DETERMINANTS. a b et a'

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1 Gérard Lavau - Vous avez toute liberté pour télécharger, imprimer, photocopier ce cours et le diffuser gratuitemet. Toute diffusio à titre oéreux ou utilisatio commerciale est iterdite sas accord de l'auteur. Si vous êtes le gestioaire d'u site sur Iteret, vous avez le droit de créer u lie de votre site vers mo site, à coditio que ce lie soit accessible libremet et gratuitemet. Vous e pouvez pas télécharger les fichiers de mo site pour les istaller sur le vôtre. DETERMINANTS PLAN I : Défiitio ) Détermiat 2 2 2) Forme multiliéaire alterée 3) Détermiat 3 3 4) Détermiat II : Calcul des détermiats : ) Détermiat d'ue matrice diagoale 2) Détermiat d'ue matrice triagulaire 3) Détermiat de la trasposée d'ue matrice 4) Détermiat par blocs diagoaux 5) Développemet par rapport à ue coloe 6) Exemples de calculs 7) Détermiat d'u produit de matrices 8) Détermiat de l'iverse d'ue matrice 9) Ifluece d'u chagemet de base III : Applicatios des détermiats ) Critère d'idépedace 2) Formules de Cramer 3) Iverse d'ue matrice 4) Base directe et idirecte Le corps de référece cosidéré est u sous corps de (ou plus gééralemet, u corps) de caractéristique ulle. Il s'agit le plus souvet de ou eux mêmes. I : Défiitio Détermiat O cherche à quelle coditio deux vecteurs de a b et a' b' sot liéairemet dépedats. Si, par exemple a' b' est o ul, il existe λ tel que : a = λa' b = λb' D'où, e élimiat λ, ab' ba' = 0. Iversemet, si cette coditio est réalisée, avec par exemple a o ul, o obtiet : a' = a.a'/a b' = b.a'/a - -

2 O recoaît das la quatité ab' ba' le détermiat des deux vecteurs, oté a a' b b', déjà itrooduit das le chapitre Géométrie élémetaire qu'o trouvera das le fichier GEOMELEM.PDF. O parle aussi de détermiat de la matrice a a' b b'. Les propriétés de l'applicatio détermiat défiie par (V, V') Det(V,V') sot les suivates : i) Cette applicatio est liéaire e V (V' fixé) et e V' (V fixé). Elle est dite biliéaire. ii) Det(V,V') = Det(V',V). Elle est dite alterée ou atisymétrique. 2 Forme multiliéaire alterée Début de partie réservée aux MPSI a) Cosidéros u espace vectoriel E sur u corps = ou, et ue applicatio Φ de E das. Cette applicatio est dite multiliéaire si, pour tout V, V 2,..., V i, V i+,... V, l'applicatio portat sur la i éme composate V i est liéaire ; Φ(V,..., λv i,...,v ) = λφ(v,...,v i,...,v ) Φ(V,...,V i + V i ',...,V ) = Φ(V,...,V i,...,v ) + Φ(V,...,V i ',...,V ) Aisi le produit scalaire est biliéaire. Le produit de réels est multiliéaire. Plus gééralemet, le produit de formes liéaires sur u espace vectoriel est ue forme liéaire. E fait, la multiliéarité permet de développer ue expressio comme u produit. O fera bie la différece etre applicatio liéaire et multiliéaire. Das le premier cas : Φ(λV, λv 2,..., λv ) = λφ(v, V 2,..., V ) Φ(V + V ',..., V i + V i ',..., V + V ') = Φ(V,..., V i,..., V ) + Φ(V ',..., V i ',..., V ') alors que das le secod : Φ(λV, λv 2,..., λv ) = λ Φ(V, V 2,..., V ) Φ(V + V ',..., V i + V i ',..., V + V ') = Φ(W,..., W i,..., W ) la somme état prise sur tout les W, W i décrivat le couple (V i, V i '). Il y a 2 termes das la somme. b) Cette même applicatio Φ est dite alterée ou atisymétrique si : i j, Φ(...,V i,...,v j,...) = Φ(...,V j,...,v i,...) les autres variables restat égales. PROPOSITION : Soit Φ ue forme multiliéaire. Φ est alterée si et seulemet si : Φ(...,V i,v,v i+,...,v j,v,v j+,...) = 0 pour toute valeur des vecteurs et des idices i et j. Démostratio : Si Φ est alterée, e preat V i = V j = V das la défiitio, o obtiet le résultat demadé. Iversemet : Preos V = V i + V j. E utilisat la multiliéarité, o obtiet : Φ(...,V i,...,v i,...) + Φ(...,V i,...,v j,...) + Φ(...,V j,...,v i,...) + Φ(...,V j,...,v j,...) = 0 qui se réduit à : Φ(...,V i,...,v j,...) + Φ(...,V j,...,v i,...) = 0. Ce qui prouve que Φ est alterée. EXEMPLE : Cherchos les formes biliéaires alterées sur u espace vectoriel de dimesio 2, de base (e, e 2 ). Posos C = Φ(e, e 2 )

