Risque associé au contrat d assurance-vie pour la compagnie d assurance. par Christophe BERTHELOT, Mireille BOSSY et Nathalie PISTRE

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1 Ce aricle es disponible en ligne à l adresse : hp://www.cairn.info/aricle.php?id_revue=ecop&id_numpublie=ecop_149&id_article=ecop_149_0073 Risque associé au conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance par Chrisophe BERTHELOT, Mireille BOSSY e Nahalie PISTRE La Documenaion française Économie e Prévision 2001/3 - n 149 ISSN pages 73 à 85 Pour cier ce aricle : Berhelo C., Bossy M. e Pisre N., Risque associé au conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance, Économie e Prévision 2001/3, n 149, p Disribuion élecronique Cairn pour La Documenaion française. La Documenaion française. Tous drois réservés pour ous pays. La reproducion ou représenaion de ce aricle, noammen par phoocopie, n'es auorisée que dans les limies des condiions générales d'uilisaion du sie ou, le cas échéan, des condiions générales de la licence souscrie par vore éablissemen. Toue aure reproducion ou représenaion, en ou ou parie, sous quelque forme e de quelque manière que ce soi, es inerdie sauf accord préalable e écri de l'édieur, en dehors des cas prévus par la législaion en vigueur en France. Il es précisé que son sockage dans une base de données es égalemen inerdi.

2 Risque associé au conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance Chrisophe Berhelo (*) Mireille Bossy (**) Nahalie Pisre (***) Les conras d assurance-vie en francs son de fai des conras de capialisaion assuran une rémunéraion aux assurés liée à la renabilié du porefeuille d acifs invesis au regard des conras mais avec un rendemen garani en cas de baisse de la valeur de celui-ci don le risque es supporé par l assureur. Typiquemen l assuré verse une somme ou une série de sommes d argen e perçoi une rémunéraion qui a le double avanage de présener un aux garani e de profier d une évoluion favorable de l acif. Ces avanages, concédés grauiemen, son pénalisés fiscalemen lorsque la sorie s effecue avan 8 ans. Une parie imporane des bilans des compagnies d assurance es financée par cee acivié mais le chiffre d affaires (498 milliards de francs en 1998) es en conracion, noammen parce que les avanages fiscaux on un peu diminué e que les conras en uniés de compe on bénéficié d une période boursière avanageuse. Cee siuaion enraîne une concurrence accrue enre les compagnies qui les pousse à verser une par imporane des bénéfices, à réduire leurs marges e à fragiliser leur bilan. Oure les risques de liquidié e risque de conreparie, les compagnies son soumises au risque de marchés, en pariculier au risque de aux prépondéran dans l acivié d assurance-vie. Ce risque es d auan plus sensible que les assurés peuven oujours choisir de sorir du conra (racha), ce qui es généralemen visualisé comme une opion grauie difficile à gérer pour les assureurs. En cas de hausse des aux, e si l assureur ne peu adaper le rendemen offer insananémen, le risque es for que l assuré choisisse de reirer son placemen e ceci au pire momen pour la compagnie (baisse de la valeur d acif). En cas de baisse des aux, le aux garani dans le conra peu êre rop élevé par rappor aux opporuniés de marché. Les variaions bruales des aux d inérê on ainsi éé la cause de l insolvabilié d un nombre croissan d assureurs-vie aux Éas-Unis (Babbel e Sanomero, 1999). (*) Bull, Louveciennes. (**) Inria-Sophia Anipolis. (***) Ensae, Malakoff. Économie e Prévision n Nous cherchons à caracériser le risque associé à un conra d assurance-vie pour la compagnie d assurance. Nous avons choisi l exemple d un porefeuille fermé consiué d un conra à versemen de prime unique qui compore un aux garani fixe plus une paricipaion aux bénéfices de la compagnie. Nous nous inéressons uniquemen aux chues des conras dus aux rachas liés à l évoluion des condiions de marchés (nous ne prenons pas en compe les rachas naurels ni les décès qui son indépendans des variables financières). Nore bu es d analyser ce risque en foncion des caracérisiques du conra e des variables financières, en pariculier de l analyser en 73

