à formuler son intégrale. Les deux premiers sont G. Peano et C. Jordan : G. Peano a défini le premier les notions de mesure intérieure et extérieure, tandis que C. Jordan est le premier à intégrer sur des ensembles distincts d intervalles, appelés ensembles Jordan-mesurables. Le troisième est le mathématicien E. Borel, qui définit les notions de tribus (boréliennes) et de mesures de Borel. C est la première apparition de mesures σ-finie sur un espace mesurable (et non une algèbre). Pourquoi H. Lebesgue a-t-il eu besoin de toutes ces notions? D ou viennent les notions de tribus, de mesure extérieure? Une réponse est la résolution du problème de Lebesgue, que nous aborderons rapidement. Nous discuterons ensuite brièvement des différences fondamentales entre intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue, avant d aborder le domaine des probabilités. Le cours sera ensuite divisé en 2 grandes parties : la théorie de la mesure, théorie abstraite qui sera ensuite appliquée à une nouvelle théorie de l intégration : l intégrale de Lebesgue. 7

8 Le problème de Lebesgue L objectif de Lebesgue est le suivant : tenter de généraliser la notion de longueur (aire, volume,...) à une famille de parties plus grandes que les intervalles (pavés). Plus précisément, il cherche une fonction vérifiant les 3 propriétés suivantes : invariance par translation σ-additivité λ( i I normalisation A i ) = i I λ : P(R n ) [0, + ] v R n, λ(a + v ) = λ(a) λ(a i ), I dénombrable, A i disjoints λ([0, 1] n ) = (Vitali) : le problème de Lebesgue n a pas de solution : il faut affaiblir les hypothèses. Deux solutions sont apportées. Elles conduisent à deux notions différentes de mesure : on demande seulement la σ-sous-additivité λ( i I A i ) i I λ(a i ), I dénombrable Une solution unique appelée mesure extérieure. On travaille sur un sous-ensemble B de P(R n ) : Une solution unique sur la tribu des boréliens appelée mesure de Borel ou mesure de Lebesgue (cette dernière étant en fait la mesure sur la tribu complétée). Intégrale de Riemann, intégrale de Lebesgue Concernant l intégration, l idée de Lebesgue est la suivante : plutôt que de définir les fonctions horizontalement par f(t), il définit les fonctions verticalement par f 1 (x). L intégrale est alors une somme sur les valeurs et non sur le support. 8

9 f(i) Riemann discret i [1,n] contre x.card(f 1 (x)) Lebesgue discret x R Les principales différences entre les deux intégrales sont alors les suivantes : Riemann mesure des intervalles A A Lebesgue mesure des boréliens B B A 1 A fonctions en escalier B 1 B fonctions étagées limite uniforme limite simple dominée fonctions réglées ( 0) fonctions mesurables ( 0) Mesures et probabilités La théorie des probabilités est une branche des mathématiques qui permet de modéliser les phénomènes aléatoires. Celle-ci repose sur une formalisation développée par le mathématicien russe Kolmogorov dans les années Son axiomatique repose sur les notions de tribu et de mesure développées par Borel dans les années La théorie de l intégrale de Lebesgue développée à la même époque a permis d asseoir en toute généralité la notion de moment d une variable aléatoire. Nous aborderons les relations entre la théorie de la mesure et de l intégration et la théorie des probabilités à la fin de chaque chapitre de ce cours. 9

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11 Première partie Théorie de la mesure 11

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13 Chapitre 1 Algèbres et tribus de parties d un ensemble Dans toute la suite, X sera un ensemble quelconque non vide. On note alors P(X) l ensemble des parties de l ensemble X. 1.1 Définitions Définition (algèbre de Boole, ou de parties de X) A P(X) est une algèbre (de Boole) si pour tout A, B A : 1. {, X} A 2. A c = X\A A 3. A B A 4. A B A C est une semi-algèbre (notée S) si les conditions 1) et 3) sont vérifiées et que le complémentaire d un élément de S est réunion finie d éléments de S. On remarquera que certaines de ces conditions sont redondantes. Ainsi, par passage au complémentaire, si A contient l ensemble vide elle contient X et réciproquement. De même, 2) et 3) implique 4) et 2) et 4) implique 3). Remarque L algèbre A engendrée par une semi-algèbre est constituée des réunions finies de parties de S. Définition (σ-algèbre ou tribu) A P(X) est une tribu (sur X) si c est une algèbre stable par réunion dénombrable croissante. 13

