Mécanique des Milieux Continus

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1 Mécanque des Mleux Contnus Golay Frédérc SEATECH

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3 Ce cours de mécanque des mleux contnus est à la base de l ensegnement de mécanque à SEATECH. Les notons abordées c, transport de champs, los de conservaton,..., seront reprses ultéreurement en mécanque des soldes et mécanque des fludes. Dans une premère parte, nous aborderons les notatons tensorelles et vectorelles ndspensables à toute étude scentfque, pus dans une deuxème parte, nous étuderons la cnématque des mleux contnus. Après avor ntrodut la modélsaton des efforts et les los de conservaton par le prncpe des pussances vrtuelles, nous applquerons ces los de conservaton aux los de comportement de l élastcté lnéare (en mécanque des soldes) et aux los de comportement des fludes newtonens (en mécanque des fludes) Golay MMC

4 MMC Golay MMC - 4 -

5 Sommare TABLE DES MATIERES Notatons tensorelles... 9 Vecteurs et tenseurs Notatons Changement de repère... Permutatons et détermnants Les symboles de permutaton Détermnant d une matrce Polynôme caractérstque Adjont d un tenseur antsymétrque Calcul vectorel et analyse vectorelle Calcul vectorel Analyse vectorelle Transformaton d ntégrales Formules essentelles en Mécanque des Mleux Contnus Coordonnées cartésennes orthonormées Coordonnées cylndrques Coordonnées sphérques Comment retrouver les formules... 5 A retenr... 3 CINEMATIQUE... 5 Le mouvement et ses représentatons Confguraton Varables de Lagrange et varables d Euler Dérvées partculares... 6 Déformaton d un mleux contnu Noton de déformaton Tenseur des déformatons Condtons de compatblté Transport, dérvées partculares Transport d un volume Transport d une surface orentée Dérvée partculare d une ntégrale de volume Dérvée partculare d une ntégrale de surface A retenr EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS Golay MMC

6 MMC Défntons Forces Vecteur-contrante et tenseur des contrantes Equlbre Le Prncpe des Pussances Vrtuelles (German 97) Pussance vrtuelle des efforts ntéreurs Pussance vrtuelle des efforts extéreurs Applcaton du Prncpe des Pussances Vrtuelles Equlbre Autre présentaton: Prncpe fondamental de la dynamque Quelques proprétés du tenseur des contrantes Symétre du tenseur des contrantes Contrante normale et contrante tangentelle Drectons prncpales, contrantes prncpales Invarants Cercles de Mohr Exemples de tenseur des contrantes Tenseur unaxal Tenseur sphérque A retenr ELASTICITE Approche expérmentale: essa de tracton Lo de comportement élastque lnéare (en HPP) Forme générale Matérau élastque homogène sotrope Matérau élastque homogène orthotrope Matérau élastque homogène sotrope transverse Caractérstques de quelques matéraux Crtères de lmte d élastcté Le problème d élastcté Ecrture générale Formulaton en déplacement Formulaton en contrante Théorème de superposton Elastcté plane Thermoélastcté A retenr INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES Lo de comportement Flude Newtonen Flude ncompressble Flude non-vsqueux Flude au repos... 6 Golay MMC - 6 -

7 Sommare Conservaton de la masse Equaton du mouvement A retenr... 6 Bblographe Annexes: Rappels de mécanques des soldes rgdes Cnématques du solde Descrpton du mouvement Composton des mouvements Cnétque Défntons Eléments de cnétque Cnétque du solde rgde Equatons fondamentales de la mécanque des soldes Torseur assocé aux efforts externes Lo fondamentale de la dynamque Golay MMC

8 MMC Golay MMC - 8 -

9 Notatons tensorelles NOTATIONS TENSORIELLES Vecteurs et tenseurs Avertssement: L objectf de ce chaptre, est de famlarser les étudants avec les notatons tensorelles. Afn d en smplfer le contenu, nous ne consdérerons que des bases orthonormées.. Notatons.. Vecteur Dans un espace euclden ξ à tros dmensons, sot e, e, e 3 une base orthonormée. Un vecteur V est représenté par ses composantes V, V, V 3 3 V = Ve + Ve + Ve = Ve 3 3 = En utlsant la conventon de sommaton, ou conventon d Ensten, on écrt V = Ve (.) (.) où, chaque fos qu un ndce est répété, l convent de fare varer cet ndce de à 3 et de fare la somme. Dans l expresson () l ndce est un "ndce muet". En notaton matrcelle on écrra parfos V V = V = V { } et le vecteur transposé V 3 T V = = = T { V} V V V V 3 (.3) (.4).. Applcaton lnéare deξ dans ξ Sot A une applcaton lnéare, dans la base e, e, e. Cette applcaton est représentée par une matrce 3x3 3 notée A : A A A 3 A A A 3 A A A S W est un vecteur tel que W = AV, alors les composantes de W sont données par W = A V + A V + A V 3 3 W = A V + A V + A V 3 3 W = A V + A V + A V et en utlsant les conventons de sommaton où j est un ndce muet Golay MMC

10 MMC W = AV j j et en notaton vectorelle { W} A { V} = On défnt les symboles de Kronecker par (.5) δ j s = j = s j (.6) En partculer l applcaton dentté est représentée par la matrce δ δ δ 3 δ δ δ 3 δ δ δ = La composton de deux applcatons lnéares se tradut par le produt de leur matrce représentatve, c est-àdre C = AB ou encore C = A B et en notaton ndcelle C j = A B k kj (.7)..3 Formes blnéares Sot A une forme blnéare sur ξ, c est-à-dre une applcaton blnéare de ξ ξ dans R. Dans la base e, e, e 3 elle est représentée par une matrce A telle que j A V W (, ) = AVW j j ou en notaton matrcelle AV, W = V A W ( ) { } En partculer, la forme blnéare représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produt scalare. S ( e, e, e ) est une base orthonormée, alors 3 e e = δ j j et le produt scalare de deux vecteurs est donné par V W = Ve We = VW e e = δvw = VW ou en notaton matrcelle V W = V W { } j j j j j j (.8)..4 Tenseurs..4. Tenseur du second ordre Un tenseur du second ordre T est un opérateur lnéare qu fat correspondre à tout vecteur V de l espace euclden un vecteur W de ce même espace. Golay MMC - -

11 Notatons tensorelles W = T V ( ) Cet opérateur peut être représenté par une matrce 3x3, notée T ou T ou T, telle que W = TV j j ou en notaton matrcelle ou { W} T { V} = W = TV * Un tenseur est dt symétrque s T = T j j * Un tenseur est dt antsymétrque s T = T j j * Un tenseur est dt sotrope s T = tδ j j * On peut toujours décomposer un tenseur en une parte symétrque et antsymétrque S A T = T + T ou T = T + T S A j j j T avec = + ( T T ) S j j j et T = ( T T ) A j j j..4. Tenseur d ordre supéreur On peut défnr un vecteur V par ses composantes V, ou par les coeffcents de la forme lnéare X X V = XV, car la base chose est orthonormée (vor les notons de vecteurs covarants et contravarants). On peut alors consdérer le vecteur comme un tenseur du premer ordre. De même, une foncton scalare peut être consdérée comme un tenseur d ordre zéro. Un tenseur du trosème ordre S est un opérateur lnéare qu, à tout vecteur Z fat correspondre un tenseur du second ordre T. T = S ( Z) ouencore T = S Z j jk k..4.3 Produt tensorel On défnt le produt tensorel du vecteur U par le vecteur V, noté U V, comme le tenseur d ordre deux, défn par la forme blnéare qu aux vecteurs X U X V Y et Y fat correspondre ( )( ) Les 9 produts tensorels e e défnssent une base de l espace vectorel des tenseurs d ordre deux, s ben j que l on peut écrre un tenseur T comme T T e = e j j ou encore, par exemple, - - Golay MMC

12 MMC u v uv uv u v = uve e = uv uv uv j j 3 3 u v u v u v Contracton et produt contracté Sot le produt tensorel A B C, on appelle contracton, l opératon qu lu fat correspondre le vecteur A( B C). Le produt contracté d un tenseur d ordre 4 R et d un tenseur d ordre 3 S est défn par le tenseur d ordre 5 R S = R e e e e S e e e = R S e e e e e ( ) ( ) jkl j k l pqr p q r jkm mqr j k q r Le produt doublement contracté d un tenseur d ordre 4 R et d un tenseur d ordre 3 S est défn par le tenseur d ordre 3 R : S = R e e e e : S e e e = R S e e e ( ) ( ) jkl j k l pqr p q r jnm mnr j r Par exemple, le produt doublement contracté de deux tenseurs d ordre T et T est le scalare T : T = T e e : e e = TT ( ) ( T pq ) j j p a j j. Changement de repère.. Matrce de passage Sot e, e, e une base orthonormée et e, e, e une autre base orthonormée. 3 3 On défnt la matrce de passage Q telle que: e = Q e + Q e + Q e 3 3 e = Q e + Q e + Q e 3 3 e = Q e + Q e + Q e ou encore, en notatons ndcelles e = Q e j j et en notaton matrcelle = { e } Q { e} Les deux bases étant orthonormées, on dot avor δ = e e = Q e Q e = Q Qδ = Q Q j j k k jl l k jl kl k jk ce qu montre que la matrce nverse de Q est e = Q e j j T Q. En partculer on tre la relaton nverse:.. Vecteurs Sot V un vecteur de composantes V dans la base e, e, e et V dans la base e, e, e. 3 3 V Ve = = Ve Golay MMC - -

13 Notatons tensorelles En utlsant la matrce de passage V Ve = = VQ e sot k k V = VQ et V = VQ k k k k ou encore, en notaton matrcelle V Q V et V Q T = = V { } { } { } { } Remarque: le produt scalare est un nvarant, c est à dre que cette foncton est ndépendante du repère chos. En notaton ndcelle V. W = VW = VQ WQ = δvw = VW = VW. et en notaton matrcelle k k k j kj j j T V. W = V { W } = Q { V} Q { W } T = V Q Q { W} = V { W} = VW...3 Applcaton lnéare Sot A une applcaton lnéare, de composantes A dans la base e, e, e. et A dans la base e, e, e. j 3 j 3 En notaton ndcelle d où W = AV = Q W = Q A V = Q A Q V k k j j j jm m j jm km k A = Q A Q k j jm km et en notaton matrcelle W A V Q W Q A V Q A Q T = = = = V sot { } { } { } { } { } A = Q A Q T..4 Forme blnéare Sot A une applcaton lnéare, de composantes A dans la base e, e, e. et A dans la base e, e, e. j 3 j 3 AV (, W) = AVW = AVW = AQ VQ W j j j j j k k mj m sot A = AQ Q km j k mj et en notaton matrcelle AV (, W ) = V A { W} V A = { W } = T T T T Q V A Q W = V Q A Q W { } { } { } Golay MMC