3 foncion des différenes composanes du conra (fiscalié, aux garani, paricipaion). Dans une première parie, nous développons une analyse qualiaive du risque associé au conra. En pariculier nous monrons qu affirmer simplemen que la valeur de ce risque es la somme des prix Black/Scholes des opions implicies dans le conra déourne de l analyse rigoureuse du risque réel du conra. Nous monrerons que ce ype de conra donne lieu à des opions qui son plus proches des opions réelles que des opions puremen financières négociables sur un marché. Dans un deuxième emps, nous quanifions (par des simulaions numériques) le risque couru par les acionnaires au regard de la valeur des capiaux propres dans un environnemen de marchés sochasique où les assurés on la possibilié de racheer leur conra. Nous meons en évidence la disribuion de probabilié de la renabilié des capiaux propres e développons en pariculier une analyse de sensibilié du risque en foncion des paramères caracérisiques du conra : aux garani, fiscalié, paricipaion. Le conra d assurance éudié : analyse en ermes d opions réelles e analyse qualiaive du risque Nous nous inéressons au risque encouru par la compagnie d assurance suie à la signaure d un conra à prime unique de durée conracuelle de 8 ans. L assuré a droi à un aux garani e à une paricipaion aux bénéfices générés par les acifs mis en représenaion des conras. La réglemenaion prévoi l apparenance des acifs admis en représenaion à une lise assez large (valeurs mobilières e ires assimilés, acifs immobiliers, prês e dépôs) e des règles de diversificaion (les acions ne doiven pas dépasser 65 % e les acifs immobiliers 40 %). Le aux garani es par ailleurs réglemené (aricle A132-1 e suivans du Code des Assurances). Pour les conras de durée supérieure ou égale à 8 ans, il doi êre inférieur à Min (3,5% ; 60 % TME). Pour des conras plus anciens, on peu rouver des aux garanis à 4,5 % ou même à 6,5 %. La paricipaion au bénéfice es au minimum égale à 85 % des bénéfices financiers (inérês e plus-values) calculés par la moyenne des aux de rendemen des acifs des deux dernières années. Appelons A 0 la valeur de l acif (e du passif) de la Compagnie d assurance à l insan 0. Le passif es financé pour une proporion par les primes versées par les assurés. Le conra sipule un aux de rendemen garani 0 qui s applique à la valeur de dépar A 0 pour donner une valeur garanie à ou insan deg A exp( ). 0 0 L assuré reçoi à la fin du conra : F G ( A G ) T T T T où ( A G ) A G ( A G ) T T T T T T 0, sinon.,sia T G 0 La par ( A G ) correspond à la paricipaion T T aux bénéfices évenuels, éan le aux de paricipaion. Si l assuré décide de se reirer du conra avan la fin des 8 ans, il es soumis à une pénalié de la par de la compagnie p () e par une pénalié fiscale don la valeur dépend de la législaion e de la dae de sorie effecive e que nous désignerons par ( ). Ainsi, l assuré reçoi : F ( 1( ))( 1 p( ))[ G ( A G ) ] 1 () F 0 Enrésumé,nous avons les rois siuaions suivanes : La siuaion 1 correspond à la faillie de la compagnie d assurance, la siuaion 2 au cas où l assuré es rémunéré pour son aux garani sans que les bénéfices de la compagnie lui permeen d êre réribué davanage e la siuaion 3 reflèe le cas favorable où le aux garani ne joue pas car les bénéfices permeen une rémunéraion plus imporane que ce dernier. Il es aisé de voir que la valeur des capiaux propres es la différence enre la valeur de deux conras dérivés don les flux son ceux d opions d acha, de T 1:A( 1 p( )) G 2: ( 1 p ( )) A ( 1 p ( )) G A 3:GA Assurés : F A ( 1( ))( 1 p ( )) G () F0 ( 1( ))( 1 p ( ))[ G ( A G)] () F 0 Acionnaire : CP 0 A ( 1p( )) G A ( 1 p( )) [ G ( A G )] Éa 0 ( )(( 1 p()) G F0 ) ()(( 1 p()) [ G ( A G)] F ) 0 74

4 même prix d exercice ( 1 p( )) G, croissan dans le emps, ce qui es généralemen radui par : CP Max ( A ( 1 p( )) G 1 ; 0) ( 1 p ( )) Max( A G ; 0) Call( A ;( 1 p( )) G ) Call( ( 1 p( )) A ;( 1 p( )) G ) Ledeuxième Call es de valeur nulle si A G. Remarquons par ailleurs que la valeur du premier Call sera de oue façon inférieure à un call de prix d exercice ( 1 p( )) A qui serai la valeur du conra sans aux garani aux assurés. Cee écriure sous forme de call ne rend donc pas explicie l impac de ce aux garani sur les formes des deux conras (assurés e acionnaires). Cependan, remarquons que l on peu réécrire les relaions précédenes de la façon suivane (ableau ci-dessous). La siuaion 2 illusre pariculièremen la localisaion d un des risques des acionnaires. Ceux-ci on en fai cédé un pu aux assurés de prix d exercice croissan ( 1 p( )) G ce qui correspond bien sûr à la valeur garanie (après pénalié évenuellemen) dans le conra. Dans cee siuaion, ou se passe comme si l assuré avai le droi de vendre à un prixg un acif don la valeur de marché serai A. Ce pu perd oue valeur dans la siuaion 3 où on rerouve l efficacié de l inerpréaion en erme de calls qui reflèe l effe de levier sandard bénéfique aux acionnaires dans les cas posiifs. C es un cas où les assurés rérocèden une parie de leur dû en compensaion des garanies supplémenaires auxquelles ils on droi dans les deux premières siuaions. En résumé, la siuaion des acionnaires peu s écrire comme : CP ( 1( 1 p( ))) A Max(( 1 p( )) G A ; 0) ( 1 p ( )) MaxG ( A ; 0) ( 1)( 1 p ( )) Max( A G 0) ( 1( 1 p ( ))) A PuA ( ;( 1 p ( )) G) ( 1)( 1 p ( )) Call( A; G ) Les assurés plus l Éa récupèren à l insan quelconque en cas de rerai de l assuré : ( 1 p ( )) A PuA ( ;( 1 p ( )) G) ( 1 p ( )) Pu( A ; G ) ( 1)( 1 p( )) Call( A ; G ) En T, ce flux revien enièremen aux assurés (plus de pénalié fiscale e p (T) es nul). C es bien la différence des deux pus qui illusre parfaiemen la siuaion de garanie de l assuré. Le Pu de sous-jacen A e de srike G reflèe le seuil garani dans le conra quand celui ci a plus de valeur que la proporion de passif que l assuré devrai récupérer" à concurrence de ce qu il a financé au dépar. Le deuxième pu démonre le fai que cee garanie n es pas absolue en cas de faillie de la compagnie, la responsabilié des acionnaires resan néanmoins limiée. Dans la praique la siuaion es encore plus complexe. L adminisraion française, sur l iniiaive de la Commission de conrôle des assurances, a mis en place un fonds de garanie en juille 1999 (loi n du 25 juin 1999 relaive à l épargne e à la sécurié financière e décre d applicaion (1) n de l aricle 68 de la loi) qui inerviendrai si aucun repreneur ne se présene. Jusque-là, seule Europavie parmi les sociéés d assurance-vie avai éé mise en liquidaion judiciaire (en 1997) e la FFSA avai alors proposé que chaque assureur-vie conribue au proraa des provisions mahémaiques à l insuffisance d acif d Europavie pour assurer la coninuié du porefeuille de conras des assurés. Ainsi que l on vien de le rappeler, les conras d assurance-vie son bien assoris d opions jouan d ailleurs en sens opposé suivan le scénario. Néanmoins il nous semble inexac d affirmer que la valeur de ces conras es la simple addiion/sousracion des valeurs de ype Black/Scholes des opions sous-jacenes e ce pas seulemen parce qu une parie des acifs de la compagnie d assurance es peu liquide (immobilier) e que le raisonnemen de duplicaion du sous-jacen n es pas parfaiemen applicable en coninu! Nore argumen es le suivan. L ensemble des conras opionnels impliqués dans la descripion du conra de ype assurance-vie son des opions américaines car exerçables à ou momen choisi par 1:A ( 1 p( )) G 2: ( 1 p ( )) A ( 1 p ( )) G A 3:G A F ( 1 p ( )) A ( 1 p ( ))( G A) (( 1 p ( )) G A) CP 0 ( 1( 1 p ( ))) A ( 1 p ( ))( G A ) Éa ( 1( ))( 1 p( ))[ A ( G A)] ( 1( ))( 1 p( ))[ A ( 1) () F 0 ( A G)] ( ) F0 0 ( )(( 1 p()) [ A ( G A ))] F 0 ) ( 1( 1 p ( ))) A ( 1)( 1 p ( )) ( A G ) ( )(( 1 p()) [ A ( 1) ( A G)] F 0 ) 75

