Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

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1 Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010

2 ii

3 Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes Ensembles, relations, fonctions Préordre, ordre, équivalence Premières structures algébriques Autour des nombres entiers Groupes Groupes, sous-groupes, isomorphismes Classes latérales et homomorphismes Homomorphismes et groupes quotients Compléments sur les groupes Anneaux Quelques anneaux Homomorphismes, idéaux et anneaux quotients Factorisation dans un domaine Fractions, caractéristique et corps finis iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES

5 Chapitre 1 Quelques structures ensemblistes 1.0. Ensembles, relations, fonctions 0. Vocabulaire et notations. (a) Un ensemble est une collection d objets appelés éléments, ce qui ne veut pas dire que toute collection d objets est un ensemble. On écrit a E pour indiquer que l élément a appartient à l ensemble E, ce qui s exprime aussi en disant que l ensemble E comprend l élément a. On écrit a / E pour indiquer que a n appartient pas à E. Deux ensembles sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes éléments. Autrement dit les ensembles A et B sont égaux si et seulement si, pour tout élément x, x appartient à A si et seulement si x appartient à B, ce qui s écrit : (A = B) ( x, x A x B). L ensemble vide qui ne comprend aucun élément est désigné par. Un ensemble E est donc non vide s il existe un élément a appartenant à E, ce qui s écrit : a E. Un singleton est un ensemble ne comprenant qu un seul élément. Donc un ensemble A est singleton s il existe un et un seul élément a appartenant à A, ce qui s écrit :! a, a A. Le singleton de l élément a s écrit {a}. Les nombres naturels 0, 1, 2, 3, sont les éléments d un ensemble noté N. Les nombres naturels positifs 1, 2, 3, sont les éléments d un ensemble noté N 0. Les nombres entiers, 2, 1, 0, 1, 2, sont les éléments d un ensemble noté Z. Les nombres rationnels sont les éléments d un ensemble noté Q. Les nombres réels sont les éléments d un ensemble noté R. Les nombres réels non nuls sont les éléments d un ensemble noté R 0. Les nombres réels positifs ou nuls sont les éléments d un ensemble noté R +. Les nombres réels positifs sont les éléments d un ensemble noté R + 0. Les nombres complexes sont les éléments d un ensemble noté C. Et ainsi de suite. On peut parfois décrire un ensemble en énumérant ses éléments. On peut aussi décrire un ensemble en indiquant une propriété caractérisant ses éléments, par exemple l ensemble des nombres réels positifs ou nuls est décrit par R + = {r R r 0}. Voici deux façons différentes de décrire un autre 1

6 2 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES ensemble : {0, 1, 2} = {n N 0 n < 3}. (b) Un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie de l ensemble A si tout élément appartenant à A appartient à A. Formellement, ceci s écrit : a A a A et se lit : «a appartient à A implique que a appartient à A». On dit alors que A est contenu dans A ou inclu à A et on écrit indifféremment A A ou A A, on dit aussi que A contient A et on écrit encore A A ou A A. Si A A et si A A, on dit que l inclusion A A est stricte, on dit aussi que A est une partie propre de A et on écrit parfois A A. On écrit encore A A pour indiquer que A n est pas contenu dans A. (c) Les sous-ensembles d un ensemble E sont les éléments d un nouvel ensemble P(E) appelé ensemble des parties de E : P(E) = {E E E}. Nous avons : P(E), E P(E), donc P(E) n est jamais vide. Par ailleurs nous avons : a E si et seulement si {a} E si et seulement si {a} P(E). En particulier nous avons encore : { } P(E). (d) Attention, il convient de faire la différence entre appartenance et inclusion : Z R mais Z / R ; i C P(C), mais i C, C P(C) et i / P(C), bien que nous ayons : {i} C et que { {z} z C} soit une copie de C contenue dans P(C). Nous avons aussi 2 R + {R +, R }, mais 2 / {R +, R }. (e) Opérations ensemblistes. L intersection de deux ensembles A et B est définie par A B = {x x A et x B}. La réunion de deux ensembles est définie par A B = {x x A ou x B} ici, le «ou» n est pas exclusif : A B A B. La différence de deux ensembles A et B est définie par A \ B = {x x A et x / B}. Quand A est un sous-ensemble de l ensemble A, on dit aussi que A \ A est le complément de A dans A. La différence symétrique de deux ensembles A et B est l ensemble A B = (A \ B) (B \ A). (f) Propriétés des opérations ensemblistes. Les identités suivantes sont utiles et faciles à vérifier : pour tous ensembles A, B, C, (i) A (B C) = (A B) (A C), (ii) A (B C) = (A B) (A C), (iii) C (B \ A) = (C B) \ A,

