Introduction à l approche bootstrap

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Introduction à l approche bootstrap"

Transcription

1 Introduction à l approche bootstrap Irène Buvat U494 INSERM 25 septembre 2000 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-1

2 Plan du cours Qu est-ce que le bootstrap? Bootstrap pour l estimation d erreurs standard Bootstrap de données structurées Bootstrap pour l estimation de biais Bootstrap et jackknife Bootstrap pour la construction d intervalles de confiance Bootstrap et tests d hypothèses Bilan Référence Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-2

3 Qu est-ce que le bootstrap? Technique permettant d effectuer de l inférence statistique Technique récente (1979) car reposant sur l usage de calculateurs puissants Technique reposant sur la simulation de données à partir d un nombre limité d observations Technique destinée à faciliter l inférence dans les situations complexes où les méthodes analytiques ne suffisent pas to pull oneself up by one s bootstrap = se tirer d un mauvais pas Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-3

4 Problématique : exemple d inférence statistique La différence entre deux valeurs moyenne est-elle statistiquement significative? durée de survie groupe 1 (placébo) n 1 = 9 mesures 52, 10, 40, 104, 50, 27, 146, 31, 46 moyenne m 1 = 5622 erreur standard se 1 = var 1 /n 1 = 1414 groupe 2 (traitement) n 2 = 7 mesures 94, 38, 23, 197, 99, 16, 141 moyenne m 2 = 8686 erreur standard se 2 = var 2 /n 2 = 2524 différence des moyennes = 3063 erreur standard associée à la différence se = se se 2 2 = = 2893 m 1 - m 2 se = 105 non significatif pas besoin de bootstrap! Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-4

5 Problématique : intérêt du bootstrap La différence entre deux valeurs médianes est-elle statistiquement significative? groupe 1 (placébo) n 1 = 9 mesures durée de survie groupe 2 (traitement) n 2 = 7 mesures 52, 10, 40, 104, 50, 27, 146, 31, 46 médiane m 1 = 46 erreur standard? 94, 38, 23, 197, 99, 16, 141 moyenne m 2 = 94 erreur standard? différence des moyennes = 48 erreur standard associée à la différence? différence significative? pas de formule analytique simple pour estimer la fiabilité des grandeurs autres que les valeurs moyennes  intérêt du bootstrap Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-5

6 Bootstrap pour l estimation d une erreur standard 1 échantillon observé x = (x 1, x 2,, x N ) et 1 statistique d intérêt s(x) : moyenne, médiane, B échantillons bootstrap x *1 = (x 1*, x 2*,, x N * ) calcul de la statistique d intérêt réplications bootstrap de s s(x *1 ) x *b = (x 1*, x 2*,, x N* ) s(x *b ) x *B = (x 1*, x 2*,, x N* ) s(x *B ) Â estimée bootstrap de l erreur standard = écart-type des réplications bootstrap S [s(x *b )- s * ] 2 b B-1 avec s * = S s(x *b )/B b Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-6

7 Calcul d un échantillon bootstrap 1 échantillon observé de N valeurs x = (50, 53, 58, 80, 75, 69, 77, 44, 63, 73) 1 échantillon bootstrap : 1 tirage aléatoire de N valeurs parmi l échantillon original, avec remise x *1 = (69, 53, 80, 69, 73, 53, 44, 58, 75, 53) 1 échantillon bootstrap :  autant de valeurs que dans l échantillon original  valeurs issues de l échantillon original, mais avec des fréquences potentiellement différentes Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-7

8 Exemple : erreur standard de la moyenne durée de survie groupe 1 (placebo) n 1 = 9 mesures x = (52, 10, 40, 104, 50, 27, 146, 31, 46) statistique d intérêt : moyenne m 1 = 5622 B échantillons bootstrap x *1 =(50, 10, 40, 50, 46, 10,146, 40, 50) calcul de la moyenne réplications bootstrap de la moyenne 4911 x *b =(10, 52, 104, 40, 104, 46, 50, 146, 27) 6433 x *B =(146, 31, 31, 10, 27, 40, 104, 46, 50) 5389 Â estimée bootstrap de l erreur standard = écart-type des réplications bootstrap de la moyenne S [m 1 (x *b )- m 1* ] 2 SE (m 1 ) = b = 1332 B-1 avec m 1 * = S m 1 (x *b )/B b = 5573 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-8

9 Exemples d estimation d erreurs standard groupe 1 (placébo) n 1 = 9 mesures durée de survie groupe 2 (traitement) n 2 = 7 mesures 52, 10, 40, 104, 50, 27, 146, 31, 46 moyenne m 1 = 5622 médiane m 1 = 46 94, 38, 23, 197, 99, 16, 141 moyenne m 2 = 8686 médiane m 2 = 94 erreur standard sur m 1 :  classique : se 1 = 1414  bootstrap : se 1 * = 1332 erreur standard sur m 1 :  classique :?  bootstrap : se 1 * = 1154 erreur standard sur m 1 :  classique : se 2 = 2524  bootstrap : se 2 * = 2381 erreur standard sur m 2 :  classique :?  bootstrap : se 2 * = 3635 erreur standard sur n importe quelle statistique  classique :?  bootstrap : TOUJOURS UNE SOLUTION au prix d un peu de calcul Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-9

10 Erreur standard d un coefficient de corrélation (1) performances à des tests de contrôle de connaissance test national précédent la scolarisation r=0776 fiabilité de cette valeur? Â bootstrap note moyenne dans l année qui suit Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-10

11 Erreur standard d un coefficient de corrélation (2) échantillon observé x=( ) statistique d intérêt : corrélation r=0776 B échantillons bootstrap x * =( ) x =( ) *b x =( ) *B calcul de la corrélation r réplications bootstrap de la corrélation r S [r(x *b )- r * ] 2 SE (r) = b = 0775 B-1 avec r * = S r(x *b )/B b = 0134 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-11

12 Erreurs standard en ACP (1) élève notes par matière math phys litt angl mus i x i1 x i2 x ij x i5 N Matrice 5x5 de covariance empirique G : G jk = 1 N S i [x ij - moy i (x ij )] [x ik - moy i (x ik )] j,k=15 Calcul des valeurs propres et vecteurs propres de G : l 1, l 2, l 3, l 4, l 5 et v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 fiabilité du pourcentage d inertie l 1 / S k l k? fiabilité des v k? Â bootstrap Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-12

13 Erreurs standard en ACP (2) B échantillons bootstrap échantillon observé X = élève notes par matière math phys litt angl mus i x i1 x i2 x ij x i5 N statistiques d intérêt : %age d inertie PI = l 1 /S k l k vecteurs propres v k X *1 = X *B = élève notes par matière math phys litt angl mus i x i1 x i2 x ij x i5 N élève notes par matière math phys litt angl mus i x i1 x i2 x ij x i5 calcul de G *b, valeurs propres et vecteurs propres de G réplications bootstrap l 1 *1 /S k l k *1 v 1 *1,v 2 *1,v 3 *1,v 4 *1,v 5 *1 l 1 *B /S k l k *B v 1 *B,v 2 *B,v 3 *B,v 4 *B,v 5 *B N SE (PI) = S [PI(X *b )- PI * ] 2 b B-1 avec PI * = S PI(x *b )/B b SE (v k ) = S [v k (X *b )- v k * ] 2 b B-1 avec v * k =S v k (X *b )/B b Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-13

