Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

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1 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements Cardinal Définition Cardinal d une réunion Cardinal d un produit cartésien Cardinaux classiques p-listes Fonctions injectives de F dans E / Arrangements Parties de E Combinaisons : parties de E à p éléments Ensembles de même cardinal Probabilités 8.1 Vocabulaire élémentaire L univers et les événements Opérations sur les ensembles et interprétation pour les événements Mesure de probabilité Les univers de référence l ordre compte et les répétitions sont possibles L ordre compte, les répétitions sont impossibles Indépendance Indépendance de deux événements Indépendance mutuelle Probabilité conditionnelles Définition Formule des probabilités totales Formule des probabilités composées Formule de Bayes II Exercices 13 1 Dénombrements 1 Modélisation 1 3 Calculs élémentaires de probabilité 1

2 4 Probabilités conditionnelles 3 5 Indépendance 4

3 Première partie Cours Les probabilités présentent beaucoup de vocabulaire spécifique, mais la plupart des résultats sont très simples. En fait toute la difficulté est de transformer une question posée en termes vagues (ex : un parachute a fonctionné 10 fois de suite, quelle est la probabilité qu il fonctionne une 11ème fois? 1 ) en une véritable assertion mathématique. Autrement dit, la plus grosse part du travail en probabilité est la modélisation. Une fois défini le bon ensemble muni de la bonne probabilité, le calcul du résultat peut être très simple. 1 Dénombrements 1.1 Cardinal Définition Définition 1.1. Soit E un ensemble et n N. On dit que E est de cardinal n lorsqu il existe une fonction φ : 1, n E qui soit bijective. On note alors n = Card(E) (ou n = #E, ou n = E ). Lorsqu il existe n N tel que E est de cardinal n, on dit que E est un ensemble fini. Remarques: Card( ) = 0 Une telle fonction φ permet de compter les éléments de E : Penser que φ(1) est le premier éléments compté, φ(n) le dernier. Quand on compte les éléments de E, il ne faut pas oublier d élément : φ doit être surjective. Et il ne faut pas en compter un deux fois : c est pourquoi φ doit être injective. La fonction φ s appelle une énumération de E. Exercice : Si E est de cardinal n, il y a n! énumérations possible de E. Pour calculer le cardinal d un ensemble E en toute rigueur, il faut donc définir une bijection de 1, n vers E, ce qui peut être très long et compliqué. En accord avec le programme officiel, on pourra souvent sauter les preuves et s en tenir à une vision "intuitive". Si E est un ensemble fini, on peut toujours écrire : "soit n = Card(E) et soient x 1,..., x n les éléments de E". En effet, ceci revient à choisir l énumération φ : i x i Cardinal d une réunion Définition 1.. Soient E un ensemble et (A, B) P(E). On dit que A et B sont disjoint lorsque A B =. Proposition 1.3. (union disjointe) Soient A et B deux ensembles disjoints. Alors Card(A B) = Card(A) + Card(B). (théorème admis) Proposition 1.4. (cardinal du complémentaire) Soit E un ensemble fini et A P(E). Alors : Card(C E (A)) = Card(E) Card(A). Lorsque A et B sont des ensembles pas forcément disjoints, on déduit : 1. l auteur ignore la réponse à cette question, et ignore si une réponse existe. 3

4 Proposition 1.5. (union quelconque) Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) Exemple: Dans une classe de 44 élèves, 40 font de l anglais et 15 de l espagnol. Combien y a-t-il au maximum et au minimum d élèves qui étudient deux langues? Plus généralement : Définition 1.6. (partition) Soit E un ensemble, n N, et (A 1,..., A n ) P(E) n. On dit (A 1,..., A n ) forment une partition de E lorsque : E = n A i (i, j) 1, n tel que i j, A i A j = Exemple: Lorsqu on dit "Le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux qui creusent.", cela sous-entend que l ensemble des personnes ayant un pistolet chargé et l ensemble des personnes qui creusent forme une partition de l univers. Proposition 1.7. (cardinal d une partition) Soit E un ensemble, n N, et (A 1,..., A n ) une partition de E. Alors : Card(E) = n Card(A i ) Exemple: Soit n N. On tire au hasard un nombre k entre 1 et n. Puis on tire un nombre l entre 1 et k. Combien y-a-t-il de couples (k, l) de résultat possible? Cardinal d un produit cartésien Proposition 1.8. Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A B) = Card(A) Card(B) Remarque: C est la raison pour laquelle le produit cartésien est noté par le symbole. Exemple: On lance un dé de 1 et un dé de 6. Notons Ω l ensemble des résultats possible, c est l ensemble des couple formé de entier de 1, 1 et un entier de 1, 6 : et donc Card(Ω) = 1 6 = 7. Ω = {(a, b) a 1, 1, b 1, 6 } = 1, 1 1, 6 1. Cardinaux classiques On fixe un ensemble fini E et on note n = Card(E). 4

5 1..1 p-listes Par une récurrence immédiate, on obtient : Proposition 1.9. Soit p N. Alors Card(E p ) = n p. Exemples: On lance p dés à n faces, en tenant compte de l ordre (on distingue le premier dé, le second, etc...). Alors l ensemble des résultats possibles est 1, n p, de cardinal n p. Un octet contient 8 bits, chaque bit prend une valeur dans {0, 1}. Combien y-a-t-il d octets différents? Un élément de E p est une suite (x 1,..., x p ) de p éléments de E. On l appelle un p-uplet. (type "tuple" en python : les anglais utilisent la lettre t au lieu de p.) On dit parfois une "p-liste". N.B. Dans un p-uplet, l ordre compte : par exemple le 5-uplet (1,, 3, 4, 5) n est pas le même que (1, 3, 4, 5, ). Choisir un p-uplet d éléments de E signifie choisir p éléments de E, en comptant l ordre, et en autorisant les répétitions. Typiquement : E pourrait être un ensemble de boules, et on tire p fois une boule dans E, en remettant à chaque fois la boule tirée dans E ("avec remise"). E p représente l ensemble des tirages possibles en comptant l ordre et avec remise. Remarque: choisir p éléments dans E revient à choisir une fonction f de 1, p dans E (le premier élément choisi est f (1), le second f (),...). On a donc Card(F ( 1, p, E) = n p. Plus généralement, si F est un ensemble fini quelconque, Card(F (F, E)) = Card(E) Card(F). Exemple: Une interro est notée sur 5, ce qui fait 10 notes possibles compte tenu des demi-points. Il y a 43 élèves. Combien y-a-t-il de possibilités pour la fonction "note" qui à chaque élèves associe sa note? 1.. Fonctions injectives de F dans E / Arrangements Proposition Soit p N. Le nombre de p-uplets de E formés d éléments deux à deux distincts est : n (n 1) (n p + 1) = 0 si p > n n! p! sinon En particulier, si n = p, alors c est n!. N.B. Il s agit du nombre de manières de choisir p éléments de E, en comptant l ordre, sans répétition. Ceci s appelle un p-"arrangement" de E, et se note A n p (terme et notation pas au programme, mais presque). Dans le cas p = n, nous prenons donc tous les éléments de E. Il s agit juste de choisir dans quel ordre. Ainsi, le nombre de moyens d ordonner les éléments de E est n!. Exemple: On dispose des lettres "A,V,C,E,R,Y,Z" au scrabble. Combien de mots peut-on former? (Pas forcément des mots figurant au dictionnaire.) On rappelle que choisir un p-uplet d éléments de E revient à choisir une fonction f de 1, p (ou de tout autre ensemble F de cardinal p) vers E. Le fait de choisir ces éléments deux à deux distincts revient à prendre une fonction injective. Donc le nombre de fonctions injectives de 1, p dans E est 0 si p > n, et A p n = n! p! sinon. Exemple: Paradoxe des anniversaires. Remarque: Le nombre d énumérations d un ensemble de cardinal E est donc n!, puisqu il s agit du nombre de bijections entre 1, n et E. D un autre point de vue, c est le nombre de manière qu il y a d ordonner E (important en pratique). 5

6 1..3 Parties de E Proposition Soit E un ensemble de cardinal fini et n = Card(E). Le nombre de parties de E (i.e. de sousensembles de E) est n. En effet, choisir un sous-ensemble X de E revient à choisir une fonction f : E {0, 1}, en considérant que pour tout x E, f (x) = 1 si x X, f (x) = 0 sinon. Autrement dit, f = 1 X. De manière formelle, il faut vérifier que l application suivante est bijective : φ : P(E) F (E, {0, 1}) X 1 X Exemple: On dispose de poires, bananes, oranges, pommes, melon. Combien de salades de fruits différentes peuton préparer? 1..4 Combinaisons : parties de E à p éléments Définition 1.1. Pour tout p N, on note P p (E) l ensemble des parties de E contenant p éléments. N.B. Dans une partie de E, l ordre ne compte pas. Ainsi, si E = 1, 6, les parties {1,, 3} ou {3, 1, } sont les mêmes. On rappelle que si X P p (X), il y a p! ordres possibles sur les éléments de X, autrement dit il y a p! manière d écrire le même ensemble. Pour reprendre l exemple ci-dessus : {1,, 3} = {1, 3, } = {3, 1, } = {3,, 1} = {, 3, 1} = {, 1, 3}. Proposition Soit p N. Alors : Card(P p (E)) = n.(n 1)... (n p + 1) p! ( n = p) Exemple: Un glacier propose 13 parfums. Combien y-a-t-il de coupes trois boules possibles? (Le serveur ne vous permet pas de choisir l ordre des boules dans la coupe, et on ne prendra pas deux fois le même parfum.) Interprétation combinatoire des formules sur les coefficients binomiaux : 1.3 Ensembles de même cardinal Proposition (lien avec l inclusion) Soient A et B deux ensembles finis tels que A B. Alors : Card(A) Card(B) Si Card(A) = Card(B), alors A = B. Proposition Soient A et B deux ensembles finis et f F (A, B). Si f est injective, alors Card(A) Card(B) Si f est surjective, alors Card(A) Card(B) Si f est bijective, alors Card(A) = Card(B) N.B. La contraposée est intéressante. Par exemple la contraposée de (i) : si Card(A) > Card(B), alors il n existe pas de fonction injective de A vers B. Ce principe s appelle le principe des tiroirs, car on peut l illustrer ainsi : soit A un ensemble d objets et B un ensemble de tiroir. On désire ranger chaque objet dans un tiroir, en mettant au plus un objet par tiroir. Ceci revient à déterminer une fonction f : A B injective. Et bien si le nombre d objet est strictement supérieur au nombre de tiroirs, c est impossible. cf exercice: 3. 6

7 Proposition (fonction entre ensemble finis de même cardinal) Soient A et B deux ensembles finis et f F (A, B). On suppose que Card(A) = Card(B). Alors les assertions suivantes sont équivalentes : f est injective f est surjective f est bijective 7

8 Probabilités.1 Vocabulaire élémentaire.1.1 L univers et les événements Lorsqu on veut étudier une expérience aléatoire, on commence par choisir les "événements élémentaires". La seule règle est la suivante : il faut être sûr qu à chaque expérience, un et un seul de ces événements élémentaires se produit. L ensemble de ces événements sera noté Ω. Définition.1. On fixe un ensemble Ω, qui sera appelé "l univers". Tout sous-ensemble de Ω sera appelé un événement. Un singleton sera appelé un événement élémentaires. Si on veut insister, un événement non élémentaire pourra être appelé événement composé. Remarque: En seconde année on verra des situations plus compliquées où toutes les parties de ω ne seront pas des événements. Exemple: On lance deux dés, et on se demande combien vaudra leur somme. On peut prendre pour Ω l ensemble de tous les couples de deux chiffres entre 1 et 6 : Ω = {(1, 1), (1, ),..., (1, 6), (, 1),..., (1, 6),..., (6, 6)} (on a Card(Ω) = 36.) On s imaginera que le premier nombre représente le résultat du premier dé, le second chiffre le résultat du second dé. Mais on pourrait tout aussi bien prendre : Ω = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} On imagine alors que chacun de ces nombres représente la somme des résultats indiqués par les deux dés. Ou pourquoi pas : Ω = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 0, 34} mais dans ce cas, il y a des événements qui ne seront en réalité jamais réalisés. Cet univers est donc inutilement compliqué. Gardons le premier choix pour Ω. Un événement composé peut être A ="la somme des dés vaut 4". On constate qu il y a 3 événements élémentaires qui aboutissent à l événement A. L objet mathématique qu on appellera l événement A sera l ensemble de ces trois événements élémentaires : A = {(1, 3), (, 3), (3, 1)}.1. Opérations sur les ensembles et interprétation pour les événements Soit (A, B) P(Ω) représentant deux événements qu on note encore A et B. Alors : A B représente l événement "A et B". A B représente l événement "A ou B". Ω \ A représente l événement "non A" i.e. "A n est pas réalisé". On note aussi Ā. Lorsque A B =, i.e. les deux ensembles sont disjoints. On dit que les événements A et B sont "incompatibles". Lorsque A B = et A B = Ω, i.e. les ensembles A et B forment une partition de Ω. Du point de vue des événements, on dit que les événements A et B sont un "système complet d événements". Plus généralement, soit n N et (A 1,..., A n ) P(Ω) n une famille d événements. Lorsque (i, j) 1, n tel que i j on a A i A j =, et n A i = Ω, i.e. que les ensembles (A 1,..., A n ) forment une partition de Ω, on dit que les événements A 1,..., A n forment un "système complet d événements". 8

9 Exemple: On tire deux dés. On modélise l expérience par l univers Ω = 1, n. Pour tout (a, b) Ω, a représente le résultat du premier dé et b le résultat du second. Si on pose pour tout i 1, 6 A i l événement "le premier dé a fait i". Du point de vue ensembliste, A i = {(i, 1), (i, ),..., (i, 6)}. Alors A 1,..., A 6 forment un système complet d événements..1.3 Mesure de probabilité À présent, on définit ce qu est une probabilité. Il s agit d associer à chaque élément un nombre entre 0 et 1 qui représente le nombre de fois moyen que cet événement se réalise. En gros, on espère avoir la formule suivante : P(A) = lim n nombre de fois que A a été réalisé sur n expériences. n Définition.. Une mesure de probabilité (ou plus simplement une probabilité) sur Ω est une fonction P : P(Ω) R +, qui a toute partie de Ω, i.e. à tout événement, associe un nombre positif tel que : Pour tout (A, B) P(Ω), si A et B sont disjoints, alors P(A B) = P(A) + P(B). P(Ω) = 1. Rappel : A et B sont dits disjoints lorsque A B =. Exemple: Soit P telle que A P(Ω), P(A) = Card(A) Card(Ω) Alors P est une probabilité. Elle s appelle la probabilité uniforme sur Ω. Lorsque dans le langage courant on dit "au hasard", on sous-entend souvent qu on utilise la probabilité uniforme. Proposition.3. Soit P une probabilité sur Ω. Alors : (i) P( ) = 0 (ii) Pour tout A P(Ω), P(Ω \ A) = 1 P(A). Plus généralement, pour tout (A, B) P(Ω), si A B, alors P(B \ A) = P(B) P(A). (iii) Pour tout (A, B) P(Ω), P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Ainsi, si X est un ensemble, si (A 1,..., A n ) forment une partition de X, on a immédiatement : P(A) = n P(A i ) Une remarque importante : si P est une probabilité sur Ω, alors pour tout A P(Ω) : P(A) = P({a}) a A Autrement dit, il suffit de connaître P sur tous les événements élémentaires pour connaître complètement P. En pratique si on vous demande de donner une probabilité dans un devoir, il vous suffit de donner la probabilité de chaque événement élémentaire. Remarque: En fait, on essaie souvent de se passer de Ω en pratique. Lorsqu on connaît la probabilité de suffisamment d événements, on arrive à en déduire la probabilité de l événement qui nous intéresse sans devoir connaître complètement P ni Ω. 9

10 . Les univers de référence Voici les quatre situations les plus fréquentes, et l univers le plus adapté à chaque fois. Fixons (n, p) N. Nous allons tirer p éléments au hasard, et il y a n éléments possibles au total. Nous distinguons selon que l ordre compte ou pas, et selon que les répétitions sont autorisées ou pas...1 l ordre compte et les répétitions sont possibles Exemples: On tire n boules dans une urne les une après les autres, et remettant à chaque fois la boule tirée dans l urne avant le tirage suivant. L urne contient p boules. "tirage avec remise". On lance un dé de n faces p fois de suite. Soit U l ensemble des valeurs possibles (par exemple U = l urne). L univers est alors Ω = U p, de cardinal n p... L ordre compte, les répétitions sont impossibles Exemple: On tire n boules les unes après les autres dans une urne contenant p boules au départ. On ne remet pas la boule tirée. "tirage sans remise". L univers est Ω = { (b 1,..., b p ) U p } (i, j) 1, p tq i j, b i b j, de cardinal A n p = n.(n 1).(n )...(n p+1), n! qui vaut 0 si p > n et (n p)! sinon..3 Indépendance.3.1 Indépendance de deux événements Définition.4. Soit (A, B) deux événements. On dit qu ils sont indépendants lorsque : P(A B) = P(A) P(B) Remarque: Si P(B) > 0, ceci équivaut à dire que P(A B) = P(A) = P(A B), qui est peut-être plus intuitif. Exemple: On lance un dé de 1 faces. On note : A : "le résultat est multiple de " B : "le résultat est multiple de 3" C : "le résultat est multiple de 6" On constate que P(A) = 1/, P(B) = 1/3 et P(C) = 1/6. Par ailleurs A B = C. On voit alors que A et B sont indépendants, par contre, C n est ni indépendant de A, ni de B. Par exemple, on peut noter que P(C A) = 1/3 > P(C). Et P(C Ā) = 0 < P(C). Exercice : reprendre ceci pour un dé de Indépendance mutuelle Définition.5. Soit n N et A 1,..., A n des événements. On dit que A 1,..., A n sont mutuellement indépendants lorsque k 1, n, (i 1,..., i k ) 1, n k deux à deux distincts, on a P(A i1... A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ) 10

11 Par exemple, pour trois ensembles A, B, C, si on veut prouver que A, B, C sont mutuellement indépendant, il faut vérifier les quatre conditions suivantes : P(A B) = P(A) P(B) (i.e. A et B indépendants) P(A C) = P(A) P(C) (i.e. A et C indépendants) P(B C) = P(B) P(C) (i.e. B et C indépendants) et : P(A B C) = P(A) P(B) P(C). Les trois premières conditions signifient que A, B, C sont deux à deux indépendants : cela ne suffit pas pour déduire que P(A B C) = P(A) P(B) P(C)! Remarque: Par contre, si on sait que les événements sont deux à deux indépendants et que A est indépendant de B C, alors on peut faire le calcul suivant : P(A B C) = P(A (B C)) = P(A) P(B C) car A est indépendant de B C = P(A) P(B) P(C) car B et C sont indépendants Exemple: Un joueur de fléchette a une probabilité de 0,8 d atteindre la cible. On suppose tous ses lancers indépendants. Soit n N. Quelle est la probabilité qu il atteigne la cible n fois de suite..4 Probabilité conditionnelles Lorsque deux événements A et B sont indépendants, il est donc facile de calculer P(A B). Voyons à présent comment faire dans le cas de deux événements non indépendants. Remarque: En pratique, il faut savoir déterminer dans quelle situation il est plausible de supposer que les événements sont indépendants : ce n est pas toujours écrit dans l énoncé. Vous devez savoir prendre ce genre d initiatives. Cela fait partie de la "modélisation"..4.1 Définition Définition.6. Soit A un événement de probabilité strictement positive. Pour tout événement B, on définit la probabilité de B sachant A, notée P(B A) (ou P B (A)) ainsi : P(B A) = P(A B) P(A) On a donc P(A B) = P(A) P(B A). On a l habitude de représenter ce genre de situation par un arbre. Proposition.7. Soit B un événement de probabilité strictement positive. Alors P B est encore une probabilité sur Ω. On peut donc utiliser les propriétés générales des probabilités, comme P(Ā B) = 1 P(A B) etc Formule des probabilités totales Proposition.8. Soit A un événement tel que P(A) > 0 et P(Ā) > 0. Alors pour tout autre événement B : P(B) = P(B A) P(A) + P(B Ā) P(Ā) 11

12 Démonstration: Les événements B A et B Ā sont disjoints (incompatibles), et leur réunion vaut B. Autrement dit, B = (B A) (B Ā), ces deux événements forment une partition de B. Par conséquent : P(B) = P(B A) + P(B Ā) = P(B A) P(A) + P(B Ā) P(Ā) définition de P(B A) et de P(B Ā) Sur un arbre ceci s interprète ainsi : P(B) est la somme des probabilités de tous les chemins qui aboutissent à B. On peut généraliser à une situation présentant plus de deux alternatives : Proposition.9. Soit n N et A 1,..., A n un système complet d événements (i.e. une partition de Ω). On suppose que pour tout i 1, n, P(A i ) > 0. Alors pour tout événement B : P(B) = n P(B A i ) P(A i ) Ceci a toujours la même interprétation sur un arbre, simplement il y a plus que deux branches dans le premier étage. En résumé cette formule s utilise dès qu on dispose d un système complets d événements, i.e. dès qu on peut distinguer plusieurs alternatives dont on sait qu une et une seule est toujours réalisée..4.3 Formule des probabilités composées La formule P(B A) = P(B A).P(A) découle immédiatement de la définition de P(B A). Elle correspondant à la probabilité d une branche dans un arbre à deux étages. Nous pouvons la généraliser très facilement pour un arbre à plus d étages, i.e. pour calculer la probabilité de l intersection de plus que deux événements. Proposition.10. Soient n N et A 1,..., A n n événements. Alors : n P( A i ) = n P(A i A 1 A i 1 ) D un point de vue sylviculture : ici on suit une longue branche dans l arbre. Exemple: On tire 4 cartes dans un jeu de 3. Quelle est la probabilité d avoir à chaque fois un cœur? Utilisation classique : plusieurs tirages successifs sans remise. Plus généralement, on effectue une suite d action, le résultat de chacune influe sur la probabilité de la suivante..5 Formule de Bayes N.B. Étant donnés deux événements A et B tels que P(A) > 0 et P(B) > 0, il y a deux probabilités conditionnelles P(A B) et P(B A). Celles-ci peuvent donner lieu à deux arbres différents. L arbre qui utilise P(A B) est l arbre où on regarde d abord si l événement B est réalisé. L arbre correspondant à P(B A) est l arbre où on regarde A en premier. La formule suivante, formule de Bayes, sert à "inverser" une probabilité conditionnelle : si on connaît P(A B), on pourra en déduire P(B A). cf exercice: 19 Le calcul est évident : soient A et B deux événements tels que P(A) > 0 et P(B) > 0, alors : P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) 1

13 D où : P(A B) = P(A) P(B A). P(B) Maintenant, si on dispose de tout un système complet d événements A 1,..., A n, alors pour tout j 1, n : (par la formule des probabilités totales) cf exercice: 1 P(A j B) = P(A j) P(B A j ) P(B) = P(A j) P(B A j ) n P(B A i ).P(A i ) Deuxième partie Exercices 13

14 Exercices : probabilités 1 Dénombrements Exercice 1. *! cardinal d une intersection triple Soit E un ensemble, soit (A, B, C) P(E) 3 trois parties finies. Calculer Card(A B C) en fonction des cardinaux de A, B, C et des intersections A B, A C, B C, A B C. Exercice. **! ensembles finis et image directe et réciproque Soient E et F deux ensembles, et f F (E, F). Soit (A, B) P(E) P(F). Est-il vrai que : 1) A fini f (A) fini? ) f (A) fini A fini? 3) B fini implique f 1 (B) fini? 4) f 1 (B) fini implique B fini? Exercice 3. *** principe des tiroirs 1) Soit a R +, et T un triangle équilatéral de longueur de côté a. Soient A 1,..., A 5 cinq points dans T. Montrer qu au moins deux de ces points sont à distance inférieure à a/. ) (approximation d un réel par un rationnel) Soit x R. Soit n N. Montrer qu il existe (p, q) Z N tel que x p q 1 qn. 3) Soient (x 1,..., x 7 ) R 7. Montrer qu il existe (i, j) 1, 7 tel que i j et 0 x i x j 1 + x i x j 1 3. Exercice 4. *** nombre de fonctions strictement croissantes entre deux ensembles finis Soit (n, p) N. Combien y-a-t-il de fonction strictement croissantes de 1, p dans 1, n? Exercice 5. *** Formule de Vandermond ( ( ) p 1) Soit (n, p, q) N 3 q. Démontrer :. = k) n k k=0 ( ) n ) En déduire. k k=0 Modélisation ( ) p + q. n Exercice 6. *! Un exemple de chaque type basique d univers Calculer les probabilités suivantes. Écrire proprement si l ordre compte, si les répétitions sont autorisée, donner l univers et son cardinal. Parmi les exemples ci-dessous, il y a un exemple de chaque type d univers de référence. 1. Boules et dés : (a) On lance deux dés à 6 faces. Quelle est la probabilité que le premier donne un résultat pair, et le second un résultat impair? (b) On lance deux dés à 6 faces. Quelles est la probabilité qu un l un d eux au moins donne 1? (c) Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire deux boules sans remise. Quelles est la probabilité que la somme des nombres indiqués vaille 3? (d) Même question avec remise. Comparer le résultat avec celui de la question précédente. (e) Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité que la seconde donne un de plus que la première? 1

