MÉTHODE DE MONTE CARLO.

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "MÉTHODE DE MONTE CARLO."

Transcription

1 MÉTHODE DE MONTE CARLO. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 1 / 95

2 PLAN DU COURS 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 2 / 95

3 BUT : CALCUL D ESPÉRANCE. Soient X une v.a.r. et f : R R une fonction. BUT Calculer numériquement E(f (X)). EXEMPLES FINANCE : prix d une option d achat modèle de Cox-Ross-Rubinstein : ( 1 C = (1 + r) N E S 0 N i=1 T i K ) + P(T i = 1 + u) = p = 1 P(T i = 1 + d) où p = (u r)/(u d). modèle de Black-Scholes : [ ( ) ] + C = e rt E S 0 e (r σ2 /2)T +σw T K avec W T N (0, T ).. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 3 / 95

4 BUT : CALCUL D ESPÉRANCE. Soient X une v.a.r. et f : R R une fonction. BUT Calculer numériquement E(f (X)). EXEMPLES FINANCE : prix d une option d achat ASSURANCE : calcul de la prime Prime pure : E(X), Prime exponentielle : 1 c ln E(ecX ), Prime quantile : F 1 (1 ε), X CALCUL DE PERTE ou Value At Risk en finance : P(X < seuil). etc. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 3 / 95

5 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 4 / 95

6 LOI DES GRANDS NOMBRES. THÉORÈME Soit (Y i ) i N une suite de variables aléatoires. HYPOTHÈSES indépendance distribution identique (comme une v.a. Y ) E( Y ) < +. Alors presque sûrement : lim Y 1 n = lim n + n + n (Y Y n ) = E(Y ). Autrement dit, pour n assez grand 1 n Y i E(Y ). n i=1 A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 5 / 95

7 MÉTHODE DE MONTE CARLO. MÉTHODE Pour calculer µ = E(f (X)), simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X, poser : ˆµ N = 1 N N i=1 f (X i ) = f (X 1) f (X N ). N Loi des grands nombres : ˆµ N µ pour N grand. PROBLÈME : quelle est l erreur commise? A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 6 / 95

8 LOI EXPONENTIELLE (2) (ESPÉRANCE 1/2) A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 7 / 95

9 LOI DE PARETO (0,5) PAS D ESPÉRANCE A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 8 / 95

10 THÉORÈME CENTRAL LIMITE. THÉORÈME Soit (Y i ) i N une suite de v.a. HYPOTHÈSES indépendance distribution identique (comme une v.a. Y ) E( Y 2 ) < +. Alors Y n = N (0, 1) : pour tout a < b ( lim P a < ) n Y n µ < b = P(a < Z < b), Z N (0, 1). n + σ A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 9 / 95

11 INTERVALLE DE CONFIANCE. TCL : µ = E(Y 1 ), Y n = 1 n (Y Y n ) P (Y n a n σ µ Y n + a n σ ) ( = P a ) n Y n µ a σ P( Z a), où σ 2 = Var(f (X)). Pour un niveau de confiance α [0, 1] fixé, il existe c α > 0 tel que Donc avec a = c α, pour n grand avec P( Z c α ) = α. P (µ I α,n ) P( Z c α ) = α ] σ σ I α,n = [Y n c α n, Y n + c α n : intervalle de confiance. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 10 / 95

12 MÉTHODE DE MONTE CARLO : ERREUR. MÉTHODE Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X. Poser : ˆµ N = 1 N N i=1 f (X i ) = f (X 1) f (X N ). N Erreur donnée par un intervalle de confiance : P ( µ I α,n ) α avec [ ] σ σ I α,n = ˆµ N c α N, ˆµ N + c α N, σ 2 = Var (f (x)). Problème : on ne connaît pas en général la variance σ 2. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 11 / 95

13 ESTIMATION DE LA VARIANCE. On estime σ 2 grâce à l estimateur Sn 2 = 1 n 1 montrer que ES 2 n = σ 2 = Var(Y ) et n (Y i Y n ) 2. On peut i=1 lim n + S2 n = σ 2. MÉTHODE Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X. Poser : ˆσ N = 1 N (f (X i ) ˆµ N ) N 1 2. i=1 A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 12 / 95

14 MÉTHODE DE MONTE CARLO COMPLÈTE. MÉTHODE 1 Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X. 2 Poser : ˆµ N = 1 N f (X i ) = f (X 1) f (X N ), N N i=1 ˆσ N = 1 N (f (X i ) ˆµ N ) N Erreur donnée par intervalle de confiance avec niveau de confiance α [ ] ˆσ N ˆσ I α,n = ˆµ N c α N, ˆµ N + c α. N N i=1 A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 13 / 95

15 LOI EXPONENTIELLE (2) (ESPÉRANCE 1/2) A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 14 / 95

16 LOI EXPONENTIELLE (2) (DÉCROISSANCE EN 1/ N) A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 15 / 95

17 PARETO (1,5) (ESPÉRANCE 3, PAS DE VARIANCE) A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 16 / 95

18 PARETO (1,5) (TAILLE INTERVALLE CONFIANCE) A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 17 / 95

19 MÉTHODE DE MONTE CARLO : REMARQUES. OBLIGATOIRE Donner ˆµ N sans intervalle de confiance n a aucune valeur! ERREUR Pour diminuer la taille de IC, diminuer le niveau de confiance α, augmenter N, diminuer σ ( réduction de variance). AVANT : SIMULATION Que signifie «Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X»? A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 18 / 95

20 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 19 / 95

21 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 20 / 95

22 THÉORÈME FONDAMENTAL DE LA SIMULATION. THÉORÈME Toute variable aléatoire X à valeurs dans R d peut être simulée sous la forme X = en loi f (U 1, U 2,..., U n ) où (U 1, U 2,..., U n ) est uniformément répartie sur [0, 1] n, la fonction f : R n R d est borélienne et a ses points de discontinuité dans un ensemble Lebesgue-négligeable. Il est même possible de réaliser ceci en imposant n = 1 ou n = d ou encore n 1 donné. REMARQUE : f est «explicite». A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 21 / 95

23 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 22 / 95

24 SUITES ALÉATOIRES. Considérons une suite finie x := x 1,..., x n {0, 1}. Toutes les suites finies de ce type sont équiprobables et de probabilité 2 n. Certaines suites moins aléatoires que d autres 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0 Quel sens donner et comment quantifier le caractère aléatoire d une suite finie ou infinie donnée? Comment produire des suites finies qui sont de «bonnes» approximations finies des suites infinies probables correspondant à des réalisations i.i.d. d une loi donnée? Comment mesurer la qualité de ces algorithmes? A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 23 / 95