14 Erreur standard dans l ajustement de courbes (1) Diminution du taux de cholestérol (y) en fonction du pourcentage de la dose prescrite effectivement absorbée (x) x i (%) y i Modèle y i = b 0 + b 1 x i + b 2 x 2 i Ajustement des moindres carrés  ( b 0, b 1, b 2 ) Diminution prédite par le modèle ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ y i = b 0 + b 1 x i + b 2 x i 2 fiabilité des valeurs prédites, ie, erreur standard autour d une valeur prédite pour le modèle considéré? eg, erreur standard autour de y 60%?  bootstrap Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-14

15 Erreur standard dans l ajustement de courbes (2) 1ère approche échantillon observé x i (%) y i statistiques d intérêt : valeurs prédites ^y i B échantillons bootstrap x * y * x *b y *b x *B y *B réplications calcul de ( b 0,b 1,b 2 ) bootstrap de ^ ^ ^ ^ y i y *1 i y *b i y i *B SE (y ^ i ) = S [y i *b - y i* ] 2 b B-1 avec y * i = S y *b i /B b Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-15

16 Erreur standard dans l ajustement de courbes (3) 2ème approche échantillon observé x i (%) y i ajustement du modèle : y i = b 0 +b 1 x i +b 2 x i 2 statistiques d intérêt : valeurs prédites ^y i ^ ^ ^ b 0, b 1, b 2 1 échantillon de résidus : ^e i = y i -b ^ 0 +b ^ 1 x i +b ^ 2 x 2 i ^e i = B échantillons bootstrap de résidus e i * e i *b e i *B modèle : y *b i =b ^ 0 +b ^ 1 x i +b ^ 2 x i2 +e *b i y i *1 y i *b y i *B B réplications bootstrap de y i erreur standard de y^ i ^ Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-16

17 Ajustement de courbes : résumé 2 possibilités : Bootstrap des paires (x i, y i )  pas de modèle nécessaire  suppose que les paires sont des réalisations aléatoires de la population Bootstrap des résidus  sensible au modèle Si modèle incertain, adopter plutôt le bootstrap des paires Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-17

18 Nombre B de réplications bootstrap nécessaire REGLES EMPIRIQUES Même un petit nombre de réplications fournit déjà des informations très utiles B=50 est souvent suffisant pour une estimation fiable de l erreur standard Il est rare que plus de 200 réplications soient nécessaires pour estimer les erreurs standard Exemples : erreur standard de la moyenne m 2 SE(m 2 ) B erreur standard du coefficient de corrélation r SE(r) B Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-18

19 Type de données : structurées vs non structurées Données non structurées  les valeurs de l échantillon observé sont indépendantes  une modification de l ordre des valeurs ne modifie pas l échantillon  exemples : durée de survie des animaux notes des étudiants aux tests notes des étudiants dans les différentes disciplines Données structurées  les valeurs de l échantillon observé ne sont pas indépendantes  l ordre des valeurs dans l échantillon est important  exemples : série temporelle ou chronologique spectre en énergie image ATTENTION Dans le cas de données structurées, la procédure de calcul d échantillons bootstrap ne doit pas détruire la structure! Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-19

20 Bootstrap d une série temporelle : problème Evolution de la concentration d une hormone au cours du temps t c t c t t Modèle centrage des mesures : y t = c t - moy(c t ) modèle AR1 : y t = b y t-1 + e t Ajustement des moindres carrés  b^ ^ Fiabilité de b?  bootstrap Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-20

21 Bootstrap d une série temporelle : 1 ère approche échantillon observé t c t ajustement du modèle : y t = c t - moy(c t ) y t = b y t-1 + e t statistiques d intérêt : paramètre du modèle b^ b^ 1 échantillon de résidus : ^e t = y t - b ^ y t-1 e t ^ résidus non structurés B échantillons bootstrap de résidus e t * modèle : y *b 2 =b ^ y 1 +e *b 2 y *b t =b ^ y *b t-1 +e *b t y t *1 ajustement du modèle ^ b *1 e t *b e t *B y t *b y t *B ^ b *b ^ b *B B réplications bootstrap de b^ erreur standard de b^ Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-21

22 Bootstrap d une série temporelle : 2 ème approche échantillon observé t c t décomposition en blocs indépendants statistiques d intérêt : paramètre du modèle b^ B échantillons bootstrap des blocs t c t * t c t *b t c t *B ajustement du modèle : y t = c t - moy(c t ) y t = b y t-1 + e t b *1 ^ ^ b *b ^ b *B B réplications bootstrap de b^ erreur standard de b^ Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-22

23 Bootstrap d une série temporelle : résumé 2 possibilités : Modèle et bootstrap des résidus  modèle tel que les résidus soient non structurés  bootstrap des résidus  reconstitution de données structurées bootstrap à partir du modèle et des réplications bootstrap des résidus  estimation de la statistique d intérêt sur chaque série temporelle bootstrap reconstituée Bootstrap par blocs  décomposition de la série en blocs indépendants  reconstitution de séries bootstrap en joignant les blocs tirés aléatoirement avec remise  estimation de la statistique d intérêt sur chaque série temporelle bootstrap reconstituée  moins dépendant d un modèle, mais problème du choix de la longueur des blocs Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-23

24 Bootstrap pour l estimation du biais : 1 ère approche biais = valeur estimée - valeur vraie 1 échantillon observé x = (x 1, x 2,, x N ) et 1 statistique d intérêt s(x) : moyenne, médiane, B échantillons bootstrap x *1 = (x 1*, x 2*,, x N * ) calcul de la statistique d intérêt réplications bootstrap de s s(x *1 ) x *b = (x 1*, x 2*,, x N* ) s(x *b ) x *B = (x 1*, x 2*,, x N* ) s(x *B ) Â estimée bootstrap du biais biais = s * - s(x) avec s * = S s(x *b ) /B b Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-24

25 Vecteur de rééchantillonnage 1 échantillon observé x = (x 1, x 2,, x N ) 1 échantillon 1 échantillon bootstrap bootstrap x *b 1 vecteur de rééchantillonnage P *b x *b = (x 1*, x 2*,, x N * ) P *b j = #(x * j = x j )/N j=1,,n = nb d occurrences de x j dans l échantillon bootstrap Exemple : x = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8 ) x *1 = (x 3, x 2, x 7, x 7, x 4, x 3, x 3, x 7 ) P *1 = (0, 1/7, 3/7, 1/7, 0, 0, 3/7, 0) 1 réplication bootstrap de la statistique s(x *b ) 1 fonction S(P *b ) du vecteur de rééchantillonnage P *b Exemple : s(x *b ) = moyenne de l échantillon = S x *b j /N S(P *b ) = S x j P j *b j j Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-25

26 Bootstrap pour l estimation du biais : 2 ème approche 1 échantillon observé x = (x 1, x 2,, x N ) B échantillons bootstrap et 1 statistique d intérêt s(x) : moyenne, médiane, x *1 = (x 1*, x 2*,, x N * ) calcul du vecteur de rééchantillonnage et calcul de la statistique d intérêt P *1, s(x *1 ) x *b = (x 1*, x 2*,, x N* ) P *b, s(x *b ) x *B = (x 1*, x 2*,, x N* ) P *B, s(x *B )  moyenne du vecteur d échantillonnage P * = S P *b /B b  moyenne des réalisations bootstrap de la statistique s * = S s(x *b ) /B b  estimée bootstrap du biais biais = s * - S(P * ) Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-26

