Cours de. Point et système de points matériels

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1 Abdellah BENYOUSSEF Amal BERRADA Pofesseus à la Faculté des Scences Unvesté Mohammed V Rabat Cous de Pont et système de ponts matéels A L USAGE DES ETUDIANTS DU 1 ER CYCLE UNIVERSITAIRE FACULTES DES SCIENCES, FACULTES DES SCIENCES ET TECHNIQUES, CLASSES PREPARATOIRES AUX ECOLES D INGENIEURS

2 PRESENTATION Ce document pésente l ensegnement de «Mécanque du pont et du système de ponts matéels», dspensé pendant quelques années pa les auteus à la Faculté des Scences de Rabat. Cetes, les ouvages de qualté consacés à cette même pate de la physque classque sont nombeux et chacun d eux compote généalement son ognalté qu tadut la sgnatue de ses auteus. C est justement ce cachet, fut d une expéence pédagogque qu fat que nous avons pvlégé dans le développement du document tel aspect su tel aute tout en estant à l ntéeu des contous des pogammes de mécanque classque généalement ensegnés. C est donc pou fae patage ces petts eements aux étudants, aux collègues, et autes concenés que nous avons été encouagés à puble ce cous. Les lecteus emaqueont que le pésent document a nssté de manèe patculèe su quelques aspects mathématques ou physques à taves lesquels on peut découv quelques fondements de la mécanque du pont et du système de ponts matéels. On peut cte notamment le poblème du epéage, le tède de Fenet, la noton de éféentel, le pendule de Foucault et autes applcatons lées à la dynamque teeste, les collsons élastques et nélastques, les oscllateus hamonques, le poblème à deux cops etc Ce document n est sûement pas exempt d mpefectons ou de coqulles qu ont pu échappe à note attenton ; les lecteus nous en excuseont volontes et toutes leus emaques seont les benvenues. Les auteus

3 Chapte I I- Repéage d'un pont matéel. Systèmes de coodonnées, sufaces et coubes coodonnées. L'espace physque est déct pa un espace euclden (dmenson 3) où sont défns les angles et les dstances. La poston de tout pont matéel M dans cet espace est défne pa appot à un (ou pluseus) objet(s) appelé(s) epèe. Pou caactése cette poston c'est à de pou epée le pont M, l sufft en généal de détemne 3 paamètes éels q, q 1, q 3 ou coodonnées du pont. A cet effet on défnt un système de coodonnées cohéent qu peut engende un espace dans lequel on assoce à tout pont M tos nombes q, q,q de 1 3 manèe unque. 1- Systèmes de coodonnées a- Coodonnées catésennes Sot un pont ogne O et un système d'axes (Oxyz) su lesquels on consdèe tos vecteus untaes e 1, e, e 3 supposés consttue une base othonomée decte. Tout pont M de l'espace peut ête caactésé pa ses coodonnées catésennes q = x, q = y, q = 1 3 z qu sont les pojectons de OM su les axes Ox, c'est-à-de : OM = x e 1 + y e + z e 3 Oy et Oz espectvement (fgue I.1), x = Om1 est l'abscsse du pont M, y = Om l'odonnée et z = Om 3 la cote avec x, y, z ] - ; + [.

4 z m 1 M(x,y,z) e 3 O m 1 e 1 e m y b- Coodonnées cylndques x Fg. I.1 En coodonnées cylndques tout pont M peut ête caactésé de manèe également unque pa la connassance des tos paamètes,ϕ,z : q 1 = = Om 0 (ayon vecteu) Om q = ϕ = ( Ox, OM ) [0,π[ q 3 = z = ' Om ] -,+ [ (angle polae) (cote) Les ponts m et m' sont les pojectons othogonales de M espectvement su le plan polae ( Ox, Oy ) et su l'axe Oz (vo FgI.). z m' M (,ϕ,z ) O ϕ m y x Fg. I.

5 c- Coodonnées sphéques En coodonnées sphéques tout pont M de l'espace (fgue I.3) peut ête caactésé de manèe également unque pa la connassance des tos paamètes (ou coodonnées sphéques), ρ,θ,ϕ défns pa : q 1 = ρ = OM [0,+ [ (ayon vecteu) q = θ = ( Oz, OM ) [0,π] (colattude ) q 3 = ϕ = ( Ox, Om ) [0,π [ (longtude) Fg. I.3 Remaque : S (q 1,q,q 3 ) est un système de coodonnées cohéent, alos q 1,q,q 3 peuvent ête expmées en fonctons des coodonnées d'un aute système. Ans nous pouvons avo en foncton des coodonnées catésennes pa exemple : q 1 = q 1 (x,y,z) ; q = q (x,y,z) ; q 3 = q 3 (x,y,z) et nvesement x= x (q 1,q,q 3 ) ; y = y (q 1,q,q 3 ) ; z = z (q 1,q,q 3 )

6 dans les cas patcules où nous penons comme q,q,q les coodonnées,ϕ,z nous auons 1 3 des elatons qu exstent ente les deux systèmes de coodonnées catésennes et cylndques : x = cos ϕ y = sn ϕ z = z et nvesement : = x + y ϕ = Actg y x ou Π + Actg y x (selon les sgnes espectfs de x et de y) z = z De la même manèe nous avons ente les coodonnées sphéques et catésennes les elatons : x = ρ sn θ cos ϕ y = ρ sn θ sn ϕ z = ρ cos θ et nvesement : ρ = x + y + z θ = Actg x + y z ou Π + Actg x + y z (selon le sgne de z) ϕ = Actg y x ou Π + Actg y x (selon les sgnes espectfs de x et y) Enfn ente les coodonnées sphéques et cylndques nous avons : = ρ sn θ ϕ = ϕ z = ρ cos θ et nvesement :

7 ρ = + z θ = Actg ρ z ou Π + Actg ρ z (selon le sgne de z) ϕ = ϕ II- Sufaces coodonnées. Coubes coodonnées 1- Défntons a- Suface coodonnée Sot (q,q,q ) un système de coodonnées, on appelle "suface coodonnée" 1 3 l'ensemble des ponts où l'une des coodonnées q est constante. On l'appelle également suface " so q ". b- Coube coodonnée L'ntesecton de deux sufaces coodonnées quelconques est une coube où seule la tosème coodonnée vae; on appelle cette coube une coube coodonnée "q vaable". Ans l'ntesecton des sufaces " so q 1 " et " so q " est la coube coodonnée "q 3 vaable". Remaques : * Dans un système de coodonnées (q,q,q ) quelconque tout pont M(q,q,q ) est à l'ntesecton des tos sufaces coodonnées " so q " = 1,,3 comme l est également à l'ntesecton des tos coubes q vaable assocés à = 1,,3. * On dt que les coubes coodonnées sont othogonales au pont M(q,q,q ) s les tangentes 1 3 en M aux tos coubes "q vaable" pou = 1,,3 sont pependculaes deux à deux (vo fgue II.1).

8 q vaable 3 T 3 T 1 M q vaable q vaable 1 Fg. II.1 T - Applcaton au cas de systèmes de coodonnées smples Il s'agt de détemne les sufaces et les coubes coodonnées que nous avons défnes pécédemment dans les cas des coodonnées catésennes, cylndques et sphéques successvement. a- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées catésennes. Sot un pont M(x,y,z) défn pa ses coodonnées catésennes; la suface x = x 1 = cte (" so x ") est le plan (π 1 ) paallèle au plan (Oy,Oz) passant pa le pont A 1 d'abscsse x 1 su l'axe Ox. De même la suface y = y 1 = cte (" so y ") est le plan (π ) paallèle au plan (Ox,Oz) et passant pa le pont B 1 d'odonnée y 1 su l'axe Oy. Enfn la suface z = z 1 = cte (" so z ") est le plan (π 3 ) paallèle au plan (Ox,Oy) et passant pa le pont C 1 de l'axe Oz et de cote z 1 (fgue II.).

