Espérance conditionnelle

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1 Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58

2 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle 4 Interprétation en termes de projection 5 Lois conditionnelles régulières Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 2 / 58

3 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle 4 Interprétation en termes de projection 5 Lois conditionnelles régulières Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 3 / 58

4 Définition formelle Définition On se donne un espace de probabilités (Ω, F 0, P) et Une σ-algèbre F F 0. X F 0 telle que E[ X ] <. Espérance conditionnelle de X sachant F: Notée E[X F] Définie par: E[X F] est la v.a Y de L 1 (Ω) telle que (i) Y F. (ii) Pour tout A F, on a ou encore A XdP = A YdP. E[X1 A ] = E[Y 1 A ], Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 4 / 58

5 Remarques Notation: On utilisera la notation Y F pour dire qu une variable aléatoire Y est F-mesurable. Interprétation: de manière plus intuitive F représente une quantité d information Y est la meilleure prédiction de X lorsque l on possède l information contenue dans F. Existence: à voir après les exemples. Unicité: Si elle existe, l espérance conditionnelle est unique. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 5 / 58

6 Démonstration unicité But: Soit Y vérifiant (i) + (ii), de même que Y. Montrons Y = Y p.s Propriété générale: Pour tout A F, on a E[Y 1 A ] = E[Y 1 A ]. Cas particulier: Soit ɛ > 0, et posons Alors A ɛ F, et donc P(A ɛ ) = 0. A ɛ (Y Y ɛ). 0 = E[(Y Y )1 Aɛ ] ɛe[1 Aɛ ] = ɛp(a ɛ ) Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 6 / 58

7 Démonstration unicité (2) Ensemble A + : Soit A + (Y Y > 0) = n 1 A 1/n. On a n A 1/n croissante, et donc P(A + ) = P A 1/n = n lim P(A 1/n ) = 0. n 1 Ensemble A : De même, si on a P(A ) = 0. A = {Y Y < 0} Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 7 / 58

8 Démonstration unicité (3) Conclusion: On obtient, en posant A {Y Y } = A + A, que P(A ) = 0, et donc Y = Y p.s. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 8 / 58

9 Absolue continuité Définition Soit µ, ν deux mesures σ-finies sur (Ω, F). On dit que ν µ (µ est absolument continue par rapport à ν) si µ(a) = 0 = ν(a) = 0 pour tout A F. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 9 / 58

10 Théorème de Radon-Nykodym Théorème Soient µ, ν mesures σ -finies sur (Ω, F), telles que ν µ. Alors il existe f F telle que, pour tout A F, on a La fonction f : ν(a) = A f dµ. Se nomme dérivée de Radon-Nykodym de µ par rapport à ν Se note f dν dµ. On a f 0 µ-presque partout f L 1 (µ). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 10 / 58

11 Existence de l espérance conditionnelle Hypothèse: On a Une σ-algèbre F F 0. X F 0 telle que E[ X ] <. X 0. Définition de deux mesures: on pose 1 µ = P, mesure sur (Ω, F). 2 ν(a) E[X 1 A ] = A X dp. Alors ν est bien une mesure (par Beppo-Levi). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 11 / 58

12 Existence de l espérance conditionnelle (2) Absolue continuité: on a Donc ν P P(A) = 0 1 A = 0 P-p.s. X 1 A = 0 P-p.s. ν(a) = 0 Conclusion: par théorème de Radon-Nykodym, il existe f F telle que, pour tout A F, on a ν(a) = A f dp. On pose f = E[X F]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 12 / 58

13 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle 4 Interprétation en termes de projection 5 Lois conditionnelles régulières Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 13 / 58

14 Exemples faciles Exemple 1: Si X F, alors E[X F] = X. Définition: On dit que X F si pour tout A F et B B(R), on a ou encore X 1 A. P((X B) A) = P(X B) P(A), Exemple 2: Si X F, alors E[X F] = E[X]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 14 / 58

15 Démonstration: exemple 2 On a (i) E[X] F car E[X] est constante. (ii) Si A F, ] E[X 1 A ] = E[X] E[1 A ] = E [E(X) 1 A. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 15 / 58

