Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Probabilités. C. Charignon. I Cours 3"

Transcription

1 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements Cardinal Définition Cardinal d une réunion Cardinal d un produit cartésien Cardinaux classiques p-listes Fonctions injectives de F dans E / Arrangements Parties de E Combinaisons : parties de E à p éléments Ensembles de même cardinal Probabilités 8.1 Vocabulaire élémentaire L univers et les événements Opérations sur les ensembles et interprétation pour les événements Mesure de probabilité Les univers de référence l ordre compte et les répétitions sont possibles L ordre compte, les répétitions sont impossibles Indépendance Indépendance de deux événements Indépendance mutuelle Probabilité conditionnelles Définition Formule des probabilités totales Formule des probabilités composées Formule de Bayes II Exercices 13 1 Dénombrements 1 Modélisation 1 3 Calculs élémentaires de probabilité 1

2 4 Probabilités conditionnelles 3 5 Indépendance 4

3 Première partie Cours Les probabilités présentent beaucoup de vocabulaire spécifique, mais la plupart des résultats sont très simples. En fait toute la difficulté est de transformer une question posée en termes vagues (ex : un parachute a fonctionné 10 fois de suite, quelle est la probabilité qu il fonctionne une 11ème fois? 1 ) en une véritable assertion mathématique. Autrement dit, la plus grosse part du travail en probabilité est la modélisation. Une fois défini le bon ensemble muni de la bonne probabilité, le calcul du résultat peut être très simple. 1 Dénombrements 1.1 Cardinal Définition Définition 1.1. Soit E un ensemble et n N. On dit que E est de cardinal n lorsqu il existe une fonction φ : 1, n E qui soit bijective. On note alors n = Card(E) (ou n = #E, ou n = E ). Lorsqu il existe n N tel que E est de cardinal n, on dit que E est un ensemble fini. Remarques: Card( ) = 0 Une telle fonction φ permet de compter les éléments de E : Penser que φ(1) est le premier éléments compté, φ(n) le dernier. Quand on compte les éléments de E, il ne faut pas oublier d élément : φ doit être surjective. Et il ne faut pas en compter un deux fois : c est pourquoi φ doit être injective. La fonction φ s appelle une énumération de E. Exercice : Si E est de cardinal n, il y a n! énumérations possible de E. Pour calculer le cardinal d un ensemble E en toute rigueur, il faut donc définir une bijection de 1, n vers E, ce qui peut être très long et compliqué. En accord avec le programme officiel, on pourra souvent sauter les preuves et s en tenir à une vision "intuitive". Si E est un ensemble fini, on peut toujours écrire : "soit n = Card(E) et soient x 1,..., x n les éléments de E". En effet, ceci revient à choisir l énumération φ : i x i Cardinal d une réunion Définition 1.. Soient E un ensemble et (A, B) P(E). On dit que A et B sont disjoint lorsque A B =. Proposition 1.3. (union disjointe) Soient A et B deux ensembles disjoints. Alors Card(A B) = Card(A) + Card(B). (théorème admis) Proposition 1.4. (cardinal du complémentaire) Soit E un ensemble fini et A P(E). Alors : Card(C E (A)) = Card(E) Card(A). Lorsque A et B sont des ensembles pas forcément disjoints, on déduit : 1. l auteur ignore la réponse à cette question, et ignore si une réponse existe. 3

4 Proposition 1.5. (union quelconque) Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) Exemple: Dans une classe de 44 élèves, 40 font de l anglais et 15 de l espagnol. Combien y a-t-il au maximum et au minimum d élèves qui étudient deux langues? Plus généralement : Définition 1.6. (partition) Soit E un ensemble, n N, et (A 1,..., A n ) P(E) n. On dit (A 1,..., A n ) forment une partition de E lorsque : E = n A i (i, j) 1, n tel que i j, A i A j = Exemple: Lorsqu on dit "Le monde se divise en deux catégories : ceux qui ont un pistolet chargé et ceux qui creusent.", cela sous-entend que l ensemble des personnes ayant un pistolet chargé et l ensemble des personnes qui creusent forme une partition de l univers. Proposition 1.7. (cardinal d une partition) Soit E un ensemble, n N, et (A 1,..., A n ) une partition de E. Alors : Card(E) = n Card(A i ) Exemple: Soit n N. On tire au hasard un nombre k entre 1 et n. Puis on tire un nombre l entre 1 et k. Combien y-a-t-il de couples (k, l) de résultat possible? Cardinal d un produit cartésien Proposition 1.8. Soient A et B deux ensembles finis. Alors : Card(A B) = Card(A) Card(B) Remarque: C est la raison pour laquelle le produit cartésien est noté par le symbole. Exemple: On lance un dé de 1 et un dé de 6. Notons Ω l ensemble des résultats possible, c est l ensemble des couple formé de entier de 1, 1 et un entier de 1, 6 : et donc Card(Ω) = 1 6 = 7. Ω = {(a, b) a 1, 1, b 1, 6 } = 1, 1 1, 6 1. Cardinaux classiques On fixe un ensemble fini E et on note n = Card(E). 4

5 1..1 p-listes Par une récurrence immédiate, on obtient : Proposition 1.9. Soit p N. Alors Card(E p ) = n p. Exemples: On lance p dés à n faces, en tenant compte de l ordre (on distingue le premier dé, le second, etc...). Alors l ensemble des résultats possibles est 1, n p, de cardinal n p. Un octet contient 8 bits, chaque bit prend une valeur dans {0, 1}. Combien y-a-t-il d octets différents? Un élément de E p est une suite (x 1,..., x p ) de p éléments de E. On l appelle un p-uplet. (type "tuple" en python : les anglais utilisent la lettre t au lieu de p.) On dit parfois une "p-liste". N.B. Dans un p-uplet, l ordre compte : par exemple le 5-uplet (1,, 3, 4, 5) n est pas le même que (1, 3, 4, 5, ). Choisir un p-uplet d éléments de E signifie choisir p éléments de E, en comptant l ordre, et en autorisant les répétitions. Typiquement : E pourrait être un ensemble de boules, et on tire p fois une boule dans E, en remettant à chaque fois la boule tirée dans E ("avec remise"). E p représente l ensemble des tirages possibles en comptant l ordre et avec remise. Remarque: choisir p éléments dans E revient à choisir une fonction f de 1, p dans E (le premier élément choisi est f (1), le second f (),...). On a donc Card(F ( 1, p, E) = n p. Plus généralement, si F est un ensemble fini quelconque, Card(F (F, E)) = Card(E) Card(F). Exemple: Une interro est notée sur 5, ce qui fait 10 notes possibles compte tenu des demi-points. Il y a 43 élèves. Combien y-a-t-il de possibilités pour la fonction "note" qui à chaque élèves associe sa note? 1.. Fonctions injectives de F dans E / Arrangements Proposition Soit p N. Le nombre de p-uplets de E formés d éléments deux à deux distincts est : n (n 1) (n p + 1) = 0 si p > n n! p! sinon En particulier, si n = p, alors c est n!. N.B. Il s agit du nombre de manières de choisir p éléments de E, en comptant l ordre, sans répétition. Ceci s appelle un p-"arrangement" de E, et se note A n p (terme et notation pas au programme, mais presque). Dans le cas p = n, nous prenons donc tous les éléments de E. Il s agit juste de choisir dans quel ordre. Ainsi, le nombre de moyens d ordonner les éléments de E est n!. Exemple: On dispose des lettres "A,V,C,E,R,Y,Z" au scrabble. Combien de mots peut-on former? (Pas forcément des mots figurant au dictionnaire.) On rappelle que choisir un p-uplet d éléments de E revient à choisir une fonction f de 1, p (ou de tout autre ensemble F de cardinal p) vers E. Le fait de choisir ces éléments deux à deux distincts revient à prendre une fonction injective. Donc le nombre de fonctions injectives de 1, p dans E est 0 si p > n, et A p n = n! p! sinon. Exemple: Paradoxe des anniversaires. Remarque: Le nombre d énumérations d un ensemble de cardinal E est donc n!, puisqu il s agit du nombre de bijections entre 1, n et E. D un autre point de vue, c est le nombre de manière qu il y a d ordonner E (important en pratique). 5

