Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Save this PDF as:

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon"

Transcription

1 Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010

2 ii

3 Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes Ensembles, relations, fonctions Préordre, ordre, équivalence Premières structures algébriques Autour des nombres entiers Groupes Groupes, sous-groupes, isomorphismes Classes latérales et homomorphismes Homomorphismes et groupes quotients Compléments sur les groupes Anneaux Quelques anneaux Homomorphismes, idéaux et anneaux quotients Factorisation dans un domaine Fractions, caractéristique et corps finis iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES

5 Chapitre 1 Quelques structures ensemblistes 1.0. Ensembles, relations, fonctions 0. Vocabulaire et notations. (a) Un ensemble est une collection d objets appelés éléments, ce qui ne veut pas dire que toute collection d objets est un ensemble. On écrit a E pour indiquer que l élément a appartient à l ensemble E, ce qui s exprime aussi en disant que l ensemble E comprend l élément a. On écrit a / E pour indiquer que a n appartient pas à E. Deux ensembles sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes éléments. Autrement dit les ensembles A et B sont égaux si et seulement si, pour tout élément x, x appartient à A si et seulement si x appartient à B, ce qui s écrit : (A = B) ( x, x A x B). L ensemble vide qui ne comprend aucun élément est désigné par. Un ensemble E est donc non vide s il existe un élément a appartenant à E, ce qui s écrit : a E. Un singleton est un ensemble ne comprenant qu un seul élément. Donc un ensemble A est singleton s il existe un et un seul élément a appartenant à A, ce qui s écrit :! a, a A. Le singleton de l élément a s écrit {a}. Les nombres naturels 0, 1, 2, 3, sont les éléments d un ensemble noté N. Les nombres naturels positifs 1, 2, 3, sont les éléments d un ensemble noté N 0. Les nombres entiers, 2, 1, 0, 1, 2, sont les éléments d un ensemble noté Z. Les nombres rationnels sont les éléments d un ensemble noté Q. Les nombres réels sont les éléments d un ensemble noté R. Les nombres réels non nuls sont les éléments d un ensemble noté R 0. Les nombres réels positifs ou nuls sont les éléments d un ensemble noté R +. Les nombres réels positifs sont les éléments d un ensemble noté R + 0. Les nombres complexes sont les éléments d un ensemble noté C. Et ainsi de suite. On peut parfois décrire un ensemble en énumérant ses éléments. On peut aussi décrire un ensemble en indiquant une propriété caractérisant ses éléments, par exemple l ensemble des nombres réels positifs ou nuls est décrit par R + = {r R r 0}. Voici deux façons différentes de décrire un autre 1

6 2 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES ensemble : {0, 1, 2} = {n N 0 n < 3}. (b) Un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie de l ensemble A si tout élément appartenant à A appartient à A. Formellement, ceci s écrit : a A a A et se lit : «a appartient à A implique que a appartient à A». On dit alors que A est contenu dans A ou inclu à A et on écrit indifféremment A A ou A A, on dit aussi que A contient A et on écrit encore A A ou A A. Si A A et si A A, on dit que l inclusion A A est stricte, on dit aussi que A est une partie propre de A et on écrit parfois A A. On écrit encore A A pour indiquer que A n est pas contenu dans A. (c) Les sous-ensembles d un ensemble E sont les éléments d un nouvel ensemble P(E) appelé ensemble des parties de E : P(E) = {E E E}. Nous avons : P(E), E P(E), donc P(E) n est jamais vide. Par ailleurs nous avons : a E si et seulement si {a} E si et seulement si {a} P(E). En particulier nous avons encore : { } P(E). (d) Attention, il convient de faire la différence entre appartenance et inclusion : Z R mais Z / R ; i C P(C), mais i C, C P(C) et i / P(C), bien que nous ayons : {i} C et que { {z} z C} soit une copie de C contenue dans P(C). Nous avons aussi 2 R + {R +, R }, mais 2 / {R +, R }. (e) Opérations ensemblistes. L intersection de deux ensembles A et B est définie par A B = {x x A et x B}. La réunion de deux ensembles est définie par A B = {x x A ou x B} ici, le «ou» n est pas exclusif : A B A B. La différence de deux ensembles A et B est définie par A \ B = {x x A et x / B}. Quand A est un sous-ensemble de l ensemble A, on dit aussi que A \ A est le complément de A dans A. La différence symétrique de deux ensembles A et B est l ensemble A B = (A \ B) (B \ A). (f) Propriétés des opérations ensemblistes. Les identités suivantes sont utiles et faciles à vérifier : pour tous ensembles A, B, C, (i) A (B C) = (A B) (A C), (ii) A (B C) = (A B) (A C), (iii) C (B \ A) = (C B) \ A,

7 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 3 (iv) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), (v) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), (vi) A \ (A \ B) = A B. Ces identités peuvent se vérifier sur un diagramme de Venn, c.à-d. un dessin représentant les trois ensembles A, B, C par trois disques distincts ayant une intersection commune, étant entendu qu un élément de l ensemble A est représenté par un point du disque A et ainsi de suite. Ce dessin partage la feuille de papier en 2 3 = 8 plages, ce qui correspond au fait qu il y a 2 3 possibilités pour un élément d appartenir ou non à chacun des trois ensembles A, B, C. (g) Opérations ensemblistes et connecteurs logiques. Les identités en (f) peuvent aussi se vérifier à l aide d une table de vérité, étant admis qu une proposition est soit vraie, soit fausse, se voit assigner la valeur 1 si elle est vraie, la valeur 0 si elle est fausse. Rappelons d abord la définition du «et» logique noté, celle du «ou» logique noté et celle de la «négation» logique notée en donnant les tables de vérité des propositions «p q», «p q» et «p», p et q étant elles-mêmes des propositions. p q p q p q p q p 1 0 p 0 1 Voici la table de vérité de l implication logique notée «p q». p q p q Observons que cette table est la même que celle de la proposition «p q», les propositions «p q» et «p q» sont équivalentes. Voici encore la table de vérité de l équivalence logique notée «p q». p q p q Notons que les propositions «p q» et «(p q) (q p)» ont même table de vérité. Voici maintenant la table de la proposition «x (C \ D)», qui est la même que celle de «(x C x D» et celle de «x C et x / D». x C x D x (C \ D)