14 MMC sot A = Q A Q T..5 Tenseur d ordre Sot T un tenseur d ordre, en notaton ndcelle pus T = T e e = T e e = TQ e Q e = TQ Q e e km j j j j j k k mj m j k mj k m T = T Q Q j k mj Permutatons et détermnants. Les symboles de permutaton On ntrodut les symboles de permutaton ε jk + s, j, k est une permutaton pare de,, 3 = s, j, k est une permutaton mpare de,, 3 s deux ndces sont répétés Ces symboles représentent le produt mxte des vecteurs de base ( e, e, e ) ε = jk j k ε sont les composantes d un tenseur du trosème ordre, qu représente, par exemple, la forme trlnéare jk produt mxte: U, V, W =ε UVW ( ) jk j k Avec un peu de patence on peut démontrer les résultats suvants δ δ δ ε ε Det = δ δ δ δ δ δ ε ε = δ δ δ δ jk mn jm kn jn km ε ε = δ jk jn km ε ε = 6 jk jk l m n jk lmn jl jm jn kl km kn. Détermnant d une matrce Les symboles de permutaton permettent le calcul du détermnant d une matrce par ou encore ε Det( A) = ε jk A A A mnp m jn kp (.9) Det( A) = ε ε 6 A A A jk mnp m jn kp On peut également détermner l nverse d une matrce Golay MMC - 4 -

15 Notatons tensorelles B = A et B = Det( A) ε ε A A j mn jpq mp nq.3 Polynôme caractérstque Les valeurs propres d un tenseur du second ordre sont obtenues par la résoluton de l équaton caractérstque sot en développant P( λ) = Det( A λi ) ou encore ε ε ( A λδ )( A λδ )( A λδ ) = jk mnp m m jn jn kp kp 6 P( λ) = I λi + λ I λ 3 3 avec I ε ε A A A Det( A) 3 jk mnp m jn kp = 6 = I = A A A A = ( Tr A ) Tr A I = A = Tr A jj j j I, I, I sont appelés les nvarants fondamentaux du tenseur A. 3.4 Adjont d un tenseur antsymétrque Sot Ω un tenseur antsymétrque Ω = Ω Ω Ω Ω Ω Ω 3 on peut également lu assocer le vecteur sot ω Ω 3 3 ω 3 Ω ω = ω = Ω ω ω 3 Ω = ω ω 3 ω ω Le vecteur ω est le vecteur adjont du tenseur antsymétrque Ω. En notaton ndcelle on a: Ω = ε ω j jk k ω = ε Ω jk jk (.) Golay MMC

16 MMC 3 Calcul vectorel et analyse vectorelle 3. Calcul vectorel Le produt vectorel c = a b s écrt en notaton ndcelle ce =ε a be jk j k On peut montrer que ( a b) c = ( a c) b ( b c) a a b c d = a c b d a d b c ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3. Analyse vectorelle On note d une vrgule la dérvée partelle, sot exprmés dans un repère cartésen orthonormé., =. Les opérateurs exposés dans cette parte seront x * Sot f une foncton scalare Le gradent d une foncton scalare est un vecteur f x f grad f = f = f e =, x f x 3 Le laplacen d une foncton scalare est un scalare * Sot v un vecteur f f f f = f = + +, x x x 3 La dvergence d un vecteur est un scalare v v v Dv v = v = + +, x x x 3 3 Le rotatonnel d un vecteur est un vecteur v v 3 x x 3 v v 3 rot v = v = ε v e = jk k, j x x 3 v v x x Le gradent d un vecteur est une matrce Golay MMC - 6 -

17 Notatons tensorelles v v v x x x 3 v v v v = v e e =, j j x x x 3 Le laplacen d un vecteur est un vecteur v v v x x x 3 v v v + + x x x 3 v v v v v = v e = v, jj + + = x x x 3 v 3 v v v x x x 3 * Sot T un tenseur du second ordre La dvergence d un tenseur est un vecteur T T T + + x x x T T T DvT = T e = j, j + + x x x T T T + + x x x * Quelques formules utles Dv( f a) = f Dva + a grad f Dv( a b) = b rota a rotb Dv( rota) = rot ( grad f) = grad( f g) = f gradg + ggrad f rot ( f a) = f rota + grad f a Dv( grad f) = f rot rot a = grad Dv a a ( ) ( ) 3.3 Transformaton d ntégrales Sot Ω un domane borné et Ω sa frontère, de normale n. Sot φ une foncton scalare, alors φ n ds = gradφ dv Ω Sot A un vecteur, alors A n ds = Ω Ω Dv( A) dv Ω Golay MMC

18 MMC Sot T un tenseur, alors T n ds = Ω Ω DvT ( ) dv Sot Ω un domane plan de normale n, de frontère Γ. Sot U un vecteur défn sur ce domane. S τ est le vecteur untare tangent à Γ, alors rotu ( ) n ds = U τ dl Ω Tous ces résultats sont ssus du théorème de la dvergence t n ds = t dv Ω jkl l Ω jkl, l Γ 4 Formules essentelles en Mécanque des Mleux Contnus 4. Coordonnées cartésennes orthonormées OM = xe + ye + ze x y z * Sot v = v e + v e + v e x x y y z z un vecteur, alors et v v v x x x x y z v v v v y y y ( v) = v = e e = v e e = j, j j x x y z j v v v z z z x y z v v v v dvv = = v = Tr( grad( v) ) = v : I = + + x x y z x y z, v = = = = + + ( ( )) v dv v e v e v e v e ve, jj x x y y z z x x j j * Sot f une foncton scalare, alors et f x f f grad( f ) = f = e = f e =, y x f z f f f f f = dv( grad( f )) = = f = + +, jj x x x y z j j xx xy xz j j yx yy yz T T T zx zy zz T T T * Sot T = T e e = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: Golay MMC - 8 -

19 Notatons tensorelles et T T xx xy T xz + + x y z T T T T j yx yy yz dv( T) = e = T e = j, j + + x x y z j T T zx zy T zz + + x y z T T T T xx xy xz j T = e e = T e e = T T T j j, kk j yx yy yz x x k k T T T zx zy zz 4. Coordonnées cylndrques OM OM OM OM = re + ze et = e, = e, = e r z r θ z r r θ z d( OM) = edr + rdθe + e dz r θ z e e e r θ z =, =, = r r r e e e r θ z = e, = e, = θ r θ θ θ e e e r θ z =, =, = z z z * Sot v = ve + v e + ve r r θ θ z z un vecteur, alors et v v v r r r v r r θ θ z v ( ) v v θ θ θ grad v = v = + vr r r θ z vz v v z z r r θ z r r z dv v Tr ( ( v) ) v I v v v v θ = = : = r r r θ z v v v v ( ) r r v dv v θ v θ e v = = e v e θ r θ r r θ r r r θ z z * Sot f une foncton scalare, alors f f f grad( f ) = f = e + e + e r θ z r r θ z et f f f f f = dv( f) = r r r r θ z Golay MMC

20 MMC * Sot T T T T rr rθ rz θr θθ θz T T T zr zθ zz = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: Trr T T T T rθ rz rr r r θ z r T T T T θr θθ θz rθ dv( T) = r r θ z r Tzr T T T zθ zz zr r r θ z r θθ 4.3 Coordonnées sphérques OM OM OM OM = re et = e, = e, = e r r θ r r θ rsnθ φ d( OM) = edr + rdθe + rsnθ dφe r θ φ e e e r θ φ =, =, = r r r e e r θ e φ = e, = e, = θ r θ θ θ e e e r θ φ = snθe, = cosθe, = snθe cosθe φ φ r θ φ φ φ Sot v = v e + v e + v e un vecteur, alors r r θ θ φ φ φ et v v r r v r v v θ φ r r θ r snθ φ v v v θ θ grad( v) v θ = = v + cotgθv r r r θ r snθ φ v φ r φ v v φ φ + cotgθv + v θ r r θ r snθ φ v v r r v v v θ φ θ dvv = v : I = cotgθ r r r θ r snθ φ r (sn θv ) v φ θ v v + + r r r snθ θ snθ φ v v r cos v θ θ φ v = dv( ( v) ) = v + θ r θ sn θ sn θ φ v v v r θ φ v cotgθ + + φ r snθ φ φ snθ Golay MMC - -

21 Notatons tensorelles * Sot f une foncton scalare, alors et * Sot T f r f grad( f ) = r θ f r snθ φ f f f f f = dv( grad( f )) = + + cotgθ + r r θ r θ r sn θ φ rr rθ rφ θr θθ θφ T T T φr φθ φφ T T T = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: T T T rr rθ rφ cot r r θ r snθ φ r T r ( ) T T θ θθ θφ dv T = ( T T ) cotg + 3T r r θ r snθ φ r T r T T φ φθ φφ ( T cotgθ + 3 T θφ rφ) r r θ r snθ φ r 4.4 Comment retrouver les formules Nous nous plaçons par exemple en coordonnées cylndrques. On note v ve v e ve = + + = ve r r θ θ z z avec = r, θ, z et, =,, r r θ z Donc, avec cette conventon e e θ r e = et e = r, θ θθ, r r ( T T T T gθ rr θθ φφ rθ ) ( θ θθ φφ rθ) Chercher le gradent d un tenseur consste à augmenter l ordre de ce tenseur, sot ( ) = ( ) j e, j S on applque cette remarque à un vecteur, on obtent: ( v ) ( ve = ) e, j j En n oublant pas de dérver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de coordonnées cylndrque, v = v e e + v e e = v e e + v e e, j j, j j, j j, θ θ = v e e + v e e + v e e, j j r r, θ θ θ θθ, θ vr vθ = v e e + e e e e, j j θ θ r θ r r Pour obtenr l opérateur dvergence, l sufft de contracter doublement avec le tenseur unté d ordre, dv( ) = ( ): sot dans le cas d un vecteur: - - Golay MMC

22 MMC v v v r r r v v θ z dv( v) = ( v) : = v + = + + +, r r r r θ z et donc l opérateur Laplacen pour un scalare ϕ, r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = dv( ϕ) = ϕ + = + + +, r r r r r θ z Applquons mantenant cette méthodologe à un tenseur d ordre. ( T) = ( T e e j j ) e, k k = T e e e + T e e e + T e e e = T e e e + T e e e + T e e e j, k j k j, k j k j j, k k j, k j k j, θ j θ j j, θ θ Trj Tθj = T e e e + e e e e e e j, k j k θ j θ r j θ r r T T r θ + e e e e e e θ θ r θ r r Pour obtenr la trace de ce tenseur d ordre 3 on contracte les deux derners ndces: T T T r r dv T θ θθ = ( T) : = T e + e e + e j, j θ r r r r Trr T T T T rθ rz θθ rr = e r r r θ z r r T r T T T T θ θθ θz rθ θr e θ r r θ z r r Tzr T T T zθ zz zr e z r r θ z r On peut donc mantenant retrouver l opérateur Laplacen d un vecteur : v = dv v ( ) v v θ r v v v v + r, θ θθ, v r, θ θθ, r r, r = v e + e e + e e + e, jj θ r θ r r r r r r v v r v v θ r θ v e v = e v e r r θ θ z z r θ r r θ r Golay MMC - -

