Groupe orthogonal d'un espace vectoriel euclidien de dimension 2, de dimension 3

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1 1 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Voir le chapitre 19 pour l'étude des espaces euclidies et des isométries. État doé u espace euclidie E de dimesio 1, o rappelle que : si E est orieté par le choix d'ue base orthoormée B 0, o dit alors qu'ue base orthoormée B est directe si det B0 (B = 1 ; si u O (E est ue isométrie, o a alors, det (u = ±1 et o ote : O + (E = {u O (E det (u = 1} le sous-groupe de O (E formé des isométries directes (ou positives et : O (E = O (E \ O + (E = {u O (E det (u = 1} le sous-esemble de O (E formé des isométries idirectes (ou égatives ; ue applicatio liéaire u L (E est ue isométrie si, et seulemet si, sa matrice A das ue base orthoormée quelcoque de E est orthogoale, soit A O (R. O ote : O + (R = {A O (R det (A = 1} le sous-groupe de O (R formé des matrices orthogoales positives et : O (R = O (R \ O + (R = {A O (R det (A = 1} le sous-esemble de O (R formé des matrices orthogoales égatives. Si λ est ue valeur propres réelle d'ue isométries u O (E, o a alors λ = ±1. E eet si x E est u vecteur propre uitaire associé à la valeur propre λ, o a alors : 1 = x = u (x = λx = λ x = λ Si F est u sous-espace vectoriel de E stable par u O (E, l'orthogoal F est égalemet stable par u (ue isométrie coserve l'orthogoalité. E eet, si u (F F, o a alors u (F = F puisque u est u isomorphisme de E et pour pour tout x F, tout z F, il existe y F tel que z = u (y et : u (x z = u (x u (y = x y = 0 doc u (x F. 519

2 50 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio 1.1 Isométries e dimesio Pour ce paragraphe, E est u espace euclidie de dimesio et il est orieté par le choix d'ue base orthoormée B 0 = (e 1, e. Pour tout réel, o ote : ( ( cos ( si ( cos ( si ( R = et S si ( cos ( = si ( cos ( Lemme 1.1 Pour tous réel et, o a : R R = R R = R +, S S = R, R S = S +, S R = S et les matrices R, S sot iversibles d'iverses : et : R 1 = R et S 1 = S Démostratio. Pour les deux premières égalités, il sut de vérier : ( ( cos ( si ( cos ( R R = si ( si ( cos ( si ( cos ( ( cos ( cos ( = si ( si ( (cos ( si ( + si ( cos ( cos ( si ( + si ( cos ( cos ( cos ( si ( si ( ( cos ( + = si ( + si ( + cos ( + = R + ( ( cos ( si ( cos ( S S = si ( si ( cos ( si ( cos ( ( cos ( cos ( = + si ( si ( (si ( cos ( cos ( si ( si ( cos ( cos ( si ( cos ( cos ( + si ( si ( ( cos ( = si ( si ( cos ( = R O e déduit que R R = R 0 = I et S S = R 0 = I, ce qui sigie que R 1 = R et = S. De S + S = R = S S, o déduit que R S = S +, S R = S. L'égalité S 1 = S équivalete à S = I ous dit que toutes les matrices S sot d'ordre. S 1 Théorème 1.1 O a : O + (R = {R R} et O (R = {S R} Démostratio. Pour tout réel, o a : doc R O + (R et : doc S O (R. R 1 = R = t R, det (R = 1 S 1 = S = t S, det (S = 1

3 Isométries e dimesio 51 ( ( a b d c Réciproquemet, soiet A = O c d (R et C = sa comatrice. b a Si A O + (R, o a alors t A = A 1 1 = t C = t C, doc A = C, ce qui ous doe ( det (A a c a = d et b = c, de sorte que A = avec det (A = a c a + c = 1 et il existe u réel tel que a = cos ( et c = si (, doc A = R. Si ( A O (R, o a alors A = C, ce qui ous doe d = a et b = c, de sorte que a c A = avec det (A = (a c a + c = 1 et il existe u réel tel que a = cos ( et c = si (, doc A = S. Ce théorème peut aussi s'exprimer comme suit. Théorème 1. O a : { ( cos ( ε si ( O (R = A = si ( ε cos ( } R et ε = det (A { 1, 1} Remarque 1.1 Le réel qui iterviet das le théorème précédet, pour A O (R, est uique si o le pred das ] π, π]. Du lemme 1.1, o déduit que l'applicatio : R O + (R R est u morphisme de groupes surjectif de (R, + sur O + (R de oyau πz et par passage au R quotiet, o e déduit u isomorphisme du groupe quotiet πz sur O+ (R. E particulier, le groupe O + (R est commutatif. De même, e désigat par Γ le groupe multiplicatif des ombres complexes de module égal à 1, l'applicatio : R Γ e i ( R passe au quotiet e u isomorphisme de groupes de πz, + sur (Γ, et ( O + (R, est aussi isomorphe à (Γ,. Remarque 1. Pour, O + (R 'est pas commutatif. Remarque 1. Le groupe O + (R qui est isomorphe à Γ est compact et coexe (Γ est compact et coexe comme image du segmet [0, π] par l'applicatio cotiue t e it. L'esemble O (R est aussi compact et coexe comme image de O + (R par l'applicatio cotiue : ( cos ( si ( si ( cos ( ( cos ( si ( si ( cos ( ( ( cos si = si cos Le groupe O (R 'est pas coexe et O + (R et O (R sot ses deux composates coexes. Ce résultat état gééral (voir le théorème