5 l assuré. Cependan, l assuré ne peu qu exercer l opion il ne peu en aucun cas la revendre. Par conséquen, l exercice de l opion ne se fera pas par comparaison avec une valeur de marché de l opion, mais par comparaison avec le profil de rendemen que l assuré peu se procurer ailleurs. La valeur d une opion américaine radiionnelle es le maximum enre sa valeur d exercice e l espérance (sous la probabilié die neure au risque ) de ses flux fuurs (en cas de non-exercice immédia). Le risque de l acionnaire es donc différen du risque d un déeneur d opion financière : dans une opion financière le déeneur exerce au pire momen du poin de vue de l espérance des gains, ce qui n es pas forcémen le cas ici. Cependan, l exercice de l opion de sorie diminue le levier bilaniel e ainsi pénalise les acionnaires. Ce aure risque n es pas pris en compe par l évaluaion pure e simple de l opion comme une opion négociable, risque engendré par la sorie des assurés de leur conra si la rémunéraion es meilleure à l exérieur, par exemple si les aux remonen, d une par parce que la baisse de valeur de l acif va se répercuer sur le aux de rendemen servi à l assuré, e, d aure par, parce qu une parie du bénéfice ne leur revien pas (une proporion ( 1 ) revien aux acionnaires). C es donc bien une opion réelle (e non puremen financière) que déien l assuré, puisqu elle es non négociable e qu elle a un impac sur l acivié indusrielle de la compagnie. Quand on regarde la décomposiion de la valeur des capiaux propres, on voi bien qu indépendammen de la renabilié effecive de l acif depuis le débu du conra jusqu au momen du rerai, la aille de l acif (e du passif) de la compagnie a un impac sur la valeur des capiaux propres. Si l acif n a subi aucun rerai on a : A G A A exp ( ) 0 0 A exp( ( R ) ) 0 0 où R désigne la renabilié passée du porefeuille d acif jusqu en définie par : A A 0 exp( R). Il es donc clair que les rois acifs dérivés composan la valeur des capiaux propres on des valeurs direcemen proporionnelles à la valeur du bilan au dépar. Cela signifie que plus A 0 es imporan, plus l effe de levier pour les acionnaires sera imporan (en négaif comme en posiif) : A 0 représene la par du bilan financée par les assurés. Si cee par diminue (rerai des assurés) le risque fuur représené par le Pu écri e le surplus de renabilié représené par le call déenu diminuen. En résumé, deux ypes de risque menacen la compagnie d assurance-vie : le risque lié au pu déenu par les assurés Pu ( A ; G ) qui leur garani une renabilié minimum. Ce risque es diminué du pu déenu par les acionnaires symbolisan la responsabilié limiée ; le risque de voir la aille du bilan diminuer. Ce risque joue en sens inverse si on es dans la zone d exercice du pu déenu par les assurés. C es un risque poran sur la renabilié fuure des capiaux propres. Ce risque n es pas formalisé par une analyse en ermes d opions financières : du sric poin de vue d une opion américaine, les dividendes versés par les acions du porefeuille seron effecivemen réinvesis dans le porefeuille e il n y a donc pas d inérê à exercer pour oucher le dividende. L exercice se fai pour d aures raisons que nous décrivons ci-dessous. Analyse quaniaive e impac des paramères du conra sur le risque couru En débu de période, la valeur de l acif de la compagnie es de une unié (1 million d euros par exemple) don une par es financée par les primes versées par les assurés dans un conra de durée de vie de 8 ans. Ces liquidiés son placées dans un porefeuille d acifs composé d acions (en proporion S ), d immobilier (en proporion I )e d obligaions (en proporion b ). Avec : 1. b I S Nous faisons varier la volailié globale de l acif en respecan les conraines légales d invesissemen. Le aux garani es fixé à 3,5 %. Le degré de paricipaion au bénéfice varie enre 85 e 90 %. Nous éudions des srucures de bilan radicalemen différenes ( = 50 %, 90 %). Dans la plupar des cas la valeur de es proche de 90 %. Nous menons les aures simulaions à ire de comparaison, pour mere en évidence le rôle imporan de l effe de levier. La pénalié de la compagnie, p ( ), es fixée à 4 % e la fiscalié de base, ( ), es la suivane : si < 4 ans la fiscalié es de 40,9 % sur la plus- value par rappor à l appor iniial. Elle es de 20,9 % enre 4 e 8 ans e se rédui à la CSG (10 %) après 8 ans. Cee fiscalié correspond à celle en vigueur en 1997 au momen de la signaure d un grand nombre de conras (2). 76

6 Les résulas numériques présenés dans la suie on éé obenus par des simulaions menées dans le proje Amazone (3) de simulaions financières sur super calculaeur vecoriel NEC SX. Descripion de la modélisaion Pour simplifier la simulaion, la parie obligaaire de l acif de la compagnie es supposée déenue en oalié dans un zéro-coupon émis en débu de période e de maurié 8 ans. L évoluion du prix du zéro-coupon es modélisée par le biais du modèle de Vasicek (1977) pour l évoluion du aux cour, mais on pourrai facilemen inroduire n impore quel modèle plus complexe d évoluion de la gamme des aux. Les principaux résulas de ce modèle son présenés en annexe 1. La proporion de zéro-coupon dans l acif es de 95 %, 85 % ou 75 % suivan les simulaions. La parie acion de l acif de la compagnie es supposée réparie sur 10 ires de corrélaions diverses, don l évoluion es supposée dirigée par 10 faceurs e modélisée à l aide d un modèle lognormal mulidimensionnel. Une marice de volailié pour les faceurs, de composanes s éalan enre5%e35%,esgénérée aléaoiremen de façon à obenir des corrélaions ypiques d un marché domesique. La prime de risque (par unié de risque) sur l ensemble de ces acions es fixée à 0,06 (4). Nous supposons que la compagnie d assurance connaî les paramères de la diffusion des acifs e qu elle opimise donc la valeur à 8 ans de son porefeuille global pour un niveau de volailié qu elle se fixe (on regarde rois niveaux ypes de volailié). La résoluion d un problème d opimisaion perme de réparir opimalemen les proporions de chaque acion à déenir iniialemen pour maximiser le prix de l acif dans 8 ans sous une conraine non linéaire de variance e de proporions acion/ obligaion/immobilier fixées. Dans cee éude nous présenons les résulas obenus dans le cas où la variance es maximale, minimale e inermédiaire pour une proporion oale d acions dans l acif varian sur 20 %, 10 % e 0. Enfin la proporion d immobilier dans l acif es fixée à 5 % e l évoluion du prix de cee parie de l acif es modélisée par un processus de diffusion lognormal à un faceur non corrélé avec les faceurs des acions. Nous renvoyons en annexe 2 la présenaion de l ensemble des valeurs des paramères de la modélisaion de l acif. Au cours des simulaions, nous supposons que l assuré prend la décision de sorir du conra ou non, selon un crière de comparaison enre ce que peu lui offrir son conra e ce que lui propose le marché exérieur : une fois par an, l assuré esime la renabilié R hisorique (ex pos) de son conra elle que F F 0 exp( R). L assuré compare la valeur de son conra (pénalisée en cas de sorie e réinvesie au aux spo zéro-coupon du marché R(,8) jusqu à l échéance de 8 ans) avec une prévision de la valeur à 8 ans de son conra calculée à l aide de R. Ainsi, l assuré sor du conra au premier insan el que [( 1 ( ))( 1 p ( ))( F F ) F ] 0 0 exp( ( 8) R(, 8) ) F exp(( 8) R Le paramère de laence 1, propre à chaque individu, mesure la raionalié de celui-ci face à son crière, c es- à-dire la rapidié avec laquelle il me en applicaion son crière. Une fore laence décri un individu qui aend avan de mere son crière de sorie en applicaion. Ce crière correspond au comporemen d un individu n ayan pas d informaion sur les paramères des diffusions des acifs composan le porefeuille d invesissemens e qui regarde le passé comme la meilleure prévision de l avenir, de façon pluô irraionnelle. C es un comporemen observé par les compagnies d assurance chez ce ype de clienèle privée. Une laence prise enre 1 e 1,4 perme de modéliser ous les ypes de comporemen. Par définiion, la laence ne peu êre inférieure à 1 puisqu elle mesure le emps de réacion par rappor à une décision puremen raionnelle. Nous remarquons que 1,4 es une bonne valeur pour décrire les individus qui ne réagissen pas du ou. Nous avons fai varier la composiion de l acif, (c es-à-dire la par invesie dans les acions, 0, 10 ou 20 %), la par en immobilier resanà5%elapar en zéro-coupon faisan le complémen), la volailié de ce acif au ravers du niveau de volailié choisi pour le porefeuille acions (celui-ci éan de oue façon opimisé selon un crière moyenne/variance), le degré de paricipaion aux bénéfices (80, 85 ou 90%), la srucure du passif (avec une par financée par l assurance-vie de 50 ou 90 %) e la laence de l assuré (enre 1 e 1,4). Pour chaque configuraion choisie, nous effecuons un ensemble de scénarios aléaoires, chaque scénario correspondan à une rajecoire simulée du prix des acions, de l immobilier e des aux, suivan les modèles présenés plus hau. Prix e aux son modélisés par des processus aléaoires soluions d équaions différenielles sochasiques (E.D.S, données dans l annexe 1). Nous uilisons pour la simulaion de ces processus la méhode sandard de discréisaion d E.D.S. par le schéma d Euler (voir Lamberon e Lapeyre (1996) pour une inroducion à ces méhodes dans le cadre des processus uilisés en finance e Bally e Talay (1996) ainsi que Bouleau e Lepingle (1993) pour des résulas de viesse de convergence). Sur la base de ces scénarios nous évaluons par la méhode de Mone Carlo différenes saisiques sur les composanes du bilan (espérance, variance, skewness, kurosis). On pourra consuler Lapeyre, Pardoux, e Senis (1998) e Bouleau e Lepingle (1993) pour une inroducion aux méhodes de Mone Carlo. Pour ce choix de 77

7 scénarios, les formules fermées que nous avons obenues nous assuren une précision numérique au 1/1000 pour le calcul de la renabilié à 8 ans de l acif si l assuré ne sor pas. Nous présenons ici un résumé des résulas les plus significaifs. Résulas Les éudes numériques obenues permeen d analyser le risque dû à la posiion des compagnies dans leur porefeuille de cliens en assurance-vie. Les paramères imporans son : la par du bilan iniiale financée par les conras d assurance, pour laquelle nous avons pris deux valeurs ypes (50 %, 90 %). 90 % correspond à la valeur habiuelle que l on peu rouver dans les compagnies d assurance françaises, 50 % es une valeur de comparaison ; la par s de l acif invesi en acions (0 %, 10 %, 20%); la volailié choisie par les managers de la compagnie pour l acif global (0,25 % pour 0 % d acions, 2,5 %, 5,1 % e 8,4 % pour 10 % d acions e enfin5%,11 % e 16,8 % pour 20 % d acions) ; la laencedel assuré(1 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,3 e 1,4) ; la paricipaion aux bénéfices =85%. La première consaaion es l impac imporan du niveau de laence sur le nombre de sories e l impac de l effe de levier sur le nombre de faillies de la compagnie. Les résulas concernan ces deux valeurs son reporés dans le ableau 1 pour une par d acions dans l acif varian de 0 à 20% e pour deux niveaux différens de par du passif financée par l assurance-vie (50%, 90%). Les résulas son présenés pour le niveau de volailié minimum de l acif à 8 ans possible pour chaque composiion d acif. L impac de la volailié sera éudié ulérieuremen. Ce niveau minimum éan choisi en amon par la compagnie d assurance pour son porefeuille d acifs, ces volailiés son calculées a priori, sans prendre en compe les évenuelles sories anicipées des cliens. Avec une laence de 1,4 l individu sor rès peu alors qu il peu y avoir jusqu à prés de sories pour un individu de laence 1. Par exemple, pour un acif invesi uniquemen en immobilier e obligaions, un individu de laence 1,4 ne sor praiquemen jamais du conra alors que le nombre de sories es respecivemen de l ordre de (soi 74 % des scénarios) e (22 % des scénarios) pour les individus de laence 1 e 1,2. Les sories se fon dans des scénarios de hausse des aux quand la rémunéraion es plus fore à l exérieur que sur le conra du clien. On voi l exrême imporance que peu représener pour les compagnies une évaluaion correce de la laence moyenne de leurs assurés. Nous verrons que ce phénomène a un impac imporan sur la renabilié de la compagnie. Il implique aussi des conséquences en ermes de gesion ALM. Noons que le crière de sorie du clien es indépendan de la srucure du bilan (paramérée par ), ce qui apparaî clairemen dans les résulas du ableau 1 où le nombre de sories es indépendan de. Nous avons consaé que le nombre de sories es rès peu sensible au aux de paricipaion dès lors qu il ne varie pas énormémen (enre 80 e 90 %). Nos résulas seron donc oujours présenés avec un aux de paricipaion de 85%. Le nombre de sories a, comme nous le verrons ci-dessous, un impac imporan sur la renabilié effecive de l acif e des capiaux propres ; en revanche, il n es pas réellemen lié au nombre de faillies. Tableau 1 : nombre de sories anicipées e faillies (volailié minimum : 0,25 % pour 0% d acions, 2,5% pour 10% d acions e 5% pour 20% d acions) 50% Tableau 1a : 50% s 0% 10% 20% Laence 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,2 1,4 N. de sories N. de faillies Tableau 1b: 90% s 0% 10% 20 % Laence 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,2 1,4 N. de sories N. de faillies

8 Ainsi, pour = 90 %, les cliens de faible laence soren moins quand la par des acions es imporane (plus fore renabilié) e le nombre de faillies es plus grand (volailié plus imporane). Ceci es dû au fai que les sories son pluô condiionnées par une hausse des aux e par définiion diminuen le risque de faillie (puisque le clien es sori) e que les faillies son condiionnées par une baisse des aux (qui ne génère pas de sories à cause du aux garani). Cependan, malgré un faible aux de faillies e dans la mesure où le nombre de sories des conras es imporan, une laence faible de l assuré représene un risque pour la compagnie au sens où la aille du bilan diminue, la par représenée par les assurés égalemen e donc la renabilié des capiaux propres comme celle de l acif en es affecée (en espérance). Le ableau 2 monre les valeurs (en espérance) au bou de hui ans de l acif e des capiaux propres de la compagnie pour une par d acions dans l acif varian de 0à20%,unevolailié minimum e les deux niveaux différens de par du passif financée par l assurance-vie ( = 50 %, 90 %). La valeur iniiale de l acif es 1. La valeur iniiale des capiaux propres es respecivemen de 0,5 e 0,1 pour les deux niveaux de. L aspec imporan des résulas es que les valeurs espérées de l acif e des capiaux propres son croissanes en la laence. La diminuion des sories des assurés due à une fore laence a donc un impac direc sur l augmenaion de la valeur moyenne. Pour S = 20 % e = 90 %, le plus grand nombre de faillies dans les cas de fore laence ne vien pas compenser en moyenne ce résula. Cependan, la valeur espérée de l acif es décroissane en. La valeur du bilan es oujours moindre quand la par du passif représenée par l assurance-vie es plus imporane : en effe dans chaque scénario qui s accompagne de sories des assurés, le remboursemen de ces derniers condui à une diminuion de la aille du bilan d un faceur (à la pénalié de la compagnie près si la sorie es avan 8 ans). Plus es grand, plus for es l impac sur la aille moyenne de l acif. Ce impac es lui-même beaucoup plus faible voire nul pour les fores valeurs de laence : lorsqu il n y a quasimen pas de sories (pour une laence de 1,4) la valeur du bilan es quasi insensible à la par financée par l assurance-vie. Ainsi, l opion de sorie des cliens a pour conséquence que la valeur du bilan de la compagnie es affecée par son financemen. Ce impac es d auan plus imporan que la laence es faible e les sories nombreuses. Nous nous inéressons mainenan plus spécifiquemen à la renabilié des capiaux propres. Le levier dû à la par du passif financée par les conras a un effe ambigu : augmene la renabilié des capiaux propres en l absence de sories mais augmene aussi l effe de ces sories pour des laences faibles. La répercussion sur la renabilié des capiaux propres de ce phénomène n es pas linéaire. On peu dire que dans les cas sandards la renabilié des capiaux propres sera augmenée par le levier représené par l assurance-vie. Mais si la laence de l assuré es faible, ce phénomène sera conrebalancé par le nombre de sories du conra. Le graphique suivan monre les résulas pour une par d acionsde0%e20%dansl acifdelacompagnie. Graphique 1 : renabilié espérée des capiaux propres pour s 0 e s 20% e une volailié minimale des acions Renabilié des capiaux proprres 240% 220% 200% 180% 160% 140% 120% 100% =50% ; = 0 =90% ; = 0 =50% ; = 20 =90% ; = 20 80% 1 1,1 1,2 1,3 1,4 Laence Tableau 2 : valeurs (en espérance) des acifs e capiaux propres à 8 ans (volailié minimum : 0,25 % pour 0 % d acions, 2,5 % pour 10 % d acions e 5 % pour 20 % d acions) s 0% 10% 20% Laence 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 50% Acif 1,15 1,42 1,58 1,67 1,78 1,24 1,47 1,62 1,74 1,82 1,31 1,47 1,6 1,79 1,87 Cap. propres 0,93 0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,98 0,99 0,99 0,99 1 1,01 1,02 90% Acif 0,65 1,13 1,42 1,58 1,77 0,78 1,19 1,45 1,67 1,82 0,,86 1,15 1,38 1,72 1,86 Cap. propres 0,26 0,27 0,28 0,29 0,3 0,27 0,28 0,29 0,3 0,31 0,28 0,28 0,3 0,31 0,32 79

9 On peu visualiser ici le double effe de la par des acions dans l acif (qui augmene la renabilié espérée) e de la par du passif financé par les conras (qui augmene égalemen la renabilié espérée). La valeur espérée globale du bilan es décroissane en comme nous venons de le voir (à cause des sories), mais pas la renabilié des capiaux propres qui bénéficie d un effe de levier plus imporan. Graphique 2 : renabilié espérée des capiaux propres pour une volailié des acions maximale Renabilié des capiaux proprres 700% 600% 500% 400% 300% 200% 100% 0% = 50% = 10% = 90% = 10% Laence = 50% = 20% = 90% = 20% 1 1,1 1,2 1,3 1,4 Le graphique suivan monre l effe sur la renabilié des capiaux propres pour un acif plus risqué : son représenés les résulas pour les deux niveaux de, pour une par d acions de 10 e 20 % e dans ces deux cas pour la volailié maximum possible (8,4 % de volailié pour une par d acion S égale à 10 % dans l acif e 16,8 % de volailié pour une par d acion de 20 %). Pour des niveaux de volailié imporans on rerouve un comporemen similaire de la renabilié des capiaux propres : la renabilié es croissane en S (par des acions) e en. Il es inéressan de remarquer que l effe de S es beaucoup plus imporan que celui de : une augmenaion de la volailié s accompagne d une meilleure renabilié moyenne du conra offer aux assurés e va donc avoir le double effe d un acif plus renable e de moindre sories. L augmenaion du levier a un effe plus ambigu comme expliqué précédemmen Graphique 3 : sories e faillies pour une par d acions de 10% ou 20% 50% / 10%/ n. de sories 50% / 10%/ n. de faillies 90% / 10%/ n. de sories 90% / 10%/ n. de faillies 50% / 20%/ n. de sories 50% / 20%/ n. de faillies 90% / 20%/ n. de sories 90% / 20%/ n. de faillies 0 1 1,1 1,2 1,3 1,4 Laence Ces phénomènes son illusrés ci-dessous dans le graphique 3, par le nombre de faillies e de sories observables pour une volailié maximale. Le schéma précéden illusre la conreparie négaive de l augmenaion de la renabilié due au levier ou à la par d acions dans l acif. Le cas le plus renable (en moyenne) s accompagne d un accroissemen phénoménal des faillies : on observe une exrême sensibilié du aux de faillie à la valeur de la volailié, sensibilié pariculièremen fore pour un effe de levier imporan. Pour une par d acion à 20 % e = 90 % le aux de faillies peu aeindre 50 %, alors qu il es absolumen nul si l acif es enièremen invesi en immobilier e en obligaions e nul encore pour un S =10%eun de 50 %. C es donc la combinaison des valeurs de ces deux paramères qui es pariculièremen déerminane pour la faillie. Remarquons de nouveau que c es l augmenaion du levier qui a le plus for impac. Dans le cas d une fore volailié du porefeuille invesi en acions, il paraî donc raisonnable que la par d acif de ce dernier ne dépasse pas 10 %. Dans le cas conraire le risque lié à la rès fore volailié des acions couplée à la promesse du aux garani es caasrophique. Remarquons que le emps de sorie de l assuré se siue en (moyenne) au cours de la deuxième année avec de peies flucuaions en foncion de la laence e de la volailié : Tableau 3 : espérance de la dae de sorie anicipée (en année). Pour chaque par S en acions, la volailié de l acif es minimum S 0% 10% 20% Laence 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 50% 1,54 1,25 1,12 1,04 1 1,49 1,25 1,13 1,02 1 1,48 1,29 1,13 1, % 1,54 1,25 1, ,49 1,25 1,13 1,02 1 1,48 1,3 1,13 1,