23 Notatons tensorelles 5 A retenr Conventon de sommaton : V = Ve Produts tensorels : u v uv uv u v = uve e = uv uv uv j Symboles de permutaton : j 3 3 u v u v u v ε + = ( e, e, e ) = jk j k s, j, k est une permutaton pare de,, 3 s, j, k est une permutaton mpare de,, 3 s deux ndces sont répétés Produt vectorel : c = a b =ε a b e jk j k Quelques opérateurs : Dv v = v,, rot v = v =ε v e jk k, j, v = v e e, j j, DvT = T e j, j En systèmes de coordonnées cylndrque ou sphérque, meux vaut utlser un formulare! Golay MMC

24 MMC Golay MMC - 4 -

25 Cnématque CINEMATIQUE Le mouvement et ses représentatons. Confguraton L espace physque est rapporté à un repère orthonormé drect ( O, e, e, e ). L ensemble des partcules ou 3 ponts matérels consttuant le mleu contnu étudé, occupe à chaque nstant t, un ensemble de postons dans l espace: c est la confguraton du système à l nstant t, noté Ω ( t) (d ntéreur Ω ( t) et de frontère Ω ( t) ). On ntrodut auss la noton de confguraton de référence: c est la confguraton partculère du système à un nstant t fxé. Souvent on prendra Ω = Ω (), et on parlera alors de confguraton ntale. Toute partcule M de Ω est repérée par son vecteur poston X ( t) dans la confguraton de référence. Toute partcule M de Ω ( t) est repérée par son vecteur poston x( t) dans la confguraton actuelle (à l nstant t). e Ω Φ ( X, t) e 3 e Ω M X Ω( t) Fgure : Confguratons de référence et actuelle u X t (, ) Ωt ( ) M x La poston de chaque partcule M sera donc détermnée s on connaît sa poston dans la confguraton de référence et une foncton Φ telle que: x( t) = Φ ( X, t) (.) Φ défnt le mouvement par rapport à ( O, e, e, e ). On devra donc détermner tros fonctons scalares, telles 3 que: x = Φ ( X, X, X, t) 3 x = Φ ( X, X, X, t) 3 x = Φ ( X, X, X, t) (.) Dre que le mleu est contnu, c est dre que Φ est une foncton contnue et bunvoque de X. On supposera que Φ est dfférentable. Le déplacement par rapport à la confguraton Ω, à l nstant t, de la partcule M est le vecteur u( X, t) = x( X, t) X (.3) Golay MMC

26 MMC. Varables de Lagrange et varables d Euler Une grandeur attachée à une partcule (masse volumque, vtesse,...) peut être défne, - Sot en foncton de X et t : varables de Lagrange - Sot en foncton de x et t : varables d Euler Le vecteur vtesse d une partcule M est défn par dom Φ ( X, t) V( X, t) = = t Le vecteur accélératon d une partcule M est défn par dv ( X, t) Φ ( X, t) Γ ( X, t) = = t (.4) (.5).. Trajectore On appelle trajectore d une partcule, la courbe géométrque leu des postons occupées par cette partcule au x( t) = Φ X, t est une représentaton paramétrée en temps de la trajectore. Par défnton cours du temps. ( ) de la vtesse, dom dx dx dx V( x, t) = = e + e + e 3 3 les trajectores peuvent être obtenues par la résoluton des tros équatons dx dx dx 3 = = = V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) (.6) Lgnes de courant A un nstant donné, on appelle lgnes de courant du mouvement, les lgnes qu sont en tout pont tangentes au vecteur vtesse de la partcule stuée en ce pont. Sot pour t fxé, deux équatons: dx dx dx 3 = = V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) (.7) Remarque: Pour un mouvement statonnare (ou permanent) V( x, t) = V( x). Les lgnes de courant et les trajectores sont confondues..3 Dérvées partculares.3. Défnton Lorsque l on sut une partcule dans son mouvement, la grandeur A attachée à la partcule ne dépend que de t. Par défnton, on appelle dérvée partculare de A à l nstant t, la dérvée de A par rapport à la seule varable t. En varables de Lagrange: A = A( X, t) da A ( X, t) = ( X, t) t En varables d Euler: A = A( x, t) (.8) Golay MMC - 6 -

27 Cnématque A A dax (, t) = ( x, t) + ( x, t) dx t xj da A A dxj ( x, t) = ( x, t) + ( x, t) t x j da A A ( x, t) = ( x, t) + ( x, tv ) j t x j j ou encore da A = + ( V ) A t.3. Applcaton à l accélératon dv ( x, t) V Γ ( x, t) = = + ( V ) V t que l on peut également écrre V Γ ( x, t) = + V + rotv V t (.9) (.) Déformaton d un mleux contnu. Noton de déformaton On dra qu un mleu contnu en mouvement subt des déformatons s les dstances relatves des ponts matérels varent au cours du temps. En dfférencant (.), on obtent: Φ dx( t) = Φ dx dxe = dx e j X j On note F l applcaton lnéare qu fat passer de l espace vectorel dans lequel peut varer dx dans l espace vectorel où vare a pror dx. Cette applcaton lnéare, appelée tenseur gradent ou applcaton lnéare tangente, permet donc le passage de la confguraton Ω à la confguraton Ω ( t). e 3 e Ω dx Ω F Ωt ( ) Ωt ( ) M dx e M Fgure : Applcaton lnéare tangente En notaton ndcelle, F j x x x X X X 3 Φ x x x x = = sot F = X X X X X j j 3 x x x X X X 3 (.) Golay MMC

28 MMC. Tenseur des déformatons.. Défnton Le tenseur gradent décrt la transformaton locale au vosnage d une partcule donnée. Afn de rendre compte des déformatons, c est à dre des changements de forme autour de cette partcule, on s ntéresse à l évoluton du produt scalare de deux vecteurs matérels prs respectvement dans les deux confguratons Ω et Ω ( t). Consdérons tros partcules vosnes X, X + dx, X + dx. Après déformatons, elles occupent dans Ω ( t) les postons respectves x, x + dx, x + dx. e 3 e Ω dx Ω dx Ωt ( ) dx M dx Ω( t) e M Fgure 3 : Noton de déformaton x k k dx dx F( X t) dx F( X t) dx dx x =,, = dx j X X j d où sa varaton autour de la transformaton x x k k dx dx dx dx = δ dxdx F F δ dxdx j = j k kj j j X X j sot dx dx dx dx = dxεdx en posant T ε = F ( X, t) F( X, t) (.) L applcaton lnéare ε est appelée tenseur des déformatons. Cette applcaton est symétrque mas dépend ben sûr de la base( O, e, e, e ) ntalement chose. 3.. Remarques * S l n y a pas de déformatons, alors ε = (et nversement). * T C = F F est appelé le tenseur des dlatatons. Ce tenseur est symétrque. On peut démontrer: Théorème : Les valeurs propres de C sont strctement postves. Théorème : Det F > t Théorème 3: ε est symétrque et possède les mêmes vecteurs propres que C. * Varaton de longueur Sot dx = dx = dl e x et dx = dl, alors Golay MMC - 8 -

29 Cnématque dx dx dx dx dl dl dx ε dx = = = dl ε xx ou encore, s les déformatons sont pettes dl dl dl = + ε + ε ε dl dl xx xx xx ε représente au premer ordre la varaton de longueur dans la drecton x. xx * Varaton d angle Sot dx = dl e x, dx = dl e y, alors ou encore, dx dx dx dx = dldl = dx dx = dl ε = cosθ + ε + ε xy xx yy cosθ ε ε xy donc ε représente au premer ordre la varaton d angle entre les drectons x et y. xy..3 Autre écrture D après (.3) et (.) sot x u F( X, t) = ( X, t) = + ( X, t) X X T T u ( ) u u ( ) u ε = X t X t ( X t) ( X t), +, +,, X X X X (.3) ou encore en notaton ndcelle ε j u u j u u k k = + + X X X X j j..4 Cas des pettes perturbatons Cette hypothèse correspond au cas où u( X, t) u et ( X, t ) X sont petts. En reprenant () et en ne retenant que les termes d ordre, on obtent: ε HPP T u ( X t) u = ( X t), +, X X (.4) ou encore en notaton ndcelle ε jhpp u u j = + X X j Golay MMC

30 MMC.3 Condtons de compatblté A tout déplacement u on fat correspondre une déformaton ε. On peut auss se poser le problème nverse. Ce problème est dt problème de compatblté géométrque d un champ de déformaton, ou encore problème d ntégrablté d un champ de déformaton. Les condtons de compatblté peuvent être étables dans le cas général, cependant nous ne les établrons que dans le cas des pettes perturbatons. Décomposons mantenant le gradent des déplacements en une parte symétrque ε et une parte antsymétrque ω. On a u ( X, t ) = ε( X, t ) + ω( X, t ) X T u u j ( ) u u ω = X t ( X t) ω j,, = X X X X j ω = ε ε j, k k, j jk, sot en dérvant une nouvelle fos ω = ω, j, k, l dans{,, 3} j, kl j, lk ou encore, j, k, l ε + ε ε ε = j, kl kl, j k, jl jl, k (.5) permutaton crculare Sx équatons ε = ε + ε +,,, ε + ε ε ε + permutaton crculare 3, 3 3, 3, 33 33, Récproquement, s ε vérfe (.5), alors les formes dfférentelles = dx j k, j jk, k dω ε ε sont exactes; elles permettent donc de construre le champ ω de tenseur antsymétrque. On vérfe ensute que les formes dfférentelles du = ω ε dx + k k k sont exactes, d où la possblté de construre un champ de déplacement u( X, t) défn dans Ω. 3 Transport, dérvées partculares 3. Transport d un volume Sot dω un élément de volume de la confguraton de référence, défn par tros vecteurs dx, dx, dx 3. Par la transformaton, ces tros vecteurs se transportent en tros vecteurs dx, dx, dx qu défnssent dans la 3 confguraton actuelle un volume dω. Golay MMC - 3 -

31 Cnématque dx dx 3 dω 3 dx dω dx dx dx Fgure 4 : Transport d un élément de volume Le volume dω est représenté par le produt mxte des vecteurs dx, dx, dx 3 : donc dω = dx dx dx dω =ε Or, d après (.) dω =ε et, d après (.9) donc en défntve ( ) 3 dx dx dx jk j k 3 F F F dx dx dx jk jp kq r p q 3r dω = ε det( F) dx dx dx = det( F) dx dx dx ( ) pqr p q 3r 3 dω = Det( F) dω (.6) 3. Transport d une surface orentée Sot ds un élément de surface de la confguraton de référence de normale N. Par la transformaton, cette surface se transporte en une surface ds de normale n dans la confguraton actuelle. En consdérant un vecteur V dans la confguraton de référence qu se transporte en un vecteur v dans la confguraton actuelle, on peut défnr l élément de volume ( ds N) V qu se transporte en un élément de volume ( ds n) v. ds N ds n D après (.6) ds n v = det( F) ds N V et comme avec (.) v = FV Fgure 5 : Transport d un élément de surface T ds n FV ds = F n V = detf ds N V Golay MMC