14 Remarque Une tribu est alors stable par réunion dénombrable et intersection dénombrable. Définition (Espace mesurable) Un ensemble X muni d une tribu A P(X) est appelé espace mesurable et noté (X, A). 1.2 Tribu engendrée, tribu image réciproque Proposition ) Toute intersection quelconque de tribus est une tribu. 2) Une réunion finie de tribus n est pas forcément une tribu. Preuve - 1) Soit (A i ) i I une famille de tribus. Montrons que i I A i est une tribu : (1) : i I, X A i, donc X i I A i (2) : soit A i I A i.alors i I, A A i donc i I, A c A i, et finalement A c i I A i. (3) : soit (A n ) n N une famille d éléments de i I A i. Alors n N, i I, A n A i, soit i I, A n A i et A n A i. n N n N i I 2) Soit X = {a, b, c}. Alors A a = {φ, {a}, {b, c}, X} et A b = {φ, {b}, {a, c}, X} sont des tribus. Mais A a A b = {φ, {a}, {b, c}, {b}, {a, c}} n est pas une tribu, car {a, b} = {a} {b} / A a A b. On en déduit la proposition suivante qui définit la notion de tribu engendrée : Proposition (tribu engendrée) Soit M P(X). L intersection de toutes les tribus contenant M est une tribu appelée tribu engendrée par M et notée σ(m). C est la plus petite tribu contenant M. Cette proposition tient lieu de définition. Il est également possible de transporter une tribu par image réciproque d une fonction quelconque. Cette propriété vient de la compatibilité entre les opérations ensemblistes et la fonction d ensemble image réciproque : 14

15 1. f 1 (A c ) = f 1 (A) c 2. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) 3. f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) De telles relations sont bien évidemment fausses concernant l image directe. Théorème (tribu image réciproque) Soit Y un ensemble, (X, A) un espace mesurable et f : Y X une application. Alors 1. f 1 (A) = {f 1 (A), A A} est une tribu sur Y appelée tribu image réciproque par f (ou tribu engendrée par f) 2. (lemme de transport) M P(X), f 1 (σ(m)) = σ(f 1 (M)). Ce théorème tient lieu de définition. Preuve - 1) Montrons que B = f 1 (A) est une tribu. i- f 1 (X) = Y B. ii- A, B A, f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) donc B est stable par intersection fini. iii- A A, f 1 (A c ) = ( f 1 (A) ) c donc B est stable par passage au complémentaire. iv- f 1 ( n N A n ) = n N f 1 (A n ) donc B est stable par union dénombrable. Finalement, B = f 1 (A) est une tribu. 2) Soit M P(X). Nous allons montrer les deux inclusions : f 1 (σ(m)) est une tribu (cf point 1)) qui contient f 1 (M) donc σ(f 1 (M) f 1 (σ(m)). Posons R = {A σ(m), f 1 (A) σ(f 1 (M))}. Il est facile de voir que R est une tribu et que R contient M. On en déduit que σ(m) R ce qui implique f 1 (σ(m) σ(f 1 (M)). Finalement (σ(f 1 (M)) f 1 (σ(m)) σ(f 1 (M) et on a l égalité recherchée. 1.3 Exemples 1. L ensemble des pavés (produits d intervalles (a 1, b 1 ),..., (a p, b p )) de R p est une semi-algèbre. 15

