Contribution à la théorie des entiers friables

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1 UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN Cotributio à la théorie des etiers friables Souteue publiquemet le Juillet 25 Membres du Jury : M Étiee Fouvry Présidet & Rapporteur Professeur à l Uiversité de Paris XI M Régis de la Bretèche Rapporteur Maître de coféreces à l École Normale Supérieure M Marius Tucsak Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Fracis Corad Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Jie Wu Examiateur Chargé de recherche CNRS, Uiversité Heri Poicaré M Gérald Teebaum Directeur de Thèse Professeur à l Uiversité Heri Poicaré Istitut Élie Carta Nacy CNRS UMR 9973 Faculté des Scieces - BP Vadœuvre-lès-Nacy CEDEX

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3 UFR STMIA École Doctorale IAE + M Uiversité Heri Poicaré - Nacy I DFD Mathématiques THÈSE présetée pour l obtetio du titre de Docteur de l Uiversité Heri Poicaré, Nacy-I e Mathématiques par Bruo MARTIN Cotributio à la théorie des etiers friables Souteue publiquemet le Juillet 25 Membres du Jury : M Étiee Fouvry Présidet & Rapporteur Professeur à l Uiversité de Paris XI M Régis de la Bretèche Rapporteur Maître de coféreces à l École Normale Supérieure M Marius Tucsak Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Fracis Corad Examiateur Professeur à l Uiversité Heri Poicaré M Jie Wu Examiateur Chargé de recherche CNRS, Uiversité Heri Poicaré M Gérald Teebaum Directeur de Thèse Professeur à l Uiversité Heri Poicaré Istitut Élie Carta Nacy CNRS UMR 9973 Faculté des Scieces - BP Vadœuvre-lès-Nacy CEDEX

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5 Remerciemets Je ties à remercier chaleureusemet mo directeur de thèse, Gérald Teebaum pour so ivestissemet iestimable das ce travail Sa dispoibilité, ses ecouragemets et surtout sa verve mathématique, ot permis l aboutissemet de ce projet, chose que je parvies ecore difficilemet à réaliser Étiee Fouvry m a fait l hoeur d être rapporteur de ce travail et présidet de mo jury, je lui e suis très recoaissat Je ties à remercier Régis de la Bretèche, mo rapporteur, pour ses ombreuses remarques et suggestios qui ot permis d erichir ce travail et de le redre plus trasparet Je remercie Marius Tucsak et Fracis Corad de m avoir aiguillé e aalyse foctioelle et e aalyse umérique Je remercie égalemet Jie Wu pour sa participatio à ce jury U grad merci égalemet à Bruo Piço qui a pas épargé so temps pour m aider das la partie iformatique de cette thèse Je profite de cet istat pour remercier tous les eseigats, qui, par la qualité de leurs cours et leur ethousiasme, m ot appris à aimer les mathématiques E particulier, j ai ue pesée émue pour deux professeurs qui ot tiré leur derière révérece : MMichel, mo professeur de quatrième, qui m a iitié aux plaisirs de la démostratio, à ue période où les mathématiques e présetaiet aucu itérêt à mes yeux ; Jea Varouchas, dot je oublierai jamais le regard lorsqu il parveait à trouver ue ouvelle démostratio d ue idetité célèbre, au beau milieu d ue séace de travaux dirigés de Licece Je remercie égalemet Aick Adré et Charles Vix qui ot su me faire découvrir l élégace de cette disciplie, et m iciter aisi à y cosacrer de plus e plus de temps Le soutie de mo etourage a été particulièremet importat durat ces trois derières aées Je pese tout d abord à ma famille qui m a toujours souteu das les momets de découragemets Je ties à saluer tous mes amis qui, par leurs ombreuses sollicitatios, m ot empêché, si besoi était, de trasformer ma vie e sacerdoce mathématique U remerciemet tout particulier à mes colocataires : Mathou, Pablo, Jux, Alie et Greg et à la bade des luévillois : Jérôme, Mau, Pig, Scual, Jea-Yvouet, Pegg, Yoa, Flo, Willy, Nico U petit coucou égalemet aux groupes des choristes, des radoeurs et aux allumés d Improdisiaque Et je oublie pas Mao et Ae, rayos de soleil du laboratoire, dot le soutie a été essetiel

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7 Table des matières géérale Notatios 5 Itroductio 7 Nouvelles idetités de Daveport 7 Iégalité de Turá-Kubilius pour les etiers friables 57

