Mécanique des Milieux Continus

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1 Mécanque des Mleux Contnus Golay Frédérc SEATECH

2 MMC Golay MMC - -

3 Ce cours de mécanque des mleux contnus est à la base de l ensegnement de mécanque à SEATECH. Les notons abordées c, transport de champs, los de conservaton,..., seront reprses ultéreurement en mécanque des soldes et mécanque des fludes. Dans une premère parte, nous aborderons les notatons tensorelles et vectorelles ndspensables à toute étude scentfque, pus dans une deuxème parte, nous étuderons la cnématque des mleux contnus. Après avor ntrodut la modélsaton des efforts et les los de conservaton par le prncpe des pussances vrtuelles, nous applquerons ces los de conservaton aux los de comportement de l élastcté lnéare (en mécanque des soldes) et aux los de comportement des fludes newtonens (en mécanque des fludes) Golay MMC

4 MMC Golay MMC - 4 -

5 Sommare TABLE DES MATIERES Notatons tensorelles... 9 Vecteurs et tenseurs Notatons Changement de repère... Permutatons et détermnants Les symboles de permutaton Détermnant d une matrce Polynôme caractérstque Adjont d un tenseur antsymétrque Calcul vectorel et analyse vectorelle Calcul vectorel Analyse vectorelle Transformaton d ntégrales Formules essentelles en Mécanque des Mleux Contnus Coordonnées cartésennes orthonormées Coordonnées cylndrques Coordonnées sphérques Comment retrouver les formules... 5 A retenr... 3 CINEMATIQUE... 5 Le mouvement et ses représentatons Confguraton Varables de Lagrange et varables d Euler Dérvées partculares... 6 Déformaton d un mleux contnu Noton de déformaton Tenseur des déformatons Condtons de compatblté Transport, dérvées partculares Transport d un volume Transport d une surface orentée Dérvée partculare d une ntégrale de volume Dérvée partculare d une ntégrale de surface A retenr EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS Golay MMC

6 MMC Défntons Forces Vecteur-contrante et tenseur des contrantes Equlbre Le Prncpe des Pussances Vrtuelles (German 97) Pussance vrtuelle des efforts ntéreurs Pussance vrtuelle des efforts extéreurs Applcaton du Prncpe des Pussances Vrtuelles Equlbre Autre présentaton: Prncpe fondamental de la dynamque Quelques proprétés du tenseur des contrantes Symétre du tenseur des contrantes Contrante normale et contrante tangentelle Drectons prncpales, contrantes prncpales Invarants Cercles de Mohr Exemples de tenseur des contrantes Tenseur unaxal Tenseur sphérque A retenr ELASTICITE Approche expérmentale: essa de tracton Lo de comportement élastque lnéare (en HPP) Forme générale Matérau élastque homogène sotrope Matérau élastque homogène orthotrope Matérau élastque homogène sotrope transverse Caractérstques de quelques matéraux Crtères de lmte d élastcté Le problème d élastcté Ecrture générale Formulaton en déplacement Formulaton en contrante Théorème de superposton Elastcté plane Thermoélastcté A retenr INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES Lo de comportement Flude Newtonen Flude ncompressble Flude non-vsqueux Flude au repos... 6 Golay MMC - 6 -

7 Sommare Conservaton de la masse Equaton du mouvement A retenr... 6 Bblographe Annexes: Rappels de mécanques des soldes rgdes Cnématques du solde Descrpton du mouvement Composton des mouvements Cnétque Défntons Eléments de cnétque Cnétque du solde rgde Equatons fondamentales de la mécanque des soldes Torseur assocé aux efforts externes Lo fondamentale de la dynamque Golay MMC

8 MMC Golay MMC - 8 -

9 Notatons tensorelles NOTATIONS TENSORIELLES Vecteurs et tenseurs Avertssement: L objectf de ce chaptre, est de famlarser les étudants avec les notatons tensorelles. Afn d en smplfer le contenu, nous ne consdérerons que des bases orthonormées.. Notatons.. Vecteur Dans un espace euclden ξ à tros dmensons, sot e, e, e 3 une base orthonormée. Un vecteur V est représenté par ses composantes V, V, V 3 3 V = Ve + Ve + Ve = Ve 3 3 = En utlsant la conventon de sommaton, ou conventon d Ensten, on écrt V = Ve (.) (.) où, chaque fos qu un ndce est répété, l convent de fare varer cet ndce de à 3 et de fare la somme. Dans l expresson () l ndce est un "ndce muet". En notaton matrcelle on écrra parfos V V = V = V { } et le vecteur transposé V 3 T V = = = T { V} V V V V 3 (.3) (.4).. Applcaton lnéare deξ dans ξ Sot A une applcaton lnéare, dans la base e, e, e. Cette applcaton est représentée par une matrce 3x3 3 notée A : A A A 3 A A A 3 A A A S W est un vecteur tel que W = AV, alors les composantes de W sont données par W = A V + A V + A V 3 3 W = A V + A V + A V 3 3 W = A V + A V + A V et en utlsant les conventons de sommaton où j est un ndce muet Golay MMC