9 z Z ( π ) X ' Y ' C 1 M ( π 3 ) Y X O B 1 y ( π 1 ) A 1 Z ' x Fg. II. La coube "x vaable"est l'ntesecton des plans (π ) et (π 3 ), pa conséquent c'est la dote X'X. La coube "y vaable" est l'ntesecton de (π 1 ) et (π 3 ) c'est donc la dote Y'Y et la coube "z vaable" est l'ntesecton des plans (π 1 ) et (π ), sot donc la dote Z Z. La fgue II.3 pésente ces coubes coodonnées au pont M. Z X' Y' M Y X Z' Fg. II.3 b- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées cylndques Sot M(,ϕ,z) défn pa ses coodonnées cylndques (fgue II.4); la suface = 1 = cte (" so ") est le cylnde (C) d'axe Oz et de ayon = 1 = OM. La suface ϕ = ϕ 1 = cte (" so ϕ ") est le dem-plan (P) : (Oz,Om). Enfn la suface z = z 1 = cte (" so z ") est le plan (P') paallèle au plan (Ox,Oy) et contenant le pont M de cote z = z 1.

10 M (, ϕ, z) ϕ x Fg. II.4 Pou les coubes coodonnées, celle qu coespond à " vaable" est l'ntesecton de " so ϕ " et " so z "; donc c'est la dem dote O'M. La coube coodonnée "ϕ vaable" est l'ntesecton de " so " et de " so z " c'esu pa conséquent le cecle de cente O' et de ayon O'M. Enfn la coube coodonnée "z vaable" est l'ntesecton des sufaces " so " et " so ϕ ", c'est pa conséquent la dote mm paallèle à Oz et passant pa M. La fgue II.5 epésente de manèe smplfée les coubes coodonnées et le pont M(,ϕ,z) qu se touve à leu ntesecton. ϕ vaable O' M (,ϕ,z) vaable Fg. II.5 z vaable c- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées sphéques Sot un pont M(ρ,θ,ϕ) défn pa ses coodonnées sphéques (fgue II.6).

11 z plan paallèle (C' ) m' M(ρ,θ,ϕ) θ O ϕ m y (C) dem plan x méden Fg. II.6 La suface ρ = ρ 0 = cte (" so ρ ") est la sphèe de cente O et de ayon OM = ρ 0 = cte; la suface θ = θ 0 = cte (" so θ ") est le dem cône de sommet O et de dem angle au sommet θ = θ 0. Enfn la suface ϕ = ϕ 0 = cte (" so ϕ ") est le dem plan méden (Oz,Om). La coube coodonnées "ρ vaable" est à l'ntesecton des sufaces " so θ " (dem cône) et " so ϕ " (dem plan méden), c'est pa conséquent (D) la dem-dote OM. La coube coodonnée "q vaable" est l'ntesecton des sufaces " so ρ " et " so ϕ " c'est-à-de à l'ntesecton de la sphèe et du dem-plan méden, c'est pa conséquent le dem-cecle (C) est appelé dem cecle méden. Enfn la coube coodonnée "ϕ vaable" est à l'ntesecton des sufaces " so ρ " '(sphèe) et " so θ " (dem cône), c'est donc le "cecle paallèle" (C') qu est paallèle au plan (Ox,Oy) de cente m' et de ayon m'm. La fgue II.7 epésente les coubes coodonnées au vosnage du pont M(ρ,θ,ϕ). (C' ) M (ρ,θ,ϕ) (D) (C) Fg. II.7

12 III- Systèmes d'axes locaux ("epèes locaux") 1- Poston du poblème Sot A (M) un champ de vecteus défn en un pont M de l'espace ; en généal ce pont M est un pont moble qu déct une tajectoe. A chaque nstant on peut assoce au pont moble M un système d'axes dont la decton vae d'un nstant à l'aute avec le pont. Ce système d'axes est appelé système d'axes locaux ou "epèe local". Le champ de vecteus A (M) poua alos se décompose à chaque nstant su les axes locaux. A tte d'exemple un pont matéel M en mouvement possède à chaque nstant une vtesse v (M) (champ de vecteus) ; cette vtesse peut s'éce comme la ésultante de ses composantes selon un système d'axes dont l'ogne est placée en ce pont M (ou en un pont quelconque) et les dectons dépendent de la poston du pont. Il s'agt donc de pécse ces dectons ans que les autes caactéstques du "epèe local" dans le cas d'un système de coodonnées quelconques (q 1,q,q 3 ), pus dans les cas patcule de systèmes de coodonnées catésennes, cylndques et sphéques. - Détemnaton du "epèe local" dans le cas généal a- Decton et sens des axes locaux Sot un système de coodonnées (q 1,q,q 3 ) et un pont M(q 1,q,q 3 ); ce pont est à l'ntesecton des tos coubes coodonnées "q vaables" (fgue III.1). q 3 vaable M q 1 vaable q vaable Fg. III.1

13 Consdéons un déplacement nfntésmal ( dm ) q su la coube coodonnée q vaable et 1 1 supposons que ( dm ) q sot suffsamment pett pou qu'l sot confondu avec la tangente à la 1 coube en M(q,q,q ) 1 3 Nous pouvons éce : ( dm ) q 1 = ( MM ) 1 avec M(q 1,q,q 3 ) et M 1 (q 1,dq 1,q,q 3 ) deux ponts su cette tangente (fgue III.) ; l'élément dfféentel ( dm ) q s'éct alos : 1 ( dm ) q 1 = M dq 1 q 1 ans ( dm)q 1 = dq 1 M est un vecteu tangent en M à la coube coodonnée "q vaable". 1 q 1 M q 1 q 1 vaable M ( q 1,q, q 3 ) M1 ( 1 dq1,q, q 3 q + ) Fg. III. En consdéant successvement deux autes déplacements nfntésmaux ( dm ) q = ( MM ) et ( dm ) q = ( MM 3 ) espectvement su les coubes coodonnées "q vaable" et "q 3 3 vaable", nous dédusons de la même manèe que pécédemment, que les vecteus :

14 (dm) dq q M = q et (dm) dq 3 q3 = M q 3 sont tangents en M à ces deux coubes coodonnées (fgue III.3). M M M L'ensemble des tos vecteus,, qu dépendent de la poston du pont q 1 q q 3 M(q,q,q ) défnt un système d'axes locaux ou "epèe local" assocé au système de 1 3 coodonnées (q,q,q ). Le caactèe "local" de ces axes vent du fat qu'ls dépendent 1 3 justement de la poston du pont M(q,q,q ) à chaque nstant. 1 3 M q 3 q 3 vaable M q 1 q 1 vaable M q q vaable Fg. III.3 Remaques : * Tout champ de vecteus A (M) peut s'éce comme la somme de tos composantes qu sont les pojectons de A (M) su les axes locaux; ans nous pouvons éce : A (M) = A q + A 1 q + A q 3

15 avec A q la pojecton de A (M) su la decton 1 coube coodonnée "q vaable". 1 M, c'est-à-de su la tangente en M à la q 1 * S nous consdéons un déplacement nfntésmal quelconque d M de M(q 1,q,q 3 ) nous pouvons donc éce également : dm = (d M ) q1 + (d M ) q + (d M ) q3 avec (d M M ) q = dq pojecton de d M su la tangente en M à la coube coodonnée q "q vaable". * L'ogne d'un système d'axes locaux peut ête placée en un pont quelconque de l'espace une fos que leu decton a été détemnée à chaque nstant. b- Vecteus untaes de base du système d'axes locaux M M M Nous avons défn tos vecteus ndépendants,, qu caactésent les q 1 q q 3 dectons du système d'axes locaux. Nous pouvons leu assoce des vecteus untaes de même sens et même decton en les nomalsant. Ans, les vecteus untaes su e q su la decton M sont défns successvement pa : q e q 1 = M q1 M q 1 e q = M q M q e q 3 = M q3 M q 3 ( e q 1, e q, e q 3 ) est une base de vecteus untaes du "epèe local". Remaques :

16 M * S les coubes coodonnées sont othogonales, c'est-à-de s au pont M les dectons, q 1 M M, sont pependculaes deux à deux, alos la base ( e q, e q, e q ) est othonomée. 1 3 q q 3 Nous avons alos : e q = 1 et e q. e q = 0 pou j j S, en plus nous avons : e q 1 Λ e q = e q 3 e q Λ e q 3 = e q 1 e q 3 Λ e q 1 = e q la base ( e q 1, e q, e q 3 ) est alos decte. * La base du système d'axes locaux étant défne, nous pouvons éce tout champ de vecteu A (M) sous la fome : A (M) = A q1 e q + A q e q + A q3 e q 1 3 avec A q = A q1 e q et A q1 epésentant la valeu algébque de la pojecton de A (M) su la 1 1 decton de e q, c'est-à-de : A (M) = ( A (M).e q ) e q + ( A (M). e q ) e q + ( A (M). e q ) e q Systèmes d'axes locaux en coodonnées catésennes, cylndques et sphéques a- "Repèe local" en coodonnées catésennes (q 1 = x, q = y, q 3 = z) Sot un système de coodonnées catésennes (O,x y z) et, j, k une base othonomée decte assocée à ce système.