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9 Notatios La lettre p désige u ombre premier Das la partie cosacrée à l iégalité de Turá-Kubilius, il e est de même pour la lettre q a b sigifie que a divise b et p ν sigifie que p ν et p ν+ a, b désige le pgcd des etiers a et b := N ω := p et τ := { d ω si est sas facteur carré, µ := foctio de Möbius das le cas cotraire, { log p si = p Λ := ν, foctio de Vo Magoldt das le cas cotraire, ϕ := m, m,= est la foctio idicatrice d Euler P désige le plus grad facteur premier de, avec la covetio P = Sx, y := { x : P y} et Ψx, y est le cardial de Sx, y La foctio de Dickma ϱ est défiie comme l uique solutio cotiue de l équatio différetielle aux différeces fiies vϱ v + ϱv = v >, ϱv = v Nous posos égalemet ϱv = pour v < État doé u ombre réel x, ous otos [x] sa partie etière, x sa partie fractioaire, et x := dx, Z = mi Z x la distace de x à l esemble des etiers ξv désige, pour v >, l uique solutio strictemet positive de l équatio + vξv = e ξv O pose ξ = α = αx, y désige la solutio de l équatio trascedate p y log p p α = log x x y 2 ζ désige la foctio zêta de Riema log k désige la k-ième itérée de la foctio logarithme Nous utilisos idifféremmet la otatio de Ladau f = Og et celle de Viogradov f g pour sigifier que f C g pour ue costate positive C, qui peut être absolue ou dépedre de certais paramètres, auquel cas la dépedace pourra être idiquée e idice La otatio f g sigifie que f g et g f ot lieu simultaémet A désige l esemble des foctios arithmétiques additives à valeurs réelles, c est-à-dire telles que f = p ν fp ν N

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11 Itroductio Cette thèse comporte deux parties idépedates, toutes deux dédiées à l étude des etiers friables, ou sas grad facteur premier, et à leur implicatio das la théorie aalytique et probabiliste des ombres Nous désigos par P le plus grad facteur premier d u etier 2 et ous posos P = L esemble Sx, y := { x : P y} dot le cardial est oté Ψx, y, a fait l objet d ue littérature cosidérable depuis le travail de Bruij e 95, et otammet lors des vigt derières aées L itroductio des etiers friables s est e effet révélée très utile das de ombreux problèmes Das la première partie, ous utilisos les etiers friables pour traiter u problème posé par Daveport e 937 cocerat des séries trigoométriques à coefficiets arithmétiques La première foctio de Beroulli ormalisée est défiie par { ϑ Bϑ = 2 si ϑ / Z, si ϑ Z, où désige la partie fractioaire Elle est e tout poit somme de so développemet e série de Fourier : o a, pour tout ϑ R, Bϑ = k si2πkϑ πk État doée ue foctio arithmétique g : N C, o déduit de le calcul formel 2 g Bϑ = g πk si2πkϑ,k = g m si2πmϑ, πm m où désige le produit de covolutio de Dirichlet, et la foctio arithmétique défiie par = pour tout E posat 3 f = g, ous pouvos réécrire 2 sous la forme D ϑ m fm πm si2πmϑ + g Bϑ = État doé u couple de foctios f, g liées par la relatio 3, détermier les ombres réels ϑ pour lesquels l idetité D ϑ pred u ses aalytique, est u problème difficile que l o e sait actuellemet pas résoudre e toute gééralité Nous oteros désormais f, g D ϑ pour sigifier qu u couple de foctios f, g, liées par la relatio 3, satisfait l idetité D ϑ Désigos par δ l élémet eutre pour la covolutio et par µ la foctio de Möbius Daveport a établi que δ, µ D ϑ pour tout ϑ R Plus précisémet, il obtiet l estimatio effective 4 ϑ, y := si2πϑ π + y µ Bϑ y 2, log y A