10 MMC W = AV j j et en notaton vectorelle { W} A { V} = On défnt les symboles de Kronecker par (.5) δ j s = j = s j (.6) En partculer l applcaton dentté est représentée par la matrce δ δ δ 3 δ δ δ 3 δ δ δ = La composton de deux applcatons lnéares se tradut par le produt de leur matrce représentatve, c est-àdre C = AB ou encore C = A B et en notaton ndcelle C j = A B k kj (.7)..3 Formes blnéares Sot A une forme blnéare sur ξ, c est-à-dre une applcaton blnéare de ξ ξ dans R. Dans la base e, e, e 3 elle est représentée par une matrce A telle que j A V W (, ) = AVW j j ou en notaton matrcelle AV, W = V A W ( ) { } En partculer, la forme blnéare représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produt scalare. S ( e, e, e ) est une base orthonormée, alors 3 e e = δ j j et le produt scalare de deux vecteurs est donné par V W = Ve We = VW e e = δvw = VW ou en notaton matrcelle V W = V W { } j j j j j j (.8)..4 Tenseurs..4. Tenseur du second ordre Un tenseur du second ordre T est un opérateur lnéare qu fat correspondre à tout vecteur V de l espace euclden un vecteur W de ce même espace. Golay MMC - -

11 Notatons tensorelles W = T V ( ) Cet opérateur peut être représenté par une matrce 3x3, notée T ou T ou T, telle que W = TV j j ou en notaton matrcelle ou { W} T { V} = W = TV * Un tenseur est dt symétrque s T = T j j * Un tenseur est dt antsymétrque s T = T j j * Un tenseur est dt sotrope s T = tδ j j * On peut toujours décomposer un tenseur en une parte symétrque et antsymétrque S A T = T + T ou T = T + T S A j j j T avec = + ( T T ) S j j j et T = ( T T ) A j j j..4. Tenseur d ordre supéreur On peut défnr un vecteur V par ses composantes V, ou par les coeffcents de la forme lnéare X X V = XV, car la base chose est orthonormée (vor les notons de vecteurs covarants et contravarants). On peut alors consdérer le vecteur comme un tenseur du premer ordre. De même, une foncton scalare peut être consdérée comme un tenseur d ordre zéro. Un tenseur du trosème ordre S est un opérateur lnéare qu, à tout vecteur Z fat correspondre un tenseur du second ordre T. T = S ( Z) ouencore T = S Z j jk k..4.3 Produt tensorel On défnt le produt tensorel du vecteur U par le vecteur V, noté U V, comme le tenseur d ordre deux, défn par la forme blnéare qu aux vecteurs X U X V Y et Y fat correspondre ( )( ) Les 9 produts tensorels e e défnssent une base de l espace vectorel des tenseurs d ordre deux, s ben j que l on peut écrre un tenseur T comme T T e = e j j ou encore, par exemple, - - Golay MMC

12 MMC u v uv uv u v = uve e = uv uv uv j j 3 3 u v u v u v Contracton et produt contracté Sot le produt tensorel A B C, on appelle contracton, l opératon qu lu fat correspondre le vecteur A( B C). Le produt contracté d un tenseur d ordre 4 R et d un tenseur d ordre 3 S est défn par le tenseur d ordre 5 R S = R e e e e S e e e = R S e e e e e ( ) ( ) jkl j k l pqr p q r jkm mqr j k q r Le produt doublement contracté d un tenseur d ordre 4 R et d un tenseur d ordre 3 S est défn par le tenseur d ordre 3 R : S = R e e e e : S e e e = R S e e e ( ) ( ) jkl j k l pqr p q r jnm mnr j r Par exemple, le produt doublement contracté de deux tenseurs d ordre T et T est le scalare T : T = T e e : e e = TT ( ) ( T pq ) j j p a j j. Changement de repère.. Matrce de passage Sot e, e, e une base orthonormée et e, e, e une autre base orthonormée. 3 3 On défnt la matrce de passage Q telle que: e = Q e + Q e + Q e 3 3 e = Q e + Q e + Q e 3 3 e = Q e + Q e + Q e ou encore, en notatons ndcelles e = Q e j j et en notaton matrcelle = { e } Q { e} Les deux bases étant orthonormées, on dot avor δ = e e = Q e Q e = Q Qδ = Q Q j j k k jl l k jl kl k jk ce qu montre que la matrce nverse de Q est e = Q e j j T Q. En partculer on tre la relaton nverse:.. Vecteurs Sot V un vecteur de composantes V dans la base e, e, e et V dans la base e, e, e. 3 3 V Ve = = Ve Golay MMC - -