6 1..3 Parties de E Proposition Soit E un ensemble de cardinal fini et n = Card(E). Le nombre de parties de E (i.e. de sousensembles de E) est n. En effet, choisir un sous-ensemble X de E revient à choisir une fonction f : E {0, 1}, en considérant que pour tout x E, f (x) = 1 si x X, f (x) = 0 sinon. Autrement dit, f = 1 X. De manière formelle, il faut vérifier que l application suivante est bijective : φ : P(E) F (E, {0, 1}) X 1 X Exemple: On dispose de poires, bananes, oranges, pommes, melon. Combien de salades de fruits différentes peuton préparer? 1..4 Combinaisons : parties de E à p éléments Définition 1.1. Pour tout p N, on note P p (E) l ensemble des parties de E contenant p éléments. N.B. Dans une partie de E, l ordre ne compte pas. Ainsi, si E = 1, 6, les parties {1,, 3} ou {3, 1, } sont les mêmes. On rappelle que si X P p (X), il y a p! ordres possibles sur les éléments de X, autrement dit il y a p! manière d écrire le même ensemble. Pour reprendre l exemple ci-dessus : {1,, 3} = {1, 3, } = {3, 1, } = {3,, 1} = {, 3, 1} = {, 1, 3}. Proposition Soit p N. Alors : Card(P p (E)) = n.(n 1)... (n p + 1) p! ( n = p) Exemple: Un glacier propose 13 parfums. Combien y-a-t-il de coupes trois boules possibles? (Le serveur ne vous permet pas de choisir l ordre des boules dans la coupe, et on ne prendra pas deux fois le même parfum.) Interprétation combinatoire des formules sur les coefficients binomiaux : 1.3 Ensembles de même cardinal Proposition (lien avec l inclusion) Soient A et B deux ensembles finis tels que A B. Alors : Card(A) Card(B) Si Card(A) = Card(B), alors A = B. Proposition Soient A et B deux ensembles finis et f F (A, B). Si f est injective, alors Card(A) Card(B) Si f est surjective, alors Card(A) Card(B) Si f est bijective, alors Card(A) = Card(B) N.B. La contraposée est intéressante. Par exemple la contraposée de (i) : si Card(A) > Card(B), alors il n existe pas de fonction injective de A vers B. Ce principe s appelle le principe des tiroirs, car on peut l illustrer ainsi : soit A un ensemble d objets et B un ensemble de tiroir. On désire ranger chaque objet dans un tiroir, en mettant au plus un objet par tiroir. Ceci revient à déterminer une fonction f : A B injective. Et bien si le nombre d objet est strictement supérieur au nombre de tiroirs, c est impossible. cf exercice: 3. 6

7 Proposition (fonction entre ensemble finis de même cardinal) Soient A et B deux ensembles finis et f F (A, B). On suppose que Card(A) = Card(B). Alors les assertions suivantes sont équivalentes : f est injective f est surjective f est bijective 7

8 Probabilités.1 Vocabulaire élémentaire.1.1 L univers et les événements Lorsqu on veut étudier une expérience aléatoire, on commence par choisir les "événements élémentaires". La seule règle est la suivante : il faut être sûr qu à chaque expérience, un et un seul de ces événements élémentaires se produit. L ensemble de ces événements sera noté Ω. Définition.1. On fixe un ensemble Ω, qui sera appelé "l univers". Tout sous-ensemble de Ω sera appelé un événement. Un singleton sera appelé un événement élémentaires. Si on veut insister, un événement non élémentaire pourra être appelé événement composé. Remarque: En seconde année on verra des situations plus compliquées où toutes les parties de ω ne seront pas des événements. Exemple: On lance deux dés, et on se demande combien vaudra leur somme. On peut prendre pour Ω l ensemble de tous les couples de deux chiffres entre 1 et 6 : Ω = {(1, 1), (1, ),..., (1, 6), (, 1),..., (1, 6),..., (6, 6)} (on a Card(Ω) = 36.) On s imaginera que le premier nombre représente le résultat du premier dé, le second chiffre le résultat du second dé. Mais on pourrait tout aussi bien prendre : Ω = {, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1} On imagine alors que chacun de ces nombres représente la somme des résultats indiqués par les deux dés. Ou pourquoi pas : Ω = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 1, 0, 34} mais dans ce cas, il y a des événements qui ne seront en réalité jamais réalisés. Cet univers est donc inutilement compliqué. Gardons le premier choix pour Ω. Un événement composé peut être A ="la somme des dés vaut 4". On constate qu il y a 3 événements élémentaires qui aboutissent à l événement A. L objet mathématique qu on appellera l événement A sera l ensemble de ces trois événements élémentaires : A = {(1, 3), (, 3), (3, 1)}.1. Opérations sur les ensembles et interprétation pour les événements Soit (A, B) P(Ω) représentant deux événements qu on note encore A et B. Alors : A B représente l événement "A et B". A B représente l événement "A ou B". Ω \ A représente l événement "non A" i.e. "A n est pas réalisé". On note aussi Ā. Lorsque A B =, i.e. les deux ensembles sont disjoints. On dit que les événements A et B sont "incompatibles". Lorsque A B = et A B = Ω, i.e. les ensembles A et B forment une partition de Ω. Du point de vue des événements, on dit que les événements A et B sont un "système complet d événements". Plus généralement, soit n N et (A 1,..., A n ) P(Ω) n une famille d événements. Lorsque (i, j) 1, n tel que i j on a A i A j =, et n A i = Ω, i.e. que les ensembles (A 1,..., A n ) forment une partition de Ω, on dit que les événements A 1,..., A n forment un "système complet d événements". 8

9 Exemple: On tire deux dés. On modélise l expérience par l univers Ω = 1, n. Pour tout (a, b) Ω, a représente le résultat du premier dé et b le résultat du second. Si on pose pour tout i 1, 6 A i l événement "le premier dé a fait i". Du point de vue ensembliste, A i = {(i, 1), (i, ),..., (i, 6)}. Alors A 1,..., A 6 forment un système complet d événements..1.3 Mesure de probabilité À présent, on définit ce qu est une probabilité. Il s agit d associer à chaque élément un nombre entre 0 et 1 qui représente le nombre de fois moyen que cet événement se réalise. En gros, on espère avoir la formule suivante : P(A) = lim n nombre de fois que A a été réalisé sur n expériences. n Définition.. Une mesure de probabilité (ou plus simplement une probabilité) sur Ω est une fonction P : P(Ω) R +, qui a toute partie de Ω, i.e. à tout événement, associe un nombre positif tel que : Pour tout (A, B) P(Ω), si A et B sont disjoints, alors P(A B) = P(A) + P(B). P(Ω) = 1. Rappel : A et B sont dits disjoints lorsque A B =. Exemple: Soit P telle que A P(Ω), P(A) = Card(A) Card(Ω) Alors P est une probabilité. Elle s appelle la probabilité uniforme sur Ω. Lorsque dans le langage courant on dit "au hasard", on sous-entend souvent qu on utilise la probabilité uniforme. Proposition.3. Soit P une probabilité sur Ω. Alors : (i) P( ) = 0 (ii) Pour tout A P(Ω), P(Ω \ A) = 1 P(A). Plus généralement, pour tout (A, B) P(Ω), si A B, alors P(B \ A) = P(B) P(A). (iii) Pour tout (A, B) P(Ω), P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Ainsi, si X est un ensemble, si (A 1,..., A n ) forment une partition de X, on a immédiatement : P(A) = n P(A i ) Une remarque importante : si P est une probabilité sur Ω, alors pour tout A P(Ω) : P(A) = P({a}) a A Autrement dit, il suffit de connaître P sur tous les événements élémentaires pour connaître complètement P. En pratique si on vous demande de donner une probabilité dans un devoir, il vous suffit de donner la probabilité de chaque événement élémentaire. Remarque: En fait, on essaie souvent de se passer de Ω en pratique. Lorsqu on connaît la probabilité de suffisamment d événements, on arrive à en déduire la probabilité de l événement qui nous intéresse sans devoir connaître complètement P ni Ω. 9

