Mécanique non linéaire

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1 M MN9 Mécaique o liéaire Zhi-Qiag FENG UFR Sciece et Techologies Uiversité d Evry Val d Essoe

2 TABLES DES MATIERES INTRODUCTION Chapitre : CONCEPTS ELEMENTAIRES. Pricipales propriétés des matériaux. Coaissace et utilisatio des matériaux. Les grades classes de matériaux.4 Méthodes expérimetale - types d'essais.5 Les grades classes de comportemet.6 Formulatio des lois de comportemet.7 Choix des lois de comportemet.8 Comportemet viscoélastique.9 Viscoélasticité liéaire. Modèles rhéologiques viscoplastiques Chapitre : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D. Plasticité uiaxiale.. Modèle rhéologique pati-ressort.. Modèle de Prager Ecrouissage ciématique.. Écriture géérale des équatios de l'élastoplasticité uiaxiale..4 Modèle de Taylor Ecrouissage isotrope. Viscoplasticité uiaxiale. Quelques modèles classiques e viscoplasticité

3 Chapitre : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D. Critères de plasticité.. Exemple d'u treillis métallique.. Les outils dispoibles.. Critères e faisat pas iterveir la pressio hydrostatique..4 Critères faisat iterveir la pressio hydrostatique..5 Critères aisotropes. Cadre gééral de la formulatio des lois de comportemet.. Décompositio de la déformatio.. Critères.. Lois d écoulemet..4 Lois d écrouissage. Formulatio des lois de comportemet viscoplastique.. Ecriture géérale.. Exemple : Modèle de Norto gééralisé (loi d Odqvist).. De la viscoplasticité à la plasticité.4 Formulatio des lois de comportemet plastique.4. Formulatio géérale.4. Pricipe du travail maximal.5 Directios d écoulemet associées aux critères courats.5. Critère de vo Mises.5. Critère de Tresca.5. Critère de Drücker-Prager.6 Quelques lois particulières e plasticité.6. Lois de Pradtl-Reuss.6. Lois de Prager.6. Ecoulemet à vitesse de déformatio totale imposée REFERENCES

4 Chapitre 4 : MODELISATION EN PETITES ET GRANDES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4. Itroductio 4. Modèles de petites déformatios élastoplastiques 4.. Petites déformatios élastoplastiques 4.. Calcul du multiplicateur plastique théorique 4.. Calcul de la matrice tagete théorique 4..4 Itégratio des lois de comportemet Calcul de Δλ Calcul de la matrice tagete cosistate 4..5 Programmatio e C 4. Modèles de grades déformatios élastoplastiques 4.. Descriptio des grades trasformatios 4.. Itégratio des lois de comportemet e grades trasformatios 4.4 Exemples umériques REFERENCES Chapitre 5 : MODELISATION DE LA MISE EN FORME DES MATERIAUX EN GRANDES DEFORMATIONS RIGIDE-VISCOPLASTIQUES 5. Itroductio 5. Hypothèses et loi de comportemet 5. Pricipe variatioel 5.4 Discrétisatio et formulatio des élémets fiis 5.5 Applicatios umériques 5.5. Forgeage d'u lopi axisymétrique 5.5. Forgeage d'u disque axisymétrique 5.6 Approche aalytique relative au forgeage d'u lopi axisymétrique 5.7 Coclusio REFERENCES

5 Chapitre 6 : MODELISATION DES PROBLEMES DE CONTACT AVEC FROTTEMENT 6. Itroductio 6. Lois de cotact et de frottemet 6. Algorithme local 6.4 Algorithme global 6.5 Exemples umériques 6.6 Coclusio REFERENCES Chapitre 7 : MODELISATION DES GRANDES DEFORMATIONS HYPERELASTIQUES 7. Itroductio 7. Cas d étude : Cube e compressio das u cotaier rigide 7. Travaux Pratiques sur ANSYS 7.4 Publicatios 4

6 Chapitre : CONCEPTS ELEMENTAIRES. Pricipales propriétés des matériaux O distigue plusieurs types de propriétés des matériaux selo leur utilisatio. Das le cas du développemet des ordiateurs, ce sot essetiellemet les propriétés physiques qui sot e cause. Das le cas du développemet des moteurs d avios, ce sot les propriétés mécaiques et chimiques qui sot détermiates. Les pricipales propriétés des matériaux se regroupet doc e : Propriétés mécaiques - modules d'élasticité, - limite d'élasticité, écrouissage, ductilité. - viscosité, vitesse de fluage, amortissemet - charge à la rupture, résistace à la fatigue, à l'usure, Propriétés physiques - coductibilité électrique, aimatatio, - coductibilité thermique, chaleur spécifique, - température et chaleur latete de trasformatio, - éergie de surface, de liaiso, - trasparece. Propriétés chimiques - résistace à la corrosio, à l'oxydatio, - stabilité, diagrammes d'équilibre. E gééral, le choix d'u matériau pour ue applicatio doée est la coséquece de propriétés adaptées das u ou plusieurs des domaies idiqués (par exemple l'alumiium est parfois utilisé das les culasses automobiles malgré sa faible température de fusio, e raiso de so faible poids et de sa boe coductibilité thermique). Il est aussi orieté par d'autres cosidératios, ce sot les performaces du matériau, au rag desquelles vot se classer des élémets techologiques et écoomiques, e même temps que des caractéristiques mois facilemet mesurables comme l'aspect (fodametal das le bâtimet pour les élémets de façade, pour les carrosseries automobiles,... ) : dispoibilité, reproductibilité, fiabilité, usiabilité, aptitude à la mise e forme, soudabilité, absece de ocivité, possibilité de recyclage, coût, aspect, boe caractérisatio.. Coaissace et utilisatio des matériaux La boe coaissace des matériaux et leur boe utilisatio fot iterveir trois domaies d'activité.. Le développemet du matériau lui-même (ce secteur état abset das le cas des géomatériaux). Là se jouet l'évolutio du matériau, la découverte de ouvelles microstructures, qui cocouret à l'amélioratio des performaces itrisèques.. La caractérisatio des propriétés d'emploi. Ce poit a pour but d'apporter ue meilleure coaissace d'u matériau existat, (mécaismes physiques qui provoquet ou accompaget la déformatio, effets mécaiques macroscopiques), doc de réduire les icertitudes et d'augmeter la fiabilité des modèles utilisés.. Le travail sur les modèles umériques permet d'améliorer la représetatio des pièces, structures ou domaies calculés (par amélioratio des algorithmes, qui autoriset le traitemet de modèles umériques plus importats, par exemple D au lieu de D). La Mécaique des Matériaux Solides est cosacrée uiquemet à l'étude des propriétés mécaiques des matériaux (poit ). Le poit () est le domaie des métallurgistes et des chimistes. Le poit () est celui de la Mécaique des Structures.. Les grades classes de matériaux Il est importat de souliger que la modélisatio umérique par élémets fiis ot pas ue applicatio réduite à u seule matériaux, mais que les théories étudiés peuvet être utilisées das des domaies idustriels très divers. Les modèles qui serot cosidérés s appliquet aux : métaux, céramiques, polymères, composites, bois, béto, sols (sables et roches), biomatériaux (os, tissus)..4 Méthodes expérimetale - types d'essais Il existe de ombreux essais qui permettet de caractériser les propriétés mécaiques des matériaux. Certais sot ormalisés : AFNOR ISO - Associatio Fraçaise de NORmalisatio - Iteratioal Stadardisatio Orgaisatio 5

7 ASTM - America Society for Testig ad Materials Essai d'écrouissage : U essai de tractio (σ > ) ou de compressio (σ < ) réalisé à vitesse de déformatio costate sur u matériau réel doe des résultats e termes d'efforts et de déplacemet, que l'o cherche esuite à covertir e ue courbe cotraite - déformatio (σ e foctio de ε). Das le cas des métaux et des matériaux composites par exemple, les éprouvettes sot des cylidres muis e gééral de têtes d'amarrage filetées ou des plaques de sectio rectagulaire. Pour les roches (et pour les métaux e grades déformatios). les expérieces sot réalisées sur des cylidres, qui sot comprimés etre les plateaux d'ue presse. Pour le cas de la compressio simple, il faut porter ue grade attetio aux coditios aux limites, e autorisat le meilleur glissemet possible sur les appuis, faute de quoi se développet das l'éprouvette des champs de cotraite et de déformatio complexes (mise e toeau de l'échatillo). Les courbes obteues à l'aide de cet essai ot typiquemet l'allure idiquée e Figure. lorsque le comportemet du matériau observé est idépedat de la vitesse (comportemet de plasticité idépedate du temps). R m R. R e σf/s.% A h Ar ε l/l Figure.: Schéma d'u essai de tractio simple Le comportemet fait apparaître ue partie liéaire (élasticité) suivie d'ue partie o liéaire, au cours de laquelle la pete dimiue das le diagramme déformatio-cotraite, au poit de deveir évetuellemet égative. R e désige la limite d'élasticité ou limite de proportioalité, R. désige la limite d'élasticité covetioelle, qui correspod à ue déformatio iélastique de.%, R m désige la résistace à la tractio, A h désige l'allogemet obteu à la cotraite maximale, A r désige l'allogemet à la rupture. Quoique d'apparece simple, il s'agit e fait d'u essai dot l'iterprétatio peut deveir délicat, puisque la dimiutio de pete observée peut recouvrer des phéomèes physiques très différets, et surtout que le passage à des petes égatives est e gééral lié au fait que le champ de déformatio 'est plus uiforme (phéomèe de strictio). La figure. quat à elle motre l'allure des courbes obteues lorsque le matériau testé est sesible à la vitesse de déformatio. Les courbes expérimetales sot situées etre deux courbes théoriques limites correspodat l'ue à ue vitesse de déformatio ifiie (compredre: grade) et l'autre à ue vitesse ulle (compredre: faible). Cette derière courbe est importate, puisqu'elle représete la répose du matériau durat les trasformatios quasi-statiques et décrit so comportemet à log terme. Il s'agit de l'esemble des poits (σ ε) représetat les états par lesquels passe le matériau pedat que la déformatio augmete à vitesse quasimet ulle (successio d'états d'équilibre limite). σ ε ε ε ε Figure.: Répose d'u matériau viscoplastique e tractio simple Essai de fluage: (déformatio cotiue sous cotraite costate) Lorsqu'ue éprouvette est soumise à ue tractio simple (essai moodimesioel sous ue cotraite et ue déformatio), si, à partir d'u certai état, la cotraite est maiteue costate, la déformatio restera costate (absece de déformatios différées das le temps) s'il 'y a aucue viscosité. E fait, das le cas d'u matériau réel (coçu par l homme ou existat déjà das la ature), des déformatios différées (phéomèe de viscosité) serot alors observées de faço à peu près systématique, à tel poit qu'il faut admettre que tous les matériaux réels présetet ce phéomèe de viscosité, pourvu qu'ue période de temps suffisammet grade soit cosidérée. Aisi. si ue éprouvette cylidrique d'ue roche salie d'ue dizaie de 6

8 cetimètres est soumise à ue pressio axiale d'ue dizaie de MPa, pressio maiteue costate, et que sa hauteur est mesurée au bout d'ue jourée. puis ue jourée plus tard avec ue précisio absolue de mm, alors, à température ambiate, aucue variatio de logueur e sera détectée. Il e faut pas e déduire que les roches salies à température ambiate e présetet pas de viscosité. car, e augmetat la précisio de la mesure ou e attedat plus logtemps (u mois de fluage par exemple), il est possible d'observer des déformatios différées. Essai de relaxatio: (dimiutio des cotraites sous déformatio costate) Ue autre maière de caractériser la viscosité d'u matériau est de le soumettre à u essai de relaxatio, das lequel la déformatio de l'éprouvette est maiteue costate après ue prédéformatio iitiale. Plus le comportemet du matériau présete ue composate visqueuse importate, et plus la cotraite chute rapidemet, pour atteidre évetuellemet ue valeur ulle. Cet essai est essetiellemet réalisé sur les métaux et les polymères. Essai triaxial. Certais matériaux e peuvet pas être testés simplemet e tractio, e raiso de leur très faible résistace, ou de leur forte sesibilité aux décetrages des liges d'amarrage (béto, céramique). Ils sot alors testés e compressio, ou e flexio. La compressio uiaxiale sur des cylidres a déjà été décrite, mais il est parfois écessaire d'avoir recours à u mode de sollicitatio où les bords latéraux sot coteus (essai triaxial) : l'échatillo est soumis latéralemet à ue pressio hydrostatique qui assure so maitie, ce qui permet par exemple de tester des matériaux pulvérulets (argiles, sables). Essai de flexio: Il est réalisé sur des barrettes, avec ou 4 poits d'appuis. Flexio poits Flexio 4 poits Figure. : Schéma d essais de flexio L essai de flexio 4 poits permet de bééficier d'ue zoe cetrale das laquelle le momet est uiforme. L essai de flexio est essetiellemet utilisé avec des matériaux fragiles, dot le comportemet sera élastique. La plastificatio, associée au fait que le comportemet e tractio et e compressio peut être différet, coduit à des redistributios de cotraites complexes das l'éprouvette, si bie que le dépouillemet de l'essai lui-même écessite u calcul des structures. Das u même ordre d'idée, il existe égalemet des essais de flexio rotatives das lesquels ue éprouvette e rotatio, ecastrée à ue extrémité, subit u effort perpediculaire à so axe, si bie que les poits de la surface extérieure voiet leur état de cotraite passer alterativemet de la tractio à la compressios. Ces essais sot utilisés pour détermier la limite de fatigue, sollicitatio e dessous de laquelle le matériau résistera à u chargemet répété. Essai de torsio : Réalisé sur éprouvette pleie, cet essai est essetiellemet utilisé à haute température pour coaître l'aptitude à la mise e forme des métaux. L'avatage de ce type d essai est d'éviter la strictio. Par cotre, il est d'iterprétatio difficile, das la mesure où l'état de cotraite et déformatio 'est pas uiforme. Il est possible de remédier à ce derier icovéiet, e adoptat comme éprouvettes des tubes mices. qui peuvet être istrumetés localemet, à l'aide de jauges ou d'extesomètres. Essai de dureté: Largemet employé comme moye de cotrôle, il mesure la résistace à la péétratio d'ideteurs de diverses formes, par exemple ue bille d'acier de gros diamètre ( mm) das le cas de l'essai Briel, ou ue pyramide diamat à base carrée, l'agle etre les faces opposées état de 6 pour l'essai Vickers. Ue relatio empirique idique que, das les aciers doux, la dureté Vickers (force/dimesio de l'empreite) est de l'ordre de fois la résistace à la tractio. Essai Charpy: Il permet de caractériser sur u barreau etaillé le passage d'u mode de rupture ductile, accompagé de déformatio iélastique, doc à forte éergie, à u mode de rupture fragile, préset à plus basse température, qui e met e jeu que des éergies faibles. Essais complexes : Outre les essais de tractio-torsio sur tube, il existe d autres moyes de géérer des états de cotraites multiaxiales cotrôlés das des éprouvettes. C est le cas d essais de tractio-pressio itere sur tube, ou ecore d essais sur des éprouvettes cruciformes..5 Les grades classes de comportemet L'allure qualitative de la répose des matériaux à quelques essais simples permet de les rager das des classes bie défiies. Ces comportemets "de base", qui peuvet être représetés par des systèmes mécaiques élémetaires, sot l'élasticité, la plasticité et la viscosité. Les élémets les plus courats sot, e Figure..4: 7

9 (a) (b) (c) (d) Figure.4: Les "briques de base" pour la représetatio des comportemets. Le ressort qui symbolise l'élasticité liéaire parfaite, pour laquelle la déformatio est etièremet réversible lors d'ue décharge, et où il existe ue relatio biuivoque etre les paramètres de charge et de déformatio (fig..4a).. L'amortisseur, qui schématise la viscosité, liéaire (fig..4b) ou o (fig..4c). La viscosité est dite pure s'il existe ue relatio biuivoque etre la charge et la vitesse de chargemet. Si cette relatio est liéaire, le modèle correspod à la loi de Newto.. Le pati, qui modélise l'apparitio de déformatios permaetes lorsque la charge est suffisate (fig..4d). Si le seuil d'apparitio de la déformatio permaete 'évolue pas avec le chargemet, le comportemet est dit plastique parfait. Si, de plus, la déformatio avat écoulemet est égligée, le modèle est rigide-parfaitemet plastique. Ces élémets peuvet être combiés etre eux pour former des modèles rhéologiques. Ceux-ci représetet des systèmes mécaiques qui servet de support das la défiitio des modèles. Il e faut e aucu cas leur accorder u trop grad crédit pour ce qui cocere la représetatio des phéomèes physiques qui sot à la base des déformatios. La répose de ces systèmes peut être jugée das plas différets, qui permettet d'illustrer le comportemet lors d'essais de type: - écrouissage, ou augmetatio mootoe de la charge ou de la déformatio, (pla ε σ); - fluage, ou maitie de la charge (pla t-ε) ; - relaxatio, ou maitie de la déformatio (pla t-σ). Les réposes de modèles classiques sot reportées das ces plas pour les cas : (a) du solide élastique, σ E ε, (b) du solide viscoélastique (modèle de Voigt), qui comporte u ressort et u amortisseur e parallèle, σ ηε H ε, (c) du solide élastique-parfaitemet plastique, (modèle de Sait-Veat), costitué par u ressort liéaire et u pati e série; lorsque le module E ted vers l'ifii, le modèle deviet rigide-parfaitemet plastique, (d) du solide élastique-plastique écrouissable, (modèle de Sait-Veat gééralisé), qui doe ue courbe de tractio liéaire par morceaux, (e) du solide élastique-parfaitemet viscoplastique, (modèle de Norto), formé par u amortisseur o liéaire, ou modèle de Bigham-Norto, qui comporte u ressort liéaire e série avec u amortisseur et u pati situés e parallèle; lorsque le seuil du pati ted vers zéro, et que l'amortisseur est choisi liéaire, ce derier modèle dégéère e u modèle de fluide visqueux, modèle de Maxwell, comportat u ressort et u amortisseur e série, ε σ /E σ/η, (f) du solide élastique-viscoplastique écrouissable, qui représete le schéma le plus complexe..6 Formulatio des lois de comportemet Les modèles rhéologiques qui sot décrits das le paragraphe précédet illustret les différets comportemets qui vot être cosidérés das la suite du cours. L'utilisatio d équatios de ce type fait iterveir u certai ombre d hypothèses implicites. Excepté le cas de l élasticité, l esemble des modèles cosidérés précédemmet s exprimet sous forme différetielle, si bie que la répose actuelle déped de la sollicitatio actuelle et de so histoire (propriété d hérédité). Il y a deux maières de predre e compte cette histoire, la première cosiste à la décrire par ue dépedace foctioelle etre les variables, la secode fait l hypothèse qu il est possible de représeter l effet de l histoire das des variables iteres, qui cocetret les iformatios importates qui défiisset l état du matériau. Sauf quelques cas exceptioels comme celui 8

10 de la viscoélasticité liéaire, la secode méthode de travail produit des modèles dot la modélisatio umérique est plus simple. Les autres hypothèses importates qui sot classiquemet utilisées pour l écriture de modèles de comportemet sot :. Le pricipe de l état local, qui cosidère que le comportemet e u poit e déped que des variables défiies e ce poit, et o pas du voisiage ;. Le pricipe de simplicité matérielle, qui suppose que seul iterviet das les équatios de comportemet le premier gradiet de la trasformatio ;. Le pricipe d objectivité, qui traduit l idépedace de la loi de comportemet vis-à-vis de l observateur, et qui implique que le temps e peut pas iterveir explicitemet das les relatios de comportemet. Das le cas des matériaux homogèes et isotropes, l'esemble de ces hypothèses se résume par ue expressio etre les cotraites et les déformatios du type : σ ( t ) Γτ < t ( ε ( τ )) où Γ est la foctioelle de répose du matériau..7 Choix des lois de comportemet Comportemets viscoélastique : pour les polymères thermoplastiques au voisiage de la température de fusio, pour les verres au voisiage de la température de trasitio, pour les bétos frais. Comportemets rigides-parfaitemet plastiques : pour l'étude des sols, pour l aalyse limite, pour la mise e forme des métaux. Comportemets plastiques : pour les métaux à des températures iférieures au quart de la température de fusio, pour les sols et roches. Comportemets viscoplastiques pour les métaux à moyee et haute température, pour le bois, les sols (dot le sel), pour les céramiques à très haute température. Il faut oter que chacu de ces types de modèles est approché, et que le choix de l'ue ou l'autre modélisatio du comportemet va dépedre de l'applicatio visée. Aisi u acier à température ambiate peut être cosidéré comme élastique liéaire pour le calcul des flèches d'ue structure mécaique, viscoélastique pour u problème d'amortissemet de vibratios, rigide-parfaitemet plastique pour u calcul de charge limite, élasto-viscoplastique pour l'étude de cotraites résiduelles,... u polymère peut être cosidéré comme u solide pour u problème de choc, et comme u fluide pour l'étude de sa stabilité sur de logues durées. L'igéieur chargé du dimesioemet de cavités de stockage de déchets ucléaires das u massif sali e peut pas égliger le comportemet différé de cette roche, car la péreité de l'ouvrage est exigée pour des dizaies d'aées voire des siècles. Alors qu'ue galerie d'ue exploitatio miière dot o 'a besoi que pour quelques jours peut être modélisée das le cadre de l'élastoplasticité (e égligeat la viscosité). Das le cas de matériaux métalliques opérat au dessus du tiers de leur température de fusio, la prise e compte de la viscoplasticité est égalemet écessaire, lorsque l'igéieur s'itéresse à de "logues" durées (par exemple pour certifier la teue de composats de cetrale ucléaire sur ue quarataie d'aées), parfois même pour des foctioemets relativemet courts, aisi par exemple das les aubes de turbies aéroautiques..8 Comportemet viscoélastique Les relatios de l élasticité liéaire, supposet e petites déformatios ue relatio liéaire etre le teseur des cotraites et le teseur des déformatios, qui s exprime e uiaxial: σ E ε Cette hypothèse est e défaut pour des solides tels que les polymères, les verres au dessus de la température de trasitio vitreuse, ou, das ue moidre mesure, les bétos, sur ue large échelle de temps: ue caractéristique ouvelle du comportemet est alors la présece de déformatios différées: il y a évolutio de la déformatio, quel que soit le iveau de charge appliqué, et quelle que soit l'histoire atérieure du chargemet. Ce type de comportemet peut être modélisé de la viscosité, qui suppose l existece d ue relatio etre cotraite et vitesse de déformatio. Le cas où la relatio est liéaire correspod à la loi de Newto (η représetat la viscosité du matériau): 9

11 σ η ε U matériau sera viscoélastique si les comportemets d élasticité et de viscosité sot présets simultaémet. La figure.5 regroupe les réposes classiques d u matériau viscoélastique à quelques sollicitatios fodametales. Lorsque le matériau subit à partir d u istat t u échelo de cotraite (Fig..5a), il présete ue déformatio istataée, suivie d ue déformatio différée, ou retardée, c est l expériece de fluage ou de retard (Fig..5b). Si, au-delà d u istat t, la charge est rameée à zéro, il apparaît, après ue ouvelle déformatio istataée, le phéomèe de recouvrace, qui ted à rameer la déformatio à zéro. La foctio de retard est ue foctio croissate du temps t, qui peut dépedre aussi de la cotraite σ, o ulle pour t > t. Si au cotraire la sollicitatio imposée est ue déformatio, appliquée à partir d u istat t (Fig..5c), il s agit d ue expériece de relaxatio, au cours de laquelle la cotraite dimiue à partir d ue valeur obteue lors de la répose istataée (Fig..5d). Le fait de rameer la déformatio à zéro après u istat correspod à l expériece d effacemet, pedat laquelle la cotraite ted vers zéro. Le comportemet sera dit viscoélastique si, au cours de cette derière expériece, l effacemet est total, c est-à-dire que la cotraite reviet effectivemet à zéro. La foctio de relaxatio est ue foctio décroissate du temps t, qui peut dépedre aussi de la déformatio ε, o ulle pour t > t. ε σ t t t t t t a. Echelo de cotraite b. Fluage puis recouvrace σ ε t t t t t t c. Echelo de déformatio c. Relaxatio puis effacemet Figure.5 : Expérieces fodametales e viscoélasticité.9 Viscoélasticité liéaire E toute gééralité, ue loi de comportemet s'exprime comme ue correspodace foctioelle etre l'histoire des cotraites et celle des déformatios, qui peut être otée: ( σ( )) ε ( t) Γτ< t τ Par défiitio, u comportemet sera viscoélastique liéaire si, cosidérat deux histoires de cotraites σ et σ, et leur réposes ε et ε, la répose obteue pour la combiaiso liéaire (λ σ λ σ ) est (λ ε λ ε ). La liéarité du comportemet se traduit par le pricipe de superpositio de Boltzma : si l o suppose deux histoires de sollicitatio, la répose est la superpositio des réposes.. Modèles rhéologiques viscoplastiques ( σ σ ) Γ ( σ ) Γ ( σ ) ε ( t) Γτ< t τ< t τ < t Modèle de Maxwell : Ce modèle regroupe u amortisseur et u ressort e série (Fig..6a). L équatio du modèle est : σ ε E σ η

12 Modèle de Voigt : Ce modèle regroupe u amortisseur et u ressort e parallèle (Fig..6b). L équatio du modèle est : σ η ε H ε E η H η a. Maxwell b. Voigt Figure.6 : Modèles de Maxwell et Voigt ε σ /Ε σ /Η Maxwell Voigt σ Ηε Εε Voigt t t a. E fluage b. E relaxatio Figure.7 : Réposes des modèles de Maxwell et Voigt La particularité du modèle de Voigt est de e pas préseter d élasticité istataée. Ceci etraîe que sa foctio de relaxatio est pas cotiue est dérivable. L applicatio d u saut de déformatio e t produit ue cotraite ifiie. Ce modèle est doc pas utilisable e relaxatio, sauf si la mise e charge est progressive, et sera pour cette raiso associé à u ressort pour effectuer des calculs de structure (modèle de Kelvi-Voigt). Sous l effet d ue cotraite σ costate e foctio du temps, la déformatio teds vers la valeur asymptotique σ /H, le fluage est doc limité (Fig.7a), le fluage est doc limité (Fig.7a), alors que si, après ue mise e charge lete, la déformatio est fixée à ue valeur ε, la cotraite asymptotique sera Hε (Fig..7b). Il y a doc pas das ce derier cas disparitio complète de cotraite. Au cotraire, das le cas du modèle de Maxwell, la vitesse de fluage est costate (Fig..7a), et la disparitio de cotraite au cours d ue expériece de relaxatio est totale (Fig..7b). Das le cas de modèles et de chargemet aussi simples, la répose est obteue istataémet par itégratio directe des équatios différetielles. Les formules obteues sot respectivemet : Pour le modèle de Maxwell : o Fluage sous ue cotraite σ ε σ /E σ t/η o relaxatio à la déformatio ε σ E ε exp(-t/τ) Pour le modèle de Voigt : o Fluage sous ue cotraite σ ε (σ /H) [-exp(-t/τ')] Les costates τ η/e et τ η/h sot homogèes à u temps. τ désige le temps de relaxatio du modèle de Maxwell. La figure.8 illustre le modèle de Maxwell gééralisé. E i η i σi σ ε ηi E σ σi i i i Figure.8 : Modèle de Maxwell gééralisé

13 Chapitre PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D La plasticité est aujourd'hui utilisée pour le calcul de structures de sécurité, qui, quoique gééralemet coçues pour rester globalemet élastiques peuvet préseter: des déformatios plastiques localisées das des etailles, fissures, défauts locaux (qui peuvet être bééfiques e "accommodat" les efforts supplémetaires). ue plastificatio accidetelle sous l'effet de chargemets extrêmes (séismes), de la perte de certais orgaes (aubes de turboréacteurs), d'arrêts d'urgece (ucléaire), ue plastificatio relativemet faible, mais répétée (fatigue oligocyclique), essetiellemet e présece de chargemets thermomécaiques. Par ailleurs la (visco-)plasticité peut être ue composate essetielle d'u procédé idustriel ou du foctioemet d'u système: pour la mise e forme des métaux et polymères, pour augmeter la résistace des structures (timbrage, autofrettage, greaillage), si o s'itéresse à de très logues durées de foctioemet (ouvrages souterrais). Les utilisateurs de méthodes de calculs preat e compte la plasticité se recrutet essetiellemet : das le secteur des trasports, aéroautiques (moteurs d'avios, cellules), automobile (culasses, échappemet) et das ue moidre mesure, costructio avale, chemi de fer, das le secteur de l'éergie, ucléaire (chaudroerie), chimie, fabricatio d'oléoducs, gazoducs, échageurs de chaleur, turbies, e costructio mécaique et géie civil, grues, pots, offshore.. Plasticité uiaxiale Les chargemets uiaxiaux correspodet à u teseur de cotraite comportat ue seule composate o ulle. Certais matériaux, comme les sols e peuvet pas être chargés de cette maière, éamois l'essai de tractio, costitue la base de la caractérisatio du comportemet iélastique. Sous chargemet mootoe, la courbe obteue das le pla déformatiocotraite peut être schématisée de bie des maières, les plus simples état: le comportemet élastique-parfaitemet plastique (Fig..a), qui exprime le fait que le matériau est icapable de supporter ue cotraite plus importate que celle qui correspod à l'écoulemet plastique, σ y (yield stress); le comportemet élastique-plastique liéaire (Fig..b), qui est au cotraire caractéristique de matériaux capables de se durcir (otio d'écrouissage) avec la déformatio plastique; la pete de la courbe déformatio-cotraite pour des cotraites supérieures à a. s'appelle le module élastoplastique, E T dσ/dε. Le module élastoplastique est ul pour u matériau élastique-parfaitemet plastique, costat pour u matériau élastiqueplastique liéaire; il sera dépedat de la déformatio das le cas gééral. σ σ y Ε ε σ σ y Ε Ε Τ ε a. Élastique-parfaitemet plastique b. Élastique-plastique liéaire Figure.: Schématisatio du comportemet plastique mootoe La figure. motre les différets régimes de B foctioemet d'u modèle élastoplastique. Lors de la σ Figure.: Illustratio des première mise e charge, etre O et A, le différets régimes de A comportemet est élastique. La brache AB, supposée foctioemet d'u parcourue de faço mootoe, correspod à u état de modèle de plasticité charge plastique. Si le chargemet s'arrête O O ε istataée mometaémet au poit B, rie e se passe (pas de fluage si la cotraite est maiteue costate, pas de relaxatio si la déformatio est maiteue costate), ce qui caractérise u comportemet o visqueux (plasticité