17 z Z e z X' k O e x Y' j X Z' e y M (x,y,z) Y y x Fg. III.4 Sot M(x,y,z) un pont de l'espace tel que : OM = x + y j + z k Nous nous poposons de détemne le "epèe local" en M en applquant la démache suve au III. pécédent. Le pont M(x,y,z) est à l'ntesecton des tos dotes X'X, Y'Y, Z'Z qu coespondent espectvement aux tos coubes coodonnées " x vaable ", " y vaable " et " z vaable " (fgue III.4). Consdéons su la coube " x vaable " (dote X'X) un déplacement élémentae (d M ) x ; celu-c est poté pa la tangente en M à la coube coodonnée "x vaable" (c'est-àde la dote X'X passant pa le pont M est paallèle à Ox). Nous pouvons donc éce : (d M ) x = dx Pa alleus d'apès ce qu pécède ( III.) et en fasant q 1 = x nous avons :

18 (d M M M ) x = dx, avec = s on dentfe les deux expessons de (d M ) x. Dans ce cas x x M défnt dectement le peme vecteu untae e x du epèe local, en effet : x e x = M x M x = = En efasant de même su les autes coubes coodonnées, nous obtenons : e y = j et e z = k Le epèe local en M(x,y,z) est donc défn à pat de ses vecteus de base ( e x, e y, e ) qu consttuent un tède othonomé et dect. z Remaques : * Tout champ de vecteu A (M) peut ête décomposé à chaque nstant selon ses composantes su le "epèe local" en coodonnées catésennes : A (M) = A x e x + A y e y + A z avec A x = A (M). e x ; A y = A (M). y e z e ; A z = A (M). e z * En patcule un déplacement élémentae quelconque du pont M dans l'espace s'éct : dm = (d M ) x + (d M ) y + (d M ) z = dx e x + dy e y + dz b- Repèe local en coodonnées cylndques (q 1 =, q = ϕ, q 3 = z) e z e z Sot un pont M(,ϕ,z) défn pa ses coodonnées cylndques. Ce pont est à l'ntesecton des tos coubes coodonnées" vaable","ϕ vaable" et "z vaable", (fgue III.5)

19 z *e z M' *e ϕ M *e O ϕ m y x Fg. III.5 La coube " vaable " est la dem-dote M'M. Consdéons le vecteu untae e su cette decton et oenté dans le sens cossant de c'est-à-de dans le sens cossant de l'axe M ' M. Un déplacement élémentae de M su la coube coodonnée " vaable " losque vae de d s'éct : ( dm ) = d e Pa alleus nous avons : ( dm ) = M d en dentfant les deux expessons pécédentes nous obtenons : M = e

20 M ce qu pemet d'avo la decton d'un axe du " epèe local " en l'occuence celle de qu M est celle de e, et de défn le vecteu untae su cette decton pa, c'est-à-de pa M e. Repenons la même démache pou la coube coodonnée " ϕ vaable ", c'est-àde le cecle de cente M' et de ayon M'H =. Nous défnssons su la tangente en M à ce cecle un vecteu untae e ϕ oenté dans le sens cossant de ϕ (fgue III.6). Sot ( dm ) ϕ un déplacement élémentae de M su la coube coodonnée " ϕ vaable ", losque ϕ vae de dϕ. Supposons que dϕ est suffsamment pett pou que ( dm ) ϕ sot poté pa la tangente. M' dϕ M e ϕ Ans nous avons : ( dm ) ϕ = dϕ e ϕ pa alleus d'où ( dm ) ϕ = M dϕ ϕ M = dϕ e ϕ ϕ ce qu pemet de dédue que la seconde decton du système d'axes locaux est celle de e ϕ et M ϕ le vecteu untae su cette decton est donné pa, c'est-à-de pa e ϕ. M ϕ

21 Enfn su la coube coodonnée " z vaable " qu est la dote mm paallèle à oz, défnssons un vecteu untae e z oenté dans le sens cossant de z, c'est-à-de dans le sens cossant de l'axe mm. Sot (d M ) z un déplacement élémentae de M su la coube coodonnée " z vaable " losque z vae de dz; nous avons alos : (d M ) z = dz e z pa alleus nous avons : (d M ) z = M dz z d'où M = e z z et la denèe decton du système d'axes locaux est donc détemnée; c'est celle de e z, M pusque le vecteu untae assocé est z = e z M z Ans le "epèe local" (système d'axes locaux) en coodonnées cylndques est entèement détemné. La base de vecteus untaes ( e, e ϕ, e z ) que nous avons assocée au epèe local est othonomée (les coubes coodonnées étant othogonales en M) et decte. Remaques : * Tout champ de vecteus A (M) peut s'éce à l'ade de ses composantes dans le système d'axes locaux : A (M) = A e + A ϕ e ϕ + A z e z avec A = A (M). e A ϕ = A (M). e ϕ A z = A (M). e z composante adale composante othoadale composante axale

22 * Un déplacement élémentae quelconque dm s'éct alos sous la fome d'une somme de ses tos composantes : dm = ( dm ) + ( dm ) ϕ + ( dm ) z = d e + dϕ e ϕ + dz e z c- Repèe local en coodonnées sphéques : (q 1 = ρ, q = θ, q 3 = ϕ) Sot un pont M(ρ,θ,ϕ) défn pa ses coodonnées sphéques. Ce pont est à l'ntesecton des tos coubes coodonnées " ρ vaable ", " θ vaable " et " ϕ vaable " (fgue III.7). Fg. III.7 La coube coodonnée ρ vaable est la dem-dote OM ; défnssons e ρ vecteu untae su OM oenté dans le sens cossant de ρ = OM c'est-à-de de O ves M. Sot un déplacement élémentae ( dm ) ρ su cette coube coodonnée losque ρ vae de dρ ( dm ) = dρ ρ e ρ

23 ( dm ) = ρ M d ρ ρ en dentfant les deux expessons, nous dédusons : M = e ρ ρ ce qu pemet la détemnaton de la decton de à la coodonnée ρ au pont M. M, c'est-à-de celle de l'axe local assocé ρ ; sot e ρ La coube coodonnée " θ vaable " est de dem cecle méden (C) passant pa M le vecteu untae poté pa la tangente en M au dem cecle (C) et tel que son sens coespond au sens cossant de l'angle ( Oz, OM ) (fgue III.8). z M θ dθ O e θ (C) Fg. III.8 Sot ( dm ) θ un déplacement élémentae su la coube (C) losque la vaable θ vae de dθ ; nous avons : ( dm ) θ = ρ dθ e θ pa alleus ( dm ) θ = M dθ θ

24 d'où M = ρ e θ θ La decton du second axe du "epèe local" est donnée pa celle de M, c'est-à- θ M de pa la decton de e θ et le vecteu untae assocé est défn pa e θ ρ ρ = e θ θ = M θ Enfn pou la tosème decton du "epèe local" nous consdéons la coube coodonnée " ϕ vaable " qu est le cecle paallèle (C') de cente M'. Sot e ϕ le vecteu untae poté pa la tangente à (C') au pont M et oenté dans le sens cossant de ϕ et sot ( dm ) ϕ le vecteu déplacement élémentae du pont M su (C') losque ϕ vae de dϕ (fgue III.9). e ϕ (C' ) M' dϕ ϕ M M 1 θ ρ O Fg. III.9 ( dm ) ϕ = MM 1 = MM' dϕ e ϕ