7 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 3 (iv) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), (v) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), (vi) A \ (A \ B) = A B. Ces identités peuvent se vérifier sur un diagramme de Venn, c.à-d. un dessin représentant les trois ensembles A, B, C par trois disques distincts ayant une intersection commune, étant entendu qu un élément de l ensemble A est représenté par un point du disque A et ainsi de suite. Ce dessin partage la feuille de papier en 2 3 = 8 plages, ce qui correspond au fait qu il y a 2 3 possibilités pour un élément d appartenir ou non à chacun des trois ensembles A, B, C. (g) Opérations ensemblistes et connecteurs logiques. Les identités en (f) peuvent aussi se vérifier à l aide d une table de vérité, étant admis qu une proposition est soit vraie, soit fausse, se voit assigner la valeur 1 si elle est vraie, la valeur 0 si elle est fausse. Rappelons d abord la définition du «et» logique noté, celle du «ou» logique noté et celle de la «négation» logique notée en donnant les tables de vérité des propositions «p q», «p q» et «p», p et q étant elles-mêmes des propositions. p q p q p q p q p 1 0 p 0 1 Voici la table de vérité de l implication logique notée «p q». p q p q Observons que cette table est la même que celle de la proposition «p q», les propositions «p q» et «p q» sont équivalentes. Voici encore la table de vérité de l équivalence logique notée «p q». p q p q Notons que les propositions «p q» et «(p q) (q p)» ont même table de vérité. Voici maintenant la table de la proposition «x (C \ D)», qui est la même que celle de «(x C x D» et celle de «x C et x / D». x C x D x (C \ D)

8 4 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Remplaçant les propositions x C et x D par p et q on voit aussi que les propositions «(p q)» et «p q» ont même table de vérité, sont équivalentes. Voici maintenant la table de vérité de la proposition «x C \ (A B)». x A x B x C x C \ (A B) En remarquant que cette table est aussi la table de la proposition «x (C \ A) (C \ B)», on vérifie l identité en (f)(v). (h) Soit a un élément de l ensemble A et soit b un élément de l ensemble B. Nous formons avec ces éléments un nouvel élément (a, b) nommé couple, et nous disons que deux couples (a, b) et (a, b ) sont égaux si a = a et b = b. Le produit cartésien ou produit des ensembles A et B est l ensemble A B = {(a, b) a A, b B}. (i) Exerçons le vocabulaire et les notations. Sachant que a A et b A, indiquer les relations d appartenance et d inclusion entre a, (a, b), {a, b}, {a}, A, A A, P(A),. Un ensemble nous informe qu il est dépourvu de partie propre. Qui estil? Montrer que les propositions «(p q)» et «p q» sont équivalentes, c.-à-d. ont même table de vérité. Montrer aussi que les propositions «(p q)» et «p q» sont équivalentes. 1. Définitions. Une relation d un ensemble A vers un ensemble B est un sous-ensemble du produit cartésien A B. La relation réciproque d une relation R de A vers B est la relation de B vers A définie par R 1 = {(b, a) (a, b) R}. Une relation dans un ensemble A est une relation de A vers A. La relation identique d un ensemble A est la relation 1 A = {(a, a) a A}. 2. Notations. Soit R une relation de A vers B. Pour indiquer qu un couple (a, b) appartient à R (où a A, b B), on écrira indifféremment (a, b) R ou a R b ou on dessinera une flèche partant d un point représentant l élément a et aboutissant en un point représentant l élément b. L ensemble des flèches correspondant aux couples d une relation sera parfois appelé le graphe de la relation. Voici le graphe d une relation d un ensemble de quatre éléments vers un autre ensemble de quatre éléments.