27 Bootstrap pour l estimation du biais : exemple échantillon observé x = (26, 27, 29, 36, 35, 33, 35, 24, 31, 34, 42, 28, 35, 35, 27) statistique d intérêt : moyenne m = 3180 valeur vraie = 30 biais estimé B ère approche 2 ème approche -04  convergence des deux approches  convergence beaucoup plus rapide de la 2 ème approche  à la convergence, possible écart par rapport à la valeur vraie, inhérent à l estimation à partir d un échantillon fini Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-27

28 Correction du biais par l approche bootstrap biais = valeur estimée - valeur vraie s corr = s(x) - biais estimé = 2s(x) - s * (1 ère approche) = s(x) - s * + S(P * ) (2 ère approche) ATTENTION  l estimation corrigée du biais n est pas s *  la correction de biais peut être dangereuse en pratique car s corr peut avoir une grande erreur standard RECOMMANDATIONS  si biais faible par rapport à l erreur standard, mieux vaut utiliser s(x) plutôt que s corr  si biais grand par rapport à l erreur standard, s(x) n est probablement pas une bonne approximation de la statistique d intérêt pour la population Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-28

29 Bootstrap ou Jackknife? Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-29

30 Définition d un échantillon jackknife 1 échantillon observé de N valeurs x = (x 1, x 2, x 3, x i x N ) x = (50, 53, 58, 80, 75, 69, 77, 44, 63, 73) échantillon jackknife x i : échantillon original sans l observation i x i = (x 1, x 2, x 3, x i-1, x i+1, x N ) x 3 = (50, 53, 80, 75, 69, 77, 44, 63, 73) à partir d un échantillon observé contenant N valeurs  N échantillons jackknife seulement Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-30

31 Estimation jackknife de l erreur standard et du biais Statistique d intérêt s Estimation jackknife de l erreur standard de s SE jackknife (s) = N-1S [ s(x i ) - s ] 2 N i à comparer à : avec s = S s(x i )/N i SE bootstrap (s) = S [s(x *b )- s * ] 2 b B-1 Â facteur d inflation (N-1)/N requis car les échantillons jackknife sont moins dissemblables de l échantillon initial que les échantillons bootstrap Estimation jackknife du biais biais jackknife (s) = (N-1) [s - s(x) ] Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-31

32 Jackknife versus bootstrap Travaux jackknife préalables aux travaux bootstrap Jackknife = approximation du bootstrap - statistique linéaire s(x) = constante + S fonction(x i )  pas de perte d information par l approche i jackknife - statistique non linéaire s(x)  perte d informations par l approche jackknife  jackknife = approximation linéaire du bootstrap Jackknife = moins efficace que le bootstrap en général  écart entre estimées bootstrap et jackknife fonction de l écart de la statistique d intérêt à la linéarité Echec du jackknife si la statistique d intérêt n est pas une fonction différentiable de x (par exemple, médiane) RECOMMANDATION :  préférer l approche bootstrap! Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-32

33 Bootstrap et estimation d intervalles de confiance Prob ( s Œ [s 1 ; s 2 ] ) = 1-2a Plusieurs approches possibles : - construction de tables bootstrap  non recommandée pour les problèmes non paramétriques - utilisation des percentiles bootstrap  juste au premier ordre : prob(s<s 1 ) = a+c 1 / N et prob(s>s 2 ) = a c 2 / N - méthode BC a : Bias-Corrected and accelerated  juste au second ordre : prob(s<s 1 ) = a+c 1 / N et prob(s>s 2 ) = a c 2 / N  plus qu un avantage théorique  méthode recommandée Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-33

34 Méthode des percentiles bootstrap 1 échantillon observé x = (x 1, x 2,, x N ) B échantillons bootstrap x *1 = (x 1*, x 2*,, x N * ) et 1 statistique d intérêt s(x) : moyenne, médiane, calcul de la statistique d intérêt B réplications bootstrap de s s(x *1 ) x *b = (x 1*, x 2*,, x N* ) s(x *b ) x *B = (x 1*, x 2*,, x N* ) s(x *B ) Classement des B valeurs de s(x *b ) par ordre croissant Intervalle de confiance [s 1 ; s 2 ] couvrant 1-2a, ie, Prob(sŒ[s 1 ;s 2 ])=1-2a intervalle contenant 100* (1-2a)% des valeurs avec : s 1 = 100a ième percentile des s(x *b ) calculés, ie, Ba ième valeur de la liste classée par ordre croissant s 2 = 100(1-a) ième percentile des s(x *b ) calculés, ie, B(1-a) ième valeur de la liste classée par ordre croissant Exemple : B = 2000 et a = 5% s 1 = 100 ème valeur de la liste classée s 2 = 1900 ème valeur de la liste classée Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-34

35 Méthode BC a Bornes s 1 et s 2 également exprimées à partir des percentiles de la distribution bootstrap Bornes s 1 et s 2 différentes de celles de la méthode des percentiles : s 1 = 100a ième 1 percentile des s(x *b ) calculés, ie, Ba ième 1 valeur de la liste classée par ordre croissant s 2 = 100a ième 2 percentile des s(x *b ) calculés, ie, Ba ième 2 valeur de la liste classée par ordre croissant avec : z a 1 = F (z z (a) ) 1 - a (z 0 + z (a) ) z a 2 = F (z z (1-a) ) 1 - a (z 0 + z (1-a) ) où : F est la fonction de distribution cumulée de la loi normale centrée réduite, eg, F(1645) =095 z (a) est le 100 a ième percentile de la loi normale centrée réduite, eg, z (095) =1645 z 0 = F -1 [ (nb de valeurs s(x *b ) < s(x))/b] F -1 est l inverse de la fonction de distribution cumulée de la loi normale centrée réduite, eg, F -1 (095) =1645 a 0 = Prob ( s Œ [s 1 ; s 2 ] ) = 1-2a S [s - s(x i )] 3 i 6 {S [s - s(x i )] 2 } 3/2 i Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-35

36 Nombre d échantillons bootstrap nécessaires ATTENTION Â plus de 1000 échantillons bootstrap sont nécessaires pour une estimation robuste des intervalles de confiance Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-36

37 Bootstrap et tests d hypothèse Les 2 échantillons observés émanent t-il de la même distribution de probabilité? Les moyennes des deux populations sousjacentes à deux échantillons observés sont-elles identiques? La moyenne des observations est-elle significativement différente d une valeur théorique? Â l approche bootstrap peut répondre! Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-37

38 Notion de niveau de signification atteint (ASL) Niveau de signification atteint = Achieved Significance Level ASL Probabilité d observer une valeur de test au moins aussi grande que la valeur observée quand l hypothèse H0 est vraie ASL = Prob H0 (t* t obs ) Plus ASL est faible, plus il y a d évidence pour rejeter H0 Si ASL < a, rejeter H0 La valeur t obs est fixe et correspond à la valeur de test calculée à partir de ou des échantillons effectivement observés La valeur t* correspond à la valeur de test sous l hypothèse H0, estimé par le bootstrap Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-38

39 Tests d hypothèse : principe général Nécessité de définir 2 quantités :  une statistique de test t  la distribution des données F 0 sous l hypothèse H0 Générer B échantillons bootstrap de t(x * ) à partir de la distribution F 0 Calculer le niveau de signification atteint par ASL = (nb de valeurs t(x *b ) t obs )/B Si ASL < a, rejeter H0 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-39