8 4 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Remplaçant les propositions x C et x D par p et q on voit aussi que les propositions «(p q)» et «p q» ont même table de vérité, sont équivalentes. Voici maintenant la table de vérité de la proposition «x C \ (A B)». x A x B x C x C \ (A B) En remarquant que cette table est aussi la table de la proposition «x (C \ A) (C \ B)», on vérifie l identité en (f)(v). (h) Soit a un élément de l ensemble A et soit b un élément de l ensemble B. Nous formons avec ces éléments un nouvel élément (a, b) nommé couple, et nous disons que deux couples (a, b) et (a, b ) sont égaux si a = a et b = b. Le produit cartésien ou produit des ensembles A et B est l ensemble A B = {(a, b) a A, b B}. (i) Exerçons le vocabulaire et les notations. Sachant que a A et b A, indiquer les relations d appartenance et d inclusion entre a, (a, b), {a, b}, {a}, A, A A, P(A),. Un ensemble nous informe qu il est dépourvu de partie propre. Qui estil? Montrer que les propositions «(p q)» et «p q» sont équivalentes, c.-à-d. ont même table de vérité. Montrer aussi que les propositions «(p q)» et «p q» sont équivalentes. 1. Définitions. Une relation d un ensemble A vers un ensemble B est un sous-ensemble du produit cartésien A B. La relation réciproque d une relation R de A vers B est la relation de B vers A définie par R 1 = {(b, a) (a, b) R}. Une relation dans un ensemble A est une relation de A vers A. La relation identique d un ensemble A est la relation 1 A = {(a, a) a A}. 2. Notations. Soit R une relation de A vers B. Pour indiquer qu un couple (a, b) appartient à R (où a A, b B), on écrira indifféremment (a, b) R ou a R b ou on dessinera une flèche partant d un point représentant l élément a et aboutissant en un point représentant l élément b. L ensemble des flèches correspondant aux couples d une relation sera parfois appelé le graphe de la relation. Voici le graphe d une relation d un ensemble de quatre éléments vers un autre ensemble de quatre éléments.

9 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 5 3 Voici le graphe d une relation identique sur un ensemble de trois éléments 3. Vocabulaire. (a) Une fonction ou application f d un ensemble A dans un ensemble B assigne à chaque élément a de A un et un seul élément de B appelé souvent image de a par f ou valeur de f en a, souvent noté f(a) ou parfois a f. Si f est une fonction de A dans B, l ensemble A est appelé le domaine de f : A = Dom(f), l ensemble B est appelé le but de f : B = But(f). On indique que f est une fonction de A dans B par f : A B ou A f B. Pour déterminer une fonction, il faut indiquer quelle est l image de tous les éléments de son domaine. Voici quelques façons de faire pour une fonction f de R dans R R : f : R R R : t (t 2, t 3 ), f : R R R : f(t) = (t 2, t 3 ), ou encore R f R R t (t 2, t 3 ) (avec le sous-entendu t R et R est l ensemble des nombres réels). Il convient ici d être attentif à la terminologie. Certains mathématiciens utilisent le terme «fonction» dans un sens légèrement différent, disant qu une «fonction» de A dans B assigne à certains éléments a de A un et un seul élément f(a) de B. Ils disent alors que le domaine de la «fonction» f est l ensemble des éléments a de A tels que f(a) existe, ce domaine pouvant être strictement inclu à A. Nous ne suivons pas ici cet usage. (b) L image de la fonction f : A B est le sous-ensemble de B défini par Im(f) = {f(a) a A}, donc Im(f) B. Une fonction dont l image est un singleton est souvent appelée fonction constante. (c) Plus généralement, l image directe d une partie A de A par la fonction f : A B est la partie de B définie par f (A ) = {f(a) a A }. Avec ces notations, Im(f) = f (A).

10 6 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES L image inverse d une partie B de B par la fonction f : A B est la partie de A définie par f (B ) = {x A f(x) B }. D un coté nous avons : A A, A f (f (A )), cette inclusion peut être stricte. De l autre coté nous avons : B B, f (f (B ) B, cette inclusion est stricte dès que B Im(f). Attention. Par abus de notations, la partie f (A ) de B est souvent notée f(a ) bien que A / A = Dom(f). Et la partie f (B ) de A est souvent notée f 1 (B ) bien que f 1 ne soit pas nécessairement une fonction. (d) Le graphe d une fonction f : A B est le sous-ensemble de A B défini par Γ f = {(a, f(a)) a A}. On identifie souvent une fonction f : A B avec son graphe vu comme sous-ensemble de A B. Ceci nous permet de dire qu une fonction f de A dans B est une relation de A vers B satisfaisant la condition : a A!b B tel que (a, b) f. Ce point de vue étant adopté, nous dirons aussi que le graphe d une fonction f : A B est le graphe de la relation correspondante Γ f de A vers B. Voici le graphe d une fonction 3 Son domaine est l ensemble de gauche et chaque élément de son domaine lance exactement une flèche. Cependant, dans le cas où A et B sont deux sous-ensembles de l ensemble des nombres réels R, le graphe Γ f d une fonction f : A B, étant un sousensemble de R R, peut se dessiner dans le plan réel coordonné ; on dira aussi que ce dessin est le graphe de la fonction f. Voici esquissé le graphe de la fonction R R : x x 2 3 (e) Pour terminer ce vocabulaire, remarquons que la relation identique dans un ensemble A est une fonction de A dans A encore appelée fonction identique de A et aussi notée 1 A.

11 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 7 Ex 4. Les relations suivantes sont-elles des fonctions? Illustrez la réponse par un dessin, c.-à-d. par un graphe. (a) {(t 2, t) t R} R R (b) {(a, 0), (b, 1)} {a, b, c} {0, 1, 2} (c) {(n, n + 1) n N} N N (d) {(n + 1, n) n N} N N 5. Définitions. Soit f une fonction de l ensemble A dans l ensemble B. Cette fonction f est injective si, a 1, a 2 A, f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2. Voici le graphe d une fonction injective. Cette fonction f est surjective si, b B, a A tel que f(a) = b. Voici le graphe d une fonction surjective. 3 Cette fonction f est bijective si elle est injective et surjective. Voici le graphe d une fonction bijective. Remarquons que si f est une fonction bijective de A dans B, la relation réciproque f 1 est une fonction bijective de B dans A, appelée fonction réciproque de la fonction f. On indique parfois que f est une fonction bijective ou une bijection par f : A B.