9 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 5 3 Voici le graphe d une relation identique sur un ensemble de trois éléments 3. Vocabulaire. (a) Une fonction ou application f d un ensemble A dans un ensemble B assigne à chaque élément a de A un et un seul élément de B appelé souvent image de a par f ou valeur de f en a, souvent noté f(a) ou parfois a f. Si f est une fonction de A dans B, l ensemble A est appelé le domaine de f : A = Dom(f), l ensemble B est appelé le but de f : B = But(f). On indique que f est une fonction de A dans B par f : A B ou A f B. Pour déterminer une fonction, il faut indiquer quelle est l image de tous les éléments de son domaine. Voici quelques façons de faire pour une fonction f de R dans R R : f : R R R : t (t 2, t 3 ), f : R R R : f(t) = (t 2, t 3 ), ou encore R f R R t (t 2, t 3 ) (avec le sous-entendu t R et R est l ensemble des nombres réels). Il convient ici d être attentif à la terminologie. Certains mathématiciens utilisent le terme «fonction» dans un sens légèrement différent, disant qu une «fonction» de A dans B assigne à certains éléments a de A un et un seul élément f(a) de B. Ils disent alors que le domaine de la «fonction» f est l ensemble des éléments a de A tels que f(a) existe, ce domaine pouvant être strictement inclu à A. Nous ne suivons pas ici cet usage. (b) L image de la fonction f : A B est le sous-ensemble de B défini par Im(f) = {f(a) a A}, donc Im(f) B. Une fonction dont l image est un singleton est souvent appelée fonction constante. (c) Plus généralement, l image directe d une partie A de A par la fonction f : A B est la partie de B définie par f (A ) = {f(a) a A }. Avec ces notations, Im(f) = f (A).

10 6 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES L image inverse d une partie B de B par la fonction f : A B est la partie de A définie par f (B ) = {x A f(x) B }. D un coté nous avons : A A, A f (f (A )), cette inclusion peut être stricte. De l autre coté nous avons : B B, f (f (B ) B, cette inclusion est stricte dès que B Im(f). Attention. Par abus de notations, la partie f (A ) de B est souvent notée f(a ) bien que A / A = Dom(f). Et la partie f (B ) de A est souvent notée f 1 (B ) bien que f 1 ne soit pas nécessairement une fonction. (d) Le graphe d une fonction f : A B est le sous-ensemble de A B défini par Γ f = {(a, f(a)) a A}. On identifie souvent une fonction f : A B avec son graphe vu comme sous-ensemble de A B. Ceci nous permet de dire qu une fonction f de A dans B est une relation de A vers B satisfaisant la condition : a A!b B tel que (a, b) f. Ce point de vue étant adopté, nous dirons aussi que le graphe d une fonction f : A B est le graphe de la relation correspondante Γ f de A vers B. Voici le graphe d une fonction 3 Son domaine est l ensemble de gauche et chaque élément de son domaine lance exactement une flèche. Cependant, dans le cas où A et B sont deux sous-ensembles de l ensemble des nombres réels R, le graphe Γ f d une fonction f : A B, étant un sousensemble de R R, peut se dessiner dans le plan réel coordonné ; on dira aussi que ce dessin est le graphe de la fonction f. Voici esquissé le graphe de la fonction R R : x x 2 3 (e) Pour terminer ce vocabulaire, remarquons que la relation identique dans un ensemble A est une fonction de A dans A encore appelée fonction identique de A et aussi notée 1 A.