12 8 Bruo Marti où A est ue costate positive arbitraire La méthode de Daveport cosiste à utiliser la décompositio ϑ 2 ϑ ϑ, y = I + J avec I = ϑ2 ϑ ϑ, y dϑ et J = ϑ2 ϑ { ϑ, y ϑ, y } dϑ L itégrale I ramèe le problème à u cas où la série double figurat das 2 est sommable, et pour lequel l iterversio des sommatios est doc licite Estimer J cosiste essetiellemet à cotrôler les discotiuités de 5 ϑ y µ Bϑ Le saut de la foctio 5 e u poit de Farey a/q, avec a q y et a, q =, vaut y mod q µ = µq q y/q,q= µ q + log y A, pour tout A >, où la derière évaluatio peut être établie par ue méthode classique d itégratio complexe Daveport obtiet l évaluatio souhaitée e sommat sur tous les poits de Farey d ordre y apparteat à l itervalle [ϑ, ϑ] et obtiet l estimatio 6 ϑ, y ϑ, y ϑ ϑ y + O log y A, qui est suffisate pour coclure Cepedat cette méthode échoue das le cas de certaies foctios arithmétiques de référece Par exemple, lorsque f, g = log, Λ, où Λ désige la foctio de vo Magoldt, le cotrôle des discotiuités e semble plus evisageable, car le saut e u poit de Farey a/q de la foctio ϑ y ΛBϑ/ e ted pas vers lorsque y, cotrairemet au cas de la foctio µ Nous doos das l appedice A de la première partie de ce travail, u exposé plus détaillé sur la méthode de Daveport et ses limites Il est par ailleurs à oter que l extesio du résultat de Daveport par covolutio se heurte égalemet à des obstacles sérieux Aisi, o a bie 7 f ϑ, y : = fm πm si2πmϑ + g Bϑ m y y = fm mϑ, y/m, m m y mais la cotributio à 7, des etiers m y/2, pour lesquels le résultat 4 de Daveport est sas itérêt, peut être substatielle, hors des circostaces où l o dispose d ue forte coditio de décroissace pour la foctio f Eviro soixate aées plus tard, La Bretèche et Teebaum ot exploité les récets développemets effectués sur les etiers friables pour développer u cadre mieux adapté à ce problème La P -sommatio, itroduite par Fouvry et Teebaum e 99, costitue l outil détermiat de cette ouvelle méthode Ce procédé cosiste à sommer o plus sur les etiers y mais sur les etiers tels que P y L emploi de la P -sommatio pour traiter le problème de Daveport peut être justifié par l éocé suivat : le P -développemet e série de Fourier de la foctio B coverge poctuellemet vers B, c est-à-dire 8 ϑ, y := Bϑ Bϑ, y = o y

13 avec De plus, sup ϑ R Bϑ, y := Itroductio 9 P y Bϑ, y = sup Bϑ + o ϑ R si2πϑ π y, ce qui sigifie que le phéomèe de Gibbs est évité Le procédé de P -sommatio est doc plus régulier que la sommatio usuelle La Bretèche et Teebaum parvieet à établir, grâce à cette méthode, que log, Λ D ϑ pour tout ϑ R, alors que la méthode de Daveport fourissait seulemet le résultat pour presque tout ϑ Désigos par τ la foctio qui compte le ombre de diviseurs d u etier La Bretèche et Teebaum traitet égalemet le cas du couple τ, qui s avère être particulièremet itéressat das la mesure où l esemble des ombres réels ϑ pour lequels la relatio D ϑ est pas satisfaite est o vide Notat {q m } m= la suite des déomiateurs des réduites de ϑ, les auteurs de [3] obtieet que pour ϑ R Q, le couple τ, appartiet à D ϑ si, et seulemet si, la série m log q m+ m est covergete Qu ue coditio de croissace sur la suite {q m } m= iterviee ici est pas surpreat e soi : heuristiquemet, les ombre réels ϑ posat problème sot ceux pour lesquels les ombres ϑ approchet trop bie les discotiuités de la foctio B, c est-à-dire les ombres etiers E effet, c est e ces poits que la covergece du développemet e série de Fourier de B est la plus mauvaise Or, de tels poits sot précisémet ceux pour lesquels la suite {q m } m= croît très vite Nous ous sommes pechés sur le cas du couple τ κ+, τ κ où τ κ désige, pour κ >, la puissace de covolutio d ordre κ de la foctio ; autremet dit τ κ est le coefficiet géérique de la série de Dirichlet ζs κ où ζ désige la foctio zêta de Riema Nous obteos ue caractérisatio des ombres irratioels pour lesquels τ κ, τ κ+ D ϑ Pour éocer otre résultat pricipal, ous itroduisos la foctio multiplicative f κ défiie par q m f κ p ν : = κ τ κ p j+ν p p j j { } = τ κ p ν + O κ p ν, e coveat que la lettre p désige u ombre premier Nous obteos le résultat suivat Théorème Soiet κ > et ϑ R Q O a 9 m τ κ+ m πm si2πmϑ + τ κ Bϑ = si, et seulemet si, la série m log q m+ κ f κ q m q m m coverge Compte-teu des idetités τ =, τ 2 = τ et f =, ce théorème correspod à ue gééralisatio à κ > du résultat obteu par La Bretèche et Teebaum pour κ = La foctio f κ satisfait la majoratio f κ q κ q ε q, κ >