16 Espérance conditionnelle discrète Exemple 3: On considère { Ωj ; j 1 } partition de Ω telle que P(Ω j ) > 0 pour tout j 1. Alors F = σ(ω j ; j 1). E[X F] = j i E[X 1 Ωj ] P(Ω j ) 1 Ωj Y. (1) Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 16 / 58

17 Démonstration: exemple 3 Stratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition pour la variable aléatoire Y. (i) Pour tout j 1, on a 1 Ωj F. Donc, pour toute suite numérique (α j ) j 1, α i 1 Ωj F. (ii) Il suffit de vérifier (1) pour A = Ω n et n 1 fixé. Or, E[Y 1 Ωn ] = E j 1 { } E[X1Ωn ] P(Ω n ) 1 Ωn = E[X 1 Ωn] P(Ω n ) E[1 Ωn] = E[X 1 Ωn ]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 17 / 58

18 Probabilité conditionnelle enfantine Définition: Pour un ensemble mesurable A F 0, on pose P(A F) E[1 A F] Cas particulier de l exemple discret: Soit B, B c une partition de Ω, et A F 0. Alors 1 F = σ(b) = { Ω,, B, B c} 2 On a P(A F) = P(A B) 1 B + P(A B c ) 1 B c. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 18 / 58

19 Lancer de dé Exemple: On considère Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, A = {4}, B = "pair". Alors P(A F) = B. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 19 / 58

20 Conditionnement d une v.a. par une autre v.a. Définition: Soient X et Y deux variables aléatoires avec X L 1 (Ω). On pose E[X Y ] = E[X σ(y )]. Critère pour déterminer si A σ(y ): On a A σ(y ) ssi A = { ω; Y (ω) B }, ou encore 1 A = 1 B (Y ) Critère pour déterminer si Z σ(y ): Soient Z et Y deux variables aléatoires réelles. Alors Z σ(y ) ssi on peut écrire Z = U(Y ), avec U B(R). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 20 / 58

21 Conditionnement d une v.a. par une autre v.a. (2) Exemple 4: Lorsque X et Y sont des variables aléatoires discrètes Le calcul de E[X Y ] peut être traité selon la méthode présentée à l exemple 3. Exemple 5: Soit (X, Y ) couple de variables aléatoires réelles de densité mesurable f : R 2 R +. On suppose que R f (x, y)dx > 0, pour tout y R. Soit g : R R une fonction mesurable telle que g(x) L 1 (Ω). Alors E[g(X) Y ] = h(y ), avec h : R R définie par h(y) = R g(x)f (x, y)dx R f (x, y)dx. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 21 / 58

22 Démonstration intuitive On peut écrire formellement: P(X = x, Y = y) P(X = x Y = y) = P(Y = y) En intégrant contre cette densité, on obtient: E[g(X) Y = y] = = = f (x, y) f (x, y)dx, g(x)p(x = x Y = y) dx g(x)f (x, y)dx. f (x, y)dx Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 22 / 58

23 Démonstration rigoureuse Stratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition pour la variable aléatoire h(y ). (i) Si h B(R), on a vu que h(y ) σ(y ). (ii) Soit A σ(y ) Alors Donc A = { ω; Y (ω) B } = 1 A = 1 B (Y ) E[h(Y )1 A ] = E[h(Y )1 B (Y )] = h(y)f (x, y)dxdy = = B B B R dy dy R { g(z)f (z, y)dz f (z, y)dz }f (x, y)dx g(z)f (z, y)dz= E[g(X)1 B (Y )]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 23 / 58

24 Exemple tordu Exemple 6: On prend Ω = (0, 1), F 0 = B((0, 1)) et P = λ. On pose X(ω) = cos(πω), et F = {A (0, 1); A ou A c dénombrable}. Alors E[X F] = 0. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 24 / 58

25 Démonstration Stratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition. (i) On a bien entendu 0 F. (ii) Soit A F, tel que A est dénombrable. Alors E[X 1 A ] = A cos(πx)dx = 0. De même, si A F est tel que A c est dénombrable, on a E[X 1 A ] = 1 ce qui démontre notre résultat. 0 cos(πx)dx cos(πx)dx = 0, A c Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 25 / 58