3 O a alors : Φ(ae + be 2, a'e + b'e 2 ) = aa'φ(e, e ) + ab'φ(e, e 2 ) + ba'φ(e 2, e ) + bb'φ(e 2, e 2 ) e utilisat la multiliéarité Φ(ae + be 2, a'e + b'e 2 ) = C(ab' ba') e utilisat l'alterace. Aisi toutes les formes biliéaires alterées sot proportioelles au détermiat. PROPOSITION : Soit σ ue permutatio de élémets. Alors : Φ(V σ(), V σ(2),..., V σ() ) = ε(σ) Φ(V, V 2,..., V ) où ε(σ) désige la sigature de σ. Démostratio : Elle se fait immédiatemet par récurrece sur le ombre de traspositios qui compose σ. Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 3 Détermiat 3 3 Soit (e, e 2, e 3 ) ue base d'u espace vectoriel de dimesio 3. Cherchos Φ(ae + be 2 + ce 3, a'e + b'e 2 + c'e 3, a"e + b"e 2 + c"e 3 ), avec Φ triliéaire alterée. Posos C = Φ(e, e 2, e 3 ). O a alors : Φ(ae + be 2 + ce 3, a'e + b'e 2 + c'e 3, a"e + b"e 2 + c"e 3 ) = ab'c" Φ(e,e 2,e 3 ) + ab"c' Φ(e,e 3,e 2 ) + a'bc" Φ(e 2,e,e 3 ) + a'b"c Φ(e 2,e 3,e ) + a"bc' Φ[e 3,e,e 2 ] + a"b'c Φ[e 3,e 2,e ] Remarquos maiteat que : Φ(V,V',V") = Φ(V',V,V") = Φ(V',V",V) =... Φ(V",V,V') (Ceci est u cas particulier du résultat motré e 2, relatif aux permutatios). O peut alors exprimer toutes les quatités e foctio de C. O obtiet : Φ(ae + be 2 + ce 3, a'e + b'e 2 + c'e 3, a"e + b"e 2 + c"e 3 ) = (ab'c" + a'b"c + a"bc' ab"c' a'bc" a"b'c)c O peut vérifier que la partie etre parethèse est effectivemet triliéaire alterée. Il s'agit du a a' a" détermiat 3 3. O le ote b b' b" c c' c" 4 Détermiat Début de partie réservée aux MPSI Cherchos les formes liéaires alterées sur u espace de dimesio mui d'ue base (e,..., e ). O cosidère vecteurs V j = a ij e i. O a : Φ(V,..., V ) = Φ( a i e i,..., a i e i ) = σ a σ()...a σ() Φ(e σ(),..., e σ() ) - 3 -

4 O e garde das la somme de droite que les termes pour lesquels σ(),..., σ() preet des valeurs distictes, les autres valeurs de Φ état ulles. σ est doc ue permutatio de {,..., }. Les termes restat peuvet s'exprimer e foctio de Φ(e,..., e ). O arrive à : Φ(V,..., V ) = ε(σ) a σ()...a σ() Φ(e,..., e ) où σ décrit S. σ Toute forme liéaire alterée est doc proportioelle à la forme fodametale : σ ε(σ) a σ()...a σ() Cette expressio s'appelle détermiat des vecteurs (V,..., V ) ou détermiat de la matrice (a ij ). O peut égalemet parler de détermiat d'u edomorphisme, celui ci état égal au détermiat d'ue matrice associée das ue base doée. Le problème se pose de savoir si ce détermiat déped de la base choisie, et sera examié das la partie III. O peut vérifier que cette expressio est effectivemet liéaire alterée. Voici commet o peut motrer qu'elle est alterée : det(v,..., V ) = ε(σ) a σ()...a σ() σ det(v,... V i, V j, V i+,..., V j, V i, V j+,..., V ) se calcule e itervertissat les vecteurs V i et V j. O calcule la somme de termes de la forme ε(σ)... a σ(i)j... a σ(j)i... (Les uméros de lige sot les mêmes, mais o a permuté les uméros de coloes). Posos τ la traspositio échageat i et j. Le terme e questio s'écrit, e permutat les deux termes a σ(i)j et a σ(j)i : ε(σ)a στ()...a στ(i)i...a στ(j)j...a στ() ou ecore à ε(στ)a στ()...a στ(i)i...a στ(j)j...a στ() car ε(τ) =. La somme est prise pour toute les valeurs de l'idice σ parcourat le groupe symétrique. Mais si l'o chage d'idice, e preat cette fois στ, στ décrit égalemet le groupe symétrique, et l'o recoaît alors le détermiat iitial, précédet du sige. Le détermiat est bie alteré. La formule proposée 'est guère pratique. Elle possède! termes. Nous verros plus tard des moyes rapides de calculer cette expressio. a... a Le détermiat se ote a... a Nous retiedros que : PROPOSITION : Toute forme liéaire Φ alterée das u espace de dimesio mui d'ue base doée (e,...,e ) est proportioelle au détermiat des coefficiets des vecteurs das cette base. Le coefficiet de proportioalité est Φ(e,..., e ). Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. Das toute la suite du chapitre, les étudiats de PCSI et de PTSI se limiterot au cas = 2 ou = 3, les démostratios se faisat par calcul direct sur les expressios de ces détermiats. Les propos les cocerat serot idiqués e bleu. Ils sauterot doc les démostratios prévues pour le cas gééral et qui e coceret que les étudiats de MPSI

