1 Mesure et intégrale

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1 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios suivates sot vérifiées : (i), F; (ii) si A i F pour i =1, 2,..., alors i A i F; (iii) si A F, alors A c F,oùA c désige le complémetaire de A das. La tribu boréliee B = B est défiie comme la tribu miimale sur telle que : (iv) pour tous ã< b, o a ]ã, b[ B. Propositio 1.1. La tribu boréliee est bie défiie. De plus, pour tous ã b vérifiat les iégalités ã a et b b o a [ã, b], [ã, b[, ]ã, b] B. Démostratio. Soit {F α,α A}la famille de toutes les tribus vérifiat (iv). Alors l itersectio α F α est la tribu boréliee. Motros que B cotiet tous les itervalles. E effet, cosidéros, par exemple, le cas d u itervalle fermé [ã, b]. Les propriétés (ii) et (iii) impliquet que si A i B, alors i A i B. D autre part, o a [ã, b] ã = 1, b + 1. Comme les esembles ã 1, b + 1 appartieet à B, o coclut que [ã, b] B. Propositio 1.2. Soit a ã b b + et Γ B [a,b].alorsγ [ã, b] appartiet à B [ã, b].réciproquemet,siγ B [ã, b],alorsγ est borélie e tat que sous-esemble de [a, b]. Démostratio. Soit B = {Γ B [a,b] :Γ [ã, b] B [ã, b] }. Alors B est ue tribu vérifiat (iv) avec =[a, b]. Doc B B [a,b], et o voit que Γ [ã, b] B [ã, b] pour tout Γ B [a,b]. La démostratio de la deuxième partie est similaire. Soit f : R ue foctio. O dit que f est mesurable si {x : f(x) <α} B pour tout α R. Exemples ) Soit A B. Alors la foctio caractéristique I A est mesurable. 2) Soit f : R ue foctio cotiue. Alors f est mesurable. Cette propriété est coséquece de la propositio

2 Propositio 1.4. Soiet f, g deux foctios mesurables. Alors f g, f g, f +g, fg, f/g sot des foctios mesurables. De plus, si {f } est ue suite de foctios mesurables, alors les foctios sup f, if f, lim sup f, lim if f sot aussi mesurables. Efi, si f (x) f(x) pour tout x, alorsf est mesurable. Démostratio. O a : {f g<α} = {f <α} {g<α}, {f g<α} = {f <α} {g<α}, {f + g<α} = {f <r 1 } {g<r 2 }, r 1+r 2<α où r 1 et r 2 sot des ombres ratioels. Ces relatios impliquet que f g, f g, f + g sot des foctios mesurables. La preuve de mesurabilité de fg est u exercice. Motros maiteat que si g = 0, alors f/g est mesurable. Il suffit de motrer que 1/g est mesurable. Supposos par exemple que α> 0. Alors {1/g < α} = {1/g < α, g > 0} {1/g < α, g < 0} d où o coclut que 1/g est mesurable. = {g >1/α, g > 0} {g<1/α, g < 0}, Soit {f } ue suite de foctios mesurables. Alors {sup f <α} = {lim sup f <α} = m=1 {f <α 1 m }, m=1 =1 = {f <α 1 m }, doc sup f et lim sup f sot mesurables. Comme if f = sup ( f )et lim if f = lim sup ( f ), o coclut que ces foctios sot aussi mesurables. Efi, si f (x) f(x) pour tout x, alors f =limsup f, et doc f est aussi mesurable. Propositio 1.5. Si f : R est ue foctio mesurable, alors f 1 (Γ) = {x : f(x) Γ} B pour tout Γ B R. De plus, si f : R R et g : R sot deux foctios mesurables, alors la foctio composée f g est aussi mesurable. Démostratio. Soit F = {Γ B R : f 1 (Γ) B }. Alors F est ue tribu coteat les itervalles de la forme ],α[ pour tout α R. Ils esuitquef cotiet tous les itervalles de R, et doc F doit coteir la tribu boréliee de R. Motros que la foctio composée f g est mesurable. Soit Γ B R. Alors (f g) 1 (Γ) = g 1 (Γ 1 ), où Γ 1 = f 1 (Γ). D après la première propriété de la propositio, o a Γ 1 B R, d où o coclut que Γ B. 3

