Mécanique des Milieux Continus
|
|
- Édouard David
- il y a 9 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Mécanque des Mleux Contnus Golay Frédérc SEATECH
2 MMC Golay MMC - -
3 Ce cours de mécanque des mleux contnus est à la base de l ensegnement de mécanque à SEATECH. Les notons abordées c, transport de champs, los de conservaton,..., seront reprses ultéreurement en mécanque des soldes et mécanque des fludes. Dans une premère parte, nous aborderons les notatons tensorelles et vectorelles ndspensables à toute étude scentfque, pus dans une deuxème parte, nous étuderons la cnématque des mleux contnus. Après avor ntrodut la modélsaton des efforts et les los de conservaton par le prncpe des pussances vrtuelles, nous applquerons ces los de conservaton aux los de comportement de l élastcté lnéare (en mécanque des soldes) et aux los de comportement des fludes newtonens (en mécanque des fludes) Golay MMC
4 MMC Golay MMC - 4 -
5 Sommare TABLE DES MATIERES Notatons tensorelles... 9 Vecteurs et tenseurs Notatons Changement de repère... Permutatons et détermnants Les symboles de permutaton Détermnant d une matrce Polynôme caractérstque Adjont d un tenseur antsymétrque Calcul vectorel et analyse vectorelle Calcul vectorel Analyse vectorelle Transformaton d ntégrales Formules essentelles en Mécanque des Mleux Contnus Coordonnées cartésennes orthonormées Coordonnées cylndrques Coordonnées sphérques Comment retrouver les formules... 5 A retenr... 3 CINEMATIQUE... 5 Le mouvement et ses représentatons Confguraton Varables de Lagrange et varables d Euler Dérvées partculares... 6 Déformaton d un mleux contnu Noton de déformaton Tenseur des déformatons Condtons de compatblté Transport, dérvées partculares Transport d un volume Transport d une surface orentée Dérvée partculare d une ntégrale de volume Dérvée partculare d une ntégrale de surface A retenr EFFORTS DANS LES MILIEUX CONTINUS Golay MMC
6 MMC Défntons Forces Vecteur-contrante et tenseur des contrantes Equlbre Le Prncpe des Pussances Vrtuelles (German 97) Pussance vrtuelle des efforts ntéreurs Pussance vrtuelle des efforts extéreurs Applcaton du Prncpe des Pussances Vrtuelles Equlbre Autre présentaton: Prncpe fondamental de la dynamque Quelques proprétés du tenseur des contrantes Symétre du tenseur des contrantes Contrante normale et contrante tangentelle Drectons prncpales, contrantes prncpales Invarants Cercles de Mohr Exemples de tenseur des contrantes Tenseur unaxal Tenseur sphérque A retenr ELASTICITE Approche expérmentale: essa de tracton Lo de comportement élastque lnéare (en HPP) Forme générale Matérau élastque homogène sotrope Matérau élastque homogène orthotrope Matérau élastque homogène sotrope transverse Caractérstques de quelques matéraux Crtères de lmte d élastcté Le problème d élastcté Ecrture générale Formulaton en déplacement Formulaton en contrante Théorème de superposton Elastcté plane Thermoélastcté A retenr INTRODUCTION A LA MECANIQUE DES FLUIDES Lo de comportement Flude Newtonen Flude ncompressble Flude non-vsqueux Flude au repos... 6 Golay MMC - 6 -
7 Sommare Conservaton de la masse Equaton du mouvement A retenr... 6 Bblographe Annexes: Rappels de mécanques des soldes rgdes Cnématques du solde Descrpton du mouvement Composton des mouvements Cnétque Défntons Eléments de cnétque Cnétque du solde rgde Equatons fondamentales de la mécanque des soldes Torseur assocé aux efforts externes Lo fondamentale de la dynamque Golay MMC
8 MMC Golay MMC - 8 -
9 Notatons tensorelles NOTATIONS TENSORIELLES Vecteurs et tenseurs Avertssement: L objectf de ce chaptre, est de famlarser les étudants avec les notatons tensorelles. Afn d en smplfer le contenu, nous ne consdérerons que des bases orthonormées.. Notatons.. Vecteur Dans un espace euclden ξ à tros dmensons, sot e, e, e 3 une base orthonormée. Un vecteur V est représenté par ses composantes V, V, V 3 3 V = Ve + Ve + Ve = Ve 3 3 = En utlsant la conventon de sommaton, ou conventon d Ensten, on écrt V = Ve (.) (.) où, chaque fos qu un ndce est répété, l convent de fare varer cet ndce de à 3 et de fare la somme. Dans l expresson () l ndce est un "ndce muet". En notaton matrcelle on écrra parfos V V = V = V { } et le vecteur transposé V 3 T V = = = T { V} V V V V 3 (.3) (.4).. Applcaton lnéare deξ dans ξ Sot A une applcaton lnéare, dans la base e, e, e. Cette applcaton est représentée par une matrce 3x3 3 notée A : A A A 3 A A A 3 A A A S W est un vecteur tel que W = AV, alors les composantes de W sont données par W = A V + A V + A V 3 3 W = A V + A V + A V 3 3 W = A V + A V + A V et en utlsant les conventons de sommaton où j est un ndce muet Golay MMC
10 MMC W = AV j j et en notaton vectorelle { W} A { V} = On défnt les symboles de Kronecker par (.5) δ j s = j = s j (.6) En partculer l applcaton dentté est représentée par la matrce δ δ δ 3 δ δ δ 3 δ δ δ = La composton de deux applcatons lnéares se tradut par le produt de leur matrce représentatve, c est-àdre C = AB ou encore C = A B et en notaton ndcelle C j = A B k kj (.7)..3 Formes blnéares Sot A une forme blnéare sur ξ, c est-à-dre une applcaton blnéare de ξ ξ dans R. Dans la base e, e, e 3 elle est représentée par une matrce A telle que j A V W (, ) = AVW j j ou en notaton matrcelle AV, W = V A W ( ) { } En partculer, la forme blnéare représentée dans toute base par les symboles de Kronecker est le produt scalare. S ( e, e, e ) est une base orthonormée, alors 3 e e = δ j j et le produt scalare de deux vecteurs est donné par V W = Ve We = VW e e = δvw = VW ou en notaton matrcelle V W = V W { } j j j j j j (.8)..4 Tenseurs..4. Tenseur du second ordre Un tenseur du second ordre T est un opérateur lnéare qu fat correspondre à tout vecteur V de l espace euclden un vecteur W de ce même espace. Golay MMC - -
11 Notatons tensorelles W = T V ( ) Cet opérateur peut être représenté par une matrce 3x3, notée T ou T ou T, telle que W = TV j j ou en notaton matrcelle ou { W} T { V} = W = TV * Un tenseur est dt symétrque s T = T j j * Un tenseur est dt antsymétrque s T = T j j * Un tenseur est dt sotrope s T = tδ j j * On peut toujours décomposer un tenseur en une parte symétrque et antsymétrque S A T = T + T ou T = T + T S A j j j T avec = + ( T T ) S j j j et T = ( T T ) A j j j..4. Tenseur d ordre supéreur On peut défnr un vecteur V par ses composantes V, ou par les coeffcents de la forme lnéare X X V = XV, car la base chose est orthonormée (vor les notons de vecteurs covarants et contravarants). On peut alors consdérer le vecteur comme un tenseur du premer ordre. De même, une foncton scalare peut être consdérée comme un tenseur d ordre zéro. Un tenseur du trosème ordre S est un opérateur lnéare qu, à tout vecteur Z fat correspondre un tenseur du second ordre T. T = S ( Z) ouencore T = S Z j jk k..4.3 Produt tensorel On défnt le produt tensorel du vecteur U par le vecteur V, noté U V, comme le tenseur d ordre deux, défn par la forme blnéare qu aux vecteurs X U X V Y et Y fat correspondre ( )( ) Les 9 produts tensorels e e défnssent une base de l espace vectorel des tenseurs d ordre deux, s ben j que l on peut écrre un tenseur T comme T T e = e j j ou encore, par exemple, - - Golay MMC
