Petit recueil d'énigmes

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1 Petit recueil d'éigmes Patxi RITTER (*) facile (**) mois facile (***) pas facile (****) il faudra de l aide Solutios e rouge. 1) Cryptarithme (**) Trouvez la valeur de A, B et C satisfaisat l équatio suivate. Chaque icoue est u chiffre compris etre 1 et 9 iclus. Attetio aux reteues!! BAC = 956 A+A+A+ret2 = 17 avec ret2 <= 2 car 3N<=27 pour N=9 au maximum 3*4 = 12, 12+2=14 < 17 3*6=18 > 17 3*5=15, 15+2 = 17 A=5 et ret2=2 B+B+C+ret1 = 25 car ret2=2 doc C>=5 Or A+C+C = 5+2C = 7 ou 17 et C>=5 doc 5+2C=17 C=6 Aisi B = 9 2) Age (**) J ai trois fois l âge que vous aviez quad j avais l âge que vous avez. Quad vous aurez l âge que j ai, ous auros esemble 56 as. Etes-vous majeur? Age de «j ai» = âge de «Y» = y as Age de «vous» = âge de «X» = x as 1ere affirmatio : quad Y avait l âge actuel de X il avait y-(y-x) as et doc X avait x-(y-x) as qui correspod à 1 tiers de so âge actuel doc 3(x-(y-x))=y ou 6x=4y

2 2eme affirmatio : Quad X aura l âge de Y il aura x+(y-x) qui, si o l additioe à l âge de Y à la même époque y+(y-x) o trouve 56. Soit 3y-x = 56 O trouve aisi y = 24 et x = 16<18 (pas majeur) 3) Systeme fou (*) 1+1=a a+a=b b+b=c ((a*b)*c)/(a*b)=y y*a*c= repose =(y*a*b*c*)/a b²+a²=l e=(a+a)*b s=(y+)*b t=(c*a)/y² L.a.repose.e.s.t = ) Carrés (**) O dispose des séries de ombres suivats: 1,2,3,4,5 1,3,4,5,6 1,4,5,6,7 1,5,6,7,8 etc... Trouver ue relatio valable pour chaque série utilisat la totalité des ombres pour obteir le carré d'u etier. Les opérateurs autorisés sot la multiplicatio et l additio. 1+2*3*4*5 = 121 = 11² 1+3*4*5*6 = 361 = 19² 1+4*5*6*7 = 841 = 29² 1+5*6*7*8 = 1681 = 41² 1+(+1)(+2)(+3)(+4) = k² 5) 2 écritures pour u même ombre? (*) Posos A = 0, (à l ifii). Remarque : u ombre avec ue partie décimale ifiie, cela existe : pesez par exemple au célèbre π ou 2. Preos alors ce ombre A et faisos lui subir quelques opératios élémetaires : 10*A = 9, *A = 9+0,

3 10*A = 9+A 10*A-A = 9 9*A = 9 D où A=1 Peut-o vraimet dire que 1 = 0, ?? Si oui, trouvez ue autre faço de le prouver simplemet e utilisat le chiffre 3 et so iverse. La répose à la questio est oui et le calcul e était ue démostratio rigoureuse. E effet «- 1=». Autre démostratio mois élégate serait 1=3*(1/3)=3*0,3333 =0,9999 6) =? (**) Calculer la somme des etiers de 1 à 100. Plus gééralemet peut-o trouver ue formule, foctio de, qui ous doe la somme des ombres etiers de 1 à? Idice : O peut voir cette somme de la faço suivate = (1+100) + (2+99) + (3+98) + + (50+51) Somme de 1 à = *(+1)/2 7) «Equalphabet» (*) (x-a)(x-b)(x-c) (x-y)(x-z) Sachat qu il y a 26 paires de parethèses et que les ombres {a,b,..,z} sot quelcoques, à quoi est égale cette équatio? (x-x) = 0 8) Récurrece (**) O défiit la suite A = A -1 + PGCD(, A -1 ) A 1 = 7 Quelle est la particularité des ombres géérés par les quatités (A -A -1 )? 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 23, 3, 1, Les (A -A -1 ) sot premiers.

