Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale

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1 Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale David BONACCI Institut National Polytechnique de Toulouse (INP) École Nationale Supérieure d Électrotechnique, d Électronique, d Informatique, d Hydraulique et des Télécommunications (ENSEEIHT) Laboratoire Télécommunications Spatiales et Aéronautiques (TéSA) David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

2 Objectifs de la thèse Objectif 1: Présenter les divers avantages ou inconvénients nients de l analyse spectrale paramétrique dans les sous-bandes. Objectif 2: Présenter des méthodes m originales destinées à éliminer ces inconvénients. nients. - Recouvrement spectral. - Diminution du nombre d échantillons par décimation. d Focalisation sur des méthodes m d analyse spectrale paramétriques. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

3 Plan de la présentation Présentation - Analyse spectrale paramétrique. - Découpage en sous-bandes. Intérêt du découpage d en sous-bandes pour l analyse spectrale et les problèmes rencontrés. Travaux originaux - Élimination des problèmes dus au recouvrement spectral. - Utilisation des intercorrélations entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Conclusions et perspectives. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

4 Analyse spectrale paramétrique - Principe - Basée e sur la connaissance a priori d un modèle mathématique matique du signal à analyser. Nécessite N le choix d un modèle et de sa dimension. On estime les paramètres de ce modèle (Fourier estime directement le spectre à partir des échantillons). David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

5 Analyse spectrale paramétrique - Modèle AR - Modèle «tous pôles» qui s écrit à l ordre p: Spectre du modèle AR Interprétation tation physique possible sous la forme du filtrage linéaire invariant d un bruit blanc David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

6 Analyse spectrale paramétrique - Autres modèles paramétriques - Modèle de Prony - Adapté à des sinusoïdes amorties (extension possible à la modélisation de signaux non stationnaires). - Horizon temporel de prédiction relativement réduit. r Méthode du maximum de vraisemblance - Méthode statistique. Basée e sur la minimisation d un critère re (forme quadratique). Méthodes haute-résolution - SVD, MUSIC, Esprit,... - sous-espaces signal et bruit. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

7 Analyse spectrale paramétrique - Intérêt - Extension de la connaissance du signal en dehors de la fenêtre temporelle d observation augmentation de la résolution fréquentielle. Paramètres N=200 échantillons100 réalisations SNR=-2dB p=60 David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

8 Découpage en sous-bandes décimation : x j ( n) v j ( m n) j interpolation : y j ( n) x 0 j ( n / m j ) si n est multiple de sinon m j David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

9 Découpage en sous-bandes Définitions si m j M, j banc de filtres uniforme si j, le filtre H j est un passe bande idéal banc de filtres idéal M-1 1 si j0 m j 1 banc de filtres maximalement décimé M-1 1 si j0 m j 1 banc de filtres sur - décimé M-1 1 si m 1 banc de filtres sous - décimé j0 j - Bancs de filtres maximalement décimd cimés. - Bancs uniformes ou non. - Bancs idéaux ou non. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

10 Approche Physique Découpage en sous-bandes - Permet de décomposer d le signal à analyser et de l observer à plusieurs échelles différentes. - Outil d unification théorique dans de nombreux domaines: Filtrage par blocs Échantillonnage non uniforme Systèmes LPTV Transformée e en ondelettes,... David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

11 Plan de la présentation Présentation - Analyse spectrale paramétrique. - Découpage en sous-bandes. Intérêt du découpage d en sous-bandes pour l analyse spectrale et les problèmes rencontrés. - Avantages liés à l ordre des modèles Travaux originaux - Élimination des problèmes dus au recouvrement spectral. - Utilisation des intercorrélations entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Conclusions et perspectives. - Avantages liés au filtrage et à la décimation - Inconvénients David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

12 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Avantages Diminution de l ordre des modèles Hypothèse: banc de filtres idéal. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