4 5 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Théorème 1. U edomorphisme u du pla euclidie E est ue isométrie directe si, et seulemet si, il existe u réel tel que la matrice de u das 'importe quelle base orthoormée directe B est de la forme : ( cos ( si ( R = si ( cos ( U edomorphisme u de E est ue isométrie idirecte si, et seulemet si, il existe u réel tel que la matrice de u das la base B 0 est de la forme : ( cos ( si ( S = si ( cos ( Démostratio. La matrice de u O + (E das la base orthoormée B 0 est das O + (R, doc de la forme R pour u certai réel et il s'agit de démotrer que ce réel est idépedat de la base orthoormée directe choisie. Si B est ue autre base orthoormée directe de E, la matrice de u O (E das cette base est P 1 R P, où P O + (E est la matrice de passage de B 0 à B et P 1 R P = R puisque O + (R est commutatif. La matrice de u O (E das la base orthoormée B 0 est das O (R, doc de la forme S pour u certai réel. Remarque 1.4 Avec les otatios du théorème précédet, la matrice de u O + (E das ue base orthoormée idirecte B est t R = R 1 = R. E eet, la base idirecte B( déit la même orietatio que B0 = (e 1, e, la matrice de 1 0 passage de B 0 à B0 est Q = et la matrice de u das B0 est : 0 1 ( ( 1 0 cos ( si ( Q 1 R Q = 0 1 si ( cos ( ( cos si = = R si cos cette matrice état aussi celle de u das B. ( Remarque 1.5 Pour u O (E, avec les otatios de la démostratio précédete, la matrice de passage de B 0 à ue ue base orthoormée directe B est de la forme P = R et : P 1 S P = R S R = S R = S ( 1 0 Par exemple pour u O (E de matrice S 0 = das la base caoique B de R et ( 1 1 B = (e 1 + e, ( e 1 + e, o a P = 1 ( 1 1 et la matrice de u das B est : 1 1 S 0 = ( Exercice 1.1 Motrer que pour u O + (E et v O (E, o a v u v = u 1.

5 Isométries e dimesio 5 Solutio 1.1 O peut utiliser les expressios matricielles des isométries das B 0 et vérier par u calcul direct que pour tous réels et, o a : S R S = S S = R = R 1 O peut aussi dire que u v O (E (elle est das O (E de détermiat égal à 1 est ivolutive, doc u v = (u v 1 = v 1 u 1 et composat à gauche par v, o obtiet v u v = u Rotatios e dimesio Déitio 1.1 Ue isométrie u O + (E de matrice R das ue base orthoormée directe B, est appelée rotatio et est ue mesure de l'agle de cette rotatio. Si, das la déitio précédete, o impose das l'itervalle ] π, π], il est alors uiquemet détermié et o dit que c'est la mesure pricipale de l'agle de la rotatio. Das ue base idirecte, cette mesure pricipale est. O dit, de maière plus précise, que = { + kπ k Z} R πz est l'agle de la rotatio u O + (E das le pla euclidie orieté E. Par abus de lagage, o dit parfois que est l'agle de la rotatio, état etedu que le réel est déie modulo π. Pour u O + (E et tout x = x 1 e 1 + x e E, o a : u (x = (cos ( x 1 si ( x e 1 + (si ( x 1 + cos ( x e et : u (x x = cos ( ( x 1 + x = cos ( x = cos ( x u (x det B0 (x, u (x = x 1 cos ( x 1 si ( x x si ( x 1 + cos ( x = si ( ( x 1 + x = si ( x L'agle (modulo π de la rotatio u est peut doc se calculer avec : { cos ( = u (x x si ( = det B0 (x, u (x où x est u vecteur uitaire. Pour x 0, est ue mesure de l'agle géométrique que fot les vecteurs x et u (x. E preat das ] π, π], la mesure pricipale de cet agle géométrique est ±. Exemple 1.1 Si u est la rotatio d'agle π et (f 1, f ue base orthoormée directe, o a alors u (f 1 = f et u (f = f 1. Exemple 1. Les seules rotatios ivolutives sot Id et Id. Remarque 1.6 L'idetité est la rotatio d'agle 0, Id est la rotatio d'agle π et ue rotatio u d'agle / { 0, π } 'a pas de valeur propre réelle. E eet, so polyôme caractéristique est : χ u (λ = cos ( λ si ( si ( cos ( λ = (cos ( λ + si ( si ( > 0 O e déduit que les seules rotatios ayat ue valeur propre réelle sot Id avec 1 pour uique valeur propre et Id avec 1 pour uique valeur propre.