12 MMC u v uv uv u v = uve e = uv uv uv j j 3 3 u v u v u v Contracton et produt contracté Sot le produt tensorel A B C, on appelle contracton, l opératon qu lu fat correspondre le vecteur A( B C). Le produt contracté d un tenseur d ordre 4 R et d un tenseur d ordre 3 S est défn par le tenseur d ordre 5 R S = R e e e e S e e e = R S e e e e e ( ) ( ) jkl j k l pqr p q r jkm mqr j k q r Le produt doublement contracté d un tenseur d ordre 4 R et d un tenseur d ordre 3 S est défn par le tenseur d ordre 3 R : S = R e e e e : S e e e = R S e e e ( ) ( ) jkl j k l pqr p q r jnm mnr j r Par exemple, le produt doublement contracté de deux tenseurs d ordre T et T est le scalare T : T = T e e : e e = TT ( ) ( T pq ) j j p a j j. Changement de repère.. Matrce de passage Sot e, e, e une base orthonormée et e, e, e une autre base orthonormée. 3 3 On défnt la matrce de passage Q telle que: e = Q e + Q e + Q e 3 3 e = Q e + Q e + Q e 3 3 e = Q e + Q e + Q e ou encore, en notatons ndcelles e = Q e j j et en notaton matrcelle = { e } Q { e} Les deux bases étant orthonormées, on dot avor δ = e e = Q e Q e = Q Qδ = Q Q j j k k jl l k jl kl k jk ce qu montre que la matrce nverse de Q est e = Q e j j T Q. En partculer on tre la relaton nverse:.. Vecteurs Sot V un vecteur de composantes V dans la base e, e, e et V dans la base e, e, e. 3 3 V Ve = = Ve Golay MMC - -
13 Notatons tensorelles En utlsant la matrce de passage V Ve = = VQ e sot k k V = VQ et V = VQ k k k k ou encore, en notaton matrcelle V Q V et V Q T = = V { } { } { } { } Remarque: le produt scalare est un nvarant, c est à dre que cette foncton est ndépendante du repère chos. En notaton ndcelle V. W = VW = VQ WQ = δvw = VW = VW. et en notaton matrcelle k k k j kj j j T V. W = V { W } = Q { V} Q { W } T = V Q Q { W} = V { W} = VW...3 Applcaton lnéare Sot A une applcaton lnéare, de composantes A dans la base e, e, e. et A dans la base e, e, e. j 3 j 3 En notaton ndcelle d où W = AV = Q W = Q A V = Q A Q V k k j j j jm m j jm km k A = Q A Q k j jm km et en notaton matrcelle W A V Q W Q A V Q A Q T = = = = V sot { } { } { } { } { } A = Q A Q T..4 Forme blnéare Sot A une applcaton lnéare, de composantes A dans la base e, e, e. et A dans la base e, e, e. j 3 j 3 AV (, W) = AVW = AVW = AQ VQ W j j j j j k k mj m sot A = AQ Q km j k mj et en notaton matrcelle AV (, W ) = V A { W} V A = { W } = T T T T Q V A Q W = V Q A Q W { } { } { } Golay MMC
14 MMC sot A = Q A Q T..5 Tenseur d ordre Sot T un tenseur d ordre, en notaton ndcelle pus T = T e e = T e e = TQ e Q e = TQ Q e e km j j j j j k k mj m j k mj k m T = T Q Q j k mj Permutatons et détermnants. Les symboles de permutaton On ntrodut les symboles de permutaton ε jk + s, j, k est une permutaton pare de,, 3 = s, j, k est une permutaton mpare de,, 3 s deux ndces sont répétés Ces symboles représentent le produt mxte des vecteurs de base ( e, e, e ) ε = jk j k ε sont les composantes d un tenseur du trosème ordre, qu représente, par exemple, la forme trlnéare jk produt mxte: U, V, W =ε UVW ( ) jk j k Avec un peu de patence on peut démontrer les résultats suvants δ δ δ ε ε Det = δ δ δ δ δ δ ε ε = δ δ δ δ jk mn jm kn jn km ε ε = δ jk jn km ε ε = 6 jk jk l m n jk lmn jl jm jn kl km kn. Détermnant d une matrce Les symboles de permutaton permettent le calcul du détermnant d une matrce par ou encore ε Det( A) = ε jk A A A mnp m jn kp (.9) Det( A) = ε ε 6 A A A jk mnp m jn kp On peut également détermner l nverse d une matrce Golay MMC - 4 -
15 Notatons tensorelles B = A et B = Det( A) ε ε A A j mn jpq mp nq.3 Polynôme caractérstque Les valeurs propres d un tenseur du second ordre sont obtenues par la résoluton de l équaton caractérstque sot en développant P( λ) = Det( A λi ) ou encore ε ε ( A λδ )( A λδ )( A λδ ) = jk mnp m m jn jn kp kp 6 P( λ) = I λi + λ I λ 3 3 avec I ε ε A A A Det( A) 3 jk mnp m jn kp = 6 = I = A A A A = ( Tr A ) Tr A I = A = Tr A jj j j I, I, I sont appelés les nvarants fondamentaux du tenseur A. 3.4 Adjont d un tenseur antsymétrque Sot Ω un tenseur antsymétrque Ω = Ω Ω Ω Ω Ω Ω 3 on peut également lu assocer le vecteur sot ω Ω 3 3 ω 3 Ω ω = ω = Ω ω ω 3 Ω = ω ω 3 ω ω Le vecteur ω est le vecteur adjont du tenseur antsymétrque Ω. En notaton ndcelle on a: Ω = ε ω j jk k ω = ε Ω jk jk (.) Golay MMC
16 MMC 3 Calcul vectorel et analyse vectorelle 3. Calcul vectorel Le produt vectorel c = a b s écrt en notaton ndcelle ce =ε a be jk j k On peut montrer que ( a b) c = ( a c) b ( b c) a a b c d = a c b d a d b c ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 3. Analyse vectorelle On note d une vrgule la dérvée partelle, sot exprmés dans un repère cartésen orthonormé., =. Les opérateurs exposés dans cette parte seront x * Sot f une foncton scalare Le gradent d une foncton scalare est un vecteur f x f grad f = f = f e =, x f x 3 Le laplacen d une foncton scalare est un scalare * Sot v un vecteur f f f f = f = + +, x x x 3 La dvergence d un vecteur est un scalare v v v Dv v = v = + +, x x x 3 3 Le rotatonnel d un vecteur est un vecteur v v 3 x x 3 v v 3 rot v = v = ε v e = jk k, j x x 3 v v x x Le gradent d un vecteur est une matrce Golay MMC - 6 -
17 Notatons tensorelles v v v x x x 3 v v v v = v e e =, j j x x x 3 Le laplacen d un vecteur est un vecteur v v v x x x 3 v v v + + x x x 3 v v v v v = v e = v, jj + + = x x x 3 v 3 v v v x x x 3 * Sot T un tenseur du second ordre La dvergence d un tenseur est un vecteur T T T + + x x x T T T DvT = T e = j, j + + x x x T T T + + x x x * Quelques formules utles Dv( f a) = f Dva + a grad f Dv( a b) = b rota a rotb Dv( rota) = rot ( grad f) = grad( f g) = f gradg + ggrad f rot ( f a) = f rota + grad f a Dv( grad f) = f rot rot a = grad Dv a a ( ) ( ) 3.3 Transformaton d ntégrales Sot Ω un domane borné et Ω sa frontère, de normale n. Sot φ une foncton scalare, alors φ n ds = gradφ dv Ω Sot A un vecteur, alors A n ds = Ω Ω Dv( A) dv Ω Golay MMC
18 MMC Sot T un tenseur, alors T n ds = Ω Ω DvT ( ) dv Sot Ω un domane plan de normale n, de frontère Γ. Sot U un vecteur défn sur ce domane. S τ est le vecteur untare tangent à Γ, alors rotu ( ) n ds = U τ dl Ω Tous ces résultats sont ssus du théorème de la dvergence t n ds = t dv Ω jkl l Ω jkl, l Γ 4 Formules essentelles en Mécanque des Mleux Contnus 4. Coordonnées cartésennes orthonormées OM = xe + ye + ze x y z * Sot v = v e + v e + v e x x y y z z un vecteur, alors et v v v x x x x y z v v v v y y y ( v) = v = e e = v e e = j, j j x x y z j v v v z z z x y z v v v v dvv = = v = Tr( grad( v) ) = v : I = + + x x y z x y z, v = = = = + + ( ( )) v dv v e v e v e v e ve, jj x x y y z z x x j j * Sot f une foncton scalare, alors et f x f f grad( f ) = f = e = f e =, y x f z f f f f f = dv( grad( f )) = = f = + +, jj x x x y z j j xx xy xz j j yx yy yz T T T zx zy zz T T T * Sot T = T e e = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: Golay MMC - 8 -