12 8 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Une transformation d un ensemble A est une fonction de A dans A. Voici le graphe d une transformation d un ensemble de trois éléments. A. Une permutation d un ensemble A est une transformation bijective de Voici le graphe d une permutation. Voici le graphe de l unique permutation de l ensemble vide, qui, soit dit en passant, est aussi l unique transformation de l ensemble vide. L injection canonique d une partie A de l ensemble A dans A est la fonction i de A dans A définie par : a A, i(a ) = a. Cette fonction est injective, rarement surjective. On indique parfois que la fonction i est une injection canonique par i : A A. La projection canonique du produit cartésien A B sur son premier facteur A est la fonction p 1 : A B A : (a, b) a. Cette fonction est surjective dès que B, rarement injective. Dans le cas où B, on indique parfois que la fonction p 1 est une projection canonique par p 1 : A B B. La projection canonique p 2 de A B sur son second facteur B se définit de façon analogue. A A B p 1 p 2 B Ex 6. Parmi les fonctions obtenues à l ex 4, quelles sont celles qui sont injectives, surjectives, bijectives? 7. Principe de l alternative. Soit A et B deux ensembles finis ayant mêmes nombre d éléments et soit f : A B une fonction. Alors f est injective ssi f est bijective ssi f est surjective.

13 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 9 8. Notations. Soit A, B deux ensembles. L ensemble des fonctions de A dans B sera noté par B A ou par Ens(A, B) selon le contexte ou le goût du moment. L ensemble des permutations de A sera noté S A. 9. Taille d un ensemble. (a) Le cardinal d un ensemble A est un objet mathématique mesurant la taille de A. Nous ne nous attacherons pas ici à sa définition précise. Notons simplement que, dans la cas où A est un ensemble fini de n éléments, on écrit #A = n. Nous écrirons donc : 0 = #, #{0} = 1 = #{ }, #{0, 1} = 2 = #{, { }}. On dit que deux ensembles A et B ont même cardinal ou sont équipotents, et on écrit #A = #B ou A#B, s il existe une bijection de A dans B. S il existe une injection de A dans B, on écrit #A #B. S il existe une injection de A dans B et si aucune de ces injections n est bijective, on écrit #A < #B. (b) Pour clarifier les idées, mentionnons le théorème de Cantor- Bernstein : s il existe une injection de l ensemble A dans l ensemble B et une injection de l ensemble B dans l ensemble A, alors il existe une bijection de A dans B. Autrement dit : #A #B et #B #A #A = #B. De plus, étant donné deux ensembles A et B, il est possible moyennant certains choix de construire une injection de A dans B ou une injection de B dans A : #A #B ou #B #A (c) Un ensemble infini E est dénombrable si on peut «énumérer» ses éléments, c.à.d. s il existe une fonction bijective N E, où N désigne l ensemble des nombres naturels. L ensemble des nombres entiers Z, l ensemble des nombres rationnels Q et les ensembles N, N N, 2Z, sont dénombrables. L ensemble R des nombres réels n est pas dénombrable. E, (d) Un argument diagonal dû à Cantor montre que, pour tout ensemble #E < #P(E). (Esquissons l argument. Il suffit de monter que toute fonction f : E P(E) est non surjective. Soit donc f une telle fonction et soit P = {x E x / f(x)}. Supposons que cette partie P de E appartient à Im(f), nous avons alors un élément a E tel que P = f(a). Cet élément a appartient-il à P = f(a)? En tentant de répondre à cette question nous arrivons à la contradiction : a f(a) a / f(a). Donc P / Im(f).) (e) On peut aussi montrer : #R = #P(N). (f) Terminons en douceur ces considérations sur la taille des ensembles par une définition de l infini due à Dedekind :«un ensemble infini est un ensemble équipotent à une de ses parties propres».

14 10 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 10. (a) Soient A, B deux ensembles finis tels que #A = a et #B = b, où a, b N. Alors #(A B) = ab, #(B A ) = b a, #(S A ) = a!. Ceci nous incite à «définir» en toute généralité et avec un grain de sel le produit et l exponentielle de deux cardinaux par #A #B = #(A B) et #B #A = #(B A ) même lorsqu un de nos ensembles A et B est infini. Mais nous n avions pas défini de façon précise le cardinal d un ensemble A, l objet #A! Ceci ne nous empêche cependant pas de définir l expression «#A #B = #C» par «il existe une bijection A B C» et aussi l expression «#B #A = #C» par «il existe une bijection B A C»! (b) Si #A = a et #B = b, où a, b N, que vaut #{f : A B f est une injection de A dans B}? (c) Soit A un ensemble quelconque. Établir une bijection A {0,1} A A. L existence de cette bijection nous incline à écrire 2 = {0, 1}, A A = A 2. (d) Quels sont les ensembles F ayant la propriété suivante : pour tout ensemble X, #F X = 1? Quel est l ensemble I tel que, pour tout ensemble X, on a #X I = 1? (e) Soit A, B, X trois ensembles. Établir une bijection naturelle : Ens(X, A B) Ens(X, A) Ens(X, B). En déduire : (A B) X #(A X B X ). (f)soit A,B,X trois ensembles. Établir une bijection : Ens(A X, B) Ens(A, Ens(X, B)). En déduire : #B A X = #(B X ) A. 11. Définition. La fonction caractéristique d une partie X d un ensemble E est la fonction car X : E {0, 1} : e { 1 si e X 0 si e / X Voici une représentation schématisée de la fonction caractéristique de la partie X de E. E 0 X 1 Ex 12. Visualiser la fonction caractéristique des parties Z, Q de R. Observer que toute partie X d un ensemble E est entièrement déterminée par sa fonction caractéristique.