13 Notatons tensorelles En utlsant la matrce de passage V Ve = = VQ e sot k k V = VQ et V = VQ k k k k ou encore, en notaton matrcelle V Q V et V Q T = = V { } { } { } { } Remarque: le produt scalare est un nvarant, c est à dre que cette foncton est ndépendante du repère chos. En notaton ndcelle V. W = VW = VQ WQ = δvw = VW = VW. et en notaton matrcelle k k k j kj j j T V. W = V { W } = Q { V} Q { W } T = V Q Q { W} = V { W} = VW...3 Applcaton lnéare Sot A une applcaton lnéare, de composantes A dans la base e, e, e. et A dans la base e, e, e. j 3 j 3 En notaton ndcelle d où W = AV = Q W = Q A V = Q A Q V k k j j j jm m j jm km k A = Q A Q k j jm km et en notaton matrcelle W A V Q W Q A V Q A Q T = = = = V sot { } { } { } { } { } A = Q A Q T..4 Forme blnéare Sot A une applcaton lnéare, de composantes A dans la base e, e, e. et A dans la base e, e, e. j 3 j 3 AV (, W) = AVW = AVW = AQ VQ W j j j j j k k mj m sot A = AQ Q km j k mj et en notaton matrcelle AV (, W ) = V A { W} V A = { W } = T T T T Q V A Q W = V Q A Q W { } { } { } Golay MMC

14 MMC sot A = Q A Q T..5 Tenseur d ordre Sot T un tenseur d ordre, en notaton ndcelle pus T = T e e = T e e = TQ e Q e = TQ Q e e km j j j j j k k mj m j k mj k m T = T Q Q j k mj Permutatons et détermnants. Les symboles de permutaton On ntrodut les symboles de permutaton ε jk + s, j, k est une permutaton pare de,, 3 = s, j, k est une permutaton mpare de,, 3 s deux ndces sont répétés Ces symboles représentent le produt mxte des vecteurs de base ( e, e, e ) ε = jk j k ε sont les composantes d un tenseur du trosème ordre, qu représente, par exemple, la forme trlnéare jk produt mxte: U, V, W =ε UVW ( ) jk j k Avec un peu de patence on peut démontrer les résultats suvants δ δ δ ε ε Det = δ δ δ δ δ δ ε ε = δ δ δ δ jk mn jm kn jn km ε ε = δ jk jn km ε ε = 6 jk jk l m n jk lmn jl jm jn kl km kn. Détermnant d une matrce Les symboles de permutaton permettent le calcul du détermnant d une matrce par ou encore ε Det( A) = ε jk A A A mnp m jn kp (.9) Det( A) = ε ε 6 A A A jk mnp m jn kp On peut également détermner l nverse d une matrce Golay MMC - 4 -

15 Notatons tensorelles B = A et B = Det( A) ε ε A A j mn jpq mp nq.3 Polynôme caractérstque Les valeurs propres d un tenseur du second ordre sont obtenues par la résoluton de l équaton caractérstque sot en développant P( λ) = Det( A λi ) ou encore ε ε ( A λδ )( A λδ )( A λδ ) = jk mnp m m jn jn kp kp 6 P( λ) = I λi + λ I λ 3 3 avec I ε ε A A A Det( A) 3 jk mnp m jn kp = 6 = I = A A A A = ( Tr A ) Tr A I = A = Tr A jj j j I, I, I sont appelés les nvarants fondamentaux du tenseur A. 3.4 Adjont d un tenseur antsymétrque Sot Ω un tenseur antsymétrque Ω = Ω Ω Ω Ω Ω Ω 3 on peut également lu assocer le vecteur sot ω Ω 3 3 ω 3 Ω ω = ω = Ω ω ω 3 Ω = ω ω 3 ω ω Le vecteur ω est le vecteur adjont du tenseur antsymétrque Ω. En notaton ndcelle on a: Ω = ε ω j jk k ω = ε Ω jk jk (.) Golay MMC

