DETERMINANTS. a b et a'

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "DETERMINANTS. a b et a'"

Transcription

1 Gérard Lavau - Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio commerciale est iterdite sas accord de l'auteur. Si vous êtes le gestioaire d'u site sur Iteret, vous avez le droit de créer u lie de votre site vers mo site, à coditio que ce lie soit accessible libremet et gratuitemet. Vous e pouvez pas télécharger les fichiers de mo site pour les istaller sur le vôtre. DETERMINANTS PLAN I : Défiitio ) Détermiat 2 2 2) Forme multiliéaire alterée 3) Détermiat 3 3 4) Détermiat II : Calcul des détermiats : ) Détermiat d'ue matrice diagoale 2) Détermiat d'ue matrice triagulaire 3) Détermiat de la trasposée d'ue matrice 4) Détermiat par blocs diagoaux 5) Développemet par rapport à ue coloe 6) Exemples de calculs 7) Détermiat d'u produit de matrices 8) Détermiat de l'iverse d'ue matrice 9) Ifluece d'u chagemet de base III : Applicatios des détermiats ) Critère d'idépedace 2) Formules de Cramer 3) Iverse d'ue matrice 4) Base directe et idirecte Le corps de référece cosidéré est u sous corps de (ou plus gééralemet, u corps) de caractéristique ulle. Il s'agit le plus souvet de ou eux mêmes. I : Défiitio Détermiat O cherche à quelle coditio deux vecteurs de a b et a' b' sot liéairemet dépedats. Si, par exemple a' b' est o ul, il existe λ tel que : a = λa' b = λb' D'où, e élimiat λ, ab' ba' = 0. Iversemet, si cette coditio est réalisée, avec par exemple a o ul, o obtiet : a' = a.a'/a b' = b.a'/a - -

2 O recoaît das la quatité ab' ba' le détermiat des deux vecteurs, oté a a' b b', déjà itrooduit das le chapitre Géométrie élémetaire qu'o trouvera das le fichier GEOMELEM.PDF. O parle aussi de détermiat de la matrice a a' b b'. Les propriétés de l'applicatio détermiat défiie par (V, V') Det(V,V') sot les suivates : i) Cette applicatio est liéaire e V (V' fixé) et e V' (V fixé). Elle est dite biliéaire. ii) Det(V,V') = Det(V',V). Elle est dite alterée ou atisymétrique. 2 Forme multiliéaire alterée Début de partie réservée aux MPSI a) Cosidéros u espace vectoriel E sur u corps = ou, et ue applicatio Φ de E das. Cette applicatio est dite multiliéaire si, pour tout V, V 2,..., V i, V i+,... V, l'applicatio portat sur la i éme composate V i est liéaire ; Φ(V,..., λv i,...,v ) = λφ(v,...,v i,...,v ) Φ(V,...,V i + V i ',...,V ) = Φ(V,...,V i,...,v ) + Φ(V,...,V i ',...,V ) Aisi le produit scalaire est biliéaire. Le produit de réels est multiliéaire. Plus gééralemet, le produit de formes liéaires sur u espace vectoriel est ue forme liéaire. E fait, la multiliéarité permet de développer ue expressio comme u produit. O fera bie la différece etre applicatio liéaire et multiliéaire. Das le premier cas : Φ(λV, λv 2,..., λv ) = λφ(v, V 2,..., V ) Φ(V + V ',..., V i + V i ',..., V + V ') = Φ(V,..., V i,..., V ) + Φ(V ',..., V i ',..., V ') alors que das le secod : Φ(λV, λv 2,..., λv ) = λ Φ(V, V 2,..., V ) Φ(V + V ',..., V i + V i ',..., V + V ') = Φ(W,..., W i,..., W ) la somme état prise sur tout les W, W i décrivat le couple (V i, V i '). Il y a 2 termes das la somme. b) Cette même applicatio Φ est dite alterée ou atisymétrique si : i j, Φ(...,V i,...,v j,...) = Φ(...,V j,...,v i,...) les autres variables restat égales. PROPOSITION : Soit Φ ue forme multiliéaire. Φ est alterée si et seulemet si : Φ(...,V i,v,v i+,...,v j,v,v j+,...) = 0 pour toute valeur des vecteurs et des idices i et j. Démostratio : Si Φ est alterée, e preat V i = V j = V das la défiitio, o obtiet le résultat demadé. Iversemet : Preos V = V i + V j. E utilisat la multiliéarité, o obtiet : Φ(...,V i,...,v i,...) + Φ(...,V i,...,v j,...) + Φ(...,V j,...,v i,...) + Φ(...,V j,...,v j,...) = 0 qui se réduit à : Φ(...,V i,...,v j,...) + Φ(...,V j,...,v i,...) = 0. Ce qui prouve que Φ est alterée. EXEMPLE : Cherchos les formes biliéaires alterées sur u espace vectoriel de dimesio 2, de base (e, e 2 ). Posos C = Φ(e, e 2 )

3 O a alors : Φ(ae + be 2, a'e + b'e 2 ) = aa'φ(e, e ) + ab'φ(e, e 2 ) + ba'φ(e 2, e ) + bb'φ(e 2, e 2 ) e utilisat la multiliéarité Φ(ae + be 2, a'e + b'e 2 ) = C(ab' ba') e utilisat l'alterace. Aisi toutes les formes biliéaires alterées sot proportioelles au détermiat. PROPOSITION : Soit σ ue permutatio de élémets. Alors : Φ(V σ(), V σ(2),..., V σ() ) = ε(σ) Φ(V, V 2,..., V ) où ε(σ) désige la sigature de σ. Démostratio : Elle se fait immédiatemet par récurrece sur le ombre de traspositios qui compose σ. Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 3 Détermiat 3 3 Soit (e, e 2, e 3 ) ue base d'u espace vectoriel de dimesio 3. Cherchos Φ(ae + be 2 + ce 3, a'e + b'e 2 + c'e 3, a"e + b"e 2 + c"e 3 ), avec Φ triliéaire alterée. Posos C = Φ(e, e 2, e 3 ). O a alors : Φ(ae + be 2 + ce 3, a'e + b'e 2 + c'e 3, a"e + b"e 2 + c"e 3 ) = ab'c" Φ(e,e 2,e 3 ) + ab"c' Φ(e,e 3,e 2 ) + a'bc" Φ(e 2,e,e 3 ) + a'b"c Φ(e 2,e 3,e ) + a"bc' Φ[e 3,e,e 2 ] + a"b'c Φ[e 3,e 2,e ] Remarquos maiteat que : Φ(V,V',V") = Φ(V',V,V") = Φ(V',V",V) =... Φ(V",V,V') (Ceci est u cas particulier du résultat motré e 2, relatif aux permutatios). O peut alors exprimer toutes les quatités e foctio de C. O obtiet : Φ(ae + be 2 + ce 3, a'e + b'e 2 + c'e 3, a"e + b"e 2 + c"e 3 ) = (ab'c" + a'b"c + a"bc' ab"c' a'bc" a"b'c)c O peut vérifier que la partie etre parethèse est effectivemet triliéaire alterée. Il s'agit du a a' a" détermiat 3 3. O le ote b b' b" c c' c" 4 Détermiat Début de partie réservée aux MPSI Cherchos les formes liéaires alterées sur u espace de dimesio mui d'ue base (e,..., e ). O cosidère vecteurs V j = a ij e i. O a : Φ(V,..., V ) = Φ( a i e i,..., a i e i ) = σ a σ()...a σ() Φ(e σ(),..., e σ() ) - 3 -