15 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 11 Ex 13. Soit E un ensemble. La fonction est bijective : #(P(E)) = #(2 E ). car : P(E) {0, 1} E : X car X Si #E = n N, alors #(P(E)) = 2 n Ex 14. (a) Expliciter les ensembles P({a, b, c}), P({0}), P( ), en indiquant à chaque fois leur nombre d éléments. (b) Un ensemble de 5 éléments annonce qu il est en bijection avec l ensemble des parties d un autre ensemble. Dit-il vrai? (c) Un autre ensemble E nous informe que l ensemble de ses parties comprend 128 éléments. Combien y-a-t-il d éléments dans E? Ex 15. Combien y-a-t-il de relations de A vers B si #A = a N, #B = b N? 16. Définition. Soit f et g deux fonctions telles que le but B de f coïncide avec le domaine B de g : A f B g C. La composée de ces deux fonctions, notée g f, est la fonction de A dans C définie par : a A, (g f)(a) = g(f(a)). g f A C a g(fa)) En termes de graphe, une flèche de la fonction f suivie d une flèche de la fonction g donne une flèche de la fonction g f. La composition des fonctions est associative, si f, g, h sont trois fonctions telles que g f et h (g f) sont définies, alors h g et (h g) f sont aussi définies et (h g) f = h (g f). Elle est loin d être commutative. Chœur. Toute fonction identique est injective, surjective et bijective. La composée de deux fonctions injectives est une fonction injective. La composée de deux fonctions surjectives est une fonction surjective. La composée de deux fonctions bijectives est une fonction bijective.

16 12 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 17. Voici deux fonctions : f : R R 2 : t (t 2, t 3 ), g : R 2 R : (x, y) x y. Décrivez g f et f g. Ex 18. Voici trois permutations p, q, r de l ensemble {0, 1, 2, 3, 4} définies par : p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 0, p(3) = 3, p(4) = 4, q(0) = 0, q(1) = 1, q(2) = 3, q(3) = 2, q(4) = 4, r(0) = 1, r(1) = 0, r(2) = 3, r(3) = 2, r(4) = 4, Dessiner en vert le graphe de la permutation p et en bleu le graphe de la permutation q. Pour dessiner en rouge le graphe de la permutation p q, suivons les flèches : une flèche bleue suivie d une flèche verte nous donne une flèche rouge. Dessiner aussi le graphe des permutations q p, p r. 19. Entre dessins et notations. La permutation h dont voici le graphe sera notée h = (3, 4, 5) (1, 2) ou h = ( ) Mais elle pourra aussi être notée h = (2, 1) (5, 3, 4). De combien de façons pouvons-nous noter cette permutation h? La permutation p de l ex 18 sera notée p = p = (0, 1, 2). La permutation r de l ex 18 sera notée r = r = (0, 1) (2, 3). ( ( ) ) ou ou Ex 20. Voici deux fonctions s : N N : n n + 1, p : N N : p(n) = n 1 si n > 0, p(0) = 0. Dessiner en couleur les graphes des fonctions s, p, s p, p s. Ces fonctions sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Ex 21. Soit D, D deux droites du plan réel Π et soit 0 un point de D. Nous désignerons par s D la symétrie par rapport à la droite D, par r θ la rotation autour de 0 d angle θ, dans le sens trigonométrique. Remarquons que s D, s D, r θ S Π. Décrire les composées s D s D, s D s D, s D s D, r θ r θ, s D r θ.

17 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 13 Ex 22. Soit A f B et B g C deux fonctions. Démontrer : g f injective f injective, g f surjective g surjective, g f bijective (f injective et g surjective). Ex 23. Soit f : A B une fonction. (a) Cette fonction est injective si et seulement si, pour tout ensemble X et pour tout h 1, h 2 Ens(X, A), f h 1 = f h 2 h 1 = h 2. (b) Cette fonction est surjective si et seulement si, pour tout ensemble Y et pour tout g 1, g 2 Ens(B, Y ), g 1 f = g 2 f g 1 = g 2. (c) Cette fonction f est bijective si et seulement s il existe une fonction g : B A telle que g f = 1 A et f g = 1 B. Dans ce cas la relation f 1 est bijective et nous avons g = f 1. Ex 24. Soit f : A B une fonction. Cette fonction est injective si et seulement s il existe une fonction g : B A telle que g f = 1 A. Cette fonction est surjective si et seulement s il existe une fonction h : B A telle que f h = 1 B. Notons que la preuve de cette dernière assertion nécessite de faire certains choix, plus précisément utilise l axiome du choix que voici et dont les algébristes n aiment guère se passer. Axiome du choix : étant donné un ensemble d ensembles non vides, il est possible de choisir simultanément un élément dans chacun d entre eux. 25. Restriction de fonction Soit f : A B une fonction et soit i : A A l injection canonique d une partie A de A dans A. La restriction de la fonction f à la partie A de Dom(f) est la fonction f i : A B, elle est souvent désignée par f A. A f B i A f A

18 14 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Dans certains cas, nous pouvons faire aussi une restriction sur le but de la fonction. Soit encore j : B B l injection canonique d une partie B de B dans B. Si f (A ) = {f(a ) a A } B, la restriction de f à A et B est la fonction f A,B : A B : a f(a ). Ces fonctions s inscrivent dans le diagramme commutatif f A,B A B i A f j B Ex 26. Les fonctions «image directe» et «image inverse». Soit f : A B une fonction. Rappelons que l image directe par f d une partie A de A a été définie par f (A ) = {f(a ) a A}, que l image inverse par f d une partie B de B a été définie par f (B ) = {a A f(a) B } Avec ces notions d image directe et d image inverse, la fonction A f B donne naissance à deux nouvelles fonctions f P(A) P(B) A f (A ) et f P(A) P(B) f (B ) B Ces fonctions respectent l inclusion : A 1, A 2 A, B 1, B 2 B Nous avons aussi : A 1 A 2 f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 ) f (B 2 ) B 1 B 2 A 1 f (B 1 ) ssi f (A 1 ) B 1 A 1 f (f (A 1 )) et B 1 f (f (B 1 )) Signalons que les deux dernières inclusions peuvent être strictes. Nous avons encore : f (B 1 B 2 ) = f (B 1 ) f (B 2 ) et f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 B 2 ) = f (B 1 ) f (B 2 ) et f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 \ B 2 ) = f (B 1 ) \ f (B 2 ) et f (A 1 \ A 2 ) f (A 1 ) \ f (A 2 ) Ici encore, les inclusions peuvent être strictes.