6 54 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio De l'étude du groupe commutatif O + (R, o déduit que l'iverse de la rotatio d'agle est la rotatio d'agle et la composée des rotatios u d'agle et u d'agle est la rotatio u u = u u d'agle +. Théorème 1.4 Le groupe O + (E est commutatif et 'est pas simple. Ses sous-groupes is sot tous cycliques. Plus précisémet, pour tout etier 1, l'uique sous-groupe d'ordre de O + (E est le groupe cyclique egedré par la rotatio d'agle π. Démostratio. Le groupe O + (E est isomorphe à O + (R qui est commutatif isomorphe au groupe multiplicatif Γ des ombres complexes de module égal à 1. Le groupe O + (R état commutatif, tous ses sous-groupes sot distigués. Comme de plus ce groupe est ii, il a ue iité de sous-groupes (exercice 1.15 et e coséquece 'est pas simple. O peut aussi dire que pour tout réel ]0, π[, le sous-groupe de O + (R egedré par R est distigué distict de {Id} et O + (R. U sous groupe i G de O + (E est isomorphe à u sous-groupe de Γ et o sait que pour tout etier 1, l'uique sous-groupe d'ordre de Γ est le groupe Γ des racies -èmes de l'uité (exercice.. L'uique sous-groupe d'ordre 1 de O + (R est doc le groupe : R = { R k 0 k 1 } où : ( ( cos π ( si π R = si ( π cos ( π est la matrice de la rotatio d'agle π Z et ce groupe est cyclique isomorphe à Z. Corollaire 1.1 Soit G u sous-groupe i de O (E. S'il est coteu das O + (E et d'ordre 1, il est alors cyclique egedré par la rotatio ρ d'agle π. S'il 'est pas coteu das O + (E, e désigat par l'ordre du sous-groupe G + = G O + (E de O + (E, par ρ la rotatio d'agle π qui egedre G+ et par σ u élémet de G \ G + = G O (E, o a alors : G = { Id, ρ,, ρ 1, ρ σ,, ρ 1 σ } Démostratio. Si G O + (E, le théorème précédet ous dit alors que G = ρ = {Id, ρ,, ρ 1 }. Sio, pour tout σ G \ G +, o a G = G + σg +. E eet, pour tout σ G \ G +, o a σ G O (E et u = σ σ G +, doc σ = σ u σg +. Comme G + = {Id, ρ,, ρ 1 }, o a le résultat aocé. Pour = 1, {Id} est l'uique sous groupe d'ordre 1 de O + (E et les sous groupes d'ordre de O (E sot de la forme σ = {Id, σ} (isomorphe à Z Z où σ O (E. U sous-groupe i de O (E o coteu das O + (E est doc d'ordre egedré par ρ et σ, ce que l'o ote G = ρ, σ, où ρ est d'ordre, σ d'ordre et σρ d'ordre (il est das O (E, ce qui sigie que (σρ 1 = σρ, ce qui est ecore équivalet à ρ 1 σ 1 = σρ, ou ecore à ρ 1 = σρσ. U tel groupe est dit diédral d'ordre et o le ote D. O peut motrer qu'u groupe diédral d'ordre est uique à isomorphisme près (voir l'exercice.40. C'est le groupe du polygoe régulier à cotés (voir le paragraphe E déitive, le corollaire précédet ous dit qu'u sous-groupe i de O (R est isomorphe à u groupe cyclique d'ordre ou à u groupe diédral d'ordre.

7 Isométries e dimesio 55 Exercice 1. Soit G = {g 0,, g 1 } u sous-groupe i de GL (E d'ordre. 1. Motrer que l'applicatio : (x, y E φ (x, y = 1 1 g k (x g k (y déit u produit scalaire sur E.. Motrer que tous les automorphismes g j sot orthogoaux pour le produit scalaire φ.. E déduire que G est cyclique d'ordre ou diédral d'ordre. Solutio 1. Pour = 1, o a G = {Id} et c'est termié. 1. Pour x, y, z das E et λ das R, o a φ (x, y = φ (y, x, doc φ est symétrique, φ (x, y + λz = φ (x, y + λφ (x, z puisque toutes les applicatios g k sot liéaires, doc φ est biliéaire, φ (x, x 0 et l'égalité φ (x, x = 0 équivaut à g k (x = 0 pour tout k, doc à x = 0 puisque les g k sot des automorphismes, doc φ est déie positive. E déitive, φ est bie u produit scalaire.. Pour tout j compris etre 0 et 1 et tous x, y das E, o a : k=0 φ (g i (x, g j (y = 1 1 g k g j (x g k g j (x k=0 1 = 1 g i (x g i (x = φ (x, y k=0 puisque l'applicatio g k g k g j est ue permutatio de G. Les automorphismes g j sot doc tous orthogoaux pour le produit scalaire φ.. E déitive, G est u sous-groupe i du groupe orthogoal O (E, φ, il est doc cyclique ou diédral. Exercice 1. O se doe deux droites distictes D et D das E. 1. Détermier toutes les rotatios u telles que u (D = D.. Motrer qu'il existe ue rotatio u telle que u (D = D et u (D = D si, et seulemet si, les droites D et D sot orthogoales. Préciser alors le ombre de ces rotatios. Solutio Si u est ue rotatio qui laisse stable ue droite D, pour tout vecteur directeur uitaire f 1 de D, o a alors u (f 1 = ±f 1, doc u a au mois ue valeur propre réelle et u = ±Id. Réciproquemet, Id et Id sot des rotatios (d'agles 0 et π respectivemet qui coservet D.. Si u (D = D et u (D( = D, o a alors u (D = D et u = ±Id. cos ( si ( Désigat par R = la matrice de u das B si ( cos ( 0, o a R = R = ±I, doc = 0 modulo π ou = π modulo π. La coditio ρ (D = D D impose = π modulo π, doc f 1 ρ (f 1 = 0 et les droites D et D sot orthogoales. Réciproquemet, si les droites D et D sot orthogoales, alors les rotatios d'agle π et π trasformet D e D et ce sot les seules.