4 O e garde das la somme de droite que les termes pour lesquels σ(),..., σ() preet des valeurs distictes, les autres valeurs de Φ état ulles. σ est doc ue permutatio de {,..., }. Les termes restat peuvet s'exprimer e foctio de Φ(e,..., e ). O arrive à : Φ(V,..., V ) = ε(σ) a σ()...a σ() Φ(e,..., e ) où σ décrit S. σ Toute forme liéaire alterée est doc proportioelle à la forme fodametale : σ ε(σ) a σ()...a σ() Cette expressio s'appelle détermiat des vecteurs (V,..., V ) ou détermiat de la matrice (a ij ). O peut égalemet parler de détermiat d'u edomorphisme, celui ci état égal au détermiat d'ue matrice associée das ue base doée. Le problème se pose de savoir si ce détermiat déped de la base choisie, et sera examié das la partie III. O peut vérifier que cette expressio est effectivemet liéaire alterée. Voici commet o peut motrer qu'elle est alterée : det(v,..., V ) = ε(σ) a σ()...a σ() σ det(v,... V i, V j, V i+,..., V j, V i, V j+,..., V ) se calcule e itervertissat les vecteurs V i et V j. O calcule la somme de termes de la forme ε(σ)... a σ(i)j... a σ(j)i... (Les uméros de lige sot les mêmes, mais o a permuté les uméros de coloes). Posos τ la traspositio échageat i et j. Le terme e questio s'écrit, e permutat les deux termes a σ(i)j et a σ(j)i : ε(σ)a στ()...a στ(i)i...a στ(j)j...a στ() ou ecore à ε(στ)a στ()...a στ(i)i...a στ(j)j...a στ() car ε(τ) =. La somme est prise pour toute les valeurs de l'idice σ parcourat le groupe symétrique. Mais si l'o chage d'idice, e preat cette fois στ, στ décrit égalemet le groupe symétrique, et l'o recoaît alors le détermiat iitial, précédet du sige. Le détermiat est bie alteré. La formule proposée 'est guère pratique. Elle possède! termes. Nous verros plus tard des moyes rapides de calculer cette expressio. a... a Le détermiat se ote a... a Nous retiedros que : PROPOSITION : Toute forme liéaire Φ alterée das u espace de dimesio mui d'ue base doée (e,...,e ) est proportioelle au détermiat des coefficiets des vecteurs das cette base. Le coefficiet de proportioalité est Φ(e,..., e ). Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. Das toute la suite du chapitre, les étudiats de PCSI et de PTSI se limiterot au cas = 2 ou = 3, les démostratios se faisat par calcul direct sur les expressios de ces détermiats. Les propos les cocerat serot idiqués e bleu. Ils sauterot doc les démostratios prévues pour le cas gééral et qui e coceret que les étudiats de MPSI

5 II : Calcul des détermiats Détermiat d'ue matrice diagoale = E effet, le seul terme o ul das la défiitio du détermiat est obteu pour σ = Id. E utilisat la multiliéarité, o e déduit que : a a = a a 2...a a a a 2 0 = a a 2 a a 3 2 Détermiat d'ue matrice triagulaire a a 2... a 0 a a 2 = a a 22...a a a 0 a 2... = a a 2 a a 3 E effet, e utilisat la défiitio du détermiat, le seul terme de la somme ε(σ)a σ()...a σ() pouvat être o ul est celui pour lequel σ() =, σ(2) = 2,..., σ() =. σ = Id et ε (σ) =. Le résultat est idetique si la matrice est triagulaire iférieure. O se ramèe à ue matrice triagulaire au moye des techiques suivates : i) Multiplier ue coloe (ou ue lige) par λ multiplie le détermiat par λ ii) Remplacer la coloe V j par V j + λv k e chage pas la valeur du détermiat. iii) Plus gééralemet, ajouter d'autres coloes à ue coloe doée e chage pas la valeur du détermiat. iv) Si l'ue des coloes ou l'ue des liges est ulle, le détermiat est ul. v) Si deux coloes ou deux liges sot proportioelles, le détermiat est ul. vi) Si l'o permute deux coloes ou deux liges, le détermiat chage de sige. Exemple : = = 2 C 2 C 2 2C e effectuat C 3 C 3 C C 3 C 3 3C e effectuat C 2 C 3 et e mettat 2 e facteur

6 e effectuat C 3 C 3 + 5C 2 C 4 C 4 + 8C e effectuat C 4 C C /3 = 2 = 2 = = 4 3 Détermiat de la trasposée d'ue matrice PROPOSITION det( t A) = det(a) Démostratio : (Faire u calcul direct pour = 2 ou 3) Nous utiliseros la défiitio du détermiat : det( t A) = ε(σ) a σ()...a σ() σ Le terme gééral du produit a σ()...a σ() est a iσ(i). Posos θ = σ. O a a iσ(i) = a θ(j)j e posat σ(i) = j. Quad i varie de à, il e est de même de j. La somme précédete est doc égale à : det( t A) = ε(σ) a θ()...a θ() σ Comme ε(θ) = ε(σ) et qu'à chaque σ correspod u et seul θ, o peut écrire : det( t A) = ε(θ) a θ()...a θ() θ qui 'est que l'expressio du détermiat de A. Aisi : det( t A) = det(a). Cette propriété est importate car elle sigifie que tout ce que ous disos ou diros sur les coloes d'u détermiat est égalemet vrai pour les liges. Par exemple, le détermiat est ue forme multiliéaire alterée des liges qui le composet. 4 Détermiat par blocs diagoaux Début de partie réservée aux MPSI Il s'agit de calculer u détermiat de la forme D = A C O B où A est ue matrice carrée p p, B ue matrice carrée ( p) ( p), C ue matrice p ( p) et O la matrice ( p) p ulle. Notos V,..., V p les coloes de A, costituées de p composates, et cosidéros D comme ue foctio f(v,..., V p ). Il 'est pas difficile de motrer que f est ue forme p-multiliéaire alterée de (V,..., V p ). Par exemple, multiplier V i par u scalaire λ reviet das D à multiplier par λ la coloe etière i (i.e. la coloe V i de A et les zéros situés e dessous). E utilisat la liéarité de D par rapport à cette coloe, o peut mettre λ e facteur. O utilise alors la propriété caractéristique des formes multiliéaires alterées : f(v,..., V p ) = det(v,..., V p ) f(e,..., e p ) où e,..., e p est la base caoique de p pour coclure que : - 6 -

