Plan général du cours

Transcription

1 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE PROBABILITES Plan général du cours 1. Dénombrement et combinatoire (permutations, arrangements, combinaisons). 2. Les probabilités générales et conditionnelles. 3. Les variables aléatoires discrètes et continues : loi de probabilité d'une variable aléatoire, variance, écart type. 4. Modèles statistiques discrets : loi binomiale, approche d'une loi binomiale par une loi de Poisson. 5. Modèles statistiques continus : loi uniforme, loi normale N( μ, σ 2 ) ; loi normale centrée réduite N(0;1). 6. Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, échantillonnage. Dans tous ces chapitres, l'utilisation de la calculatrice sera privilégiée mais toutefois des tables seront fournies principalement dans les paragraphes traitant de la loi de Poisson et des lois normales. I. DENOMBREMENT-COMBINATOIRE Nous adopterons la notation (n!) qui se dit «factorielle de n» le produit : (n 1) n 5!= =120, faire ce calcul à la calculatrice. 10!= , faire ce calcul à la calculatrice. On admettra que 0!=1 (cela provient du fait, que nous verrons ultérieurement, qu'il n'y a qu'une seule façon de ranger un ensemble contenant 0 élément...) Exercice : a) Démontrer que 6! 7!=10! sans utiliser la calculatrice et vérifier ce résultat à la calculatrice

2 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE b) Simplifier l'expression (n+1)! n! c) Démontrer que pour tout nombre entier k, on a (k+1)! k!=k k! 1. Principes de bases du dénombrement On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini E noté Card (E) représente son nombre d'éléments. Exemples E={0;1; 2 ;3; 4;5;6 ;7 ;8;9} et Card (E)=10 a) Principe de la somme Si des ensembles A 1, A 2,... A p constituent une partition de l'ensemble E c'est à dire qu'ils font tous partie de l'ensemble E (ils sont tous inclus dans E ) mais ils n'ont aucun élément commun entre eux. Alors : Card (E)=Card ( A 1 )+Card ( A 2 )+...+Card ( A p )

3 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE Exemple : Combien y a-t-il de carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci-dessous? Soit E l'ensemble de tous les carrés. Notons A 1, A 2, A 3 et A 4 l'ensemble de ces carrés qui ont pour côté respectif 1 carreau, 2 carreaux, 3 carreaux et 4 carreaux. Les sous-ensembles A 1, A 2, A 3, A 4 constituent une partition de l'ensemble E (en effet, ils font tous partie de l'ensemble E leur réunion constitue l'ensemble E et ils n'ont aucun élément en commun). Card (A 1 )=16 : il y a 16 carrés qui ont pour côté 1 carreau. Card (A 2 )=9 : il y a 9 carrés qui ont pour côté 2 carreaux. Card (A 3 )=4 : il y a 4 carrés qui ont pour côté 3 carreaux. Card (A 4 )=1 : il y a un carré qui a pour côté 4 carreaux. D'après le principe de la somme, on a : Card (E)=Card ( A 1 )+Card ( A 2 )+Card ( A 3 )+Card ( A 4 )= =30 Il y a au total 30 carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci-dessus. Conséquences : Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Il ne faut pas confondre «partie» et «partition» d'un ensemble. Les partitions n'ont aucun élément commun entre eux, des parties peuvent avoir des éléments communs entre eux. 1. Lien entre le Cardinal de l'union et le Cardinal de l'intersection A A B A B B Card ( A B)=Card ( A)+Card ( B) Card ( A B)

4 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 2. Dans le cas où A et B sont disjoints, c'est à dire qu'ils n'ont aucun élément en commun, autrement que leur intersection est vide : A B=, alors : Card ( A B)=Card ( A)+Card ( B) 3. Lien entre le cardinal d'une partie A et celui de son complémentaire noté Ā : les sous-ensembles A et Ā sont des partitions de l'ensemble (ils sont inclus dans E et n'ont aucun élément en commun) Card ( Ā)=Card (E) Card ( A) NB : nous retrouverons ces notions lors des calculs de probabilité. En effet un événement est constitué du quotient du nombre de cas favorables Card (A) par le nombre de cas possibles Card (E) et on écrira Card (A) ainsi p (A)= Card ( E) Exercice : Dans un camp de vacances hébergeant 80 personnes, 55 personnes pratiquent la natation, 33 pratiquent le tennis, et 16 ne pratiquent aucun de ces deux sports. Combien de personnes pratiquent à la fois le tennis et la natation. Conseil : un schéma peut aider à la compréhension

5 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE b) Principe du produit (ou principe multiplicatif) Si une situation comporte p étapes offrant chacune n 1, n 2. n p possibilités alors le nombre total d'issues est égal à n 1 n 2... n p. C'est la règle utilisée lorsque nous utilisons un arbre pondéré. Exemple Un code comporte deux lettres distinctes suivies d'un chiffre non nul. Combien peut-on former de codes différents? Nombre de possibilités pour la première lettre : 26 Nombre de possibilités pour la seconde lettre : 25 (les lettres sont différentes) Nombre de possibilités pour le chiffre : 9 Il y a donc =5850 codes différents possibles. Exercice 1 : Nombre de codes possibles pour un cadenas «à combinaison» comportant 4 mollettes de 10 chiffres chacune (de 0 à 9) Cas 1 : les chiffres peuvent être identiques Cas 2 : les chiffres sont tous différents Exercice 2 : Nombre d'itinéraires distincts menant de A à C A B C Cas 1 : Nombres d'itinéraires directs menant de A à C? Cas 2 : Nombre d'itinéraires «aller-retour» A-C-A n'empruntant que des chemins distincts?

6 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 2. Dénombrement des «p-listes» Définition : Soient n un nombre entier non nul et E un ensemble de n éléments (Card (E)=n) Une p-liste (ou liste de longueur p) est un p-uplet d'éléments de E Exemples : E={0;1; 2 ;3;... ;99}. Une 5-liste de E est par exemple (12 ;17; 21;56 ;97). E={a ;b; c ;... ; z}. Le 6-uplet (a ;n;a ;n;a ; s) est une 6-liste de E de même que {m ;a ;c ;h ;i ;n ;e} est une 7-liste de E Remarques : On précise quelquefois p-liste «avec répétition» pour les distinguer des arrangements qui seront évoqués au paragraphe suivant. On suppose que la 0-liste existe, c'est la liste qui ne comporte aucun élément. Soit E un ensemble de cardinal fini n : Card ( E)=n. Le cardinal de l'ensemble des p-listes de E est égal à n p Si E={0;1; 2;3;... ;99}, Card (E)=100, il y a listes possibles (les chiffres peuvent être identiques bien entendu) Si E={a ;b; c ;... ; z}, Card (E)=26, il y a listes possibles (les lettres peuvent être identiques bien entendu) Exercices d'application Exercice 1 : au loto sportif on coche l'une des trois cases 1, N ou 2 pour chacun des 13 matches sélectionnés. Dénombrer le nombre de grilles distinctes Exercice 2 : Combien y a-t-il de numéros de téléphone à 10 chiffres commençant par , de numéros de téléphones commençant par Exercice 3 : Nombre de codes possibles pour une carte bleue?

7 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 3. Dénombrement des arrangements et des permutations a) Définition : Soit E un ensemble de cardinal fini n : Card (E)=n et p un entier naturel tel que 0 p n. Un p-arrangement (ou arrangement de p éléments) de E est une p-liste de p éléments distincts de E. Une permutation de E est un arrangement des n éléments de E Un arrangement est donc une p-liste dans laquelle il n'y a pas de répétitions. Exemples : E={a ;b; c ;... ; z}. Les listes suivantes beau, matin, hiver, lun e sont des arrangements de 4 et 5 éléments de E parce que ses éléments sont distincts. Par contre arrangement n'est pas un arrangement de 11 éléments de E car ses éléments ne sont pas distincts E={s; u; c; r ;e}. Les anagrammes du mot sucr e (que les mots aient un sens ou non) sont des permutations de E. b) Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier naturel tel que 0 p n le nombre d'arrangements de p éléments de E est A n p =n (n 1)...(n p 1)= n! (n p)! le nombre de permutations de E est A n n =n! par convention, le nombre d'arrangements de 0 élément de E est A n 0 =1 Exercices d'application : Exercice 1 : le tiercé : Une course de chevaux comporte 20 partants. Combien peut-il y avoir de tiercés dans l'ordre? Exercice 2 : De combien de façons peut-on répartir 7 personnes sur 7 chaises? Exercice 3 : Un porte-manteau comporte 5 patères. De combien de façons peut-on y accrocher 3 manteaux différents, chaque patère portant au maximum un manteau.

8 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE Exercice 4 : Nombre de mots (ayant un sens ou non) de 5 lettres distinctes de notre alphabet Exercice 5 : Une urne contient 10 boules numérotées 0,1,2,...,9. On en tire successivement 3 sans remise. Combien obtient-on de tirages différents.? Exercice 6 : Un bureau est fermé par une serrure à code qui comporte 6 symboles. Combien de codes peuton concevoir lorsque celui-ci : comporte 6 chiffres tous différents? Comporte 6 chiffres, éventuellement identiques? Comporte 4 chiffres suivies de 2 lettres, éventuellement identiques? Commence par une voyelle, puis comporte 4 consonnes, puis finit par une voyelle, et que toutes les lettres sont différentes?