14 istataée; au cotraire du comportemet viscoélastique, déjà étudié, et du comportemet viscoplastique, qui sera cosidéré plus loi). A partir de B, la reprise du chargemet produit de ouveau de l'écoulemet plastique, par cotre sa dimiutio (e termes de cotraite ou de déformatio) ramèe das le domaie élastique, il s'agit de l'état de décharge élastique, la courbe suivie pour redescedre à cotraite ulle, BO', état parallèle à la courbe élastique iitiale OA. E O' subsiste ue déformatio permaete, appelée déformatio plastique et otée ε p. Au cours de la descete, la valeur de ε p e chage pas, si bie que, si ue décharge est appliquée à partir d'u autre poit que B, il sera possible d'obteir ue valeur différete de ε p pour la même valeur de cotraite: e coséquece, il faudra exprimer les relatios sous forme icrémetale. Cette simple costructio illustre bie l'ue des pricipales difficultés de la plasticité - l'expressio du modèle e u poit de foctioemet doé (aisi e B) déped de la directio de chargemet; les opérateurs associés das le cas gééral serot dits «multi-braches». Elle permet e même temps de mettre e évidece les pricipales hypothèses : à température costate, la déformatio totale se décompose e ue déformatio élastique et ue déformatio plastique (hypothèse de décompositio de la déformatio): ε ε e ε p il existe u domaie d élasticité, défii par ue foctio f, à l'itérieur duquel il 'y a pas d'écoulemet plastique, et sur la frotière duquel le poit représetat l'état de chargemet se déplace au cours de l'écoulemet plastique; le domaie d'élasticité est susceptible d'évoluer au cours du chargemet (phéomèe d'écrouissage), cette évolutio état représetée à l'aide de variables d'écrouissage, otées de faço covetioelle A I... Modèle rhéologique pati-ressort Modèle élastique--parfaitemet plastique L'associatio d'u ressort et d'u pati e série (Fig..a) correspod exactemet au comportemet élastique-parfaitemet plastique déjà décrit e figure.a: le système e peut pas supporter ue cotraite plus grade que σ y. Lors de la réalisatio p d'u cycle, l'éergie dissipée par la déformatio plastique est Wp cycleσdε, soit σyεmax, lorsque la déformatio p plastique est rameée à zéro après avoir atteit ε max, (Fig..c). De même que le modèle de Maxwell e viscoélasticité, ce modèle est susceptible d'atteidre des déformatios ifiies (ruie du système par déformatio excessive). Pour caractériser ce modèle, il faut cosidérer ue foctio de charge f dépedat de la seule variable σ, et défiie par: f(σ) σ - σ y σ y E H σ σ y σ a. Modèle de Sait-Veat b. Modèle de Prager σ σ σ y σ y ε p H ε p σ y σ y c. d. Figure.: Associatios e série ou parallèle de pati et ressort Le domaie d'élasticité correspod aux valeurs égatives de f, et le comportemet du système se résume alors aux équatios suivates: domaie d'élasticité si : f < ( ε ε e σ /E) décharge élastique si f et f < ( ε ε e σ /E) écoulemet plastique si : f et f ( ε σ /E ε p ) E régime élastique, la vitesse de déformatio plastique est bie etedu ulle. La vitesse de déformatio élastique deveat à so tour ulle pedat l'écoulemet plastique. Ceci implique que l'expressio de la vitesse de déformatio plastique e peut pas se faire à l'aide de la cotraite. C'est au cotraire la vitesse de déformatio qui doit être choisie comme pilote... Modèle de Prager Ecrouissage ciématique

15 L'associatio d'u ressort et d'u pati e parallèle (Fig..b) correspod au comportemet illustré e figure.b, Das ce cas, comme le motre la figure.d. l'écrouissage est liéaire. Il est dit ciématique, car dépedat de la valeur actuelle de la déformatio plastique. La forme de la courbe est due au fait que, lors de l'écoulemet plastique, la cotraite qui s'établit das le ressort vaut x H ε p. Par ailleurs, cet écoulemet e se produit que si la valeur absolue de la cotraite das le pati, soit σ-x, est égale à σ y, Pour ue déformatio doée, cette cotraite x est ue cotraite itere (back stress) qui caractérise le ouvel état eutre du matériau. Il est remarquable de oter que le calcul de l'éergie dissipée au cours d'u cycle produit exactemet le même résultat que pour le premier motage, ce qui idique que, pour ce type de comportemet, ue partie de l'éergie est temporairemet stockée das le matériau (ici, das le ressort), et restituée à la décharge. Ceci doe ue illustratio physique de la otio d'écrouissage. Ce deuxième exemple offre l'occasio d'écrire u modèle plus complet que précédemmet. La foctio de charge déped maiteat de la cotraite appliquée et de la cotraite itere. Elle s'écrit: f(σ, x) σ - x - σ y Il 'y aura présece d'écoulemet plastique que si o vérifie à la fois f et f. Ceci coduit à la coditio suivate: D'où: f f σ x σ x sige( σ x) σ sige( σ x) x p σ σ x et ε H Das ce cas, la cotraite évolue au cours de l'écoulemet plastique, si bie qu'elle peut servir de variable de cotrôle. Mais il est aussi toujours possible d'exprimer la vitesse d'écoulemet plastique e foctio de la vitesse de déformatio totale, e utilisat la décompositio de la déformatio combiée avec l'expressio de la vitesse de déformatio plastique: ε p E ε E H Le cas où H redoe bie etedu le cas du matériau parfaitemet plastique... Écriture géérale des équatios de l'élastoplasticité uiaxiale Das le cas gééral, les coditios de "charge-décharge" s'exprimet doc aisi: domaie d'élasticité si : f(σ, A I ) < ( ε σ /E) décharge élastique si f(σ, A I ) et f (σ, A I ) < ( ε σ /E) écoulemet plastique si : f (σ, A I ) et f (σ, A I ) ( ε σ /E ε p ) Das le cas gééral, le module H déped de la déformatio et/ou des variables d'écrouissage. La valeur du module plastique au poit (σ, A I ) s'obtiet e écrivat que le poit représetatif du chargemet reste sur la limite du domaie d'élasticité au cours de l'écoulemet. L'équatio qui e découle s'appelle la coditio de cohérece: f (σ, A I ) Ce formalisme peut paraître u peu lourd das le cadre d'u chargemet uiaxiale, mais il est utile de le mettre e place, car ce sot les mêmes outils qui serot esuite utilisés das le cas plus complexe des chagemets multiaxiaux. Das les deux exemples qui ot été décrits, le domaie d'élasticité est soit fixe, soit mobile. sa taille état coservée. Le premier cas e écessite bie etedu aucue variable d'écrouissage, le secod fait iterveir ue variable x qui déped de la valeur actuelle de la déformatio plastique. Cette variable deviedra tesorielle das le cas gééral. Le type d'écrouissage correspodat s'appelle écrouissage ciématique (Fig..4b). Das le cas particulier illustré par le modèle rhéologique, l'évolutio de la variable x est liéaire e foctio de la déformatio plastique. c'est le modèle d'écrouissage ciématique liéaire (Prager, 958)...4 Modèle de Taylor Ecrouissage isotrope Ue autre évolutio élémetaire que peut subir le domaie d'élasticité est l'expasio. Cet autre cas (Fig.4a) correspod à u matériau dot le domaie d'élasticité voit sa taille augmeter, mais qui reste cetré sur l'origie (axe OO'), il s'agit d'u écrouissage isotrope (Taylor 9). La variable d'écrouissage qui iterviet das f est la dimesio du domaie d'élasticité, otée R : f(σ, R) σ - R - σ y L'évolutio de cette variable est la même quel que soit le sige de la vitesse de déformatio plastique. Elle s'exprimera doc e foctio de la déformatio plastique cumulée, p, variable dot la dérivée est égale à la valeur absolue de la vitesse de la déformatio plastique : p p ε. Bie etedu. il 'y a pas de différece etre p et ε P tat que le chargemet est mootoe croissat. Das ce cas, vérifier la coditio de cohérece reviet tout simplemet à exprimer que la valeur actuelle de la cotraite est sur la frotière du domaie d'élasticité. Pour l'écrouissage ciématique, cela s écrit σ x σ y et pour l'écrouissage isotrope σ R σ y. Cela sigifie doc que c'est la loi d'évolutio de la variable d'écrouissage qui détermié 4

16 exactemet la forme de la courbe de tractio. Les deux modèles rhéologiques ivoqués doet des courbes liéaires, avec des modules plastiques ul ou costat. Il est souvet plus réaliste de cosidérer ue courbe qui se sature e foctio de la déformatio, soit par exemple ue foctio puissace (loi de Ramberg-Osgood. avec deux coefficiets matériaux K et m) ou ue expoetielle, cette derière formulatio offrat l'avatage d'itroduire ue cotraite ultime σ u, supportable par le matériau (deux coefficiets matériaux, σ u et γ) : σ σ y K(ε P ) m σ σ u (σ y - σ u ) exp(-γε P ) Das bie des cas, les utilisateurs e preet pas la peie de défiir ue forme explicite de la loi de comportemet, et décrivet la courbe de tractio poit par poit. Cela reviet implicitemet à cosidérer u écrouissage isotrope. Ce type d'écrouissage est prédomiat pour les déformatios importates (au delà de %). Cepedat, l'écrouissage ciématique cotiue de jouer u rôle importat lors de décharges, même pour les grades déformatios, et c'est lui qui est prépodérat pour les faibles déformatios et les chagemets cycliques. Il permet e particulier de simuler correctemet l'effet Bauschiger, c'est à dire le fait que la cotraite d'élasticité e compressio décroît par rapport à la cotraite iitiale à la suite d'u préécrouissage e tractio. Il est éamois mois souvet utilisé que l'écrouissage isotrope, car so traitemet umérique est plus délicat.. Viscoplasticité uiaxiale H σ ε η E σ σ y ε p σ y Figure.4 : Modèle de Bigham gééralisé La figure.4 motre que, e rajoutat u simple amortisseur, o passe d u modèle plastique istataée à u modèle viscoplastique (modèle de Bigham gééralisé). E relevat le ressort e série (E ), o obtiet le modèle rigideviscoplastique. Le modèle aura pas d écrouissage si o supprime le ressort e parallèle (H). La déformatio élastique ε e se lit aux bores du ressort E, et la déformatio viscoplastique ε vp aux bores de l assemblage e parallèle. La détermiatio des équatios de ce modèle s effectue e cosidérat les équatios de comportemet idividuelles de chacu des élémets : x H ε vp σ v η ε vp σ p σ y où x, σ v et σ p sot respectivemet les cotraites das le ressort H, das l amortisseur et das le pati, et : σ x σ v σ p Il y a doc comme pour le modèle plastique u domaie d élasticité dot la frotière est atteite lorsque σ p σ y. O distigue alors trois régimes de foctioemet, selo que la vitesse de déformatio viscoplastique est ulle, positive et égative : a) ε vp σ p σ H ε vp σ y b) ε vp > σ p σ H ε vp η ε vp σ y c) ε vp < σ p σ H ε vp η ε vp σ y Le cas (a) correspod à l itérieur du domaie d élasticité ( σ p < σ y ) ou à u état de décharge élastique ( σ p σ y et σ p ), les deux autres cas à de l écoulemet ( σ p σ y et σ p ). E posat <x> max(x,), les trois cas peuvet se résumer par ue seule expressio : ηε vp σ x σ y sige( σ x) ou ecore : vp ε f η sige( σ x) avec f σ x σ y La ature du modèle a maiteat complètemet chagé, puisque le poit représetatif de l état de cotraite courat peut se trouver das la zoe f >, et que la vitesse d écoulemet est maiteat régie par le temps : elle peut être o ulle sas qu il y ait d icrémet de cotraite ou de déformatio. Ceci explique qu e figure.4b la courbe de tractio e soit plus uique (plus la vitesse est grade, plus la cotraite sera élevée, et plus la courbe de tractio sera haute), et que, lors d ue décharge, le poit de foctioemet e péètre pas immédiatemet das le domaie d élasticité. O peut doc avoir u écoulemet positif à cotraite décroissate. Par ailleurs, il est possible de simuler des expérieces de fluage ou de relaxatio. 5

17 E fluage (Fig..5), e supposat qu o applique u échelo de cotraite (de à σ > σ y ) à partir d u état de référece où toutes les déformatio sot ulles, le modèle prévoit que la déformatio viscoplastique est expoetielle e foctio du temps t, avec u temps caractéristique t f η/h : vp σ σ y t ε exp H t f La figure.5b motre, das le pla cotraite-déformatio viscoplastique, les évolutios respectives de la cotraite itere x et du seuil x σ y. Lorsque ce derier rejoit la cotraite appliquée σ, la vitesse de déformatio viscoplastique s aule. E relaxatio, la répose à u échelo de déformatio (de à ε tel que E ε > σ y ) fait cette fois iterveir u temps caractéristique de relaxatio η t r : E ε t E E H t σ σ y exp H E exp E H t f E H t r ε vp σ σ y H σ σ σ y x t ε vp a. Déformatio viscoplastique e foctio du temps b. Evolutio das le pla cotraitedéformatio viscoplastique Figure.5: Fluage avec le modèle de Bigham La figure.6a motre le trajet parcouru par le poit représetatif de l'état de cotraite au cours de la relaxatio (pete -E puisque vp ε σ / E ). La figure.6b représete quat à elle le trajet caractéristique au cours d'ue expériece d'effacemet. E foctio du iveau de chargemet iitial, o peut recotrer après décharge ue vitesse d'écoulemet égative (poit A) ou ulle (poit B), mais e aucu cas o e pourra rameer la déformatio viscoplastique à zéro, sauf das le cas particulier où la cotraite σ y est ulle. Il 'y a alors plus de seuil iitial, et o coçoit bie qu'il 'est plus écessaire das ce cas de défiir ue décompositio de la déformatio: o retrouve d'ailleurs le modèle de Kelvi-Voigt, doc ue approche viscoélastique. σ σ -E H σ σ A B H σ y σ y ε vp a. Relaxatio b. Effacemet (CD) Figure.6: Foctioemet du modèle de Bigham à déformatio imposée. Quelques modèles classiques e viscoplasticité Das l'exemple précédet, la vitesse de déformatio viscoplastique est proportioelle à ue certaie cotraite efficace, différece etre la cotraite appliquée et le seuil, qui représete la distace etre le poit de foctioemet actuel et la frotière du domaie d'élasticité, qui 'est rie d'autre que la valeur de la foctio f au poit de foctioemet courat. La relatio liéaire peut être remplacée par ue forme plus géérale, e itroduisat ue foctio de viscosité φ qui fourit alors e tractio simple : ε vp φ(f) Pour u modèle qui comporterait à la fois de l'écrouissage isotrope et ciématique, cette relatio s'iverse sous la forme suivate, toujours e tractio simple: D σ σ y x R φ ( ε vp ) σ y x R σ v C ε vp 6

18 La courbe de tractio est détermiée par l'évolutio du seuil, exactemet comme das le cas d'u modèle de plasticité (au travers de x et R), mais égalemet par la foctio de viscosité, qui pilote la valeur de la cotraite visqueuse σ v. Pour des raisos physiques évidetes, o cosidère que φ(), et o suppose égalemet que φ est ue foctio mootoe croissate. Das le cas où σ v s'aule, le modèle reproduit u comportemet plastique idépedat du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitatio augmete, et plus la cotraite atteite pour ue déformatio doée sera élevée. Das le cadre d'u modèle viscoplastique, il a doc deux possibilités pour itroduire de l'écrouissage. O coserve les possibilités d'actio sur des variables de type x et R. et o peut égalemet jouer sur la forme de la cotraite visqueuse. O appelle classiquemet modèles à écrouissage additif ceux qui jouet sur les variables de type plasticité et modèles à écrouissage multiplicatif ceux qui jouet sur la cotraite visqueuse, ue approche où les deux mécaismes sot présets état bie etedu égalemet evisageable. Par ailleurs, cotrairemet au cas de la plasticité, o peut ici cosidérer u modèle das lequel le domaie d'élasticité se réduit à l'origie (σ ), et qui e possède pas d'écrouissage. Aisi le modèle le plus courat est-il le modèle de Norto (avec deux coefficiets matériau K et ) : σ ε vp sige(σ) K O peut le gééraliser pour e faire u modèle à seuil sas écrouissage, ou réitroduire x et R aux côtés de σ y, ce qui coduit à u modèle à écrouissage additif (Chaboche). vp ε σ σ y K vp σ x R σ y sige( σ) ou ε sige( σ x) K Il. v a égalemet ue grade liberté pour choisir d'autres formes que la foctio puissace, aisi u sius hyperbolique das le modèle de Sellars et Teggart (loi sas écrouissage, coefficiets A et K) : σ ε vp A sh sige(σ) K Pour obteir des lois à écrouissage multiplicatif, il faut admettre que la foctio φ e déped pas uiquemet de f, aisi la loi de Lemaitre (coefficiets matériau K, m et ) : σ ε vp K p m ( ε ) sige(σ) 7

19 Chapitre : PLASTICITE ET VISCOPLASTICITE D. Critères de plasticité La descriptio des modèles à utiliser sous chargemet uiaxial a mis e évidece u domaie d'élasticité, das l'espace des cotraites et des variables d'écrouissage, pour lequel il 'y a pas d'écoulemet plastique ou viscoplastique. La trace de ce domaie sur l'axe de la cotraite se limite à u segmet de droite, qui peut subir ue traslatio ou ue extesio (il peut même parfois se limiter à u poit). Par ailleurs certais modèles sot capables de représeter ue cotraite maximale supportable par le matériau. Afi de pouvoir aborder l'étude des chargemets multiaxiaux, il est écessaire de se doer les moyes de défiir de telles limites e tridimesioel. Comme das le chapitre précédet, o se propose d'illustrer la théorie qui va être développée à l'aide d'u modèle rhéologique, costitué d'u assemblage de barres format u treillis métallique. O passera esuite e revue les outils dispoibles pour écrire ces modèles das le cas de milieux cotius, efi o motrera les pricipales classes de critères. De même que pour les lois d'écoulemet qui o été citées précédemmet, le choix de tel ou tel critère va dépedre du matériau étudié... Exemple d'u treillis métallique Le système de barres articulées illustré e figure.la permet de se représeter à partir d'u exemple simple la sigificatio du domaie d'élasticité et de la charge de ruie pour u milieu cotiu. Il est costitué de trois barres composées du même matériau, élastique (E) parfaitemet plastique (σ y ), de même sectio S, et différat simplemet par leur logueur. il s agit d'u système à deux paramètres de chargemet, P l et P, mais les résultats sot exprimés (Fig..b) e gradeurs adimesioelles : F P l /(Sσ y ) ; F P /(Sσ y ) Si seule la charge P l est o ulle, l'écriture des équatios d'équilibre et de l'élasticité permet de motrer que la plastificatio apparaîtra e premier lieu das la barre (), pour ue force globale telle que F F e, 5/4. A partir de cette limite, seules les barres () et () cotiuet de se charger, jusqu'à atteidre elles-mêmes leur état limite pour F F. Das le cas où seule la charge P est o ulle, la barre () e joue aucu rôle, et les barres () et () se plastifiet e même temps. Il 'y a pas de "recours" après l'apparitio de la plasticité, doc le premier écoulemet plastique coïcide avec la ruie de la structure selo ce mode de chargemet, pour ue force telle que: F Fe F E cas de charges combiées, le domaie d'élasticité das le pla F F se costruit par superpositio (il est illustré e trait fi sur la figure.b), tadis qu'il faut trouver les mécaismes de ruie qui serot actifs pour prévoir la forme du domaie de charge limite (tracé e traits gras sur la figure.b). Les deux segmets de droite verticaux correspodet à u mécaisme das lequel la barre () e joue aucu rôle, et qui etraîe les deux autres barres à l'horizotale; ceux qui sot icliés sot prévus e supposat qu'ue barre latérale (par exemple ()) reste iactive, et que les deux autres se plastifiet. F () L () 6 6 () P P F.. Les outils dispoibles a. Géométrie du système b. Domaie d'élasticité et charge de ruie das le pla F -F Figure.: Répose e élasticité et rupture d'u système réticulé Le cas du chargemet uiaxial étudié jusqu'à préset fait apparaître u domaie d'élasticité au travers de deux valeurs de cotraite, l'ue e tractio, l'autre e compressio, pour lesquelles se produit l'écoulemet plastique. Aisi das le cas du modèle de Prager, le domaie d'élasticité iitial est le segmet [-σ y, σ y ], et sa positio pour ue déformatio plastique est [- σ y x, σ y x], avec x Hε p. Il est décrit par la foctio de charge f (défiie de R das R). Pour défiir ce même domaie e présece de chargemets multiaxiaux, la foctio f deviet ue foctio du teseur de cotraite et du teseur x (de R das R) telle que si f(σ, x) <, l'état de cotraites est élastique, si f(σ, x), le poit de foctioemet est sur la frotière, la coditio f(σ, x) > défiissat l'extérieur du domaie. Das le cas gééral, l'esemble de départ cotiedra les cotraites et toutes les variables d'écrouissage, scalaires ou tesorielles, il faut doc défiir f(σ, A I ). O va das u premier temps limiter la 8

20 présetatio à la défiitio du domaie d'élasticité iitial, pour lequel o supposera que les variables A I sot ulles, si bie qu'o se cotetera d'écrire les restrictios des foctios f das l'espace des cotraites. L'expériece motre que, pour la plupart des matériaux, le domaie d'élasticité iitial est covexe (c'est e particulier vrai pour les métaux qui se déformet par glissemet cristallographique). La foctio de charge doit doc elle-même être covexe e σ, ce qui implique, pour tout réel λ compris etre et, et pour u couple (σ, σ ) quelcoque de la frotière : f (λσ (-λ) σ ) λf (σ ) (-λ) f (σ ) Comme das le cas de l'étude du teseur d'élasticité, il faut ici ecore respecter les symétries matérielles. Ceci implique e particulier das le cas d'u matériau isotrope que f soit ue foctio symétrique des seules cotraites pricipales, ou bie ecore, ce qui est équivalet, des ivariats du teseur des cotraites dot la défiitio proviet du polyôme caractéristique: I l trace(σ) σ ii I (/) trace(σ) (/) σ ij σ ji I (/) trace(σ) (/) σ ij σ jk σ ki Das les matériaux métalliques o observe gééralemet l icompressibilité plastique (ε p ii ) et idépedace du comportemet vis-à-vis de la pressio hydrostatique. Ceci amèe à cosidérer comme variable critique à faire figurer das la défiitio du critère o plus le teseur de cotraites lui-même, mais so déviateur s défii e elevat à σ la pressio hydrostatique (σ h ) : s σ (I /) I ; s ij σ ij σ h δ ij. Les ivariats de s sot : O peut écrire plus explicitemet : J l trace(s) J (/) trace(s) (/) s ij s ji J (/) trace(s) (/) s ij s jk s ki J 6 6 [( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) ] [( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) 6( σ σ σ )] xx yy yy zz Il est commode, e vue de réaliser les comparaisos avec les résultats expérimetaux, de disposer d'expressios des critères das lesquelles les valeurs de f sot homogèes à des cotraites, c'est ce qui amèe par exemple à utiliser à la place de J l'ivariat J (cotraite équivalete au ses de Vo-Mises : J σ eq J ), qui peut égalemet s'exprimer e foctio des cotraites pricipales, ou de la cotraite σ das le cas d'u état de tractio simple. La valeur J est à rapprocher de celle de la cotraite de cisaillemet octaédral. Les plas octaédraux sot ceux dot le vecteur ormal est de type (,,), (-,,) et permutatio circulaire das l'espace des cotraites pricipales. Il est aisé de motrer que le vecteur cotraite évalué sur le pla (,,) à partir des valeurs de σ, σ, σ a pour composates ormale et tagetielle: σoct ( / )I ; τoct ( La valeur de J défiit doc le cisaillemet das les plas octaédraux. Les remarques précédetes idiquet que le pla de ormale (,,) va être u pla privilégié pour la représetatio des critères. E effet, tous les poits représetat des états de cotraite qui e diffèret que par u teseur sphérique (doc qui sot équivalets vis-à-vis d'u critère qui e fait pas iterveir la pressio hydrostatique) s'y projettet sur le même poit. La figure. motre ce pla, das lequel les projectios des axes pricipaux des agles de π/, et qui a comme équatio σ σ σ -I /. zz xx / )J xy yz zx σ CI CS TS Tresca Mises σ σ Figure.: Défiitio du pla déviateur TS désige les poits qui peuvet se rameer à la tractio simple, CS ceux qui peuvet se rameer à la compressio simple (par exemple u chargemet biaxial, car u état où les seules cotraites o ulles sot σ σ σ est équivalet à σ - σ, CI u état de cisaillemet... Critères e faisat pas iterveir la pressio hydrostatique Critère de Vo Mises : Das le critère de vo Mises, o cosidère que le seuil de plasticité est lié à l éergie élastique de cisaillemet. Cela reviet à égliger l ifluece du troisième ivariat. Das la mesure où la trace du teseur des cotraites 9

21 'iterviet pas, le critère le plus simple est celui qui 'utilise que le secod ivariat du déviateur des cotraites, ou ecore J. Ceci correspod à ue sphère das l'espace des teseurs s symétriques (expressio quadratique des composates s ij, qui sot toutes équivaletes), soit, si σ y est la limite d'élasticité e tractio, la foctio de charge est défiie par : f(σ) J - σ y Critère de Tresca : Le seuil de plasticité est plus lié à l éergie élastique de cisaillemet mais à la cotraite de cisaillemet. L'expressio du critère de Tresca fait iterveir les cisaillemets maximums das chaque pla pricipal, représetés par les quatités (σ i - σ j ). La spécificité du critère de Tresca est de e reteir que le plus grad d'etre eux. Le fait de rajouter ue pressio à chaque terme de la diagoale e modifie pas, comme prévu, la valeur du critère. Cotrairemet au cas précédet, cette expressio e défiit e gééral pas ue surface régulière (discotiuité de la ormale, poits aguleux): Comparaiso des critères de Tresca et vo Mises f(σ) max(σ i - σ j ) - σ y Comme il 'est bie etedu pas questio de se placer das l'espace des 6 (ou 9) composates du teseur des cotraites, il faut se résoudre à e visualiser les frotières du domaie d'élasticité que das des sous-espaces à deux ou trois dimesios. Les représetatios les plus courates s'effectuet: das le pla tractio-cisaillemet (Fig..a), lorsque seules les composates σ σ et τ σ sot o ulles; les expressios des critères se réduiset alors à: o vo Mises : f(σ, τ) (σ τ ).5 - σ y o Tresca : f(σ, τ) (σ 4τ ).5 - σ y das le pla des cotraites pricipales (σ, σ ) (Fig..b), lorsque la troisième cotraite pricipale σ est ulle: o vo Mises : f(σ, σ ) (σ σ - σ σ ).5 - σ y o Tresca : f(σ, σ ) σ - σ y si σ σ f(σ, σ ) σ - σ y si σ σ f(σ, σ ) σ - σ - σ y si σ σ (symétrie par rapport à l'axe σ σ ) das le pla déviateur (Fig..), le critère de vo Mises est représeté par u cercle, ce qui est cohéret avec so iterprétatio par le cisaillemet octaédral, le critère de Tresca par u hexagoe; das l'espace des cotraites pricipales, chacu de ces critères est représeté par u cylidre de géératrice (,,), qui s appuie sur les courbes défiies ci-dessus das le pla déviateur. σ σ τ m τ t Tresca Mises σ σ y σ σ y σ y σ y a. E tractio-cisaillemet (vo Mises : τ m σ y /, Tresca: τ t σ y /) b. E tractio biaxiale Figure.: Comparaisos des critères de Tresca et de vo Mises..4 Critères faisat iterveir la pressio hydrostatique Ces critères sot écessaires pour représeter la déformatio plastique des matériaux pulvérulets, des sols ou e présece d'edommagemet du matériau. Ils exprimet le fait qu'ue cotraite hydrostatique de compressio red plus difficile la déformatio plastique. Ue des coséqueces de leur formulatio est qu'ils itroduiset ue dissymétrie tractiocompressio.