5 II : Calcul des détermiats Détermiat d'ue matrice diagoale = E effet, le seul terme o ul das la défiitio du détermiat est obteu pour σ = Id. E utilisat la multiliéarité, o e déduit que : a a = a a 2...a a a a 2 0 = a a 2 a a 3 2 Détermiat d'ue matrice triagulaire a a 2... a 0 a a 2 = a a 22...a a a 0 a 2... = a a 2 a a 3 E effet, e utilisat la défiitio du détermiat, le seul terme de la somme ε(σ)a σ()...a σ() pouvat être o ul est celui pour lequel σ() =, σ(2) = 2,..., σ() =. σ = Id et ε (σ) =. Le résultat est idetique si la matrice est triagulaire iférieure. O se ramèe à ue matrice triagulaire au moye des techiques suivates : i) Multiplier ue coloe (ou ue lige) par λ multiplie le détermiat par λ ii) Remplacer la coloe V j par V j + λv k e chage pas la valeur du détermiat. iii) Plus gééralemet, ajouter d'autres coloes à ue coloe doée e chage pas la valeur du détermiat. iv) Si l'ue des coloes ou l'ue des liges est ulle, le détermiat est ul. v) Si deux coloes ou deux liges sot proportioelles, le détermiat est ul. vi) Si l'o permute deux coloes ou deux liges, le détermiat chage de sige. Exemple : = = 2 C 2 C 2 2C e effectuat C 3 C 3 C C 3 C 3 3C e effectuat C 2 C 3 et e mettat 2 e facteur

6 e effectuat C 3 C 3 + 5C 2 C 4 C 4 + 8C e effectuat C 4 C C /3 = 2 = 2 = = 4 3 Détermiat de la trasposée d'ue matrice PROPOSITION det( t A) = det(a) Démostratio : (Faire u calcul direct pour = 2 ou 3) Nous utiliseros la défiitio du détermiat : det( t A) = ε(σ) a σ()...a σ() σ Le terme gééral du produit a σ()...a σ() est a iσ(i). Posos θ = σ. O a a iσ(i) = a θ(j)j e posat σ(i) = j. Quad i varie de à, il e est de même de j. La somme précédete est doc égale à : det( t A) = ε(σ) a θ()...a θ() σ Comme ε(θ) = ε(σ) et qu'à chaque σ correspod u et seul θ, o peut écrire : det( t A) = ε(θ) a θ()...a θ() θ qui 'est que l'expressio du détermiat de A. Aisi : det( t A) = det(a). Cette propriété est importate car elle sigifie que tout ce que ous disos ou diros sur les coloes d'u détermiat est égalemet vrai pour les liges. Par exemple, le détermiat est ue forme multiliéaire alterée des liges qui le composet. 4 Détermiat par blocs diagoaux Début de partie réservée aux MPSI Il s'agit de calculer u détermiat de la forme D = A C O B où A est ue matrice carrée p p, B ue matrice carrée ( p) ( p), C ue matrice p ( p) et O la matrice ( p) p ulle. Notos V,..., V p les coloes de A, costituées de p composates, et cosidéros D comme ue foctio f(v,..., V p ). Il 'est pas difficile de motrer que f est ue forme p-multiliéaire alterée de (V,..., V p ). Par exemple, multiplier V i par u scalaire λ reviet das D à multiplier par λ la coloe etière i (i.e. la coloe V i de A et les zéros situés e dessous). E utilisat la liéarité de D par rapport à cette coloe, o peut mettre λ e facteur. O utilise alors la propriété caractéristique des formes multiliéaires alterées : f(v,..., V p ) = det(v,..., V p ) f(e,..., e p ) où e,..., e p est la base caoique de p pour coclure que : - 6 -