19 Notatons tensorelles et T T xx xy T xz + + x y z T T T T j yx yy yz dv( T) = e = T e = j, j + + x x y z j T T zx zy T zz + + x y z T T T T xx xy xz j T = e e = T e e = T T T j j, kk j yx yy yz x x k k T T T zx zy zz 4. Coordonnées cylndrques OM OM OM OM = re + ze et = e, = e, = e r z r θ z r r θ z d( OM) = edr + rdθe + e dz r θ z e e e r θ z =, =, = r r r e e e r θ z = e, = e, = θ r θ θ θ e e e r θ z =, =, = z z z * Sot v = ve + v e + ve r r θ θ z z un vecteur, alors et v v v r r r v r r θ θ z v ( ) v v θ θ θ grad v = v = + vr r r θ z vz v v z z r r θ z r r z dv v Tr ( ( v) ) v I v v v v θ = = : = r r r θ z v v v v ( ) r r v dv v θ v θ e v = = e v e θ r θ r r θ r r r θ z z * Sot f une foncton scalare, alors f f f grad( f ) = f = e + e + e r θ z r r θ z et f f f f f = dv( f) = r r r r θ z Golay MMC
20 MMC * Sot T T T T rr rθ rz θr θθ θz T T T zr zθ zz = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: Trr T T T T rθ rz rr r r θ z r T T T T θr θθ θz rθ dv( T) = r r θ z r Tzr T T T zθ zz zr r r θ z r θθ 4.3 Coordonnées sphérques OM OM OM OM = re et = e, = e, = e r r θ r r θ rsnθ φ d( OM) = edr + rdθe + rsnθ dφe r θ φ e e e r θ φ =, =, = r r r e e r θ e φ = e, = e, = θ r θ θ θ e e e r θ φ = snθe, = cosθe, = snθe cosθe φ φ r θ φ φ φ Sot v = v e + v e + v e un vecteur, alors r r θ θ φ φ φ et v v r r v r v v θ φ r r θ r snθ φ v v v θ θ grad( v) v θ = = v + cotgθv r r r θ r snθ φ v φ r φ v v φ φ + cotgθv + v θ r r θ r snθ φ v v r r v v v θ φ θ dvv = v : I = cotgθ r r r θ r snθ φ r (sn θv ) v φ θ v v + + r r r snθ θ snθ φ v v r cos v θ θ φ v = dv( ( v) ) = v + θ r θ sn θ sn θ φ v v v r θ φ v cotgθ + + φ r snθ φ φ snθ Golay MMC - -
21 Notatons tensorelles * Sot f une foncton scalare, alors et * Sot T f r f grad( f ) = r θ f r snθ φ f f f f f = dv( grad( f )) = + + cotgθ + r r θ r θ r sn θ φ rr rθ rφ θr θθ θφ T T T φr φθ φφ T T T = T T T un tenseur symétrque du deuxème ordre, alors: T T T rr rθ rφ cot r r θ r snθ φ r T r ( ) T T θ θθ θφ dv T = ( T T ) cotg + 3T r r θ r snθ φ r T r T T φ φθ φφ ( T cotgθ + 3 T θφ rφ) r r θ r snθ φ r 4.4 Comment retrouver les formules Nous nous plaçons par exemple en coordonnées cylndrques. On note v ve v e ve = + + = ve r r θ θ z z avec = r, θ, z et, =,, r r θ z Donc, avec cette conventon e e θ r e = et e = r, θ θθ, r r ( T T T T gθ rr θθ φφ rθ ) ( θ θθ φφ rθ) Chercher le gradent d un tenseur consste à augmenter l ordre de ce tenseur, sot ( ) = ( ) j e, j S on applque cette remarque à un vecteur, on obtent: ( v ) ( ve = ) e, j j En n oublant pas de dérver les vecteurs de base, car nous sommes dans un système de coordonnées cylndrque, v = v e e + v e e = v e e + v e e, j j, j j, j j, θ θ = v e e + v e e + v e e, j j r r, θ θ θ θθ, θ vr vθ = v e e + e e e e, j j θ θ r θ r r Pour obtenr l opérateur dvergence, l sufft de contracter doublement avec le tenseur unté d ordre, dv( ) = ( ): sot dans le cas d un vecteur: - - Golay MMC
22 MMC v v v r r r v v θ z dv( v) = ( v) : = v + = + + +, r r r r θ z et donc l opérateur Laplacen pour un scalare ϕ, r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = dv( ϕ) = ϕ + = + + +, r r r r r θ z Applquons mantenant cette méthodologe à un tenseur d ordre. ( T) = ( T e e j j ) e, k k = T e e e + T e e e + T e e e = T e e e + T e e e + T e e e j, k j k j, k j k j j, k k j, k j k j, θ j θ j j, θ θ Trj Tθj = T e e e + e e e e e e j, k j k θ j θ r j θ r r T T r θ + e e e e e e θ θ r θ r r Pour obtenr la trace de ce tenseur d ordre 3 on contracte les deux derners ndces: T T T r r dv T θ θθ = ( T) : = T e + e e + e j, j θ r r r r Trr T T T T rθ rz θθ rr = e r r r θ z r r T r T T T T θ θθ θz rθ θr e θ r r θ z r r Tzr T T T zθ zz zr e z r r θ z r On peut donc mantenant retrouver l opérateur Laplacen d un vecteur : v = dv v ( ) v v θ r v v v v + r, θ θθ, v r, θ θθ, r r, r = v e + e e + e e + e, jj θ r θ r r r r r r v v r v v θ r θ v e v = e v e r r θ θ z z r θ r r θ r Golay MMC - -
23 Notatons tensorelles 5 A retenr Conventon de sommaton : V = Ve Produts tensorels : u v uv uv u v = uve e = uv uv uv j Symboles de permutaton : j 3 3 u v u v u v ε + = ( e, e, e ) = jk j k s, j, k est une permutaton pare de,, 3 s, j, k est une permutaton mpare de,, 3 s deux ndces sont répétés Produt vectorel : c = a b =ε a b e jk j k Quelques opérateurs : Dv v = v,, rot v = v =ε v e jk k, j, v = v e e, j j, DvT = T e j, j En systèmes de coordonnées cylndrque ou sphérque, meux vaut utlser un formulare! Golay MMC
24 MMC Golay MMC - 4 -
25 Cnématque CINEMATIQUE Le mouvement et ses représentatons. Confguraton L espace physque est rapporté à un repère orthonormé drect ( O, e, e, e ). L ensemble des partcules ou 3 ponts matérels consttuant le mleu contnu étudé, occupe à chaque nstant t, un ensemble de postons dans l espace: c est la confguraton du système à l nstant t, noté Ω ( t) (d ntéreur Ω ( t) et de frontère Ω ( t) ). On ntrodut auss la noton de confguraton de référence: c est la confguraton partculère du système à un nstant t fxé. Souvent on prendra Ω = Ω (), et on parlera alors de confguraton ntale. Toute partcule M de Ω est repérée par son vecteur poston X ( t) dans la confguraton de référence. Toute partcule M de Ω ( t) est repérée par son vecteur poston x( t) dans la confguraton actuelle (à l nstant t). e Ω Φ ( X, t) e 3 e Ω M X Ω( t) Fgure : Confguratons de référence et actuelle u X t (, ) Ωt ( ) M x La poston de chaque partcule M sera donc détermnée s on connaît sa poston dans la confguraton de référence et une foncton Φ telle que: x( t) = Φ ( X, t) (.) Φ défnt le mouvement par rapport à ( O, e, e, e ). On devra donc détermner tros fonctons scalares, telles 3 que: x = Φ ( X, X, X, t) 3 x = Φ ( X, X, X, t) 3 x = Φ ( X, X, X, t) (.) Dre que le mleu est contnu, c est dre que Φ est une foncton contnue et bunvoque de X. On supposera que Φ est dfférentable. Le déplacement par rapport à la confguraton Ω, à l nstant t, de la partcule M est le vecteur u( X, t) = x( X, t) X (.3) Golay MMC