16 2. σ( ) = {, X} est une algèbre appelée algèbre triviale (ou grossière : c est la plus petite des tribus sur X). 3. P(X) appelée tribu discrète (c est la plus grosse des tribus). 4. {A P(X), A ou A c fini} est une algèbre mais pas une tribu. 5. Soit X = {a, b, c} un ensemble formé de trois points distincts. Alors la classe de parties de X définie par τ a = {φ, {a}, {b, c}, X} est une tribu. 6. σ( ouverts de R n ) = B tribu des boréliens. Remarque (importante) Une erreur fréquente est de croire que si A A et que B A, alors B A. C est faux comme le prouve l exemple de la tribu τ a où {b, c} τ a mais {b} / τ a, même si {b} {b, c}. 1.4 Produit d espaces mesurables Définition (produit de deux espaces mesurables) Soient (X i, A i ), i = 1, 2 deux espaces mesurables : on appelle tribu produit sur X 1 X 2 la tribu A 1 A 2 engendrée par les parties {A 1 A 2, A i A i, i = 1, 2}. L espace mesurable (X 1 X 2, A 1 A 2 ) est appelé espace mesurable produit. Définition (produit d une famille d espaces mesurables) Soient (X i, A i ), i I une famille d espaces mesurables : on appelle tribu produit sur Π X i la tribu A i engendrée par les parties i I i I { Π A i, A i A i i I et A i = X i sauf pour un nombre fini }. i I L espace mesurable ( Π X i, A i ) est appelé espace mesurable produit. i I i I 1.5 La tribu borélienne Définition (tribu borélienne) Soit X un espace topologique. La tribu engendrée par les ouverts de X s appelle la tribu borélienne. Proposition Sur X = R p la tribu borélienne est engendrée par : les ouverts les fermés les pavés 16

17 la démonstration de cette proposition est laissée en exercice. On peut notamment se servir des résultats qui suivent. Les questions de dénombrabilité interviennent naturellement dans la théorie des espaces mesurables boréliens, comme le montrent les propositions suivantes : Proposition Soit X un espace topologique et (X n ) une famille dénombrable de boréliens de réunion X. Alors A B(X) n, A X n B(X n ) Preuve - L implication est directe car l ensemble A = {A P(X), A X n B(X n )} est une tribu contenant les ouverts de X donc la tribu engendrée par les ouverts i.e. la tribu borélienne. Pour la réciproque, notons B n = {A X n, A B(X)}. C est une tribu sur X n contenant les ouverts de X n (intersection d ouverts de X avec X n par définition), donc B(X n ) B n. Soit A A. Alors A X n B n B(X) et comme A = n N A X n, A est borélien comme union dénombrable de boréliens. Remarque Cette caractérisation des boréliens est très importante puisqu elle permet d étendre des résultats vrais sur les (X n, B(X n )) a l espace mesurable (X, B(X)) tout entier. Le cas X = [0, + [, X n = [n, n + 1[ est un exemple important. Dans le cas d espaces topolgiques à base dénombrable d ouverts (i.e. tels qu il existe une famille dénombrable d ouverts engendrant tous les ouverts de X), on peut caractériser les boréliens uniquement à partir de cette base : Lemme Si X admet une base dénombrable d ouverts, sa tribu borélienne est engendrée par cette base. Preuve - Soit A la tribu engendrée par cette base. Elle contient alors les réunions dénombrables des ouverts de la base et donc par définition, tous les ouverts. Finalement, elle contient la tribu borélienne. Réciproquement, la tribu borélienne contient la base d ouverts donc A, et les deux tribus coïncident. 17