8 56 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio 1.1. Agles orietés de vecteurs Théorème 1.5 Si x, y sot deux ( vecteurs o uls das E, il existe alors ue uique rotatio u O (E telle que y y = u x x. Démostratio. Il sut de motrer le résultat pour des vecteurs x, y uitaires (i. e. de orme égale à 1. E choisissat ue base orthoormée directe (f 1, f où f 1 = x, il existe deux réels a, b tels que y = af 1 + bf et avec y = a + b = 1, o déduit qu'il existe u réel tel que a = cos ( et b = si (. O a alors, e désigat par u la rotatio d'agle R πz : u (x = u (f 1 = cos ( f 1 + si ( f = y Si u est ue autre rotatio telle que u (x = y, o a alors u 1 u (x = x avec x 0, doc 1 est valeur propre de la rotatio u 1 u, ce qui équivaut à dire que u 1 u = Id et u = u. Si, avec les otatios du théorème qui précède, u est la rotatio d'agle R, o dit πz alors que est l'agle orieté des vecteurs x et y et o ote (x, y =. E particulier, o a (x, x = 0, (x, x = π et (x, π y = ± pour x, y orthogoaux. U réel das la classe d'équivalece est ue mesure de l'agle orieté (x, y, le représetat ] π, π] est la mesure pricipale de (x, y et o a vu que la mesure pricipale de l'agle géométrique que fot ces deux vecteurs est ± [0, π]. Le calcul de peut se faire avec : ( 1 1 x y = x y x x u x x = x y f 1 u (f 1 = x y cos ( et : ( ( 1 1 det B (x, y = x y det x x, u x x = x y det (f 1, u (f 1 = x y si ( où B est ue base orthoormée directe, soit : cos ( = x y x y et si ( = det B (x, y x y Pour tout vecteur o ul x, l'agle orieté des vecteurs e 1 et x est appelé agle polaire de x. R Le groupe quotiet πz, qui est isomorphe à O+ (E, est le groupe des agles orietés du pla euclidie orieté E. L'opposé d'u agle est = et la somme de deux agles est déie par + = +, ce qui se traduit das O + (R par R 1 = R et R + = R R. Avec le théorème qui suit, o résume les propriétés des agles orietés de vecteurs. Théorème 1.6 Soiet x, y, z, x, y des vecteurs o uls et λ u réel o ul. O a :

9 Isométries e dimesio (λx, λy = (x, y ;. les vecteurs x et y sot liés si, et seulemet si, (x, y { 0, 0π } ;. (x, y + (y, z = (x, z (relatio de Chasles ; 4. (y, x = (x, y ; 5. (x, y = (x, y si, et seulemet si, (x, x = (y, y ; 6. pour toute rotatio u O + (E, o a (u (x, u (y = (x, y (les rotatios coservet les agles orietés de vecteurs. Démostratio Pour tout réel o ul λ, o a λx λx = λ 1 x, ce qui etraîe que λ x O peut doc supposer tous les vecteurs uitaires das ce qui suit. (λx, λy = (x, y.. De (x, x = 0, (x, x = π, o déduit que (x, λx = 0, (x, λx = π pour tout réel λ > 0. { } Réciproquemet si (x, y 0, 0π, o a alors : x y = x y et les vecteurs x et y sot liés (ce qui se déduit aussi de det B (x, y = 0 ;. Notos (x, y =, (y, z = et u, u les rotatios telles que u (x = y et u (y = z. O a alors : u + (x = u u (x = u (y = z doc (x, z = + = + = (x, y + (y, z. 4. Preat z = x, o e déduit que (x, y + (y, x = (x, x = 0 et (y, x = (x, y. 5. O a : (x, x + (x, y = (x, y = (x, y + (y, y doc : (x, x (y, y = (x, y (x, y 6. Soit v l'uique rotatio d'agle telle que y = v (x. Comme O + (E est commutatif, o a : v (u (x = v u (x = u v (x = u (y doc = (u (x, u (y Réexios e dimesio O rappelle qu'ue réexio das u espace euclidie est ue symétrie orthogoale par rapport à u hyperpla et que c'est ue isométrie idirecte. Ue telle réexio est ivolutive. Das le cas d'u pla euclidie, ue réexio est doc ue symétrie orthogoale par rapport à ue droite. Si s D est ue réexio par rapport à la droite D, o a alors s D (x = x pour tout x D et s D (x = x pour tout x D. E désigat par f 1 u vecteur o ul de D et f u vecteur