7 avec I p matrice idetité. D = det(a) I p C O B O raisoe de même sur B, mais e cosidérat cette fois I p C O B comme forme ( p)-liéaire des liges de B, de sorte que l'o obtiet : I p C O B = det(b) I p C O I p (O utilise les liges de B et o les coloes car o a besoi que les p vecteurs utilisés das B soiet complétés par des 0 pour motrer le caractère multiliéaire alteré de la foctio de B, comme o l'a fait pour A avec les coloes). Efi I p C O I = puisqu'il s'agit d'ue matrice triagulaire à termes diagoaux égaux à. p O a doc bie A C O B = det(a) det(b) Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 5 Développemet par rapport à ue lige ou ue coloe Début de partie réservée aux MPSI Cosidéros det(v,..., V j,..., V ) où V j = aij e i. O a, utilisat la multiliéarité et le caractère alteré du détermiat : det(v,..., V j,..., V ) = det(v,..., aij e i,..., V ) = aij det(v,..., V j, e i, V j+,..., V ) = aij det(v,..., V j, e i, V j+,..., V ) = a ij a... a,j 0 a,j+... a i... a i,j 0 a i,j+... a i... a i,j a i,j+... a i+... a i+,j 0 a i+,j+... a... a,j 0 a,j

8 = ( ) j a ij 0 a... a,j a,j a i... a i,j a i,j+... a i... a i,j a i,j a i+... a i+,j a i+,j a... a,j a,j+... e permutat la coloe j avec toutes celles qui précèdet = = ( ) j ( ) i a ij a i... a i,j a i,j a... a,j a,j a i... a i,j a i,j a i+... a i+,j a i+,j a... a,j a,j+... e permutat la lige i avec toutes celles qui précèdet a... a,j a,j+... a i... a i,j a i,j+... a i+... a i+,j a i+,j+... a... a,j a,j+... ( ) i+j a ij e remarquat qu'o avait u détermiat par blocs et ( ) ( ) Notos M ij le détermiat ( ) ( ) a... a,j a,j+... a i... a i,j a i,j+.... O remarque qu'il est a i+... a i+,j a i+,j+... a... a,j a,j+... costitué des liges, 2,..., i, i+,... de la matrice iitiale. Autremet dit, M est obteu à partir du détermiat iitial e supprimat la coloe j et la lige i. Ce détermiat s'appelle mieur du terme (i,j). O a alors : det(v,..., V j,..., V ) = ( ) i+j a ij M ij La quatité C ij = ( ) i+j M ij s'appelle cofacteur du terme (i,j), de sorte qu'o écrit égalemet : det(v,..., V j,..., V ) = a ij C ij Exemple : = e développat par rapport à la troisième coloe - 8 -

9 = ( ) ( ) = = = 4 O choisit évidemmet de préférece des coloes possédat u grad ombre de 0. Comme det(a) = det t A, le calcul peut se faire égalemet e cosidérat les liges. O développe suivat ue lige d'ue maière aalogue à ue coloe. Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 6 Exemples de calculs Début de partie réservée aux MPSI Exemple : Calculer le détermiat suivat : x y z t y x t z z t x y = D t z y x O développe par rapport à la première coloe : x t z y z t y z t y z t D = x t x y y t x y z x t z + t x t z z y x z y x z y x t x y = x [x 3 + x(t 2 + y 2 + z 2 )] + y [y(x 2 + t 2 + z 2 ) + y 3 ] + z [z 3 + (t 2 + y 2 + x 2 )z] + t[t(y 2 + x 2 + z 2 ) + t 3 ] = x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2(x 2 y 2 + x 2 z 2 + x 2 t 2 + y 2 t 2 + y 2 z 2 + z 2 t 2 ) = (x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) 2 Exemple 2 : Calculer le détermiat D = O remarque que la coloe C j s'obtiet à partir de la coloe C j de la faço suivate : j j j = j 2 j j D = det(c,...,c ) = det(c C 2, C 2 C 3,..., C C, C ) = = det(c ',...,C ') - 9 -

10 = det(c ' C 2 ',..., C 2 ' C ',C ',C ') = = ( ).2 2.( ) a b c 2a 2a Exemple 3 : Calculer D = 2b b c a 2b 2c 2c c a b O ajoute les deux derières liges à la première : a+b+c a+b+c a+b+c D = 2b b c a 2b = (a+b+c) 2b b c a 2b 2c 2c c a b 2c 2c c a b O retrache la première coloe aux autres : 0 0 D = 2b b c a 0 = (a+b+c) 3 2c 0 c a b Exemple 4 : Calculer D = a+b ab a+b ab a+b ab a+b O développe par rapport à la première coloe. O obtiet : D = (a+b)d abd 2 suite récurrete liéaire E utilisat D = a+b, D 2 = a 2 +b+b 2 et doc D 0 =, o obtiet : si a = b : D = (+)a si a b : D = a+ b + a b Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 7 Détermiat d'u produit de matrices PROPOSITION Soiet A et B deux matrices carrées. Alors det(ab) = det(a) det(b) Démostratio : (Faire u calcul direct pour = 2 ou 3) Cosidéros A et B deux matrices. O peut les cosidérer comme les matrices de deux edomorphismes de, f et g. O ote (e,..., e ) la base caoique de. La j ème coloe de A est égale à f(e j ) ; celle de B est égale à g(e j ) ; celle de AB est égale à f o g(e j ). La foctio défiie par : Φ(V,..., V ) = det(f(v ),..., f(v )) est ue forme liéaire alterée. Elle est doc proportioelle à det(v,..., V ), le coefficiet de proportioalité état Φ(e,..., e ). O a doc : Φ(V,..., V ) = Φ(e,..., e ).det(v,..., V ) det(f(v ),..., f(v )) = det(f(e ),..., f(e )).det(v,..., V ) - 0 -

11 Or det(f(e ),..., f(e )) 'est autre que det(a). Aisi : det(f(v ),..., f(v )) = det(a).det(v,..., V ) Preos maiteat V i = g(e i ). O obtiet : det(f(g(e )),..., f(g(e ))) = det(a).det(g(e ),..., g(e )) Or det(f(g(e )),..., f(g(e ))) = det(ab) et det(g(e ),..., g(e )) = det(b) Aisi det(ab) = det(a).det(b) 8 Détermiat de l'iverse d'ue matrice PROPOSITION Soit A ue matrice carrée iversible. Alors det(a ) = - - det(a) Soit A ue matrice iversible. Si l'o applique e particulier ce qui a été prouvé précédemmet à A et A, o obtiet : det(aa ) = det(a)det(a ) or AA = I et det(i) =. Aisi det(a ) = det(a) Nous motreros plus loi qu'ue matrice est iversible si et seulemet si so détermiat est o ul. U ses de l'implicatio viet doc d'être motré. 9 Ifluece d'u chagemet de base Soit E u espace vectoriel de dimesio, de base iitiale (e,..., e ). Notos det e le détermiat relatif à cette base. Soit ue ouvelle base (ε,..., ε ). Notos det ε le détermiat relatif à cette ouvelle base. Soit P la matrice de passage de la base e à la base ε. Quel rapport y a t il etre det e et det ε et P? E ce qui cocere les vecteurs (V,..., V ). Notos (V e ) la coloe des composates des V i das la base e et (V ε ) la matrice des composates des V i das la base ε. O a : (V e ) = P(V ε ). Doc : det e (V) = det(v e ) = det(pv ε ) = det(p)det(v ε ) = det(p)det ε (V) Aisi le détermiat d'ue famille de vecteurs déped de la base choisie. Parler de détermiat d'u système de vecteurs sas parler de base de référece est u o ses. Das, la base de référece est par défaut la base caoique. Le détermiat reste ichagé si P est telle que det(p) =. L'esemble des matrices de détermiat, mui du produit des matrices forme u sous groupe du groupe des matrices iversibles, appelé groupe spécial ( ) (ou groupe uimodulaire). E ce qui cocere les edomorphismes, soit M la matrice associée à f das la base e, et N la matrice associée à f das la base ε. O a : M = PNP doc det(m) = det(p)det(n)det(p ) = det(n)