32 MMC on obtent fnalement T ds n = det( F) F ds N (.7) 3.3 Dérvée partculare d une ntégrale de volume K( t) = k( x, t) dω Sot Ω( t), une ntégrale de volume sur le domane Ω ( t) dans la confguraton de référence. Pour en détermner la dérvée temporelle, nous devons au préalable exprmer K ( t) sur la confguraton de référence pour "passer" la dérvaton sous l ntégrale. En effectuant le changement de varable (.), et en utlsant (.6) dω = Det( F) dω = J dω on obtent K( t) = k( ϕ( X, t), t) J dω pus Ω dk dk dj = J k + dω Ω A ce stade nous devons explcter dj /. En utlsant les notatons ndcelles, et en partculer les symboles de permutaton, on a: sot or J = detf = ε ε F F F 6 dj = ε ε jk pqr jk pqr p jq kr F p t F F jq kr F ϕ ( X, t) ϕ v x v ( ( )) ( ( )) p l = = V X t v x t F lp t t X X =, =, = = t X X x X x p p p p l p l donc dj = ε ε jk pqr v F F F x l lp jq kr mas ε F F F pqr lp jq kr = ε ljk detf sot dj v v v = ε ε detf = δ detf = J jk ljk l x x x l l dj J dvv = (.8) En reportant dans l expresson de dk / dk dk = J k J dvv + d Ω Ω Golay MMC - 3 -

33 Cnématque pus en exprmant l ntégrale sur la confguraton actuelle, on obtent fnalement dk dk = k dvv + dω Ω( t) (.9) En utlsant les égaltés suvantes, dk k = + v k t dv( kv ) = v k + kdvv on peut écrre (.9) sous la forme dk k = dv ( t) ( kv + ) dω Ω t ou encore, en utlsant le théorème de la dvergence dk k = ( t) d Ω+ Ω Ω( t) kv n d Ω t Applcaton fondamentale: conservaton de la masse La masse d un système matérel qu on sut dans son mouvement reste constante. M = ρ( x, t) dω dm Ω( t) = et où ρ est la masse volumque. On a alors: dρ + ρ dvv = ρ + dv ou ( ρv) = t (.) 3.4 Dérvée partculare d une ntégrale de surface Sot K( t) = k( x, t) n dσ, une ntégrale de volume sur le domane Σ ( t) dans la confguraton de Σ( t) référence. Pour en détermner la dérvée temporelle, nous devons au préalable exprmer K ( t ) sur la confguraton de référence pour "passer" la dérvaton sous l ntégrale. En effectuant le changement de varable (.), et en utlsant (.7) on obtent T dσ n = det( F) F dσ N T K( t) = k ( X, t), t J F dσ N ( ϕ ) Σ pus T = J F N k J F N + dσ T dk dk d Σ T on dot donc calculer df / df df df df F F = I F + F = = F F Golay MMC

34 MMC v X v df F k = e e = j e e = j v X x x k j j donc df T = = T T T F v v F et dk dk = J F N + k J dvv F N k J v F N d Σ dk T T T T Σ dk = + Σ T T dvv k k v J F Nd Σ pus en exprmant l ntégrale sur la confguraton actuelle, on obtent fnalement dk dk = dvv k v k + ndσ Σ( t) en utlsant la dérvée partculare, (.) s écrt dk k = dvv k k v v k nd Σ( t) + + Σ t dk k rot ( t) ( k v) = + + v dvk ndσ Σ t (.) car rot k v = kdvv vdvk + k v v k ( ) Golay MMC

35 Cnématque 4 A retenr On appelle Varables de Lagrange le temps et la poston ntale : X et t On appelle Varables d Euler le temps et la poston courante : x et t Dérvée partculare da A = + ( V ) A t Applcaton lnéare tangente F x = e e j Xj Tenseur des déformatons T ε = F ( X, t) F( X, t) Tenseur des déformatons sous l hypothèse des pettes perturbatons ε = + Transport d un volume ( T u u) dω = Det( F) dω Transport d une surface T ds n = det( F) F ds N Dérvée d une ntégrale de volume dk k = dv ( t) ( kv + ) dω Ω t Dérvée d une ntégrale de surface dk dk = dvv k v k + ndσ Σ( t) Golay MMC

36 MMC Golay MMC

37 Equlbre EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS Défntons. Forces Elles résument les effets mécanques, autres que cnématques, exercés sur le mleu contnu consdéré par le reste du domane physque. Leur schématsaton à chaque nstant repose sur la défnton d un champ de vecteur Φ ( x, t) et d une mesure postve ω, défns sur la confguraton actuelle Ω ( t). Φ ( x, t) est une densté de force pour la mesure ω. * S ω est une mesure de volume, alors Φ ( x, t) est une force volumque (densté volumque de force) défne dans Ω(t) de la confguraton actuelle, par la foncton 3 f : x Ω( t) f ( x, t) R * S ω est une mesure de surface, alors Φ ( x, t) est une force surfacque (densté surfacque de force) défne sur Ω ( ) de la confguraton actuelle, par la foncton F t *... etc... Remarques: ( ) F x t F ( : Ω x, t ) F * Les forces sont défnes sur la confguraton actuelle. R 3 * A un nstant donné et en un pont donné x de Ω ( t), on ne peut mposer à la fos le déplacement et la force!. Mas l un des deux dot être mposé. On note Ω ( ) la frontère où la force est mposée, et Ω ( ) la F t frontère où le déplacement est mposé. Dans le cas des appus mobles, les composantes non mposées cnématquement le sont pour les forces * Le monde extéreur au mleu consdéré dot, pour mposer le déplacement U ( t) au bord Ω ( t ), exercer U des forces que nous noterons R( x, t). Comme elles sont à pror nconnues, nous les appellerons réactons pour évter de les confondre avec les autres forces qu, elles, sont données.. Vecteur-contrante et tenseur des contrantes U t.. Contrante de Cauchy C df ( ) Sot un corps (C) en équlbre par applcaton d un système d actons mécanques extéreures. Imagnons qu une surface Σ dvse (C) en deux partes () et (). La n Σ parte() est en équlbre sous les actons mécanques extéreures qu lu sont M dσ applquées et les actons mécanques exercées par la parte (). Nous admettrons que ( ) sur chaque élément de surface dσ de Σ,() exerce sur () une force df( x, t, n ) / de densté superfcelle T( x, t, n). df( x, t, n) = T( x, t, n) dσ / (3.) Golay MMC

38 MMC T( x, t, n) est le vecteur contrante au pont x, relatvement à la facette dσ défne par son vecteur normal n. La densté surfacque de forces exercées en x dépend de x, t et auss de l orentaton de la surface Σ au vosnage de x. Elle est lnéarement dépendante de n. On ntrodut alors l applcaton σ telle que: T( x, t, n) = σ( x, t) n L applcaton σ ( x, t) s appelle le tenseur des contrantes de Cauchy en x à l nstant t ; l caractérse, dans la confguraton actuelle, les efforts ntéreurs de cohéson exercés sur une parte du solde à travers l élément de surface n dσ (3.).. Autre écrture du tenseur des contrantes En utlsant (.7), (3.) devent: df x( X, t), t, n( N, t) = Π N( X) ds ( ) où Π est le tenseur Π ( X, t) : N R Π ( X, t, N) = Π ( X, t) N défn par Π ( X, t) = (det F) σ F 3 3 T Cette applcaton lnéare Π ( X, t), défne pour X Ω, s appelle le premer tenseur des contrantes de Pola- Krchoff en X à l nstant t; la composante Π est la ème composante du vecteur contrante exercée sur la j déformée d une surface unté, normale à e, de la confguraton de référence. On prendra garde au fat que le j tenseur Π n est pas symétrque. S mantenant on cherche le vecteur "force de cohéson" dans la confguraton de référence df X, t, N = F ( X, t) df x( X, t), t, n( N, t) = S N( X) ds ( ) ( ) où S est le tenseur défn par R (3.3) S = F Π (3.4) Cette applcaton lnéare S( X, t), défne pour X Ω, s appelle le second tenseur des contrantes de Pola- Krchoff en X à l nstant t. Attenton, sa composante S n est pas la ème composante du vecteur contrante j exercée sur la déformée d une surface unté, normale à e, de la confguraton de référence, mas seulement la j eme composante de son transporté dans la confguraton de référence. Selon le jeu d écrture adopté, on a donc tros descrptons des contrantes: T T σ = detf F det F Π = F S F (3.5) Golay MMC

39 Equlbre Equlbre. Le Prncpe des Pussances Vrtuelles (German 97) Pour schématser les efforts ms en jeu, l est commode d magner des mouvements fctfs (ou vrtuels) et d analyser le traval ou la pussance qu en résulte. Par exemple, pour évaluer les forces de gravté agssant sur un objet, on peut magner de le soulever (mouvement vrtuel de bas en haut). Un mleu matérel étant solé, on peut dstnguer les actons extéreures qu agssent sur le mleu, des actons ntéreures qu représentent les lasons exstant entre toutes les partes du mleu. Axome d objectvté La pussance vrtuelle des efforts ntéreurs assocée à tout mouvement rgdfant est nulle. Axome d équlbre Pour tout mleu matérel repéré dans un référentel absolu, à chaque nstant et pour tout mouvement vrtuel, la pussance vrtuelle des quanttés d accélératon est égale à la somme des pussances vrtuelles des efforts a ntéreurs et des efforts extéreurs. e. Pussance vrtuelle des efforts ntéreurs F e 3 e e O f Σ( t) Ω( t) n Sot un mleu contnu Ω( t) d ntéreur Ω ( t) et de frontère Ω(t). Isolons mantenant un domane Σ ( t) de frontère Σ(t) ntéreur à Ω(t), et sot n la normale en un pont de Σ ( t). A un nstant t fxé, un mouvement vrtuel défn par une vtesse vrtuelle δv est applqué à Σ ( t). Cette vtesse est supposée contnue et contnûment dérvable sur Σ ( t). Pour détermner la pussance vrtuelle des efforts ntéreurs nous ferons les hypothèses suvantes: * Π admet une densté volumque p : Π = Σ p dx * Π est en chaque pont une forme lnéare des valeurs en ce pont de dv et de ses dérvées premères: En décomposant le gradent des vtesses vrtuelles en une parte symétrque δ D et une parte antsymétrque δ W, δv x δw = δd + δw T δv v δv δv δ j = δw = j x x x x j Golay MMC