9 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 4. Dénombrement des combinaisons (fin du cours «Dénombrement et Combinatoire») A) Définition Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier naturel tel que 0 p n. Une p-combinaison (ou combinaison de p-éléments) de E est une partie de E ayant p éléments. Exemple : E = {a ; b ; c } et p =2. Les combinaisons de deux éléments de E sont les parties : {a ; b }, { a ; c }, {b ; c }. Il est essentiel de noter que : dans une partie, les éléments sont deux à deux distincts, deux parties qui contiennent les mêmes éléments sont distincts. Ainsi {a ; b } = {b ; a } L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'a pas d'importance. Dans un p-arrangement, on obtiendrait les parties suivantes : {a ; b }, { a ; c }, {b ; a }, { b ; c }, {c ; a }, { c ; b} soit A 2 3 = 3! (3 2)! = 3! 1! = 6 1 puisque dans ce type d'arrangement, l'ordre compte Dans une p-combinaison on obtient les parties suivantes {a ; b }, { a ; c }, { b ; c } éléments ne compte pas, soit C 2 3! 3 = 2! (3 2)! = 3! 2! 1! = = 6 2 = 3 B) Théorème Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier naturel tel que 0 p n Le nombre de combinaisons de p éléments de E est : C p n = A p n p! = n! p!(n p)! = 6 issues différentes puisque l'ordre des La notation C n p est abandonnée au profit de la notation ( n p) qui se lit «p parmi n», cette notation subsiste dans les calculatrices sous la formulation ncr sous CASIO. C) Interprétation ( n p) représente le nombre de façons de choisir p éléments parmi n (l'ordre n'importe pas) Applications : 1. Le LOTO (ancienne formule ):on choisit au hasard 6 numéros parmi 49. Combien de tirages possibles? 2. Le LOTO : (nouvelle formule) : on tire au hasard 5 numéros parmi 49 ET on choisit un numéro chance qui est compris entre 0 et 10 : combien de tirages possibles? A-t-on plus de chances de gagner le gros lot avec la nouvelle formule qu 'avec l'ancienne?

10 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 3. L'EUROMILLION : il faut choisir 5 numéros parmi 50 (numérotés de 1 à 50) ET 2 numéros «étoiles» parmi 11 numéros (numérotés de 1 à 11). Combien de grilles possibles? 4. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (ces 5 cartes représentent une «main») a) Nombre total de mains? b) Nombre de mains contenant exactement 3 as? c) Nombre de mains contenant au moins 3as?

11 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE D) EXERCICE DE SYNTHESE Le jeu au poker fermé On joue au poker avec un jeu de 52 cartes sans joker. Pour simplifier le raisonnement, on donne les cinq cartes au joueur dès la première donne. 1. Combien y a-t-il de «mains» de 5 cartes possibles? (nombre d'issues ou éventualités possibles) 2. Combien y a-t-il de possibilités de recevoir (nombre d'issues favorables) : a) Une quinte royale ( 10, V, D, R, A soit 5 cartes majeures dans la même couleur )? b) Une quinte flush ( exemple : 7, 8, 9, 10, V : 5 cartes consécutives de la même couleur, mais pas une quinte royale )? c) Un carré ( par exemple : R, R, R, R, 4 )? d) Un full (brelan+ paire, par exemple : 8, 8, 8, V, V )? e) un flush (par exemple : 3, 7, 8, V, R, 5 cartes de la même couleur mais ni quinte royale ni quinte flush)? f) Une quinte (par exemple : 2, 3, 4, 5, 6, 5 cartes consécutives mais ni quinte flush ni quinte royale)? g) Un brelan (par exemple : A, A, A, 7, 9 )? h) Deux paires ou une double paire ( par exemple : 4, 4, V, V, 10 )? i) Une paire (par exemple : D, D, 3, 6, R )? 3. Avez-vous une idée des probabilités de chacune des issues favorables?

12 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE

13 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES I. PROBABILITES GENERALES Cadre-type : Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques non pipés, l'un de couleur bleue et l'autre de couleur verte dont les faces respectives sont numérotées de 1 à 6, et à noter les numéros obtenus par le dé bleu et le dé vert. On note b le nombre marqué sur la face supérieure du dé bleu et v le nombre marqué sur la face supérieure du dé vert. On obtient ainsi à chaque lancer simultané des deux dés un couple (b, v). Exemple dé bleu : 3 et dé vert : 5 donne le couple (3;5) 1. Dénombrement de tous les cas possibles : l'univers des possibles ou Univers certain La meilleure façon de dénombrer tous les cas, sans en omettre un seul, est sans doute de les répertorier dans un tableau comme ci-dessous. Compléter ce tableau. bleu vert (1;1) (1;2) 2 (2;5) 3 (3;6) 4 (4;3) 5 (5;1) 6 (6;4) Nombre d'issues différentes possibles : obtenir un numéro sur le dé bleu ET obtenir un numéro sur le dé vert. Nombre total d'issues possibles :... L'univers certain est noté conventionnellement et il est formé des... couples de résultats possibles. Il y a...éléments différents dans l'univers. On note Card( )=..., et on parle de Cardinal pour donner le nombre d'éléments d'un ensemble. 2. Un cas particulier : l'évènement On veut connaître la probabilité (la chance) d'obtenir un double six à ce jeu. Il s'agit donc de dénombrer combien il existe dans notre Univers de couples (6;6). Il n'en existe qu 'un seul et on s'intéresse donc à un événement particulier noté A. Nommer l'évènement A : A : «obtenir deux numéros 6» ou «obtenir un double six». Décrire l'événement A : A ={(6 ; 6)} On dit que Card ( A)=1 : A ne contient qu'un seul élément. C'est un événement élémentaire. Un événement est donc un ensemble constitué de 0, 1 ou plusieurs éléments différents. card ( A) La probabilité d'obtenir l'évènement A est alors donné par le rapport p ( A)= card (Ω) = 1 36 Il y a donc 1 chance sur 36 d'obtenir le couple (6;6) à ce jeu. nombre de cas favorables (nombre d ' issues favorables) Règle générale p ( A)= nombre de cas posssibles ( nombre d ' issues possibles) a) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement B : «obtenir deux numéros identiques»? Décrire l'évènement B : B ={(1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6)} Card ( B) =... Probabilité de l'évènement B : p ( B) =... b) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement C : «obtenir un total de 8» Décrire l'évènement C : C =... Probabilité de l'évènement C : p (C) = /8

14 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. Réunion et intersection de deux évènements. On considère l'évènement noté B C Nommer cet événement : B C (lire B union C ) : «obtenir deux numéros identiques» OU «obtenir deux numéros dont la somme est égale à 8». Attention, dans le cadre des probabilités, le OU est à prendre dans son sens inclusif et non exclusif. Le «OU» impliquera nécessairement le PRINCIPE ADDITIF B ={(1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5),(6 ; 6)} C = {(2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2)} L'évènement B C correspond aux éléments communs et non communs des deux évènements B et C Il faut prendre garde au doublon (4;4) qui est dans la description des deux évènements. Il ne faut donc le reprendre qu'une seule fois dans la réunion des deux évènements. B C ={(1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6), (2 ; 6), (3 ; 5), (5 ; 3), (6 ; 2)} Card ( B C )=10 et p ( B C )= Remarque : p ( B)+ p (C )= = et p ( B C )= L'évènement élémentaire {(4;4)} est inclus dans l'évènement B et dans l'évènement C. On dit que (4 ; 4) = B C, c'est l'intersection des deux évènements B et C. p ( B C )= 1 36 p ( B C )= p (B)+ p (C) p (B C ) B C est l'évènement : «obtenir deux numéros identiques ET deux numéros dont la somme vaut 8». La description de cet événement est (4 ; 4) = B C ={(4 ; 4)} p ( B C )= = p ( A B)= p ( A)+ p (B) p ( A B) Remarque : on dit que deux évènements A et B sont incompatibles si A B = Si deux évènements A et B sont incompatibles, on a alors par application de la formule : p ( A B)= p ( A)+ p ( B) la somme des probabilités sur un même univers est égale à 1 p (Ω)= 1 p ( )=0 Pour tout événement A, il existe l'évènement contraire Ā qui se lit «A barre» tel que p ( Ā)=1 p ( A) 2/8

15 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES II. PROBABILITES CONDITIONNELLES Cadre-type : Sondage sur Internet Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de 1000 personnes à propos d'internet. 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et parmi celles-ci 80% déclarent être intéressées pas internet 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi celles-ci 85% ne sont pas intéressées par internet 1. Compléter le tableau suivant Personnes Moins de 25 ans De 25 à 50 ans Plus de 50 ans Intéressés par internet Non intéressés par internet Total Total On choisit au hasard une personne parmi les 1000 interrogées. On considère les évènements suivants : A : «la personne interrogée a moins de 25 ans» B : «la personne interrogée a plus de 50 ans» I : «la personne interrogée est intéressée par Internet» a) calculer les probabilités p A, p B, p I p ( A) = p ( B) = p ( I ) = b) définir par une phrase l'évènement B et calculer p B B : «p ( B) = ou p ( B) = p A I = c) calculer p A I et p A I p A I = 3/8

16 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité pour qu'elle ait plus de 50 ans? Qu'elle ait 50 ans ou moins de 50 ans? 4. On sait maintenant que la personne interrogée n'a pas plus de 50 ans. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit intéressée par Internet? 4/8

17 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 1 : Enquête sur le cinéma Une enquête faite auprès d'une population comprenant 51% de femmes et 49% d'hommes montre que 20% des femmes et 15% des hommes de cette population ne vont jamais au cinéma. On choisit un individu au hasard dans cette population, tous les choix étant équiprobables. On note F l'évènement «l'individu choisi est une femme» C l'évènement «l'individu choisi va au cinéma» 1. Construire un arbre pondéré (arbre de probabilité) décrivant cette enquête. 2. Donner p F, p F C, p F C, p F C, p F C 3. Calculer p F C, p F C 4. En écrivant C= F C F C, calculer p C. En déduire p C. 5/8

18 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 2 : Jeu de cartes On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère les évènements suivants : A : «la carte tirée est un cœur» B : «la carte tirée est un roi» 1. Calculer p A, p B, p A B, p B A 2. Comparer p A B à p B puis p B A à p A 3. Comparer p A B à p A p B Exercice n 3 : dénombrement et probabilités Dans une urne, il y a 7 boules blanches et 10 boules rouges indiscernables au toucher. On en prend 4 simultanément. On considère les évènements suivants : A : «obtenir 4 boules blanches» B : «obtenir 2 boules blanches et 2 boules rouges» Calculer p A, p B. 6/8