40 Tests d hypothèse : exemple 1 2 échantillons observés y = (y 1, y 2,, y N ), moy(y) = S i y i /N z = (z 1, z 2,, z M ), moy(z) = S i z i /M Les 2 échantillons y et z observés émanent t-il de la même distribution de probabilité F 0? H0 : y et z sont des échantillons issus d une même population de distribution F 0 Former x = (y, z) Tirer B échantillons bootstrap de taille N+M à partir de x Pour chaque échantillon, les N premières observations sont notées y *b et les M suivantes z *b Pour chaque échantillon bootstrap, calculer : t(x *b ) = moy(y *b ) - moy(z *b ) avec moy(y *b ) = S i y i *b /N et moy(z *b ) = S i z i *b /M Calculer le niveau de signification atteint par ASL = (nb de valeurs t(x *b ) t obs )/B où t obs = moy(y) - moy(z ) Si ASL < a, rejeter H0 Rq : une autre statistique de test peut être utilisée à la place de t(x *b ) = moy(y *b )-moy (z *b ), par exemple une statistique de Student Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-40

41 Tests d hypothèse : exemple 2 2 échantillons observés y = (y 1, y 2,, y N ), moy(y) = S i y i /N z = (z 1, z 2,, z M ), moy(z) = S i z i /M Les 2 échantillons y et z observés émanent t-il de populations présentant la même moyenne? H0 : moy(y) = moy(z) Former x = (y, z) et calculer moy(x) = S i y i /N Calculer y i = y i - moy(y) + moy(x) et z i = z i - moy(z) + moy(x) Tirer B échantillons bootstrap y *b de taille N à partir de y, B échantillons bootstrap z *b de taille M à partir de z En déduire B vecteurs x *b = (y *b, z *b ) Pour chaque échantillon bootstrap, calculer : t(x *b ) = moy(y *b ) - moy(z *b ) s y 2*b /N + s z 2*b /M avec moy(y *b ) = S i y i *b /N et moy(z *b ) = S i z i *b /M s y 2*b = S i (y i *b -moy(y *b )) 2 /(N-1) s z 2*b = S i (z i *b -moy(z *b )) 2 /(M-1) Calculer le niveau de signification atteint par ASL = (nb de valeurs t(x *b ) t obs )/B moy(y) - moy(z ) où t obs = s y2 /N + s z2 /M Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-41

42 Tests d hypothèse : exemple 3 1 échantillon observé x = (x 1, x 2,, x N ), moy(x) = S i x i /N La moyenne de l échantillon observé vaut-elle m? H0 : moy(x) = m Tirer B échantillons bootstrap x *b de taille N à partir de x Pour chaque échantillon bootstrap, calculer : t(x *b ) = moy(x *b ) - moy(x) s 2*b /N avec moy(x *b ) = S i x i *b /N s 2*b = S i (x i *b -moy(x *b )) 2 /(N-1) Calculer le niveau de signification atteint par ASL = (nb de valeurs t(x *b ) t obs )/B où t obs = moy(x) - m s 2 /N Si ASL < a, rejeter H0 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-42

43 Bootstrap paramétrique 1 échantillon observé de N valeurs x = (50 ; 53 ; 58 ; 80 ; 75 ; 69 ; 77 ; 44 ; 63 ; 73) non paramétrique paramétrique estimation de la loi de la population 1 échantillon bootstrap : 1 tirage aléatoire de N valeurs parmi l échantillon original, avec remise 1 échantillon bootstrap : 1 tirage aléatoire de N valeurs à partir de la loi de la population Bootstrap non paramétrique  aucune hypothèse de loi de la population sousjacente nécessaire Bootstrap paramétrique  moins biaisé que les expressions analytiques  fournit des solutions aux problèmes pour lesquels il n existe pas de formule analytique Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-43

44 Bilan Bootstrap = méthode d inférence statistique adaptée au contexte non paramétrique 1 seul échantillon d observations nécessaire Permet d estimer la distribution sous-jacente à une population Permet d associer des erreurs standard à virtuellement n importe quelle statistique :  moyenne, médiane  coefficient de corrélation  paramètres issus d une modélisation des données  analyse multidimensionnelle (ACP) Permet d étudier le biais associé à une statistique calculée à partir d un seul échantillon Permet de calculer des intervalles de confiance et de réaliser des tests d hypothèse Estimateurs bootstrap = estimateurs non biaisés Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-44

45 Sujets plus avancés relatifs au bootstrap Estimation de la puissance d un test à partir du bootstrap Erreurs associées aux estimations bootstrap Prédiction d erreurs par l approche bootstrap Bootstrap et images : Â détermination des propriétés statistiques (eg, variance) d images issues de traitements Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-45

46 Référence recommandée An Introduction to the Bootstrap Monographs on Statistics and Applied Probability 57 Bradley Efron Robert J Tibshirani Chapman & Hall 1993 Introduction à l approche bootstrap - Irène Buvat - 21/9/00-46

Le bootstrap expliqué par l exemple

Le bootstrap expliqué par l exemple Le bootstrap expliqué par l exemple 1 Le bootstrap expliqué par l exemple 1. Les concepts du bootstrap 2. Des variantes adaptées au contexte 3. Comparaison des différentes méthodes 4. Les cas sensibles

Plus en détail

TABLE DES MATIÈRES. Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p.

TABLE DES MATIÈRES. Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p. STATISTIQUE THÉORIQUE ET APPLIQUÉE Tome 2 Inférence statistique à une et à deux dimensions Pierre Dagnelie TABLE DES MATIÈRES Bruxelles, De Boeck, 2011, 736 p. ISBN 978-2-8041-6336-5 De Boeck Services,

Plus en détail

Le risque Idiosyncrasique

Le risque Idiosyncrasique Le risque Idiosyncrasique -Pierre CADESTIN -Magali DRIGHES -Raphael MINATO -Mathieu SELLES 1 Introduction Risque idiosyncrasique : risque non pris en compte dans le risque de marché (indépendant des phénomènes

Plus en détail

Jackknife et bootstrap comparés

Jackknife et bootstrap comparés Jackknife et bootstrap comparés Statistique linéaire θ(x 1,...,X n ) = c + n 1 n 1 α(x i) c constante, α fonction Exemples : X, 1 + n 1 Xi /n Jackknife et bootstrap comparés Statistique linéaire θ(x 1,...,X

Plus en détail

Validation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble

Validation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble Validation probabiliste d un Système de Prévision d Ensemble Guillem Candille, janvier 2006 Système de Prévision d Ensemble (EPS) (ECMWF Newsletter 90, 2001) Plan 1 Critères de validation probabiliste

Plus en détail

VI. Tests non paramétriques sur un échantillon

VI. Tests non paramétriques sur un échantillon VI. Tests non paramétriques sur un échantillon Le modèle n est pas un modèle paramétrique «TESTS du CHI-DEUX» : VI.1. Test d ajustement à une loi donnée VI.. Test d indépendance de deux facteurs 96 Différentes

Plus en détail

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives

Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Analyse des données - Méthodes explicatives (STA102) Introduction au cours STA 102 Analyse des données : Méthodes explicatives Giorgio Russolillo giorgio.russolillo@cnam.fr Infos et support du cours Slide

Plus en détail

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42

TABLE DES MATIERES. C Exercices complémentaires 42 TABLE DES MATIERES Chapitre I : Echantillonnage A - Rappels de cours 1. Lois de probabilités de base rencontrées en statistique 1 1.1 Définitions et caractérisations 1 1.2 Les propriétés de convergence