40 MMC T δv v δv v j D δ δ δ = + δd = j + x x x x j la densté volumque des efforts ntéreurs devent: p = AδV + BδW σδd j j j j Le premer axome du prncpe des pussances vrtuelles mpose que pour tout mouvement de solde rgde la pussance des efforts ntéreurs sot nulle. D où: - Sot un mouvement de translaton: δv, δ W = et δ D = alors Π = p dx A δv dx = = Σ Σ Σ dans sot A δv = δv, ou encore A = - Sot un mouvement de rotaton: δ v = alors Ω, δw et δ D = Π = p dx = B : δw dx = Σ Σ Σ dans Ω sot B : δw = δw, ou encore B =. Donc en défntve: Π = σ δ D dx : Σ (3.6) On peut montrer que le tenseur σ ntrodut c correspond ben au tenseur des contrantes de Cauchy..3 Pussance vrtuelle des efforts extéreurs Les efforts extéreurs comprennent - des efforts exercés à dstance par des systèmes extéreurs à Ω, supposés défns par une densté volumque de forces f, - des efforts de cohéson schématsés par une densté surfacque de force T sur Σ Π = f δv dx + T δv dx e Σ Σ (3.7).4 Applcaton du Prncpe des Pussances Vrtuelles S γ est l accélératon et ρ la masse volumque de chacun des ponts de, alors d ρv Π = ρ v δv dx dv( ρv v) v dx a = δ Σ + Σ t v ρ Π = ρ + v + ρ v v + dv( ρv) v δv dx a Σ t t et en utlsant la conservaton de la masse (.) et la défnton de l'accélératon (.) Golay MMC - 4 -

41 Equlbre Π = ργ δ v dx a Σ En applcaton du Prncpe des Pussances Vrtuelles on obtent: σ : δd dx + f δv dx + T δv dx = ργ δv dx Σ Σ Σ Σ (3.8) (3.9) Pour exploter le fat que (3.9) est vérfé pour tout mouvement vrtuel, nous allons fare apparaître δ v dans chacun des termes. En applquant le théorème de la dvergence, le premer terme devent: Sot: δv σ : δd dx = σ dx σ δv n dx dvσ δv dx Σ : = + Σ Σ Σ x x T n σ δ v dx f dv + + σ ργ δ v dx δ v Σ Σ x Ou encore f + dvσ = ργ dans Σ x T = σ n sur Σ (3.).5 Equlbre En consdérant les développements du paragraphe précédent et en se ramenant au domane Ω ( t), nous pouvons donc écrre les équatons d équlbre d un solde soums à un champ de forces extéreures f dans Ω( t), à un champ de forces extéreures Fe sur Ω ( t ) et à un déplacement mposé U sur Ω ( t ). F U Dans la confguraton actuelle: f( x, t) + dvσ( x, t) = x Ω( t) x Fe( x, t) x Ω ( t) F σ( x, t) n( x, t) = R( x, t) x Ω ( t) U (3.) (3.) Dans la confguraton de référence: De même, s on note f, R et F les denstés volumques et surfacques de forces mesurées dans la confguraton de référence: f ( X, t ) + dv Π ( X, t ) = x Ω X (3.3) F ( x, t) x x ( Ω ( t), t) F Π ( X, t) N( X, t) = R ( x, t) x Ω U (3.4) Cas des pettes perturbatons Reprenons (3.), en l exprmant en foncton de X σj f ( x( X, t), t) + ( x( X, t), t) = x( X, t) Ω( t) x j Golay MMC

42 MMC σ X f x X t t X t X t X X x ( ( ) ) j k,, + (, ) (, ) = Ω Or x( X, t) = X + u( X, t) sot x ( X, t) = + u ( X, t) X X On peut donc écrre l équaton d équlbre sous la forme Golay MMC k j σ j u f ( x( X, t), t) + ( X, t) + ( X, t) = X Ω X X k kj Sous l hypothèse des pettes perturbatons, on peut alors écrre: sot u u + ( X, t) = ( X, t) X X σ u f x X t t X t X t X X X ( ( ) ) j k,, + (, ) δ (, ) = Ω k jk j Enfn, en ne retenant que les termes d ordre, et après avor effectué un développement de f au vosnage de X, on obtent: sot σ f X t X t X X j (, ) + (, ) = Ω j f( X, t) + dv σ( X, t) = x Ω X Le rasonnement qu a perms de remplacer f ( x( X, t) ) par f ( X, t) Fe( X, t) et R( x( X, t)) par R( X, t) σ( X, t) N( X, t) =, permet auss de remplacer Fe( x( X, t)). Donc, comme condton sur la frontère on obtent: Fe( X, t) X Ω R( X, t) X Ω F U (3.5) par (3.6).6 Autre présentaton: Prncpe fondamental de la dynamque (3.) revent à écrre le Prncpe Fondamental de la dynamque. Dans un repère galléen, pour tout système Σ, le torseur dynamque (dérvée par rapport au temps du torseur cnématque) est égal à la somme des torseurs des actons ntéreures. Sot: d vdm Σ d = vρdσ Σ dvρ = vρdvv + dσ Σ dv dρ = ρ v vρdvv + + dσ Σ dρ = ργ + v + ρdvv dσ Σ

43 Equlbre donc avec la conservaton de la masse d vdm Σ = ργdσ Σ = fdσ + σnd Σ Σ Σ et le théorème de la dvergence ργdσ = fdσ+ dvσdσ Σ Σ Σ on retrouve le blan de la quantté de mouvement dvσ + f = ργ L équaton de blan sur les moments du prncpe fondamental de la dynamque s écrt: dv OM dm = OM σ n dx + OM f dx Σ Σ Σ (3.7) 3 Quelques proprétés du tenseur des contrantes Dans tous les développements à venr, nous nous placerons dans le cas des pettes perturbatons pour un solde en équlbre. En conséquence, nous omettrons les varables x et t. 3. Symétre du tenseur des contrantes On sat que OM ργ f dx = OM σn dx sot en notaton ndcelle Ω ( ) ε x ( ργ f ) e dx = ε xσ n e dx Ω jk j k k Ω jk j kl l pus, par applcaton du théorème de la dvergence ε x ( ργ f ) ( ε xσ ) dx Ω jk j k k jk j kl e x = l ε x ( ργ f σ ) ε σ dx Ω jk j k k kl, l jk kj e = et par applcaton de l équaton du mouvement Ω ε σ e dx = Ω( t) c est à dre jk kj Ω ε σ = jk kj ce qu mplque donc en défntve ε σ + ε σ = ε σ + ε σ = ε σ + ε σ = σ σ = σ + σ = + σ σ = pq σ = σ qp Le tenseur des contrantes est symétrque Golay MMC

44 MMC 3. Contrante normale et contrante tangentelle T ( n) τ n σ n Consdérons une facette de normale n. Tout naturellement, le vecteur contrante T( n) peut être décomposé en une composante normale σ et une composante n tangentelle τ. et σ = T( n) n = n σ n n τ σ n = n σ n (3.8) (3.9) On dra que σ est postve en tracton et négatve en compresson. n 3.3 Drectons prncpales, contrantes prncpales La matrce représentant le tenseur des contrantes est symétrque, elle est donc dagonalsable. Les valeurs propres sont réelles et appelées contrantes prncpales (,, I II III ) à deux, sont les drectons prncpales ( ni, nii, niii). On a donc: 3.4 Invarants σ = T( n ) n, σ = T( n ) n, σ = T( n ) n I I I II II II III III III σ σ σ. Les vecteurs propres, orthogonaux deux Le tenseur des contrantes possède tros nvarants défns mathématquement comme les coeffcents de l équaton caractérstque det σ α. C est à dre les quantté scalares: Σ = Trσ ( ) I (3.) Σ = Tr( σ) Tr( σ ) II (3.) Σ = Det( σ) III Exprmés en foncton des contrantes prncpales, on obtent (3.) Σ = σ + σ + σ I I II III Σ = σσ + σ σ + σ σ II I II II III III I Σ =σσ σ III I II III 3.5 Cercles de Mohr Connassant le tenseur des contrantes σ, on se propose de détermner le domane engendré par l extrémté du vecteur contrante quand n vare. Par commodté, nous nous plaçons dans une base orthonormée drgée suvant les drectons prncpales de σ. Sot Golay MMC

45 Equlbre n σ n σ I I σ σ σ II II n σ n σ 3 III 3 III n = n, = et T = n avec n + n + n = 3 on trouve asément et σ = σ n + σ n + σ n n I II III 3 τ + σ = σ n + σ n + σ n n I II III 3 Dans l hypothèse où les contrantes prncpales sont dstnctes, on obtent alors après résoluton du système: n n n 3 = = = τ + σ σ σ σ n II n III ( )( ) ( σ σ )( σ σ ) I II I III τ + σ σ σ σ n I n III ( )( ) ( σ σ )( σ σ ) II I II III τ + σ σ σ σ n I n II ( )( ) ( σ σ )( σ σ ) III I III II S on ordonne les contrantes prncpales de telle sorte que σ σ σ, alors I II III ou encore τ σ σ σ σ n II n III + ( )( ) τ σ σ σ σ n I n III + ( )( ) τ σ σ σ σ n I n II + ( )( ) τ σn σ + σ σ σ II III II III + τ σn σ + σ σ σ I III I III + (3.3) (3.4) σ III τ T τ σn σ + σ I II σ σ I II + σ σ I II σ n (3.5) Dans le plan de Mohr, l extrémté du vecteur contrante, d après (3.4), est donc ntéreure au cercle centré sur Oσ d abscsse ( σ + σ ) / et de rayon n ( σ σ ) /. Par contre, d après (3.3) (res. (3.5)), l extrémté du vecteur I III contrante est extéreure au cercle centré sur n I III Oσ d abscsses ( σ + σ ) / (resp.(( σ + σ ) / ) et de rayon ( σ σ ) / (resp.( σ + σ ) / ). I II II III I II II III Golay MMC

46 MMC Descrpton des Cercles prncpaux: t III θ n I Nous allons étuder la descrpton du grand Cercle de Mohr. Les facettes concernées sont parallèles à la drecton assocée à la contrante prncpale σ. II On consttue avec les drectons I,III,II un trèdre drect ( O, e, e, e ), la normale n de la facette évoluant dans le plan I III. Et on défnt l angle θ = ( I, n) I III II, et le vecteur t tel que ( n, t, II ) sot drect. On a alors n = Cosθ e + Snθe et I III T = σ Cosθe + σ Snθe I I III III En utlsant les formules de changement de base de ( O, e, e, e ) à ( n, t, II ), on a donc I III II σ n σ + σ σ σ = + σ σ I III τ = Snθ I III I III Cosθ σ III τ σ + σ I III σ I Lorsque la facette tourne autour de la drecton de la contrante prncpale σ d un angle donné, l extrémté du vecteur-contrante tourne II sur le cercle de Mohr d un angle double dans le sens opposé (autour du centre du cercle). T θ σ n Golay MMC