10 . Les univers de référence Voici les quatre situations les plus fréquentes, et l univers le plus adapté à chaque fois. Fixons (n, p) N. Nous allons tirer p éléments au hasard, et il y a n éléments possibles au total. Nous distinguons selon que l ordre compte ou pas, et selon que les répétitions sont autorisées ou pas...1 l ordre compte et les répétitions sont possibles Exemples: On tire n boules dans une urne les une après les autres, et remettant à chaque fois la boule tirée dans l urne avant le tirage suivant. L urne contient p boules. "tirage avec remise". On lance un dé de n faces p fois de suite. Soit U l ensemble des valeurs possibles (par exemple U = l urne). L univers est alors Ω = U p, de cardinal n p... L ordre compte, les répétitions sont impossibles Exemple: On tire n boules les unes après les autres dans une urne contenant p boules au départ. On ne remet pas la boule tirée. "tirage sans remise". L univers est Ω = { (b 1,..., b p ) U p } (i, j) 1, p tq i j, b i b j, de cardinal A n p = n.(n 1).(n )...(n p+1), n! qui vaut 0 si p > n et (n p)! sinon..3 Indépendance.3.1 Indépendance de deux événements Définition.4. Soit (A, B) deux événements. On dit qu ils sont indépendants lorsque : P(A B) = P(A) P(B) Remarque: Si P(B) > 0, ceci équivaut à dire que P(A B) = P(A) = P(A B), qui est peut-être plus intuitif. Exemple: On lance un dé de 1 faces. On note : A : "le résultat est multiple de " B : "le résultat est multiple de 3" C : "le résultat est multiple de 6" On constate que P(A) = 1/, P(B) = 1/3 et P(C) = 1/6. Par ailleurs A B = C. On voit alors que A et B sont indépendants, par contre, C n est ni indépendant de A, ni de B. Par exemple, on peut noter que P(C A) = 1/3 > P(C). Et P(C Ā) = 0 < P(C). Exercice : reprendre ceci pour un dé de Indépendance mutuelle Définition.5. Soit n N et A 1,..., A n des événements. On dit que A 1,..., A n sont mutuellement indépendants lorsque k 1, n, (i 1,..., i k ) 1, n k deux à deux distincts, on a P(A i1... A ik ) = P(A i1 ) P(A ik ) 10

11 Par exemple, pour trois ensembles A, B, C, si on veut prouver que A, B, C sont mutuellement indépendant, il faut vérifier les quatre conditions suivantes : P(A B) = P(A) P(B) (i.e. A et B indépendants) P(A C) = P(A) P(C) (i.e. A et C indépendants) P(B C) = P(B) P(C) (i.e. B et C indépendants) et : P(A B C) = P(A) P(B) P(C). Les trois premières conditions signifient que A, B, C sont deux à deux indépendants : cela ne suffit pas pour déduire que P(A B C) = P(A) P(B) P(C)! Remarque: Par contre, si on sait que les événements sont deux à deux indépendants et que A est indépendant de B C, alors on peut faire le calcul suivant : P(A B C) = P(A (B C)) = P(A) P(B C) car A est indépendant de B C = P(A) P(B) P(C) car B et C sont indépendants Exemple: Un joueur de fléchette a une probabilité de 0,8 d atteindre la cible. On suppose tous ses lancers indépendants. Soit n N. Quelle est la probabilité qu il atteigne la cible n fois de suite..4 Probabilité conditionnelles Lorsque deux événements A et B sont indépendants, il est donc facile de calculer P(A B). Voyons à présent comment faire dans le cas de deux événements non indépendants. Remarque: En pratique, il faut savoir déterminer dans quelle situation il est plausible de supposer que les événements sont indépendants : ce n est pas toujours écrit dans l énoncé. Vous devez savoir prendre ce genre d initiatives. Cela fait partie de la "modélisation"..4.1 Définition Définition.6. Soit A un événement de probabilité strictement positive. Pour tout événement B, on définit la probabilité de B sachant A, notée P(B A) (ou P B (A)) ainsi : P(B A) = P(A B) P(A) On a donc P(A B) = P(A) P(B A). On a l habitude de représenter ce genre de situation par un arbre. Proposition.7. Soit B un événement de probabilité strictement positive. Alors P B est encore une probabilité sur Ω. On peut donc utiliser les propriétés générales des probabilités, comme P(Ā B) = 1 P(A B) etc Formule des probabilités totales Proposition.8. Soit A un événement tel que P(A) > 0 et P(Ā) > 0. Alors pour tout autre événement B : P(B) = P(B A) P(A) + P(B Ā) P(Ā) 11

12 Démonstration: Les événements B A et B Ā sont disjoints (incompatibles), et leur réunion vaut B. Autrement dit, B = (B A) (B Ā), ces deux événements forment une partition de B. Par conséquent : P(B) = P(B A) + P(B Ā) = P(B A) P(A) + P(B Ā) P(Ā) définition de P(B A) et de P(B Ā) Sur un arbre ceci s interprète ainsi : P(B) est la somme des probabilités de tous les chemins qui aboutissent à B. On peut généraliser à une situation présentant plus de deux alternatives : Proposition.9. Soit n N et A 1,..., A n un système complet d événements (i.e. une partition de Ω). On suppose que pour tout i 1, n, P(A i ) > 0. Alors pour tout événement B : P(B) = n P(B A i ) P(A i ) Ceci a toujours la même interprétation sur un arbre, simplement il y a plus que deux branches dans le premier étage. En résumé cette formule s utilise dès qu on dispose d un système complets d événements, i.e. dès qu on peut distinguer plusieurs alternatives dont on sait qu une et une seule est toujours réalisée..4.3 Formule des probabilités composées La formule P(B A) = P(B A).P(A) découle immédiatement de la définition de P(B A). Elle correspondant à la probabilité d une branche dans un arbre à deux étages. Nous pouvons la généraliser très facilement pour un arbre à plus d étages, i.e. pour calculer la probabilité de l intersection de plus que deux événements. Proposition.10. Soient n N et A 1,..., A n n événements. Alors : n P( A i ) = n P(A i A 1 A i 1 ) D un point de vue sylviculture : ici on suit une longue branche dans l arbre. Exemple: On tire 4 cartes dans un jeu de 3. Quelle est la probabilité d avoir à chaque fois un cœur? Utilisation classique : plusieurs tirages successifs sans remise. Plus généralement, on effectue une suite d action, le résultat de chacune influe sur la probabilité de la suivante..5 Formule de Bayes N.B. Étant donnés deux événements A et B tels que P(A) > 0 et P(B) > 0, il y a deux probabilités conditionnelles P(A B) et P(B A). Celles-ci peuvent donner lieu à deux arbres différents. L arbre qui utilise P(A B) est l arbre où on regarde d abord si l événement B est réalisé. L arbre correspondant à P(B A) est l arbre où on regarde A en premier. La formule suivante, formule de Bayes, sert à "inverser" une probabilité conditionnelle : si on connaît P(A B), on pourra en déduire P(B A). cf exercice: 19 Le calcul est évident : soient A et B deux événements tels que P(A) > 0 et P(B) > 0, alors : P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) 1

