Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Transcription

1 Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010

2 ii

3 Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes Ensembles, relations, fonctions Préordre, ordre, équivalence Premières structures algébriques Autour des nombres entiers Groupes Groupes, sous-groupes, isomorphismes Classes latérales et homomorphismes Homomorphismes et groupes quotients Compléments sur les groupes Anneaux Quelques anneaux Homomorphismes, idéaux et anneaux quotients Factorisation dans un domaine Fractions, caractéristique et corps finis iii

4 iv TABLE DES MATIÈRES

5 Chapitre 1 Quelques structures ensemblistes 1.0. Ensembles, relations, fonctions 0. Vocabulaire et notations. (a) Un ensemble est une collection d objets appelés éléments, ce qui ne veut pas dire que toute collection d objets est un ensemble. On écrit a E pour indiquer que l élément a appartient à l ensemble E, ce qui s exprime aussi en disant que l ensemble E comprend l élément a. On écrit a / E pour indiquer que a n appartient pas à E. Deux ensembles sont égaux si et seulement s ils ont les mêmes éléments. Autrement dit les ensembles A et B sont égaux si et seulement si, pour tout élément x, x appartient à A si et seulement si x appartient à B, ce qui s écrit : (A = B) ( x, x A x B). L ensemble vide qui ne comprend aucun élément est désigné par. Un ensemble E est donc non vide s il existe un élément a appartenant à E, ce qui s écrit : a E. Un singleton est un ensemble ne comprenant qu un seul élément. Donc un ensemble A est singleton s il existe un et un seul élément a appartenant à A, ce qui s écrit :! a, a A. Le singleton de l élément a s écrit {a}. Les nombres naturels 0, 1, 2, 3, sont les éléments d un ensemble noté N. Les nombres naturels positifs 1, 2, 3, sont les éléments d un ensemble noté N 0. Les nombres entiers, 2, 1, 0, 1, 2, sont les éléments d un ensemble noté Z. Les nombres rationnels sont les éléments d un ensemble noté Q. Les nombres réels sont les éléments d un ensemble noté R. Les nombres réels non nuls sont les éléments d un ensemble noté R 0. Les nombres réels positifs ou nuls sont les éléments d un ensemble noté R +. Les nombres réels positifs sont les éléments d un ensemble noté R + 0. Les nombres complexes sont les éléments d un ensemble noté C. Et ainsi de suite. On peut parfois décrire un ensemble en énumérant ses éléments. On peut aussi décrire un ensemble en indiquant une propriété caractérisant ses éléments, par exemple l ensemble des nombres réels positifs ou nuls est décrit par R + = {r R r 0}. Voici deux façons différentes de décrire un autre 1

6 2 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES ensemble : {0, 1, 2} = {n N 0 n < 3}. (b) Un ensemble A est un sous-ensemble ou une partie de l ensemble A si tout élément appartenant à A appartient à A. Formellement, ceci s écrit : a A a A et se lit : «a appartient à A implique que a appartient à A». On dit alors que A est contenu dans A ou inclu à A et on écrit indifféremment A A ou A A, on dit aussi que A contient A et on écrit encore A A ou A A. Si A A et si A A, on dit que l inclusion A A est stricte, on dit aussi que A est une partie propre de A et on écrit parfois A A. On écrit encore A A pour indiquer que A n est pas contenu dans A. (c) Les sous-ensembles d un ensemble E sont les éléments d un nouvel ensemble P(E) appelé ensemble des parties de E : P(E) = {E E E}. Nous avons : P(E), E P(E), donc P(E) n est jamais vide. Par ailleurs nous avons : a E si et seulement si {a} E si et seulement si {a} P(E). En particulier nous avons encore : { } P(E). (d) Attention, il convient de faire la différence entre appartenance et inclusion : Z R mais Z / R ; i C P(C), mais i C, C P(C) et i / P(C), bien que nous ayons : {i} C et que { {z} z C} soit une copie de C contenue dans P(C). Nous avons aussi 2 R + {R +, R }, mais 2 / {R +, R }. (e) Opérations ensemblistes. L intersection de deux ensembles A et B est définie par A B = {x x A et x B}. La réunion de deux ensembles est définie par A B = {x x A ou x B} ici, le «ou» n est pas exclusif : A B A B. La différence de deux ensembles A et B est définie par A \ B = {x x A et x / B}. Quand A est un sous-ensemble de l ensemble A, on dit aussi que A \ A est le complément de A dans A. La différence symétrique de deux ensembles A et B est l ensemble A B = (A \ B) (B \ A). (f) Propriétés des opérations ensemblistes. Les identités suivantes sont utiles et faciles à vérifier : pour tous ensembles A, B, C, (i) A (B C) = (A B) (A C), (ii) A (B C) = (A B) (A C), (iii) C (B \ A) = (C B) \ A,

7 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 3 (iv) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), (v) C \ (A B) = (C \ A) (C \ B), (vi) A \ (A \ B) = A B. Ces identités peuvent se vérifier sur un diagramme de Venn, c.à-d. un dessin représentant les trois ensembles A, B, C par trois disques distincts ayant une intersection commune, étant entendu qu un élément de l ensemble A est représenté par un point du disque A et ainsi de suite. Ce dessin partage la feuille de papier en 2 3 = 8 plages, ce qui correspond au fait qu il y a 2 3 possibilités pour un élément d appartenir ou non à chacun des trois ensembles A, B, C. (g) Opérations ensemblistes et connecteurs logiques. Les identités en (f) peuvent aussi se vérifier à l aide d une table de vérité, étant admis qu une proposition est soit vraie, soit fausse, se voit assigner la valeur 1 si elle est vraie, la valeur 0 si elle est fausse. Rappelons d abord la définition du «et» logique noté, celle du «ou» logique noté et celle de la «négation» logique notée en donnant les tables de vérité des propositions «p q», «p q» et «p», p et q étant elles-mêmes des propositions. p q p q p q p q p 1 0 p 0 1 Voici la table de vérité de l implication logique notée «p q». p q p q Observons que cette table est la même que celle de la proposition «p q», les propositions «p q» et «p q» sont équivalentes. Voici encore la table de vérité de l équivalence logique notée «p q». p q p q Notons que les propositions «p q» et «(p q) (q p)» ont même table de vérité. Voici maintenant la table de la proposition «x (C \ D)», qui est la même que celle de «(x C x D» et celle de «x C et x / D». x C x D x (C \ D)

8 4 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Remplaçant les propositions x C et x D par p et q on voit aussi que les propositions «(p q)» et «p q» ont même table de vérité, sont équivalentes. Voici maintenant la table de vérité de la proposition «x C \ (A B)». x A x B x C x C \ (A B) En remarquant que cette table est aussi la table de la proposition «x (C \ A) (C \ B)», on vérifie l identité en (f)(v). (h) Soit a un élément de l ensemble A et soit b un élément de l ensemble B. Nous formons avec ces éléments un nouvel élément (a, b) nommé couple, et nous disons que deux couples (a, b) et (a, b ) sont égaux si a = a et b = b. Le produit cartésien ou produit des ensembles A et B est l ensemble A B = {(a, b) a A, b B}. (i) Exerçons le vocabulaire et les notations. Sachant que a A et b A, indiquer les relations d appartenance et d inclusion entre a, (a, b), {a, b}, {a}, A, A A, P(A),. Un ensemble nous informe qu il est dépourvu de partie propre. Qui estil? Montrer que les propositions «(p q)» et «p q» sont équivalentes, c.-à-d. ont même table de vérité. Montrer aussi que les propositions «(p q)» et «p q» sont équivalentes. 1. Définitions. Une relation d un ensemble A vers un ensemble B est un sous-ensemble du produit cartésien A B. La relation réciproque d une relation R de A vers B est la relation de B vers A définie par R 1 = {(b, a) (a, b) R}. Une relation dans un ensemble A est une relation de A vers A. La relation identique d un ensemble A est la relation 1 A = {(a, a) a A}. 2. Notations. Soit R une relation de A vers B. Pour indiquer qu un couple (a, b) appartient à R (où a A, b B), on écrira indifféremment (a, b) R ou a R b ou on dessinera une flèche partant d un point représentant l élément a et aboutissant en un point représentant l élément b. L ensemble des flèches correspondant aux couples d une relation sera parfois appelé le graphe de la relation. Voici le graphe d une relation d un ensemble de quatre éléments vers un autre ensemble de quatre éléments.

9 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 5 3 Voici le graphe d une relation identique sur un ensemble de trois éléments 3. Vocabulaire. (a) Une fonction ou application f d un ensemble A dans un ensemble B assigne à chaque élément a de A un et un seul élément de B appelé souvent image de a par f ou valeur de f en a, souvent noté f(a) ou parfois a f. Si f est une fonction de A dans B, l ensemble A est appelé le domaine de f : A = Dom(f), l ensemble B est appelé le but de f : B = But(f). On indique que f est une fonction de A dans B par f : A B ou A f B. Pour déterminer une fonction, il faut indiquer quelle est l image de tous les éléments de son domaine. Voici quelques façons de faire pour une fonction f de R dans R R : f : R R R : t (t 2, t 3 ), f : R R R : f(t) = (t 2, t 3 ), ou encore R f R R t (t 2, t 3 ) (avec le sous-entendu t R et R est l ensemble des nombres réels). Il convient ici d être attentif à la terminologie. Certains mathématiciens utilisent le terme «fonction» dans un sens légèrement différent, disant qu une «fonction» de A dans B assigne à certains éléments a de A un et un seul élément f(a) de B. Ils disent alors que le domaine de la «fonction» f est l ensemble des éléments a de A tels que f(a) existe, ce domaine pouvant être strictement inclu à A. Nous ne suivons pas ici cet usage. (b) L image de la fonction f : A B est le sous-ensemble de B défini par Im(f) = {f(a) a A}, donc Im(f) B. Une fonction dont l image est un singleton est souvent appelée fonction constante. (c) Plus généralement, l image directe d une partie A de A par la fonction f : A B est la partie de B définie par f (A ) = {f(a) a A }. Avec ces notations, Im(f) = f (A).

10 6 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES L image inverse d une partie B de B par la fonction f : A B est la partie de A définie par f (B ) = {x A f(x) B }. D un coté nous avons : A A, A f (f (A )), cette inclusion peut être stricte. De l autre coté nous avons : B B, f (f (B ) B, cette inclusion est stricte dès que B Im(f). Attention. Par abus de notations, la partie f (A ) de B est souvent notée f(a ) bien que A / A = Dom(f). Et la partie f (B ) de A est souvent notée f 1 (B ) bien que f 1 ne soit pas nécessairement une fonction. (d) Le graphe d une fonction f : A B est le sous-ensemble de A B défini par Γ f = {(a, f(a)) a A}. On identifie souvent une fonction f : A B avec son graphe vu comme sous-ensemble de A B. Ceci nous permet de dire qu une fonction f de A dans B est une relation de A vers B satisfaisant la condition : a A!b B tel que (a, b) f. Ce point de vue étant adopté, nous dirons aussi que le graphe d une fonction f : A B est le graphe de la relation correspondante Γ f de A vers B. Voici le graphe d une fonction 3 Son domaine est l ensemble de gauche et chaque élément de son domaine lance exactement une flèche. Cependant, dans le cas où A et B sont deux sous-ensembles de l ensemble des nombres réels R, le graphe Γ f d une fonction f : A B, étant un sousensemble de R R, peut se dessiner dans le plan réel coordonné ; on dira aussi que ce dessin est le graphe de la fonction f. Voici esquissé le graphe de la fonction R R : x x 2 3 (e) Pour terminer ce vocabulaire, remarquons que la relation identique dans un ensemble A est une fonction de A dans A encore appelée fonction identique de A et aussi notée 1 A.

11 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 7 Ex 4. Les relations suivantes sont-elles des fonctions? Illustrez la réponse par un dessin, c.-à-d. par un graphe. (a) {(t 2, t) t R} R R (b) {(a, 0), (b, 1)} {a, b, c} {0, 1, 2} (c) {(n, n + 1) n N} N N (d) {(n + 1, n) n N} N N 5. Définitions. Soit f une fonction de l ensemble A dans l ensemble B. Cette fonction f est injective si, a 1, a 2 A, f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2. Voici le graphe d une fonction injective. Cette fonction f est surjective si, b B, a A tel que f(a) = b. Voici le graphe d une fonction surjective. 3 Cette fonction f est bijective si elle est injective et surjective. Voici le graphe d une fonction bijective. Remarquons que si f est une fonction bijective de A dans B, la relation réciproque f 1 est une fonction bijective de B dans A, appelée fonction réciproque de la fonction f. On indique parfois que f est une fonction bijective ou une bijection par f : A B.

12 8 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Une transformation d un ensemble A est une fonction de A dans A. Voici le graphe d une transformation d un ensemble de trois éléments. A. Une permutation d un ensemble A est une transformation bijective de Voici le graphe d une permutation. Voici le graphe de l unique permutation de l ensemble vide, qui, soit dit en passant, est aussi l unique transformation de l ensemble vide. L injection canonique d une partie A de l ensemble A dans A est la fonction i de A dans A définie par : a A, i(a ) = a. Cette fonction est injective, rarement surjective. On indique parfois que la fonction i est une injection canonique par i : A A. La projection canonique du produit cartésien A B sur son premier facteur A est la fonction p 1 : A B A : (a, b) a. Cette fonction est surjective dès que B, rarement injective. Dans le cas où B, on indique parfois que la fonction p 1 est une projection canonique par p 1 : A B B. La projection canonique p 2 de A B sur son second facteur B se définit de façon analogue. A A B p 1 p 2 B Ex 6. Parmi les fonctions obtenues à l ex 4, quelles sont celles qui sont injectives, surjectives, bijectives? 7. Principe de l alternative. Soit A et B deux ensembles finis ayant mêmes nombre d éléments et soit f : A B une fonction. Alors f est injective ssi f est bijective ssi f est surjective.

13 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 9 8. Notations. Soit A, B deux ensembles. L ensemble des fonctions de A dans B sera noté par B A ou par Ens(A, B) selon le contexte ou le goût du moment. L ensemble des permutations de A sera noté S A. 9. Taille d un ensemble. (a) Le cardinal d un ensemble A est un objet mathématique mesurant la taille de A. Nous ne nous attacherons pas ici à sa définition précise. Notons simplement que, dans la cas où A est un ensemble fini de n éléments, on écrit #A = n. Nous écrirons donc : 0 = #, #{0} = 1 = #{ }, #{0, 1} = 2 = #{, { }}. On dit que deux ensembles A et B ont même cardinal ou sont équipotents, et on écrit #A = #B ou A#B, s il existe une bijection de A dans B. S il existe une injection de A dans B, on écrit #A #B. S il existe une injection de A dans B et si aucune de ces injections n est bijective, on écrit #A < #B. (b) Pour clarifier les idées, mentionnons le théorème de Cantor- Bernstein : s il existe une injection de l ensemble A dans l ensemble B et une injection de l ensemble B dans l ensemble A, alors il existe une bijection de A dans B. Autrement dit : #A #B et #B #A #A = #B. De plus, étant donné deux ensembles A et B, il est possible moyennant certains choix de construire une injection de A dans B ou une injection de B dans A : #A #B ou #B #A (c) Un ensemble infini E est dénombrable si on peut «énumérer» ses éléments, c.à.d. s il existe une fonction bijective N E, où N désigne l ensemble des nombres naturels. L ensemble des nombres entiers Z, l ensemble des nombres rationnels Q et les ensembles N, N N, 2Z, sont dénombrables. L ensemble R des nombres réels n est pas dénombrable. E, (d) Un argument diagonal dû à Cantor montre que, pour tout ensemble #E < #P(E). (Esquissons l argument. Il suffit de monter que toute fonction f : E P(E) est non surjective. Soit donc f une telle fonction et soit P = {x E x / f(x)}. Supposons que cette partie P de E appartient à Im(f), nous avons alors un élément a E tel que P = f(a). Cet élément a appartient-il à P = f(a)? En tentant de répondre à cette question nous arrivons à la contradiction : a f(a) a / f(a). Donc P / Im(f).) (e) On peut aussi montrer : #R = #P(N). (f) Terminons en douceur ces considérations sur la taille des ensembles par une définition de l infini due à Dedekind :«un ensemble infini est un ensemble équipotent à une de ses parties propres».

14 10 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 10. (a) Soient A, B deux ensembles finis tels que #A = a et #B = b, où a, b N. Alors #(A B) = ab, #(B A ) = b a, #(S A ) = a!. Ceci nous incite à «définir» en toute généralité et avec un grain de sel le produit et l exponentielle de deux cardinaux par #A #B = #(A B) et #B #A = #(B A ) même lorsqu un de nos ensembles A et B est infini. Mais nous n avions pas défini de façon précise le cardinal d un ensemble A, l objet #A! Ceci ne nous empêche cependant pas de définir l expression «#A #B = #C» par «il existe une bijection A B C» et aussi l expression «#B #A = #C» par «il existe une bijection B A C»! (b) Si #A = a et #B = b, où a, b N, que vaut #{f : A B f est une injection de A dans B}? (c) Soit A un ensemble quelconque. Établir une bijection A {0,1} A A. L existence de cette bijection nous incline à écrire 2 = {0, 1}, A A = A 2. (d) Quels sont les ensembles F ayant la propriété suivante : pour tout ensemble X, #F X = 1? Quel est l ensemble I tel que, pour tout ensemble X, on a #X I = 1? (e) Soit A, B, X trois ensembles. Établir une bijection naturelle : Ens(X, A B) Ens(X, A) Ens(X, B). En déduire : (A B) X #(A X B X ). (f)soit A,B,X trois ensembles. Établir une bijection : Ens(A X, B) Ens(A, Ens(X, B)). En déduire : #B A X = #(B X ) A. 11. Définition. La fonction caractéristique d une partie X d un ensemble E est la fonction car X : E {0, 1} : e { 1 si e X 0 si e / X Voici une représentation schématisée de la fonction caractéristique de la partie X de E. E 0 X 1 Ex 12. Visualiser la fonction caractéristique des parties Z, Q de R. Observer que toute partie X d un ensemble E est entièrement déterminée par sa fonction caractéristique.

15 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 11 Ex 13. Soit E un ensemble. La fonction est bijective : #(P(E)) = #(2 E ). car : P(E) {0, 1} E : X car X Si #E = n N, alors #(P(E)) = 2 n Ex 14. (a) Expliciter les ensembles P({a, b, c}), P({0}), P( ), en indiquant à chaque fois leur nombre d éléments. (b) Un ensemble de 5 éléments annonce qu il est en bijection avec l ensemble des parties d un autre ensemble. Dit-il vrai? (c) Un autre ensemble E nous informe que l ensemble de ses parties comprend 128 éléments. Combien y-a-t-il d éléments dans E? Ex 15. Combien y-a-t-il de relations de A vers B si #A = a N, #B = b N? 16. Définition. Soit f et g deux fonctions telles que le but B de f coïncide avec le domaine B de g : A f B g C. La composée de ces deux fonctions, notée g f, est la fonction de A dans C définie par : a A, (g f)(a) = g(f(a)). g f A C a g(fa)) En termes de graphe, une flèche de la fonction f suivie d une flèche de la fonction g donne une flèche de la fonction g f. La composition des fonctions est associative, si f, g, h sont trois fonctions telles que g f et h (g f) sont définies, alors h g et (h g) f sont aussi définies et (h g) f = h (g f). Elle est loin d être commutative. Chœur. Toute fonction identique est injective, surjective et bijective. La composée de deux fonctions injectives est une fonction injective. La composée de deux fonctions surjectives est une fonction surjective. La composée de deux fonctions bijectives est une fonction bijective.

16 12 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 17. Voici deux fonctions : f : R R 2 : t (t 2, t 3 ), g : R 2 R : (x, y) x y. Décrivez g f et f g. Ex 18. Voici trois permutations p, q, r de l ensemble {0, 1, 2, 3, 4} définies par : p(0) = 1, p(1) = 2, p(2) = 0, p(3) = 3, p(4) = 4, q(0) = 0, q(1) = 1, q(2) = 3, q(3) = 2, q(4) = 4, r(0) = 1, r(1) = 0, r(2) = 3, r(3) = 2, r(4) = 4, Dessiner en vert le graphe de la permutation p et en bleu le graphe de la permutation q. Pour dessiner en rouge le graphe de la permutation p q, suivons les flèches : une flèche bleue suivie d une flèche verte nous donne une flèche rouge. Dessiner aussi le graphe des permutations q p, p r. 19. Entre dessins et notations. La permutation h dont voici le graphe sera notée h = (3, 4, 5) (1, 2) ou h = ( ) Mais elle pourra aussi être notée h = (2, 1) (5, 3, 4). De combien de façons pouvons-nous noter cette permutation h? La permutation p de l ex 18 sera notée p = p = (0, 1, 2). La permutation r de l ex 18 sera notée r = r = (0, 1) (2, 3). ( ( ) ) ou ou Ex 20. Voici deux fonctions s : N N : n n + 1, p : N N : p(n) = n 1 si n > 0, p(0) = 0. Dessiner en couleur les graphes des fonctions s, p, s p, p s. Ces fonctions sont-elles injectives, surjectives, bijectives? Ex 21. Soit D, D deux droites du plan réel Π et soit 0 un point de D. Nous désignerons par s D la symétrie par rapport à la droite D, par r θ la rotation autour de 0 d angle θ, dans le sens trigonométrique. Remarquons que s D, s D, r θ S Π. Décrire les composées s D s D, s D s D, s D s D, r θ r θ, s D r θ.

17 1.0. ENSEMBLES, RELATIONS, FONCTIONS 13 Ex 22. Soit A f B et B g C deux fonctions. Démontrer : g f injective f injective, g f surjective g surjective, g f bijective (f injective et g surjective). Ex 23. Soit f : A B une fonction. (a) Cette fonction est injective si et seulement si, pour tout ensemble X et pour tout h 1, h 2 Ens(X, A), f h 1 = f h 2 h 1 = h 2. (b) Cette fonction est surjective si et seulement si, pour tout ensemble Y et pour tout g 1, g 2 Ens(B, Y ), g 1 f = g 2 f g 1 = g 2. (c) Cette fonction f est bijective si et seulement s il existe une fonction g : B A telle que g f = 1 A et f g = 1 B. Dans ce cas la relation f 1 est bijective et nous avons g = f 1. Ex 24. Soit f : A B une fonction. Cette fonction est injective si et seulement s il existe une fonction g : B A telle que g f = 1 A. Cette fonction est surjective si et seulement s il existe une fonction h : B A telle que f h = 1 B. Notons que la preuve de cette dernière assertion nécessite de faire certains choix, plus précisément utilise l axiome du choix que voici et dont les algébristes n aiment guère se passer. Axiome du choix : étant donné un ensemble d ensembles non vides, il est possible de choisir simultanément un élément dans chacun d entre eux. 25. Restriction de fonction Soit f : A B une fonction et soit i : A A l injection canonique d une partie A de A dans A. La restriction de la fonction f à la partie A de Dom(f) est la fonction f i : A B, elle est souvent désignée par f A. A f B i A f A

18 14 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Dans certains cas, nous pouvons faire aussi une restriction sur le but de la fonction. Soit encore j : B B l injection canonique d une partie B de B dans B. Si f (A ) = {f(a ) a A } B, la restriction de f à A et B est la fonction f A,B : A B : a f(a ). Ces fonctions s inscrivent dans le diagramme commutatif f A,B A B i A f j B Ex 26. Les fonctions «image directe» et «image inverse». Soit f : A B une fonction. Rappelons que l image directe par f d une partie A de A a été définie par f (A ) = {f(a ) a A}, que l image inverse par f d une partie B de B a été définie par f (B ) = {a A f(a) B } Avec ces notions d image directe et d image inverse, la fonction A f B donne naissance à deux nouvelles fonctions f P(A) P(B) A f (A ) et f P(A) P(B) f (B ) B Ces fonctions respectent l inclusion : A 1, A 2 A, B 1, B 2 B Nous avons aussi : A 1 A 2 f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 ) f (B 2 ) B 1 B 2 A 1 f (B 1 ) ssi f (A 1 ) B 1 A 1 f (f (A 1 )) et B 1 f (f (B 1 )) Signalons que les deux dernières inclusions peuvent être strictes. Nous avons encore : f (B 1 B 2 ) = f (B 1 ) f (B 2 ) et f (A 1 A 2 ) = f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 B 2 ) = f (B 1 ) f (B 2 ) et f (A 1 A 2 ) f (A 1 ) f (A 2 ) f (B 1 \ B 2 ) = f (B 1 ) \ f (B 2 ) et f (A 1 \ A 2 ) f (A 1 ) \ f (A 2 ) Ici encore, les inclusions peuvent être strictes.