26 MMC. Varables de Lagrange et varables d Euler Une grandeur attachée à une partcule (masse volumque, vtesse,...) peut être défne, - Sot en foncton de X et t : varables de Lagrange - Sot en foncton de x et t : varables d Euler Le vecteur vtesse d une partcule M est défn par dom Φ ( X, t) V( X, t) = = t Le vecteur accélératon d une partcule M est défn par dv ( X, t) Φ ( X, t) Γ ( X, t) = = t (.4) (.5).. Trajectore On appelle trajectore d une partcule, la courbe géométrque leu des postons occupées par cette partcule au x( t) = Φ X, t est une représentaton paramétrée en temps de la trajectore. Par défnton cours du temps. ( ) de la vtesse, dom dx dx dx V( x, t) = = e + e + e 3 3 les trajectores peuvent être obtenues par la résoluton des tros équatons dx dx dx 3 = = = V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) (.6) Lgnes de courant A un nstant donné, on appelle lgnes de courant du mouvement, les lgnes qu sont en tout pont tangentes au vecteur vtesse de la partcule stuée en ce pont. Sot pour t fxé, deux équatons: dx dx dx 3 = = V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) V ( x, x, x, t) (.7) Remarque: Pour un mouvement statonnare (ou permanent) V( x, t) = V( x). Les lgnes de courant et les trajectores sont confondues..3 Dérvées partculares.3. Défnton Lorsque l on sut une partcule dans son mouvement, la grandeur A attachée à la partcule ne dépend que de t. Par défnton, on appelle dérvée partculare de A à l nstant t, la dérvée de A par rapport à la seule varable t. En varables de Lagrange: A = A( X, t) da A ( X, t) = ( X, t) t En varables d Euler: A = A( x, t) (.8) Golay MMC - 6 -
27 Cnématque A A dax (, t) = ( x, t) + ( x, t) dx t xj da A A dxj ( x, t) = ( x, t) + ( x, t) t x j da A A ( x, t) = ( x, t) + ( x, tv ) j t x j j ou encore da A = + ( V ) A t.3. Applcaton à l accélératon dv ( x, t) V Γ ( x, t) = = + ( V ) V t que l on peut également écrre V Γ ( x, t) = + V + rotv V t (.9) (.) Déformaton d un mleux contnu. Noton de déformaton On dra qu un mleu contnu en mouvement subt des déformatons s les dstances relatves des ponts matérels varent au cours du temps. En dfférencant (.), on obtent: Φ dx( t) = Φ dx dxe = dx e j X j On note F l applcaton lnéare qu fat passer de l espace vectorel dans lequel peut varer dx dans l espace vectorel où vare a pror dx. Cette applcaton lnéare, appelée tenseur gradent ou applcaton lnéare tangente, permet donc le passage de la confguraton Ω à la confguraton Ω ( t). e 3 e Ω dx Ω F Ωt ( ) Ωt ( ) M dx e M Fgure : Applcaton lnéare tangente En notaton ndcelle, F j x x x X X X 3 Φ x x x x = = sot F = X X X X X j j 3 x x x X X X 3 (.) Golay MMC
28 MMC. Tenseur des déformatons.. Défnton Le tenseur gradent décrt la transformaton locale au vosnage d une partcule donnée. Afn de rendre compte des déformatons, c est à dre des changements de forme autour de cette partcule, on s ntéresse à l évoluton du produt scalare de deux vecteurs matérels prs respectvement dans les deux confguratons Ω et Ω ( t). Consdérons tros partcules vosnes X, X + dx, X + dx. Après déformatons, elles occupent dans Ω ( t) les postons respectves x, x + dx, x + dx. e 3 e Ω dx Ω dx Ωt ( ) dx M dx Ω( t) e M Fgure 3 : Noton de déformaton x k k dx dx F( X t) dx F( X t) dx dx x =,, = dx j X X j d où sa varaton autour de la transformaton x x k k dx dx dx dx = δ dxdx F F δ dxdx j = j k kj j j X X j sot dx dx dx dx = dxεdx en posant T ε = F ( X, t) F( X, t) (.) L applcaton lnéare ε est appelée tenseur des déformatons. Cette applcaton est symétrque mas dépend ben sûr de la base( O, e, e, e ) ntalement chose. 3.. Remarques * S l n y a pas de déformatons, alors ε = (et nversement). * T C = F F est appelé le tenseur des dlatatons. Ce tenseur est symétrque. On peut démontrer: Théorème : Les valeurs propres de C sont strctement postves. Théorème : Det F > t Théorème 3: ε est symétrque et possède les mêmes vecteurs propres que C. * Varaton de longueur Sot dx = dx = dl e x et dx = dl, alors Golay MMC - 8 -
29 Cnématque dx dx dx dx dl dl dx ε dx = = = dl ε xx ou encore, s les déformatons sont pettes dl dl dl = + ε + ε ε dl dl xx xx xx ε représente au premer ordre la varaton de longueur dans la drecton x. xx * Varaton d angle Sot dx = dl e x, dx = dl e y, alors ou encore, dx dx dx dx = dldl = dx dx = dl ε = cosθ + ε + ε xy xx yy cosθ ε ε xy donc ε représente au premer ordre la varaton d angle entre les drectons x et y. xy..3 Autre écrture D après (.3) et (.) sot x u F( X, t) = ( X, t) = + ( X, t) X X T T u ( ) u u ( ) u ε = X t X t ( X t) ( X t), +, +,, X X X X (.3) ou encore en notaton ndcelle ε j u u j u u k k = + + X X X X j j..4 Cas des pettes perturbatons Cette hypothèse correspond au cas où u( X, t) u et ( X, t ) X sont petts. En reprenant () et en ne retenant que les termes d ordre, on obtent: ε HPP T u ( X t) u = ( X t), +, X X (.4) ou encore en notaton ndcelle ε jhpp u u j = + X X j Golay MMC
30 MMC.3 Condtons de compatblté A tout déplacement u on fat correspondre une déformaton ε. On peut auss se poser le problème nverse. Ce problème est dt problème de compatblté géométrque d un champ de déformaton, ou encore problème d ntégrablté d un champ de déformaton. Les condtons de compatblté peuvent être étables dans le cas général, cependant nous ne les établrons que dans le cas des pettes perturbatons. Décomposons mantenant le gradent des déplacements en une parte symétrque ε et une parte antsymétrque ω. On a u ( X, t ) = ε( X, t ) + ω( X, t ) X T u u j ( ) u u ω = X t ( X t) ω j,, = X X X X j ω = ε ε j, k k, j jk, sot en dérvant une nouvelle fos ω = ω, j, k, l dans{,, 3} j, kl j, lk ou encore, j, k, l ε + ε ε ε = j, kl kl, j k, jl jl, k (.5) permutaton crculare Sx équatons ε = ε + ε +,,, ε + ε ε ε + permutaton crculare 3, 3 3, 3, 33 33, Récproquement, s ε vérfe (.5), alors les formes dfférentelles = dx j k, j jk, k dω ε ε sont exactes; elles permettent donc de construre le champ ω de tenseur antsymétrque. On vérfe ensute que les formes dfférentelles du = ω ε dx + k k k sont exactes, d où la possblté de construre un champ de déplacement u( X, t) défn dans Ω. 3 Transport, dérvées partculares 3. Transport d un volume Sot dω un élément de volume de la confguraton de référence, défn par tros vecteurs dx, dx, dx 3. Par la transformaton, ces tros vecteurs se transportent en tros vecteurs dx, dx, dx qu défnssent dans la 3 confguraton actuelle un volume dω. Golay MMC - 3 -
31 Cnématque dx dx 3 dω 3 dx dω dx dx dx Fgure 4 : Transport d un élément de volume Le volume dω est représenté par le produt mxte des vecteurs dx, dx, dx 3 : donc dω = dx dx dx dω =ε Or, d après (.) dω =ε et, d après (.9) donc en défntve ( ) 3 dx dx dx jk j k 3 F F F dx dx dx jk jp kq r p q 3r dω = ε det( F) dx dx dx = det( F) dx dx dx ( ) pqr p q 3r 3 dω = Det( F) dω (.6) 3. Transport d une surface orentée Sot ds un élément de surface de la confguraton de référence de normale N. Par la transformaton, cette surface se transporte en une surface ds de normale n dans la confguraton actuelle. En consdérant un vecteur V dans la confguraton de référence qu se transporte en un vecteur v dans la confguraton actuelle, on peut défnr l élément de volume ( ds N) V qu se transporte en un élément de volume ( ds n) v. ds N ds n D après (.6) ds n v = det( F) ds N V et comme avec (.) v = FV Fgure 5 : Transport d un élément de surface T ds n FV ds = F n V = detf ds N V Golay MMC