22 Critère de Drücker-Prager : C'est ue extesio du critère de vo Mises, combiaiso liéaire du deuxième ivariat du déviateur et de la trace du teseur des cotraites. C'est toujours u cercle das le pla déviateur, mais qui déped de altitude sur la trisectrice des axes σ, σ, σ de cotraites pricipales (Fig..4a): σ y αi f ( σ) J α La limite d'élasticité e tractio reste σ y, et la limite d'élasticité e compressio est - σ y /(l-α). Le coefficiet α déped du matériau, il est bie etedu compris etre et.5, et o retrouve le critère de vo Mises pour α (Fig..4b). σ J f< σ y /α σ σ σ y /(-α) I Critère de Mohr-Coulomb a. Das l'espace des cotraites pricipales b. Das le pla I l J Figure.4: Représetatio du critère de Drücker-Prager Il est appareté au critère de Tresca, faisat iterveir comme lui le cisaillemet maximum, mais e même temps la cotraite "moyee", représetée par le cetre du cercle de Mohr correspodat au cisaillemet maximum, soit: f(σ) σ - σ (σ σ ) siφ - Ccos φ (avec σ σ σ ) Ce critère est sous-tedu par la otio de frottemet, et suppose que le cisaillemet maximal que peut subir le matériau (T t e figure.5a) est d'autat plus grad que la cotraite ormale de compressio est élevée. La limite admissible costitue ue courbe itrisèque das le pla de Mohr. La formule éocée ci-dessus- est obteue avec ue règle de frottemet liéaire: T t < - ta(φ) T C La costate C est la cohésio, correspodat à la cotraite de cisaillemet qui peut être supportée par le matériau sous cotraite moyee ulle. L'agle φ désige le frottemet itere du matériau. Si C est ul et φ o ul, le matériau est dit pulvérulet. Si φ est ul et C o ul, comme das le cas du critère de Tresca, le matériau est puremet cohéret. Das le pla déviateur, o obtiet u hexagoe irrégulier : TS 6( Ccosφ psiφ)/( siφ), et CS 6( C cosφ psiφ)/( siφ) T t σ f< CS σ σ T TS σ σ a. Das le pla de Mohr b. Das le pla déviateur Figure.5: Représetatio du critère de Mohr-Coulomb Critères "fermés" Les deux critères précédets prévoiet que le matériau deviet ifiimet résistat e compressio triaxiale. Ce comportemet 'est e gééral pas vérifié sur les matériaux réels qui sot sesibles à la pressio hydrostatique. Pour permettre de simuler par exemple des opératios de compactio, o a recours à des modèles "fermés", das lesquels o défiit la courbe limite e deux parties, le raccord s'effectuat pour ue valeur critique égative de la pressio hydrostatique. O retiedra par exemple le cap model, qui ferme par ue ellipse le critère de Drücker-Prager, ou le modèle de Cam-clay (utilisé pour les argiles), dot la courbe limite est défiie par deux ellipses das le pla (I l - J).

23 ..5 Critères aisotropes Lorsqu o mesure expérimetalemet la surface de charge sur u matériau métallique, o costate qu e présece de déformatios iélastiques, elle subit ue expasio, ue traslatio, et ue torsio. Les deux premières modificatios sot représetées par les écrouissages isotropes et ciématiques, mais la derrière est pas prise e compte par les modèles courats, d autat que la forme évolue au cours de la déformatio sous chargemet complexe : o est là e présece d aisotropie iduite. Il existe par ailleurs des matériaux fodametalemet aisotropes par fabricatio, matériaux composites à fibres par exemple. Il existe de ombreuse possibilités d extesio des critères isotropes à la descriptio de matériaux aisotropes. Ce sot ceux dot l'expressio e peut se réduire à ue foctio des seuls ivariats. La méthode gééralemet utilisée pour faire apparaître de l'aisotropie cosiste à faire iterveir u teseur du quatrième ordre das l'expressio du critère, qui viet multiplier le déviateur, ou directemet le teseur des cotraites. La solutio la plus gééralemet adoptée gééralise le critère de vo Mises, e utilisat à la place de J(σ) l expressio : J B ( σ ) σ : B : σ qui fait iterveir le teseur du quatrième ordre B. Comme pour le cas de l élasticité, o peut réduire le ombre de composates libres du teseur B par des cosidératios de symétrie. Das le cas de la plasticité isotrope (Mises) o a : B ijkl (/) δ ik δ jl Le ombre / est choisi pour que σ y soit la limite élastique das le cas d ue tractio simple. Critère de Hill (plasticité orthotrope) Il correspod à ue aisotropie particulière qui coserve trois plas de symétrie das l état d écrouissage du matériau. Les itersectios de ces trois plas sot les axes pricipaux d aisotropie qui sot pris comme repère (O, x, x, x ). Das le cas de la plasticité orthotrope, la foctio de charge s écrit : f (σ) Les termes o uls de B sot : F ( σ σ ) G( σ σ ) H( σ σ ) Lσ Mσ Nσ B HF, B GF, B HG, B B -F, B B -G, B B -H, B B L, B B M, B B N. F, G, H, L, M, N sot les six paramètres scalaires qui caractériset l état d écrouissage aisotrope. O peut les détermier à l aide de trois expérieces de tractio simple et trois expérieces de cisaillemet simple : Seuil de tractio σ y das la directio x F H /σ y Seuil de tractio σ y das la directio x F G /σ y Seuil de tractio σ y das la directio x G H /σ y Seuil de cisaillemet σ y das le pla (O, x, x ) L /σ y Seuil de cisaillemet σ y das le pla (O, x, x ) M /σ y Seuil de cisaillemet σ y das le pla (O, x, x ) N /σ y Critère de Tsaï : Si o veut de plus représeter la dissymétrie etre tractio et compressio, le critère de Tsaï est souvet utilisé, qui cosiste à écrire : f σ) Expressio _ de _ Hill Q( σ σ ) ( σ σ ) ( P. Cadre gééral de la formulatio des lois de comportemet La grade diversité des matériaux réels se traduit par l'existece d'ue multitude de lois de comportemet et e particulier d'ue grade variété de critères et de lois d'évolutio aussi bie e élastoplasticité qu'e élastoviscoplasticité. Il est illusoire de vouloir établir ue liste exhaustive des modèles, d'autat plus que les chercheurs cotiuet ecore à proposer de ouvelles versios. Aussi ce chapitre sera-t-il cosacré à ue tâche plus modeste qui cosiste à préseter le cadre gééral d'écriture, e illustrat l'exposé par les lois les plus classiques, et e se limitat aux trasformatios ifiitésimales (petits déplacemets et petits gradiets de déplacemets). O résume tout d'abord les cocepts gééraux qui ot été itroduits das les chapitres précédets. Le chapitre 4 motrera e détail la loi de comportemet élastoplastique et décrira le cadre des trasformatios fiies... Décompositio de la déformatio Le teseur symétrique des déformatios ε est décomposé e trois parties: Ue partie élastique ε e foctio de la variatio du teseur de cotraite σ etre l'état actuel et l'état iitial (cotraite à l'état de référece, σ ; das u grad ombre d'applicatios, il s'agit de l'état de cotraites ulles, mais il est par exemple toujours préset e géotechique). E élasticité liéaire: ε e D - (σ σ )

24 Ue partie de dilatatio thermique ε th foctio de la température actuelle T et de la température à l'état de référece T. Elle s'écrit à l'aide d'u teseur α, qui déped évetuellemet de la température, et qui est sphérique das le cas des matériaux isotropes : ε th α (T T ) Ue partie o élastique ε e, elle même décomposée e ue partie plastique ε p et ue partie viscoplastique ε vp, (régies par des lois d'écoulemet e élastoplasticité et e élastoviscoplasticité). D'où: ε ε e ε th ε p ε vp Cette derière décompositio de la partie o élastique des déformatios exprime le fait que, durat ue trasformatio du matériau, divers mécaismes peuvet retrer e jeu coduisat à ue dissipatio de l'éergie (irréversibilité) et que, das l'échelle des temps cosidérée, la viscosité de certais mécaismes peut être égligée (plasticité istataée ε p ) alors que pour les autres le temps réel doit iterveir das les vitesses (déformatios viscoplastiques ε vp ). O 'a pas cité das cette éumératio les déformatios de chagemet de phase, qui s ajoutet aux précédetes lorsque le matériau est istable... Critères Chacu des mécaismes resposables du comportemet iélastique est caractérisé par u certai ombre de variables, appelées variables d écrouissage, caractérisat à l istat doée l état du matériau, et l ifluece du chargemet thermomécaique passé. Comme idiqué au chapitre précédet, le domaie d élasticité se défiit das u espace des cotraites et des variables iteres. La coditio f(σ, A I ) défiit la frotière du domaie d élasticité... Lois d écoulemet Ce sot les règles qui vot permettre de défiir la vitesse de déformatio plastique ou viscoplastique lorsqu o est e élasticité. L étude des modèles rhéologiques a motré la ature des équatios mise e jeu pour ce qui cocere l itesité de la vitesse d écoulemet. Celle ci est liée à la vitesse de cotraite ou de déformatio totale pour u matériau plastique, et à l état actuel de cotraite et des variables iteres pour u matériaux viscoplastique. Pour gééraliser les résultats précédets au cas tridimesioel, il importe de se préoccuper égalemet de la directio de l écroulemet...4 Lois d écrouissage Das toute trasformatio réelle l éergie mécaique fourie au matériau est restituée par le matériau qu e partie (déformatio élastique). L autre partie (loi de coservatio de l éergie) est dissipée sous l ue des formes suivates : Augmetatio de la température (chaleur spécifique), Chagemet d état de certais costituats (chaleur latete), Productio de chaleur cédée au milieu eviroat, Modificatio de la structure itere du matériau (mouvemet de dislocatios, glissemet relatif iter-grais, créatio de ouvelles fissures, ) Cette modificatio (ou réarragemet) de la structure itime du matériau durat ue trasformatio coduit à u ouvel état das lequel le matériau a les mêmes propriétés doc le même domaie d élasticité (phase parfaite ou à écrouissage ul) ou à u domaie d élasticité plus petit (phase adoucissate ou à écrouissage égatif) ou plus grad (phase durcissate ou à écrouissage positif). L écriture de l écrouissage est ue tâche très complexe, qui déped étroitemet de la classe de matériau étudié. Certais matériaux présetet même des évolutios durcissates puis adoucissates au cours d ue sollicitatio cyclique par exemple. Le type d écrouissage peut par ailleurs être modifié par des trajets de chargemets complexes ou par le vieillissemet du matériau. Les lois d écrouissage sot doc les règles qui caractériset l évolutio des variables d écrouissage au cours de la déformatio iélastique. Aisi qu o l a vu das le cas uiaxial, les pricipales classes d écrouissage sot l écrouissage isotrope et l écrouissage ciématique.. Formulatio des lois de comportemet viscoplastique.. Ecriture géérale La gééralisatio de l écriture de la vitesse de déformatio viscoplastique est immédiate. O coserve la otio de foctio de v φ f viscosité φ, qui va cotiuer de porter la valeur de la foctio défiissat le domaie d élasticité f : ( ) Das ce cas gééral, la directio d écoulemet sera otée N. O itroduit gééralemet ue foctio g, qui porte sur les mêmes variables que f, à savoir le teseur de cotraites et les variables iteres g(σ, A I ). O écrit : vp g ε v N v σ Ue possibilité, qui costitue u cas particulier importat, cosiste à utiliser le critère f pour défiir la directio d écoulemet (gf). E itroduisat Φ la primitive de φ, o peut alors écrire : g f Φ f Φ ε vp v φ σ σ f σ σ

25 Das u tel modèle, dit modèle stadard, ou modèle de viscoplasticité associée, la directio d écoulemet est fourie par la ormale de la surface de charge. La foctio Φ costitue u potetiel viscoplastique, puisque sa doée va suffire à caractériser complètemet l écoulemet e itesité et directio... Exemple : Modèle de Norto gééralisé (loi d Odqvist) La gééralisatio du modèle de Norto e adoptat le critère de vo Mises, s effectue simplemet comme critère la foctio f dépedat des cotraites uiquemet f J(σ), et comme potetiel la foctio Φ suivate : K J σ) Φ K ( O obtiet alors : ε vp J K J σ Le premier terme de l expressio précédete doe l itesité de l écoulemet, il est bie égal à (σ/k) pour ue sollicitatio de tractio simple. O remarque que das ce modèle, la limite d élasticité est ulle e permaece, et le domaie d élasticité est réduite e u poit. Ce cas serait sas itérêt pour u modèle de plasticité idépedate du temps. Pour retrouver le modèle de Bigham (loi avec domaie élastique), il suffit de predre ue foctio du secod degré :.. De la viscoplasticité à la plasticité J( σ) σy Φ η La figure.6a motre la forme du potetiel viscoplastique Φ, foctio mootoe croissate de f, telle que Φ(), qui illustre que l itesité de l écoulemet déped de l altitude du poit de foctioemet courat, et que, la directio du vecteur vitesse de déformatio iélastique est ormale aux surfaces équipotetielles (Fig..7). Φ Id(f) σ A σ A a. Potetiel viscoplastique b. Modèle plastique Figure.6 : Comparaiso des théories de plasticité et de viscoplasticité Figure.7 : Surfaces équipotetielles de l écoulemet Lorsque la foctio Φ deviet de plus e plus o liéaire (par exemple ted vers l ifii), la projectio des équipotetielles sur l espace (σ, A I ) se resserret autour de la surface f. O défiit aisi ue zoe de l espace das laquelle le potetiel est ul, ue autre où il varie très rapidemet. A la limite, Φ se cofod avec la foctio idicatrice du domaie d élasticité (Fig.6b), et o e peut plus défiir l itesité de l écoulemet par Φ/ f. O illustre aisi la différece de ature etre les théories de viscoplasticité et de plasticité. Le cadre viscoplastique autorise, pour écrire u modèle, ue grade liberté das le choix de la foctio de viscosité, alors que das le cadre de la plasticité (du mois das le cas de la plasticité associée), l'expressio même du domaie d'élasticité détermie l'itesité de l'écoulemet. C'est e effet la coditio de cohérece f qui va fourir e plasticité l'équatio qui disparaît e raiso de la sigularité de la foctio idicatrice de f e f. Le formalisme plastique cosiste alors à remplacer Φ/ f par le multiplicateur plastique λ (loi de ormalité) : f ε p λ σ 4

26 Le multiplicateur plastique sera détermié avec la coditio de cohérece. O peut doc égalemet discuter directemet le cas du comportemet élasto-plastique. C'est ce qui est fait e sectio suivate..4 Formulatio des lois de comportemet plastique.4. Formulatio géérale La gééralisatio au cas D des équatios déjà écrites e plasticité va faire iterveir de ouveau: l'hypothèse de décompositio de la déformatio; la loi d'élasticité, les coditios de charge-décharge, qui s'exprimet, au travers de la foctio f (e absece de déformatio thermique), par: o domaie d'élasticité si : f < ( ε ε e D - : σ ) o décharge élastique si f et f < ( ε ε e D - : σ ) o écoulemet plastique si : f et f ( ε D - : σ ε p ) Au cours de l'écoulemet, il faut défiir l'évolutio de la déformatio plastique et de l écrouissage coaissat l'icrémet de cotraite, soit : ε p H : σ A K : σ I La costructio d'ue théorie de plasticité écessite doc la coaissace de la foctio de charge f, de la foctio d'écoulemet H, qui das le cas gééral est représetée par u teseur d'ordre 4, et de la foctio d'écrouissage K. La coditio de cohérece f peut s'exprimer e foctio de σ, car, e posat f/ σ et v f/ Α I : : σ v A I ( v K) : σ Le cas du chargemet eutre correspod pour u matériau écrouissable à la coditio d'u icrémet de cotraite qui reste sur la surface de charge, soit : σ. Das ce cas, la vitesse de déformatio plastique et la vitesse d'écrouissage sot égalemet ulles, si bie que: H : σ K : σ Cela motre que peut être «mise e facteur» das les teseurs H et K (H h ; K k ), ce qui permet de réécrire les expressios suivates: ε p (h ) : σ 5 A I k : σ La défiitio de la théorie de plasticité va doc se réduire à celle du teseur h(σ, Α I ), qui doera etre autre la directio de l'écoulemet, et des foctios d'écrouissage k(σ, Α I ). Ces expressios motret que la directio de la vitesse de déformatio plastique déped de l'état actuel des cotraites et des variables d'écrouissage (au travers de h), et o de leur vitesse. Par ailleurs, la vitesse de cotraite 'iterviet que par sa projectio sur la ormale au domaie d'élasticité au poit de foctioemet courat (Fig..8)..4. Pricipe du travail maximal Eocé par Hill e 95, il stipule que : «Le travail des cotraites réelles σ associées aux vitesses de déformatios plastiques réelles ε p est supérieur au travail de tout autre teseur de cotraites admissible σ (id est e violat pas la loi de plasticité) associé à ε p» (σ - σ*) : ε p Ce pricipe peut e fait être démotré das le cas de métaux qui se déformet par glissemet et obéisset à la loi de Schmid. Il 'est pas vérifié par tous les matériaux. e particulier par les sols. Il a des coséqueces importates cocerat la directio d'écoulemet plastique, la forme de la surface de charge. Règle de ormalité Si o choisit σ* sur la surface de charge, o vérifie que, si σ est das le domaie d'élasticité, ε p. Si le domaie d'élasticité e présete pas de cois, le pricipe du travail maximal peut être appliqué à partir d'u poit σ de la surface de charge, e choisissat u poit σ* ifiimet proche, égalemet sur la surface de charge. Le teseur σ* se déduit de σ à l'aide d'u teseur t* apparteat au pla taget à la surface e σ (σ* σ k t* avec k > ). Le même raisoemet peut être recommecé e preat σ* σ - k t* comme poit de départ, ce qui coduit aux deux iégalités suivates: k t* : ε p et -k t* : ε p si bie que: t* : ε p

27 La vitesse de déformatio plastique est portée par la ormale à la surface de charge. Le teseur h itroduit précédemmet est doc coliéaire à. Le scalaire λ ou multiplicateur plastique, défiit l'itesité de l'écoulemet. Il est toujours positif, car, e choisissat maiteat σ* sur la ormale au poit σ, à l'itérieur du domaie d'élasticité, (σ - σ*) k est coliéaire a et de même ses (k > ), si bie que (σ - σ*) : ε p deviet: k : λ d'où: λ Das le cas des matériaux qui vérifiet le pricipe du travail maximal, la surface de charge joue e même temps le rôle de pseudo-potetiel plastique, et détermie l'écoulemet plastique à u scalaire multiplicatif près. Si la surface 'est pas régulière et présete u coi au poit σ, il y existe u côe des ormales, à l'itérieur duquel se trouve la directio de l'icrémet de déformatio plastique. σ f< σ* ε p σ σ Figure.8: Illustratio de la règle de ormalité et de la covexité de f (coséqueces du pricipe du travail maximal) Covexité de la surface de charge E appliquat de ouveau le pricipe du travail maximal à partir d'u état de cotraite σ sur la surface de charge, et e cosidérat σ* à l'itérieur du domaie d'élasticité, la règle de ormalité permet maiteat d'écrire la relatio suivate, qui exprime que la surface doit se trouver toute etière du même côté du pla taget e σ* (Fig..8): (σ - σ*) : Le domaie d'élasticité est doc covexe. Il e est de même pour la foctio f. Matériaux stadards gééralisés La costructio d'ue théorie de la plasticité das le cas gééral écessite la défiitio d'ue foctio de charge f, d'ue foctio d'écoulemet H, et d'ue foctio d'écrouissage K. Das le cas d'u matériau vérifiat le pricipe de travail maximal, la directio d'écoulemet est e fait fourie par la foctio f, qui joue u rôle de pseudo-potetiel. U matériau sera dit stadard s'il est possible d'étedre cette otio aux variables d'écrouissage, ce qui coduit à faire dériver de f l'évolutio de ces variable.-,, eh itroduisat des variables "déformatio gééralisée α I associées aux flux, ou "cotraite gééralisée" A I, e posat : Cette classe de matériaux est itéressate d'u poit de vue théorique, car l'existece du potetiel permet de démotrer des théorèmes d'existece et uicité des solutios. L'écriture ci-dessus fourit de faço aturelle la ature des variables d'écrouissage à utiliser pour représeter l'écrouissage isotrope et l'écrouissage ciématique. E preat comme exemple le cas du critère de vo Mises, la foctio de charge s'écrit, e itroduisat le scalaire R pour modéliser l'écrouissage isotrope et le teseur x pour l'écrouissage ciématique (qui est u teseur déviatorique) : f ( σ,x, R) J( σ x) R σy (s x) : (s x) R σy La variable tesorielle α associée à la variable d'écrouissage x 'est doc pas autre chose que la déformatio plastique ellemême, alors que la variable p associée à la variable d'écrouissage R s'idetifie au multiplicateur plastique : α λ f λ f λ ε p x σ λ f p λ R La variable p est appelée déformatio plastique cumulée, car elle mesure la logueur du trajet de déformatio: Le travail plastique dissipé est : t p p p τ τ ε ε λ λ λ p( ) d et p : : w t p p σ : ε dτ p Sous chargemet uiaxial, lorsque le teseur de vitesse de déformatio plastique est ue diagoale ( ε, -.5 ε p, -.5 ε p ), le p calcul de p doe: p ε 6

28 Comportemet parfaitemet plastique Das ce cas, la foctio de charge e déped que du teseur de cotraite. Le domaie d'élasticité est fixe. Au cours de l'écoulemet plastique, le poit représetatif de l'état de cotraite e peut que 'tourer' autour du domaie d'élasticité. Le multiplicateur plastique est idétermié; la coditio de charge plastique et la coditio de cohérece devieet respectivemet: pour f(σ) et f (σ) : ε p λ f λ σ au cours de l'écoulemet : : σ.5 Directios d écoulemet associées aux critères courats Les directios d'écoulemet sot calculées das u premier temps pour u matériau parfaitemet plastique. Les modificatios apportées par l'écrouissage serot idiquées au paragraphe suivat..5. Critère de vo Mises La foctio de charge s'écrit f(σ) J(σ) - σ y. si bie que la ormale s'exprime : f J J s : σ σ s σ ou : J s kl ij skl σij E utilisat : skl σij δikδ jl δijδkl O obtiet : sij ij J s ou ecore : J Das le cas du critère de vo Mises, la directio d écoulemet est doée par le déviateur du teseur des cotraites. Exemple : tractio simple selo la directio :.5. Critère de Tresca σ s / ; J σ ; / sige( σ) / / La loi d écoulemet se défit par secteur das l espace des cotraites pricipales. Par exemple pour le cas σ > σ > σ, la foctio de charge s écrit : f(σ) σ - σ - σ y, si bie que, pour l esemble des états de cotraite qui vérifiet cette iégalité, la vitesse de déformatio plastique possède les mêmes composates, le matériau e se déforme pas selo l axe (déformatio du type cisaillemet) : ε p λ La défiitio de la ormale pose u problème pour les états de cotraite correspodat aux poits siguliers. Par exemple, e tractio simple, σ > σ σ, le critère s exprime idifféremmet f(σ) σ - σ - σ y, ou f(σ) σ - σ - σ y. Il est alors classique de défiir deux multiplicateurs plastiques, se référat chacu à ue forme du critère. ε p λ µ Si ces deux multiplicateurs sot choisi égaux, le modèle redoe la même forme que le critère de vo Mises e tractio simple. Par cotre, dès que l état de cotraite s éloige de l égalité stricte etre les composates σ et σ, c est l u des deux régimes de type cisaillemet qui pred le dessus..5. Critère de Drücker-Prager La foctio de charge s'écrit: σ y αi f ( σ) J, si bie que la ormale possède ue composate sphérique. La déformatio α plastique évaluée avec u tel critère est accompagée d ue augmetatio de volume quelque soit le chargemet appliqué :.6 Quelques lois particulières e plasticité.6. Lois de Pradtl-Reuss α α s I; tarce ( ε p ) λ J α α 7

29 C est la loi obteu e utilisat le critère de Vo Mises et ue règle d écrouissage isotrope. La foctio de charge est doc : f(σ, R) J(σ) - σ y - R(p) L écrouissage isotrope est décrit par la foctio R(p), qui peut être défiie poit par poit, par ue foctio puissace ou ue foctio expoetielle, comme o l a vu das le chapitre sur la plasticité uiaxiale. La courbe décrite par (σ y R(p)) est doc la courbe d écrouissage. Le module plastique peut être évalué comme la pete à cette courbe : H dr/dp Quelle soit la forme choisie pour R, la coditio de cohérece permet de trouver le multiplicateur plastique ( λ p ) : f f dr f σ σ R σ R σ p σ Hp λ : : : : : p σ R dp H La loi de Pradtl-Reuss permet de détermier la directio et l itesité de l écoulemet plastique : p f : σ s ε λ λ avec σ H J Das le cas particulier de tractio simple, cette expressio géérale se réduit bie à la forme uiaxiale habituelle :.6. Lois de Prager p σ sige( σ) σ σ ε sige( σ) H H H p λ p ε C est la loi obteu e utilisat le critère de Vo Mises et ue règle d écrouissage ciématique liéaire. Il faut pour cela itroduire ue variable d écrouissage x, associée à la déformatio plastique : x (/)Hε p. Cette variable est déviatorique. La foctio de charge est doc : La coditio de cohérece s écrit : O obtiet doc : f(σ, x) J(σ x) - σ y avec J( σ x) (s x): (s x) f f f : σ x, soit : : σ : x σ x avec σ Hε p Hλ Hλ d o λ : σ : : x : :, ' : H s x J Le multiplicateur plastique a le même expressio formelle que das le cas de l écrouissage isotrope. Il faut éamois oter que la défiitio de est modifiée, et que H est costat..6. Ecoulemet à vitesse de déformatio totale imposée Le multiplicateur plastique peut être exprimé égalemet e foctio de la vitesse de déformatio totale (e utilisat p σ D : ( ε ε ) ) : : D : ε λ H : D : Sous chargemet uiaxial, la foctio de charge et la coditio de cohérece s écrivet : σ x σy, p σ x Hε Il est à oter que le multiplicateur plastique est idétermié das le cas d u matériau élastique-parfaitemet plastique (H) chargé e vitesse de cotraite imposée. Cela est lié au fait que, le module plastique état ul, il existe ue ifiité de positios équivaletes e déformatio plastique pour u état de cotraite admissible doé. Das ce cas, o impose la vitesse de déformatio totale pour que o puisse détermier le multiplicateur plastique : : D : ε λ : D : REFERENCES. J. Besso, G. Cailletaud, J.L. Chaboche, S. Forest «Mécaique o liéaire des matériaux» Cours IPSI, Paris,6-9 septembre 997. J. Lemaitre, J.L. Chaboche «Mécaique des matériaux solides» Duod, 988. D. Fraçois, A. Pieau, A. Zaoui «Comportemet mécaique des matériaux» Hermès, G. De Saxcé «Mécaique des solides déformables» Cours DEA, Uiversité de Lille I,

30 Chapitre 4 : MODELISATION EN PETITES ET GRANDES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4. INTRODUCTION La modélisatio des procédés de mise e forme des pièces mécaiques est deveue ue écessité das le cotexte idustriel actuel. Comme ces procédés sot très complexes, il est difficile, même impossible, de les traiter par des méthodes aalytiques. Depuis que Clough [] a itroduit la méthode des élémets fiis e 96, de ombreux problèmes de mécaique et de géie civil ot été résolus par cette méthode. Beaucoup de travaux ot été cosacrés à ce domaie. Nous citos e particulier les travaux de Marçal et Kig [] qui ot itroduit la formulatio des élémets fiis élastoplastiques e petites déformatios, de Hibbitt et al. [], McMeekig et Rice [4] qui ot itroduit la formulatio du Lagragie actualisé des élémets fiis élastoplastiques e grades déformatios, de Ziekiewiez et Owe [5] qui ot itroduit la formulatio des élémets fiis élasto-viscoplastiques, Plusieurs travaux de recherches récets, otammet ceux de Golival [6], El Mouatassim [7], Pothot [8] traitet, etre autres, des problèmes de structures et de mise e forme de métaux e preat e compte des comportemets élastoplastiques ou élasto-viscoplastiques das le cotexte des petites déformatios ou des grades déformatios. E gééral, la formulatio élastoplastique doe des résultats plus précis que das le cas de la formulatio rigideplastique pour traiter les procédés de mise e forme des métaux. De plus, la formulatio élastoplastique permet de traiter le problème de décharge et de calculer les cotraites résiduelles et les déformatios résiduelles. Mais cette formulatio coduit à des calculs complexes, et à des difficultés umériques. Compte teu de la dépedace vis à vis de l'histoire du chargemet, elle requiert u algorithme pas-à-pas. Sur chaque pas de chargemet et pour chaque poit d'itégratio, il faut effectuer u calcul élastique et tester le critère d'écoulemet plastique. Afi de garatir ue boe précisio, o souhaite avoir le miimum de poits d'itégratio qui se plastifiet das u pas. Par coséquet, il faut utiliser des pas assez petits. Les lois de comportemet le plus souvet utilisées pour la modélisatio des solides e grades déformatios, sot des lois différetielles qui relie le taux de cotraites au taux de déformatios. Ces lois doivet satisfaire le pricipe de l objectivité au cours de leur itégratio. Nagtegaal et al. [9,], Hughes et Wiget [] ot proposé des schémas d itégratio des lois de comportemet e grades déformatios qui respectet l objectivité icrémetale au cours de pas de temps fiis. Les techiques d itégratio des lois costitutives ot vu la croissace et l utilisatio progressive, de maière quasiuaime, de la techique de retour radial mise au poit e 964, das le cadre de la théorie des petites déformatios par Wilkis [] et réhabilitée, à partir de 977, par Krieg et Krieg []. De plus, das ce domaie, le cocept de liéarisatio cosistate itroduit par Nagtegaal [9] et étedu par Simo et Taylor [4] a permis d écrire, das le cadre de la théorie des petites et des grades déformatios, des matrices de raideur tagete réellemet efficaces. Ce chapitre est cosacré à la modélisatio umérique de problèmes das le cadre de la mécaique des solides e petites et grades déformatios élastoplastiques. C est u problème assez difficile qui comporte ecore à ce jour des difficultés o résolues das la littérature cocerat les aspects théorique et umérique. Il sera importat de développer u logiciel avec u eviroemet iformatique souple qui permet de : dissocier clairemet les o-liéarités géométriques, les o-liéarités matérielles, les o-liéarités du cotact avec frottemet [9], modifier aisémet les lois de comportemet, les dérivées objectives, les approximatios ciématiques, les schémas d itégratio de la loi de comportemet. 4. MODELES DE PETITES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES 4.. Petites déformatios élastoplastiques A basse température, ou lorsque les vitesse de sollicitatios sot relativemet faibles, les matériaux métalliques présetet des déformatios aélastiques idépedates du temps, o parle alors de plasticité. U très grad ombre de modèles existet actuellemet qui se baset sur les mêmes pricipes et diffèret seulemet sur l écriture de l écrouissage. O sait par ailleurs que la loi de comportemet élastoplastique des grades déformatios dépeds fortemet de celle des petites déformatios. Il est doc bie utile de rappeler les différets pricipes qui régisset la plasticité das le cas des petites déformatios : Décompositio de la déformatio totale La déformatio totale est formée de deux composates : ue élastique, reliée liéairemet ou o au teseur des cotraites, et l autre aélastique, idépedate de la vitesse des sollicitatios : où le symbole «:» désige le produit cotracté sur deux idices : ε ε e ε p () σ D : ε e () 9

