Plan général du cours

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Plan général du cours"

Transcription

1 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE PROBABILITES Plan général du cours 1. Dénombrement et combinatoire (permutations, arrangements, combinaisons). 2. Les probabilités générales et conditionnelles. 3. Les variables aléatoires discrètes et continues : loi de probabilité d'une variable aléatoire, variance, écart type. 4. Modèles statistiques discrets : loi binomiale, approche d'une loi binomiale par une loi de Poisson. 5. Modèles statistiques continus : loi uniforme, loi normale N( μ, σ 2 ) ; loi normale centrée réduite N(0;1). 6. Intervalle de fluctuation, intervalle de confiance, échantillonnage. Dans tous ces chapitres, l'utilisation de la calculatrice sera privilégiée mais toutefois des tables seront fournies principalement dans les paragraphes traitant de la loi de Poisson et des lois normales. I. DENOMBREMENT-COMBINATOIRE Nous adopterons la notation (n!) qui se dit «factorielle de n» le produit : (n 1) n 5!= =120, faire ce calcul à la calculatrice. 10!= , faire ce calcul à la calculatrice. On admettra que 0!=1 (cela provient du fait, que nous verrons ultérieurement, qu'il n'y a qu'une seule façon de ranger un ensemble contenant 0 élément...) Exercice : a) Démontrer que 6! 7!=10! sans utiliser la calculatrice et vérifier ce résultat à la calculatrice

2 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE b) Simplifier l'expression (n+1)! n! c) Démontrer que pour tout nombre entier k, on a (k+1)! k!=k k! 1. Principes de bases du dénombrement On rappelle que le cardinal d'un ensemble fini E noté Card (E) représente son nombre d'éléments. Exemples E={0;1; 2 ;3; 4;5;6 ;7 ;8;9} et Card (E)=10 a) Principe de la somme Si des ensembles A 1, A 2,... A p constituent une partition de l'ensemble E c'est à dire qu'ils font tous partie de l'ensemble E (ils sont tous inclus dans E ) mais ils n'ont aucun élément commun entre eux. Alors : Card (E)=Card ( A 1 )+Card ( A 2 )+...+Card ( A p )

3 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE Exemple : Combien y a-t-il de carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci-dessous? Soit E l'ensemble de tous les carrés. Notons A 1, A 2, A 3 et A 4 l'ensemble de ces carrés qui ont pour côté respectif 1 carreau, 2 carreaux, 3 carreaux et 4 carreaux. Les sous-ensembles A 1, A 2, A 3, A 4 constituent une partition de l'ensemble E (en effet, ils font tous partie de l'ensemble E leur réunion constitue l'ensemble E et ils n'ont aucun élément en commun). Card (A 1 )=16 : il y a 16 carrés qui ont pour côté 1 carreau. Card (A 2 )=9 : il y a 9 carrés qui ont pour côté 2 carreaux. Card (A 3 )=4 : il y a 4 carrés qui ont pour côté 3 carreaux. Card (A 4 )=1 : il y a un carré qui a pour côté 4 carreaux. D'après le principe de la somme, on a : Card (E)=Card ( A 1 )+Card ( A 2 )+Card ( A 3 )+Card ( A 4 )= =30 Il y a au total 30 carrés dont les côtés sont matérialisés sur la figure ci-dessus. Conséquences : Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Il ne faut pas confondre «partie» et «partition» d'un ensemble. Les partitions n'ont aucun élément commun entre eux, des parties peuvent avoir des éléments communs entre eux. 1. Lien entre le Cardinal de l'union et le Cardinal de l'intersection A A B A B B Card ( A B)=Card ( A)+Card ( B) Card ( A B)

4 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 2. Dans le cas où A et B sont disjoints, c'est à dire qu'ils n'ont aucun élément en commun, autrement que leur intersection est vide : A B=, alors : Card ( A B)=Card ( A)+Card ( B) 3. Lien entre le cardinal d'une partie A et celui de son complémentaire noté Ā : les sous-ensembles A et Ā sont des partitions de l'ensemble (ils sont inclus dans E et n'ont aucun élément en commun) Card ( Ā)=Card (E) Card ( A) NB : nous retrouverons ces notions lors des calculs de probabilité. En effet un événement est constitué du quotient du nombre de cas favorables Card (A) par le nombre de cas possibles Card (E) et on écrira Card (A) ainsi p (A)= Card ( E) Exercice : Dans un camp de vacances hébergeant 80 personnes, 55 personnes pratiquent la natation, 33 pratiquent le tennis, et 16 ne pratiquent aucun de ces deux sports. Combien de personnes pratiquent à la fois le tennis et la natation. Conseil : un schéma peut aider à la compréhension

5 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE b) Principe du produit (ou principe multiplicatif) Si une situation comporte p étapes offrant chacune n 1, n 2. n p possibilités alors le nombre total d'issues est égal à n 1 n 2... n p. C'est la règle utilisée lorsque nous utilisons un arbre pondéré. Exemple Un code comporte deux lettres distinctes suivies d'un chiffre non nul. Combien peut-on former de codes différents? Nombre de possibilités pour la première lettre : 26 Nombre de possibilités pour la seconde lettre : 25 (les lettres sont différentes) Nombre de possibilités pour le chiffre : 9 Il y a donc =5850 codes différents possibles. Exercice 1 : Nombre de codes possibles pour un cadenas «à combinaison» comportant 4 mollettes de 10 chiffres chacune (de 0 à 9) Cas 1 : les chiffres peuvent être identiques Cas 2 : les chiffres sont tous différents Exercice 2 : Nombre d'itinéraires distincts menant de A à C A B C Cas 1 : Nombres d'itinéraires directs menant de A à C? Cas 2 : Nombre d'itinéraires «aller-retour» A-C-A n'empruntant que des chemins distincts?

6 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 2. Dénombrement des «p-listes» Définition : Soient n un nombre entier non nul et E un ensemble de n éléments (Card (E)=n) Une p-liste (ou liste de longueur p) est un p-uplet d'éléments de E Exemples : E={0;1; 2 ;3;... ;99}. Une 5-liste de E est par exemple (12 ;17; 21;56 ;97). E={a ;b; c ;... ; z}. Le 6-uplet (a ;n;a ;n;a ; s) est une 6-liste de E de même que {m ;a ;c ;h ;i ;n ;e} est une 7-liste de E Remarques : On précise quelquefois p-liste «avec répétition» pour les distinguer des arrangements qui seront évoqués au paragraphe suivant. On suppose que la 0-liste existe, c'est la liste qui ne comporte aucun élément. Soit E un ensemble de cardinal fini n : Card ( E)=n. Le cardinal de l'ensemble des p-listes de E est égal à n p Si E={0;1; 2;3;... ;99}, Card (E)=100, il y a listes possibles (les chiffres peuvent être identiques bien entendu) Si E={a ;b; c ;... ; z}, Card (E)=26, il y a listes possibles (les lettres peuvent être identiques bien entendu) Exercices d'application Exercice 1 : au loto sportif on coche l'une des trois cases 1, N ou 2 pour chacun des 13 matches sélectionnés. Dénombrer le nombre de grilles distinctes Exercice 2 : Combien y a-t-il de numéros de téléphone à 10 chiffres commençant par , de numéros de téléphones commençant par Exercice 3 : Nombre de codes possibles pour une carte bleue?