19 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE Préordre, ordre, équivalence 1. Définitions. Une relation R dans un ensemble A est réflexive si, a A, ara, transitive si, x, y, z A, (xry et yrz) xrz, antisymétrique si, x, y A, (xry et yrx) x = y, symétrique si, x, y A, xry yrx. Ex 2. Voici le graphe d une relation dans un ensemble de trois éléments. Cette relation n est pas réflexive, elle n est ni symétrique ni antisymétrique et elle n est pas transitive. Pourquoi? Que faut-il lui ajouter pour qu elle devienne transitive? 3. Définitions. Un préordre sur l ensemble A est une relation dans A réflexive et transitive, parfois notée. Un ordre sur A est un préordre antisymétrique. Un ordre total sur A est un ordre tel que, x, y A, x y ou y x. Une équivalence sur A est une relation dans A (souvent notée ) réflexive, symétrique et transitive. Un ensemble ordonné (préordonné) est un ensemble muni d un ordre (préordre). Certains auteurs utilisent aussi le terme «ordre strict», un ordre strict sur l ensemble A est une relation R dans A transitive et antisymétrique telle que, a A, (a, a) / R. Attention, un ordre strict n est pas un ordre. Ex 4. La relation identique 1 E sur un ensemble E est à la fois symétrique et antisymétrique, est à la fois un ordre et une équivalence. 5. Définitions. Dans un ensemble préordonné (E, ), un élément e de E est un minimum de la partie P de E si e P et si, x P, e x. Un élément e de E est un maximum de la partie P de E si e P et si, x P, x e. On démontre aisément qu une partie P d un ordonné E, possède au plus un minimum et au plus un maximum. S ils existent, ils seront désignés respectivement par min(p ) et max(p ). Ex 6. On définit la relation «divise», notée, dans l ensemble des naturels N par : a, b N, a b si m N tel que b = ma. De façon analogue, on définit la relation dans l ensemble Z des entiers par : a, b Z, a b si m Z tel que b = ma. Dessiner une partie du graphe de la relation divise dans N, dans Z. Remarquer : z Z, 1 z et z 0, 0 0.

20 16 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES La relation dans N est-elle antisymétrique, la relation dans Z est-elle antisymétrique? Ex 7. Voici quelques ensembles munis chacun d une relation : (N, ) (N, <) (Z, ) (N, ) (Z, ) (P(E), ) (E, 1 E ). Ces relations sont-elles réflexives, symétriques, transitives, antisymétriques? Sont-elles des préordres, des ordres, des ordres totaux, des équivalences? Les ensembles préordonnés figurant dans cette liste possèdent-ils un ou plusieurs minima, un ou plusieurs maxima? 8. Généralités. (a) Une partition d un ensemble E est un ensemble de parties non vides de E, appelées pièces de la partition, tel que chaque élément de E appartienne à une et une seule de ces parties. De façon plus formelle, une partition d un ensemble E est un ensemble P P(E) tel que (i) X P, X, (ii) P = E, (iii) X, Y P (X Y X Y = ). Voici le dessin d une partition d un ensemble en trois pièces. Toute partition de l ensemble E définit une relation d équivalence sur E : deux éléments de E sont dits équivalents s ils appartiennent à la même pièce de la partition. (b) Réciproquement, toute relation d équivalence sur l ensemble E définit une partition de E. Pour voir ceci, définissons la classe d équivalence d un élément e de E comme étant la partie C e de E définie par C e = {x E x e}, C e E. Selon le contexte, cette classe d équivalence pourra aussi être notée par ē, [e] ou simplement par [e]. Ces classes d équivalence forment une partition de E car on a : e E, e C e, les classes d équivalence sont donc non vides et leur réunion est E, (E = C e ), e E et aussi : ((C e C e ) ) (C e = C e )), deux classes distinctes sont disjointes. (c) Nous voyons les classes de l équivalence sur E comme les éléments d un nouvel ensemble appelé ensemble quotient de E par l équivalence, noté (E/ ). Autrement écrit :. (E/ ) = {C e e E}

21 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE 17 La projection canonique de l ensemble E sur son quotient (E/ ) est la fonction p : E (E/ ) : e C e. Cette projection canonique est toujours surjective. A nouveau, on indique parfois que p est une projection canonique par p : E (E/ ). Voici esquissé en pointillé le graphe d une projection canonique (d) Remarque : puisque formellement une partition d un ensemble E est une partie P de P(E) satisfaisant les conditions énoncées plus haut, une partition de l ensemble E est aussi le quotient de cet ensemble par l équivalence associée à cette partition. Ex 9. (a) Nous dirons que deux nombres entiers z et z sont équivalents modulo 4 et nous écrirons z 4 z si z z est un multiple de 4. Vérifier que cette relation 4 est effectivement une relation d équivalence sur Z. Ses classes d équivalence sont au nombre de 4, les voici : 4Z = {4z z Z}, (1 + 4Z) = {1 + 4z z Z}, (2 + 4Z) = {2 + 4z z Z}, (3 + 4Z) = {3 + 4z z Z}. (b) Dans l ensemble R 2, on définit une relation d équivalence par : x, y, x, y R, (x, y) (x, y ) si xy = x y.(vérifier rapidemment que est une relation d équivalence dans R). Identifiant R 2 à l ensemble des points du plan réel muni d un système de coordonnées, décrire et dessiner la classe d équivalence du point (1,2), d un point quelconque (a, b). Visualiser la partition de R 2 associée à cette équivalence. Déterminer de la façon la plus agréable possible une partie S du plan réel comprenant exactement un point de chaque classe d équivalence. Une telle partie S sera appelée système de représentants de la relation d équivalence dans R et un élément s de S sera appelé le représentant choisi de sa classe d équivalence C s.. Si S est un système de représentants de la relation d équivalence, remarquer que la fonction S (R 2 / ) : s C s (où s S R 2 ) est bijective. Etablir une bijection R (R 2 / ). (Ultérieurement, ces exemples fourniront aussi des exemples de groupes quotients.)

22 18 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 10. Dans l ensemble C des nombres complexes, on définit une relation d équivalence par : z, z C, z z si z = z. Représentant un nombre complexe par un point du plan de Gauss, dessiner la classe d équivalence du nombre complexe 1 + i, d un nombre complexe quelconque. Visualiser la partition de C associé à cette équivalence. Déterminer de la façon la plus agréable possible un système de représentants pour cette relation d équivalence. Etablir une bijection R + C/, où R + = {x R x 0}. (Cet exemple aussi, convenablement épuré, fournira un exemple de groupe quotient.) Ex 11. Equivalence associée à une fonction. Toute fonction f : E E définit une partition de son domaine et une relation d équivalence sur son domaine E par : e 1, e 2 E, e 1 f e 2 si f(e 1 ) = f(e 2 ). Voici dessinée la partition du domaine d une fonction. 3 Désignons par C e la classe d équivalence de l élément e de E. (Remarquons que C e = f f ({e}) avec les notations introduites en(1.0,3).) Écrivons maintenant f(c e ) = f(e). Ceci a un sens car (C e = C e e f e f(e) = f(e ). Nous obtenons ainsi une fonction f : E/ f E Im(f) : C e f(e) qui est bijective par construction. On dit souvent que f est la bijection induite par f. Soit p : E (E/ f ) : e C e la projection canonique de E sur (E/ f ). Soit encore i : Im(f) E : y y l injection canonique de Im(f) dans E. Nous avons : f = i f p, ce qui s exprime en disant que le diagramme suivant est commutatif. E p f E i E/ f f Im(f)

23 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE 19 Ex 12. On donne la fonction f : Z 12 = {0, 1,..., 11} Z 12 : x (x 2 modulo 12), où (x 2 modulo 12) désigne le reste de la division de x 2 par 12, et on désigne par f l équivalence associée à cette fonction. Dessiner le graphe de cette fonction de la façon la plus claire possible en représentant son domaine Z 12 et son but Z 12 par deux disques disjoints comprenant les 12 éléments 0, 1,..., 11. Vérifier que Im(f) = {0, 1, 4, 9} Z 12. Dessiner sur Dom(f) les classes de l équivalence f. Vérifier que (Z 12 / f ) = {{0, 6}, {1, 5, 7, 11}, {2, 4, 8, 10}, {3, 9}}, que #(Z 12 / f ) = 4 = #Im(f). Ex 13. Dessiner les classes de l équivalence f associée à la fonction f : Z 15 = {0, 1,..., 14} Z 15 : x (3x modulo 15). Expliciter l ensemble quotient correspondant en indiquant son nombre d éléments. Ex 14. Décrire et dessiner dans le plan réel coordonné les classes d équivalence associées aux fonctions f : R 2 R : (x, y) y x 2, g : R 2 R : (x, y) x 2 + y 2. Décrire et dessiner aussi l image de ces fonctions dans la droite réelle coordonnée. Ex 15. Les relations d équivalence décrites aux ex 9, 10 peuvent être vues comme associées à certaines fonctions, lesquelles? Ex 16. On donne la fonction f : R C : x e 2πix (rappelons que e 2πix = cos(2πx) + i sin(2πx)). Déterminer Im(f). Montrer que f(a) = f(b) si et seulement si (a b) Z. Visualiser la classe de l équivalence f d un élément a de R et choisir un système de représentants des classes d équivalence. Etablir une bijection entre (R/ f ) et {z C z = 1}, entre (R/ f ) et [0, 1[. Nous pouvons penser à cette fonction comme à un enroulement de la droite réelle sur un cercle. Ultérieurement, nous verrons cette fonction, convenablement épurée, comme un homomorphisme de groupes. Ex 17. Soit C 0 l ensemble des complexes non nuls et soit f : C 0 C 0 : z z/ z. Dans le plan complexe, dessiner Im(f), dessiner aussi l image d un élément quelconque z de C 0. Dessiner la classe de l équivalence f d un élément quelconque de C 0. Etablir une bijection entre (C 0 / f ) et {z C z = 1}. (Cette fonction sera aussi un exemple d homomorphisme de groupes.)

24 20 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Ex 18. Cartographie et météo. Le bulletin météo nous montre une carte géographique avec les isobares, ce sont les classes d équivalence associées à la fonction qui assigne à chaque point de la carte la pression relevée à l endroit correspondant à ce point à un moment déterminé. Sur une carte indiquant le relief d une contrée, les courbes de niveau sont les classes d équivalence associées à la fonction qui assigne à chaque point de la carte l altitude de l endroit représenté par ce point. Ex 19. A peu de chose près. (a) Nous dirons qu un ensemble A est presque contenu dans l ensemble A et nous écrirons A A si la différence A \ A est un ensemble fini. Vérifier que nous obtenons ainsi un préordre sur tout ensemble E d ensembles, en particulier sur l ensemble P(E) des parties de l ensemble E. (Indication : utiliser la relation (A 1 \ A 3 ) ((A 1 \ A 2 ) (A 2 \ A 3 )) après l avoir vérifiée.) (b) Nous dirons ensuite que deux ensembles A et B sont presque égaux et nous écrirons A B si les deux ensembles (A \ B) et (B \ A) sont finis. Vérifier que nous obtenons ainsi une équivalence sur tout ensemble E d ensembles. (Ultérieurement, les classes de cette équivalence seront vues comme classes latérales.) (c) Nous dirons enfin que deux fonctions f, g d un ensemble E dans un ensemble F sont égales presque partout et nous écrirons f g si l ensemble {x E f(x) g(x)} est fini. Vérifier que est une équivalence sur l ensemble F E des fonctions de E dans F. Ex 20. (i) Soit (E, ) un ensemble muni d un préordre. On définit une relation dans E par : a, b E, a b si a b et b a. Cette relation dans E est une équivalence appelée équivalence associée au préordre. Notons que l ensemble quotient E/ est naturellement muni d une relation d ordre par : C e C e si e e. (ii) Quelle est l équivalence associée au préordre Z,?

25 1.1. PRÉORDRE, ORDRE, ÉQUIVALENCE 21 Ex 21. Soit (E, ) un ensemble muni d un préordre et soit P E. Un infimum pour la partie P de E est un élément a E satisfaisant les deux conditions suivantes : (i) p P, a p, (ii) x E on a : ( p P, x p) (x a). Un supremum pour la partie P de E est un élément b E satisfaisant les deux conditions suivantes : (i) p P, p b, (ii) x E on a : ( p P, p x) b x. En particulier, si u, v E, un infimum pour la partie {u, v} de E, s il existe, est un élément c de E tel que c u, c v et x E (x u et x v) (x c) u v c x Remarques. Si la partie P de E admet un infimum et si cet infimum appartient à P, alors cet infimum est un minimum de P. Si cette partie P admet un supremum et si ce supremum appartient à P, alors ce supremum est un maximum de P. Si la partie P de E possède un minimum, alors ce minimum est aussi un infimum de P. Si cette partie P possède un maximum, alors ce maximum est aussi un supremum de P. Une partie P d un ensemble ordonné admet au plus un infimum et au plus un supremum, s ils existent, ils seront désignés respectivement par inf(p ) et sup(p ). Ex 22. (i) Soit a, b N. Dans l ensemble ordonné (N, ), remarquons que inf{a, b} est le plus grand commun diviseur des nombres naturels a et b, il sera désigné par pgcd(a, b). Remarquons aussi que sup{a, b} est le plus petit commun multiple des nombres a et b, il sera désigné par ppcm(a, b). Dans l ensemble préordonné (Z, ) toute partie {a, b} Z admet au plus deux infima, si d est l un d eux l autre est ( d) et nous définirons le plus grand commun diviseur de a et b par pgcd(a, b) = d. (ii)soit A, B E. Dans l ordonné (P(E), ) on a inf{a, B} = A B et sup{a, B} = A B.

26 22 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES (iii) Dans l ordonné (R, ), la partie P = {q Q 0 q et q 2 2} n a pas de minimum mais a un infimum qui est 2. (Rappelons que 2 / Q.) 23. Un ensemble n est jamais seul, il communique avec les autres ensembles par l intermédiaire des fonctions. Un ensemble préordonné n est jamais seul, il communique avec les autres ensembles préordonnés par l intermédiaire des fonctions croissantes et décroissantes. Définitions. Soient (E, ) et (F, ) deux ensembles préordonnés. Ces deux ensembles préordonnés sont isomorphes s il existe une fonction bijective b : E F telle que x, y E (x y) (f(x) f(y). On dit alors que b est un isomorphisme d ordonnés et on écrit : b : (E, ) (F, ). Une fonction f de E dans F est une fonction croissante, si, x, y E, (x y) (f(x) f(y). Nous indiquerons parfois que f est une fonction croissante par : f : (E, ) (F, ). Une fonction g de E dans F est décroissante si, x, y E, (x y) (f(y) f(x). Chœur. La fonction identique d un ensemble préordonné est un isomorphisme d ordonnés. La composée de deux isomorphismes d ordonnés est un isomorphisme d ordonnés. La fonction réciproque d un isomorphisme d ordonnés est un isomorphisme d ordonnés. Tout isomorphisme d ordonnés est une fonction croissante. La composée de deux fonctions croissantes est une fonction croissante. La composée de deux fonctions décroissantes est une fonction crois- Ex 24 sante. Ex 25. Les fonctions suivantes sont-elles croissantes, décroissantes, sontelles des isomorphismes d ordonnés? (a) 1 N : (N, ) (N, ), (b) 1 N0 : (N 0, ) (N 0, ), (c) c 1 : (R, ) (R, ) : x 1, (d) ( ) 2 : (R, ) (R, ) : x x 2, (e) (A ) : (P(E), ) (P(E), ) : X A X, où A E.

27 1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES Premières structures algébriques Les magmas 1. Définitions. Une loi de composition sur un ensemble E, encore appelée loi interne ou simplement loi, est une fonction : E E E. L image du couple (x, y) E E par cette fonction est désignée par x y et est appelée le composé de x et y, dans l ordre donné, mais peut aussi être appelée le produit ou même la somme de x et y, selon le contexte et surtout le symbole utilisé pour désigner la loi (une loi désignée par le symbole + est souvent appelée loi additive, tandis qu une loi désignée par le symbole est souvent appelée loi multiplicative). Cette loi est associative si, x, y, z E, (x y) z = x (y z). Cette loi est commutative si, x, y E, x y = y x. Notons que les lois désignées par le symbole + sont le plus souvent commutatives. Un magma (M, ) est un ensemble M muni d une loi. Un magma associatif est un magma dont la loi est associative. Un magma commutatif est un magma dont la loi est commutative. 2. Définitions. Une partie P du magma (M, ) est dite stable si, x, y P, x y P. Un sous-magma du magma (M, ) est une partie stable P de M. Exemple. L image d un homomorphisme de magmas est un sous-magma de son but : si f : (M, ) (M, ) est un homomorphisme de magmas, alors Im(f) := {f(x) x M} est un sous-magma de But(f) := M. Et si de plus l homomorphisme f est injectif, alors (M, ) (Im(f), ). 3. Définitions. Un neutre gauche d un magma (M, ) est un élément e g M tel que, x E, e g x = x. Un neutre droit d un magma (M, ) est un élément e d M tel que, x M, x e d = x. Un neutre d un magma (M, ) est un élément e M qui est à la fois neutre gauche et neutre droit : x E, e x = x = x e. Remarque. Si un magma (M, ) admet un neutre gauche e g et un neutre droit e d, alors e g = e d est le seule neutre gauche, le seul neutre droit et le seul neutre de ce magma. (Pour la preuve, observer que, si e g est un quelconque neutre gauche de M et e d un quelconque neutre droit, alors e d = e ge d = e g.) 4. Définitions. Un élément idempotent d un magma (M, ) est un élément c M tel que c c = c. Un élément absorbant d un magma (M, ) est un élément a M tel que, x M, a x = a = x a.

28 24 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES 5. Définition. Étant donné deux magmas (M, ) et (N, ), on munit l ensemble produit M N d une loi définie «composantes par composantes» : x, x M, y, y N, (x, y) (x, y ) = (x x, y y ). Le magma ainsi obtenu est appelé produit direct des deux magmas (M, ) et (N, ) (ou plus simplement produit de ces deux magmas), on le désigne le plus souvent par (M, ) (N, ). 6. Exemples (a) La notion de moyenne fournit une loi interne sur l ensemble R des nombres réels : R R R : (a, b) a + b 2 Cette loi est commutative, n est pas associative et R ne possède pas d élément neutre pour cette loi. (b) Soit E un ensemble. La projection canonique p 1 : E E E : (a, b) a peut être vue comme une loi interne sur l ensemble E, appelée «loi premier facteur». Cette loi est associative, tout élément y E est un idempotent et même un neutre droit du magma (E, p 1 ), mais le magma (E, p 1 ) ne possède ni neutre gauche ni neutre dès que E comprend plus d un élément. (c) Voici encore une loi : Z Z Z : (x, y) x y. Cette loi est-elle associative, commutative? L ensemble Z possède-t-il un neutre pour cette loi? 7. Une loi sur un ensemble fini E peut se décrire par sa table, c.-à-d. un tableau de la forme a 1 a i a j a n a 1 a 1 a 1 a 1 a i a 1 a j a 1 a n. a i a i a 1 a i a i a i a j a i a n. a j a j a 1 a j a i a j a j a j a n. a n a n a 1 a n a i a n a j a n a n où a 1, a n sont les n éléments distincts de E, où on inscrit le composé a i a j à l intersection de la i ième ligne et de la j ième colonne. Dans le cas où E possède un élément neutre pour la loi, on place de préférence ce neutre en première position, a 1 sera ce neutre. 8. Notations globales Toute loi interne sur un ensemble E s étend à l ensemble des parties de E de la façon suivante : si A, B E, on écrit A B = {a b a A et b B} Le magma (E, ) a donné naissance au magma (P(E), ).

29 1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES 25 Si a E et B E, on écrit aussi, avec un léger abus de notation, a B = {a b b B}. Si la loi est associative ou commutative sur E, son extension à P(E) est encore associative ou commutative. Si le magma (E, ) comprend un élément neutre e, alors {e} est un neutre du magma (P (E), ). Notons encore que, pour tout X P(E) on a X = = X, est un absorbant du magma (P (E), ). Les monoïdes 9. Définitions. Un monoïde est un magma associatif (M, ) comprenant un élément neutre. Un monoïde n est donc jamais vide. Un monoïde commutatif est un monoïde dont la loi est commutative. On dit que deux monoïdes sont isomorphes s ils sont isomorphes en tant que magmas. Notons que, si b : M M est un isomorphisme de monoïdes, si e est le neutre de M et e le neutre de M, alors f(e) = e. Un homomorphisme de monoïdes, du monoïde (M, ) dans le monoïde (M, ), est un homomorphisme de magmas tel que f(e) = e, où e désigne le neutre de M et e celui de M. Refrain. La fonction identique d un monoïde est un isomorphisme de monoïde. La composée de deux isomorphismes de monoïdes est un isomorphisme de monoïdes. La composée de deux homomorphismes de monoïdes est un homomorphisme de monoïdes. 10. Définition. Un sous-monoïde du monoïde (M, ) est un sous-magma de M comprenant le neutre de M. 11. Exemples. (a) N 0 est un sous-magma du monoïde (N, +), mais n est pas un sous-monoïde de (N, +). (b) Le produit direct de deux monoïdes est un monoïde dont le neutre est le couple formé des neutres de chacun des facteurs. (c) R {0} est un sous-magma du monoïde (R 2, ), mais n est pas un sous-monoïde de (R 2, ), bien que le magma (R {0}, ) soit lui-même un monoïde (le neutre de (R {0}, ) est l élément (1, 0), tandis que le neutre de (R 2, ) est l élément (1, 1)). Par contre R {1} est un sous-monoïde du monoïde (R 2, ). (d) Avec nos définitions nous avons que l image d un homomorphisme de monoïdes est un sous-monoïde de son but.

30 26 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES (e) Avec nos définitions nous avons aussi que, si M est un sous-monoïde du monoïde (M, ), l inclusion canonique de M dans M est un homomorphisme de monoïde. (f) L ensemble des transformations d un ensemble A, muni de la composition des fonctions, forme un monoïde (A A, ), ce monoïde est non commutatif dès que A comprend au moins 2 éléments. L ensemble S A des permutations de l ensemble A est un sous-monoïde du monoïde (A A, ) (c est même un «sous-groupe», voir la notion de groupe plus loin), 12. À tout élément a d un monoïde (M, ) on associe la transformation de l ensemble M l a : M M : x a x encore appelée composition à gauche par a. Ainsi l a M M, l ensemble des transformations de M. Mais nous savons que cet ensemble M M, muni de la composition des fonctions, forme un monoïde (M M, ). Notons que, a, b M, nous avons l a l b = l a b car x M, (l a l b )(x) = l a (l b (x)) = l a (b x) = a (b x) = (a b) x = l a b (x). De plus, si e est le neutre de M, alors l e est la transformation identique de M. Nous obtenons. Théorème de représentation de Cayley pour les monoïdes. Tout monoïde est isomorphe à un sous-monoïde du monoïde des transformations d un ensemble. Plus précisément, pour tout monoïde (M, ), la fonction l : (M, ) (M M, ) : a l a est un homomorphisme injectif de monoïdes, induisant un isomorphisme (M, ) (Im(l) ). 13. Définitions. Un élément a du monoïde (M, ) est dit simplifiable à gauche si, x, y M, a x = a y x = y, simplifiable à droite si, x, y M, x a = y a x = y, simplifiable s il est simplifiable à gauche et à droite. Remarquons que l élément a du monoïde M est simplifiable à gauche si et seulement si la transformation l a de M est injective. 14. Définitions. Soit (M, ) un monoïde de neutre e, et soit a M. a est dit inversible à gauche si x A tel que x a = e. On dit alors d un tel élément x qu il est un inverse gauche de a. a est dit inversible à droite si y A tel que a y = e. On dit alors d un tel élément y qu il est un inverse droit de a. a est dit inversible s il est à la fois inversible à gauche et à droite. Remarques. (i) Si a est inversible, si x et y sont deux éléments de M tels que x a = e = a y, en utilisant l associativité on obtient x = x a y = y. Ainsi tout élément inversible a d un monoïde admet un seul inverse gauche qui est aussi son seul inverse droit et est appelé inverse de a.

31 1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES 27 L inverse de l élément a du monoïde (M, ), quand il existe, est souvent noté a 1 ; mais dans le cas d un monoïde (M, +) noté de façon additive cet inverse est naturellement désigné par a et souvent appelé «opposé» de a. (ii) Le neutre e d un monoïde (M, ) est inversible et e 1 = e. Si les éléments a et b du monoïde (M, ) sont inversibles, alors a b est aussi inversible et (a b) 1 = b 1 a 1. Si l élément a du monoïde (M, ) est inversible, alors son inverse a 1 est aussi inversible et (a 1 ) 1 = a. En notation additive cette dernière remarque s énonce : si l élément a du monoïde (M, +) admet un opposé, alors son opposé a admet aussi un opposé et ( a) = a. 15. Proposition. Dans tout monoïde on a : inversible à gauche simplifiable à gauche, inversible à droite simplifiable à droite, inversible simplifiable, 16. Proposition. Pour tout élément a d un monoïde (M, ) de neutre e les conditions suivantes sont équivalentes : (i) a est inversible, (ii) a est inversible à droite et simplifiable à gauche, (iii) a est inversible à gauche et simplifiable à droite. preuve. (ii) (i). Soit b un inverse droit de a : a b = e. En composant à droite avec a on obtient a b a = e a = a e, en simplifiant à gauche par a on en déduit b a = e. (iii) (i) se prouve de façon semblable et (i) (ii) et (iii) est une conséquence directe de ce qui précède. 17. Remarques. En combinant ce qui précède avec un peu de réflexion, on voit aussi que, pour tout élément a d un monoïde (M, ) on a : (i) a inversible à gauche l a injective, (ii) a inversible à droite l a surjective, (iii) a inversible l a bijective. 18. Attention. Quand on dit d un élément qu il est neutre, simplifiable ou inversible, il convient de faire attention à l environnement. Par exemple l élément 2 Z n est pas inversible dans le monoïde (Z, ) mais il l est dans le monoïde (Q, ). Ex. 19 Dans le monoïde (E E, ) des transformations d un ensemble E, les éléments inversibles à gauche sont exactement les transformations injectives de E, les éléments inversibles à droite sont exactement les transformations surjectives de E et les éléments inversibles sont exactement les transformations bijectives de E. De plus, dans le monoïde (E E, ), toute transformation injective non surjective de E admet une infinité d inverses gauches et toute transformation surjective non injective de E admet au moins deux inverses droits. (Ceci complète l exercice 24 de la section 1.0.)