13 D où : P(A B) = P(A) P(B A). P(B) Maintenant, si on dispose de tout un système complet d événements A 1,..., A n, alors pour tout j 1, n : (par la formule des probabilités totales) cf exercice: 1 P(A j B) = P(A j) P(B A j ) P(B) = P(A j) P(B A j ) n P(B A i ).P(A i ) Deuxième partie Exercices 13

14 Exercices : probabilités 1 Dénombrements Exercice 1. *! cardinal d une intersection triple Soit E un ensemble, soit (A, B, C) P(E) 3 trois parties finies. Calculer Card(A B C) en fonction des cardinaux de A, B, C et des intersections A B, A C, B C, A B C. Exercice. **! ensembles finis et image directe et réciproque Soient E et F deux ensembles, et f F (E, F). Soit (A, B) P(E) P(F). Est-il vrai que : 1) A fini f (A) fini? ) f (A) fini A fini? 3) B fini implique f 1 (B) fini? 4) f 1 (B) fini implique B fini? Exercice 3. *** principe des tiroirs 1) Soit a R +, et T un triangle équilatéral de longueur de côté a. Soient A 1,..., A 5 cinq points dans T. Montrer qu au moins deux de ces points sont à distance inférieure à a/. ) (approximation d un réel par un rationnel) Soit x R. Soit n N. Montrer qu il existe (p, q) Z N tel que x p q 1 qn. 3) Soient (x 1,..., x 7 ) R 7. Montrer qu il existe (i, j) 1, 7 tel que i j et 0 x i x j 1 + x i x j 1 3. Exercice 4. *** nombre de fonctions strictement croissantes entre deux ensembles finis Soit (n, p) N. Combien y-a-t-il de fonction strictement croissantes de 1, p dans 1, n? Exercice 5. *** Formule de Vandermond ( ( ) p 1) Soit (n, p, q) N 3 q. Démontrer :. = k) n k k=0 ( ) n ) En déduire. k k=0 Modélisation ( ) p + q. n Exercice 6. *! Un exemple de chaque type basique d univers Calculer les probabilités suivantes. Écrire proprement si l ordre compte, si les répétitions sont autorisée, donner l univers et son cardinal. Parmi les exemples ci-dessous, il y a un exemple de chaque type d univers de référence. 1. Boules et dés : (a) On lance deux dés à 6 faces. Quelle est la probabilité que le premier donne un résultat pair, et le second un résultat impair? (b) On lance deux dés à 6 faces. Quelles est la probabilité qu un l un d eux au moins donne 1? (c) Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire deux boules sans remise. Quelles est la probabilité que la somme des nombres indiqués vaille 3? (d) Même question avec remise. Comparer le résultat avec celui de la question précédente. (e) Une urne contient 6 boules numérotées de 1 à 6. On tire deux boules sans remise. Quelle est la probabilité que la seconde donne un de plus que la première? 1

15 (f) même question avec remise.. Autres (**) : (a) M. X pêche dans un lac dont on note n le nombre de poissons. Quelle est la probabilité que le second soit plus grand que le premier? (b) Mme P. a trois couleurs de vernis à ongle qu elle utilise aléatoirement sur chaque doigt. Quelle est la probabilité que sa main droit soit d une seule couleur? (c) M. Z corrige 4 copies. Quelle est la probabilité que deux copies consécutives aient la même note (sur 0)? (d) On choisit deux élèves dans la classe. Quelle est la probabilité qu il s agisse de deux élèves du même sexe? Exercice 7. ** Le paradoxe des deux enfants 1) M. Jones a deux enfants, l Aînée est une fille. Quelle est la probabilité que le second soit aussi une fille? ) M. Smith a deux enfants, l un d eux est une fille. Quelle est la probabilité que le second soit aussi une fille? 3) (bonus) Si on prend en compte le fait que la probabilité qu un enfant ait un frère (ou une sœur) vrai jumeau est de 0, 008, que deviennent ces résultats? Exercice 8. *** Raisonnement douteux sur un lancer de pièces On lance trois pièces. 1) Quelle est la probabilité que les trois pièces tombent du même côté? ) M. X propose le raisonnement suivant : "Sur les trois pièces, il y en toujours au moins deux qui sont tombés sur le même côté. Ensuite, il y a une chance sur deux que la dernière soit du même côté que les deux premières. Au final, cela fait une chance sur deux d avoir trois pièces du même côté." Qu en pensez-vous? 3 Calculs élémentaires de probabilité Exercice 9. * manipulation élémentaire d une mesure de probabilité Soit Ω un univers muni d une mesure de probabilité P, et (A, B) P(Ω). On suppose P(A) = 0, 6 et P(B) = 0, 5. Montrer que 0, 1 P(A B) 0, 5. Exercice 10. * probabilité d un et un seul événement Soit Ω un univers muni d une mesure de probabilité P, et (A, B) P(Ω). Exprimer la probabilité qu un et un seul de ces deux événements se réalise en fonction de P(A), P(B), et P(A B). Exercice 11. ** un petit paradoxe classique Vous participez au jeu suivant : devant vous sont trois boîtes, deux sont vides, la troisième contient un lot. Vous choisissez une boîte au hasard. Ensuite, le meneur du jeu ouvre l une des deux boîtes restantes, qui est vide. Il vous laisse alors la possibilité, si vous le souhaitez, de changer d avis et de choisir une autre boîte. Avez-vous intérêt à rester sur votre choix, à changer de boîte, ou est-ce que les deux choix sont équivalents? Exercice 1. ** tirage de boules Soit n N. Une urne contient 3 boules noires, rouges, et n blanches. On tire au hasard deux boules. 1) Calculer la probabilité d obtenir deux boules de la même couleur. ) Quelle est la limite de cette probabilité lorsque n? Était-ce prévisible? 3) Déterminer n pour que la probabilité d obtenir boules blanches soit 1/6.

16 Exercice 13. ** loterie Une loterie émet 500 billets, dont sont gagnants. Combien de billets faut-il acheter pour avoir au moins une chance sur deux de gagner? Exercice 14. ** circuit RLC On dispose de 6 résistances de 1,,3,4,5 et 6 ohms, de 6 bobines de 1,,3,4,5 et 6 henry. On lance deux dés à 6 faces, et on branche la résistance, la bobine correspondante, et on ajoute un condensateur de capacité 1 Farad (le tout en série). Quelle est la probabilité que le circuit obtenu présente des oscillations? Qu il soit en régime critique? Exercice 15. ** coefficients binomiaux Soit n N. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. 1) Soit p N. On tire p boules dans l urne. a) Soit k p, n, et A k l événement "le plus grand numéro tiré est k". Calculer P(A k ). b) En déduire que ( ) ( n k 1 n k=p =. p 1 p) ) Soit p N. On tire p boules successivement. Déterminer la probabilité que le numéro sur la dernière boule soit supérieur à ceux des p 1 boules précédentes. Exercice 16. *** poker On considère un jeu de cartes, on note n son nombre de cartes. On tire 5 cartes au hasard. Calculer la probabilité d un full puis d une couleur. Faire l application numérique lorsque n = 3 puis n = 5. Exercice 17. ** Paradoxe des anniversaires Soit n N. On considère un groupe de n personnes. Quelle est la probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour? À partir de quelle valeur de n est-ce cette probabilité est > 0.9? 4 Probabilités conditionnelles Exercice 18. ** Deux méthodes : probabilités conditionnelles ou dénombrement Un tiroir contient 3 paires de chaussettes (séparées). On tire trois chaussettes au hasard, quelle est la probabilité de pouvoir reconstituer une paire? 1) Résoudre le problème par dénombrement. ) Résoudre le problème en calculant la probabilité de l événement contraire grâce à la formule des probabilités composée. Exercice 19. *! dépistage médical : le grand classique du bac On dispose d un test de dépistage pour une certaine maladie. On considère un individu A. ON note : M l événement "A est malade" S l événement "A est sain" + l événement "le test est positif" l événement "le test est négatif" Les probabilités suivantes sont connues des médecins : P(M), P(+ M) et P(+ S ). 1) Exprimer P(M +) en fonction de ces trois probabilités. ) Application numérique : Prenons P(M) = 0, 001, P(+ M) = 0, 95 et P(+ S ) = 0, 03. Calculer alors la probabilité qu une personne dont le test est positif soit effectivement malade. 3) De même calculer la probabilité d être sain lorsque le test est négatif, et donner l application numérique. 3