7 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 3. Dénombrement des arrangements et des permutations a) Définition : Soit E un ensemble de cardinal fini n : Card (E)=n et p un entier naturel tel que 0 p n. Un p-arrangement (ou arrangement de p éléments) de E est une p-liste de p éléments distincts de E. Une permutation de E est un arrangement des n éléments de E Un arrangement est donc une p-liste dans laquelle il n'y a pas de répétitions. Exemples : E={a ;b; c ;... ; z}. Les listes suivantes beau, matin, hiver, lun e sont des arrangements de 4 et 5 éléments de E parce que ses éléments sont distincts. Par contre arrangement n'est pas un arrangement de 11 éléments de E car ses éléments ne sont pas distincts E={s; u; c; r ;e}. Les anagrammes du mot sucr e (que les mots aient un sens ou non) sont des permutations de E. b) Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier naturel tel que 0 p n le nombre d'arrangements de p éléments de E est A n p =n (n 1)...(n p 1)= n! (n p)! le nombre de permutations de E est A n n =n! par convention, le nombre d'arrangements de 0 élément de E est A n 0 =1 Exercices d'application : Exercice 1 : le tiercé : Une course de chevaux comporte 20 partants. Combien peut-il y avoir de tiercés dans l'ordre? Exercice 2 : De combien de façons peut-on répartir 7 personnes sur 7 chaises? Exercice 3 : Un porte-manteau comporte 5 patères. De combien de façons peut-on y accrocher 3 manteaux différents, chaque patère portant au maximum un manteau.

8 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE Exercice 4 : Nombre de mots (ayant un sens ou non) de 5 lettres distinctes de notre alphabet Exercice 5 : Une urne contient 10 boules numérotées 0,1,2,...,9. On en tire successivement 3 sans remise. Combien obtient-on de tirages différents.? Exercice 6 : Un bureau est fermé par une serrure à code qui comporte 6 symboles. Combien de codes peuton concevoir lorsque celui-ci : comporte 6 chiffres tous différents? Comporte 6 chiffres, éventuellement identiques? Comporte 4 chiffres suivies de 2 lettres, éventuellement identiques? Commence par une voyelle, puis comporte 4 consonnes, puis finit par une voyelle, et que toutes les lettres sont différentes?

9 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 4. Dénombrement des combinaisons (fin du cours «Dénombrement et Combinatoire») A) Définition Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier naturel tel que 0 p n. Une p-combinaison (ou combinaison de p-éléments) de E est une partie de E ayant p éléments. Exemple : E = {a ; b ; c } et p =2. Les combinaisons de deux éléments de E sont les parties : {a ; b }, { a ; c }, {b ; c }. Il est essentiel de noter que : dans une partie, les éléments sont deux à deux distincts, deux parties qui contiennent les mêmes éléments sont distincts. Ainsi {a ; b } = {b ; a } L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'a pas d'importance. Dans un p-arrangement, on obtiendrait les parties suivantes : {a ; b }, { a ; c }, {b ; a }, { b ; c }, {c ; a }, { c ; b} soit A 2 3 = 3! (3 2)! = 3! 1! = 6 1 puisque dans ce type d'arrangement, l'ordre compte Dans une p-combinaison on obtient les parties suivantes {a ; b }, { a ; c }, { b ; c } éléments ne compte pas, soit C 2 3! 3 = 2! (3 2)! = 3! 2! 1! = = 6 2 = 3 B) Théorème Soit E un ensemble fini de cardinal n et p un entier naturel tel que 0 p n Le nombre de combinaisons de p éléments de E est : C p n = A p n p! = n! p!(n p)! = 6 issues différentes puisque l'ordre des La notation C n p est abandonnée au profit de la notation ( n p) qui se lit «p parmi n», cette notation subsiste dans les calculatrices sous la formulation ncr sous CASIO. C) Interprétation ( n p) représente le nombre de façons de choisir p éléments parmi n (l'ordre n'importe pas) Applications : 1. Le LOTO (ancienne formule ):on choisit au hasard 6 numéros parmi 49. Combien de tirages possibles? 2. Le LOTO : (nouvelle formule) : on tire au hasard 5 numéros parmi 49 ET on choisit un numéro chance qui est compris entre 0 et 10 : combien de tirages possibles? A-t-on plus de chances de gagner le gros lot avec la nouvelle formule qu 'avec l'ancienne?

10 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE 3. L'EUROMILLION : il faut choisir 5 numéros parmi 50 (numérotés de 1 à 50) ET 2 numéros «étoiles» parmi 11 numéros (numérotés de 1 à 11). Combien de grilles possibles? 4. Dans un jeu de 32 cartes, on choisit 5 cartes au hasard (ces 5 cartes représentent une «main») a) Nombre total de mains? b) Nombre de mains contenant exactement 3 as? c) Nombre de mains contenant au moins 3as?

11 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE D) EXERCICE DE SYNTHESE Le jeu au poker fermé On joue au poker avec un jeu de 52 cartes sans joker. Pour simplifier le raisonnement, on donne les cinq cartes au joueur dès la première donne. 1. Combien y a-t-il de «mains» de 5 cartes possibles? (nombre d'issues ou éventualités possibles) 2. Combien y a-t-il de possibilités de recevoir (nombre d'issues favorables) : a) Une quinte royale ( 10, V, D, R, A soit 5 cartes majeures dans la même couleur )? b) Une quinte flush ( exemple : 7, 8, 9, 10, V : 5 cartes consécutives de la même couleur, mais pas une quinte royale )? c) Un carré ( par exemple : R, R, R, R, 4 )? d) Un full (brelan+ paire, par exemple : 8, 8, 8, V, V )? e) un flush (par exemple : 3, 7, 8, V, R, 5 cartes de la même couleur mais ni quinte royale ni quinte flush)? f) Une quinte (par exemple : 2, 3, 4, 5, 6, 5 cartes consécutives mais ni quinte flush ni quinte royale)? g) Un brelan (par exemple : A, A, A, 7, 9 )? h) Deux paires ou une double paire ( par exemple : 4, 4, V, V, 10 )? i) Une paire (par exemple : D, D, 3, 6, R )? 3. Avez-vous une idée des probabilités de chacune des issues favorables?