14 Bruo Marti U théorème de Khichie, das [], ous permet alors de motrer que l esemble des ombres irratioels pour lesquels la série est pas covergete, est de mesure de Hausdorff ulle Il est cepedat o vide : il est possible de costruire u ombre irratioel de sorte que ses réduites croisset suffisammet vite pour que la série diverge La Bretèche et Teebaum ot établi idirectemet das [3], que l idetité 9 est valide pour tout ϑ Q Nous retrouvos ce résultat e doat de plus ue estimatio de la vitesse de covergece des deux séries impliquées das 9 Par ailleurs, il est aussi possible de cosidérer la foctio τ z lorsque z est u ombre complexe La Bretèche et Teebaum ot établi la validité de l idetité m τ z+ m πm si2πmϑ + τ z Bϑ = pour tout ϑ R lorsque z C vérifie z Nous obteos qu ue coditio suffisate pour la validité de, lorsque z est u ombre complexe quelcoque et ϑ u ombre irratioel, est log q m+ z 2 lim f z q m = m q m Pour établir de tels résultats lorsque ϑ R Q, ous suivos la méthode itroduite par La Bretèche et Teebaum das [3] Nous commeços par établir que les deux séries, mises e jeu das, et la série 3 m log q m+ z f z q m q m m coverget ou diverget simultaémet pour tous z C et ϑ R Q L étude de la covergece de la série 4 m τ z+ m πm si2πmϑ z C, ϑ R Q se déduit, via ue sommatio d Abel, de l estimatio de la somme 5 τ z+ m si2πmϑ m x Ue telle estimatio est réalisée das [3] et repose sur l évaluatio des sommes d expoetielles τ z me 2iπam/q a q, a, q =, m x par la méthode de Selberg-Delage O e déduit ue estimatio de 5 faisat iterveir les déomiateurs des meilleures approximatios ratioelles de ϑ, c est-à-dire les élémets de l esemble Dϑ := {q 2 : qϑ < mi r<q rϑ }, où ϑ désige la distace du ombre réel ϑ à l etier le plus proche O sait classiquemet que Dϑ coïcide avec {q m } m=, ce qui ous permet de relier la covergece de la somme 4 à la covergece de la série Pour étudier la covergece de la série 6 τ z Bϑ ous employos le fait, établi das [3], que la foctio τ z est bie répartie das les progressios arithmétiques de petit module

15 Itroductio Nous faisos iterveir les etiers friables pour établir, qu e cas de covergece, les séries 4 et 6 ot des sommes opposées, c est-à-dire que 7 τz+ ϑ; y := τ z+ m πm si2πmϑ + τ z Bϑ = o y m y y La P-sommatio état plus régulière que la sommatio usuelle, La Bretèche et Teebaum précoiset d établir e premier lieu la validité du P -aalogue de 7, c est-à-dire 8 τz+ ϑ, y := τ z+ m πm si2πmϑ + τ z Bϑ = o y, P m y puis d e déduire 7, via la formule où l o a posé et P y τz+ ϑ; y = τz+ ϑ, y U τz+ ϑ; y V τz ϑ; y y 2, U τz+ ϑ; y := V τz ϑ; y := P m y m>y P y >y τ z+ m πm si2πmϑ, τ z Bϑ L étude des défauts de P -régularité, U τz+ ϑ; y et V τz ϑ; y, est effectuée das [3] E approchat B par ue foctio dot le développemet e série de Fourier est absolumet coverget, et e procédat à ue iterversio de sommatio deveue licite, La Bretèche et Teebaum motret que l étude de V τz ϑ, et à l évidece celle de U τz+ ϑ, y, peut se rameer à celle des sommes d expoetielles 9 τ z e 2iπϑ z C Sx,y La Bretèche a établi das [] des résultats permettat d évaluer des sommes du type 9 Cela repose essetiellemet sur la méthode classique de Viogradov pour évaluer des sommes d expoetielles sur des arcs mieurs E choisissat y de maière à ce que ϑ appartiee à u arc mieur, La Bretèche et Teebaum obtieet la formule lim if y U τ z+ ϑ, y + V τz ϑ, y = Pour établir 8, ous exploitos u autre aspect capital de la P -sommatio, à savoir le respect de la structure multiplicative du produit de covolutio de Dirichlet : la formule, dite des covolutios complètes, affirme que pour deux foctios arithmétiques f, g, ous avos f gm = f gk, P y P m y P k y sous réserve de covergece des trois séries Rappelat la défiitio de ϑ, y e 8, ous obteos e particulier 2 τz+ ϑ, y = τ z m mϑ, y, m P m y formule que l o peut avatageusemet comparer à 7 : les etiers y/m ot disparu Nous utilisos alors ue estimatio effective de la formule 8, établie au Théorème 22 de [3] Nous obteos que la somme iterveat das 2 est essetiellemet domiée par 2 P y ϑ /y τ z E localisat les etiers, dot la cotributio à 2 est o égligeable, à l aide des approximatios diophatiees de ϑ, ous obteos que 8 est satisfaite dès que la coditio 2 est remplie Cette derière étape écessite égalemet ue estimatio de la moyee de τ z sur les etiers friables, fourie par Smida, das []