31 la somme est effectuée sur les idices répétés. σ ij D ijkl (ε e ) kl D désige la matrice d élasticité das le cas de l élasticité liéaire. σ désige le teseur d ordre des cotraites. ε désige le teseur d ordre des déformatios totales. ε e désige le teseur d ordre des déformatios élastiques. ε p désige le teseur d ordre des déformatios plastiques. Surface de charge O suppose qu il existe u domaie covexe das l espace des cotraites à l itérieur duquel il y a pas d écoulemet plastique. L existece de ce domaie est bie établie ; de plus, si o applique ue décharge lors d u écoulemet plastique, o costate que le comportemet deviet élastique ; ce qui suggère que la cotraite se trouve costammet sur la surface de charge. Les coditios de l écoulemet plastique peuvet être résumées par les équatios suivates : Elasticité si f(σ) < ou f et f < σ :σ () Plasticité si f et f > σ :σ (4) où f est la foctio de charge et f représete la surface de charge délimitat le domaie élastique. Das u cas gééral la surface de charge est représetée par u ellipsoïde das l espace des cotraites (Figure 4.). σ f Domaie élastique Domaie plastique x R σ σ Figure 4. : Surface de charge e plasticité où R et x représetet respectivemet le rayo et le cetre du domaie élastique. Das le cas de la plasticité isotrope, o utilise de préférece le critère de Mises qui s écrit : où η s x avec s déviateur du teseur des cotraites défii par : La matrice P das l équatio (6) est défiie par : Loi de ormalité f ( σ, x, R) ( s - x) : ( s - x) R η : η R (5) ou bie T g η Pη R (6) s ij σ ij tr( σ ) δ (7) ij P L écoulemet plastique peut être régi par ue ou plusieurs surfaces, o se limite ici à la présetatio du cas de la plasticité associée : ue seule surface décrit à la fois le domaie élastique et l écoulemet plastique. Le pricipe de ormalité, selo lequel la vitesse de déformatio plastique lors d u écoulemet est ormale à la surface de charge, est gééralemet admis pour u grad ombre de matériaux, métalliques, otammet. Il s écrit das le cas de la plasticité associée :

32 ε f λ p λ σ Si o ote J ( η ) η : η le secod ivariat du teseur η et J ( η) J ( η) la cotraite équivalete au ses de Vo- Mises o a : f η f (9) σ J ( η) x La loi de ormalité s exprime alors sous la forme : ε λη () où λ λ est le multiplicateur plastique. J ( η) Ecrouissage p O peut désiger par le terme d écrouissage, l évolutio de la surface de charge au cours de l écoulemet plastique. Das la plupart des modèles, cette évolutio peut se préseter sous trois formes : - Goflemet de la surface (écrouissage isotrope) - Traslatio de la surface (écrouissage ciématique) - Goflemet et traslatio de la surface (écrouissage mixte : isotrope ciématique) Le goflemet de la surface de charge peut être traduit par l évolutio du rayo R, auquel o associe, comme variable d écrouissage, la déformatio plastique cumulée p qui est défiie par : O choisit ici pour R(p) ue foctio expoetielle de la forme : t p(t) ε p : ε p dτ () R(p) R s (R s R ) e -γp () où R s, R et γ sot des coefficiets caractéristiques du matériau évetuellemet foctio de la température. R s représete le rayo saturé et R le rayo iitial (Figure 4.). O otera que si R s > R, le matériau durcit au cours d u écoulemet plastique ; par cotre si R s < R, l écoulemet egedre u adoucissemet du matériau. (8) R(p) R(p) R s R R R s durcissem p adoucisseme p Figure 4. : Evolutio de rayo du domaie élastique La loi d écrouissage ciématique est défiie par l évolutio du cetre x du domaie élastique. Elle lie la positio du cetre à la vitesse de déformatio plastique de faço liéaire (écrouissage ciématique liéaire type Prager) : où H est la pete de l écrouissage ciématique liéaire. x H ε H p λη () Das le cas de l écrouissage ciématique o liéaire, o itroduit ue variable itere c qui est liée au cetre x du domaie élastique de faço liéaire d après : x h a c (4) où h et a sot des coefficiets du matériau dépedat évetuellemet de la température. L évolutio de la variable itere s écrit das le cas o liéaire : c ε p h c p ε p x p (5) a Le premier terme correspod à l écrouissage ciématique liéaire type Prager ; le secod, itroduit par Armstrog-Frederick [5] et Chaboche [6], costitue la partie o liéaire de l écrouissage ciématique. Pour a, o retrouve l écrouissage

33 ciématique liéaire. Ue ouvelle méthode d itégratio umérique de la loi d écrouissage ciématique o liéaire a été proposée par De Saxcé et al. [7,8]. 4.. Calcul du multiplicateur plastique théorique où et Le multiplicateur plastique est calculé à l aide de la coditio de cosistace dot l écriture déped de l écrouissage : Au cours de l écoulemet plastique, o a : Doc T g η P η RR (6) dr R R' p ; R' (7) dp p p T T p ε ij : ε ij ε p P ε p λ η Pη (8) T T g η Pη R R η Pη (9) T T η P η R' η Pη λ () Il faut détermier η. O utilise alors les décompositios déviatrices/sphériques des teseurs de cotraites et de déformatios : σ σ δ s ; ε θ δ e avec σ h tr( σ ) et θ tr( ε ) tr( ε e ) ij h ij ij Loi de Hooke νe E σ ij θ δ ij ( ij ε ij ) ( ν )( ν ) ν e () ij p E E d où σ h θ Kθ ; s ( e ε p ) G( e ε p ) () ν ν E E avec K : module de compressibilité ; G : ν ν E utilisat les équatios (), () et (), o obtiet : ij ij module de cisaillemet η ε λη λη λη s x G( e H G H G G H λη p ) ( e ) e (4) E itroduisat (4) das () o obtiet l expressio théorique du multiplicateur plastique : T η λ G Pe T avec Φ η Pη (5) G ( H R' ) Φ () 4.. Calcul de la matrice tagete théorique Le calcul de la matrice tagete reviet à trouver la relatio liat s A e. σ à ε. Il coviet tout d abord d établir la relatio : D après les équatios () et (5), o a : s G( e ε p ) G( e λη ) G e G T Gη Pe η ( H R' ) Φ (6)

34 d où A e e I s η η ) ' ( Φ G R H P G T (7) σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ avec U U s s (8) De même ε ε U e (9) Itroduisat (7) et (9) das (8) o obtiet : ε ε ε ε ε ε σ σ U AU A U U A U Ae U s U s K K K K () U U U U I U A G G R H P G G G R H P G T T η η η η ) ' ( ) ' ( Φ Φ () Remarque : car est u teseur déviateur. U T ηpη T ηpη E remplaçat AU par GU das (), o obtiet fialemet : ε ε σ ep G K D U A () La matrice tagete théorique est doc défiie par : U A D G K ep () 4..4 Itégratio des lois de comportemet L itégratio des lois de comportemet joue u rôle très importat das u code de calcul par élémets fiis. E effet, elle détermie la précisio des résultats. Des erreurs sur les estimatios des variables ue fois commises e sot plus rattrapables, de plus lorsque les estimatios dépedet de l histoire du chargemet ces erreurs peuvet se propager d u icrémet à u autre, doat des résultats qui s écartet de plus e plus de la solutio ; d où l importace d utiliser des méthodes d itégratio stables et précises. Das cette étude, o choisit l algorithme d itégratio du type implicite. O suppose que l o dispose des cotraites et des variables iteres à l istat t (correspod au pas uméro ); itégrer la loi de comportemet reviet, à partir de l icrémet des déplacemets odaux Δu estimé etre l istat t et tδt, à calculer les cotraites et les variables iteres à l istat tδt (correspod au pas uméro ) vérifiat la loi de comportemet. Cosidéros u état plastiquemet admissible (pas uméro ) e u poit de la structure étudiée. Les caractéristiques de l état sot : σ, ε p, x, p ; g(σ, x, p ) A partir de Δu o peut calculer l icrémet des déformatio : Δε B Δu Δε e Δε p (4) où B est u opérateur dérivée de foctios de forme. Le but est de calculer : σ, ε p, x, p vérifiat : ε ε Δε (5) ε p ε p Δλ η (6) H x x λη Δ (7)

35 p Φ (8) T p Δλ; Φ η Pη s p ( e ) G ε (9) σ p D( ε ) ε (4) η s x La méthode la plus courammet utilisée pour itégrer les lois de comportemet plastique est sas doute la méthode dite Prévisio Elastique Retour Radial (PERR), iitialemet itroduite par Wilkis [], Krieg et Krieg [] pour des modèles de comportemet parfaitemet plastique. La otio d opérateur taget cosistat a été itroduite par Nagtegaal [9]. L extesio de cette méthode au cas des modèles avec écrouissage ciématique o liéaire a été réalisée par Simo et Taylor [9]. Le pricipe de cette méthode cosiste à calculer la cotraite fiale comme projectio d ue cotraite d essai sur la surface de charge fiale selo la ormale passat par la cotraite d essai (Figure 4.). (4) g σ E g R σ σ σ x Δx σ σ R Figure 4. : Projectio de la cotraite sur la surface de charge La cotraite d essai est calculée e supposat que l icrémet de déformatio soit etièremet élastique : σ E σ Δσ E σ D : Δε (4) Les relatios (5) à (4) sot facilemet réalisées dès que l o a obteu le multiplicateur plastique Δλ défii par la coditio de cosistace à la fi du pas : g(σ, x, p ) (4) Remplaçat les relatios (5) à (4), l équatio (4) deviet ue relatio o liéaire e Δλ à vérifier : calcul de Δλ Repreos l expressio (4) et (8) p g g(δλ) (44) Pη R ( p (45) T η ) T p Φ Δλ; Φ η Pη Il suffit doc de calculer η e foctio de Δλ et de gradeurs coues. Calcul de η E utilisat les relatios (6), (9) et (4), o a : 4

36 ) ( ) ( ) ( λη ε λη λη ε λη ε η p p p H G G H G H G Δ Δ Δ Δ x e x e x e x s Posat (cou) p E G x e ε η ) ( λη η η E H G Δ d où λ η η Δ H G E (46) Itroduisat (46) das (45) o obtiet : ) ( ) ( λ η η λ E T E p R H G P g Δ Δ (47) où λ λ η η Δ Δ H G P p p E T E Posat ) ( λ η η λ Δ Δ Ψ H G P E T E La relatio (47) deviet : ) ( ) ( ) ( λ λ λ λ Δ Δ Ψ Δ Ψ Δ p R g (48) a résolutio de cette équatio o liéaire e Δλ est faite par l itermédiaire de la méthode de Newto-Raphso qui suit le schéma suivat (Figure 4.4) : Δλ Boucle sur les itératios ) ( ' ) ( λ λ λ Δ Δ g g d Δλ Δλ dλ dλ < ε Fi du calcul de Δλ oui o Figure 4.4 : Méthode de Newto-Raphso pour le calcul de Δλ 5

37 avec : λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ' Δ Ψ Δ Ψ Δ Δ Ψ Δ Δ Ψ Δ Δ Ψ Δ Ψ Δ p R p R g (49) Calcul de la matrice tagete cosistate La relatio tagete est obteue e écrivat que le critère et la variatio du critère est ulle à la fi du pas : R d dg Φ avec η η T P Φ (5) dp RR d Φ Φ ' (5) d après (8) o a : ) ( λ λ Δ Φ Φ Δ d d dp (5) d où ) ( ' λ λ Δ Φ Φ Δ Φ Φ d d RR d (5) R R Φ Φ (54) d où ' ' ' ' ) ( η η λ λ λ T R Pd R d R R d Φ Δ Φ Φ Δ Δ (55) avec ( ) ) ( λ η η λ η Δ Δ d d H d d d d s x s d où λ η λ η ) ( Δ Δ d H d H d s (56) Ijectat (56) das (55) il viet : ) ' ( ' ) ( η λ λ T H R Pd R d Φ Δ Δ s (57) (58) ) ) ( ( ) ( η λ η λ ε p d d d G d d G d Δ Δ e e s Ijectat (56) et (57) das (58) o obtiet : λ η η Δ Φ ' ) ' ( R G R H avec w d d w P G d T e A e I s (59) Par aalogie avec la relatio () o obtiet fialemet la matrice tagete cosistate : dσ D ep dε avec U A D ep K G (6) La méthode du retour radial est équivalete à la méthode implicite pure qui vérifie le critère de la plasticité à la fi du pas et garde ses propriétés de stabilité icoditioelle. L orgaigramme gééral de la méthode d itégratio est préseté à la figure

38 Boucle d itératio d équilibre i, max_iter Calcul du résidu : R i F - B T σ i dv Résolutio : K T i ΔU R i Boucle sur les élémets Boucle sur les poits d itégratio Δε B T Δu η E s i x i DΔe i Calcul de Δλ (Figure 4.4) Actualisatios : η E Figure 4.5 : Algorithme de calcul x élastoplastique x H Δ G H Δλ η ; λη p T p Φ Δλ; Φ η Pη ε p ε p Δλ η ; s x η σ s K θ ; D ep K G A U Calcul de la matrice tagete : K T i B T D ep B dv Assemblage o Test de covergece : ΔU U < ε oui Pas suivat 7

39 4..5 Programmatio e C #iclude <widows.h> #iclude <iostream.h> #iclude <fstream.h> #iclude <strig.h> #iclude "Objet_math.h" // // Fuctio : Numerical itegratio of elastoplastic costitutive equatios // // Method : cosistet liearizatio itroduced by J.C. Nagtegaal // ad exteded by J.C. Simo & R.L. Taylor // // Refereces : // J.C Nagtegaal, "O the implemetatio of ielastic costitutive equatios // with special referece to large deformatio problems" // Comp. Methods Appl. Mech. Eg., Vol., (98). // Simo J.C. ad Taylor R.L., // "Cosistet taget operator for rate-idepedat elasto- // plasticity, // Comp. Methods Appl. Mech. Eg., Vol.48, -8 (985). // Simo J.C. ad Taylor R.L., // "A retur mappig algorithm for plae stress elastoplasticity // It. J. Num. Meth. Eg., Vol., (986). // // Writte by : Z.Q. Feg // // void mai(it argc, char* argv[]){ char fileame[],file_ip[],file_out[]; if (argc) {cout<<"iput file ame please? "; ci>>fileame;} else strcpy(fileame,argv[]); strcpy(file_ip,fileame); strcat(file_ip,".ip"); strcpy(file_out,fileame); strcat(file_out,".xls"); fstream Ip,Out; Ip.ope(file_ip,ios::i); Out.ope(file_out,ios::out); // it i,step,iter,step; double youg,poisso,g,k; double p,mises,c,cst,cst,g,g_prim,phi,phi_prim,lamda,dlamda,teta; double R,R_prim,Rs,R,gamma,H,J; TENSEUR sigma(6),s(6),x(6),eta(6),eta_elas(6),strai_t(6),strai_p(6),dstrai(6); TENSEUR xx(6),i(6); I[]I[]I[].; MATRICE P(6,6); P[][]P[][]P[][].; P[][]P[4][4]P[5][5].; // /* data iput */ // char lige[]; Ip>>lige; Ip>>youg>>poisso; Ip>>lige; Ip>>Rs>>R>>gamma>>H; Ip>>lige; for (i;i<6;i) Ip>>dstrai[i]; Ip>>lige; Ip>>step; // // D matrix // Gyoug/(.poisso); Kyoug/(.-.*poisso); MATRICE D(6,6); c(.poisso)*(.-.*poisso); cstyoug*(.-poisso)/c; cstyoug*poisso/c; D[][]D[][]D[][]cst; D[][]D[][]D[][]D[][]D[][]D[][]cst; D[][]D[4][4]D[5][5]G/.; Out<<"\tseq\tJ"<<edl; 8

40 // /* icremetal step */ // RR; for(step;step<step;step){ strai_tdstrai; ssigma.devia(); eta_elass-xd*dstrai.devia(); // eta_elasg*(strai_t.devia()-strai_p)-x; csteta_elas*(p*eta_elas); g.5*cst-.*r*r; if (g>.) { // plasticity lamda.; // calculatio of plastic multiplier "lamda" by Newto method for(iter;iter<;iter){ cst.(g.6667*h)*lamda; phicst/(cst*cst); phi_prim-*cst*(g.6667*h)/(cst*cst*cst); ppsqrt(.66667*phi)*lamda; RRs-(Rs-R)*exp(-gamma*p); R_primgamma*(Rs-R)*exp(-gamma*p); g.5*phi-.*r*r; g_prim.5*phi_prim *r*r_prim*sqrt(.66667)* (.5*phi_prim*lamda/sqrt(phi)sqrt(phi)); dlamda-g/g_prim; lamdadlamda; if (fabs(g/g_prim)<.) break; } // // actualisatio // etaeta_elas/(.(g.6667*h)*lamda); x(.66667*h*lamda)*eta; psqrt(.66667*eta*(p*eta))*lamda; strai_plamda*eta; sxeta; } else { // elasticity seta_elas; etaeta_elas; p.; } // teta.*strai_t.equiv(); sigmas(k*teta)*i; misessigma.equiv(); misessqrt(mises); Jsqrt(.5*eta*(P*eta)); Out<<p<<"\t"<<mises<<"\t"<<J<<edl; } exit(); } 9

41 4. MODELES DE GRANDES DEFORMATIONS ELASTOPLASTIQUES Das le paragraphe précédet, o a préseté e détails les théories des petites déformatios élastoplastique, et surtout la méthode du retour radial pour itégrer la loi de comportemet. L extesio de ces théories aux grades déformatio etraîe l existece d u repère privilégié et il existe u couplage des vitesses de déformatios plastiques et élastiques et de la vitesse de rotatio, vis-à-vis de ce repère. Cotrairemet aux petites déformatios, lorsqu apparaisset das u solide de grads déplacemet et de grades déformatios, il est plus possible de cofodre les cofiguratios déformée et o déformée. Ue attetio particulière doit alors être portée à la ciématique, aux repérage des particules et aux choix des mesures des déformatios et des cotraites. Ces aspects sot développés das de ombreux ouvrages de mécaique otammet ceux de Malver [], Sidoroff [], Géli et al. [,]. 4.. Descriptio des grades trasformatios La descriptio des grades trasformatios géométrique d u solide écessite le repérage des particules P qui le costituet tout au log de so mouvemet das le temps. U rappel des défiitios de ce que l o appelle das la suite : référetiel, cofiguratio, teseur de déformatios est écessaire. Référetiel, repère, cofiguratio La otio de référetiel est liée à celle d observateur. O appelle référetiel, oté R, u esemble de poits aimés d u mouvemet de corps rigide. Pour repérer les positios spatiales des particules P il est commode d itroduire das le référetiel R u repère R, souvet orthoormé. Das ce repère, qui matérialise le référetiel, ue particule P à l istat t fixé a pour coordoées (x, x, x ). L esemble des positios spatiales x occupées par les particules P du solide, à chaque istat t, s appelle la cofiguratio du solide à l istat t, otée C t. O itroduit souvet ue cofiguratio de référece C qui est ue cofiguratio particulière coue du solide à u istat t cou (Figure 4.6). x X C P R x P C t R x x Figure 4.6 : Référetiel, repère, cofiguratio Gradiet de déformatio Das ue descriptio lagragiee, le mouvemet du milieu cotiu peut être défii, par rapport à ue cofiguratio de référece C, par la foctio vectorielle Φ : x Φ(X,t) (6) La foctio Φ doe la positio x à l istat t de la particule P qui occupait la positio X à l istat t das la cofiguratio de référece C. Il est habituel d itroduire le vecteur déplacemet u(x,t) et d écrire (6) sous la forme équivalete : x Φ(X,t) X u(x,t) (6) La foctio Φ défiit le mouvemet global du solide. Pour écrire les trasformatios géométriques au voisiage d ue particule P etre ue cofiguratio de référece C et la cofiguratio actuelle C t, o itroduit le teseur gradiet de déformatio F défii par : Localemet les formules de trasport s écrivet : Φ i ( X, t) x i Fij ( X, t) X X j j δ ij u X Pour u vecteur : dx F dx (64) Pour u volume : dv J(F) dv avec J(F) det(f) (65) 4 i j (6)

42 Pour ue surface orietée : ds J(F) F - ds (66) Mesures des déformatios Le teseur gradiet de déformatio F recèle des iformatios à la fois sur la déformatio du solide et sur sa rotatio au voisiage d ue particule. Les lois de comportemet écrites e foctio de F doivet être costruites de maière à ce qu à ue rotatio de corps rigide e correspode aucue modificatio de l état de cotraites. Des mesures des déformatios ulles das le cas d ue rotatio de corps rigide, permettet d écrire des lois de comportemet qui satisfot cette coditio. Pour caractériser les chagemets de forme, il faut caractériser les variatios de logueurs et les variatios d agles, soit e fait les variatios de produits scalaires. E partat de deux vecteurs dx et δx qui après déformatios devieet dx et δx, et d après la relatio (64) o peut écrire : dx. δx dx F T F δx dx C δx (67) Le teseur C F T F, symétrique, est le teseur des dilatatios ou ecore le teseur de Cauchy-Gree droite. Pour caractériser les allogemets, o itroduit u ouveau teseur e comparat les produits scalaires dx. δx et dx. δx : dx. δx - dx. δx dx E δx (68) Le teseur E (C-I)/, symétrique, est le teseur des déformatios de Gree-Lagrage. Il a les mêmes directios pricipales que le teseur C. Ces deux teseurs sot lagragies, ils opèret sur des quatités défiies sur la cofiguratio de référece C. Le teseur eulérie correspodat à C est défii de la maière suivate : Le teseur B FF T, symétrique, est le teseur de Cauchy-Gree gauche. Le teseur eulérie équivalet à E est défii par la relatio : dx. δx dx F -T F - δx dx B - δx (69) A I - B - (7) Le teseur A est le teseur d Almasi. Il exprime les mêmes variatios géométriques que le teseur E : dx. δx - dx. δx dx A δx Décompositio polaire Ue autre méthode pour élimier la rotatio de corps rigide das la mesure des déformatios est la décompositio polaire de F e u teseur de rotatio de corps rigide R orthogoal et u teseur de déformatio pure symétrique U ou V. La figure 4.7 Illustre cette décompositio. F R. U V. R (7) R V F U R Figure 4.7 : Décompositio polaire Les teseurs C et U d ue part et B et V d autre part décrivet les mêmes chagemets de forme à partir de la cofiguratio de référece et de la cofiguratio de actuelle. Ils sot liés par les relatios suivates : C F T F U R T R U U (7) B FF T V RR T V V (7) 4

43 Les directios pricipales de C (respectivemet B) coïcidet avec directios pricipales de U (respectivemet V). Le calcul de U (respectivemet V) peut se faire à partir de C (respectivemet B) e suivat les étapes suivates : diagoaliser C : C d Q T C Q où Q cotiet les vecteurs propres de C calculer : U d (C d ) / calculer : U Q U d Q T La rotatio R de corps rigide s obtiet alors par : R F U - (74) Taux de déformatio La vitesse, das le référetiel R, de la particule P qui occupe la positio X das la cofiguratio de référece C s obtiet à partir de la relatio (6) par : Φ( X, t) v ( X, t) (75) t La dérivée par rapport au temps du teseur gradiet de déformatio s exprime alors e foctio de v par : Φ X F (, t) (76) t X La dérivée par rapport au temps d u vecteur dx das la cofiguratio actuelle C t s obtiet e dérivat l expressio (64) : Le teseur eulérie correspodat à F (64) das (77) : dx F dx défii sur la cofiguratio actuelle Ct est obteu e remplaçat dx par so expressio dx FF dx Ldx v X v le teseur o symétrique L FF est appelé le teseur gradiet des vitesses de déformatios. Il se X x x décompose e deux parties L D W : ue partie symétrique D ½ (L L T ) liée à la vitesse de déformatio de la matière et ue partie atisymétrique W ½ (L - L T ) liée à la vitesse de rotatio de la matière. E remplaçat L par so expressio FF et F par RU et e utilisat l orthogoalité de R o obtiet : [ s ] T L W (77) (78) D R U U R (79) a T [ U U ] R 4.. Itégratio des lois de comportemet e grades trasformatios T R R R (8) La recherche de l état d équilibre d u solide soumis à des efforts extérieurs, écessite la détermiatio des efforts itérieurs qui s y développet. Ces efforts itérieurs, c est à dire les teseurs de cotraites, dépedet des lois traduisat le comportemet physique du solide. D ue maière géérale, ue loi de comportemet s écrit sous la forme : où Γ est la foctioelle de répose du matériau. σ(t) Γ τ<t {F(τ)} (8) Deux mouvemets Φ*(X,t) et Φ(X,t) sot dits objectivemet équivalets si et seulemet si avec Z T Z I ; det(z). Φ * (X,t) Z(t) (Φ(X,t) o) c(t) (8) où o représete u poit fixe, c ue traslatio et Z(t) ue rotatio du corps rigide. O peut facilemet motrer que : Φ * F* Z F X W* Z Z T T (8) L* F * F * D* Z DZ T T Z Z Z W Z T Z L Z 4

44 U algorithme d itégratio des lois de comportemet est dit icrémetalemet objectif si, pour u mouvemet de corps rigide sur l itervalle temporel [t, tδt], soit : les cotraites de Cauchy sot actualisées de maière exacte selo où Q est le teseur de rotatio icrémetale. x tδt Q x t c avec Q T Q I (84) σ tδt Qσ tq T (85) Ue loi costitutive e grades trasformatios doit relier des quatités tesorielles et satisfaire le pricipe de l objectivité. Ce pricipe s exprime que la loi de comportemet doit être idépedate du référetiel choisi pour observer le mouvemet du solide. La foctioelle Γ doit être alors ivariate das tout chagemet de référetiel d observatio. Aisi, si o chage F par QF, le teseur de cotraite de Cauchy σ doit être remplacé par QσQ T, c est à dire : ceci reviet à écrire que das le référetiel tourat : Γ(QF) Q Γ(F) Q T (87) σ* Γ(F*) QσQ T (88) Pour étedre la relatio () au cas de grades déformatios et rotatios, o peut adopter deux solutios :. Remplacer σ par ue dérivée objective : obj σ σ σω Ωσ où Ω est u teseur vitesse de rotatio. So choix coduit aux différetes dérivées objectives : Ω R T Ω W R R R U U T Ω R R a T [ ] R : das le cas d u mouvemet du corps rigide : la dérivée objective correspod à celle de Jauma : la dérivée objective correspod à celle de Gree-Naghdi (89) Ω W i : la dérivée objective correspod à celle de Lee (W i est la vitesse de rotatio d ue facette particulière). Exprimer les lois de comportemet das u repère tourat avec la vitesse de rotatio Ω. Le relatio () s écrit das le cas de grades déformatios : avec D ep le teseur caractérisat le matériau cosidéré et ( σ', D', v' ): ' σ ' Dep D (9) σ Q T σq D Q T DQ v Q T vq où v représete les variables iteres. Le teseur de rotatio icrémetale Q est solutio du problème de valeurs iitiales : Q ( τ) Q( τ) Q(t) I T Ω( τ); t τ t Δt avec Ω W : repère corrotatioel (dérivée de Jauma) T Ω R R : repère e rotatio propre (dérivée de Gree-Naghdi) (9) Ω W i : repère tourat avec la vitesse de rotatio d ue facette particulière (dérivée de Lee) Le teseur Q peut aussi être choisi comme la rotatio propre R calculé par décompositio polaire de F (Eq.74). Das ce cas et à T T s T l aide de la relatio (79), o a : D' Q DQ R R[ U U ] R R [ U U ] s (9) Pour itégrer la loi de comportemet (9), o peut toujours utiliser l algorithme de retour radiale détaillé au paragraphe 4. sur l itervalle de temps [t, tδt], mais das le cas de grades déformatios et rotatios il est importat de choisir ue approximatio ciématique au cours d u pas de temps pour évaluer le teseur vitesse de déformatio D. L hypothèse 4