18 Remarque Si O 1 et O 2 sont deux bases dénombrables d ouverts de X 1 et X 2, alors O 1 O 2 est une base dénombrable d ouverts de X 1 X 2 Théorème Soient X i, i = 1, 2 deux espaces topologiques à base dénombrable d ouverts. Alors la tribu produit des tribus boréliennes B 1 B 2 est la tribu borélienne de X 1 X 2 muni de la topologie produit. Preuve - Soient τ 1 et τ 2 les topologies (ou ouverts) de X 1 et X 2. Posons A 1 = {A P(X 1 ), A τ 2 B(X 1 X 2 )}. C est une tribu contenant τ 1 donc B(X 1 ) τ 2 B(X 1 X 2 )}. Posons alors A 2 = {A P(X 2 ), B(X 1 ) A B(X 1 X 2 )}. C est une tribu contenant τ 2 (d après le résultat précédent) donc B(X 1 ) B(X 2 ) B(X 1 X 2 )} puis par passage a la tribu engendrée, B(X 1 ) B(X 2 ) B(X 1 X 2 )}. - Montrons maintenant l inclusion inverse : Si O 1 et O 2 sont deux bases dénombrables d ouverts de X 1 et X 2, alors O 1 O 2 est une base dénombrable d ouverts de X 1 X 2 et σ(o 1 O 2 ) σ(o 1 ) σ(o 2 ). Finalement on conclut grâce au lemme précédent. On a prouvé au passage que la tribu produit est toujours (même sans l hypothèse de dénombrabilité) incluse dans la tribu borélienne de X 1 X Compléments : π-système, λ-système, classe monotone Il est souvent intéressant de travailler sur des familles plus simples que des tribus, et les notions suivantes seront donc utiles dans la suite : Définition (π-système) Un π-système est une famille de parties de X stable par intersection finie et contenant X. Exemple π = {], x], x R} est un pi-système très utile (cf. fonctions de répartitions). Définition (λ-système) Un λ-système est une famille de parties de X stable par différence et limite croissante( (réunion dénombrable croissante). Définition (classe monotone) Une classe monotone est une famille de parties de X stable par union (resp. intersection) dénombrable croissante (resp. décroissante). 18

19 Proposition π-système et λ-système tribu. 2. algèbre et classe monotone tribu. 3. (lemme de Dynkin, ou théorème λπ) Tout λ-système contenant un π-système contient la tribu engendrée par ce dernier. 4. (théorème de la classe monotone) Toute classe monotone contenant une algèbre contient la tribu engendrée par cette dernière. Preuve - La démonstration des deux premières équivalences est laissée en exercice. [lemme de Dynkin] - Soit λ(π) le λ-système engendré par π (c est l intersection de tous les λ-systèmes contenant π). Alors λ(π) σ(π) car une tribu est un λ-système. Montrons que λ(π) est une tribu, i.e. est stable par intersection fini (d après 1)). On définit l ensemble A 1 = {A λ(π), A B λ(π) B π}. C est un λ-système contenant π donc λ(π) A 1. Soit maintenant A 2 = {A λ(π), A B λ(π) B λ(π)}. C est un λ-système contenant π d après le résultat précédent donc λ(π) A 2. Finalement λ(π) = σ(π). [théorème de la classe monotone] - Soit M(A) la classe monotone engendrée par A (c est l intersection de toutes les classes monotones contenant A). Alors M(A) σ(a) car une tribu est une classe monotone. Montrons que M(A) est une tribu, i.e. est une algèbre (d après 2)). On définit l ensemble A = {A M(A), A c M(A)}. C est une classe monotone contenant A donc M(A) A et M(A) est stable par passage au complémentaire. Soit A 1 = {A M(A), A B M(A) B A}. C est une classe monotone contenant A donc M(A) A 1. Soit A 2 = {A M(A), A B M(A) B M(A)}. C est une classe monotone contenant A d après le résultat précédent donc M(A) A 2 et M(A) est stable par union finie. Finalement M(A) = σ(a). 19

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21 Chapitre 2 Mesure, espace mesuré 2.1 Définitions Contrairement a l intuition (et au vocabulaire), la définition d une mesure est au départ relative à un espace X muni d une algèbre A et non à un espace mesurable. Cependant, et ce sera l objet du prochain chapitre, il sera toujours possible d étendre univoquement une mesure (σ-finie) à la σ-algèbre engendrée par A, et donc de parler de mesure sur un espace mesurable. Définition (Mesure sur une algèbre, espace mesuré) On appelle mesure sur l algèbre A toute fonction µ : A R + = [0, + ] non constante avec + et σ-additive : pour toute famille dénombrable A n d éléments de A deux à deux disjoints telle que n A n A, µ( n A n ) = n µ(a n ) L espace (X, A, µ) est appelé espace mesuré. Remarque Un espace mesuré n est donc pas pour l instant obligatoirement mesurable. Nous verrons cependant qu il pourra toujours être considéré comme tel grâce au théorème de prolongement. Définition La mesure est finie (ou bornée) si µ(x) < Elle est σ-finie si X est réunion dénombrable d ensembles de mesure finie. On appelle mesure de probabilité (ou simplement probabilité) toute mesure vérifiant µ(x) = 1. 21