19 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE Préordre, ordre, équivalence 1. Définitions. Une relation R dans un ensemble A est réflexive si, a A, ara, transitive si, x, y, z A, (xry et yrz) xrz, antisymétrique si, x, y A, (xry et yrx) x = y, symétrique si, x, y A, xry yrx. Ex 2. Voici le graphe d une relation dans un ensemble de trois éléments. Cette relation n est pas réflexive, elle n est ni symétrique ni antisymétrique et elle n est pas transitive. Pourquoi? Que faut-il lui ajouter pour qu elle devienne transitive? 3. Définitions. Un préordre sur l ensemble A est une relation dans A réflexive et transitive, parfois notée. Un ordre sur A est un préordre antisymétrique. Un ordre total sur A est un ordre tel que, x, y A, x y ou y x. Une équivalence sur A est une relation dans A (souvent notée ) réflexive, symétrique et transitive. Un ensemble ordonné (préordonné) est un ensemble muni d un ordre (préordre). Certains auteurs utilisent aussi le terme «ordre strict», un ordre strict sur l ensemble A est une relation R dans A transitive et antisymétrique telle que, a A, (a, a) / R. Attention, un ordre strict n est pas un ordre. Ex 4. La relation identique 1 E sur un ensemble E est à la fois symétrique et antisymétrique, est à la fois un ordre et une équivalence. 5. Définitions. Dans un ensemble préordonné (E, ), un élément e de E est un minimum de la partie P de E si e P et si, x P, e x. Un élément e de E est un maximum de la partie P de E si e P et si, x P, x e. On démontre aisément qu une partie P d un ordonné E, possède au plus un minimum et au plus un maximum. S ils existent, ils seront désignés respectivement par min(p ) et max(p ). Ex 6. On définit la relation «divise», notée, dans l ensemble des naturels N par : a, b N, a b si m N tel que b = ma. De façon analogue, on définit la relation dans l ensemble Z des entiers par : a, b Z, a b si m Z tel que b = ma. Dessiner une partie du graphe de la relation divise dans N, dans Z. Remarquer : z Z, 1 z et z 0, 0 0.

20 16 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES La relation dans N est-elle antisymétrique, la relation dans Z est-elle antisymétrique? Ex 7. Voici quelques ensembles munis chacun d une relation : (N, ) (N, <) (Z, ) (N, ) (Z, ) (P(E), ) (E, 1 E ). Ces relations sont-elles réflexives, symétriques, transitives, antisymétriques? Sont-elles des préordres, des ordres, des ordres totaux, des équivalences? Les ensembles préordonnés figurant dans cette liste possèdent-ils un ou plusieurs minima, un ou plusieurs maxima? 8. Généralités. (a) Une partition d un ensemble E est un ensemble de parties non vides de E, appelées pièces de la partition, tel que chaque élément de E appartienne à une et une seule de ces parties. De façon plus formelle, une partition d un ensemble E est un ensemble P P(E) tel que (i) X P, X, (ii) P = E, (iii) X, Y P (X Y X Y = ). Voici le dessin d une partition d un ensemble en trois pièces. Toute partition de l ensemble E définit une relation d équivalence sur E : deux éléments de E sont dits équivalents s ils appartiennent à la même pièce de la partition. (b) Réciproquement, toute relation d équivalence sur l ensemble E définit une partition de E. Pour voir ceci, définissons la classe d équivalence d un élément e de E comme étant la partie C e de E définie par C e = {x E x e}, C e E. Selon le contexte, cette classe d équivalence pourra aussi être notée par ē, [e] ou simplement par [e]. Ces classes d équivalence forment une partition de E car on a : e E, e C e, les classes d équivalence sont donc non vides et leur réunion est E, (E = C e ), e E et aussi : ((C e C e ) ) (C e = C e )), deux classes distinctes sont disjointes. (c) Nous voyons les classes de l équivalence sur E comme les éléments d un nouvel ensemble appelé ensemble quotient de E par l équivalence, noté (E/ ). Autrement écrit :. (E/ ) = {C e e E}

21 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE 17 La projection canonique de l ensemble E sur son quotient (E/ ) est la fonction p : E (E/ ) : e C e. Cette projection canonique est toujours surjective. A nouveau, on indique parfois que p est une projection canonique par p : E (E/ ). Voici esquissé en pointillé le graphe d une projection canonique (d) Remarque : puisque formellement une partition d un ensemble E est une partie P de P(E) satisfaisant les conditions énoncées plus haut, une partition de l ensemble E est aussi le quotient de cet ensemble par l équivalence associée à cette partition. Ex 9. (a) Nous dirons que deux nombres entiers z et z sont équivalents modulo 4 et nous écrirons z 4 z si z z est un multiple de 4. Vérifier que cette relation 4 est effectivement une relation d équivalence sur Z. Ses classes d équivalence sont au nombre de 4, les voici : 4Z = {4z z Z}, (1 + 4Z) = {1 + 4z z Z}, (2 + 4Z) = {2 + 4z z Z}, (3 + 4Z) = {3 + 4z z Z}. (b) Dans l ensemble R 2, on définit une relation d équivalence par : x, y, x, y R, (x, y) (x, y ) si xy = x y.(vérifier rapidemment que est une relation d équivalence dans R). Identifiant R 2 à l ensemble des points du plan réel muni d un système de coordonnées, décrire et dessiner la classe d équivalence du point (1,2), d un point quelconque (a, b). Visualiser la partition de R 2 associée à cette équivalence. Déterminer de la façon la plus agréable possible une partie S du plan réel comprenant exactement un point de chaque classe d équivalence. Une telle partie S sera appelée système de représentants de la relation d équivalence dans R et un élément s de S sera appelé le représentant choisi de sa classe d équivalence C s.. Si S est un système de représentants de la relation d équivalence, remarquer que la fonction S (R 2 / ) : s C s (où s S R 2 ) est bijective. Etablir une bijection R (R 2 / ). (Ultérieurement, ces exemples fourniront aussi des exemples de groupes quotients.)