45 ciématique la plus simple et la plus courate cosiste à supposer que la vitesse des particules est costat au cours de l icrémet cosidéré. Celle-ci est alors doée par : x t Δt xt v (9) Δt Ceci implique ue variatio similaire du gradiet de déformatio F τ : ( t Δt τ) Ft ( τ t) FtΔt Δt ; τ [ t, t Δt] F τ (94) L approximatio du chemi réel par u chemi liéaire à vitesse costate présete les icovéiets suivates : - Si la trasformatio etre t et tδt est ue rotatio pure, la trasformatio défiie par (94) e l est pas, d où apparitio de déformatios parasites affectat les variables iteres du solide. Ce schéma e doc est pas icrémetalemet objectif. - Si la trasformatio etre t et tδt se fait à volume costat, le préset schéma provoque ue variatio de volume. Pour améliorer cette approximatio, Hughes et Wiget [] proposet les approximatios suivates : D τ D tδt/ costate (95) Q τ Q tδt/ costate (96) La rotatio Q est calculée à partir de l équatio différetielle Q T τ Qτ Wτ, défiissat le repère corrotatioel, e utilisat la méthode du poit milieu gééralisée Q τ I WtΔt / I Wt Δt / Qt (97) L hypothèse de vitesse costate le log du chemi de déformatio est évidemmet pas la seule possible. Ue première alterative est le chemi à gradiet de vitesse costat suggéré par Godias [5]. Ue deuxième alterative est le schéma de la rotatio fiale istataée (RFI) dû à Nagtegaal et Veldpaus [9,,6] et repris par Braudel et al. [7,8]. Comme le schéma de Hughes et Wiget, il est aussi basé sur ue approche corotatioelle. Par rapport à ce derier, il présete les avatages suivats : - Il est toujours icrémetalemet objectif quelle que soit la taille du pas de temps; - Il e géère pas de déformatios parasites das le cas d ue rotatio de corps rigide; - Il e géère aucue variatio de volume parasite ; - Il est plus simple et doc plus écoomique ; - Il est possible d obteir aalytiquemet u opérateur taget cosistat. Ce derier poit résultat de sa plus grade simplicité. Partos de l équatio (9), o e déduit das le système d axes corotatioels : tδt t σ' t Δt σ' t σ d' T T tδt ou bie R t Δ t σ tδt RtΔt Rt σ t Rt t Dep : D' dτ (99) T d où la relatio [ t ep ] t t τ T tδt σ t Δt RtΔt R σt Rt t D : D' dτ R Δ () E particulier, si o choisit comme cofiguratio de référece, la derière cofiguratio équilibrée à l istat t (formulatio actualisée), de plus, o lie le système corotatioel à la rotatio matérielle locale, alors o peut écrire à chaque istat τ [ t, t Δt]: avec, e particulier Il e résulte que, das la cofiguratio courate o a : σ (98) F τ R τ U τ () F t I R t U t I () [ σ Δ ] Rt T t t Δt R tδt t σ' Δ () 44

46 avec Δσ' tδt t Dep : D' Das le cas du matériau élastique, D ep s idetifie avec H, le teseur de Hooke, alors o peut écrire : Δσ' H : t Δt t dτ D' dτ Notos que, si o suppose la vitesse de déformatio costate au cours de l icrémet, et qu o approxime l itégrale par tδt t D' dτ ΔtD' α ΔtR alors, pour α ½, o retrouve le schéma de Hughes et Wiget. T α D α R α α [, ] Afi de permettre l évaluatio de l itégrale coteue das la relatio (), il faut préciser la forme du terme D tel que décrit e (9). Pour ce faire, preos l hypothèse d ue variatio expoetielle du teseur des déformatios pures droit U au cours de l icrémet. C est à dire, il garde ses axes propres fixes : où C est u teseur costat. La dérivée temporelle de U est alors doée par (4) t U exp τ τ C (5) Δt C Δt τ t Δt A l aide des relatios (9), (5) et (6), o peut fialemet écrire C Δt τ exp C U τ (6) U [ U U ] s C D' costat (7) Δt Il ous reste à détermier C. Or, e τ tδt, o peut écrire, e vertu de l hypothèse (5) : F T F U tδt U exp (C) D où C ½ l (F T F) l (U) (8) Le teseur C s idetifie doc au teseur aturel ou logarithmique des déformatio etre les cofiguratios C t et C tδt. Si la trasformatio etre est u mouvemet de corps rigide, alors F R et U I. O e déduit : C l (U) l (I) D (9) 4.4 EXEMPLES NUMERIQUES Les exemples tests ot pour but de valider l algorithme d itégratio des lois de comportemet e petites ou grades déformatios. Exemple : Petites déformatios élastoplastiques (algorithme de retour radial) O teste l algorithme développé au paragraphe 4. et le programme réalisé sur u élémet de volume avec les doées suivates : - Module de Youg : E MPa - Coefficiet de Poisso : ν. - Limite élastique (rayo iitial) : R MPa (ou 5 MPa) - Rayo saturé : R s 5 MPa (ou MPa) - Exposat : γ 5 - Pete de l écrouissage ciématique liéaire : H 5 MPa - Accroissemet de déformatios totales : Δε < > Les figures 4.8 et 4.9 motret l évolutio de la cotraite équivalet de Vo-Mises (seq) et l évolutio du rayo du domaie élastique (J). O otera que si R s > R (R et R s 5), le matériau durcit au cours d u écoulemet plastique (Figure 4.8) ; par cotre si R s < R (R 5 et R s ), l écoulemet egedre u adoucissemet du matériau (Figure 4.9). 45

47 cotraite (MPa) seq J,,,,,,4,5,5,6,7 déformatio plastique cumulée cotraite (MPa) seq J,,,,,,4,5,5,6,7 déformatio plastique cumulée Figure 4.8 : Durcissemet Figure 4.9 : Adoucissemet Exemple : Grades déformatios : test au iveau d u poit d itégratio comparaiso des dérivées objectives de Jauma / Gree-Naghdi La comparaiso de ces deux dérivées objectives utilisées das des lois hypoélastiques et élastoplastiques a fait l objet de plusieurs études : Dafalias [4] et EL Mouatassim [7]. Das ce test o utilise ue loi hypoélastique pour deux ciématiques différetes avec les doées : E N/mm, ν. et l hypothèse des déformatios plaes. t Ciématique : cisaillemet simple : F( t) ; t 6 Comme moté la figure 4., l utilisatio de la dérivée de Jauma das ue loi hypoélastique provoque des oscillatios siusoïdales des cotraites alors que celle de Gree-Naghdi coduit à des cotraites qui croisset régulièremet au cours du chargemet. Figure 4. : Comparaiso des dérivées objectives de Jauma / Gree-Naghdi Ciématique : élogatio combiée avec ue rotatio : λ(t) t cos θ(t) si θ(t) λ(t) F ( t) ; θ(t) πt si θ(t) cos θ(t) t Das cet exemple les élogatios e sot permises que das ue seule directio. Le repère corrotatioel et le repère propre touret avec la même vitesse. O obtiet doc les même résultats (Figure 4.) par les deux dérivées objectives. 46

48 Exemple : chargemet d ue poutre e flexio Figure 4. : Elogatio combiée avec ue rotatio Ce test au iveau d ue structure a été proposé das le cadre du GRECO grades déformatios et edommagemet. Le maillage de la poutre (48 élémets à 8 œuds et 9 poits d itégratio), les coditios aux limites et le chargemet (déplacemet imposé) sot défiis sur la figure 4.. La loi de comportemet utilisée est ue loi élastoplastique avec écrouissage isotrope liéaire. Les caractéristiques mécaiques de la poutre sot : Module de Youg : E MPa Coefficiet de Poisso : ν. Limite élastique : σ e 4 MPa Pete d écrouissage : R MPa avec l hypothèse de déformatios plaes et le choix de la dérivée objective de Jauma. Ce test préset l itérêt de géérer différets combiaiso de trajets de déformatio de la poutre : grades déformatios et petites rotatios près de l ecastremet (poits,, Figure 4.), grades déformatios et grades rotatios près de l applicatio du chargemet (poits 5 Figure 4.) et petites déformatios et petites rotatios au voisiage du poit 4. La figure 4. motre le maillage iitial et la répartitio des déformatios plastiques équivaletes das la poutre déformée. Les zoes proches de l ecastremet et du poit d applicatio du chargemet sot les plus plastifiées. v mm 5 4 Figure 4. : Maillage et coditios aux limites Figure 4. : Déformatios plastiques équivaletes RÉFÉRENCES [] Clough R.W., The fiite elemet i pla stress aalysis, Proc. ASCE cof. o electroic computatio, (96). [] Marçal P.V. ad Kig I.P., Elastic plastic aalysis of two dimetioal stress systems by the fiite elemet method. Num. Meth. Id. Form. Swasea., V.9 (967). [] Hibbitt H.D., Marçal P.V. ad Rice J.R., A fiite elemet formulatio for problems of large strai ad large displacemet. It. J. Solides Struc., V.6,69-86 (97). [4] McMeekig R.M. ad Rice J.R., Fiite elemet formulatio for problems of large elastic-plastic deformatio. It. J. 47

49 Solids Struc., V. (975). [5] Ziekiewicz O.C. ad Owe D.R.J., Aalysis of viscoplastic effects i pressure vessels by the fiite elemet method. Nuclear Eg. Des., V.8 (974). [6] Golival J.C., Calcul par élémets fiis de structures élasto-viscoplastique soumises à des chargemets cycliques à haute température. Thèse de doctorat de l'uiversité de Liège, (989). [7] EL Mouatassim M., Modélisatio e grades trasformatios des solides massifs par élémets fiis. Thèse de doctorat de l'uiversité de Techologie de Compiège, Frace, (989). [8] Pothot J.Ph., Traitemet uifié de la mécaique des milieux cotius solides e grades trasformatios par la méthode des élémets fiis. Thèse de doctorat de l'uiversité de Liège, (995). [9] Nagtegaal J.C., O the implemetatio of ielastic costitutive equatios with special referece to large deformatio problems, Comp. Methods Appl. Mech. Eg., Vol., (98). [] Nagtegaal J.C. ad De Jog J.E., Some computatioal aspects of elastic-plastic large strai aalysis, It. J. Num. Meth. Eg., Vol.7 (98). [] Hughes T.J.L. ad Wiget J., Fiite rotatio effects i umerical itegratio of rate costitutive equatios arisig i large deformatio aalysis, It. J. Num. Meth. Eg., Vol.5, (98). [] Wilkis M.L., Calculatio of elastoplastique flaws, i «Methods i Computatioal Physics» B. Alder (eds), Academic press (964). [] Krieg R.D. ad Krieg B.D., Accuracies of umerical solutio method for the elastic-perfectly plastic model, ASME, J. Pressure Vessels ad Pipig Div. Vol.99, 5-55 (977). [4] Simo J.C. ad Taylor R.L., Cosistet taget operator for rate-idepedat elasto-plasticity, Comp. Methods Appl. Mech. Eg., Vol.48, -8 (985). [5] Armstrog P.S. ad Frederick C.O., A mathematical represetatio of the multiaxial Bauschiger effect, C.E.G.B. Repport RD/B/N7, (966). [6] Chaboche J.L., Descriptio thermodyamique et phéoméologique de la viscoplasticité cyclique avec edommagemet, Thèse de Doctorat ès Scieces Physiques, Paris VI, (978). [7] De Saxcé G., Ue gééralisatio de l iégalité de Fechel et ses applicatios aux lois costitutives, C.R.A.S., Paris, t4, série II, 5-9, (99). [8] De Saxcé G. et Hjiaj M., Sur l itégratio umérique de la loi d écrouissage ciématique o liéaire, ème Colloque Natioal e Calcul des Structures, Gies, Frace, vol.ii, , (- Mai 997). [9] Simo J.C. ad Taylor R.L., A retur mappig algorithm for plae stress elastoplasticity, It. J. Num. Meth. Eg., Vol., (986). [] Malver L.E., Itroductio to the mechaics of a cotiuous medium, Pretice-Hall, Ic., Eglewood Cliffs, New Jersy (969). [] Sidoroff F., Cours sur les grades déformatios, Rapport GRECO N 5 (98). [] Géli J.C., Oudi J. et Ravalard Y., Schémas umériques e grades déformatios plastiques, Rapport GRECO N 5 (984). [] Géli J.C., Modèles umériques et expérimetaux e grades déformatios plastiques et edommagemet de rupture ductile, Thèse de Doctorat d Etat, Uiversité P. et M. Curie, Paris 6 (985). [4] Dafalias Y. F., A missig lik i the macroscopic costitutive formulatio of large plastic deformatio. Plasticity today, Modellig ad Applicatios (98). [5] Godias A., Calcul des gradiets de vitesse costats au cours d u pas. Note itere, Service de Mécaique des Matériaux, Uiversité de Liège, Bélgique (984). [6] Nagtegaal J.C. ad Veldpaus F.E., O the implemetatio of fiite strai plasticity equatios i a umerical model, Numerical aalysis of formig processes, Pittma et al. (Eds.), Joh Wiley & Sos, 5-7 (984). [7] Braudel J.H., Modélisatio des grades trasformatios élastoplastiques d u solide isotrope par la méthode des élémets fiis, Thèse de doctorat d Etat ès Scieces, Uiversité Claude Berard, Lyo, Frace, (986). [8] Braudel J.H. Abouaf M ad Cheot J.L., A implicit ad icremetally objective formulatio for the solutio of elastoplastic problems at fiite strai by the F.E.M., Rapport GRECO, N 5, (985). [9] Feg Z.Q., Cotributio à la modélisatio des problèmes o liéaires : cotact, plasticité et edommagemet. Thèse de Doctorat de l'uiversité de Techologie de Compiège, Frace, (99). 48

50 Chapitre 5 MODELISATION DE LA MISE EN FORME DES MATERIAUX EN GRANDES DEFORMATIONS RIGIDE-VISCOPLASTIQUES Ce chapitre est cosacré à la modélisatio umérique de problèmes de mise e forme de métaux. O se place das le cadre de la mécaique des solides e grades déformatios rigide-viscoplastiques. A partir du pricipe variatioel de Hill, o peut obteir, d'ue faço explicite, ue formulatio des élémets fiis. La méthode des multiplicateurs de Lagrage est utilisée afi de teir compte de la coditio d'icompressibilité plastique. Les problèmes de cotact et de frottemet etre solides sot pris e compte par ue méthode de prédictio-correctio. Ue procédure itérative est utilisée pour la résolutio du système d'équatios o liéaires. La compressio d'u lopi axisymétrique et le forgeage d'u disque ot été simulée par la méthode proposée. Les résultats sot comparés à l'expériece et aux prévisios d'u modèle aalytique. 5. INTRODUCTION Les procédés de mise e forme (lamiage, emboutissage, filage, extrusio,...) des pièces mécaiques sot très présets das l'idustrie actuelle. La modélisatio de ces procédés présete de ombreuses difficultés. Celles-ci provieet des multiples o-liéarités mécaiques telles que : les o-liéarités matérielles dues à la loi de comportemet du solide; les o-liéarités géométriques qui se maifestet lorsqu'apparaisset des grads déplacemets, des grades rotatios et déformatios; les o-liéarités liées à l évolutio des coditios aux limites comme das les problèmes de cotact et de frottemet etre solides. Comme ces procédés sot très complexes, il est difficile de les traiter par des méthodes aalytiques. Das ce chapitre, o présete pricipalemet ue étude umérique des procédés de mise e forme par la méthode des élémets fiis. U modèle aalytique est égalemet préseté à titre comparatif. Lors de la mise e forme des métaux e grades déformatios, les déformatios élastiques sot beaucoup plus faibles que les déformatios plastiques et peuvet souvet être égligées. Ceci simplifie les formulatios des élémets fiis et les procédures d itégratio des lois de comportemet par rapport aux formulatios élasto-plastiques qui ot été présetées au chapitre 4. Pour traiter les problèmes de mise e forme de métaux, la méthode des élémets fiis rigide-plastiques a été utilisée par Mori et al. [MOR 8], Kim et al. [KIM 85], Yoo et al. [YOO 88], Feg et De Saxcé [FEN 96]. O présete das ce chapitre ue méthode des élémets fiis rigide-viscoplastiques. Comme la méthode rigide-plastique, cette méthode utilise souvet des formulatios e vitesse (aalogues à celles de la mécaique des fluides). La cofiguratio actuelle est obteue par itégratio de la vitesse, ce qui permet d'éviter les oliéarités géométriques. Cette méthode est doc très commode pour traiter les problèmes de mise e forme e régime statioaire ou o statioaire. La coditio d'icompressibilité plastique est itroduite das la formulatio variatioelle par la méthode des multiplicateurs de Lagrage. Des formulatios par élémets fiis correspodates ot été développés das ce chapitre. L'aalyse des problèmes de cotact avec frottemet revêt ue grade importace das de ombreuses applicatios de mise e forme de métaux pour lesquelles le cotact etre solides déformables et les outils rigides ou déformables joue u rôle prédomiat. Le cotact etre deux (ou même plusieurs) solides déformables se produit d'ailleurs das de ombreux problèmes mécaiques. Ces processus egedret le plus souvet de grades déformatios et des déplacemets relatifs importats etre le milieu déformé et les outils. Les phéomèes de cotact et de frottemet sot représetés par des iéquatios o liéaires qui fot iterveir les déplacemets (ou vitesses de déplacemet) d'ue partie de la frotière, et les réactios de cotact. Ces réactios et les surfaces e cotact sot icoues à priori. Les lois de frottemet courammet utilisées das le domaie de la mise e forme sot celle de Coulomb ou de Tresca qui peuvet décrire le cotact adhérat ou glissat. Le cotact avec lubrifiat exige parfois l'utilisatio d'autres lois plus complexes comme o peut le costater à la lecture des travaux de Ode et Pires [ODE 8]. Lors de travaux atérieurs [SAX 9] [FEN 9] [FEN 9] [FEN 95], ous avos développé des méthodes robustes et utiles à la résolutio de problèmes de cotact avec frottemet et situées das u cotexte gééral. 5. HYPOTHESES ET LOI DE COMPORTEMENT La formulatio de la loi de comportemet des matériaux relatives aux procédés de mise e forme, est souvet très complexe. Pour faciliter le traitemet mathématique, o suppose que: a) les déformatios élastiques et les forces volumiques sot égligeables au regard des déformatios plastiques et des efforts de mise e forme, b) les matériaux sot isotropes et homogèes, c) la théorie de Lévy-Mises décrit l'écoulemet des matériaux, O adopte la formulatio eulériee pour décrire les mouvemets des particules matérielles du milieu. D'après la théorie de Lévy-Mises, la loi d'écoulemet plastique s'écrit : 49

51 où φ est ue foctio scalaire qui, das le cas rigide-viscoplastique, est égale à : φ σ ε avec σ < κ σ κ comportemet rigide comportemet viscoplastique où σ : cotraite équivalete au ses de Vo Mises, κ : limite d'écoulemet iitiale, s ij s ij φ ε ij () : composates du teseur déviateur des cotraites, ε ij : composates du teseur taux de déformatio, ε ε ij ε ij : taux de déformatio équivalete au ses de Vo Mises. Pour teir compte de l'écrouissage isotrope o liéaire et de la sesibilité à la vitesse de déformatio, o a choisi pour la cotraite équivalete σ ue foctio empirique o liéaire de la déformatio équivalete ε et du taux de déformatio équivalete ε de la forme : σ κ. a ε b où a, b, r, et m représetet des costates caractéristiques du matériau.. ε r O remarque que si r, o retrouve le modèle rigide-plastique. Par ailleurs, il est itéressat de oter que Ziekiewicz et al. [ZIE 78] ot traité la mise e forme de métaux viscoplastiques sous la forme d'écoulemets de fluides o-ewtoies. m () 5. PRINCIPE VARIATIONNEL Cosidéros u milieu cotiu Ω de frotière S, soumise à ue desité surfacique d'efforts extérieurs T sur S, et à u champ de vitesses de déplacemet imposé sur S tel que S S S. Le pricipe variatioel de Hill [HIL 56] exprime que, parmi tous les champs de vitesses ciématiquemet admissibles, la solutio exacte doit miimiser la foctioelle suivate : Π Ω E ε ij dω - T v ds S () avec la coditio d'icompressibilité plastique imposée à ε ij : où v : vecteur vitesse, ε ii (4) ε ij ε ii : taux de déformatio, : taux de déformatio volumique, E( ε ij ) : travail itere de déformatio. E ε ij E itroduisat () das (5) et après itégratio, o obtiet : ε ij ε s ij dε ij σ dε E ε ij Y ε (m)r m ε m (5) (6) 5

52 où Y κ. a ε b Ce pricipe coduit à la résolutio d'u problème de miimisatio d'ue foctioelle sous cotraites. E pratique, il est difficile de trouver u champ de vitesse qui satisfasse à la fois les coditios aux limites et la coditio d'icompressibilité. L'idée est d'itroduire (4) das () et d'établir ue ouvelle foctioelle. Le problème de miimisatio sous cotraites est doc remplacé par u problème de miimisatio sas cotraites. Pour ce faire, la méthode des multiplicateurs de Lagrage peut être utilisée. Aisi, e itroduisat le multiplicateur de Lagrage λ, la ouvelle foctioelle s'écrit : Π L Y ε (m)r m ε m dω Ω λ ε ii dω Ω - T v ds S (7) O peut prouver que le multiplicateur de Lagrage λ s'iterprète physiquemet comme la cotraite hydrostatique. 5.4 DISCRETISATION ET FORMULATION DES ELEMENTS FINIS Das le cotexte des élémets fiis [DHA 8], les vitesses de déplacemet odales v sot des icoues. Le vecteur des vitesses das u élémet est obteu par iterpolatio des v : où N est la matrice des foctios de forme. v N v (8) Le taux de déformatio est : ε ij L v LN v B v (9) où L est l'opérateur du gradiet symétrisé. Le taux de déformatio volumique est : où C [ ] [ ] [ ] ε ii C ε ij C B v () pour le cas axisymétrique pour le cas de déformatio plae pour le cas tri - dimesioel Supposos que la cotraite hydrostatique est costate das u élémet, ous pouvos doc écrire la foctioelle d'u élémet sous forme matricielle : Π L G λ G G T où G Y Ω v T B T Bv m r m v T B T m Bv dω () G Ω C T Bv dω La foctioelle totale est obteue par assemblage : Π L G T - NELT s Π L T T Nv ds Π L V, λ () où V [vx vy vz vx vy vz... vnx vny vnz ] T λ [λ λ... λnelt ] T NELT représete le ombre total d élémets et N le ombre total de oeuds. D'après le pricipe variatioel, o a : 5

53 δπ L NELT Π L δv Π L δλ v λ Comme les variatios δv et δλ sot arbitraires, o obtiet alors : Π L V δv Π L λ δλ () Π L V Π L λ NELT NELT Π L v Π L λ E dérivat la foctioelle Π L (Eq.) par rapport à v et λ, o trouve : (4a) (4b) Π L v Ω Y BT Bv v T B T Bv BT Bv r m v T B T m- Bv dω λ B T C dω - N T T ds Ω S Y H v λ Q - F (5a) Π L λ où H Ω C T B v dω Ω Q T v (5b) ε m- ε r m B T B dω Q Ω B T C dω F S N T T ds Après assemblage de tous les élémets, le système d'équatios (4) s'écrit sous la forme suivate : NELT NELT NELT Π L Y H Q F V V - Π NELT (6) L Q T λ λ Soit R(V, λ) Fit(V, λ) - Fext (7) R est le vecteur des résidus. Fit et Fext sot respectivemet les vecteurs de forces iteres et extérieures. La miimisatio de 5

54 la foctioelle coduit alors à u système d équatios o liéaires dot les icoues sot les vitesses aux oeuds et les pressios aux élémets du maillage. E utilisat la méthode itérative de Newto-Raphso pour la résolutio de ce système, o peut obteir les formulatios par élémets fiis (matrice de rigidité tagete et vecteur des résidus): [ ] i d K T { } i { R} i (8) où {d} [ΔV λ ] T K T NELT NELT Π L v v T Π L v λ NELT NELT Π L λ v T Π L λ λ NELT NELT Y PD Q T NELT Q (9) R NELT Y Hv - F NELT () Q T v où P B T B - bbt Ω ε ε dω D Ω ε m- r m B T B (m-) bb T ε dω Le champ de vitesses est actualisé à chaque itératio par: b B T Bv V i V i- α ΔV i () où α est choisi pour assurer la covergece dot le critère s écrit e termes de variatio relative de vitesse ou de résidus: ΔV V où Tol est ue costate très faible (typiquemet, Tol. à.). Tol ; R Tol () Das leur grade majorité, les procédés de mise e forme fot iterveir des phéomèes d'écoulemet de type trasitoire. Das le cas préset, o adopte ue descriptio dite "Lagragiee réactualisée" : a) o se place à l'istat doé t; b) à l'aide des coditios aux limites (vitesse des outils sur S, par exemple) et des formulatios précédetes, o calcule u champ de vitesses Vt; c) à l'aide de ce champ, o évolue u pas de temps Δt doat ue déformatio acceptable et compatible avec l'arrivée e cotact de certais œuds ; d) o réactualise alors la géométrie à l'aide de ce pas de temps : XtΔt Xt Δt Vt () O recommece aisi le calcul jusqu'à la fi de l'opératio de mise e forme. Simuler l'esemble du procédé reviet doc à résoudre u certai ombre de problèmes pseudo-statioaire. Cette approche dite "explicite" est égalemet utilisée das les 5

55 logiciels de calcul tels que FORGE et FORGE [DUC 9]. 5.5 APPLICATION NUMERIQUE 5.5. Forgeage d'u lopi axisymétrique O cosidère à titre d'exemple, u lopi de diamètre iitial Φ 6 mm et de hauteur H) 9 mm, forgé de faço quasi statique etre deux tas rigides. Le cotact et le frottemet serot pris e compte das cet exemple. O cosidère le cas où le coefficiet de frottemet (μ) vaut.4. E raiso de la symétrie, o e traite par le calcul, que le quart du lopi. Le maillage d'u quart du lopi comporte 76 œuds dot 8 cadidats au cotact, et 5 élémets axisymétriques. Chaque élémet comporte 4 œuds et 4 poits d'itégratio. Afi de comparer les résultats umériques avec ceux du modèle aalytique, o choisit les costates du matériau suivates : ab, r,. et κ N/mm. La figure 5. motre la cofiguratio iitiale et déformée pour le lopi etier. Le champ de cotraites équivaletes au ses de Vo Mises est illustré figure 5.. O remarque de fortes cocetratios de cotraites au cetre et aux bords du lopi. Figure 5. : Forgeage quasi statique d'u lopi axisymétrique jusqu'à mi-hauteur Figure 5. : Cotraite équivalete (MPa) 5.5. Forgeage d'u disque axisymétrique Le deuxième exemple cocere le forgeage d'u disque et costitue u test plus sévère que le précédet otammet e ce qui cocere le calcul des déformatios et la résolutio du problème de cotact. U lopi cylidrique placé das u coteeur est sollicité par deux tas se rapprochat du cetre de symétrie à la même vitesse. Les tas et le coteeur présetet doc ue symétrie de révolutio et sot supposés rigides. Les figures 5. et 5.4 motret respectivemet les maillages iitial et déformé. Figure 5. : Forgeage d'u disque : maillage iitial Figure 5.4 : Forgeage d'u disque : maillage déformé 5.6 APPROCHE ANALYTIQUE RELATIVE AU FORGEAGE D'UN LOPIN AXISYMETRIQUE Le problème, classique e mise e forme [BAQ 7] est traité par la méthode des traches, e teat compte de la loi de frottemet de Tresca et e égligeat le phéomèe de bombemet (Figure 5.5). Das la présete étude, o cosidéra, de plus, u comportemet du matériau de type viscoplastique décrit par l'équatio (). 54

56 z τ f σ zz σ θθ σ rr L'équilibre d'ue trache est formulé par la relatio suivate: θ Figure 5.5 : Trache sollicitée das u lopi axisymétrique σrr r r dσ rr r - σ θθ - τf (4) dr h où h désige la hauteur istataée du lopi et τ f la cessio de frottemet obéissat à la relatio dite de Tresca : τ f μ La coditio d'écoulemet plastique s'écrit: J σ (6) où J représete le deuxième ivariat du déviateur des cotraites, et σ la cotraite d'écoulemet plastique. Nous faisos l'hypothèse que le champ de cotraites est tel que: σ rr σ θθ (7) Par combiaiso des équatios (4), (6) et (7) o obtiet l'effort de forgeage: T S σ zz ds π R m R σ h σ (5) (8) E cosidérat ue loi de comportemet viscoplastique et par réductio de l'expressio () o obtiet: aisi que les relatios géométriques suivates: σ κ ( ε ) (9) v ε ε zz (a) h h εzz l (b) H H R R h (c) E combiat les relatios (8), (9) et () o trouve l'expressio de l'effort de forgeage e foctio de la déformatio: v H e ε ( ) μ Φ ε / zz T κ Ω ( ) H où Ω représete le volume du lopi, et v la vitesse de déplacemet imposée au tas supérieur. O retrouve, das l'expressio () l'effet du couplage frottemet - élacemet motrat que lorsque l'élacemet iitial (Φ/H) ted vers l'ifii, l'effort T ted vers ue valeur traduisat le comportemet rhéologique uiaxial du matériau. La figure 5.6 illustre les résultats expérimetaux obteus sur u matériau modèle (plasticie) aisi que les prévisios issues du calcul par élémets fiis et de la relatio aalytique (). O observe ue boe cohérece etre les résultats obteus par les trois méthodes. e zz () 55