25 SUITES ALÉATOIRES. D.H. Lehmer (1951) : A random sequence is a vague notion... in which each term is unpredictable to the uninitiated and whose digits pass a certain number of tests traditional with statisticians... A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 23 / 95

26 NOMBRES PSEUDO-ALÉATOIRES. Simuler la loi uniforme consistera à produire par un algorithme des suites finies de nombres que nous pouvons considérer comme autant de réalisations indépendantes de variables aléatoires uniformes sur [0, 1]. Mathématiquement les n sorties successives d un tel générateur seront considérées comme la donnée de U 1 (ω),..., U n (ω) pour un ω Ω où les U i sont des v.a.r. U i : (Ω, F, P) [0, 1] de loi uniforme. Matlab permet de simuler la loi uniforme via la fonction rand, qui renvoie un nombre «aléatoire» compris entre [0, 1]. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 24 / 95

27 NOMBRES PSEUDO-ALÉATOIRES. Intéressons nous au nombre 0, C est par défaut le premier nombre produit par la fonction rand de Matlab. Pour cela redémarrer Matlab, et exécuter les commandes format long rand Si tous les utilisateurs de Matlab trouvent toujours ce même nombre il ne peut être qualifié d aléatoire. D ailleurs il ne l est pas. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 25 / 95

28 NOMBRES PSEUDO-ALÉATOIRES. À ce stade il est important de faire la distinction entre deux types de méthodes de génération de suites «aléatoires». Méthodes prédictibles : ce sont des méthodes déterministes basées entièrement sur des algorithmes bien établis qui nécessitent d être initialisés. On parlera de suites ou nombres pseudo-aléatoires. Méthodes non-prédictibles : surtout utiles en cryptographie, où il est capital que le hasard utilisé ne soit pas prédictible ni reproductible. Elles peuvent être obtenues à partir des premières en utilisant des «fonctions de hachage», difficilement inversibles en terme de temps de calcul. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 26 / 95

29 ALGORITHMES PAR CONGRUENCE (LEHMER, 1950). utilisent trois paramètres entiers a, c et m et une valeur initiale x 0, appelé seed ; créent une suite d entiers y n+1 = ay n + c mod m compris entre 0 et m ; ramènent les valeurs entre 0 et 1 : x n = y n /m. Exemple : a = 13, c = 0, m = 31 et x 0 = 1. Suite des y n : Celle des x n : , , , , , , ,... A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 27 / 95

30 ALGORITHMES PAR CONGRUENCE (LEHMER, 1950). Dans les années 60, sur IBM, Scientific Subroutine Package (SSP) : a = 65539, c = 0, et m = Comme le codage se fait en 32-bits, l arithmétique modulo 2 31 se fait très rapidement. a = : multiplication par a = shift + addition. Problème : y k+2 = 6y k+1 9y k : très forte corrélation. cf. graphique randssp A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 27 / 95

31 ALGORITHMES PAR CONGRUENCE (LEHMER, 1950). À partir de Matlab 4, on a choisi : a = 7 5 = 16807, c = 0, m = = Toujours disponible via s=rand( seed ) : fournit le paramètre x0 de cette méthode. rand( seed,s) : impose à Matlab d utiliser cet algorithme avec x 0 = s. Périodicité grande : m 1. Génére toutes les valeurs k/m avec k = 1,..., m, i.e. [0, 1] D r = {k/m, 1 k m} [ , ]. cf. graphique randmcg A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 27 / 95

32 ALGORITHME PAR DÉFAUT. À partir de la version 5 (1995), Du à G. Marsaglia. N utilise plus les algorithmes à la Lehmer, plus de multiplication, plus de division. Génère directement des nombres décimaux. Disponible via s=rand( state ) : fournit le paramètre x0 de cette méthode (vecteur de dimension 35). rand( state,s) : impose à Matlab d utiliser cet algorithme avec x 0 = s. Peut générer tous les nombres (flottants) entre 2 53 et (on ne connaît pas de nombre non atteint). Période proche de A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 28 / 95

33 ALGORITHME «MERSENNE TWISTER». Troisième algorithme implémenté sous Matlab (version 5 et plus). Disponible via s=rand( twister ) : fournit le paramètre x 0 de cette méthode (vecteur de dimension 625). rand( twister,s) : impose à Matlab d utiliser cet algorithme avec x 0 = s. Période de l ordre de ( )/2. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 29 / 95

34 IMPORTANCE DE LA RACINE. REMARQUE Connaître la valeur de la racine avant de lancer un programme peut être important! Notamment pour pouvoir : comparer des vitesses de calcul ; générer des variables aléatoires couplées. Pour éviter d avoir toujours le même nombre de départ : rand ( s t a t e,sum(100 clock ) ) rand A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 30 / 95

35 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 31 / 95

36 FONCTION DE RÉPARTITION. DÉFINITION La fonction de répartition de X, notée F X, est définie sur R par : x R, F X (x) = P(X x). PROPOSITION Soit F X la fonction de répartition d une v.a.r. X. Alors : 1 F X (x) [0, 1]. 2 F X est croissante. 3 lim F X (x) = 0 et lim F X (x) = 1. x x + 4 F X est continue à droite et a une limite à gauche en tout point. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 32 / 95

37 V.A. À DENSITÉ. DÉFINITION Une v.a. X est à densité (par rapport à la mesure de Lebesgue) s il existe f t.q. pour tout x R, f (x) 0 ; + f (x) dx = 1 ; et pour tout a < b +, P(a < X b) = b a f (t)dt. EXEMPLE : LOI UNIFORME SUR [a, b] X suit une loi uniforme sur [a, b] si sa densité f est f (x) = 1 b a 1 [a,b](x). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 33 / 95

38 V.A. À DENSITÉ. PROPOSITION Si X a pour densité f, alors x R, F X (x) = P(X x) = x f (t)dt. F X est continue. F X est dérivable aux points de continuité de f avec f X (x) = F X (x). EXEMPLE : LOI UNIFORME SUR [a, b] Si X suit la loi uniforme sur [a, b], alors F X (x) = 0 si x a, F X (x) = x a si x [a, b], b a F X (x) = 1 pour x b. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 33 / 95

39 V.A. DISCRÈTES. DÉFINITION Une v.a. X est discrète si elle ne prend qu un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs {x i R, i N} avec probabilité p i = P(X = x i ) 0. De plus + P(X = x i ) = + i=0 i=0 p i = 1. REPRÉSENTATION en tableau X x 0 x 1 x 2 x 3... (valeurs prises parx) P(X = x i ) p 0 p 1 p 2 p 3... (probabilité) PROPOSITION Si X est une v.a. discrète, F X est constante par morceaux. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 34 / 95