BJ - RELATIONS BINAIRES

BJ - RELATIONS BINAIRES BJ - RELATIONS BINAIRES Définitions Soit A et B deux ensembles non vides, et G une partie de A B. On dit qu un élément x de A est relié à un élément y de B par une relation binaire de graphe G, si le couple

Plus en détail

Leçon 6. Savoir compter

Leçon 6. Savoir compter Leçon 6. Savoir compter Cette leçon est une introduction aux questions de dénombrements. Il s agit, d une part, de compter certains objets mathématiques (éléments, parties, applications,...) et, d autre

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Leçon 1: les entiers

Leçon 1: les entiers Leçon 1: les entiers L ensemble N des entiers naturels Compter, dresser des listes, classer et comparer des objets interviennent dans de multiples activités humaines. Les nombres entiers naturels sont

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications

Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au

Plus en détail

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités

Groupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres

Problèmes de Mathématiques Filtres et ultrafiltres Énoncé Soit E un ensemble non vide. On dit qu un sous-ensemble F de P(E) est un filtre sur E si (P 0 ) F. (P 1 ) (X, Y ) F 2, X Y F. (P 2 ) X F, Y P(E) : X Y Y F. (P 3 ) / F. Première Partie 1. Que dire

Plus en détail

Chapitre 1. Ensembles et sous-ensembles

Chapitre 1. Ensembles et sous-ensembles Chapitre 1 Ensembles et sous-ensembles 1. Notion d ensemble - Elément d un ensemble Un ensemble est une collection d objets satisfaisant un certain nombre de propriétés et chacun de ces objets est appelé

Plus en détail

Relations d ordre et relations d équivalence

Relations d ordre et relations d équivalence CHAPITRE 1 Relations d ordre et relations d équivalence 1.1 Définition Une relation sur un ensemble E est un sous-ensemble R de l ensemble E E, produit cartésien de E par lui-même. Par exemple, si E =

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures

Anneaux, algèbres. Chapitre 2. 2.1 Structures Chapitre 2 Anneaux, algèbres 2.1 Structures Un anneau est un ensemble A muni de deux opérations internes + et et d éléments 0 A et 1 A qui vérifient : associativité de l addition : commutativité de l addition

Plus en détail

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES

UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010. N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES UNIVERSITE D ORLEANS SL01MA11, Groupes 1 et 5 Département de Mathématiques 2009-2010 N. El Hage Hassan S EXPRIMER EN MATHÉMATIQUES 1 Les énoncés La plupart des phrases que l on rencontre dans un livre

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Le corps R des nombres réels

Le corps R des nombres réels Le corps R des nombres réels. Construction de R à l aide des suites de Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1 Relations binaires Relations d équivalence Exercice 1 [ 02643 ] [Correction] Soit R une relation binaire sur un ensemble E à la fois réflexive

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

1 Définition et premières propriétés des congruences

1 Définition et premières propriétés des congruences Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS.

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas,

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Espaces vectoriels et applications

Espaces vectoriels et applications Espaces vectoriels et applications linéaires 1 Définitions On parle d espaces vectoriels sur le corps R ou sur le corps C. Les définitions sont les mêmes en substituant R à C ou vice versa. Définition

Plus en détail

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez

Espaces vectoriels. par Pierre Veuillez Espaces vectoriels par Pierre Veuillez 1 Objectifs : Disposer d un lieu où les opérations + et se comportent bien. Déterminer des bases (utilisation de la dimension) Représenter les vecteurs grace à leurs

Plus en détail

(ii) pour tout x X, on a e x = x.

(ii) pour tout x X, on a e x = x. COURS DE LICENCE 2014/15 4 Groupes agissant sur un ensemble Définition 4.1. Soit G un groupe, X un ensemble non vide, S(X) le groupe des bijections de X. Une action de G sur X ou une opération de G sur

Plus en détail

B03. Ensembles, applications, relations, groupes

B03. Ensembles, applications, relations, groupes B03. Ensembles, applications, relations, groupes Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 6 janvier 2006 Table des matières 1 Calcul propositionnel 2 2 Ensembles 5 3 Relations 7 4 Fonctions, applications

Plus en détail

CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1

CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 Université Paris 7 U3MI36 CHAPITRE 4 FORMES NORMALES SYSTEMES COMPLETS DE CONNECTEURS 1 4.1 Formes normales Définitions : 1) Une formule F est sous forme normale disjonctive si et seulement si il existe

Plus en détail

Exercices à savoir faire

Exercices à savoir faire Licence 1 Mathématiques 2014 2015 Algèbre et Arithmétique 1 Feuille n o 2 Théorie des ensembles, applications Exercices à savoir faire Théorie des ensembles Exercice 1 Soit F l ensemble des femmes. Qu

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Fonctions homographiques On donne ci-dessous deux définitions des fonctions homographiques, et on montre que ces deux définitions sont équivalentes. On décrit la courbe représentative d une fonction homographique.

Plus en détail

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels.

Licence de Sciences et Technologies. Fiche de cours 1 - Nombres réels. Licence de Sciences et Technologies EM21 - Analyse Fiche de cours 1 - Nombres réels. On connaît les ensembles suivants, tous munis d une addition, d une multiplication, et d une relation d ordre compatibles

Plus en détail

Plans projectifs, arithmétique modulaire et Dobble

Plans projectifs, arithmétique modulaire et Dobble Plans projectifs, arithmétique modulaire et Dobble M. Deléglise 27 février 2013 Résumé Le jeu de Dobble édité par Asmodée est une excellente occasion d introduire des objets mathématiques importants :

Plus en détail

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel

Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel Master ICA Spécialité IHS Année 2007/2008 Mathématiques pour l Informatique Relations binaires Jérôme Gensel I) Relations binaires 1. Généralités Définition 1 : Une relation binaire d un ensemble E vers

Plus en détail

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F.

Espaces vectoriels 2006-2007. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Espaces vectoriels Convention 1. Dans toute la suite, k désignera un corps quelconque. Définition 2.

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-201 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre III : Polynômes 1 Fonctions polynômes & polynômes Définition 1. Soit

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n 18 Applications linéaires 1 Définition Exercice 1 Déterminer si les applications f i suivantes (de E i dans F i ) sont linéaires : f 1 : (x, y) R (x + y, x

Plus en détail

Théorie des ensembles

Théorie des ensembles Théorie des ensembles Cours de licence d informatique Saint-Etienne 2002/2003 Bruno Deschamps 2 Contents 1 Eléments de théorie des ensembles 3 1.1 Introduction au calcul propositionnel..................

Plus en détail

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume.

Le Déterminant. par Alain Prouté Université Denis Diderot Paris 7. 1 Permutations. 1. 2 Application transposée, base duale. 3. 3 Mesures de volume. Ce cours peut être librement copié et distribué. Il est recommandé d en télécharger la version la plus récente à partir de : http://www.math.jussieu.fr/~alp. Toute remarque, correction ou suggestion doit

Plus en détail

Le raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence Le raisonnement par récurrence Nous notons N l ensemble des entiers naturels : N = {0,,, } Nous dirons naturel au lieu de entier naturel Le principe du raisonnement par récurrence Soit A une partie de

Plus en détail

Primitives Cours maths Terminale S

Primitives Cours maths Terminale S Primitives Cours maths Terminale S Dans ce module est introduite la notion de primitive d une fonction sur un intervalle. On définit cette notion puis on montre qu une fonction admet une infinité de primitives

Plus en détail

Cours fonctions, expressions algébriques

Cours fonctions, expressions algébriques I. Expressions algébriques, équations a) Développement factorisation Développer Développer un produit, c est l écrire sous forme d une somme. Réduire une somme, c est l écrire avec le moins de termes possibles.