26 Morale de l exemple tordu Intuition: On pourrait penser que, si pour tout x [0, 1], on sait si {x} a eu lieu (on a bien {x} F), alors E[X F] = X. Paradoxe: Ceci est faux car X / F. Bonne intuition: Si l on sait ω A i pour un nombre fini de A i F alors on ne connait rien de X. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 26 / 58

27 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle 4 Interprétation en termes de projection 5 Lois conditionnelles régulières Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 27 / 58

28 Espérance, linéarité Proposition Soit X L 1 (Ω). Alors E { E[X F] } = E[X]. Proposition Soient α R, et X, Y L 1 (Ω). Alors E[αX + Y F] = α E[X F] + E[Y F] p.s. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 28 / 58

29 Démonstration Stratégie: on vérifie les points (i) et (ii) de la définition pour la v.a. Vérification: on a Z α E[X F] + E[Y F]. (i) Z est une combinaision linéaire de E[X F] et E[Y F] Z F. (ii) Pour tout A F, on a E[Z 1 A ] = E { (αe[x F] + E[Y F]) 1 A } = αe { E[X F] 1 A } + E { E[Y F] 1A } = αe[x 1 A ] + E[Y 1 A ] = E[(αX + Y ) 1 A ]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 29 / 58

30 Monotonie Proposition Soient X, Y L 1 (Ω) telles que X Y presque sûrement. On a E[X F] E[Y F] presque sûrement. Démonstration: On suit le schéma de la démonstration de l unicité de l espérance conditionnelle. Par exemple, si on pose A ε = {E[X F] E[Y F] ε > 0}, on vérifie aisément que P(A ε ) = 0. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 30 / 58

31 Convergence monotone Proposition Soit {X n ; n 1} une suite de variables aléatoires telle que X n 0 X n X presque sûrement E[X] <. Alors E[X n F] E[X F]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 31 / 58

32 Démonstration Stratégie: On pose Y n X X n. Il suffit de montrer que Z n E[Y n F] 0. Existence de limite: n Y n est décroissante, et Y n 0 Z n est décroissante et Z n 0. Z n admet une limite p.s, notée Z. But: Montrer que Z = 0. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 32 / 58

33 Démonstration (2) Espérance de Z : on va montrer E[Z ] = 0. En effet X n converge p.s. vers X. 0 X n X L 1 (Ω). Donc, par convergence dominée, E[X n ] E[X]. On en déduit: E[Y n ] 0 Comme E[Y n ] = E[Z n ], on a aussi E[Z n ] 0. Par convergence dominée, on a E[Z n ] E[Z ] Ceci implique bien E[Z ] = 0. Conclusion: Z 0 et E[Z ] = 0 Z = 0 presque sûrement. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 33 / 58

34 Inégalité de Cauchy-Schwarz Proposition Soient X, Y L 2 (Ω). Alors E 2 [X Y F] E[X 2 F] E[Y 2 F] p.s. Démonstration: Pour tout θ R, on a E[(X + θy ) 2 F] 0 p.s. Donc, presque sûrement, on a: pour tout θ Q, E[(X + θy ) 2 F] 0, Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 34 / 58

35 Démonstration Développement: Pour tout θ Q E[Y 2 F]θ 2 + 2E[XY F]θ + E[X 2 F] 0. Rappel: Si un polynôme aθ 2 + bθ + c 0 pour tout θ Q on a forcément b 2 4ac 0 Application: Presque sûrement, on a E 2 [XY F] E[X 2 F]E[Y 2 F] 0. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 35 / 58

36 Inégalité de Jensen Proposition Soit X L 1 (Ω), et ϕ : R R telle que ϕ(x) L 1 (Ω) et ϕ convexe. Alors ϕ(e[x F]) E[ϕ(X) F] p.s. Corollaire L espérance conditionnelle est une contraction dans L p (Ω) pour tout p 1 Démonstration: D après l inégalité de Jensen, et X L p (Ω) E[X F] L p (Ω) E { E[X F] p } E[ X p ] Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 36 / 58