7 avec I p matrice idetité. D = det(a) I p C O B O raisoe de même sur B, mais e cosidérat cette fois I p C O B comme forme ( p)-liéaire des liges de B, de sorte que l'o obtiet : I p C O B = det(b) I p C O I p (O utilise les liges de B et o les coloes car o a besoi que les p vecteurs utilisés das B soiet complétés par des 0 pour motrer le caractère multiliéaire alteré de la foctio de B, comme o l'a fait pour A avec les coloes). Efi I p C O I = puisqu'il s'agit d'ue matrice triagulaire à termes diagoaux égaux à. p O a doc bie A C O B = det(a) det(b) Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 5 Développemet par rapport à ue lige ou ue coloe Début de partie réservée aux MPSI Cosidéros det(v,..., V j,..., V ) où V j = aij e i. O a, utilisat la multiliéarité et le caractère alteré du détermiat : det(v,..., V j,..., V ) = det(v,..., aij e i,..., V ) = aij det(v,..., V j, e i, V j+,..., V ) = aij det(v,..., V j, e i, V j+,..., V ) = a ij a... a,j 0 a,j+... a i... a i,j 0 a i,j+... a i... a i,j a i,j+... a i+... a i+,j 0 a i+,j+... a... a,j 0 a,j

8 = ( ) j a ij 0 a... a,j a,j a i... a i,j a i,j+... a i... a i,j a i,j a i+... a i+,j a i+,j a... a,j a,j+... e permutat la coloe j avec toutes celles qui précèdet = = ( ) j ( ) i a ij a i... a i,j a i,j a... a,j a,j a i... a i,j a i,j a i+... a i+,j a i+,j a... a,j a,j+... e permutat la lige i avec toutes celles qui précèdet a... a,j a,j+... a i... a i,j a i,j+... a i+... a i+,j a i+,j+... a... a,j a,j+... ( ) i+j a ij e remarquat qu'o avait u détermiat par blocs et ( ) ( ) Notos M ij le détermiat ( ) ( ) a... a,j a,j+... a i... a i,j a i,j+.... O remarque qu'il est a i+... a i+,j a i+,j+... a... a,j a,j+... costitué des liges, 2,..., i, i+,... de la matrice iitiale. Autremet dit, M est obteu à partir du détermiat iitial e supprimat la coloe j et la lige i. Ce détermiat s'appelle mieur du terme (i,j). O a alors : det(v,..., V j,..., V ) = ( ) i+j a ij M ij La quatité C ij = ( ) i+j M ij s'appelle cofacteur du terme (i,j), de sorte qu'o écrit égalemet : det(v,..., V j,..., V ) = a ij C ij Exemple : = e développat par rapport à la troisième coloe - 8 -

9 = ( ) ( ) = = = 4 O choisit évidemmet de préférece des coloes possédat u grad ombre de 0. Comme det(a) = det t A, le calcul peut se faire égalemet e cosidérat les liges. O développe suivat ue lige d'ue maière aalogue à ue coloe. Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 6 Exemples de calculs Début de partie réservée aux MPSI Exemple : Calculer le détermiat suivat : x y z t y x t z z t x y = D t z y x O développe par rapport à la première coloe : x t z y z t y z t y z t D = x t x y y t x y z x t z + t x t z z y x z y x z y x t x y = x [x 3 + x(t 2 + y 2 + z 2 )] + y [y(x 2 + t 2 + z 2 ) + y 3 ] + z [z 3 + (t 2 + y 2 + x 2 )z] + t[t(y 2 + x 2 + z 2 ) + t 3 ] = x 4 + y 4 + z 4 + t 4 + 2(x 2 y 2 + x 2 z 2 + x 2 t 2 + y 2 t 2 + y 2 z 2 + z 2 t 2 ) = (x 2 + y 2 + z 2 + t 2 ) 2 Exemple 2 : Calculer le détermiat D = O remarque que la coloe C j s'obtiet à partir de la coloe C j de la faço suivate : j j j = j 2 j j D = det(c,...,c ) = det(c C 2, C 2 C 3,..., C C, C ) = = det(c ',...,C ') - 9 -