11 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 7 Ex 4. Les relations suivantes sont-elles des fonctions? Illustrez la réponse par un dessin, c.-à-d. par un graphe. (a) {(t 2, t) t R} R R (b) {(a, 0), (b, 1)} {a, b, c} {0, 1, 2} (c) {(n, n + 1) n N} N N (d) {(n + 1, n) n N} N N 5. Définitions. Soit f une fonction de l ensemble A dans l ensemble B. Cette fonction f est injective si, a 1, a 2 A, f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2. Voici le graphe d une fonction injective. Cette fonction f est surjective si, b B, a A tel que f(a) = b. Voici le graphe d une fonction surjective. 3 Cette fonction f est bijective si elle est injective et surjective. Voici le graphe d une fonction bijective. Remarquons que si f est une fonction bijective de A dans B, la relation réciproque f 1 est une fonction bijective de B dans A, appelée fonction réciproque de la fonction f. On indique parfois que f est une fonction bijective ou une bijection par f : A B.

12 8 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Une transformation d un ensemble A est une fonction de A dans A. Voici le graphe d une transformation d un ensemble de trois éléments. A. Une permutation d un ensemble A est une transformation bijective de Voici le graphe d une permutation. Voici le graphe de l unique permutation de l ensemble vide, qui, soit dit en passant, est aussi l unique transformation de l ensemble vide. L injection canonique d une partie A de l ensemble A dans A est la fonction i de A dans A définie par : a A, i(a ) = a. Cette fonction est injective, rarement surjective. On indique parfois que la fonction i est une injection canonique par i : A A. La projection canonique du produit cartésien A B sur son premier facteur A est la fonction p 1 : A B A : (a, b) a. Cette fonction est surjective dès que B, rarement injective. Dans le cas où B, on indique parfois que la fonction p 1 est une projection canonique par p 1 : A B B. La projection canonique p 2 de A B sur son second facteur B se définit de façon analogue. A A B p 1 p 2 B Ex 6. Parmi les fonctions obtenues à l ex 4, quelles sont celles qui sont injectives, surjectives, bijectives? 7. Principe de l alternative. Soit A et B deux ensembles finis ayant mêmes nombre d éléments et soit f : A B une fonction. Alors f est injective ssi f est bijective ssi f est surjective.

13 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 9 8. Notations. Soit A, B deux ensembles. L ensemble des fonctions de A dans B sera noté par B A ou par Ens(A, B) selon le contexte ou le goût du moment. L ensemble des permutations de A sera noté S A. 9. Taille d un ensemble. (a) Le cardinal d un ensemble A est un objet mathématique mesurant la taille de A. Nous ne nous attacherons pas ici à sa définition précise. Notons simplement que, dans la cas où A est un ensemble fini de n éléments, on écrit #A = n. Nous écrirons donc : 0 = #, #{0} = 1 = #{ }, #{0, 1} = 2 = #{, { }}. On dit que deux ensembles A et B ont même cardinal ou sont équipotents, et on écrit #A = #B ou A#B, s il existe une bijection de A dans B. S il existe une injection de A dans B, on écrit #A #B. S il existe une injection de A dans B et si aucune de ces injections n est bijective, on écrit #A < #B. (b) Pour clarifier les idées, mentionnons le théorème de Cantor- Bernstein : s il existe une injection de l ensemble A dans l ensemble B et une injection de l ensemble B dans l ensemble A, alors il existe une bijection de A dans B. Autrement dit : #A #B et #B #A #A = #B. De plus, étant donné deux ensembles A et B, il est possible moyennant certains choix de construire une injection de A dans B ou une injection de B dans A : #A #B ou #B #A (c) Un ensemble infini E est dénombrable si on peut «énumérer» ses éléments, c.à.d. s il existe une fonction bijective N E, où N désigne l ensemble des nombres naturels. L ensemble des nombres entiers Z, l ensemble des nombres rationnels Q et les ensembles N, N N, 2Z, sont dénombrables. L ensemble R des nombres réels n est pas dénombrable. E, (d) Un argument diagonal dû à Cantor montre que, pour tout ensemble #E < #P(E). (Esquissons l argument. Il suffit de monter que toute fonction f : E P(E) est non surjective. Soit donc f une telle fonction et soit P = {x E x / f(x)}. Supposons que cette partie P de E appartient à Im(f), nous avons alors un élément a E tel que P = f(a). Cet élément a appartient-il à P = f(a)? En tentant de répondre à cette question nous arrivons à la contradiction : a f(a) a / f(a). Donc P / Im(f).) (e) On peut aussi montrer : #R = #P(N). (f) Terminons en douceur ces considérations sur la taille des ensembles par une définition de l infini due à Dedekind :«un ensemble infini est un ensemble équipotent à une de ses parties propres».