17 Exercice 0. ** tirage de cartes Dans un jeu de 5 cartes, on commence par en enlever 10. Ensuite on tire une carte parmi celles qui restent. Quel est la probabilité d obtenir le roi de cœur? Exercice 1. ** où les arbres montrent leur limites On lance un dé de 10. Ensuite, si n est le résultat obtenu, on lance n dés de 6 et on additionne les résultats. 1) Quelle est la probabilité d obtenir 4? ) Quelle est l espérance du résultat? 3) On a obtenu 4. Quelle est le résultat du premier dé le plus probable? Calculer exactement cette probabilité. Exercice. ** ouvrir une porte en essayant les clés au hasard M. X veut ouvrir une porte mais a oublié quelle est la bonne clé. Il utilise donc l une après l autre, au hasard, chacune des clés à sa disposition. On note n le nombre de clés dont il dispose. On suppose qu il y a une et une seule bonne clé, et que M. X n essaie jamais deux fois la même clé. 1) Quelle est la probabilité que M. X n arrive à ouvrir la porte qu à sa dernière tentative? ) PLus généralement, on note X la variable aléatoire donnant le nombre de tentatives nécessaires pour ouvrir la porte. Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance. 5 Indépendance Exercice 3. ** indépendance et opérations 1) Soit A un événement. A est-il indépendant de A? Et de Ā? ) Soit (A, B) deux événements. Montrer que A et B sont indépendants si et seulement si Ā et B le sont. 3) Soient (A, B, C) trois événements mutuellement indépendant. Montrer que A est indépendant de B C. Ceci reste-il vrai en supposant seulement que A, B, C sont deux à deux indépendants? Exercice 4. *! n événements de probabilité 1/n Lors d une morsure de tique, on a une chance sur 10 de contracter la maladie de Lime. Une personne a été mordue 10 fois, quelle est la probabilité qu elle contracte la maladie? On supposera que les événements "contracter la maladie lors de la ième morsure", pour i 1, 10 sont indépendants. Exercice 5. ** avec pile ou face Soit n N. On lance n pièces équilibrés. On note A l événement "on obtient face au plus une fois" et B l événement "on obtient face au moins une fois et pile au moins une fois" Montrer qu il existe une seule valeur de n pour laquelle A et B sont indépendants. 4

18 Quelques indications 3 1) découper T en quatre triangle équilatéraux de longueur de côté a/. ) considérer les n ensembles [0, 1/n[,..., [ n 1, 1[ et les n + 1 nombres 0, x E(X), x E(x),..., nx E(nx). n 3) Utiliser la formule pour tan(a b). Considérer les 6 ensembles [0, π 6 [+πz, [ π 6, π 6 [+πz,..., [ 5π 6, 6π 6 [+πz. 4 Vérifier que choisir une telle fonction revient à choisir son image, i.e. une partie de 1, n de cardinal p 5 Interpréter à l aide de parties d un ensemble de cardinal p + q On trouvera P(A) + P(B) P(A B). 11 Pour chacune des stratégies "rester sur son choix" ou "changer d avis" calculer la probabilité de gagner. 1 1) L événement "deux boules de la même couleur" peut être partitionné en "deux boules noires", "deux boules rouges", ou "deux boules blanches" (i.e. ces trois événements forment un système complet d événements pour "deux boules de la même couleur"). 13 Passer par l événement contraire : "perdre" signifie que les n billets achetés sont tous parmi les 498 billets perdant Pour le full : choisir la hauteur de la paire, la hauteur du brelan, et enfin, les cartes constituant cette paire et ce brelan. Pour la couleur : choisir la couleur, puis les cartes. 17 Étudier l événement contraire. On pourra utiliser la formule des probabilités composées, ou directement la formule des arrangements. 19 Ce n est rien d autre que la formule de Bayes. 1 On peut dessiner un arbre, mais il faudra au moins 14 branches. Il est plus simple d écrire la formule des probabilités totales. Pour tout i 1, n, noter A i l événement "ouvrir la porte à la ième tentative". C est la formule des probabilités composées. 3 3) pour la deuxième question : reprendre le contre-exemple du cours. 4 Étudier l événement contraire. 5 Pour calculer P(B), passer par B. 5

19 Quelques solutions 3 4 ( ) n p (a) Ordre et répétitions autorisées. Prenons Ω = 1, 6, que nous munissons de la probabilité uniforme. On a Card(Ω) = Card( 1, 6 ) = 36. Notons A l événement "le premier dé donne un résultat pair, et le second un résultat impair". Cet événement correspond à l ensemble {, 4, 6} {1, 3, 5} (l ensemble des couples dont le premier élément est pair, et le second impair). On a Card(A) = Card({, 4, 6}) Card({1, 3, 5}) = 9. (Cardinal d un produit cartésien.) Alors P(A) = Card(A) Card(Ω) = 9 36 = 1 4. Remarque: On pouvait aussi appeler X l événement "le premier dé donne un résultat pair", et Y : "le second dé donne un résultat impair". Il est raisonnable de supposer que les deux lancers de dé sont indépendants, donc P(A) = P(X Y) = P(X) P(Y). Et on constate rapidement que P(X) = 1 = P(Y). (b) Ici les répétitions sont autorisées, et l ordre n est pas important. Cependant, il n y a pas d univers correspondant exactement à ce cas : nous sommes obligés de prendre quand même l ordre en compte. Nous appellerons un des deux dés le premier, et l autre le second, et nous prenons Ω = 1, 6, que nous munissons de la mesure uniforme. Soit B l événement "un des deux dés au moins donne 1". En terme d ensemble, B s écrit ainsi : B = {(1, 1), (1, ),..., (1, 6), (, 1), (3, 1),..., (6, 1)} son cardinal est = 11. (Ne pas compter le (1, 1) deux fois!) Ainsi, P(B) = (c) Pas d ordre, pas de répétitions : nous sommes avec des combinaisons. Notons U l urne, et prenons Ω = P (U). Donc ( Card(U) Card(Ω) = ) = ( ) 6 = 6 5 = 15. L événement étudié correspond à l ensemble {{1, }}, de cardinal 1. Sa probabilité est donc (d) Pas d ordre, répétition. On est donc obligé de compter l ordre, i.e. de considérer qu une des deux boules est tirée avant l autre. Nous prenons Ω = 1, 6, de cardinal 36. L événement étudié est {(1, ), (, 1)}, de cardinal. Donc la probabilité cherchée est 36 = Remarque: La probabilité est donc plus faible avec remise que sans. (e) Ordre et pas de répétition : nous sommes avec des arrangements. Prenons Ω = { (a, b) 1, 6 } a b, dont le cardinal est A 6 = 6 5 = 30, et que nous munissons de la probabilité uniforme. L événement étudié correspond à l ensemble {(1, ), (, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)}, de cardinal 5, donc sa probabilité est 5/30 = 1/6. (a) Remarque: On se doute bien que la réponse est 1... Mais si on veut donner une modélisation complète, il faut travailler un peu. Par ailleurs, il semble rationnel de supposer qu il n y a pas deux poissons qui ont exactement la même taille. Ordre { et pas de répétions : arrangements. Notons L l ensemble des poissons du lac, donc CardL = n. Prenons Ω = (a, b) L } a b (l ensemble des couples de deux poissons distincts), de cardinal A n = n.(n 1). Notons p 1,..., p n les n poissons du lac, triés du plus petit au plus grand. Notons A l événement étudié. Nous pouvons partitionner A ainsi : pour tout i 1, n, soit A i l événement "le premier poisson péché est p i, et le suivant est dans l ensemble {p i+1,..., p n }". Formellement, A i = {p i } {p i+1,..., p n }, et plus simplement A i = {(p i, p i+1 ), (p i, p i+ ),..., (p i, p n )}. n i L événement A i est de cardinal n i, et donc de probabilité n.(n 1). Les événements A 1,..., A n forment un système complet d événements pour A, donc : P(A) = n P(A i ) = n n i n.(n 1) = 1 n(n 1) n (n i) 6