12 Aisi, le détermiat d'ue matrice associée à f e déped pas de la base choisie. O peut doc parler du détermiat de f, sas préciser la base. Les règles vues au 7) et 8) s'éocet ici : det(f o g) = det(f).det(g) det(f ) = pour f iversible. det(f) det est u morphisme de (L(E),o) (ou ( )) das (,.). C'est u morphisme de groupe de (GL(E),o) (ou ( )) das ( *,.). Le oyau de ce morphisme 'est autre que le groupe des edomorphismes (ou des matrices) de détermiat, le groupe spécial liéaire (E) (ou ( ) pour les matrices). Iterprétatio géométrique : Soit doé ue base (e,..., e ). Alors le détermiat d'u système de vecteurs (V,..., V ) das cette base s'iterprète comme le volume (algébrique) du parallélépipède d'arêtes (V,..., V ), le volume uité état défii comme celui du parallélépipède costruit selo (e,..., e ). Le détermiat sera positif lorsque la base (V,..., V ) aura même orietatio (voir plus bas) que la base (e,..., e ). V 2 V 3 V 2 V V Cette applicatio (V,..., V ) volume(v,..., V ) est e effet multiliéaire et alterée. Elle est doc proportioelle au détermiat. Valat sur la base (e,..., e ), elle est égale au détermiat défii relativemet à cette base. Le volume déped évidemmet de l'uité choisie pour le mesurer. De même, le détermiat d'u système de vecteurs déped de la base das lequel o le calcule. Soit maiteat u edomorphisme f. Celui-ci trasforme u système de vecteurs (V,..., V ) de volume det(v) (où V est la matrice des composates des (V,..., V ) das ue base (e,..., e )) e u système de vecteurs (f(v ),..., f(v )), de volume det(mv) (où M est la matrice de f das la base (e,..., e )). O voit que det(f) = det(m) est le rapport des deux volumes. Autremet dit, det(m) est le facteur par lequel est multiplié le premier volume pour obteir le secod volume das la trasformatio f. Si les volumes dépedet de l'uité choisie, il 'e est pas de même de leur rapport, qui est itrisèque aux deux parallélépipèdes. C'est pourquoi le détermiat de f, rapport de deux volumes, e déped pas de la base choisie. III : Applicatios des détermiats Critère d'idépedace PROPOSITION : i) Soit E u espace vectoriel de dimesio mui d'ue base (e, e 2,..., e ), et soit (V, V 2,..., V ) ue famille de vecteurs. Ces vecteurs formet u système libre si et seulemet si det(v,..., V ) est o ul. ii) Soit A ue matrice. Alors A est iversible si et seulemet si det(a) est o ul

13 iii) Soit f u edomorphisme d'u espace vectoriel E, mui d'ue base (e, e 2,..., e ). Alors f est iversible si et seulemet si det(f) est o ul. Ces trois propriétés sot e faite trois versios du même théorème. Prouvos le i). Démostratio : Si le système est libre, alors la matrice formée des coefficiets est ue matrice de rag, doc iversible, et le détermiat d'ue matrice iversible est o ul. Réciproquemet, si le système est lié, alors l'u des vecteurs est combiaiso liéaire des autres ; par exemple, V = λ i V i. Alors : i=2 det(v,..., V ) = λ i det(v i, V 2,..., V ) i=2 et chaque détermiat de la somme de droite est ul, puisque V i apparaît deux fois. Début de partie réservée aux MPSI EXEMPLE : Coditio d'idépedace des vecteurs coloes suivats :... a a 2... a a a 2... a a a 2... a Le détermiat correspodat s'appelle détermiat de Vadermode ( ). Il s'agit d'u polyôme de variables, dot tous les termes sot de degré global ( ). O remarque qu'il se 2 factorise par (a j a i ) puisque, si a j = a i, il possède deux coloes idetiques. Or le produit des (a j a i ), i < j, est lui même u polyôme de degré ( ) Il est doc égal au détermiat de 2. Vadermode, à ue costate près. Or les deux expressios possédat le terme a 2 a a, la costate est égale à. Aisi, le détermiat est égal à (a j a i ). Il est doc ul si et seulemet si il i < j existe i et j disticts tels que a i = a j, autremet dit, s'il existe deux coloes idetiques. Cela doe aussi la coditio de liaiso des vecteurs. O peut égalemet procéder par récurrece sur e cosidérat que le détermiat est u polyôme e a de degré. Si les a i sot disticts, ce polyôme s'aule e racies distictes a = a,..., a = a et se factorise doc par (a a )...(a a ), le coefficiet domiat état u Vadermode de rag. Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 2 Formules de Cramer (O se limite à la dimesio 2 ou 3 e PCSI) Cosidéros u système de équatios à icoues a ij x j = b i, i. Soit A la matrice des j= coefficiets (a ij ), V le vecteur de composates (x i ) et B le vecteur de composates (b i ). Le système est équivalet à AX = B. Il admet ue solutio uique si et seulemet si A est iversible, c'est à - 3 -

14 dire, si det(a) est o ul. Notos (C, C 2,..., C ) les coloes de la matrice A. Que vaut det(c,...,c i, B, C i+,..., C )? Remplaços B par xj C j et utilisos le fait que le détermiat est j= multiliéaire alteré. O obtiet x j.det(a). O obtiet aisi les formules de Cramer : x j = det(c,...,c i, B, C i+,..., C ) det(a) Exemple : E dimesio 2, o a : ax + by = e cx + dy = f Les solutios sot : e b x = f d ed bf = a b ad bc c d a e y = c f af ce = a b ad bc c d Mais e pratique, la méthode de Gauss est plus efficace pour résoudre u système. 3 Iverse d'ue matrice Début de partie réservée aux MPSI Soit A ue matrice carrée. Notos C ij le cofacteur du terme a ij. La matrice de terme gééral (C ij ) s'appelle comatrice de A. La méthode de développemet de la coloe j permet d'écrire : det(a) = aij C ij O se pose la questio suivate : pour k j, que vaut aik C ij? Cette somme est idetique à la précédete, ue fois que l'o a remplacé les termes a ij par les termes a ik. Il est doc égal au détermiat d'ue matrice obteue à partir de la matrice A e remplaçat la coloe j par la coloe k (cela e modifie pas les cofacteurs C ij, qui e dépedet pas de a ij ). Mais alors, la ouvelle matrice obteue possède deux coloes idetiques, la j et la k. So détermiat est doc ul. Aisi : a ik C ij = δ kj.det(a) où δ kj = si k = j = 0 si k j Les cosidératios précédetes permettet d'exprimer l'iverse d'ue matrice à l'aide des cofacteurs. E effet, posos b ij = C ji. La matrice B est la trasposée de la comatrice et b ji a ik C ij = δ kj det(a). Cette égalité exprime le fait que BA = det(a) I - 4 -