32 28 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Les groupes 20. Définitions. Un groupe (G, ) est un monoïde dont tout élément est inversible. Un groupe commutatif est un groupe dont la loi est commutative. 21. Remarque. Comme tous les éléments d un groupe sont inversibles, ils sont aussi simplifiables et par conséquent le neutre d un groupe est son seul idempotent (si a est un idempotent du groupe (G, ) de neutre e, on a a = a = a e, d où a=e). 22. Exemples. (a) L ensemble des permutations d un ensemble A, muni de la composition des fonctions, forme un groupe (S A, ), non commutatif dès que A comprend au moins 3 éléments. (b) Le produit direct de deux groupes est un groupe. (c) (Z,+), (R 0, ) et (R + 0, ) sont des groupes commutatifs. (d) L ensemble des inversibles d un monoïde (M, ) forme un groupe pour la loi, (voir les remarques en 14). 23. Remarques. Disposant d une loi associative sur un ensemble fini, on repère aisément si cette loi est ou non une loi de groupe en examinant sa table. On repère d abord l existence de l élément neutre. On vérifie ensuite que chaque élément possède un inverse en vérifiant que l élément neutre figure au moins une fois dans chaque ligne et chaque colonne du tableau. Remarquons aussi que dans la table d un groupe fini, chaque ligne et chaque colonne correspond à une permutation de l ensemble des éléments du groupe. 24. Exemples. Tout ensemble singleton est naturellement muni d une structure de groupe naturellement appelé groupe neutre. Voici la table du plus petit groupe non neutre, nommé groupe des entiers modulo 2 et souvent noté (Z 2,+ 2 ) Voici la table d un groupe nommé groupe des entiers modulo 4 et souvent noté (Z 4,+ 4 )

33 1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES Définitions. Deux groupes sont dits isomorphes s ils sont isomorphes en tant que magmas (ou en tant que monoïdes, ce qui revient au même). Un homomorphisme de groupes est un homomorphisme de monoïdes dont le domaine et le but sont des groupes. Refrain. La fonction identique d un groupe (G, ) est un isomorphisme de groupe. La composée de deux isomorphismes de groupes est un isomorphisme de groupes. La fonction réciproque d un isomorphisme de groupes est un isomorphisme de groupes. La composée de deux homomorphismes de groupes est un homomorphisme de groupes. On indique parfois qu une fonction f est un isomorphisme de groupes par : f : (G, ) (H, ). On indique souvent que les groupes (G, ) et (H, ) sont isomorphes par : (G, ) (H, ). 26. Remarques. Soit (G, ) un groupe de neutre e et (H, ) un groupe de neutre 1. Pour qu une fonction f : (G, ) (H, ) soit un homomorphisme de groupes, il suffit qu elle soit un homomorphisme de magmas, c.-à-d. que x, y G, on aie f(x y) = f(x) f(y). Dans ce cas, pour tout x G on a aussi : f(x 1 ) = f(x) 1. (En effet, si f est un homomorphisme de magmas, de e = e e on déduit f(e) = f(e e) = f(e) f(e), ce qui montre que f(e) est un idempotent de H. Comme le seul idempotent d un groupe est son neutre, on a donc f(e) = 1. Ensuite, de x x 1 = e = x 1 x on déduit f(x) f(x 1 ) = 1 = f(x 1 ) f(x) et on obtient la dernière assertion par l unicité de l inverse.) 27. Exemples. (a) Le produit direct de deux groupes (G, ) et (G, ) est un groupe et les projections canoniques du produit G G sur chacun de ses deux facteurs p 1 : (G, ) (G, ) G : (g, h) g p 2 : (G, ) (G, ) G : (g, h) h sont des homomorphismes de groupes. Désignant par e le neutre du groupe G et par e celui de G, nous avons également des injections canoniques i 1 : (G, ) (G, ) (G, ) : g (g, e ) i 2 : (G, ) (G, ) (G, ) : h (e, h). Ces injections canoniques sont aussi des homomorphismes de groupes. (b) (2Z,+) est un groupe et (2Z,+) (Z,+). (c) La fonction (R,+) (R + 0, ) : x 2x est un isomorphisme de groupes car elle est bijective et car, x, y R, nous avons 2 (x+y) = 2 x 2 y.

34 30 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES (d) La fonction (R 0, ) (R 0, ) : x x x est un homomorphisme de groupes car, x, y R 0, nous avons (x y) (x y) = (x x) (y y), la multiplication des nombres réels étant commutative. Cet homomorphisme n est ni injectif ni surjectif. 28. Définition. Un sous-groupe d un groupe (G, ) est un sous-monoïde de (G, ) comprenant l inverse de chacun de ses éléments. Autrement dit, une partie P d un groupe (G, ) est un sous-groupe de (G, ) si les conditions suivantes sont satisfaites : (i) x, y P, x y P, (ii) P comprend le neutre de (G, ), (iii) P comprend l inverse de chacun de ses éléments. Ex. 29. Soit P une partie du groupe (G, ). Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) P est un sous-groupe de G, (ii) P est un sous-magma de G et le magma (P, ) est lui-même un groupe, (iii) P est un sous-magma non vide de G comprenant l inverse de ses éléments, (iv) P est non vide et, x, y P on a x y 1 P. 30. Exemples. (a) Si f : (G, ) (H, ) est un homomorphisme de groupes les remarques en 26 montrent que Im(f) est un sous-groupe de H. De plus, si f est injectif, alors (G, ) (Im(f), ). (b) Z et 2Z sont deux sous-groupes du groupe (R,+). (c) L ensemble Q 0 des rationnels non nuls et {1, 1} sont deux sousgroupes du groupe (R 0, ). (d) Pour tout groupe (G, ) de neutre e, les parties {e} et G de G sont des sous-groupes du groupe (G, ) appelés sous-groupes triviaux. (e) Nous dirons qu un sous-groupe H du groupe (G, ) est un sousgroupe propre de G si H G. 31. Au vu des remarques en 17, nous savons que, pour tout élément g d un groupe (G, ), la transformation l g : G G : x g x est bijective, autrement dit l g S G. Avec les remarques en 12 nous obtenons alors. Théorème de représentation de Cayley pour les groupes. Tout groupe est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations d un ensemble. Plus précisément, pour tout groupe (G, ), la fonction l : (G, ) (G G, ) : g l g est un homomorphisme injectif de groupes, induisant un isomorphisme (G, ) (Im(l) ).

35 1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES 31 Ex 32. (a) Dessiner le graphe des permutations l (0,1) et l (0,1,2) de S 3. (b) Représenter les groupes (Z 4, +) et (Z 2 2, +) comme groupes de permutations, à la manière de Cayley. (c) Soit S = {z C 0 z = 1}, S est un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes non nuls (C 0, ). Visualiser dans le plan complexe la permutation l z du groupe (C 0, ) lorsque z S et lorsque z R 0. En déduire que le groupe (S, ) est isomorphe au groupe des rotations du plan réel autour d un point fixe. Ex 33. Démontrer : toute partie finie non vide stable d un groupe est un sous-groupe. (Rappelons qu une partie P d un magma ou d un groupe (G, ) est dite stable si x, y P, x y P, ce qui s écrit encore P P P en notation globale.) Les anneaux 34. Définitions. Un anneau (A,+, ) est un ensemble A muni de deux lois de composition + et nommées respectivement addition et multiplication et satisfaisant les conditions suivantes : (i) (A,+) est un groupe commutatif (dont le neutre est le plus souvent noté 0), (ii) la multiplication est associative, (iii) la multiplication distribue l addition des deux cotés ; x, y, z A (x + y) z = x z + y z et x (y + z) = x y + x z. Un anneau unital est un anneau possédant un neutre pour la multiplication, le plus souvent noté 1. Autrement dit un anneau unital est un anneau (A, +, ) tel que (A, ) soit non seulement un magma associatif mais encore un monoïde. Signalons cependant que dans la plupart des ouvrages récents le terme «anneau» est réservé à ce que nous appelons ici anneau unital. Un anneau commutatif est un anneau dont la multiplication est commutative. 35. Remarques. (i) Le neutre additif d un anneau est un absorbant pour la multiplication, ce qui signifie ceci : si (A, +, ) est un anneau de neutre additif 0, pour tout a A nous avons : a 0 = 0 = 0 a. En effet, de = 0 on déduit 0 a = 0 a + 0 a, d où 0 a = 0 car 0 est le seul idempotent du groupe (A, +). La seconde égalité s obtient de façon symétrique. (ii) La règle des signes est valable en tout groupe commutatif (A,+) et en tout anneau (A, +, ) : a, b A, (a + b) = ( a) + ( b), ( a) = a.

36 32 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES (iii) Soit maintenant un anneau unital (A, +, ) de neutre multiplicatif 1. Nous avons encore : a A, ( 1) a = ( a) = a ( 1). En effet, nous avons 0 = 0 a = (1+( 1)) a = 1 a+( 1) a = a+( 1) a, ceci nous donne la première égalité et nous obtenons la seconde de façon symétrique. En particulier nous avons : ( 1) ( 1) = ( ( 1)) = 1. (iv) Signalons un usage d écriture courant en tout groupe commutatif (A,+) et tout anneau (A, +, ) : a b = a + ( b). En voici un second courant en tout anneau : ab = a b. (v) Le singleton {0} est naturellement muni d une structure d anneau et cet anneau est appelé l anneau nul. L anneau nul est un anneau unital, 0 y est la fois le neutre additif du groupe ({0}, +) et le neutre multiplicatif du monoïde ({0},.). Mais dans un anneau unital non nul on a toujours 0 1, un anneau unital non nul comprend au moins deux éléments. (vi) Un élément a d un anneau unital (A, +, ) est dit simplifiable, simplifiable à gauche ou à droite, inversible, inversible à gauche ou à droite s il a cette propriété dans le monoïde (A, ). L ensemble des éléments inversibles d un anneau unital (A, +, ) forme un groupe pour la multiplication, appelé groupe des inversibles de l anneau A et souvent noté A ou de façon plus précise (A, ). 36. Définitions. On dit que deux anneaux (A, +, ) et (B, +, ) sont isomorphes et on écrit (A, +, ) (B, +, ) s il existe une bijection b : A B telle que, x, y A b(x + y) = b(x) + b(y) et b(x y) = b(x) b(y), autrement si la bijection b est un isomorphisme de groupes additifs et de magmas multiplicatifs. Rappelons que, dans le cas où A et B sont unitaux, de neutre multiplicatif 1, ces conditions impliquent aussi que b(1) = 1. Dans tous les cas une telle bijection est appelée un isomorphisme d anneaux. Un homomorphisme d anneaux, de l anneau (A, +, ) dans l anneau (B, +, ), est une fonction f : A B qui est à la fois un homomorphisme de groupe additifs et de magmas multiplicatifs. Notons cependant que, si les anneaux A et B sont unitaux, nos conditions sur l homomorphisme d anneaux f : A B n impliquent pas que l image par f du neutre multiplicatif de A soit le neutre multiplicatif de B. Continuons donc nos définitions. Un homomorphisme d anneaux unitaux, de l anneau unital (A, +, ) dans l anneau unital (B, +, ), est une fonction f : A B qui est à la fois un homomorphisme de groupe additifs et de monoïdes multiplicatifs. Évidemment, dans les ouvrages où le terme anneaux est réservé aux seuls anneaux unitaux, le terme «homomorphisme d anneaux» est aussi réservé aux seuls homomorphismes d anneaux unitaux.

37 1.2. PREMIÈRES STRUCTURES ALGÉBRIQUES 33 Refrain. La fonction identique d un anneau est un isomorphisme d anneaux. La composée de deux isomorphismes d anneaux est un isomorphisme d anneaux. La composée de deux homomorphismes d anneaux est un homomorphisme d anneaux. La composée de deux homomorphismes d anneaux unitaux est un homomorphisme d anneaux unitaux. 37. Exemples. (a) (Z, +, ) est un anneau commutatif unital. (b) L addition et la multiplication des matrices munissent l ensemble des matrices 2 2 à coefficients réels d une structure d anneau unital non commutatif. Cet anneau comprend des éléments non nuls dont le produit est nul, par exemple ( ) ( ) 0 0 = 1 0 ( ). Le groupe des inversibles de cet anneau, appelé groupe linéaire général d ordre 2 à coefficients réels et noté GL 2 (R), est constitué des matrices de déterminant non nul. (c) (2Z, +, ) est un anneau non unital. Ex 38. Identités utiles. (i) Pour tout nombre naturel n 2, tout élément a d un anneau unital A satisfait l identité n 1 (a n 1) = (a 1) ( a i ). i=0 (ii) Dans l anneau des entiers (Z, +, ) on a : n N 0, n i=1 i = n(n+1) 2. Les corps 39. Définitions. Un corps (K, +, ) est un anneau unital non nul dans lequel tout élément non nul est inversible pour la multiplication. Remarques. Dans un corps, le produit de deux éléments non nuls est toujours non nul. En effet, si x et y sont deux éléments non nuls du corps K, nous avons : 0 y = 1y = (x 1 x)y = x 1 (xy) et nous en déduisons que xy 0 car 0 est un absorbant pour la multiplication. Remarquons encore qu un anneau (K, +, ) est un corps si et seulement si ((K\{0}), ) est un groupe. Un corps commutatif, encore appelé «champ» en Belgique et «field» en anglais, est un corps dont la multiplication est commutative. 40. Exemples. (Q, +, ), (R, +, ) et (C, +, ) sont des corps commutatifs. Cette liste est loin d être exhaustive. L anneau des entiers (Z, +, ) n est pas un corps.

38 34 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES 41. Le corps de 2 éléments (Z 2, + 2, 2). L ensemble des éléments de ce corps est l ensemble {0, 1}. Voici sa loi d addition et sa loi de multiplication : Le corps des quaternions. Un quaternion est une expression de la forme a + bi + cj + dk, où a, b, c, d R. Dans le cas où un des nombres réels a,b,c,d, est nul, le terme correspondant sera omis de l expression ci-dessus, on écrira par exemple : 1+1i+0j +0k = 1 + i, tout nombre réel ou complexe est un quaternion. La somme de deux quaternions se définit en utilisant les règles habituelles de l arithmétique : a, b, c, d, a, b, c, d R, (a+bi+cj+dk)+(a +b i+c j +d k) = (a+a )+(b+b )i+(c+c )j +(d+d )k. Le produit de deux quaternions se définit en distribuant, en permutant les termes et en utilisant les règles suivantes : i 2 = j 2 = k 2 = 1, ij = k = ji, jk = i = kj, ki = j = ik, ce qui donne : (a + bi + cj + dk) (a + b i + c j + d k) = (aa bb cc dd ) +(ab + ba + cd dc )i +(ac + ca + db bd )j +(ad + da + bc cb )k. Ces opérations munissent l ensemble H des quaternions d une structure d anneau unital non commutatif (la vérification de l associativité de la multiplication et de la règle de distributivité est assez fastidieuse). Nous avons aussi l identité : (a + bi + cj + dk) (a bi cj dk) = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 R +, qui nous permet de calculer l inverse de tout quaternion non nul : (a + bi + cj + dk) 1 = (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ) 1 (a bi cj dk) Les quaternions forment un corps non commutatif noté (H, +, ).

39 1.3. AUTOUR DES NOMBRES ENTIERS Autour des nombres entiers 0. (a) Indiquons d abord une propriété fondamentale de l ensemble N des nombres naturels, ordonné par la relation : Toute partie non vide de l ordonné (N, ) admet un minimum. (b) Autour de la division des nombres entiers. Nous pouvons diviser un nombre entier par un nombre entier non nul, nous obtenons un quotient et un reste. Plus précisément nous avons : pour tous a, b Z, b 0,!q Z,!r Z tels que a = bq + r et 0 r < b. L élément r obtenu ci-dessus est appelé le reste (par défaut) de la division de a par b. Rappelons aussi la relation «divise» dans Z. Soit x, y Z, on dit que x divise y (dans Z) et on écrit x y s il existe m Z tel que y = mx. Quand nous avons une égalité a = bq + r dans Z, observons que les diviseurs communs de a et b sont aussi les diviseurs communs de b et r, et que le plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b est aussi le plus grand commun diviseur de b et r. Cette observation permet de calculer le pgcd des nombres entiers a et b par division successives. On divise a par b pour obtenir un quotient et un reste r. Si r = 0 alors pgcd(a, b) = b. Si r 0 on remplace le couple (a, b) par le couple (b, r) et on recommence, on obtient : a = bq + r b = rq 1 + r 1 r = r 1 q 2 + r 2 r i 1 = r i q i+1 + r i+1 avec b > r > r 1 > r 2 > > r i > 0. Ce procédé de division s arrête après un nombre fini de pas, un de nos restes est nul et alors le dernier reste non nul est le pgcd de a et b. De plus, nous pouvons utiliser les égalités ci-dessus pour écrire ce dernier reste non nul en fonction de a et b, nous obtenons Relation de Bezout dans Z : a, b Z, s, t Z tels que pgcd(a, b) = sa + tb. (Rappelons que le pgcd de deux nombres naturels avait déjà été introduit en (1.1, ex 22).) 1. Les sous-groupes du groupe (Z, +). Proposition. Les sous-groupes du groupe (Z, +) sont les nz, où n N. Plus précisément, si n est le plus petit naturel positif appartenant au sous-groupe non nul H de Z, alors H = nz. (Preuve. Pour tout élément non nul x de H on peut écrire x = nq + r, où q, r, Z et où 0 r < n. Mais alors r = x nq H et r = 0 par le choix de n. Ceci montre que H nz. Comme n H on a aussi nz H. D où H = nz.) Puisque nz est le plus petit sous-groupe du groupe (Z, +) comprenant l entier n, nous dirons que n est un générateur du sous-groupe nz de (Z, +).

40 36 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Soient maintenant a, b Z et soit az + bz = {az + bz z, z Z}. On remarque que la partie az + bz est un sous-groupe de Z et est le plus petit sous-groupe du groupe (Z, +) comprenant les entiers a et b, c est pourquoi nous dirons que az + bz est le sous-groupe du groupe (Z, +) engendré par la partie {a, b} de Z. Comme az+bz est un sous-groupe du groupe (Z,+), il existe un nombre naturel c tel que az + bz = cz et nous pouvons écrire a = cm b = cn et c = as + bt pour certains m, n, s, t Z. On remarque alors que c = pgcd(a, b) et on obtient une autre preuve de la relation de Bezout. Ex 2. Les parties suivantes de Z sont-elles des sous-groupes du groupe (Z, +)? Si oui, en déterminer un générateur : 5Z + 3Z, 10Z + 15Z, 6Z + 10Z + 15Z, 8Z 12Z, (2Z 3Z) + 5Z, 2Z (3Z + 5Z), 3Z + N. Ex 3. Déterminer quelques couples d entiers (s, t) tels que 1 = 2s + 3t. Ex 4. Par la méthode des divisions successives calculer pgcd(342, 78). Déterminer 2 nombres entiers s, t tels que : pgcd(342, 78) = s 342+t 78. Ex 5. Déterminer le plus petit sous-groupe H du groupe additif des rationnels (Q, +) contenant { 1 2, 1 3, 1 5 }. Déterminer un nombre rationnel q tel que H = qz = {qz z Z}. Ex 6. L anneau des entiers modulo n. Le reste de la division d un nombre entier a Z par le nombre naturel n 2 sera parfois noté a n et l ensemble des restes de la division des entiers par n sera désigné par Z n. Ainsi a n Z n = {0, 1, 2,, n 1} = {r N 0 r < n}. Avec cette notation nous avons : a, b Z, n N 0, De plus, la fonction a n = b n n (a b) (a b) nz. Z {0, 1, 2,, n 1} : z z n se comporte relativement bien vis-à-vis de l addition et de la multiplication des entiers, nous avons : (a + b) n = (a n + b n ) n, et (a b) n = (a n b n ) n. Ceci nous incite à définir dans Z n une addition et une multiplication «modulo n», à définir, a, b Z n a + n b = (a + b) n et a n b = (a b) n autrement dit a+ n b et a n b sont respectivement le reste de la division par n de la somme a + b et du produit a b des entiers a et b.

41 1.3. AUTOUR DES NOMBRES ENTIERS 37 On vérifie alors assez aisément que (Z n,+ n ) est un groupe commutatif, que (Z n, n) est un monoïde et que (Z n, + n, n) est un anneau commutatif unital, appelé anneau des entiers modulo n. Et tout a été agencé pour que la fonction surjective (Z, +, ) (Z n, + n, n) : z z n devienne un homomorphisme de groupes additifs et d anneaux unitaux. Dans la pratique l addition et la multiplication modulo n dans Z n sont souvent simplement désignée par + et lorsque ceci ne prête pas à confusion. Ex 7. (a) Dresser la table du groupe (Z 5,+ 5 ). (b) Dans le groupe (Z 12,+), quel est l opposé de 5, de 6, de 9? Calculer : 3 5. (c) Dans le groupe (Z 24,+ 24 ) quels sont les éléments du plus petit sousgroupe contenant la partie {3}, la partie {6, 8}. (d) Dans le groupe (Z 8,+ 8 ), déterminer le plus petit sous-groupe comprenant l élément 3. (e) Déterminer tous les sous-groupes du groupe (Z 12,+ 12 ). À quels groupes déjà connus ces sous-groupes sont-ils isomorphes? (f) Quelles sont les solutions de l équation 3x = 0 dans l anneau (Z 15, +, ), dans l anneau (Z 11, +, )? Ex 8. Rappelons qu un nombre naturel p est premier si p 2 et si les seuls nombres naturels divisant p sont les nombres 1 et p. Rappelons aussi la propriété suivante : si un nombre premier divise le produit de deux nombres entiers, il divise au moins un de ces deux nombres. Sachant ceci, démontrer. Si le nombre naturel p est premier, alors, a, x Z p, a 0, on a : (i) x 0 a p x 0, (ii) la fonction «(Z p \{0}) (Z p \{0}), x a p x» est injective, donc bijective car (Z p \{0}) est un ensemble fini ; en particulier x Z p tel que a p x = 1 En conclure que ((Z p \{0}), p) est un groupe et que (Z p, + p, p) est un corps commutatif fini de p éléments. Observer finalement que, pour un nombre naturel n 2 on a L anneau premier. (Z n, +, ) est un corps si et seulement si n est un nombre Ex 9. Dans le groupe multiplicatif (Z 7 \{0}, ), quels sont les éléments du plus petit sous-groupe comprenant l élément 2, du plus petit sous-groupe comprenant l élément 3. Remarquer que le groupe (Z 7 \{0}, ) est isomorphe au groupe (Z 6, +). Information. Voici un résultat que nous ne démontrerons pas ici.

42 38 CHAPITRE 1. QUELQUES STRUCTURES ENSEMBLISTES Pour tout nombre premier p, le groupe (Z p \{0}, ) est isomorphe au groupe (Z p 1, +). Ex 10. Dresser la table du groupe des inversibles de l anneau (Z 8, +, ). Ex 11. Vérifier que les équations x 2 = 2 et x 2 = 3 n ont pas de solutions dans le corps commutatif (Z 5, +, ). En déduire que les équations 2 = x 2 + 5y 2, 3 = x 2 5y 2 et 2 = x 2 + 5y 2 n ont pas de solutions dans Z. 12. On peut montrer par induction que tout nombre naturel s écrit de façon unique, à l ordre près, comme produit de nombres premiers. Un argument dû à Euclide montre alors qu il existe une infinité de nombres premiers. (Voici l argument. Supposons par l absurde qu il n existe qu un nombre fini de nombres premiers p 1, p 2,..., p n et regardons le nombre p 1 p 2 p n + 1. Ce nombre ne peut pas s écrire comme produit de nombres premiers. Cette contradiction termine la preuve.)