47 Equlbre 4 Exemples de tenseur des contrantes 4. Tenseur unaxal σ σ = σe e = L équlbre des forces sur la frontère du domane nous donne: Sur Σ : n = e donc σ n = F et F = σ e Sur Σ : n = e donc σ n = F et F = σ e Sur la frontère latérale les pressons sont nulles. On se trouve en présence d un chargement unaxal de tracton/compresson. S σ > c est un état de tenson unaxale S σ < c est un état de compresson unaxale La drecton prncpale est e 4. Tenseur sphérque p σ = pi = p p Dans ce cas, toute drecton est drecton prncpale. La contrante normale prncpale est -p. p est appelé la presson. S p > on a un état de compresson, et s p < on a un état de tenson. Par exemple pour un flude au repos: D après l équaton d équlbre dvσ + ρg = dvpi + ρg = gradp + ρg = p p p sot = = et = ρ g x x x et p = p ρgx 3 3 Donc, pour un flude au repos p + ρ gx = Cste Golay MMC

48 MMC 5 A retenr Vecteur contrante et tenseur des contrantes de Cauchy T( x, t, n) = σ( x, t) n Le tenseur des contrantes est symétrque! Equlbre f( x, t) + dvσ( x, t) = x Ω( t) x Fe( x, t) x Ω ( t) F σ( x, t) n( x, t) = R( x, t) x Ω ( t) U Contrante normale σ = T( n) n = n σ n n Contrante tangentelle τ σ n = n σ n Golay MMC

49 Elastcté ELASTICITE Approche expérmentale: essa de tracton Pour détermner l évoluton d un système déformable, nous avons déjà détermné les équatons de la cnématque et de la sthénque. A ces équatons, l est mantenant nécessare d adjondre une relaton supplémentare relant les efforts nternes et les grandeurs cnématques. Cette relaton, appelée Lo de Comportement, dépend du matérau consdéré. La constructon d une lo de comportement est basée sur des observatons expérmentales. Dans ce chaptre nous exposerons le modèle de comportement des matéraux élastques, sous l hypothèse des pettes perturbatons. S F L L + L F Pour effectuer un essa de tracton smple sur un métal, on utlse une éprouvette cylndrque caractérsée par: - des extrémtés surdmensonnées - des congés de raccordement (pour évter les concentratons de contrante) - une parte médane cylndrque dans laquelle le champ de contrante est supposé homogène, de tracton smple parallèlement à l axe de l éprouvette. L essa de tracton consste à enregstrer l évoluton de l allongement relatf de la longueur ntale L en foncton de la force de tracton F, ou du rapport F / S, où S représente l are ntale de la secton de l éprouvette. F σ = S σ e Élastcté réversble A Plastcté rréversble La fgure c-contre représente un tel enregstrement pour un acer nox. On remarque alors les proprétés suvantes: - Le dagramme est ndépendant de la vtesse de chargement - La parte OA du dagramme est réversble. S on charge jusqu à un nveau nféreur à σ, alors la décharge décrt la même courbe OA. - La parte réversble est lnéare O Déformaton permanente ε = L L - S on effectue un chargement au delà du seul σ, pus une décharge, l éprouvette présente une déformaton permanente. La parte réversble du dagramme de tracton est, par défnton, représentatve du comportement élastque du matérau. σ est la lmte ntale d élastcté du matérau. La lnéarté du segment OA A caractérse le comportement élastque lnéare du matérau. Lo de comportement élastque lnéare (en HPP) Golay MMC

50 MMC. Forme générale A partr des observatons expérmentales on peut écrre que les contrantes dépendent lnéarement des déformatons. En l absence d effets thermque et de contrantes ntales on a: σ( x, t) = C( x) : ε( x, t) (4.) C est un tenseur du quatrème ordre, dont les composantes sont les coeffcents d élastcté du matérau. σ ( x, t) = C ε ( x, t) j jkl kl En utlsant les proprétés des tenseurs de contrante et de déformaton, on peut montrer que: C = C = C = C jkl jkl jlk jlk Le tenseur C, dont la matrce représentatve comporte 8 composantes, ne dépend donc plus que de paramètres ndépendants.. Matérau élastque homogène sotrope Toutes les drectons sont équvalentes, de telle sorte que la lo de comportement est nvarante dans toute rotaton de la confguraton de référence. Ce modèle s applque à la plupart des matéraux: acer, béton,... S la confguraton est lbre de contrantes, alors la lo de comportement s écrt: σ = λtr( ε ) + µε ou encore en notaton ndcelle (4.) σ = λε δ + µε j kk j j Les coeffcents matérel λ et µ, qu dépendent de la partcule consdérée, sont appelés les coeffcents de Lamé. Leur expresson en foncton du module d Young E et du coeffcent de Posson ν, est E ν E µ = et λ = ( + ν) ( + ν) ( ν) ou µ (3λ + µ ) λ E = et ν = λ + µ ( λ + µ ) avec, en nversant (4.) ν + ν ε = Tr( σ) + σ E E (4.3).3 Matérau élastque homogène orthotrope Le matérau possède tros drectons prvlégées deux à deux orthogonales. La lo de comportement est nvarante par les symétres par rapport aux plans orthogonaux construts à partr de ces drectons. Dans ces matéraux, on peut classer les tôles lamnées, les compostes tssés, le bos, certans bétons structurés,... Dans ce cas on montre que la matrce de comportement est défne par 9 paramètres ndépendants. Dans le repère prncpal d orthotrope, la lo se met sous la forme: Golay MMC - 5 -

51 Elastcté Golay MMC E E E E E E E E E G G G ν ν ν ν ε ε ν ν ε ε ε ε = σ σ σ σ σ σ (4.4) Avec les condtons de symétre E E E E E E ν ν ν ν ν ν = = =.4 Matérau élastque homogène sotrope transverse Un matérau homogène sotrope transverse est tel que la matrce de comportement est nvarante par toute rotaton autour d un axe prvlégé. En utlsant cette nvarance, on montre que seuls 5 paramètres ndépendants caractérsent le comportement. S l axe est porté par la drecton 3, on a alors: E E E E E E E E E G G G ν ν ν ν ε ε ν ν ε ε ε ε = σ σ σ σ σ σ (4.5).5 Caractérstques de quelques matéraux Matéraux sotropes usuels: Matérau E en Gpa ν ρ en kg/l acer fonte grse 9 à.9 7. alumnum béton.5.4 fbre de verre E Graphte HM résne époxy

52 MMC Matéraux compostes: Undrectonnel Verre/Epoxy 5% Tssu Verre/Epoxy 5% Undrectonnel CarboneHT/Epoxy ρ en g/cm 3,87,87,49,3 E en Mpa E en Mpa ν,8,6,3,34 5% Undrectonnel Kevlar/Epoxy 5%.6 Crtères de lmte d élastcté Les crtères de résstance que nous allons défnr représentent des valeurs lmtes pour les contrantes maxmales, et permettent de ce fat de garder un caractère élastque aux déformatons..6. Crtère de Tresca Il consste à consdérer de manère ndépendante les tros contrantes de csallement maxmal du trcercle de Mohr. Sot en foncton des contrantes prncpales I II I III II III Sup σ σ, σ σ, σ σ σ (4.6).6. Crtère de Von-Mses ( ) ( ) ( ) σ σ σ σ σ σ σ I II I III II III + + (4.7) ou encore ( ) ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) + 6( σ + σ + σ ) σ Crtère de Hll le crtère de Hll s applque dans le cas de matéraux élastque orthotropes F( σ σ ) + H ( σ σ ) + G( σ σ ) + Lσ + Mσ + Nσ = où F, H, G, L, M, N sont des constantes fonctons des contrantes à ruptures. (4.8) Golay MMC - 5 -

53 Elastcté 3 Le problème d élastcté 3. Ecrture générale Cnématque : + Equatons de compatblté T ε = ( u + u) u = U ( X) sur ΩU Equlbre : dvσ + f = dans Ω σn = F sur Ω R sur Ω Lo de comportement : F U σ = λtr ( ε ) I + µε 3. Formulaton en déplacement dvσ + f = dv ( λtr ( ε ) I + µε) + f = λ ( Tr( ε )) + µ dv( ε) + f = λ ( dv u) + µ dv( u) + µ dv( T u) + f = sot l équaton de Naver ( λ + µ ) ( dv u) + µ dv( u) + f = Remarque: S on prend la dvergence de l équaton de Naver ( λ + µ ) ( dvu) + dv( f ) = Donc, s le champ de forces volumques est tel que dvf = alors dvu est une foncton harmonque. (4.9) 3.3 Formulaton en contrante En partant de l écrture des équatons de compatblté, on peut démontrer les équatons de Mchell ν T dv( σ) + ( Tr( σ)) + dv f I + f + f = + ν ν Sot, s le champ de force est unforme, on obtent les équatons de Beltram. ( + ν) dv( σ) + ( Tr( σ)) = (4.) (4.) 3.4 Théorème de superposton Golay MMC

54 MMC S ( U, f, F) et ( V, g, G) sont deux jeux de données engendrant respectvement des solutons u et v, alors αu + βv est soluton du problème de données ( αu + βv, αf + βg, αf + βg) (Le problème est évdemment lnéare). 3.5 Elastcté plane 3.5. Contrantes planes Dans le cas où le chargement est dans le plan, la structure mnce dans la drecton 3, on peut fare l hypothèse que le problème est plan et lbre de contrantes dans la drecton 3. Dans ce cas σ ( x x ) σ ( x x ),, σ = σ ( x x ) σ ( x x ),, et d après la lo de comportement ε ( x x ) ε ( x x ),, ε = ε ( x x ) ε ( x x ),, ε ( x, x ) 33 On remarquera que la déformaton suvant 3 est non nulle Déformatons planes Dans le cas où le chargement est dans le plan, la structure très élancée dans la drecton 3, sans possbltés de déplacement suvant 3, on peut fare l hypothèse que le problème est plan sous l hypothèse des déformatons planes. Dans ce cas ε ( x x ) ε ( x x ),, ε = ε ( x x ) ε ( x x ),, et d après la lo de comportement σ ( x x ) σ ( x x ),, σ = σ ( x x ) σ ( x x ),, σ ( x, x ) 33 On remarquera que la contrante suvant 3 est non nulle. D après (4.3) donc + ν ν ε = σ σ σ σ = E E = 33 + σ νσ σ Nous allons prouver que les contrantes peuvent être détermnées par une seule foncton scalare. En applquant l équaton d équlbre (3.) on a : Golay MMC