40 EXEMPLE : DÉ À SIX FACES. FONCTION DE RÉPARTITION d une v.a. de loi uniforme sur {1,..., 6} A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 35 / 95

41 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 36 / 95

42 MÉTHODE D INVERSION. Si X est une v.a.r. alors la fonction de répartition F X est définie par x R, F X (x) = P(X x). Comme F X est croissante, on peut définir la fonction pseudo-inverse q X de F X ainsi : u (0, 1), q X (u) = inf{x R, F X (x) > u}. THÉORÈME Si U suit une loi uniforme sur [0, 1], q X (U) suit la même loi que X. PROPOSITION Si F est inversible, alors q = F 1. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 37 / 95

43 EXEMPLES. Si U suit une loi uniforme sur [0, 1], alors LOI UNIFORME SUR [a, b] X = a + (b a)u suit la loi uniforme sur [a, b]. LOI EXPONENTIELLE X = 1 ln(1 U) suit la loi exponentielle de paramètre λ. λ LOI DE CAUCHY X = c tan(π(u 1/2)) suit la loi de Cauchy de paramètre c. LOI DE BERNOULLI Si U < 1 p, X = 0, sinon X = 1 : suit la loi de Bernoulli de paramètre p [0, 1]. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 38 / 95

44 LOI DISCRÈTE À SUPPORT FINI. function r e a l i s = r d i s t ( x, p ) n=length ( p ) ; r = rand ; a = 0; b = p ( 1 ) ; for i = 1 : n 1, i f ( ( r >=a ) & ( r <b ) ) r e a l i s = x ( i ) ; return ; end a = b ; b = b + p ( i + 1 ) ; end r e a l i s = x ( n ) ; A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 39 / 95

45 LOI UNIFORME. function r e a l i s = r a n d d i s c r ( x, n,m) %Renvoie des realisations iid %de loi uniforme sur x(1),...,x(length(x)). %n et m sont des entiers optionnels, valant 1 par defaut. i f ( nargin ==0) error ( Pas assez de parametres ) ; e l s e i f ( nargin ==1) n=1;m=1; e l s e i f ( nargin ==2) m=1; e l s e i f ( nargin >3) error ( Trop de parametres ) ; end ; r e a l i s = reshape ( x ( c e i l ( length ( x ) rand ( n,m) ) ), n,m) ; return ; A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 40 / 95

46 INVERSION : DIMENSION QUELCONQUE. Soit une v.a. X = (X 1, X 2 ) de loi connue P X sur R 2 avec densité f > 0. Fonction de répartition de X 1 : x1 F X1 (x 1 ) = f (x, y)dxdy. Soit q 1 son inverse. Fonction de répartition F X 1=x 1 X 2 de la loi conditionnelle de X 2 sachant X 1 = x 1 : x2 F X 1=x 1 X 2 (x 2 ) = f (x 1, y)dy + f (x 1, y)dy. Inverse : q 2. MÉTHODE Si U 1 et U 2 sont deux v.a. uniformes sur [0, 1] indépendantes, alors X 1 = q 1 (U 1 ), X 2 = q 2 (q 1 (U 1 ), U 2 ). R A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 41 / 95

47 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 42 / 95

48 LOI BINOMIALE. DÉFINITION Une v.a. X à valeurs entières comprises entre 1 et N suit une loi binômiale de paramètres N N et p [0, 1] si : k = 1,..., N, P(X = k) = C k N pk (1 p) N k. PROPOSITION Soient U i, i = 1,..., N des v.a. uniformes sur [0, 1] indépendantes. N Soit X le nombre des U i inférieures à p [0, 1], i.e. X = 1 Ui <p. Alors X suit une loi binomiale de paramètres N et p. i=1 MÉTHODE Simuler N v.a. de Bernoulli X i et en faire la somme. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 43 / 95

49 LOI GÉOMÉTRIQUE. DÉFINITION Une v.a. X à valeurs entières strictement positives suit une loi géométrique de paramètre p ]0, 1[ si : QUELQUES RÉSULTATS : E(X) = 1 1 p p, Var(X) =. p 2 P(X k) = (1 p) k 1. PILE OU FACE n 1, P(X = n) = p(1 p) n 1. Une loi géométrique est la loi du nombre de tirages à pile ou face (indépendants) à réaliser pour obtenir face (si face a p % de chances de sortir). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 44 / 95

50 LOI DE POISSON. DÉFINITION Une v.a. X à valeurs entières positives suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si : MOMENTS : E(X) = Var(X) = λ. PROPOSITION λ λn n 0, P(X = n) = e n!. Soit (E n ) n N v.a. i.i.d. exponentielles de paramètre λ. Alors λ λn P(E E n 1 < E E n+1 ) = e n!. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 45 / 95

51 LOI DE POISSON. DÉFINITION Une v.a. X à valeurs entières positives suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0 si : MOMENTS : E(X) = Var(X) = λ. MÉTHODE λ λn n 0, P(X = n) = e n!. X = 1 E1 1<E 1 +E E1 +E 2 1<E 1 +E 2 +E n 1 E E n 1<E E n suit une loi de Poisson de paramètre λ. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 45 / 95

52 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 46 / 95

53 QUELLES VÉRIFICATIONS? DEUX TYPES de vérifications : histogramme normalisé contre densité, fonctions de répartition empirique contre théorique. Dans les deux cas, il faut d abord simuler un grand nombre de fois la loi en question. Pour n N, on obtient un vecteur (x 1,..., x n ) qui contient n réalisations de la loi de X. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 47 / 95

54 HISTOGRAMME VS. DENSITÉ. HISTOGRAMME NORMALISÉ 1 regrouper les n termes dans un certain nombre m de classes (avec m < n). Dans chaque classe r m réalisations de X avec r m = n. m 2 normalisation : la somme des aires des colonnes fait 1 r m /(n(c m+1 C m )). 3 tracé : sur l axe des abscisses, placer les m centres des m classes, et mettre une colonne de hauteur r m /(n(c m+1 C m )). CONVERGENCE VERS LA DENSITÉ r m n(c m+1 C m ) n + 1 C m+1 C m P(X [C m, C m+1 [). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 48 / 95

55 HISTOGRAMME VS. DENSITÉ. CONVERGENCE VERS LA DENSITÉ CONCLUSION r m n(c m+1 C m ) n + 1 C m+1 C m P(X [C m, C m+1 [). Si X discrète avec C k espacés de 1, approximativement p k. Si X à densité, alors P(X [C m, C m+1 [) C m+1 C m = 1 C m+1 C m Cm+1 C m f (t)dt C m+1 C m 0 f (C m). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 48 / 95