19 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n 1 Les individus d'une population peuvent être atteints de deux maladies M 1 et M 2. On prélève au hasard un individu dans la population. On note A l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 1.», et B l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 2.» On admet que p ( A)= 0,3, p ( B)= 0,05, et que la probabilité qu'un individu pris au hasard dans la population soit atteint de la maladie M 2, sachant qu'il est atteint de la maladie M 1 est 0, Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M 1 et de la maladie M 2.» 2. Calculer la probabilité de l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 1 sachant qu'il est atteint de la maladie M 2.» 3. Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M 1 ou de la maladie M 2.» 7/8

20 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n 2 Une grande entreprise recrute chaque année des étudiants au niveau Bac + 2. Elle effectue une sélection à l'aide d'un test écrit sous forme de QCM ; les candidats retenus doivent ensuite passer un entretien. Les candidats choisissent, selon leurs compétences, un test parmi deux. On admet que 40 % des candidats choisissent le premier test, à l'issue duquel 10 % sont sélectionnés et que le reste des candidats choisit le second test, à l'issue duquel 30 % sont sélectionnés. On prélève une fiche au hasard dans le fichier des candidats. Toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées. On définit les évènements suivants : T 1 : «le candidat choisit le premier test» T 2 : «le candidat choisit le second test» S : «le candidat est sélectionné» 1. A l'aide des informations contenues dans l'énoncé, déterminer les probabilités : p (T 1 ), p (T 2 ), p T 1 (S ), p T 2 (S). 2. Calculer p (S T 1 ) et p (S T 2 ). 3. On admet que S =(S T 1 ) (S T 2 ) et que les évènements (S T 1 ) et (S T 2 ) sont incompatibles;calculer p (S). En déduire p ( S) 4. Calculer la probabilité qu'un candidat ait choisi le premier test sachant qu'il est sélectionné. Arrondir le résultat à 10 2 près. 8/8

21 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE VARIABLE ALEATOIRE, LOI DE PROBABILITE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE I. VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE Activité : Exemple 1 Un patineur artistique participe à une compétition durant laquelle il doit effectuer deux sauts. Il réussit le premier de ces deux sauts dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s'il échoue à ce premier saut, il rate le deuxième trois fois sur dix. Sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le second saut dans 90 % des cas. 1. On note l'événement R «le patineur réussit son saut» et l'événement R «le patineur ne réussit pas son saut» Compléter l'arbre de probabilité correspondant à une compétition : on pourra appeler R1 le premier saut et R2 le second saut. Le règlement est tel que manquer le premier saut donne 0,1 point de pénalité ; manquer le second saut donne une pénalité de 0,2 point. Le règlement prévoit également que les pénalités se cumulent. On désigne par X le nombre de pénalités obtenues lors de la compétition. 2. Quelles sont les valeurs que peut prendre X? Compléter le tableau ci-dessous. Réussite des sauts Premier et deuxième sauts réussis Premier réussi et deuxième raté Premier raté et deuxième réussi Premier et deuxième sauts ratés Valeurs prises par X

22 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 3. On dit ainsi que X est une variable aléatoire discrète : cette variable est issue d'une expérience aléatoire (un saut) et elle ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs (similitude avec les séries à caractère quantitatif discret en statistiques) Pour chacune des valeurs prises par cette variable aléatoire X, on peut calculer une probabilité : par exemple, on peut calculer la probabilité que X prenne la valeur 0 (c'est la même probabilité que celle de réussir les deux sauts, puisque en effet dans ce cas, il ne prend pas de pénalité). Compléter le tableau suivant : Réussite des sauts Valeurs de X Probabilités associées Premier et deuxième sauts réussis Premier réussi et deuxième raté Premier raté et deuxième réussi Premier et deuxième sauts ratés Remarque : Quelle est la somme des probabilités associées? :... Il n'y a pas d'autres valeurs possibles pour X. L'univers est restreint aux valeurs de X précédentes et la somme des probabilités sur un univers certain est égale à... On adoptera la présentation suivante appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X a) sous forme d'un tableau X= k p (X = k ) b) Sous forme d'un diagramme à bâtons p r o b a b i l i t é 0, 9 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0-0, 1 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 X

23 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Exemple 2 : On prélève simultanément et au hasard 4 cartes dans un jeu de 32 cartes. On note X la variable aléatoire associée au nombre de dames dans cette main de 4 cartes. 1. On peut définir la loi de probabilité de cette variable aléatoire X : a) Quelles sont les valeurs prises par X? :... b) Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire X : 1. Loi de probabilité de X X= k p (X = k ) 2. Univers certain : : «ensemble des mains de 4 cartes dans un jeu de 32 cartes» Card( ) = nombre de mains de 4 cartes :... Avoir 4 cartes parmi 32 cartes 3. Nombre de mains de 4 cartes ne contenant aucune dame :... Avoir 0 dame parmi 4 dames et 4 cartes parmi les 28 autres cartes restantes On en déduit p(x=0) = 4. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 1 dame :... Avoir 1 dame parmi 4 dames et 3 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=1) = 5. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 2 dames :... Avoir 2 dames parmi les 4 dames et 2 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=2) = 6. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 3 dames :... Avoir 3 dames parmi les 4 dames et 1 autre carte parmi les 28 restantes On en déduit p(x=3) = 7. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 4 dames :... Avoir 4 dames parmi les 4 dames et 0 carte parmi les 28 cartes restantes On en déduit p(x=4) = 2. Espérance d'une variable aléatoire (espoir mathématique,..., oui cela existe réellement!!) Une loi de probabilité s'apparente à une série statistique à caractère quantitatif discret. On peut donc calculer la valeur moyenne de cette série statistique : dans le cas des variables aléatoires, cela s'appelle l'espérance mathématique. L'espérance mathématique est la valeur moyenne que prendrait la variable X si on répétait un grand nombre de fois (loi des grands nombres) la même opération (dans le cas étudié ci-dessus, il s'agirait de prélever un grand nombre de fois une main de 4 cartes). i= n Par définition E(X)= i=1 p (X = x i ) x i

24 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Dans le cas étudié, calculer la valeur de E(X) E(X) = = Donner une interprétation de l'espérance E(X) de la variable aléatoire X : Exercice d'application Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; Parmi ces jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : F l'événement : «le jouet est sans défaut de finition». S l'événement : «le jouet réussit le test de solidité». 1. Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. a) Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. b) Démontrer que p F ( S)= 1 4 c) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. 2. Calculs de probabilités a) démontrer que p(s)=0,934 b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition (ce résultat sera arrondi au millième). 3. Etude d'une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire B. c) Interpréter ce résultat.

25 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE

26 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE VARIABLE ALEATOIRE, LOI BINOMIALE II. LOI BINOMIALE Jacques BERNOULLI (1654 ; 1705) fut un mathématicien suisse. Il posa les principes du calcul des probabilités dans son œuvre Ars Conjectandi (l'art de la conjecture) Activité : Exemple 1 A l'entraînement, un basketteur effectue des tentatives pour marquer un panier. Pour chaque tentative, il dispose de deux essais. On considère que la tentative est réussie si le premier essai est réussi ou si le second essai est réussi. Après plusieurs jours d'entraînement, l'entraîneur constate les faits suivants : la probabilité de réussir le premier essai est égale à 0,5. la probabilité de réussir le second essai sachant que le premier essai est raté est égale à 0,4. On note S l'événement : «la tentative est réussie». Le basketteur va effectuer quatre tentatives durant cet entraînement. On note X le nombre de réussites obtenues lors de ces tentatives. 1. Décrire une tentative par un arbre de probabilité R R 2 R R 2 R1 représente l'événement : «le premier essai est réussi». R2 représente l'événement : «le second essai est réussi».

27 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 2. Déterminer la probabilité que la tentative soit réussie, soit p(s) S = p(s) = 3. Pour le basketteur, la tentative n'a que deux issues possibles : S : «la tentative est réussie» avec une probabilité p = p(s) =... S : «la tentative a échoué» avec une probabilité q = 1-p =... Cette expérience aléatoire qui a deux issues possibles : le succès (la réussite) avec une probabilité p =... ou l'échec (l'insuccès) avec une probabilité 1-p =... est appelé épreuve de Bernoulli On dit qu'une tentative est une épreuve de Bernoulli de paramètre p = Le basketteur effectuant 4 tentatives, il va répéter de façon identique et indépendante (l'issue d'une tentative n'a aucune influence sur l'issue de la suivante, etc...) la même épreuve de Bernoulli. C'est la répétition de n épreuves de Bernoulli de paramètre p. On dit que la répétition de épreuves de Bernoulli est un schéma de Bernoulli de paramètres n = et p = Si on appelle X la variable aléatoire associée au nombre de succès de ce schéma de Bernoulli, On dit que la variable aléatoire X suit la binomiale de paramètres n = et p = notée B(...,...) 6. p (X = k )= ( n k) pk (1 p) n k 7. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X? :...,...,...,..., Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X : p(x=0) = p(x=1) = p(x=2) = p(x=3) = p(x=4) = Loi de probabilité de X X= k p (X = k )

28 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE 9. On notera également que dans une loi binomiale, les propriétés sont les suivantes : E (X)= n p Var (X)=n p (1 p) σ (X)= Var (X)= n p (1 p) 10. Calculer l'espérance la variable aléatoire X : E(X)=... Interpréter ce résultat : 11. Calculer l'écart type de la variable aléatoire X : (X)=... Applications (pages suivantes)

29 Exercice n 1 : BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE A la coopérative du Reblochon de Thônes, la probabilité qu'un reblochon soit de premier choix est de 70 %. On prélève au hasard 14 reblochons dans la cave où sont stockés les fromages (on considère que le stock est suffisamment important pour que le prélèvement d'un fromage soit assimilé à un tirage avec remise et indépendant). On note X la variable aléatoire associée au nombre de reblochons de premier choix de cet échantillon. 1. Démontrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2. Quelle est l'espérance de X? Interpréter ce résultat. 3. Quelle est la probabilité d'avoir 9 fromages de premier choix dans cet échantillon? 4. Quelle est la probabilité d'avoir au mois 12 reblochons de premier choix dans cet échantillon? 5. Quelle est la probabilité d'avoir au plus 4 reblochons de premier choix dans cet échantillon?