32 MMC on obtent fnalement T ds n = det( F) F ds N (.7) 3.3 Dérvée partculare d une ntégrale de volume K( t) = k( x, t) dω Sot Ω( t), une ntégrale de volume sur le domane Ω ( t) dans la confguraton de référence. Pour en détermner la dérvée temporelle, nous devons au préalable exprmer K ( t) sur la confguraton de référence pour "passer" la dérvaton sous l ntégrale. En effectuant le changement de varable (.), et en utlsant (.6) dω = Det( F) dω = J dω on obtent K( t) = k( ϕ( X, t), t) J dω pus Ω dk dk dj = J k + dω Ω A ce stade nous devons explcter dj /. En utlsant les notatons ndcelles, et en partculer les symboles de permutaton, on a: sot or J = detf = ε ε F F F 6 dj = ε ε jk pqr jk pqr p jq kr F p t F F jq kr F ϕ ( X, t) ϕ v x v ( ( )) ( ( )) p l = = V X t v x t F lp t t X X =, =, = = t X X x X x p p p p l p l donc dj = ε ε jk pqr v F F F x l lp jq kr mas ε F F F pqr lp jq kr = ε ljk detf sot dj v v v = ε ε detf = δ detf = J jk ljk l x x x l l dj J dvv = (.8) En reportant dans l expresson de dk / dk dk = J k J dvv + d Ω Ω Golay MMC - 3 -
33 Cnématque pus en exprmant l ntégrale sur la confguraton actuelle, on obtent fnalement dk dk = k dvv + dω Ω( t) (.9) En utlsant les égaltés suvantes, dk k = + v k t dv( kv ) = v k + kdvv on peut écrre (.9) sous la forme dk k = dv ( t) ( kv + ) dω Ω t ou encore, en utlsant le théorème de la dvergence dk k = ( t) d Ω+ Ω Ω( t) kv n d Ω t Applcaton fondamentale: conservaton de la masse La masse d un système matérel qu on sut dans son mouvement reste constante. M = ρ( x, t) dω dm Ω( t) = et où ρ est la masse volumque. On a alors: dρ + ρ dvv = ρ + dv ou ( ρv) = t (.) 3.4 Dérvée partculare d une ntégrale de surface Sot K( t) = k( x, t) n dσ, une ntégrale de volume sur le domane Σ ( t) dans la confguraton de Σ( t) référence. Pour en détermner la dérvée temporelle, nous devons au préalable exprmer K ( t ) sur la confguraton de référence pour "passer" la dérvaton sous l ntégrale. En effectuant le changement de varable (.), et en utlsant (.7) on obtent T dσ n = det( F) F dσ N T K( t) = k ( X, t), t J F dσ N ( ϕ ) Σ pus T = J F N k J F N + dσ T dk dk d Σ T on dot donc calculer df / df df df df F F = I F + F = = F F Golay MMC
Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle. Energie électromagnétique
Spécale PSI - Cours "Electromagnétsme" 1 Inducton électromagnétque Chaptre IV : Inductance propre, nductance mutuelle. Energe électromagnétque Objectfs: Coecents d nductance propre L et mutuelle M Blan
Plus en détailCHAPITRE DEUX : FORMALISME GEOMETRIQUE
CHPITRE DEUX FORMLISME GEOMETRIQUE. CHPITRE DEUX : FORMLISME GEOMETRIQUE verson.3, -8 I. GEOMETRIE DNS L ESPCE-TEMPS ) Prncpe de relatvté Le prncpe de relatvté peut s exprmer ans : toutes les los physques
Plus en détailExercices d Électrocinétique
ercces d Électrocnétque Intensté et densté de courant -1.1 Vtesse des porteurs de charges : On dssout une masse m = 20g de chlorure de sodum NaCl dans un bac électrolytque de longueur l = 20cm et de secton
Plus en détailQ x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2
Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes
Plus en détailMontage émetteur commun
tour au menu ontage émetteur commun Polarsaton d un transstor. ôle de la polarsaton La polarsaton a pour rôle de placer le pont de fonctonnement du transstor dans une zone où ses caractérstques sont lnéares.
Plus en détailRemboursement d un emprunt par annuités constantes
Sére STG Journées de formaton Janver 2006 Remboursement d un emprunt par annutés constantes Le prncpe Utlsaton du tableur Un emprunteur s adresse à un prêteur pour obtenr une somme d argent (la dette)
Plus en détailGénéralités sur les fonctions 1ES
Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note :
Plus en détailLes jeunes économistes
Chaptre1 : les ntérêts smples 1. défnton et calcul pratque : Défnton : Dans le cas de l ntérêt smple, le captal reste nvarable pendant toute la durée du prêt. L emprunteur dot verser, à la fn de chaque
Plus en détailFiche n 7 : Vérification du débit et de la vitesse par la méthode de traçage
Fche n 7 : Vérfcaton du débt et de la vtesse par la méthode de traçage 1. PRINCIPE La méthode de traçage permet de calculer le débt d un écoulement ndépendamment des mesurages de hauteur et de vtesse.
Plus en détailMesure avec une règle
Mesure avec une règle par Matheu ROUAUD Professeur de Scences Physques en prépa, Dplômé en Physque Théorque. Lycée Alan-Fourner 8000 Bourges ecrre@ncerttudes.fr RÉSUMÉ La mesure d'une grandeur par un système
Plus en détailDynamique du point matériel
Chaptre III Dynaqe d pont atérel I Généraltés La cnéatqe a por objet l étde des oveents des corps en foncton d teps, sans tenr copte des cases q les provoqent La dynaqe est la scence q étde (o déterne)
Plus en détail1 Introduction. 2 Définitions des sources de tension et de courant : Cours. Date : A2 Analyser le système Conversion statique de l énergie. 2 h.
A2 Analyser le système Converson statque de l énerge Date : Nom : Cours 2 h 1 Introducton Un ConVertsseur Statque d énerge (CVS) est un montage utlsant des nterrupteurs à semconducteurs permettant par
Plus en détailGrandeur physique, chiffres significatifs
Grandeur physque, chffres sgnfcatfs I) Donner le résultat d une mesure en correspondance avec l nstrument utlsé : S avec un nstrument, ren n est ndqué sur l ncerttude absolue X d une mesure X, on consdère
Plus en détailPlan. Gestion des stocks. Les opérations de gestions des stocks. Les opérations de gestions des stocks
Plan Geston des stocks Abdellah El Fallah Ensa de Tétouan 2011 Les opératons de gestons des stocks Les coûts assocés à la geston des stocks Le rôle des stocks Modèle de la quantté économque Geston calendare
Plus en détailAssurance maladie et aléa de moralité ex-ante : L incidence de l hétérogénéité de la perte sanitaire
Assurance malade et aléa de moralté ex-ante : L ncdence de l hétérogénété de la perte santare Davd Alary 1 et Franck Ben 2 Cet artcle examne l ncdence de l hétérogénété de la perte santare sur les contrats
Plus en détailSTATISTIQUE AVEC EXCEL
STATISTIQUE AVEC EXCEL Excel offre d nnombrables possbltés de recuellr des données statstques, de les classer, de les analyser et de les représenter graphquement. Ce sont prncpalement les tros éléments
Plus en détailREPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE. MEMOIRE Présentée à
REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE MEMOIRE Présentée à L Unversté de Batna Faculté des Scences Département de Physque
Plus en détailTD 1. Statistiques à une variable.