16 MMC 3 Calcul vectorel et analyse vectorelle 3. Calcul vectorel Le produt vectorel c = a b s écrt en notaton ndcelle ce =ε a be jk j k On peut montrer que ( a b) c = ( a c) b ( b c) a a b c d = a c b d a d b c ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3. Analyse vectorelle On note d une vrgule la dérvée partelle, sot exprmés dans un repère cartésen orthonormé., =. Les opérateurs exposés dans cette parte seront x * Sot f une foncton scalare Le gradent d une foncton scalare est un vecteur f x f grad f = f = f e =, x f x 3 Le laplacen d une foncton scalare est un scalare * Sot v un vecteur f f f f = f = + +, x x x 3 La dvergence d un vecteur est un scalare v v v Dv v = v = + +, x x x 3 3 Le rotatonnel d un vecteur est un vecteur v v 3 x x 3 v v 3 rot v = v = ε v e = jk k, j x x 3 v v x x Le gradent d un vecteur est une matrce Golay MMC - 6 -

17 Notatons tensorelles v v v x x x 3 v v v v = v e e =, j j x x x 3 Le laplacen d un vecteur est un vecteur v v v x x x 3 v v v + + x x x 3 v v v v v = v e = v, jj + + = x x x 3 v 3 v v v x x x 3 * Sot T un tenseur du second ordre La dvergence d un tenseur est un vecteur T T T + + x x x T T T DvT = T e = j, j + + x x x T T T + + x x x * Quelques formules utles Dv( f a) = f Dva + a grad f Dv( a b) = b rota a rotb Dv( rota) = rot ( grad f) = grad( f g) = f gradg + ggrad f rot ( f a) = f rota + grad f a Dv( grad f) = f rot rot a = grad Dv a a ( ) ( ) 3.3 Transformaton d ntégrales Sot Ω un domane borné et Ω sa frontère, de normale n. Sot φ une foncton scalare, alors φ n ds = gradφ dv Ω Sot A un vecteur, alors A n ds = Ω Ω Dv( A) dv Ω Golay MMC

18 MMC Sot T un tenseur, alors T n ds = Ω Ω DvT ( ) dv Sot Ω un domane plan de normale n, de frontère Γ. Sot U un vecteur défn sur ce domane. S τ est le vecteur untare tangent à Γ, alors rotu ( ) n ds = U τ dl Ω Tous ces résultats sont ssus du théorème de la dvergence t n ds = t dv Ω jkl l Ω jkl, l Γ 4 Formules essentelles en Mécanque des Mleux Contnus 4. Coordonnées cartésennes orthonormées OM = xe + ye + ze x y z * Sot v = v e + v e + v e x x y y z z un vecteur, alors et v v v x x x x y z v v v v y y y ( v) = v = e e = v e e = j, j j x x y z j v v v z z z x y z v v v v dvv = = v = Tr( grad( v) ) = v : I = + + x x y z x y z, v = = = = + + ( ( )) v dv v e v e v e v e ve, jj x x y y z z x x j j * Sot f une foncton scalare, alors et f x f f grad( f ) = f = e = f e =, y x f z f f f f f = dv( grad( f )) = = f = + +, jj x x x y z j j xx xy xz j j yx yy yz T T T zx zy zz T T T * Sot T = T e e = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: Golay MMC - 8 -

19 Notatons tensorelles et T T xx xy T xz + + x y z T T T T j yx yy yz dv( T) = e = T e = j, j + + x x y z j T T zx zy T zz + + x y z T T T T xx xy xz j T = e e = T e e = T T T j j, kk j yx yy yz x x k k T T T zx zy zz 4. Coordonnées cylndrques OM OM OM OM = re + ze et = e, = e, = e r z r θ z r r θ z d( OM) = edr + rdθe + e dz r θ z e e e r θ z =, =, = r r r e e e r θ z = e, = e, = θ r θ θ θ e e e r θ z =, =, = z z z * Sot v = ve + v e + ve r r θ θ z z un vecteur, alors et v v v r r r v r r θ θ z v ( ) v v θ θ θ grad v = v = + vr r r θ z vz v v z z r r θ z r r z dv v Tr ( ( v) ) v I v v v v θ = = : = r r r θ z v v v v ( ) r r v dv v θ v θ e v = = e v e θ r θ r r θ r r r θ z z * Sot f une foncton scalare, alors f f f grad( f ) = f = e + e + e r θ z r r θ z et f f f f f = dv( f) = r r r r θ z Golay MMC