30 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE Exercice n 2 : Le procédé d'insémination artificielle humaine réussit avec une probabilité p =0,1. Dans un service hospitalier, on réalise 70 opérations de ce type. On note X la variable aléatoire associée au nombre d'inséminations réussies parmi les Quelle loi de probabilité peut-être associée à la variable aléatoire X? Justifier. 2. Calculer la probabilité qu'il y ait exactement 6 inséminations réussies dans ce service. 3. Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 7 inséminations réussies dans ce service. Exercice n 3 : Dans une compagnie d'assurance, on a pu constater que sur les 1200 assurés, 60 avaient au moins une déclaration de sinistre dans l'année. La compagnie possède un dossier pour chaque assuré. On prélève au hasard et avec remise 10 de ces 1200 dossiers. On note X la variable aléatoire donnant, parmi les 10 dossiers prélevés, le nombre d'assurés ayant fait une déclaration de sinistre dans l'année. 1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X?Justifier 2. Calculer la probabilité qu'un seul assuré parmi les dix choisis ait fait au moins une déclaration dans l'année. 3. Calculer la probabilité qu'au moins un assuré parmi les dix choisis ait fait une déclaration dans l'année.

31 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE Exercice n 4 : Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante : B B B B B B B B B J J J V V R R V V J J J B B B B B B B B B La fléchette atteint toujours une case et une seule. Les trente cases, blanches (B), jaunes (J), vertes (V) ou rouges (R) ont toutes la même probabilité d'être atteintes Si la fléchette atteint une case rouge, le joueur reçoit un gain net (mise déduite) de 8, Si la fléchette atteint une case verte, le joueur reçoit un gain net (mise déduite) de 5, si la fléchette atteint une case jaune, le joueur ne gagne rien et ne perd rien (sa mise est remboursée) Si la fléchette atteint une case blanche, le joueur perd a euros, la lettre a désignant un nombre réel positif (on admet que a représente la mise de départ). 1. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur (compté positivement quand il gagne et négativement quand il perd). a) Etablir la loi de probabilité de X b) Calculer la valeur de a pour que le jeu soit équitable, c'est à dire pour que l'espérance E(X) soit nulle. 2. Un joueur est considéré comme gagnant s'il a obtenu un gain strictement positif. Quelle est la probabilité p qu'un joueur gagne? 3. Un joueur joue 5 parties consécutives indépendantes : on appelle Y la variable aléatoire associée au nombre de parties gagnantes sur les 5 parties jouées. a) Quelle loi suit la variable Y? Justifier. b) Quelle est la probabilité qu'il gagne exactement 2 fois? c) Quelle est la probabilité qu'il gagne moins de 2 fois? d) Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins 3 fois? e) Quel est le nombre moyen de parties gagnantes?

32 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE

33 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE

34 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- III.APPROCHE DE LA LOI BINOMIALE PAR LA LOI DE POISSON Siméon Denis POISSON ( ), auteur de «Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile» est l'inventeur de cette loi de probabilité. Exemple n 1 : Un artisan fabrique des objets en bois (50 par jour) et en moyenne il doit en reprendre 3 % pour malfaçon avant de pouvoir les mettre en vente. Soit X la variable aléatoire associée au nombre d'objets qu'il a fallu reprendre à l'issue d'une journée de travail. 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Epreuve de Bernoulli : Schéma de Bernoulli : Loi binomiale : 2. L'évènement auquel on s'intéresse est un événement survenant rarement (la probabilité est égale à 0,03). C'est un cas limite de la loi binomiale précédente pour laquelle : le paramètre n est grand, on a beaucoup de répétitions de la même épreuve de Bernoulli, n 30. le paramètre p (probabilité du Succès de l'épreuve de Bernoulli) est très petit : on parle alors d'évènement dont la réussite est faible = événement rare. p 0,1 Dans ce cas, on peut appliquer la loi de Poisson pour approcher la loi binomiale de façon correcte. Définition : une loi de Poisson de paramètre est définie par p (X = k)= k k! e avec = n p Dans la pratique, on considère qu'une loi de Poisson est une approximation correcte de la loi binomiale de paramètres n et p si 3 critères sont simultanément respectés : n 30 Espérance de la loi de Poisson E( ) = p 0,1 Variance de la loi de Poisson V( ) = np 10 Ecart type de la loi de Poisson ( ) =

35 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- 3. Vérification avec l'exemple précité : La variable aléatoire X associée au «nombre d'objets qu'il a fallu reprendre en fin de journée» suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,03. La probabilité que l'artisan reprenne exactement 6 objets à la fin d'une journée est : p (X =6)= ( 50 6 ) 0,036 0, ,00303 Les critères de la loi de Poisson sont applicables ici : n=50 30 p=0,03 0,1 np= 50 0,03 =1,5 10 Paramètre de la loi de Poisson : =1,5 Avec la loi de Poisson, on obtient : p (X =6)= 1,56 6! e 1,5 0,00353 C'est une bonne approximation, l'écart ne se situant qu'à la quatrième décimale. Quelle est la probabilité que l'artisan ne reprenne aucun objet à la fin de la journée? Loi binomiale : Loi de Poisson : Quelle est la probabilité que l'artisan reprenne au plus 4 jouets à la fin de la journée : Loi binomiale : Loi de Poisson : Quelle est la probabilité que l'artisan reprenne au moins 5 objets à la fin de la journée? Loi binomiale : Loi de Poisson

36 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- Exemple n 2 Dans une entreprise, on considère que la probabilité d'obtenir un article défectueux à la sortie d'une chaîne de fabrication est p = 0,05. Lors d'un contrôle de qualité, on envisage de prélever un échantillon de 120 articles. Bien que ce prélèvement soit exhaustif, la production est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à 120 tirages avec remise, de façon indépendante). La variable aléatoire X qui est associée au nombre d'articles défectueux d'un tel échantillon suit la loi binomiale B(120;0,05) dont l'espérance mathématique est E (X)= 120 0,05 =6. La loi de probabilité de la variable X peut-elle être approchée par la loi de Poisson? Les 3 critères sont-ils respectés? n = p = np = Si oui, quel est le paramètre de la loi de Poisson? =... Comparer les lois de probabilité de la variable X par la loi binomiale et par la loi de Poisson (les résultats sont donnés avec 4 décimales) ; on pourra utiliser la calculatrice ou la table. k Binomiale p(x=k) Poisson p(x=k) k Binomiale p(x=k) Poisson p(x=k) Quelle remarque peut-on formuler? :... L'approximation de la loi de la variable X peut-elle être faite par la loi de Poisson? :... Par la loi de Poisson, calculer les probabilités suivantes : 1. événement A : «l'échantillon contient au moins un article défectueux» 2. événement B : «l'échantillon contient au plus trois articles défectueux» 3. événement C : «l'échantillon contient entre deux et cinq articles défectueux»

37 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-VARIABLES DISCRETES-LOI BINOMIALE-LOI DE POISSON- Exemple 3 On constate qu'après dactylographie mais avant relecture, un ouvrage de 200 pages comporte en moyenne 3 fautes de frappe par page. Soit X la variable aléatoire associée au nombre de fautes de frappe par page. On pense que X pourrait éventuellement suivre une loi de Poisson. 1. Est-il possible de résoudre ce problème avec une loi binomiale? 1. La loi de Poisson est-elle justifiée? Quelle est la moyenne (le paramètre) de cette loi? 2. On ouvre le livre au hasard, quelle est la probabilité que la page que l'on découvre comporte exactement 3 fautes de frappe? 3. Interpréter ce dernier résultat

38 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION PROBABILITES-LOIS A DENSITE I. Introduction à la notion de loi à densité Exemple introductif : On lance une flèche sur une cible de rayon égal à 1 mètre. Cette cible est partagée en 10 zones séparées par des cercles de rayons 10 cm, 20 cm, 30 cm, Chaque zone rapport le nombre de points inscrits sur la cible. On suppose dans la suite de l'activité qu'une flèche atteint obligatoirement la cible circulaire donc ne peut se planter en dehors de celle-ci. On appelle X la variable aléatoire associée au nombre de points marqués. 1. Quelles sont les valeurs que peut prendre la variable aléatoire X? X {...} 2. On remarque que la probabilité de marquer le point inscrit sur la cible est égale au quotient de l'aire correspondante à la couronne où est inscrit le nombre de points par l'aire de la cible toute entière. On rappelle que l'aire d'un disque de rayon R est égale à π R 2. a) Calculer les aires des couronnes que l'on notera C1, C2,,C10 (on donnera les valeurs en multiple de π et les rayons seront exprimés en mètres) C 10=π 0,1 2 =0,01 π C 9=π 0,2 2 π 0,1 2 =0,04 π 0,01 π=0,03 π C 8 = C 7 = C 6 = C 5 = C 4 = C 3 = C 2 = C 1 =

39 b) Déterminer les probabilités des valeurs de la variable aléatoire X BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION p( X =10) = p( X )=9 = p( X =8) = p( X =7) = p( X =6) = p( X =5) = p( X =4) = p( X =3) = p( X =2) = p( X =1) = c) Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire X X =k p( X =k ) 3. Soit Y la variable aléatoire qui associe au point d'impact de la flèche sur la cible la distance au centre de la cible (exprimée en mètres). Y Prend toutes les valeurs de l'intervalle [0;1]. a) Que vaut p(y =0,5)? b) Compléter le tableau ci-dessous : Y [ a ; b] [0;0,1] [0,1;0,2] [0,2;0,3] [0,3;0,4] [0,4;0,5] [0,5;0,6] [0,6;0,7] (0,7;0,8] [0,8;0,9] [0,9;1] p( Y [a ;b] ) 4. On représente cette loi de probabilité par une suite de rectangles de largeur [ a ;b] dont l'aire est égale