10 58 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio o ul de ( D, la famille (f 1, f est ue base orthogoale de E et la matrice de s D das cette 1 0 base est. 0 1 De plus la droite D est l'esemble des poits xes de s D, soit D = ker (s D Id (l'espace propre associé à la valeur propre 1. Théorème 1.7 Les isométries idirectes d'u pla euclidie E sot les réexios. E désigat par : ( cos ( si ( S = si ( cos ( la matrice de u O (E das la base orthoormée B 0 et e otat : { f1 = cos ( f = si ( e1 + si ( e e1 + cos ( e la matrice de u das la base (f 1, f est ( ( ( 1 0 cos ( t P S P =, où P = si 0 1 si ( cos ( ce qui sigie que u est la réexio par rapport à la droite D = Rf 1. Démostratio. Si u est ue isométrie idirecte, o a vu que sa matrice das la base B 0 est de la forme : ( cos ( si ( S = si ( cos ( où est u réel uiquemet détermié modulo π. So polyôme caractéristique est : χ u (λ = cos ( λ si ( si ( cos ( λ = λ cos ( si ( = λ 1 L'esemble des poits xes de u est doc la droite propre D d'équatios : { (cos ( 1 x1 + si ( x = 0 si ( x 1 (cos ( + 1 x = 0 ce qui s'écrit aussi : et est équivalet à : ( cos (, si { ( si ( ( si x1 + cos ( x = 0 cos ( ( ( si x1 cos ( x = 0 si ( (0, 0. ( x 1 + cos puisque ( Cette droite est dirigée par le vecteur uitaire f 1 = cos ( ( dirigée par le vecteur uitaire f = si e 1 + cos ( x = 0 (1.1 e 1 +si ( e, la droite D est e et o a u (f 1 = f 1, u (f = ±f

11 Isométries e dimesio 59 puisque D est ( aussi stable par u (qui coserve la orme. La matrice ( de u das la base (f 1, f est doc = et avec det (u = 1, o déduit que =, ce qui sigie 0 ±1 0 1 que u est la réexio par rapport à D. O peut remarquer que la droite D est la droite dirigée par le vecteur f 1 d'agle polaire ( das la base B 0 et que pour / πz, c'est la droite d'équatio x = ta x 1. La descriptio des isométrie u d'u pla euclidie peut se faire e foctio de la dimesio de l'espace : H = ker (u Id de ses poits xes. Si dim (H =, o a alors u = Id et c'est la rotatio d'agle ul. Si dim (D = 1, das ue base ( orthoormée directe adaptée à la somme directe E = 1 0 D D, la matrice de u est et u est la réexio d'axe H. 0 1 Si dim (D = 0, u / O (E et c'est ue rotatio. Théorème 1.8 Le produit de deux réexios est ue rotatio et réciproquemet toute rotatio peut s'écrire comme composée de deux réexios. Démostratio. Si u, u sot deux réexios, la composée u u est ue isométrie et avec det (u u = 1, o déduit que c'est ue rotatio. Si u est ue rotatio et v ue réexio, la composée w = v u est ue isométrie et avec det (v u = 1, o déduit que c'est ue réexio et u = v 1 w = v w est produit de deux réexio. De maière plus géérale, O + (E est egedré par l'esemble des réexios (théorème O peut remarquer qu'e dimesio, l'écriture d'ue rotatio comme produit de deux réexios 'est pas uique, la première peut être choisie arbitrairemet et la deuxième est alors uiquemet détermiée. Théorème 1.9 Pour toute réexio u O (E et tout couple (x, y de vecteurs o ul, o a (u (x, u (y = (x, y (les réexios iverset les agles orietés de vecteurs. Démostratio. O suppose x, y uitaires et v O + (E est la rotatio d'agle = (x, y telle que y = v (x. O a alors : v (u (x = u v u (u (x = u (v (x = u (y (comme u v O (E, o a u v = (u v 1 = v 1 u 1 et v 1 = u v u, ce qui sigie que (u (x, u (y = (v est la rotatio d'agle. E désigat respectivemet par R, S et S les matrices d'ue rotatio ρ et de deux réexios σ et σ das B 0, o a : S S = R, S R = S, R S = S + (lemme 1.1, ce qui sigie que : la composée des deux symétries σ σ est la rotatio d'agle (modulo π ; σ ρ est la réexio par rapport à la droite dirigée par le vecteur d'agle polaire ;

12 50 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio ρ σ est la réexio par rapport à la droite dirigée par le vecteur d'agle polaire +. Exercice 1.4 Détermier le cetre de O + (E et de O (E. Solutio 1.4 O ote Z (G le cetre d'u groupe G. Comme O + (E est commutatif, o a Z (O + (E = O + (E. Avec R S = S + S = S R pour / Zπ, o déduit que Z (O (E e cotiet pas de réexio i de rotatios d'agle diéret de 0 modulo π. Doc Z (O (E = { Id, Id} Le groupe diédral D O se xe u etier et o se place das le pla E = R mui de sa structure euclidiee caoique. O ote B 0 = (e 1, e la base caoique de R. Déitio 1. O dit qu'u groupe multiplicatif G est diédral de type D, s'il est dicyclique egedré par u élémet ρ d'ordre et u élémet σ ρ d'ordre tel que ρσρσ = Id (ce qui sigie que ρσ est d'ordre. Lemme 1. Si G est u groupe diédral de type D, o a alors : et il est d'ordre. G = { Id, ρ,, ρ 1} { σ, σρ,, σρ 1} Démostratio. Voir l'exercice.40 O désige par ρ la rotatio d'agle π (modulo π et par σ la réexio d'axe Re 1. Les matrices de ρ et σ das B 0 sot respectivemet : ( ( cos π ( si π R = si ( π cos ( π et S = ( La rotatio ρ est d'ordre puisque R = I et R k I pour tout k compris etre 1 et 1, la réexio σ est d'ordre et ρσ est ue réexio, doc d'ordre égalemet. Le groupe ρ, σ est doc diédral de type D. O désige par : Γ = { A k = ρ k (e 1 0 k 1 } l'esemble des sommets d'u polygoe régulier à cotés et par : le groupe des isométries qui coservet Γ. Théorème 1.10 O a : Is (Γ = {u O (E u (Γ = Γ } Is (Γ = ρ, σ = { Id, ρ,, ρ 1} { σ, σρ,, σρ 1}