3 Ue foctio f : R mesurable est dite é t a g é e si elle e pred qu u ombre fii de valeurs : f(x) = c k I Γk (x), Γ k Γ =, Γ k =. Théorème 1.6. Soit f : R ue foctio mesurable. Alors il existe ue suite de foctios étagées f : R telles que f (x) f(x) pour tout x quad. (1.1) De plus, si f 0, alorsopeutcostruireuesuitecroissatevérifiat(1.1). Efi, si f est borée, alors il existe ue suite croissate {f } telle que la covergece (1.1) soit uiforme. Démostratio. Comme tout foctio f est représetable comme la somme de deux foctios positives, sas perte de gééralité o peut supposer que f 0. O va doc motrer qu il existe ue suite croissate {f } qui coverge vers f. Pour tout etier 1, cosidéros la subdivisio de l itervalle [0,] défiie par les poits yk = k 2, k =0,...,2. O défiit les foctios 2 f (x) = yk 1I Γ k (x), où Γ k = {y k 1 f(x) <y k } pour 1 k<2 et Γ 2 = {f(x) y 2 1}. Alors {f } est croissate et coverge vers f. Deplus,sif est borée, alors la covergece est uiforme. 1.2 Mesure Soit = [a, b] et B la tribu boréliee. Ue mesure sur (, B) est ue foctio µ : B R + vérifiat les propriétés suivates : µ( ) =0; Pour toute suite d esembles {A } Bdeux à deux disjoits o a µ A = µ(a ). O appelle µ() lamasse totale de µ. Siµ() <, alors o dit que est ue mesure fiie. Propositio 1.7. Soit µ ue mesure sur (, B ).Alorslespropriétéssuivates ot lieu. (a) Si A, B Bet A B, alorsµ(a) µ(b). 4

4 (b) Soit {A } Bue suite telle que A 1 A 2.Alors µ A = lim µ(a ). (1.2) De même, si {A } Best ue suite décroissate telle que µ(a 1 ) <, alors µ A = lim µ(a ). (1.3) Démostratio. (a) Soit C = B \ A. Alors B = A C et A C =, et doc (b) O ote µ(b) =µ(a) +µ(c) µ(a). Ã 1 = A 1, Ã 2 = A 2 \ A 1,...,Ã = A \ A 1. Alors Doc, Ã = A, Ã Ãm = pour m =. µ A = µ(ã) =µ(a 1 )+ µ(a ) µ(a 1 ) = lim µ(a ). =2 Pour démotrer (1.3), o remarque que A 1 \ A = (A 1 \ A ), d où, d après la formule (1.2), o obtiet D autre part, µ A 1 \ A = lim µ(a 1 \ A )=µ(a 1 ) lim µ(a ). µ A 1 \ Ces deux relatios impliquet (1.3). A = µ(a 1 ) µ A. Exemples ) Mesure de Dirac. Soit x 0. Pour tout A B, o défiit 1, x0 A, δ x0 (A) = 0, x 0 / A. 5

5 2) Mesure de comptage : µ(a) = ombre d élémets de A. 3) Soit {x } ue suite de poits deux à deux disjoits et {α } ue suite de ombre positifs. O pose µ(a) = α. x A Théorème 1.9 (sas démostratio). Soit =[a, b] et B la tribu boréliee. Alors il existe ue uique mesure λ sur (, B) telle que λ([ã, b]) = b ã pour tous a ã b b. Voir chapitre II das [Far06] ou chapitre V das [KF75] pour la démostratio de ce résultat. O appelle λ la mesure de Lebesgue sur [a, b]. 1.3 Itégrale Soit =[a, b] u itervalle mui de sa tribu boréliee B et µ ue mesure sur (, B). O défiit d abord la otio d itégrale pour des foctios positives. Soit f ue foctio étagée positive : O pose f(x) = c k I Γk (x), Γ k B, Γ k Γ =. fdµ = c k µ(γ k ). Propositio Soit f ue foctio de la forme f(x) = α i I Ai (x), α i 0, A i B. Alors f est ue foctio étagée positive et fdµ = α i µ(a i ). Démostratio. Il existe des esembles Γ k B, k = 1,...,,deuxàdeux disjoits tels que A i = i j=1 Γ k i j. 6