14 10 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 10. (a) Soient A, B deux ensembles finis tels que #A = a et #B = b, où a, b N. Alors #(A B) = ab, #(B A ) = b a, #(S A ) = a!. Ceci nous incite à «définir» en toute généralité et avec un grain de sel le produit et l exponentielle de deux cardinaux par #A #B = #(A B) et #B #A = #(B A ) même lorsqu un de nos ensembles A et B est infini. Mais nous n avions pas défini de façon précise le cardinal d un ensemble A, l objet #A! Ceci ne nous empêche cependant pas de définir l expression «#A #B = #C» par «il existe une bijection A B C» et aussi l expression «#B #A = #C» par «il existe une bijection B A C»! (b) Si #A = a et #B = b, où a, b N, que vaut #{f : A B f est une injection de A dans B}? (c) Soit A un ensemble quelconque. Établir une bijection A {0,1} A A. L existence de cette bijection nous incline à écrire 2 = {0, 1}, A A = A 2. (d) Quels sont les ensembles F ayant la propriété suivante : pour tout ensemble X, #F X = 1? Quel est l ensemble I tel que, pour tout ensemble X, on a #X I = 1? (e) Soit A, B, X trois ensembles. Établir une bijection naturelle : Ens(X, A B) Ens(X, A) Ens(X, B). En déduire : (A B) X #(A X B X ). (f)soit A,B,X trois ensembles. Établir une bijection : Ens(A X, B) Ens(A, Ens(X, B)). En déduire : #B A X = #(B X ) A. 11. Définition. La fonction caractéristique d une partie X d un ensemble E est la fonction car X : E {0, 1} : e { 1 si e X 0 si e / X Voici une représentation schématisée de la fonction caractéristique de la partie X de E. E 0 X 1 Ex 12. Visualiser la fonction caractéristique des parties Z, Q de R. Observer que toute partie X d un ensemble E est entièrement déterminée par sa fonction caractéristique.

15 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 11 Ex 13. Soit E un ensemble. La fonction est bijective : #(P(E)) = #(2 E ). car : P(E) {0, 1} E : X car X Si #E = n N, alors #(P(E)) = 2 n Ex 14. (a) Expliciter les ensembles P({a, b, c}), P({0}), P( ), en indiquant à chaque fois leur nombre d éléments. (b) Un ensemble de 5 éléments annonce qu il est en bijection avec l ensemble des parties d un autre ensemble. Dit-il vrai? (c) Un autre ensemble E nous informe que l ensemble de ses parties comprend 128 éléments. Combien y-a-t-il d éléments dans E? Ex 15. Combien y-a-t-il de relations de A vers B si #A = a N, #B = b N? 16. Définition. Soit f et g deux fonctions telles que le but B de f coïncide avec le domaine B de g : A f B g C. La composée de ces deux fonctions, notée g f, est la fonction de A dans C définie par : a A, (g f)(a) = g(f(a)). g f A C a g(fa)) En termes de graphe, une flèche de la fonction f suivie d une flèche de la fonction g donne une flèche de la fonction g f. La composition des fonctions est associative, si f, g, h sont trois fonctions telles que g f et h (g f) sont définies, alors h g et (h g) f sont aussi définies et (h g) f = h (g f). Elle est loin d être commutative. Chœur. Toute fonction identique est injective, surjective et bijective. La composée de deux fonctions injectives est une fonction injective. La composée de deux fonctions surjectives est une fonction surjective. La composée de deux fonctions bijectives est une fonction bijective.