4 9) U problème de l atiquité chioise (*) Ue ville carrée de dimesios icoues possède ue porte au milieu de chaque côté. U arbre se trouve à 20 pas de la porte Nord, à l extérieur de la ville. Il est visible d u poit que l o atteit e faisat 14 pas à partir de la porte Sud puis 1775 pas vers l ouest. Quelle est la dimesio de chaque côté de la ville? Thales (x/2)/20=1775/(20+x+14) Cela doe: x² + 34 x = 0 dot la solutio positive est 250 Le côté de la ville mesure doc 250 pas. 10) Croix umérique (*) Rager les chiffres de 1 à 8 das le tableau ci-dessous sachat que deux chiffres cosécutifs e doivet pas se toucher. (Idice : les chiffres 1 et 8 sot particuliers puisqu ils ot qu u seul voisi qui leur est cosécutif doc ) 11) Dijkstra (*) Le plus court chemi est la lige droite mais quel est le plus couteux? A B C D E F G H AEBFGDH

5 12) Glaço (**) O met u glaço das u verre d'eau puis l'o remplit celui-ci à ras bord. Que se passe-t-il pedat la fote du glaço? Le iveau d'eau e chage pas, il baisse, ou bie le verre déborde? Le glaço flotte doc il est e équilibre. So poids compese exactemet la poussée d Archimède. L itesité du poids se défiit par le produit de la masse fois l accélératio de la pesateur terrestre. P = m glaco g L itesité de la poussée d Archimède se défiit comme le poids du volume d eau déplacé das le verre par le glaço. A = m eau_déplacée g. L équilibre des forces dit que P = A et doc que m glaco =m eau_déplacée. La masse volumique d u élémet se costruit comme le rapport de sa masse sur so volume occupé das l espace. µ=m/v L équilibre précédet peut doc s écrire µ glaco V glaco =µ eau_déplacée V eau_déplacée E fodat la masse d eau produite par la fote du glaço est idetique à la masse du glaço (coservatio de la masse). Cepedat cette eau aura ue masse volumique qui est plus celle du glaço mais qui est µ eau_fodue =µ eau_déplacée et occupera u volume V eau_fodue =m glaco / µ eau_déplacée qui est exactemet égal à V eau_déplacée. Pour résumer, le iveau de l eau das le verre e chage pas car l eau produite par la fote du glaço occupera exactemet le volume occupé par la partie immergée du glaço (ou de faço équivalete le volume d eau déplacé par le glaço). Même expériece mais das u verre de Whisky. Que ce passe t-il? Le Whisky coteat de l éthaol o dit de lui qu il est «plus léger que l eau». E fait sa masse volumique est iférieure à celle de l eau µ whisky <µ eau. Doc cette fois ci µ eau_fodue >µ whisky_déplacé et doc V eau_fodue =m glaco / µ eau_fodue < m glaco / µ whisky_déplacé =V whisky_déplacée. O a aisi V eau_fodue < V whisky_déplacée qui par coséquet fait baisser le iveau du verre de Whisky E bref : la masse volumique de l éthaol état plus faible que celle l eau, l eau fodue occupera mois de place que le volume d alcool déplacé doc le iveau baisse. Moralité? 13) Diophate (**) Diophate d'alexadrie était u brillat mathématicie grec qui vivait au IVème siècle avat otre ère. La légede racote que ses élèves firet graver sur sa tombe cette épitaphe traduite e alexadris par Emile Fourrey das ses Récréatios mathématiques. 'Passat sous ce tombeau repose Diophate. Ces quelques vers tracés par ue mai savate Vot te faire coaître à quel âge il est mort. Des jours assez ombreux que lui compta le sort, Le sixième marqua le temps de so eface; Le douzième fut pris par so adolescece.

6 Des sept parts de sa vie, ue ecore s'écoula, Puis s'état marié, sa femme lui doa Ciq as après u fils, qui, du desti sévère, Reçut de jours hélas! deux fois mois que so père. De quatre as, das les pleurs, celui-ci survécut. Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut." A quel âge est mort Diophate? O pose l'équatio : A = A/6 + A/12 + A/ A/2 + 4 et o obtiet A = 84. O vérifie alors les étapes de la vie de Diophate : - A/ 6 : efat jusqu'à 14 as -A /12 + A/6 : ( + 7 as) Quelques poils à 21 as - A/7 + A/6 + A /12 : (+12 as ) marié à 33 as - A/6 + A/12 + A/7 + 5 : ( + 5 as ) père à 38 as - A/6 + A/12 + A/ A/2 ( + 42 as) il perdit so fils à 80 as - A/6 + A/12 + A/ A/2 + 4 : (+ 4 as) décédé à 84 as 14) Boulets! (***) Sur la place du palais de Moaco, o a empilé des boulets de cao par couches rectagulaires successives. Ue première couche repose au sol. Esuite, la largeur et la logueur de chaque ouvelle couche comportet chacue u boulet de mois que celles de la couche iférieure. Efi, la derière couche est ue ragée, d u boulet de largeur, dot la logueur est égale à la largeur de la première couche. Sachat que c est u carré parfait, o cherche le ombre total de boulets du tas. 1. O cherche ue solutio iférieure à O cherche ue autre solutio iférieure à (3. Y a-t-il d'autres solutios?) Aide : O rappel que ( + ) + 1 k = k² = k= et ( )( 2 + 1) k = 1 6 1ère ragée (e haut) : 1 * boulets 2ème ragée : 2 * (+1) boulets 3ème ragée : 3 * (+2) boulets... -ème ragée : * (2-1) boulets Doc si l'o appelle N le ombre total de boulets, alors : N = N = k( + k 1) = k² + ( 1) k = 1 k = 1 k = 1 ( + )( 2 + 1) ( ) ( 1 1 ) k

7 N = ( + 1)( 2 + 1) + 3( 1)( + 1) ( + 1)( 5 2) 6 = Le problème cosiste doc à trouver (hauteur de la pile de boulets) tel que N (ombre total de boulets) soit u carré. O peut trouver : = 1 et N = 1 (solutio triviale avec u seul boulet), = 6 étages et N = 196 boulets e tout (carré de 14), aisi que = 49 étages et N = boulets e tout (carré de 315). 6 15) Théorie des codes (***) Pour protéger ue iformatio il est parfois écessaire de la coder. U code a été appliqué à 4 mots du dictioaire fraçais : 29575, 9310, , Sachat que le premier est u mot de 5 lettres et est u objet précieux, le secod est u mot de 7 lettres pouvat ecombrer, se plier ou s accumuler das ue disciplie doée, le troisième est u mot de 7 lettres syoyme de raiso, et le derier u mot de 8 lettre pouvat être califorie ou même thaïladais, saurez-vous casser ce code et révéler les mots cachés? A = 1, B = 2, C = 3..Z = 26 puis multiplicatio des lettres etre elles. Exp : ABC 1*2*3 = = 07 x 05 x 13 x 13 x 05 GEMME 9310 = 02 x 01 x 07 x 01 x 07 x 05 x 19 BAGAGES = 19 x 01 x 07 x 05 x 05 x 19 x 19 x 05 SAGESSE = 13 x 01 x 19 x 19 x 01 x 07 x 05 x 19 MASSAGES 16) L astroome et les 2 comètes (****) I - Le 8 décembre 1999, u astroome a observé ue comète das le ciel. De la même positio, 6 jours plus tard il a vu ue autre comète passer. Après des recherches, il s'iforme que la 1ere comète apparait périodiquemet chaque 105 jours et la 2e tous les 81 jours. - détermiez le prochai jour où l'astroome pourra voir les 2 comètes passer le même jour. II - Cepedat, cet astroome 'est pas aussi itelliget que vous, alors il rate le redez vous à la suite d'u faux calcul : aidez le à détermier le prochai redez-vous de ces deux comètes. i) 6+81 doit être multiple de 105m 6=105m-81m. PGCD(81,105)=3, remoté de l algo d Euclide m=26 et =20 doc elles sot apparue e même temps 20*105 jours avat le 8 décembre 1999 soit le 9 mars La prochaie recotre aura lieux das u ombre de jour qui correspod au plus petit multiple commu de 105 et 81 après le 9 mars O a PPCM(81,105)=81*105/PGCD(81,105)=2835jours doc le 12 décembre ii) De même 12 décembre jours = 16 septembre 2009

8 17) Problème de Bhaskara (Ide, XII ème siècle) (***) Si tu es versé das les opératios de l algèbre, dis le ombre dot le bicarré mois le double de la somme du carré et deux cet fois le ombre est égal à la myriade mois u. ( ue myriade égale le myriarche commadait dix mille hommes, le bicarré = puissace 4) X 4-2(X²+200X) = X 4-2X²+1 400X-100² = 0 X 4 +2X²+1 4X²-400X-100² = 0 (X²+1)² - (2X+100)² = 0 X²-2X-99 = 0 X = {-9, 11} 18) Trompette (***) Preos u cylidre creux d épaisseur ulle, d'u mètre de rayo d'u mètre de hauteur. Je pose dessous le même gere de cylidre mais cette fois de 1/2 mètre de rayo d'u mètre de hauteur. Puis ecore dessous u cylidre de 1/3 de mètre de rayo et toujours d'u mètre de hauteur le log de l'axe de symétrie des cylidres. Cela fabrique u etooir "discret". Je cotiue mo etooir avec ue ifiité de cylidres de plus e plus petits, les rayos état de 1/ et les hauteurs de 1 mètre. Questio 1: Quelle est le volume itérieur de l etooir? Questio 2: Quelle est la surface itérieure de l etooir? Remarque : Das ce derier calcul o e comptera pas la surface des couroes. Aide : Euler ous appred 1 π ² = k = 1 k² 6 Quel est le paradoxe? Volume d'u cylidre de hauteur 1 mètre et de rayo r : π R² Surface de la paroi verticale du même cylidre : Volume de "l etooir téléscopique" : lim N N k = 1 N R Surface du dit etooir : lim 2π = N k= 1 k 2 πr 2 R π k 3 π = R² car, d après Euler 6 1 ² π ² =. k = 1 k 6 O a doc, u solide de surface ifiie et de volume fii. Note : E remplaçat la somme par ue itégrale, o tombe sur la trompette de Gabriel.

9 19) U petit problème de géométrie-arithmétique (**) O dessie u triagle dot les sommets sot les œuds d'u quadrillage orthoormé. L'itérieur du triagle cotiet u uique œud G (poit vert) et les côtés du triagle e passet par aucu autre œud du quadrillage. Idice : Formule de Pick. G est-il toujours le cetre de gravité du triagle? Utilisatio de la formule de Pick 3 sommets A, B, C et u poit G uique à l'itérieur. Aire (ABC) = 1+3/2-1= 1,5 Aire(ABG) = Aire (ACG) = Aire (BCG) = 0 + 3/ 2-1 = 0,5 Doc G est bie le cetre de gravité de ABC. Soit u polygoe costruit sur ue grille de poits équidistats tel que tous ses sommets soiet des poits de la grille ; le théorème de Pick fourit ue formule simple pour calculer l'aire A de ce polygoe e se servat du ombre i de poits itérieurs du polygoe et du ombre b de poits du bord du polygoe :. 20) Echec au Roi (*) Sachat que deux rois situés sur deux cases qui se touchet par u côté ou par u coi s'attaquet, combie peut-o disposer de rois au maximum sur u échiquier (de taille 8 fois 8) sas qu'aucu 'attaque u autre? O peut teter de placer les rois les plus proches possible des us des autres e commeçat par exemple par le coi iférieur gauche du damier. Au total o voit que l o peut placer 16 rois et qu o e peut e aucu cas e rajouter u 17 ème sas qu il attaque u des autres. Cepedat peut être existe-t-il ue autre cofiguratio qui autorise u ombre plus importat que la solutio 16. E fait, il s'agit d'ue applicatio igéieuse du pricipe des tiroirs : o peut découper l'échiquier e 16 parties, chacue costitué de 4 cases disposées e carré. Supposos doc que l'o ait disposé 17 rois sur l'échiquier. D'après le pricipe des tiroirs, au mois 2 d'etres eux se trouvet das la même case, doc s'attaquet mutuellemet!

10 21) Nombres de Kaprekar (*) U ombre de Kaprekar est u ombre qui, das ue base doée, lorsqu'il est élevé au carré, peut être séparé e ue partie gauche et ue partie droite (o ulle) telles que la somme doe le ombre iitial. Motrer que 703 est u ombre de Kaprekar e base 10. 5, 9,13, 45, 55, 98 et 297 sot-il des ombres de Kaprekar? 703 = ; =703 1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, ) 5 (**) Ue cojecture dit que toutes les puissaces de 5 ot la propriété de voir leurs chiffres réarragés e u calcul simple doat leur valeur. 5^1 = 5 = 5 5^2 = 25 = 5^2 5^3 = 125 = 5^(1 + 2) 5^4 = 625 = 5^(6-2) Les opératios autorisées sot + - / * et ^ Aller u peu plus loi, 5^5, 5^6, 5^7 5^1 = 5 = 5 5^2 = 25 = 5^2 5^3 = 125 = 5^(1 + 2) 5^4 = 625 = 5^(6-2) 5^5 = 3125 = 5^(3+1*2) = (3+1*2)^5 (das l'ordre) 5^6 = = 5^((1+5+6)/2) 5^7 = = 5^(17-8-2) 5^8 = = 5^(9+0-6/2/3) 5^9 = = 5^( *2) = (1+9-5)^((3+1)*2)*5 (das l'ordre) 5^10 = = 5^((9+7+6)/2+5-6) = ( )^5 (das l'ordre) 5^11 = = 5^( ) = (48/8/2-8)^12/5 (das l'ordre) 5^12 = =5^(2*4+4+1* ) = (((2+4)*4+1)^4+0)*625 (das l'ordre) 5^13 = =5^(1* ) = ((1-2)* )^(3*1+2*5) (das l'ordre) = ( )^12*5 (das l'ordre) 5^14 = =5^( *5+6-2) = ((6-10+3)*5)^(1+5+6)*25 (das l'ordre) 5^15 = =5^( ) = ( *5+7*8-1*2)^5 (das l'ordre) 5^16 = =5^(1* ) = ( )^(6+2*5) (das l'ordre) 5^17 = = 5^( ) = (7* )^(5*3*1)*25 (das l'ordre) 5^18 = = 5^( ) = (3* )^(5+6*2)*5 (das l'ordre)

11 23) 42 est la répose ultime (**) Si 19+29=42 et si =42, combie fot 14+19? Et pourquoi? Idice : u chagemet de base est peut être écessaire 2D e hexadecimal 24) Tuyauterie (**) Cosidéros u tuyau circulaire d'u diamètre de 6 cm, das lequel sot isérés 2 câbles : l'u de 4 cm de diamètre, l'autre de 2 cm de diamètre. Quel est le diamètre du plus gros câble que je puisse ajouter das le tuyau? Idice : Exprimez la logueur des 3 segmets e gras de maière à obteir 3 équatios à 3 icoues X, Y et Z, la valeur cherchée état X. (1) (1+X)^2 = Y^2+Z^2 (2) (2+X)^2 = (3-Y)^2 + Z^2 (3) (3-X)^2 = (2-Y)^2+Z^2 3 équatios, 3 icoues, o résout : X= 6/7. (2)-(3) Y = 5-5X (3)-(1) X = 6/7 25) SamLoyd # 1 (***) Le passage d u fleuve est assuré par deux bateaux. Chacu de ces bateaux circule à vitesse costate, mais l u des bateaux est plus rapide que l autre. Les bateaux partet exactemet à la même heure des rives opposées et se croiset à 2 km d u des bords. Ayat effectué leur trajet aller, ils s arrêtet chacu 10 miutes. Pedat le trajet du retour, ils se croiset à 1 km de l autre bord. Quelle est la largeur du fleuve? Remarque : La vitesse moyee d u mobile s écrit comme le rapport de la distace parcourue sur l itervalle de temps pris pour effectuer cette distace V = D/T. D 2km à T1 à T2 1km

12 D doit être supérieur à 4 car la distaces au momet des 2 croisemets est relative aux deux rives distictes. Istat T1 du 1 er croisemet : T1 = (D-2)/V1 = 2/V2 V1/V2 = (D-2)/2 Istat T2 du 2 ème croisemet : T2 = D/V (D-1)/V1 = D/V /V2 V1/V2 = (2D- 1)/(D+1) D=5 26) Proba&Rogeur (**) Ue souris est mise das ue cage à 8 portes semblables dot ue seule peut permettre à cette souris de s'échapper; tadis que pour les autres, la souris subira u choc électrique O suppose que la souris 'a pas ue boe mémoire. Quelle est la probabilité que la souris s échappe à la 20eme tetative? Puisqu elle a ue très mauvaise mémoire elle a ue proba 7/8 de se tromper à chaque tetative. La proba de se tromper 19 fois deviet (7/8)^19. La 20 ème tetative est la boe avec ue chace sur 8 soit au total 7^19/8^20. 27) Pyramide différeciée (**) Costruisez ue pyramide avec les cubes 1 à 15, chaque cube état la différece absolue des deux cubes du dessous. Remarque : A B= 15 est impossible pour A,B {1,2, 14} De même A B = 14 a qu ue solutio pour A,B {1,2,..,13,15} U exemple avec 6 premiers cubes Pyramide à compléter

13 28) Disque et Volume (***) O dispose d u disque e carto que ous trasformos e côe e découpat u secteur et e pliat le reste e forme de côe. Quel doit être e degrés l'arc du secteur découpé pour que le côe soit de capacité maximum? Sas perte de gééralité o peut supposer le rayo égal à 1. 2π, 0<x<1, le côe formé a pour base u cercle de rayo x. Si o découpe u secteur d'agle ( 1 x) La hauteur du côe est alors 1 x². π Le volume est, au facteur près, x² 1 x². 3 1 x² = x x O doit trouver le maximum de ( ) La dérivée est 4x 6x = 2x ( 2 3x² ) Elle s'aule pour x. 2 x =. 3 L'agle découpé est doc '40". 3 29) Questio d abodace (****) L abodace d u etier strictemet positif est défiie par sig()- où sig() est la somme des diviseurs de ( o compris). U ombre d abodace positive est appelé u ombre abodat, u ombre dot l abodace est égative est u ombre déficiet et efi u ombre qui possède ue abodace ulle est u ombre parfait (o pourrait égalemet metioer les ombres quasi-parfaits caractérisés par ue abodace égale à 1). Le multiple d u ombre abodat est-il abodat? Combie existe-t-il doc de ombres abodats?