43 Chapitre 2 Groupes 2.1. Groupes, sous-groupes, isomorphismes Ex 1. On définit une loi de composition sur l ensemble des nombres réels R par : x, y R, x y = x + y + xy. Vérifier que ((R\{ 1}), ) est un groupe commutatif. Vérifier que la fonction f : ((R\{ 1}), ) (R 0, ) : x x + 1 est un isomorphisme de groupes (autrement dit que f est bijective et que x, y (R\{ 1}), f(x y) = f(x) f(y)). Ex 2. Fonctions à valeurs dans un magma, dans un groupe. Nous sommes habitués à additionner et à multiplier des fonctions de R dans R. Ceci peut aussi se faire dans un cadre plus abstrait. Soit E un ensemble et (M, ) un magma. On étend la loi de M à l ensemble M E des fonctions de E dans M de la façon suivante, «point par point» : f 1, f 2 M E, x E, (f 1 f 2 )(x) = f 1 (x) f 2 (x). (a) Si (G, ) est un groupe, vérifier que (G E, ) est un groupe. (b) Dans le cas où E est un ensemble fini de n éléments, on a des bijection E {0, 1,, n 1} et G E G } G {{... G }. n fois L existence de ces bijections nous incline alors à écrire (G E, ) = (G n, ). Le groupe ou magma (G n, ) est souvent nommé produit direct de n copies de G. En général, le groupe ou magma (G E, ) est nommé produit direct de #E copies de G. (c) Nous dirons qu une fonction f de l ensemble E dans le groupe (G, ) de neutre e est presque neutre si {x E f(x) e} est fini et nous désignerons par G (E) l ensemble des fonctions presque neutres de E dans G. Si (G, ) est un groupe, vérifier que G (E) est un sous-groupe du groupe (G E, ). Dans le cas où (M,+) est un groupe commutatif, le groupe (M (E),+) est souvent appelé somme directe de #E copies de M. 39

44 40 CHAPITRE 2. GROUPES Ex 3. Montrer que H = {(x, y) R 2 0 groupe (R 2 0, ) xy = 1} est un sous-groupe du Ex 4. Rappelons que la différence symétrique de deux parties A, B de l ensemble E est la partie A B = (A \ B) (B \ A) Soit A, B, C P(E). a) Dessiner sur un diagramme de Venn les parties A (B C), (A B) C et vérifier que la loi sur P(E) est associative et commutative. b) Vérifier que (P(E), ) est un groupe. c) Si A, quel est le plus petit sous-groupe de (P(E), ) comprenant A? d) Résoudre l équation A X = B dans (P(E), ). e) Quelles relations y-a-t-il entre la fonction caractéristique de A B et celles de A et B? ( x E, car A B (x) = car A (x) + 2 car B (x), où + 2 désigne l addition modulo 2.) f) Vérifier que la fonction car : (P(E), ) (Z E 2,+) est un isomorphisme de groupes. g) Désignons par P f (E) l ensemble des parties finies de E. Vérifier que P f (E) est un sous-groupe de (P(E), ), que (P f (E), ) (Z (E) 2,+). Ex 5. Fixons un point du plan réel, nommons-le origine et notons-le 0. Nous désignons par Π 0 le plan réel avec son point 0 élu et le nommons plan réel pointé. La règle du parallélograme munit le pan réel pointé Π 0 d une addition notée + et d une structure de groupe commutatif. b a+b 0 Le parallélogramme peut dégénérer. Voici une construction de a + c dans le cas où les points a et c sont alignés sur l origine. a 0 a c a+c Voici quelques parties de Π 0. S 0 b T a C

45 2.1. GROUPES, SOUS-GROUPES, ISOMORPHISMES 41 Dessiner les parties {a} + S, {a} + T, S + T, a + C. Pour chacune des parties {a}, {a, b}, S, T C (C étant ici un cercle), dessiner le plus petit sous-groupe du groupe (Π 0, +) contenant cette partie. 6. Proposition. Toute intersection de sous-groupes d un groupe (G, ) est un sous-groupe de (G, ). L ensemble, ordonné par inclusion, des sous-groupes du groupe (G, ) contenant sa partie P possède donc un minimum, à savoir l intersection des sous-groupes de (G, ) contenant P. Nous dirons que cette intersection, qui est le plus petit sous-groupe du groupe (G, ) contenant sa partie P, est le sous-groupe engendré par la partie P de (G, ) et nous le désignerons par gr(p). Dans le cas où P = {g 1,, g n } est une partie finie de G, nous écrirons parfois, avec un léger abus de notations, gr(p ) = gr(g 1,, g n ). Observons qu en général on a gr(p ) = {g 1 g 2 g n n N 0 g i P P 1 {e}} où e désigne le neutre de G et où P 1 = {p 1 p P }. Ex 7. (a) Voici représentées les racines 6 ièmes de l unité dans le plan complexe, autrement dit les nombres complexes z tels que z 6 = 1 : i 1 Forment-elles un sous-groupe du groupe multiplicatif des complexes non nuls? (b)dans le groupe multiplicatif des complexes non nuls (C 0, ), déterminer gr(i), gr( i 3 2 ), gr( i 3 2 ), gr(cos 2π 8 + i sin 2π 8 ). Dessiner ces groupes dans le plan complexe. À quels groupes connus sont-ils isomorphes? Dessiner aussi gr({ i 3 2 } R 0). Ex 8. On désigne par (S E, ) le groupe des permutations d un ensemble E, par (S n, ) le groupe des permutations de l ensemble {0, 1,..., n 1}. Rappelons que la permutation p dont voici le graphe se note p = (1, 2) (3, 4, 5), ou encore p = 0 ( ).

46 42 CHAPITRE 2. GROUPES a) #S n = n! b) Visualiser les 6 éléments de S 3. Dans le groupe (S 3, ), quel est le sous-groupe engendré par (0,1), par (0,1,2), par {(0, 1), (1, 2)}? c) Désignons par a,b,c,d les quatre éléments de l ensemble {0, 1, 2, 3}, pris dans n importe quel ordre. Le groupe (S 4, ) comprend : (i) la permutation identique, (ii) des permutations du type (a, b) appelées transpositions, (iii) des permutations du type (a, b) (c, d) appelées bitranspositions, (iv) des permutations du type (a, b, c) appelées tricycles, (v) des permutations du type (a, b, c, d) appelées quadricycles ou 4- cycles. Visualiser le graphe d une permutation de chaque type. Dans (S 4, ), combien y-a-t-il de permutations de chacun de ces types? Vérifier que la somme des nombres obtenus est 24. d) Recenser de la même manière les éléments de (S 5, ). e) Une permutation du type (0, 1,..., n 1) est appelée un n-cycle. Combien y-a-t-il de n-cycles dans (S n, )? Combien y-a-t-il de k-cycles dans S n, si 2 k < n? Ex 9. Le groupe des symétries d un pentagone régulier est isomorphe à un sous-groupe du groupe des permutations de l ensemble de ses cinq sommets. Il comprend 10 éléments, quels sont-ils? Vérifier que ce groupe est engendré par une rotation r d un cinquième de tour et une symétrie orthogonale s D par rapport à une droite D joignant un sommet du pentagone au milieu du côté opposé. Ce groupe est appelé le groupe dihédral d ordre 10. Plus généralement, le groupe des symétries d un polygone régulier de n cotés comprend 2n éléments et est appelé groupe dihédral d ordre 2n. Ex 10. Dans (S 4, ), l identité et les 3 bitranspositions forment un sousgroupe d ordre 4 nommé Vierergruppe de Klein, souvent noté V 4. En dresser la table et vérifier qu il est isomorphe à (Z 2 2, +). Remarquer que le groupe de 4 éléments (V 4, ) se reconnait aisément à sa table : chacun de ses trois éléments non neutres, composé avec lui-même, est le neutre et le composé de deux éléments non neutres distincts est le troisième élément non neutre. Ex 11. (a) Dans le groupe additif du plan réel pointé (Π 0,+), toute droite passant par l origine est un sous-groupe de (Π 0,+). La réunion de deux droites distinctes passant par l origine est-elle aussi un sous-groupe de (Π 0,+)? (b) Démontrer : la réunion de deux sous-groupes d un groupe (G, ) est un sous-groupe de (G, ) si et seulement si l un des deux est inclu à l autre.

47 2.1. GROUPES, SOUS-GROUPES, ISOMORPHISMES 43 (Suggestion. Soit H et K deux sous-groupes du groupe G. Si x (H \K) et y (K \ H), regarder se trouve l élément x y.) Ex 12. (a) Soit (G, ) et (H, ) deux groupes. Rappelons que l ensemble produit G H a été muni d une loi «composantes par composantes» définie par : g, g G, h, h H, (g, h) (g, h ) = (g g, h h ) Nous avons observé en section 1.2 du chapitre précédent que le magma ainsi obtenu est un groupe, appelé produit direct des groupes G et H et souvent noté par (G, ) (H, ). Désignons par e le neutre du groupe (G, ) et par e celui de H. Observons aussi que {e} H et G {e } sont deux sous-groupes du groupe (G, ) (H, ) et que {e} (H, ) (H, ), (G, ) {e } (G, ). (b) Soient maintenant H et K deux sous-groupes du groupe (G, ) de neutre e et regardons la fonction H K G : (h, k) h k. Démontrer : f est surjective H K = G, f est injective H K = {e}, f est un homomorphisme de groupes (H, ) (K, ) (G, ) x H y K on a x y = y x. Quand ces trois conditions sont satisfaites, c.-à-d. quand f est un isomorphisme de groupes, on dit encore que (G, ) est le produit direct de ses deux sous-groupes H et K. Ex 13. (a) Établir un isomorphisme entre (R 0, ) et (Z 2, +) (R + 0, ). (b) Soit S = {z C z = 1}. Observer que S est un sous-groupe du groupe (C 0, ). Le groupe (S, ) sera appelé groupe multiplicatif des complexes de module 1, ou encore groupe du cercle. Observer que le groupe (C 0, ) est le produit direct de ses deux sousgroupes S et R Notations. Soit (G,, e) un groupe avec sa loi de composition et son neutre e. Soit g G, n N 0. On définit : g n = g... g, } {{ } g 0 = e, g n = (g 1 ) n. n fois Observer que (g 1 ) n = (g n ) 1 et que les règles des exposants sont valables : z, z Z, g (z+z ) = g z g z, (g z ) z = g z z.

48 44 CHAPITRE 2. GROUPES Ex 15. Multiplication scalaire par les entiers sur un groupe commutatif. Soit (M, +, 0) un groupe commutatif avec sa loi + et son neutre 0. Soit w M, n N 0. On écrit alors nw = w } +. {{.. + w }, 0w = 0, ( n)w = n( w). n fois Avec ces notations, nous avons encore : w, w M, z, z Z, (z + z )w = (zw + z w) et (zz )w = z(z w). Observons que nous avons aussi : z(w + w ) = (zw + zw ) et 1w = w. C est pourquoi on dit que la fonction Z M M : (z, w) zw est une multiplication scalaire sur M par les entiers, parce que ses propriétés nous font penser aux espaces vectoriels, bien que notre groupe commutatif quelconque n aie pas une structure d espace vectoriel, l anneau Z des entiers n est pas un corps. 16. Définitions. Un groupe (G, ) est cyclique s il peut être engendré par un de ses éléments. Un tel élément sera alors appelé générateur du groupe cyclique (G, ). L ordre d un élément g d un groupe quelconque (G, ) est le plus petit naturel positif n tel que g n soit le neutre de G si un tel naturel existe, sinon, g est dit d ordre. Tout groupe cyclique est isomorphe au groupe (Z, +) ou à un des groupes (Z n, + n ), où n N 0. Plus précisément, si g est un élément d un groupe quelconque (G, ), on démontre : gr(g) (Z n, + n ) si et seulement si g est d ordre n, gr(g) (Z, +) si et seulement si g est d ordre. On démontre aussi que tout sous-groupe d un groupe cyclique est cyclique. (Ceci a été montré en section 1.3 dans le cas du groupe (Z, +) et se prouve de façon semblable dans le cas du groupe (Z n, + n )). Ex 17. Démontrer ou redémontrer : si g est un élément d ordre n N 0 d un groupe (G, ) et si g r = 1 pour un certain entier r, alors n r. Ex 18. Le cardinal d un groupe fini est souvent appelé l ordre de ce groupe. Est-il vrai qu un groupe d ordre n, n N 0, est cyclique si et seulement s il possède un élément d ordre n? Est-il vrai qu un groupe dénombrable est cyclique si et seulement s il possède un élément d ordre infini?

49 2.1. GROUPES, SOUS-GROUPES, ISOMORPHISMES 45 Ex 19. Calculer l ordre des éléments suivants : ( 1) (R 0, ), ( i 3 2 ) (C 0, ), (0, 1, 2, 3, 4) (S 5, ), (0, 1, 2, 3) (4, 5, 6, 7, 8, 9) (S 100, ), (0, 1, 2) (2, 3, 4) (S 20, ). Ex 20. (a) Déterminer l ordre de chacun des éléments du groupe (Z 12, +). (b) Déterminer tous les éléments d ordre 20 du groupe (Z 20, +). (c) Quels sont les éléments d ordre n du groupe (Z n,+)? (d) Calculer l ordre de l élément a du groupe (Z n, +) en fonction de a et de n et montrer que cet ordre divise n (n 2). (Indication. L ordre de a dans (Z n,+) est min{k N 0 ka nz}. Soit c=pgcd(a, n) et écrivons : a = a c, n = n c. Nous avons : ka nz z Z, ka = nz z Z, ka = n z n ka n divise k car pgcd(a, n ) = 1, (cf. (1.3, ex 8)). Donc l ordre de a dans (Z n,+) est n = n/pgcd(a, n). (e) Conclusion : l élément a du groupe (Z n, +) est d ordre n si et seulement si a et n sont premiers entre eux.) (f) Dans le groupe (Z n,+) on a, a Z n, gr(a) = gr(pgcd(a, n)). Ex 21. (a) Déterminer l ordre des éléments (1,1), (1,2), (3,4) dans les groupes (Z 5, +) (Z 8, +), (Z 6, +) (Z 14, +). En déduire : (Z 5, +) (Z 8, +) (Z 40, +) (b) Démontrer : dans le groupe (Z m, +) (Z n, +), l ordre de tout élément divise le plus petit commun multiple (ppcm) de m et n, l ordre de (1, 1) est exactement le plus petit commun multiple de m et n. En déduire : (Z m, +) (Z n, +) (Z mn, +) si et seulement si m et n sont premiers entre eux, c.à-d. si pgcd(m, n) = 1. Ex 22. L indicateur d Euler d un nombre naturel positif n est défini par ϕ(n) = #{a N 0 a < n et pgcd(a, n) = 1}. (a) Avec un peu de réflexion, on remarque que, pour tout nombre premier p et pour tout nombre naturel positif n on a : ϕ(p) = (p 1) ϕ(p n ) = (p n p n 1 ) = (p 1)p n 1. L indicateur d Euler ϕ(n) est aussi le nombre d éléments d ordre n du groupe (Z n,+) (voir ex 19). Avec l exercice précédent, on obtient : pgcd(m, n) = 1 ϕ(mn) = ϕ(m) ϕ(n)

50 46 CHAPITRE 2. GROUPES ce qui s exprime en disant que l indicateur d Euler est faiblement multiplicatif. (b) Calculer l indicateur d Euler des nombres 1, 2, 3, 4, 5, 10, 14, 55, 64, 10000, etc. (c) Déterminer toutes les valeurs de n pour lesquelles ϕ(n) = 5, 6, 8, 20. (Solution partielle : les valeurs demandées se trouvent parmi les nombres 2, 5, 7, 8, 9, 14, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 33, 44, 50, 55, 66.) (d) Remarquer : si le nombre naturel n est impair, alors ϕ(n) = ϕ(2n), si le nombre naturel n est pair, alors ϕ(2n) = 2ϕ(n). Ex 23. L ordre 2. (a) Démontrer : tout groupe dont tout élément non neutre est d ordre 2 est commutatif. (b) Démontrer : soit (M,+) un groupe fini dont tout élément non neutre est d ordre 2, alors (M,+) (Z n 2,+) pour un certain nombre naturel n. Indication pour (b). Démontrer d abord que, si H est un sous-groupe de M et si x (M \H), alors (H (x + H)) est aussi un sous-groupe de M, et que (H (x + H)) est isomorphe à (Z 2,+) (H,+). En déduire ensuite que (M,+) (Z n 2,+), où n est le plus grand naturel tel que M possède un sous-groupe isomorphe à (Z n 2,+). (c) Information : en général, tout groupe (M,+) dont tout élément non neutre est d ordre 2 est isomorphe à un groupe (Z (B) 2,+), pour un certain ensemble B (pour la notation, voir (ex 2, (c))). (Esquisse de preuve destinée aux familiers de l algèbre linéaire. Soit (M,+) un groupe dont tout élément non neutre est d ordre 2. Nous savons déjà que (M,+) est commutatif et, w M, nous avons 2w = 0. La multiplication scalaire par les entiers sur M induit alors une multiplication scalaire sur M par les éléments du corps commutatif (Z 2, +, ) et M est ainsi muni d une structure d espace vectoriel sur le corps Z 2. On conclut en utilisant le fait que tout espace vectoriel possède une base : si B est une base de l espace vectoriel M sur Z 2, alors (M,+) (M (B), + ).) Ex 24. Fixons un naturel n. Le groupe (Z n, +), le groupe des rotations de k n tours (où k N) du plan réel autour d un point fixe et le groupe des racines n ièmes complexes de l unité µ C n = ({z C z n = 1}, ) sont isomorphes. Ex 25. Fantaisie. Un ensemble de 20 éléments désire se doter d une structure de groupe non cyclique. Pouvez-vous l aider? Si oui, comment, sinon, pourquoi? Ex 26. Jeu. Un joueur coupe un jeu de 52 cartes en mettant les 24 premières cartes du paquet au dos de ce paquet. Combien de fois doit-il couper son jeu de cette manière pour que les cartes se retrouvent dans leur position initiale?

51 2.1. GROUPES, SOUS-GROUPES, ISOMORPHISMES 47 Ex 27. Couleurs. Un étrange liquide change de couleur toutes les 10 heures. Aujourd hui, il a changé de couleur à midi. Dans combien de jours au minimum changera-t-il de couleur à nouveau à midi? Ex 28. Soit f : R R une fonction. Nous dirons qu un nombre réel t est une période de la fonction f si, x R, f(x + t) = f(x). Nous dirons aussi qu une fonction f : R R est périodique si elle possède une période non nulle. Vérifier que l ensemble des périodes d une fonction f : R R est un sous-groupe du groupe (R,+), appelé groupe des périodes de f. Déterminer le groupe des périodes de la fonction R R : x sin(x). Déterminer le groupe des périodes de la fonction f : R R définie par : f(x) = 1 si x Q, f(x) = 0 si x / Q. Information. Si f : R R est une fonction périodique non constante et continue en un point, elle possède une plus petite période positive t et son groupe de périodes est tz, ce nombre t est alors appelé «la période» de f. (Voir (2.4, ex 10) pour des informations supplémentaires.)

52 48 CHAPITRE 2. GROUPES 2.2. Classes latérales et homomorphismes 1. Définition. Soit H un sous-groupe du groupe (G, ). Les classes latérales gauches de H dans G sont les parties g H = {g h h H} de G. Nous dirons aussi que g H est la classe latérale gauche de g selon H. Propriétés. Nous avons : x, y, z G. (o) z H = H z H, (i) x x H, (ii) y x H (x 1 y) H (y 1 x) H ssi x y H, (iii) x y H y H = x H, (iv) #H = #(x H). Les propriétés (i) et (iii) indiquent que les classes latérales gauches de H dans G forment une partition de G. La propriété (ii) montre que la relation d équivalence sur G associée à cette partition est la relation H définie par : x H y si x 1 y H. De plus, ces classes latérales gauches ont toutes même «nombre» d éléments, c.à-d. même cardinal. Définition. L indice du sous-groupe H du groupe (G, ) est défini par : [G : H] = #{g H g G}. Choix de représentants des classes latérales. Dans chacune des classes latérales gauches de H dans G choisissons un élément dont nous dirons qu il représente sa classe et soit S l ensemble des représentants choisis. Nous avons donc une bijection d ensembles S {g H g G} : s s H. Tout élément g G s écrit alors de façon unique g = s h pour un certain s S et un certain h H (l élément s intervenant dans cette écriture est le représentant choisi de la classe g H ou, ce qui revient au même, l unique s S tel que g s H). Notre choix nous fournit encore des bijections d ensembles En toute généralité nous obtenons {g H g G} H S H G. #G = [G : H] (#H), bien que cette relation ne soit vraiment utile que lorsque G est fini. Dans le cas où G est fini nous retenons. Théorème de Lagrange. Si G est un groupe fini, l ordre de tout sousgroupe de G divise l ordre de G, et l ordre de tout élément de G divise aussi l ordre de G.

53 2.2. CLASSES LATÉRALES ET HOMOMORPHISMES 49 Définition. H g de G. Les classes latérales droites de H dans G sont les parties Les propriétés des classes latérales droites sont symétriques de celles des classes latérales gauches. nous avons entre autres : x, y G y H x y x 1 H H x = H y. À nouveau, ces classes latérales droites forment une partition de G et ont toutes même cardinal. De plus, la fonction G G : g g 1 induit une bijection entre l ensemble des classes latérales gauches de H et l ensemble des classes latérales droites de H. Définition. Un sous-groupe normal du groupe (G, ) est un sousgroupe N de G tel que, g G, g N = N g. On indique souvent que N est un sous-groupe normal du groupe (G, ) par N G. Proposition. Soit N un sous-groupe du groupe (G, ). Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) N est normal dans G (ii) g G on a g N g 1 = N. (iii) g G on a g N g 1 N. Ex 2. Tout groupe d ordre p, où p est un nombre premier, est cyclique, isomorphe à (Z p,+). Ex 3. dans G. (a) Tout sous-groupe d un groupe commutatif (G, ) est normal (b) Si le groupe (G, ) est produit direct de ses deux sous-groupes S et T, alors S et T sont des sous-groupes normaux de G. Ex 4. Sur un diagramme de Venn représenter la partition du groupe (S 3, ) en classes latérales gauches et droites selon les sous-groupes gr{(0, 1)} et gr{(0, 1, 2)}, en effectuant un nombre minimum de calculs. (Un calcul suffit pour la partition en classes latérales gauches selon gr{(0, 1)}, la partition selon gr{(0, 1, 2)} ne nécessite aucun calcul.) Ces sous-groupes sont-ils normaux? Ex 5. Tout sous-groupe d indice 2 du groupe (G, ) est normal dans G. Ex 6. Le petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier. (i) Dans le groupe (Z p \{0}), ) on a : a (Z p \{0}), a p 1 = 1. Dans le corps fini (Z p, +, ), on a aussi : a Z p, a p = a. (ii) Remontons dans l anneau des entiers via l homomorphisme (Z, +, ) (Z p, +, ) : z z p obtenu en (1.3, 6). Il vient :

54 50 CHAPITRE 2. GROUPES a Z, (a p a) est divisible par p. Si de plus pgcd(a, p) = 1, alors (a p 1 1) est aussi divisible par p. Ex 7. Tout groupe d ordre 4 est commutatif, isomorphe soit à (Z 4,+), soit au vierergruppe de Klein (V 4, ). (Indication. Si le groupe d ordre 4 (G, ) possède un élément d ordre 4, il est isomorphe à (Z 4,+). Sinon, ses trois élements non neutres sont d ordre 2 et le produit de deux éléments non neutres distincts de G, dans n importe quel ordre, ne peut être que le troisième élément non neutre de G.) Ex. 8 Tout groupe d ordre 6 est isomorphe soit à (Z 6,+), soit à (S 3, ). (Indication. Si le groupe (G, ) de neutre e et d ordre 6 possède un élément c d ordre 3, et si t (G \ gr{c}), alors G = {1, c, c 2, t, t c, t c 2 } et soit c t = t c, soit c t = c 2 t. Ces deux possibilités fournissent chacune la table d un groupe, isomorphe à (Z 6,+) dans le premier cas, à (S 3, ) dans le deuxième. Si G ne possède pas d élements d ordre 3, alors ses éléments non neutres sont tous d ordre 2 et le sous-groupe engendré par 2 éléments non neutres distincts est isomorphe à V 4, ce qui est impossible car 4 ne divise pas 6.) Ex 9. (a) Dans le plan réel coordonné, dessiner les classes latérales du sous-groupe R {0} du goupe (R 2,+). (b) Faites la partition du groupe (Z, +) en classes latérales selon son sous-groupe 6Z, du groupe (Z 12,+) en classes latérales selon son sous-groupe gr(3). Combien sont-elles? (c) Représenter dans le plan réel coordonné les classes latérales du sousgroupe R + 0 R+ 0 du groupe (R2 0, ). Combien sont-elles? Ex 10. Les classes latérales du sous-groupe H = {(x, y) R 0 R 0 xy = 1} du groupe (R 2 0, ) sont les classes d équivalence de la relation d équivalence définie sur R 2 0 par : (x, y) (x, y ) si xy = x y, introduite en (1.1, ex 9). Ex 11. Interlude. Un ensemble de 21 éléments désire se doter d une structure de groupe en ayant un élément d ordre 6. Pouvez-vous l aider? Si oui, comment, sinon, pourquoi? Un autre ensemble de 59 éléments désire se doter d une structure de groupe non cyclique. Pouvez-vous l aider? Un troisième ensemble de 20 éléments désire se doter d une structure de groupe non cyclique. Pouvez-vous aussi l aider? Ex 12. A peu de chose près. On a défini en (1.1, ex 19) une relation d équivalence sur l ensemble P(E) des parties d un ensemble E par : A, B E, A B si A B est fini. Montrer que les classes de cette équivalence sont les classes latérales du sous-groupe normal P f (E) de (P(E), ), (cf.(3.1, ex 4)).