16 2 Bruo Marti La deuxième partie de cette thèse se place das le cadre de la théorie probabiliste des ombres et de l étude de la répartitio des foctios additives via l iégalité de Turá-Kubilius Coveos que la lettre p désigera toujours u ombre premier Si f est ue foctio additive, ous pouvos écrire f = p ν fp ν = p x f p x, où les f p sot défiies par 22 f p = { fp ν si p ν si p Si ν x désige la mesure uiforme sur Ω x := { x}, o a ν x {f p = fp ν } = ω x p ν : = x { [ ] [ x x p ν = p ν p p ν+ + O ] } x La répartitio de la foctio f peut doc être modélisée par celle d ue variable aléatoire Z f,x défiie par Z f,x = p x ξ p, où les ξ p sot des variables aléatoires idépedates géométriques de paramètre /p Les approximatios aturelles de l espérace et de la variace d ue foctio additive f défiie sur Ω x sot doc A f x := EZ f,x = fp ν p ν, p VZ f,x = B f x 2 p x p ν x 2 { fp ν } 2, p p ν ν log x/ log p où l o a posé B f x 2 := EZ 2 f,x = p ν x fp ν 2 p ν p, et où E et V désiget respectivemet l espérace et la variace relatives à la loi de probabilité des variables aléatoires ξ p Avec ces otatios, l iégalité classique de Turá-Kubilius s éoce sous la forme 23 V f x := x { f Af x} 2 B f x 2, x où la costate implicite e déped pas de la foctio additive f La quatité V f x e représete pas exactemet la variace de f sous la mesure ν x, qui s écrit V # f x = x { f Ef x } 2, x avec E f x = f x x Cepedat, l écart etre V f x et V # f x reste égligeable devat B f x 2

17 Itroductio 3 La costate C peut doc être vue comme ue mesure de l écart séparat la théorie probabiliste des ombres et la théorie des probabilités Plus précisémet, o peut cosidérer la costate C = lim sup x sup f A V f x B f x 2, où la lettre A désige l esemble des foctios additives à valeurs réelles Das [2], La Bretèche et Teebaum déduiset d ue formule asymptotique pour la variace V f x, établie par Hildebrad das [], l égalité C = 2 O peut espérer approfodir otre compréhesio de la ature probabiliste de l esemble Ω x, e remplaçat la mesure ν x par la mesure uiforme sur Sx, y, que ous désigos par ν x,y E coservat la défiitio 22 des foctios f p, ous avos, pour ue foctio additive f dot le support est iclus das Sx, y, f = p y f p Notat Ψ m x, y := { Sx, y :, m = }, ous observos que la loi des f p est désormais doée par 24 ν x,y {f p = fp ν } = Ψx/pν, y Ψx/p ν+, y Ψx, y = Ψ px/p ν, y ν Ψx, y Pour costruire u modèle probabiliste de f das ce cadre, il ous suffit doc de disposer d ue approximatio simple du rapport Ψ p x/p ν, y/ψx, y L estimatio de Ψx, y, obteue das [4] par la méthode du col, suggère que ce rapport est proche de la quatité p να p α, où α désige la solutio de l équatio trascedate p y log p p α = log x Cela ous amèe à approcher la répartitio de f par celle de la variable aléatoire Z f,x,y := p y ξ p, où les ξ p sot des variables aléatoires idépedates dot la loi est défiie par Pξ p = fp ν = p να p α ν Tout comme das le cas x = y, ous sommes coduits à cosidérer les approximatios aturelles de l espérace et du momet d ordre 2 de f, A f x, y := EZ f,x,y = B f x, y 2 := EZ 2 f,x,y = p ν Sx,y p ν Sx,y fp ν p να p α, fp ν 2 p να p α