56 RÉPARTITION EMPIRIQUE VS. THÉORIQUE. FONCTION DE RÉPARTITION EMPIRIQUE t R, F n (t) = 1 n n 1 ],t] (x i ). i=1 THÉORÈME DE KOLMOGOROV-SMIRNOV t R, lim F n (t) = F X (t). n + A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 49 / 95

57 EXEMPLE SUR LA LOI EXPONENTIELLE(2). n=100 Histogramme vs densite Fcts de repartition empirique theorique !0.2! A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 50 / 95

58 EXEMPLE SUR LA LOI EXPONENTIELLE(2). n=10000 Histogramme vs densite Fcts de repartition empirique theorique !0.2! A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 51 / 95

59 EXEMPLE SUR LA LOI DE BERNOULLI(0.3). n=100 Histogramme Fcts de repartition empirique theorique ! !0.2!1.0! A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 52 / 95

60 EXEMPLE SUR LA LOI DE BERNOULLI(0.3). n=10000 Histogramme Fcts de repartition empirique theorique ! !0.2!1.0! A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 53 / 95

61 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 54 / 95

62 MÉTHODE DE REJET. On veut simuler une v.a. de densité f, et il existe une densité g simulable facilement et une constante k 1 telle que Soit α(x) = f (x) kg(x). PROPOSITION x R, f (x) kg(x). Soit (X i ) i 1 une suite de v.a. i.i.d. de densité g, et (U i ) i 1 une suite de v.a. i.i.d. de loi uniforme sur [0, 1], indépendante de la suite (X i ) i 1. Soit T = inf{i 1, U i α(x i )}. La variable X T a pour densité f. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 55 / 95

63 MÉTHODE DE REJET. MÉTHODE Soit (X 1, U 1 ) un couple de v.a. indépendantes telles que X 1 suive la loi de densité g et U 1 suive une loi uniforme sur [0, 1]. Si U 1 α(u 1 ), on pose X = X 1. Sinon on rejette X 1 et on recommence en générant une suite (X n, U n ) n 2 de v.a. indépendantes de même loi que (X 1, U 1 ) jusqu à l instant p où U p α(x p ). On pose alors X = X p. REMARQUES on n a pas besoin de connaître F, ni F 1. elle s étend à R d, à des lois discrètes, etc. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 56 / 95

64 MÉTHODE DE REJET : VITESSE. Calcul de la probabilité d acceptation : p = P(U α(x)) = 1 k. Donc T a pour distribution une loi géométrique de paramètre p. En moyenne, on doit rejeter k = 1/p fois avant d accepter la valeur. Ainsi il faut choisir g telle que ( ) f k = max g soit la plus petite possible. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 57 / 95

65 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 58 / 95

66 LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE. PROPOSITION Si Y N (µ, σ 2 ), alors X = (Y µ)/σ N (0, 1). Pour simuler X (et Y ) simuler deux lois uniformes U et V sur [0, 1] ; poser X = 2 ln U cos(2πv ), Y = 2 ln U sin(2πv ). PROPOSITION X et Y sont deux v.a. normales centrées réduites indépendantes. Ou utiliser sous Matlab randn(n,m). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 59 / 95

67 LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE. Pour simuler X (et Y ) simuler deux lois uniformes U et V sur [0, 1] ; poser c l f ; X = 2 ln U cos(2πv ), Y = 2 ln U sin(2πv ). hold on t i t l e ( Simulation d une l o i normale ) ylabel ( E f f e c t i f s ) ; xlabel ( Valeurs ) ; [ E,C]= ecdf ( sqrt ( 2 log ( rand ( , 1 ) ) ). cos(2 pi rand ( , 1 ) ) ) ; e c d f h i s t (E,C, 4 0 ) ; hold on plot (C, ( 2 pi )^( 1/2) exp( C. ^ 2 / 2 ), r ) ; legend ( Empirique, Theorique ) hold o f f A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 60 / 95

68 LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 61 / 95

69 LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 61 / 95

70 LOI NORMALE : MÉTHODE POLAIRE-REJET. PROPOSITION (X, Y ) = (ρ cos(θ), ρ sin(θ)) suit une loi uniforme sur le disque unité du plan, alors 4 ln(ρ) (X, Y ) ρ suit une loi normale centrée réduite bidimensionnelle. (X, Y ) facile à simuler par rejet à partir d une uniforme sur le carré [ 1, 1] 2 (rejet dans 21 % des cas puisque π/4 0, 79). θ et ρ indépendantes, ρ loi de densité u 2u1 [0,1] (u), 4 ln(ρ) exponentielle de paramètre 1/2, θ uniforme sur [0, 2π]. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 62 / 95

71 LOI UNIFORME SUR LE DISQUE. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 63 / 95

72 VECTEUR GAUSSIEN. PROPOSITION Soit m R n, Γ S + n (R) matrice réelle de taille n symétrique positive, Y vecteur aléatoire gaussien standard de moyenne nulle et matrice de covariance Id n. Alors le vecteur aléatoire X = Γ 1/2 Y + m est gaussien de moyenne m et de matrice de covariance Γ. Si Y est un vecteur gaussien de loi N (0, Id n ), ses coordonnées sont i.i.d. de loi N (0, 1). Ainsi on peut simuler une réalisation de Y en simulant n réalisations indépendantes Y 1 (ω),..., Y n (ω) de loi N (0, 1). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 64 / 95

73 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 65 / 95

74 DEUX EXEMPLES. EXEMPLE THÉORIQUE. Calculer θ = E(e 5Z ) = e 52 /2 avec Z N (0, 1) variance théorique : σ 2 = e 50 e valeur exacte : nombre tirages : N = valeur estimée : θ = Intervalle de confiance : I = [ 65186, ]. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 66 / 95

75 DEUX EXEMPLES. EXEMPLE PLUS CONCRET. Call C = E((5e (Z 1/2) 3) + ) avec Z N (0, 1) valeur exacte : 2,71. nombre tirages : N = valeur estimée : 2,83. Intervalle de confiance : I = [2, 42; 3, 24]. Put P = E((3 5e (Z 1/2) ) + ) et C P = 2. valeur exacte : 0,71. valeur estimée : 0,70. Intervalle de confiance : I = [0, 64; 0, 76]. Contrôle : C = 2 + P. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 66 / 95

76 RÉDUCTION DE VARIANCE : MÉTHODES. Variables antithétiques. Variables de contrôle. Échantillonnage préférentiel (ou d importance). Échantillonnage stratifié. Méthodes adaptatives (chaînes de Markov). A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 67 / 95

77 PLAN 1 MÉTHODE DE MONTE CARLO 2 PROBLÈME DE SIMULATION Théorème fondamental Simulation de la loi uniforme Fonction de répartition Méthode d inversion Cas particuliers Vérifications Méthode de rejet Lois gaussiennes 3 RÉDUCTION DE VARIANCE Variables antithétiques Variables de contrôle Monte Carlo conditionnel Échantillonnage d importance Échantillonnage stratifié A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 68 / 95