20 MMC * Sot T T T T rr rθ rz θr θθ θz T T T zr zθ zz = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: Trr T T T T rθ rz rr r r θ z r T T T T θr θθ θz rθ dv( T) = r r θ z r Tzr T T T zθ zz zr r r θ z r θθ 4.3 Coordonnées sphérques OM OM OM OM = re et = e, = e, = e r r θ r r θ rsnθ φ d( OM) = edr + rdθe + rsnθ dφe r θ φ e e e r θ φ =, =, = r r r e e r θ e φ = e, = e, = θ r θ θ θ e e e r θ φ = snθe, = cosθe, = snθe cosθe φ φ r θ φ φ φ Sot v = v e + v e + v e un vecteur, alors r r θ θ φ φ φ et v v r r v r v v θ φ r r θ r snθ φ v v v θ θ grad( v) v θ = = v + cotgθv r r r θ r snθ φ v φ r φ v v φ φ + cotgθv + v θ r r θ r snθ φ v v r r v v v θ φ θ dvv = v : I = cotgθ r r r θ r snθ φ r (sn θv ) v φ θ v v + + r r r snθ θ snθ φ v v r cos v θ θ φ v = dv( ( v) ) = v + θ r θ sn θ sn θ φ v v v r θ φ v cotgθ + + φ r snθ φ φ snθ Golay MMC - -

21 Notatons tensorelles * Sot f une foncton scalare, alors et * Sot T f r f grad( f ) = r θ f r snθ φ f f f f f = dv( grad( f )) = + + cotgθ + r r θ r θ r sn θ φ rr rθ rφ θr θθ θφ T T T φr φθ φφ T T T = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: T T T rr rθ rφ cot r r θ r snθ φ r T r ( ) T T θ θθ θφ dv T = ( T T ) cotg + 3T r r θ r snθ φ r T r T T φ φθ φφ ( T cotgθ + 3 T θφ rφ) r r θ r snθ φ r 4.4 Comment retrouver les formules Nous nous plaçons par exemple en coordonnées cylndrques. On note v ve v e ve = + + = ve r r θ θ z z avec = r, θ, z et, =,, r r θ z Donc, avec cette conventon e e θ r e = et e = r, θ θθ, r r ( T T T T gθ rr θθ φφ rθ ) ( θ θθ φφ rθ) Chercher le gradent d un tenseur consste à augmenter l ordre de ce tenseur, sot ( ) = ( ) j e, j S on applque cette remarque à un vecteur, on obtent: ( v ) ( ve = ) e, j j En n oublant pas de dérver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de coordonnées cylndrque, v = v e e + v e e = v e e + v e e, j j, j j, j j, θ θ = v e e + v e e + v e e, j j r r, θ θ θ θθ, θ vr vθ = v e e + e e e e, j j θ θ r θ r r Pour obtenr l opérateur dvergence, l sufft de contracter doublement avec le tenseur unté d ordre, dv( ) = ( ): sot dans le cas d un vecteur: - - Golay MMC

22 MMC v v v r r r v v θ z dv( v) = ( v) : = v + = + + +, r r r r θ z et donc l opérateur Laplacen pour un scalare ϕ, r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = dv( ϕ) = ϕ + = + + +, r r r r r θ z Applquons mantenant cette méthodologe à un tenseur d ordre. ( T) = ( T e e j j ) e, k k = T e e e + T e e e + T e e e = T e e e + T e e e + T e e e j, k j k j, k j k j j, k k j, k j k j, θ j θ j j, θ θ Trj Tθj = T e e e + e e e e e e j, k j k θ j θ r j θ r r T T r θ + e e e e e e θ θ r θ r r Pour obtenr la trace de ce tenseur d ordre 3 on contracte les deux derners ndces: T T T r r dv T θ θθ = ( T) : = T e + e e + e j, j θ r r r r Trr T T T T rθ rz θθ rr = e r r r θ z r r T r T T T T θ θθ θz rθ θr e θ r r θ z r r Tzr T T T zθ zz zr e z r r θ z r On peut donc mantenant retrouver l opérateur Laplacen d un vecteur : v = dv v ( ) v v θ r v v v v + r, θ θθ, v r, θ θθ, r r, r = v e + e e + e e + e, jj θ r θ r r r r r r v v r v v θ r θ v e v = e v e r r θ θ z z r θ r r θ r Golay MMC - -

23 Notatons tensorelles 5 A retenr Conventon de sommaton : V = Ve Produts tensorels : u v uv uv u v = uve e = uv uv uv j Symboles de permutaton : j 3 3 u v u v u v ε + = ( e, e, e ) = jk j k s, j, k est une permutaton pare de,, 3 s, j, k est une permutaton mpare de,, 3 s deux ndces sont répétés Produt vectorel : c = a b =ε a b e jk j k Quelques opérateurs : Dv v = v,, rot v = v =ε v e jk k, j, v = v e e, j j, DvT = T e j, j En systèmes de coordonnées cylndrque ou sphérque, meux vaut utlser un formulare! Golay MMC