10 Tableau 4 : espérance de la dae de fin du conra (faillie comprise, en année). Pour chaque par S en acions, la volailié de l acif es minimum S 0% 10% 20% Laence 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1 1,1 1,2 1,3 1,4 50% 3,25 5,16 6,4 7,1 7,99 3,64 5,26 6,35 7,31 7,99 3,77 4,91 5,88 7,38 7,99 90% 3,25 5,16 6,4 7,1 7,99 3,64 5,26 6,35 7,31 7,99 3,77 4,91 5,87 7,34 7,94 Tableau 5 : saisiques sur le rendemen à 8 ans des capiaux propres Tableau 5a:S Niveau de volailié de l acif 0,25 % Laence 1 1,2 1,4 Écar-ype du rendemen 27,45 % 30,33 % 5,18 Skewness 0,196 1,58 18,54 Kurosis 0,038 1, ,43 Jacques Bera < 0,001 < 0,001 < 0,001 Tableau 5b: S 10 %, 90 % Niveau de volailié de l acif 2,50 % 5,10 % 8,40 % Laence 1 1,2 1,4 1 1,2 1,4 1 1,2 1,4 Écar-ype du rendemen 47,32 % 50,49 % 34,78 % 89,44% 95,44% 81,10 % 149,10 % 162,40 % 175 % Skewness 0,4783 0,394 0,156 0,471 0,034 0,35 0,637 0,313 0,242 Kurosis 0,2455 0,0018 0,3484 0,436 0,019 2,58 0,903 0,195 0,106 Jacques Bera < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 [0,01; 0,001] < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 Tableau 5c : S 20 %, 90 % Niveau de volailié de l acif 5 % 11 % 16,80 Laence 1 1,2 1,4 1 1,2 1,4 1 1,2 1,4 Écar-ype du rendemen 84,40 % 90,83 % 77,62 % 190,60 % 206,90 % 226 % 315 % 333 % 351 % Skewness 0,521 0,0046 0,301 0,841 0,562 0,18 1,85 1,69 1,56 Kurosis 0,568 0,05 0,237 1,28 0,441 0,18 5,46 4,25 3,38 Jacques Bera < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 < 0,001 C es en effe en débu de période que le rendemen hisorique du conra (que l assuré inègre dans son crière de sorie) es le plus sensible à la volailié de l acif. Passé le cap des rois premières années, le rendemen hisorique es plus robuse aux variaions locales de la renabilié de l acif. S il se rouve oujours des scénarios dans lesquels les assurés soren plus ard, le rendemen hisorique va, au cours du emps, refléer en moyenne de mieux en mieux la renabilié espérée de l acif (qui es dans ous les cas supérieure au aux garani). Les résulas précédens nous on monré l exrême sensibilié des résulas noammen au couple levier / par d acions dans un conexe de fore volailié. On peu compléer cee analyse par l éude de la variabilié des résulas (exprimée par l écar-ype du rendemen à 8 ans des capiaux propres) e par le calcul des aures momens de la disribuion. Pour un niveau de 90 % e différens niveaux de pars d acion, le ableau 5 ci-dessous monre l impac de la volailié du porefeuille d acifs sur la volailié du rendemen des capiaux propres. L écar-ype du rendemen des capiaux propres es croissan en la valeur de S e en la volailié des acifs. Les haus niveaux de volailié obenus corresponden au grand nombre de scenarii se 81

11 soldan par une faillie e/ou au grand nombre de sories. Comme le nombre de faillies es par ailleurs croissan (mais concave) en la laence e le nombre de sories décroissan (mais convexe) en la laence, le poin le plus risqué semble êre pour une laence de 1,2 (ce qui n es pas une bonne nouvelle puisque c es une valeur moyenne). L augmenaion du nombre de sories (par diminuion de la laence) affece la symérie de la disribuion. Les cas de skewness négaifs corresponden aux cas où les faillies son en moyenne pénalisanes au sens où les écars à la moyenne négaifs son supérieurs aux écars à la moyenne posiifs. Dans ous les cas nous avons calculé la saisique de Jarque Bera qui sui un Chi deux à deux degrés de liberé sous hypohèse de normalié : les probabiliés affichées son celles d êre réellemen en présence de lois normales en ayan obenu ces valeurs de skewness e kurosis. Ces probabiliés son donc exrêmemen faibles ce qui suggère que les opions du conra on éloigné les rendemens des capiaux propres d une disribuion normale, qui auraien éé obenus en dehors de ce conexe. Commission de Conrôle des Assurances s inquièe du risque de conreparie lié à ces produis (5). La couverure à mere en place es celle qui couvre le risque de renabilié du porefeuille par rappor à la renabilié supposée êre une référence pour l assuré e non pas la couverure des opions elles qu elles on éé décries radiionnellemen. Un exemple ype es l uilisaion des Caps sur aux longs (par exemple le TEC 10). En cas de hausse des aux, l exercice (auomaique) du cap procure un revenu qui vien augmener les rendemens suscepibles d êre servis aux assurés, les découragean ainsi de procéder à des rachas anicipés. Ainsi un cap à barrière acivane perme de diminuer le coû de la couverure e de la rendre acive pour des seuils provoquan des dépars des assurés. La barrière pourrai donc êre fixée en foncion de la ypologie des cliens dans le porefeuille. L opimisaion de la couverure e en pariculier le choix du niveau de la barrière acivane es un domaine de recherche qui rese à explorer. Conclusion Nous avons vu que le profil de risque indui par les conras d assurance-vie es rès complexe car le risque ne se résume pas à la couverure de la sorie d un déeneur d une opion américaine. Par ailleurs le lien enre le nombre de sories e le nombre de faillies n es pas éviden e les effes des paramères son exrêmemen sensibles e non-linéaires. Cependan, il apparaî que le conra en lui-même e donc la réglemenaion, ne son pas généraeurs de faillies pour le niveau de fiscalié effecif des conras d assurance-vie assez pénalisan, puisque l impac principal es le choix d allocaion d acifs e noammen la volailié du porefeuille choisi par l assureur. Par ailleurs le niveau de laence des assurés es égalemen fondamenal e nous ne serions rop recommander aux compagnies d'assurance d essayer d esimer ce paramère. Dans ous les cas, un levier de 90 % courammen renconré dans la praique augmene l exposiion au risque de faillie e doi êre compensé par une par rès raisonnable de l acif invesi dans les acions (20 % es d évidence rop risqué) e un choix de volailié du porefeuille d acions pruden. Depuis quelques années, les assureurs recouren de plus en plus aux produis dérivés pour répondre à ce profil de risque rès spécifique, même si la 82