Danel Abécasss. Année unverstare 2010/2011 Prépa-L1 TD de bostatstques. Exercce 1. On consdère la sére suvante : TD 1. Statstques à une varable. 1. Calculer la moyenne et l écart type. 2. Calculer la médane
Plus en détailTHESE. Khalid LEKOUCH
N d ordre : /2012 THESE Présentée à la FACULTE DES SCIENCES D AGADIR En vue de l obtenton du GRADE DE DOCTEUR EN PHYSIQUE (Spécalté : Energétque, Thermque et Métrologe) Par Khald LEKOUCH MODELISATION ET
Plus en détailThermodynamique statistique Master Chimie Université d Aix-Marseille. Bogdan Kuchta
hermodynamque statstque Master Chme Unversté d Ax-Marselle Bogdan Kuchta Plan: Rappel: thermodynamque phénoménologque (dscuter l entrope, l évoluton de gaz parfat,) Premer prncpe Deuxème prncpe (transformaton
Plus en détailCalculer le coût amorti d une obligation sur chaque exercice et présenter les écritures dans les comptes individuels de la société Plumeria.
1 CAS nédt d applcaton sur les normes IAS/IFRS Coût amort sur oblgatons à taux varable ou révsable La socété Plumera présente ses comptes annuels dans le référentel IFRS. Elle détent dans son portefeulle
Plus en détailContrats prévoyance des TNS : Clarifier les règles pour sécuriser les prestations
Contrats prévoyance des TNS : Clarfer les règles pour sécurser les prestatons Résumé de notre proposton : A - Amélorer l nformaton des souscrpteurs B Prévor plus de souplesse dans l apprécaton des revenus
Plus en détailCorrections adiabatiques et nonadiabatiques dans les systèmes diatomiques par calculs ab-initio
Correctons adabatques et nonadabatques dans les systèmes datomques par calculs ab-nto Compte rendu du traval réalsé dans le cadre d un stage de quatre mos au sen du Groupe de Spectroscope Moléculare et
Plus en détailEditions ENI. Project 2010. Collection Référence Bureautique. Extrait
Edtons ENI Project 2010 Collecton Référence Bureautque Extrat Défnton des tâches Défnton des tâches Project 2010 Sasr les tâches d'un projet Les tâches représentent le traval à accomplr pour attendre l'objectf
Plus en détailÉLÉMENTS DE THÉORIE DE L INFORMATION POUR LES COMMUNICATIONS.
ÉLÉMETS DE THÉORIE DE L IFORMATIO POUR LES COMMUICATIOS. L a théore de l nformaton est une dscplne qu s appue non seulement sur les (télé-) communcatons, mas auss sur l nformatque, la statstque, la physque
Plus en détailMEMOIRE. Présenté au département des sciences de la matière Faculté des sciences
REPUBLIQUE LERIEN DEMOCRTIQUE ET POPULIRE Mnstère de l ensegnement supéreur et de la recherche scentfque Unversté El-Hadj Lakhdar-BTN- MEMOIRE Présenté au département des scences de la matère Faculté des
Plus en détailÉconométrie. Annexes : exercices et corrigés. 5 e édition. William Greene New York University
Économétre 5 e édton Annexes : exercces et corrgés Wllam Greene New York Unversty Édton françase drgée par Dder Schlacther, IEP Pars, unversté Pars II Traducton : Stéphane Monjon, unversté Pars I Panthéon-Sorbonne
Plus en détailCONSERVATOIRE NATIONAL DES ARTS ET METIERS
ONSEVAOIE NAIONAL DES AS E MEIES ELEONIQUE ANALOGIQUE PH / ELE 4 / DU GEII ere année ------------------------- ------------------------- Dder LE UYE / Perre POVEN Janer ABLE DES MAIEES APPELS D ELEOINEIQUE...5.
Plus en détailCorrigé du problème de Mathématiques générales 2010. - Partie I - 0 0 0. 0.
Corrgé du problème de Mathématques générales 2010 - Parte I - 1(a. Sot X S A. La matrce A est un polynôme en X donc commute avec X. 1(b. On a : 0 = m A (A = m A (X n ; le polynôme m A (x n est annulateur
Plus en détailIDEI Report # 18. Transport. December 2010. Elasticités de la demande de transport ferroviaire: définitions et mesures
IDEI Report # 18 Transport December 2010 Elastctés de la demande de transport ferrovare: défntons et mesures Elastctés de la demande de transport ferrovare : Défntons et mesures Marc Ivald Toulouse School
Plus en détailINTRODUCTION. Jean-Pierre MAGNAN Chef de la section des ouvrages en terre Département des sols et fondations Laboratoire central
Etude numérque de la consoldaton undmensonnelle en tenant compte des varatons de la perméablté et de la compressblté du sol, du fluage et de la non-saturaton Jean-Perre MAGNAN Chef de la secton des ouvrages
Plus en détailBTS GPN 2EME ANNEE-MATHEMATIQUES-MATHS FINANCIERES MATHEMATIQUES FINANCIERES
MATHEMATIQUES FINANCIERES I. Concepts généraux. Le référentel précse : Cette parte du module M4 «Acquérr des outls mathématques de base nécessares à l'analyse de données économques» est en relaton avec
Plus en détailCHAPITRE 14 : RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE COMMANDE
HAITRE 4 : RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE OMMANDE RAISONNEMENT DES SYSTÈMES DE OMMANDE... 2 INTRODUTION... 22 RAELS... 22 alcul de la valeur ntale de la répone à un échelon... 22 alcul du gan tatque... 22
Plus en détailAVERTISSEMENT. Contact SCD INPL: mailto:scdinpl@inpl-nancy.fr LIENS
AVERTISSEMENT Ce document est le frut d un long traval approuvé par le jury de soutenance et ms à dsposton de l ensemble de la communauté unverstare élarge. Il est soums à la proprété ntellectuelle de
Plus en détailBUREAU D'APPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES
BUREAU DAPPLICATION DES METHODES STATISTIQUES ET INFORMATIQUES BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton à l analyse des données Samuel AMBAPOUR BAMSSI I BAMSI B.P. 13734 Brazzavlle BAMSI REPRINT 04/2003 Introducton
Plus en détailSystème solaire combiné Estimation des besoins énergétiques
Revue des Energes Renouvelables ICRESD-07 Tlemcen (007) 109 114 Système solare combné Estmaton des besons énergétques R. Kharch 1, B. Benyoucef et M. Belhamel 1 1 Centre de Développement des Energes Renouvelables
Plus en détail1.0 Probabilité vs statistique...1. 1.1 Expérience aléatoire et espace échantillonnal...1. 1.2 Événement...2
- robabltés - haptre : Introducton à la théore des probabltés.0 robablté vs statstque.... Expérence aléatore et espace échantllonnal.... Événement.... xomes défnton de probablté..... Quelques théorèmes
Plus en détailMODÈLE D ISING À UNE ET DEUX DIMENSIONS.
Chapter MODÈLE DISIG À UE ET DEUX DIMESIOS.. ITRODUCTIO. ous commençons, dans ce chaptre, létude dun problème de mécanque statstque de la matère condensée où leffet des nteractons est mportant. Le modèle
Plus en détailDirigeant de SAS : Laisser le choix du statut social
Drgeant de SAS : Lasser le chox du statut socal Résumé de notre proposton : Ouvrr le chox du statut socal du drgeant de SAS avec 2 solutons possbles : apprécer la stuaton socale des drgeants de SAS comme
Plus en détailChapitre 3 : Incertitudes CHAPITRE 3 INCERTITUDES. Lignes directrices 2006 du GIEC pour les inventaires nationaux de gaz à effet de serre 3.