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE

TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE TOPOLOGIE DE LA DROITE REELLE P. Pansu 16 mai 2005 1 Qu est-ce que la topologie? C est l étude des propriétés des objets qui sont conservées par déformation continue. Belle phrase, mais qui nécessite d

Plus en détail

Points fixes de fonctions à domaine fini

Points fixes de fonctions à domaine fini ÉCOLE POLYTECHNIQUE ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE CACHAN ÉCOLE SUPÉRIEURE DE PHYSIQUE ET DE CHIMIE INDUSTRIELLES CONCOURS D ADMISSION 2013 FILIÈRE MP HORS SPÉCIALITÉ INFO FILIÈRE PC COMPOSITION D INFORMATIQUE

Plus en détail

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé

Chapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre

1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre 1 Fiche méthodologique Passage d un mode de représentation d un sev à l autre BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deux modes de représentation des sous-espaces vectoriels Il existe deux modes

Plus en détail

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite

Suites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique :

Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique : Université Bordeaux 1 Licence de Sciences, Technologies, Santé Mathématiques, Informatique, Sciences de la Matière et Ingénierie M1MI1002 Fondamentaux pour les Mathématiques et l Informatique Fondamentaux

Plus en détail

Sous-groupes additifs de Z. Résolution dans Z d une équation de la forme ax+by=c.

Sous-groupes additifs de Z. Résolution dans Z d une équation de la forme ax+by=c. Sous-groupes additifs de Z. Égalité de Bézout. Résolution dans Z d une équation de la forme ax+by=c. Il s agit de l exposé de CAPES numéro 12 (2006). Les prérequis principaux sont les suivants : Le fait

Plus en détail

Exo7. Lemme Chinois. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud

Exo7. Lemme Chinois. Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Énoncés : V. Gritsenko Corrections : J.-F. Barraud Exo7 Lemme Chinois Exercice 1 Soient A un anneau et I et J les idéaux de A tels que I + J = (1). Démontrer que I n + J m = (1) quels que soient entiers

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

1 Notion d espace vectoriel

1 Notion d espace vectoriel Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Résumé de cours sur les espaces vectoriels et les applications linéaires Les vecteurs du plan, les nombres réels, et les polynômes à coefficients

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Généralités sur les graphes

Généralités sur les graphes Généralités sur les graphes Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Notion de graphe 3 1.1 Un peu de vocabulaire.......................................... 3 1.2 Ordre d un graphe,

Plus en détail

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre

Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Université Lille 1 Algèbre 2010/11 M51.MIMP Fiche n 1: Groupe, sous-groupe, ordre Exercice 1 On considère sur R la loi de composition définie par x y = x + y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?

Plus en détail

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps

Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Maths PCSI Cours Structures algébriques : groupes, anneaux et corps Table des matières 1 Groupes 2 1.1 Lois de composition interne..................................... 2 1.2 Groupes................................................

Plus en détail

Une relation R sur E est transitive si x, y, z E, (xry et yrz) xrz. Question 1.1 Est-ce-qu une relation alternée est toujours antisymétrique?

Une relation R sur E est transitive si x, y, z E, (xry et yrz) xrz. Question 1.1 Est-ce-qu une relation alternée est toujours antisymétrique? Domaine Sciences et Technologies Licence d informatique Automates et circuits 2ième Devoir Surveillé Durée : 2 heures Année 2012-13 Aucun document autorisé Calculatrice interdite Nous vous recommandons

Plus en détail

Structures Algébriques Groupes : exercices

Structures Algébriques Groupes : exercices Institut Galilée Université Paris XIII Structures Algébriques Groupes : exercices L3 semestre 5 2012-2013 Exercice 1 Soit (G, ) un ensemble muni d une loi de composition associative. Montrer que G est

Plus en détail

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes.

Groupes et Actions de groupes. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Groupes et Actions de groupes On présente ici des notions de base de théorie des groupes pour l agrégation interne. 1 Groupes, morphismes et actions de groupes. Un groupe (G, ), ou plus simplement G, est

Plus en détail

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Relations binaires. 1 Produits cartésiens et graphes. 2 Relations binaires. 1.1 Produit cartésien E F. 1.2 Graphe dans E F. 2.

Relations binaires. 1 Produits cartésiens et graphes. 2 Relations binaires. 1.1 Produit cartésien E F. 1.2 Graphe dans E F. 2. Relations binaires 1 Produits cartésiens et graphes 1.1 Produit cartésien E F Soient E et F deux ensembles non vides. E F = {(x; y) / x E et y F } Si E = F, E F = E 2 (carré cartésien) Soit (a; b) E F.

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE POITIERS

UNIVERSITÉ DE POITIERS UNIVERSITÉ DE POITIERS Faculté des Sciences Fondamentales et Appliquées Mathématiques PREMIÈRE ANNEE DE LA LICENCE DE SCIENCES ET TECHNOLOGIES UE L «algèbre linéaire» Plan du cours Exercices Enoncés des

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

Dénombrement, opérations sur les ensembles.

Dénombrement, opérations sur les ensembles. Université Pierre et Marie Curie 2013-2014 Probabilités et statistiques - LM345 Feuille 1 (du 16 au 20 septembre 2013) Dénombrement, opérations sur les ensembles 1 Combien de façons y a-t-il de classer

Plus en détail

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle

La mesure de Lebesgue sur la droite réelle Chapitre 1 La mesure de Lebesgue sur la droite réelle 1.1 Ensemble mesurable au sens de Lebesgue 1.1.1 Mesure extérieure Définition 1.1.1. Un intervalle est une partie convexe de R. L ensemble vide et

Plus en détail

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé

Jusqu'à présent. Au programme. Cardinalité Ensembles nis Ensembles dénombrables. Relations Opérations Relations. Conclusions. Nous avons déjà abordé Jusqu'à présent Nous avons déjà abordé Vers l'inni David Teller 23/01/2007 Les ensembles Le regroupement de valeurs caractérisées par des critères. Informatique Types. Physique Unités. Logique Domaines.