16 12 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 17. Voici deux fonctions : f : R R 2 : t (t 2, t 3 ), g : R 2 R : (x, y) x y. Décrivez g f et f g. Ex 18. Voici trois permutations p, q, r de l ensemble {0, 1, 2, 3, 4} définies par : p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 0, p(3) = 3, p(4) = 4, q(0) = 0, q(1) = 1, q(2) = 3, q(3) = 2, q(4) = 4, r(0) = 1, r(1) = 0, r(2) = 3, r(3) = 2, r(4) = 4, Dessiner en vert le graphe de la permutation p et en bleu le graphe de la permutation q. Pour dessiner en rouge le graphe de la permutation p q, suivons les flèches : une flèche bleue suivie d une flèche verte nous donne une flèche rouge. Dessiner aussi le graphe des permutations q p, p r. 19. Entre dessins et notations. La permutation h dont voici le graphe sera notée h = (3, 4, 5) (1, 2) ou h = ( ) Mais elle pourra aussi être notée h = (2, 1) (5, 3, 4). De combien de façons pouvons-nous noter cette permutation h? La permutation p de l ex 18 sera notée p = p = (0, 1, 2). La permutation r de l ex 18 sera notée r = r = (0, 1) (2, 3). ( ( ) ) ou ou Ex 20. Voici deux fonctions s : N N : n n + 1, p : N N : p(n) = n 1 si n > 0, p(0) = 0. Dessiner en couleur les graphes des fonctions s, p, s p, p s. Ces fonctions sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Ex 21. Soit D, D deux droites du plan réel Π et soit 0 un point de D. Nous désignerons par s D la symétrie par rapport à la droite D, par r θ la rotation autour de 0 d angle θ, dans le sens trigonométrique. Remarquons que s D, s D, r θ S Π. Décrire les composées s D s D, s D s D, s D s D, r θ r θ, s D r θ.

17 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 13 Ex 22. Soit A f B et B g C deux fonctions. Démontrer : g f injective f injective, g f surjective g surjective, g f bijective (f injective et g surjective). Ex 23. Soit f : A B une fonction. (a) Cette fonction est injective si et seulement si, pour tout ensemble X et pour tout h 1, h 2 Ens(X, A), f h 1 = f h 2 h 1 = h 2. (b) Cette fonction est surjective si et seulement si, pour tout ensemble Y et pour tout g 1, g 2 Ens(B, Y ), g 1 f = g 2 f g 1 = g 2. (c) Cette fonction f est bijective si et seulement s il existe une fonction g : B A telle que g f = 1 A et f g = 1 B. Dans ce cas la relation f 1 est bijective et nous avons g = f 1. Ex 24. Soit f : A B une fonction. Cette fonction est injective si et seulement s il existe une fonction g : B A telle que g f = 1 A. Cette fonction est surjective si et seulement s il existe une fonction h : B A telle que f h = 1 B. Notons que la preuve de cette dernière assertion nécessite de faire certains choix, plus précisément utilise l axiome du choix que voici et dont les algébristes n aiment guère se passer. Axiome du choix : étant donné un ensemble d ensembles non vides, il est possible de choisir simultanément un élément dans chacun d entre eux. 25. Restriction de fonction Soit f : A B une fonction et soit i : A A l injection canonique d une partie A de A dans A. La restriction de la fonction f à la partie A de Dom(f) est la fonction f i : A B, elle est souvent désignée par f A. A f B i A f A