55 2.2. CLASSES LATÉRALES ET HOMOMORPHISMES Rappelons qu un homomorphisme du groupe (G, ) dans le groupe (H, ), noté f : (G, ) (H, ), est une fonction f de G dans H telle que x, y G f(x y) = f(x) f(y) et qu une telle fonction a les propriétés suivantes : (i) l image par f du neutre de G est le neutre de H, (ii) g G, f(g 1 ) = f(g) 1, (iii) Im(f) est un sous-groupe du groupe (H, ). Exemple. La fonction qui applique tout élément du groupe (G, ) sur le neutre du groupe (H, ) est un homomorphisme de groupes, souvent appelé homomorphisme neutre. L ensemble des homomorphismes du groupe (G, ) dans le groupe (H, ) n est jamais vide. 14. Définition. Le noyau d un homomorphisme de groupes f : (G, ) (H, ) est la partie Ker(f) = {x G f(x) = e} de G, où e désigne le neutre du groupe H. Proposition. Soit f : (G, ) (H, ) un homomorphisme de groupes.. Alors Ker(f) est un sous-groupe normal de G. Les classes latérales de Ker(f) dans G, gauches ou droites, sont les classes de l équivalence f dans G associée à la fonction f : g G nous avons : g Ker(f) = {x G f(g) = f(x)} = Ker(f) g. De plus, l homomorphisme de groupes f est injectif si et seulement Ker(f) = {e}, où e désigne est le neutre de G. (Esquisse de preuve partielle. On a x g Ker(f) g 1 x Ker(f) f(x) = f(g), x Ker(f) g x g 1 Ker(f) f(x) = f(g). Notons que la dernière assertion est aussi une conséquence de la seconde.) Application : pour vérifier qu une partie P d un groupe (G, ) est un sous-groupe normal de G, il suffit d exhiber un homomorphisme f de (G, ) dans un groupe convenablement choisi, tel que Ker(f) = P. Ex 15. Les fonctions suivantes sont-elles des homomorphismes de groupes? Si oui, décrire et dessiner leur noyau, leur image. Sont-elles des isomorphismes? Si oui, expliciter l isomorphisme réciproque. a) (R, +) (R, +) : x x 2 b) (R, +) (R + 0, ) : x ex c) (R 2, +) (R 0, ) : (x, y) e x+y d) (R, +) (C 0, ) : x e 2πix e) (Z, +) (Z, +) : z z + 1 f) (R 0, ) (R 0, ) : x x 3 g) (C 0, ) (C 0, ) : z z 3 h) (Z 2, +) (R, +) : (a, b) a + bπ

56 52 CHAPITRE 2. GROUPES (Signalons un résultat du XIX ième siècle que nous ne démontrerons pas ici : le nombre π est transcendant, ce qui signifie que non seulement il n est pas rationnel, mais encore que, pour tous nombres réels a 0, a 1,, a n non tous nuls, n i=0 a iπ i 0.) Ex 16. Pour montrer un élément a d un ensemble E, nous pouvons utiliser la fonction p a : {0} E : 0 a. Pour montrer un élément g d un groupe (G, ), nous pouvons utiliser la fonction m g : (Z,+) (G, ) : z g z. Observer que cette fonction m g est un homomorphisme de groupes, de noyau nz si g est d ordre fini n, de noyau nul si g est d ordre, et dont l image est le sous-groupe gr(g) de G. Ex 17. Voici quelques homomorphismes de groupes. Pour chacun d eux, décrire et éventuellement dessiner leur noyau et la partition de leur domaine en classes latérales selon le noyau. a : (R 2, +) (R, +) : (x, y) x + 2y b : (C 0, ) (C 0, ) : z z 2 c : (C 0, ) (C 0, ) : z z/ z (voir (1.1, ex 17)) d : (C 0, ) (C 0, ) : z z (voir aussi (1.1, ex 10)) e : (Z, +) (C 0, ) : z ( i 3 2 )z f : (GL 2 (R), ) (R 0, ) : A det(a) g : (R 0, ) (R 0, ) : x x x h : (Z, +) (Z 4, +) (Z 6, +) : z (z 4, z 6 ), où z n désigne le reste de la division de z par n. Ex 18. Jeu. Voici 8 éléments distincts a, b, c, d, x, y, z, w et trois fonctions : f : {a, b, c, d} {x, y, z} : f(a) = x, f(b) = x, f(c) = y, f(d) = z, g : {a, b, c, d} {x, y, z} : g(a) = x, g(b) = x, g(c) = y, g(d) = y, h : {a, b, c, d} {x, y, z, w} : h(a) = x, h(b) = x, h(c) = y, h(d) = y. Dessiner le graphe de ces fonctions. Est-il possible de munir le domaine et le but de ces fonctions d une structure de groupe de façon à ce qu elles deviennent des homomorphismes de groupes? Ex 19. Intermède. (a) Combien avons-nous d homomorphismes du groupe (Z 3,+) dans le groupe (S 4, ))? (b) Combien avons-nous d homomorphismes du groupe (Z 6,+) dans le groupe (S 4, ))? (c) Soit (G, ) un groupe de 21 éléments et (H, ) un groupe de 10 éléments. Combien pouvons-nous avoir d homomorphismes de G dans H? (Indication : observer que, si f : G H est un homomorphisme de groupes finis, alors #Im(f) #H et aussi #Im(f) = [G : Ker(f)] #G.)

57 2.2. CLASSES LATÉRALES ET HOMOMORPHISMES 53 Ex 20. Attention. Soit H = {I, (01) (23)}. H est un sous-groupe normal de (V 4, ), V 4 est un sous-groupe normal de (S 4, ), mais H n est pas un sous-groupe normal de (S 4, ). Ex 21. Soit A et B deux sous-groupes du groupe (G, ). Démontrer : A B est un sous-groupe de G si et seulement si A B = B A. Soit encore N un sous-groupe normal de G. Démontrer : A N = A A N. Ex 22. Image directe et images inverses de sous-groupes. Soit f : (G, ) (H, ) un homomorphisme de groupes. Rappelons que l image directe d un sous-groupe G de G est définie par f (G ) = {f(x) x G} et que l image inverse d un sous-groupe H de H est définie par f (H ) = {y G f(y) H }. Démontrer. (a) L image directe par f de tout sous-groupe de G est un sous-groupe de H. L image inverse par f de tout sous-groupe de H est un sous-groupe de G. (b) Pour tout sous-groupe G de G, nous avons f (f (G )) = G Ker(f). Pour tout sous-groupe H de H nous avons f (f (H )) = H Im(f). (c) Les fonctions image directe f et image inverse f introduites en (1.0, ex 26) se restreignent en des bijections réciproques entre l ensemble des sous-groupes de G contenant Ker(f) et l ensemble des sous-groupes de Im(f). (d) L image inverse par f d un sous-groupe normal de H est un sousgroupe normal de G. Si f est surjectif, l image directe par f d un sous-groupe normal de G est aussi un sous-groupe normal de H. Ex 23. Démontrer le refrain : toute intersection de sous-groupes normaux d un groupe G est un sous-groupe normal de G. 24.Vocabulaire. Un endomorphisme du groupe (G, ) est un homomorphisme de (G, ) dans (G, ). Un automorphisme du groupe (G, ) est un isomorphisme de (G, ) dans (G, ) (c.à-d. un endomorphisme bijectif de (G, )). Ex 25. Autour du nombre 2. Soit (G, ) un groupe. La fonction G G, g g 2 est un endomorphisme du groupe (G, ) si et seulement si le groupe (G, ) est commutatif. Autour du nombre -1. La bijection G G : g g 1 est un automorphisme du groupe (G, ) si et seulement si le groupe (G, ) est commutatif.

58 54 CHAPITRE 2. GROUPES Ex 26. La fonction f : S 3 S 3 définie par : f(1 S3 ) = f((0, 1, 2)) = f((0, 2, 1)) = 1 S3 et f((0, 1)) = f((0, 2)) = f((1, 2)) = (0, 1) est-elle un endomorphisme du groupe (S 3, )? Ex 27. Désignons par Aut(G, ) l ensemble des automorphismes du groupe (G, ). Alors (Aut(G, ), ) est un groupe, appelé groupe des automorphismes du groupe (G, ). (a) Vérifier : (Aut(Z, +), ) (Z 2, +). (b) A quel groupe connu est isomorphe (Aut(Z 8,+), )? Ex 28. Soit (M,+) un groupe commutatif et soit z Z. La fonction z : M M : w zw est un endomorphisme du groupe M. (Voir aussi (2.1,ex 15).) Soit w 1,, w n M. La fonction (Z n, +) (M,+) : (z 1,, z n ) n z i w i i=1 est un homomorphisme de groupes dont l image est (Zw Zw n ) = gr(w 1,..., w n ). Ex 29. Toute permutation du vierergruppe de Klein (V 4, ) fixant le neutre de V 4 est un automorphisme de V 4. On en déduit : (Aut(V 4, ), ) (S 3, ). Ex 29. Soient (X, ) et (G, ) deux groupes. L ensemble des homomorphismes du groupe (X, ) dans le groupe (G, ) sera désigné par Hom(X, G) ou, de façon plus précise mais plus lourde, par Hom((X, ), (G, )). En général Hom(X, G) n est pas un sous-groupe du groupe (G X, ) introduit en (2.1, 2), il n en est même pas une partie stable : si f, g Hom(X, G), la fonction (f g : X G : x f(x) g(x)) n est pas nécessairement un homomorphisme de groupes. Mais la situation est meilleure quand le groupe G est commutatif. Démontrer ; si le groupe (M, +) est commutatif, alors Hom(X, M) est un sous-groupe du groupe (M X, ) introduit en (2.1, 2). Ex 30. On désigne par End(G, ) ou End(G) l ensemble des endomorphismes du groupe (G, ). Comme la composée de deux endomorphismes de G est un endomorphisme de G, cet ensemble a une structure naturelle de monoïde ( End(G, ), ). Dans le cas d un groupe commutatif on peut en dire plus. Si (M, +) est un groupe commutatif, alors End(M) est un sous-groupe du groupe commutatif (M M, +) et (End(M), +, ) est un anneau unital, appelé anneau des endomorphismes du groupe M.

59 2.2. CLASSES LATÉRALES ET HOMOMORPHISMES 55 Observer : (End(Z, +), +, ) (Z, +, ), (End(Z 12, +), +, ) (Z 12, +, ). Ex 31. Soit (G, ) et (H, ) deux groupes dont nous prenons le produit direct. La projection canonique p 1 de G H sur son premier facteur G, définie par : g G, h H, p 1 (g, h) = g, est un homomorphisme surjectif p 1 : (G, ) (H, ) (G, ), de noyau G {e }, où e désigne le neutre de H. On définit de la même façon la projection canonique p 2 de G H sur son second facteur H. Le produit direct des deux groupes (G, ) et (H, ) à la propriété universelle suivante : pour tout groupe (X, ), pour tout f 1 Hom(X, G) et tout f 2 Hom(X, H), il existe un et un seul homomorphisme f de (X, ) dans (G, ) (H, ) tel que p 1 f = f 1 et p 2 f = f 2. G f 1 X f G H f 2 p 1 p 2 H (Indication : x X, nous devons avoir f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)), il suffit dès lors de vérifier que cette formule définit un homomorphisme du groupe (X, ) dans le groupe (G, ) (H, ). L homomorphisme f ainsi défini est parfois noté par (f 1, f 2 ) pour des raisons assez évidentes) Ex 32. Soit f 1 : (G 1, ) (M, +) et f 2 : (G 2, ) (M, +) deux homomorphismes de groupes. Si le groupe (M, +) est commutatif, alors la fonction f : (G 1, ) (G 2, ) (M, +) : (g 1, g 2 ) f 1 (g 1 ) + f 2 (g 2 ) est un homomorphisme de groupes.

60 56 CHAPITRE 2. GROUPES 2.3. Homomorphismes et groupes quotients 1. Construction de groupes quotients. Soit N un sous-groupe normal d un groupe (G, ). Nous désignons par G/N l ensembles des classes latérales de N dans G, gauches ou droite, peu importe puisque N est normal :G/N = {g N g G}. Nous munissons ensuite l ensemble G/N d une loi définie par : x, y G, (x N) (y N) = (x y) N. Attention, il convient de vérifier d abord que notre formule définit bien une loi de composition sur G/N, il nous faut vérifier que, si x N = x N et y N = y N, alors (x y) N = (x y ) N. Voyons ceci. De x N = x N et y N = y N on déduit x x N et y y N, nous avons donc des éléments n 1, n 2 N tels que x = x n 1 et y = y n 2. Mais alors x y = x n 1 y n 2 = x y (y 1 n 1 y ) n 2. Or (y 1 n 1 y ) N et (y 1 n 1 y ) n 2 N car N est un sous-groupe normal. Il vient x y x y N, ce qui équivaut à x y N = x y N. Ceci étant fait, on montre aisément que (G/N, ) est un groupe, de neutre N, appelé groupe quotient de G par N. La projection canonique de G sur son quotient G/N est la fonction p : (G, ) (G/N, ) : x x N. Cette projection canonique est un homomorphisme de groupes, surjectif, et Ker(p) = N. Remarque. On peut aussi montrer que la loi est bien définie en remarquant qu elle n est rien d autre que la restriction à G/N de la loi étendue à l ensemble des parties de G. En effet, x, y G nous avons dans le magma (P(G), ) : (x N) (y N) = x (N y) N = x (y N) N = (x y) (N N) = (x y) N la second égalité résultant de la normalité de N, la dernière de l égalité N N = N valable pour tout sous-groupe et les autres de l associativité. Notation simplifiée. On écrira parfois x N = x, quand ceci ne prête pas à confusion. 2. Premières tactiques. Pour identifier un groupe quotient G/N, une première tactique consiste à choisir un système de représentants S des classes latérales de N dans G, c.à-d. une partie S de G comprenant exactement un élément de chaque classe latérale de N dans G. Ce choix étant fait l élément s S sera alors appelé le représentant choisi de la classe latérale s N et les éléments du quotient G/N s écriront de façon unique sous la forme s N, où s S, autrement dit nous aurons une bijection d ensemble S G/N : s s N Nous pouvons maintenant décrire la loi de composition de la façon suivante. Soit s, t S, et soit u S le représentant choisi de la classe latérale (s t) N, nous avons alors : s t = ū, autrement écrit : (s N) (t N) = u N.

61 2.3. HOMOMORPHISMES ET GROUPES QUOTIENTS 57 Cette tactique consiste donc à nommer les classes latérales d après un de leurs éléments. Notons que la situation idéale est celle où notre système de représentants S forme lui-même un sous-groupe de G. Dans ce cas, notre bijection devient un isomorphisme de groupes (S, ) (G/N, ) : s s N Une autre tactique, parfois plus efficace, consiste à renommer les classes latérales de façon éventuellement plus adéquate. 3. Exemple. Considérons le sous-groupe normal nz du groupe (Z,+), (n N, n 2). Ses classes latérales sont les classes de l équivalence n définie par : z n z si z z nz. La partie S = {0, 1,..., n 1} de Z est un système de représentants des classes latérales de nz dans Z. Cette partie S n est pas un sous-groupe de (Z,+), mais, a, b S, nous voyons que le reste a + n b de la division de a + b par n est le représentant choisi de la classe latérale (a + b) + Z. Nous observons donc : (Z/nZ, +) (Z n, + n ). 4. Exemple. Soit H = {(x, y) R 2 0 xy = 1}. Nous observons que H est un sous-groupe normal du groupe (R 2 0, ) et que les classes latérales de H dans R 2 0 sont les hyperboles H k d équation xy = k, où k R 0 (cf. (2.2, ex 9)). La partie S = {(1, y) y R 0 } est un système de représentants des classes latérales de H dans R 2 0, c est aussi un sous-groupe du groupe (R2 0, ) et (R 2 0 /H, ) (S, ) (R 0, ). Ex 5. (S 3 /gr((0, 1, 2)), ) (Z 2, +). Ex 6. (a) Soit S = {z C z = 1}, S est un sous-groupe normal du groupe (C 0, ), appelé groupe multiplicatif des complexes de module 1. Visualiser la partition du groupe (C 0, ) en classes latérales selon S et déterminer de la façon la plus agréable possible un système de représentants de ces classes latérales. Montrer : (C 0 /S, ) (R + 0, ). (Voir aussi (2.2, ex 25(d).) (b) Identifier aussi le groupe quotient (C 0 /R + 0, ). (Voir aussi (2.2, ex 25(c).) Ex 7. Soit H = {(x, y) R 2 0 x2 = y 2 }. Montrer que H est un sous-groupe normal du groupe (R 2 0, ) et identifier le quotient correspondant. Ex 8. A quel groupe connu est isomorphe le quotient de (R 2 0, ) par son sous-groupe R + 0 R+ 0?

62 58 CHAPITRE 2. GROUPES Ex 9. Une affinité de la droite réelle est une permutation de R de forme f a,b : R R, x ax + b, où a R 0 et b R. (a) Montrer que les affinités de la droite réelle forment un sous-groupe du groupe (S R, ) des permutations de la droite réelle, que ce sous-groupe est isomorphe au groupe (R 0 R, ), où la loi est définie par : (a, b), (a, b ) R 0 R, (a, b) (a, b ) = (aa, ab + b). (b) Soit H = {(a, 0) a R 0 } et T = {(1, b) b R}, H et T sont deux sous-groupes du groupe (R 0 R, ). Décrire et dessiner, dans le plan réel coordonné, les classes latérales gauches et droites, selon H et T, d un élément quelconque (a, b) de R 0 R. (c) Ces sous-groupes sont-ils normaux? Si oui, choisir de façon judicieuse un système de représentants des classes latérales et identifier le groupe quotient correspondant. Ex 10. Sachant que V 4 est un sous-groupe normal de (S 4, ), faites la partition de S 4 en classes latérales selon V 4. Á quel groupe connu est isomorphe le quotient (S 4 /V 4, )? Ex 11. Calculer l ordre des éléments suivants : (a) (1 + i 3) R 0 dans (C 0 /R 0, ), (b) (1 + i 3) R + 0 dans (C 0 /R + 0, ), (c) (8, 10) + (5Z 12Z) dans (Z 2 /(5Z 12Z), +), (d) (2, 2)+H, (3, 3)+H, (20, 20)+H, (1, 5)+H dans (Z 2 /H, +), où H = {(6z, 6z) z Z}, (e) (0, 1, 2, 3) V 4 dans (S 4 /V 4, ), sachant que V 4 est un sous-groupe normal de (S 4 ), (f) Z dans (R/Z, +), (g) Q 0 dans (R 0 /Q 0, ). Ex 12. Soit N un sous-groupe normal du groupe (G, ), et soit g G. L ordre de g N dans le groupe quotient (G/N, ) est le plus petit naturel positif k tel que g k N si un tel naturel existe, sinon g N est d ordre. Ex 13. fini. (Q/Z,+) est un groupe infini dont tous les éléments sont d ordre Ex 14. Soit (Q 8, ) = ({1, 1, i, i, j, j, k, k}, ) le groupe quaternionien (qui est un sous-groupe du groupe multiplicatif des quaternions non nuls : ij = k = ( j)i, jk = i = ( k)j, ki = j = ( i)k, i 2 = j 2 = k 2 = 1). Soit H = {1, 1}. Montrer que H est un sous-groupe normal de (Q 8, ), et calculer le quotient (Q 8 /H, ). 15. Soit f : (G, ) (H, ) un homomorphisme de groupes. Rappelons que les classes latérales x Ker(f), où x G, sont les classes de l équivalence associée à la fonction f (cf.(2.2, ex 24)). La fonction f induit donc une bijection f : (G/Ker(f), ) (Im(f), ) : x Ker(f) f(x). De plus, nous observons que cette bijection f est un isomorphisme de groupes.

63 2.3. HOMOMORPHISMES ET GROUPES QUOTIENTS 59 Ceci nous donne Le premier théorème d isomorphisme. Tout homomorphisme de groupes f : (G ) (H, ) se factorise en f = i f p, (G, ) p f (H, ) i (G/Ker(f), ) f (Im(f), ) où p est la projection canonique de G sur son quotient G/Ker(f), où i est l inclusion canonique de Im(f) dans H et où la fonction f définie par f(x Ker(f)) = f(x) est un isomorphisme de groupes. Application, Pour identifier un groupe quotient (G/N, ), (où N est un sous-groupe normal du groupe (G, )), il suffit de trouver un homomorphisme f de (G, ) dans un groupe convenablement choisi tel que Ker(f) = N. Nous aurons alors (G/N, ) (Im(f), ). Ex 16. On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 à coefficients réels dont le déterminant est non nul. La multiplication matricielle munit GL 2 (R) d une structure de groupe. On désigne encore par SL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 à coefficients réels de déterminant 1. On observe que le déterminant fournit un homomorphisme de groupes, det : (GL 2 (R), ) (R 0, ) : A det A et que Ker(det) = SL 2 (R). On en déduit que SL 2 (R) est un sous-groupe normal de GL 2 (R). On observe encore que l homomorphisme det est surjectif. On en déduit (GL 2 (R)/SL 2 (R), ) (R 0, ). Ex 17. Désignons à nouveau par (S, ) le groupe multiplicatif des complexes de module 1. Appliquer le premier théorème d isomorphisme à l homomorphisme (R,+) (S, ) : x e 2πix introduit en (2.2, ex 17(d)). En déduire : (R/Z, +) (S, ). Ex 18. Soit µ C n = {z C z n = 1}, n N 0, µ C n est un sous-groupe normal du groupe multiplicatif (S, ) des complexes de modules 1, appelé groupe des racines n ièmes de l unité. (a) Quelles sont les classes latérales de µ C 2 dans (S, )? Déterminer un système de représentants de ces classes latérales. Ceci vous permet-il de reconnaître le groupe quotient S/µ C 2? (b) Utiliser l homomorphisme (S, ) (S, ) : z z n pour conclure (S/µ C n, ) (S, ). Ex 19. Identifier le quotient (R 2 0 /{(x, y) R2 0 y = x2 }, ).

64 60 CHAPITRE 2. GROUPES Ex 20. Identifier les quotients (Z 2 /(2Z 5Z), +), (Z 2 /{(2z, 3z) z Z}, +). {( a 0 Ex 21. Soit B 2 = b c ) } {( 1 0 a, c R 0, b R et U 2 = b 1 ) } b R. Vérifier que U 2 et B 2 sont deux sous-groupes du groupe GL 2 (R) introduit en (2.3,ex 16), que U 2 B 2. Utiliser le premier théorème d isomorphisme pour montrer que U 2 est un sous-groupe normal de B 2 et pour identifier le groupe quotient (B 2 /U 2, ). Ex 22. On donne le sous-groupe H = {(4z, 6z) z Z} du groupe (Z 2, +). Identifier le groupe quotient Z 2 /H, +. (Utiliser éventuellement l homomorphisme f : (Z 2, +) (Z, +) (Z 2, +) : (a, b) (3a 2b, b 2 ) où b 2 désigne le reste de la division de b par 2.) 23. Notation allégée. Dorénavant, si N est un sous-groupe normal du groupe (G, ), nous désignerons encore par la loi du groupe quotient G/N. 24. Second théorème d isomorphisme Soit (G, ) un groupe, A un sous-groupe de G et B un sous-groupe normal de G. Alors A B est un sous-groupe de G et B est normal dans A B, A B est un sous-groupe normal de A et (A/(A B), ) ((A B)/B, ). (Pour la preuve, il suffit d appliquer le premier théorème d isomorphisme à l homomorphisme p i, où i : (A, ) (G, ) est l injection canonique et p : (G, ) (G/B, ) la projection canonique, et d observer : Ker(p i) = A B Im(p i) = (A B)/B.) Ex 25 Identifier le groupe (2Z/(2Z 3Z),+). Ex 26. Soit N un sous-groupe normal du groupe (G, ). Alors il existe une bijection entre l ensemble des sous-groupes du groupe quotient G/N et l ensemble des sous-groupes de G contenant N. Dans cette bijection, les sous-groupes normaux se correspondent. (Il suffit d appliquer (2.2, ex 22) à la projection canonique (G, ) (G/N, ).) Ex 27. (a) Quels sont les sous-groupes du groupe (R 2 0, ) contenant son sous-groupe (R + 0 R+ 0 )? (b) Combien y-a-t il de sous-groupes de (S 4, ) contenant V 4? Pour chacun d eux, indiquer son nombre d éléments.

65 2.3. HOMOMORPHISMES ET GROUPES QUOTIENTS Propriété universelle des groupes quotients. Soit N un sous-groupe normal du groupe (G, ) et soit p : (G, ) (G/N, ) la projection canonique de G sur son quotient G/N. Alors, pour tout homomorphisme de groupes f : (G, ) (H, ) tel que N Ker(f), il existe un unique homomorphisme f : (G/N, ) (H, ) tel que f p = f. (G, ) f (H, ) p (G/N, ) ef Cet homomorphisme est défini par : g G, f(g N) = f(g). On exprime aussi ceci en disant que f se factorise à travers p ou (G/N ), que f est l homomorphisme induit par f. (En effet, si un tel homomorphisme existe, nous devons avoir f(g N) = f(g). Il faut donc vérifier que cette formule définit bien une fonction de G/N dans H, que dans notre situation (g N = g N) (f(g) = f(g ). Voyons ceci : (g N = g N) g 1 g N f(g) = f g ) car N Ker(f). Ceci étant fait, il est alors aisé de vérifier que f est un homomorphisme de groupes.) De plus, nous avons : Ker( f) = Ker(f)/N, Im( f) = Im(f). 29. Corollaire. Troisième théorème d isomorphisme. Si H et K sont deux sous-groupes normaux du groupe (G, ) tels que H K, alors K/H est un sous-groupe normal de (G/H, ) et ((G/H)/(K/H), ) (G/K, ). (Pour la preuve, utiliser la propriété universelle des groupes quotients, appliquée à l homomorphisme projection canonique p K : G G/K et au sous groupe normal H K = Ker(p K ).) Ex 30. Identifier les groupes suivants : ((4Z + 6Z)/6Z, +), ((4Z/(4Z 6Z), +), ((Z/12Z)/(3Z/12Z), +).