22 Il est toujours possible de construire une mesure (sur une algèbre) à partir d une fonction d ensemble σ-additive sur une semi-algèbre : Lemme Soit S une semi-algèbre et µ : S [0, + ] une fonction σ- additive. Alors µ se prolonge de manière unique en une mesure sur l algèbre engendrée par S. Preuve - Par additivité, le seul prolongement possible est n µ( A i ) = i=1 n µ(a i ) i=1 On vérifie aisément que c est bien une mesure sur l algèbre engendrée par S (composée des réunions finies d éléments de S). 2.2 Propriétés élémentaires, caractérisation d une mesure finie Toute mesure µ vérifie les propriétés suivantes : Proposition µ( ) = (σ-sous-additivité) µ( n N A n ) n N µ(a n ). 3. (monotonie) Si A B, A, B A alors µ(a) µ(b). 4. (continuité) Si A n A A, µ(a n ) µ(a). Remarque Nous verrons que cette dernière propriété caractérise les mesures. Preuve - 1. Une mesure n est pas constante égale à + donc il existe A, µ(a) < +. De µ(a) = µ(a ) = µ(a) + µ( ) on déduit µ( ) = On écrit : + n=1 A n = + n=1 ( A n \ n 1 k=1 A k ) 22

23 avec la convention : 0 A k = φ. Alors : k=1 ( + ) µ A n = n=1 + n=1 µ ( A n \ n 1 k=1 A k ) + n=1 µ (A n ). 3. De B = A B\A, on déduit : µ(b) = µ(a) + µ(b\a) µ(a). 4. On construit la suite (B n ) n 1 selon : Alors pour tout n 1, et donc B 1 = A 1 B n = A n \A n 1 pour n 2 + n=1 A n = A n = n k=1 B k + B k Comme les B n sont deux à deux disjoints par construction, on a : ( + ) ( + ) + µ A n = µ B k = µ(b k ) n=1 = lim k=1 n n k=1 Théorème Une fonction k=1 k=1 µ(b k ) = lim n µ µ : A R + = [0, + ] ( n k=1 B k ) = lim n µ (A n) non égale à + et additive est une mesure si et seulement si elle vérifie la propriété de continuité croissante : A n A A µ(a n ) µ(a) Preuve - Nous avons déjà vu que toute mesure vérifie cette propriété. La n réciproque est évidente car si B n est une suite d ensemble disjoints, B i B n et la continuité croissante entraîne la σ-additivité. n N Il existe de plus une caractérisation très utile des mesures finies : 23 i=1

24 Théorème Soit µ : A [0, + ] telle que : 1. (finitude) µ(x) < (additivité) A, B A, A B =, µ(a B) = µ(a) + µ(b). 3. (Condition de Carathéodory) A n µ(a n ) 0. Alors µ est une mesure (finie par hypothèse) et réciproquement, toute mesure finie vérifie ces trois propriétés. Preuve - Pour la première partie du théorème, il nous faut montrer la σ- additivité de µ. Soit B i une famille dénombrable d ensembles de A deux à deux disjoints telle que B = + n B i A. Posons A n = B i = B\ B i. La suite A n i N décroît vers 0 donc µ(b\ i=1 par hypothèse (3). Mais d après (2) i=1 i=n+1 n B i ) 0 n + n n n µ(b) = µ([b\ B i ] [ B i ]) = µ(b\ B i ) + i=1 i=1 et la condition de carathéodory implique la σ-additivité µ(b) = + i=1 µ(b i ) i=1 n µ(b i ) Réciproquement, soit µ une mesure finie et A n. La continuité croissante implique µ(x\a n ) µ(x). Mais i=1 µ(x) = µ([x\a n ] [A n ]) = µ(x\a n ) + µ(a n ) et comme toutes les quantités sont finies, on a µ(a n ) = µ(x) µ(x\a n ) 0. 24