13 Isométries e dimesio 51 et : Démostratio. Pour tout etier k compris etre 0 et 1, o a : ( ( cos kπ ( σ (A k = σ ρ k (e 1 = si ( = cos ( kπ ( = A kπ k Γ si ( kπ ρ (A k = A k+1 Γ doc ρ et σ sot das Is (Γ et G = ρ, σ Is (Γ. Réciproquemet si u Is (Γ, c'est soit ue rotatio, soit ue réexio. Si u est ue rotatio d'agle α avec 0 α < π, comme u (A 0 Γ, il existe u etier k compris etre 0 et 1 tel que u (A 0 = ( cos (α si (α = ( cos ( kπ si ( kπ et α = kπ, doc u = ρk G. Si c'est ue réexio, alors σ u est ue rotatio das Is (Γ, doc σ u G et u = σ (σ φ G. O a doc Is (Γ G et G = Is (Γ. Remarque 1.7 À isomorphisme près, il y a u uique groupe diédral d'ordre, c'est Is (Γ (voir l'exercice Isométries e dimesio Pour ce paragraphe, E est u espace euclidie de dimesio et il est orieté par le choix d'ue base orthoormée B 0 = (e 1, e, e. Lemme 1. Ue isométrie u O (E, a au mois valeur propre réelle qui vaut 1 ou 1. Démostratio. Le polyôme caractéristique χ u de u état de degré à coeciets réels, le théorème des valeurs itermédiaires ous dit qu'il a au mois ue racie réelle et comme u est ue isométrie, cette valeur propre est das { 1, 1}. Exemple 1. L'idetité, Id O + (E, a 1 pour uique valeur propre et Id O (E a 1 pour uique valeur propre. Exemple 1.4 Si u est ue réexio (symétrie orthogoale par rapport à u pla, sa matrice das ue base orthoormée adaptée est alors : S = doc χ u (λ = (1 λ (1 + λ et ses valeurs propres sot 1 et 1. Exemple 1.5 Si u est u retouremet (symétrie orthogoale par rapport à ue droite, sa matrice das ue base orthoormée adaptée est alors : S = doc χ u (λ = (1 λ (1 + λ et les valeurs propres de u sot 1 et 1.

14 5 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Théorème 1.11 Soiet u O (E et : l'esemble des poits xes de u. H = ker (u Id = {x E u (x = x} 1. Si dim (H =, o a alors u = Id.. Si dim (H =, o a alors u O (E \ { Id} et c'est la réexio par rapport au pla H. E désigat par (f 1, f, f ue base orthoormée de E où (f 1, f est ue base orthoormée de H, la matrice de u das cette base est : Si dim (H = 1, o a alors u O + (E \ {Id} et désigat par (f 1, f, f ue base orthoormée directe de E telle que (f 1, f soit ue base orthoormée du pla P = H, la matrice de u das cette base est : R = cos ( si ( 0 si ( cos ( Si dim (H = 0 (c'est-à-dire H = {0}, o a alors u O (E et soit u = Id, soit u est la composée commutative d'ue rotatio ρ d'axe D avec ue réexio par rapport au pla P = D et, e désigat par (f 1, f, f ue base orthoormée directe de E telle que (f 1, f soit ue base orthoormée du pla P, la matrice de u das cette base est : Démostratio. A = cos ( si ( 0 si ( cos ( Si dim (H =, o a alors H = E et u = Id.. Si dim (H =, H est alors ue droite stable par u et das ue base orthoormée directe adaptée à la somme directe E = H H, la matrice de u est : A = ε avec ε = det (A = ±1. Comme dim (H =, o a écessairemet ε = 1 et u est la réexio par rapport au pla H, doc u O (E \ { Id}.. Si dim (H = 1, o a u Id et la restrictio v de u au pla stable P = H est alors ue isométrie qui e peut être ue réexio (elle 'a pas de poit xe o ul, c'est doc ue rotatio et la matrice de u das ue base orthoormée directe adaptée à la somme directe E = H H est : doc u O + (E \ {Id}. R = cos ( si ( 0 si ( cos (

15 Isométries e dimesio 5 4. Si dim (H = 0, o a alors H = {0} et 1 'est pas valeur propre de u. Das ce cas 1 est écessairemet valeur propre de u O peut avoir u = Id O (E et c'est alors termié. Sio, e désigat par f u vecteur propre uitaire associé à la valeur propre 1, le pla orthogoal P à la droite D dirigée par f est stable par u et das ue base orthoormée directe adaptée à la somme directe E = P D, la matrice de u est : ( B 0 A = 0 1 où B est la matrice de la restrictio v de u à P. Si B O (R, v est alors ue réexio et a des poits xes o uls, ce qui cotredit H = {0}. O a doc B O + (R et det (A = 1, c'est-à-dire que u O (E \ { Id} et il existe u réel tel que : A = E remarquat que : cos ( si ( 0 si ( cos ( 0 = cos ( si ( 0 si ( cos ( = cos ( si ( 0 si ( cos ( cos ( si ( 0 si ( cos ( o voit que u = ρ σ = σ ρ, où ρ est la rotatio d'axe D et d'agle et σ la réexio par rapport à P = D. Remarque 1.8 Si (f 1, f est ue base orthoormée d'u pla P, e otat f = f 1 f, la famille (f 1, f, f est ue base orthoormée directe de E. Remarque 1.9 Das le cas où H = {0}, o a u O (E, doc u O + (E, sa matrice das la base (f 1, f, f du théorème précédet état : cos ( si ( 0 cos ( + π si ( + π 0 si ( cos ( 0 = si ( + π cos ( + π 0 = R +π et u est la rotatio d'axe D et d'agle + π. Avec les otatios du théorème précédet, das le cas où dim (H = 1, o dit que u O + (E \ {Id} est la rotatio d'axe H orieté par f 1 f, où (f 1, f est ue base orthoormée du pla P = D et d'agle de mesure (modulo π. O dit que Id = R 0 est ue rotatio d'agle de mesure ulle. Pour = π, la matrice de u O + (E das la base orthoormée (f 1, f, f est : R π =