20 Une petite astuce est possible pour simplifier le calcul de n (n i) : en fait c est juste la somme des n premiers entiers, mais écrite du plus grand au plus petit : n (n i) = n + (n 1) + (n = (n 1) + (n ) = n i = i=0 n(n + 1) Et finalement, P(A) = 1 n(n + 1) = 1 n(n + 1). (b) Ordre et répétitions, il s agit de 5-uplets (ou 5-listes). Notons a, b, c les trois couleurs de vernis de Mme. P.. Prenons Ω = {a, b, c} 5. Par exemple le 5-uplet (a, a, b, a, c) signifie que le premier doigt est de la couleur a, le second de la couleur a, le troisième de la couleur b, etc... Le cardinal de Ω est 3 5. L événement étudié est {(a, a, a, a, a), (b, b, b, b, b), (c, c, c, c, c)}, de cardinal 3, et donc de probabilité = = (c) Ordre et répétitions. Notons E = {0, 1, 1, 3,..., 0} l ensemble des notes possibles. On a Card(E) = 1. Prenons Ω = E 4, de cardinal 1 4. Soit A l événement étudié, donc Ā est l événement "aucune copie n a la même note que la précédente". Calculons Card(Ā). Pour choisir un élément de Ā, il y a 1 choix pour la première note. Puis 0 choix pour la seconde (ne pas reprendre la même que la première). Puis encore 0 choix pour la troisième etc... Finalement cela donne = choix possibles. ( ) 41 Donc P(Ā) = = ( ) 41 0 Et P(A) = 1 P(Ā) = 1. 1 ( ) Card(C) (d) Ni ordre, ni répétitions : combinaisons. Notons C l ensemble des élèves et Ω = P (Ω). Donc Card(Ω) = = ( ) = = Soit A l événement étudié. Il se partitionne en deux événements : A 1 : "on a tiré deux filles" et A : "on a tiré deux garçons". Sachant qu il y( a ) 15 filles et 7 garçons dans ( la) classe, Card(A ) est le nombre de manières de tirer deux 15 7 filles parmi ces 15, c est = Et Card(A 1 ) = = Au finale, P(A) = P(A 1 ) + P(A ) = ) On modélise par l univers Ω = {P, F} 3, en pensant que P représente pile, et F face. On a Card(Ω) = 8. On munit Ω de la probabilité uniforme. l événement étudié est {(P, P, P), (F, F, F)} de cardinale. Donc sa probabilité est 8 = 1 4. ) L événement "la troisième pièce est du même côté que les deux premières" est mal défini! Tout simplement car les trois pièces peuvent être du même côté, auquel cas laquelle serait la troisième, lesquelles les deux premières? Donc cet événement n existe pas, sa probabilité non plus, et tout raisonnement l utilisant itou! tentative de corriger le raisonnement : On pourrait numéroter les trois pièces, et étudier les 3 événements : A 1 : "les pièces et 3 sont du même côté", A : "les pièces 1 et 3 sont du même côté" et A 3 : "les pièces 1 et sont du même côté". Alors effectivement, l un de ces trois événements au moins est toujours réalisé : A 1 A A 3 = Ω. Notons X l événement cherché, à savoir que les trois pièces sont du même côté. Il alors exact que pour tout i 1, 3, P(X A i ) = 1/. Mais après? 7

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires Chapitre I Probabilités Bcpst 1 2 novembre 2015 I Exemples d expériences aléatoires Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avant de l avoir réalisée... ce qui

Plus en détail

Feuille d exercices 1

Feuille d exercices 1 Université Paris 7 - Denis Diderot L2 - Probabilités PS4 Année 2014-2015 Feuille d exercices 1 Exercice 1 Combien y a-t-il de paires d entiers non consécutifs compris entre 1 et n (n 1)? Exercice 2 1.

Plus en détail

Thème 3 : ensembles, espaces de probabilités finis

Thème 3 : ensembles, espaces de probabilités finis Thème 3 : ensembles, espaces de probabilités finis Serge Cohen, Monique Pontier, Pascal J. Thomas Septembre 2004 1 Généralités : ensembles et parties d un ensemble Définition 1.1 On appelle ensemble une

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle

Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Chapter 2 Espace de probabilité, indépendance et probabilité conditionnelle Sommaire 2.1 Tribu et événements........................................... 15 2.2 Probabilité................................................

Plus en détail

Qu est-ce qu une probabilité?

Qu est-ce qu une probabilité? Chapitre 1 Qu est-ce qu une probabilité? 1 Modéliser une expérience dont on ne peut prédire le résultat 1.1 Ensemble fondamental d une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience dont

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

I. Cas de l équiprobabilité

I. Cas de l équiprobabilité I. Cas de l équiprobabilité Enoncé : On lance deux dés. L un est noir et l autre est blanc. Calculer les probabilités suivantes : A «Obtenir exactement un as» «Obtenir au moins un as» C «Obtenir au plus

Plus en détail

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance

Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance Cours de mathématiques Terminale S Chapitre 8 : Probabilités-Indépendance Année scolaire 008-009 mise à jour 6 janvier 009 Fig. Andreï Kolmogorov Un précurseur de la formalisation de la théorie des probabilités

Plus en détail

Calculs de probabilités

Calculs de probabilités Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Calculs de probabilités conditionelles

Calculs de probabilités conditionelles Calculs de probabilités conditionelles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 20 mars 2008 1. Indépendance 1 Exemple : On lance deux pièces. Soit A l évènement la première est Pile

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Dénombrement, opérations sur les ensembles.

Dénombrement, opérations sur les ensembles. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 1 (du 16 au 20 septembre 2013) Dénombrement, opérations sur les ensembles 1 Combien de façons y a-t-il de classer

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Chapitre Ce que dit le programme : Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Objectifs visés par l enseignement des statistiques et probabilités à l occasion de résolutions de problèmes dans

Plus en détail

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Exercices : Probabilités Partie : Probabilités Exercice Dans un univers, on donne deux événements et incompatibles tels que =0, et =0,7. Calculer,, et. Exercice Un dé (à faces) est truqué de la façon suivante

Plus en détail

TD: Ensembles, applications, dénombrement

TD: Ensembles, applications, dénombrement Université de Provence Année 011/1 Licence Math Info ème année S3 Fondements de l Informatique 1 Ensembles et fonctions TD: Ensembles, applications, dénombrement 1. On suppose que l ensemble de tous les

Plus en détail

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique :

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique : Université Bordeaux 1 Licence de Sciences, Technologies, Santé Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique Fondamentaux

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J.

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J. Année 2013-2014 UNIVERSIÉ DE CERGY LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESION Seconde année - Semestre 3 PROBABILIÉS Cours de M. J. Stéphan ravaux Dirigés de Mme M. Barrié, M. J-M. Chauvet et M. J.