18 14 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Dans certains cas, nous pouvons faire aussi une restriction sur le but de la fonction. Soit encore j : B B l injection canonique d une partie B de B dans B. Si f (A ) = {f(a ) a A } B, la restriction de f à A et B est la fonction f A,B : A B : a f(a ). Ces fonctions s inscrivent dans le diagramme commutatif f A,B A B i A f j B Ex 26. Les fonctions «image directe» et «image inverse». Soit f : A B une fonction. Rappelons que l image directe par f d une partie A de A a été définie par f (A ) = {f(a ) a A}, que l image inverse par f d une partie B de B a été définie par f (B ) = {a A f(a) B } Avec ces notions d image directe et d image inverse, la fonction A f B donne naissance à deux nouvelles fonctions f P(A) P(B) A f (A ) et f P(A) P(B) f (B ) B Ces fonctions respectent l inclusion : A 1, A 2 A, B 1, B 2 B Nous avons aussi : A 1 A 2 f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 ) f (B 2 ) B 1 B 2 A 1 f (B 1 ) ssi f (A 1 ) B 1 A 1 f (f (A 1 )) et B 1 f (f (B 1 )) Signalons que les deux dernières inclusions peuvent être strictes. Nous avons encore : f (B 1 B 2 ) = f (B 1 ) f (B 2 ) et f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 B 2 ) = f (B 1 ) f (B 2 ) et f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 \ B 2 ) = f (B 1 ) \ f (B 2 ) et f (A 1 \ A 2 ) f (A 1 ) \ f (A 2 ) Ici encore, les inclusions peuvent être strictes.

19 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE Préordre, ordre, équivalence 1. Définitions. Une relation R dans un ensemble A est réflexive si, a A, ara, transitive si, x, y, z A, (xry et yrz) xrz, antisymétrique si, x, y A, (xry et yrx) x = y, symétrique si, x, y A, xry yrx. Ex 2. Voici le graphe d une relation dans un ensemble de trois éléments. Cette relation n est pas réflexive, elle n est ni symétrique ni antisymétrique et elle n est pas transitive. Pourquoi? Que faut-il lui ajouter pour qu elle devienne transitive? 3. Définitions. Un préordre sur l ensemble A est une relation dans A réflexive et transitive, parfois notée. Un ordre sur A est un préordre antisymétrique. Un ordre total sur A est un ordre tel que, x, y A, x y ou y x. Une équivalence sur A est une relation dans A (souvent notée ) réflexive, symétrique et transitive. Un ensemble ordonné (préordonné) est un ensemble muni d un ordre (préordre). Certains auteurs utilisent aussi le terme «ordre strict», un ordre strict sur l ensemble A est une relation R dans A transitive et antisymétrique telle que, a A, (a, a) / R. Attention, un ordre strict n est pas un ordre. Ex 4. La relation identique 1 E sur un ensemble E est à la fois symétrique et antisymétrique, est à la fois un ordre et une équivalence. 5. Définitions. Dans un ensemble préordonné (E, ), un élément e de E est un minimum de la partie P de E si e P et si, x P, e x. Un élément e de E est un maximum de la partie P de E si e P et si, x P, x e. On démontre aisément qu une partie P d un ordonné E, possède au plus un minimum et au plus un maximum. S ils existent, ils seront désignés respectivement par min(p ) et max(p ). Ex 6. On définit la relation «divise», notée, dans l ensemble des naturels N par : a, b N, a b si m N tel que b = ma. De façon analogue, on définit la relation dans l ensemble Z des entiers par : a, b Z, a b si m Z tel que b = ma. Dessiner une partie du graphe de la relation divise dans N, dans Z. Remarquer : z Z, 1 z et z 0, 0 0.

