Un nouvel opérateur de fusion adaptatif. A new adaptive operator of fusion. 1. introduction

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1 A ew adaptive operator of fusio par Fraçois DELMOTTE LAMIH, Uiversité de Valeciees et du Haiaut-Cambrésis, Le Mot Houy, BP 3, 5933 Valeciees CEDEX 9 résumé et mots clés La téorie des possibilités permet de représeter et de maipuler les iformatios icertaies et imprécises. Ue de ses importates caractéristiques est de pouvoir fusioer des iformatios de différetes origies afi de pouvoir défiir ue iformatio globale de meilleure qualité. Différets opérateurs ot été défiis das la littérature, cacu avec ses avatages et ses défauts. Cepedat abituellemet ces opérateurs traitet mal les doées coflictuelles. Ce papier présete la costructio d u ouvel opérateur qui utilise des iformatios cotetuelles pour assurer la fusio. La versio défiitive présetée das cet article est beaucoup plus robuste e cas de doées coflictuelles. Des simulatios e motret tout l itérêt. Possibilités, fusio, coflit abstract ad key words Possibility Teory aims at represetig ad adlig ucertai iformatio. A importat property of tis teory is te ability to merge differet data sources i order to icrease te quality of te iformatio. Differet fusio rules ave bee defied i te literature, eac wit its ow advatages ad drawbacks. Yet usually tese rules caot deal rigorously wit cotradictory data. Tis paper proposes a ew operator requirig cotet iformatio to carry out te fusio. Te fial release sow ere is muc more robust i case of coflict. Possibility, fusio, coflict. itroductio Les problèmes abordat des doées imparfaites apparaisset de plus e plus fréquemmet. Lorsqu il s efforce de résoudre u problème, l esprit umai commece souvet par rassembler u maimum d iformatio proveat de diverses sources. Ces doées sot de plus très souvet etacées d imprécisio. La téorie des possibilités a été coçue pour predre e compte l imprécisio ou l icertitude des iformatios [6, 7, 7]. Elle est utilisée das des problèmes variés recotrés das l agrégatio d iformatio (fusio de capteurs, d opiios d eperts...) [3]. Différets opérateurs de fusio ot été présetés das la littérature, cacu présupposat certaies caractéristiques, comme la fiabilité par eemple. Ce cocept de fiabilité a reçu différetes iterprétatios et représetatios, et il est toujours pas bie établi. Ue ouvelle règle de fusio fut proposée das [2]. Elle fait partie de la famille des opérateurs qui dépedet du cotete, car elle écessite ue coaissace quatifiée de la fiabilité des sources. Bie qu ayat u domaie d utilisatio eglobat Traitemet du Sigal 2 Volume

2 les pricipau modes de fusio, le ouvel opérateur apparaît être trop imprécis e cas de fusio d iformatio très e coflit. Cet article reviet sur ce ouvel opérateur et e propose ue versio beaucoup plus robuste das de telles coditios. La première partie présete les pricipales métodes classiques d agrégatio recotrées das la téorie des possibilités. La secode partie présete la costructio de la ouvelle versio de fusio adaptative, et la troisième partie compare ces opérateurs sur u eemple classique de fusio. Efi u problème de fusio impliquat u grad ombre de sources coflictuelles et de fiabilités différetes sera abordé. 2. téorie des possibilités : des règles classiques au règles adaptatives 2.. distributios de possibilité Il est possible d itroduire les possibilités avec des cosidératios de logique. E logique classique, toute propositio A X peut apparteir à trois esembles V, F et U, correspodat respectivemet au esembles des propositios certaiemet vraies ou fausses, ou au cotraire icertaies. Ce derier esemble représete l esemble des propositios idécidables e l état actuel des iformatios. Les possibilités peuvet alors être présetées facilemet car elles gééraliset ces otios e itroduisat des uaces. Ue première mesure N(A) :X [, ] quatifie das quelle mesure la propositio A appartiet à l esemble V des propositios certaiemet vraies. Si N(A) =, alors A est certaiemet vraie, si N(A) =alors A e peut pas être classée pour l istat das cet esemble. Il faut alors itroduire ue deuième mesure Π(A) :X [, ] pour savoir si évetuellemet la propositio pourra être classée das l esemble des propositios vraies ou o. Si Π(A) =, A est défiitivemet fausse, si Π(A) =, A pourra être évetuellemet classée vraie. Il est possible de calculer ces deu foctios d esemble à l aide d ue foctio appelée distributio de possibilité π des propositios élémetaires das [,]. O a alors les relatios suivates : N(A) = ma / A Π(A) = ma A π() () π() (2) avec la cotraite : ma X π() = (3) 2.2. règles classiques de fusio Ue solutio est de fusioer le maimum d iformatios