Plus en détail

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions

Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions ISTIL, Tronc commun de première année Introduction aux méthodes probabilistes et statistiques, 2008 2009 Estimation et tests statistiques, TD 5. Solutions Exercice 1 Dans un centre avicole, des études

Plus en détail

LOAD PROFILING : ESTIMATION D UNE COURBE DE CONSOMMATION ET PRECISION D ESTIMATION

LOAD PROFILING : ESTIMATION D UNE COURBE DE CONSOMMATION ET PRECISION D ESTIMATION LOAD PROFILING : ESTIMATION D UNE COURBE DE CONSOMMATION ET PRECISION D ESTIMATION Olivier Chaouy EDF R&D 1, avenue du Général de Gaulle - 92141 Clamart Cedex - France olivier.chaouy@edf.fr Résumé : Le

Plus en détail

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation

La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation La survie nette actuelle à long terme Qualités de sept méthodes d estimation PAR Alireza MOGHADDAM TUTEUR : Guy HÉDELIN Laboratoire d Épidémiologie et de Santé publique, EA 80 Faculté de Médecine de Strasbourg

Plus en détail

Analyse des données individuelles groupées

Analyse des données individuelles groupées Analyse des données individuelles groupées Analyse des Temps de Réponse Le modèle mixte linéaire (L2M) Y ij, j-ième observation continue de l individu i (i = 1,, N ; j =1,, n) et le vecteur des réponses

Plus en détail

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE

Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse. José LABARERE UE4 : Biostatistiques Chapitre 3 : Principe des tests statistiques d hypothèse José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. Plan I. Introduction

Plus en détail

HUITIEME PARTIE ANALYSE EN COMPSANTES PRINCIPALES

HUITIEME PARTIE ANALYSE EN COMPSANTES PRINCIPALES 105 HUITIEME PARTIE ANALYSE EN COMPSANTES PRINCIPALES 1. Introduction En statistiques il arrive fréquemment que les individus soient décrits par un grand nombre de caractères. : voitures décrites par leur

Plus en détail

La régression logistique. Par Sonia NEJI et Anne-Hélène JIGOREL

La régression logistique. Par Sonia NEJI et Anne-Hélène JIGOREL La régression logistique Par Sonia NEJI et Anne-Hélène JIGOREL Introduction La régression logistique s applique au cas où: Y est qualitative à 2 modalités Xk qualitatives ou quantitatives Le plus souvent

Plus en détail

Chapitre 3 : INFERENCE

Chapitre 3 : INFERENCE Chapitre 3 : INFERENCE 3.1 L ÉCHANTILLONNAGE 3.1.1 Introduction 3.1.2 L échantillonnage aléatoire 3.1.3 Estimation ponctuelle 3.1.4 Distributions d échantillonnage 3.1.5 Intervalles de probabilité L échantillonnage

Plus en détail

Analyse de données et méthodes numériques

Analyse de données et méthodes numériques Analyse de données et méthodes numériques Analyse de données: Que faire avec un résultat? Comment le décrire? Comment l analyser? Quels sont les «modèles» mathématiques associés? Analyse de données et

Plus en détail

Les données manquantes en statistique

Les données manquantes en statistique Les données manquantes en statistique N. MEYER Laboratoire de Biostatistique -Faculté de Médecine Dép. Santé Publique CHU - STRASBOURG Séminaire de Statistique - 7 novembre 2006 Les données manquantes

Plus en détail

Principe d un test statistique

Principe d un test statistique Biostatistiques Principe d un test statistique Professeur Jean-Luc BOSSON PCEM2 - Année universitaire 2012/2013 Faculté de Médecine de Grenoble (UJF) - Tous droits réservés. Objectifs pédagogiques Comprendre

Plus en détail

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures)

CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE. Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE. (durée : cinq heures) CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2007 CONCOURS EXTERNE Cinquième épreuve d admissibilité STATISTIQUE (durée : cinq heures) Une composition portant sur la statistique. SUJET Cette épreuve est composée d un

Plus en détail

L essentiel sur les tests statistiques

L essentiel sur les tests statistiques L essentiel sur les tests statistiques 21 septembre 2014 2 Chapitre 1 Tests statistiques Nous considérerons deux exemples au long de ce chapitre. Abondance en C, G : On considère une séquence d ADN et

Plus en détail

Bootstrap et procédures de rééchantillonnage

Bootstrap et procédures de rééchantillonnage Bootstrap et procédures de rééchantillonnage Alain MORINEAU www.deenov.com L'analyse des données au XXI ème siècle Alain Morineau 1 Notions utiles (en bref) Population, échantillon, variabilité Estimation,

Plus en détail

COURS DE STATISTIQUES (24h)

COURS DE STATISTIQUES (24h) COURS DE STATISTIQUES (24h) Introduction Statistiques descriptives (4 h) Rappels de Probabilités (4 h) Echantillonnage(4 h) Estimation ponctuelle (6 h) Introduction aux tests (6 h) Qu est-ce que la statistique?

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Regime Switching Model : une approche «pseudo» multivarie e

Regime Switching Model : une approche «pseudo» multivarie e Regime Switching Model : une approche «pseudo» multivarie e A. Zerrad 1, R&D, Nexialog Consulting, Juin 2015 azerrad@nexialog.com Les crises financières survenues dans les trente dernières années et les

Plus en détail

Statistique. Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.

Statistique. Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7. Statistique Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l Information jyt@n7.fr Cours Statistique, 2010 p. 1/52 Plan du cours Chapitre 1 : Estimation

Plus en détail

Tests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique»

Tests de comparaison de moyennes. Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Tests de comparaison de moyennes Dr Sahar BAYAT MASTER 1 année 2009-2010 UE «Introduction à la biostatistique» Test de Z ou de l écart réduit Le test de Z : comparer des paramètres en testant leurs différences

Plus en détail

Cours de Statistiques

Cours de Statistiques Cours de Statistiques Romain Raveaux 1 1 Laboratoire L3I Université de La Rochelle romain.raveaux01 at univ-lr.fr Octobre 24-11, 2008 1 / 35 Sommaire 1 Quelques Rappels 2 numériques Relations entre deux

Plus en détail

Analyse de données longitudinales continues avec applications

Analyse de données longitudinales continues avec applications Université de Liège Département de Mathématique 29 Octobre 2002 Analyse de données longitudinales continues avec applications David MAGIS 1 Programme 1. Introduction 2. Exemples 3. Méthodes simples 4.