13 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Avantages Nombre de conditionnement des matrices d autocorrélation: se: Modélisation AR p sub < p sur les signaux de sous-bandes Hypothèse: Mod (<- réduction de l ordre). -> Mesure de la stabilité numérique d un système d équations Où valeurs propres de la matrice d autocorrélation. Théor orème d entrelacement des valeurs propres - Matrice d autocorrélation à l ordre p R p valeurs propres ordonnées 1, 2,, p - Matrice d autocorrélation à l ordre p-1 R p-1 valeurs propres ordonnées 1, 2,, p-1 Alors: Conséquence p 1 p David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

14 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Avantages Résolution fréquentielle: gain d un facteur M. 2 composantes fréquentielles séparées de f sur le spectre du signal original Lié à la décimation uniquement 2 composantes fréquentielles séparées de M f sur le spectre des signaux de sous-bandes M 4 Mf Mf Mf David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

15 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Avantages Puissance de l erreur de prédiction linéaire ses: - u(n) signal AR d ordre q. hypothèses: - banc de filtres idéal, uniforme - même ordre de modélisation large bande et sous-bandes u x j erreur de prédiction linéaire large bande erreur de prédiction linéaire sous - bandes Dans [Rao-Pearlman], on montre que: David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

16 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Avantages Blanchiment de la densité spectrale de puissance hypothèse: Filtres complémentaires mentaires en puissance Critère de blancheur: Résultat de [Stoïca-Friedlander]: David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

17 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Avantages Rapport signal à bruit local Hypothèses: - signal composé d une somme de K exponentielles complexes non amorties noyées dans un bruit blanc b(n). - banc de filtres idéal (pas forcément uniforme). Définition Rapport Signal à Bruit local pour la composante l Bonne indication de la possibilité ou non d estimer correctement la fréquence f l les signaux de sous-bandes sont toujours composés s d une somme d exponentielles complexes noyées dans un bruit blanc David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

18 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Inconvénients Variance des estimateurs d autocorrélation: Problème: augmentation de la variance d estimation de l autocorrélation du fait de la décimation: d Inconvénient nient à nuancer dans la pratique lorsqu on on prend le parti d utiliser d un ordre p sub = p/m dans les sous-bandes. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

19 Découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale: Inconvénients Recouvrement et continuité de l estimateur spectral Reconstruction du spectre sous-bande par sous-bande problèmes de continuité. Utilisation de filtres non idéaux problèmes de recouvrement spectral Simulation sur signal sinusoïdal + bruit: Paramètres 50 réalisations SNR=0 db p=128 M=8, p sub =16 David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

20 Plan de la présentation Présentation - Analyse spectrale paramétrique. - Découpage en sous-bandes. Intérêt du découpage d en sous-bandes pour l analyse spectrale et les problèmes rencontrés. Travaux originaux - Élimination des problèmes dus au recouvrement spectral. - Utilisation des intercorrélations entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Conclusions et perspectives. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

21 Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. Pour chaque 0,1 faire Principe généralg 1 - Utilisation du dispositif de glissement fréquentiel pour ramener la fréquence au milieu de sa sous-bande de sorte que: 2 - Découpage en sous-bandes et estimation du spectre de x j (n) en un unique point fréquentiel -> Temps de calcul important (sauf pour Fourier) 3 - Utilisation des relations de filtrage linéaire et sur la décimation pour en déduire David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

22 Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. Projection sur des bases de Laguerre (1/2) Filtres RII passe-tout David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

23 Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. S ( f ) S ( ( f ) / 2 ) Projection sur des bases de Laguerre (2/2) Simulation sur signal sinusoïdal + bruit Paramètres 50 réalisations SNR=0 db p=128 M=8 p sub =16 u Avec u b David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

24 Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. Utilisation de filtres-peigne (1/4) Utilisation conjointe d un banc de filtres approprié et d un dispositif de glissement fréquentiel par exponentielles complexes Filtres Propriété: la réponse fréquentielle des filtres s annule tous les k/m Élimination du recouvrement en f=mf j David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

25 Utilisation de filtres-peigne (2/4) Simulation sur signal sinusoïdal + bruit Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. Paramètres 50 réalisations, SNR=0 db p=128, M=8, p sub =16 David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