10 = det(c ' C 2 ',..., C 2 ' C ',C ',C ') = = ( ).2 2.( ) a b c 2a 2a Exemple 3 : Calculer D = 2b b c a 2b 2c 2c c a b O ajoute les deux derières liges à la première : a+b+c a+b+c a+b+c D = 2b b c a 2b = (a+b+c) 2b b c a 2b 2c 2c c a b 2c 2c c a b O retrache la première coloe aux autres : 0 0 D = 2b b c a 0 = (a+b+c) 3 2c 0 c a b Exemple 4 : Calculer D = a+b ab a+b ab a+b ab a+b O développe par rapport à la première coloe. O obtiet : D = (a+b)d abd 2 suite récurrete liéaire E utilisat D = a+b, D 2 = a 2 +b+b 2 et doc D 0 =, o obtiet : si a = b : D = (+)a si a b : D = a+ b + a b Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 7 Détermiat d'u produit de matrices PROPOSITION Soiet A et B deux matrices carrées. Alors det(ab) = det(a) det(b) Démostratio : (Faire u calcul direct pour = 2 ou 3) Cosidéros A et B deux matrices. O peut les cosidérer comme les matrices de deux edomorphismes de, f et g. O ote (e,..., e ) la base caoique de. La j ème coloe de A est égale à f(e j ) ; celle de B est égale à g(e j ) ; celle de AB est égale à f o g(e j ). La foctio défiie par : Φ(V,..., V ) = det(f(v ),..., f(v )) est ue forme liéaire alterée. Elle est doc proportioelle à det(v,..., V ), le coefficiet de proportioalité état Φ(e,..., e ). O a doc : Φ(V,..., V ) = Φ(e,..., e ).det(v,..., V ) det(f(v ),..., f(v )) = det(f(e ),..., f(e )).det(v,..., V ) - 0 -

11 Or det(f(e ),..., f(e )) 'est autre que det(a). Aisi : det(f(v ),..., f(v )) = det(a).det(v,..., V ) Preos maiteat V i = g(e i ). O obtiet : det(f(g(e )),..., f(g(e ))) = det(a).det(g(e ),..., g(e )) Or det(f(g(e )),..., f(g(e ))) = det(ab) et det(g(e ),..., g(e )) = det(b) Aisi det(ab) = det(a).det(b) 8 Détermiat de l'iverse d'ue matrice PROPOSITION Soit A ue matrice carrée iversible. Alors det(a ) = - - det(a) Soit A ue matrice iversible. Si l'o applique e particulier ce qui a été prouvé précédemmet à A et A, o obtiet : det(aa ) = det(a)det(a ) or AA = I et det(i) =. Aisi det(a ) = det(a) Nous motreros plus loi qu'ue matrice est iversible si et seulemet si so détermiat est o ul. U ses de l'implicatio viet doc d'être motré. 9 Ifluece d'u chagemet de base Soit E u espace vectoriel de dimesio, de base iitiale (e,..., e ). Notos det e le détermiat relatif à cette base. Soit ue ouvelle base (ε,..., ε ). Notos det ε le détermiat relatif à cette ouvelle base. Soit P la matrice de passage de la base e à la base ε. Quel rapport y a t il etre det e et det ε et P? E ce qui cocere les vecteurs (V,..., V ). Notos (V e ) la coloe des composates des V i das la base e et (V ε ) la matrice des composates des V i das la base ε. O a : (V e ) = P(V ε ). Doc : det e (V) = det(v e ) = det(pv ε ) = det(p)det(v ε ) = det(p)det ε (V) Aisi le détermiat d'ue famille de vecteurs déped de la base choisie. Parler de détermiat d'u système de vecteurs sas parler de base de référece est u o ses. Das, la base de référece est par défaut la base caoique. Le détermiat reste ichagé si P est telle que det(p) =. L'esemble des matrices de détermiat, mui du produit des matrices forme u sous groupe du groupe des matrices iversibles, appelé groupe spécial ( ) (ou groupe uimodulaire). E ce qui cocere les edomorphismes, soit M la matrice associée à f das la base e, et N la matrice associée à f das la base ε. O a : M = PNP doc det(m) = det(p)det(n)det(p ) = det(n)