possible afi de dimiuer l icertitude sur les doées, soit e faisat tedre N(A) vers, soit Π(A) vers. La métode abordée par la suite cocere la fusio e parallèle de plusieurs sources d iformatios, des capteurs ou des eperts par eemple. Elle e doit pas être cofodue avec la mise à jour, recotrée otammet avec l approce bayesiee, qui cocere la modificatio au cours du temps d ue iformatio par ue autre, cosidérée défiitivemet vraie [4]. La plupart des opérateurs ot tedace à privilégier les iformatios cocourates, ce qui est aturel, sauf lorsque justemet certaies sources sot des doublos d autres. Das ce cas il e faut pas e teir compte, puisque certaies iformatios seraiet artificiellemet reforcées. La recoaissace et le traitemet de sources dépedates état complees, das la suite est supposée l idépedace des iformatios. La plupart des opérateurs de fusio e téorie des possibilités sot basés sur les t-ormes et les t-coormes de la téorie des esembles flous, qui gééraliset l uio et l itersectio [5] : Table. quelques t-ormes et t-coormes. t-orme t-coorme duale Nom mi(,y) ma(,y) Zade y + y y Probabiliste { si y = y si = autremet { si y = y si = autremet Miimale ma( + y,) mi(+y,) Lukasiewicz La règle la plus commuémet utilisée est ue itersectio : si deu sources sot fiables, l ue disat que la propositio élémetaire A, l autre que B, il est raisoable de peser que A B. E coisissat l opérateur mi, la règle, das le cas le sources, est : X π () = (π (),...,π ()) = mi i π i () La quatité = ma X π () est reliée à la cotradictio du résultat. E effet la quatité de coflit ( ) est égale à si les sources sot e accord, et à si l itersectio etre les sources est vide. Habituellemet les sources sot e léger désaccord (4) 3 Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4

3 ( ) et aussi ue étape de ormalisatio est requise afi de respecter la cotraite (3) : X π () = π () if i π i () = ma if i π i () Ue autre ormalisatio a été proposée sous la forme : π Y () = π ()+ = if i π i ()+ ma if i π i () (6) La pricipale ormalisatio, doée par (5), effectue e fait u rééceloemet liéaire des valeurs par de telle sorte que le ouveau atteige. La ormalisatio proposée das 6 est due à Yager [6]. So pricipe est de distribuer la quatité de coflit parmi tous les élémets ormis. Avec (5), u problème de stabilité umérique apparaît si deviet proce de [4], et la règle est pas défiie si égale. L icovéiet de (6) est que le support du résultat (l esemble des tels que π() > ) deviet l esemble X tout etier (voir la discussio 2.4 sur la modélisatio de la fiabilité). E fait la quatité de coflit est fodametale das le domaie de la fusio, et est utilisée comme u idice de la qualité du résultat: si est faible, alors cela veut dire que les iformatios sot e grad coflit, ce qui sigifie que l itersectio e devrait pas être utilisée. L opératio duale de l itersectio est l uio, fourie par la règle disjoctive : X π () = (π (),...,π ()) = ma i π i () Cette règle doit être appliquée lorsqu ue au mois des sources est fiable, mais cacée parmi d autres qui le sot mois. Afi de s assurer que le résultat fial soit coéret avec la réalité, l esemble des iformatios est eglobé et rassemblé. Aussi le résultat est beaucoup mois précis qu avec la règle cojoctive. Ue approce itermédiaire cosiste à peser que j sources parmi les sot fiables. Ces j sources sot d abord fusioées etre elles par ue cojoctio, puis sot fusioées avec les autres sources avec ue métode disjoctive : π (j) () = ma J,Card(J)=j J {...} (5) (7) (mi k J π k()) (8) Si l o suppose que le ombre j est cou, les véritables sources fiables sot quat à elles icoues, ce qui eplique le premier opérateur ma. La derière grade règle classique est ue règle adaptative [8] : π DP () = ma(π (), mi(, π ())) (9) E effet cette règle a u comportemet qui varie etre le mode cojoctif et le mode disjoctif, suivat la quatité de coflit fourie par. Le premier opérateur ma affirme que soit le mode cojoctif, soit le mode disjoctif est le bo mode, et effectue ue fusio de type uio etre les deu résultats partiels. Le mode disjoctif apparaît ici troqué par le terme ( ) qui décroît e foctio de. Cette règle reste malgré tout discotiue (elle est même pas défiie pour = ). Ue etesio a été formulée das le cas de sources à fusioer [9] : Soit J u sous esemble de sources et (J) = sup mi i J π i () la plus grade auteur de l itersectio de J sources pour toutes les combiaisos possibles. O va cercer à estimer le ombre de sources fiables. Comme ce ciffre est pas évidet à obteir o va plutôt cercer à le borer avec m et, tel que m avec : m = sup{ J, (J) =}; = sup{ J, (J) > } Das ce cas la règle de fusio est π AD () = ma(π () ()/(), mi( (), π (m) ())) () avec π () et π (m) défiis par (8), et ()=ma{(j), J =} Afi de redre cotiue (9), ue solutio a été proposée par Deveugele [3]. Elle cosiste à supprimer la discotiuité e itroduisat u paramètre qui majore la ormalisatio. Avec la règle de Dubois et Prade, si deveait trop petit, la règle deveait istable. Avec ce paramètre supplémetaire, appelé s pour saturatio, cela est plus possible. La règle deviet : π adaseuil () = ( ( )) π ma () ma(, s) ma(s, ), mi,π () () s Le problème est cepedat de coisir judicieusemet s, qui a ue forte ifluece sur le résultat. Efi (9) est à l origie de toute ue autre famille d opérateurs de fusio présetés par Oussala [4]. Il reviet sur la costructio origiale, e coisissat d autres opérateurs d implicatios, de t-ormes et de t-coormes. Par eemple o peut avoir : π O () = mi(,π ()/ 2 ) (2) E coclusio, mis à part les opérateurs pour lesquels l esemble du référetiel appartiet au support du résultat, les ouvelles règles d Oussala sot discotiues pricipe des fusios utilisat des idices de fiabilité Les opérateurs qui vot suivre fot appel à la otio de fiabilité. Avat de deveir plus tecique, il peut être utile de reveir sur la otio de fiabilité d ue source d iformatio. Pour cela met- Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4 3

4 tos ous à la place d u juge d istructio qui istruit u crime récet. Bie que dépourvu de tout idice matériel, le juge a cepedat la cace d avoir à sa dispositio u témoi oculaire, u policier. Les policiers sot assermetés, et doc le juge doe au policier u idice de cofiace maimal, ce qui témoige d ue cofiace absolue. Ce policier accuse ue persoe C. Or il s agit d u voyou de la pire espèce, bie cou des services de police. Cepedat, C a u alibi cofirmé par 5 autres persoes! Il s agit de 5 badits, tous au casiers judiciaires bie remplis! E deors de toute autre iformatio, que doit doc être l icliatio de otre juge? Comme il y a d u coté ue source de fiabilité maimale, et de l autre u grad ombre de sources peu recommadables, doit-il plutôt faire toujours cofiace au policier, même si le ombre de badits passe de 5 à 3? Ou otre juge doit-il composer, et sa décisio doit-elle dépedre du ombre de badits? Les opérateurs défiis précédemmet doat toujours la même ifluece, le même poids au doées, ils e pouvaiet jamais traiter de tels problèmes. Aisi les deu grades règles de fusio, au comportemet logique, que sot l uio et l itersectio, offret aucu compromis : soit les sources sot fiables, soit elles e le sot pas. Les règles (8) et (9) ot pour leur part u comportemet plus uacé, mais elles accordet toujours au sources la même cosidératio, le même poids. D autres types d opérateurs ot été défiis, comme les sommes symétriques [, ], mais ils attacet la même ifluece à toutes les sources. Par oppositio les opérateurs qui suivet pourrot reforcer telle ou telle source. Par cotre, e sus des iformatios à fusioer, ils écessiterot la coaissace des fiabilités de caque source. Ceci fait que tous ces opérateurs dépedrot du cotete, selo la termiologie employée par Bloc []. Avat d aborder les opérateurs, il apparaît écessaire de doer quelques idicatios supplémetaires cocerat les fiabilités. L eemple du policier et des voleurs illustre u grad type de fiabilité : la fiabilité itrisèque, ecore appelée fiabilité propre. Les policiers reçoivet a priori u idice de fiabilité élevé, au cotraire des voleurs. Mais l eemple mets aussi e lumière u autre type de fiabilité : les évetuelles cocordaces etre les sources d iformatio. Ici il y avait coflit etre deu groupes de sources : d ue part le policier et d autre part les voleurs, et c est ce qui posait problème au juge. Ces deu présetatios motret qu il y a au mois deu types de fiabilité. Ue fiabilité propre, qui dit par eemple qu u capteur récet est plus fiable qu u acie capteur. Cette fiabilité déped des paramètres teciques de caque source. Elle peut être évaluée par des eperts, par des essais... Il y a esuite ue fiabilité de ressemblace ou de cocordace. Elle est à relier à la cocordace des iformatios fouries par plusieurs sources. Si les sources diset la même cose, la fusio est plus simple que lorsque les sources diset le cotraire. Ce coflit peut avoir plusieurs origies. Il y a d ue part les défaillaces et autres paes des capteurs. Mais d autre part, das certais cas, les sources se situet das des cotetes d observatio différets, et, bie qu elles soiet toutes parfaitemet foctioelles, il y a u coflit provoqué par des différeces eteres. Aisi des uages pourraiet créer des coflits avec des potos d ue même scèe prises à des istats différets. Il est évidet que das u système complet de fusio, il est écessaire d itroduire u