18 4 Bruo Marti Avec ces otatios, La Bretèche et Teebaum établisset das [2] que la majoratio 25 V f x, y := Ψx, y est uiforme pour f A et 2 y x Sx,y { f Af x, y } 2 Bf x, y 2 Là ecore, se pose le problème d élucider le comportemet asymptotique de la costate optimale impliquée das 25, c est-à-dire, V f x, y Cx, y := sup f A B f x, y 2 Lorsque x = y, les iégalités 23 et 25 coïcidet à u terme égligeable près, aussi peut-o affirmer que Cx, x = 2 + o x La Bretèche et Teebaum établisset par ailleurs que 26 Cx, y = + o das le domaie y x o et y log x L objet de otre étude cosiste à détermier le comportemet asymptotique de Cx, y lorsque le paramètre u := log x/ log y est fixé Plus précisémet, ous étudios la valeur de Cu := lim sup Cx, x /u u x Tout comme das le cas x = y, ous remarquos que la quatité V f x, y e représete pas la variace empirique relative à la mesure ν x,y d ue foctio additive mais la moyee de l écart quadratique etre f et l espérace de so modèle Il serait doc plus juste, das la perspective de jauger l écart etre la théorie probabiliste des ombres et la théorie des probabilités, d étudier les quatités, V # f x, y := { f Ef x, y } 2, Ψx, y avec et E f x, y := Sx,y Ψx, y C # u := lim sup u sup f A Sx,y f, V # f x, y B f x, y 2, d autat que ces quatités ot pas, a priori, le même comportemet que V f x, y et Cu dès que u > Cepedat la quatité V f x, y est plus maiable que V # f x, y et doc plus susceptible d applicatios : La Bretèche et Teebaum déduiset par exemple de l iégalité 25 u théorème portat sur la structure multiplicative des etiers friables Les deux approches présetet doc u itérêt Das u souci de clarté, ous ous cotetos d exposer das cette itroductio des résultats cocerat la variace semi-empirique V f x, y et la costate Cu À chacu de ces résultats correspod u aalogue pour la variace empirique V # f x, y et la costate C# u dot ous doeros le détail das le développemet de ce travail L étude précise de l approximatio du rapport Ψ p x/p ν, y Ψx, y

19 Itroductio 5 par la quatité p να p α, est évidemmet fodametal pour otre étude O sait classiquemet que l expressio de la desité aturelle des etiers friables fait iterveir la foctio ϱ de Dickma, défiie comme état l uique solutio cotiue de l équatio différetielle aux différeces fiies avec la coditio iitiale vϱ v + ϱv = ϱv = v C est otammet l objet de la formule de Hildebrad [2] Par ailleurs, ue estimatio de α das otre domaie étude est idispesable et s exprime e foctio de ξu, qui est l uique solutio strictemet positive de l équatio + uξu = e ξu, lorsque u > Nous posos ξ = Ces cosidératios ous amèet à costater que la foctio h défiie par hu, v := ϱu v e vξu ϱu u, v u, joue u rôle capital das ce travail A l istar de Hildebrad pour le cas u =, ous établissos ue formule asymptotique pour V f x, y afi d e déduire des estimatios de Cu Nous employos les otatios g m α := p m p α m N et u d := log d log y d Cette formule fait égalemet iterveir ue foctio ϑ x,y p ν, précisémet défiie au chapitre suivat Das le cadre de cette itroductio, ous ous cotetos de préciser que ϑ x,y p ν = hu, u p ν lorsque p ν Sx/y, y et que ous disposos d u ecadremet optimal de ϑ x,y p ν das le domaie p ν Sx, y Sx/y, y Théorème 2 Soit A > et z : R + R + ue foctio telle que zt t pour t, et lim t zt = + Il existe ue suite {ε m } m= e dépedat que de A, et covergeat vers, telle que l o ait, uiformémet pour f A, x 2, y = x /u, u A, 27 V f x, y = P f x, y + ϕ, S u ϕ u R f x, y + { ε + o } B f x, y 2 x, avec et P f x, y := R f x, y := p ν Sx,y p zy ν g p αϑ x,y p ν fpν 2 p να, g p αhu, u p ν fpν p να 2 Das ce théorème, S u désige u opérateur, exprimé e foctio de hu, v, défii sur l espace de Hilbert H u = L 2 [, ], m u où m u est ue mesure adaptée au problème ϕ est ue foctio de H u qui est ue approximatio quadratique de f suffisammet précise pour que ϕ 2 u { + o } fp 2 g p α x p p y L u des aspects cruciaux de la formule 27, est que l opérateur S u est autoadjoit et compact Il existe doc ue base hilbertiee de vecteurs propres diagoalisat S u E otat κu la plus grade valeur propre de l opérateur S u, ous avos doc immédiatemmet, 28 ϕ, S u ϕ κu + o ϕ 2 u κu + o fp 2 g p α p Nous itroduisos les quatités h u := p y max hu, v et v u h u := mi hu, v v E distiguat bie la cotributio des ombres premiers p y, de celle des ombres etiers p ν Sx, y avec ν 2, ous déduisos de la formule asymptotique 27 et de la majoratio 28, l ecadremet suivat pour Cu

