CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

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1 CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un exercice et de trois problèmes indépendants. Une attention particulière sera apportée à la rédaction et à la justification des résultats. L usage de la calculatrice est interdit.

2 Exercice 1 : Tests de rang On considère deux échantillons (X 1,..., X n ) et (Y 1,..., Y n ) de variables aléatoires continues indépendantes et identiquement distribuées de fonctions de répartition F et G respectivement. On suppose que F et G appartiennent à une classe P donnée. Par ailleurs, les deux échantillons sont indépendants. L objectif de cet exercice est de tester l hypothèse nulle F = G contre l alternative F G. 1. Expliquer pourquoi P (X 1 = Y 1 ) = 0 et en déduire que sous l hypothèse nulle, P (X 1 > Y 1 ) = 1/2. 2. On pose T = n ( 1 n ) n 1 Xi>Y i 1. 2 i=1 Quelle est la loi limite de T sous l hypothèse nulle? En déduire la région critique d un test asymptotique de l hypothèse F = G contre F G de niveau de confiance 1 α. 3. On suppose que P est constitué de l ensemble des fonctions de répartition continues sur R. Montrer qu il existe (F, G) P 2, avec F G, tel que P (X 1 > Y 1 ) = 1/2. Le test précédent est-il convergent? 4. On suppose que : P = {x F 0 (x θ), θ R} où F 0 est une fonction de répartition fixée (inconnue du statisticien), strictement croissante. Montrer que si X 1 (resp. Y 1 ) a pour fonction de répartition x F 0 (x θ 1 ) (resp. x F 0 (x θ 2 )), avec θ 1 < θ 2, alors P (X 1 > Y 1 ) < 1/2. En déduire que le test défini à la question 2 est convergent dans ce cas. Problème 1 : Mélange de deux populations On s intéresse au comportement d achat de n consommateurs. Le consommateur i décide de la quantité d achat Y i d un produit et de la durée D i entre deux achats. On suppose que les couples (D i, Y i ) i {1,...,n} sont indépendants et identiquement distribués. A. Cas homogène On suppose dans un premier temps que les consommateurs ont tous la même équation de comportement : où β = ( a b) et Xi = Y i = X i β + U i, avec E(U i X i ) = 0 ) (1 D i. On note d i (resp. y i ) l observation relative à la variable aléatoire D i (resp. Y i ) et d = 1 n di, y = 1 n yi, d 2 = 1 n d 2 i, dy = 1 n di y i. On souhaite estimer a et b. 1. Montrer qu on a E(X i(y i X i β)) = 0 2. On s intéresse à l estimateur β = (â, b) qui satisfait la contrepartie empirique de cette équation. Ecrire cette contrepartie. 1

3 3. Résoudre le système vérifié par (â, b). 4. Vérifier que l estimateur obtenu coïncide avec l estimateur des moindres carrés ordinaires du modèle linéaire simple. B. Mélange On suppose désormais que la population est séparée en deux catégories : les personnes i qui aiment beaucoup ce produit (C i = 1) et ceux qui n aiment pas particulièrement ce produit mais l achètent plutôt par obligation (C i = 0). Mais la catégorie des individus est inobservée et la proportion p 1 = P (C i = 1) est inconnue. On suppose toujours que les triplets (Y i, X i, C i ) i {1,...,n} sont indépendants et identiquement distribués. où β 1 = ( ) ( ). a 1 b 1 et β2 = a 2 b 2 Y i = X i β 1 + U i, E(U i X i ) = 0, si C i = 1 Y i = X i β 2 + U i, E(U i X i ) = 0, si C i = On suppose tout d abord que D i et C i sont indépendants. Calculer γ R 2 tel que E(X i (Y i X i γ) = 0. Vers quelle valeur tend l estimateur des moindres carrés ordinaires? Commenter. 2. On suppose maintenant et jusqu à la fin de l exercice que b 1 = b 2 = b et que D et C sont dépendants : avec δ = ( c d), d 0 et Zi = a) Quel est le signe de d? b) Ecrire Y i en fonction de a 1, a 2, b, C i, D i et U i. D i = Z i δ + V i, E (Z iv i ) = 0 ) (1 C i. On note par ailleurs V (V i ) = σv 2. c) Calculer cov(y i, D i ). En déduire que l estimateur des moindres carrés ordinaires b de b, issu de la régression de Y i sur X i, est biaisé et calculer son biais. d) Etudier l évolution du biais de b en fonction de p (les autres coefficients restant constants). Commenter. e) Quel est, a priori, le signe de b? Montrer que b et E( b) peuvent être de signes opposés. Représenter graphiquement cette situation et commenter. 3. On observe maintenant pour chaque individu i deux couples quantités - durées (Y i,1, X i,1 ) et (Y i,2, X i,2 ). Les résidus correspondants sont U i,1 et U i,2. Les consommateurs ne changent pas de catégorie : C i,1 = C i,2 = C i. Exprimer Y i,2 Y i,1 en fonction de a 1, a 2, b, C i, D i,1, D i,2, U i,1 et U i,2. Que remarque-t-on? Proposer un estimateur sans biais de b. 2