78 VARIABLES ANTITHÉTIQUES. BUT : calculer θ = E(Y ) = E(f (X)). DEUX V.A. Y 1 et Y 2 de même loi que Y. ( E(Y ) = 1 2 (E(Y 1) + E(Y 2 )) = E Y1 +Y 2 2 ) Var ( Y1 +Y 2 2 ) ; = Var (Y 1)+Var (Y 2 )+2Cov(Y 1,Y 2 ) 4 ; si Y 1 ( et Y 2 décorrélées ) (ou indépendantes), Var Y1 +Y 2 2 = Var (Y ) 2 ; ( ) si Cov(Y 1, Y 2 ) < 0, alors Var Y1 +Y 2 2 < Var (Y ) 2. QUESTION : comment obtenir Y 1 et Y 2 de même loi que Y avec Cov(Y 1, Y 2 ) < 0? A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 69 / 95

79 VARIABLES ANTITHÉTIQUES UNIFORMES. HYPOTHÈSE : Y = g(u) où U uniforme sur [0, 1]. ALGORITHME CLASSIQUE avec échantillon de taille 2n. MÉTHODE de i = 1 à 2n générer U i définir Y i = g(u i ) fin définir ˆθ 2n = Y 2n = 1 2n 2n i=1 Y i et ˆσ 2 2n = 1 2n 1 définir CI = [ˆθ 2n c α ˆσ 2n 2n, ˆθ 2n + c α ˆσ 2n 2n ] 2n i=1 (Y i ˆθ 2n ) 2 A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 70 / 95

80 VARIABLES ANTITHÉTIQUES UNIFORMES. HYPOTHÈSE : Y = g(u) avec U uniforme sur [0, 1]. ALGORITHME avec échantillon de taille 2n. MÉTHODE de i = 1 à 2n générer U i définir Y i = g(1 U i ) fin définir ˆθ 2n = Y 2n = 1 2n 2n i=1 Y i et ˆσ 2 2n = 1 2n 1 définir CI = [ˆθ 2n c α ˆσ 2n 2n, ˆθ 2n + c α ˆσ 2n 2n ] 2n i=1 (Y i ˆθ 2n ) 2 A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 70 / 95

81 VARIABLES ANTITHÉTIQUES UNIFORMES. HYPOTHÈSE : Y = g(u) avec U uniforme sur [0, 1]. ALGORITHME MÉLANGÉ avec échantillon de taille n. MÉTHODE de i = 1 à n générer U i définir Y i = g(u i ), Ỹi = g(1 U i ) et Z i = Y i + Ỹi 2 fin définir ˆθ n,a = Z n = 1 n Z i et ˆσ n 2 = 1 n (Z i ˆθ n ) 2 n n 1 i=1 définir CI = [ˆθ n,a c α ˆσ n n, ˆθ n,a + c α ˆσ n n ] i=1 A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 70 / 95

82 VARIABLES ANTITHÉTIQUES UNIFORMES. HYPOTHÈSE : Y = g(u) avec U uniforme sur [0, 1]. DIFFÉRENTS RÉSULTATS : ˆθ 2n = Y 2n = 1 2n 2n i=1 Y i ; ˆθ n,a = Z n = 1 n n i=1 Z i. COMPARAISON DES VARIANCES Var (ˆθ 2n ) = Var ( 2n ) i=1 Y i Var (Y ) = 2n 2n Ainsi Var (ˆθ n,a ) = Var (ˆθ 2n ) + Cov(Y, Ỹ ). 2n Var (ˆθ n,a ) < Var (ˆθ 2n ) Cov(g(U), g(1 U)) < 0. A. Popier (Le Mans) Méthode de Monte Carlo. 70 / 95

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo

Plus en détail

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions :

Probabilités. I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : ShotGun. 1- Définitions : Probabilités I- Expérience aléatoire, espace probabilisé : 1- Définitions : Ω : Ensemble dont les points w sont les résultats possibles de l expérience Des évènements A parties de Ω appartiennent à A une

Plus en détail

Simulation de variables aléatoires

Simulation de variables aléatoires CHAPITRE I. SIMULATION DE VARIABLES ALÉATOIRES 25 Chapitre I Simulation de variables aléatoires La simulation informatique de variables aléatoires, aussi complexes soient elles, repose sur la simulation

Plus en détail

Lois de probabilité à densité Loi normale

Lois de probabilité à densité Loi normale DERNIÈRE IMPRESSIN LE 31 mars 2015 à 14:11 Lois de probabilité à densité Loi normale Table des matières 1 Lois à densité 2 1.1 Introduction................................ 2 1.2 Densité de probabilité

Plus en détail

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques

Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Fiche TD avec le logiciel : a2-1-c Statistique Descriptive et Inférentielle Méthodes paramétriques et non paramétriques Sylvain Mousset Rappels de probabilités / statistiques Table des matières 1 Probabilités

Plus en détail

Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance

Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance Chapitre 1 Événements et probabilités, probabilité conditionnelle et indépendance On cherche ici à proposer un cadre mathématique dans lequel on puisse parler sans ambiguité de la probabilité qu un événement

Plus en détail

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme

Plus en détail

Moments des variables aléatoires réelles

Moments des variables aléatoires réelles Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................

Plus en détail

Probabilités III Introduction à l évaluation d options

Probabilités III Introduction à l évaluation d options Probabilités III Introduction à l évaluation d options Jacques Printems Promotion 2012 2013 1 Modèle à temps discret 2 Introduction aux modèles en temps continu Limite du modèle binomial lorsque N + Un

Plus en détail

Simulation d un système d assurance automobile

Simulation d un système d assurance automobile Simulation d un système d assurance automobile DESSOUT / PLESEL / DACHI Plan 1 Introduction... 2 Méthodes et outils utilisés... 2.1 Chaines de Markov... 2.2 Méthode de Monte Carlo... 2.3 Méthode de rejet...

Plus en détail

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.

Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. 14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,

Plus en détail

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique

ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique ALEATOIRE - Les enjeux du cours de Probabilités en première année de l Ecole Polytechnique Télécom ParisTech, 09 mai 2012 http://www.mathematiquesappliquees.polytechnique.edu/ accueil/programmes/cycle-polytechnicien/annee-1/

Plus en détail

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options

TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce

Plus en détail

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II

PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II PROBABILITES ET STATISTIQUE I&II TABLE DES MATIERES CHAPITRE I - COMBINATOIRE ELEMENTAIRE I.1. Rappel des notations de la théorie des ensemble I.1.a. Ensembles et sous-ensembles I.1.b. Diagrammes (dits

Plus en détail

Modélisation et simulation

Modélisation et simulation Modélisation et simulation p. 1/36 Modélisation et simulation INFO-F-305 Gianluca Bontempi Département d Informatique Boulevard de Triomphe - CP 212 http://www.ulb.ac.be/di Modélisation et simulation p.