25 Chapitre 3 Prolongement d une mesure et applications 3.1 Théorème de prolongement (Carathéodory) Théorème (de prolongement (admis)) Toute mesure σ-finie sur une algèbre A se prolonge de manière unique en une mesure (σ-finie) sur σ(a). La démonstration de ce théorème est hors programme. Cependant la notion de mesure extérieure est intéressante et est donc donnée ici. Le lemme d égalité des mesures est quant à lui fondamental. 3.2 Mesure extérieure Afin de prouver le théorème, on définit la mesure extérieure d une mesure µ : Définition (mesure extérieure de µ) Soit µ une mesure sur une algèbre A X. Alors µ : P(X) [0, + ] A µ (A) = inf µ(a n ) {A A n n, A n A} est appelée mesure extérieure de µ sur X. Une partie A X sera dite µ -mesurable si E P(X), µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) n 25

26 Remarquons que µ prolonge µ sur A : Lemme A A, µ (A) = µ(a) Preuve - Soit A n un recouvrement quelconque de A (A n A n, A n A). Alors µ(a) = µ( (A A n ) µ(a A n ) µ(a n ) par σ-additivité n N n N n N et monotonie. donc µ(a) µ (A). De plus, la famille A 1 = A, A 2 = A 3 =... = est un recouvrement de A donc µ (A) µ(a n ) = µ(a) et l égalité est prouvée. n N Proposition µ est monotone et σ-sous-additive. Preuve - monotonie Soit A B. Alors tout recouvrement de B recouvre A et µ (A) µ (B) croissance Soit {A n, n N} une famille dénombrable et soit ɛ > 0 fixé. Alors Comme A n N, (B n k ) A, (k,n) N 2 B n k on a µ(bk n ) µ (A n ) + ɛ2 n k N µ (A) µ(bk n ) µ (A n ) + ɛ (k,n) N 2 n N et ɛ étant arbitraire, on obtient la σ-sous-additivité. Cette propriété des mesures extérieures associées aux mesures classiques peut d ailleurs servir de définition : Définition (mesure extérieure) Une application Φ : P(X) [0, + ] est appelée mesure extérieure si : 1. Φ ( ) = (σ-sous-additivité) Φ ( A n ) Φ (A n ). n N n N 3. (monotonie) A, B A, A B Φ (A) Φ (B). 26

27 Le théorème de prolongement est alors une conséquence directe des lemmes suivants : Lemme (lemme d égalité des mesures) Deux mesures sur (X, A) espace mesurable égales sur un π-système π A et σ-finies sur π sont égales sur σ(π). Preuve - Soit R = {A A, µ 1 (A) = µ 2 (A)}. Alors R contient π par hypothèse. Il suffit alors de montrer que R est un λ-système pour prouver le lemme en vertu du lemme de Dynkin. - Si µ 1 est finie alors µ 2 est finie car X π et l égalité µ(a\b) = µ(a) µ(b) vraie pour les mesures finies prouve que R est stable par différence. Si A n est une suite croissante d éléments de R de limite A, µ 1 (A) = lim µ 1 (A n ) = lim µ 2 (A n ) = µ 2 (A) - On suppose maintenant que µ 1 est σ-finie sur π, i.e. {π n }, µ 1 (π n ) < + n et (π n ) = X. n N Alors on peut appliquer le résultat precedent (lemme d égalité des mesures finies) aux espaces mesurables (π n, A π n ) ce qui prouve que les mesures µ 1 et µ 2 sont égales sur σ πn (π π n ). On montre (exercice) l égalité suivante : σ πn (π π n ) = σ X (π) π n Posons ( ) n 1 n N, Π n = π n ( π i ) c i=1 Alors Π n σ X (π) π n = σ πn (π π n ) et Π n = X, la somme étant n N disjointe. Finalement, ( ) A σ(π), µ 1 (A) = µ 1 Π n ) = n N(A µ 1 (A Π n ) n N = ( ) µ 2 (A Π n ) = µ 2 Π n ) n N n N(A = µ(a) 27

28 Le lemme d égalité des mesures est intéressant en lui même puisqu il permet de caractériser les mesures σ-finies uniquement par leur donnée sur un π- système. Dans le cas du π-système π = {], x], x R}, le théorème assure que deux mesures ayant la même fonction de répartition (F (x) = µ(], x])) sont égales. Lemme L ensemble M des parties µ -mesurables est une tribu et µ est σ-additive (et donc une mesure) sur M. Preuve - Montrons tout d abord que M est une algèbre et que µ est finiment additive sur M. La stabilité par passage au complémentaire est évidente. Soient A, B M. Alors pour tout E P(X) : µ (E) = µ (E A) + µ (E A c ) = µ (E A B) + µ (E A c B) + µ (E A B c ) + µ (E A c B c ) µ (E A B) + µ (E (A B) c ) par sous-additivité de µ. Mais cette même sous-additivité donne µ (E) = µ (E (A B) E (A B) c ) µ (E A B) + µ (E (A B) c et finalement on a l égalité. Pour l additivité finie on prouve pour A et B disjoints l égalité renforcée : µ (E (A B)) = µ (E (A B) A) + µ (E (A B) A c ) = µ (E A) + µ (E B) Soit maintenant une suite de parties disjointes {A n, n N}. Alors on a n n µ (E) = µ (E ( A i )) + µ (E ( A i ) c ) = i=1 i=1 n n µ (E A i ) + µ (E ( A i ) c ) i=1 n i=1 i=1 µ (E A i ) + µ (E ( i N 28 A i ) c )

29 par monotonie. Le résultat étant vrai pour tout n, il vient µ (E) i N µ (E A i ) + µ (E ( A i ) c ) et par sous σ-additivité, µ (E) µ (E ( A i )) + i N i N µ (E ( A i ) c ). De nouveau la même sous σ-additivité donne également i N l inégalité inverse, et donc l égalité. Finalement, i N A i est µ -mesurable. La σ-additivité est alors une conséquence directe de l additivité finie et de la sous σ-additivité. Lemme A M. La démonstration de ce lemme est laissée en exercice. 3.3 Application : la mesure de Borel Avant de construire la mesure de Borel, nous rappelons qu une fonction d ensemble additive µ 0 définie sur une semi-algèbre S admet un unique prolongement en une fonction additive µ sur l algèbre engendrée par S. Elle est définie par : n n µ( S i ) = µ 0 (S i ) i=1 pour toute famille finie disjointe. Corollaire Par le théorème précédent, la mesure de Borel est l unique prolongement à la tribu des boréliens de la fonction longueur sur les intervalles de R (resp. à la fonction volume sur les pavés de R p ) étendue à l algèbre engendrée par les intervalles (resp. à l algèbre engendrée par les pavés). Théorème (admis) Toute mesure borélienne invariante par translation est proportionnelle à la mesure de Borel. i=1 3.4 Ensembles négligeables, tribu et mesure complétée Définition (ensemble négligeable, tribu complète) Soit (X, A, µ) un espace mesuré. On appelle ensemble négligeable (ou de mesure nulle) toute partie B P(X) telle qu il existe A A, B A et µ(a) = 29

30 0. On dit que la tribu A est complète (pour la mesure µ) si les ensembles négligeables sont mesurables. Remarquons qu en général l adjonction des ensembles négligeables élargit la tribu. Théorème Il existe un unique prolongement de µ σ-finie à la tribu complétée A engendrée par A et l ensemble des ensembles négligeables tel que (A, µ) soit complet. (X, A, µ) est appelé espace complété. C est une conséquence directe du théorème de prolongement. Exemple La mesure (resp. tribu) complétée de la mesure de Borel (resp. tribu borélienne) s appelle mesure (resp. tribu) de Lebesgue. 3.5 Produit fini d une famille d espaces mesurés Une autre application du théorème de prolongement est l existence et l unicité de la mesure produit sur le produit (fini) d espaces mesurés : Définition (produit fini d une famille d espaces mesurés) Soient (X i, A i, µ i ), i I une famille finie d espaces mesurés σ-finis : on appelle mesure produit sur ( Π X i, A i ) l unique mesure µ i vérifiant i I i I i I µ i ( Π A i ) = Π µ i (A i ), i I i I i I A i A i i I L espace mesuré ( Π X i, i I i I A i, µ i ) est appelé espace mesuré produit. i I Remarque Il existe une caractérisation différente de la mesure produit fondée sur les marginales qui sera donnée en abordant le théorème de Fubini. 30