66 62 CHAPITRE 2. GROUPES 2.4. Compléments sur les groupes. Exercices récapitulatifs Ex 1. Soit A, B 1, B 2 trois sous-groupes du groupe (G, ). Si A (B 1 B 2 ), alors A B 1 ou A B 2. Ex 2. Soit f 1, f 2 deux homomorphismes du groupe (G, ) dans le groupe (H, ) et soit K = {x G f 1 (x) = f 2 (x)}. La partie K de G est-elle un sous-groupe, un sous-groupe normal du groupe (G, )? (Suggestion : comparer l endomorphisme de (S 3, ) introduit en (2.2, ex 26) avec l automorphisme identique de S 3 ). Ex 3. Soit (G, ), (H, ) deux groupes et soit f : G H une fonction. Alors f est un homomorphisme de groupes si et seulement si Γ f = {x, f(x) x G} est un sous-groupe du produit direct (G, ) (H, ). Ex 4. On définit une loi sur Z R par : z, z Z, r, r R, (z, r) (z, r ) = (z + z, r + ( 1) z r ). Montrer que (Z R, ) est un groupe, que {0} R est un sous-groupe normal de (Z R, ) et identifier le quotient correspondant. Ex 5. On définit une loi sur l ensemble Z 2 Z par : i, i Z 2 = {0, 1}, z, z Z, (i, z) (i, z ) = (i + 2 i, z + ( 1) i z ). Le magma (Z 2 Z, ) est-il un groupe? Ex 6. Soit A, B deux sous-groupes normaux du groupe (G, ). (a) Montrer que A B est un sous-groupe normal de G. (b) Si (A B) = {e}, où e est le neutre du groupe G, alors, a A, b B, a b = b a. (Suggestion : voir où se situe l élément a b a 1 b 1 ). (c) Si (A B = {e} et si A B = G, alors la fonction (A, ) (B, ) (G, ) : (a, b) a b est un isomorphisme de groupes. Dans ce cas, rappelons qu on dit que le groupe G est produit direct de ses deux sous-groupes A et B. Ex 7. Soit (M, +) un groupe commutatif et soit T l ensemble des éléments de M d ordre fini. Montrer que T est un sous-groupe normal du groupe (M, +), et que le quotient (M/T, +) ne possède pas d élément non neutre d ordre fini. Ex 8. Etablir un isomorphisme entre (Z (N), +) et (Q + 0, ). (Indication : utiliser une énumération de l ensemble des nombres premiers et le fait que tout nombre naturel est produit de nombre premiers, de façon unique à l ordre près.)

67 2.4. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES. 63 Ex 9. (a) Soit z un nombre entier. Vérifier que la fonction (2 z ) : Z 7 Z 7 : w 2 z w est un automorphisme du groupe (Z 7, + 7 ). (b) Vérifier que la fonction γ : (Z, +) (Aut(Z 7 ), ) : z (2 z ) est un homomorphisme de groupe. Quel est son noyau? (c) On définit une loi sur l ensemble Z 3 Z 7 par : z, z Z 3, w, w Z 7, (z, w) (z, w ) = (z + 3 z, w z w ). Montrer que (Z 3 Z 7, ) est un groupe non commutatif d ordre 21. Ex 10. Les sous-groupes du groupe additif des nombres réels. Rappelons d abord que dans R toute partie P bornée inférieurement admet un infimum, disons a, et que cet infimum est caractérisé par les propriétés suivantes : (i) a R et p P, a p, (ii) x R, (a < x) ( p P, a p < x). Rappelons encore qu une partie D de R est dense dans R si, x R, ε R + 0, d D tel que x ε < d < x + ε. Soit maintenant H un sous-groupe non neutre du groupe (R, +) et soit a = inf{h H 0 < h}. Deux cas sont possibles. Premier cas : a > 0. Dans ce cas, H = az et (H, +) (Z, +). (Indication. Si a H, alors h 1, h 2 H tels que a < h 1 < h 2 < 2a. Mais alors, h 2 h 1 H et 0 < h 2 h 1 < a, en contradiction avec la définition de a. Donc a H. Ensuite, pour tout élément positif h H, nous avons un nombre naturel n tel que na h < (n + 1)a, en fait, n = h a, le plancher de h a. Pour ce nombre n, nous avons encore 0 h na < a. Comme h na H, on en déduit h = na par la définition de a.) Deuxième cas : a = 0. Dans ce cas, H est dense dans R. (Indication. Pour tout ε R + 0, nous obtenons par la définition de l infimum un élément h H tel que 0 < h < ε. Pour tout x R, nous avons un nombre naturel n tel que nh x < (n + 1)h. Mais alors, nous avons aussi : x ε < nh < x + ε.) Conclusion. Tout sous-groupe du groupe additif des nombres réels est soit cyclique, isomorphe à (Z, +), soit dense dans R. Application. Soit f : R R une fonction périodique non constante continue en un point r R. Alors le groupe des périodes de f est cyclique, de la forme tz, pour un certain t R + 0. (Suggestion : procéder par l absurde). Ex 11. (a) Le sous-groupe gr(1, π) du groupe (R, +) est dense dans R. (Indication : utiliser l exercice précédent et montrer que ce sous-groupe n est pas cyclique en utilisant le fait que π n est pas rationnel.) (b) Le sous-groupe gr(1, π, π 2,..., π n 1 ) du groupe (R, +) est isomorphe à (Z n, +) et est dense dans R. (Indication : utiliser le fait que π est transcendant sur Q, c.-à-d. que π n est pas racine d un polynôme en une variable à coefficients rationnels.)

68 64 CHAPITRE 2. GROUPES Ex 12. (a) Soit g un élément du groupe (G, ). Le centralisateur de g dans G est défini par C G (g) = {x G x g = g x}. Montrer que ce centralisateur est un sous-groupe de G. (b) Le centre du groupe (G, ) est défini par Z(G) = {h G g G, h g = g h}. Montrer que Z(G) est un sous-groupe normal de G. (c) Dans le groupe quaternionien (Q 8, ) introduit en (2.3, ex 12), déterminer le centralisateur de i. Déterminer aussi le centre de Q 8. Automorphismes internes et conjugaison Ex 13. Automorphismes internes et conjugaison. A tout élément g du groupe (G, ) on associe la fonction Int(g) : G G : x g x g 1. (a) Montrer que Int(g) est un automorphisme du groupe (G, ) appelé automorphisme interne associé à g. (b) Montrer que la fonction Int : (G, ) (Aut(G), ) : g Int(g) est un homomorphisme de groupes. L image de cet homomorphisme sera désigné par Int(G) et sera appelée groupe des automorphismes internes de G. (c) Montrer que Ker(Int) = Z(G), que (G/Z(G), ) (Int(G), ). (d) Montrer que Int(G) est un sous-groupe normal du groupe (Aut(G), ). (e) On dit que deux éléments x, y du groupe (G, ) sont conjugués et on écrit x y si g G g x g 1 = y. Montrer que la relation «être conjugués dans G» est une relation d équivalence. Ex 14. (a) Dessiner le graphe des automorphismes internes du groupe quaternionien (Q 8, ) introduit en (2.3, ex 12). Dessiner aussi la partition de ce groupe en classes de conjugaison. (b) Dans le groupe (S 3, ), dessiner le graphe de l automorphisme interne associé à la permutation (0, 1), celui de l automorphisme interne associé à la permutation (0,1,2). Dessiner la partition de (S 3, ) en classes de conjugaison.

69 2.4. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES. 65 Ex 15. Soit p, q deux permutations de l ensemble E. Si p(a) = b, q(a) = a, q(b) = b, alors (q p q 1 )(a ) = b. q a p b a q p q 1 b q On observe que l image par la permutation q du graphe de la permutation p est le graphe de la permutation q p q 1. En particulier, si E = {0, 1,..., n 1} et si ( ) 0 1 n 1 p = alors q p q 1 = b 0 b 1 b n 1 ( q(0) q(1) q(n 1) q(b 0 ) q(b 1 ) q(b n 1 ) On en déduit : dans le groupe (S E, ), tout conjugué d une transposition est une transposition, tout conjugué d un tricycle est une tricycle, tout conjugué d une bitransposition est une bitransposition, et ainsi de suite. ). Ex 16. Dans (S 100, ), calculer #{q S 100 q (0, 1, 2) q 1 = (3, 4, 5)}, #{q S 100 q (0, 1, 2) q 1 = (0, 1, 2)}, #{q S 100 q (0, 1, 2) (3, 4) q 1 = (2, 3, 4) (5, 6)}, #{q S 100 q (0, 1, 2, 3) q 1 = (0, 1, 2, 3)}, #{q S 100 q (0, 1) (2, 3) q 1 = (0, 1) (2, 3)}, #{q S 100 q (0, 1) q 1 = (0, 1, 2)}. Ex 17. (a) Dans le groupe (S n, ), deux transpositions sont toujours conjuguées, deux tricycles sont toujours conjugués, et ainsi de suite. (b) Quelles sont les classes de conjugaison du groupe (S 4, ), combien sont-elles? Ex 18. Le centre du groupe (S n, ) est neutre dès que n 3. Permutations et parité Ex 19. Nous dirons avec un léger abus de langage que deux permutations p, q d un ensemble E sont disjointes si les deux ensembles {x E p(x) x} et {x E q(x) x} sont disjoints. (a) Observer que deux permutations disjointes commutent (b) Observer que toute permutation d un ensemble fini est composée commutative de cycles. (Rappelons qu un cycle est une permutation du type (0, 1,..., n 1).) Ex 20. Tout cycle est composé de transpositions, de façon non unique : (0, 1, 2,..., n 1) = (0, n 1)... (0, 2) (0, 1) (0, 1, 2,..., n 1) = (0, 1) (1, 2)... (n 2, n 1)

70 66 CHAPITRE 2. GROUPES 21. Parité. Signalons le théorème suivant. Toute permutation d un ensemble fini peut s écrire comme produit de transpositions, de façon non unique. Si une permutation peut s écrire comme produit d un nombre pair de transpositions, alors toute autre écriture de cette permutation comme produit de transpositions comporte un nombre pair de transpositions. Dans ce cas, on dit que la permutation est paire. Si une permutation peut s écrire comme produit d un nombre impair de transpositions, alors toute autre écriture de cette permutation comme produit de transpositions comporte un nombre impair de transpositions. Dans ce cas, on dit que la permutation est impaire. Toute permutation d un ensemble fini est soit paire, soit impaire. Ex 22. Écrire de deux façons différentes les permutations suivantes comme produit de transpositions. Quel est leur ordre, leur parité? (0, 1, 2, 3), (4, 8, 9) (1, 2, 3), (0, 1, 2) (3, 4), (0, 1, 2) (2, 3). Ex 23. Écrire si possible une permutation paire d ordre pair, paire d ordre impair, impaire d ordre pair, impaire d ordre impair. Ex 24. Une permutation est paire si et seulement si le nombre de ses cycles de longueur paire est pair. Toute permutation impaire est d ordre pair. Ex 25. Montrer que (S n, ) est engendré par {(0, 1), (0, 1,..., n 1)}. Ex 26. Les permutations paires du groupe (S n, ) forment un sous-groupe normal d indice 2 de S n, noté (A n, ) et appelé groupe alterné sur n éléments. De plus, (S n /A n, ) (Z 2, + 2 ). Ex 27. Si un sous-groupe H de (S n, ) comprend une permutation impaire, il comprend autant de permutations paires que de permutations impaires. Ex 28. Dans (A 4, ), les tricycles se répartissent en deux classes de conjugaison. Dans (A 5, ), les tricycles sont tous conjugués. 29 Définition. Un groupe simple est un groupe dont les seuls sousgroupes normaux sont les sous-groupes triviaux. Signalons sans démonstration que les groupes alternés (A n, ) sont simples pour n 4.

71 2.4. COMPLÉMENTS SUR LES GROUPES. 67 Produit semi-direct Ex 30. Soit (G, ) un groupe de neutre 1 et supposons que ce groupe aie un sous-groupe normal N, un autre sous-groupe T tels que G = N T et N T = {1}. Alors tout élément g G s écrit de façon unique g = n t, où n N et t T. De plus, n, n N, t, t T, le produit (n t) (n t ) peut s écrire sous la forme n t, n N et t T de la façon suivante, nous avons : (n t) (n t ) = (n (t n t 1 )) (t t ). On observe que la loi du groupe G est connue dès qu on connaît la loi des sous-groupes N et T et la restriction à N des automorphismes internes associés aux éléments de T. On observe aussi que la fonction (T, ) (G/N, ) : t N t est un isomorphisme de groupes. Dans cette situation, on dit que le groupe G est produit semi-direct de ses deux sous-groupes N et T. Ex 31. Ex 32. Donner quelques exemples de la situation décrite ci-dessus. Soit (N, ) et (T, ) deux groupes et soit un homomorphisme de groupes. ϕ : T (Aut(N), ) On munit l ensemble N T d une loi définie par : n, n N, t, t T, (n, t) (n, t ) = (n (ϕ(t)n ), t t ). Montrer que la loi munit l ensemble N T d une structure de groupe. Ce groupe (N T, ) sera appelé «produit semi-direct de N et T via ϕ». Observer encore que N 1 = N {1} et T 1 = {1} T sont des sousgroupes du groupe (N T, ) satisfaisant les conditions de l ex 30 et que Int((1, t))((n, 1)) = ϕ(n), (où t T, n N), noter aussi que N N 1 et que T T 1. Si l homomorphisme ϕ est l homomorphisme neutre, notre produit semidirect n est rien d autre que le produit direct usuel. Si l homomorphisme ϕ n est pas l homomorphisme neutre, notre produit semi-direct n est pas commutatif et nous dirons qu il n est pas trivial. 33. Exemple. Le groupe construit à l ex 9 est un groupe d ordre 21, produit semi-direct des groupe (Z 7, +) et (Z 3, +). Ex 34. (a) Soit A, B deux sous-groupes du groupe G, ) de neutre e. Si A B = {e} alors #A #B #G. Si l un des deux sous-groupes A et B est normal dans G, alors on a aussi #A #B #G. (b) Tout groupe commutatif d ordre pq, où p et q sont deux nombres premiers distincts, est cyclique, isomorphe à (Z pq, +).

72 68 CHAPITRE 2. GROUPES 34. Information. Soit p et q deux nombres premiers distincts, p < q. Si p q 1, tout groupe d ordre pq est commutatif, isomorphe à (Z pq, +). Si p q 1, tout groupe d ordre pq est soit commutatif, soit un produit semi-direct non trivial de (Z q, +) par (Z p, +), cette dernière possibilité étant unique à isomorphisme près.

73 Chapitre 3 Anneaux 3.1. Quelques anneaux 0. Nous avions introduit les anneaux dans la section 1.2, en présentant quelques premiers exemples, dont l anneau des matrices 2 2 à entrées dans Z. Depuis nous en avons rencontré d autres. Rappelons l anneau (Z n, +, ) des entiers modulo n (1.3 ex 6), l anneau des endomorphismes d un groupe commutatif (2.2 ex 30), rappelons aussi que ces anneaux comprenaient parfois des éléments non nuls dont le produit est nul. 1. Définitions. Soit (A, +, ) un anneau et désignons son neutre additif par 0. Un élément a de A est un diviseur de zéro à gauche s il existe un élément non nul b de A tel que a b = 0. Un élément a de A est un diviseur de zéro à droite s il existe un élément non nul c de A tel que c a = 0. Un élément a de A est un diviseur de zéro s il est diviseur de zéro à gauche ou à droite. Remarque. a A, a 0 = 0 a = 0, 0 est un diviseur de zéro de A dès que A est non nul, nous dirons que 0 est un diviseur de zéro trivial. Mais un anneau peut posséder d autres diviseurs de zéro. Par exemple, dans l anneau (Z 6, +, ) des entiers modulo 6 introduit en (1.3 ex 6), nous avons 2 3 = 0. Avec un léger abus de langage, nous dirons d un anneau qu il est sans diviseur de zéro s il n a pas de diviseurs de zéro non triviaux, c.à-d. si 0 est son seul diviseur de zéro. 2. Rappelons qu un élément d un anneau unital (A, +, ) est dit simplifiable, simplifiable à gauche ou à droite, inversible, inversible à gauche ou à droite, s il a cette propriété dans le monoïde (A, ). Complétons les relations entre ces notions et celle de diviseurs de zéro. Proposition.Dans un anneau unital on a : inversible à gauche simplifiable à gauche non diviseur de zéro à gauche, inversible à droite simplifiable à droite non diviseur de zéro à droite, inversible simplifiable non diviseur de zéro, 69

74 70 CHAPITRE 3. ANNEAUX 3. Définition. Un anneau intègre ou domaine d intégrité ou domaine est un anneau commutatif unital non nul dans lequel le produit de deux éléments non nuls est non nul, autrement dit un anneau commutatif unital non nul sans diviseurs de zéro non triviaux. Un anneau commutatif unital non nul est donc intègre si et seulement si ses éléments non nuls sont simplifiables. Il résulte des définitions que tout corps commutatif est un domaine. Mais l anneau des entiers (Z, +, ) est un domaine qui n est pas un corps. Ex 4. Les structures suivantes sont-elles des anneaux, des anneaux unitaux, des anneaux commutatifs, des anneaux intègres, des corps, des corps commutatifs? (N, +, ), (Z, +, ), (Q, +, ), (C, +, ), (Z 5, +, ), (Z 6, +, ), (PE,, ), (H, +, ), où H désigne l ensemble des quaternions, (M 2 (Z), +, ), où M 2 (Z) désigne l ensemble des matrices carrées 2 2 à coefficients entiers, muni de l addition et de la multiplication matricielle. Ex 5. (i) Quelles sont les solutions, dans l anneau (Z 12, +, ), des équations 3x = 0, 3x = 1, 5x = 0, 5x = 1, 7x = 1, x 2 = 0, x 2 = 1, x 2 = x? (ii) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles des anneaux (Z 12, +, ), (Z 7, +, ), (Z n, +, ) où n 2? (iii) Dans (Z n, +, ), n 2, tout élément est soit inversible, soit diviseur de zéro. Ex 6. Tout anneau intègre fini est un corps commutatif. Dans un anneau unital fini, tout élément non inversible est diviseur de zéro. 7. Rappelons encore que l ensemble des éléments inversibles d un anneau unital forme un groupe pour la multiplication, souvent noté A et appelé groupe des inversibles de A. Quant à l ensemble des éléments simplifiables d un anneau unital non nul, il forme un monoïde pour la multiplication. Ex 8. Quel est le groupe des inversibles des anneaux (Z, +, ), (Z 6, +, ), (Z 8, +, ), (M 2 (Z), +, ), (M 2 (R), +, )? 9. Soit (A, +, ) et (B, +, ) deux anneaux. On munit l ensemble produit A B d une addition et d une multiplication «composantes par composantes» définie par : a, a A, b, b B, (a, b) + (a, b ) = (a + a, b + b ))

75 3.1. QUELQUES ANNEAUX 71 (a, b) (a, b ) = (a a, b b )) Vérifier que (A B, +, ) est un anneau. Cet anneau se nomme produit direct des anneaux A et B et est souvent noté par (A, +, ) (B, +, ). 10. Fonctions à valeurs dans un anneau. Soit (A, +, ) un anneau et E un ensemble. L ensemble A E des fonctions de E dans A est naturellement muni d une structure d anneau (A E, +, ) de la façon suivante : f, g A E, f + g et f g sont définis par : e A, (f + g)(e) = f(e) + g(e), (f g)(e) = f(e) g(e). En particulier, pour tout naturel positif n, (A n, +, ) est un anneau. Ex 11. (a) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles de (R 2, +, )? (b) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles de (R R, +, )? 12. Rappelons que deux anneaux (A, +, ), (B, +, ) sont isomorphes s il existe une bijection f : A B telle que, x, y A, f(x + y) = f(x) + f(y) et f(x y) = f(x) f(y). Une telle bijection est alors appelée isomorphisme d anneaux. On indique que deux anneaux sont isomorphes par (A, +, ) (B, +, ). Dans le cas où A et B sont des anneaux unitaux, notons que l image du neutre multiplicatif de A par un isomorphisme d anneaux f : A B est le neutre multiplicatif de B. Exemple. La fonction (C, +, ) (C, +, ) : a + bi a bi est un isomorphisme d anneaux, appelé automorphisme de conjugaison de C. Ex 13. La fonction car : (P(E),, ) (Z E 2, +, ) est un isomorphisme d anneaux. 14. Soit (M, +) un groupe commutatif. L ensemble des endomorphismes de (M, +), muni de l addition et de la composition des fonctions, forme un anneau unital appelé anneau des endomorphismes du groupe (M, +) et noté (End(M, +), +, ) ou (End(M), +, ). Le groupe des inversibles de cet anneau est le groupe (Aut(M), ) des automorphismes de M. 15. Définitions. Un sous-anneau d un anneau (A, +, ) est une partie A de A telle que l addition et la multiplication de A, restreintes à A, munissent A d une structure d anneau. Autrement dit, la partie A de A est un sousanneau de A si A est un sous-groupe du groupe additif (A, +) et si A A A. Un sous-anneau unital d un anneau unital A est un sous-anneau de A comprenant le neutre multiplicatif de A. Un sous-corps d un anneau unital A est un sous-anneau unital de A qui, avec sa structure d anneaux héritée de celle de A, est un corps.

76 72 CHAPITRE 3. ANNEAUX Refrain. Toute intersection de sous-anneaux d un anneau A est un sousanneau de A. Toute intersection de sous-anneaux unitaux d un anneau unital A est un sous-anneau unital de A. Toute intersection de sous-corps d un corps K est un sous-corps de K. 16. Exemples. (a) Avec ces définitions, 2Z est un sous-anneau de l anneau des entiers (Z, +,.), mais 2Z n est pas un sous-anneau unital de (Z, +,.). (b) R {0} est un sous-anneau de l anneau unital (R 2, +, ), mais n est pas un sous-anneau unital de (R 2, +, ), bien que, en tant qu anneau, (R {0}, +,.) soit lui même unital. (c) Z est un sous-anneau unital du corps des rationnels (Q, +,.). Ex 17. Les parties suivantes de Q sont-elles des sous-anneaux unitaux, des sous-corps du corps des rationnels (Q, +, )? (a) { a b a Z, b Z\2Z}, (b) { a b a Z, b Z\6Z}, (c) { a b a, b Z, b (2Z 3Z)}, (d) { a 2 a Z, n N}. n Ex 18. Un anneau (B, +, ) dont tout élément b satifait b 2 = b est appelé anneau de Boole. Un anneau de Boole unital est appelé algèbre de Boole. L anneau (P(E),, ) est un premier exemple d algèbre de Boole et tout sous-anneau de (P(E),, ) est un anneau de Boole. Montrer que les anneaux de Boole ont les propriétés suivantes. (a) Tout anneau de Boole est commutatif et tout élément b d un anneau de Boole satisfait b + b = 0. (Suggestion. Pour deux éléments x, y d un anneau de Boole B, développer (x + y) 2 et (x + x) 2 de deux façons différentes.) (b) On définit une relation dans un anneau de Boole B par : a b si a = ab. Vérifier que est une relation d ordre sur B. A quoi correspond cette relation dans un anneau (P(E),, )? La réponse à cette question nous incite à dire que b contient a si a b. (c) Soit encore B un anneau de Boole. Dans l ordonné (B, ), nous avons : inf{x, y} = xy et sup{x, y} = x + y + xy. Ceci nous incite à définir deux lois sur B par : x y = xy et x y = x + y + xy. A quoi correspondent ces lois dans l anneau (P(E),, )? (d) Nous dirons qu un élément a d un anneau de Boole B est un élément minimal non nul si a 0 et si x E, (x a) (x = 0 ou x = a), autrement dit si a 0 et si 0 et a sont les seuls éléments de B contenus

77 3.1. QUELQUES ANNEAUX 73 dans a. Quels sont les éléments minimaux non nuls de (P(E),, )? (e) Soit B un anneau de Boole fini. (i) Tout élément non nul b de B contient un élément minimal non nul. (ii) Soit a 1, a 2,, a n les n éléments minimaux non nuls distincts de B. Si i j, alors a i a j = 0. Soit encore e = a a n. Alors a i e = a i. De plus, b B nous avons b = eb et b est la somme des éléments minimaux qu il contient. (Indications. Si b eb, alors 0 b + eb et b + eb contient un élément minimal non nul, disons a i. Mais alors a i = a i (b + eb) = a i b + a i b = 0, en contradiction avec le fait que a i 0. Donc b = eb. Dès lors nous avons aussi b = eb = a 1 b + + a n b. ) Conclusion. Soit E l ensemble des éléments minimaux non nuls de l anneau de Boole fini B : E = {a 1,, a n }. Alors la fonction (B, +, ) (P(E),, ) : b {a i E a i b} est un isomorphisme d anneaux. (f) Soit B une algèbre de Boole de neutre multiplicatif 1 et, b B, posons b = 1 + b. Alors : (i) inf{b, b } = 0 et sup{b, b } = 1. C est pourquoi cet élément b sera appelé le complément de b. (ii) x, y B, xy = 1 x = y = 1. (g) En général, le Théorème de représentation de Stone nous dit que tout anneau de Boole est isomorphe à un sous-anneau de l anneau (P(E),, ) des parties d un certain ensemble E. 19. Notations. Soit A un sous-anneau unital de l anneau commutatif unital B et soit b B. On désigne par A[b] le plus petit sous-anneau de B contenant A et comprenant b. On observe : A[b] = { n i=0 a ib i a i A, n N }. Soit encore b 1,..., b n B. On désigne par A[b 1,..., b n ] le plus petit sous-anneau de B contenant A et comprenant les éléments b 1,..., b n. Ex 20. Utilisons les notations précédentes dans le corps des complexes. (a) Montrer que Q[ 2] = {a + b 2 a, b Q}, que la fonction Q[ 2] Q[ 2] : a + b 2 a b 2 est un isomorphisme d anneaux et que Q[ 2] est un sous-corps de (R, +, ). (Rappelons que 2 / Q.) (b) Montrer que Z[i 5] = {a + ib 5 a, b Z}, que Z[i 5] n est pas un sous-corps de (C, +, ). 21. Anneaux de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif unital non nul (A, +,.).