40 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION à p( Y [a ; b] ). a) Compléter le tableau ci-dessous : Y [a ; b] [0;0,1] [0,1;0,2] [0,2;0,3] [0,3;0,4] [0,4;0,5] [0,5;0,6] [0,6;0,7] (0,7;0,8] [0,8;0,9] [0,9;1] largeur hauteur b) Tracer l'histogramme associé au tableau ci-dessus dans le repère orthogonal ci-dessous : y 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 c) Dans chaque intervalle, construire le point de coordonnées 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 ( a+b2 ; hauteur ). Que constate-t-on quant à la position de ces points les uns par rapport aux autres? d) Tracer la demi-droite (OA) avec A(1 ;2). Quelle est l'équation de la droite (OA). Justifier e) Soit f la fonction dont la représentation graphique est la droite (OA). 1 Calculer 0 0,3 f ( x ) d x puis f (x )d x 0,2 II. Introduction à la notion de loi uniforme sur un intervalle 1,7

41 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION 1. L'intervalle [ 2; 7[ contient 50 nombres d'au plus une décimale : (2,0 ;2,1 ;... ;2,9;3,0 ;...3,9;4,0 ;...4,9;5,0 ;...;5,9;6,0 ;...;6,8;6,9) a) Combien cet intervalle contient-il de nombres d'au plus deux décimales? de nombres d'au plus dix décimales? b) A l'aide de l'instruction RAND ou NbrAleat d'une calculatrice, on peut obtenir un nombre décimal d'au plus 10 décimales. Quelle est la probabilité que ce nombre soit 4, ? 2. Compléter le tableau ci-dessous : X [ a ;b[ [2;2,5[ [2,5;3[ [3;3,5[ [3,5;4[ [4;4,5[ [4,5;5[ (5;5,5[ [5,5;6[ [6;6,5[ [6,5;7[ p( X [ a;b[ ) 3. On représente cette loi de probabilité par une suite de rectangles de largeur [a;b] dont l'aire est égale à p( X [ a;b[ ) a) Compléter le tableau ci-dessous : X [ a;b[ [2;2,5[ [2,5;3[ [3;3,5[ [3,5;4[ [4;4,5[ [4,5;5[ (5;5,5[ [5,5;6[ [6;6,5[ [6,5;7[ largeur hauteur 0, 3 b) Tracer l'histogramme associé au tableau ci-dessus dans le repère ci-dessous : 0, 2 0, 1 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 5 5, 5 6 6, Dans chacun des intervalles [a;b[, construire le point de coordonnées ( a+b 2 ; hauteur ). Que constate-t-on quant à la position de ces points les uns par rapport aux autres? En déduire la fonction de densité f 5. On sait que l'intervalle [ 2; 7] contient une infinité de nombres réels. La variable aléatoire X

42 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION correspondant au tirage au hasard d'un nombre réel de [ 2; 7] est une variable aléatoire continue. Calculer les valeurs de p(2 X 4) et de p ( 3 X 6) 6. Soit x un nombre réel appartenant à l'intervalle [ 2; 7]. Les conjectures faites à la question précédente conduisent à poser p(2 X x)= x = x 2 5 Soit f la densité de probabilité de la loi de X. On admet que f est continue sur [ 2; 7].. Interpréter p(2 X x) sous la forme d'une intégrale. En déduire que f est définie sur l'intervalle [ 2; 7] par f (x)= 1 5 Application : Dans un supermarché, un jour de grande affluence, le temps d'attente T à la caisse, en minutes suit la loi uniforme sur l'intervalle [2;20] 1. Définir la fonction de densité de probabilité f de la loi de T. 2. Quelle est la probabilité pour que le temps d'attente soit inférieur à un quart d'heure? 3. Quelle est la probabilité que le temps d'attente soit compris entre quatre et sept minutes? 4. Quel est le temps moyen d'attente à la caisse? EXERCICES D'APPLICATION

43 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION IMPORTANT : une fonction f est une fonction de densité de probabilité sur un intervalle [a;b] si, et seulement si la fonction f est définie, continue, positive sur [a;b] et est telle que f (x)d x=1. a L'espérance mathématique de la variable aléatoire X dont la loi a pour densité de probabilité la fonction f est égale à E(X) = a b x f (x)d x b Exercice n 1 : 1. Montrer que la fonction f définie sur [0;1] par f (x)=x+ 1 2 probabilité. est une fonction de densité de 2. X est la variable aléatoire continue sur [0;1] dont la loi a pour densité de probabilité la fonction f définie à la question 1. Calculer : a) p ( X <0,25) b) p ( X > 1 3) c) p(0,1 X 0,7) d) E(X) Exercice n 2 Soit f la fonction définie sur [0;1] par f (x)=5 x Montrer que f est une fonction de densité de probabilité. 2. X est la variable aléatoire continue sur [0;1] dont la loi a pour densité de probabilité la fonction f définie à la question 1. Calculer : b) p ( X >0,1) a) p ( X < 1 2) c) p (0,2<X 0,8) d) E(X) Exercice n 3 Un étang de pêche est très régulièrement empoissonné. Lorsqu'un pêcheur met sa ligne à l'eau le temps

44 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION d'attente T en minutes avant la première touche suit la loi uniforme sur l'intervalle [0;15]. 1. Quelle est la fonction de densité de probabilité f que suit la variable aléatoire T? 2. Quelle est la probabilité pour que ce temps d'attente soit inférieur à 10 minutes? 3. Quelle est la probabilité que ce temps d'attente soit supérieure à 30 secondes? 4. Quel est le temps moyen d'attente? Exercice n 4 Lorsqu'elle est chez sa grand-mère, Fatou arrive pour prendre son petit déjeuner entre 7H et 8H30, de façon aléatoire. Son cousin Moussa le prend toujours à 8H et y consacre 15 minutes. 1. Quelle est la loi suivie par l'heure d'arrivée de Fatou? 2. Calculer la probabilité que Fatou arrive avant Moussa. 3. Quelle est la probabilité qu'ils se croisent? 4. Sachant que Fatou est arrivée après 8H, quelle est la probabilité qu'elle passe un moment à table avec Moussa? Exercice n 5 Les deux rives d'un estuaire sont reliées par des bateaux qui quittent la rive nord exactement toutes les 10

45 BTS 1 -MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LOIS A DENSITE-INTRODUCTION minutes. Mr Dulac séjourne sur la rive nord et traverse l'estuaire une fois par jour pour se rendre dans la partie sud. Son arrivée au point d'embarquement sur la rive se fait au hasard. 1. Le temps, en minutes, séparant l'arrivée de Mr Dulac à l'embarcadère du prochain départ du bateau, définit une variable aléatoire T qui suit une loi uniforme. a) Définir la fonction de densité de probabilité f suivie par la variable aléatoire T b) Quel est le temps moyen d'attente de Mr Dulac à l'embarcadère? c) Montrer que la probabilité qu'un jour donné Mr Dulac attende plus de 7 minutes à l'embarcadère est p=0,3. 2. Mr Dulac séjourne 10 jours sur la rive nord. Le nombre de jours où son attente, pour prendre le bateau, est supérieure à 7 minutes définit une variable aléatoire X. On suppose que l'arrivée de Mr Dulac à l'embarcadère se fait de façon indépendante d'un jour à l'autre. a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X? Déterminer E(X) b) Calculer, à 10 3 près, la probabilité que Mr Dulac n'attende jamais plus de 7 minutes à l'embarcadère. c) Calculer p( X 5) à 10 3 près.

46 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES III. LES LOIS NORMALES Dans les chapitres précédents, nous avons défini ce qu'était une variable aléatoire continue, une fonction de densité et la loi uniforme. Rappel sur la loi uniforme : si X est une variable aléatoire continue qui suit la loi uniforme sur un intervalle [a;b], et si a c d b alors : p (c< X <d )= d c b a E (X )= a+b 2 A) La loi normale centrée réduite. On dit qu'une variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite notée n(0;1) lorsqu'elle a pour fonction de densité la fonction f définie sur R par : y 0, 4 f ( x)= 1 2 π e x 2 2 0, 3 0, 2 0, x La fonction de densité de la loi normale centrée réduite f ( x)= 1 n'a pas de primitive 2 π explicite. On utilise donc la calculatrice pour calculer une aire sous la courbe. Calculs de probabilités avec la loi normale centrée réduite n(0;1) Exemple : Calculer la probabilité qu'une variable aléatoire continue suivant la loi normale centrée réduite prennent les valeurs comprises entre -1et 2 On cherche donc p ( 1 X 2) CASIO MENU STAT/DIST/NORM/Ncd/ Data : Variable Lower : -1 Upper : 2 : 1 : 0 On obtient p ( 1 X 2)= 0,8186 On peut de cette manière à l'écran suivant obtenir la représentation de l'aire sous la courbe f TI e x 2 2 2nde DISTRIB/normalFRép( -1, 2, 0, 1) On obtient p ( 1 X 2)= 0,8186

47 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES On peut aussi avec la CASIO GRAPH 35 + effectuer le calcul de la manière suivante : MENU RUN-MATH/OPTN/STAT/DIST/NORM/Ncd( -1, 2, 1, 0) La représentation graphique correspondante est la suivante : y 0, 4 0, 3 0, 2 0, x La partie colorée en bleue représente la probabilité recherchée exprimée en unités d'aire. Remarques particulières : La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : p ( X 0)= p ( X 0)= 0,5 p ( X 0)= 0,5 p ( X 0)= 0,5 y y 0, 4 0, 4 0, 3 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1 0, x x