24 MMC Golay MMC - 4 -

25 Cnématque CINEMATIQUE Le mouvement et ses représentatons. Confguraton L espace physque est rapporté à un repère orthonormé drect ( O, e, e, e ). L ensemble des partcules ou 3 ponts matérels consttuant le mleu contnu étudé, occupe à chaque nstant t, un ensemble de postons dans l espace: c est la confguraton du système à l nstant t, noté Ω ( t) (d ntéreur Ω ( t) et de frontère Ω ( t) ). On ntrodut auss la noton de confguraton de référence: c est la confguraton partculère du système à un nstant t fxé. Souvent on prendra Ω = Ω (), et on parlera alors de confguraton ntale. Toute partcule M de Ω est repérée par son vecteur poston X ( t) dans la confguraton de référence. Toute partcule M de Ω ( t) est repérée par son vecteur poston x( t) dans la confguraton actuelle (à l nstant t). e Ω Φ ( X, t) e 3 e Ω M X Ω( t) Fgure : Confguratons de référence et actuelle u X t (, ) Ωt ( ) M x La poston de chaque partcule M sera donc détermnée s on connaît sa poston dans la confguraton de référence et une foncton Φ telle que: x( t) = Φ ( X, t) (.) Φ défnt le mouvement par rapport à ( O, e, e, e ). On devra donc détermner tros fonctons scalares, telles 3 que: x = Φ ( X, X, X, t) 3 x = Φ ( X, X, X, t) 3 x = Φ ( X, X, X, t) (.) Dre que le mleu est contnu, c est dre que Φ est une foncton contnue et bunvoque de X. On supposera que Φ est dfférentable. Le déplacement par rapport à la confguraton Ω, à l nstant t, de la partcule M est le vecteur u( X, t) = x( X, t) X (.3) Golay MMC

26 MMC. Varables de Lagrange et varables d Euler Une grandeur attachée à une partcule (masse volumque, vtesse,...) peut être défne, - Sot en foncton de X et t : varables de Lagrange - Sot en foncton de x et t : varables d Euler Le vecteur vtesse d une partcule M est défn par dom Φ ( X, t) V( X, t) = = t Le vecteur accélératon d une partcule M est défn par dv ( X, t) Φ ( X, t) Γ ( X, t) = = t (.4) (.5).. Trajectore On appelle trajectore d une partcule, la courbe géométrque leu des postons occupées par cette partcule au x( t) = Φ X, t est une représentaton paramétrée en temps de la trajectore. Par défnton cours du temps. ( ) de la vtesse, dom dx dx dx V( x, t) = = e + e + e 3 3 les trajectores peuvent être obtenues par la résoluton des tros équatons dx dx dx 3 = = = V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) (.6) Lgnes de courant A un nstant donné, on appelle lgnes de courant du mouvement, les lgnes qu sont en tout pont tangentes au vecteur vtesse de la partcule stuée en ce pont. Sot pour t fxé, deux équatons: dx dx dx 3 = = V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) (.7) Remarque: Pour un mouvement statonnare (ou permanent) V( x, t) = V( x). Les lgnes de courant et les trajectores sont confondues..3 Dérvées partculares.3. Défnton Lorsque l on sut une partcule dans son mouvement, la grandeur A attachée à la partcule ne dépend que de t. Par défnton, on appelle dérvée partculare de A à l nstant t, la dérvée de A par rapport à la seule varable t. En varables de Lagrange: A = A( X, t) da A ( X, t) = ( X, t) t En varables d Euler: A = A( x, t) (.8) Golay MMC - 6 -

27 Cnématque A A dax (, t) = ( x, t) + ( x, t) dx t xj da A A dxj ( x, t) = ( x, t) + ( x, t) t x j da A A ( x, t) = ( x, t) + ( x, tv ) j t x j j ou encore da A = + ( V ) A t.3. Applcaton à l accélératon dv ( x, t) V Γ ( x, t) = = + ( V ) V t que l on peut également écrre V Γ ( x, t) = + V + rotv V t (.9) (.) Déformaton d un mleux contnu. Noton de déformaton On dra qu un mleu contnu en mouvement subt des déformatons s les dstances relatves des ponts matérels varent au cours du temps. En dfférencant (.), on obtent: Φ dx( t) = Φ dx dxe = dx e j X j On note F l applcaton lnéare qu fat passer de l espace vectorel dans lequel peut varer dx dans l espace vectorel où vare a pror dx. Cette applcaton lnéare, appelée tenseur gradent ou applcaton lnéare tangente, permet donc le passage de la confguraton Ω à la confguraton Ω ( t). e 3 e Ω dx Ω F Ωt ( ) Ωt ( ) M dx e M Fgure : Applcaton lnéare tangente En notaton ndcelle, F j x x x X X X 3 Φ x x x x = = sot F = X X X X X j j 3 x x x X X X 3 (.) Golay MMC