Plus en détail

Espérance conditionnelle

Espérance conditionnelle Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle

Plus en détail

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1

TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité 1 TSTI 2D CH X : Exemples de lois à densité I Loi uniforme sur ab ; ) Introduction Dans cette activité, on s intéresse à la modélisation du tirage au hasard d un nombre réel de l intervalle [0 ;], chacun

Plus en détail

Probabilités II Étude de quelques lois. Master Gestion de Portefeuille IAE Gustave Eiffel Jacques Printems printems@u-pec.

Probabilités II Étude de quelques lois. Master Gestion de Portefeuille IAE Gustave Eiffel Jacques Printems printems@u-pec. Probabilités II Étude de quelques lois Master Gestion de Portefeuille IAE Gustave Eiffel Jacques Printems printems@u-pec.fr 2012 2013 1 1 Lois discrètes. On considère des v.a. ne prenant que des valeurs

Plus en détail

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader

Terminale STMG Lycée Jean Vilar 2013/2014. Terminale STMG. O. Lader Terminale STMG O. Lader Table des matières 1 Information chiffrée (4s) 4 1.1 Taux d évolution....................................... 6 1.2 indices............................................. 6 1.3 Racine

Plus en détail

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B

Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B EXERCICE 1 (12 points) Devoir Surveillé n 5 BTS 2009 groupement B Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. A. Résolution d une équation différentielle On considère

Plus en détail

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry

Outils mathématiques pour le datamining. http://www.elseware.fr/univevry Outils mathématiques pour le datamining http://wwwelsewarefr/univevry Géométrie Distance Distance entre parties Matrice de variance/covariance Inertie Minimisation Probabilités Définition Théorème de Bayes

Plus en détail

Le modèle de Black et Scholes

Le modèle de Black et Scholes Le modèle de Black et Scholes Alexandre Popier février 21 1 Introduction : exemple très simple de modèle financier On considère un marché avec une seule action cotée, sur une période donnée T. Dans un

Plus en détail

4 Distributions particulières de probabilités

4 Distributions particulières de probabilités 4 Distributions particulières de probabilités 4.1 Distributions discrètes usuelles Les variables aléatoires discrètes sont réparties en catégories selon le type de leur loi. 4.1.1 Variable de Bernoulli

Plus en détail

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités

Travaux dirigés d introduction aux Probabilités Travaux dirigés d introduction aux Probabilités - Dénombrement - - Probabilités Élémentaires - - Variables Aléatoires Discrètes - - Variables Aléatoires Continues - 1 - Dénombrement - Exercice 1 Combien

Plus en détail

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles

Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Tests non-paramétriques de non-effet et d adéquation pour des covariables fonctionnelles Valentin Patilea 1 Cesar Sanchez-sellero 2 Matthieu Saumard 3 1 CREST-ENSAI et IRMAR 2 USC Espagne 3 IRMAR-INSA

Plus en détail

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels E1 RECRUTEMENT DES ASSISTANTS INGENIEURS DE RECHERCHE ET DE FORMATION...2 E1.1 Gestionnaire de base de données...2 E1.2 Développeur

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option

Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option Emma Alfonsi, Xavier Milhaud - M2R SAF Simulations de Monte Carlo en finance : Pricer d option Sous la direction de M. Pierre Alain Patard ISFA - Mars 2008 . 1 Table des matières 1 Introduction 4 2 Un

Plus en détail

Principales caractéristiques de Mixmod

Principales caractéristiques de Mixmod Modèle de mélanges Principales caractéristiques de Mixmod Gérard Govaert et Gilles Celeux 24 octobre 2006 1 Plan Le modèledemélange Utilisations du modèle de mélange Les algorithmes de Mixmod Modèle de

Plus en détail

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation.

Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4. Lois limites ; estimation. Travaux Dirigés de Probabilités - Statistiques, TD 4 Lois limites ; estimation. Exercice 1. Trois machines, A, B, C fournissent respectivement 50%, 30%, 20% de la production d une usine. Les pourcentages

Plus en détail

l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab

l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab scilab à l École nationale des ponts et chaussées http://cermics.enpc.fr/scilab Tests de comparaison pour l augmentation du volume de précipitation 13 février 2007 (dernière date de mise à jour) Table

Plus en détail

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François

Notes de cours de Probabilités Appliquées. Olivier François Notes de cours de Probabilités Appliquées Olivier François 2 Table des matières 1 Axiomes des probabilités 7 1.1 Introduction................................. 7 1.2 Définitions et notions élémentaires.....................

Plus en détail

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes

Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Master Modélisation Statistique M2 Finance - chapitre 4 Mouvement Brownien et modèle de Black-Scholes Clément Dombry, Laboratoire de Mathématiques de Besançon, Université de Franche-Comté. C.Dombry (Université

Plus en détail

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif

Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université

Plus en détail

IFT3245. Simulation et modèles

IFT3245. Simulation et modèles IFT 3245 Simulation et modèles DIRO Université de Montréal Automne 2012 Tests statistiques L étude des propriétés théoriques d un générateur ne suffit; il estindispensable de recourir à des tests statistiques

Plus en détail

MAP 311 - Aléatoire - PC 1. Probabilités

MAP 311 - Aléatoire - PC 1. Probabilités MAP 311 - Aléatoire - PC 1 Emmanuel Gobet Feuille de PC disponible en avance sur le site http://www.cmap.polytechnique.fr/~gobet/. Les exercices marqués ( ) sont corrigés dans le livre Aléatoire de S.

Plus en détail

Annexe Simulations de Monte Carlo

Annexe Simulations de Monte Carlo Annexe Simulations de Monte Carlo Cette annexe présente, de façon pratique, les principales techniques opératoires des simulations de Monte Carlo. Le lecteur souhaitant une présentation plus rigoureuse

Plus en détail

Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements

Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements Utilisation des réseaux bayésiens et de l approche de Fenton pour l estimation de probabilité d occurrence d événements Rapport LAAS-CNRS Numéro N o 13077 Quynh Anh DO HOANG, Jérémie GUIOCHET, Mohamed

Plus en détail

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42 TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence

Plus en détail

Loi binomiale Lois normales

Loi binomiale Lois normales Loi binomiale Lois normales Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 204/205 Table des matières Rappels sur la loi binomiale 2. Loi de Bernoulli............................................ 2.2 Schéma de Bernoulli

Plus en détail

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34

Capacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34 Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second

Plus en détail

Statistique descriptive et prévision

Statistique descriptive et prévision Statistique descriptive et prévision Année 2010/2011 L. Chaumont Contents 1. Étude d une variable 5 1.1. Définitions................................ 5 1.2. Représentations graphiques usuelles................