25 = ρ sn θ dϕ e ϕ pa alleus ( dm ) ϕ = M dϕ ϕ d'où M = ρ sn θ e ϕ ϕ La decton du tosème axe local est celle de assocé à cette decton est : M, donc celle de e ϕ. Le vecteu untae ϕ M ϕ M ϕ sn θ sn θ = eϕ = eϕ Ans le "epèe local" au pont M en coodonnées sphéques a pou decton des M axes celles de, M M et espectvement, (ces dectons étant othogonales), et a pou ρ θ ϕ base othonomée et decte, le système ( e ρ, e θ, e ϕ ) tel qu'l a été défn. Remaques : * Tout champ de vecteus A (M) peut s'éce comme la ésultante de ses composantes selon les axes locaux : A (M) = A ρ e ρ + A θ e θ + A ϕ e ϕ avec A ρ = A θ = A ϕ = A (M). e ρ composante adale de A (M) A (M). e θ composante de A (M) A (M). e ϕ composante de A (M)

26 S A (M) = OM nous avons dans ce cas : OM = ρ e ρ avec e ρ = e ρ (θ,ϕ) foncton des paamètes θ et ϕ. * Un déplacement élémentae dm quelconque s'éct dans la base ( e ρ, e θ, e ϕ ) sous la fome : dm = ( dm ) ρ + ( dm ) θ + ( dm ) ϕ = dρ e ρ + ρ dθ e θ + ρ sn θ dϕ e ϕ d- Passage d'un epèe local à un aute Nous pouvons passe de la base en coodonnées catésennes ( e x, e y, e ) à la z base en coodonnées cylndques ( e, e ϕ, e ) pa les elatons : z e x + ( e. e y ) e y + ( e. e = ( e. e x ) = cos ϕ e x + sn ϕ e y e ) e z z e ϕ = ( e ϕ. e x ) e x + ( e ϕ. e y ) e y + ( e ϕ. e ) e z z = - snϕ e x + cosϕ e y e = z e z Ans, nous emaquons que nous avons e = e ( ϕ) et e ϕ = e ϕ ( ϕ). De même, les vecteus de la base en coodonnées sphéques peuvent s'expme en foncton des vecteus de base en coodonnées catésennes pa les elatons : e ρ = ( e ρ. e x ) e x + ( e ρ. e y ) e y + ( e ρ. e ) z = snθ cosϕ e x + snθ snϕ e y + cos θ e z e z e θ = ( e θ. e x ) e x + ( e θ. e y ) e y + ( e θ. e ) z e z

27 e ϕ = cosθ cosϕ e x + cosθ snϕ e y - snθ = ( e ϕ. e x ) e x + ( e ϕ. e y ) e y + ( e ϕ. = snϕ e x + cosϕ e y e ) z e z e z Nous emaquons dans ce cas que nous avons e ρ e ϕ = e ϕ (ϕ). = e ρ (θ,ϕ), e θ = e θ (θ,ϕ) et Les epésentatons planes su les fgues III.10 et 11 pemettent de touve faclement les elatons pécédentes. e ϕ e y e z e ρ M' O ϕ M ϕ e e x O θ M e θ e (C) Fg. III.10 plan paallèle dédut de la Fg.III.5 Fg. III.11 dem plan méden dédut de la Fg.III.7 4- Cas patcule : epèe local de Seet Fenet et fomules assocées. a - Pésentaton Sot une coube oentée epésentant la tajectoe d'un pont matéel M. Dans les paagaphes pécédents nous avons défn des systèmes d'axes locaux qu sont lés à la poston du pont M(q,q,q ), l'élément tajectoe n'ntevenant pas c'est à de que s le 1 3 pont M(q 1,q,q 3 ) est su la tajectoe (C 1 ) ou (C ) pa exemple, le epèe local en ce pont est le même ca l est lé à la seule poston du pont. Le epèe local de SERRET FRENET que nous allons ntodue est d'un type dfféent des autes dans la mesue où ce système d'axes

28 locaux dépend à la fos de la tajectoe du pont matéel et de la poston de ce pont su la tajectoe et non pas seulement de la poston du pont dans un epèe donné. (C ) M Fg. III.1 (C ) 1 Ans s on connat les caactéstques de la tajectoe on peut alos défn en chaque pont et de manèe unque un système d'axes locaux patcule appelé epèe de SERRET FRENET. Les composantes dans ce epèe sont appelées composantes ntnsèques. b - Eléments caactéstques d'une coube (tajectoe) La connassance des caactéstques d'une coube quelconque (c'est-à-de qu n'est pas focément plane), telles que les notons de plan osculateu, nomale pncpale, bnomale, ayon de coubue, ayon de toson, etc, sont nécessaes pou la détemnaton du tède de SERRET FRENET et les elatons ente les vecteus untaes de ce tède, auss avons nous développé en paagaphe annexe toutes ces notons. c - Tède et base de SERRET FRENET Sot (C) une coube tajectoe et M un pont de cette coube. On consdèe la decton MT de la tangente à (C) au pont M et su cette decton un vecteu untae τ oenté dans le sens de pacous de la tajectoe (fgue III.13).

29 B *b (C) T *τ M *n Fg. III.13 N Pa alleus, sot MN la decton de la nomale pncpale à la coube (C) au pont M, c'est-à-de la pependculae à MT qu est contenue dans le plan osculateu à la coube (C) au même pont, on consdèe alos su cette nomale pncpale un vecteu untae n oenté postvement ves le cente de coubue de (C). Enfn sot MB la decton de la bnomale à la coube au pont M, c'est-à-de la pependculae au plan ( MT, MN ) et on consdèe un vecteu untae b poté pa ( MB ) et oenté de telle manèe que ( τ, n, b ) sot un tède dect. Ans le tède ( MT, MN, MB ) défnt le tède de SERRET-FRENET et ( τ, n, b ) consttue la base othonomée decte qu lu est assocée, c'est-à-de nous avons : τ Λ n = b n Λ b = τ b Λ τ = n d - Fomules de SERRET-FRENET Sot ( τ, n, b ) la base de SERRET-FRENET et un pont M d'abscsse cuvlgne "s" su la coube tajectoe (C); le ayon de coubue R(s) et le ayon de toson T(s) de la coube (C) au pont M sont défns (vo annexe A) pa les elatons : dτ = ds n R(s) (1)

30 db = - ds n T(s) () dn A pat de ces elatons nous pouvons dédue l'expesson de. En effet : ds n = b Λ τ d n ds = d ( b Λ τ ds ) dn = Λ τ + b Λ ds dτ ds compte tenu des elatons (1) et () nous avons : dn = - ds n T(s) Λ τ + b Λ n R(s) d'où (3) dn = ds b - T(s) τ R(s) Les fomules (1), (), (3) sont appelées fomules de SERRET-FRENET. IV- Caactéstques fondamentales de la cnématque La noton de temps ayant été ntodute pécédemment nous pésentons les notons de tajectoe, de vtesse et d'accéléaton. 1- Tajectoe - Equatons paamétques du mouvement a - Tajectoe Sot un moble M et O une ogne fxe. A chaque nstant t la poston de M est donnée pa le vecteu OM (t). L'ensemble des postons du pont M losque t vae de manèe contnue consttue une coube (C) qu epésente la tajectoe du moble.