Plus en détail

Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini

Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini UPV - MathsL1S1 1 II Dénombrement Dénombrement Probabilité uniforme sur un ensemble fini I Dénombrement 1) Factorielles : Pour n entier 1, il y a : n! = n.(n - 1). (n - 2) 2.1 façons d aligner n objets

Plus en détail

2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance. http://statwww.epfl.ch

2. Probabilité. 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance. http://statwww.epfl.ch 2. Probabilité 2.1: Espaces de probabilité 2.2: Probabilité conditionelle 2.3: Indépendance Probabilité et Statistiques I Chapître 2 1 2.1 Espaces de Probabilité Contenu Exemples élémentaires de probabilité,

Plus en détail

1 Exercices d introdution

1 Exercices d introdution 1 Exercices d introdution Exercice 1 (Des cas usuels) 1. Combien y a-t-il de codes possibles pour une carte bleue? Réponse : 10 4. 2. Combien y a-t-il de numéros de téléphone commençant par 0694? Réponse

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.

Plus en détail

Exercices à savoir faire

Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2014 2015 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n o 2 Théorie des ensembles, applications Exercices à savoir faire Théorie des ensembles Exercice 1 Soit F l ensemble des femmes. Qu

Plus en détail

Indépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles

Indépendance Probabilité conditionnelle. Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Chapitre 3 Événements indépendants et Probabilités conditionnelles Indépendance Indépendance Probabilité conditionnelle Definition Deux événements A et B sont dits indépendants si P(A B) = P(A).P(B) Attention

Plus en détail

MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES Probabilités

MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES Probabilités MESURES ET ANALYSES STATISTIQUES DE DONNÉES Probabilités Master Génie des Systèmes Industriels, mentions ACCIE et RIM Université du Littoral - Côte d Opale, La Citadelle Laurent SMOCH (smoch@lmpa.univ-littoral.fr)

Plus en détail

P1 : Corrigés des exercices

P1 : Corrigés des exercices P1 : Corrigés des exercices I Exercices du I I.2.a. Poker : Ω est ( l ensemble ) des parties à 5 éléments de l ensemble E des 52 cartes. Cardinal : 5 I.2.b. Bridge : Ω est ( l ensemble ) des parties à

Plus en détail

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants

2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2 Probabilités conditionnelles. Événements indépendants 2.1 Probabilité conditionnelle Soient A et B deux événements tels que P(B) > 0. Soit alors P(A B), la probabilité que A se réalise, B étant réalisé.

Plus en détail

TD 4 : HEC 2001 épreuve II

TD 4 : HEC 2001 épreuve II TD 4 : HEC 200 épreuve II Dans tout le problème, n désigne un entier supérieur ou égal à 2 On dispose de n jetons numérotés de à n On tire, au hasard et sans remise, les jetons un à un La suite (a, a 2,,

Plus en détail

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 30 mai 2014 Table des matières 1 Dénombrement 3 I Combinatoire des ensembles

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

PROBABILITÉS. I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire... 2 I.2 Intersection et réunion d événements... 2 I.3 Représentation des évenements...

PROBABILITÉS. I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire... 2 I.2 Intersection et réunion d événements... 2 I.3 Représentation des évenements... PROBABILITÉS Table des matières I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire.............................................. 2 I.2 Intersection et réunion d événements................................ 2

Plus en détail

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS Exercice 1 Dans un univers Ω, on donne deux événements A et B incompatibles tels que p(a) = 0,2 et p(b) = 0,7. Calculer p(a B), p(a B), p ( A ) et p ( B ). Exercice 2 Un

Plus en détail

les probabilités en Terminale Bac Pro

les probabilités en Terminale Bac Pro les probabilités en Terminale Bac Pro stéphane GARNUNG Domaine Public : http://creativecommons.org/licenses/publicdomain/2.0/fr/ juin 2012 1.0 Table des matières I - Langage probabiliste 3 1. Expérience

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS ONDITIONNELLES Exercice 01 On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. es secteurs sont de différentes couleurs. On fait tourner la roue qui s'arrête sur

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6

Probabilités et Statistiques. Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Probabilités et Statistiques Raphaël KRIKORIAN Université Paris 6 Année 2005-2006 2 Table des matières 1 Rappels de théorie des ensembles 5 1.1 Opérations sur les ensembles................... 5 1.2 Applications

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Analyse combinatoire

Analyse combinatoire Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 6 mars 2008 Le but de l analyse combinatoire (techniques de dénombrement est d apprendre à compter le nombre d éléments d un ensemble fini de

Plus en détail

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est

Plus en détail

Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de probabilités et statistique Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques Fabrice Rossi Cette œuvre est mise à disposition selon

Plus en détail

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes

Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes UNIVERSITÉ DE CERG Année 0-03 UFR Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH0 : Probabilités Chapitre IV : Couples de variables aléatoires discrètes Généralités Définition Soit (Ω, P(Ω), P)

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Cours de Probabilités 1. Dénombrement 2. Probabilités 3. Variables aléatoires réelles

Cours de Probabilités 1. Dénombrement 2. Probabilités 3. Variables aléatoires réelles Cours de Probabilités 1. Dénombrement 2. Probabilités 3. Variables aléatoires réelles Pour BCPST 1 Année scolaire : 2004/2005 16 juin 2005 Mohamed TARQI Table des matières 1 Dénombrement 3 1.1 Généralités.

Plus en détail

Ensembles et applications. Motivations. Exo7

Ensembles et applications. Motivations. Exo7 o7 nsembles et applications Vidéo partie 1. nsembles Vidéo partie 2. Applications Vidéo partie 3. Injection, surjection, bijection Vidéo partie 4. nsembles finis Vidéo partie 5. Relation d'équivalence

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité

PROBABILITÉS. I) Introduction, aperçu historique. Loi de probabilité Table des matières PROBABILITÉS Résumé de cours I) Introduction, aperçu historique 1 II) Loi de probabilité 1 III)Probabilité d évènement 2 1. Le vocabulaire des probabilités................................

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement

Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Arbre de probabilité(afrique) Univers - Evénement Exercice 1 Donner l univers Ω de l expérience aléatoire consistant à tirer deux boules simultanément d une urne qui en contient 10 numérotés puis à lancer

Plus en détail

Formules d inclusion-exclusion

Formules d inclusion-exclusion Université de Rouen L1 M.I.EEA 2011 2012 Mathématiques discrètes Formules d inclusion-exclusion Je présente ici une correction détaillée de l Exercice 5 de la Feuille d exercices 1, en reprenant le problème

Plus en détail

Les trois sortes de tirages

Les trois sortes de tirages DERNIÈRE IMPRESSION LE 29 juin 2015 à 19:20 Les trois sortes de tirages Introduction Comme nous l avons vu, dans une loi équirépartie, il est nécessaire de dénombrer les cas favorables et les cas possibles.

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Leçon 1: les entiers

Leçon 1: les entiers Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont

Plus en détail

SESSION 2006. NOM, Prénom : PROBABILITES 2006 T ES. France septembre 2005 (5 points)

SESSION 2006. NOM, Prénom : PROBABILITES 2006 T ES. France septembre 2005 (5 points) SESSION 2006 France septembre 2005 (5 points) Parmi les stands de jeux d une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d acier lorsque le joueur actionne

Plus en détail

Il y a trois branches avec un seul pile pour un total de 8 branches donc la probabilité d avoir exactement une fois pile est de 3/8 = 0,375

Il y a trois branches avec un seul pile pour un total de 8 branches donc la probabilité d avoir exactement une fois pile est de 3/8 = 0,375 OILITES Un arbre permet de modéliser une situation et de déterminer une probabilité dans le cas où on étudie plusieurs événements. Il est particulièrement bien adapté à la répétition d expériences, aux

Plus en détail

Correction des exemples. Mathieu EMILY

Correction des exemples. Mathieu EMILY Correction des exemples Mathieu EMILY Novembre 2005 Table des Matières Exemple_Exercice 1 Page 2 Exemple_Exercice 2 Page 3 Exemple_Exercice 3 Page 5 Exemple_Exercice 4 Page 6 Exemple_Exercice 5 Page 7

Plus en détail

LEÇON N 5 : 5.1 Probabilité conditionnelle. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités.