4 Problème 2 : Modélisation des offres d emploi On s intéresse à la modélisation des offres d emploi reçues par les chômeurs. On suppose que la durée (exprimée en mois) D j entre l arrivée de la j 1-ème et de la j-ème offre suit une loi exponentielle de paramètre λ de densité : f 1 (x) = λe λx 1 x 0. On note alors D j E(λ). On suppose que les durées sont indépendantes entre elles. On s intéresse à l estimation de λ et de d = 1/λ, sachant que les durées entre les offres ne sont pas observées. Préliminaires 1. Calculer E(D 1 ) et V (D 1 ). 2. Montrer par récurrence que la densité de k j=1 Dj s écrit : f k (x) = λk x k 1 e λx 1 x 0 (k 1)! A. Nombre d offres reçues par mois On suppose ici que l on observe le nombre X d offres reçues durant un mois par un chômeur. 1. Montrer que, pour tout k N, k k+1 {X = k} D j 1 < j=1 où l on suppose par convention que 0 j=1 D j = En déduire que, pour tout k N, j=1 D j Quelle est la loi suivie par X? P (X = k) = e λ λ k k! 3. Calculer E(X) et V (X). 4. On observe un échantillon indépendamment et identiquement distribué (X 1,..., X n ) de nombres d offres reçues durant un mois par n chômeurs. Calculer l estimateur du maximum de vraisemblance de λ. Montrer qu il est convergent et donner sa loi limite. N.B. : pour les deux derniers points, on n utilisera pas de théorèmes généraux sur l estimateur du maximum de vraisemblance. B. Durées de chômage On suppose qu un chômeur i peut accepter avec une probabilité p i une offre ou la refuser. S il l accepte, il commence immédiatement à travailler. On observe maintenant T, la durée passée au chômage, et Y, le nombre d offres qu il a reçues avant de commencer à travailler (si par exemple il accepte la première offre, Y = 1). On suppose que Y et les (D j ) j N sont indépendants. Par ailleurs, on considère dans un premier temps que les p i sont tous identiques, égaux à p ]0, 1[. 3

5 1. Calculer P (Y = k) pour tout k N en fonction de p. Combien d offres un chômeur reçoit-il en moyenne avant d accepter un emploi? 2. Ecrire T en fonction de Y et des (D j ) j N Montrer que T E(λp). 3. On observe un échantillon indépendamment identiquement distribué ((T 1, Y 1 ),..., (T n, Y n )) de durées de chômage et de nombre d offres reçues de n chômeurs. Calculer E(T Y ). En déduire que d = 1 n est un estimateur sans biais de d. Montrer également qu il est convergent. 4. Calculer la variance de d en fonction de n, d et p. Montrer qu elle est croissante en p, interpréter. Indication : on rappelle que + k=1 xk k = ln(1 x), pour tout x [0, 1[. 5. On suppose maintenant et jusqu à la fin du problème que les probabilités (p i ) i {1,...,n} sont différentes d un chômeur à l autre. Ces probabilités sont considérées comme des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, et indépendantes des durées entre chaque offre reçue par les chômeurs. Leur densité est inconnue et notée f p. f p est supposée bornée. Dans ces conditions, l estimateur d reste-t-il sans biais? Est-il convergent? 6. Enfin, on suppose que les variables Y i ne sont pas observées. En revanche, la probabilité moyenne d acceptation E(p) est considérée comme connue (par exemple grâce à des données auxiliaires sur les entreprises). On observe toujours (T 1,..., T n ). a) Peut-on utiliser l estimateur du maximum de vraisemblance? Pourquoi? b) Soit f T la densité de la durée de chômage T. Calculer f T (t), pour tout t R +. En déduire que n i=1 T i Y i f T (0) = λe(p) c) On considère l estimateur de λ défini par λ n = Expliquer la logique de cet estimateur. 1 nh n E(p) n 1 Ti [0,h n]. (1) d) A l aide de développements limités, montrer que le biais B n et la variance V n de λ n vérifient : i=1 B n h nλ 2 E(p 2 ) 2E(p) λ V n nh n E(p). e) A quel arbitrage fait-on face dans le choix de h n? Déterminer une condition suffisante générale sur h n pour que λ n converge en probabilité vers λ. 4