12 Aisi, le détermiat d'ue matrice associée à f e déped pas de la base choisie. O peut doc parler du détermiat de f, sas préciser la base. Les règles vues au 7) et 8) s'éocet ici : det(f o g) = det(f).det(g) det(f ) = pour f iversible. det(f) det est u morphisme de (L(E),o) (ou ( )) das (,.). C'est u morphisme de groupe de (GL(E),o) (ou ( )) das ( *,.). Le oyau de ce morphisme 'est autre que le groupe des edomorphismes (ou des matrices) de détermiat, le groupe spécial liéaire (E) (ou ( ) pour les matrices). Iterprétatio géométrique : Soit doé ue base (e,..., e ). Alors le détermiat d'u système de vecteurs (V,..., V ) das cette base s'iterprète comme le volume (algébrique) du parallélépipède d'arêtes (V,..., V ), le volume uité état défii comme celui du parallélépipède costruit selo (e,..., e ). Le détermiat sera positif lorsque la base (V,..., V ) aura même orietatio (voir plus bas) que la base (e,..., e ). V 2 V 3 V 2 V V Cette applicatio (V,..., V ) volume(v,..., V ) est e effet multiliéaire et alterée. Elle est doc proportioelle au détermiat. Valat sur la base (e,..., e ), elle est égale au détermiat défii relativemet à cette base. Le volume déped évidemmet de l'uité choisie pour le mesurer. De même, le détermiat d'u système de vecteurs déped de la base das lequel o le calcule. Soit maiteat u edomorphisme f. Celui-ci trasforme u système de vecteurs (V,..., V ) de volume det(v) (où V est la matrice des composates des (V,..., V ) das ue base (e,..., e )) e u système de vecteurs (f(v ),..., f(v )), de volume det(mv) (où M est la matrice de f das la base (e,..., e )). O voit que det(f) = det(m) est le rapport des deux volumes. Autremet dit, det(m) est le facteur par lequel est multiplié le premier volume pour obteir le secod volume das la trasformatio f. Si les volumes dépedet de l'uité choisie, il 'e est pas de même de leur rapport, qui est itrisèque aux deux parallélépipèdes. C'est pourquoi le détermiat de f, rapport de deux volumes, e déped pas de la base choisie. III : Applicatios des détermiats Critère d'idépedace PROPOSITION : i) Soit E u espace vectoriel de dimesio mui d'ue base (e, e 2,..., e ), et soit (V, V 2,..., V ) ue famille de vecteurs. Ces vecteurs formet u système libre si et seulemet si det(v,..., V ) est o ul. ii) Soit A ue matrice. Alors A est iversible si et seulemet si det(a) est o ul

13 iii) Soit f u edomorphisme d'u espace vectoriel E, mui d'ue base (e, e 2,..., e ). Alors f est iversible si et seulemet si det(f) est o ul. Ces trois propriétés sot e faite trois versios du même théorème. Prouvos le i). Démostratio : Si le système est libre, alors la matrice formée des coefficiets est ue matrice de rag, doc iversible, et le détermiat d'ue matrice iversible est o ul. Réciproquemet, si le système est lié, alors l'u des vecteurs est combiaiso liéaire des autres ; par exemple, V = λ i V i. Alors : i=2 det(v,..., V ) = λ i det(v i, V 2,..., V ) i=2 et chaque détermiat de la somme de droite est ul, puisque V i apparaît deux fois. Début de partie réservée aux MPSI EXEMPLE : Coditio d'idépedace des vecteurs coloes suivats :... a a 2... a a a 2... a a a 2... a Le détermiat correspodat s'appelle détermiat de Vadermode ( ). Il s'agit d'u polyôme de variables, dot tous les termes sot de degré global ( ). O remarque qu'il se 2 factorise par (a j a i ) puisque, si a j = a i, il possède deux coloes idetiques. Or le produit des (a j a i ), i < j, est lui même u polyôme de degré ( ) Il est doc égal au détermiat de 2. Vadermode, à ue costate près. Or les deux expressios possédat le terme a 2 a a, la costate est égale à. Aisi, le détermiat est égal à (a j a i ). Il est doc ul si et seulemet si il i < j existe i et j disticts tels que a i = a j, autremet dit, s'il existe deux coloes idetiques. Cela doe aussi la coditio de liaiso des vecteurs. O peut égalemet procéder par récurrece sur e cosidérat que le détermiat est u polyôme e a de degré. Si les a i sot disticts, ce polyôme s'aule e racies distictes a = a,..., a = a et se factorise doc par (a a )...(a a ), le coefficiet domiat état u Vadermode de rag. Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 2 Formules de Cramer (O se limite à la dimesio 2 ou 3 e PCSI) Cosidéros u système de équatios à icoues a ij x j = b i, i. Soit A la matrice des j= coefficiets (a ij ), V le vecteur de composates (x i ) et B le vecteur de composates (b i ). Le système est équivalet à AX = B. Il admet ue solutio uique si et seulemet si A est iversible, c'est à - 3 -

14 dire, si det(a) est o ul. Notos (C, C 2,..., C ) les coloes de la matrice A. Que vaut det(c,...,c i, B, C i+,..., C )? Remplaços B par xj C j et utilisos le fait que le détermiat est j= multiliéaire alteré. O obtiet x j.det(a). O obtiet aisi les formules de Cramer : x j = det(c,...,c i, B, C i+,..., C ) det(a) Exemple : E dimesio 2, o a : ax + by = e cx + dy = f Les solutios sot : e b x = f d ed bf = a b ad bc c d a e y = c f af ce = a b ad bc c d Mais e pratique, la méthode de Gauss est plus efficace pour résoudre u système. 3 Iverse d'ue matrice Début de partie réservée aux MPSI Soit A ue matrice carrée. Notos C ij le cofacteur du terme a ij. La matrice de terme gééral (C ij ) s'appelle comatrice de A. La méthode de développemet de la coloe j permet d'écrire : det(a) = aij C ij O se pose la questio suivate : pour k j, que vaut aik C ij? Cette somme est idetique à la précédete, ue fois que l'o a remplacé les termes a ij par les termes a ik. Il est doc égal au détermiat d'ue matrice obteue à partir de la matrice A e remplaçat la coloe j par la coloe k (cela e modifie pas les cofacteurs C ij, qui e dépedet pas de a ij ). Mais alors, la ouvelle matrice obteue possède deux coloes idetiques, la j et la k. So détermiat est doc ul. Aisi : a ik C ij = δ kj.det(a) où δ kj = si k = j = 0 si k j Les cosidératios précédetes permettet d'exprimer l'iverse d'ue matrice à l'aide des cofacteurs. E effet, posos b ij = C ji. La matrice B est la trasposée de la comatrice et b ji a ik C ij = δ kj det(a). Cette égalité exprime le fait que BA = det(a) I - 4 -