20 16 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES La relation dans N est-elle antisymétrique, la relation dans Z est-elle antisymétrique? Ex 7. Voici quelques ensembles munis chacun d une relation : (N, ) (N, <) (Z, ) (N, ) (Z, ) (P(E), ) (E, 1 E ). Ces relations sont-elles réflexives, symétriques, transitives, antisymétriques? Sont-elles des préordres, des ordres, des ordres totaux, des équivalences? Les ensembles préordonnés figurant dans cette liste possèdent-ils un ou plusieurs minima, un ou plusieurs maxima? 8. Généralités. (a) Une partition d un ensemble E est un ensemble de parties non vides de E, appelées pièces de la partition, tel que chaque élément de E appartienne à une et une seule de ces parties. De façon plus formelle, une partition d un ensemble E est un ensemble P P(E) tel que (i) X P, X, (ii) P = E, (iii) X, Y P (X Y X Y = ). Voici le dessin d une partition d un ensemble en trois pièces. Toute partition de l ensemble E définit une relation d équivalence sur E : deux éléments de E sont dits équivalents s ils appartiennent à la même pièce de la partition. (b) Réciproquement, toute relation d équivalence sur l ensemble E définit une partition de E. Pour voir ceci, définissons la classe d équivalence d un élément e de E comme étant la partie C e de E définie par C e = {x E x e}, C e E. Selon le contexte, cette classe d équivalence pourra aussi être notée par ē, [e] ou simplement par [e]. Ces classes d équivalence forment une partition de E car on a : e E, e C e, les classes d équivalence sont donc non vides et leur réunion est E, (E = C e ), e E et aussi : ((C e C e ) ) (C e = C e )), deux classes distinctes sont disjointes. (c) Nous voyons les classes de l équivalence sur E comme les éléments d un nouvel ensemble appelé ensemble quotient de E par l équivalence, noté (E/ ). Autrement écrit :. (E/ ) = {C e e E}

21 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE 17 La projection canonique de l ensemble E sur son quotient (E/ ) est la fonction p : E (E/ ) : e C e. Cette projection canonique est toujours surjective. A nouveau, on indique parfois que p est une projection canonique par p : E (E/ ). Voici esquissé en pointillé le graphe d une projection canonique (d) Remarque : puisque formellement une partition d un ensemble E est une partie P de P(E) satisfaisant les conditions énoncées plus haut, une partition de l ensemble E est aussi le quotient de cet ensemble par l équivalence associée à cette partition. Ex 9. (a) Nous dirons que deux nombres entiers z et z sont équivalents modulo 4 et nous écrirons z 4 z si z z est un multiple de 4. Vérifier que cette relation 4 est effectivement une relation d équivalence sur Z. Ses classes d équivalence sont au nombre de 4, les voici : 4Z = {4z z Z}, (1 + 4Z) = {1 + 4z z Z}, (2 + 4Z) = {2 + 4z z Z}, (3 + 4Z) = {3 + 4z z Z}. (b) Dans l ensemble R 2, on définit une relation d équivalence par : x, y, x, y R, (x, y) (x, y ) si xy = x y.(vérifier rapidemment que est une relation d équivalence dans R). Identifiant R 2 à l ensemble des points du plan réel muni d un système de coordonnées, décrire et dessiner la classe d équivalence du point (1,2), d un point quelconque (a, b). Visualiser la partition de R 2 associée à cette équivalence. Déterminer de la façon la plus agréable possible une partie S du plan réel comprenant exactement un point de chaque classe d équivalence. Une telle partie S sera appelée système de représentants de la relation d équivalence dans R et un élément s de S sera appelé le représentant choisi de sa classe d équivalence C s.. Si S est un système de représentants de la relation d équivalence, remarquer que la fonction S (R 2 / ) : s C s (où s S R 2 ) est bijective. Etablir une bijection R (R 2 / ). (Ultérieurement, ces exemples fourniront aussi des exemples de groupes quotients.)