6 Problème 3 : Test séquentiel. On étudie dans ce problème le test séquentiel de ratio de probabilités de Wald 1. On s intéresse à un test d hypothèses sur la variable aléatoire x : H 0 : x suit la loi de densité f 0 H 1 : x suit la loi de densité f 1 A. Protocole On observe des réalisations x 1,..., x n de x (le nombre d observations n n est pas fixé a priori). On pose : z = log f 1(x) f 0 (x), z i = log f 1(x i ) f 0 (x i ) et Z i = z z i et on suppose E(z) 0 On appelle D 0 (respectivement D 1 ) l événement "décision d accepter" (respectivement rejeter) H 0. On pourra identifier Z i à la variable aléatoire engendrant l observation Z i. On considère une probabilité a priori g 0 que H 0 soit vraie et on pose g 1 = 1 g 0. On a effectué m observations. 1. On pose A quoi correspondent α et β? α = P (D 1 H 0 ) β = P (D 0 H 1 ) 2. Calculer les probabilités g 0m = P (H 0 x 1,..., x m ) et g 1m = P (H 1 x 1,..., x m ). 3. Soient d 0, d 1 ] 1 2, 1[. On souhaite accepter H 0 (respectivement H 1 ) si g 0m d 0 (respectivement g 1m d 1 ). Vérifier que ces deux conditions sont incompatibles. 4. On appelle ratio des vraisemblances le ratio L m = e Zm. Justifier cette appellation. Réécrire les deux conditions de la question précédente sous la forme : où A > B et A et B sont indépendants de m. L m B ; L m A 5. Lorsque l information disponible ne permet pas d arrêter une décision D 0 ou D 1, on peut obtenir une observation supplémentaire. Proposer un protocole itératif pour prendre une décision D 0 ou D Montrer qu on peut écrire α = β = + m=1 + m=1 D 1m i=1 D 2m i=1 m f 0 (x i )dx 1...dx m m f 1 (x i )dx 1...dx m pour deux suites d ensembles (D 1m ) m 1 et (D 2m ) m 1 que l on explicitera. Montrer que D 2m c D 1m (où c D 1m désigne le complémentaire de D 1m ). 1 Wald, A., Sequential Tests of Statistical Hypotheses, Annals of Mathematical Statistics, Volume 16, Number 2 (1945),

7 7. En déduire que B β 1 α et A 1 β α. 8. Wald propose l approximation suivante. Le statisticien ayant fixé α et β, il pose : B = β 1 α et A = 1 β α Montrer que α α 1 β et β β 1 α. Commenter. 9. Montrer qu on ne peut avoir α > α et β > β. B. Application On s intéresse à la proportion d individus réalisant une fraude fiscale. Si l individu i fraude, on observe x i = 1, sinon on observe x i = 0. Le tirage des individus est un tirage avec remise. L administration souhaite savoir si la proportion p de fraudeurs est élevée ou non. Or le coût d enquête pour savoir s il y a effectivement eu fraude est élevé, on souhaite donc conclure dès que l information rassemblée est jugée suffisante. On met donc en application le modèle vu précédemment. On considère que le niveau de fraude est élevé (respectivement faible) si p = p h (respectivement p = p l < p h ). On propose de tester H 0 : p = p l contre l alternative H 1 : p = p h. 1. Ecrire le ratio de vraisemblances. 2. Représenter graphiquement le protocole de décision. 0n prendra en abscisse le nombre d observations, en ordonnée le nombre de fraudeurs et on représentera les régions du plan correspondant aux décisions D 0 et D 1. 6

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