26 Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. Utilisation de filtres-peigne (3/4) Recul de la borne de Cramer-Rao de l estimateur de fréquences et amélioration du conditionnement pour un signal constitué de raies pures de la forme David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

27 Travaux Originaux Méthodes destinées à éviter le recouvrement spectral et les discontinuités s du spectre. Utilisation de filtres-peigne (4/4) Simulation sur signal physique issu d un accéléromètre placé sur un engrenage au bout de 11 jours de fonctionnement. Référence: périodogramme du signal calculé à partir de échantillons. Paramètres N=3000 échantillons 1 réalisation p=1024: ordre «large-bande» M=16 sous-bandes p sub =64: ordre sous-bandes David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

28 Travaux Originaux Méthodes destinées à tirer parti de l intercorrélation entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Idée e de base Autocorrélations et Intercorrélations Trouver des méthodes capables d exploiter l information apportée par la connaissance de l intercorrélation entre les signaux issus de la décimation pour une sous-bande j fixée. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

29 Travaux Originaux Méthodes destinées à tirer parti de l intercorrélation entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Modèles AR avec Décalage D Temporel (1/3) Estimation des paramètres Propriétés s de l erreur de prédiction Spectre du modèle en Mf j David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

30 Travaux Originaux Méthodes destinées à tirer parti de l intercorrélation entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Modèles AR avec Décalage D Temporel (2/3): simulations sur signaux à spectre de raies: signal sinusoïdal bruité Paramètres: A 1 = 1, f 1 = 0.1, SNR=-2 db, N=100 échantillons, 100 réalisations p=1024, p sub =64, M=16 sous-bandes, l=2,3,4,5,6 David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

31 Travaux Originaux Méthodes destinées à tirer parti de l intercorrélation entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Modèles AR avec Décalage D Temporel (3/3): simulations sur signaux à spectre continu: signal MA(6) bruité Paramètres: N=100 échantillons, 50 réalisations, p=16 p sub =4, M=4 sous-bandes David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

32 Travaux Originaux Méthodes destinées à tirer parti de l intercorrélation entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Modèles AR Multi-Dimensionnel (1/2) Application de la modélisation AR multidimensionnelle à l estimation du spectre commun des sous-séries Estimation des matrices de paramètres Propriétés s de l erreur de prédiction Spectre du modèle Avec David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

33 Travaux Originaux Méthodes destinées à tirer parti de l intercorrélation entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Modèles AR Multi-Dimensionnel (2/2) Simulation sur signal à spectre de raies Simulation sur signal à spectre continu David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

34 Plan de la présentation Présentation - Analyse spectrale paramétrique. - Découpage en sous-bandes. Intérêt du découpage d en sous-bandes pour l analyse spectrale et les problèmes rencontrés. Travaux originaux - Élimination des problèmes dus au recouvrement spectral. - Utilisation des intercorrélations entre les sous-signaux signaux issus de la décimation. d Conclusions et perspectives. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

35 Conclusions et perspectives Deux méthodes m destinées à éviter le recouvrement spectral et les problèmes de continuité de l estimateur. - Méthodes valables pour tout type d analyse spectrale. - Permettent de conserver les bonnes propriétés s du découpage d en sous-bandes pour l analyse spectrale. Deux méthodes m de modélisation adaptées aux signaux issus des sous-bandes (utilisation des intercorrélations). - Modèles AR multidimensionnels. - Modèles AR avec décalage d temporel. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

36 Conclusions et perspectives Le découpage d en sous bande - Utile uniquement dans les cas «extrêmes» (signaux spectralement très s riche ou proximité à la borne de Cramer-Rao Rao). - Permet de repousser les limites intrinsèques aux modélisations paramétriques. Perspectives - Techniques «best basis» (sous une contrainte) pour la synthèse se du banc de filtres approprié au signal à analyser. - Modélisation de signaux filtrés: prise en compte des filtres de découpage en sous-bandes. David BONACCI - Intérêt du découpage en sous-bandes pour l analyse spectrale - 19 Décembre

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