31 b- Equatons paamétques Sot un système de coodonnées (q,q,q ); la poston d'un pont matéel M pa 1 3 appot à un epèe est donnée pa ses coodonnées M(q,q,q ). S le pont M déct une 1 3 coube tajectoe (C), les coodonnées q,q,q sont en généal des fonctons d'un paamète 1 3 auxlae t qu détemne la poston de M su cette tajectoe. Les équatons du mouvement de M su la tajectoe (C) sont alos : q 1 = f(t) q = g(t) q 3 = h(t) Exemples : * Dans le système de coodonnées catésennes x,y,z un pont M qu évolue su une tajectoe cculae de ayon R dans le plan xoy (vo fgue IV.1) a pou équatons paamétques de mouvement : x = R cos ωt y = R sn ωt z = 0 z O ωt R M y x Fg. IV.1

32 Dans le système de coodonnées cylndques,ϕ,z le même mouvement du pont M est déct pa les équatons paamétques : = R = cte ϕ(t) = ω t z = 0 Remaques : * En mécanque le paamète t epésente souvent le temps; cependant d'autes paamètes sont également utlsés dans les équatons paamétques. Pa alleus, toute coube tajectoe assocée à un mouvement peut ête epésentée paamétquement d'une nfnté de manèes, en substtuant au paamète t consdeé ntalement, un aute qu en est dédut pa une elaton quelconque. Ans dans l'exemple pécédent du système de coodonnées catésennes au leu de t on peut pende ϕ = ωt et on aua avec le paamète ϕ : x = R cos ϕ y = R sn ϕ z = 0 * En élmnant le paamète auxlae (quel qu'l sot) ente les équatons paamétques nous pouvons touve la ou les elaton (s) elant les coodonnées des ponts de la coube tajectoe. Ans dans le cas smple pécédent x = R cos ωt y = R sn ωt z = 0 l'élmnaton de t nous donne : x + y = R et z = 0

33 qu epésente l'équaton d'un cecle dans le plan xoy. Dans le cas plus généal d'une coube tajectoe gauche, l'élmnaton du paamète t pemet de passe des équatons paamétques x(t), y(t), z(t) (s on se place dans le système de coodonnées catésennes pa exemple) aux coubes expmées pa l'ntesecton de deux sufaces. On obtent alos deux équatons elant x,y,z : f 1 (x,y,z) = 0 (1) g 1 (x,y,z) = 0 () Sgnalons que cec n'mplque pas que l'ntesecton des deux sufaces epésentées pa (1) et () sot exclusve aux seuls ponts de la coube (C). D'autes ponts autes que ceux qu consttuent (C) peuvent véfe également smultanement (1) et (). Donc des condtons supplémentaes sont nécessaes pou que les équatons (1) et () soent absolument équvalentes aux équatons paamétques x(t), y(t), z(t). - Vtesse d'un pont matéel a- Vtesse moyenne Sot un pont matéel M en mouvement dans un éféentel (R). A l'nstant t le pont est en A et à un nstant t' l est en A'. A t A' t' La vtesse moyenne du moble ente t et t' est pa défnton : v moy (M) = AA' = t' t A avec t A = AA ' et t = t' - t Cette vtesse moyenne ne dépend que du pont de dépat et du pont d'avée. Cette vtesse moyenne est peu utlsée du fat qu'elle ne ende pas compte de l'évoluton de la vtesse ente les nstants t et t'.

34 b- vtesse nstantanée La vtesse nstantanée d'un moble M à un nstant t, pa appot à un éféentel (R) est la lmte de la vtesse moyenne pécédemment défne, losque t = t'-t tend ves 0. v (M) = lm v AA ' OA' OA moy (M) = lm = lm (1) t t t 0 t 0 t 0 S O est une ogne fxe quelconque, on peut assoce à chaque nstant au moble M, le vecteu poston OM (t) foncton vectoelle de pont. Ans à l'nstant t le moble est en A et nous avons OM (t) = OA et à l'nstant t' = t + t le moble est en A' et nous avons OM(t + t) = OA '. D'apès (1) la défnton de la vtesse nstantanée se amène donc à celle de la dévée pa appot au temps de la foncton vectoelle OM (t). v (M) = lm OM(t + t) OM(t) t losque t 0 = lm M t t 0 et on note cette vtesse nstantanée en utlsant l'éctue dfféentelle v (M) = la vtesse nstantanée étant elatve au éféentel (R) on adoptea la notaton suvante pou la sute. v dm (M) /R = / R dm Remaques : * La vtesse nstantanée v (M) est tangente à la tajectoe (C) et oentée dans le sens du mouvement (fgue IV.). S τ est le vecteu untae poté pa la tangente à la coube au pont M et oenté dans le sens du mouvement du moble, nous pouvons éce : v (M) = v (M) τ

35 (C) M (t) v (M) M (t + t) Fg. IV. v (M) * La vtesse s'expme en unté de longueu pa unté de temps [L][T -1 ]. c. Hodogaphe du mouvement Sot une tajectoe (C) pacouue pa un moble M. En chaque pont A de la tajectoe (fgue IV.3) (c'est-à-de à chaque nstant t ) le pont M a une vtesse v t (M) = v. M (t1) A 1 v 1 M(t) (C) A v M (t 3) v 3 A Fg. IV.3 Sot un pont fxe O ps comme ogne des vecteus équpollents aux vecteus v ; c'est-à-de à pat du pont O on tace les vecteus OB = v ( = 1,, ). La coube (C') défne pa les extemtés B est appelée hodogaphe du mouvement (fgue IV.4). B 1 B (C' ) O B Fg. IV.4

36 3- Accéléaton d'un pont matéel L'accéléaton pa appot à un éféentel (R) assocée à un moble M tadut la vaaton au cous du temps du vecteu vtesse. En d'autes temes le vecteu vtesse est pou l'accéléaton ce que le vecteu poston est pou le vecteu vtesse. On défnt donc le vecteu accéléaton nstantanée γ(m) du moble M pa appot à un éféentel (R) pa la dévée pa appot au temps du vecteu vtesse v (M) : γ(m) /R = lm t 0 v(t + t) v(t) t (1) dv(m) = / R o nous avons : v (M) /R = dm / R d'où γ(m) dv(m) /R = / R = d dm / R et en utlsant la notaton : d dm / R = d M / R Nous dédusons que l'accéléaton nstantanée du moble M peut s'éce : d M γ(m) /R = / R Remaque : * On monte à pat de l'expesson (1) que l'accéléaton est toujous oentée ves la concavté de la tajectoe (fgue IV.5).

37 (C) M (t) v (t) γ(t) M (t + t) v(t + t) v (t) Fg. IV.5 v(t + t) v(t) * Pa alleus sot l'accéléaton γ(m) /R = lm t t 0 et sot O un pont fxe à pat duquel on pote les vecteus OB = v (t) et OB = v(t + t), B et B' sont su l'hodogaphe (C') losque t 0, B' tend ves B et le vecteu BB est alos tangent à l'hodogaphe (C'). ' ' = v(t + t) - v(t) (C' ) v(t + t) v (t) B hodogaphe B' V- Composantes de la vtesse dans dfféents epèes locaux. Sot un pont matéel M de vtesse nstantanée) v dm (M) / R = détémnée pa / R appot à un éféentel (R). Il s'agt de détemne les composantes de cette vtesse dans les dfféents epèes locaux que nous avons défns pécédemment. Il faut fae attenton de ne pas confonde le système d'axes lés au éféentel pa appot auquel on défnt la vtesse v (M) / R avec le epèe local (ou système d'axes locaux) en tant que epèe géométque dans lequel on peut expme les composantes de cette vtesse. 1- Repèe local en coodonnées catésennes Sot ( e x, e y, e ) la base assocée au système d'axes locaux en coodonnées z catésennes et M(x,y,z) un pont matéel. A chaque nstant nous avons :

38 OM (t) = x(t) e x + y(t) e y + z(t) e z O étant fxe pa appot à ( R ), on a pa dévaton elatvement au temps dans le éféentel (R) : v (M) /R = Les vecteus e x, e y, d OM / R = dm / R = dx e x e ne dépendent pas du temps. z dy e + y dz e + z - Repèe local en coodonnées cylndques Sot ( e, e ϕ, e z ) base locale en M(,ϕ,z), pont caactésé pa ses coodonnées cylndques (fgue V.1). Nous avons : OM (t) = (t) e + z(t) e z = Om + mm et pa dévaton pa appot au temps dans (R) v (M) /R = dm / R = d e e + (t) d dz e + z de +z(t) z o e z est fxe pa appot au temps et e dépend de ϕ, c'est- à-de e = e [ϕ(t)] de de = dϕ dϕ o d'où de dϕ de = e ϕ = dϕ e ϕ