15 Si det(a) est o ul, A est iversible et so iverse est égale à la trasposée de la comatrice, divisée par le détermiat de A. Cette méthode 'est cepedat pas la plus rapide pour calculer l'iverse d'ue matrice. EXEMPLE : pour ue matrice 2 2, l'iverse de a b c d est égale à ad bc d b c a Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 4 Base directe et idirecte Das cette partie, =. O pourra réfléchir aux questios suivates : Quelle différece etre ue droite et u axe? Das le pla, commet est défii le ses trigoométrique? Quels sot les repères usuels utilisés pour les écras d'ordiateurs ( de liges et de coloes)? Das l'espace de dimesio 3, commet est défii géométriquemet le produit vectoriel? Commet est fait u tire boucho? Quel ses possède cette phrase (lue das la revue Pour La Sciece)? "La plupart des comètes se déplacet das le ses trigoométrique par rapport au soleil." Commet distigue t o la gauche de la droite? O remarquera que, pour l'esemble de ces questios, ue covetio arbitraire a été choisie, et qu'ue autre covetio, et ue seule autre, aurait pu être préférée. O dira qu'il y a deux faços différetes d'orieter le pla ou l'espace. Cette situatio est géérale. Cosidéros u espace vectoriel de dimesio, ( = 2 ou 3 e PCSI), mui d'ue base arbitraire (e,..., e ). Soit (ε,..., ε ) ue autre base. La matrice de passage P de e à ε est iversible. So détermiat est o ul. Ou bie det(p) > 0 et ous diros que les deux bases défiisset la même orietatio de l'espace, ou bie det(p) < 0, et ous diros que les deux bases défiisset des orietatios différetes de l'espace. Il 'y a que deux orietatios possibles. E effet, soit (e) ue base, (e') et (e") deux autres bases ayat ue orietatio différete de celle de (e). Motros que (e') et (e") ot même orietatio. O a e effet det(p ee' ) < 0 det(p e"e ) < 0 det(p e"e') = det(p e"e P ee' ) > 0 Le choix (arbitraire) d'ue de ces deux orietatios défiit ue orietatio de l'espace de dimesio. Les bases de cette classe sot dites directes, les bases de l'autre classe sot dites idirectes. Il 'existe aucu moye de privilégier ue base par rapport à l'autre. Voici quelques otios mathématiques ou physiques dépedat de l'orietatio de l'espace de dimesio 2 ou 3 : La défiitio du ses trigoométrique Le produit vectoriel Le champ magétique B (le vecteur B, dépedat de l'orietatio, est dit axial) Le momet ciétique mom V et le momet dyamique mom a Le momet d'u dipôle magétique (petite boucle de circuit de surface S parcourue par u courat I. µ = IS où S est orieté orthogoalemet à la boucle e foctio du ses du circuit. Les couples Les vecteurs de rotatio Le rotatioel - 5 -

16 Voici quelques otios 'e dépedat pas : L'orthogoalité Le gradiet, la divergece Le champ électrique E (Le vecteur E, e dépedat pas de l'orietatio, est dit polaire) Les forces, vitesses et accélératios EXEMPLE D'APPLICATIONS De même qu'il existe e physique la otio d'homogééité des uités, permettat de tester rapidemet la validité d'ue formule, il existe égalemet la otio d'homogééité du caractère axial ou polaire des vecteurs. Ci-dessous, les vecteurs axiaux sot e rouge, les vecteurs polaires e bleus. Nous otos égalemet e rouge les produits vectoriels. O a alors : Vecteur axial = Vecteur polaire Vecteur polaire Vecteur polaire = Vecteur polaire Vecteur axial Vecteur axial = Vecteur axial Vecteur axial O a égalemet, cocerat le rotatioel : Rot Vecteur polaire = Vecteur axial Rot Vecteur axial= Vecteur polaire Force électrostatique F = qe : égalité de deux vecteurs polaires E = gradv : égalité de deux vecteurs polaires F = qv B (force de Loretz) ou df = idl B (force de Laplace) : égalité de deux vecteurs polaires. qv ou idl sot polaires, B est axial, mais le produit vectoriel des deux est polaire. Aisi, si u des membres est u vecteur polaire et si l'autre membre cotiet u vecteur axial et si le résultat est polaire, il faudra écessairemet qu'iterviee u produit vectoriel. db = µ 0 idl u 4π r 2 (loi de Biot et Savart) : égalité de deux vecteurs axiaux. C = µ B (couple s'appliquat sur u dipôle magétique plogé das u champ magétique) : égalité de deux vecteurs axiaux. L'orietatio peut égalemet s'appliquer à des quatités scalaires. O parle alors de pseudoscalaires dot le sige déped du choix arbitraire de l'orietatio : B.dl = µ 0 J.dS (Théorème d'ampère) Γ rot E = B t D (ue des équatios de Maxwell) : égalité etre deux vecteurs axiaux µ 0 rot B = J + ε 0 E t (ue autre équatio de Maxwell) : égalité etre deux vecteurs polaires C = OM F (couple créé e M par ue force F par rapport à O) : égalité de deux vecteurs axiaux V = Ω OM (vitesse d'u poit M tourat par rapport à O à la vitesse agulaire Ω) égalité de deux vecteurs polaires

17 Le fait qu'ue réflexio S (symétrie par rapport à u pla e dimesio 3, ou plus gééralemet par rapport à u hyperpla e dimesio quelcoque) trasforme ue base directe e base idirecte et itervertit doc l'orietatio de l'espace a des coséqueces importates sur les vecteurs polaires et les vecteurs axiaux. U vecteur polaire est u "vrai" vecteur ; il sera doc symétrisé comme o s'y atted : sa composate parallèle au pla de symétrie sera ivariate, sa composate orthogoale à ce pla sera chagée de sige. Mais u vecteur axial 'est pas u "vrai" vecteur. Il est défii par exemple comme produit vectoriel de deux vecteurs polaires u et v. Or, si l'o décompose chacu de ces vecteurs e ue composate parallèle au pla et ue composate orthogoale, o a : u = u // + u v = v // + v u v = (u // + u ) (v // + v ) = u // v // + u v // + u v // (e teat compte du fait que u v = 0) ortho- paralallèle au goal pla au pla O vérifiera alors que S(u v) est différet de S(u) S(v). E effet : S(u v) = u // v // + u v // + u v // alors que S(u) S(v) = (u // u ) (v // v ) = u // v // u v // u v // = S(u v) E physique, si l'o souhaite utiliser les symétries d'u système tout e gardat la même orietatio de l'espace, o est ameé à cosidérer que u v est trasformé e S(u) S(v) et o est coduit à la règle suivate : La composate du vecteur axial orthogoale au pla est ivariate, la composate parallèle est chagée e so opposée. Ce sera le cas du vecteur champ magétique B par exemple

18 EXEMPLES : Cosidéros u fil rectilige uiformémet chargé. Soit S ue symétrie par rapport à u pla coteat le fil. Le système reste ivariat par S. Il e est doc de même du champ électrique (polaire) E créé par le fil. E est coteu das le même pla que le fil. Soit S' ue symétrie par rapport à u pla orthogoal au fil. Le système reste égalemet ivariat par S'. Il e est doc de même de E. E est doc égalemet coteu das ce pla. La seule possibilité est que E soit radial. S S' E Cosidéros u fil rectilige parcouru par u courat I. Soit S ue symétrie par rapport à u pla coteat le fil. Le système reste ivariat par S. Il e est doc de même du champ magétique (axial) B créé par le fil. Mais pour u vecteur axial, cela sigifie que B est orthogoal à ce pla. O peut retrouver ce résultat par l'autre symétrie S' par rapport à u pla orthogoal au fil. Das cette symétrie, le ses du courat est iversé. Il e est de même de B. Mais pour u vecteur axial, cela sigifie qu'il est parallèle au pla cosidéré. I S B S' - 8 -