48 Conséquences : p ( X 1)= p ( X 0) p ( 1 X 0) p ( X 1)= 0,5 0,3413=0,1587 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES y 0, 4 0, 3 0, 2 0, x On peut également dire que p ( X 1)= p ( X 1) et entrer dans la calculatrice pour figurer Ainsi, on obtient p ( X 1)= p ( X 1) et donc p ( X 1)=0,1587 De la même manière, p ( X 1,5)= p ( X 0) p (0 X 1,5) p ( X 1,5)=0,5 0,4332 = 0,0668 y 0, 4 0, 3 0, 2 0, x On peut aussi faire p ( X 1,5)= p (1,5 X )

49 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES p ( X 1)= p ( X 0)+ p (0 X 1) p ( X 1)=0,5+0,3413= 0,8413 y 0, 4 0, 3 0, 2 0, On peut aussi faire : p ( X 1)= p ( X 1) 2 3 x Il faudra, à chaque question posée, décrire un calcul de probabilité d'une variable aléatoire sous une des formes vues précédemment. Calcul d'une valeur k telle que p ( X k)= 0,45 avec la loi normale centrée réduite n(0;1) CASIO MENU STAT/DIST/NORM/InvN/Data : Variable Tail : Left Area : 0,45 : 1 : 0 Le résultat obtenu est : k=-0,1257 Vérification : p ( X 0,1257) 0,45 TI 2nde DIST/3FracNormale ( 0.45, 0, 1 ) Exercices d'application

50 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES 1. Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite n(0;1). Donner l'arrondi au millième des probabilités suivantes : a) p (0 X 1,3) = b) p ( 2,1 X 0,4) = c) p ( X 1,6) = d) p ( X 0,5) = 2. Lors d'une course à pied, le temps moyen des participants a été de 3 heures. On note T la variable aléatoire qui donne l'écart t 3, en heure, où t représente le temps mis par un participant. On sait que T suit la loi normale n(0;1). Calculer au centième près et donner une interprétation des résultats dans le contexte de la course. a) p (T 0,25) = Interprétation : b) p (T 0,25) = Interprétation : c) p ( 0,1 T 0,2) = Interprétation : 3. Le prix moyen d'un ustensile de cuisine est égal à 6,80. X est la variable aléatoire égale à l'écart entre ce prix moyen et les prix constatés dans l'ensemble des magasins de France. La variable X suit la loi normale n(0;1) Calculer et interpréter les probabilités suivantes : a) p ( X 1,2) Interprétation : b) P ( X 0,7) = Interprétation : 4. X suit la loi normale centrée réduite n(0;1) Calculer les probabilités suivantes arrondies à 3 décimales : a) p ( 1 X 1) = b) p ( 2 x 2) = c) p ( 3 X 3) =

51 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES On tire des résultats précédents une règle générale connue sous le terme de «règle du un, deux, trois sigma» Comment pourrait-on énoncer cette règle? : 5. X est une variable aléatoire suivant le loi normale n(0;1). Calculer les probabilités suivantes à 2 décimales : a) p ( 0,3 X 2,5) = b) p ( X <1) = c) p ( X >0,5) = d) p ( 1,96 < X < 1,96) = Cette dernière valeur sera reprise lors du cours sur l'échantillonnage (intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %) 6. Une boulangerie industrielle fabrique des baguettes dont la masse théorique est 200 g. X est la variable aléatoire qui à une baguette associe sa masse en grammes. On admet que la variable Y=X-200 suit la loi normale n(0;1). On prend une baguette au hasard dans la production. a) La baguette doit avoir une masse supérieure à 199 g pour être commercialisable. Quelle est la probabilité arrondie à 10 2 près qu'elle ne soit pas commercialisable? b) Calculer la probabilité arrondie à 10 2 prèsque la baguette ait une masse comprise entre 198,04 g et 201,96 g? Détermination par le calcul : Détermination sans calcul (après constatation du résultat d'un exercice précédent)

52 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES 7. La température moyenne au mois de mars sur l'ensemble du XX e siècle était de 7 C. On choisit au hasard un jour de mars du XX e siècle. On peut considérer que l'écart entre la température moyenne de ce jour et la température moyenne d'un jour de mars du XX e siècle peut être modélisée par la loi normale centrée réduite. a) Quelle est la probabilité que la température de ce jour ait été supérieure à 8 C? b) On considère qu'un jour de mars est exceptionnellement froid si la température est inférieure à 4 C. Calculer la probabilité que le jour choisi au hasard ait été exceptionnellement froid. 8. Lors d'un trail en montagne, le temps moyen de parcours des 100 participants s'est établi à 240 minutes. X est la variable aléatoire égale à l'écart entre ce temps moyen et le temps réalisé par un trailer pris au hasard. On pose Z = X 240 et on admet que Z suit la loi normale n(0;1), le temps étant exprimé en 20 minutes. a) Quelle est la probabilité qu'un participant choisi au hasard ait mis moins de 200 minutes pour effectuer le parcours? b) Sachant qu'un participant a mis plus de 300 minutes, quelle est la probabilité qu'il ait mis moins de 320 minutes pour effectuer le parcours?

53 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-LES LOIS NORMALES TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE POUR LES REFRACTAIRES DE LA CALCULATRICE

54 III. LES LOIS NORMALES A) La loi normale centrée réduite B) La loi normale 1. Définition : BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) On dit qu'une variable aléatoire continue X suit une loi normale n( ; ²)lorsque la variable aléatoire Y = X μ suit la loi normale centrée réduite n(0;1). σ Remarques : Cette définition est très importante car elle amène cette remarque fondamentale : Toute loi normale n( ; ²) peut se ramener à une loi normale centrée réduite n(0,1) après avoir effectué un changement de variable. La fonction de densité de la loi normale n( ; ²) est la fonction f définie sur R telle que : f (x)= 1 σ 2 π e 1 2 ( x μ 2 σ ) y 0, 4 0, 3 0, 2 La courbe représentative de f est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation x =μ 0, On dit que X suit la loi normale de moyenne écart-type Représentation graphique de la fonction de densité de la loi normale n(4 ; 1²). La courbe en cloche (de Gauss) présente la caractéristique d'être symétrique par rapport à la droite verticale x = 4 x Propriété 1 : Si la variable aléatoire continue X suit la normale n( ; ²), alors son espérance est : E (X )= μ Propriété 2 : Soit X une variable aléatoire continue qui suit la loi normale n( ; ²). On appelle écart-type de X le nombre noté et variance le nombre noté V(X) tel que : V ( X )=σ 2

55 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) 2. Influence de l'écart-type Plus l'écart-type est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de l'espérance On fait l'analogie avec les séries statistiques de type discret, la moyenne de la série (l'espérance de la variable aléatoire X) et son écart-type. Graphiquement cela donne : Pour une même valeur de (ici μ= 2 ), plus la valeur de l'écart-type s'accroît, plus les valeurs de la variable aléatoire continue X sont dispersées autour de la moyenne, plus la courbe s'étale. 3. Influence de la moyenne

56 Remarque importante BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) Si la variable aléatoire X suit la loi normale n( ; ²), alors : p (μ σ X μ +σ) 0,683 p (μ 2 σ X μ+ 2 σ) 0,954 p (μ 3 σ X μ +3 σ) 0,997 Explication : Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale n( ; ²), alors la variable Y = X μ σ centrée réduite n(0;1) μ σ μ X = μ σ est équivalent à Y = = σ σ σ = 1 par raisonnements successifs identiques, p (μ σ X μ + σ) équivaut à p ( 1 Y 1). Or Y suit la loi normale centrée réduite donc p ( 1 Y 1) = 0,683 On ferait de même pour la règle du deux sigma et celle du trois sigma. REGLE : suit la loi normale On peut toujours ramener l'étude d'une variable aléatoire continue X qui suit la loi normale de moyenne μ et d'écart-type σ à l'étude de la variable aléatoire continue Y = X μ σ qui suit la loi normale centrée réduite. De ce fait, l'utilisation de la table de la loi normale centrée réduite est toujours possible avec cette transformation.

57 Exercice n 1 : Le commercial BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) EXERCICES D'APPLICATION Un commercial effectue régulièrement un trajet allant d'une ville A à une ville B. Pour rompre la monotonie, il utilise aléatoirement des parcours différents. On admet qu'il utilise le trajet passant par la ville C dans 8 % des cas et le trajet de plus courte durée dans 40 % des cas. En 2014, ce commercial, devra effectuer 50 fois le trajet. 1. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, où en 2014, ce commercial utilisera le trajet passant par la ville C. a) Quelle est loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X? b) Calculer la probabilité qu'en 2014, le commercial utilise 5 fois ce parcours. c) Calculer la probabilité qu'il utilise au plus 20 fois ce trajet en On note Z la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, où en 2014, ce commercial utilisera le trajet de plus courte durée. On décide d'approcher la loi de Z par celle d'une variable Y, suit une loi normale. a) Justifiez que les paramètres de cette loi normale sont μ = 20 et σ = 2 3. b) Calculer p(16,5 Y 23,5). Interprétez ce résultat relativement au nombre de trajets de ce commercial.

58 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) Exercice n 2 : le chantier de construction On s'intéresse au chantier de construction d'un tronçon de TGV. Les travaux de terrassement nécessitent la mise à disposition d'une flotte importantes de pelles sur chenilles et de camions-benne. On note X la variable aléatoire qui, à chaque pelle prélevée au hasard dans la flotte, associe le nombre de mètres cubes de matériaux extraits pendant la première heure du chantier. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne 120 et d'écart-type Calculer p(110 X 130) 2. Calculer la probabilité que la pelle prélevée extraie moins de 100 m³ de matériaux pendant la première heure du chantier. Exercice n 3 : Coût d'assurance Une compagnie d'assurances s'intéresse aux coûts des sinistres susceptibles de survenir en 2014 sur les véhicules qu'elle assure dans un département donné. On note X la variable aléatoire qui, à chaque sinistre, associe sont coût en euros. L'étude des années précédentes permet de supposer que X suit la loi normale n (1200;40000). 1. Quelle est la probabilité qu'en 2014 un sinistre pris au hasard coûte entre 1000 et Quelle est la probabilité qu'un sinistre pris au hasard coûte entre 800 et 1600? 3. Quelle est la probabilité qu'un sinistre pris au hasard coûte plus de 2200?