Plus en détail

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss

Loi normale ou loi de Laplace-Gauss LivreSansTitre1.book Page 44 Mardi, 22. juin 2010 10:40 10 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss I. Définition de la loi normale II. Tables de la loi normale centrée réduite S il y avait une seule loi de

Plus en détail

CHAPITRE 1 La nature de l économétrie et la structure des données économiques... 25

CHAPITRE 1 La nature de l économétrie et la structure des données économiques... 25 TABLE DES MATIÈRES Sommaire... 5 Avant- propos... 9 Remerciements... 19 À propos de l auteur... 23 CHAPITRE 1 La nature de l économétrie et la structure des données économiques... 25 1.1 Qu est- ce que

Plus en détail

Analyse de la variance à deux facteurs

Analyse de la variance à deux facteurs 1 1 IRMA, Université Louis Pasteur Strasbourg, France Master 1 Psychologie du développement 06-10-2008 Contexte Nous nous proposons d analyser l influence du temps et de trois espèces ligneuses d arbre

Plus en détail

Fondements et étapes du processus de recherche, 3 e édition

Fondements et étapes du processus de recherche, 3 e édition Fondements et étapes du processus de recherche, 3 e édition Nouveauté Méthodes quantitatives et qualitatives Prix : 81,95 $ Auteurs : Marie-Fabienne Fortin, Johanne Gagnon ISBN13 : 9782765050063 Nombre

Plus en détail

Lot Quality Assurance Sampling. Elise Naoufal EVARISQ 15 septembre 2011

Lot Quality Assurance Sampling. Elise Naoufal EVARISQ 15 septembre 2011 Lot Quality Assurance Sampling LQAS Elise Naoufal EVARISQ 15 septembre 2011 1 LQAS Une question d efficacité? LQAS et santé Méthode et Fondements théoriques Détermination du couple (n,d n,d) Conclusion

Plus en détail

Value at Risk - étude de cas

Value at Risk - étude de cas Value at Risk - étude de cas Daniel Herlemont 17 juin 2011 Table des matières 1 Introduction 1 2 La Value at Risk 1 2.1 La VaR historique................................. 2 2.2 La VaR normale..................................

Plus en détail

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ

L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et

Plus en détail

NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION

NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION NOTE SUR LA MODELISATION DU RISQUE D INFLATION 1/ RESUME DE L ANALYSE Cette étude a pour objectif de modéliser l écart entre deux indices d inflation afin d appréhender le risque à très long terme qui

Plus en détail

geffray@math.unistra.fr Outils pour la statistique avancée Année 2015/2016 TD 1 : Bootstrap

geffray@math.unistra.fr Outils pour la statistique avancée Année 2015/2016 TD 1 : Bootstrap Université de Strasbourg Ségolen Geffray M2 - Statistique geffray@math.unistra.fr Outils pour la statistique avancée Année 2015/2016 TD 1 : Bootstrap Ces exercices seront effectués au moyen du logiciel

Plus en détail

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation

Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels techniques et administratifs de recherche et de formation Programme des épreuves des concours externes de recrutement des personnels E1 RECRUTEMENT DES ASSISTANTS INGENIEURS DE RECHERCHE ET DE FORMATION...2 E1.1 Gestionnaire de base de données...2 E1.2 Développeur

Plus en détail

3. COMPARAISON DE PLUS DE DEUX GROUPES

3. COMPARAISON DE PLUS DE DEUX GROUPES 3. COMPARAISON DE PLUS DE DEUX GROUPES La comparaison de moyennes de plus de deux échantillons se fait généralement par une analyse de variance (ANOVA) L analyse de variance suppose l homogénéité des variances

Plus en détail

Licence Pro Amélioration Végétale

Licence Pro Amélioration Végétale Analyse de données Licence Pro Amélioration Végétale Marc Bailly-Bechet Université Claude Bernard Lyon I France marc.bailly-bechet@univ-lyon1.fr 1 marc.bailly-bechet@univ-lyon1.fr Analyse de données Des

Plus en détail

Table des matières. PREMIÈRE PARTIE Étapes initiales des études marketing 7

Table des matières. PREMIÈRE PARTIE Étapes initiales des études marketing 7 Table des matières Préface Public 1 Structure de l ouvrage 1 Caractéristiques de l ouvrage 3 Contenu 3 Pédagogie 4 Remarques sur l adaptation française 4 Ressources numériques 5 Biographie 6 PREMIÈRE PARTIE

Plus en détail

RAPPORT SUR L ETUDE DES DONNEES FINANCIERES ET STATISTIQUES A L AIDE DU LOGICIEL SCILAB

RAPPORT SUR L ETUDE DES DONNEES FINANCIERES ET STATISTIQUES A L AIDE DU LOGICIEL SCILAB RAPPORT SUR L ETUDE DES DONNEES FINANCIERES ET STATISTIQUES A L AIDE DU LOGICIEL SCILAB PAR : MAROOF ASIM DAN BENTOLILA WISSAM ESSID GROUPE 1 LM206 Lundi 10H45 INTRODUCTION : ( Ce rapport est un compte

Plus en détail

Introduction à la simulation de Monte Carlo

Introduction à la simulation de Monte Carlo Introduction à la simulation de 6-601-09 Simulation Geneviève Gauthier HEC Montréal e 1 d une I Soit X 1, X,..., X n des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Elles sont obtenues

Plus en détail

Méthodes Statistiques Appliquées à la Qualité et à la Gestion des Risques - Le Contrôle Statistique

Méthodes Statistiques Appliquées à la Qualité et à la Gestion des Risques - Le Contrôle Statistique Méthodes Statistiques Appliquées à la Qualité et à la Gestion des Risques - Le Contrôle Statistique Jean Gaudart Laboratoire d Enseignement et de Recherche sur le Traitement de l Information Médicale jean.gaudart@univmed.fr

Plus en détail

Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs!

Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs! France Le Data Mining au service du Scoring ou notation statistique des emprunteurs! Comme le rappelle la CNIL dans sa délibération n 88-083 du 5 Juillet 1988 portant adoption d une recommandation relative

Plus en détail

Petit déjeuner Actuariat - 27 juin 2013

Petit déjeuner Actuariat - 27 juin 2013 Provisions pour Prestations à Payer en Assurance Santé : Comparaisons de méthodes d estimation sur la base de simulations de remboursements Petit déjeuner Actuariat - 27 juin 2013 Petit déjeuner Actuariat

Plus en détail

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014

STATISTIQUES. Cours I : Test d hypothèses. Télécom Physique Strasbourg Module 2101. Fabrice Heitz. Octobre 2014 Télécom Physique Strasbourg Module 2101 STATISTIQUES Cours I : Test d hypothèses Fabrice Heitz Octobre 2014 Fabrice Heitz (Télécom PS) Statistiques 2014 1 / 75 Cours I TESTS D HYPOTHÈSES Fabrice Heitz

Plus en détail

Les variables indépendantes catégorielles

Les variables indépendantes catégorielles Les variables indépendantes catégorielles Jean-François Bickel Statistique II SP08 Jusqu à maintenant, nous avons considéré comme variables indépendantes uniquement des variables intervalles (âge) ou traitées

Plus en détail

Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE

Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE Chapitre 5 UE4 : Biostatistiques Tests paramétriques de comparaison de 2 moyennes Exercices commentés José LABARERE Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés.