Chaptre 3 : Incerttudes CHAPITRE 3 INCERTITUDES Lgnes drectrces 2006 du GIEC pour les nventares natonaux de gaz à effet de serre 3.1 Volume 1 : Orentatons générales et établssement des rapports Auteurs
Plus en détailI. Présentation générale des méthodes d estimation des projets de type «unité industrielle»
Evaluaton des projets et estmaton des coûts Le budget d un projet est un élément mportant dans l étude d un projet pusque les résultats économques auront un mpact sur la réalsaton ou non et sur la concepton
Plus en détailMÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES
MÉTHODES DE SONDAGES UTILISÉES DANS LES PROGRAMMES D ÉVALUATIONS DES ÉLÈVES Émle Garca, Maron Le Cam et Therry Rocher MENESR-DEPP, bureau de l évaluaton des élèves Cet artcle porte sur les méthodes de
Plus en détailPage 5 TABLE DES MATIÈRES
Page 5 TABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I LES POURCENTAGES 1. LES OBJECTIFS 12 2. LES DÉFINITIONS 14 1. La varaton absolue d'une grandeur 2. La varaton moyenne d'une grandeur (par unté de temps) 3. Le coeffcent
Plus en détailTerminal numérique TM 13 raccordé aux installations Integral 33
Termnal numérque TM 13 raccordé aux nstallatons Integral 33 Notce d utlsaton Vous garderez une longueur d avance. Famlarsez--vous avec votre téléphone Remarques mportantes Chaptres à lre en prorté -- Vue
Plus en détailGENESIS - Generalized System for Imputation Simulations (Système généralisé pour simuler l imputation)
GENESS - Generalzed System for mputaton Smulatons (Système généralsé pour smuler l mputaton) GENESS est un système qu permet d exécuter des smulatons en présence d mputaton. L utlsateur fournt un ensemble
Plus en détailIntegral T 3 Compact. raccordé aux installations Integral 5. Notice d utilisation
Integral T 3 Compact raccordé aux nstallatons Integral 5 Notce d utlsaton Remarques mportantes Remarques mportantes A quelle nstallaton pouvez-vous connecter votre téléphone Ce téléphone est conçu unquement
Plus en détailAVERTISSEMENT. D'autre part, toute contrefaçon, plagiat, reproduction encourt une poursuite pénale. LIENS
AVETISSEMENT Ce docuent est le frut d'un long traval approuvé par le jury de soutenance et s à dsposton de l'enseble de la counauté unverstare élarge. Il est sous à la proprété ntellectuelle de l'auteur.
Plus en détailLE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régime») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF
1 LE RÉGIME DE RETRAITE DU PERSONNEL CANADIEN DE LA CANADA-VIE (le «régme») INFORMATION IMPORTANTE CONCERNANT LE RECOURS COLLECTIF AVIS AUX RETRAITÉS ET AUX PARTICIPANTS AVEC DROITS ACQUIS DIFFÉRÉS Expédteurs
Plus en détailVIELLE Marc. CEA-IDEI Janvier 1998. 1 La nomenclature retenue 3. 2 Vue d ensemble du modèle 4
GEMINI-E3 XL France Un outl destné à l étude des mpacts ndustrels de poltques énergétques et envronnementales VIELLE Marc CEA-IDEI Janver 1998 I LA STRUCTURE DU MODELE GEMINI-E3 XL FRANCE 3 1 La nomenclature
Plus en détailLa théorie classique de l information. 1 ère partie : le point de vue de Kolmogorov.
La théore classque de l nformaton. ère parte : le pont de vue de Kolmogorov. La sute de caractères comme outl de descrpton des systèmes. La scence peut être vue comme l art de compresser les données quelles
Plus en détailhal-00409942, version 1-14 Aug 2009
Manuscrt auteur, publé dans "MOSIM' 008, Pars : France (008)" 7 e Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton - MOSIM 08 - du mars au avrl 008 - Pars - France «Modélsaton, Optmsaton et Smulaton des
Plus en détailRupture et plasticité
Rupture et plasticité Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 Département de Mécanique, Ecole Polytechnique, 2009 2010 25 novembre 2009 1 / 44 Rupture et plasticité : plan du cours Comportements
Plus en détailPro2030 GUIDE D UTILISATION. Français
Pro2030 GUIDE D UTILISATION Franças Contents Garante... Introducton... 1 Artcle nº 605056 Rév C Schéma nº A605056 Novembre 2010 2010 YSI Incorporated. Le logo YSI est une marque déposée de YSI Incorporated.
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailInterface OneNote 2013
Interface OneNote 2013 Interface OneNote 2013 Offce 2013 - Fonctons avancées Lancer OneNote 2013 À partr de l'nterface Wndows 8, utlsez une des méthodes suvantes : - Clquez sur la vgnette OneNote 2013
Plus en détailLes méthodes numériques de la dynamique moléculaire
Les méthodes numérques de la dynamque moléculare Chrstophe Chpot Equpe de chme et & bochme théorques, Unté Mxte de Recherche CNRS/UHP 7565, Insttut Nancéen de Chme Moléculare, Unversté Henr Poncaré, B.P.
Plus en détailStéganographie Adaptative par Oracle (ASO)
Stéganographe Adaptatve par Oracle ASO Sarra Kouder, Marc Chaumont, Wllam Puech To cte ths verson: Sarra Kouder, Marc Chaumont, Wllam Puech. Stéganographe Adaptatve par Oracle ASO. CORESA 12: COmpresson
Plus en détailCalculs des convertisseurs en l'electronique de Puissance
Calculs des conertsseurs en l'electronque de Pussance Projet : PROGRAMMAON ate : 14 arl Auteur : herry EQUEU. EQUEU 1, rue Jules Massenet 37 OURS el 47 5 93 64 herry EQUEU Jun [V37] Fcher : ESGN.OC Calculs
Plus en détailEn vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Meva DODO Le 06 novembre 2008
THÈSE En vue de l'obtenton du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délvré par l'unversté Toulouse III - Paul Sabater Spécalté : Informatque Présentée et soutenue par Meva DODO Le 06 novembre 2008 Ttre
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailCREATION DE VALEUR EN ASSURANCE NON VIE : COMMENT FRANCHIR UNE NOUVELLE ETAPE?
CREATION DE VALEUR EN ASSURANCE NON VIE : COMMENT FRANCHIR UNE NOUVELLE ETAPE? Boulanger Frédérc Avanssur, Groupe AXA 163-167, Avenue Georges Clémenceau 92742 Nanterre Cedex France Tel: +33 1 46 14 43
Plus en détailTRAVAUX PRATIQUES SPECTRO- COLORIMETRIE
UNIVERSITE MONTPELLIER 2 Département de Physque TRAVAUX PRATIQUES DE SPECTRO- COLORIMETRIE F. GENIET 2 INTRODUCTION Cet ensegnement de travaux pratques de seconde année se propose de revor rapdement l'aspect
Plus en détailGEA I Mathématiques nancières Poly. de révision. Lionel Darondeau
GEA I Mathématques nancères Poly de révson Lonel Darondeau Intérêts smples et composés Voc la lste des exercces à révser, corrgés en cours : Exercce 2 Exercce 3 Exercce 5 Exercce 6 Exercce 7 Exercce 8
Plus en détailCours de. Point et système de points matériels
Abdellah BENYOUSSEF Amal BERRADA Pofesseus à la Faculté des Scences Unvesté Mohammed V Rabat Cous de Pont et système de ponts matéels A L USAGE DES ETUDIANTS DU 1 ER CYCLE UNIVERSITAIRE FACULTES DES SCIENCES,
Plus en détailDES EFFETS PERVERS DU MORCELLEMENT DES STOCKS
DES EFFETS PERVERS DU MORCELLEMENT DES STOCKS Le cabnet Enetek nous démontre les mpacts négatfs de la multplcaton des stocks qu au leu d amélorer le taux de servce en se rapprochant du clent, le dégradent
Plus en détailRéseau RRFR pour la surveillance dynamique : application en e-maintenance.