59 Exercice n 4 : Faux départ BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) On veut étudier le temps de réaction d'un sprinter au départ d'un 100 mètres, c'est à dire le temps qui s'écoule entre le coup de feu du starter et l'impulsion du sprinter sur son startingblock. On note X la variable aléatoire qui donne en secondes le temps de réaction d'un sprinter au départ d'un 100 m. On suppose que X suit la loi normale n (0,148 ; 0,2²). Un faux départ est constaté si le temps de réaction est inférieur à 0,1 s. 1. Quelle est la probabilité que le temps de réaction de ce sprinter soit compris en 0,15 et 0,25 s? 2. Quelle est la probabilité que ce sprinter soit disqualifié pour faux départ? Exercice n 5 : Vaccination Dans une population, on estime à 0,35 la probabilité qu'une personne se fasse vacciner contre une forme particulière de la grippe. Ce vaccin demande une seule injection. Un responsable d'une région qui compte habitants veut commander assez de doses pour que la probabilité de manquer de vaccins soit inférieure à 5 %. 1. On note X le nombre de personnes qui vont demander à être vaccinées. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. On modélise la loi de probabilité de X par une loi normale d'espérance et de variance Montrer que le responsable doit commander au minimum doses.

60 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) Exercice n 6 : La sélection des vaches laitières de race «Française Frisonne Pis Noir». La production laitière annuelle en litres des vaches laitières de la race FFPN peut être modélisée par une variable aléatoire à densité X, de loi normale de moyenne μ = 6000 et d'écart-type σ = 400. La fonction g désigne la fonction de densité de cette loi normale. 1. Afin de gérer au plus près son quota laitier (production maximale autorisée), en déterminant la taille optimale de son troupeau, un éleveur faisant naître des vaches de cette race souhaite disposer de certaines probabilités. a) Calculer la probabilité qu'un vache quelconque de cette race produise moins de 5800 litres par an. b) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5900 et 6100 litres par an. c) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise entre 5600 et 6400 litres par an. d) Calculer la probabilité qu'une vache quelconque de cette race produise plus de 6250 litres par an. 2. Dans son futur troupeau, l'éleveur souhaite connaître : a) la production maximale prévisible des 30 % de vaches les moins productives du troupeau. Calculer cette production. b) La production minimale prévisible des 20 % des vaches les plus productives du troupeau. Calculer cette production.

61 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PTOBABILITES-LES LOIS NORMALES (2) Exercice n 7 : Poids d'alerte pour cartes de contrôle Une coopérative produit du beurre en micro-plaquettes de 12,5 g pour des collectivités et des chaînes hôtelières. Les micro-plaquettes sont conditionnées par boîtes de 40. La variable aléatoire X égale au poids d'une boîte de 40 micro-plaquettes suit une loi normale n (500 ; 1,6) La boîte est jugée conforme si son poids est compris entre 497,5 et 502,5 grammes. 1. Calculer la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard en fin de chaîne de conditionnement soit non conforme. 2. Pour contrôler le réglage de la machine, on détermine des poids d'alerte μ h et μ + h tels que p(μ -h ; μ +h)=0,954. Ces poids d'alerte sont inscrits sur une carte de contrôle et correspondent à une marge de sécurité en lien avec des normes de conformité. On veut calculer les poids d'alerte. a) On note Z= X 500 1,6. Quelle loi suit la variable aléatoire Z? b) Montrer que μ h 500 Z μ+h ,6 1,6 c) Donner une valeur de a telle que p( a Z a) 0,954 d) Déduire des questions précédentes une valeur approchée des poids d'alerte.

62 ECHANTILLONNAGE BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE INTERVALLES DE FLUCTUATION ET DE CONFIANCE I. Notion d'échantillon Définition : un échantillon de taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience. 1. Exemples : Cas d'une urne : Un échantillon de taille n est constitué des résultats de n tirages avec remise. Notons que si les tirages s'effectuent sans remise, les tirages successifs ne sont pas indépendants. En effet, dans ce cas, la composition de l'urne varie après chaque tirage. Cas d'un sondage : Supposons que l'on interroge n personnes dans une population de N personnes. A priori, il s'agit d'une situation analogue à un tirage sans remise dans une urne : en effet les personnes interrogées ne sont interrogées qu'une seule fois. En assimilant les personnes interrogées aux boules d'une urne, ceci signifie que l'on ne remet pas la personne interrogée «dans l'urne» avant d'interroger la suivante. 2. Convention On convient que si le nombre n de personnes interrogées est nettement inférieur au nombre total N de personnes, un sondage peut être considéré comme un tirage avec remise dans l'urne. En effet, dans ce cas, les pourcentages des diverses catégories de personnes dans la population sont très peu modifiés par la «suppression» de certaines d'entre elles, en nombre négligeable par rapport au nombre total de personnes. II. Fluctuation d'échantillonnage 1. On utilise un intervalle de fluctuation lorsque la proportion p dans la population est connue ou si l on fait une hypothèse sur sa valeur (prise de décision à partir d un échantillon). La fréquence f observée dans un échantillon «doit» appartenir à l intervalle de fluctuation considéré. D après le théorème de Moivre-Laplace (approximation par la loi normale), environ 95 % des échantillons de taille n fournissent une fréquence f appartenant à l intervalle I n =[ p 1,96 p (1 p) n p (1 p) ; p +1,96 n ] En fonction de l appartenance ou non de f à l intervalle de fluctuation à 0,95 que l on a déterminé, on prend une décision concernant la conformité de l échantillon : si f n appartient pas à l intervalle, on rejette, au risque d erreur de 5 %, l hypothèse que l échantillon est compatible avec le modèle; dans le cas contraire, on ne peut pas rejeter l hypothèse. 2. On utilise un intervalle de confiance lorsque l on veut estimer une proportion inconnue p dans une population à partir de la fréquence f observée dans un échantillon (estimation, par exemple dans le cadre d un sondage). Si n 30 et si nf 5 et n(1 f ) 5, un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0,95 est I n =[ f 1 n ; f + 1. Parmi tous les échantillons de taille n n] possibles, 95 % des intervalles associés [ f 1 n ; f + 1 n ] contiennent p.

63 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE 3. Connaître l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % La proportion de naissances d'enfants prématurés est de 6%. Des chercheurs suggèrent que les femmes ayant eu un travail pénible pendant leur grossesse sont plus susceptibles d'avoir un enfant prématuré. On réalise une enquête auprès d'un échantillon aléatoire de 400 naissances correspondant à des femmes ayant eu pendant leur grossesse un travail pénible. Les chercheurs décident a priori que si la proportion d'enfants nés prématurément dans cet échantillon est supérieure à la borne supérieure de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95, alors leur hypothèse sera acceptée. On sait que dans l'échantillon, il y a 50 enfants prématurés. Méthode 1. Nous utilisons la formule donnant l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95. Il convient de bien analyser l'énoncé pour connaître précisément quelle est la valeur de p et celle de n. Critères : n 30 ; np 5 n (1 p) 5 Solution 1. I p 1,96 p (1 p) ; p+1,96 =[ n ici, p= 0,06 et n= 400 Les conditions sont réunies, en effet : n= , np = 400 0,06= 24 5, n (1 p)= 400 0,94=376 5 p (1 p) n ] En arrondissant par défaut la borne inférieure et par excès la borne supérieure, on obtient : I 400 =[ 0,036 ; 0,084 ] 2. On calcule la fréquence f de prématurés dans l'échantillon et on compare f à la borne supérieure de I On prend en compte la règle de décision choisie 2. f = = 0,125 La borne supérieure de l'échantillon est égale à 0,084. f est supérieure à la borne supérieure de I Les chercheurs concluent que la prop0rtion d'enfants prématurés est plus élevée chez les femmes ayant eu un travail pénible pendant leur grossesse. Mise en pratique : Une rhino-pharyngite guérit naturellement en moins de cinq jours dans 60% des cas. On veut tester un médicament censé abréger la durée de la maladie. Pour cela on administre le médicament à 1000 personnes. Pour 63 % d'entre elles la guérison a eu lieu en moins de cinq jours. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour un échantillon de taille 1000 associé à cette situation, après avoir justifié des conditions de validité. Que peut-on penser de l'efficacité de ce médicament?

64 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE 2. Estimer une proportion inconnue à partir d'un échantillon Un candidat à une élection fait effectuer un sondage. Sur 100 personnes interrogées, 63 déclarent vouloir voter pour lui. On suppose que les électeurs ne changent pas d'avis le jour du vote. On notera p le pourcentage de voix obtenues par le candidat. On suppose sur 0,5 p 0,7 1. Déterminer l'intervalle de confiance de p au niveau de confiance de 0, Enoncer le résultat ci-dessus en langage courant. On utilise la notion d'intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95. On vérifie que les conditions : n 30 np 5 n(1 p) 5 sont bien satisfaites La borne inférieure de l'intervalle joue un rôle essentiel. Si cette borne inférieure est supérieure à 0,5, alors le candidat a de fortes chances d'être élu. La fréquence f obtenue à l'aide de l'échantillon est égale à 0,63. On sait que 0,5 p 0,7 donc 50 np 70 soit np 5 D'autre part 0,5 p 0,7 donc 1 0,5 1 p 1 0,7 soit 0,5 1 p 0,3 ce qui donne 50 n(1 p) 30 soit n(1 p) 5 Les conditions sont donc satisfaites. L'intervalle de confiance au niveau de 0,95 est l'intervalle : I 100 =[ 0,63 1 n ; 0,63+ 1 n] I 100 =[0,53 ;0,73 ] Il y a donc 95 chances sur 100 pour que cet intervalle contienne p La borne inférieure de I 100 : 0,53>0,5. Le candidat a donc au moins 95 chances sur 100 de gagner l'élection. Mise en pratique Lors d'une épidémie de grippe, 13 des élèves d'une classe de BTS qui compte 34 élèves ont contracté la maladie. On suppose que cette classe constitue un échantillon représentatif de l'ensemble des 850 élèves de l'établissement. 1. Donner la fréquence d'élèves malades dans la classe. 2. Justifier que les conditions pour utiliser un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 sont réunies. 3. Donner cet intervalle de confiance. 4. Emma, élève de la classe de BTS estime qu'il est possible que plus de la moitié des élèves du lycée aient la grippe. Qu'en pensez-vous?