Plus en détail

Les graphes planaires

Les graphes planaires Les graphes planaires Complément au chapitre 2 «Les villas du Bellevue» Dans le chapitre «Les villas du Bellevue», Manori donne la définition suivante à Sébastien. Définition Un graphe est «planaire» si

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

SOMMES ET PRODUITS. 1 Techniques de calcul. 1.1 Le symbole. 1.2 Règles de calcul. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot SOMMES ET PRODUITS 1 Techniques de calcul 1.1 Le symbole Notation 1.1 Soient m et n deux entiers naturels. Alors { a m + a m+1 + + a + a n si m n, a = 0 sinon. On peut aussi noter m n =m a ou encore m,n

Plus en détail

Définitions. Si E = F on dit. (x, y) / G R signifie que x n est pas en relation avec y. 32/137. Exemple

Définitions. Si E = F on dit. (x, y) / G R signifie que x n est pas en relation avec y. 32/137. Exemple I Introduction II Wims Cours de Mathématiques IUT Orsay DUT INFORMATIQUE 1A - Semestre 1 III Calcul ensembliste IV Relations binaires, applications V Logique VI Raisonnement par récurrence, suites récurrentes

Plus en détail

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique

Notes de cours. Cours introductif sur la théorie des domaines. Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique Notes de cours Cours introductif sur la théorie des domaines Paul-André Melliès Modèles des langages de programmation Master Parisien de Recherche en Informatique 1 Ensembles ordonnés Definition 1.1 (ensemble

Plus en détail

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application

Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Démontrer le caractère injectif / surjectif / bijectif d une application Il s agit donc de montrer une propriété commençant par un symbole. La démonstration débute donc par : Soit (x 1, x 2 ) E 2. La propriété

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

L essentiel du cours

L essentiel du cours Terminale S et concours L essentiel du cours mathématiques Arithmétique - matrices Jean-Marc FITOUSSI Progress Editions Table des matières Arithmétique 01 LA DIVISIBILITÉ page 6 02 LA DIVISION EUCLIDIENNE

Plus en détail

le triangle de Pascal - le binôme de Newton

le triangle de Pascal - le binôme de Newton 1 / 51 le triangle de Pascal - le binôme de Newton une introduction J-P SPRIET 2015 2 / 51 Plan Voici un exposé présentant le triangle de Pascal et une application au binôme de Newton. 1 2 3 / 51 Plan

Plus en détail

CHAPITRE 6 Les vecteurs

CHAPITRE 6 Les vecteurs A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche"

Plus en détail

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009

Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 Université Joseph Fourier MAT231 2008-2009 mat231-exo-03.tex (29 septembre 2008) Feuille d exercices n o 3 Exercice 3.1 Soit K un corps commutatif et soit {P 0, P 1,... P n } une famille de polynômes de

Plus en détail

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint

Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint Chapitre 5: Opérateurs dans les espaces de Hilbert. Notions d opérateur adjoint 18 mars 2008 1 Généralités sur les opérateurs 1.1 Définitions Soient H et H deux espaces de Hilbert sur C. Définition 1.1

Plus en détail

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J =

Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 2015 Prof. A. Abdulle J = Algèbre linéaire avancée I Jeudi 8 Octobre 205 Prof. A. Abdulle EPFL Série 4 (Corrigé) Exercice Soit J M 2n 2n (R) la matrice définie par J 0 In, I n 0 où I n est la matrice identité de M n n (R) et 0

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT

MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT MULTIPLICATION RAPIDE : KARATSUBA ET FFT 1. Introduction La multiplication est une opération élémentaire qu on utilise évidemment très souvent, et la rapidité des nombreux algorithmes qui l utilisent dépend

Plus en détail

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S

Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Fonctions - Continuité Cours maths Terminale S Dans ce module, introduction d une nouvelle notion qu est la continuité d une fonction en un point. En repartant de la définition et de l illustration graphique

Plus en détail

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices

Relation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Logique informatique 2013-2014. Examen

Logique informatique 2013-2014. Examen Logique informatique 2013-2014. Examen 30 mai 2013. Durée 3h. Tous les documents sont autorisés. Seuls les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Le barême et la longueur des solutions

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES

MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES MATHÉMATIQUES ET SCIENCES HUMAINES B. MARCHADIER Dépendance et indépendance de deux aléas numériques images Mathématiques et sciences humaines, tome 25 (1969), p. 2534.

Plus en détail

2 30 402 457 1 est le plus grand nombre premier connu en 2005. Son ordre de grandeur est de :

2 30 402 457 1 est le plus grand nombre premier connu en 2005. Son ordre de grandeur est de : ARITHMETIQUE Emilien Suquet, suquet@automaths.com I Introduction aux différents ensembles de nombres L'ensemble de tous les nombres se nomme l'ensemble des réels. On le note IR (de real en allemand) On

Plus en détail

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh

2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh 2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables

Plus en détail

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material

Quadrature n 74 (2009) 10 22. Online Material Quadrature n 74 (009) 10 Online Material E. Brugallé, Online Material Un peu de géométrie tropicale Solutions des exercices Erwan Brugallé Université Pierre et Marie Curie, Paris 6, 175 rue du Chevaleret,

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini.

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités, cas d un univers fini. 1 Introduction Des actions comme lancer un dé, tirer une carte d un jeu, observer la durée de vie d une ampoule électrique, etc...sont

Plus en détail

III- Raisonnement par récurrence

III- Raisonnement par récurrence III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,

Plus en détail

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES

AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES AGRÉGATION INTERNE: RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES VINCENT GUEDJ 1. Notions fondamentales 1.1. Noyau, Image. On se donne E un K-espace vectoriel de dimension finie (K = R, C principalement) et f L(E) un

Plus en détail

Fonctions de référence Variation des fonctions associées

Fonctions de référence Variation des fonctions associées DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 05 à 8:33 Fonctions de référence Variation des fonctions associées Table des matières Fonction numérique. Définition.................................. Ensemble de définition...........................3

Plus en détail

Définitions. Numéro à préciser. (Durée : )

Définitions. Numéro à préciser. (Durée : ) Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.

Plus en détail

Les espaces vectoriels

Les espaces vectoriels Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES 1. Généralités Les espaces vectoriels Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif. 1.1. Notion d espace vectoriel On considère un ensemble E sur lequel

Plus en détail