15 (f) même question avec remise.. Autres (**) : (a) M. X pêche dans un lac dont on note n le nombre de poissons. Quelle est la probabilité que le second soit plus grand que le premier? (b) Mme P. a trois couleurs de vernis à ongle qu elle utilise aléatoirement sur chaque doigt. Quelle est la probabilité que sa main droit soit d une seule couleur? (c) M. Z corrige 4 copies. Quelle est la probabilité que deux copies consécutives aient la même note (sur 0)? (d) On choisit deux élèves dans la classe. Quelle est la probabilité qu il s agisse de deux élèves du même sexe? Exercice 7. ** Le paradoxe des deux enfants 1) M. Jones a deux enfants, l Aînée est une fille. Quelle est la probabilité que le second soit aussi une fille? ) M. Smith a deux enfants, l un d eux est une fille. Quelle est la probabilité que le second soit aussi une fille? 3) (bonus) Si on prend en compte le fait que la probabilité qu un enfant ait un frère (ou une sœur) vrai jumeau est de 0, 008, que deviennent ces résultats? Exercice 8. *** Raisonnement douteux sur un lancer de pièces On lance trois pièces. 1) Quelle est la probabilité que les trois pièces tombent du même côté? ) M. X propose le raisonnement suivant : "Sur les trois pièces, il y en toujours au moins deux qui sont tombés sur le même côté. Ensuite, il y a une chance sur deux que la dernière soit du même côté que les deux premières. Au final, cela fait une chance sur deux d avoir trois pièces du même côté." Qu en pensez-vous? 3 Calculs élémentaires de probabilité Exercice 9. * manipulation élémentaire d une mesure de probabilité Soit Ω un univers muni d une mesure de probabilité P, et (A, B) P(Ω). On suppose P(A) = 0, 6 et P(B) = 0, 5. Montrer que 0, 1 P(A B) 0, 5. Exercice 10. * probabilité d un et un seul événement Soit Ω un univers muni d une mesure de probabilité P, et (A, B) P(Ω). Exprimer la probabilité qu un et un seul de ces deux événements se réalise en fonction de P(A), P(B), et P(A B). Exercice 11. ** un petit paradoxe classique Vous participez au jeu suivant : devant vous sont trois boîtes, deux sont vides, la troisième contient un lot. Vous choisissez une boîte au hasard. Ensuite, le meneur du jeu ouvre l une des deux boîtes restantes, qui est vide. Il vous laisse alors la possibilité, si vous le souhaitez, de changer d avis et de choisir une autre boîte. Avez-vous intérêt à rester sur votre choix, à changer de boîte, ou est-ce que les deux choix sont équivalents? Exercice 1. ** tirage de boules Soit n N. Une urne contient 3 boules noires, rouges, et n blanches. On tire au hasard deux boules. 1) Calculer la probabilité d obtenir deux boules de la même couleur. ) Quelle est la limite de cette probabilité lorsque n? Était-ce prévisible? 3) Déterminer n pour que la probabilité d obtenir boules blanches soit 1/6.

16 Exercice 13. ** loterie Une loterie émet 500 billets, dont sont gagnants. Combien de billets faut-il acheter pour avoir au moins une chance sur deux de gagner? Exercice 14. ** circuit RLC On dispose de 6 résistances de 1,,3,4,5 et 6 ohms, de 6 bobines de 1,,3,4,5 et 6 henry. On lance deux dés à 6 faces, et on branche la résistance, la bobine correspondante, et on ajoute un condensateur de capacité 1 Farad (le tout en série). Quelle est la probabilité que le circuit obtenu présente des oscillations? Qu il soit en régime critique? Exercice 15. ** coefficients binomiaux Soit n N. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. 1) Soit p N. On tire p boules dans l urne. a) Soit k p, n, et A k l événement "le plus grand numéro tiré est k". Calculer P(A k ). b) En déduire que ( ) ( n k 1 n k=p =. p 1 p) ) Soit p N. On tire p boules successivement. Déterminer la probabilité que le numéro sur la dernière boule soit supérieur à ceux des p 1 boules précédentes. Exercice 16. *** poker On considère un jeu de cartes, on note n son nombre de cartes. On tire 5 cartes au hasard. Calculer la probabilité d un full puis d une couleur. Faire l application numérique lorsque n = 3 puis n = 5. Exercice 17. ** Paradoxe des anniversaires Soit n N. On considère un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour? À partir de quelle valeur de n est-ce cette probabilité est > 0.9? 4 Probabilités conditionnelles Exercice 18. ** Deux méthodes : probabilités conditionnelles ou dénombrement Un tiroir contient 3 paires de chaussettes (séparées). On tire trois chaussettes au hasard, quelle est la probabilité de pouvoir reconstituer une paire? 1) Résoudre le problème par dénombrement. ) Résoudre le problème en calculant la probabilité de l événement contraire grâce à la formule des probabilités composée. Exercice 19. *! dépistage médical : le grand classique du bac On dispose d un test de dépistage pour une certaine maladie. On considère un individu A. ON note : M l événement "A est malade" S l événement "A est sain" + l événement "le test est positif" l événement "le test est négatif" Les probabilités suivantes sont connues des médecins : P(M), P(+ M) et P(+ S ). 1) Exprimer P(M +) en fonction de ces trois probabilités. ) Application numérique : Prenons P(M) = 0, 001, P(+ M) = 0, 95 et P(+ S ) = 0, 03. Calculer alors la probabilité qu une personne dont le test est positif soit effectivement malade. 3) De même calculer la probabilité d être sain lorsque le test est négatif, et donner l application numérique. 3