superviseur qui estime les fiabilités des sources avat leur fusio. E effet, o peut disposer de sources très fiables (au ses de fiabilité propre, comme des capteurs récets), alors que leur cocordace soit ulle. Das ce cas, le superviseur doit fusioer les fiabilités propres et de cocordaces, pour fourir ue fiabilité globale. Il est évidet que si deu sources sot à la fois teciquemet très boes, et e accord, la fiabilité globale sera très boe aussi. Au cotraire, si les sources sot e désaccord et o fiables, la fiabilité globale devra être très mauvaise. La recerce actuelle s occupe de tous les cas itermédiaires, qui poset de ombreu problèmes. E effet s il y a u coflit etre des sources fiables (au ses de fiabilité propre), soit ue des sources est défaillate, soit le cotete à évolué idépedammet. Ce superviseur apparaît assez complee à défiir et e sera pas abordé das cet article. Les règles de fusio présetées ci-après e s occupet pas de ces questios. Il s agit du stade ultime de la fusio, et les règles sot les mêmes quelle que soit l origie ou la ature des fiabilités. Le terme de fiabilité désigera doc la fiabilité globale. Cette fiabilité globale aura pour origie, idifféremmet, soit des fiabilités itrisèques, soit des fiabilités de cocordace, basées sur les ressemblaces etre les sources. Les fiabilités serot doées telles quelles, sas eplicatio. Des eemples serot basés sur la fiabilité de cocordace, qui variera. Pour évaluer cette fiabilité de cocordace, les outils de la classificatio, flous ou o, peuvet servir [8] : plus deu sources ot ue coérece, ue itersectio élevée, plus leur fiabilité augmete. Das cet article o supposera que l idice de ressemblace etre deu sources i et j est doé par : r ij = sup mi(π i (),π j ()) et o predra comme fiabilité de cocordace t i = r ij j=,j i 2.4. opérateurs utilisat des idices de fiabilité Nous pouvos maiteat aborder les règles de fusio. La première de ces approces viet du cadre probabiliste : c est ue somme covee des sources. Etat doé u vecteur de fia- 32 Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4

5 bilité t i >, la règle o ormalisée est : X π p () = t i π i () (3) i avec la cotraite : t i = (4) i Das ce cas, la règle a u comportemet adaptatif e foctio de fiabilités relatives, mais elle a aucu lie avec les opérateurs logiques. Il est possible de mélager cet opérateur avec les précédets [6], par eemple l uio : X π p () =β t i π i ()+( β) π () (5) i avec β [, ]. L autre approce cosiste à predre e compte la fiabilité des iformatios, o au iveau de la fusio, mais à l étape de la modélisatio des iformatios à agréger. Avec ce pricipe, ue trasformatio est appliquée au doées juste avat la fusio afi d obteir des iformatios fiables, puis elles sot esuite fusioées ormalemet avec ue règle cojoctive. La trasformatio est basée sur les cas limites suivats : si ue source est absolumet fiable, elle est pas altérée, au cotraire, si ue source est totalemet o fiable, la trasformatio aboutit à ue source d iformatio sas coteu π() = X. Etre ces deu cas limites, plusieurs opérateurs peuvet être défiis. Les deu pricipau opérateurs T sot respectivemet : T Yag (π, t) =tπ + t (6) T DP (π, t) = ma(π, t) (7) avec t [, ] l idice de fiabilité de la source π. Ces deu approces cosistet à agréger la source origiale avec ue source totalemet igorate π() = X. Par eemple l approce de Yager utilise la règle de compromis (3) avec les poids respectifs t et ( t). Le pricipal icovéiet de ces approces est que le support des sources trasformées deviet l esemble du référetiel X dès que les fiabilités sot iférieures à. De même, le oyau du résultat évolue discotiuemet pour t =, puisque le oyau passe brusquemet du oyau de la source à modifier à l esemble du réferetiel le ouvel opérateur adaptatif La ouvelle règle de fusio pred place das la catégorie des opérateurs qui dépedet du cotete, par l utilisatio des idices de fiabilité t =[t,...,t ] [, ]. Il y a pas de cotraite supplémetaire sur les t i comme avec (4). La costructio de cet opérateur repose sur deu cotraites : ) obteir u comportemet modulé e foctio des poids relatifs des sources ; et 2) avoir u comportemet logique das les quelques cas limites. Par eemple si toutes les sources sot absolumet fiables, ue itersectio doit être effectuée. L uio, quat à elle, e doit être effectuée que si ue source est fiable et que les autres e le sot pas. Le poit 2 idique que le coefficiet modulat l ifluece du mode cojoctif doit doc être u Et des fiabilités, et que c est u Quelques pour le coefficiet du mode disjoctif. Cet opérateur est cofodu avec le OU eclusif das le cas de deu sources (o utilise la décompositio Quelques() = {Or()}Ad{Not(Ad())}). Il