37 Conditionnements en chaîne Théorème Soient Alors Deux σ-algèbres F 1 F 2. X L 1 (Ω). E {E[X F 1 ] F 2 } = E[X F 1 ] (2) E {E[X F 2 ] F 1 } = E[X F 1 ]. (3) Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 37 / 58

38 Démonstration Démonstration de (2): On pose Z E[X F 1 ]. Alors Z F 1 F 2. D après l Exemple 1, on a E[Z F 2 ] = Z, i.e. (2). Démonstration de (3): On pose U = E[X F 2 ]. On va montrer que E[U F 1 ] = Z, via (i) et (ii) de la définition. (i) Z F 1. (ii) Si A F 1, on a A F 1 F 2, et donc E[Z1 A ] = E[X1 A ] = E[U1 A ]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 38 / 58

39 Esp. conditionnelle de produits Théorème Soient X, Y L 2 (Ω), telles que X F. Alors E[X Y F] = X E[Y F]. Démonstration: On utilise une démarche classique en 4 étapes Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 39 / 58

40 Démonstration Etape 1: on suppose X = 1 B, avec B F On vérifie (i) et (ii) de la définition. (i) On a 1 B E[Y F] F. (ii) Pour A F, on a E {(1 B E[Y F]) 1 A } = E {E[Y F] 1 A B } = E[Y 1 A B ] = E[(1 B Y ) 1 A ], et donc 1 B E[Y F] = E[1 B Y F]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 40 / 58

41 Démonstration (2) Etape 2: Si X est de la forme X = i n α i 1 Bi, avec α i R et B i F, alors, par linéarité on trouve encore E[XY F] = X E[Y F]. Etape 3: Si X, Y 0 Il existe une suite {X n ; n 1} de variables aléatoires simples telle que X n X. Alors par application de la convergence monotone E[XY F] = X E[Y F]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 41 / 58

42 Démonstration (3) Etape 4: Cas général X L 2 Décomposition X = X + X et Y = Y + Y, et donc E[XY F] = XE[Y F] par linéarité. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 42 / 58

43 Esp. conditionnelle et indépendance Théorème Soient X, Y deux variables aléatoires réelles indépendantes α : R 2 R telle que α(x, Y ) L 1 (Ω) On pose, pour x R, g(x) = E[α(x, Y )]. Alors E[α(X, Y ) X] = g(x). Démonstration: en 4 étapes sur α. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 43 / 58

44 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle 4 Interprétation en termes de projection 5 Lois conditionnelles régulières Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 44 / 58

45 Rappel: projection orthogonale Définition: Soit H un espace de Hilbert espace vectoriel muni d un produit scalaire et complet. F un sous espace fermé de H. Alors, pour tout x H Il existe un unique y F, noté y = π F (x) vérifiant l une des conditions équivalentes (i) ou (ii). (i) Pour tout z F, on a x y, z = 0. (ii) Pour tout z F, on a x y H x z H. π F (x) se nomme projection orthogonale de x sur F. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 45 / 58

46 Espérance conditionnelle et projection Théorème Considérons L espace L 2 (F 0 ) { Y F 0 ; E[Y 2 ] < }. Alors X L 2 (F 0 ). F F 0 1 L 2 (F 0 ) est un espace de Hilbert Produit scalaire X, Y = E[XY ]. 2 L 2 (F) est un sous espace fermé de L 2 (F 0 ). 3 π L 2 (F)(X) = E[X F]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 46 / 58

47 Démonstration Démonstration de 2: Si X n X dans L 2 Il existe une sous suite X nk Donc, si X n F, on a aussi X F. X p.s. Démonstration de 3: Vérifions le point (i) de la définition de projection Soit Z L 2 (F). On a E[Z X F] = Z E[X F], et donc E {Z E[X F]} = E {E[X Z F]} = E [X Z], ce qui suffit à vérifier (i) et E[X F] = π L 2 (F)(X). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 47 / 58

48 Application aux vecteurs gaussiens Exemple: Soit Alors (X, Y ) vecteur gaussien centré de R 2 Hypothèse: V (Y ) > 0. E[X Y ] = αy, avec α = E[X Y ] V (Y ). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 48 / 58