57 Figure 5.6 : Effort de forgeage 5.7 CONCLUSION Das le préset chapitre ous avos préseté ue formulatio cocrète et complète des élémets fiis rigideviscoplastiques destiée à l'aalyse de procédés de mise e forme des métaux ou d'autres milieux icompressibles et viscoplastiques. Cette formulatio e vitesse, à la fois pour les lois costitutives des matériaux et pour les lois du cotact avec frottemet, a été appliquée au cas particulier du forgeage d'u lopi et d'u disque axisymétriques. Des résultats aalytiques sot égalemet présetés à titre comparatif. Les résultats umérique, aalytique et expérimetaux sot cofrotés et révèlet ue certaie covergece das les deux cas traités. U algorithme d itégratio implicite das l'aalyse de la mise e forme de métaux a été développé et a fait l objet d ue publicatio das Europea Joural of Mechaics, A/Solids, Vol.5, 5-66, (996) [FEN96]. REFERENCES [BAQ 7] Baqué P., Felder E., Hyafil J. et Descatha Y., "Mise e forme des métaux; calculs par la plasticité", Tome, Edt. DUNOD, Paris, 59-5, (97) [DHA 8] Dhatt G. et Touzot G., "Ue présetatio de la méthode des élémets fiis", Edt. Maloie, Paris (98) [DUC 9] [FEN 9] [FEN 9] [FEN 96] [FEN 95] Ducloux, Gratacos et Coupez, "Similatio tridimesioelle du forgeage à chaud (FORGE)", Actes STRUCOME, Paris, , (8- Décembre 99) Feg Z.Q. ad Touzot G., "Aalysis of two ad three dimesioal cotact problems with frictio by a mixed fiite elemet method", Revue Euro. Elémets Fiis,, (99) Feg Z.Q., Aazizou K. et Hourlier F., "Modélisatio des problèmes de cotact avec frottemet - Implatatio e C das le code ZéBuLoN", Proc. Colloque Natioal e Calcul des Structures, Edt. HERMES, pp.4-56, Gies, Frace, (-4 Mai 99) Feg Z.Q. ad De Saxcé G., Rigid-plastic implicit itegratio scheme for aalysis of metal formig, Europea Joural of Mechaics, A/Solids, Vol.5, 5-66, (996) Feg Z.Q., "D or D frictioal cotact algorithms ad applicatios i a large deformatio cotext", Commuicatios i Numerical Methods i Egieerig, Vol., (995) [HIL 56] Hill R., "New horizos i mechaics of solids", J. Mech. Phys. of Solids, 5, 66 (956) [KIM 85] [MOR 8] [ODE 8] [SAX 9] [YOO 88] [ZIE 78] Kim Y.J. ad Yag D.Y., "A formulatio for rigid-plastic fiite elemet method cosiderig work-hardeig effect", It. J. Mech. Sci., 7, (985) Mori K., Osakada K. ad Oda T., "Simulatio of plae strai rollig by the rigid-plastic fiite elemet method", It. J. Mech. Sci., 4, 59 (98) Ode J.T. ad Pires E.B., "No local ad o liear frictio laws ad variatioal priciples for cotact problems i elasticity", J. Appl. Mech. 5, 4-4 (98) De Saxcé G. ad Feg Z.Q., "New iequality ad fuctioal for cotact with frictio: The implicit stadard material approach", Mech. Struct. & Mach., 9, -5 (99) Yoo J.H. ad Yag D.Y., "Rigid-plastic fiite elemet aalysis of three dimesioal forgig by cosiderig frictio o cotiuous curved dies with iitial guess geeratio", It. J. Mech. Sci., (988) Ziekiewicz O.C., Jai P.C ad Oate E. "Flow of solids durig formig ad extrusio, some aspects of umerical solutios", It. J. Solids Struc., 4, 5 (978) 56

58 Chapitre 6 : MODELISATION DES PROBLEMES DE CONTACT AVEC FROTTEMENT 6. INTRODUCTION Depuis que Hertz a itroduit ue théorie du cotact e 88, de ombreux problèmes d'igéieur faisat iterveir le cotact ot été résolus. L'outil de calcul basé sur ue approche aalytique, est limité à la résolutio des problèmes simples de cotact : e effet la plupart des solutios aalytiques supposet u cotact sas frottemet et des zoes de cotact coues, a priori, et des formes géométriques simples. Le développemet des techiques umériques de résolutio a permis de traiter des problèmes de cotact plus complexes. La méthode des élémets fiis, e permettat la discrétisatio des solides de formes quelcoques et la prise e compte aisée de coditios aux limites diverses, offre u outil puissat de calcul pour étudier les problèmes de cotact. Aujourd hui l'aalyse des problèmes de cotact avec frottemet est très importate pour beaucoup d'applicatios d'igéierie idustrielle. La modélisatio des procédés idustriels de mise e forme, et plus gééralemet des phéomèes complexes où le cotact et le frottemet s ajoutet à des o-liéarités du matériau et de la géométrie, écessite des algorithmes supplémetaires das les logiciels gééraux d élémets fiis. Malgré la liéarité de la loi élastique, le problème de cotact est itrisèquemet o-liéaire. E effet, la surface de cotact et les forces de cotact sot, a priori, icoues et elles chaget progressivemet lorsqu'o applique le chargemet extere. Das la littérature, de ombreuses méthodes ot été développées pour résoudre les problèmes de cotact par des méthodes umériques comme la méthode des élémets fiis, parmi lesquels la méthode de péalisatio [-5], la méthode de flexibilité [6-8], la méthode de programmatio mathématique [9-], la méthode des multiplicateurs de Lagrage [4,5]. Ue grade partie de ces articles traitet d'algorithmes umériques. Das les codes aux élémets fiis idustriels (ANSYS, PAM- CRASH ), les problèmes de cotact avec frottemet das le cotexte des grades déformatios sot presque exclusivemet traités par des méthodes de péalisatio ou de régularisatio. Ces méthodes présetet des icovéiets e ce qui cocere la stabilité et la précisio umérique, e particulier pour tout ce qui touche à la simulatio des phéomèes de frottemet. Pour pallier ces isuffisaces, ue méthode du Lagragie Augmeté a été développée par Curier et Alart [6,7]. Cette méthode cosiste à détermier les icoues (déplacemet et réactio) simultaémet e utilisat u algorithme de Newto gééralisé. Simo et Laurse [8] ot égalemet proposé ue méthode similaire. E collaboratio avec le Professeur Géry De Saxcé, ous avos proposé ue méthode bipotetielle fodée sur la théorie MSI (Matériau Stadard Implicite) [9], das laquelle ue ouvelle formulatio du lagragie augmeté est développée. Pour les problèmes de cotact uilatéral avec frottemet, la méthode bipotetielle 'utilise qu'u seul pricipe variatioel sur le déplacemet et ue seule iégalité. Aisi, le cotact uilatéral et le frottemet sot couplés. Cette ouvelle approche éted égalemet la otio de loi ormale aux comportemets dissipatifs o associés, e teat compte du frottemet. Cette approche variatioelle est plus simple que l'approche classique qui iclue deux pricipes variatioels et deux iégalités respectivemet pour le cotact uilatéral et le frottemet. Das la méthode bipotetielle, le problème de cotact avec frottemet est traité das u système réduit par u algorithme d Uzawa à ue seule phase de prédictio-correctio sur le côe de frottemet. L extesio de cette méthode das le cotexte de grades déformatios a été réalisé das []. Pour être capable de traiter des problèmes d itérêt idustriel qui fot iterveir le cotact, il est importat de disposer d u évetail d algorithmes afi de pouvoir moduler l utilisatio de chaque méthode selo leurs avatages et icovéiets das chaque cas cocret. U autre poit importat est d avoir ue orgaisatio iformatique à la fois simple, et e même temps suffisammet géérale et souple. U logiciel de calcul FER/Cotact a été développé e teat compte de ces différetes cosidératios. Beaucoup d'applicatios ot motré que cette méthode est fiable et efficace. Das les différets paragraphes de ce chapitre, ous allos tout d abord préseter ue sythèse de la méthode bipotetielle et les algorithmes umériques. Les lecteurs sot ivités à cosulter [, 4] pour plus de détails. Ue méthode de flexibilité ou de chagemet de statuts a aussi été développée pour traiter les problèmes de cotact avec frottemet etre deux corps déformables e D et D [8]. Puis, trois exemples umériques serot égalemet présetés pour illustrer l efficacité de la stratégie adoptée au cour de ce travail. 6. LOIS DE CONTACT ET DE FROTTEMENT Pour des raisos de simplicité et de clarté, ous cosidéros deux corps déformables Ω et Ω e cotact e certais poits de ses frotières. Soiet v la vitesse relative locale e u poit P de Ω par rapport à Ω, et r la réactio que subit Ω de la part de Ω. Supposos défii le vecteur uitaire ormal dirigé vers Ω. La projectio orthogoale du poit P sur la surface de Ω défiit u poit P, dit poit projeté de P, qui sera l origie du repère local (t, t, ) (Figure 6.). 57

59 Ω P x P t t Ω Figure 6. : Repère local du cotact Le vecteur v (resp. r) peut être décomposé e sa partie tagete vt (resp. rt) et sa partie ormale v (resp. r). Compte teu de la distace iitiale au cotact g et pour u pas de temps Δt, la distace PP exprimée das le repère local est alors défiie par : x g Δt v. Par coséquet, les coditios de cotact uilatéral pour chaque poit e cotact, peuvet être exprimées comme suit : Impéétrabilité x Quad la particule est e cotact avec l obstacle, elle est pas attirée par lui : x r Quad la particule est pas e cotact avec l obstacle, la réactio ormale est ulle : x > r Ces trois coditios peuvet être codesées sous ue forme complémetaire (coditios de Sigorii) : x ; r ; x r () ou sous la forme équivalete [] : ρ > r proj R (r - ρ x) () où R représete u esemble de valeurs positives. La figure 6. représete le graphe de cette relatio. r x Figure 6. : Graphe des coditios uilatérales O s aperçoit que ce est pas u graphe d applicatio, c est à dire que l o e peut écrire la relatio i sous la forme x f(r), i sous la forme r g(x). Cette particularité provoque ue grade difficulté à la résolutio umérique. E ce qui cocere les modèles de frottemet, il existe beaucoup de choix. Nous avos choisi le modèle de Coulomb, qui est le plus utilisé das les problèmes de cotact avec frottemet sec. Das le cas du cotact-frottemet isotrope, le modèle de Coulomb s écrit : rt < μr si vt v t () rt μr si v t v t où μ désige le coefficiet de frottemet et la orme euclidiee. Das le calcul umérique, o peut utiliser la forme équivalete : ρ t > rt proj C (rt - ρt ut) (4) où C est u esemble qui représete l itervalle [-μr, μr] das le cas bidimesioel, ou le disque de cetre et de rayo R μr das le cas tridimesioel. ut désige la composate tagetielle du déplacemet relatif (le glissemet). Le graphe de la relatio (4) est u graphe de multi-applicatio, illustré à la figure

60 rt μ r ut Figure 6. : Graphe de la loi de Coulomb 6. ALGORITHME LOCAL De maière usuelle, o défiit le côe de frottemet isotrope de Coulomb pour chaque poit e cotact : Kμ { (r, rt) ) R tels que rt μr } (5) A l'aide de la théorie du Matériau Stadard Implicite [9], les coditios de cotact uilatéral () et la lois de frottemet () peuvet être exprimées par ue seule iégalité variatioelle: trouver (rt, r ) Kμ tels que (rt*, r* ) Kμ ; (x - μ vt ) (r* - r) vt (rt* - rt) (6) où - vt λ rt rt λ > Afi d'éviter des potetiels o différetiables qui apparaisset das la représetatio du cotact, o peut utiliser la méthode du lagragie augmeté. Cette méthode, appliquée à l'iégalité variatioelle, coduit à ue équatio implicite : r proj Kμ (r ρ(x - μ vt ), rt ρt vt) (7) où ρ et ρt sot des coefficiets positifs qui dépedet de la matrice de flexibilité de cotact. Pour résoudre l'équatio implicite, o utilise l'algorithme d'uzawa qui coduit à ue procédure itérative comportat les deux étapes suivates : - prédictio τ τ i i t τ τ i i t ρ ρ i i t i i ( x - μ v t ) i i i i - correctio ( r, ) proj ( τ τ ) v i t r t K, t (9) μ L étape de la correctio peut être graphiquemet représetée par la Figure 6.4 pour les trois états possibles de cotact : cotact avec adhérece (τ Κμ), o cotact (τ Κμ ) et cotact avec glissemet (τ R - (Κμ Κμ )), où Κμ est le côe dual de Κμ. (8) Κ μ r rτ r τ adhérece glissemet o cotact r t τ Κ μ Figure 6.4 : Correctio sur le côe de Coulomb Des formules aalytiques de la correctio ot été obteues pour ces trois cas : 59

61 - o cotact r t i, r i (, ) si μ τ t i -τ i - cotact avec adhérece r t i, r i τ t i, τ i - cotact avec glissemet ri t,ri i τ t - i τ t - i μτ τ t μ i τ t i si τ t i μτ i () (), τ i τ t i - μτ i μ μ () Il est importat de oter que, e comparaiso avec la méthode de péalisatio, cette méthode permet d'obteir des résultats stables et très précis. Le critère de covergece pour le cotact est défii comme : Δr r ε () avec Δr l'icrémet de réactio de cotact pedat l'itératio de l'algorithme local de cotact, r la réactio de cotact et ε la tolérace de covergece. 6.4 ALGORITHME GLOBAL Das le cotexte du calcul par élémets fiis, après discrétisatio des solides e cotact, o résout gééralemet u système d équatios d équilibre au iveau global {R*(u)} -{Fit(u)} {Fext(u)} {Reac(u)} (4) où u : vecteur de degrés de liberté de la structure {R*(u)} {Fit(u)} {Fext(u)} {Reac(u)} : vecteur des résidus : vecteur des forces iteres : vecteur des forces extérieures : vecteur des forces de cotact et de frottemet das le repère global Pour résoudre ce système d équatios o liéaires, o utilise ue méthode itérative de type Newto-Raphso qui cosiste à liéariser les équatios précédetes par : [ K T ] i {} d i {} R i { Reac} i où [K T ] : matrice tagete de rigidité à l itératio i {R} -{Fit(u)} {Fext(u)} à l itératio i. (5) {u} i {u} i {d} i (6) Sigalos que cette équatio est fortemet o liéaire car elle tiet compte des multiples o-liéarités mécaiques telles que les o-liéarités matérielles dues à la loi de comportemet du solide et les o-liéarités géométriques qui se maifestet lorsqu apparaisset des grads déplacemets ou des grades déformatios. De plus, les lois relatives au cotact et au frottemet sot exprimées par des iégalités, le potetiel du cotact état même o différetiable. Par coséquet, des difficultés umériques se maifestet à plusieurs iveaux au cour de : la résolutio des équatio o liéaires d équilibre (iveau global); l itégratio des lois de comportemet (iveau local); la résolutio des iéquatios de cotact et de frottemet couplées avec les équatios d équilibre (iveaux local et global). Pour améliorer la stabilité de covergece, o a proposé ue approche origiale qui cosiste à séparer les o-liéarités au lieu de les cosidérer de faço simultaée. Comme {d} et {Reac} sot tous deux icous, l'équatio (5) e peut pas être résolue directemet. Le vecteur {Reac} est d'abord détermié par la méthode de prédictio-correctio das u système réduit qui cocere uiquemet les oeuds de cotact. Le vecteur {d} peut être détermié esuite das toute la structure e cosidérat les réactios de cotact et de frottemet comme des forces extérieures. L'algorithme de résolutio pas-à-pas de Newto- Raphso a été programmé e lagage C et illustré par le tableaux 6.. 6

62 for (it ipas; ipas<max_pas; ipas) { } if (cotact) cotact->cotact_detectio(); for (it iter; iter<max_iter; iter) { } maillage->calculer_matrice_tagete(k); maillage->calculer_vecteur_résidus(r); maillage->appliquer_coditios_aux_limites(); K.résoudre(d,R,); if (cotact) { } cotact->calculer_forces_cotact(k,d,reac); RReac; K.résoudre(d,R,); maillage->actualisatio(d); if (algorithme->test_covergece(d,r)) break; // pas de chargemet // itératios d'équilibre // [K] {d} - {R} // [K] {d} - {R} {Reac} // Eq.(6) Tableau 6. : Algorithme de Newto-Raphso programmé e C La foctio "cotact_detectio" traite les aspects puremet géométrique : détermiatio des oeuds cadidats au cotact, calcul des écarts etre les oeuds de cotact, calcul du repère local d'u oeud de cotact. Du poit de vue géométrique, le système de cotact est orgaisé au travers des zoes de cotact (Figure 6.5). Chaque zoe est composée d'ue surface appelée cotacteur qui est susceptible de veir e cotact avec ue autre surface appelée cible. Lorsqu'u oeud du cotacteur viet e cotact avec la cible, u élémet fictif de cotact est créé (Figure 6.6). Cet élémet e peut être cosidéré tel qu'u élémet fii et 'iterviet doc pas das le calcul de la matrice de rigidité tagete; il est d'ailleurs supprimé lorsque le oeud quitte le cotact. Le cotact est doc traité das u système réduit à dimesios variables. L'itérêt de cette procédure réside das le fait que les temps de calcul sot largemet dimiués. U autre poit importat est que le traitemet du cotact cosiste simplemet à itroduire u vecteur de forces de cotact au secod membre de l'équatio d'équilibre sas apporter de modificatios à la matrice globale de rigidité tagete et sas ajouter de ouveaux degrés de libertés (ce qui est le cas de la méthode de péalisatio ou de la méthode des multiplicateurs de Lagrage). Zoe Zoe D D Figure 6.5 : Zoes de cotact Figure 6.6 : Elémets de cotact 6.5 EXEMPLES NUMERIQUES Beaucoup d'applicatios, d'école ou idustrielles, ot été réalisées par les méthodes développées au cours de ce travail de recherche. Le prototype de système de modélisatio du cotact avec frottemet est capable de traiter des problèmes très gééraux, par exemple: la modélisatio du cotact etre deux où plusieurs corps rigides et déformables de géométrie arbitraire. La loi costitutive des matériaux déformés peut être liéaire ou o liéaire avec de grades déformatios et de grads déplacemets (la mise e forme des matériaux et les problèmes de joits), le traitemet du cotact etre différetes parties de la surface extérieure d u solide (auto-cotact), le traitemet du cotact à l itérieur d u solide (la fermeture de fissures das u solide edommagé). Das ce chapitre, o présete seulemet trois exemples simples mais sigificatifs, résolus par le code FER/Cotact. 6

63 D autres exemples umériques qui fot iterveir le cotact peuvet être trouvés les référeces [8,,,4]. Exemple : Cotact etre u bloc élastique D et ue plaque rigide Cet exemple est souvet étudié pour valider u code de calcul []. Il s'agit d'u bloc compressé et poussé sur ue plaque rigide avec u coefficiet de frottemet doé, comme le motre la figure 6.7(a). Les résultats obteus sot comparés avec ceux des codes gééraux des élémets fiis ANSYS et ABAQUS. Cet exemple est très itéressat puisque ous pouvos avoir e même temps trois surfaces de cotact de ature différete : décollemet sur AB glissemet sur BC adhérece sur CD Pour cause de symétrie, seule la moitié du bloc est modélisée. Les costates utilisées das cet exemple sot : Module d'youg : E dan/mm Coefficiet de Poisso : ν. Tolérace de covergece pour le cotact : ε - Coditios aux limites : u sur ED, dû à la symétrie. Chargemet : f 5 dan/mm sur GE, F dan/mm sur GA. Afi d'étudier l'ifluece du frottemet sur le cotact, l'exemple a été modélisé de la même faço e utilisat divers coefficiets de frottemet : µ,.,...,.. Le demi-bloc est modélisé par 56 oeuds et 5 quadragles liéaires e déformatio plae avec 9 poits d'itégratio par élémet. La figure 6.7 (b) motre le maillage déformé (avec u facteur d'amplificatio de et µ.). f G E h F h A B C D (a) Figure 6.7 : Cotact etre u bloc élastique et ue surface rigide (h 4mm) La figure 6.8 motre la répartitio des cotraites de cisaillemet. Les résultats obteus sot tout à fait e accord avec d'autres résolutios déjà effectuées []. (b) Figure 6.8 : Cotraites de cisaillemet σ xy Comme le motre le tableau 6., le temps CPU augmete e gééral avec le coefficiet de frottemet. Cette aalyse a été effectuée sur ue statio SUN-UltraSparc. Le tableau 6. motre les résultats obteus par le code FER/Cotact où U A et V A représetet respectivemet le déplacemet horizotal et vertical au poit A.Les réactios de cotact sur AD calculées par différets codes ANASYS, ABAQUS et FER/Cotact sot comparées à la figure 6.9. Les réactios de cotact sur AD calculées par le code FER/Cotact se trouvet e figure 6. pour les différets coefficiets de frottemet. Il faut oter que la solutio de ce problème e coverge plus pour µ >.4. 6

64 Code μ. μ. μ. μ. μ.4 μ.5 μ.6 μ.8 μ. FER/Cotact ANSYS ANSYS ANSYS X X X X X ABAQUS Tableau 6. : Comparaiso du temps CPU (sec.). Il faut oter que le code ANSYS utilise la méthode de péalisatio pour la résolutio du cotact. La covergece et la précisio de solutio dépedet fortemet du facteur de péalité K. Das cette étude, o a choisi trois valeurs de K (voir Tableau 6.): ANSYS : K 5 ; ANSYS : K 6 ; ANSYS : K 7. X : pas de covergece. μ AB(mm) BC(mm) CD(mm) U A (mm) V A (mm) Tableau 6. : Zoes de cotact (résultats du code FER/Cotact) Force ormale (dan) ANSYS (Ke6) ANSYS (Ke5) ABAQUS ACEF X 4 Force tagetielle (dan) ANSYS (Ke6) ANSYS (Ke5) ABAQUS ACEF X 4 Figure 6.9 : Efforts de cotact ormaux et tagetiels sur AD (μ.7) 6

65 Force ormale (dan) μ, μ, μ,5 μ,7 μ,9 X 4 Force tagetielle (dan) μ, μ, μ,5 μ,7 μ,9 X 4 Figure 6. : Efforts de cotact ormaux et tagetiels sur AD Exemple : Cotact etre u bloc élastique D et ue surface rigide Les équatios de base du problème de cotact D sot pratiquemet les mêmes que celles du problème de cotact D. Toutefois e D la plus grade difficulté est due à la modélisatio du frottemet puisqu il faut chercher la directio de glissemet. Le deuxième exemple traite du cotact etre u bloc élastique D ABCDEFGH et ue surface rigide Γ (Figure 6.). D C A B Γ E H F G x θ z a b y Figure 6. : Problème de cotact D sous déplacemet cotrôlé La surface supérieure ABCD décrit u mouvemet rigide doé par (a, b). La surface iférieure EFGH viet e cotact avec la surface rigide de vecteur ormal (,,). Chaque côté du bloc a ue largeur de mm. Les caractéristiques utilisées pour cet exemple sot : Module d'youg : E N/mm Coefficiet de Poisso : ν. Coefficiet de frottemet : µ. Tolérace de covergece pour le cotact : ε -8 Coditios aux limites : a. mm, b.4 mm sur ABCD, θ 6. Le bloc est divisé e 8 élémets D à 8 oeuds comme le motre la figure 6.. Chaque élémet possède 7 poits d'itégratio. 5 pas de chargemet sot utilisés pour ce problème; u icrémet de déplacemet de, mm est doc appliqué à chaque pas sur ABCD. La figure 6. illustre l évolutio des réactios ormales aux oeuds F et H e foctio du pas de chargemet et les traces de oeuds G et H. O costate qu après 5 pas de chargemet, le glissemet atteit u régime statioaire. La réactio ormale est de 6.6 N au oeud F, et de.6 N au oeud H. 64

66 Réactio ormale (N) Noeud F Noeud H 4 5 Pas de chargemet,8,7,6,5,4,,,, -, v (mm) Noeud G Noeud H u (mm) -,,,, Exemple : Cotact etre deux corps déformables Figure 6. : Réactios et traces de oeuds (code FER/Cotact) Cet exemple motre les possibilités de traiter les problèmes de cotact avec frottemet etre deux solides déformables. Plusieurs zoes de cotact apparaisset das ce cas. La figure 6. motre le maillage et les coditios aux limites. La déformé et la répartitio des cotraites de Vo Mises sot illustrées à la figure 6.4. Déplacemet imposé Figure 6. : Maillage et coditios limites Figure 6.4 : Cotraites de Vo Mises 6.6 CONCLUSION Nous avos proposé ue ouvelle méthode et ue orgaisatio iformatique d u système gééral de modélisatio du cotact, qui permet de traiter efficacemet des problèmes très variés. Les méthodes s itègret facilemet das le schéma classique de la résolutio des problèmes o liéaires, et tieet compte des grades déformatios et grads déplacemet des solides. Les tests effectués ot motré qu avec beaucoup mois de temps de calcul, le code FER/Cotact, que ous avos développé, obtiet des résultats plus précis que les codes idustriels ANSYS et ABAQUS. Ceci peut être expliqué par le fait que FER/Cotact utilise ue méthode origiale qui calcule précisémet les réactios de cotact et de frottemet sas péaliser i régulariser les lois de cotact et de frottemet. 65

67 RÉFÉRENCES [] Cha S.H. ad Tuba I.S., A fiite elemet method for cotact problems of solid bodies, It. J. Mech. Sci.,, 65-69, 97. [] Tsuta T. ad Yamaji S., Fiite elemet aalysis of cotact problem, Theory ad practice i fiite elemet structural aalysis procedigs of the 97 Tokyo semiar o elemet aalysis, 78-94, 97. [] Che C.C. ad Kobayashi S., Rigid-plastic fiite elemet aalysis of rig compressio, AMD, 8, 978. [4] Kikuchi N. ad Ode J. T., Cotact problems i elastostatics. Fiite Elemets, vol.5 (Edited by Ode J. T. ad Carey G. F.). Pretice -Hall, Eglewood Cliffs, NJ, 984. [5] ANSYS User s Maual, Revisio 5., Volume IV, Theory, SAS, Ic., (99). [6] Fracavilla A. ad Ziekiewicz O.C., A ote o umerical computatio of elastic cotact problems, It. J. Num. Meth. Eg. 9, 9-94, 975. [7] Shyu S.C., Chag T.Y. ad Saleeb A.F., Frictio cotact aalysis usig a mixed fiite elemet method, Computers & Structures,, -4, 989. [8] Feg Z.-Q. ad Touzot G., Aalysis of two ad three dimesioal cotact problems with frictio by a mixed fiite elemet method, Revue Européee des Elémets Fiis,, N 4, (99) [9] Nguye D. H. ad De Saxcé G., Frictioless cotact of elastic bodies by fiite elemet méthode ad mathematical programmig techique, Computers & Structures., 55-67, 98. [] De Saxcé G. ad Nguye D.H., Dual aalysis of frictioless problems by displacemet ad equilibrium fiite elemets, Eg. Struct., 6, 6-, 984. [] Klarbrig A. ad Björkma G., A mathematical programmig approach to cotact problems with frictio ad varyig cotact surface, Computers & Structures,, 85-98, 988. [] Zhog W.X. ad Su S.M., A parametric quadratic programmig approach to elastic cotact problems with frictio, Computers & Structures,, 7-4, 989. [] Feg Z.Q., Résolutio du problème de cotact uilatéral par ue méthode de programmatio mathématique: LCP - Liear Complemetarity Problem, Rapport itere, MNM/UTC, 99. [4] Simo J.C., Wriggers P. ad Taylor R.L., A perturbed lagragia formulatio for the fiite elemet solutio of cotact problems, Comp. Meth. Appl. Mech. Eg., 5, 6-8, 985. [5] Wriggers P. ad Simo J.C., A ote o taget stiffess for fully oliear cotact problems, Comm. i Appl. Num. Meth.,, 99-, 985. [6] Curier A. ad Alart P., A geeralized Newto method of cotact problems with frictio, J. Theo. Appl. Mech., 7, 45-6, (988) [7] Alart P. ad Curier A., A mixed formulatio for frictioal cotact problems proe to Newto like solutio methods, Comp. Meth. Appl. Mech. Egg. 9, 5-75 (99). [8] Simo J.C. ad Laurse T.A., A augmeted Lagragia treatmet of cotact problems ivolvig frictio, Comput. Struct., 4, 97-6 (99). [9] De Saxcé G. ad Feg Z.Q., "New iequality ad fuctioal for cotact with frictio: The implicit stadard material approach", Mech. Struct. Mach., 9, -5 (99). [] Feg Z.Q., "D or D frictioal cotact algorithms ad applicatios i a large deformatio cotext", Comm. Numer. Methods Eg.,, (995). [] Jea M., "Simulatio umérique des problèmes de cotact avec frottemet", Matériaux et techiques, Jourées de la Société Tribologique Fraçaise, 9- Avr. (99). [] Raous M., Chabrad P. ad Lebo F., "Numerical methods for frictioal cotact problems ad applicatios", J. Theor. Appl. Mech., 7, -8 (988). [] De Saxcé G. ad Feg Z.Q., The bipotetial method : a costructive approach to desig the complete cotact law with frictio ad improved umerical algorithms, It. J. Mathematical ad Computer Modelig, special issue, «Recet Advaces i Cotact Mechaics» (998), Vol.8, No.4 8, 5-45 (998) [4] Feg Z.Q., Some test examples of D ad D cotact problems ivolvig Coulomb frictio ad large slip, It. J. Mathematical ad Computer Modelig, special issue, «Recet Advaces i Cotact Mechaics» (998), Vol.8, No.4 8, (998) 66