65 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE 3. Déterminer une taille d'échantillon suffisante pour obtenir une estimation avec une précision donnée On veut estimer la proportion p de foyers disposant en France d'un abonnement Internet. On sait que cette proportion est comprise entre 50 et 70 %. 1. Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour obtenir un résultat avec une précision de 3 % au seuil de 0,95? 2. Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour obtenir un résultat avec une précision de 1% au seuil de 0,95? Méthode : On est dans le cas où p n'est pas connu. On veut en trouver une estimation à partir d'un échantillon. En écrivant la définition de l'intervalle de confiance, on est ramené à la résolution d'une inéquation Mise en pratique Solution : 1. L'intervalle de confiance au seuil de 0,95 est l'intervalle [ 1 p n ; p+ 1 n ] si les 3 conditions sont réalisées, soit : n 30, n p 5 et n(1 p) 5 Ici, on a 0,5 p 0,7 donc 0,3 1 p 0,5 Donc, si n 30, alors n p 15 5 et n(1 p) 9 5 On veut trouver n tel que 1 n 0,03 soit 0,03 n 1 ou encore n 1 2 0,03 donc n 1 ( soit n 1111,11 0,03) Il faudra choisir un échantillon d'au moins 1112 personnes 2. De la même manière, pour avoir une précision de 1%, il faudra que 2 n ( 1 soit encore n ,01) Il faudra choisir un échantillon d'au moins personnes. On remarquera qu'en général, les instituts de sondage sondent des échantillons de l'ordre du millier de personnes donc avec une incertitude de l'ordre de 3% : les sondages politiques de l'ordre de 49%-51% sont donc sans vraiment grande valeur. Pour affiner le résultat il faudrait sonder un nombre beaucoup plus important de personnes, ce qui coûte cher et demande plus de temps alors que les sondages se succèdent très rapidement. (l'amendement déposé par le sénateur SUEUR qui demandait que les instituts de sondage indiquent leur marges d'erreur sur le sondage, a été retoqué lors de sa présentation au Sénat). La semaine précédant une élection qui oppose deux candidats A et B, on interroge 100 personnes pour connaître leur intention de vote. 45 personnes indiquent qu'elles vont voter pour le candidat A. 1. Justifier que les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 sont satisfaites. 2. Peut-on affirmer avec une probabilité de 0,95 que le candidat A ne sera pas élu? 3. En supposant que le pourcentage d'intention de vote pour le candidat A reste égal à 45 %, quel nombre minimum de personnes faut-il interroger pour pouvoir affirmer avec une probabilité supérieure à 0,95 que le candidat A ne sera pas élu?

66 Exercice n 1 : La proportion p d'un caractère dans une population est égale à 0,42. BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE EXERCICES D'APPLICATION Dans un échantillon issu de la population, on a trouvé 0,49 comme fréquence de caractère. Cet échantillon est-il «représentatif» de la population pour ce caractère, sachant que l'échantillon est : 1. de taille 100? 2. de taille 1000? 3. de taille 10000? Exercice n 2 : Un candidat à un poste de député a été élu dans sa circonscription avec 51 % des voix. Dans un village de sa circonscription, après dépouillement, sur 1253 votes, 49 % étaient en sa faveur. Ce village est-il «représentatif» de la couleur politique de la circonscription? Exercice n 3 : Pratique du sport Le maire d'une grande ville affirme que, d'après ses informations, 55 % des habitants majeurs pratiquent un sport. On interroge 100 habitants majeurs au hasard et 43 % disent pratiquer un sport. On suppose que l'affirmation du maire est vraie et que la population de la ville est suffisamment importante pour considérer que les 100 «tirages» sont effectués avec remise. 1. Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence au seuil de 0,95 adapté à cette situation. 2. Comment peut-on interpréter l'affirmation du maire?

67 Exercice n 4 : Accès à Internet BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE Un fournisseur d'accès à Internet (FAI) affirme que, sur sa hotline, seuls 20 % des clients attendent plus de 5 minutes pour obtenir un interlocuteur. Une association de consommateurs ayant reçu de nombreuses doléances de la part de ses adhérents, décide de faire une enquête et interroge au hasard 200 personnes ayant eu à s'adresser à la hotline de ce FAI. 53 d'entre elles ont dû attendre plus de cinq minutes. On se demande si ces résultats permettent de mettre en doute l'affirmation de ce FAI. 1. Quel est le pourcentage de personnes qui ont attendu plus de cinq minutes dans cet échantillon? 2. Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % adapté à cette situation. 3. Que faut-il conclure? Exercice n 5 : Au ski Une station de ski familiale n'attire que 25 % de skieurs habitant hors du département. Souhaitant élargir sa clientèle, la station fait réaliser des travaux au cours de l'été suivant : nouveau télésiège débrayable à six places, canons à neige. L'hiver suivant, 500 skieurs sont interrogés : 172 d'entre eux habitent hors du département. 1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 adapté à cette situation. 2. Peut-on affirmer que les travaux de l'été ont eu un impact sur la fréquentation des skieurs habitant hors du département? Exercice n 6 : Trafic routier Les habitants d'un village traversé par un axe routier à fort trafic réclament au Conseil Général de leur département la construction d'une déviation. Leur argument : «les camions sont plus bruyants et plus polluants que les autres véhicules. Or, chez nous, 80 % des véhicules traversant notre village sont des camions». Le Conseil Général, étonné par un tel pourcentage, fait procéder à un comptage : sur 1000 véhicules circulant sur cet axe et pris au hasard, 70 % sont des camions. On se demande si, au niveau de confiance de 0,95, le «chiffre» avancé par les habitants du village est exact. On suppose vrai le pourcentage avancé par les habitants du village. On note F la variable aléatoire donnant la fréquence des camions sur un échantillon de 1000 véhicules traversant le village. 1. Quel est alors l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % associé à F? 2. La fréquence obtenue lors du comptage appartient-elle à cet intervalle? Conclure. Exercice n 7 : Devenir Président Lors du second tour des élections présidentielles, un institut de sondage a interrogé 1000 personnes pour connaître leur intention de vote. Le candidat A a été crédité de 49 % des voix, et le candidat B de 51 % des voix. On suppose que les personnes interrogées ne vont pas changer d'avis le jour du vote. 1. Déterminer l'intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 a) du pourcentage de voix du candidat A, b) du pourcentage de voix du candidat B. 2. Sur un axe gradué, dessiner ces deux intervalles avec des couleurs différentes (bleue et rose). 3. Après avoir pris connaissance des résultats de ce sondage, le candidat B peut-il être sûr d'être élu président de la République?

68 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE

69 Exercice n 8 : Prise de décision BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE On admet que dans la population d'enfants de 11 à 14 ans d'un département français, le pourcentage d'enfants ayant déjà eu une crise d'asthme dans leur vie est de 13 %. Un médecin d'une ville de ce département est surpris du nombre important le consultant ayant des crises d'asthme et en informe les services sanitaires. Ceux-ci décident d'entreprendre une étude et d'évaluer la proportion d'enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d'asthme. Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville. La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la borne supérieure de l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher les facteurs de risque pouvant expliquer cette proportion élevée. 1. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant eu une crise d'asthme dans un échantillon de taille L'étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises d'asthme. Que pouvez-vous en conclure? 3. Le médecin n'est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de personnes interrogées était insuffisant pour mettre en évidence qu'il y avait plus de jeunes ayant eu des crises d'asthme dans sa ville que dans le reste du département. Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu'une proportion observée de 19 % soit en dehors de l'intervalle de fluctuation asymptotique?

70 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-ECHANTILLONNAGE La presse présente très régulièrement des sondages accompagnés de pourcentages et de commentaires. Mais ces sondages sont-ils fiables? Quelles notions sous-tendent-ils? Il est important de comprendre leurs limites et leurs résultats, en prolongement aux intervalles de confiance étudiés en classe de Seconde et de Première. 1. Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance, quel lien avec la fluctuation? Comment sont effectués les sondages? Si on cherche un pourcentage au sein d'un population (par exemple lors d'une élection), on constate qu'il est souvent difficile d'interroger tout le monde, on constitue alors un échantillon représentatif (cela signifie que l'on va respecter les répartitions définies dans la population, par exemple le pourcentage d'hommes et de femmes, les tranches d'âge, etc.). Puis on étend les résultats obtenus à partir de l'échantillon à toute la population. Cependant, l'expérience montre que lorsque l'on choisit un autre échantillon représentatif on obtient des résultats assez proches mais pas exactement les mêmes. Pour avoir une meilleure approximation du résultat lorsque l'on s'intéresse à la population on va donner un intervalle plutôt qu'un nombre. Par exemple, lors d'une élection, grâce à un sondage réalisé sur l'échantillon, on sait qu'un candidat obtient 45 % des intentions de vote. À partir de ce résultat on établit un intervalle de confiance afin de situer les intentions de vote de la population. Cela limite les effets de la fluctuation d'échantillonnage. 2. Que signifient «au seuil de 95% de la fréquence»? Le pourcentage de 95 % détermine la marge d'erreur. Ici le risque est de 5 %. La phrase «au seuil de 95 % en fréquence» signifie donc : «avec une marge d'erreur inférieure à 5 %». Le seuil de 5 % est le plus utilisé mais on peut très bien définir un autre seuil. 3. Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence. Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p) avec p strictement compris entre 0 et 1 et n supérieur ou égal à 30. De plus il faut que les produits de n par p et de n par (1 p) soient supérieurs à 5. On appelle intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence l'intervalle :.