20 6 Bruo Marti Corollaire 3 Soit u O a 29 max { 2hu, u, h u + κu} Cu max { 2hu, u, h u + κu } Hildebrad a démotré que κ = /2 Pour u >, ous e pouvos pas détermier explicitemet κu Cepedat, ous pouvos employer ue méthode classique d aalyse umérique pour obteir ue approximatio de κu avec ue précisio arbitraire De plus, e établissat la cotiuité de l applicatio u κu, ous déduisos de 29 qu il existe u voisiage de u = pour lequel Cu = 2hu, u Par ailleurs, e étudiat la répartitio des valeurs propres de l opérateur S u, ous obteos ue versio effective de 26, soit Cu = + O u Nous amélioros aisi le terme d erreur e / u qui découle des calculs meés par La Bretèche et Teebaum das [2] La forme quadratique ϕ, S u ϕ figurat das la formule 27, proviet d ue certaie forme quadratique Q f x, y apparaissat aturellemet e développat V f x, y e utilisat l additivité de f Ue partie importate du travail cosiste aisi à établir que l o peut approcher certaies sommes discrètes sur Sx, y, par des itégrales e dépedat plus de x et y Cela écessite d obteir des propriétés cocerat les vecteurs propres de S u Bibliographie [] R de la Bretèche, Sommes d expoetielles et etiers sas grad facteur premier, Proc Lodo Math Soc , [2] R de la Bretèche et G Teebaum, Etiers friables : iégalité de Turá-Kubilius et applicatios, Ivet Math 59 25, [3] R de la Bretèche & G Teebaum, Séries trigoométriques à coefficiets arithmétiques, J Aal Math, 9 24, 79 [4] H Daveport, O some ifiite series ivolvig arithmetical fuctios, Quart J Math Oxford 8 937, 8 3 [5] H Daveport, O some ifiite series ivolvig arithmetical fuctios II, Quart J Math Oxford, 8 937, [6] E Fouvry & G Teebaum, Etiers sas grad facteur premier e progressios arithmétiques, Proc Lodo Math Soc , [] A Hildebrad, A asymptotic formula for the variace of a additive foctio, Math Z , 45-7 [2] A Hildebrad, O the umbers of positive itegers x ad free of prime factors > y, J Number Theory , [4] A Hildebrad et G Teebaum : O itegers free of large primes factors, Tras Am Math Soc 296, [] A Khitchie, Cotiued fractios, Noordhoff, Groige, 963 [] H Smida, Valeur moyee des foctios de Piltz sur les etiers sas grad facteur premier, Acta Arith 63, 993, 2 5

21 Nouvelles idetités de Daveport Sommaire Itroductio 7 2 Rappels, otatios et prélimiaires techiques 2 2 Les foctios de Piltz 2 22 La foctio f z 2 23 Approximatios ratioelles des ombres réels 22 3 Éocé des résultats 23 4 Le cas ϑ ratioel : preuve du Théorème La ϑ-adaptatio du couple τ z+, τ z lorsque ϑ R Q 28 6 Preuve des Théorèmes 32 et Réductio du problème Covergece de Uτ z+ ; ϑ Covergece de V τ z ; ϑ 39 7 Appedice A 43 8 Appedice B 46 9 Appedice C 55 Cosidéros la foctio B défiie par : Itroductio Bϑ = So développemet e série de Fourier s écrit : Bϑ = { ϑ 2 si ϑ / Z, si ϑ Z k= si2πkϑ πk Soit à préset ue foctio arithmétique g E effectuat ue iterversio formelle de sommatios, o obtiet l idetité 2 g Bϑ = g πk si2πkϑ,k = gm si2πmϑ, πm m où désige l opérateur de covolutio etre deux foctios arithmétiques et déote la foctio défiie par = N Le problème de décider si ce calcul formel est ou o licite a été itroduit par Daveport das [6] et [7] E posat f = g, l idetité 2 s écrit, D ϑ Uf; ϑ + V g; ϑ =, avec et Uf; ϑ := m= V g; ϑ := fm πm si2πmϑ, = g Bϑ État doé u couple de foctios arithmétiques f, g vérifiat 3 f = g,

