LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE

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1 LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe par récurrece (chaque terme déped du précédet). O souhaterat obter ue formule permettat de calculer explctemet u e focto de. À premère vue, cette formule e saute pas aux yeux. Das ue telle stuato, le calcul des premers termes est souvet téressat pour se fare ue "dée". Ic, ous avos : u u 0 u u u u 7 u u 5 u 5 u Stop, ous remarquos que la sute (u ) semble obér à ue lo toute smple : e aoutat à chaque terme, o obtet les pussaces successves de. Nous pouvos doc émettre la coecture suvate : pour tout, u Atteto, ue coecture 'est pas ue preuve ( ue affrmato forcémet vrae, certaes coectures se révèlet parfos fausses...). Ce 'est que l'éocé d'ue proprété résultat d'u certa ombre d'observatos. Alors commet cofrmer, par ue démostrato, la proprété coecturée c-dessus? Notos la proprété, défe pour, par : () : u Supposos u stat, que pour u certa eter, o at effectvemet la proprété () : u. Alors, o aurat : u u ( ) Ce qu est ( ). Autremet dt, s la proprété est vrae à u certa rag alors elle l'est égalemet au rag suvat. O dt que la proprété est hérédtare. Fasos u bla. O a vérfé que la proprété état vrae au rag 0,,,, et 5 (O dt que la proprété est talsée). Mas comme elle est hérédtare, elle sera vrae ecore au rag, pus au rag 7 etc... S be que otre proprété est falemet vrae à tout rag. Nous veos de fare u rasoemet par récurrece : Sot ue proprété défe sur (ou u tervalle I de ) S : La proprété est INITIALISÉE à u certa rag 0 (C'est-à-dre : ( 0 ) est vrae) La proprété est HÉRÉDITAIRE à partr du rag 0 (C'est-à-dre : pour tout 0, () ( )) Alors : La proprété est vrae à tout rag plus grad que 0. Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI

2 . Premers exemples rédgés ) O cosdère la sute (u ) défe pour par : (Somme des premers ombres mpars) u ( ) Démotrer que : u Remarque : ce résultat se démotre égalemet à l'ade de la formule S ) Démotrer que : ( )( ) et N( P D) ( ) ) Démotrer que : x ], [,, ( x) x (égalté de Beroull) ) Démotrer que : 5) Démotrer que pour tout : pp ( ) p cos () (x) cos x π et s() (x) s x π ) Démotrer que pour tout u : s(u) s u La otato ƒ () désge c la dérvée ème de la focto ƒ. 7) Soet et ƒ la focto, défe pour x, par : ƒ (x) Démotrer que ƒ est dérvable et que pour tout réel x : ƒ (x) 8) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : x x u 5u u u0 u Démotrer que pour tout : u 9) Démotrer que : a a < Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI

3 Solutos : ) O cosdère la proprété, défe pour *, par : O a () pusque ( ). () : ( ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : ( ) O a : ( ) ( ) ( ) ( ) Et d'après () : ( ) D'où : ( ) ( ) Ce qu est ( ). O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( ) pour tout * ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : O a () pusque. () : ( )( ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : O a : Et d'après () : E factorsat par ( ) : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )( ( ) ( ) Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI

4 ( )( 7 ) ( )( )( ) Ce qu est ( ) O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( )( ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : () : ( ) O a () pusque Motros que, pour tout : () ( ). Sot. Supposos () : O a : Et d'après () : ( ) ( ) ( ) ( ) E factorsat par ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) Ce qu est ( ) O a doc be motré que pour tout, () ( ) Bla : o a () et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : ( ) Et comme, o sat que : O a falemet : ( ) ( ) Autre méthode, sas récurrece : o cosdère u carré C de côté O déft A par l'are d'u carré de côté Pus, pour tout, A par l'are de "l'équerre de largeur " ( ) (vor fgure) Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI

5 (Dfférece etre les ares des carrés de côté ( ) et celu de côté ( ) ) O calcule l'are de C de deux faços. D'ue part, c'est. D'autre par, c'est Or, pour : A (Les équerres parttoet C) A l l l l ( ) ( ) D'où : ( ) A A A A 0 ( ) ( ) ( ) ) Sot x ], [. O cosdère la proprété la proprété, défe pour tout, par : () : ( x) x Il s'agt de l'égalté de Beroull. O a (0) pusque ( x) 0 0x pour tout x. Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : ( x) x Or, x > 0, doc e multplat l'égalté c-dessus par ( x), o obtet : ( ) x ( x)( x) Or : ( x)( x) x x x ( )x x Prcpe du rasoemet par récurrece Page 5 G. COSTANTINI

6 Comme x 0, o a : ( x)( x) ( )x D'où : ( ) Ce qu est ( ). x ( )x Bla : o a (0) et (, () ( )) doc o a : (), : ( x) x Remarque : lorsque x, cette égalté se démotre égalemet avec la formule du bôme de Newto () : ( x) x 0 Or, la somme e cotet que des termes postfs (pusque x > 0). Doc : ( x) 0 x Et comme 0 x0 et x x, o a : ( x) x ) O cosdère la proprété, défe pour tout *, par : () : pp ( ) p O a (). Motros que, pour tout * : () ( ) Sot *. Supposos () : pp ( ) p Alors : pp ( ) p pp ( ) p ( )( ) Et d'après () : pp ( ) p ( )( ) E rédusat au même déomateur : pp ( ) p ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ce qu est ( ). Bla : o a () et (pour tout *, () ( )) doc o a : (), pour tout * : pp ( ) p () Cette remarque peut être sautée e premère lecture, la formule du bôme de Newto sera démotrée ultereuremet. Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI

7 Autre méthode : e remarquat que p( p ), o obtet, par télescopage : p p p pp ( ) p p p 5) O cosdère la proprété, défe pour tout, par : () : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π O a claremet (0). Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π O a alors : cos () (x) s x π et s() (x) cos x π Or, s(a) cos A π et cos(a) s A π Doc : cos () (x) cos π x ( ) et s() (x) s π x ( ) Ce qu est ( ). Bla : o a (0) et (pour tout, () ( )) doc o a : (), pour tout : cos () (x) cos x π et s() (x) s x π ) Fxos u. O cosdère la proprété, défe pour tout, par : () : s (u) s u O a claremet (0) et (). Motros que pour tout : () ( ) Sot. Supposos (). Comme s[( )u] s(u)cos u s(u)cos(u) s[( )u] s(u) s(u) Et d'après () : D'où : s[( )u] s u s(u) s[( )u] ( ) s(u) Ce qu est ( ). Bla :o a (0) et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout : s (u) s u Prcpe du rasoemet par récurrece Page 7 G. COSTANTINI

8 7) O cosdère la proprété, défe pour *, par : () : ƒ est dérvable et pour tout réel x : ƒ (x) x O a, pour tout réel x, ƒ (x) x et ƒ (x) x0 d'où (). Motros que pour tout * : () ( ) La dérvée d'ue focto affe x ax b est la focto costate x a égale au coeffcet drecteur. Sot *. Supposos (). Écrvos ƒ (x) x x xƒ (x) O a sat que l'applcato x x est dérvable (de dérvée la costate égale à ). De plus, par hypothèse, ƒ est dérvable. La formule de dérvato d'u produt ous doe alors : Ce qu est ( ). ƒ (x) ƒ (x) x ƒ (x) x x x ( ) x Bla :o a (0) et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout : ƒ est dérvable et pour tout réel x : ƒ (x) x 8) O cosdère la proprété, défe pour, par : () : pour tout eter m, u m m Comme u 0 et u, o a (). Motros que, pour tout : () ( ) Lorsqu'o chost ce type de proprété, o dt parfos que l'o fat ue récurrece "forte". Sot. Supposos () : pour tout eter m, u m m Alors : u 5 0 D'où ( ). Bla :o a () et (pour tout, () ( ) ) doc o a : (), pour tout d'où : pour tout eter m, u m m 9) O cosdère la proprété, défe pour *, par : () : a a < O a () (c'est l'égalté trvale a a ) et () (c'est la célèbre detté : (a a ) a a a a ) Motros que, pour tout : () ( ) Sot. Supposos () : a a < O a : a a a a a a a Prcpe du rasoemet par récurrece Page 8 G. COSTANTINI

9 Prcpe du rasoemet par récurrece Page 9 G. COSTANTINI D'après () : a a < a a a Teat compte des codtos : ; et ; a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a < Ce qu est ( ) O a doc be motré que :, () ( ) Bla : o a (), () et (, () ( )) doc o a : (), : a a < Exemple : ( ) (a a a ) a a a (a a a a a a ) m, désge l'esemble des eters comprs etre m et.

10 . Deux modèles de rédacto Das les deux modèles c-dessous, vous pouvez recoper "texto" ce qu est écrt e caractère or (ou ormal) et adapter ce qu est écrt e caractère rouge (ou talque). U premer modèle, formel et mathématquemet correct : Sot la proprété défe pour Esemble par : () : Eocez_c_la_proprété_à_démotrer Comme calculs élémetares, o a (rag). Motros que pour tout rag o a : () ( ) Sot rag. Supposos (). Alors : Etablssez_c_ ( ) Souvet, Esemble est ou * Souvet, rag est 0 ou. Ce qu est ( ). O a prouvé : (rag) et pour tout rag, () ( ) Du prcpe de rasoemet par récurrece, o dédut : pour tout rag, () C'est-à-dre : pour tout rag, Eocez_c_la_proprété_démotrée U secod modèle plus lttérare : Sot la proprété défe pour Esemble par : () : Eocez_c_la_proprété_à_démotrer Motros que la proprété est talsée au rag rag Comme calculs élémetares, o a (rag). Motros que la proprété est hérédtare à partr du rag rag Sot rag. Supposos (). Alors : Etablssez_c_ ( ) Ce qu est ( ). O a prouvé que la proprété est talsée au rag rag et hérédtare à partr du rag rag. Du prcpe de rasoemet par récurrece, o dédut : pour tout rag, () C'est-à-dre : pour tout rag, Eocez_c_la_proprété_démotrée Prcpe du rasoemet par récurrece Page 0 G. COSTANTINI

11 . Démostrato mathématque du prcpe de rasoemet par récurrece (Hors programme) Éocé : Sot I u tervalle de et ue proprété défe sur I. S : U tervalle de est u esemble du type a, b ou a, où a et b. 0 I : ( 0 ) (talsato) I 0,, () ( ) (hérédté) Alors : Le symbole sgfe "l exste" et le symbole sgfe "quelque sot". I 0,, () Démostrato Cosdéros l'esemble : E { I 0, tels que o ()} E est l'esemble des eters pour lesquels la proprété 'est pas vrae. Rasoos par l'absurde : supposos E o vde. Comme E est o vde et moré (par 0 ), l admet u plus pett élémet m avec m 0. Ce plus pett élémet m est élémet de E. O a doc o (m). S m 0, alors o ( 0 ), ce qu cotredt l'hypothèse d'talsato. S m > 0, alors o a : (m ) et o (m) ce qu cotredt l'hypothèse d'hérédté. Doc E est vde, autremet dt : pour tout 0, () Toute parte o vde et morée de admet u plus pett élémet. La égato de A B est : A et o B Prcpe du rasoemet par récurrece Page G. COSTANTINI