17 Exercice 0. ** tirage de cartes Dans un jeu de 5 cartes, on commence par en enlever 10. Ensuite on tire une carte parmi celles qui restent. Quel est la probabilité d obtenir le roi de cœur? Exercice 1. ** où les arbres montrent leur limites On lance un dé de 10. Ensuite, si n est le résultat obtenu, on lance n dés de 6 et on additionne les résultats. 1) Quelle est la probabilité d obtenir 4? ) Quelle est l espérance du résultat? 3) On a obtenu 4. Quelle est le résultat du premier dé le plus probable? Calculer exactement cette probabilité. Exercice. ** ouvrir une porte en essayant les clés au hasard M. X veut ouvrir une porte mais a oublié quelle est la bonne clé. Il utilise donc l une après l autre, au hasard, chacune des clés à sa disposition. On note n le nombre de clés dont il dispose. On suppose qu il y a une et une seule bonne clé, et que M. X n essaie jamais deux fois la même clé. 1) Quelle est la probabilité que M. X n arrive à ouvrir la porte qu à sa dernière tentative? ) PLus généralement, on note X la variable aléatoire donnant le nombre de tentatives nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. 5 Indépendance Exercice 3. ** indépendance et opérations 1) Soit A un événement. A est-il indépendant de A? Et de Ā? ) Soit (A, B) deux événements. Montrer que A et B sont indépendants si et seulement si Ā et B le sont. 3) Soient (A, B, C) trois événements mutuellement indépendant. Montrer que A est indépendant de B C. Ceci reste-il vrai en supposant seulement que A, B, C sont deux à deux indépendants? Exercice 4. *! n événements de probabilité 1/n Lors d une morsure de tique, on a une chance sur 10 de contracter la maladie de Lime. Une personne a été mordue 10 fois, quelle est la probabilité qu elle contracte la maladie? On supposera que les événements "contracter la maladie lors de la ième morsure", pour i 1, 10 sont indépendants. Exercice 5. ** avec pile ou face Soit n N. On lance n pièces équilibrés. On note A l événement "on obtient face au plus une fois" et B l événement "on obtient face au moins une fois et pile au moins une fois" Montrer qu il existe une seule valeur de n pour laquelle A et B sont indépendants. 4

18 Quelques indications 3 1) découper T en quatre triangle équilatéraux de longueur de côté a/. ) considérer les n ensembles [0, 1/n[,..., [ n 1, 1[ et les n + 1 nombres 0, x E(X), x E(x),..., nx E(nx). n 3) Utiliser la formule pour tan(a b). Considérer les 6 ensembles [0, π 6 [+πz, [ π 6, π 6 [+πz,..., [ 5π 6, 6π 6 [+πz. 4 Vérifier que choisir une telle fonction revient à choisir son image, i.e. une partie de 1, n de cardinal p 5 Interpréter à l aide de parties d un ensemble de cardinal p + q On trouvera P(A) + P(B) P(A B). 11 Pour chacune des stratégies "rester sur son choix" ou "changer d avis" calculer la probabilité de gagner. 1 1) L événement "deux boules de la même couleur" peut être partitionné en "deux boules noires", "deux boules rouges", ou "deux boules blanches" (i.e. ces trois événements forment un système complet d événements pour "deux boules de la même couleur"). 13 Passer par l événement contraire : "perdre" signifie que les n billets achetés sont tous parmi les 498 billets perdant Pour le full : choisir la hauteur de la paire, la hauteur du brelan, et enfin, les cartes constituant cette paire et ce brelan. Pour la couleur : choisir la couleur, puis les cartes. 17 Étudier l événement contraire. On pourra utiliser la formule des probabilités composées, ou directement la formule des arrangements. 19 Ce n est rien d autre que la formule de Bayes. 1 On peut dessiner un arbre, mais il faudra au moins 14 branches. Il est plus simple d écrire la formule des probabilités totales. Pour tout i 1, n, noter A i l événement "ouvrir la porte à la ième tentative". C est la formule des probabilités composées. 3 3) pour la deuxième question : reprendre le contre-exemple du cours. 4 Étudier l événement contraire. 5 Pour calculer P(B), passer par B. 5