22 8 Bruo Marti ous écriros f, g D ϑ pour sigifier que les séries Uf; ϑ et V g; ϑ coverget et que la relatio D ϑ est satisfaite, soit 4 f ϑ; y := m y fm πm si2πmϑ + y g Bϑ = o y Coformémet à l usage, ous désigos la foctio de Möbius par la lettre µ Das [7], Daveport établit que δ, µ D ϑ pour tout ϑ R Cepedat sa méthode échoue das le cas de foctios arithmétiques de référece tels que log, Λ, Λ, µ log ou τ,, où Λ désige la foctio de vo Magoldt et τ la foctio qui déombre les diviseurs d u etier Nous décrivos les mécaismes et les limites de la méthode de Daveport das l Appedice A Nous profitos égalemet de l occasio pour fourir les détails permettat de cofirmer l assertio de Daveport [6] selo laquelle la théorie des foctios L de Dirichlet implique directemet la relatio δ, µ D ϑ pour ϑ Q Nous doos e appedice B, deux argumets, l u élémetaire, l autre aalytique, auxquels Daveport pouvait vraisemblablemet soger, au vu des coaissaces dispoibles e 937 Das [3], La Bretèche et Teebaum ot employé ue ouvelle méthode, reposat sur l utilisatio des etiers friables, pour aborder la questio Ils ot pu aisi établir de ombreux résultats validité pour la relatio D ϑ, parmi lesquels plusieurs critères gééraux E particulier le cas des trois couples de foctios suscités, pour lesquels l approche de Daveport est iefficace, a pu aisi être complètemet élucidé Décrivos succitemet, à préset, les fodemets de cette approche ouvelle Désigos par P le plus grad facteur premier d u etier 2 et coveos que P = La méthode de [3] repose sur la P -sommatio, qui cosiste à sommer o plus sur les etiers y mais sur les etiers tels que P y Ce procédé iitialemet itroduit par Fouvry et Teebaum das [9] est plus régulier que la sommatio usuelle, das la mesure où il permet d éviter le phéomèe de Gibbs cf le théorème 5 de [3], ce qui justifie l emploi de la P -sommatio pour traiter ce problème La méthode de La Bretèche et Teebaum cosiste à établir e premier lieu le P -aalogue de 4, soit 5 f ϑ; y := P m y fm πm si2πmϑ + P y g Bϑ = o y Ils désiget esuite u couple f, g de foctios arithmétiques liées par 3 et vérifiat 5 comme ϑ-adapté Itroduisat, comme das [3], les défauts de P -régularité des P -sommes correspodat aux séries Uf; ϑ et V g; ϑ, soit U f ϑ; y := P m y m>y Nous obteos alors l idetité fm πm si2πmϑ, V gϑ; y := P y >y 6 f ϑ; y = f ϑ; y U f ϑ; y V g ϑ; y y 2 g Bϑ La Bretèche et Teebaum déduiset de cette formule plusieurs coditios suffisates usuelles de validité de D ϑ pour u couple ϑ-adapté, dot celle qui suit Propositio Soit f, g u couple ϑ-adapté Si les deux séries Uf; ϑ et V g; ϑ sot covergetes et si l o a 7 lim if y V gϑ; y + U f ϑ; y =, alors f, g D ϑ Décrivos plus avat la techique employée das [3] pour établir la ϑ-adaptatio d u couple f, g de foctios liées par 3 Elle trouve so origie das la formule des covolutios complètes :

23 Nouvelles idetités de Daveport 9 état doées quatre foctios arithmétiques A, f, g et h telles que f = g h, ous avos, sous réserve de covergece absolue des séries impliquées, l idetité 8 fa = g ham y P y P y P m y Posos maiteat 9 Bϑ; y := P y si2πϑ π E appliquat la formule 8 avec h = et A : si2πϑ/π, ous obteos pour u couple f, g lié par 3 toujours sous réserve de covergece absolue, P m y fm πm si2πmϑ + P y g Bϑ; y = y 2 Nous déduisos doc des relatios Bϑ; y = Bϑ ϑ; y, δ ϑ; y = si2πϑ π + P y µ Bϑ, les idetités f ϑ; y = P y g ϑ; y = P m y fm m δmϑ; y Établir la ϑ-adaptatio d u couple f, g, lié par 3, cosiste doc à motrer ue forme e moyee d ue des relatios ϑ; y = o, δ ϑ; y = o que, d après respectivemet le théorème de [9] et le théorème 22 de [3], l o sait être valable pour tout ϑ R lorsque y Das cette étude, ous emploieros la méthode de La Bretèche et Teebaum afi d étudier les idetités de Daveport vérifiées par les couples τ z+, τ z, où τ z désige la puissace de covolutio d ordre z de la foctio Nous éoceros doc des coditios sur ϑ et z telles que l idetité 2 m= τ z+ m πm si2πmϑ + = τ z π Bϑ = soit valide Le cas z = correspod au développemet e série de Fourier de la foctio B Le cas z = correspod au couple δ, µ, traité par Daveport : la relatio D ϑ est alors valide pour tout ϑ R Efi, La Bretèche et Teebaum caractériset les ombres réels ϑ pour lesquels le couple τ, appartiet à D ϑ, élucidat aisi le cas z = théorème 44 de [3] Ils démotret égalemet que le couple τ z+, τ z appartiet à D ϑ pour tout ombre réel ϑ dès que z + théorème 48 de [3]