68 Chapitre 7 : MODELISATION DES GRANDES DEFORMATIONS HYPERELASTIQUES 7. Gééralité Les caoutchoucs et les polymères, qui ot u comportemet hyperélastique, travaillet gééralemet e grades déformatios. Notos x et X les vecteurs positio d ue particule P das les cofiguratios courate et iitiale d u corps déformable (Figure 7.). x C X P u x P C t x x Figure 7.. Cofiguratios Avec ue descriptio Lagragiee, le mouvemet de ce corps est défii par ue foctio affie x Φ(X). E itroduisat le vecteur déplacemet u, o a : x Φ(X) X u () Afi de décrire les trasformatios géométriques associées à ces grades déformatios, o itroduit le teseur gradiet des déformatios : où I est le teseur uité. F ij ( X) ( X) Φ i x i u i δij ou F I u () X X X j j E raiso des grads déplacemets et des grades rotatios, le teseur des déformatios de Gree-Lagrage E est adopté pour décrire la relatio o liéaire etre les déformatios et les déplacemets : j E (C-I)/ () où CF T F est le teseur des déformatios de Cauchy-Gree à droite. Das le cas d ue loi hyperélastique, il existe ue desité d éergie de déformatios W qui déped de l u de ces teseur de déformatios et dot la dérivée doe le secod teseur des cotraites de Piola-Kirchoff S : S ij W W (4) E C ij ij Das le cas du modèle de Blatz-Ko, qui permet de représeter le comportemet de mousse élastomère ou de caoutchouc e polyuréthae, cette desité d éergie est doée par : G I W I 5 I (5) où G est le module de cisaillemet et I i (i,,) sot les ivariats du teseur des déformatios de Cauchy-Gree à droite C : I C ii ; I (I - C ij C ij )/ ; I det(c) (6) 67

69 E dérivat la desité d éergie () par rapport à ces trois ivariats, o obtiet: où BFF T est le teseur des déformatios de Cauchy-Gree à gauche associé à F. S F I T G I B F (7) O peut oter les relatios etre le teseur des cotraites de Cauchy σ, le premier teseur des cotraites de Piola-Kirchoff Π et le secod teseur des cotraites de Piola-Kirchoff S: T ( F ) Π F F S F T det σ (8) La loi de comportemet (4) peut doc s exprimer e foctio du teseur des cotraites de Cauchy σ : ( I ) ou avec le premier teseur des cotraites de Piola-Kirchoff : - σ G I B (9) [( det( F) ) I B ] F T Π G () Efi, pour pouvoir implémeter ultérieuremet la loi de comportemet (4) das le cadre d ue formulatio élémets fiis e Lagragie total, o pose det ( EI ) J et o exprime S e foctio de E : { } ( E) G J ( E I) ( E I) S () 7. Cas d étude : Cube e compressio das u cotaier rigide O cosidère u cube hyperélastique de hauteur H.5 m et soumis à u effort de compressio p das u cotaier rigide idéformable (Figure 7.). O suppose que le cotact etre les parois latérales du cube et le cotaier est sas frottemet et que la base du cube est parfaitemet collée sur le fod du cotaier. Cotaier rigide idéformable p p p p zh z y Cube hyperélastique z x compressio verticale et costate -p e z (p>) Figure 7.. Cube e compressio das u cotaier rigide Il découle de la forme du chargemet et de la ature du cotaier que le déplacemet u(x,y,z) satisfait : u x u y ; u z (z) () L équatio d équilibre e variable de Lagrage div Π coduit à l'équatio différetielle : u z z z L'itégratio de () et la prise e compte des coditios aux limites doet la composate u z des déplacemets. O 68 ()

70 déduit esuite de l'expressio du premier teseur des cotraites de Piola-Kirchoff div Π le teseur des cotraites de Cauchy σ. Tout calcul fait, o obtiet : u z ( z) les autres composates état ulles. p μ z p ; σ xx σ yy μ ; σ zz p μ Afi de corréler les formules (4), ous avos effectué des comparaisos avec le code aux élémets fiis FER (Tableau 7.). Les doées umériques pour le calcul sot : H.5 m ; p 5 MPa ; μ 7, Pa. L'écart relatif obteu état très faible, la solutio aalytique est validée. (4) z Aalytique FER Ecart (%) H u z m u z m σ xx Pa σ xx Pa.E-7 σ zz -5 Pa σ zz -5 Pa Tableau 7.. Comparaiso calcul aalytique-calcul umérique La relatio etre les déplacemets et les efforts peut être obteue grâce à la miimisatio de l'éergie potetielle totale, e liaiso avec l'hypothèse de champ de déplacemet liéaire. E effet, u tel champ est défii par : D'après (5), la desité d'éergie qui lui est associée est doc : u u z ( z) z (5) H u u W μ (6) H H O e déduit l'éergie potetielle totale : u I u μ ( ) H u H pu H (7) L'équatio cherchée, associée à la miimisatio de cette éergie, est doc : La courbe d équatio f K(u) est représetée sur la figure 7.. K u μ (8) H ( u) p,e -,E6 p (Pa) -,E6 -,E6-4,E6 FER Aalytical -5,E6 -,5 -, -,5 -, -,5 -, -,5 U (m) Figure 7.. Graphe de fk(u) et divergece de Newto-Raphso 69

71 7. Travaux Pratiques sur ANSYS Modélisatio e élastoplasticité Nous cosidéros ue éprouvette e essai de tractio simple. L objectif est de calculer les cotraites, les déformatios totales, les déformatios plastiques et de détermier la courbe "déplacemet - force". v mm La barre cylidrique est costituée d u matériau élastoplastique avec les propriétés suivates: module de Youg E MPa coefficiet de Poisso ν.9 limite élastique 4 MPa écrouissage isotrope défii e huit poits : mm 6.5 p σ(mpa) Modélisatio du cotact etre deux cylidres (Cotact Hertz) L objectif est de calculer les cotraites et les réactios du cotact etre deux cylidres élastiques (voir figure). Zoe à modéliser Propriétés géométriques Force appliquée Résultats de référece : d.49 mm ; b. mm. 7

72 Modélisatio e grades déformatios hyperélastiques Nous cosidéros u cube ( mm) e essai de tractio simple. Le cube est costitué d u matériau hyperélastique. L objectif de cette étude est de détermier l évolutio de la force de tractio e foctio du déplacemet imposé. z y x u x -7 mm (imposé) u x 7 mm (imposé) Modèle Ogde avec les propriétés suivates (N): μ.66; μ.; μ -. α.; α 5; α - (*) β ; β ; β Solutio aalytique : F N αi αi/ A μ λ λ i i x x x où A est la sectio iitiale et λ x l allogemet suivat x. Modèle Blatz-Ko Le module de cisaillemet du matériau est calculé par où α i et μ i (i, ) sot doés par (*). Modèle Get avec μ ; J m 4; d -. 7

73 Modélisatio du cotact e grades déformatios hyperélastiques ou élastoplastiques Nous cosidéros u cylidre de rayo R mm, comprimé par deux plaques rigides. Le cylidre est costitué d u matériau hyperélastique ou élasto-plastique. L objectif de cette étude est de calculer les cotraites das le cylidre et de détermier l évolutio de la force d écrasemet e foctio du déplacemet imposé U mm. U R matériau hyperélastique : modèle Mooey-Rivli E.8 MPa ν C.9 MPa C.77 MPa ( υ) d C C matériau élasto-plastique module de Youg E MPa coefficiet de Poisso ν.9 limite élastique 4 MPa écrouissage isotrope défii e huit poits : p σ(mpa)

74 Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 Solutio of large deformatio impact problems with frictio betwee Blatz Ko hyperelastic bodies Zhi-Qiag Feg *, Beoît Magai, Jea-Michel Cros Laboratoire de Mécaique et d Eergétique d Evry, Uiversité d Evry-Val d Essoe, 4 rue du Pelvoux, F9 Evry Cedex, Frace Received 6 December 4; received i revised form 9 Jue 5; accepted 9 Jue 5 Abstract Feg et al. [Z.Q. Feg, F. Peyraut, N. Labed, Solutio of large deformatio cotact problems with frictio betwee Blatz Ko hyperelastic bodies, It. J. Eg. Sci. 4 () 5] have proposed a study of cotact problems betwee Blatz Ko hyperelastic bodies i static cases usig the bi-potetial method. The extesio of this method for dyamic aalysis of impact problems is realized i the preset work. The total Lagragia formulatio is adopted to describe large strais ad large displacemets o-liear behavior. A first order algorithm is applied for the umerical itegratio of the time-discretized equatio of motio. Numerical examples are carried out i two cases: rigid deformable ad deformable deformable rigid impacts i D. Numerical results show that the proposed approach is robust ad efficiet ad the physical eergy dissipatio pheomea are apparetly illustrated. Ó 5 Elsevier Ltd. All rights reserved. Keywords: Impact ad frictio; Hyperelastic large strais; Eergy dissipatio. Itroductio Problems ivolvig cotact ad frictio are amog the most difficult oes i mechaics ad at the same time of crucial practical importace i may egieerig braches. A large umber of algorithms for the modelig of cotact problems by the fiite elemet method have bee preseted i the literature. See for example the moographs by Kikuchi ad Ode [], Zhog [] ad Wriggers [4] ad the refereces therei. De Saxcé ad Feg [5] have proposed a bi-potetial method, i which a augmeted Lagragia formulatio was developed. Recetly, Feg et al. [] have successfully applied this method for the modelig of static cotact problems betwee Blatz Ko hyperelastic bodies. For dyamic implicit aalysis i structural mechaics, the most commoly used time itegratio algorithm is the secod order algorithm such as Newmark, Wilso, HHT [6]. Hughes et al. [7] have preseted a modified Newmark scheme for a class of cotact impact problems. The modificatio is based o some cosideratio of * Correspodig author. Tel.: ; fax: address: [email protected] (Z.-Q. Feg). -75/$ - see frot matter Ó 5 Elsevier Ltd. All rights reserved. doi:.6/j.ijegsci.5.6.6

75 4 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 wave propagatio results. Wriggers et al. [8] have developed a radial retur mappig scheme to deal with impact cotact problems. Armero ad Petocz [9,] ad Laurse et al. [ ] have cosidered dyamic impact uder the auspices of a coservative system ad have proposed the meas to address the dyamic cotact coditios so that they preserve the global coservatio properties. The itegratio scheme is based o the secod order algorithm. Some first order algorithms have also bee proposed by Ziekiewicz et al. [4] ad Jea [5] for time steppig i structural dyamics. The aim of the preset paper is to apply the bi-potetial method for cotact modelig i dyamic cases ivolvig large displacemets ad large hyperelastic strais usig the first order algorithm for itegratio of the equatio of motio. The algorithm developed is implemeted ito the fiite elemet code FER/impact, usig C with object orieted programmig techiques. Two umerical examples are performed i this study to show the validity of the model developed. The first example cocers the impact of a hyperelastic cylider ito a fuel. I order to show the physical eergy dissipatio by frictioal effects, frictioless ad frictioal cotact are cosidered for this example ad the lockig pheomeo is observed. The secod example simulates the impact with jumpig betwee two hyperelastic bodies ad a rigid foudatio.. Problem settig.. Cotact kiematics I the followig, basic defiitios ad otatios used are described. Two deformable bodies B a (Fig. ), a,, are cosidered. Each of them occupies the ope, simply coected, bouded domai X a R, whose geeric poit is deoted X a. Furthermore, the solids are elastic ad udergo large displacemets. The boudary C a of each body is assumed to be sufficietly smooth everywhere such that a outward uit ormal vector, deoted by a, ca be defied at ay poit M o C a. At each time t I, where I [, T] deotes the time iterval correspodig to the loadig process, the boudary C a of the body B a ca, i geeral, be split ito three parts: C a u with prescribed displacemets ua, C a t with prescribed boudary loads t a, ad the potetial cotact surfaces C a c where the two bodies B ad B may possibly come ito cotact at some time t (see Fig. ): C a ¼ C a u [ Ca t [ Ca c ðþ The successive deformed cofiguratios of B a are described at each time t by the displacemet fields u a defied o X a (i.e. the closure of X a ). O the cotact surface, a uique ormal directed towards B ( ) is defied ad the tagetial plae, orthogoal to i R, is deoted by T. To costruct a orthoormal local basis, two uit vectors t x ad t y are defied withi the plae T. For describig the frictioal cotact iteractios that may occur o C c, we itroduce the relative velocity with respect to B _u ¼ _u _u ðþ Fig.. Cotact kiematics.

76 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 5 where _u ad _u are the istataeous velocities of B ad B, respectively. Let r be the cotact force distributio exerted o B at M from B. Accordig to the actio reactio priciple, B is subjected to the stress vector r. I the local coordiate system defied by the tagetial plae T ad the ormal, ay elemet _u ad r may be uiquely decomposed as _u ¼ _u t þ _u ; _u t T; _u R ðþ r ¼ r t þ r ; r t T; r R ð4þ.. Cotact law ad frictio rule The uilateral cotact law is characterized by a geometric coditio of o-peetratio, a static coditio of o-adhesio ad a mechaical complemetary coditio. These three coditios are kow as the Sigorii coditios. The o-peetratio coditio costraits the displacemet fields u a ad is give by gðxþ ¼ðX X Þ P ð5þ where X a ðtþ ¼X a ðt ¼ Þþu a The positio vector X is foud as the closest-poit projectio of the poit X C c o the surface C c. Deotig by h the iitial gap obtaied at the begiig of each time step. ð6þ h ¼ðX X Þ P ð7þ the impeetrability Sigorii coditios are give by u þ h P ; r P ; ðu þ hþr ¼ ð8þ These coditios have to be satisfied at each time-istat t I. Assume ow that the bodies are iitially i cotact o a certai portio of C c. O this part of C c, the Sigorii coditios tur ito u P ; r P ; u r ¼ ð9þ I geeral, at ay time t I, the potetial cotact surfaces C a c ca be split ito two disjoit parts: C c where the bodies are already i cotact ad C a c where the bodies are ot i cotact: C a c ¼ þ C c [ C a c ðþ I cotrast to C a c, C c ad C a c chage i time t ad ca be empty at some t I. We must stress that with the formulatio (9) oly a loss of cotact is allowed ad the extesio of the cotact area caot be modelled with these relatios. I the case of dyamic aalysis such as impact problems, the Sigorii coditios ca be formulated, o C c, i terms of relative velocity _u P ; r P ; _u r ¼ o þ C c ðþ whe _u >, the bodies are separatig while they remai i cotact for _u ¼. The previous formulatio of the Sigorii coditios () ca be combied with the slidig rule to derive the complete frictioal cotact law applicable o the cotactig part of C c. This complete law specifies possible velocities of bodies that satisfy impeetrability, o-adhesio ad the slidig rule. Obviously, for a strictly positive gap (u > ), the ormal relative velocity is arbitrary (_u R) ad the ormal reactio force is equal to zero (r ). Motios of bodies that are ot i cotact are arbitrary util cotact is made. This choice is motivated by the fact that the emphasis is put o the defiitio of admissible evolutios for cotactig bodies where the time itegratio has to be performed. I the rest of the paper, a mius sig will always precede the relative tagetial velocity _u t to emphasize its opposite directio to the frictio force. Classically, a rate idepedet dry frictio law is characterized by a kiematic slip rule. I this work, the classical Coulomb frictio rule is used. The set of admissible forces, deoted by K l, is defied by

77 6 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 K l ¼fr R such that kr t k lr 6 g ðþ K l is the so-called Coulomb s coe ad is covex... Complete frictioal cotact law We cosider ow the previous frictio law embeddig a impeetrability coditio for completeess. O the cotact surface C c, the slidig rule ca be combied with the rate form of the Sigorii coditios to obtai the frictioal cotact law that specifies possible scearios o the cotact area (stick, slip ad separatio). The multivalued ature of this strogly o-liear law makes problems ivolvig frictioal cotact amog the most difficult oes i solid mechaics. Two overlapped if...the...else statemets ca be used to write it aalytically: if r ¼ the _u >! separatig elseif r it K l the _u ¼ ad _u t ¼! stickig else ðr bd K l ad r > Þ o _u ¼ ad 9 k _ > such that _u t ¼ k _ rt kr t k! slidig edif where it K l ad bd K l deote the iterior ad the boudary of K l, respectively. The multivalued character of the law lies i the first ad the secod part of the statemet. If r is ull the _u is arbitrary but its ormal compoet _u should be positive. I other words, oe sigle elemet of R (r ) is associated with a ifiite umber of velocity vectors _u R. The same argumets ca be developed for the secod part of the statemet. The iverse law, i.e. the relatioship rð _uþ, ca be writte as if _u > the r ¼! separatig elseif _u ¼ the r K l! stickig else ð_u T fgþ o _u _u ¼ ad r t ¼ lr t k _u tk! slidig edif The complete form of the frictioal cotact law ivolves three possible states, which are separatig, cotact with stickig, ad cotact with slidig. Oly the last state produces eergy dissipatio.. The bi-potetial method De Saxcé ad Feg [5] have show that the cotact law () is equivalet to the followig differetial iclusio: ðþ ð4þ ð _u t ð_u þ lk _u t kþþ o [ K l r ð5þ where S K l r deotes the so-called idicator fuctio of the closed covex set K l : [ ðrþ ¼ if r K l K l þ otherwise ð6þ The followig cotact bi-potetial is obtaied: b c ð _u; rþ ¼ [ R ð _u Þþ [ K l ðrþþlr k _u t k ð7þ where R ¼Š ; Š is the set of the egative ad ull real umbers.

78 I order to avoid o-differetiable potetials that occur i o-liear mechaics, such as i cotact problems, it is coveiet to use the augmeted Lagragia method [5]. For the cotact bi-potetial b c, give by (7), provided that _u P ad r K l, we have: 8r K l ;.lðr r Þk _u t kþðr ðr._uþþ ðr rþ P ð8þ where. is a solutio parameter which is ot user-defied. From umerical experimets,. ca be chose as the maximum value of the diagoal terms of the local cotact stiffess matrix. Takig accout of the decompositio () ad (4), the followig iequality has to be satisfied: r K l ; ðr sþðr rþ P ð9þ where the modified augmeted surface tractio s is defied by s ¼ r þ.ð _u t ð_u þ lk _u t kþþ ðþ The iequality (9) meas that r is the projectio of s oto the closed covex Coulomb s coe: r ¼ projðs; K l Þ ðþ For the umerical solutio of the implicit Eq. (), Uzawa s algorithm ca be used, which leads to a iterative process ivolvig oe predictor corrector step: Predictor s iþ ¼ r i þ. i ð _u i t ð_ui þ lk _ui t kþþ ðþ Corrector r iþ ¼ projðs iþ ; K l Þ It is worth otig that, i this algorithm, the uilateral cotact ad the frictio are coupled via the bi-potetial. Aother gist of the bi-potetial method is that the corrector ca be aalytically foud with respect to the three possible cotact statuses: s K l (cotact with stickig), s K l (o cotact) ad s R K l [ K l (cotact with slidig). K l is the polar coe of K l. This corrector step is explicitly give as follows: if elseif else lkst iþ k < s iþ the r iþ ¼! separatig k < ls iþ ks iþ t Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 7 the r iþ ¼ s iþ! stickig r iþ ¼ s iþ ðksiþ t k ls iþ Þ s iþ ðþl t þ l! slidig Þ k ks iþ t It is importat to emphasize the fact that this explicit formula is valid for both D ad D cotact problems with Coulomb s frictio ad allows us to obtai very stable ad accurate results. 4. Hyperelastic bodies udergoig large deformatios Rubber or other polymer materials are said to be hyperelastic. Usually, these kid of materials udergo large deformatios. I order to describe the geometrical trasformatio problems, the deformatio gradiet tesor is itroduced by F ij ðxþ ¼d ij þ ou i or F ¼ I þru ð4þ ox j where I is the uity tesor, x the positio vector ad u the displacemet vector. Because of large displacemets ad rotatios, Gree Lagragia strai is adopted for the o-liear relatioships betwee strais ad displacemets. We ote C the stretch tesor or the right Cauchy Gree deformatio tesor (C F T F). The Gree Lagragia strai tesor E is defied by E ¼ðC IÞ ð5þ I the case of hyperelastic law, there exists a elastic potetial fuctio W (or strai eergy desity fuctio) which is a scale fuctio of oe of the strai tesors, whose derivative with respect to a strai compoet determies the correspodig stress compoet. This ca be expressed by S ¼ ow oe ¼ ow ð6þ oc ðþ

79 8 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 where S is the secod Piola Kirchoff stress tesor. I the particular case of isotropic hyperelasticity [6], (6) ca be writte by ow S ¼ I C þ ow ow þ I I ow C ð7þ oi oi oi oi where I i (i,,) deote the ivariats of the right Cauchy Gree deformatio tesor C: I ¼ C ii ; I ¼ðI C ijc ij Þ; I ¼ detðcþ ð8þ The Blatz Ko costitutive law is used to model compressible foam-type polyurethae rubbers [7]. The strai eergy desity fuctio is give as follows: W ¼ G I pffiffiffiffi þ I 5 ð9þ I where G is the shear modulus. By derivig the eergy desity (9) with respect to the three ivariats, we obtai ow ow ¼ ; ¼ G ow ; ¼ G oi oi I oi I þ pffiffiffiffi ðþ I I Reportig the result i (7) gives pffiffiffiffi o S ¼ GF I I B F T ðþ p where B FF T is the left Cauchy Gree deformatio tesor associated to F. Notig J ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi detðe þ IÞ, the tesor S ca also be writte i fuctio of E: SðEÞ ¼GfJðE þ IÞ ðe þ IÞ g ðþ The Cauchy stress (or true stress) tesor r is calculated from the secod Piola Kirchoff stress tesor S as follows: r ¼ detðfþ FSFT ðþ 5. Fiite elemet formulatio of o-liear structures 5.. Total Lagragia formulatio I the case of dyamic multibody cotact problems ivolvig large deformatios of hyperelastic solids, the o-liear relatio betwee strais ad displacemets caot be igored. The total Lagragia formulatio was selected i this work to describe o-liear behavior. I the cotext of the fiite elemet method ad with (4) ad (5), the Gree Lagragia strai ca be formally writte with liear ad o-liear terms i fuctio of odal displacemets: E ¼ B L þ B NLðuÞ u ð4þ where B L is the matrix which relates the liear strai term to the odal displacemets, ad B NL (u), the matrix which relates the o-liear strai term to the odal displacemets. From Eq. (4), the icremetal form of the strai displacemet relatioship is de ¼ðB L þ B NL ðuþþdu ð5þ Usig the priciple of virtual displacemet, the virtual work du is give as Z du ¼ M udu þ A_udu þ SdEdV F ext du Rdu ¼ ð6þ V

80 where V is the volume of the iitial cofiguratio, F ext the vector of exteral loads, R the cotact reactio vector, M the mass matrix, A the dampig matrix, _u the velocity vector ad u the acceleratio vector. From Eqs. (6) (), we obtai ds ¼ DdE ¼ DðB L þ B NL ðuþþdu ð7þ where D is the curret stress strai tesor which is obtaied from the derivative of S with respect to E i Eq. (): D ijkl ¼ G JðE þ IÞ ik ðe þ IÞ lj þ JðE þ IÞ lk ðe þ IÞ ij þ ½ðE þ IÞ ik ðe þ IÞ lj o þðe þ IÞ ik ðe þ IÞ lj Š ð8þ Substitutig de from Eq. (5) ito Eq. (6) results i Z du ¼ M udu þ A_udu þ SðB L þ B NL ðuþþdu dv F ext du Rdu ¼ ð9þ V The vector of iteral forces is defied by Z F it ¼ ðb L þ B NL ðuþþ T SdV ð4þ V Sice du is arbitrary, a set of o-liear equatios ca be obtaied as M u þ A_u þ F it F ext R ¼ ð4þ It is oted that the stiffess effect is take ito accout by the iteral forces vector F it. Eq. (4) ca be trasformed ito M u ¼ F þ R; where F ¼ F ext F it A_u ð4þ with the iitial coditios at t _u ¼ _u ad u ¼ u ð4þ Takig the derivative of F it with respect to the odal displacemets u gives the taget stiffess matrix as K ¼ of Z it ou ¼ os V ou ðb L þ B NL ðuþþ þ S ob NLðuÞ dv ð44þ ou I additio, by usig Eqs. (5) ad (7), the taget stiffess matrix is i fact the sum of the elastic stiffess matrix K e, the geometric stiffess (or iitial stress stiffess) matrix K r ad the iitial displacemet stiffess matrix K u : K ¼ K e þ K r þ K u ð45þ where Z K e ¼ B T L DB L dv ð46þ V Z K r ¼ S ob NL dv ð47þ V ou Z K u ¼ B T L DB NL þ B T NL DB L þ B T NL DB NL dv ð48þ V Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) First order itegratio algorithm We ca ow itegrate Eq. (4) betwee cosecutive time cofiguratio t ad t Dt. The most commo method to do that is the Newmark method which is based o a secod order algorithm. However, i impact

81 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 problems, higher order approximatio does ot ecessarily mea better accuracy, ad may eve be superfluous. At the momet of a sudde chage of cotact coditios (impact, release of cotact), the velocity ad acceleratio are ot cotiuous, ad excessive regularity costraits may lead to serious errors. For this reaso, Jea [5] has proposed a first order algorithm which is used i this work. This algorithm is based o the followig approximatios: Z tþdt t Z tþdt t Z tþdt t M d_u ¼ Mð_u tþdt _u t Þ Fdt ¼ Dtðð ÞF t þ F tþdt Þ Rdt ¼ DtR tþdt u tþdt u t ¼ Dtðð hþ_u t þ h_u tþdt Þ ð49þ ð5þ ð5þ ð5þ where 6 6 ; 6 h 6. I the iterative solutio procedure, all the values at time t Dt are replaced by the values of the curret iteratio i ; for example, F tdt F i. A stadard approximatio of F i gives F iþ ¼ F i it þ of ou ðuiþ u i Þþ of o_u ð_uiþ _u i Þ¼F i it Ki Du A i D_u ð5þ Fially, we obtai the recursive form of (4) i terms of displacemets: K i Du ¼ F i þ F i acc þ Riþ ð54þ u iþ ¼ u i þ Du where the so-called effective terms are give by K i ¼ K i þ hdt Ai þ hdt Mi ð55þ F i acc ¼ fu i u t Dt _u t g ð56þ hdt Mi F i ¼ð ÞðF t it þ Ft ext ÞþðFi it þ FtþDt ext Þ ð57þ At the ed of each time step, the velocity is updated by _u tþdt ¼ h _u t þ hdt ðutþdt u t Þ By settig h ¼, this scheme is the called the implicit trapezoidal rule ad it is equivalet to the Tamma Namburu method i which the acceleratio eed ot be computed [8]. See [9,] for the iterestig commets o time steppig algorithms ad o eergy coservatio. It is oted that Eq. (54) is strogly o-liear, because of large rotatios ad large displacemets of solid, for istace i multibody cotact/impact problems. Besides, as metioed above, the costitutive law of cotact with frictio is usually represeted by iequalities ad the cotact potetial is eve o-differetiable. Istead of solvig this equatio i cosideratio of all o-liearities at the same time, Feg [] has proposed a solutio strategy which cosists i separatig the o-liearities i order to overcome the complexity of calculatio ad to improve the umerical stability. As Du ad R are both ukow, Eq. (54) caot be directly solved. First, the vector R is determied by the bi-potetial method i a reduced system, which oly cocers cotact odes. The, the vector Du ca be computed i the whole structure, usig cotact reactios as exteral loadig. It is very importat to ote that, as opposed to the pealty method or Lagrage multiplier method, the bi-potetial method either chages the global stiffess matrix, or icreases the degrees of freedom. Oe cosequece of this iterestig property is that it is easy to implemet cotact ad frictio problems i a existig geeral-purpose fiite elemet code by this method. I additio, the solutio procedure is more stable because of the separatio of o-liearities ad improved umerical algorithms for calculatio of cotact reactios. ð58þ

82 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) Eergy computatio After determiig the displacemet ad the velocity fields, we ca calculate differet eergies. The total elastic strai eergy of the cotact bodies (discretized by el fiite elemets) is the writte by Z E e ¼ X el W e dx ð59þ X e e¼ The total kietic eergy ca be calculated at the global level by E k ¼ _ut M_u ð6þ Fially, the total eergy of the system of solids is E t ¼ E e þ E k ð6þ The case of iterest for the aalysis preseted below correspods to the homogeeous Neuma problem, characterized by o imposed boudary displacemets ad o exteral loadig. I additio, if frictioless cotact is cosidered, the total eergy should be coserved. For the give examples, this fudametal eergy coservatio property has bee observed. 6. Numerical results The algorithms preseted above have bee implemeted ad tested i the fiite elemet code FER/impact []. May applicatio examples, i static or quasi-static cases, have bee carried out usig the preset method [,,]. To illustrate the behavior of a cotact/impact simulatio by the ew algorithm described above, we cosider two example applicatios. For each cases, we assume that o dampig exists except for Coulomb frictio betwee cotact surfaces, i.e. A i Eqs. (4), (4) ad (55). 6.. Deformable rigid impact This problem cocers the impact of a cylider made of foam-type polyurethae rubbers ito two oblique rigid symmetric surfaces formig a fuel. The characteristics of this example are: shear modulus G MPa, mass desity q 7 kg/m, iitial velocity v y m/s. The radius of the cylider is: R. m. The total simulatio time is s ad the solutio parameters are: Dt 5 s, h.5. The cylider is modeled by 9 odes ad 9 liear quadrilateral plae strai elemets (Fig. ). The iitial positio of the Fig.. Deformable rigid impact.