16 54 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio et u est la symétrie orthogoale par rapport à la droite Rf (c'est u retouremet ou demi-tour d'axe Rf. Si u O + (E \ {Id} est ue rotatio d'axe D = Rf et d'agle de mesure, le théorème qui suit ous doe, pour tout x E, ue expressio de u (x e foctio de f, et x. Théorème 1.1 Soit u L (E \ {Id}. u est ue rotatio si, et seulemet si, il existe u vecteur uitaire f et u réel ] π, π] \ {0} tels que : x E, u (x = cos ( x + (1 cos ( f x f + si ( (f x (1. Das ce cas la droite D = Rf est l'axe orieté de la rotatio, la mesure pricipale de so agle et pour tout vecteur x uitaire et orthogoal au vecteur f, o a : cos ( = x u (x, si ( = det B0 (x, u (x, f Démostratio. Supposos que u O + (E \ {Id}. O utilise la base orthoormée directe B = (f 1, f, f 1 f du théorème précédet e otat f = f 1 f et x 1, x, x les coordoées d'u vecteur x E das cette base. Les coordoées y 1, y, y de u (x das cette base sot alors doées par : y 1 y y = cos ( si ( 0 si ( cos ( = cos ( x 1 x x x 1 x x + (1 cos ( = 0 0 x cos ( x 1 si ( x si ( x 1 + cos ( x + si ( = cos ( x + (1 cos ( f x f + si ( (f x Réciproquemet, soit u L (E \ {Id} déie par (1.. O utilise ue base orthoormée directe (f 1, f, f avec f uitaire orthogoal à f et f 1 = f f. Das cette base, o a : u (f = cos ( f + (1 cos ( f = f x x x 1 0 u (f = cos ( f + si ( (f f = cos ( f si ( f 1 u (f 1 = cos ( f 1 + si ( (f f 1 = cos ( f 1 + si ( f Doc la matrice de u das cette base est : cos ( si ( 0 si ( cos ( et u est la rotatio d'axe orieté D = Rf et d'agle de mesure pricipale. x 1 cos ( x 1 si ( x Pour x = x uitaire et orthogoal au vecteur f, o a u (x = si ( x 1 + cos ( x 0 0 et : x u (x = cos ( ( x 1 + x = cos ( det B0 (x, u (x, f = det B (x, u (x, f = = si ( ( x 1 + x = si ( x 1 cos ( x 1 si ( x 0 x si ( x 1 + cos ( x

17 Isométries e dimesio 55 Ce qui peut aussi se voir avec : x u (x = cos ( x + si ( x f x = cos ( et : det B0 (x, u (x, f = si ( det B0 (x, f x, f = si ( det B0 (f, x, f x = si ( O déduit du théorème précédet, ue expressio de u (x pour O (E. Comme u est ue rotatio d'agle + π, o a : x E, u (x = cos ( + π x + (1 cos ( + π f x f + si ( + π (f x soit : x E, u (x = cos ( x (1 + cos ( f x f + si ( (f x Remarque 1.10 E otat f = ae 1 +be +ce avec a +b +c = 1 et x = x 1 e 1 +x e +x e, o pour u O + (E \ {Id}, das la base B 0 : y 1 x 1 a a x 1 y = cos ( x + (1 cos ( (ax 1 + bx + cx b + si ( b x y x c c x = cos ( = cos ( x 1 x x x 1 x x + (1 cos ( (ax 1 + bx + cx + (1 cos ( a b c a x 1 + abx + acx abx 1 + b x + bcx acx 1 + bcx + c x + si ( + si ( ce qui sigie que la matrice de u O + (E \ {Id} das la base B 0 est : a ab ac 0 c b A = I + (1 cos ( ab b bc + si ( c 0 a ac bc c b a 0 bx cx cx 1 ax ax bx 1 bx cx cx 1 ax ax bx 1 Si A O + (R \ {I } est la matrice de u O + (E \ {Id} das la base orthoormée B 0, alors l'axe D de la rotatio u est obteu e détermiat le oyau de u Id, ce qui reviet à résoudre u système liéaire (A I X = 0, où la matrice A I est de rag. Pour ce qui est de la mesure pricipale ] π, π] \ {0} de l'agle de cette rotatio, avec : Tr (u = Tr (A = Tr (R = cos ( + 1 o e déduit la valeur de cos ( et celle de au sige près. Si Tr (u = 1, o a alors cos ( = 1, doc si ( = 0 et = π. Das le cas où ] π, π[ \ {0}, o peut détermier le sige de si (, et doc celui de, avec l'égalité : si ( = det B 0 (x, u (x, f x où x est u vecteur o ul orthogoal à D.