15 Si det(a) est o ul, A est iversible et so iverse est égale à la trasposée de la comatrice, divisée par le détermiat de A. Cette méthode 'est cepedat pas la plus rapide pour calculer l'iverse d'ue matrice. EXEMPLE : pour ue matrice 2 2, l'iverse de a b c d est égale à ad bc d b c a Fi de la partie réservée aux MPSI. Retour à la partie commue MPSI, PCSI, PTSI. 4 Base directe et idirecte Das cette partie, =. O pourra réfléchir aux questios suivates : Quelle différece etre ue droite et u axe? Das le pla, commet est défii le ses trigoométrique? Quels sot les repères usuels utilisés pour les écras d'ordiateurs ( de liges et de coloes)? Das l'espace de dimesio 3, commet est défii géométriquemet le produit vectoriel? Commet est fait u tire boucho? Quel ses possède cette phrase (lue das la revue Pour La Sciece)? "La plupart des comètes se déplacet das le ses trigoométrique par rapport au soleil." Commet distigue t o la gauche de la droite? O remarquera que, pour l'esemble de ces questios, ue covetio arbitraire a été choisie, et qu'ue autre covetio, et ue seule autre, aurait pu être préférée. O dira qu'il y a deux faços différetes d'orieter le pla ou l'espace. Cette situatio est géérale. Cosidéros u espace vectoriel de dimesio, ( = 2 ou 3 e PCSI), mui d'ue base arbitraire (e,..., e ). Soit (ε,..., ε ) ue autre base. La matrice de passage P de e à ε est iversible. So détermiat est o ul. Ou bie det(p) > 0 et ous diros que les deux bases défiisset la même orietatio de l'espace, ou bie det(p) < 0, et ous diros que les deux bases défiisset des orietatios différetes de l'espace. Il 'y a que deux orietatios possibles. E effet, soit (e) ue base, (e') et (e") deux autres bases ayat ue orietatio différete de celle de (e). Motros que (e') et (e") ot même orietatio. O a e effet det(p ee' ) < 0 det(p e"e ) < 0 det(p e"e') = det(p e"e P ee' ) > 0 Le choix (arbitraire) d'ue de ces deux orietatios défiit ue orietatio de l'espace de dimesio. Les bases de cette classe sot dites directes, les bases de l'autre classe sot dites idirectes. Il 'existe aucu moye de privilégier ue base par rapport à l'autre. Voici quelques otios mathématiques ou physiques dépedat de l'orietatio de l'espace de dimesio 2 ou 3 : La défiitio du ses trigoométrique Le produit vectoriel Le champ magétique B (le vecteur B, dépedat de l'orietatio, est dit axial) Le momet ciétique mom V et le momet dyamique mom a Le momet d'u dipôle magétique (petite boucle de circuit de surface S parcourue par u courat I. µ = IS où S est orieté orthogoalemet à la boucle e foctio du ses du circuit. Les couples Les vecteurs de rotatio Le rotatioel - 5 -