39 z M *e z *e ϕ *e O y ϕ m de pa alleus z x Fg. V.1 = 0; nous dédusons donc l'expesson de la vtesse : v (M) /R = dm R = d e + (t) dϕ e ϕ + Remaque : Cette expesson de la vtesse peut ête dédute également de celle du déplacement élémentae dm en coodonnées cylndques. En effet nous avons vu au paagaphe III-3-b que : dm = d e + dϕ e ϕ + dz e z dz e z d'où v (M) /R = dm R = d e + (t) dϕ e ϕ + dz e z 3- Repèe local en coodonnées sphéques Sot ( e ρ, e θ, e ϕ ) une base locale en coodonnées sphéques (fgue V.). Nous pouvons éce dans cette base à chaque nstant : OM (t) = ρ(t) e ρ pa dévaton pa appot au temps dans le éféentel (R) nous obtenons :

40 v (M) /R = dm R = dρ e ρ + de ρ ρ z *e ρ M *e ϕ O *e θ y x Fg. V. o nous avons vu au paagaphe III.3.c que e ρ est foncton de θ et ϕ, c'est-à-de que : e ρ = e ρ [θ(t),ϕ(t)] d'où de ρ = e ρ θ dθ + e ϕ ϕ dϕ et en utlsant les elatons de passage du paagaphe III-3-d nous pouvons dédue que : et e ρ = e θ θ e ϕ ϕ = sn θ e ϕ Losque l'on emplace les expessons pécédentes dans celle de la vtesse nous obtenons donc en coodonnées sphéques : v dm (M) /R = / R = dρ e ρ + ρ dθ e θ +ρ sn θ dϕ e ϕ

41 Remaque : Cette expesson de la vtesse peut ête également dédute de celle du dépalacement élémentae en coodonnées sphéques (vo III-3-c). En effet dm = dρ e ρ + ρ d θ e θ + ρ sn θ dϕ e ϕ d'où v (M) /R = dm / R = dρ e ρ + ρ dθ e θ + ρ sn θ dϕ e ϕ 4- Dans le epèe de SERRET-FRENET : Sot s(t) l'abscsse cuvlgne d'un pont M(s) su une coube tajectoe (C) d'ogne O et M' est un pont vosn de M (fgue V.3) ; nous avons alos dm = MM' = ds dm τ, c'est-à-de : τ = ds *b O *τ M' M *n (C) Fg. V.3 la vtesse du pont M est v (M) /R = dm R = dm ds ds d'où l'expesson de la vtesse dans le epèe de SERRET-FRENET:

42 v (M) /R = ds τ VI- Composantes de l'accéléaton dans dffeents epèes locaux. La même démache utlsée pou la vtesse va ête epse pou l'accéléaton dv(m) γ(m) / R = d'un pont M, détemnée pa appot à un éféentel (R). Il s'agt / R donc de détemne les composantes de cette accéléaton dans les dfféents epèes locaux. 1- Repèe local en coodonnées catésennes Dans la base ( e x, e y, e z ) l'expesson de l'accéléaton γ(m) / R s'éct : γ(m) / R dv(m) = = / R d x e x + d y e y + d z e z les vecteus e x, e y, e z étant fxes dans le temps. - Dans le epèe local en coodonnées cylndques Nous avons vu dans le paagaphe V- que : d'où v (M) /R = dm / R = d e dϕ + (t) e ϕ + dz e z γ(m) / R dv(m) = / R d = ( d e ) + d dϕ ( (t) e d ϕ )+ ( dz e ) (1) z en explctant le 1 e teme de l'epesson pécédente nous avons : d ( d e ) = d e d de +

43 d'où de de = dϕ dϕ dϕ = e ϕ d d ( e d ) = e d dϕ + e ϕ () de même, en explctant le ème teme de l'expesson (1) nous avons : d dϕ ( (t) e d ϕ ) = dϕ e ϕ + d ϕ e ϕ dϕ + de ϕ o nous avons : de ϕ = de ϕ dϕ dϕ = - e dϕ d'où d dϕ ( (t) e d ϕ ) = [ dϕ d ϕ + ] e dϕ ϕ - e (3) Enfn, le 3 ème teme de l'expesson (1) donne : d ( dz e )= z d z e z (4) ca de z = 0 En emplaçant (), (3), (4) dans (1) nous obtenons l'expesson de l'accéléaton la base du epèe local en coodonnées cylndques : γ(m) / R dans γ(m) / R dv(m) = / R d dϕ = [ - ] e d + [ dϕ d ϕ + ] e d z ϕ + e z 3- Dans le epèe local en coodonnées sphéques

44 Dans ce epèe nous avons vu l'expesson de la vtesse : et pa dévaton v (M) /R = dm dρ / R = e ρ + ρ dθ e θ +ρ sn θ dϕ e ϕ γ(m) / R dv(m) = d = ( dρ e / R ρ ) + d dθ (ρ e d dϕ θ ) + (ρ sn θ e ϕ ) (5) en explctant le 1 e teme nous avons : d ( dρ d ρ e ρ ) = e ρ + dρ de ρ d ρ dρ eρ dθ dρ eρ dϕ = e ρ + + θ ϕ ca e ρ = e ρ ( θ, ϕ) et d e ρ = e ρ dθ θ + e ρ d ϕ ϕ o d'apès l'expesson de e ρ donnée au III-3-d, nous dédusons : e ρ θ = e θ et e ρ ϕ = sn θ e ϕ d'où d ( dρ d ρ e ρ )= e ρ dρ dθ dρ e + + θ dϕ sn θ e ϕ de même en explctant le ème teme de (5) nous avons : d dθ (ρ e θ )= dρ dθ d θ eθ + ρ e θ + ρ dθ de θ o d'apès l'expesson de e θ donnée au III-3-d, nous dédusons : de θ = e θ θ dθ + e θ ϕ dϕ

45 d'où dθ = - e ρ + cos θ dϕ e ϕ d dθ (ρ e θ )= - ρ dθ eρ +[ ρ d θ + dρ dθ ] e θ + ρ cos θ dϕ dθ e ϕ enfn en explctant le 3 ème teme de (5) nous avons : θ dϕ de ϕ d dϕ (ρ sn θ e ϕ ) = dρ sn θ dϕ e ϕ dϕ dθ + ρ cos θ eϕ d ϕ + ρ sn θ e ϕ + ρ sn o nous avons d'apès l'expesson de e ϕ donnée au III-3-d : de ϕ = e ϕ ϕ dϕ et e ϕ ϕ = - sn θ e ρ - cos θ e θ en emplaçant dans (5) les tos temes pa leus expessons espectves détallées nous obtenons fnalement : dv(m) = { / R d ρ - ρ dθ dϕ -ρ sn θ } e ρ d θ dρ dθ dϕ +{ρ + -ρ snθ cos θ } e θ d ϕ dρ dϕ + { ρ snθ + snθ + ρ cos θ dϕ dθ } e ϕ γ(m) / R = 4. Dans le epèe de SERRET FRENET

46 Nous avons vu pécedemment l'expesson de la vtesse, dans ce epèe: v (M) / R = dm / R ds = τ = v τ pa dévaton nous avons : γ(m) / R dv(m) d s = = τ + / R ds dτ o nous avons, en tenant compte des fomules de FRENET (vo 1,, 3) dτ = dτ ds = ds n ds R(s) avec R(s) le ayon de coubue. Et en emplaçant dans l'expesson de l'accéléaton nous obtenons fnalement : γ(m) / R d s = τ ds + n = γ t τ + γ n n (6) R(s) Remaques : * La composante tangentelle de l'accéléaton est : γ t = dv = d s elle donne des ndcatons su la manèe dont le pont matéel est accéléé su la tajectoe, tands que la composante nomale de l'accéléaton (potée pa la nomale pncpale) γ n = v R(s) = ds 1 R(s) pemet de détemne la coubue de la tajectoe au pont consdéé, γ n est d'autant plus gande que le ayon de coubue est pett. * On emaque d'apès l'expesson γ(m) / R = γ t τ + γ n n que l'accéléaton est toujous contenue dans le plan osculateu de la tajectoe au pont consdéé.