Plus en détail

Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés

Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Analyses de Variance à un ou plusieurs facteurs Régressions Analyse de Covariance Modèles Linéaires Généralisés Professeur Patrice Francour francour@unice.fr Une grande partie des illustrations viennent

Plus en détail

Analyse Statistique pour Le Traitement d Enquêtes

Analyse Statistique pour Le Traitement d Enquêtes DAT 104, année 2004-2005 p. 1/90 Analyse Statistique pour Le Traitement d Enquêtes Mastère Développement Agricole Tropical Stéphanie Laffont & Vivien ROSSI UMR ENSAM-INRA Analyse des systèmes et Biométrie

Plus en détail

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens

Chapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques

Plus en détail

INTRODUCTION A LA RECHERCHE QUANTITATIVE

INTRODUCTION A LA RECHERCHE QUANTITATIVE INTRODUCTION A LA RECHERCHE QUANTITATIVE Deuxième partie : de la base de données aux résultats Juin 2010 Julien Gelly, Caroline Huas, Josselin Le Bel Plan 2 1. Introduction 2. Saisie des données : Epi

Plus en détail

Analyse de variance à un facteur Tests d hypothèses Analyse de variance à deux facteurs. Analyse de la variance ANOVA

Analyse de variance à un facteur Tests d hypothèses Analyse de variance à deux facteurs. Analyse de la variance ANOVA Analyse de la variance ANOVA Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 1 Analyse de variance à un facteur Terminologie Modèles statistiques Estimation des paramètres 2 3 Exemple. Analyse

Plus en détail

Introduction à l analyse quantitative

Introduction à l analyse quantitative Introduction à l analyse quantitative Vue d ensemble du webinaire Le webinaire sera enregistré. Les diapositives et tous les autres documents seront envoyés aux participants après la séance. La séance

Plus en détail

Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes

Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Analyse de la variance Comparaison de plusieurs moyennes Biostatistique Pr. Nicolas MEYER Laboratoire de Biostatistique et Informatique Médicale Fac. de Médecine de Strasbourg Mars 2011 Plan 1 Introduction

Plus en détail

STATISTIQUES. UE Modélisation pour la biologie

STATISTIQUES. UE Modélisation pour la biologie STATISTIQUES UE Modélisation pour la biologie 2011 Cadre Général n individus: 1, 2,..., n Y variable à expliquer : Y = (y 1, y 2,..., y n ), y i R Modèle: Y = Xθ + ε X matrice du plan d expériences θ paramètres

Plus en détail

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires

Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Méthodes de Monte-Carlo Simulation de grandeurs aléatoires Master Modélisation et Simulation / ENSTA TD 1 2012-2013 Les méthodes dites de Monte-Carlo consistent en des simulations expérimentales de problèmes

Plus en détail

Régression linéaire. Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr

Régression linéaire. Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr Régression linéaire Nicolas Turenne INRA nicolas.turenne@jouy.inra.fr 2005 Plan Régression linéaire simple Régression multiple Compréhension de la sortie de la régression Coefficient de détermination R

Plus en détail

La régression logistique

La régression logistique La régression logistique Présentation pour le cours SOL6210, Analyse quantitative avancée Claire Durand, 2015 1 Utilisation PQuand la variable dépendante est nominale ou ordinale < Deux types selon la

Plus en détail

Statistiques Descriptives à une dimension

Statistiques Descriptives à une dimension I. Introduction et Définitions 1. Introduction La statistique est une science qui a pour objectif de recueillir et de traiter les informations, souvent en très grand nombre. Elle regroupe l ensemble des

Plus en détail

Conditions d application des méthodes statistiques paramétriques :

Conditions d application des méthodes statistiques paramétriques : Conditions d application des méthodes statistiques paramétriques : applications sur ordinateur GLELE KAKAÏ R., SODJINOU E., FONTON N. Cotonou, Décembre 006 Conditions d application des méthodes statistiques

Plus en détail

Chapitre VI Échantillonages et simulations

Chapitre VI Échantillonages et simulations Chapitre VI Commentaires : Récursivement, les commentaires ne sont pas à l attention des élèves.. Fluctuation d échantillonnage Définition : En statistiques, un échantillon de taille n est la liste des

Plus en détail

CNAM 2002-2003 2léments de cours Bonus-malus et Crédibilité

CNAM 2002-2003 2léments de cours Bonus-malus et Crédibilité 1 CNAM 2002-2003 2léments de cours Bonus-malus et Crédibilité Une situation fréquente en pratique est de disposer non pas d un résultat mais de plusieurs. Le cas se présente en assurance, par exemple :

Plus en détail

Analyse de spectres d absorbance pour la prédiction des taux de moisissure, de matières grasses et de protéines d échantillons de viande

Analyse de spectres d absorbance pour la prédiction des taux de moisissure, de matières grasses et de protéines d échantillons de viande Université de Nantes M2 Ingénierie Mathématiques Rapport de chimiométrie Analyse de spectres d absorbance pour la prédiction des taux de moisissure, de matières grasses et de protéines d échantillons de

Plus en détail

Discrétisation et génération de hiérarchies de concepts

Discrétisation et génération de hiérarchies de concepts Prétraitement des données 1 Pourquoi prétraiter les données? Nettoyage des données Intégration et transformation Réduction des données Discrétisation et génération de hiérarchies de g concepts Pourquoi

Plus en détail

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites

La problématique des tests. Cours V. 7 mars 2008. Comment quantifier la performance d un test? Hypothèses simples et composites La problématique des tests Cours V 7 mars 8 Test d hypothèses [Section 6.1] Soit un modèle statistique P θ ; θ Θ} et des hypothèses H : θ Θ H 1 : θ Θ 1 = Θ \ Θ Un test (pur) est une statistique à valeur

Plus en détail

Examen d accès - 1 Octobre 2009

Examen d accès - 1 Octobre 2009 Examen d accès - 1 Octobre 2009 Aucun document autorisé - Calculatrice fournie par le centre d examen Ce examen est un questionnaire à choix multiples constitué de 50 questions. Plusieurs réponses sont

Plus en détail

Précision d un résultat et calculs d incertitudes

Précision d un résultat et calculs d incertitudes Précision d un résultat et calculs d incertitudes PSI* 2012-2013 Lycée Chaptal 3 Table des matières Table des matières 1. Présentation d un résultat numérique................................ 4 1.1 Notations.........................................................

Plus en détail

MÉTHODES ET STATISTIQUES POUR LIRE UN ARTICLE

MÉTHODES ET STATISTIQUES POUR LIRE UN ARTICLE MÉTHODES ET STATISTIQUES POUR LIRE UN ARTICLE Forum HH 05.02.2013 Ghislaine Gagnon Unité HPCI Qualitatif ou quantitatif? Les 2 méthodes peuvent être utilisées séparément ou en conjonction - le qualitatif

Plus en détail

Evaluation d un test diagnostique - Concordance

Evaluation d un test diagnostique - Concordance Evaluation d un test diagnostique - Concordance Michaël Genin Université de Lille 2 EA 2694 - Santé Publique : Epidémiologie et Qualité des soins michaelgenin@univ-lille2fr Plan 1 Introduction 2 Evaluation

Plus en détail

Apprentissage par renforcement (1a/3)

Apprentissage par renforcement (1a/3) Apprentissage par renforcement (1a/3) Bruno Bouzy 23 septembre 2014 Ce document est le chapitre «Apprentissage par renforcement» du cours d apprentissage automatique donné aux étudiants de Master MI, parcours

Plus en détail

Modélisation stochastique des données à partir d essais sur matériaux. Pr. Denys Breysse Université Bordeaux 1

Modélisation stochastique des données à partir d essais sur matériaux. Pr. Denys Breysse Université Bordeaux 1 Modélisation stochastique des données à partir d essais sur matériaux Pr. Denys Breysse Université Bordeaux 1 Hasard cause fictive de ce qui arrive sans raison apparente ou explicable (Petit Robert). Ce

Plus en détail

9. Distributions d échantillonnage

9. Distributions d échantillonnage 9. Distributions d échantillonnage MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v3) MTH2302D: distributions d échantillonnage 1/46 Plan 1. Échantillons aléatoires 2. Statistiques et distributions

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Module 2 29 Décembre 2009 Intervenant: Dhuin STATISTIQUES

Module 2 29 Décembre 2009 Intervenant: Dhuin STATISTIQUES STATISTIQUES I. Séries statistiques simples... 1 A. Définitions... 1 1. Population... 1 2. Caractère statistique... 1 B. Séries classées / représentations graphiques.... 2 1. Séries classées... 2 2. Représentations

Plus en détail

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005

Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Université René Descartes Faculté de Pharmacie - Master Professionnel Dimension Économique des Produits de Santé 14 décembre 2005 Prise en Compte de l Incertitude dans l Évaluation des Technologies de

Plus en détail

Evaluation de la performance prédictive de modèles robustes

Evaluation de la performance prédictive de modèles robustes Evaluation de la performance prédictive de modèles robustes 1 olivier.schoeni@unifr.ch 1 Département d Informatique Université de Fribourg (Suisse) Table des matières 1 2 Tests sur la performance prédictive

Plus en détail

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels

Modélisation aléatoire en fiabilité des logiciels collection Méthodes stochastiques appliquées dirigée par Nikolaos Limnios et Jacques Janssen La sûreté de fonctionnement des systèmes informatiques est aujourd hui un enjeu économique et sociétal majeur.