19 Cosidéros u cercle uiformémet chargé. Que peut-o dire du champ électrique créé e u poit M de l'espace? Si o cosidère u pla coteat le fil et passat par M, le système est ivariat par la symétrie par rapport à ce pla. Doc E est coteu das le pla. Cosidéros u cercle parcouru par u courat I. Que peut-o dire du champ magétique créé e u poit M de l'espace? Si o cosidère u pla coteat le fil et passat par M, le ses du courat est iversé par la symétrie par rapport à ce pla. Il e est de même de B, qui, état axial, doit égalemet être coteu das le pla

DETERMINANTS. a b. et a' b'

DETERMINANTS. a b. et a' b' DETERMINANTS PLAN I : Défiitio ) Détermiat 2 2 2) Forme multiliéaire alterée 3) Détermiat 3 3 4) Détermiat II : Calcul des détermiats : ) Détermiat d'ue matrice diagoale 2) Détermiat d'ue matrice triagulaire

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que

Plus en détail

SESSION DE 2004 CA/PLP

SESSION DE 2004 CA/PLP SESSION DE 4 CA/PLP CONCOURS EXTERNE Sectio : MATHÉMATIQUES SCIENCES PHYSIQUES COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée : 4 heures L usage des calculatrices de poche est autorisø (coformømet au directives de

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal :

On obtient la formule de Pascal en prenant le cardinal : Colles du 3 ovembre 014 Solutio de la questio de cours 1. (i) Soit E u esemble de cardial. L esemble (E) peut alors être partitioé comme suit : (E) (E), où (E) est l esemble des parties de E de cardial.

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

(10.C02) Une matrice de dimension est un tableau formé par la juxtaposition de m vecteurs de dimension n. On la note par une majuscule grasse.

(10.C02) Une matrice de dimension <n;m> est un tableau formé par la juxtaposition de m vecteurs de dimension n. On la note par une majuscule grasse. 0.C ANNEXE: CALCUL MATRICIEL 0.C. Défiitios La maîtrise du calcul matriciel est icotourable pour aborder l'étude des réglages d'état. Nous 'e rappelleros que les opératios fodametales déjà étudiées e mathématiques

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible.

Le rang d une matrice correspond à la dimension de son image, ce qui est égal à la dimension maximale d une sous-matrice extraite inversible. Uiversité de Geève Sectio de Mathématiques Algèbre I Corrigé 2 Série 7, ex 3 Toutes les affirmatios sot vraies sauf la derière E effet, pour que deux espaces soiet e somme directe, il faut que leur itersectio

Plus en détail

DETERMINANTS. Ce chapitre est la version MPSI. Voir DETPCSI.PDF pour les PCSI

DETERMINANTS. Ce chapitre est la version MPSI. Voir DETPCSI.PDF pour les PCSI 203 - Gérard Lavau - http://lavau.pagesperso-orage.fr/idex.htm Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Feuille d exercices: Calcul matriciel.

Feuille d exercices: Calcul matriciel. Feuille d exercices : Calcul matriciel : Exercice 2 3 ) Soit A = 0 0, motrer que A est la matrice das la 2 6 base caoique de R 3 d ue projectio dot o precisera le oyau et l image 2) Doer la matrice das

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions

Dénombrement. Introduction. 1 Cardinaux d'ensembles nis. ECE3 Lycée Carnot. 12 novembre 2010. 1.1 Quelques dénitions Déombremet ECE3 Lycée Carot 12 ovembre 2010 Itroductio La combiatoire, sciece du déombremet, sert comme so om l'idique à compter. Il e s'agit bie etedu pas de reveir au stade du CP et d'appredre à compter

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Exo7 Topologie Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Exercice **

Plus en détail

EXERCICE 1 - Calculs de déterminants

EXERCICE 1 - Calculs de déterminants PCSI 201-2014 CORRECTION DS 1 Lycée de L essouriau EXERCICE 1 - Calculs de détermiats 1 Via C 1 C 1 C 2 et C 2 C 2 C puis e factorisat selo la première coloe par a 1 a 2 et selo la secode par a 2 a ot

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Concours PT2004 Maths I-B. partie A

Concours PT2004 Maths I-B. partie A ocours PT2 Maths I-B Même si le suet e l a pas posé o utilisera : 8 2 M r (R) = I r partie a b x y ax + bz. Si = 2 S c d 2 et B = 2 S z t 2 o a B = cx + dz ay + bt cy + dt Les coe ciets de B sot sommes

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2 Fiche Diagoalisatio des Matrices x MOSE 1003 4 Septembre 014 Table des matières Motivatio, puissaces d ue matrice 1 Diagoalisatio Vérificatio avec Scilab 3 Puissace 4 Motivatio, puissaces d ue matrice

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Racine nième Corrigés d exercices

Racine nième Corrigés d exercices Racie ième Corrigés d eercices Page 9 : N 8, 8, 8, 86, 88, 89, 9, 9, 9, 97 Page 6 : N, Page 6 : N Page 67 : N 8 Page 6 : N N 8 page 9 6 6 6 6 6 ( ) = = = = = = = = ( ) = = = = = = ( ) 8 = 8 = = = = = =

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

II. Permutations sans répétitions et notation factorielle février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le

Plus en détail

Séries réelles ou complexes

Séries réelles ou complexes 6 Séries réelles ou complexes Comme pour le chapitre 3, les suites cosidérées sot a priori complexes et les résultats classiques sur les foctios cotiues ou dérivables d ue variable réelle sot supposés

Plus en détail

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski

Qu est-ce qu un bon énoncé de bac? Analyse de l exercice de spécialité de TS de Pondichéry 2013 Jacques Lubczanski Dossier : Actualité de l Aalyse e Lycée 447 Qu est-ce qu u bo éocé de bac? Aalyse de l exercice de spécialité de TS de Podichéry 2013 Jacques Lubczaski «Podichéry est tombé!» : cela ressemble à l aoce

Plus en détail

FONCTION EXPONENTIELLE

FONCTION EXPONENTIELLE FONCTION EXPONENTIELLE I. RAPPELS : METHODE D EULER Si f est ue foctio dérivable e x 0, o sait que f(x 0 + h) a pour approximatio affie f(x 0 ) + f '(x 0 )h O peut doc sur de "petits" itervalles, approcher

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante :

Exo7. Sujets de l année Devoir à la maison. Enoncés et corrections : Sandra Delaunay. Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivante : Eocés et correctios : Sadra Delauay Exo7 Sujets de l aée 24-25 1 Devoir à la maiso Exercice 1 Soit M la matrice réelle 3 3 suivate : 1 Détermier les valeurs propres de M 2 Motrer que M est diagoalisable

Plus en détail

Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables

Détermination des champs électriques et magnétiques. statiques par la méthode de séparation de variables Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables Chapitre III Détermiatio es champs électriques et magétiques statiques par la méthoe e séparatio e variables

Plus en détail

Fiche N 8 : Matrices.