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION

TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION TESTS PORTMANTEAU D ADÉQUATION DE MODÈLES ARMA FAIBLES : UNE APPROCHE BASÉE SUR L AUTO-NORMALISATION Bruno Saussereau Laboratoire de Mathématiques de Besançon Université de Franche-Comté Travail en commun

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Méthodes de Simulation

Méthodes de Simulation Méthodes de Simulation JEAN-YVES TOURNERET Institut de recherche en informatique de Toulouse (IRIT) ENSEEIHT, Toulouse, France Peyresq06 p. 1/41 Remerciements Christian Robert : pour ses excellents transparents

Plus en détail

Quantification Scalaire et Prédictive

Quantification Scalaire et Prédictive Quantification Scalaire et Prédictive Marco Cagnazzo Département Traitement du Signal et des Images TELECOM ParisTech 7 Décembre 2012 M. Cagnazzo Quantification Scalaire et Prédictive 1/64 Plan Introduction

Plus en détail

Cours 7 : Utilisation de modules sous python

Cours 7 : Utilisation de modules sous python Cours 7 : Utilisation de modules sous python 2013/2014 Utilisation d un module Importer un module Exemple : le module random Importer un module Exemple : le module random Importer un module Un module est

Plus en détail

Espérance, variance, quantiles

Espérance, variance, quantiles Espérance, variance, quantiles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 22 mai 2008 0. Motivation Mesures de centralité (ex. espérance) et de dispersion (ex. variance) 1 f(x) 0.0 0.1

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques

IFT6561. Simulation: aspects stochastiques IFT 6561 Simulation: aspects stochastiques DIRO Université de Montréal Automne 2013 Détails pratiques Professeur:, bureau 3367, Pav. A.-Aisenstadt. Courriel: bastin@iro.umontreal.ca Page web: http://www.iro.umontreal.ca/~bastin

Plus en détail

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4

Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2013/2014 Cours de mathématiques Partie IV Probabilités MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 30 mai 2014 Table des matières 1 Dénombrement 3 I Combinatoire des ensembles

Plus en détail

Probabilités et statistique. Benjamin JOURDAIN

Probabilités et statistique. Benjamin JOURDAIN Probabilités et statistique Benjamin JOURDAIN 11 septembre 2013 2 i ii À Anne Préface Ce livre est issu du polycopié du cours de probabilités et statistique de première année de l École des Ponts ParisTech

Plus en détail

Projet TER - Master 1 SITN La statistique Bayésienne

Projet TER - Master 1 SITN La statistique Bayésienne Projet TER - Master 1 SITN La statistique Bayésienne Artemis TOUMAZI Encadré par Mme Anne Perrut 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 0.0 0. 0.4 0.6 0.8 1.0 1. 7 juin 013 À ma mère et mon père. Table des matières Introduction

Plus en détail

Théorie et codage de l information

Théorie et codage de l information Théorie et codage de l information Mesure quantitative de l information - Chapitre 2 - Information propre et mutuelle Quantité d information propre d un événement Soit A un événement de probabilité P (A)

Plus en détail

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a.

3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. 3. Caractéristiques et fonctions d une v.a. MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v2) MTH2302D: fonctions d une v.a. 1/32 Plan 1. Caractéristiques d une distribution 2. Fonctions

Plus en détail

Modélisation et Outils Mathématiques TP génération de nombres aléatoires et probabilités

Modélisation et Outils Mathématiques TP génération de nombres aléatoires et probabilités Modélisation et Outils Mathématiques TP génération de nombres aléatoires et probabilités 3IF, INSA de Lyon, 2014/2015 Marine Minier, Irène Gannaz INSA-Lyon, Département Informatique version 2.00, 12 Février

Plus en détail

Fiche de révision sur les lois continues

Fiche de révision sur les lois continues Exercice 1 Voir la correction Le laboratoire de physique d un lycée dispose d un parc d oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit

Plus en détail

PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390

PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 PROBABILITÉS: COURS DE LICENCE DE MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES LM 390 Université PARIS 6 2008/2009 Jean BERTOIN 1 Table des Matières ( ) ces parties peuvent ^etre omises en première lecture, et ne feront pas

Plus en détail

Modèle de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes

Modèle de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes de troncature gauche : Comparaison par simulation sur données indépendantes et dépendantes Zohra Guessoum 1 & Farida Hamrani 2 1 Lab. MSTD, Faculté de mathématique, USTHB, BP n 32, El Alia, Alger, Algérie,zguessoum@usthb.dz

Plus en détail

Méthodes de Monte Carlo en Finance. Notes de cours

Méthodes de Monte Carlo en Finance. Notes de cours Méthodes de Monte Carlo en Finance Notes de cours Bruno Bouchard Université Paris-Dauphine bouchard@ceremade.dauphine.fr Cette version : Septembre 27 1 1 Première version: 22 2 Table des matières 1 Généralités

Plus en détail

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles

Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Annexe commune aux séries ES, L et S : boîtes et quantiles Quantiles En statistique, pour toute série numérique de données à valeurs dans un intervalle I, on définit la fonction quantile Q, de [,1] dans

Plus en détail

Loi d une variable discrète

Loi d une variable discrète MATHEMATIQUES TD N : VARIABLES DISCRETES - Corrigé. P[X = k] 0 k point de discontinuité de F et P[X = k] = F(k + ) F(k ) Ainsi, P[X = ] =, P[X = 0] =, P[X = ] = R&T Saint-Malo - nde année - 0/0 Loi d une

Plus en détail

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300

I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés F BM F BM F BM F BM F B M F B M F B M F B M 20 20 80 80 100 100 300 300 I3, Probabilités 2014 Travaux Dirigés TD 1 : rappels. Exercice 1 Poker simplié On tire 3 cartes d'un jeu de 52 cartes. Quelles sont les probabilités d'obtenir un brelan, une couleur, une paire, une suite,

Plus en détail

Normalité des rendements?

Normalité des rendements? Normalité des rendements? Daniel Herlemont 31 mars 2011 Table des matières 1 Introduction 1 2 Test de Normalité des rendements 2 3 Graphiques quantile-quantile 2 4 Estimation par maximum de vraisemblance

Plus en détail

Introduction à la statistique non paramétrique

Introduction à la statistique non paramétrique Introduction à la statistique non paramétrique Catherine MATIAS CNRS, Laboratoire Statistique & Génome, Évry http://stat.genopole.cnrs.fr/ cmatias Atelier SFDS 27/28 septembre 2012 Partie 2 : Tests non

Plus en détail

Théorie de l information : historique

Théorie de l information : historique Théorie de l information : historique Développée dans les années quarante par Claude Shannon. Objectif : maximiser la quantité d information pouvant être transmise par un canal de communication imparfait.