47 VII- Exemples de mouvements patcules smples. 1- Mouvement ectlgne a- Défnton Un pont matéel M est anmé d'un mouvement ectlgne s sa tajectoe est une dote et s les vecteus poston OM (O pont fxe su cette dote), vtesse v OM (M) = d et accéléaton γ(m) = d OM sont colnéaes et potés pa cette dote. b- Mouvement ectlgne unfome Un mouvement est ectlgne et unfome s'l épond à la défnton (a) et s en plus, le module de la vtesse est constant, c'est-à-de v (M) = cte ; ans pou un tel mouvement nous avons v (M) = cte. Remaques : * S M déct un mouvement ectlgne unfome et un vecteu untae su la dote tajectoe, nous avons : v (M) = v γ(m) dv(m) dv = = + d v avec dv = 0 (mouvement unfome) et d = 0 (mouvement ectlgne). Pa conséquent, pou un mouvement ectlgne unfome nous avons à tout nstant : γ (M) = 0 * Un mouvement su une tajectoe quelconque (pas nécessaement ectlgne) est unfome s le module de la vtesse est constant su cette tajectoe. v (M) = cte

48 c- Mouvement ectlgne unfomément vaé Un mouvement est ectlgne et unfomément vaé s'l épond à la défnton (a) et s en plus le module de l'accéléaton est constant su la tajectoe, c'est-à-de γ(m) = cte. Ans pou un tel mouvement nous avons γ(m) = cte. Remaques : * De manèe plus généale un mouvement su une tajectoe quelconque (pas nécessaement ectlgne) peut ête unfomément vaé s l'accéléaton su cette tajectoe à un module constant γ(m) = cte. * Un mouvement unfomément vaé est dt accéléé s en plus, le caé de la vtesse est une foncton cossante du temps ; dans ce cas le podut scalae v (M). γ(m) est postf. En effet, sot un mouvement unfomément accéléé ; posons : v (M) = v (M). v (M) pa défnton du mouvement accéléé c'est une foncton cossante et donc 0, d'où : d v (M) > d ( v(m). v (M) )= v (M) d v (M) > 0 et nous avons ben v (M). γ(m) > 0 De même, le mouvement unfomément vaé est dt etadé s v (M) décossante du temps. Le podut scalae v (M). γ(m) est alos négatf. est une foncton d - Mouvement ectlgne snusoïdal Un mouvement est ectlgne snusoïdal s'l épond à la défnton (a) et s en plus, l'abscsse du pont moble M est à chaque nstant de la fome : x(t) = X m sn(ωt + ϕ)

49 Ans, s O est un pont fxe su la dote tajectoe et un vecteu untae, nous avons les vecteus poston, vtesse et accéléaton du pont M qu sont donnés espectvement pa : OM = x(t) = [X m sn (ωt+ϕ)] v (M) dx = = [Xm ω cos (ωt+ϕ)] γ(m) = d x = [- Xm ω sn (ωt+ϕ)] = - ω OM X m est l'ampltude maxmale du mouvement, ω la pulsaton et ϕ la phase. - Mouvement cculae a- Défnton Un pont matéel M est anmé d'un mouvement cculae s sa tajectoe est un cecle (fgue VII.1). z O *e z y ϕ M *e ϕ *v (M) x Fg. VII. 1 *e S R est le ayon du cecle tajectoe le pont M peut ête défn pa ses équatons paamétques sot en coodonnées cylndques :

50 = R ϕ = ϕ(t) avec ϕ = ( Ox, OM ) z = cte (= 0 dans le cas de la fgue) sot en coodonnées catésennes x(t) = R cos ϕ y(t) = R sn ϕ z(t) = cte (= 0 dans le cas de la fgue). b- Vecteu vtesse de otaton Nous nous plaçons en coodonnées cylndques (ou polaes); l'expesson de la vtesse est alos d'apès (V-) : v (M) = d e + dϕ dz e ϕ + e z (1) o dans note cas nous avons = R = cte et z = cte ; et en emplaçant dans (1) v dϕ (M) = R e ϕ () = v e ϕ Pusque le mouvement est cculae e ϕ est tangent au cecle tajectoe ; pa alleus le tède ( e, e ϕ, e z ) étant othonomé et dect nous pouvons éce l'expesson () sous la fome : v dϕ (M) = R (ez Λ e ) dϕ e = z Λ R e

51 Le pseudo vecteu ω dϕ dϕ = ez est appelé "vecteu vtesse de otaton", étant la valeu algébque de vtesse angulae, posons OM = R e et nous avons alos l'expesson de la vtesse pou un mouvement cculae sous la fome : v (M) = ω Λ OM (3) Remaque : Dans le cas patcule où le mouvement cculae est unfome nous avons : v (M) = v = R dϕ = cte d'où dϕ = cte c- Vecteu accéléaton En dévant l'expesson (3) nous pouvons dédue l'expesson de l'accéléaton : γ(m) dv(m) = d = ( ω Λ OM ) dω = Λ OM + ω Λ d OM explctons chacun des temes ; ans pou le peme : dω Λ OM = d dϕ d ϕ = ( e z Λ R e e dϕ z + de z ) Λ R e d ϕ = R ( e z Λ e )

52 d ϕ = R e ϕ avec d ϕ étant la valeu algébque de l'accéléaton angulae. Pou le second teme ω Λ d OM dϕ = ez d Λ (Re ) dϕ e = z de Λ R dϕ = ez dϕ Λ R e ϕ = R dϕ ( e z Λ e ϕ ) = - R dϕ e d'où l'expesson de l'accéléaton en coodonnées cylndques pou un mouvement cculae : γ(m) = γ e + γ ϕ e ϕ Ans cette accéléaton s'éct sous la fome d'une somme de deux composantes : γ = - R dϕ e est la composante adale (qu est de même decton que la composante nomale ca la tajectoe est cculae). d ϕ γ ϕ = R e ϕ est la composante othoadale (qu est de même decton que la composante tangentelle pusque e ϕ est tangent au cecle tajectoe). Remaques :

53 * S le mouvement cculae est unfome nous avons vu que dϕ = cte et pa conséquent l'accéléaton angulae d ϕ = 0, l'accéleaton γ (M ) se lmte alos à sa seule composante adale (ou nomale) pusque sa composante othoadale γ ϕ = 0. * La descpton du mouvement cculae peut se fae également dans le epèe de SERRET-FRENET. Nous avons vu (VI.6) que l'expesson de l'accéléaton dans ce epèe s'éct : γ(m) d s = τ + ds n R(s) = γ t τ + γ n n avec la composante tangentelle γ t = dv 1 R(s) ds. = d s et la composante nomale γ n = v R(s) = Pou un mouvement cculae, le ayon de coubue est tout smplement le ayon R du cecle tajectoe. Pa alleus, ds étant un élément du cecle, nous avons : ds = R dϕ ds = R dϕ d s = R d ϕ en emplaçant dans l'expesson de l'accéléaton nous obtenons : γ(m) d ϕ = R τ dv v = τ + R + R dϕ n n = γ t τ + γ n n

54 avec γ t = R d ϕ et γ n = R dϕ 3- Mouvement hélcoïdal a- Défnton Un pont matéel M déct un mouvement hélcoïdal s sa tajectoe est une hélce cculae (fgue VII.). La pojecton m du pont M dans le plan Oxy déct alos un cecle. Fg. VII. b- Equatons paamétques. On se popose d'étude le mouvement hélcoïdal en coodonnées cylndques,ϕ,z. Les équatons paamétques du mouvement de M sont alos : = R ϕ = ϕ(t)

55 z = z(t) telles que: a z(t) = b ϕ(t) + c a, b, c étant des constantes non nulles smultanément. Le mouvement hélcoïdal est dt non dégénéé losque a 0 et b 0. Le appot b a est le pas édut de l'hélce. On pose b a = h π, h étant le pas de l'hélce, c'est-à-de la vaaton de z losque M fat un tou. S a = 0 et b 0 alos ϕ(t) = constante, le mouvement de M est alos un mouvement ectlgne. S a 0 et b = 0 alos z(t) = constante le mouvement de M est un mouvement cculae. Dans les deux denes cas on pale alos de mouvement hélcoïdal "dégénéé". c- Expesson du vecteu vtesse : Sot ( u, u ', k ) les vecteus untaes de base en coodonnées cylndques, c'est-àde que l'on pose u = e, u ' = e ϕ et k = e z. A chaque nstant nous pouvons éce : OM = u + z k avec = Om = R z = mm La vtesse v (M) pa appot à un éféentel quelconque s'expme dans la base ( u, u ', k ) pa : v d (M) = u + dϕ dz u' + k S le mouvement est unfome et s nous supposons qu'à l'nstant t = 0 ϕ = (O x,o u ) = 0 alos ϕ = ωt et dϕ = ω. Le vecteu vtesse s'éct alos : v (M) = R ω u ' + dz k compte tenu de la elaton z(t) = h π ϕ(t) + c a, nous avons

56 v (M) = R ω u ' + = R ω u ' + dϕ k ω k π h π h (1) le module de la vtesse est : v (M) = ω R h + (π) pa alleus nous pouvons détemne l'angle ψ (vo fgue VII.3) que fat le vecteu vtesse avec la decton Oz en écvant le podut scalae : v (M) k ψ M u ' Fg. VII.3 v (M). k = v (M) k cos ψ avec ψ = ( v (M), k ) et d'apès (1) d'où v (M). k = hω π cos ψ = h/π R + h π l'angle ψ est donc constant.