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

Analyse de l évolution de la structure des ménages dans l enquête sur le budget des ménages

Analyse de l évolution de la structure des ménages dans l enquête sur le budget des ménages Analyse de l évolution de la structure des ménages dans l enquête sur le budget des ménages S. Winandy, R. Palm OCA GxABT/ULg oca.gembloux@ulg.ac.be décembre 2011 1 Introduction La Direction Générale Statistique

Plus en détail

Paramètres de position

Paramètres de position Paramètres de position 1 On va parler ici des statistiques quantitatives. On veut les résumer par des nombres. On a deux types de nombres Les paramètre de position : ce sont ceux qui définissent une notion

Plus en détail

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface

Table des matières. I Mise à niveau 11. Préface Table des matières Préface v I Mise à niveau 11 1 Bases du calcul commercial 13 1.1 Alphabet grec...................................... 13 1.2 Symboles mathématiques............................... 14 1.3

Plus en détail

11. Tests d hypothèses (partie 1/2)

11. Tests d hypothèses (partie 1/2) 11. Tests d hypothèses (partie 1/2) MTH2302D S. Le Digabel, École Polytechnique de Montréal H2015 (v1) MTH2302D: tests d hypothèses 1/30 Plan 1. Introduction 2. Hypothèses et erreurs 3. Tests d hypothèses

Plus en détail

Jackknife, bootstrap et cross-validation

Jackknife, bootstrap et cross-validation But de l inférence statistique On a X = (X 1,..., X n) un échantillon i.i.d. de fonction de répartition F θ(f ) une quantité d intérêt, qui dépend de F T (X ) une statistique, estimateur de θ(f ), on voudrait

Plus en détail

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord

Soutien illimité 7j/7 en maths: Coach, profs, exercices & annales, cours. Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord Sujet de Bac 2013 Maths S Obligatoire & Spécialité - Amérique du Nord EXERCICE 1 : 5 points On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère les points,, et. 1. Démontrer que les points,

Plus en détail

Cours 7 : Exemples. I- Régression linéaire simple II- Analyse de variance à 1 facteur III- Tests statistiques

Cours 7 : Exemples. I- Régression linéaire simple II- Analyse de variance à 1 facteur III- Tests statistiques Cours 7 : Exemples I- Régression linéaire simple II- Analyse de variance à 1 facteur III- Tests statistiques Exemple 1 : On cherche à expliquer les variations de y par celles d une fonction linéaire de

Plus en détail

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free.

Actuariat I ACT2121. huitième séance. Arthur Charpentier. Automne 2012. charpentier.arthur@uqam.ca. http ://freakonometrics.blog.free. Actuariat I ACT2121 huitième séance Arthur Charpentier charpentier.arthur@uqam.ca http ://freakonometrics.blog.free.fr/ Automne 2012 1 Exercice 1 Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité

Plus en détail

Eléments de statistique Introduction - Analyse de données exploratoire

Eléments de statistique Introduction - Analyse de données exploratoire Eléments de statistique Introduction - Louis Wehenkel Département d Electricité, Electronique et Informatique - Université de Liège B24/II.93 - L.Wehenkel@ulg.ac.be MATH0487-2 : 3BacIng, 3BacInf - 16/9/2014

Plus en détail

Analyse de la variance

Analyse de la variance M2 Statistiques et Econométrie Fanny MEYER Morgane CADRAN Margaux GAILLARD Plan du cours I. Introduction II. Analyse de la variance à un facteur III. Analyse de la variance à deux facteurs IV. Analyse

Plus en détail

NOUVELLES MESURES DE DÉPENDANCE POUR

NOUVELLES MESURES DE DÉPENDANCE POUR NOUVELLES MESURES DE DÉPENDANCE POUR UNE MODÉLISATION ALPHA-STABLE. Bernard GAREL & Bernédy KODIA Institut de Mathématiques de Toulouse et INPT-ENSEEIHT Xèmmes Journées de Méthodologie Statistique de l

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies

Simulations des Grecques : Malliavin vs Différences finies 0.1. LES GRECQUES 1 Simulations des Grecques : iavin vs Différences finies Christophe Chorro Ce petit document vise à illustrer de manière numérique les techniques présentées lors du mini cours sur le

Plus en détail

L'APPROCHE EXPERIMENTALE EN RECHERCHE: introduction aux statistiques.

L'APPROCHE EXPERIMENTALE EN RECHERCHE: introduction aux statistiques. L'APPROCHE EXPERIMENTALE EN RECHERCHE: introduction aux statistiques 1 BUTS DU COURS : se familiariser avec le vocabulaire statistique o variable dépendante, variable indépendante o statistique descriptive,

Plus en détail

Simulation Examen de Statistique Approfondie II **Corrigé **

Simulation Examen de Statistique Approfondie II **Corrigé ** Simulation Examen de Statistique Approfondie II **Corrigé ** Ces quatre exercices sont issus du livre d exercices de François Husson et de Jérôme Pagès intitulé Statistiques générales pour utilisateurs,

Plus en détail

Modélisation coalescente pour la détection précoce d un cancer

Modélisation coalescente pour la détection précoce d un cancer Modélisation coalescente pour la détection précoce d un cancer Mathieu Emily 27 Novembre 2007 Bioinformatics Research Center - Université d Aarhus Danemark Mathieu Emily Coalescence et cancer 1 Introduction

Plus en détail

Espérance, variance, quantiles

Espérance, variance, quantiles Espérance, variance, quantiles Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 22 mai 2008 0. Motivation Mesures de centralité (ex. espérance) et de dispersion (ex. variance) 1 f(x) 0.0 0.1

Plus en détail

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous

StatEnAction 2009/10/30 11:26 page 111 #127 CHAPITRE 10. Machines à sous StatEnAction 2009/0/30 :26 page #27 CHAPITRE 0 Machines à sous Résumé. On étudie un problème lié aux jeux de hasard. Il concerne les machines à sous et est appelé problème de prédiction de bandits à deux

Plus en détail

Les modèles d équations structurelles à variables latentes Applications et exercices

Les modèles d équations structurelles à variables latentes Applications et exercices Les modèles d équations structurelles à variables latentes Applications et eercices Emmanuel Jakobowicz Addinsoft XLSTAT 30 mars 2011 Cours de Statistique Multivariée Approfondie 1 Le modèle structurel

Plus en détail