Fiche N 8 : Matrices. Lycée Paul Gaugui CPGE-EC1 Aée 014/015 Fiche N 8 : atrices Gééralités sur les matrices atrices : Défiitios O appelle matrice à liges et p coloes tout tableau rectagulaire de ombres réels à liges et p coloes

Plus en détail

[A.B] ij =.. (0.5 pt.)

[A.B] ij =.. (0.5 pt.) mx xp Mai 4 ( heures et miutes). a) Soiet A et B avec m,,p IN.Si i {,,...,m} et j {,,...,p}, compléter : [A.B] ij.. (. pt.) b) Démotrer (e justifiat toutes les étapes) que le produit matriciel distribue

Plus en détail

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC

Lycée Fénelon Sainte-Marie Préparation Science-Po/Prépa HEC Lycée Féelo aite-marie Préparatio ciece-po/prépa HEC Foctios Versio du juillet 05 Eercice d degré : racies et coefficiets O rappelle que si l équatio a + b + c = 0 ( a 0 ) adet deu racies α et β (évetuelleet

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1

Exercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1 Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples

Groupes monogènes, groupes cycliques. Exemples 2 Groupes moogèes, groupes cycliques. Exemples Les otios de base sur les groupes sot supposées coues. E particulier, les esembles et groupes quotiets sot supposés cous. Pour des rappels, o pourra cosulter

Plus en détail

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire

Séquence 5. La fonction logarithme népérien. Sommaire Séquece 5 La foctio logarithme épérie Objectifs de la séquece Itroduire ue ouvelle foctio : la foctio logarithme épérie. Coaître les propriétés de cette foctio : sa dérivée, ses variatios, sa courbe, sa

Plus en détail

Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications.

Racines n-ièmes d un nombre complexe. Racines de l unité. Applications. DOCUMENT 14 Racies -ièmes d u ombre complexe. Racies de l uité. Applicatios. Das u documet précédet, o a itroduit le corps des ombres complexes afi que tout ombre réel ait ue racie carrée. O va voir ici

Plus en détail

Chapitre 1 : Les notions de base

Chapitre 1 : Les notions de base Chapitre : Les otios de base Itroductio I Comparer des gradeurs A) Les pourcetages B) Taux de variatio, coefficiet multiplicateur, idice C) Importace du ses de la comparaiso ) Raisoemet sur les taux de

Plus en détail

Module 3 : Inversion de matrices

Module 3 : Inversion de matrices Math Stat Module : Iversio de matrices M Module : Iversio de matrices Uité. Défiitio O e défiira l iverse d ue matrice que si est carrée. O appelle iverse de la matrice carrée toute matrice B telle que

Plus en détail

A propos des matrices

A propos des matrices A propos de matrices Page sur 6 La tavere de l'irladais vous présete A propos des matrices U horizo racompté par Jérôme ONILLON, désagrégé par les mathématiques U mot d'itroductio Il y a peu, les matrices

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices

REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices REDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES Exercices EXERCICE 1 : Soit E u espace vectoriel et u L(E) tel que u u +u = 0 Motrer que Sp (u) {0, 1, } EXERCICE : 1) Soit A ue matrice carrée telle que A

Plus en détail

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes.

On admet que l ensemble des nombres des réels est inclus dans un ensemble plus grand constitué de nombres complexes. Chapitre 1 Nombres complexes Le buts du chapitres sot : Cosolider les aquis de termiale, Savoir maipuler les ombres complexes, e particulier la factorisatio par l agle de moitié. Avoir des otios sur le

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x

/RJLTXHERROpHQQH. Symbole (norme IEC 1 ) x /RJLTXHERROpHQQH I. Défiitios I.. Variable biaire O appelle variable biaire (ou logique), ue variable preat ses valeurs das l esemble {0, }. Eemple : état d u iterrupteur, d u bouto poussoir, la présece

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

EXERCICES : DÉNOMBREMENT

EXERCICES : DÉNOMBREMENT Chapitre 7 ECE 1 - Grad Nouméa - 015 EXERCICES : DÉNOMBREMENT LISTES / ARRANGEMENTS Exercice 1 : Le code ativol Pour so vélo, Toto possède u ativol a code. Le code est ue successio de trois chiffres compris

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Formes multilinéaires et déterminant

Formes multilinéaires et déterminant Emmauel Vieillard Baro www.les-mathematiques.et Formes multiliéaires et détermiat Itroductio Motrer qu ue applicatio liéaire est iversible est à prioris pas chose évidete. e détermiat permettra, das certais

Plus en détail

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière CORRECTION EXERCICES TS /5 CHAPITRE 3 Correctio des exercices sur la ature odulatoire de la lumière Correctio exercice : idice d u verre et réfractio. La radiatio = 530 m est verte et la radiatio = 680

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

Corrigé de Mathématique éco HEC

Corrigé de Mathématique éco HEC Corrigé de Mathématique éco HEC EXERCICE Hypothèses. M 3 R est l espace vectoriel des matrices carrées d ordre 3 à coefficiets réels. A M 3 R : s A 3 A,j, s A 3 A,j, s 3 A 3 somme des coefficiets des liges

Plus en détail

CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE

CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) ALGÈBRE LINÉAIRE ET GÉOMÉTRIE CLASSE DE TECHNOLOGIE, PHYSIQUE ET CHIMIE (TPC) PROGRAMME (A partir de Septembre 2) MATHEMATIQUES Secode aée (Ce ouveau programme présete des modificatios par rapport à l'acie programme) ALGÈBRE LINÉAIRE

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

Corrigé mines 2 PSI 2015 Partie I

Corrigé mines 2 PSI 2015 Partie I Corrigé mies 2 PSI 2015 Partie I Les questios de cette partie sot très faciles, il est doc idispesable d'être irréprochable sur le pla de la rédactio. Questio 1 ous les blocs qui itervieet das ce qui suit

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1 [htt://m.cgeduuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Eocés 1 Déombremet Exercice 1 [ 01529 ] [correctio] Soiet E et F deux esembles fiis de cardiaux resectifs et. Combie y a-t-il d ijectios de E das F?

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Questions pour un champion en ligne

Questions pour un champion en ligne Questios pour u champio e lige Le jeu télévisé QPUC préseté sur FR3 et aimé par Julie Lepers existe aussi e variate «e lige». U jeu «e lige» se déroule aisi : Six iterautes disputet ue première mache dite

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

Comportement d'une suite

Comportement d'une suite Comportemet d'ue suite I) Approche de "ses de variatio et de ite d'ue suite" : 7 Soit la suite ( ) telle que = 5 ( + ) 2 Représetos graphiquemet la suite das u pla mui d' u repère. Il suffit de placer

Plus en détail

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante : " tirer p éléments de E ".

I- Rappel I-1. Types de tirages : Soit un ensemble fini E contenant n éléments. On considère l'épreuve suivante :  tirer p éléments de E . Cours de termiales Probabilités sur u esemble fii Mr ABIDI F I- Rappel I- Types de tirages : Soit u esemble fii E coteat élémets O cosidère l'épreuve suivate : " tirer p élémets de E " Type de tirages

Plus en détail

MA401 : Probabilités TD3

MA401 : Probabilités TD3 MA : Probabilités Exercice Ue compagie aériee étudie la réservatio sur l u de ses vols. Ue place doée est libre le jour d ouverture de la réservatio et so état évolue chaque jour jusqu à la fermeture de

Plus en détail

Séries entières. Chap. 09 : cours complet.