28 MMC. Tenseur des déformatons.. Défnton Le tenseur gradent décrt la transformaton locale au vosnage d une partcule donnée. Afn de rendre compte des déformatons, c est à dre des changements de forme autour de cette partcule, on s ntéresse à l évoluton du produt scalare de deux vecteurs matérels prs respectvement dans les deux confguratons Ω et Ω ( t). Consdérons tros partcules vosnes X, X + dx, X + dx. Après déformatons, elles occupent dans Ω ( t) les postons respectves x, x + dx, x + dx. e 3 e Ω dx Ω dx Ωt ( ) dx M dx Ω( t) e M Fgure 3 : Noton de déformaton x k k dx dx F( X t) dx F( X t) dx dx x =,, = dx j X X j d où sa varaton autour de la transformaton x x k k dx dx dx dx = δ dxdx F F δ dxdx j = j k kj j j X X j sot dx dx dx dx = dxεdx en posant T ε = F ( X, t) F( X, t) (.) L applcaton lnéare ε est appelée tenseur des déformatons. Cette applcaton est symétrque mas dépend ben sûr de la base( O, e, e, e ) ntalement chose. 3.. Remarques * S l n y a pas de déformatons, alors ε = (et nversement). * T C = F F est appelé le tenseur des dlatatons. Ce tenseur est symétrque. On peut démontrer: Théorème : Les valeurs propres de C sont strctement postves. Théorème : Det F > t Théorème 3: ε est symétrque et possède les mêmes vecteurs propres que C. * Varaton de longueur Sot dx = dx = dl e x et dx = dl, alors Golay MMC - 8 -

29 Cnématque dx dx dx dx dl dl dx ε dx = = = dl ε xx ou encore, s les déformatons sont pettes dl dl dl = + ε + ε ε dl dl xx xx xx ε représente au premer ordre la varaton de longueur dans la drecton x. xx * Varaton d angle Sot dx = dl e x, dx = dl e y, alors ou encore, dx dx dx dx = dldl = dx dx = dl ε = cosθ + ε + ε xy xx yy cosθ ε ε xy donc ε représente au premer ordre la varaton d angle entre les drectons x et y. xy..3 Autre écrture D après (.3) et (.) sot x u F( X, t) = ( X, t) = + ( X, t) X X T T u ( ) u u ( ) u ε = X t X t ( X t) ( X t), +, +,, X X X X (.3) ou encore en notaton ndcelle ε j u u j u u k k = + + X X X X j j..4 Cas des pettes perturbatons Cette hypothèse correspond au cas où u( X, t) u et ( X, t ) X sont petts. En reprenant () et en ne retenant que les termes d ordre, on obtent: ε HPP T u ( X t) u = ( X t), +, X X (.4) ou encore en notaton ndcelle ε jhpp u u j = + X X j Golay MMC

30 MMC.3 Condtons de compatblté A tout déplacement u on fat correspondre une déformaton ε. On peut auss se poser le problème nverse. Ce problème est dt problème de compatblté géométrque d un champ de déformaton, ou encore problème d ntégrablté d un champ de déformaton. Les condtons de compatblté peuvent être étables dans le cas général, cependant nous ne les établrons que dans le cas des pettes perturbatons. Décomposons mantenant le gradent des déplacements en une parte symétrque ε et une parte antsymétrque ω. On a u ( X, t ) = ε( X, t ) + ω( X, t ) X T u u j ( ) u u ω = X t ( X t) ω j,, = X X X X j ω = ε ε j, k k, j jk, sot en dérvant une nouvelle fos ω = ω, j, k, l dans{,, 3} j, kl j, lk ou encore, j, k, l ε + ε ε ε = j, kl kl, j k, jl jl, k (.5) permutaton crculare Sx équatons ε = ε + ε +,,, ε + ε ε ε + permutaton crculare 3, 3 3, 3, 33 33, Récproquement, s ε vérfe (.5), alors les formes dfférentelles = dx j k, j jk, k dω ε ε sont exactes; elles permettent donc de construre le champ ω de tenseur antsymétrque. On vérfe ensute que les formes dfférentelles du = ω ε dx + k k k sont exactes, d où la possblté de construre un champ de déplacement u( X, t) défn dans Ω. 3 Transport, dérvées partculares 3. Transport d un volume Sot dω un élément de volume de la confguraton de référence, défn par tros vecteurs dx, dx, dx 3. Par la transformaton, ces tros vecteurs se transportent en tros vecteurs dx, dx, dx qu défnssent dans la 3 confguraton actuelle un volume dω. Golay MMC - 3 -