reste à fusioer ces deu modes pour obteir le résultat. A l image de l opérateur adaptatif de Dubois et Prade, ue t-coorme doit être coisie. Cepedat pour ses proprietés de liéarité, la t-coorme de Lukasievicz est reteue. L étude aalytique de la foctio obteue motre efi que la règle pouvait être sous ormalisée, mais pas surormalisée. La versio o ormalisée de l opérateur était alors [2] : X π () = Quelq(t i ) ma i= (t i π i ()) + Ad(t i ) mi (t i π i ()) i= (8) avec Quelq et Ad deu opérateurs flous. E utilisat la t-orme probabiliste, ils sot respectivemet égau à : ( )( ) Quelq(t i )= ( t i ) t i (9) i= Ad(t i )= i= i= t i (2) Les quelques cas limites suivats permettet de mieu compredre la règle : Toutes les sources fiables ( i, t i =), alors π () = mi (π i()) i= Ue source est o fiable ( i, t i =, les autres t j =) alors π () = mi (π j()) j=,j i Ue source est fiable ( i, t i =, les autres t j =) alors π () =π i () Toutes les sources sot o fiables ( i, t i =) alors π () = Ce derier cas justifie la préférece de certais pour la versio suivate : X π () = Quelq(t i ) ma (t i π i ()) i= +Ad(t i ) avec Nor défii par u No Ou flou. mi i= (t i π i ()) + Nor(t i ) (2) Traitemet du Sigal 2 Volume

6 E effet cet opérateur, lorsque le vecteur t ted vers, ted vers la distributio uiforme π() = X, comme le faisaiet (6) et (7), qui représete l igorace complète. Les résultats présetés das [2] motret que ce ouvel opérateur répodait au objectifs, qu il avait à la fois u comportemet de type logique, et qu il pouvait être appliqué das des situatios beaucoup plus diverses que cacu des opérateurs classiques pris idépedammet (la difficulté état cepedat rejetée sur l estimatio du vecteur t). Néamois il est apparu que ce ouvel opérateur était pas très performat das le cas de sources e coflit ou de sources de fiabilités diverses. E effet das ce cas cet opérateur dérive très vite vers u comportemet de type disjoctif. Le paragrape suivat epose la costructio de la versio fiale versio fiale du ouvel opérateur adaptatif Das (7), deu facteurs peuvet poser problème das le cas de sources de faible fiabilité. D abord le terme mi (t i π i ()) ted très vite vers e foctio i= de t, et esuite le terme Ad(t i ) ted lui aussi très vite vers. Tous deu iterveat das la composate cojoctive de l opérateur, ce derier a très vite u comportemet presque eclusivemet disjoctif. Aisi si l o cosidère sources, dot 99 sot très fiables, et ue absolumet pas, ituitivemet le résultat devrait être ue itersectio des 99 sources fiables, alors que le résultat obteu avec (8) est ue uio des 99 sources fiables. Pour résoudre cette difficulté, il va falloir s attacer à ces deu termes. D abord étudios le mi. Il suffit e fait d utiliser ue autre podératio des sources, ce qui est possible par eemple avec : mi i= ( t i + t i π i ()) (22) qui est similaire à (5). Comme cette podératio modifie le support du résultat, il est possible de forcer le support à rester iclus das l uio : mi{mi i ( t i + t i π i ()), ma i (π i ())} (23) Le deuième coefficiet, Ad(t i ), est plus gêat. E effet, si ce coefficiet doit être très proce de lorsque t est proce de [,,], il doit être proce de lorsque t ted vers [,,]. Il eiste pas d opérateur logique (de type cojoctif) qui assure ce comportemet tout e élimiat les comportemets erroés du type 99 sources fiables et source o fiable. Il pourrait être evisagé de recourir à l opérateur média, qui est ettemet plus robuste que les opérateurs logiques. Avec cet opérateur, l eemple metioé ci-dessus serait résolu. Cepedat cet opérateur est trop robuste, aussi a été reteue ue solutio utilisat des opérateurs de type compromis, par eemple ti, qui est relativemet simple. Cepedat de maière symétrique, le même problème se pose pour le Quelq, qui est cette fois trop importat. Il est doc aussi écessaire de le modifier, toujours par u opérateur de compromis, qui cette fois ted vers e t = [,,]. La ouvelle famille de règle de fusio a doc la structure suivate : π() =( Comp(t i ))ma i (t i π i ()) +Comp (t i ) mi{mi i ( t i + t i π i ()), ma i (π i ())} (24) avec Comp et Comp qui respectet : ) Comp([,,]) = Comp ([,,]) = 2) Comp([,,]) = Comp ([,,]) = 3) Comp et Comp croissats Cepedat cette versio elle-même est pas satisfaisate, car e ayat modifié les coefficiets des deu modes cojoctifs et disjoctifs, la cotraite de type logique sur l opérateur das le cas de sources o fiables (i.e. le résultat doit être ue uio) est violée. E effet le mode cojoctif apparaît alors du même ordre de gradeur que le mode disjoctif et cet opérateur e ted plus de maière cotiue vers l uio. Pour cela, il est écessaire d itroduire la cotraite supplémetaire : 4) Comp (t) t e [,,] Alors est obteue la versio fiale du ouvel opérateur adaptatif (o ormalisée), par eemple : π() =( α p )ma i (t i π i ()) +α q mi{mi i ( t i + t i π i ()), ma i (π i )} (25) avec α = Σ(t i )/ et p = et q =2 par eemple (avec cette forme, q>). Cette versio a doc les mêmes comportemets limites que la précédete, mais tout e reforçat le caractère cojoctif de la fusio, comme le motrerot les simulatios. Par cotre il est vrai que so iterprétatio est ettemet plus délicate, puisque le secod terme de l opérateur est plus à propremet parler ue itersectio stricte. Das le cas de la versio (2) qui ted vers la distributio uiforme das le cas de sources o fiables, il suffit de trasposer (25) das (2) e rajoutat simplemet le terme Nor(t i ). 34 Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4

7 3. comparaiso des différetes règles de fusio Ce paragrape va doer quelques résultats de fusio, d abord sur u eemple classique de fusio impliquat deu sources de cotradictio variable, puis esuite sur u eemple de sources totalemet coflictuelles. 3.. les deu sources d iformatio Le référetiel est X = [.75,.75]. Les deu sources s et s 2 sot de classiques trapèzes. La fusio sera effectuée e foctio de leur coflit variable, suivat que les trapèzes sot plus ou mois écartés (Fig. ). Le paramètre mesure la auteur de l itersectio, et est utilisé comme paramètre. Pour les règles écessitat ue coaissace de la fiabilité des sources, ces derières furet prises égales à pour les deu sources. E effet, sas aucue autre iformatio, et l eviroemet de caque source état supposé similaire, plus les sources sot cotradictoires, mois elles peuvet correspodre simultaémet au mode réel. Et doc u pricipe de symétrie impose que leur fiabilité soit dimiuée d autat que le coflit augmete relatios particulières Les formules dérivées des règles (o ormalisées) sot doées ici pour l eemple. Ot été itroduits π () = mi(s (),s 2 ()) ad π () = ma(s (),s 2 ()) pour alléger la otatio. Approce de Dubois et Prade (9) ( ) π () π DP () = ma, mi(π (), ) Versio saturée () π adaseuil () = ma ( ( )) π () ma(, s) ma(s, ), mi,π () s Approce liéaire (3) Cet eemple est itéressat car il va motrer que l approce liéaire est etrêmemet cotraigate e ce qui cocere les fiabilités. E effet les deu sources doivet avoir ue fiabilité variable, mais du fait de la ormalisatio de ces fiabilités, elles sot e fait costates et égales à.5 π p () =.5(s ()+s 2 ()) Le résultat préseté ci-après est bie évidemmet le résultat ormalisé. Approce basée sur la trasformatio de Yager (6). La relatio géérale est : π a,y ag () = (T Yag (π,t )(), T Yag (π 2,t 2 )()) et das l eemple elle deviet : π a,y ag () =π ()+ Approce basée sur la trasformatio de Dubois et Prade (7). La relatio géérale est : π a,dp () = (T DP (π,)(), T DP (π 2,)()) et das l eemple elle deviet : π a,dp () = ma(π (), ) Approce de la ouvelle règle Deu versios serot testées pour voir l ifluece de p et q, qui permettet de moduler le mode cojoctif. Le terme ma(π (), π 2 ()) deviet alors π (). Versio 26 : π () =( )π ()+ 2 mi( + π (), π ()) (26) π() π2() π() π2() π() π2() = =.5 = Figure. Les sources s () et s 2 () pour trois cofiguratios de fusio. Le premier cas costitue u eemple de coflit total, le derier u accord correct. Traitemet du Sigal 2 Volume

8 O voit doc que si le coefficiet du mode cojoctif (e l occurrece le 2 ) était pas u ifiimet petit devat e, l opérateur e covergerait pas vers l uio. Versio 27 : π () = ( /4 )π ()+ 2 mi( + π (), π ()) (27) résultats de la fusio avec les différetes règles Figure 4. π p(), la règle liéaire (ormalisée) Figure 2. π DP (), la règle adaptative de Dubois et Prade Figure 5. π a,y ag (), la cojoctio appliquée au sources trasformées (approce de Yager) Figure 3. La règle adaptative saturée (s =.2) Figure 6. π a,dp (), la cojoctio appliquée au sources trasformées (approce de Dubois) 36 Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4

9 Figure 7. π () aciee versio du ouvel opérateur Figure 8. La versio (26) du ouvel opérateur Figure 9. La versio (27) du ouvel opérateur aalyse des résultats Si les règles, qui sot égales au mode disjoctif lorsque les sources e sot pas fiables, fourisset l uio lorsque =, les résultats diverget dès que croit. E effet pour la règle de Dubois et Prade, dès que >, le oyau du résultat est la valeur qui doe le maimum pour l itersectio, e l occurrece =. Aussi cette règle est discotiue car π() passe de à au voisiage de =. Cette règle a doc le même problème que le mode cojoctif. La partie disjoctive de la règle voit so poids dimiuer liéairemet à mesure que croit. La règle de Deveugele est cotiue mais de toute faço elle e permet pas de moduler l