78 74 CHAPITRE 3. ANNEAUX (a) On désigne par A[X] l ensemble des polynômes en une indéterminée X à coefficients dans A : { n } A[X] = a i X i a i A, n N. i=0 Soit n n, on dit que les deux polynômes n i=0 a ix i et n i=0 a i Xi sont égaux si et seulement si a i = a i i, 0 i n, et a i = 0 pour i n. On identifie A à une partie de A[X] en posant ax 0 = a pour tout a A et on dit des éléments de A qu ils sont des polynômes constants. On prolonge ensuite l addition et la multiplication de A à A[X] en définissant la somme et le produit de deux polynômes de A[X] de la façon usuelle, en utilisant les règles d associativité, de commutativité, de distributivité et la règle des exposants : X n X m = X n+m. On obtient ainsi un anneau commutatif unital (A[X], +, ) dont A est un sous-anneau. Quand nous voyons A comme sous-anneau de A[X], les éléments de A sont souvent appelés polynômes constants. On abrège aussi l écriture des polynômes en posant 1X i = X i et 0X i = 0. Notons que A[X] est toujours un ensemble infini car X i X j dès que i j. (b) Le degré d un polynôme non nul P = t a i X i, noté deg(p ), est le plus grand naturel n tel que a n 0. Par convention, le degré du polynôme nul est. Un polynôme constant est donc un polynôme nul ou de degré nul. i=0 (c) Propriétés : (i) P, Q A[X], nous avons deg(p + Q) max{deg(p ), deg(q)}. Mais, si deg(p ) deg(q), alors deg(p + Q) = max{deg(p ), deg(q)}, Nous avons aussi deg(p Q) deg(p ) + deg(q). Mais, si l anneau A est intègre, plus généralement si le coefficient du terme de degré le plus élevé de P ou de Q n est pas un diviseur de zéro, alors deg(p Q) = deg(p ) + deg(q). (ii) En particulier, X n est jamais inversible dans A[X], A[X] n est jamais un corps. (iii) Si l anneau A est intègre, alors l anneau A[X] est également intègre et les inversibles de A[X] sont exactement les inversibles de A. (d) La valeur du polynôme P = n l élément P (a) = p i a i A. i=0 n p i X i A[X] en l élément a de A est i=0

79 3.1. QUELQUES ANNEAUX 75 Nous avons : P, Q A[X], a A, (P + Q)(a) = P (a) + Q(a), (P Q)(a) = P (a) Q(a). Ainsi tout élément a A nous fournit la fonction d évaluation en a e a : A[X] A : P P (a) et cette évaluation e a est un homomorphisme d anneaux unitaux. D autre part tout polynôme P A[X] nous fournit une transformation de A : f P : A A : a P (a) appelée fonction polynomiale associée au polynôme P A[X]. Notons encore que la fonction f : (A[X], +, ) (A A, +, ) : P f P est aussi un homomorphisme d anneaux unitaux. (e) Une racine ou zéro du polynôme P A[X] est un élément a de A tel que P (a) = 0. Ex 22. Soit A un anneau commutatif unital. Deux polynômes distincts de A[X] peuvent fournir la même fonction polynomiale. Ce phénomène se produit chaque fois que l anneau A est fini. En voici un exemple. Rappelons le petit théorème de Fermat : si p est un nombre premier, nous avons : a (Z p, +, ) a p = a. Les polynômes X et X p de Z p [X], de degré 1 et p respectivement, sont distincts et fournissent la même fonction polynomiale de Z p dans Z p, à savoir la fonction identique. Ex 23. Q[π] Q[X], plus précisément, la fonction d évaluation en π e π : Q[X] Q[π] : P P (π) est un isomorphisme d anneaux. (Rappelons que π est transcendant sur Q, ce qui signifie que π n est pas racine d un polynôme à coefficients rationnels.) Ex 24. Dans Z 12 [X], nous avons : (3X) 4(X) = 0 (6X + 11) 2 = 1 (X + 1)(X + 11) = X = (X + 5)(X + 7). Dans Z p [X], où p est un nombre premier, nous avons : (X +1) p = X p +1.

80 76 CHAPITRE 3. ANNEAUX 25. Division dans A[X], lorsque l anneau A est commutatif unital. (i) Le processus de division des polynômes nous apprend ceci. Soit N, D A[X], où D est un polynôme non nul dont le coefficient du terme de degré le plus élevé est inversible, alors il existe un seul Q A[X] et un seul R A[X] tels que N = DQ + R et deg(r) < deg(d). On dit alors que le polynôme R est le reste de la division du polynôme N par D. Si R = 0, on dit que D divise N, que N est un multiple de D, et on écrit D N. (ii) P A[X], a A nous pouvons donc écrire P = (X a)q + r, où Q K[X] et r K. On en déduit : P (a) = 0 Q A[X] tel que P = (X a)q (X a) P. 26. Divisibilité dans A[X], lorsque A est intègre. Si l anneau A est intègre, alors (i) tout polynôme de degré n de A[X] a au plus n racines dans A, (ii) et si de plus A est infini, deux polynômes distincts de A[X] fournissent des fonctions polynomiales distinctes. 27. Divisibilité dans K[X], lorsque K est un corps commutatif. Soit (K, +, ) un corps commutatif. Nous dirons encore qu un polynôme A K[X] divise un polynôme B K[X] et nous écrirons A B s il existe C K[X] tel que B = AC. Notons qu ici les polynômes A et B peuvent être nuls, et que tout polynôme T K[X] divise le polynôme nul. La méthode des divisions successives nous permet de calculer un plus grand commun diviseur (pgcd) de deux polynômes P, Q K[X], c.-à-d. un polynôme C K[X] tel que C divise P et Q et tel que tout polynôme Z divisant P et Q divise C. P Q C Z De plus, nous obtenons pour ce polynôme C deux polynômes S, T K[X] tels que C = SP + T Q. Notons que, si C est un pgcd de P et Q, alors, pour tout élément non nul a de K, ac est aussi un pgcd de P et Q, et que, si C est un autre pgcd de P et Q, alors on a C = uc pour un certain élément non nul u de K. Ceci nous incite à privilégier, parmi les pgcd de P et Q, celui dont le coefficient du terme de degré le plus élevé est 1 et à le désigner par pgcd (P, Q). Nous pouvons maintenant écrire la relation de Bezout dans K[X] : P, Q K[X], S, T K[X] tels que pgcd(p, Q) = SP + T Q

81 3.1. QUELQUES ANNEAUX 77. (Observer l analogie avec (1.3, 0).) En outre, le calcul du pgcd par la méthode des divisions successives nous montre que, si K est un sous-corps d un corps commutatif (L, +, ), alors un pgcd de P et Q dans K[X] est aussi un pgcd de P et Q dans L[X]. Nous dirons que deux polynômes de K[X] sont premiers entre eux si leur pgcd est 1. Ex 28. Dans R[X], calculer pgcd (X 3 1, X 2 1) pgcd (X 7 + X 2 + 1, X 6 + X + 1) pgcd (X 6 3X 5 + 1, X 5 3X 4 + X + 3). 29. Définition. Un corps algébriquement clos K est un corps commutatif tel que tout polynôme non constant de K[X] a au moins une racine dans K. Il résulte de la définition que, si le corps commutatif K est algébriquement clos, alors tout polynôme non constant P de K[X] s écrit de façon unique, à l ordre près, sous la forme P = c(x a 1 )... (X a n ), où c, a 1,..., a n K, c 0, où n = deg(p ). On peut démontrer que le corps des nombres complexes est algébriquement clos. Ex 30. Deux polynômes de C[X] ou de R[X] sont premiers entre eux si et seulement si ils n ont pas de racines communes dans C. Dans R[X], pgcd (X 11 1, X 7 1) = (X 1). Ex 31. Tout corps algébriquement clos est infini. (Indication : si F est un corps commutatif fini, regarder le polynôme P = 1 + (X a 1 ) (X a n ), où a 1,..., a n sont les n éléments distincts de F, et observer qu il n a pas de racines dans F.) Ex 32. Si F est un corps commutatif fini de n éléments, deux polynômes distincts de F [X] de degré strictement inférieur à n fournissent des fonctions polynomiales distinctes. Comme le nombre des polynômes à coefficients dans F de degré strictement inférieur à n est égal a n n et que n n est aussi le nombre des fonctions de F dans F, nous en déduisons. Si F est un un corps commutatif fini, toute fonction de F dans F est polynomiale. 33. Plusieurs indéterminées. Soit A un anneau commutatif unital non nul. On désigne par A[X 1,..., X n ] l anneau des polynômes à coefficients dans A en les indéterminées X 1,..., X n. Notons que A[X, Y ] = A[X][Y ], que A[X 1,..., X n ] = A[X 1,..., X n 1 ][X n ], n 2.

82 78 CHAPITRE 3. ANNEAUX 34. Corps des fractions rationnelles. Soit K un corps commutatif. On désigne par K(X) l ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans K : K(X) = { P P, Q K[X], Q 0}. Q On définit l égalité, la somme et le produit de deux fractions rationnelles de la façon usuelle, on obtient un corps commutatif (K(X), +, ) dont K[X] est un sous-anneau unital. Ex 35. Une fonction de R dans R est dite de classe C si elle est continue et si toutes ses dérivées d ordre n (n N 0 ) existent et sont continues. L addition des fonctions munit l ensemble C (R) = C des fonctions de R dans R de classe C d une structure de groupe commutatif. Les notions de dérivées et intégrales nous fournissent des fonctions d : C C : f f, i a : C C : f x a f(t)dt, où a R. Le calcul différentiel et intégral nous dit que la fonction d et les fonctions i a sont des endormorphismes du groupe (C, +). Il nous dit aussi : a R, f C, (d i a )(f) = f, donc d i a = 1 C. L ensemble des endomorphismes du groupe (C, +), muni de l addition et de la composition des fonctions, forme un anneau unital (End(C, +), +, ) non commutatif. L élément d de cet anneau est inversible à droite et admet une infinité d inverses droits, il n est pas inversible. Cet élément d est aussi diviseur de zéro à gauche dans l anneau (End(C, +), +, ). En effet, pour tout a R, désignons par c a la fonction de C dans C qui applique toute fonction f C sur la fonction constante de valeur f(a), nous avons c a End(C, +) et d c a = 0. Ex 36. L ensemble des endomorphismes du groupe (R[X], +), muni de l addition et de la composition des fonctions, forme un anneau unital (End(R[X]), +, ). Associons à tout polynôme P R[X] les fonctions et les fonctions d P : R[X] R[X] : ( n a i X i ) (a 0 P + i=0 t P : R[X] R[X] : ( n a i X i 1 ) i=1 n a i X i ) a 0 P. i=0 Soit encore s : R[X] R[X] : Q XQ. Nous avons : t P, d P, s (EndR[X], +, ), d P s = 1 R[X] et t P s = 0. L élément s de l anneau R[X] est inversible à gauche et admet une infinité d inverses gauches, il est donc simplifiable à gauche, ce qui signifie (s h = s h ) h = h. Mais il est aussi diviseur de zéro à droite.

83 3.1. QUELQUES ANNEAUX 79 Ex 37. Soit a un élément d un anneau unital A non nécessairement commutatif. Si b A, ab = 1 et si x, y A, (ax = ay) (x = y), alors a est inversible et a 1 = b. (Á comparer avec la proposition 16 en section 1.3.) {( ) } Ex 38. Ecrivons les éléments de Z 2 en colonnes : Z 2 a = a, b Z. b Tout endomorphisme ( ) ( f du ) groupe (Z 2, +) est connu dès que l on connait 1 0 l image de et de, De plus, ces images peuvent être choisies 0 1 arbitrairement dans Z 2. ( ) ( ) ( ) 1 a 0 Si f est endomorphisme du groupe (Z 2, +) avec f =, f = 0 b 1 ( ) ( ) ( ) x a c x alors f =. y b d y ( ) a c Nous dirons que la matrice F = est la matrice de f. b d Si f et g sont deux endomorphismes de (Z 2, +) de matrices F et G respectivement, alors la matrice de f g est la matrice F G. Ainsi (End(Z 2, +), +, ) (M 2 (Z), +, ). De plus, un endomorphisme de (Z 2, +) est inversible si et seulement si sa matrice est de déterminant ±1. Ex 39. On définit une loi sur R 2 par : ( c d ), a, b, a, b R, (a, b) (a, b ) = (aa, ab + a b). Montrer que (R 2, +, ) est un anneau commutatif unital, de neutre additif (0,0), de neutre multiplicatif (1,0). Dans cet anneau, on a (0, 1) (0, 1) = (0, 0). L anneau (R 2, +, ) n est pas intègre. Ex 40. On définit une loi sur R 2 par : a, b, a, b R, (a, b) (a, b ) = (aa + bb, ab + a b). Montrer que (R 2, +, ) est un anneau commutatif unital, de neutre additif (0,0), de neutre multiplicatif (1,0). Dans cet anneau, calculer (1, 1) (1, 1). L anneau (R 2, +, ) est-il intègre?

84 80 CHAPITRE 3. ANNEAUX 3.2. Homomorphismes, idéaux et anneaux quotients 1. Définitions. Soit A un anneau. Une partie I de A est un idéal gauche de A si I est un sous-groupe du groupe additif (A, +) et si, x I, a A, on a ax I, autrement écrit si A I I. Une partie I de A est un idéal droit de A si I est un sous-groupe du groupe additif (A, +) et si, x I, a A, on a xa I, autrement écrit si I A I. Une partie I de A est un idéal de A si I est à la fois un idéal gauche et un idéal droit. La partie A de A est un idéal de A appelé idéal impropre. Un idéal propre est un idéal de A distinct de A. La partie {0} de A est un idéal de A appelé idéal nul ou idéal trivial. Refrain. Toute intersection d idéaux est un idéal. L idéal engendré par une partie P de l anneau A est le plus petit idéal de A contenant P, il sera désigné par idl(p ) ou plus simplement par (P ). Ex 2. Dans l anneau de matrices (M 2 (R), +, ), les matrices dont la première colonne est nulle forment un idéal gauche, les matrices dont la première ligne est nulle forment un idéal droit. Ex 3. L idéal engendré par une partie finie {a 1,..., a n } d un anneau commutatif unital A est la partie idl(a 1,..., a n ) = a 1 A a n A. 4. Remarque. Un idéal d un anneau unital non nul A est impropre si et seulement si il comprend un élément inversible de A. Le seul idéal propre d un corps est l idéal nul. Signalons aussi que l anneau de matrices (M n (R), +, ) n a qu un seul idéal propre, à savoir l idéal nul, mais que l anneau (M n (R), +, ) n est pas un corps dès que n > Définitions. Un idéal d un anneau commutatif unital A est principal s il peut être engendré par un seul élément, autrement dit s il est de la forme a A, où a A. Un anneau principal est un anneau commutatif unital dont tous les idéaux sont principaux. Un domaine principal est un anneau principal intègre. Exemples. (i) L anneau des entiers (Z, +, ) est un domaine principal dont les idéaux sont les nz, où n N. Rappelons de plus que, a, b Z, idl(a, b) = az + bz = cz, où c = pgcd(a, b). (ii) Si K est un corps commutatif, l anneau de polynômes K[X] est aussi un domaine principal car tout idéal non nul I de K[X] peut être engendré par un de ses polynômes non nuls de degré minimum. Et de plus, P, Q K[X], idl(p, Q) = P K[X] + Q K[X] = C K[X], où C = pgcd(p, Q).

85 3.2. HOMOMORPHISMES, IDÉAUX ET ANNEAUX QUOTIENTS 81 (iii) Les anneaux de polynômes Z[X] et R[X, Y ] ne sont pas principaux. Ex 6. Les parties suivantes sont-elles des idéaux, des idéaux principaux? Si oui, en déterminer un générateur. Dans (R 2, +, ) : {0} R {(r, r) r R} Dans (Z 2, +, ) : 2Z 3Z Dans (R[X], +, ) : {P R[X] deg P 3} {P R[X] deg P 3} {P R[X] P (1) = 0} {P R[X] P (1) = 1} {P R[X] P (1) = P (2) = 0} {P R[X] P (1) = P (2)} {P R[X] P (i) = 0} {P R[X] P (1 + i 3) = 0} {P R[X] P (1)P (2) = 0} idl(x 6 1, X 4 1) (X 2 X)R[X] (X 2 2X + 1)R[X] (X 2 X)R[X] + (X 2 2X + 1)R[X] Dans Q[X] : {P Q[X] P ( 2) = 0}. Dans (P(Z),, ) : {P P(Z) P N}. Ex 7. Soit A, B deux parties de l ensemble E. On a : A B = A B (A B). Si l ensemble E est fini, tous les idéaux de l anneau (P(E),, ) sont principaux, de la forme A P(E) := {X X A} où A E. Si l ensemble E est infini, l ensemble P f (E) des parties finies de E est un idéal non principal de (P(E),, ). 8. Définitions. Rappelons qu n homomorphisme d anneaux est une fonction f d un anneau (A, +, ) dans un anneau (B, +, ) telle que, x, y A, f(x + y) = f(x) + f(y) et f(x y) = f(x) f(y). Le noyau d un homomorphisme d anneaux est le noyau de l homomorphisme de groupes additif sous-jacent. Un homomorphisme d anneaux unitaux est un homomorphisme d un anneau unital A dans un anneau unital B tel que l image par f du neutre multiplicatif de A soit le neutre multiplicatif de B.

86 82 CHAPITRE 3. ANNEAUX Proposition. Soit f : (A, +, ) (B, +, ) un homomorphisme d anneaux. Alors Ker(f) = {x A f(x) = 0} est un idéal de A, Im(f) est un sous-anneau de B, et même un sous-anneau unital de B si f est un homomorphisme d anneaux unitaux.. Chœur. La composée de deux homomorphismes d anneaux est un homomorphisme d anneaux. La composée de deux homomorphismes d anneaux unitaux est un homomorphisme d anneaux unitaux. Tout isimomorphisme d anneaux (unitaux) est un homomorphisme d anneaux (unitaux) La fonction identique d un anneau est un isomorphisme d anneaux. Ex 9. La fonction f : (R, +, ) (R 2, +, ) : x (0, x) est un homomorphisme d anneaux, mais par un homomorphisme d anneaux unitaux. Ex 10. injectif. Tout homomorphisme d un corps dans un anneau est soit nul, soit Ex 11. Soit A un sous-anneau unital de l anneau commutatif unital B et soit b B. La fonction d évaluation e b : A[X] B : P P (b) est un homomorphisme d anneaux unitaux. On a : Im(e b ) = A[b] et Ker(e b ) = {P A[X] P (b) = 0}. Si b A, alors Ker(e b ) = (X b)a[x] = idl(x b). Ex 12. Les fonctions suivantes sont-elles des homomorphismes d anneaux? Si oui, quel est leur noyau? Sont-elles surjectives? p 1 : (R 2, +, ) (R, +, ) : (x, y) x e a : (R[X], +, ) (R, +, ) : P P (a), où a R e i : (R[X], +, ) (C, +, ) : P P (i) e (1+i) : (R[X], +, ) (C, +, ) : P P (1 + i) e ( 2) : (Q[X], +, ) (R, +, ) : P P ( 2) m 2 : (Z, +, ) (Z, +, ) : z 2z carré : (Z, +, ) (Z, +, ) : z z 2 Ex 13. Soit p un nombre premier. La fonction fr : (Z p [X], +, ) (Z p [X], +, ) : P P p est un homomorphisme d anneaux unitaux, appelé endomorphisme de Frobenius de l anneau (Z p [X], +, ), il est injectif mais non surjectif. Ex 14. Voici quelques homomorphismes d anneaux. Quel est leur noyau, leur image? (Z, +, ) (Z n, +, ) : z z n (où z n désigne comme d habitude le reste de la division de z par n). (PE,, ) (PE,, ) : X A X, où A PE.

87 3.2. HOMOMORPHISMES, IDÉAUX ET ANNEAUX QUOTIENTS 83 Ex 15. Soit A et B deux ensembles et soit f : A B une fonction. Rappelons que l image par f d une partie A de A est la partie f (A ) = {f(x) x A } de B, souvent notée f(a ). Rappelons aussi que l image inverse par f d une partie B de B est la partie f (B ) = {x A f(x) B } de A, souvent notée f 1 (B ). Rappelons finalement que la fonction f nous donne deux fonctions f : P(A) P(B) : A f (A ) f : P(B) P(A) : B f (B ). Vérifier que f f = 1 P(A) ssi f est injective, que f f = 1 P(B) ssi f est surjective. Vérifier que f : (P(B),, ) (P(A),, ) est un homomorphisme d anneaux unitaux. Quel est son noyau? La fonction f : (P(A),, ) (P(B),, ) est-elle aussi un homomorphisme d anneaux? (Suggestion : regarder aussi l exercice (1.0, 26.) Ex 16. Image directes et images inverses d idéaux (a) Montrer par un exemple que l image d un idéal par un homomorphisme f d anneaux n est pas nécessairement un idéal de But(f). (b) Mais démontrer que l image d un idéal par un homomorphisme surjectif f d anneaux est un idéal de But(f). (c) Montrer que l image inverse d un idéal par un homomorphisme f d anneaux est toujours un idéal de Dom(f). Ex 17. Soit (A, +, ) et (B, +, ) deux anneaux. La projection canonique p 1 de A B sur son premier facteur A, définie par : a A, b B, p 1 (a, b) = a, est un homomorphisme surjectif d anneaux p 1 : (A, +, ) (B, +, ) (A, +, ). On définit de la même façon la projection canonique p 2 de A B sur son second facteur B. Le produit direct des deux anneaux (A, +, ) et (B, +, ) à la propriété universelle suivante : pour tout anneau (X,+, ) et pour tous homomorphismes d anneaux f 1 : X A, f 2 : X B, il existe un et un seul homomorphisme d anneau f de (X,+, ) dans (A,+, ) (B,+, ) tel que p 1 f = f 1 et p 2 f = f 2. f 1 A X f A B f 2 p 1 p 2 B 18. Quotient d un anneau par un idéal. Soit I un idéal de l anneau (A, +, ). On définit sur l ensemble A/I des classes latérales de I dans A une loi par a, b I, (a + I) (b + I) = (a b) + I. Il convient de vérifier que cette loi est bien définie dans A/I, c.-à-d. que, si (a + I) = (a + I) et (b + I) = (b + I) alors (a b) + I = (a b ) + I.

88 84 CHAPITRE 3. ANNEAUX Voyons ceci : (a + I = a + I et b + I = b + I) (a a I et b b I) (ab a b = (a a )b + a (b b ) I) (ab + I = a b + I). Ceci étant fait, on observe assez rapidement que (A/I, +, ) est un anneau de neutre additif I, unital si A est unital et dans ce cas de neutre multiplicatif 1 + I, où 1 désigne le neutre multiplicatif de A. On observe aussi que la projection canonique p : A A/I : a (a + I) est un homomorphisme d anneaux, de noyau I, un homomorphisme d anneaux unitaux si A est unital. Notation. Il est parfois commode de désigner la classe latérale a + I d un élément a A selon l idéal I par ā. Avec ces notations nous avons : A/I = {ā a A}, ā 1 = ā 2 a 1 a 2 I, ā = 0 a I, ā 1 ā 2 = a 1 + a 2, ā 1 ā 2 = a 1 a Exemple. Dans l anneau quotient A = R[X]/(X 2 X)R[X], désignons par P l image d un polynôme P R[X] par la projection canonique R[X] A : P = P + (X 2 X)R[X]. Dans R[X], on a : X, X 1 (X 2 X)R[X]. Dans A, on a : X 0 (X 1), mais X (X 1) = (X 2 X) = 0. L anneau quotient A est non intègre. Ex 20. L anneau quotient R[X]/(X 2 2X + 1)R[X] possède-t-il des diviseurs de zéro non triviaux, des éléments non nuls de carré nul? Ex 21. R {0} est un système de représentants des classes latérales de l idéal {0} R dans (R 2, +, ). On en déduit que (R 2 /({0} R),, ) (R, +, ). 22. Premier théorème d isomorphisme pour les anneaux. Soit un homomorphisme d anneaux. f : (A, +, ) (B, +, ) Rappelons que f induit une bijection f : (A/Ker(f),, ) (Im(f), +, ) : a + Ker(f) f(a) et observons que f est un isomorphisme d anneaux. Nous obtenons la factorisation f = i f p (A, +, ) p f (B, +, ) i (A/Ker(f),, ) f (Im(f), +, ) où i, f, p sont des homomorphismes d anneaux, où p est la projection canonique, où i est l injection canonique et où f est un isomorphisme d anneaux. Nous avons donc : (Dom(f)/Ker(f),, ) (Im(f), +,.).