31 Cnématque dx dx 3 dω 3 dx dω dx dx dx Fgure 4 : Transport d un élément de volume Le volume dω est représenté par le produt mxte des vecteurs dx, dx, dx 3 : donc dω = dx dx dx dω =ε Or, d après (.) dω =ε et, d après (.9) donc en défntve ( ) 3 dx dx dx jk j k 3 F F F dx dx dx jk jp kq r p q 3r dω = ε det( F) dx dx dx = det( F) dx dx dx ( ) pqr p q 3r 3 dω = Det( F) dω (.6) 3. Transport d une surface orentée Sot ds un élément de surface de la confguraton de référence de normale N. Par la transformaton, cette surface se transporte en une surface ds de normale n dans la confguraton actuelle. En consdérant un vecteur V dans la confguraton de référence qu se transporte en un vecteur v dans la confguraton actuelle, on peut défnr l élément de volume ( ds N) V qu se transporte en un élément de volume ( ds n) v. ds N ds n D après (.6) ds n v = det( F) ds N V et comme avec (.) v = FV Fgure 5 : Transport d un élément de surface T ds n FV ds = F n V = detf ds N V Golay MMC

32 MMC on obtent fnalement T ds n = det( F) F ds N (.7) 3.3 Dérvée partculare d une ntégrale de volume K( t) = k( x, t) dω Sot Ω( t), une ntégrale de volume sur le domane Ω ( t) dans la confguraton de référence. Pour en détermner la dérvée temporelle, nous devons au préalable exprmer K ( t) sur la confguraton de référence pour "passer" la dérvaton sous l ntégrale. En effectuant le changement de varable (.), et en utlsant (.6) dω = Det( F) dω = J dω on obtent K( t) = k( ϕ( X, t), t) J dω pus Ω dk dk dj = J k + dω Ω A ce stade nous devons explcter dj /. En utlsant les notatons ndcelles, et en partculer les symboles de permutaton, on a: sot or J = detf = ε ε F F F 6 dj = ε ε jk pqr jk pqr p jq kr F p t F F jq kr F ϕ ( X, t) ϕ v x v ( ( )) ( ( )) p l = = V X t v x t F lp t t X X =, =, = = t X X x X x p p p p l p l donc dj = ε ε jk pqr v F F F x l lp jq kr mas ε F F F pqr lp jq kr = ε ljk detf sot dj v v v = ε ε detf = δ detf = J jk ljk l x x x l l dj J dvv = (.8) En reportant dans l expresson de dk / dk dk = J k J dvv + d Ω Ω Golay MMC - 3 -

33 Cnématque pus en exprmant l ntégrale sur la confguraton actuelle, on obtent fnalement dk dk = k dvv + dω Ω( t) (.9) En utlsant les égaltés suvantes, dk k = + v k t dv( kv ) = v k + kdvv on peut écrre (.9) sous la forme dk k = dv ( t) ( kv + ) dω Ω t ou encore, en utlsant le théorème de la dvergence dk k = ( t) d Ω+ Ω Ω( t) kv n d Ω t Applcaton fondamentale: conservaton de la masse La masse d un système matérel qu on sut dans son mouvement reste constante. M = ρ( x, t) dω dm Ω( t) = et où ρ est la masse volumque. On a alors: dρ + ρ dvv = ρ + dv ou ( ρv) = t (.) 3.4 Dérvée partculare d une ntégrale de surface Sot K( t) = k( x, t) n dσ, une ntégrale de volume sur le domane Σ ( t) dans la confguraton de Σ( t) référence. Pour en détermner la dérvée temporelle, nous devons au préalable exprmer K ( t ) sur la confguraton de référence pour "passer" la dérvaton sous l ntégrale. En effectuant le changement de varable (.), et en utlsant (.7) on obtent T dσ n = det( F) F dσ N T K( t) = k ( X, t), t J F dσ N ( ϕ ) Σ pus T = J F N k J F N + dσ T dk dk d Σ T on dot donc calculer df / df df df df F F = I F + F = = F F Golay MMC

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