Réseau RRFR pour la survellance dynamue : applcaton en e-mantenance. RYAD ZEMOURI, DANIEL RACOCEANU, NOUREDDINE ZERHOUNI Laboratore Unverstare de Recherche en Producton Automatsée (LURPA) 6, avenue du
Plus en détailProjet de fin d études
Unversté Franços Rabelas Tours Ecole Polytechnque Unverstare de Tours Département Informatque Projet de fn d études Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks Chopn Antone Mrault Arnaud 3ème année
Plus en détailcel-00530377, version 1-28 Oct 2010
Mécanique des milieux continus F r a n ç o i s S i d o r o f f p Ce document est sous licence Creative Commons Paternité Pas d Utilisation Commerciale Partage des Conditions Initiales à l Identique 3.0
Plus en détailCalcul de tableaux d amortissement
Calcul de tableaux d amortssement 1 Tableau d amortssement Un emprunt est caractérsé par : une somme empruntée notée ; un taux annuel, en %, noté ; une pérodcté qu correspond à la fréquence de remboursement,
Plus en détailRAPPORT DE STAGE. Approcher la frontière d'une sous-partie de l'espace ainsi que la distance à cette frontière. Sujet : Master II : SIAD
UFR SCIENCES ET TECHNOLOGIES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE 63 177 AUBIERE CEDEX Année 2008-2009 Master II : SIAD RAPPORT DE STAGE Sujet : Approcher la frontère d'une sous-parte de l'espace
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailLes prix quotidiens de clôture des échanges de quotas EUA et de crédits CER sont fournis par ICE Futures Europe
Méthodologe CDC Clmat Recherche puble chaque mos, en collaboraton avec Clmpact Metnext, Tendances Carbone, le bulletn mensuel d nformaton sur le marché européen du carbone (EU ETS). L obectf de cette publcaton
Plus en détailINTERNET. Initiation à
Intaton à INTERNET Surfez sur Internet Envoyez des messages Téléchargez Dscutez avec Skype Découvrez Facebook Regardez des vdéos Protégez votre ordnateur Myram GRIS Table des matères Internet Introducton
Plus en détailLe Prêt Efficience Fioul
Le Prêt Effcence Foul EMPRUNTEUR M. Mme CO-EMPRUNTEUR M. Mlle Mme Mlle (CONJOINT, PACSÉ, CONCUBIN ) Départ. de nass. Nature de la pèce d dentté : Natonalté : CNI Passeport Ttre de séjour N : Salaré Stuaton
Plus en détailImpôt sur la fortune et investissement dans les PME Professeur Didier MAILLARD
Conservatore atonal des Arts et Méters Chare de BAQUE Document de recherche n 9 Impôt sur la fortune et nvestssement dans les PME Professeur Dder MAILLARD Avertssement ovembre 2007 La chare de Banque du
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailPREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS. Josiane Confais (UPMC-ISUP) - Monique Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR8174)
PREMIERS PAS en REGRESSION LINEAIRE avec SAS Josane Confas (UPMC-ISUP) - Monque Le Guen (CNRS-CES-MATISSE- UMR874) e-mal : confas@ccr.jusseu.fr e-mal : monque.leguen@unv-pars.fr Résumé Ce tutorel accessble
Plus en détail- Acquisition de signaux en sismologie large bande. - Acquisition de signaux lents, magnétisme, MT.
87 DUCAPTEURAUXEANQUESDEDONNEES. TECHNQUES D'NSTRUMENTATON EN GEOPEY8QUE. J:M. CANTN Unversté Lous Pasteur (Strasbourg 1) nsttut de Physque du Globe de Strasbourg Ecole et Observatore de Physque du Globe.
Plus en détailSystème formé de deux points
MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2
Plus en détailEn vue de l'obtention du. Présentée et soutenue par Elayeb Bilel Le 26 juin 2009
THÈSE En vue de l'obtenton du DOCTORAT DE L UNIVERSITÉ DE TOULOUSE Délvré par Insttut Natonal Polytechnque de Toulouse (INPT) Dscplne ou spécalté : Informatque Présentée et soutenue par Elayeb Blel Le
Plus en détail1. INTRODUCTION. Rev. Energ. Ren. : 11 èmes Journées Internationales de Thermique (2003)103-110
Rev. Energ. Ren. : 11 èes Journées Internatonales de Therque (00)10-110 Sulaton Nuérque Undensonnelle du Phénoène de Transfert de Chaleur, Masse et Charge dans une Ple à Cobustble à Mebrane Echangeuse
Plus en détailLE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE
LE PRINCIPE DU RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE. Exemple troductf (Les élèves qu coasset déà be le prcpe peuvet sauter ce paragraphe) Cosdéros la sute (u ), défe pour tout, par : u u u 0 0 Cette sute est défe
Plus en détailPrêt de groupe et sanction sociale Group lending and social fine
Prêt de roupe et sancton socale Group lendn and socal fne Davd Alary Résumé Dans cet artcle, nous présentons un modèle d antsélecton sur un marché concurrentel du crédt. Nous consdérons l ntroducton de
Plus en détailLICENCE DE SCIENCES PHYSIQUES UV 3LSPH50. Année 2004-2005 MODÉLISATION. Recherche des paramètres d'une représentation analytique J.P.
LICENCE DE SCIENCES PHYSIQUES UV 3LSPH50 Année 004-005 MODÉLISATION Recherche des paramètres d'une représentaton analytque JP DUBÈS 3 MODÉLISATION Recherche des paramètres d'une représentaton analytque
Plus en détailDYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES
A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailErP : éco-conception et étiquetage énergétique. Les solutions Vaillant. Pour dépasser la performance. La satisfaction de faire le bon choix.
ErP : éco-concepton et étquetage énergétque Les solutons Vallant Pour dépasser la performance La satsfacton de fare le bon chox. ErP : éco-concepton et étquetage énergétque Eco-concepton et Etquetage
Plus en détailGUIDE D ÉLABORATION D UN PLAN D INTERVENTION POUR LE RENOUVELLEMENT DES CONDUITES D EAU POTABLE, D ÉGOUTS ET DES CHAUSSÉES
GUIDE D ÉLABORATION D UN PLAN D INTERVENTION POUR LE RENOUVELLEMENT DES CONDUITES D EAU POTABLE, D ÉGOUTS ET DES CHAUSSÉES Gude destné au mleu muncpal québécos NOVEMBRE 2013 Coordnaton : Martn Cormer,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailManuel d'installation du système
Manuel d'nstallaton du système Système -énerge pour le chauffage et l'eau chaude GENIA HYBRID INTRODUCTION Tale des matères Gude d nstructons Documentaton produt Documents assocés Explcaton des symoles
Plus en détailBe inspired. Numéro Vert. Via Caracciolo 20 20155 Milano tel. +39 02 365 22 990 fax +39 02 365 22 991
Ggaset SX353 / französsch / A31008-X353-P100-1-7719 / cover_0_hedelberg.fm / 03.12.2003 s Be nspred www.onedrect.fr www.onedrect.es www.onedrect.t www.onedrect.pt 0 800 72 4000 902 30 32 32 02 365 22 990
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLes déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises
Les détermnants de la détenton et de l usage de la carte de débt : une analyse emprque sur données ndvduelles françases Davd Boune Marc Bourreau Abel Franços Jun 2006 Département Scences Economques et
Plus en détailProfessionnel de santé équipé de Médiclick!
Professonnel de santé équpé de Médclck! Dosser Médcal Partagé en Aqutane Ce gude vous présente les prncpales fonctonnaltés réservées aux professonnels de santé membres du réseau AquDMP. Sommare Connexon
Plus en détailCOMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION
COMPARAISON DE MÉTHODES POUR LA CORRECTION DE LA NON-RÉPONSE TOTALE : MÉTHODE DES SCORES ET SEGMENTATION Émle Dequdt, Benoît Busson 2 & Ncolas Sgler 3 Insee, Drecton régonale des Pays de la Lore, Servce
Plus en détailLes déterminants de la détention et de l usage de la carte de débit : une analyse empirique sur données individuelles françaises
Les détermnants de la détenton et de l usage de la carte de débt : une analyse emprque sur données ndvduelles françases Davd Boune a, Marc Bourreau a,b et Abel Franços a,c a Télécom ParsTech, Département
Plus en détailSYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE
SYSTEME FERME EN REACTION CHIMIQUE I. DESCRIPTION D UN SYSTEME. Les dfférets types de système (ouvert, fermé, solé U système S est formé d u esemble de corps séparés du reste de l uvers (appelé mleu extéreur
Plus en détailContact SCD Nancy 1 : theses.sciences@scd.uhp-nancy.fr
AVERTISSEMENT Ce document est le frut d'un long traval approuvé par le jury de soutenance et ms à dsposton de l'ensemble de la communauté unverstare élarge. Il est soums à la proprété ntellectuelle de
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détail