89 3.2. HOMOMORPHISMES, IDÉAUX ET ANNEAUX QUOTIENTS 85 Ex 23. (a) Utiliser l homomorphisme d évaluation e i : R[X] C, P P (i) pour montrer : (R[X]/(X 2 + 1)R[X],, ) (C, +, ). (b) Utiliser l homomorphisme d évaluation e 2 : Q[X] R, P P ( 2) pour montrer : (Q[X]/(X 2 2)Q[X],, ) (Q[ 2], +, ). (c) Utiliser un homomorphisme d évaluation bien choisi pour montrer que (R[X]/(X 2 + 2X + 2)R[X],, ) (C, +, ). 24. Quotients d anneaux de polynômes à coefficients dans un corps commutatif. Soit K un corps commutatif et P K[X] un polynôme de degré n 1. Toute classe latérale T + P K[X] de l idéal P K[X] comprend un et un seul polynôme de degré strictement inférieur à n, à savoir le reste de la division de T par P. Les polynômes de degré strictement inférieur à n forment donc un système de représentants des classes latérales de P K[X] dans K[X]. Ainsi, si x désigne la classe latérale X + P K[X], c.-à-d. l image de X par la projection canonique p : K[X] K[X]/P K[X], tout élément du quotient A = K[X]/P K[X] peut s écrire de façon unique sous la forme a 0 + a 1 x + + a n 1 x n 1, où a 0,..., a n 1 K. Ici (a 0 +a 1 x+ +a n 1 x n 1 ) désigne la classe latérale du polynôme (a 0 + a 1 X a n 1 X n 1 ). En particulier, le corps K s identifie à un sous-corps de l anneau quotient K[X]/P K[X] = A. De plus, comme la classe latérale de P est aussi la classe latérale de 0, x est une racine de P dans A : P (x) = 0. L addition dans A se décrit de la façon usuelle, la multiplication se décrit en utilisant les règles d associativité, distributivité, commutativité et la règle P (x) = 0. Notons aussi que K[X]/P K[X] est naturellement muni d une structure d espace vectoriel sur K, de base (1, x, x 2,, x n 1 ), de dimension n = deg(p ) sur K. 25. Exemple. Tout élément de l anneau quotient A = Q[X]/(X 3 +X)Q[X] s écrit de façon unique sous la forme a + bx + cx 2, où a, b, c Q, où x = X + (X 3 + X)Q[X]. On a : (a + bx + cx 2 ) + (a + b x + c x 2 ) = (a + a ) + (b + b )x + (c + c) x 2, on a aussi x 3 + x = 0, x 3 = x, x 4 = x 2. Donc (a+bx+cx 2 ) (a +b x+c x 2 ) = aa +(ab +a b)x+(ac +a c+bb )x 2 + (bc + b c)x 3 + cc x 4 = aa + (ab + a b bc b c)x + (ac + a c + bb cc )x 2. Dans Q[X], on a : X 3 + X = X(X 2 + 1). Dans A, on a : x 0, x , x(x 2 + 1) = 0. L anneau commutatif unital A n est pas intègre.

90 86 CHAPITRE 3. ANNEAUX Ex 26. (a) Décrire l addition et la multiplication dans l anneau quotient A = Q[X]/(X 3 2X)Q[X], en posant x = X + (X 3 2X)Q[X]. L anneau A possède-t-il des diviseurs de zéro non triviaux? Si oui, en montrer quelques-uns. Les éléments x, x + 1, x 2 2, x sont-ils inversibles? Si oui, calculer leur inverse. (b) L anneau introduit en (3.1, ex 39) est isomorphe à R[X]/X 2 R[X]. (c) L anneau introduit en (3.1, ex 40) est isomorphe à R[X]/(X 2 1)R[X]. Ex 27. Soit p un nombre premier, combien y-a-t-il d éléments dans l anneau Z p [X]/(X m + 1)Z p [X]? Ex 28. Décrire le quotient F 4 = Z 2 [X]/(X 2 +X +1)Z 2 [X], dresser la table de multiplication et observer que F 4 est un corps fini de 4 éléments. Ex 29. n 1. Soit K un corps commutatif et P K[X] un polynôme de degré (i) Si le polynôme P peut s écrire comme produit de deux polynômes non constants, c.-à-d. si P = P 1 P 2, où P 1 et P 2 K[X]\K, alors P 1 et P 2 / P K[X] et l anneau quotient K[X]/P K[X] n est pas intègre. (ii) Si au contraire le polynôme P ne peut pas s écrire comme produit de deux polynômes non constants, c.-à-d. si (P = P 1 P 2, où P 1 et P 2 K[X]) (P 1 K ou P 2 K), alors K[X]/P K[X] est un corps commutatif. (Un polynôme de degré positif P ne pouvant pas s écrire comme produit de deux polynômes non constants sera dit «irréductible» (Indication pour (ii). Avec notre hypothèse sur P, nous avons : T K[X]\P K[X], pgcd(t, P ) = 1. La relation de Bezout pour K[X] nous donne alors des polynômes A, B K[X] tels que 1 = AT + BP, voir la section 3.1. Pour tout Q K[X] désignons maintenant par Q la classe latérale Q + P K[X]. Dans l anneau quotient K[X]/P K[X] nous obtenons 1 = Ā T ). Ex 30. (a) Les quotients suivants sont-ils intègres? Sinon, montrer quelques diviseurs de zéro non triviaux. Sont-ils des corps? (Utiliser le cas échéant l exercice précédant) Z[X]/3X Z[X] Q[X]/(X 4 X 2 + X) Q[X] Z 2 [X]/(X 3 + X + 1) Z 2 [X] (b) Quels sont les diviseurs de zéro, les inversibles de l anneau Q[X]/(X 3 1)Q[X]?

91 3.2. HOMOMORPHISMES, IDÉAUX ET ANNEAUX QUOTIENTS 87 Ex 31. Décrire le quotient Z 5 [X]/(X 2 + 3)Z 5 [X] = F 25, en posant x = X + (X 2 + 3)Z 5 [X]. Observer que le polynôme X n a pas de racines dans Z 5 et ne peut donc s écrire comme produit de 2 polynômes de degré 1. Avec les exercices 24, 29 on voit que F 25 est un corps de 25 éléments. Calculer l inverse de x, de x + 1 dans F Propriété universelle des anneaux quotients. Soit I un idéal de l anneau (A, +, ) et soit p : (A,+, ) (A/I,+, ) la projection canonique. Alors, pour tout homomorphisme d anneaux f : A B tel que I Ker(f), il existe un unique homomorphisme d anneaux f : A/I B tel que f p = f. A f B p A/I ef Cet homomorphisme est défini par : a A, f(a + I) = f(a). On exprime aussi ceci en disant que f se factorise à travers p ou A/I, que f est l homomorphisme induit par f. (En effet, nous savons déjà que la formule f(a + I) = f(a) définit un homomorphisme f de groupes additifs. Il reste donc à vérifier que f respecte aussi la multiplication, mais ce dernier point découle immédiatement de nos définitions.) De plus, nous avons : Ker( f) = Ker(f)/I, Im( f) = Im(f). 33. Exemple. L évaluation en i fournit un homomorphisme d anneaux e i : Q[X] C : P P (i). Nous avons : (X 3 + X)Q[X] Ker(e i ) = (X 2 + 1)Q[X]. L homomorphisme e i se factorise donc à travers l anneau quotient A = Q[X]/(X 3 + X)Q[X] e i Q[X] C p A Avec les notations de l exemple 25, ẽ i est décrit par : ẽ i (a + bx + cx 2 ) = a c + bi On en déduit que la fonction A C décrite par la formule ci-dessus est un homomorphisme d anneaux, de noyau (x 2 + 1)A. Ex 34. Soit A = Q[X]/(X 3 2X 2 )Q[X] et désignons par x la classe latérale X + (X 3 2X 2 )Q[X]. On sait alors que tout élément de A s écrit de façon unique sous la forme a + bx + cx 2, où a, b, c Q. La fonction A C : a + bx + cx 2 a + 2b + 4c est-elle un homomorphisme d anneau? Si oui, quel est son noyau? ee i

92 88 CHAPITRE 3. ANNEAUX Ex 35. Soit H le corps des quaternions. Vérifier que la fonction f : (H, +, ) (M 2 (C), +, ) ( ) a + bi c + di a + bi + cj + dk est un homomorphisme injectif c + di a bi d anneaux unitaux. Ex 36. Nous dirons qu un idéal d un anneau est maximal s il est propre (c.-à-d distinct de A) et s il n est pas contenu strictement dans un idéal propre. Démontrer : Soit I un idéal de l anneau commutatif unital A. Alors I est un idéal maximal de A si et seulement si l anneau quotient A/I est un corps commutatif. En remarquant que les idéaux maximaux de l anneau des entiers (Z, +, ) sont les pz, où p est un nombre premier, on retrouve un résultat déjà connu : le nombre naturel p est premier si et seulement si (Z p, +, ) est un corps commutatif. Ex 37. Les parties suivantes de l anneau R[X, Y ] des polynômes en deux variables X, Y à coefficients réels sont-elles des idéaux? Si oui, en déterminer une partie génératrice minimale. {P R[X, Y ] P (2, 3) = 0} {P R[X, Y ] t R, P (t, t) = 0} {P R[X, Y ] t R, (P (t, t 2 ) = 0} Ex 38. R[X, Y ]/Y R[X, Y ] R[X] R[X, Y ]/(Y X 2 ) R[X, Y ] R[X] Ex 39. Soit X, Y, t des indéterminées. La fonction f : R[X, Y ] R[t] : P P (t 3, t 2 ) est un homomorphisme d anneaux, de noyau (Y 3 X 2 )R[X, Y ]. On en déduit :R[X, Y ]/(Y 3 X 2 )R[X, Y ] R[t 2, t 3 ]. Notons que l ensemble des zéros d un polynôme en deux variables à coefficients réels se dessine par une courbe dans le plan réel coordonné. Dans le plan réel coordonné, voici dessiné l ensemble des zéros du polynôme Y 3 X 2. {( ) } a 0 Ex 40. Vérifier que B = a, b, c R est un sous-anneau de c b {( ) } 0 0 l anneau de matrices M 2 (R), que I = c R est un idéal de c 0 B. A quel anneau connu est isomorphe le quotient B/I? Ex 41. Tout quotient d un anneau principal est principal.

93 3.2. HOMOMORPHISMES, IDÉAUX ET ANNEAUX QUOTIENTS Remarque. L anneau nul est un anneau commutatif unital non intègre. Ex 43. Pour tout anneau unital (A, +, ), il existe un et un seul homomorphisme d anneaux unitaux (Z, +, ) (A, +, ). Cet homomorphisme est défini par : z Z, z z 1. Ex 44. Soit A, B deux anneaux, soit I un idéal de A et J un idéal de B. Montrer que I J est un idéal de l anneau produit A B. Réciproquement, montrer que tout idéal K de l anneau produit A B est de la forme K = I J, où I est un idéal de A et J un idéal de B.

94 90 CHAPITRE 3. ANNEAUX 3.3. Factorisation dans un domaine 1. Définitions. Soit (A, +, ) un domaine d intégrité et soit a, b A. La relation divise dans A est définie par : a b si m A tel que b = ma. Nous dirons que les éléments a et b de A sont associés dans A et nous écrirons a b si a b et b a. Nous dirons que l élément a est irréductible dans A si a est non inversible et si a = bc, b, c A implique que b ou c est inversible dans A. Un plus grand commun diviseur (pgcd) de a et b dans A, s il existe, est un élément c de A tel que : (i) c a et c b : a b c (ii) x A, (x a et x b) (x c) : a b c x Si c est un pgcd de a et b dans A nous écrirons c pgcd(a, b), ceci est justifié par les remarques suivantes : (i) deux pgcd de a et b dans A sont toujours associés dans A. (ii) si c est un pgcd de a et b dans A, tout élément d associé à c est aussi un pgcd de a et b dans A. Remarquons aussi que la relation divise dans A est un préordre sur A, que la relation «être associés dans A» est une équivalence sur A. (Remarquons aussi qu un pgcd de a et b dans A est un infimum de {a, b} dans le préordonné (A, ).) Ex 2. Soit a, b deux éléments d un anneau intègre A. Alors (i) a b si et seulement si ba aa, (ii) a et b sont associés dans A si et seulement si aa = ba si et seulement si il existe un élément inversible u de A tel que a = bu. Ex 3. Les éléments irréductibles de l anneau des entiers sont les ±p, où p est un nombre premier. Les éléments irréductibles de C[X] sont les polynômes de degré 1. Les éléments irréductibles de R[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racines réelles. Ex 4. Soit K un corps commutatif. Tout polynôme de K[X] de degré 2 ou 3 sans racines dans K est irréductible dans K[X]. Ex 5. Déterminer les racines complexes du polynôme X et écrire X 4 +1 comme produit de deux polynômes non constants à coefficients réels. Le polynôme X de R[X] n est pas irréductible dans R[X] et n a pas de racines réelles.

95 3.3. FACTORISATION DANS UN DOMAINE Définition. Un élément p d un domaine d intégrité A est dit premier si p est non nul non inversible et si, a, b A, p ab (p a ou p b). Ex 7. Tout élément premier d un domaine d intégrité A est irréductible dans A. Ex 8. Voici un exemple d élément irréductible non premier. Dans le sousanneau A = R[t 3, t 2 ] de l anneau R[t] des polynômes à coefficients réels en une indéterminée t, les éléments t 2, t 3 de A sont irréductibles dans A. Nous avons : t 2 t 2 t 2 = t 3 t 3. Dans A, t 2 divise t 3 t 3 mais t 2 ne divise pas t 3, t 2 n est pas premier dans A. Notons que l anneau A { est associé à la courbe du plan réel coordonné x = t 3 d équations paramétriques y = t 2, d équation cartésienne y3 = x 2 ou y = (x 1 3 ) 2. Le phénomène observé ci-dessus reflète en quelque sorte le fait que le point de coordonnées (0,0) est un point assez singulier de cette courbe, comme on le constate en dessinant la courbe. (Remarque : cet exemple a aussi été examiné en (3.2,ex 39).) Dans cet anneau A, examinons maintenant les diviseurs communs à t 5 et t 6. Nous avons : x A, (x t 5 et x t 6 ) (x 1 ou x t 2 ou x t 3 ). Les éléments t 5, t 6 n ont pas de pgcd dans A. Ex 9. Soit K un corps commutatif. Démontrer : tout polynôme irréductible P de K[X] est premier dans K[X]. (Indication. Supposons que le polynôme irréductible P divise N 1 N 2, où N 1, N 2 K[X], et que P ne divise pas N 1. Alors pgcd(p, N 1 ) = 1 et nous pouvons écrire 1 = AP + BN 1, où A, B K[X], voir (3.1,29). Nous avons alors : N 2 = AN 2 P + BN 1 N 2. Comme N 1 N 2 est un multiple de P, on déduit de cette dernière égalité que N 2 est aussi un multiple de P ). 10. Soit A un domaine principal. Pour tout a, b A, l idéal (a A+b A) est principal, engendré par un élément c A : (a A + b A) = (c A). On a : a, b (c A), c a et c b. De plus, c (a A + b A), s, t A tels que c = as + bt, ce qui implique que tout élément x de A divisant a et b divise c. Donc c est un pgcd de a et b. (Rappelons que deux pgcd de a et b dans A sont toujours associés dans A, la notation pgcd (a, b) désignera ici un quelconque pgcd de a et b.)

96 92 CHAPITRE 3. ANNEAUX Et nous obtenons non seulement l existence des pgcd mais aussi la relation de Bezout pour les domaines principaux : a, b A, s, t A tels que pgcd(a, b) = as + bt. (Observer l analogie avec (1.3,0) et (3.1, 27).) Finalement, comme à l exercice 9, on obtient. Dans un domaine principal, tout élément irréductible est premier. 12. Définition. Un domaine factoriel est un domaine A dans lequel tout élément non nul non inversible s écrit de façon essentiellement unique comme produit d un nombre fini d éléments irréductibles de A. Ceci signifie que tout élément a de A peut s écrire a = p 1 p n, où p 1,, p n sont des éléments irréductibles de A et que si l élément a de A s écrit a = p 1 p n = q 1 q m, où les p i, q j sont des éléments irréductibles de A, alors n = m et il existe une permutation σ de l ensemble {1,..., n} telle que, i, 1 i n, p i et q σ(i) sont associés. Propriété. Deux éléments quelconques d un domaine factoriel admettent toujours un pgcd. Exemples. L anneau des entiers est un domaine factoriel. Si K est un corps commutatif, on déduit rapidemment des propriétés de K[X] vues précédemment que K[X] est un domaine factoriel. Plus généralement, on peut démontrer qu un domaine principal est toujours un domaine factoriel, et que, si A est un domaine factoriel, A[X] l est aussi. Les anneaux Z[X] et R[X, Y ] sont des domaines factoriels non principaux. Tout corps commutatif est, de façon évidente, un domaine factoriel. Ex 13. Dans un domaine factoriel, tout élément irréductible est premier. Ex 14. Le sous-anneau R[t 2, t 3 ] de l anneau R[t], où t est une indéterminée, est un domaine non factoriel. (Suggestion : voir aussi l ex 8.) Ex 15. Ecrire les polynômes suivants comme produit de polynômes irréductibles dans C[X], R[X], Q[X], en indiquant chaque fois le nombre de facteurs intervenant dans cette écriture. X X 3 1 X 6 1 X 4 1 X 2 2 Ex 16. Donner la factorisation de X 8 1 en produit d irréductible dans R[X] et Q[X].

97 3.3. FACTORISATION DANS UN DOMAINE 93 Ex 17. Donner la factorisation de 3X 2 15X en produit d irréductibles dans Q[X] et Z[X], en indiquant chaque fois le nombre de facteurs intervenant dans cette décomposition. Ex 18. Soit p un nombre premier. Dans Z p [X], on a X p 1 = (X 1) p. Dans Z 2 [X], les polynômes X 2 + 1, X 2 + X + 1, X 3 + X + 1 sont-ils irréductibles? Sinon, écrire leur factorisation comme produit d irréductible de Z 2 [X]. Dans Z 5 [X], les polynômes X 2 + 1, X 2 + X + 2 sont-ils irréductibles? Ex 19. degré 3. Dans Z 7 [X], déterminer un polynôme irréductible de degré 2, de Ex 20. Soit A un domaine d intégrité et soit 0 a A. Si a n est pas irréductible dans A, alors l anneau quotient A/aA n est pas intègre. Si a est irréductible et si de plus A est un domaine principal, alors l anneau quotient A/aA est un corps commutatif. (Suggestion : procéder comme en (3.2, exercice 29). En particulier, on retrouve à nouveau un résultat établi en (1.3, ex 8) et retrouvé en (3.2, ex 36) : Z/pZ est un corps si et seulement si p est un nombre premier.) Ex 21. Soit A un domaine factoriel et soit 0 a A. Alors l anneau quotient A/aA est intègre si et seulement si a est irréductible dans A. 22. Corps finis. Soit p un nombre premier et soit P Z p [X] un polynôme irréductible de degré n. Alors l anneau quotient Z p [X]/P Z p [X] est un corps commutatif fini de p n éléments. Signalons sans démonstration que tout corps fini est commutatif, que deux corps finis ayant même nombre d éléments sont toujours isomorphes. De plus, nous verrons que le nombre d éléments d un corps fini est nécessairement de la forme p n, où p est un nombre premier (voir 3.4, ex 7). Réciproquement, on peut démontrer que, pour tout nombre premier p et pour tout naturel positif n, il existe un (et un seul à isomorphisme près) corps fini de p n éléments. Ex 23. Construire des corps de 8, 9, 27, 125 éléments. Rappelons qu un corps de 4 éléments a été construit en (3.2, ex 28) et qu un corps de 25 éléments a été construit en (3.2, ex 31). Ex 24. Dans le sous-anneau Z[ 5] = {a + b 5 a, b Z} de (R, +, ), nous avons : 5 n est pas inversible et n est pas irréductible dans Z[ 5], est inversible dans Z[ 5]. Nous avons aussi : 2 est irréductible dans Z[ 5] (voir une indication ci-dessous), mais (1 + 5)(1 5) = 4 = 2 ( 2), 2 n est pas premier dans Z[ 5].

98 94 CHAPITRE 3. ANNEAUX Le domaine Z[ 5] n est ni factoriel ni principal. L élément de Q[ 5] est une racine du polynôme X 2 X 1 Z[X], (cet élément est souvent appelé le nombre d or pour d autre raisons). Voici quelques indications pour montrer que 2 est irréductible. (i) Observons d abord que la fonction Z[ 5] Z[ 5] : a+b 5 a b 5 est un automorphisme de l anneau Z[ 5]. (ii) Si 2 = (a + b 5)(a + b 5), où a, b, a, b Z, alors on obtient avec (i) 2 = (a b 5)(a b 5), et, en multipliant ces deux équations membres à membres, on obtient dans l anneau des entiers la relation 4 = (a 2 5b 2 )(a 2 5b 2 ). Si a 2 5b 2 = ±1, alors a + b 5 est inversible dans Z[ 5]. Si a 2 5b 2 = ±4, alors a + b 5 est inversible dans Z[ 5]. Par ailleurs, les équations a 2 5b 2 = 2, a 2 5b 2 = 2 n ont pas de solutions entières car, modulo 5, les éléments 2 et 3 du corps Z 5 ne sont pas des carrés.) Ex 25. Pour tout corps commutatif K, le domaine factoriel K[X] possède une infinité d éléments irréductibles. (Indication : utiliser une variante de l argument d Euclide décrit en (1.3,12).) Ex 26. Le sous-anneau A = { a b a Z, b Z\2Z} de Q est un domaine factoriel dans lequel les éléments irréductibles sont tous associés à 2. De plus, A est un domaine principal dont les idéaux non triviaux sont les 2 n A, où n N 0.

99 3.4. FRACTIONS, CARACTÉRISTIQUE ET CORPS FINIS Fractions, caractéristique et corps finis 1. Généralités. Soit A un anneau intègre. Une fraction de A est un symbole a b, où a, b A, b 0. On définit l égalité, la somme et le produit de deux fractions de la façon usuelle, on identifie a à a 1, on obtient un corps commutatif K = { a b a, b A, b 0} appelé corps des fractions de A, dont A est un sous-anneau unital. Le corps des fractions K de A possède la propriété universelle suivante : tout homomorphisme injectif f de (A, +, ) dans un corps commutatif (L, +, ) se prolonge de façon unique en un homomorphisme f (nécessairement injectif) de (K, +, ) dans (L, +, ). Ceci est représenté dans le diagramme suivant, où i désigne l injection canonique de A dans K. A f L i K C est pourquoi nous pouvons dire que le corps des fractions de A est le plus petit corps commutatif contenant A. f Exemples. Le corps des fractions de (Z, +, ) est (Q, +, ). Si K est un corps commutatif, le corps des fractions de K[X] est le corps K(X) des fractions rationnelles introduit en (3.1, ex. 36). 2. Définition. La caractéristique d un anneau unital A est l ordre de l élément 1 dans le groupe additif (A, +) si cet ordre est fini, sinon, la caractéristique de A est nulle. Ex 3. Quelle est la caractéristique des anneaux suivants : (Z, +, ), (R, +, ), (Z 7, +, ), (Z 12, +, ), (Z[X]/3XZ[X], +, ),, (Z[X]/3Z[X], +, ), (Z 4 [X], +, ). Ex 4. Soit A un anneau unital de caractéristique n. Alors, a A, na = 0. Ex 5. Rappelons (3.2, ex 43) que, pour tout anneau unital A, il existe un et un seul homomorphisme d anneaux unitaux f : (Z, +, ) (A, +, ) défini par f(z) = z 1. Si Ker(f) = nz, alors n est la caractéristique de A. Tout anneau unital de caractéristique n > 0 possède un sous-anneau isomorphe à (Z n, +, ). Tout anneau unital de caractéristique nulle possède un sous-anneau isomorphe à (Z, +, ). Ex 6. La caractéristique d un anneau intègre, d un corps, est soit nulle, soit un nombre premier p. Tout corps de caractéristique positive p contient un sous-corps isomorphe à (Z p, +, ).

100 96 CHAPITRE 3. ANNEAUX Tout corps de caractéristique nulle contient un sous-anneau isomorphe à l anneau des entiers (Z, +, ) et un sous-corps isomorphe au corps des rationnels (Q, +, ). Ex 7. (a) Tout corps fini F de caractéristique p (où p est un nombre premier) peut être vu comme un espace vectoriel sur son sous-corps Z p. Ce vectoriel est de dimension finie, si sa dimension est n, alors #F = p n. (b) Plus généralement, soit F 1 un sous-corps du corps fini F 2. Si #F 1 = q, alors #F 2 = q r pour un certain nombre naturel r. (c) Un corps de 16 éléments peut-il contenir un sous-corps de 8 éléments? Ex 8. Montrer que le quotient A = Z 5 [X]/(X 2 + 3)Z 5 [X] est un corps commutatif de 25 éléments. Posons à nouveau x = X +(X 2 +3)Z 5 [X], x A. Quelles sont les racines, dans A, des polynômes Y 2 + 3, Y 2 + 2, (1 + x)y 1 de A[Y ]? Si θ est une racine de Y dans A, l homomorphisme d évaluation e θ : Z 5 [Y ] A, P P (θ) induit un isomorphisme Z 5 [Y ]/(Y 2 + 2)Z 5 [Y ] A. 9. Information. Signalons sans démonstration le résultat suivant. Pour tout nombre premier p et tout naturel positif n, il existe un corps commutatif de p n éléments, et deux tels corps sont toujours isomorphes. 10. Conclusion. Pour construire le corps commutatif fini de p n éléments, il suffit de faire le quotient de Z p [X] par l idéal engendré par un polynôme irréductible de degré n de Z p [X]. Ex 11. Soit p un nombre premier et n un nombre naturel positif, soit q = p n et soit F q le corps commutatif fini de q éléments. Alors, a F q, a q a = 0. Les q éléments de F q sont les q racines distinctes du polynôme X q X F q [X], et X q X = (X a i ). a i F q Ex 12. Si A est un anneau commutatif unital dont la caractéristique est un nombre premier p, alors la fonction fr : A A : x x p est un endormorphisme de A, appelé endomorphisme de Frobenius. Dans le cas où A = Z p, cet endomorphisme est l automorphisme identique. Dans le cas où A = Z p [X], cet endormorphisme est injectif non surjectif. (voir aussi l ex 13 en (3.2).) Ex 13. Construire un corps de 16, de 49 éléments.