Séries entières. Chap. 09 : cours complet. Séries etières Chap 9 : cours complet Rayo de covergece et somme d ue série etière Défiitio : série etière réelle ou complee Théorème : lemme d Abel Théorème : itervalle des valeurs positives où ue série

Plus en détail

Analyse de structures de données et d algorithmes

Analyse de structures de données et d algorithmes Uiversité Paris 3 Istitut Galilée Master Math-Ifo Aalyse de structures de doées et d algorithmes Polycopié 2006-2007 Christia Lavault Table des matières Combiatoire et déombremet. Permutatios, arragemets

Plus en détail

Dimension finie. 1. Famille libre Combinaison linéaire (rappel) 1.2. Définition

Dimension finie. 1. Famille libre Combinaison linéaire (rappel) 1.2. Définition Dimesio fiie Vidéo partie. Famille libre Vidéo partie 2. Famille géératrice Vidéo partie 3. Base Vidéo partie 4. Dimesio d'u espace vectoriel Vidéo partie 5. Dimesio des sous-espaces vectoriels Fiche d'exercices

Plus en détail

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A

Informatique TP2 : Calcul numérique d une intégrale CPP 1A Iformatique TP : Calcul umérique d ue itégrale CPP 1A Romai Casati, Wafa Johal, Frederic Deveray, Matthieu Moy Avril - jui 014 1 Zéro de foctio O doe le code suivat (vu e cours), qui permet de calculer

Plus en détail

Modèle de pointage et correction des dérives

Modèle de pointage et correction des dérives Ges de la Lue Observatoire astroomique de Plougastel Tél : 0 98 40 69 73 http://www.gesdelalue.org Modèle de poitage et correctio des dérives 1. Présetatio du problème Le poitage d u astre par u télescope

Plus en détail

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E).

Soit E un ensemble. On appelle classe de parties de E un sous-ensemble non vide de P(E). Chapitre 1 Tribus 1.1 Défiitios Soit E u esemble. O appelle classe de parties de E u sous-esemble o vide de P(E). Défiitio 1.1.1. Ue tribu A sur E est u sous-esemble o vide de P(E) tel que : (i) la partie

Plus en détail

N hésitez pas à demander l aide pédagogique par voie d Internet.

N hésitez pas à demander l aide pédagogique par voie d Internet. Uité de mise à iveau UMN0 Cette première uité de mise à iveau a pour ut de vous remettre das le ai du calcul littéral e faisat appel à des coaissaces idispesales pour aorder le cycle complet des UMN. Nous

Plus en détail

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes

SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes UE7 - MA5 : Aalyse SERIES NUMERIQUES réelles ou complexes I. Gééralités Défiitio Etat doée ue suite (u ) de ombres réels ou complexes, o appelle série de terme gééral u la suite (S ) défiie par : () S

Plus en détail

Covariance et ajustement affine par la méthode des moindres carrés

Covariance et ajustement affine par la méthode des moindres carrés Uiversité de Poitiers - 205-206 A. Moreau Algèbre - Géométrie M MEEF Covariace et ajustemet affie par la méthode des moidres carrés Das tout le documet, la lettre désige u etier aturel o ul. Les deux parties

Plus en détail

Août 2014 (1 heure et 45 minutes) b) Quel lien y a-t-il entre le rang d'une matrice et son nombre de lignes et de colonnes? Ne pas

Août 2014 (1 heure et 45 minutes) b) Quel lien y a-t-il entre le rang d'une matrice et son nombre de lignes et de colonnes? Ne pas Août 24 ( heure et 45 miutes). a) Défiir: matrice écheloée lige réduite rag d'ue matrice (.5 pts.) b) Quel lie a-t-il etre le rag d'ue matrice et so ombre de liges et de coloes? Ne pas démotrer. (.5 pt.)

Plus en détail

I. (2 points) III. (2 points)

I. (2 points) III. (2 points) ère S Cotrôle du vedredi 7 mars 05 (0 mi) Préom : Nom : Note : / 0 II ( poits) Soit ABC u triagle isocèle e A tel que AB AC 8 cm et BC 5 cm O ote I le milieu de [AC] Calculer BI (valeur exacte) I ( poits)

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3

LES SUITES. u n = 1 n, pour n 1. u n = n 3 LES SUITES. Défiitio.. Défiitio Ue suite umérique est ue foctio de das, défiie à partir d'u certai rag 0. La otatio (u ) désige la suite e tat qu'objet mathématique et u désige l'image de l'etier (appelé

Plus en détail

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier

Cécile Lardon. Professeur en classe préparatoire au lycée du Parc à Lyon. Jean-Marie Monier Mathématiques Méthodes et eercices ECS e aée Cécile Lardo Professeur e classe préparatoire au lycée du Parc à Lyo Jea-Marie Moier Professeur e classe préparatoire au lycée La Martiière-Moplaisir à Lyo

Plus en détail

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi.

Exo7. Fractions rationnelles. 1 Fractions rationnelles. 2 Décompositions en éléments simples. Corrections de Léa Blanc-Centi. Exo7 Fractios ratioelles Correctios de Léa Blac-Ceti. Fractios ratioelles Exercice Existe-t-il ue fractio ratioelle F telle que ( F() ) = ( + ) 3? Idicatio Correctio Vidéo [006964] Exercice Soit F = P

Plus en détail

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil.

LES ÉCLIPSES. Éclipser signifie «cacher». Vus depuis la Terre, deux corps célestes peuvent être éclipsés : la Lune et le Soleil. Qu appelle-t-o éclipse? Éclipser sigifie «cacher». Vus depuis la Terre, deu corps célestes peuvet être éclipsés : la Lue et le Soleil. LES ÉCLIPSES Pour qu il ait éclipse, les cetres de la Terre, de la

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Séries etières Eercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable Eercice

Plus en détail

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe

14 Chapitre 14. Théorème du point fixe Chapitre 14 Chapitre 14. Théorème du poit fixe Si l o examie de plus près les méthodes de Lagrage et de Newto, étudiées au chapitre précédet, elles revieet das leur pricipe à remplacer la résolutio de

Plus en détail

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices

MATHEMATIQUES 2. Fonctions de matrices SESSION 2004 EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP MTHEMTIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sot iterdites * * * NB : Le cadidat attachera la plus grade importace à la clarté, à la précisio et à la cocisio

Plus en détail

1 Programme de l agrégation interne

1 Programme de l agrégation interne Séries umériques Programme de l agrégatio itere Partie 0b : Séries de ombres réels ou complexes Séries à termes positifs La série coverge si et seulemet si la suite des sommes partielles est borée Étude

Plus en détail

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers)

Chap. 5 : Les intérêts (Les calculs financiers) Chap. 5 : Les itérêts (Les calculs fiaciers) Das u cotrat de prêt, le prêteur met à la dispositio de l empruteur, à u taux d itérêt doé, ue somme d arget (le capital) qu il devra rembourser à ue certaie

Plus en détail

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.

Exo7. Applications linéaires continues, normes matricielles. Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france. Exo7 Applicatios liéaires cotiues, ormes matricielles Exercices de Jea-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-frace.fr Exercice * * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile

Plus en détail