19 Quelques solutions 3 4 ( ) n p (a) Ordre et répétitions autorisées. Prenons Ω = 1, 6, que nous munissons de la probabilité uniforme. On a Card(Ω) = Card( 1, 6 ) = 36. Notons A l événement "le premier dé donne un résultat pair, et le second un résultat impair". Cet événement correspond à l ensemble {, 4, 6} {1, 3, 5} (l ensemble des couples dont le premier élément est pair, et le second impair). On a Card(A) = Card({, 4, 6}) Card({1, 3, 5}) = 9. (Cardinal d un produit cartésien.) Alors P(A) = Card(A) Card(Ω) = 9 36 = 1 4. Remarque: On pouvait aussi appeler X l événement "le premier dé donne un résultat pair", et Y : "le second dé donne un résultat impair". Il est raisonnable de supposer que les deux lancers de dé sont indépendants, donc P(A) = P(X Y) = P(X) P(Y). Et on constate rapidement que P(X) = 1 = P(Y). (b) Ici les répétitions sont autorisées, et l ordre n est pas important. Cependant, il n y a pas d univers correspondant exactement à ce cas : nous sommes obligés de prendre quand même l ordre en compte. Nous appellerons un des deux dés le premier, et l autre le second, et nous prenons Ω = 1, 6, que nous munissons de la mesure uniforme. Soit B l événement "un des deux dés au moins donne 1". En terme d ensemble, B s écrit ainsi : B = {(1, 1), (1, ),..., (1, 6), (, 1), (3, 1),..., (6, 1)} son cardinal est = 11. (Ne pas compter le (1, 1) deux fois!) Ainsi, P(B) = (c) Pas d ordre, pas de répétitions : nous sommes avec des combinaisons. Notons U l urne, et prenons Ω = P (U). Donc ( Card(U) Card(Ω) = ) = ( ) 6 = 6 5 = 15. L événement étudié correspond à l ensemble {{1, }}, de cardinal 1. Sa probabilité est donc (d) Pas d ordre, répétition. On est donc obligé de compter l ordre, i.e. de considérer qu une des deux boules est tirée avant l autre. Nous prenons Ω = 1, 6, de cardinal 36. L événement étudié est {(1, ), (, 1)}, de cardinal. Donc la probabilité cherchée est 36 = Remarque: La probabilité est donc plus faible avec remise que sans. (e) Ordre et pas de répétition : nous sommes avec des arrangements. Prenons Ω = { (a, b) 1, 6 } a b, dont le cardinal est A 6 = 6 5 = 30, et que nous munissons de la probabilité uniforme. L événement étudié correspond à l ensemble {(1, ), (, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}, de cardinal 5, donc sa probabilité est 5/30 = 1/6. (a) Remarque: On se doute bien que la réponse est 1... Mais si on veut donner une modélisation complète, il faut travailler un peu. Par ailleurs, il semble rationnel de supposer qu il n y a pas deux poissons qui ont exactement la même taille. Ordre { et pas de répétions : arrangements. Notons L l ensemble des poissons du lac, donc CardL = n. Prenons Ω = (a, b) L } a b (l ensemble des couples de deux poissons distincts), de cardinal A n = n.(n 1). Notons p 1,..., p n les n poissons du lac, triés du plus petit au plus grand. Notons A l événement étudié. Nous pouvons partitionner A ainsi : pour tout i 1, n, soit A i l événement "le premier poisson péché est p i, et le suivant est dans l ensemble {p i+1,..., p n }". Formellement, A i = {p i } {p i+1,..., p n }, et plus simplement A i = {(p i, p i+1 ), (p i, p i+ ),..., (p i, p n )}. n i L événement A i est de cardinal n i, et donc de probabilité n.(n 1). Les événements A 1,..., A n forment un système complet d événements pour A, donc : P(A) = n P(A i ) = n n i n.(n 1) = 1 n(n 1) n (n i) 6

20 Une petite astuce est possible pour simplifier le calcul de n (n i) : en fait c est juste la somme des n premiers entiers, mais écrite du plus grand au plus petit : n (n i) = n + (n 1) + (n = (n 1) + (n ) = n i = i=0 n(n + 1) Et finalement, P(A) = 1 n(n + 1) = 1 n(n + 1). (b) Ordre et répétitions, il s agit de 5-uplets (ou 5-listes). Notons a, b, c les trois couleurs de vernis de Mme. P.. Prenons Ω = {a, b, c} 5. Par exemple le 5-uplet (a, a, b, a, c) signifie que le premier doigt est de la couleur a, le second de la couleur a, le troisième de la couleur b, etc... Le cardinal de Ω est 3 5. L événement étudié est {(a, a, a, a, a), (b, b, b, b, b), (c, c, c, c, c)}, de cardinal 3, et donc de probabilité = = (c) Ordre et répétitions. Notons E = {0, 1, 1, 3,..., 0} l ensemble des notes possibles. On a Card(E) = 1. Prenons Ω = E 4, de cardinal 1 4. Soit A l événement étudié, donc Ā est l événement "aucune copie n a la même note que la précédente". Calculons Card(Ā). Pour choisir un élément de Ā, il y a 1 choix pour la première note. Puis 0 choix pour la seconde (ne pas reprendre la même que la première). Puis encore 0 choix pour la troisième etc... Finalement cela donne = choix possibles. ( ) 41 Donc P(Ā) = = ( ) 41 0 Et P(A) = 1 P(Ā) = 1. 1 ( ) Card(C) (d) Ni ordre, ni répétitions : combinaisons. Notons C l ensemble des élèves et Ω = P (Ω). Donc Card(Ω) = = ( ) = = Soit A l événement étudié. Il se partitionne en deux événements : A 1 : "on a tiré deux filles" et A : "on a tiré deux garçons". Sachant qu il y( a ) 15 filles et 7 garçons dans ( la) classe, Card(A ) est le nombre de manières de tirer deux 15 7 filles parmi ces 15, c est = Et Card(A 1 ) = = Au finale, P(A) = P(A 1 ) + P(A ) = ) On modélise par l univers Ω = {P, F} 3, en pensant que P représente pile, et F face. On a Card(Ω) = 8. On munit Ω de la probabilité uniforme. l événement étudié est {(P, P, P), (F, F, F)} de cardinale. Donc sa probabilité est 8 = 1 4. ) L événement "la troisième pièce est du même côté que les deux premières" est mal défini! Tout simplement car les trois pièces peuvent être du même côté, auquel cas laquelle serait la troisième, lesquelles les deux premières? Donc cet événement n existe pas, sa probabilité non plus, et tout raisonnement l utilisant itou! tentative de corriger le raisonnement : On pourrait numéroter les trois pièces, et étudier les 3 événements : A 1 : "les pièces et 3 sont du même côté", A : "les pièces 1 et 3 sont du même côté" et A 3 : "les pièces 1 et sont du même côté". Alors effectivement, l un de ces trois événements au moins est toujours réalisé : A 1 A A 3 = Ω. Notons X l événement cherché, à savoir que les trois pièces sont du même côté. Il alors exact que pour tout i 1, 3, P(X A i ) = 1/. Mais après? 7

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