18 56 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Exercice 1.5 O désige par u l'edomorphisme de E de matrice : A = das la base B Motrer que u est ue rotatio.. Doer ue vecteur uitaire f apparteat à l'axe de cette rotatio.. Détermier la mesure pricipale ] π, π] de l'agle de cette rotatio. Solutio Avec A I, A t A = I et det (A = 1, o déduit que u est ue rotatio d'agle o ul (modulo π.. L'axe de cette rotatio est obteu e résolvat le système liéaire (A I X = 0, soit : x + y + z = 0 x y + z = 0 x + y z = 0 ce qui doe x = y = z et l'axe D de u est la droite dirigée par f = 1 (e 1 + e + e.. Avec Tr (u = 1 = cos ( + 1, o déduit que cos ( = 1 et = π. Exercice 1.6 O se doe des réels a, b, c o tous uls et o désige par u l'edomorphisme de E de matrice : a ab c ac + b A = ab + c b bc a ac b bc + a c das la base B Calculer le détermiat de u.. Détermier les réels a, b, c tels que u soit ue isométrie et das ce cas, préciser sa ature géométrique. Solutio O a : det (u = a 4 + b 4 + c 4 + a b + a c + b c = ( a + b + c 0. Si u O (E, o a alors det (u = ±1, doc det (u = 1 et a + b + c = ±1. Avec : 1 = u (e 1 = a 4 + (ab + c + (ac b = a ( a + b + c + c + b

19 Isométries e dimesio 57 o déduit que si a + b + c = 1, o a alors : { a + b + c = 1 a + c + b = 1 doc b + c = 0, soit b = c = 0 et a = 1, ce qui est impossible. O a doc a + b + c = 1 et u O + (E. Réciproquemet, supposos que a + b + c = 1. Das ce cas, o a det (u = 1 et : u (e 1 = 1 u (e = b 4 + (ab c + (bc + a = b ( a + b + c + c + a = 1 u (e = c 4 + (ac + b + (bc a = c ( a + b + c + b + a = 1 u (e 1 u (e = a (ab c + b (ab + c + (ac b (bc + a = ab ( a + b + c ab = 0 u (e 1 u (e = a (ac + b + c (ac b + (ab + c (bc a = ac ( a + b + c ac = 0 u (e u (e = (ab c (ac + b + b (bc a + c (bc + a = bc ( a + b + c bc = 0 ce qui sigie que u O + (E. Doc, pour a + b + c = 1, u O + (E \ {Id} et c'est ue rotatio d'agle ] π, π] tel que cos ( + 1 = Tr (A = 1, ce qui doe = ± π. L'axe D de cette rotatio est obteu e résolvat le système liéaire (A I X = 0, soit : (a 1 x + (ab c y + (ac + b z = 0 (ab + c x + (b 1 y + (bc a z = 0 (ac b x + (bc + a y + (c 1 z = 0 E eectuat les opératios (1+c ( b (, c (1+(+a ( et b (1 a (+(, o obtiet : cy + bz = 0 cx az = 0 bx + ay = 0 Comme (a, b, c 0, l'u de ces coeciets est o ul. E supposat a 0, o obtiet z = c a x et y = b a x et l'axe D de u est la droite dirigée par f = ae 1 + be + ce (les deux autres possibilités doet le même résultat. E désigat par x u vecteur o ul das D, par exemple x = be 1 + ae si a 0, si ( est du sige de : det (x, u (x, f = b ac a a bc b 0 1 c c et e coséquece = π. O dit que u est u quart de tour. (1 ( ( = a + b > 0

20 58 Groupe orthogoal d'u espace vectoriel euclidie de dimesio, de dimesio Exercice 1.7 Soiet D la droite de E dirigée par e = 1 (e 1 e + e et u la rotatio d'axe D et d'agle de mesure π, le pla D état orieté par le choix de e. Doer la matrice de u das la base B 0. Solutio 1.7 E otat f 1 = 1 (e 1 + e, f = f f 1 = 1 6 ( e 1 + e + e, (f 1, f, f est ue base orthoormée directe de E, (f 1, f est ue base de D et la matrice de u das cette base est : cos ( ( π A si π 0 = si ( π cos ( 1 0 π 0 = et sa matrice das la base B 0 est : A = P A P 1 = P A t P = = O peut aussi utiliser l'expressio (1. d'ue rotatio, ce qui doe pour tout x E : ( ( ( ( π π π u (x = cos x + 1 cos e x e + si (e x x 1 x + (x 1 x + x + = 1 x = x x 1 x x x x 1 x x 1 + x doc : A = Applicatios qui coservet le produit vectoriel Le théorème 1.14 qui suit ous dit que les rotatios d'u espace euclidie de dimesio sot les applicatios (o supposées liéaires, a priori qui coservet le produit vectoriel. Théorème 1.1 Les rotatios coservet le produit scalaire, c'est-à-dire pour toute rotatio u O + (E, o a u (x y = u (x u (y pour tous vecteurs x, y das E. Démostratio. Soit u O + (E ue rotatio de E.

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