55 Elastcté donc σ + σ =,, σ + σ =,, φ( x, x ) / σ = φ et σ = φ,, ψ( x, x ) / σ = ψ et σ = ψ,, comme le tenseur des contrantes est symétrque, on a ψ + φ =, donc χ( x, x ) / φ = χ et ψ = χ en défntve on a prouvé,, σ = χ, σ χ, χ( x, x ) / = σ = χ, χ est appelée la foncton d Ary.,, Le tenseur des contrantes devant vérfer l équaton de Beltram (4.), on a d où ( + νσ ) + σ = χ = j, kk kk, j χ est donc une foncton bharmonque. 3.6 Thermoélastcté 3.6. Thermodynamque : équatons de blan Jusqu à présent nous avons utlsé les équatons de blan suvantes: Conservaton de la masse dρ + ρdvv = Conservaton de la quantté de mouvement dvσ + f = ργ dans Ω Conservaton du moment cnétque (3.7) Nous ntrodusons mantenant l équaton de blan de conservaton d énerge, ou encore le premer prncpe de la thermodynamque: où d ( E + K ) = P + Q ext E représente l énerge nterne E = ρe dω (e densté d énerge nterne) K représente l énerge cnétque K = ρv v dω Ω Ω (v la vtesse) Golay MMC

56 MMC P représente la pussance des efforts extéreurs P = f v dω+ F v dω ext ext Q représente le taux de chaleur reçu Q = r dω q n dω (q vecteur de chaleur et r source de chaleur) Par applcaton du premer prncpe, en utlsant (5.7) on a: Ω de ρ d Ω+ ρ v γ d Ω = f v d Ω+ F v d Ω+ r d Ω q n d Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω en utlsant la conservaton de la quantté de mouvement (3.9) de ρ d Ω = σ : ε d Ω+ r d Ω q n d Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Sot, par applcaton du théorème de la dvergence, la forme locale du premer prncpe ρeɺ = σ : ε + r dvq Nous présentons également, sans plus de dscusson le second prncpe de la thermodynamque: ds r q n dω dω ΩT Ω T où T est la température et S l entrope. Ce second prncpe s écrt sous sa forme locale q r ρ sɺ + dv T T (4.) (4.3) où s représente l entrope massque 3.6. Equaton de la chaleur On peut exprmer l énerge nterne massque e en foncton de l entrope massque s, de la température T et l énerge lbre ψ. e = ψ + Ts (4.4) En thermoélastcté, sous l hypothèse des pettes perturbatons, pour un écart de température par rapport à la température au repos T T pett, on a: ψ = ψεt (, ) Grace au second prncpe on peut montrer que ψ ψ σ = ρ et s = ε T donc, le premer prncpe peut s écrre et comme ρeɺ = ρψɺ + ρts ɺ + ρtsɺ on a ψ ψ σ ψɺ = : εɺ + Tɺ = : εɺ stɺ ε T ρ σ : εɺ ρstɺ + ρst ɺ + ρstɺ = σ : εɺ + r dvq or Golay MMC

57 Elastcté ψ ψ ψ σ s sɺ = = : εɺ Tɺ = : εɺ + Tɺ T ε T T ρ T T c est à dre que le premer prncpe s écrt σ s T : ε ɺ + ρ T Tɺ = r dvq T T En ntrodusant la chaleur spécfque C = T s T σ T : ε ɺ + ρ CTɺ = r dvq T pus la lo de Fourer q = k T, où k représente la conductvté thermque, σ T : ε ɺ + ρ CTɺ = r + dvk T T En général la contrbuton mécanque est néglgeable par rapport aux autres contrbutons, s ben que l équaton de blan de l énerge condut à l équaton de la chaleur : T ρct ρc ɺ = v T + = r + dvk T t (4.5) Dans le cas où le problème à trater est statonnare, sans source de chaleur, avec une conductvté constante, on retrouve l équaton habtuelle : T = Lo de comportement thermo-élastque Dans le cadre de la thermoélastcté, l énerge lbre spécfque s écrt comme un développement lmté au second ordre en déformaton et température, ou plutôt en déformaton et écart de température τ = T T (supposés petts ) : Par défnton ρψε (, T) = ε : C : ε ρτ s ρτ b β : ετ ψ σ = ρ ( ε, T) = C : ε βτ = C : ε ατ ε où α représente le tenseur des dlatatons thermques Dans le cas sotrope la lo de comportement thermo-élastque s écrt : σ = λtr( ε ) + µε (3λ + µατ ) Golay MMC

58 MMC 4 A retenr Lo de comportement élastque lnéare sotrope Crtère de Tresca σ = λtr( ε ) + µε ν + ν ε = Tr( σ) + σ E E I II I III II III Sup σ σ, σ σ, σ σ σ Le problème d élastcté T ε = ( u + u ) u = U ( X) sur ΩU dvσ + f = dans Ω F sur Ω F σn = R sur Ω U σ = λtr ( ε ) I + µε Equaton de Naver ( λ + µ ) ( dv u) + µ dv( u) + f = En élastcté plane sous l hypothèse des deformatons planes : 33 σ = νσ + σ et ε = 33 Conservaton de l énerge d ( E + K ) = P + Q ext Forme locale de la conservaton de l énerge ρeɺ = σ : ε + r dvq Equaton de la chaleur T ρc v T + = r + dvk T t Lo de comportement thermoélastque sotrope σ = λtr( ε ) + µε (3λ + µατ ) Golay MMC

59 Mécanque des fludes INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES Lo de comportement En mécanque des fludes, nous travallerons toujours en varables d Euler Comme pour les matéraux soldes (qu sont des fludes qu s gnorent..) les los de comportement flude sont élaborées à partr de l expérence. Flude vscoplastque τ Flude à seul Flude fludfant Newton Flude épassssant du dy. Flude Newtonen Pour un flude Newtonen, les contrantes sont une foncton affne des vtesses de déformaton. Sot, σ = pi + λ Tr( D) I + µ D où T ( ) D = grad v +grad v sot, en notaton ndcelle D j v v j = + x x j (5.) (5.) µ est la vscosté dynamque (dmenson Poseulle M ) LT λ est le second coeffcent de vscosté µ On ntrodut également la vscosté cnématque ν = (dmenson Stokes L ) ρ T Golay MMC

60 MMC. Flude ncompressble S le flude est ncompressble, alors on a vu que dvv = ou TrD = Donc, (5.) devent σ = pi + µ D (5.3).3 Flude non-vsqueux S le flude est parfat, alors on a ne tent pas compte de la vscosté, donc (5.) devent σ = pi Le tenseur des contrantes est alors sphérque. En partculer, l acton d un flude non vsqueux sur une paro est normale à la paro (d après l équaton d équlbre)..4 Flude au repos S le flude est au repos, alors v =, donc (5.) devent (5.4) σ = pi (5.5) Conservaton de la masse La masse d un système matérel qu on sut dans son mouvement reste constante. dm M = ρ( x, t) dω et = Ω( t) où ρ est la masse volumque. On a alors (.) dρ ρ + ρdvv = ou + dv( ρv) = t S on consdère une grandeur dfférentable Ψ quelconque, on a alors pour un flude ncompressble d Démonstraton: ψdm = Ω( t) Ω( t) dψ dm (5.6) (5.7) d d ψdm = ψρd Ω( t) Ω Ω( t) dψρ = ψρdvv d Ω( t) + Ω dψ dρ = ρ ψ ψρdvv d Ω( t) + + Ω dψ dρ = ρ ψ ρdvv d Ω( t) + + Ω dψ = ρ d Ω( t) Ω dψ = dm Ω( t) Sot Σ un domane géométrque fxe traversé par le flude, Golay MMC - 6 -

61 Σ ρv n d Σ = dv( ρv) dσ ( d aprés le théorème de la dvergence) Σ ρ = dσ ( d après la conservaton de la masse) Σ t = ρ dσ ( car Σest fxé) Σ t = dm Σ t S le flude est ncompressble, alors la masse volumque est constante et ρ dρ = = t S on note q le débt massque à travers une surface S et q le débt volumque, alors m v q = ρv n d Σ = ρ v n d Σ = ρq m S S v Mécanque des fludes Donc, en défntve: Pour un domane Σ fxe traversé par un flude ncompressble v Σ n d Σ = : le débt volumque à travers la frontère Σ est nul. 3 Equaton du mouvement D après l équaton du mouvement(3.), dv f + dvσ = ρ D où, pour un flude newtonen dv ρ = f + dv pi + λ Tr( D) I + µ D = f dv pi + λ dv Tr( D) I + µ dv D T = f p + λ dvv + µ dv v + v ( ) ( ) Sot l équaton de Naver-Stokes compressble dv ρ = f p + ( λ + µ ) ( dvv) + µ v * Pour un flude ncompressble, dvv =, donc (5.8) devent: dv v ρ = ρ v v + = f p + µ v t * Pour un flude non vsqueux, (5.8) devent: dv v ρ = ρ + v v = f p t (5.8) (5.9) (5.) Golay MMC

62 MMC 4 A retenr Lo de comportement pour un flude newtonen σ = pi + λ Tr( D) I + µ D Conservaton de la masse pour un flude ncompressble dvv = Grace à la conservaton de la masse pour un flude ncompressble d ψdm = Ω( t) Ω( t) dψ dm Equaton de Naver Stokes compressble dv ρ = f p + ( λ + µ ) ( dvv) + µ v Golay MMC - 6 -

63 Bblographe BIBLIOGRAPHIE [] Mécanque des Mleux Contnus, Cours ESIM 984, Equpe IMST Marselle. [] G. Duvaut, Mécanque des Mleux Contnus, ed. Masson 99. [3] P. German - P. Muller, Introducton à la Mécanque des Mleux Contnus, ed. Masson 995. [4] J. Salençon, Mécanque des Mleux Contnus, ed. ellpse 988. [5] P. German, Mécanque, ed. ellpse, ecole polytechnque, tomes I et II. [6] G. Dhatt, J.L. Batoz, Modélsaton des structures par éléments fns: Soldes élastques, ed. Hermes, tome I. [7] A. Bazergu, T. Bu-Quoc,A. Bron, G. McIntyre, C. Laberge, Résstance des matéraux, ed. de l école polytechnque de Montréal 993. [8] J. Corer, Mécanque des Mleux Contnus, ed. Dunos 997. [9] J. Lematre, J.L. Chaboche, Mécanque des matéraux soldes, ed. Dunos 996. [] O. Débordes, Thermodynamque des mleux contnus, ESM, Cours du DEA de Mécanque Golay MMC

64 MMC Golay MMC

65 Annexes ANNEXES: RAPPELS DE MECANIQUES DES SOLIDES RIGIDES Cnématques du solde Avertssement: L objectf de ce chaptre, est de famlarser les étudants avec les notatons tensorelles. Afn d en smplfer le contenu, nous ne consdérerons que des bases orthonormées.. Descrpton du mouvement Sot S un ensemble de partcules tel que la dstances entre deux partcules quelconques reste pratquement constante au cours du mouvement. On étude l'ensemble S en le consdérant ndéformable: solde rgde... Système de référence Dans un espace euclden ξ à tros dmensons, sot e, e, e une base orthonormée. On défnt un référentel 3 par rapport d'observaton par cet espace euclden et le temps: R ( ξ,t). On défnt la dérvée d'un vecteur U au temps dans ce référentel par: du du = e R.. Mouvement d'un solde Sot S un solde rgde en mouvement par rapport à R. Sot (,,, ) ξ O e e e S 3 un espace euclden lé à S. Consdérons un vecteur lé à S, dont les composantes sont représentées par X dans ξ et X S On note Q l'opérateur lnéare défnssant le passage de ξ à ξ. S T X S = QX X = Q X S Comme X S or C'est à dre et est ndépendant du temps pusque lé à S, on a: = X = QX = LX T T dx dq dq S R T Q Q = I T dq T dq Q + Q = T L + L = R R dans ξ. S L est un opérateur lnéare antsymétrque, on peut donc défnr un vecteur Ω (d'après (.)) tel que: dx avec R = LX = Ω X (6.) Golay MMC