ifluece d ue source par rapport à ue autre. La règle liéaire est quat à elle cotiue, mais elle e ted pas vers l itersectio lorsque l accord etre les sources augmete. La ouvelle règle, das so aciee forme ou das sa ouvelle, a u comportemet beaucoup plus proce de la règle de Dubois et Prade, mais elle est cotiue, car le degré de possibilité pour le maimum du mode cojoctif, e =, croit progressivemet. La valeur de l agrémet etre les sources pour laquelle le mode cojoctif deviet prépodérat sur le mode disjoctif (c est-à-dire lorsque π() = ) déped de l utilisatio d ue t-orme particulière das le coi des coefficiets Xor et Ad, ou du coi d u opérateur de compromis particulier pour la ouvelle versio. Les règles qui utiliset ue trasformatio des sources e foctio de leur fiabilité iitiale ot u comportemet diffèret. E effet, dès que est iférieur à, l esemble du référetiel gage u degré de possibilité o ul, et ce degré de possibilité commu ted vers à mesure que le coflit etre les sources augmete (aussi ces approces e tedet pas vers l uio). Les deu versios (26) et (27) du ouvel opérateur adaptatif apparaisset, das l eemple, très proces de l aciee. Cela est justifié parce qu elles sot cotiues et ot les mêmes comportemets limites. Les versios (26) et (27) ot été costruites pour reforcer, e moyee, le comportemet de type cojoctif par rapport au comportemet de type disjoctif. La figure () permet de mieu appréeder les différeces etre (27) et (26). (27) est globalemet meilleure de ce poit de vue, puisque l o voit que les oyau des sources iitiales reçoivet relativemet mois d importace que leur itersectio. La figure permet de mieu discerer quelles sot les cotributios des modes disjoctifs et cojoctifs das le ouvel opérateur, versio (27). Elle superpose e effet les courbes : Disj() = ma (( /4 )π ()) Coj() = ma ( 2 mi( + π (), π ())) Pour voisi de, Coj() ted vers et Disj vers, ce qui est eureu. Lorsque ted vers, les deu termes tedet vers, Traitemet du Sigal 2 Volume

10 Figure. Grapique de (27) -(26) coupe pour =.3.9 Figure 2. Résultats de la versio (b) du ouvel opérateur (e cotiu), de la versio saturée de la règle de Dubois (e tirets, s =.3), et de l uio (e poitillés), pour = tif a été trasformé e u mode complee qui est plus eclusivemet ue itersectio. Il s esuit que le ouvel opérateur e fouri plus u résultat iclus das (π ()/) (π ()) eemple de fusio de sources violemmet e coflit Figure. Évolutio des parties cojoctives et disjoctives de (27) (respectivemet e cotiu et tirets). mais celui de la partie cojoctive plus vite que celui de la partie disjoctive. C est pourquoi e cas de faible fiabilité, cet opérateur ted vers l uio (il a été costruit pour cela, il e faut pas l oublier). Ceci e reste vrai, bie sûr, que si les fiabilités sot des fiabilités de cocordace. Si o fusioe des sources de fiabilité parfaite qui ot aucue itersectio, le résultat sera ue forme idétermiée (cela pourrait servir d ailleurs à u évetuel superviseur afi de fourir les fiabilités globales). Afi de mieu illustrer le comportemet du ouvel opérateur das des zoes itermédiaires pour les fiabilités, la figure 2 présete ue coupe pour =.3 de différets résultats. Il apparaît que le ouvel opérateur est très proce de l uio das cette zoe, bie que téoriquemet le mode cojoctif est de poids égal au mode disjoctif. Cela traduit le fait que le mode cojoc- O cosidère u référetiel composé de 4 propositios a, b, c, d. Nous avos sources e présece. Les deu premières sot (fig. 3) : π (a) =,π (b) =,π (c) =,π (d) = π 2 (a) =,π 2 (b) =, π 2 (c) =,π 2 (d) = et efi ous avos ( 2) sources π i idetiques de la forme π i (a) =,π i (b) =, π i (c) =,π i (d) = avec u paramètre variable. Les fiabilités des sources, qui sot supposées de ature itrisèques, sot : t = ε, t 2 = t i = ε avec ε. La source est de fiabilité faible car elle a ue itersectio vide avec toutes les autres. Cette source a pour uique raiso de mettre e défaut la plupart, sio tous, des opérateurs classiques de fusio. Il y aussi ( ) sources qui ot u poit commu d itesité e b, cepedat ces ( ) sources sot assez e désaccord, puisque le oyau de ces sources est soit a soit c, et 38 Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4