12 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES-DENOMBREMENT,COMBINATOIRE

13 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES I. PROBABILITES GENERALES Cadre-type : Un jeu consiste à lancer deux dés cubiques non pipés, l'un de couleur bleue et l'autre de couleur verte dont les faces respectives sont numérotées de 1 à 6, et à noter les numéros obtenus par le dé bleu et le dé vert. On note b le nombre marqué sur la face supérieure du dé bleu et v le nombre marqué sur la face supérieure du dé vert. On obtient ainsi à chaque lancer simultané des deux dés un couple (b, v). Exemple dé bleu : 3 et dé vert : 5 donne le couple (3;5) 1. Dénombrement de tous les cas possibles : l'univers des possibles ou Univers certain La meilleure façon de dénombrer tous les cas, sans en omettre un seul, est sans doute de les répertorier dans un tableau comme ci-dessous. Compléter ce tableau. bleu vert (1;1) (1;2) 2 (2;5) 3 (3;6) 4 (4;3) 5 (5;1) 6 (6;4) Nombre d'issues différentes possibles : obtenir un numéro sur le dé bleu ET obtenir un numéro sur le dé vert. Nombre total d'issues possibles :... L'univers certain est noté conventionnellement et il est formé des... couples de résultats possibles. Il y a...éléments différents dans l'univers. On note Card( )=..., et on parle de Cardinal pour donner le nombre d'éléments d'un ensemble. 2. Un cas particulier : l'évènement On veut connaître la probabilité (la chance) d'obtenir un double six à ce jeu. Il s'agit donc de dénombrer combien il existe dans notre Univers de couples (6;6). Il n'en existe qu 'un seul et on s'intéresse donc à un événement particulier noté A. Nommer l'évènement A : A : «obtenir deux numéros 6» ou «obtenir un double six». Décrire l'événement A : A ={(6 ; 6)} On dit que Card ( A)=1 : A ne contient qu'un seul élément. C'est un événement élémentaire. Un événement est donc un ensemble constitué de 0, 1 ou plusieurs éléments différents. card ( A) La probabilité d'obtenir l'évènement A est alors donné par le rapport p ( A)= card (Ω) = 1 36 Il y a donc 1 chance sur 36 d'obtenir le couple (6;6) à ce jeu. nombre de cas favorables (nombre d ' issues favorables) Règle générale p ( A)= nombre de cas posssibles ( nombre d ' issues possibles) a) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement B : «obtenir deux numéros identiques»? Décrire l'évènement B : B ={(1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6)} Card ( B) =... Probabilité de l'évènement B : p ( B) =... b) Quelle est la probabilité de réaliser l'évènement C : «obtenir un total de 8» Décrire l'évènement C : C =... Probabilité de l'évènement C : p (C) = /8

14 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. Réunion et intersection de deux évènements. On considère l'évènement noté B C Nommer cet événement : B C (lire B union C ) : «obtenir deux numéros identiques» OU «obtenir deux numéros dont la somme est égale à 8». Attention, dans le cadre des probabilités, le OU est à prendre dans son sens inclusif et non exclusif. Le «OU» impliquera nécessairement le PRINCIPE ADDITIF B ={(1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5),(6 ; 6)} C = {(2 ; 6), (3 ; 5), (4 ; 4) ; (5 ; 3) ; (6 ; 2)} L'évènement B C correspond aux éléments communs et non communs des deux évènements B et C Il faut prendre garde au doublon (4;4) qui est dans la description des deux évènements. Il ne faut donc le reprendre qu'une seule fois dans la réunion des deux évènements. B C ={(1 ; 1), (2 ; 2), (3 ; 3), (4 ; 4), (5 ; 5), (6 ; 6), (2 ; 6), (3 ; 5), (5 ; 3), (6 ; 2)} Card ( B C )=10 et p ( B C )= Remarque : p ( B)+ p (C )= = et p ( B C )= L'évènement élémentaire {(4;4)} est inclus dans l'évènement B et dans l'évènement C. On dit que (4 ; 4) = B C, c'est l'intersection des deux évènements B et C. p ( B C )= 1 36 p ( B C )= p (B)+ p (C) p (B C ) B C est l'évènement : «obtenir deux numéros identiques ET deux numéros dont la somme vaut 8». La description de cet événement est (4 ; 4) = B C ={(4 ; 4)} p ( B C )= = p ( A B)= p ( A)+ p (B) p ( A B) Remarque : on dit que deux évènements A et B sont incompatibles si A B = Si deux évènements A et B sont incompatibles, on a alors par application de la formule : p ( A B)= p ( A)+ p ( B) la somme des probabilités sur un même univers est égale à 1 p (Ω)= 1 p ( )=0 Pour tout événement A, il existe l'évènement contraire Ā qui se lit «A barre» tel que p ( Ā)=1 p ( A) 2/8

15 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES II. PROBABILITES CONDITIONNELLES Cadre-type : Sondage sur Internet Voici les résultats d'un sondage effectué auprès de 1000 personnes à propos d'internet. 40% des personnes interrogées déclarent être intéressées par Internet 35% des personnes interrogées ont moins de 25 ans et parmi celles-ci 80% déclarent être intéressées pas internet 30% des personnes interrogées ont plus de 50 ans et parmi celles-ci 85% ne sont pas intéressées par internet 1. Compléter le tableau suivant Personnes Moins de 25 ans De 25 à 50 ans Plus de 50 ans Intéressés par internet Non intéressés par internet Total Total On choisit au hasard une personne parmi les 1000 interrogées. On considère les évènements suivants : A : «la personne interrogée a moins de 25 ans» B : «la personne interrogée a plus de 50 ans» I : «la personne interrogée est intéressée par Internet» a) calculer les probabilités p A, p B, p I p ( A) = p ( B) = p ( I ) = b) définir par une phrase l'évènement B et calculer p B B : «p ( B) = ou p ( B) = p A I = c) calculer p A I et p A I p A I = 3/8

16 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES 3. On sait maintenant que la personne interrogée n'est pas intéressée par Internet. Quelle est la probabilité pour qu'elle ait plus de 50 ans? Qu'elle ait 50 ans ou moins de 50 ans? 4. On sait maintenant que la personne interrogée n'a pas plus de 50 ans. Quelle est la probabilité pour qu'elle soit intéressée par Internet? 4/8

17 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 1 : Enquête sur le cinéma Une enquête faite auprès d'une population comprenant 51% de femmes et 49% d'hommes montre que 20% des femmes et 15% des hommes de cette population ne vont jamais au cinéma. On choisit un individu au hasard dans cette population, tous les choix étant équiprobables. On note F l'évènement «l'individu choisi est une femme» C l'évènement «l'individu choisi va au cinéma» 1. Construire un arbre pondéré (arbre de probabilité) décrivant cette enquête. 2. Donner p F, p F C, p F C, p F C, p F C 3. Calculer p F C, p F C 4. En écrivant C= F C F C, calculer p C. En déduire p C. 5/8