6 Cette relatio implique que Il s esuit que I Ai = ε i ki Γk, ε i k = 0 ou 1. µ(a i )= f(x) = ε i kµ(γ k ), α i ε i ki Γk = α i ε i k I Γk. E utilisat la défiitio de l itégrale, o obtiet fdµ = α i ε i k µ(γ k )= ε i kµ(γ k ) α i. Soit maiteat f : R + ue foctio mesurable. D après le théorème 1.6, il existe ue suite de foctios étagées f : R + telle que f (x) f +1 (x), f (x) f(x) pour tout x. (1.4) Il est facile à voir que f dµ est ue suite croissate. O défiit l itégrale (de Lebesgue) de f par la formule fdµ = lim f dµ. Théorème La valeur de l itégrale de f e déped pas de la suite {f }. De plus, fdµ =sup gdµ ; g 0 est ue foctio étagée telle que g f. (1.5) Démostratio. O ote I(f) le membre de droite de (1.5). Il est clair que pour toute suite {f } vérifiat (1.4) la limite des itégrales est majorée par I(f). Motros l iégalité réciproque. Soit ε>0etg 0 ue foctio étagée telle que I(f) gdµ + ε. Soit c ]0, 1[ et E = {x : f (x) cg(x)}. Alors E E +1 et E =. Il s esuit que f dµ f I E dµ c gi E dµ c gdµ ci(f) cε, 7

7 d où o coclut que fdµ ci(f) cε. Comme c ]0, 1[ et ε>0 étaiet quelcoques, o arrive à la relatio (1.5). Ue foctio positive f est dite itégrable si fdµ <. La propositio suivate établit quelques propriétés de l itégrale. Propositio (a) Si 0 f g, alors fdµ gdµ. (b) Si f,g 0 et c 0, alors cfdµ = c fdµ, (f + g)dµ = fdµ+ gdµ. Démostratio. (a) O ote E la famille de foctios étagées et E + la famille de foctios h E positives. Comme f g, o a d où o coclut que sup hdµ, h E +,h f {h E +,h f} {h E +,h g}, sup hdµ, h E +,h g. (b) Soit f E + ue suite croissate qui coverge vers f. Alors {cf } est aussi croissate et coverge vers cf. Doc, cfdµ = lim cf dµ = c lim f dµ = c fdµ. La démostratio de la deuxième relatio est similaire. O défiit maiteat l itégrale d ue foctio quelcoque. Soit f : R ue foctio mesurable. O dit que f est itégrable si f dµ <. Das ce cas, o pose fdµ = f + dµ f dµ, où f + = f 0etf =( f) 0. Propositio L itégrale possède les propriétés suivates. (a) Si f = f 1 f 2 est itégrable et f i 0, alors fdµ = f 1 dµ f 2 dµ. 8

8 (b) Si f,g sot des foctios itégrables et c R, alors (cf + g)dµ = c fdµ+ gdµ. (c) Si f est itégrable, alors fdµ f dµ. Démostratio. ous allos motrer que la propriété (a), car les deux autres propriétés sot des coséqueces simples de (a) et de la défiitio de l itégrale. Etat doées deux foctios f i 0, o peut écrire f 1 = f + g 1, f 2 = f + g 2, f = f 1 f 2. Alors g 1 0, g 2 0etg 1 g 2 0. Il s esuit que g 1 =(f 1 f 2 ) +, g 2 =(f 1 f 2 ). E utilisat la défiitio de l itégrale, o obtiet fdµ = g 1 dµ + g 2 dµ. D autre part, d après la propositio 1.12, o a f i dµ = fdµ+ g i dµ, i =1, 2. Ces deux relatios impliquet le résultat cherché. Sigalos que tous les résultats obteus ci-dessus restet vrais das le cas de foctios à valeurs complexes. 1.4 Itégrales de Riema et de Lebesgue Théorème Soit =[a, b] avec a> et b<. O muit de la mesure de Lebesgue. Alors pour toute foctio borée itégrable à la fois au ses de Riema et de Lebesgue les valeurs des deux itégrales sot cofodues. Démostratio. Sas perte de gééralité, o peut supposer que 0 f 1. Cosidéros ue partitio = {x 0 = a<x 1 < <x = b} de l itervalle [a, b] et les somme de Darboux correspodates : I + (f, ) = (x k x k 1 ) sup [x k 1,x k ] f, I (f, ) = (x k x k 1 ) if f. [x k 1,x k ] Comme f est itégrable au ses de Riema, pour toute ε>0ilexisteue partitio ε telle que I + (f, ε ) I (f, ε ) <ε. (1.6) 9

9 O itroduit des foctios étagées f + ε et f ε par Alors f ε f f + ε, f + ε (x) = f ε (x) = f ε dλ = I (f, ε ) sup f pour x [x k 1,x k [, [x k 1,x k ] if f pour x [x k 1,x k [. [x k 1,x k ] b a fdx I + (f, ε )= f ε dλ. (1.7) Les relatios (1.6), (1.7) impliquet que les valeurs des itégrales de Lebesgue et de Riema sot égales. Exemple Cosidéros la foctio 1, x Q, f(x) = 0, x / Q. Cette foctio est pas itégrable au ses de Riema, mais so itégrale de Lebesgue vaut zéro. 10

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