11 π π 2 π i + * a b c d a b c d * * * a b c d Figure 3. Les différetes sources d iformatio. ceci de maière très dissymétrique, puisqu ue seule source soutiet a. Ces ( ) sources ot ue fiabilité assez élevée. Le résultat idéal d u opérateur logique au ses classique serait d élimier d, c et a, et de récupérer uiquemet b, poit d itersectio des sources fiables. A la coaissace de l auteur, aucu opérateur de fusio eiste actuellemet qui permette d atteidre ce résultat. Il est immédiat de voir qu u opérateur de type probabiliste, comme la règle liéaire, cotreviedrait totalemet au objectifs. E effet puisque c est souteu par ( 2) sources fiables, c est lui qui deviedrait le seul possible lorsque croît. Avec la précédete versio (8) du ouvel opérateur, le résultat est facile à obteir. Comme l itersectio est vide etre les sources, seul le premier membre iterviet, après ormalisatio, ous obteos : π(a) =, π(b) =, π(c) =, π(d) = ε/( ε) qui est résolumet très imprécis! O obtiet à peu de cose près l uio des ( ) sources fiables. Maiteat le résultat sera bie meilleur avec la ouvelle versio. (26) a été coisie parce qu elle est plus sympatique pour les calculs à la mai. La règle géérale (o ormalisée) est : π() =( t)ma(t j π j ())+ t 2 mi(mi j ( t j + t j π j ()), ma j (π j ()) avec t la moyee des t j : t = ε +(2ε )/, qui ted vers ( ε) lorsque croît. Il est possible de détailler le calcul pour a : π(a) = ( t)( ε)+t 2 mi(mi( ε +,ε+ ε, ε +), ) π(a) =( t)( ε)+t 2 ε De même π(c) =( t)( ε)+t 2 ε Déjà ces deu valeurs motret que la ouvelle versio est à l opposé des opérateurs de compromis puisque a et c ot le a et c.5 b d.5 Figure 4. Résultat de la fusio das l eemple des sources e coflit (ε =. ). 5 Traitemet du Sigal 2 Volume

12 même poids. π(d) =( t)ε + t 2 ε et d apparaît avoir u poids très iférieur à ceu de a et c. Pour b le résultat est plus complee. π(b) =( t)( ε) + t 2 mi( ε, ε +( ε), ) Les trois courbes qui suivet motret les degrés de possibilité pour et variables. Le paramètre ε a été pris égal à,. Cet eemple motre que le ouvel opérateur a u comportemet globalemet positif puisque b domie les autres évéemets la plupart du temps, et ce très largemet. Lorsque b est peu souteu (pour faible), a et c défiisset seuls le oyau, avec d proce de b. Das tous les cas d reste la propositio qui reçoit le mois de crédit. Lorsque le ombre de source augmete, b est privilégié dès que >2ε. E effet t ted vers ( ε), et doc π(a) et π(c) tedet vers ε( ε)(2 ε), alors que π(d) ted vers ε 2 + ( ε) 2 ε, et que π(b) ted vers ε( ε) +( ε) 2 mi( ε, ε +( ε), ) qui est égal à ( ε) (o suppose ε ). 5. coclusio U des objectifs de la téorie des possibilités est de représeter et de fusioer des doées icertaies. Différets opérateurs furet défiis, mais das l esemble ils ot tous des ypotèses précises d applicatio, et u comportemet particulier. La classe d opérateurs utilisat ue iformatio supplémetaire, ommémet la fiabilité d ue source, apparaît beaucoup plus rice d utilisatio que les autres. Ce papier est reveu sur u opérateur défii précédemmet qui permet de predre e compte ces iformatios tout e ayat u comportemet de type logique que ot pas les autres opérateurs de cette famille. Ce papier a proposé ue modificatio profode de ce ouvel opérateur afi de reforcer le comportemet de type cojoctif, qui est beaucoup plus itéressat pour les utilisateurs. La versio fiale du ouvel opérateur permet doc d effectuer des fusios qui ressemblet très fortemet au pur mode cojoctif, tout au tedat de maière cotiue vers le mode disjoctif das le cas de sources peu fiables. Le fait de pouvoir attribuer ue fiabilité différete pour caque source d iformatio est sa caractéristique fodametale. L eemple du policier et des 5 badits motre tout à fait l itérêt de ce type de fusio. L eemple fial, qui a, à la coaissace de l auteur, de solutio itelligete qu avec cette ouvelle versio, motre la ricesse de l opérateur préseté ici. 6. remerciemets Ces recerces ot été fiacées par ue Bourse Lavoisier du Miistère des Affaires Etragères pour des recerces au laboratoire SE/SITE de l uiversité George Maso, Fairfa, e Virgiie, Etats-Uis. L auteur tiet aussi à remercier Mr. Dubois pour les judicieuses remarques qu il a faites cocerat la précédete versio de l opérateur, aisi que les relecteurs aoymes qui ot cotribué à fortemet améliorer cet article. BIBLIOGRAPHIE [] I. Bloc, «Iformatio combiatio operators for data fusio: a comparative review wit classificatio», IEEE T. o Systems, Ma ad Cyberetics. Part A : Systems ad Humas, vol. 26, o., pp , 996. [2] F. Delmotte, P. Bore, «Modellig of reliability wit Possibility Teory», IEEE SMC, vol. 28, o, pp , 998. [3] S. Deveugele, B. 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13 L AUTEUR Fraçois DELMOTTE Fraçois Delmotte est igéieur EUDIL. Titulaire d u doctorat e Automatique, il est actuellemet Maître de Coféreces à l uiversité de Valeciees. Ses sujets de recerces coceret d ue part la commade adaptative multi modèles, et d autre part les téories de l icertai. Traitemet du Sigal 2 Volume 7 4 3

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

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