18 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice n 2 : Jeu de cartes On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On considère les évènements suivants : A : «la carte tirée est un cœur» B : «la carte tirée est un roi» 1. Calculer p A, p B, p A B, p B A 2. Comparer p A B à p B puis p B A à p A 3. Comparer p A B à p A p B Exercice n 3 : dénombrement et probabilités Dans une urne, il y a 7 boules blanches et 10 boules rouges indiscernables au toucher. On en prend 4 simultanément. On considère les évènements suivants : A : «obtenir 4 boules blanches» B : «obtenir 2 boules blanches et 2 boules rouges» Calculer p A, p B. 6/8

19 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n 1 Les individus d'une population peuvent être atteints de deux maladies M 1 et M 2. On prélève au hasard un individu dans la population. On note A l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 1.», et B l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 2.» On admet que p ( A)= 0,3, p ( B)= 0,05, et que la probabilité qu'un individu pris au hasard dans la population soit atteint de la maladie M 2, sachant qu'il est atteint de la maladie M 1 est 0, Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M 1 et de la maladie M 2.» 2. Calculer la probabilité de l'évènement : «l'individu est atteint de la maladie M 1 sachant qu'il est atteint de la maladie M 2.» 3. Calculer la probabilité de l'évènement:«l'individu est atteint de la maladie M 1 ou de la maladie M 2.» 7/8

20 BTS GPN 1ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-PROBABILITES GENERALES ET CONDITIONNELLES Exercice d'apprentissage n 2 Une grande entreprise recrute chaque année des étudiants au niveau Bac + 2. Elle effectue une sélection à l'aide d'un test écrit sous forme de QCM ; les candidats retenus doivent ensuite passer un entretien. Les candidats choisissent, selon leurs compétences, un test parmi deux. On admet que 40 % des candidats choisissent le premier test, à l'issue duquel 10 % sont sélectionnés et que le reste des candidats choisit le second test, à l'issue duquel 30 % sont sélectionnés. On prélève une fiche au hasard dans le fichier des candidats. Toutes les fiches ont la même probabilité d'être prélevées. On définit les évènements suivants : T 1 : «le candidat choisit le premier test» T 2 : «le candidat choisit le second test» S : «le candidat est sélectionné» 1. A l'aide des informations contenues dans l'énoncé, déterminer les probabilités : p (T 1 ), p (T 2 ), p T 1 (S ), p T 2 (S). 2. Calculer p (S T 1 ) et p (S T 2 ). 3. On admet que S =(S T 1 ) (S T 2 ) et que les évènements (S T 1 ) et (S T 2 ) sont incompatibles;calculer p (S). En déduire p ( S) 4. Calculer la probabilité qu'un candidat ait choisi le premier test sachant qu'il est sélectionné. Arrondir le résultat à 10 2 près. 8/8

21 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE VARIABLE ALEATOIRE, LOI DE PROBABILITE D'UNE VARIABLE ALEATOIRE I. VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE Activité : Exemple 1 Un patineur artistique participe à une compétition durant laquelle il doit effectuer deux sauts. Il réussit le premier de ces deux sauts dans 95 % des cas. Comme il est émotif, s'il échoue à ce premier saut, il rate le deuxième trois fois sur dix. Sinon, si tout va bien au premier saut, il réussit le second saut dans 90 % des cas. 1. On note l'événement R «le patineur réussit son saut» et l'événement R «le patineur ne réussit pas son saut» Compléter l'arbre de probabilité correspondant à une compétition : on pourra appeler R1 le premier saut et R2 le second saut. Le règlement est tel que manquer le premier saut donne 0,1 point de pénalité ; manquer le second saut donne une pénalité de 0,2 point. Le règlement prévoit également que les pénalités se cumulent. On désigne par X le nombre de pénalités obtenues lors de la compétition. 2. Quelles sont les valeurs que peut prendre X? Compléter le tableau ci-dessous. Réussite des sauts Premier et deuxième sauts réussis Premier réussi et deuxième raté Premier raté et deuxième réussi Premier et deuxième sauts ratés Valeurs prises par X

22 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE 3. On dit ainsi que X est une variable aléatoire discrète : cette variable est issue d'une expérience aléatoire (un saut) et elle ne peut prendre qu'un nombre limité de valeurs (similitude avec les séries à caractère quantitatif discret en statistiques) Pour chacune des valeurs prises par cette variable aléatoire X, on peut calculer une probabilité : par exemple, on peut calculer la probabilité que X prenne la valeur 0 (c'est la même probabilité que celle de réussir les deux sauts, puisque en effet dans ce cas, il ne prend pas de pénalité). Compléter le tableau suivant : Réussite des sauts Valeurs de X Probabilités associées Premier et deuxième sauts réussis Premier réussi et deuxième raté Premier raté et deuxième réussi Premier et deuxième sauts ratés Remarque : Quelle est la somme des probabilités associées? :... Il n'y a pas d'autres valeurs possibles pour X. L'univers est restreint aux valeurs de X précédentes et la somme des probabilités sur un univers certain est égale à... On adoptera la présentation suivante appelée loi de probabilité de la variable aléatoire X a) sous forme d'un tableau X= k p (X = k ) b) Sous forme d'un diagramme à bâtons p r o b a b i l i t é 0, 9 0, 8 0, 7 0, 6 0, 5 0, 4 0, 3 0, 2 0, 1 0-0, 1 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 X

23 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Exemple 2 : On prélève simultanément et au hasard 4 cartes dans un jeu de 32 cartes. On note X la variable aléatoire associée au nombre de dames dans cette main de 4 cartes. 1. On peut définir la loi de probabilité de cette variable aléatoire X : a) Quelles sont les valeurs prises par X? :... b) Déterminer la loi de probabilité de cette variable aléatoire X : 1. Loi de probabilité de X X= k p (X = k ) 2. Univers certain : : «ensemble des mains de 4 cartes dans un jeu de 32 cartes» Card( ) = nombre de mains de 4 cartes :... Avoir 4 cartes parmi 32 cartes 3. Nombre de mains de 4 cartes ne contenant aucune dame :... Avoir 0 dame parmi 4 dames et 4 cartes parmi les 28 autres cartes restantes On en déduit p(x=0) = 4. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 1 dame :... Avoir 1 dame parmi 4 dames et 3 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=1) = 5. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 2 dames :... Avoir 2 dames parmi les 4 dames et 2 autres cartes parmi les 28 restantes On en déduit p(x=2) = 6. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 3 dames :... Avoir 3 dames parmi les 4 dames et 1 autre carte parmi les 28 restantes On en déduit p(x=3) = 7. Nombre de mains de 4 cartes contenant exactement 4 dames :... Avoir 4 dames parmi les 4 dames et 0 carte parmi les 28 cartes restantes On en déduit p(x=4) = 2. Espérance d'une variable aléatoire (espoir mathématique,..., oui cela existe réellement!!) Une loi de probabilité s'apparente à une série statistique à caractère quantitatif discret. On peut donc calculer la valeur moyenne de cette série statistique : dans le cas des variables aléatoires, cela s'appelle l'espérance mathématique. L'espérance mathématique est la valeur moyenne que prendrait la variable X si on répétait un grand nombre de fois (loi des grands nombres) la même opération (dans le cas étudié ci-dessus, il s'agirait de prélever un grand nombre de fois une main de 4 cartes). i= n Par définition E(X)= i=1 p (X = x i ) x i

24 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE Dans le cas étudié, calculer la valeur de E(X) E(X) = = Donner une interprétation de l'espérance E(X) de la variable aléatoire X : Exercice d'application Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis à deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu'il ne présente pas de défaut de finition, d'autre part sa solidité est testée. Il s'avère, à la suite d'un grand nombre de vérifications, que : 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; Parmi ces jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : F l'événement : «le jouet est sans défaut de finition». S l'événement : «le jouet réussit le test de solidité». 1. Construction d'un arbre pondéré associé à cette situation. a) Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités. b) Démontrer que p F ( S)= 1 4 c) Construire l'arbre pondéré correspondant à cette situation. 2. Calculs de probabilités a) démontrer que p(s)=0,934 b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu'il soit sans défaut de finition (ce résultat sera arrondi au millième). 3. Etude d'une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. b) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire B. c) Interpréter ce résultat.

25 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-VARIABLE ALEATOIRE-LOI DE PROBABILITE

26 BTS GPN 1ERE ANNEEE-PROBABILITES-LOI BINOMIALE VARIABLE ALEATOIRE, LOI BINOMIALE II. LOI BINOMIALE Jacques BERNOULLI (1654 ; 1705) fut un mathématicien suisse. Il posa les principes du calcul des probabilités dans son œuvre Ars Conjectandi (l'art de la conjecture) Activité : Exemple 1 A l'entraînement, un basketteur effectue des tentatives pour marquer un panier. Pour chaque tentative, il dispose de deux essais. On considère que la tentative est réussie si le premier essai est réussi ou si le second essai est réussi. Après plusieurs jours d'entraînement, l'entraîneur constate les faits suivants : la probabilité de réussir le premier essai est égale à 0,5. la probabilité de réussir le second essai sachant que le premier essai est raté est égale à 0,4. On note S l'événement : «la tentative est réussie». Le basketteur va effectuer quatre tentatives durant cet entraînement. On note X le nombre de réussites obtenues lors de ces tentatives. 1. Décrire une tentative par un arbre de probabilité R R 2 R R 2 R1 représente l'événement : «le premier essai est réussi». R2 représente l'événement : «le second essai est réussi».

DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES

DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES BTS GPN ERE ANNEE-MATHEMATIQUES-DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-EXERCICE DE SYNTHESE EXERCICE RECAPITULATIF (DE SYNTHESE) CORRIGE Le jeu au poker fermé DENOMBREMENT-COMBINATOIRE-PROBABILITES GENERALES On joue

Plus en détail

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie...

Probabilité. Table des matières. 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables... 2 1.2 Définitions... 2 1.3 Loi équirépartie... 1 Probabilité Table des matières 1 Loi de probabilité 2 1.1 Conditions préalables........................... 2 1.2 Définitions................................. 2 1.3 Loi équirépartie..............................

Plus en détail

2010 My Maths Space Page 1/6

2010 My Maths Space Page 1/6 A. Des statistiques aux probabilités 1. Statistiques descriptives, analyse de données. Vocabulaire des statistiques : Population : c'est l'ensemble étudié. Individu : c'est un élément de la population.

Plus en détail

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli.

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Probabilités Épreuve de Bernoulli, loi de Bernoulli. 1 ère - 3 Chap.9 : Loi binomiale. Échantillonnage. 1 ère - Chapitre 9 : LOI BINOMIALE. ÉCHANTILLONNAGE. Textes officiels (30 septembre 2010) : CONTENU CAPACITÉ ATTENDUE COMMENTAIRE Probabilités Épreuve

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Loi binomiale

Probabilités conditionnelles Loi binomiale Exercices 23 juillet 2014 Probabilités conditionnelles Loi binomiale Équiprobabilité et variable aléatoire Exercice 1 Une urne contient 5 boules indiscernables, 3 rouges et 2 vertes. On tire au hasard

Plus en détail

Ch.12 : Loi binomiale

Ch.12 : Loi binomiale 4 e - programme 2007 - mathématiques ch.12 - cours Page 1 sur 5 1 RÉPÉTITION D'EXPÉRIENCES INDÉPENDANTES Lancer plusieurs fois un dé et noter les résultats successifs. Ch.12 : Loi binomiale Prélever des

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Exercices de dénombrement

Exercices de dénombrement Exercices de dénombrement Exercice En turbo Pascal, un entier relatif (type integer) est codé sur 6 bits. Cela signifie que l'on réserve 6 cases mémoires contenant des "0" ou des "" pour écrire un entier.

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Exercices : Probabilités

Exercices : Probabilités Exercices : Probabilités Partie : Probabilités Exercice Dans un univers, on donne deux événements et incompatibles tels que =0, et =0,7. Calculer,, et. Exercice Un dé (à faces) est truqué de la façon suivante

Plus en détail

PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES

PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES Université de Caen Basse-Normandie U.F.R. de Sciences Economiques et de Gestion Année universitaire 2009-2010 LICENCE ECONOMIE ET GESTION Semestre 3 L2 PROBABILITES TRAVAUX DIRIGES (18 heures) Hélène Ferrer

Plus en détail

Chapitre 5 Les Probablilités

Chapitre 5 Les Probablilités A) Introduction et Définitions 1) Introduction Chapitre 5 Les Probablilités De nombreuses actions provoquent des résultats qui sont dus en partie ou en totalité au hasard. Il est pourtant nécessaire de

Plus en détail

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12

TS. 2012/2013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 20/11/12 TS. 01/013. Lycée Prévert. Corrigé du contrôle n 3. Durée : 3 heures. Mardi 0/11/1 Exercice 1 : ( 6,5 pts) Première partie : Démonstration à rédiger { Démontrer que si ( ) et (v n ) sont deux suites telles

Plus en détail

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES

Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Chapitre Ce que dit le programme : Probabilités CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Objectifs visés par l enseignement des statistiques et probabilités à l occasion de résolutions de problèmes dans

Plus en détail

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles

Terminale S-SI Probabilités conditionnelles robabilités conditionnelles Table des matières 1 Introduction 2 2 Définitions 2 3 Formule des probabilités totales 3 4 Indépendance et principe du produit 5 5 Exercices 5 1 1 Introduction Lorsque 7 élèves

Plus en détail

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc

Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc Terminale ES Un corrigé de l épreuve de mathématiques du baccalauréat blanc EXERCICE ( points). Commun à tous les candidats On considère une fonction f : définie, continue et doublement dérivable sur l

Plus en détail

PROBABILITÉS. I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire... 2 I.2 Intersection et réunion d événements... 2 I.3 Représentation des évenements...

PROBABILITÉS. I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire... 2 I.2 Intersection et réunion d événements... 2 I.3 Représentation des évenements... PROBABILITÉS Table des matières I Vocabulaire des événements 2 I.1 Vocabulaire.............................................. 2 I.2 Intersection et réunion d événements................................ 2

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS ONDITIONNELLES Exercice 01 On considère une roue partagée en 15 secteurs angulaires numérotés de 1 à 15. es secteurs sont de différentes couleurs. On fait tourner la roue qui s'arrête sur

Plus en détail

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher.

Probabilités. Une urne contient 3 billes vertes et 5 billes rouges toutes indiscernables au toucher. Lycée Jean Bart PCSI Année 2013-2014 17 février 2014 Probabilités Probabilités basiques Exercice 1. Vous savez bien qu un octet est une suite de huit chiffres pris dans l ensemble {0; 1}. Par exemple 01001110

Plus en détail

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques

Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques Nouveaux programmes de terminale Probabilités et statistiques I. Un guide pour l'année II. La loi uniforme : une introduction III. La loi exponentielle IV. De la loi binomiale à la loi normale V. Échantillonnage

Plus en détail

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année

Lycée Cassini BTS CGO 2014-2015. Test de début d année Lycée assini BTS GO 4-5 Exercice Test de début d année Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Déterminer celles qui sont correctes. On a mesuré, en continu pendant quatre heures, la concentration

Plus en détail

Terminale S - ACP Ex1 : Partie A - Restitution organisée des connaissances Partie B : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. Ex2 :

Terminale S - ACP Ex1 : Partie A - Restitution organisée des connaissances Partie B : 1. a. 1. b. 1. c. 2. a. 2. b. Ex2 : Terminale S - ACP Ex1 : Antilles Septembre 2006 Partie A - Restitution organisée des connaissances On suppose connu le résultat suivant : Si est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de

Plus en détail

Exercices sur le chapitre «Probabilités»

Exercices sur le chapitre «Probabilités» Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de

Plus en détail

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS

«L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS «L art de la réussite consiste à s entourer des meilleurs» STAGE INTENSIF OBJECTIF BAC PROBABILITES & SES LOIS PONDICHERY 2015 Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique

Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Support du cours de Probabilités IUT d Orléans, Département d informatique Pierre Andreoletti IUT d Orléans Laboratoire MAPMO (Bât. de Mathématiques UFR Sciences) - Bureau 126 email: pierre.andreoletti@univ-orleans.fr

Plus en détail

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si

2. Formalisation ... Or les variables sont indépendantes. Donc si L'estimation 1. Concrètement... Dernièrement un quotidien affichait en première page : en 30 ans les françaises ont grandi de... je ne sais plus exactement, disons 7,1 cm. C'est peut-être un peu moins

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats Les trois parties A, B et C sont indépendantes Une fabrique de desserts glacés

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS

EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS EXERCICES SUR LES PROBABILITÉS Exercice 1 Dans un univers Ω, on donne deux événements A et B incompatibles tels que p(a) = 0,2 et p(b) = 0,7. Calculer p(a B), p(a B), p ( A ) et p ( B ). Exercice 2 Un

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi 1 mars 2014 MATHEMATIQUES durée de l épreuve : 3h coefficient 2 Le sujet est numéroté de 1 à 5. L annexe 1 est à rendre avec la copie. L exercice Vrai-Faux est

Plus en détail

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités

Distribution Uniforme Probabilité de Laplace Dénombrements Les Paris. Chapitre 2 Le calcul des probabilités Chapitre 2 Le calcul des probabilités Equiprobabilité et Distribution Uniforme Deux événements A et B sont dits équiprobables si P(A) = P(B) Si il y a équiprobabilité sur Ω, cad si tous les événements

Plus en détail

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés

Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Feuille d exercices 2 : Espaces probabilisés Cours de Licence 2 Année 07/08 1 Espaces de probabilité Exercice 1.1 (Une inégalité). Montrer que P (A B) min(p (A), P (B)) Exercice 1.2 (Alphabet). On a un

Plus en détail

Cours de mathématiques Terminale STMG

Cours de mathématiques Terminale STMG Cours de mathématiques Terminale STMG Chapitre 1 Information chiffrée...3 I Proportions...3 II Taux d'évolution...3 a) Détermination d'un taux d'évolution...3 b) Appliquer un taux d'évolution...4 III Taux

Plus en détail

Probabilités continues et lois à densité Ce que dit le programme :

Probabilités continues et lois à densité Ce que dit le programme : Chapitre 08 Probabilités continues et lois à densité Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Terminale ES Notion de loi à densité à partir d exemples Loi à densité sur un intervalle.

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Liban EXERCICE 1 : 4 Points Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n est demandée. Pour chacune des questions, une

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé

Baccalauréat ES Centres étrangers 12 juin 2014 - Corrigé Baccalauréat ES Centres étrangers 1 juin 14 - Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points Commun à tous les candidats 1. On prend un candidat au hasard et on note : l évènement «le candidat a un dossier

Plus en détail

Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie. Formulaire

Le sujet est composé de 6 pages dont une annexe à rendre avec la copie. Formulaire Année universitaire 2013-2014 Diplôme de D.A.E.U Option A 1 ère session Juin 2014 Intitulé de la matière : Nom de l enseignant : Mathématiques Mme Baulon Date de l épreuve : Mercredi 11 juin 2014 13.30-16.30

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHEMATIQUES Série S

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL. MATHEMATIQUES Série S BACCALAURÉAT GÉNÉRAL Session 2015 MATHEMATIQUES Série S ÉPREUVE DU LUNDI 22 JUIN 2015 Enseignement Obligatoire Coefficient : 7 Durée de l épreuve : 4 heures Ce sujet comporte 7 pages numérotées de 1 à

Plus en détail

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires

Chapitre I. Probabilités. Bcpst 1 2 novembre 2015. I Exemples d expériences aléatoires Chapitre I Probabilités Bcpst 1 2 novembre 2015 I Exemples d expériences aléatoires Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat avant de l avoir réalisée... ce qui

Plus en détail

Correction des exemples. Mathieu EMILY

Correction des exemples. Mathieu EMILY Correction des exemples Mathieu EMILY Novembre 2005 Table des Matières Exemple_Exercice 1 Page 2 Exemple_Exercice 2 Page 3 Exemple_Exercice 3 Page 5 Exemple_Exercice 4 Page 6 Exemple_Exercice 5 Page 7

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points,, et. 1. Démontrer que les points,

Plus en détail

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :

t 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre : Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant

Plus en détail

TD: Ensembles, applications, dénombrement

TD: Ensembles, applications, dénombrement Université de Provence Année 011/1 Licence Math Info ème année S3 Fondements de l Informatique 1 Ensembles et fonctions TD: Ensembles, applications, dénombrement 1. On suppose que l ensemble de tous les

Plus en détail

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés

Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Probabilités Loi binomiale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : épreuve de Bernoulli Exercice 2 : loi de Bernoulli de paramètre

Plus en détail

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités

Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités Fluctuation d une fréquence selon les échantillons - Probabilités C H A P I T R E 3 JE DOIS SAVOIR Calculer une fréquence JE VAIS ÊTRE C APABLE DE Expérimenter la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2

Probabilités. I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 Définitions... 2 I.2 Propriétés... 2 Probabilités Table des matières I Petits rappels sur le vocabulaire des ensembles 2 I.1 s................................................... 2 I.2 Propriétés...................................................

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT

Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Cours de Probabilités et statistiques L1 2011-2012 Maths-PC-SVT Université d Avignon Fichier dispo sur http://fredericnaud.perso.sfr.fr/ Une étude statistique dans la population montre que le Q.I. est

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 18 juin 2013

Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 Dans l ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation

Plus en détail

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e

Plus en détail

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES

BACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la

Plus en détail

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i

Exercice 1 QCM. 4 i. e π ou. e π, ou : 4 ( i) 1 /4. e π. e π Réponse d. 1. Le carré de z est : ce qui donne : soit : , soit 4i TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page /5 Terminale STI2D - Bac 203 - Polynésie - Corrigé. TSTI2D - Bac 203 - Polynésie STI2D -.0 - Corrigé.doc - Page 2/5 Exercice QCM. Le carré de

Plus en détail

Exemples d exercices de nature pédagogique pouvant être proposés lors de l épreuve d admissibilité de mathématiques au CAPLP externe Maths-Sciences.

Exemples d exercices de nature pédagogique pouvant être proposés lors de l épreuve d admissibilité de mathématiques au CAPLP externe Maths-Sciences. Exemples d exercices de nature pédagogique pouvant être proposés lors de l épreuve d admissibilité de mathématiques au CAPLP externe Maths-Sciences. Exemple 1 Voici une situation pouvant être utilisée

Plus en détail

Séminaire de Statistique

Séminaire de Statistique Master 1 - Economie & Management Séminaire de Statistique Support (2) Variables aléatoires & Lois de probabilité R. Abdesselam - 2013/2014 Faculté de Sciences Economiques et de Gestion Université Lumière

Plus en détail

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau

GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision. Lionel Darondeau GEA II Introduction aux probabilités Poly. de révision Lionel Darondeau Table des matières Énoncés 4 Corrigés 10 TD 1. Analyse combinatoire 11 TD 2. Probabilités élémentaires 16 TD 3. Probabilités conditionnelles

Plus en détail

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes

Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes Examen 2 Épreuve de mathématiques Terminale ES 200 minutes L usage de la calculatrice programmable est autorisé. La bonne présentation de la copie est de rigueur. Cet examen comporte 7 pages et 5 exercices.

Plus en détail

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013

Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée

Plus en détail

Feuille d exercices 1

Feuille d exercices 1 Université Paris 7 - Denis Diderot L2 - Probabilités PS4 Année 2014-2015 Feuille d exercices 1 Exercice 1 Combien y a-t-il de paires d entiers non consécutifs compris entre 1 et n (n 1)? Exercice 2 1.

Plus en détail

Exercices supplémentaires : Loi binomiale

Exercices supplémentaires : Loi binomiale Exercices supplémentaires : Loi binomiale Partie A : Loi binomiale Dans une région pétrolifère, la probabilité qu un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1. 1) Justifier que la réalisation d un

Plus en détail

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge

Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Mathématique - Cours Filière STAV 2014-2015 Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : Rappels collège/seconde Partie STAV 1/3 Partie STAV 2/3 Partie STAV

Plus en détail

SESSION 2006. NOM, Prénom : PROBABILITES 2006 T ES. France septembre 2005 (5 points)

SESSION 2006. NOM, Prénom : PROBABILITES 2006 T ES. France septembre 2005 (5 points) SESSION 2006 France septembre 2005 (5 points) Parmi les stands de jeux d une fête de village, les organisateurs ont installé une machine qui lance automatiquement une bille d acier lorsque le joueur actionne

Plus en détail

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011

Baccalauréat S Métropole 21 juin 2011 Baccalauréat S Métropole 1 juin 011 EXERCICE 1 Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 4 points Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10 4. Dans un pays,

Plus en détail

Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Probabilités Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité)

BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. Terminales ES (Spécialité) BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES Terminales ES (Spécialité) Vendredi 7 février 0 8h - h coefficient : 7 Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé de exercices indépendants. Le candidat

Plus en détail

3 Exercices. 3.1 Probabilités simples. 3.2 Probabilités avec dénombrement. Probabilités 3. Exercice 1 On tire au hasard une carte parmi un jeu de 52.

3 Exercices. 3.1 Probabilités simples. 3.2 Probabilités avec dénombrement. Probabilités 3. Exercice 1 On tire au hasard une carte parmi un jeu de 52. Probabilités 3 3 Exercices 3.1 Probabilités simples Exercice 1 On tire au hasard une carte parmi un jeu de 52. Calculer la probabilité d obtenir : 1. un roi 2. le valet de trèfle 3. l as de coeur ou la

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Cours de mathématiques Thomas Rey classe de Terminale ES 2 Table des matières 1 Équations de droites. Second degré 7 1.1 Équation de droite.................................. 7 1.2 Polynôme du second degré..............................

Plus en détail

Série de TD N 1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, donc

Série de TD N 1. On lance un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6, donc Série de TD N 1 Exercice 1 Combien de " mots " de cinq lettres au plus peut-on former avec les quatre lettres de mot "CLAN". Ces lettres étant répétées ou non, et leur ordre n intervenant pas. Exercice

Plus en détail

Probabilités sur un univers ni

Probabilités sur un univers ni POIRET Aurélien TD n o 21 MPSI Probabilités sur un univers ni 1 Événements et probabilités Exercice N o 1 : Dans un centre de loisirs, une personne peut pratiquer trois activités. On considère les événements

Plus en détail

Exercices : VAR discrètes

Exercices : VAR discrètes Exercices : VAR discrètes Exercice 1: Une urne contient 2 boules blanches et 4 boules noires. On tire les boules une à une sans les remettre jusqu à ce qu il ne reste que des boules d une seule couleur

Plus en détail

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013. Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. TES Spé Maths Eléments de correction du Bac Blanc n 2 de Mathématiquesdu Lundi 8 Avril2013 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Vous apporterez un grand soin à la présentation et à la

Plus en détail

Chapitre 3 : Introduction aux probabilités

Chapitre 3 : Introduction aux probabilités IUT de Sceaux Département TC1 Mathématiques Chapitre 3 : Introduction aux probabilités 1. Évènements Les événements élémentaires sont les issues possibles d'une expérience aléatoire. Un événement est un

Plus en détail

Exercices de simulation 1

Exercices de simulation 1 Licence MIA 2ème année Année universitaire 2009-2010 Simulation stochastique C. Léonard Exercices de simulation 1 Les simulations qui suivent sont à effectuer avec Scilab. Le générateur aléatoire de Scilab.

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J.

UNIVERSITÉ DE CERGY. LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESTION. Seconde année - Semestre 3 PROBABILITÉS. Cours de M. J. Année 2013-2014 UNIVERSIÉ DE CERGY LICENCE d ÉCONOMIE et FINANCE LICENCE de GESION Seconde année - Semestre 3 PROBABILIÉS Cours de M. J. Stéphan ravaux Dirigés de Mme M. Barrié, M. J-M. Chauvet et M. J.

Plus en détail

A l'intention des collègues dont les élèves vont tester le sujet "prospectif" de bac ES.

A l'intention des collègues dont les élèves vont tester le sujet prospectif de bac ES. A l'intention des collègues dont les élèves vont tester le sujet "prospectif" de bac ES. Le sujet proposé s'inscrit dans le cadre du texte d'orientation ci-joint. L'exercice I est du type "compréhension

Plus en détail

Analyse Combinatoire

Analyse Combinatoire Analyse Combinatoire 1) Équipes On dispose d un groupe de cinq personnes. a) Combien d équipes de trois personnes peut-on former? b) Combien d équipes avec un chef, un sous-chef et un adjoint? c) Combien

Plus en détail

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition

Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Cours 9 Une variable numérique : distribution et répartition Lorsqu'une variable est qualitative et l'autre numérique, il est courant que la première identie des sous-populations (sexe, catégories socio-économiques,

Plus en détail

Séquence 3. Probabilité : conditionnement. Sommaire

Séquence 3. Probabilité : conditionnement. Sommaire Séquence 3 Probabilité : conditionnement Objectifs de la séquence Dans cette première séquence sur les probabilités, on complète les connaissances des années précédentes en introduisant une notion nouvelle

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2011 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 011 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01

Plus en détail

COURS DE MATHEMATIQUES TERMINALE STG

COURS DE MATHEMATIQUES TERMINALE STG COURS DE MATHEMATIQUES TERMINALE STG Chapitre 1. TAUX D EVOLUTION... 5 1. TAUX D EVOLUTION ET COEFFICIENTS MULTIPLICATEURS... 5 a. Taux d évolution... 5 b. Coefficient multiplicateur... 5 c. Calcul d une

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés

Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Terminale S Probabilités conditionnelles Exercices corrigés Exercice : (solution Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation.

Plus en détail

Cours de mathématiques Première ES/L

Cours de mathématiques Première ES/L Cours de mathématiques Première ES/L Chapitre 1 Pourcentages...3 I Proportions...3 II Taux d'évolution...3 a) Détermination d'un taux d'évolution...3 b) Appliquer un taux d'évolution...4 III Taux réciproque...4

Plus en détail

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème.

- Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d un problème. Mathématiques - classe de 1ère des séries STI2D et STL. 1. Analyse On dote les élèves d outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets.

Plus en détail

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES PROBABILITÉS CONDITIONNELLES A.FORMONS DES COUPLES Pour la fête de l école, les élèves de CE 2 ont préparé une danse qui s exécute par couples : un garçon, une fille. La maîtresse doit faire des essais

Plus en détail

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016

LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 2015-2016 LIVRET DE MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S Institut Notre-Dame (Saint Germain en Laye) Année 015-016 Pourquoi ce livret? Afin de mieux préparer cette rentrée, ce livret reprend un ensemble de notions

Plus en détail

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances

Les probabilités. Chapitre 18. Tester ses connaissances Chapitre 18 Les probabilités OBJECTIFS DU CHAPITRE Calculer la probabilité d événements Tester ses connaissances 1. Expériences aléatoires Voici trois expériences : - Expérience (1) : on lance une pièce

Plus en détail

Lois normales, cours, terminale S

Lois normales, cours, terminale S Lois normales, cours, terminale S F.Gaudon 6 mai 2014 Table des matières 1 Variables centrées et réduites 2 2 Loi normale centrée et réduite 2 3 Loi normale N (µ, σ 2 ) 4 1 1 Variables centrées et réduites

Plus en détail

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE

MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE Annexe MATHÉMATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA SÉRIE ÉCONOMIQUE ET SOCIALE ET DE LA SÉRIE LITTERAIRE CLASSE DE PREMIÈRE L enseignement des mathématiques au collège et au lycée a pour but de donner à chaque

Plus en détail

Sujet de Bac 2013 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Pondichéry

Sujet de Bac 2013 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Pondichéry Sujet de Bac 2013 Maths ES Obligatoire & Spécialité - Pondichéry Exercice 1 : 4 points Commun à tous les candidats Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Une réponse exacte rapporte 1 point.

Plus en détail

Probabilités discrètes : exercices

Probabilités discrètes : exercices Université de Strasbourg Probabilités Département de mathématiques Agreg interne 2015-2016 Probabilités discrètes : exercices Vous pouvez me contacter à l adresse nicolas.juilletatmath.unistra.fr. J ai

Plus en détail

Notions de probabilités

Notions de probabilités 44 Notions de probabilités Capacités Expérimenter, d abord à l aide de pièces, de dés ou d urnes, puis à l aide d une simulation informatique prête à l emploi, la prise d échantillons aléatoires de taille

Plus en détail

Les trois sortes de tirages

Les trois sortes de tirages DERNIÈRE IMPRESSION LE 29 juin 2015 à 19:20 Les trois sortes de tirages Introduction Comme nous l avons vu, dans une loi équirépartie, il est nécessaire de dénombrer les cas favorables et les cas possibles.

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3

Probabilités. C. Charignon. I Cours 3 Probabilités C. Charignon Table des matières I Cours 3 1 Dénombrements 3 1.1 Cardinal.................................................. 3 1.1.1 Définition............................................. 3

Plus en détail