49 Démonstration Etape 1: On cherche α tel que Z = X αy = Z Y. Rappel: Si (Z, Y ) est un vecteur gaussien Z Y ssi cov(z, Y ) = 0 Application: cov(z, Y ) = E[Z Y ]. Donc cov(z, Y ) = E[(X αy ) Y ] = E[X Y ] αv (Y ), et cov(z, Y ) = 0 ssi α = E[XY ] V (Y ). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 49 / 58

50 Démonstration (2) Etape 2: On applique à présent le (i) de la définition de π. Soit V L 2 (σ(y )). Alors Y (X αy ) = V (X αy ) et Donc E[(X αy ) V ] = E[X αy ] E[V ] = 0. X αy = π σ(y ) (X) = E[X Y ]. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 50 / 58

51 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle 4 Interprétation en termes de projection 5 Lois conditionnelles régulières Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 51 / 58

52 LCR Définition Soit (Ω, F, P) un espace de probabilités (S, S) un espace mesurable X : (Ω, F) (S, S) une variable aléatoire G une σ-algèbre telle que G F. On dit que µ : Ω S [0, 1] est une loi conditionnelle régulière de X sachant G si (i) Pour tout A, l application ω µ(ω, A) est une variable aléatoire, égale à P(X A G) p.s. (ii) ω-p.s. A µ(ω, A) est une mesure de probabilité sur (S, S). Remarque: On aura toujours (S, S) de la forme (R, B(R)), (N, P(N), etc. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 52 / 58

53 Exemple discret Cas de la loi de Poisson: Soient X P(λ) et Y P(µ) X Y On pose S = X + Y. Alors LCR de X sachant S est Bin(S, p) avec p = Démonstration: on a vu que pour n m P(X = n S = m) = On prend alors S = N, G = σ(s) λ λ+µ ( ) n p n (1 p) m n avec p = λ m λ + µ. et on vérifie que ces probabilités conditionnelles définissent une LCR. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 53 / 58

54 Exemple continu Cas de la loi exponentielle: Soient X E(1) et Y E(1) X Y On pose S = X + Y. Alors LCR de X sachant S est U([0, S]). Démonstration: La densité du couple (X, S) est donnée par f (x, s) = e s 1 {0 x s}. Soit alors ψ B b (R + ). D après l Exemple 5, on a E[ψ(X) S] = u(s), avec u(s) = R 2 + R 2 + ψ(x)f (x, s)dx f (x, s)dx = 1 s s 0 ψ(x)dx. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 54 / 58

55 Démonstration De plus, S 0 presque sûrement, et donc, si A B(R), on a P (X A S) = A [0, S]. S En prenant espace d état = R +, S = B(R + ) et en posant µ(ω, A) = A [0, S(ω)], S(ω) on vérifie que l on a défini une loi conditionnelle régulière. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 55 / 58

56 Existence de la LCR Théorème Soit X une variable aléatoire sur (Ω, F 0, P). A valeurs dans un espace de la forme (R n, B(R n )). G F 0 une σ-algèbre. Alors la loi conditionnelle régulière de X sachant G existe. Démonstration difficile et admise. Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 56 / 58

57 Règles de calcul de LCR (1) Si G = σ(y ), avec Y variable aléatoire à valeurs dans R m, on a en fait µ(ω, A) = µ(y (ω), A), et on peut définir la loi conditionnelle régulière de X sachant Y comme une famille {µ(y,.); y R m } de probabilités sur R n, telle que pour tout A B(R n ), la fonction est mesurable. y µ(y, A) (2) Si Y suit une loi discrète, on a en fait µ(y, A) = P (X A Y = y) = P (X A, Y = y). P (Y = y) Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 57 / 58

58 Règles de calcul de LCR (2) (3) Lorsque l on connait la loi conditionnelle régulière, on peut calculer, pour φ B(R n ), les quantités: E [φ(x) G] = E [φ(x) Y ] = φ(x) µ(ω, dx) R n φ(x) µ(y, dx). R n (4) La loi conditionnelle régulière n est pas unique, mais si N 1, N 2 sont deux lois conditionnelles régulières de X sachant G, on a, ω-presque sûrement: N 1 (ω, A) = N 2 (ω, A) pour tout A B(R n ). Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 58 / 58

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