12 Noes Bibliographie (1) Le décre n du 3 aoû 1999 pris pour l applicaion de l aricle 68 de la loi n du 25 juin 1999 renforce la gesion acif passif à l aricle 5 qui préconise la conduie de simulaions de l impac des mouvemens de marché sur l acif e sur le passif e des esimaions de l exigibilié du passif e de la liquidié de l acif. Cee remarque es due à un rapporeur. (2) Depuis la fiscalié s es alourdie : les prélèvemens au ire de la CSG son passés à 10 % e un nouveau prélèvemen de 7,5 % a éé insiué à la sorie du conra. (3) Amazone es une acion du G.I.E Dyade de collaboraion BULL-INRIA. hp://www.dyade.fr/fr/acions/amazone/amazone.hml. (4) Cee valeur correspond à l ordre de grandeur des valeurs rouvées empiriquemen sur différens marchés : voir par exemple Chan, Karceski e Lakonishok (1999). (5) Les dérivés son le plus souven des insrumens de gré à gré, don le monage es adapé aux besoins spécifiques de la Compagnie. Dans ce cas là, il exise oujours une probabilié non nulle de faillie de la conreparie. Ce risque es appelé risque de conreparie ou risque de crédi. Babbel D.F. e Sanomero A.M.(1999). An analysis of he Financial Risk Managemen Process Used by Life Insurers dans Changes in he Life Insurance Indusry: Efficiency, Technology and Risk Managemen, pp Bally V. e Talay D. (1996). The Law of he Euler Scheme for Sochasic Differenial Equaions (I) : Convergence Rae of he Disribuion Funcion, Probabiliy Theory and Relaed Fields, 104, pp Bouleau N. e Lepingle D. (1993). Numerical Mehods for Sochasic Processes, J. Wiley. Chan L.K., Karceski C.J. e Lakonishok J. (1999). On Porfolio Opimizaion: Forecasing Covariances and Choosing he Risk Model, Review of Financial Sudies, 12(5), pp Lamberon D. e Lapeyre B. (1996). Inroducion o Sochasic Calculus Applied o Finance, Chapman and Hall. Lapeyre B., Pardoux E. e Senis R. (1998). Méhodes de Mone Carlo pour les équaions de ranspor e de diffusion, Mahémaiques e Applicaions 29, Springer. Vasicek O. (1977). An Equilibrium Characerisaion of he Term Srucure, Journal of Financial Economics, 5, pp

13 Annexe 1 : modélisaion de la parie obligaion de l acif de la compagnie : Elle es supposée inégralemen composée de zéro-coupon émis à la dae 0. Le prix du zéro-coupon repose sur la modélisaion du aux Vasicek : dr ( r ) d d W Avec les valeurs : 0, , 003, L équaion du prix du zéro coupon s écri db( T, ) ( rt,, ) B( T, ) d ( T, ) B( T, ) db z Le prix du zéro-coupon à la dae (de maurié T) es donné par B(, T ) exp ( rk (, T ) (, T ) où (, r, T ) r K (, T )) z (, T ) K (, T ) 1 K (, T ) ( 1 exp( ( T ))) (, T ) K (, T ) R K (, T) 2 ( T ) R 4 R Modélisaion de la parie acion de l acif de la compagnie L évoluion des prix des acions enran dans la composiion de l acif es supposé suivre le modèle lognormal mulidimensionnel. Le modèle s écri sous la forme : i i i ds S ( ) d d W F i 1,..., N L R ; R N i au ire. Ensuie on ire les valeur de ij, dans l inervalle déerminé par les bornes supérieure e inférieure ; dans le cas où le faceur es un faceur dominan, un cenrage es effecué sur la variance du ire. Le veceur de renabilié ( ) es calculé à une dae en foncion de la marice e de la valeur du aux spo r de la façon suivane : i r où es le veceur prime de risque associé aux ires. Ici la prime de risque es fixée pour ous les ires à 0,06 e la valeur moyenne du aux spo (suivan le modèle de Vasicek) vau 7,5 %. Si l assuré ne sor pas du conra, la renabilié à 8 ans de l acif es donnée par : E( R8 ( )) 1 1 e ( r0 r ) 8 r 8r N F F N ij 1 a i a i i 1 j 1 2 j 1 i r 8 r 16 r r 0 4 e 16 3 e r 3 4r 2, ij, a Modélisaion de la parie immobilier de l acif de la compagnie L évoluion de la valeur de la parie immobilier déenu à l acif es supposé suivre un modèle lognormal unidimensionnel de la forme ds S d dz où Z es un faceur brownien indépendan des faceurs des acions. Pour nos simulaions, e valen respecivemen 3% e 5%. où N es le nombre de ires e F le nombre de faceurs browniens. Dans nos simulaions, N e F valen 9. La marice es déerminée de la façon suivane. On fixe les bornes, la borne supérieure à 0,35 e la borne inférieure à 0,05. On ire pour chaque ire un nombre de faceurs dominans puis leurs posiions ainsi que la variance associée 84

14 Annexe 2 : opimisaion de l allocaion iniiale de l acif de la compagnie Dans nos simulaions, la proporion i d immobilier es fixé à 5%. La proporion b peu prendre les Valeurs 95 %, 85 % e 75 %. Ainsi choisir la valeur de b fixe la valeur de la proporion s d acions, mais il rese à décider de la répariion des N acions sélecionnée pour former la proporion S. Nous avons choisi de calculer cee répariion en résolvan le problème d opimisaion suivan : maximiser l espérance de l acif à 8 ans sous une conraine de proporion enre les rois composan de l acif, plus une conraine imposan la variance de l acif. Ce problème se présene sous la forme générale suivane : rouver les proporions ( i, i 1,..., N ) qui réalisen max E ( Acif K ( ) K 8 [ 01, ] 1 N 1 N, i 1, V inf i1 N i V sup, Var( Acif8 ) Vobj i1 Dans nore simulaion les valeurs de Vinf e Vsup varien suivan les cas : S =0% S =10% S =20% Vsup 0% 10% 20% Vinf 0% 10% 20% La valeur de Vobj varie avec suivan les choix de volailié de l acif minimum, inermédiaire ou maximum S =10% S =20% Min Median Max Min Median Max Variance de A(8) = Vobj Espérance de A(8) opimisée 0,17 0,08 0,233 0,073 0,4 1,3 1,868 1,955 2,027 1,916 2,112 2,264 Volailié 2,5 % 5,1 % 8,4 % 5 % 11 % 16,8 % 85

2. Quelle est la valeur de la prime de l option américaine correspondante? Utilisez pour cela la technique dite de remontée de l arbre.

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