LEÇON N 5 : 5.1 Probabilité conditionnelle. Pré-requis : Opérations sur les ensembles, cardinaux ; Espaces probabilisés ; Calcul de probabilités. LEÇON N 5 : Probabilité conditionnelle, indépendance de deux événements (on se limitera au cas où l ensemble d épreuves des fini). Applications à des calculs de probabilité. Pré-requis : Opérations sur

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles robabilités conditionnelles Table des matières 1 Introduction 2 2 Définitions 2 3 Formule des probabilités totales 3 4 Indépendance et principe du produit 5 5 Exercices 5 1 1 Introduction Lorsque 7 élèves

Plus en détail

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA

Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Correction du BAC BLANC TECHNOLOGIQUE - Epreuve E4 MATHEMATIQUES ET TECHNOLOGIES INFORMATIQUES ET MULTIMEDIA Exercice 1 (4 points) Dans une classe de terminale STAV de 5 élèves, chaque élève possède une

Plus en détail

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres

Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres Chapitre 3: Variables aléatoires discrètes Espérance-Variance Loi des grands nombres 1 Introduction Le nombre de piles obtenus au cours d une série de n lancers de pile ou face ou plus généralement dans

Plus en détail

Chapitre 5 Les Probablilités

Chapitre 5 Les Probablilités A) Introduction et Définitions 1) Introduction Chapitre 5 Les Probablilités De nombreuses actions provoquent des résultats qui sont dus en partie ou en totalité au hasard. Il est pourtant nécessaire de

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

COURS DE MATHEMATIQUES TERMINALE STG

COURS DE MATHEMATIQUES TERMINALE STG COURS DE MATHEMATIQUES TERMINALE STG Chapitre 1. TAUX D EVOLUTION... 5 1. TAUX D EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS... 5 a. Taux d évolution... 5 b. Coefficient multiplicateur... 5 c. Calcul d une

Plus en détail

BASES DU RAISONNEMENT

BASES DU RAISONNEMENT BASES DU RAISONNEMENT P. Pansu 10 septembre 2006 Rappel du programme officiel Logique, différents types de raisonnement. Ensembles, éléments. Fonctions et applications. Produit, puissances. Union, intersection,

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12

Probabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12 Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont

Plus en détail

Objets Combinatoires élementaires

Objets Combinatoires élementaires Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que

Plus en détail

DOSSIER N 01. Exemples simples de problèmes de dénombrement dans différentes situations.

DOSSIER N 01. Exemples simples de problèmes de dénombrement dans différentes situations. DOSSIER N 01 Question : Présenter un choix d exercices sur le thème suivant : Exemples simples de problèmes de dénombrement dans différentes situations. Consignes de l épreuve : Pendant votre préparation

Plus en détail

Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h

Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h École polytechnique X2013 INF412 Fondements de l informatique Fondements de l informatique: Examen Durée: 3h Sujet proposé par Olivier Bournez Version 3 (corrigé) L énoncé comporte 4 parties (sections),

Plus en détail

Probabilités pour la prépa

Probabilités pour la prépa Probabilités pour la prépa Paul Pichaureau Professeur en CPGE Cours et 353 exercices corrigés MPSI PCSI PTSI MP PC PSI PT Table des matières Comment utiliser ce livre? 3 I Univers finis 9 I Dénombrement

Plus en détail

9 5 2 5 Espaces probabilisés

9 5 2 5 Espaces probabilisés BCPST2 9 5 2 5 Espaces probabilisés I Mise en place du cadre A) Tribu Soit Ω un ensemble. On dit qu'un sous ensemble T de P(Ω) est une tribu si et seulement si : Ω T. T est stable par complémentaire, c'est-à-dire

Plus en détail

Chapitre 3 : Introduction aux probabilités

Chapitre 3 : Introduction aux probabilités IUT de Sceaux Département TC1 Mathématiques Chapitre 3 : Introduction aux probabilités 1. Évènements Les événements élémentaires sont les issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement est un

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de Terminale ES 2 Table des matières 1 Équations de droites. Second degré 7 1.1 Équation de droite.................................. 7 1.2 Polynôme du second degré..............................

Plus en détail

NOTES DE COURS (SUPPLÉMENTAIRES) POUR LE COURS MATHÉMATIQUES DISCRÈTES MAT1500. References

NOTES DE COURS (SUPPLÉMENTAIRES) POUR LE COURS MATHÉMATIQUES DISCRÈTES MAT1500. References NOTES DE COURS (SUPPLÉMENTAIRES) POUR LE COURS MATHÉMATIQUES DISCRÈTES MAT1500 ABRAHAM BROER References [R] Kenneth H. Rosen, Mathématiques discrètes, Édition révisée Chenelière McGraw-Hill, 2002. 1. But

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles

Programme du Math1. Chapitre 1. 22/09/2013 بالتوفيق. Math1 L1 Semestre 1 SM ST. Bibliographie: 1. Notions de Logique. 2. Ensembles /09/013 Programme du Math1 Université des Sciences et de la Technologie Houari Boumediene Faculté de Mathématiques Math1 L1 Semestre 1 SM ST Dr M ZIDANI-BOUMEDIEN 1 Ensembles, Relations, Applications Structures

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011

Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Université Paris Diderot Langage Mathématique (LM1) Département Sciences Exactes 2011-2012 Corrigé de l examen partiel du 19 novembre 2011 Durée : 3 heures Exercice 1 Dans les expressions suivantes, les

Plus en détail

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé Contrôle de statistiques Sujet 2 Corrigé L2 d économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L utilisation de documents, calculatrices,

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Analyse Combinatoire

Analyse Combinatoire Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien

Plus en détail

COURS DE PROBABILITE 2ième année d économie et de gestion Semestre 1

COURS DE PROBABILITE 2ième année d économie et de gestion Semestre 1 COURS DE PROBABILITE 2ième année d économie et de gestion Semestre 1 Laurence GRAMMONT Laurence.Grammont@univ-st-etienne.fr Les solutions des exercices posés dans ce polycopié ne sont pas rédigées. October

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais

Plus en détail

Énoncés des exercices

Énoncés des exercices Énoncés Énoncés des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Combien existe-t-il de dominos dans un jeu complet? On pourra donner jusqu à cinq démonstrations diffétentes. Exercice 2 [ Indication

Plus en détail

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples

Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples 36 Probabilité conditionnelle et indépendance. Couples de variables aléatoires. Exemples (Ω, B, P est un espace probabilisé. 36.1 Définition et propriétés des probabilités conditionnelles Définition 36.1

Plus en détail

Exo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio

Exo7. Probabilité conditionnelle. Exercices : Martine Quinio Exercices : Martine Quinio Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60% sont des femmes ; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance

Séquence 3. Probabilité : conditionnement et indépendance Séquence 3 Probabilité : conditionnement et indépendance Sommaire. Pré-requis. Conditionnement par un événement de probabilité non nulle 3. Indépendance 4. Synthèse Dans cette première séquence sur les

Plus en détail

Probabilités sur un univers ni

Probabilités sur un univers ni POIRET Aurélien TD n o 21 MPSI Probabilités sur un univers ni 1 Événements et probabilités Exercice N o 1 : Dans un centre de loisirs, une personne peut pratiquer trois activités. On considère les événements

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail