Les algorithmes de tri

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1 CONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS PARIS MEMOIRE POUR L'EXAMEN PROBATOIRE e INFORMATIQUE par Nicolas HERVE Les algorithmes de tri Souteu le mai JURY PRESIDENTE : Mme COSTA

2 Sommaire Itroductio.... Rappels sur l'aalyse des algorithmes.... Qu'est-ce qu'u algorithme?.... Aalyse de l'efficacité d'u algorithme.... Les pricipaux algorithmes de tri Le problème du tri Les tris par comparaiso Tri par isertio Diviser pour réger.... Tri rapide..... Versio stadard..... Versio aléatoire..... Versios améliorées.... Tri fusio Versio itere Versio extere....7 Tri par tas....8 Tri par déombremet.... D'autres algorithmes Tri à bulles Tri par sélectio Tri par base Tri par paquets Tri de Shell Quelques exemples d'implémetatio et d'utilisatio de tris.... Librairie stadard Java.... Microsoft Word et Excel.... Oracle.... Simulatios sur ordiateur.... Détails sur l'implémetatio.... Les types de distributios d'etiers.... Résultats gééraux.... Résultats sur de petits tableaux Sesibilité aux doublos du tri rapide Comparaiso des deux tris de Java... Coclusio... Bibliographie...

3 Itroductio Classer les cotacts de so caret d'adresse par ordre alphabétique, trier les résultats d'ue recherche sur iteret par pertiece ou ecore archiver ses mails les plus acies sot des opératios courates pour ue persoe qui utilise u ordiateur. Elles ot toutes e commu le fait de mettre e oeuvre ue opératio de tri sur des doées. Mais ces quelques exemples aecdotiques, directemet perceptibles par l'utilisateur, sot loi de représeter l'étedue du champ d'applicatio du tri e iformatique. Le tri des doées est otammet préset das de ombreux programmes e tat que phase itermédiaire. O retrouve aisi des algorithmes de tri das toutes les applicatios et jeux D pour l'affichage des facettes des objets qui sot triées selo leur éloigemet (algorithme Z-sortig). Le tri est égalemet massivemet utilisé par les baques pour la gestio des opératios bacaires. De ombreux théoricies de l'iformatique cosidèret le tri comme le problème le plus fodametal e matière d'algorithmique. Le tri est ue des pricipales opératios exécutées sur les ordiateurs. Des études tedet d'ailleurs à motrer qu'eviro u quart des cycles machie sot utilisés pour trier. De part l'acieeté et l'importace de cette problématique, u grad ombre d'algorithmes et de variates a été iveté. A travers cette profusio, commet choisir le bo algorithme? La répose à cette questio 'est pas uiverselle et elle déped de ombreux paramètres. Quelles sot les cotraites sur les doées (leur type, leur ombre, leur orgaisatio)? Est-il importat que l'algorithme 'utilise pas trop d'espace mémoire? Quels sot les périphériques de stockage utilisés? Nous allos aborder ces poits et voir e quoi ils ifluet sur la problématique du tri des doées. Après u rappel sur les otios permettat l'aalyse des algorithmes et de leurs performaces, ous ous itéresseros aux pricipaux algorithmes e présetat ue étude détaillée de leur comportemet. Nous évoqueros égalemet de maière plus brève d'autres algorithmes. La deuxième partie de ce mémoire sera cosacrée à l'expérimetatio avec la mise e pratique des algorithmes étudiés et la mesure de leurs performaces e situatio réelle d'ue part et l'étude d'implémetatios d'algorithmes de tri das des outils professioels d'autre part. Nous termieros par ue sythèse de ces résultats. Aggarwal et Vitter []

4 . Rappels sur l'aalyse des algorithmes. Qu'est-ce qu'u algorithme? O trouve de ombreuses défiitios de ce qu'est u algorithme. Par exemple, das le dictioaire de l'académie Fraçaise : ALGORITHME. m. XIII e siècle, augorisme. Altératio, sous l'ifluece du grec arithmos, «ombre», d'algorisme, qui, par l'espagol, remote à l'arabe Al-Khuwarizmi, surom d'u mathématicie. MATH. Méthode de calcul qui idique la démarche à suivre pour résoudre ue série de problèmes équivalets e appliquat das u ordre précis ue suite fiie de règles. U algorithme est doc u esemble d'opératios de calcul élémetaire, orgaisé selo des règles précises das le but de résoudre u problème doé. Pour chaque doée du problème, l'algorithme retoure ue répose correcte après u ombre fii d'opératios. O peut défiir u problème comme u esemble de cotraites qui existet sur des doées fouries e etrée, aisi que sur les doées attedues e sortie et sur les relatios etre elles. O parlera d'istace du problème pour ue etrée particulière. O défiira plus précisémet ce qu'o appelle opératio élémetaire par la suite. O peut distiguer deux types d'algorithmes : les algorithmes séquetiels : les opératios élémetaires sot exécutées de maière séquetielle, c'est à dire l'ue après l'autre, ue seule à la fois. les algorithmes parallèles : des opératios élémetaires peuvet être exécutées e même temps (c'est le cas sur les ordiateurs à plusieurs processeurs ou pour certaies architectures de processeurs) O e s'itéressera ici qu'aux algorithmes séquetiels. L'algorithmique (l'étude des algorithmes) a ue double problématique : trouver au mois u algorithme pour répodre à u problème, et prouver qu'il foctioe trouver u algorithme efficace Les algorithmes de tri auxquels ous allos ous itéresser existet pour la plupart depuis plusieurs dizaies d'aées. Ils ot tous fait l'objet de ombreuses études et o sait qu'ils foctioet correctemet. Nous ous itéresseros doc plutôt à l'efficacité de ces algorithmes afi de pouvoir les comparer etre eux. Ue fois qu'u algorithme est choisi, il faut écrire le programme correspodat pour pouvoir le faire foctioer. O dit qu'u programme est l'implémetatio d'u algorithme. Cette implémetatio se fait au moye d'u lagage de programmatio particulier, pour u eviroemet particulier. Il peut doc exister plusieurs programmes pour u même algorithme. Les difficultés techiques (allocatio mémoire, gestio des erreurs, gestio des etrées/sorties,...) sot prises e compte au iveau du programme et o au iveau de l'algorithme. Les algorithmes sot aisi cocis et plus simples à étudier. U algorithme est efficace pour toutes ses implémetatios idépedammet de la programmatio.

5 . Aalyse de l'efficacité d'u algorithme L'étude de l'efficacité d'u algorithme porte sur deux pricipaux facteurs : le temps d'exécutio et l'espace mémoire écessaire pour résoudre u problème doé. Ces deux facteurs serot mesurés e foctio de la taille du problème fouri e etrée. Bie que les performaces des ordiateurs e cesset de croître de maière expoetielle, il est toujours importat d'avoir des algorithmes performats, e serait-ce que parce que la quatité de doées que ces algorithmes doivet traiter est elle aussi e costate augmetatio. Nous allos voir que de mauvais algorithmes peuvet rapidemet deveir iutilisables sur des volumes de doées coséquets. Efi l'étude des algorithmes permet de mieux compredre leur comportemet et la maière dot ils réagisset e foctio des doées, et doc d'avoir d'avatage d'iformatios permettat de choisir u algorithme pour ue situatio précise. Afi d'aalyser les algorithmes e faisat au maximum abstractio de leurs implémetatios, il faut se doter d'u modèle pour les ressources systèmes et machies aisi que leurs coûts. O utilisera u modèle géérique basé sur ue machie à accès aléatoire (RAM). Ce modèle cotiet les istructios classiques e iformatique (opératio élémetaire) : arithmétique : additio, soustractio, multiplicatio, divisio, modulo, partie etière, partie etière supérieure trasfert de doées : lecture, stockage, copie istructios de cotrôle : brachemet coditioel et icoditioel, appel de sousroutie et sortie de sous-routie Il maipule des doées du type etier et réel à virgule flottate. Nous allos ous itéresser pricipalemet aux performaces e temps des différets algorithmes, o parle aussi de complexité e temps. Afi de pouvoir comparer les algorithmes ous allos, après ue étude théorique de chacu d'etre eux, exprimer cette complexité temporelle e foctio de la taille du problème. Mais pour des problèmes de taille idetique, o peut avoir pour u même algorithme des performaces fodametalemet différetes e foctio d'autres paramètres sur les doées (typiquemet leur répartitio pour les algorithmes de tri). Pour essayer de cerer au mieux ces comportemets, o aalyse la complexité des algorithmes das le cas le plus favorable, le cas le plus défavorable et le cas moye. Cette aalyse théorique devat être au maximum idépedate de l'implémetatio qui sera faite de l'algorithme, la complexité temporelle e fourira pas u temps d'exécutio e foctio de la taille du problème. Pour chaque algorithme il faut trouver les opératios élémetaires les plus sigificatives (les plus coûteuses e temps) et exprimer la complexité temporelle e foctio de ces gradeurs. Esuite, si o souhaite avoir ue estimatio du temps d'exécutio pour ue implémetatio précise, sur ue machie précise, il e reste qu'à obteir le temps de traitemet de chacue de ces opératios élémetaires. Das cette étude des algorithmes de tri ous regarderos pricipalemet le ombre de comparaisos et le ombre d'affectatios écessaires pour trier u esemble de clés. L'étude mathématique de la complexité d'u algorithme est souvet délicate. Or o 'a pas toujours besoi d'avoir ue mesure exacte de cette complexité. Dès que la taille du problème deviet suffisammet grade, seul l'ordre de gradeur de la complexité est importat. O parle alors d'étude asymptotique. O utilise alors les otatios mathématiques suivates : Sedgewick et Flajolet [7]

6 Etat doé ue foctio f(), Ο ( f( )) est l'esemble de tous les g () tels que g ( ) f( ) est boré supérieuremet quad Ω ( f( )) est l'esemble de tous les g () tels que g ( ) f( ) est boré iférieuremet par u ombre strictemet positif quad Θ ( f( )) est l'esemble de tous les g () tels que g ( ) f( ) est boré iférieuremet et supérieuremet quad La otatio Ο exprime ue bore supérieure, Ω ue bore iférieure et Θ sigifie que la bore supérieure cocorde avec la bore iférieure. Rappel : Ο : omicro (o dit égalemet "grad O") Θ : thêta Ω : oméga γ : gamma lg : logarithme base de l : logarithme épérie de log b : logarithme base b de O peut maiteat distiguer différets ordres de gradeur de complexité, qui vot défiir différetes familles d'algorithmes : : temps d'exécutio costat lg: temps d'exécutio logarithmique : temps d'exécutio liéaire lg: temps d'exécutio e lg ²: temps d'exécutio quadratique : temps d'exécutio cubique : temps d'exécutio expoetiel A titre d'illustratio voici ue comparaiso des temps d'exécutio pour les pricipales complexités que ous allos recotrer (sur la base arbitraire d'ue millisecode pour ue opératio élémetaire): lg lg ² ms ms ms ms 7 ms ms ms s ms s s m s ms s m s j h m 7 ms m s 7 m s j 7 h ms m s h m as 9 j O voit doc bie que même sur u ordiateur très puissat, la complexité de l'algorithme reste primordiale das la détermiatio du temps d'exécutio.

7 . Les pricipaux algorithmes de tri. Le problème du tri Nous ous itéresseros ici au problème du tri des doées. O cosidère u esemble de clés sur lequel ue relatio d'ordre totale est défiie. O fourit à l'algorithme ue suite de clés d, d,..., d issues de cet esemble. O doit alors obteir e sortie ue permutatio de cette suite de sorte que d' d'... d'. Rappel : Ue relatio d'ordre est ue relatio biaire réflexive, atisymétrique et trasitive. U esemble mui d'ue relatio d'ordre est u esemble ordoé. est ue relatio d'ordre et (E, ) est u esemble ordoé si : réflexive : pour tout x das E, x x atisymétrique : pour tout x, y das E, si x y et y x alors x = y trasitive : pour tout x, y, z das E, si x y et y z alors x z Si pour tout x, y das E, o a soit x y, soit y x, alors la relatio d'ordre est totale et E est totalemet ordoé; sio la relatio d'ordre est partielle et E est partiellemet ordoé. Pour l'aalyse des algorithmes de tri, ous predros aturellemet comme taille du problème le ombre de clés à trier. Ce problème est relativemet simple à appréheder et il existe de très ombreux algorithmes permettat de le résoudre. Ceci s'explique d'ue part parce que ce problème est l'u des plus acies de l'iformatique, mais égalemet parce qu'il 'existe pas d'algorithme uiversel, performat das tous les cas. Nous allos voir que les hypothèses faites sur la ature des doées à trier, aisi que sur les cotraites matérielles (espace mémoire dispoible, type de mémoire secodaire) ifluet sur les performaces des algorithmes présetés. R. Sedgewick explique que l'o a costammet besoi d'algorithmes de tri plus performats. Selo la loi de Moore, la puissace des processeurs et la capacité mémoire des ordiateurs doublet tous les 8 mois. Mais la taille des problèmes suit l'évolutio de la mémoire. Si u algorithme permet de trier clés e u temps de lg sur u certai ordiateur, alors quel temps faut-il pour trier clés sur u ordiateur fois plus puissat? La répose est (lg)/ = lg +. C'est à dire plus de temps! L'objectif est ici de préseter ue étude théorique de ces algorithmes et de leur complexité puis de valider cette étude par l'expériece. L'aalyse asymptotique de la complexité doe u ordre de gradeur. Mais cette étude masque u certai ombre de facteurs costats qu'il peut être itéressat de coaître pour comparer plus fiemet des algorithmes dot la complexité asymptotique est similaire. Nous essaieros de détermier ces facteurs costats par le déroulemet de simulatios sur ordiateur. Ue des pricipales cotraites cocere l'espace mémoire dispoible. Est-o capable de trier l'esemble des doées e mémoire cetrale? Le volume de doées est-il plus importat que la taille mémoire? Das ce cas il faudra avoir recours aux mémoires secodaires (disque dur ou bade magétique). Cette cotraite est fortemet structurate pour l'étude d'u algorithme Sedgewick [9] 7

8 de tri, et plus particulièremet pour l'étude de ses performaces. O distigue doc deux types de tri : les tris iteres : l'esemble des doées à trier peut être coteu e mémoire cetrale. Das ce cas, l'étude de la complexité temporelle de l'algorithme se basera sur les opératios élémetaires les plus coûteuses que sot les comparaisos etre deux doées et évetuellemet l'échage de deux doées das la suite à trier. les tris exteres : l'esemble des doées à trier e peut pas être coteu e mémoire cetrale. Das ce cas, les temps d'accès aux doées sur la mémoire secodaire sot beaucoup plus coûteux que leur traitemet e mémoire cetrale. L'étude de la complexité temporelle se basera doc sur le ombre d'etrées / sorties écessaires pour le tri. Pour l'étude des algorithmes de tri, o s'itéressera aux tableaux d'etiers. Par covetio, ous cosidéreros que l'idice d'u tableau de taille va de à (et o de à - comme c'est le cas das certais lagages de programmatio). Nous verros das la partie l'ifluece du type des doées et de leur distributio sur les performaces des algorithmes. Outre les performaces, les algorithmes de tri ot d'autres caractéristiques qui les distiguet et qui peuvet être importates : la stabilité : u algorithme stable apporte la garatie de e pas modifier l'ordre iitial des clés idetiques tri sur place : l'algorithme e écessite pas (ou peu) de mémoire supplémetaire pour trier, il réarrage directemet les clés das le tableau fouri e paramètre. Les tris par comparaiso La plupart des algorithmes de tri que ous allos étudier est basé sur la comparaiso deux à deux des clés qui doivet être ordoées. Or o peut trouver u miorat du ombre de comparaisos que doit effectuer ce type d'algorithmes de tri. O représete par u arbre de décisio (arbre biaire plei) le déroulemet d'u tri de clés, avec chaque œud itere représetat la comparaiso etre deux clés du tableau et chaque feuille représetat les permutatios devat être effectuées pour avoir le tableau trié. Ne coaissat pas à l'avace l'ordre des clés au départ, tout algorithme de tri doit pouvoir effectuer les! permutatios potetielles. L'arbre de décisio a doc! feuilles. Si o pose h la hauteur de l'arbre (la logueur du plus log chemi partat de la racie), alors o sait que le ombre maximum de feuilles est h. Cette hauteur h est le ombre maximum de comparaisos effectuées pour trier le tableau (cas défavorable). O a doc :! h lg(!) lg( h ) h = Ω (lg) (car lg(!) = Θ (lg)) Tout algorithme de tri par comparaiso exige Ω (lg) comparaisos das le cas le plus défavorable. Voir [, pages et ] pour plus de détails 8

9 . Tri par isertio Nom aglais : isertio sort - Propriétés : tri itere, sur place, stable Cet algorithme de tri est u des plus simples qui existet. So implémetatio est facile à réaliser. Il 'est toutefois pas performat dès que le ombre de clés à trier deviet coséquet. So étude est doc ue boe itroductio à l'étude des algorithmes de tri, même s'il a peu de chaces d'être utilisé e dehors d'u but pédagogique. L'algorithme du tri par isertio est souvet assimilé au joueur qui trie ses cartes. Au début, le joueur a ses cartes placées e tas devat lui. Il les pred ue par ue de sa mai droite pour les placer das sa mai gauche au bo edroit (c'est à dire e isérat systématiquemet la derière carte saisie à sa place). La procédure suivate pred e paramètre u tableau A [..] coteat ue suite de clés à trier. Les clés état triées sur place, ce même tableau A cotiet les clés triées à la sortie de la procédure. Algorithme issu de [, page ] TRI-INSERTION(A) pour j à faire clé A[j] i j - tat que i > et A[i] > clé faire A[i + ] A[i] i i - 7 fi tat que 8 A[i + ] clé 9 fi pour Exemple d'applicatio sur la suite d'etiers,,,,, 9 : (a) 9 (b) 9 (c) 9 (d) 9 (e) 9 (f) 9 (g) 9 Sur ce schéma o représete e oir la case qui est aalysée (idice j de la boucle pour, lige ). Les cases grises correspodet aux valeurs comparées à A[j] (coditio de la boucle tat que, lige ). Les flèches grises représetet les clés déplacées (lige ) et les flèches oires l'isertio de A[j] à sa place (lige 8). 9

10 Etude de la complexité : Cas favorable : Le cas favorable se présete quad le tableau est déjà trié. Aisi o 'etre pas das la boucle tat que (liges à 7). O a alors ue seule comparaiso pour chaque passage das la boucle pour pricipale. Le ombre total de comparaiso est : j= = De la même maière, o a affectatios par passage das la boucle pour. Le ombre total d'affectatios est : j= = ( ) La complexité temporelle du tri par isertio das le cas favorable est ( ) Θ. Cas défavorable : A l'opposé du cas favorable, le cas défavorable arrive lorsque le tableau est trié à l'evers. Das ce cas, chaque ouvelle clé examiée das la boucle pour pricipale doit être rameée à l'idice du tableau et il faut décaler l'esemble des clés précédemmet triées. Le ombre total de comparaisos est alors : ( ) = ( j ) = j= i= j j= Le ombre total d'affectatios est quat-à lui : + = + ( j ) = ( )( + ) j= i= j j= j= La complexité temporelle du tri par isertio das le cas défavorable est Θ ². Cas moye : O cosidère que les clés sot réparties de maière uiforme. Pour u idice doé j de la boucle pour, la place de la clé située e A[j] peut être A[], A[]... A[j]. Ces placemets sot équiprobables. Le ombre de fois que l'o parcourt la boucle tat que est alors : j = j j j j j j = j+ i= O a alors le ombre total de comparaisos : j+ = j+ j= = ( + ) + = ( + ) j= j= Et le ombre total d'affectatios : j+ j+ ( ) + = + = ( + ) j= j= La complexité temporelle du tri par isertio das le cas moye est ( ² ) j= Θ. ( )

11 . Diviser pour réger Nom aglais : divide ad coquer Les algorithmes utilisat la stratégie diviser pour réger sot décomposés e phases : diviser : si le ombre de clés est trop importat pour être traité, alors diviser l'esemble e sous-esembles disjoits. réger : appliquer l'algorithme de maière récursive à chacu des sous-esembles combier : fusioer les solutios des sous-esembles pour obteir la solutio fiale L'étude de la complexité de ce type d'algorithmes récursifs peut se rameer à ue récurrece au ses mathématique. Soit u algorithme qui pour traiter u problème de taille le divise e a sous-problèmes de taille /b (a, b > ). Si le problème est suffisammet petit ( = ) il est résolu e u temps costat. Le temps écessaire pour diviser le problème et pour combier les solutios des sous-problèmes sot foctio de (respectivemet D() et C()). O a alors la récurrece suivate : Θ () si = T () = { at ( / b) + D( ) + C( ) sio Il existe plusieurs méthodes pour résoudre ces récurreces. Nous utiliseros la méthode géérale. Présetatio de la méthode géérale La méthode géérale permet de résoudre les récurreces de la forme T () = at ( / b) + f( ) avec a, b> et > Le terme /b peut e pas être etier. O peut toutefois démotrer que le comportemet asymptotique de cette récurrece 'est pas modifié si o le remplace par / b ou / b. Pour des raisos de lisibilité, cette otatio cocerat les parties etières sera omise. Le théorème gééral ous idique alors que pour résoudre cette récurrece o doit étudier les cas suivats : ) si f() = Ο log pour ue certaie costate a ε b ε >, alors T() = Θ log a b ) si f() = Θ log, alors = a b T() Θ log a b ) si f() = Ω log pour ue certaie costate a+ ε b ε >, et si af( / b) cf( ) pour ue certaie costate c< et pour tout suffisammet grad, alors () = Θ f() T ( ) De maière géérale, tout algorithme récursif cosomme de l'espace mémoire pour la pile d'appel. Cette taille supplémetaire est masquée das l'algorithme. Elle peut deveir coséquete dès lors qu'u grad ombre de paramètres passés par valeur etre e jeu. Il est possible de supprimer la récurrece de ces algorithmes e utilisat explicitemet ue pile. Nous e préseteros pas les versios de ces algorithmes, mais o peut se référer à [8, page 8] pour les trouver.

12 . Tri rapide Nom aglais : quick sort - Propriétés : tri itere, sur place, o stable Le tri rapide fait partie des algorithmes de tri du type "diviser pour réger". Bie que sa complexité temporelle das le pire des cas soit Θ ( ² ), c'est u des algorithmes les plus utilisés et égalemet celui qui présete certaiemet le plus grad ombre de variates. Le tri rapide choisit u élémet particulier de la liste de clés, appelé pivot. Il costruit esuite deux sous-listes gauche et droite coteat respectivemet les clés iférieures et supérieures au pivot. Aisi pour trier u sous-tableau A[p..r] du tableau iitial A[..] o retrouve les phases suivates : diviser : choisir le pivot d'idice q das le tableau A[p..r]. Partitioer e ce soustableau : o A[p..q-] cotiet les clés iférieures à A[q], o A[q] le pivot o A[q+..r] cotiet les clés supérieures à A[q]. Les deux sous-tableaux gauche et droite peuvet évetuellemet être vides. réger : les sous-tableaux A[p..q-] et A[q+..r] sot traités e appelat récursivemet le tri rapide. combier : cette phase est istataée. Puisque les sous-tableaux sot triés sur place, aucu travail 'est écessaire pour les combier... Versio stadard Algorithme issu de [, page ] PARTITION(A, p, r) x A[r] i p - pour j p à r - faire si A[j] x alors i i + PERMUTER(A, i, j) 7 fi si 8 fi pour 9 PERMUTER(A, i +, r) retourer i + TRI-RAPIDE(A, p, r) si p < r alors q PARTITION(A, p, r) TRI-RAPIDE(A, p, q - ) TRI-RAPIDE(A, q +, r) fi si PERMUTER(A, i, j) tmp A[i] A[i] A[j] A[j] tmp O démarre l'algorithme par u appel à TRI-RAPIDE(A,, ). Cette versio de l'algorithme pred la derière clé du sous-esemble comme pivot. Exemple d'applicatio sur la suite d'etiers,,,,, 9 :

13 (a) 9 PARTITION(A,, ) (b) 9 TRI-RAPIDE(A,,) TRI-RAPIDE(A,,) (c) (i) PARTITION(A,, ) FIN (d) TRI-RAPIDE(A,,) TRI-RAPIDE(A,,) FIN (e) PARTITION(A,, ) (f) TRI-RAPIDE(A,,) TRI-RAPIDE(A,,) (g) FIN PARTITION(A,, ) (h) TRI-RAPIDE(A,,) FIN TRI-RAPIDE(A,,) FIN (j) 9

14 Sur ce schéma o représete les appels récursifs aux deux procédures PARTITION et TRI- RAPIDE. Sur le tableau issu de la partitio, o représete e blac le pivot, e gris le soustableau gauche et e oir le sous-tableau droit. L'étape (j) est le tableau trié obteu à la fi du déroulemet de l'algorithme. Etude de la complexité : Les performaces du tri rapide dépedet de la maière dot la procédure PARTITION parviet à créer deux sous-tableaux équilibrés ou o. La complexité temporelle de la procédure PARTITION pour u tableau A[p..r] est r p+, doc pour u tableau A[..] o a. O a déjà vu que la combiaiso des solutios des sous-problèmes das la récursio e coûte rie. O se ramèe doc au théorème gééral avec f() =. Cas favorable : Le partitioemet fourit deux sous-tableaux de tailles / et / à chaque appel récursif. Ce partitioemet équilibré ous doe la récurrece suivate : T () T( /) + Θ( ) avec a = et b = O est das le cas ) du théorème gééral (puisque = log ) doc T () = Θ( lg) La complexité temporelle du tri rapide das le cas favorable est Θ ( lg). Cas défavorable : Le partitioemet fourit deux sous-tableaux de tailles et à chaque appel récursif. Ce partitioemet est complètemet déséquilibré, il doe la récurrece suivate : T () = T ( ) + doc ( ) T() = i = i= doc T () = Θ(²) La complexité temporelle du tri rapide das le cas défavorable est Θ (²). Pour simplifier l'étude du cas moye, ous allos itroduire ue première versio améliorée du tri rapide... Versio aléatoire Cette versio red le cas défavorable très improbable. E effet, au lieu de predre la derière clé du sous-tableau comme pivot, elle pred ue clé au hasard. La probabilité d'être das le cas défavorable (c'est à dire de choisir aléatoiremet ue clé qui à chaque étape produirait u partitioemet complètemet déséquilibré) est très faible. Algorithme issu de [, page 8] PARTITION-RANDOMISE(A, p, r) i RANDOM(p, r) PERMUTER(A, r, i) retourer PARTITION(A, p, r)

15 TRI-RAPIDE-RANDOMISE(A, p, r) si p < r alors q PARTITION-RANDOMISE(A, p, r) TRI-RAPIDE-RANDOMISE(A, p, q - ) TRI-RAPIDE-RANDOMISE(A, q +, r) fi si Etude du cas moye : O cosidère que les clés sot uiques das la suite de doées. Soit C la suite doat le ombre de comparaisos écessaires pour trier u tableau de clés. O a déjà vu que le ombre de comparaisos écessaires au partitioemet pour u tableau de taille est -. Avec q idice de la clé choisie comme pivot par PARTITION, o a doc : + C = C + q C q L'idice q du pivot peut predre les valeurs de à de maière équiprobable. O a doc : Or o a : Doc () deviet : Pour - o a alors : C = Ci i= C = = C ( + ) Ci C i i= + () C i C + C + C C i= = = + Ci i= ( ) + Ci i= = ) + () C ( ) C ( C + i C i= = ( )( ) + = i= Ci i C = ( ) ( )( ) () i C E itégrat () das () o obtiet : = ) + ( ) C C ( )( ) + C = ( + ) + ( ) C C C = + E posat F = C o obtiet das (): + F = ( ) F + ( + ) F = F + ( + + ) ( C ( ) + () ( + )

16 Or o sait que : Doc o a : F i= i+ i= i( i + ) F = + F + F + F = F F F i= i i= i i= i+ F i= i+ i= F = + F + F + + F i= i i= F = + F + F + H = i= i i = l+γ + Ο( ) i avec γ, 77 F = ( ) ( ) F + F + F + H H H + H F + F F H H H F = + F = F + F F H + F = (l ) ( ) F + F + F + + γ + Ο () E reveat à o obtiet : C C Or o a =, C = et C = C Or o a l = = C C C = l+ γ + Ο( ) + ( + )l+ ( + )(γ ) + Ο() C ~ l, 88 C lg ~,9lg lge ~ C,89lg, 88 Par u calcul similaire, o trouve le ombre moye d'échages effectués : S = ( + )( ) + Ο () H + ~,9lg, 79 S La complexité temporelle du tri rapide aléatoire das le cas moye est Θ ( lg)... Versios améliorées Il existe de ombreuses versios "améliorées" du tri rapide. Elles diffèret e foctio du poit faible de l'algorithme stadard qu'elles souhaitet corriger. Bie que les performaces asymptotiques du tri rapide soiet largemet meilleures que celles du tri par isertio, il 'e est pas de même sur les petits esembles. L'ordre de gradeur asymptotique e fait pas apparaître u certai ombre de costates qui sot égligeables devat lorsque est grad mais qui devieet importates pour petit. Or u algorithme Voir chapitre.

17 récursif comme le tri rapide traite beaucoup de petits esembles puisqu'il partitioe le problème jusqu'à obteir des esembles de cardialité. Ue optimisatio possible est de déléguer à u tri par isertio les esembles dot la cardialité est iférieure à ue costate M. O peut trouver la valeur optimale de M e étudiat la récurrece suivate sur le ombre de comparaisos das le cas moye : { + si > M Ci = i= C ( + ) sio O étudie alors : = ( ) M i i+ + C + C ( ) i i= M + i= Par ue démarche similaire à celle employée précédemmet, o obtiet pour > M: F = ( ) ( ) F + H H M + M + H H M [...] Voici le graphe de la foctio f : ~ l+ f( M) avec f(m) = C M( M + ) l M + M Le miimum est atteit pour M ~, (seule racie de la dérivée). O predra M = 7 pour implémeter cette solutio optimisée. Ue autre optio est de e pas trier les tableaux dot la taille est iférieure à M. Lorsque le tri rapide se termie, il e reste plus qu'à exécuter u tri par isertio sur l'esemble du tableau. Globalemet il faut voir que le tri rapide rapproche beaucoup plus vite que le tri par isertio les clés de leur emplacemet fial. O a vu que le problème pricipal du tri rapide est de réussir à partitioer correctemet (de maière équilibrée) l'esemble à trier. La versio aléatoire e permet pas d'optimiser ce problème, elle évite juste le cas de la dégéérescece quadratique sur les tableaux déjà triés. U moye d'optimiser le tri rapide est doc de faire e sorte de mieux choisir le pivot. Au lieu de choisir ue clé (choisie au hasard ou o), o va e choisir plusieurs que l'o va aalyser pour savoir laquelle est la meilleure. Ue possibilité est de choisir clés et de predre comme pivot celle qui a la valeur médiae des. O appelle alors cette variate le tri rapide médiaede-trois. O peut évetuellemet choisir parmi plus de élémets. Ue autre variate, dite pseudo-médiae-de-euf cosiste à choisir comme pivot la clé médiae de valeurs médiae de esembles de clés (médiae de médiaes). Comme pour la versio icluat le tri par 7

18 isertio il est possible de mélager les versios du tri rapide e foctio des cas pour avoir ue versio améliorée. Il existe de ombreuses études sur l'amélioratio du tri rapide. Nous e avos choisi. E 99 J. Betley et D. McIlroy implémetet ue versio de tri rapide améliorée pour la librairie stadard C. Il s'agit d'u mélage du tri rapide stadard, de la versio médiae-detrois et de la versio pseudo-médiae-de-euf. E, M. Durad [] motre que la complexité asymptotique (e cosidérat le ombre de comparaisos) est : =,97l -, +,97l-7, + o() C'est à dire : C C ~,88lg -, Ceci est obteu avec la règle suivate : < tri rapide stadard < 8 tri rapide médiae-de-trois 8 tri rapide pseudo-médiae-de-euf S. Bhutoria et G. Kojevod [] proposet ue versio qui profite de la phase de partitioemet pour choisir les deux pivots de l'étape suivate. Puisqu'u parcours des clés doit être effectué pour ce partitioemet, o essaye d'obteir la valeur médiae de chacu des deux sous-esembles qui vot être géérés. J. Betley et R. Sedgewick [9] proposet e ue versio de tri rapide aléatoire basée sur u partitioemet e permettat de mieux gérer les cas d'égalité de clés. Ils aocet que cette versio est optimale et qu'aucu algorithme de tri basé sur des comparaisos e peut mieux faire. 8

19 . Tri fusio Nom aglais : merge sort - Propriétés : tri itere et extere, stable, e trie pas sur place.. Versio itere Le tri fusio fait égalemet partie des algorithmes de tri du type "diviser pour réger". Cet algorithme partage le tableau e deux sous-tableaux de taille / qu'il trie. Il fusioe esuite les résultats des deux sous-tableaux. O retrouve alors les phases suivates : diviser : partager le tableau e deux sous-tableaux de taille /. Cette phase est istataée puisqu'il suffit de calculer l'idice /. réger : les sous-tableaux sot traités e appelat récursivemet le tri fusio. combier : c'est cette phase qui cotiet toute la logique de l'algorithme. La fusio de deux sous-tableaux déjà triés se fait e les parcourat e parallèle et e plaçat systématiquemet la plus petite clé das le tableau résultat. Pour cela la procédure FUSION crée deux tableaux temporaires pour stocker les deux sous-tableaux à fusioer. O utilise ue setielle à la fi de chacu de ces tableaux temporaires pour éviter d'ajouter des tests supplémetaires pour détecter la fi de l'u d'etre eux das la procédure de fusio. Algorithme issu de [, page 7] FUSION(A, p, q, r) q - p + r - q créer tableaux L[.. + ] et R[.. + ] pour i à faire L[i] A[p + i - ] fi pour 7 pour j à faire 8 R[j] A[q + j] 9 fi pour L[ + ] R[ + ] i j pour k p à r faire si L[i] R[j] alors A[k] L[i] 7 i i + 8 sio 9 A[k] R[j] j j + fi si fi pour TRI-FUSION(A, p, r) si p < r alors q (p + r) / TRI-FUSION(A, p, q) TRI-FUSION(A, q +, r) FUSION(A, p, q, r) fi si 9

20 Exemple d'applicatio sur la suite d'etiers,,,,, 9 : (a) 9 TRI-FUSION(A,,) (b) 9 TRI-FUSION(A,,) TRI-FUSION(A,,) (c) 9 TRI-FUSION(A,,) TRI-FUSION(A,,) TRI-FUSION(A,,) TRI-FUSION(A,,) (d) 9 FUSION(A,,,) FUSION(A,,,) (e) FUSION(A,,,) FUSION(A,,,) (f) 9 FUSION(A,,,) (g) 9 Sur ce schéma, o représete le déroulemet du tri par fusio. Les étapes b, c et d correspodet aux appels récursifs à la procédure TRI-FUSION. Esuite les étapes e, f et g correspodet à la termiaiso de la récursio par l'appel à la procédure FUSION. Etude de la complexité : Le tri par fusio est isesible aux doées qu'il trie. E effet si o regarde de plus près l'algorithme, o se red compte que la boucle pricipale (liges à ) effectue systématiquemet le même ombre d'opératios, quel que soit l'ordre relatif des clés des tableaux L et R. O e déduit doc qu'il 'y a pas de cas favorable ou défavorable. Toutes les etrées de taille serot traitées avec u temps idetique. La procédure FUSION appliquée à u tableau de taille effectue + affectatios et comparaisos. Elle est doc e Θ(). O a vu que la partitio du problème das TRI- FUSION est e Θ().

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