83 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 cylider is give by its ceter poit O(.,.). The right part of the rigid block is defied by A(.5,.), B(.5,.), C(.5,.5) ad D(.,.5). Three cases A, B ad C are cosidered (Table ). It is oted that these aalyses were performed o a PC (Petium 4/.8 GHz). Fig. shows the Vo-Mises stress distributio i the cylider at the momet whe the cylider reaches its lowest positio ad the kietic eergy E k equals zero (see Figs. 6 8). The CPU time to achieve the solutio ad the maximum value of the Vo-Mises stress are also give i Table. We observe apparet differeces cocerig the values ad the localizatio of the maximum stress. I Case A, the cylider goes dow lower so as to be more deformed. Therefore, the stress value is higher. Whe the frictio icreases, the cylider does ot go dow as low, braked by the frictio forces. The localizatio of the maximum stress moves to the cotact surfaces because frictio forces are added oto the surfaces i cotact, as show i Fig.. The deformed cofiguratios at time t ms are show i Fig. 4. The displacemet of the ceter poit O Table Ifluece of frictio coefficiets Case At time (ms) r max (MPa) CPU time (s) A: l B: l C: l Fig.. Isovalues of Vo-Mises stress. Fig. 4. Deformed cofiguratios at time t ms.

84 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6.4 Displacemet (m)... Case A Case B Case C Time (s).5. Fig. 5. Displacemet of poit O. versus time is plotted i Fig. 5. For the three cases, Figs. 6 8 show the plots of the kietic eergy E k, the elastic strai eergy E e ad the total eergy E t. For Case A, the cylider rebouds with the same velocity as the iitial velocity, as there is o eergy loss i the system (see Fig. 6). For Case B, the cylider rebouds too but with smaller velocity tha the iitial velocity, as there is eergy loss i the system (see Fig. 7). By takig ito accout more importat frictio (Case C), after a jump up, the cylider sticks to the cotact surfaces ad Eergy E t E k E e.5..5 Time (s)..5. Fig. 6. Eergy evolutio (l.). 9 8 E t E k E e 7 Eergy Time (s)..5. Fig. 7. Eergy evolutio (l.).

85 4 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) E t E k E e 7 Eergy Time (s)..5. Fig. 8. Eergy evolutio (l.4). the kietic eergy E k teds to zero ad thus the cylider is locked (see Fig. 8). Furthermore, the elastic deformatio is smaller, as compared to the frictioless case A. We observe that the total eergy is perfectly coserved i the case of frictioless cotact (Fig. 6). However, i the case of frictioal cotact, the total eergy decreases (Figs. 7 ad 8). So the total eergy is dissipated by frictioal effects as expected. It is worth otig that the dissipated eergy is quatitatively calculated. It is also iterestig to examie aother questio: is the dissipated eergy proportioal to the frictio coefficiet? The aswer is ot accordig to umerical results. The proof is illustrated by Figs. 7 ad 8 i which we observe almost the same dissipated eergy eve with two differet frictio coefficiets. I fact, whe the frictio coefficiet icreases, the frictio forces icrease. However, the tagetial slips will decrease (Fig. ). We kow that the dissipated eergy depeds ot oly o the frictio forces but also o the tagetial slips o the cotact surface. We observed aother iterestig result i this study whe comparig the cases B ad C. I Case B (Fig. 7), the kietic eergy teds to a costat value ad the elastic strai eergy equals zero after the impact. O the cotrary, i Case C (Fig. 8), the kietic eergy teds to zero ad the elastic strai eergy is ot released. As expected, the cylider is locked iside the fuel. For both cases, the total eergy remais almost the same. 6.. Deformable deformable rigid impact I order to show the ability of the algorithms developed to deal with multi-zoes cotact/impact problems, we propose a secod example which simulates the impact of a deformable cylider oto a deformable block ad the later is posed oto a rigid foudatio. So the cotact occurs ot oly betwee the cylider ad the block but also betwee the block ad the rigid foudatio. The material characteristics of the two hyperelastic bodies are: shear modulus G MPa, mass desity q 7 kg/m. The iitial velocity of the cylider is: Fig. 9. Deformable deformable rigid impact.

86 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 5 Fig.. Isovalues of Vo-Mises stress. v y m/s. The radius of the cylider is: R.5 m. The geometric sizes of the block are: height l.6 m ad width L.6 m. The total simulatio time is 5 s ad the solutio parameters are: Dt 5 s, h.5. The cylider ad the block are modeled respectively by 9 ad 49 odes for 84 ad 8 liear quadrilateral plae strai elemets (Fig. 9). Fig. shows the distributio of the Vo-Mises stress i the two deformable bodies durig the simulatio. It is iterestig to ote that the block jumps up uder the impact of the cylider. 7. Coclusio I this paper, we have preseted the recet developmet of the bi-potetial method applied to dyamic aalysis of two-dimesioal cotact problems with Coulomb frictio betwee Blatz Ko hyperelastic bodies. The algorithm has bee described ad ivestigated umerically for two problems usig differet coefficiets of frictio. From umerical experimets, we have foud that: The algorithm is simple ad efficiet: o modificatio of the global stiffess matrix; o regularizatio of cotact ad frictio laws; accurate calculatio of cotact forces i a reduced system; first order time steppig istead of secod or higher order itegratio. The total eergy is well coserved i the case of frictioless cotact of solids. The algorithm permits to determie quatitatively the physical eergy dissipatio by frictioal effects. The lockig ad jumpig pheomea are umerically illustrated. We have felt that this approach could easily be exteded to three-dimesioal dyamic cotact problems icludig o-liear material costitutive laws ad more complex frictioal models [4]. This work is beig udertake. Refereces [] Z.Q. Feg, F. Peyraut, N. Labed, Solutio of large deformatio cotact problems with frictio betwee Blatz Ko hyperelastic bodies, It. J. Eg. Sci. 4 () 5.

87 6 Z.-Q. Feg et al. / Iteratioal Joural of Egieerig Sciece 44 (6) 6 [] N. Kikuchi, J.T. Ode, Cotact Problems i Elasticity: a Study of Variatioal Iequalities ad Fiite Elemets, SIAM, Philadelphia, 988. [] Z.H. Zhog, Fiite Elemet Procedures i Cotact Impact Problems, Oxford Uiversity Press, Oxford, 99. [4] P. Wriggers, Computatioal Cotact Mechaics, Joh Wiley & Sos,. [5] G. De Saxcé, Z.Q. Feg, The bi-potetial method: a costructive approach to desig the complete cotact law with frictio ad improved umerical algorithms, Math. Comput. Model. 8 (4 8) (998) 5 45 (Special issue, Recet Advaces i Cotact Mechaics). [6] H.M. Hilber, T.J.R. Hughes, R.L. Taylor, Improved umerical dissipatio for the time itegratio algorithms i structural dyamics, Earthquake Eg. Struct. Dy. 5 (977) 8 9. [7] T.J.R. Hughes, R.L. Taylor, J.L. Sackma, A. Curier, W. Kaokukulchai, A fiite elemet method for a class of cotact impact problems, Comput. Methods Appl. Mech. Eg. 8 (976) [8] P. Wriggers, T. Vu Va, E. Stei, Fiite elemet formulatio of large deformatio impact cotact problems with frictio, Comput. Struct. 7 (99) 9. [9] F. Armero, E. Petocz, Formulatio ad aalysis of coservig algorithms for frictioless dyamic cotact/impact problems, Comput. Methods Appl. Mech. Eg. 58 (998) 69. [] F. Armero, E. Petocz, A ew dissipative time-steppig algorithm for frictioal cotact problems: formulatio ad aalysis, Comput. Methods Appl. Mech. Eg. 79 (999) [] T.A. Laurse, V. Chawla, Desig of eergy coservig algorithms for frictioless dyamic cotact problems, It. J. Numer. Methods Eg. 4 (997) [] T.A. Laurse, G.R. Love, Improved implicit itegrators for trasiet impact problems geometric admissibility withi the coservig framework, It. J. Numer. Meth. Eg. 5 () [] G.R. Love, T.A. Laurse, Improved implicit itegrators for trasiet impact problems dyamic frictioal dissipatio withi a admissible coservig framework, Comput. Methods Appl. Mech. Eg. 9 () 48. [4] O.C. Ziekiewicz, W.L. Wood, L.W. Hie, R.L. Taylor, A uified set of sigle step algorithms. Part. Geeral formulatio ad applicatio, It. J. Numer. Methods Eg. (984) [5] M. Jea, Dyamics with partially elastic shocks ad dry frictio: double scale method ad umerical approach, i: Proceedigs of the 4th Meetig o uilateral problems i structural aalysis, Capri, 989. [6] P.G. Ciarlet, Elasticité Tridimesioelle, Masso Collectio RMA, 985. [7] P.J. Blatz, W.L. Ko, Applicatio of fiite elastic theory to the deformatio of rubbery materials, Tras. Soc. Rheol. 6 (96) 5. [8] T.K. Kamma, R.R. Namburu, A robust self-startig explicit computatioal methodology for structural dyamic applicatios: architecture ad represetatios, It. J. Numer. Methods Eg. (99) [9] J.C. Simo, K.K. Wog, Ucoditioally stable algorithms for rigid body dyamics that exactly preserve eergy ad mometum, It. J. Numer. Methods Eg. (99) 9 5. [] F. Armero, I. Romero, O the formulatio of high-frequecy dissipative time-steppig algorithms for oliear dyamics. Part I: low-order methods for two model problems ad oliear elastodyamics, Comput. Methods Appl. Mech. Eg. 9 () [] Z.Q. Feg, D or D frictioal cotact algorithms ad applicatios i a large deformatio cotext, Commu. Numer. Methods Eg. (995) [] [] Z.Q. Feg, Some test examples of D ad D cotact problems ivolvig Coulomb frictio ad large slip, Math. Comput. Model. 8 (4 8) (998) (Special issue, Recet Advaces i Cotact Mechaics). [4] M. Hjiaj, Z.Q. Feg, G. De Saxcé, Z. Mróz, Three-dimesioal fiite elemet computatios for frictioal cotact problems with o-associated slidig rule, It. J. Numer. Methods Eg. 6 (4)

88 Comput Mech (7) 4:5 6 DOI.7/s ORIGINAL PAPER A material-idepedet algorithm for preservig of the orietatio of the spatial basis attached to deformig medium Fraçois Peyraut Zhi-Qiag Feg Nadia Labed Received: 6 October 6 / Accepted: 8 Jauary 7 / Published olie: 5 February 7 Spriger-Verlag 7 Abstract The aim of the paper is to propose a algorithm to satisfy the orietatio-preservig coditio with hyperelastic materials. This algorithm is show to be applicable for may material models. Its efficiecy is assessed by umerical examples ivolvig the Blatz Ko, the Ogde ad the Get models. Keywords Orietatio-preservig coditio Fiite elemet aalysis Compressible hyperelasticity Itroductio May idustrial applicatios are cocered by foamlike or rubber-like materials. The tire techology is for example oe of the mai applicatio fields of rubber-like shells. Such materials are also used to improve the performace of safety glass by usig iterlayers to joi the spliters i the case of a crash [4]. Aother applicatio for the automotive idustry is the use of polyurethae foams for a better comfort of car seats [8]. All these F. Peyraut LERMPS, Uiversité de Techologie de Belfort-Motbéliard, 9 Belfort, Frace [email protected] Z.-Q. Feg (B) Laboratoire de Mécaique d Evry, Uiversité d Evry-Val d Essoe, 4 rue du Pelvoux, 9 Evry, Frace [email protected] N. Labed Laboratoire MécatroiqueM, Uiversité de Techologie de Belfort-Motbéliard, 9 Belfort, Frace [email protected] materials are highly o liear ad require specific ad robust techiques to perform umerical computatio. I the last decades, may attempts have bee made to solve o liear problems, icludig hyperelastic materials, with the fiite elemet method. A very detailed review o the fiite elemet formulatio for o liear aalysis, icludig two ad three dimesioal problems ad ivolvig isotropic, orthotropic, rubber-like ad elasto-plastic materials, has bee provided by Sussma ad Bathe []. But some umerical topics related to the compressible hyperelasticity are still questioable. For example, i the case of the Blatz Ko material, the loss of ellipticity leads to umerical problems ear the breakig loadig values [4]. More geerally, existece ad uiqueess of the solutio ca be discussed o the issue of ellipticity, polycovexity ad covexity of the eergy desity required to model the material behavior [,, ]. Moreover, it has bee prove that the Newto Raphso algorithm diverges if the orietatio-preservig coditio is ot satisfied [5]. To prevet divergece i case of a orietatio-preservig loss, a algorithm based o the eigevalues of the deformatio gradiet has bee proposed by the authors [6]. By usig eigevalues istead of the determiat, this algorithm ca deal with ay geometrical case (volume, area or lie) while the classical coditio based o the determiat oly works for preservig volumes. By cosiderig the Blatz Ko hyperelastic model [], this algorithm has already bee foud efficiet for various geometrical cases, boudary coditios ad applied loads [, 5]. The aim of this paper is to establish the fact that this algorithm, previously applied to the sigle case of the Blatz Ko hyperelastic model, is ideed efficiet for ay kid of behavior laws. We actually prove its idepedecy o material models because it is foud to be free of

89 54 Comput Mech (7) 4:5 6 ay material cosideratio. Sice it ca be applied to ay material model, ay geometry, ay boudary coditio ad ay exteral applied force, the proposed approach is thus very geeral ad suitable for may o-liear mechaics applicatios. To assess its efficiecy, several computatios were performed with various hyperelastic models such as the Blatz Ko [], the Ogde [] ad the Get [8] oes. It has bee implemeted i the uiversity fiite elemet code FER developed by the Mechaical Laboratory of Evry Uiversity [5]. Compressible hyperelasticity Rubber or other polymer materials are said to be hyperelastic. Usually, these kids of materials udergo large deformatios. Let x ad X deote the positio vectors of a particle i the curret ad referece cofiguratios of a deformable body. If we cosider the framework of large deformatios with Lagragia descriptio, the motio of this body, relative to a referece cofiguratio, is specified by a smooth vector fuctio x t (X). It is usual to itroduce the displacemet vector u such that x t (X) X u () I order to describe the geometrical trasformatio of oe particle, the deformatio gradiet tesor is itroduced by F t(x) I u () X where I is the uity tesor ad u the displacemet gradiet tesor. Because of large displacemets ad rotatios, Gree Lagragia strai measure is adopted to describe the oliear relatioships betwee strais ad displacemets. We deote C the right Cauchy Gree strai tesor (C F T F). The Gree Lagragia strai tesor E is defied by E (C I)/ () I the case of hyperelastic laws, there exists a elastic potetial fuctio W (or strai eergy desity fuctio) which is a scalar fuctio of oe of the strai tesors, whose derivative with respect to a strai compoet determies the correspodig stress compoet. This ca be expressed by S W E W (4) C where S is the secod Piola Kirchhoff stress tesor. I the particular case of isotropic hyperelasticity [], Eq. (4) ca be writte by [ ( ) W W S I C W I I W ] C (5) I I I I where I i (i,, ) deote the ivariats of the right Cauchy Gree strai tesor C I tr(c); I [ ] I tr(c ) ; I det(c) (6) where tr( ) ad det( ) deote respectively the trace ad the determiat of a tesor.. Blatz Ko costitutive law The Blatz Ko costitutive law is used to model compressible foam-type polyurethae rubbers []. The strai eergy desity fuctio is give by W µ f [ I ν µ ( f ) [ I I ν ( ν) ν/( ν) I ν ] ( ν) ν/( ν) I ν ] (7) where µ deotes the shear modulus, ν the Poisso s ratio ad f the void ratio. As usual, µ is strictly positive ad ν strictly upper tha ad lower tha.5. Lastly, f is covetioally betwee ad. W appears as a averaged sum with f ad f as weight factors. Such a desity is kow as the geeralized Blatz Ko desity. I the particular case of f ad ν.5, Eq. (7) becomes W µ ( I ) I 5 (8) I This special Blatz Ko model has bee implemeted i the fiite elemet software FER by the authors [6,6].. Ogde costitutive law I the case of Ogde costitutive law [], the strai eergy desity fuctio W is split ito two parts W(γ, γ, γ ) N i µ ( ) i γ α i/ α γ α i/ γ α i/ i N i µ i α i β i ( J α i β i ) (9) where N, µ i, α i ad β i are material parameters. The first part depeds o the eigevalues γ, γ ad γ of the right Cauchy Gree strai tesor C while the secod part oly depeds o the third ivariat I of C with J det(f) I. The iitial shear modulus, µ, ad the

90 Comput Mech (7) 4: iitial bulk modulus, K, are give by µ N µ i α i, K i N ( ) µ i α i β i. () i It is oted that, for N, µ µ, α ad β.5, the Blatz Ko strai eergy desity [Eq. (8)] is recovered. The implemetatio of the Ogde s model i FER has bee made by usig a limitig techique [9] to take accout for the special case of coalescet eigevalues i which o differetiability takes place. To calculate the costitutive taget tesor, a spectral decompositio expressed i terms of eigevalue-bases has bee used [7,].. Get costitutive law The Get costitutive law is used to model icompressible rubbers [8]. The strai eergy desity fuctio is give as follows W(I ) µ ( J m l I ) () J m where µ is the shear modulus ad J m is the costat limitig value for I. It is oted that for J m, we recover the well-kow eo-hookea strai-eergy desity W(I ) µ ( I ) () The Get model ca be exteded to accout for the compressibility of the material. A simple ad customary way is to apped a bulk modulus strai-eergy term W H (I ) or W H (J) to W(I ). Horga ad Saccomadi [9] proposed the followig expressio W H (J) ( J d ) l J () where d is the material icompressibility parameter. The iitial bulk modulus K is defied as K /d. For umerical purpose, it proves useful to separate deformatio i volumetric ad isochoric parts by a multiplicative split of the deformatio gradiet as F F iso F vol (4) The first strai ivariat of C iso is the defied by I J / I which replaces I i W(I ). Fially we cosider the followig strai-eergy desity W(I, J) µ J m l ( I ) ( J ) l J J m d (7) The material parameters of the model are thus defied by the iitial shear modulus µ, the costat limitig value J m ad the icompressibility parameter d. Orietatio-preservig cotrol The determiat of the deformatio gradiet F is usually applied to satisfy the orietatio-preservig coditio. I case of a positive value, the orietatio is preserved while it is ot if the determiat is egative or zero. But a algorithm based o eigevalues of F is more efficiet for some special situatios such as the case of the surface turig iside out. For example, i case of two egative ad oe positive eigevalues (say λ <, λ <, λ > ), the orietatio is ot ecessarily preserved although the determiat is positive det(f) λ λ λ > (8) If we actually cosider the udeformed surface S defied by the eigevectors e ad e (Fig. ), the deformed surface S is defied by Fe ad Fe Fe λ e, Fe λ e (9) Because λ (respectively λ ) is assumed to be egative, Fe (respectively Fe ) is directed o the opposite of e (respectively e ). Area S the results from S by a o-physical surface turig iside out process which should be avoided. This process caot be detected by meas of the F determiat, positive i the situatio examied here due to the two first egative eigevalues. The determiat of F, useful to prevet egative volume, is thus uable to predict the occurrece of egative surface or egative legth. To predict such situatios, a algorithm based o eigevalues criterio is preseted below. where F vol J / I, F iso J / F (5) This decompositio is such that det(f iso ). It is easy to see that F ad F iso have the same eigevectors. The isochoric part of the right Cauchy Gree strai tesor C ca be the defied as C iso J / C (6) Fig. Surface turig iside out

91 56 Comput Mech (7) 4:5 6 The eigevalues λ, λ ad λ of F are solutio of the characteristic polyomial λ J λ J λ J () where J, J ad J deote the ivariats of F J tr(f); J [ ] J tr(f ) ; J det(f) () Eq. () ca be solved i closed form thaks to the Cardao s formula Fig. Liear depedece of λ i α o λi λ A ( B λ exp λ exp i π ) ( i π ( A exp ) A exp i π ( i π ) B ) B () where the coefficiets A ad B are defied by A q, B q () ad the coefficiets q ad are expressed i terms of the three ivariats J, J ad J q J 9J J 7J 7 ( q ) ( p ) J J, p (4) It is well kow that the three eigevalues λ, λ ad λ are real umbers if is egative or zero while two eigevalues are complex cojugate umbers ad the third is a real umber if is strictly positive. Because we deal with o liear large deformatios, the icremetal Newto Raphso procedure is cosidered. This procedure is parameterized by a load step value α selected i the rage (, ]. At the first iteratio stage, the displacemet u α is computed by solvig the liear system K T u α α P (5) where K T represets the taget stiffess matrix ad P the exteral loadig forces. The priciple of the approach is to choose α i such a way that ay occurrece of egative eigevalues of F will be avoided. To address this questio, we cosider the limitig case α. Eq. (5) is the reduced to K T u P (6) By usig the liearity of Eqs. (5) ad (6), we otice that u α α u (7) Fig. Optimal load step parameter α The deformatio gradiet matrix F α expressed as follows ca the be F α I (u α ) I (α u ) ( α) I α [ ( u ) I] ( α) I αf (8) By deotig λ i α (i,,) the eigevalues of F α, it directly results from Eq. (8) that λ i α α αλi (9) This shows the liear depedece of λ i α o λi as depicted i Fig.. We cosider first the case of real eigevalues. If all eigevalues of F are positive, it is obvious from Eq. (9) that all eigevalues of F α are also positive. I such a situatio, the orietatio is preserved for ay α selected i the rage (, ]. To select the best load step value α, it is useful to otice that the iteratios cout umber will of course icrease if α decreases. Cosequetly, the parameter α has to be chose as greater as possible to miimize the computatioal cost. The best value for α is. O the cotrary, if at least oe eigevalue of F is egative or zero (say λ i ), the straight lie defied by Eq. (9) decreases from to λ i (Fig. ). By usig agai Eq.(9), it is easy to fid that the itersectio betwee this straight lie ad the horizotal axis is defied by

92 Comput Mech (7) 4: α λ i () Because λ i is assumed to be egative or zero, it is oticed that α (, ]. The iterval (, ] ca the be divided i two parts as show i Fig. ( ) [ ] (, ], λ i λ i, () I the first part (λ i α > ) the orietatio is preserved while it is ot i the secod part (λ i α ). ( The parameter α must the be selected i the rage, ) ad λ i the best way to miimize the computatioal cost is to take α as close as possible to α defied by Eq. (). Lastly, because the three eigevalues of F have to be cosidered ad because F depeds o the spatial locatio, Eq. () must be applied for each eigevalue of F ad for each Gauss poit of the mesh. The miimum of α over the whole rage of eigevalues has thus to be accouted. It is observed that the optimal load step parameter α give by Eq. () represets the trasitio betwee the area where orietatio is preserved ad the area where it is ot. The case α α correspods to a zero volume. This case is to be avoided by takig α<α. I practice, a iteger load step umber is used rather tha a real load step parameter α for the implemetatio i the fiite elemet software. Thus, the best choice is to relate to α as follows ( iteger part of α ) () I this way, the coditio α <α is satisfied so that the case of zero or egative volume is excluded. O the other had, the computatio time is optimized because provided by Eq. () is the smallest load step umber. We cosider ow the special case of complex eigevalues. This case occurs with particular loadig such as pure torsio applied to a cylider [7]. If F admits complex eigevalues, it derives from the Cardao s formulas that oe of the three eigevalues is a real umber (say λ ) while the two others are complex cojugate umbers (λ λ ). I this case, the determiat of F is expressed as follows det(f) λ λ () Accordig to Eq. (), the orietatio is preserved if λ is strictly positive while it is ot if λ is egative or equal to zero. Cosequetly, the umerical approach used to esure the orietatio-preservig coditio ad described by Eqs. (5) () is applied oly to the sigle real eigevalue of F. Accordig to Eqs. () ad (), the optimal procedure used to satisfy the orietatio-preservig coditio is writte as follows i the fiite elemet software FER.. Iitialisatio of load step umber:. Iitialisatio of load step parameter: α. Computatio of F by applyig the Newto Raphso procedure with α 4. for each Gauss poit of the mesh: Computatio of F eigevalues If at least oe F eigevalue is egative: Select the miimum egative eigevalue λ Update α accordig to Eq.(): α mi ( α, λ Ed if 5. If α<: update the load step umber accordig to Eq. () 6. If > : restart the Newto Raphso algorithm by usig computed i Step (5). A Newto Raphso procedure with a load step value equal to is first performed to compute the optimal load step value (Steps 5). Secodly, by usig the updated load step value, the Newto Raphso procedure is restarted to solve the hyperelastic problem (Step 6). This algorithm is also available if the arc legth method is used [5]. Sice the algorithm described above depeds oly o the eigevalues of the deformatio gradiet F, it ca be applied to ay geometry, boudary coditio, applied load ad material property. Of course, the optimal load step umber resultig from Eq. () depeds idirectly o the studied case through the deformatio gradiet F. But the algorithm does ot require ay assumptio to accout for a specific case. I this sese, it appears as very geeral ad free of ay material cosideratio. It ca thus be successfully applied to may o liear problems. I the ext sectio, its efficiecy ad reliability will be studied with umerical examples usig various material models. 4 Numerical examples The aim of this sectio is to assess the efficiecy of the orietatio-preservig algorithm described i the precedig sectio. We propose two examples which cocer homogeeous ad o-homogeeous deformatios of a cube. 4. Homogeeous deformatio This example cocers a m cube loaded by a uiform pressure p MPa o its top face (Fig. 4). The cube is assumed to be cotaied i a rigid box. The )

93 58 Comput Mech (7) 4:5 6 Table Material parameters Blatz Ko Ogde Get µ 7. Pa N µ Pa µ 85 Pa, µ 9 Pa J m 97 α α 4.5, β β d. Pa of the cube at the first iteratio of the first load step are provided i Table. It is observed that o-physical solutios occur whe the load step umber is less tha the optimal oe (, for example). I this case, the vertical displacemet exceeds the iitial height (.5 m) of the cube (Table ). That meas that the deformed cube crosses the clamped surface ad the orietatio is the ot preserved. Cosequetly, the Newto Raphso procedure fails to coverge, as expected (Table ). The displacemet of the top face of the cube after covergece is give i Table 4 usig the optimal load step ad. It shows that the displacemet is almost the same. This result is quite sigificat, which demostrates that the optimal load step allows to obtai accurate solutios with the lowest computatioal cost. 4. No-homogeeous deformatio Fig. 4 Cube loaded by a uiform pressure i a rigid cotaier bottom face of the cube is thus clamped ad its four lateral faces are simply supported. These boudary coditios are such that the deformatio is homogeeous. So oe sigle eight-ode brick elemet is eough for the mesh. Three differet behavior laws (Blatz Ko [], Ogde [] ad Get [8] models) are tested for this example. The material parameters for each model are give i Table. For each tested hyperelastic model, a fair agreemet has bee foud betwee the optimal load step value predicted by Eq. () ad umerical computatio performed with FER (Table ). Covergece is actually observed if the optimal load step value predicted by FER is used while divergece occurs as soo as this value is decreased by oe. I order to check whether the results are reliable, additioal umerical computatios were performed thaks to the multipurpose commercial package AN- SYS []. It is oted i Table that FER ad ANSYS both coverge or diverge if the same umerical parameters are used. I order to relate the above results to the orietatio-preservig coditio, the displacemets To assess the efficiecy of the method for practical problems of thousad of elemets, a umerical three dimesioal example was studied. A m block is loaded by a uiform pressure of MPa ad meshed with 8, eightode brick elemets (Fig. 5). The bottom of the block is clamped ad its top is cosidered as a rigid surface. The horizotal displacemet of the odes located at z m are thus restraied ad the vertical displacemets of these odes are coupled. The Blatz Ko model is cosidered for this applicatio by usig the physical property of Table. The deformed geometry is preseted o Fig. 6 with a true scale factor. It clearly shows that the deformatio is o-homogeeous with a deforma- Fig. 5 Mesh Table FER predictio compariso with ANSYS ad FER solutios Hyperelastic models Blatz Ko Ogde Get Optimal predicted by FER [Eq. ()] FER solutio with Divergece Divergece Divergece ANSYS solutio with Divergece Divergece Divergece FER solutio with Covergece Covergece Covergece ANSYS solutio with Covergece Covergece Covergece

94 Comput Mech (7) 4: Fig. 6 Deformed geometry. a Iso view, b side view Fig. 7 Deformed geometry first iteratio first step. a adb : orietatio is ot preserved, c : orietatio is preserved Table Displacemet of the top face of the cube (m) first iteratio Step umber Blatz Ko Ogde Get soo as the first iteratio of the first step is performed (Fig.7a,b). It cofirms that the predicted value provided by FER is optimal i the sese that ay lower values tha may cause divergece while covergece is observed for higher values but with a rise of the CPU time. Table 4 Displacemet of the top face of the cube (m) after covergece Step umber Blatz Ko Ogde Get tio gradiet chagig from elemet to elemet. The deformed geometry preseted o Fig. 6 was obtaied by usig. This load step umber was predicted by FER to esure the orietatio-preservig coditio accordig to Eq. (). If a lower value tha is used ( or ), we have observed that the Newto Raphso procedure diverges. Actually, if, all the volumes of the deformed elemets are egative (Fig. 7a). If (Fig.7b), oly a few elemets have egative volumes because this case is close to the situatio where orietatio is preserved ( ). These elemets are located i the viciity of the four bottom corers of the cube. This divergece is caused by a orietatio-preservig loss occurrig as 5 Coclusio I this paper, a origial algorithm is preseted to eforce the orietatio-preservig coditio i the framework of large hyperelastic deformatios. To prevet ay surface turig iside out effect, we propose a approach based o the aalysis of the eigevalues of the deformatio gradiet. It is demostrated that this approach does ot deped o the material properties, the geometry, the boudary coditios either the exteral applied forces. This approach is thus very geeral ad ca be used to esure the orietatio-preservig coditio for may o-liear mechaics problems. Moreover, it has bee show that the proposed approach is optimal i the sese that the orietatio-preservig coditio is esured with the lowest computatioal cost. The detailed flow chart of the implemetatio of the approach i the fiite elemet software FER is provided. Its efficiecy is demostrated by usig differet hyperelastic eergy desities relative to the Blatz Ko, the Ogde ad the Get models.

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