16 Voici quelques otios 'e dépedat pas : L'orthogoalité Le gradiet, la divergece Le champ électrique E (Le vecteur E, e dépedat pas de l'orietatio, est dit polaire) Les forces, vitesses et accélératios EXEMPLE D'APPLICATIONS De même qu'il existe e physique la otio d'homogééité des uités, permettat de tester rapidemet la validité d'ue formule, il existe égalemet la otio d'homogééité du caractère axial ou polaire des vecteurs. Ci-dessous, les vecteurs axiaux sot e rouge, les vecteurs polaires e bleus. Nous otos égalemet e rouge les produits vectoriels. O a alors : Vecteur axial = Vecteur polaire Vecteur polaire Vecteur polaire = Vecteur polaire Vecteur axial Vecteur axial = Vecteur axial Vecteur axial O a égalemet, cocerat le rotatioel : Rot Vecteur polaire = Vecteur axial Rot Vecteur axial= Vecteur polaire Force électrostatique F = qe : égalité de deux vecteurs polaires E = gradv : égalité de deux vecteurs polaires F = qv B (force de Loretz) ou df = idl B (force de Laplace) : égalité de deux vecteurs polaires. qv ou idl sot polaires, B est axial, mais le produit vectoriel des deux est polaire. Aisi, si u des membres est u vecteur polaire et si l'autre membre cotiet u vecteur axial et si le résultat est polaire, il faudra écessairemet qu'iterviee u produit vectoriel. db = µ 0 idl u 4π r 2 (loi de Biot et Savart) : égalité de deux vecteurs axiaux. C = µ B (couple s'appliquat sur u dipôle magétique plogé das u champ magétique) : égalité de deux vecteurs axiaux. L'orietatio peut égalemet s'appliquer à des quatités scalaires. O parle alors de pseudoscalaires dot le sige déped du choix arbitraire de l'orietatio : B.dl = µ 0 J.dS (Théorème d'ampère) Γ rot E = B t D (ue des équatios de Maxwell) : égalité etre deux vecteurs axiaux µ 0 rot B = J + ε 0 E t (ue autre équatio de Maxwell) : égalité etre deux vecteurs polaires C = OM F (couple créé e M par ue force F par rapport à O) : égalité de deux vecteurs axiaux V = Ω OM (vitesse d'u poit M tourat par rapport à O à la vitesse agulaire Ω) égalité de deux vecteurs polaires

17 Le fait qu'ue réflexio S (symétrie par rapport à u pla e dimesio 3, ou plus gééralemet par rapport à u hyperpla e dimesio quelcoque) trasforme ue base directe e base idirecte et itervertit doc l'orietatio de l'espace a des coséqueces importates sur les vecteurs polaires et les vecteurs axiaux. U vecteur polaire est u "vrai" vecteur ; il sera doc symétrisé comme o s'y atted : sa composate parallèle au pla de symétrie sera ivariate, sa composate orthogoale à ce pla sera chagée de sige. Mais u vecteur axial 'est pas u "vrai" vecteur. Il est défii par exemple comme produit vectoriel de deux vecteurs polaires u et v. Or, si l'o décompose chacu de ces vecteurs e ue composate parallèle au pla et ue composate orthogoale, o a : u = u // + u v = v // + v u v = (u // + u ) (v // + v ) = u // v // + u v // + u v // (e teat compte du fait que u v = 0) ortho- paralallèle au goal pla au pla O vérifiera alors que S(u v) est différet de S(u) S(v). E effet : S(u v) = u // v // + u v // + u v // alors que S(u) S(v) = (u // u ) (v // v ) = u // v // u v // u v // = S(u v) E physique, si l'o souhaite utiliser les symétries d'u système tout e gardat la même orietatio de l'espace, o est ameé à cosidérer que u v est trasformé e S(u) S(v) et o est coduit à la règle suivate : La composate du vecteur axial orthogoale au pla est ivariate, la composate parallèle est chagée e so opposée. Ce sera le cas du vecteur champ magétique B par exemple

18 EXEMPLES : Cosidéros u fil rectilige uiformémet chargé. Soit S ue symétrie par rapport à u pla coteat le fil. Le système reste ivariat par S. Il e est doc de même du champ électrique (polaire) E créé par le fil. E est coteu das le même pla que le fil. Soit S' ue symétrie par rapport à u pla orthogoal au fil. Le système reste égalemet ivariat par S'. Il e est doc de même de E. E est doc égalemet coteu das ce pla. La seule possibilité est que E soit radial. S S' E Cosidéros u fil rectilige parcouru par u courat I. Soit S ue symétrie par rapport à u pla coteat le fil. Le système reste ivariat par S. Il e est doc de même du champ magétique (axial) B créé par le fil. Mais pour u vecteur axial, cela sigifie que B est orthogoal à ce pla. O peut retrouver ce résultat par l'autre symétrie S' par rapport à u pla orthogoal au fil. Das cette symétrie, le ses du courat est iversé. Il e est de même de B. Mais pour u vecteur axial, cela sigifie qu'il est parallèle au pla cosidéré. I S B S' - 8 -

19 Cosidéros u cercle uiformémet chargé. Que peut-o dire du champ électrique créé e u poit M de l'espace? Si o cosidère u pla coteat le fil et passat par M, le système est ivariat par la symétrie par rapport à ce pla. Doc E est coteu das le pla. Cosidéros u cercle parcouru par u courat I. Que peut-o dire du champ magétique créé e u poit M de l'espace? Si o cosidère u pla coteat le fil et passat par M, le ses du courat est iversé par la symétrie par rapport à ce pla. Il e est de même de B, qui, état axial, doit égalemet être coteu das le pla