66 MMC Ω = ε L e jk j k..3 Torseur cnématque Soent A et P deux partcules du solde S. OP = OA + AP donc par dérvaton dop doa d AP doa = + = + Ω AP R R R R sot V P = V A + Ω AP ( ) ( ) On défnt le torseur cnématque par le vecteur vtesse de A par rapport à R, V ( A) nstantanée Ω V : ( A) V R = Ω..4 Accélératon V P = V A + Ω AP ( ) ( ) dv ( P ) dv ( A ) d Ω = + AP + Ω dap R R R R (6.) et le vecteur de rotaton Sot dω dω γ ( P) = γ ( A) + AP + Ω ( Ω AP) = γ ( A) + AP + ( Ω AP) Ω Ω AP R R (6.3). Composton des mouvements a L'espace temps est commun à tous les référentels d'observaton. on consdère deux référentels ( ξ a, t) ( ξ, t) b R. R et.. Dérvaton composée Sot U Sot U a a a a un vecteur dans la base ξ ( O, e, e, e 3 ) du a R du = e a b b b b un vecteur dans la base ξ ( O, e, e, e 3 ) du du de b b = e + U a R, U = Ue a, U = Ue b par dérvaton:. par dérvaton:. Golay MMC

67 Annexes Car b a ξ est en mouvement par rapport à ξ, et d'après (6.) de q d'où, avec / b b q b = Ωξ / ξ e b Ωξ ξ du a R représentant le vecteur rotaton de du q b = + Ωξ / ξ b R U b a ξ par rapport à ξ : (6.4).. Composton des vtesses Sot P S : a a b b O P = O O + O P a a b b do P do O do P = + a a a R R R Et donc d après (6.4) a a b b do P do O do P b q b = + + Ωξ / ξ O P a a b R R R sot V a( P) = Vb( P) + Ve ( P ) (6.5) a b Vtesse / R Vtesse / R Vtesse d ' entranement..3 Composton des accélératons a On dérve (6.5) par rapport à R : a a b b b b q b d O P d O O d O P do P dω ξ / ξ b do P q b q b = + + Ωξ / ξ + O P + Ωξ / ξ a a b b a R a R R R R R b q b γa( P) = γa( O ) + γb( P) + Ωξ / ξ V b( P) + dω do P b q b ξ / ξ b b q b q b q b q b ξ / ξ ξ / ξ O P ξ / ξ ξ / ξ O P + Ω Ω + +Ω + Ω b R b R q b b dω ξ / ξ b b q b q b q b γa( P) = γb( P) + γa( O ) + O P + Ω ξ / ξ Ω ξ / ξ O P + Ω ξ / ξ V b( P) b R Accélératon de Corols γ ( P) = γ ( P) + γ ( P) + γ ( P) a b e c Accélératon d ' entranement (6.6) Golay MMC

68 MMC Cnétque La cnématque ne s'ntéresse au mouvement des corps que du pont de vue de l'espace et du temps: durée, vtesse, dstance, etc ; tands qu'en cnétque on ntrodut, en plus, le concept de masse, c'est à dre qu'on tent compte auss de la masse. Défntons On défnt la masse d un solde S par : m = dm ( P ) = ρ( P, t ) dv S Où ρ représente la densté volumque de masse. On défnt G le centre de masse (ou d nerte) du solde S par : O ξ OPdm( P) = mog S S (6.7) (6.8). Eléments de cnétque.. Torseur cnétque On défnt le Torseur Cnétque ou Torseur des quanttés de mouvement par : R = V ( P) dm( P) Résultante cnétque de S / R S κ = R k A = AP V ( P) dm( P) Moment cnétque en A / R S On peut remarquer que s le repère R est fxe, alors : d R = OP( P) dm( P) = mv ( G) S.. Torseur dynamque On défnt le Torseur dynamque par : d = γ( P) dm( P) Résultante dynamque de S / R S A = R δa = AP γ( P) dm( P) Moment dynamque en A / R S..3 Relaton entre torseur cnématque et torseur dynamque En dérvant par rapport au temps dans R on obtent : dr d = dka dap = ( ) ( ) ( ) ( ) S V P dm P + S AP γ P dm P dao dop = V( P) dm( P) + V( P) dm( P) AP γ( P) dm( P) S + S S = V ( A) V( P) dm( P) + δa dk A δ A = + V( A) mv ( G) S (6.9) (6.) (6.) (6.) Golay MMC

69 Annexes δa = AP γ( P) dm( P) = AG γ( P) dm( P) + GP γ( P) dm( P) S S S δa = AG d + δg dk G δa = + AG mγ( G)..4 Energe cnétque On défnt l énerge cnétque du solde S par : T( S) = V ( P) dm( P) S (6.3) (6.4)..5 Théorème de Koeng ξ O, e, e, e Sot ( ) un espace euclden et (,,, ) 3 ξ G e e e G 3 un espace euclden barycentrque lé au solde S. ka = kg + AG mv ( G) (6.5) δa = δg + AG mγ( G) (6.6) dop dop T( S) = dm S dog dog dgp dgp dgp dog T( S) = dm + dm dm S + S S T S T S mv G ( ) = ( ) + ( ) RG (6.7).3 Cnétque du solde rgde.3. Opérateur d nerte On défnt l opérateur d nerte par J tel que : A J A S AP = xe alors : u ξ J ( u) = AP u AP dm A ( ) AP u AP = x u x e = x u x e x u x e = x ux e x u xe ( ) ε ε δ δ δδ jk j kpq p q p qj j p q q pj j p q j j j j AP u AP = x e e ue x xe e ue = x e e x x e e ue ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j k k k k j j j k k k j k j Et l opérateur d nerte est représenté par la matrce : Où I I I 3 I = I I I A 3 I I I Golay MMC

70 MMC ( ) ( ) ( ) I = x + x dm I = x x dm 3 I = x + x dm I = x x dm I = x + x dm I = x x dm Influence des symétres matérelles S le solde S possède un plan de symétre ( Ae,, e ), alors Sot x x dm = x x dm + x x dm = x x dm x x dm = x x < x x I I I = I I A I 3 S le solde S possède un axe de symétre (, ) ρdx dx dx Ω = ρrdrdθdx 3 3 Ω Ae, alors Et comme x xρdx dx dx = r cosθxρrdrdθdx = Ω Ω x xρdx dx dx = r snθ cosθxρrdrdθdx = Ω Ω on a fnalement I I = I A I 3 Moment d nerte par rapport à une drote (de vecteur untare δ ) passant par A Sot H le projeté orthogonal d un pont P du solde S, on a alors : 3 ( ). δ I = PH dm AP AH dm δ AP AP dm = = S S S I (. )( AP. AP ) ( AP. ) dm. δδ δ δ δ( AP. AP ) AP ( AP. = = δ) dm S S I = δ. δ( AP. AP) AP ( AP. δ) dm S a b c a c b a b c, Et comme ( ) = ( ) ( ) I = δ. AP δ AP dm = δ ( δ) = δ I δ JA A S ( ) Golay MMC - 7 -

71 Annexes Sot Théorème de Huyggens généralsé ( u J ) = A AP ( u AP) dm = AG ( u AP) dm + GP ( u AP) dm = AG ( u APdm) + GP ( u AG) dm + GP ( u GP) dm = AG u mag + GPdm u AG + GP u GP dm A ( ) ( ) ( ) ( ) ( u ) = AG u mag + ( J J u ) ( ) G Théorème de Huyggens applqué au moment d nerte par rapport à une drote (de vecteur untare δ ) passant par A (tel que AG δ ) et (de vecteur untare δ )passant par G. I ( ) I AG ( mag δ δ δ δ δ δ ) ( δ) δ mag δ m A A G ( δ AG ) AG I = J = = + = + δ J G sot I = δi δ = δ mag + I δ = mag + I A G G.3.3 Moment cnétque du solde k A = AP V( P) dm( P) S Sot Q un pont quelconque du solde ka = AP V( Q) +Ω QP dm( P) S ( ) ka = mag V ( Q ) + AQ + QP Ω QP dm ( P ) S ( ) ( ) k A = mag V( Q) + AQ Ω QPdm( P) + QP Ω QP dm( P) ( S ) S ( ) D où ka = mag V ( Q ) + maq Ω QG + J ( Ω ) ( ) G Dans le cas partculer où Q=G, on obtent : ka = mag V( G) + J ( Ω) C'est-à-dre k G = J ( Ω) G G.3.4 Energe cnétque du solde T( S) = V ( P) dm( P) S Sot Q un pont quelconque du solde Golay MMC

72 MMC ( ) T( S) = V( Q) +Ω QP dm( P) S T( S) = ( V( Q) ) dm( P) + ( V( Q) Ω QP) dm( P) + ( Ω QP) dm( P) S S S m T( S) = V ( Q) + mv ( Q) ( Ω QG) + Ω QP ( QP) dm( P) S Ω Sot m T( S) = V ( Q) + mv ( Q) ( Ω QG) + Ω J ( Ω) Q Dans le cas partculer où Q=G, on obtent : m T( S) = V ( G) + Ω J ( Ω) G 3 Equatons fondamentales de la mécanque des soldes 3. Torseur assocé aux efforts externes Sot f ( P) Sot F( P) Sot ( P) Sot F une densté volumque de force exercée sur le solde S. une densté surfacque de force exercée sur la frontère du solde S. F une densté lnéque de force exercée sur une courbe Γ. une force ponctuelle exercée en un pont P de S. Le torseur des efforts extéreurs est défn par : R = f ( P) + F( P) + F( P) + F S S Γ Fe( S) = C A = AP f( P) + AP F( P) + AP F ( P) + AP F S S Γ 3. Lo fondamentale de la dynamque Il exste au mons un référentel Galléen assocé à une chronologe, tel que : S, t Torseur dynamque = Torseur des forces extéreures Ou encore S, t A d, = F ( RC, A) ( δa) En conséquence, on peut énoncer : e Théorème de la résultante dynamque : dans un référentel galléen R = mγ( G) Théorème du moment dynamque : dans un référentel galléen, sot A un pont fxe dk A δ A = = C A Golay MMC - 7 -

73 Annexes Golay MMC

74 MMC Golay MMC