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

1 La formule de Black et Scholes en t discret

1 La formule de Black et Scholes en t discret Université de Provence Préparation Agrégation Epreuve de Modélisation, Option Proba. Texte : La formule de Black Scholes en Finance Étienne Pardoux 1 La formule de Black et Scholes en t discret On suppose

Plus en détail

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes

Probabilités et Statistiques. Feuille 2 : variables aléatoires discrètes IUT HSE Probabilités et Statistiques Feuille : variables aléatoires discrètes 1 Exercices Dénombrements Exercice 1. On souhaite ranger sur une étagère 4 livres de mathématiques (distincts), 6 livres de

Plus en détail

Introduction au pricing d option en finance

Introduction au pricing d option en finance Introduction au pricing d option en finance Olivier Pironneau Cours d informatique Scientifique 1 Modélisation du prix d un actif financier Les actions, obligations et autres produits financiers cotés

Plus en détail

Cours STAT 2150. "Statistique non paramétrique: Méthodes de lissage"

Cours STAT 2150. Statistique non paramétrique: Méthodes de lissage Cours STAT 2150 "Statistique non paramétrique: Méthodes de lissage" Année académique 2008-2009 Séance 1 1 Table de matière du cours 1. Introduction (Fonction de répartition, histogramme, propriétés d un

Plus en détail

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING»

LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» LA NOTATION STATISTIQUE DES EMPRUNTEURS OU «SCORING» Gilbert Saporta Professeur de Statistique Appliquée Conservatoire National des Arts et Métiers Dans leur quasi totalité, les banques et organismes financiers

Plus en détail

4. Martingales à temps discret

4. Martingales à temps discret Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les

Plus en détail

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d

de calibration Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation d Master 2: Calibration de modèles: présentation et simulation de quelques problèmes de calibration Plan de la présentation 1. Présentation de quelques modèles à calibrer 1a. Reconstruction d une courbe

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Jeux à somme nulle : le cas fini

Jeux à somme nulle : le cas fini CHAPITRE 2 Jeux à somme nulle : le cas fini Les jeux à somme nulle sont les jeux à deux joueurs où la somme des fonctions de paiement est nulle. Dans ce type d interaction stratégique, les intérêts des

Plus en détail

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT

Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,

Plus en détail

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème.

I. Introduction. 1. Objectifs. 2. Les options. a. Présentation du problème. I. Introduction. 1. Objectifs. Le but de ces quelques séances est d introduire les outils mathématiques, plus précisément ceux de nature probabiliste, qui interviennent dans les modèles financiers ; nous

Plus en détail

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux

Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Prévention et gestion des risques naturels et environnementaux Risque et assurance : quelques éléments théoriques Ecole des Ponts - Le 6 Avril 01 Jacques Pelletan 1 Théorie du risque et pérennité de l

Plus en détail

Vision par Ordinateur

Vision par Ordinateur Vision par Ordinateur James L. Crowley DEA IVR Premier Bimestre 2005/2006 Séance 6 23 novembre 2005 Détection et Description de Contraste Plan de la Séance : Description de Contraste...2 Le Détecteur de

Plus en détail

Démonstrations exigibles au bac

Démonstrations exigibles au bac Démonstrations exigibles au bac On donne ici les 11 démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dans le programme officiel. Toutes ces démonstrations peuvent donner lieu à une «restitution organisée

Plus en détail

Produits de crédit en portefeuille

Produits de crédit en portefeuille Chapitre 6 Produits de crédit en portefeuille et défauts corrélés Dans ce chapitre, on étudie des produits financiers de crédit en portfeuille, notamment k th -to-default swap et CDOs (voir 1.2 pour une

Plus en détail

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

MODELES DE DUREE DE VIE

MODELES DE DUREE DE VIE MODELES DE DUREE DE VIE Cours 1 : Introduction I- Contexte et définitions II- Les données III- Caractéristiques d intérêt IV- Evènements non renouvelables/renouvelables (unique/répété) I- Contexte et définitions

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé

Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

Remise à niveau en processus stochastiques

Remise à niveau en processus stochastiques M2IR Université Claude Bernard Lyon 1 Année universitaire 212-213 Remise à niveau en processus stochastiques F. Bienvenüe-Duheille Le but de ce poly est de vous mettre à niveau sur les processus stochastiques

Plus en détail

Rappels sur les suites - Algorithme

Rappels sur les suites - Algorithme DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................

Plus en détail

Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base

Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base Estimation du Quantile conditionnel par les Réseaux de neurones à fonction radiale de base M.A. Knefati 1 & A. Oulidi 2 & P.Chauvet 1 & M. Delecroix 3 1 LUNAM Université, Université Catholique de l Ouest,

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps?

Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? Chapitre 3 Que faire lorsqu on considère plusieurs variables en même temps? On va la plupart du temps se limiter à l étude de couple de variables aléatoires, on peut bien sûr étendre les notions introduites

Plus en détail

Théorie de la crédibilité

Théorie de la crédibilité ISFA - Année 2008-2009 Théorie de la crédibilité Chapitre 2 : Prime de Bayes Pierre-E. Thérond Email, Page web, Ressources actuarielles Langage bayesien (1/2) Considérons une hypothèse H et un événement

Plus en détail

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation PAR Alireza MOGHADDAM TUTEUR : Guy HÉDELIN Laboratoire d Épidémiologie et de Santé publique, EA 80 Faculté de Médecine de Strasbourg

Plus en détail

Value at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061

Value at Risk. CNAM GFN 206 Gestion d actifs et des risques. Grégory Taillard. 27 février & 13 mars 20061 Value at Risk 27 février & 13 mars 20061 CNAM Gréory Taillard CNAM Master Finance de marché et estion de capitaux 2 Value at Risk Biblioraphie Jorion, Philippe, «Value at Risk: The New Benchmark for Manain

Plus en détail

Mathématiques financières

Mathématiques financières Mathématiques financières Arnaud Triay Table des matières 1 Introduction Position du problème.1 Pricing des options........................................... Formalisme..............................................

Plus en détail

Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure

Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Estimation et modélisation de dépendance dans des modèles de survie bivariés en présence de censure Svetlana Gribkova, Olivier Lopez Laboratoire de Statistique Théorique et Appliquée, Paris 6 4 Mars 2014

Plus en détail