57 d- Expesson de l'accéléaton L'accéléaton γ(m) pa appot à un éféentel quelconque s'expme dans la base ( u, u ', k ) en coodonnées cylndques pa l'expesson : γ(m) = [ d dϕ - d ] u + [ dϕ d ϕ d z + ] u' + k o dans le cas du mouvement hélcoïdal : = R et z(t) = h π ϕ(t) + c a d'où γ(m) = - R dϕ u + R d ϕ h d ϕ u' + π k S le mouvement est unfome avec dϕ = ω, l'accéléaton s'éct alos : γ(m) = - R ω u C'est-à-de que seule la composante adale de l'accéléaton n'est pas nulle ; γ(m) dans le cas du mouvement unfome passe pa l'axe du cylnde (axe Oz), et elle est paallèle au plan (Ox,Oy). VIII- Mouvement à accéléaton centale. 1- défnton : Le mouvement d'un pont matéel M est à accéléaton centale, s'l exste un pont fxe O, appelé cente du mouvement, tel que le vecteu OM et le vecteu accéléaton γ(m) soent constamment colnéaes (vo fgue VIII.1). Cec se tadut pa la elaton : OM Λ γ(m) = 0

58 γ M u O Fg. VIII.1 A pat de la elaton fondamentale de la dynamque F = m γ nous emaquons que ce type de mouvement se encontea chaque fos qu'un pont matéel sea en mouvement sous l'effet d'une foce passant pa un pont fxe (foce centale). Exemple : La Tee toune autou du Solel sous l'acton d'une foce attatve dont la decton passe toujous pa le cente du Solel. Son accéléaton passe pa leu cente de masse qu peut ête consdéé comme fxe. Cec este va chaque fos que nous avons deux cops soums à leu seule nteacton ; nous veons alos que, dans un pael cas, le mouvement des deux cops M 1 et M de masses m 1 et m peut ête édut au poblème à un seul cops M de µ = m 1 m m 1 + m soums à la foce d'nteacton de ces deux cops, execée en C, cente de masse. - Popétés du mouvement à accéléaton centale. a- Constante du mouvement Consdéons C le moment en O de v (M), vecteu vtesse du pont M : C = OM Λ v (M) ce vecteu est une constante du mouvement ; en effet : dc = d OM Λ v (M) + OM Λ γ(m)

59 dc Chacun des temes étant nul, = 0 Donc pou que le mouvement d'un pont M sot à accéléaton centale de cente O, l faut et l sufft que le moment en O du vecteu lé v (M) sot constant : OM Λ v (M) = C Remaques : * Le moment cnétque du moble M en O est : L 0 = OM Λ m v (M) = m C d'où C L = 0 m Pa conséquent le moment cnétque pa appot à O est constant au cous d'un mouvement à accéléaton centale. Le vecteu constant C est détemné pa les condtons ntales. C = OM 0 Λ v 0 où OM 0 et v 0 sont espectvement la poston et la vtesse ntales du pont M. b- Caactèe plan du mouvement : La elaton OM Λ m v (M) = C mplque que OM et v (M) sont pependculaes à C. Ans, à tout nstant OM et v (M) appatennent au plan (P) pependculae à C : la tajectoe de M est donc plane (vo fgue VIII.).

60 C e z e ϕ O y ϕ dϕ M' e *V (P) x M Fg. VIII. Remaque : * S le moment de v (M) en O est nul, C = 0, alos la tajectoe de M est potée pa une dote passant pa O. En effet s C = 0 alos : OM Λ m v (M) = 0 donc la vtesse est centale et de cente O. En posant OM = e, le vecteu e étant untae, nous avons : e Λ de = 0 (1) pa alleus ( e ) = ( e. e ) = 1 donc e de. = 0 () de De ces deux équatons (1) et () nous dédusons que = 0 et donc que e est constant ; ans la tajectoe est potée pa une dote passant pa O.

61 c- Lo des aes : Enoncé : Dans un mouvement à accéléaton centale le ayon vecteu égales pendant des ntevalles de temps égaux. OM balaye des aes Pou smplfe l'étude du mouvement nous allons consdée que la tajectoe est dans le plan xoy. Expmons le vecteu C en utlsant le epèe local e, e ϕ, e z en coodonnées cylndques. Nous avons vu ( V.) que le vecteu poston et le vecteu vtesse peuvent s'éce : OM = e v (M) = d e + dϕ e ϕ En potant dans : C = OM Λ v (M) on obtent : C = dϕ e z = C e z avec C = dϕ (3) C désgne le module constant du vecteu C. A pat de l'ac MM ' = dϕ, on dédut l'ae élémentae balayée pa le ayon vecteu pendant l'ntevalle de temps : ds = dϕ (4) des elatons (3 ) et ( 4), on dédut : ds = 1 C

62 Il en découle que le ayon vecteu OM balae des aes égales pendant des ntevalles de temps égaux; cette popété pote le nom de lo des aes. La constante C, est appelée constante de la lo des aes et s'éct : C = dϕ = ds Remaque : * On appelle vtesse aéolae à l'nstant t, la dévée pa appot au temps de l'ae balayée pa OM : ds = C Cette vtesse est constante pou un mouvement à accéléaton centale. L'ae balayée s'obtent pa ntégaton ; en supposant que pou t = 0, S = 0, on obtent : S = C t Ce ésultat a été touvé los de l'établssement des los du mouvement des planètes auteu du solel, l est connu sous le nom de ème lo de Keple. On monte que les planètes décvent autou du solel un mouvement à accéléaton centale de tajectoe ellptque dont le solel est l'un des foyes. t S Solel S 1 t 1 S les ntevalles t 1 et t sont égaux, alos les sufaces balayées S 1 et S sont auss égales d'apès la ème lo de Keple. La planète se déplace plus apdement quand elle se appoche du solel. d- Sens du mouvement : D'apès la lo des aes, nous avons :

63 C = dϕ Nous emaquons que ne s'annule jamas au cous du mouvement et que dϕ est de même sgne que C. S C > 0, alos dϕ > 0 et pa conséquent ϕ est stctement cossante. Alos que pou C < 0, dϕ < 0 et ϕ est stctement décossante. Cec sgnfe que le ayon vecteu OM toune toujous dans le même sens pou le mouvement à accéléaton centale. L'équaton de la tajectoe est donnée pa une équaton de la fome = f(ϕ). 3- Fomules de Bnet : Les deux fomules de Bnet s'obtennent en élmnant le temps espectvement dans les expessons de v dϕ et de γ, en tenant compte de la elaton C = ez a- Pemèe fomule de Bnet Expmons la vtesse en coodonnées cylndques (V-1). v d (M) = e + dϕ e d'où v (M) = d + dϕ ϕ o et d = d dϕ dϕ dϕ = C En emplaçant dans v (M) nous obtenons la pemèe fomule de Bnet : v (M) = d dϕ C 4 + C

64 sot v (M) = C 1 + d 1 dϕ 4 Fasons le changement de vaable u = 1 ; nous avons alos : du dϕ = du d d dϕ = - 1 d dϕ donc v = C u + du dϕ qu epésente la pemèe fomule de Bnet avec la vaable u. b- Deuxème fomule de Bnet Ecvons l'accéléaton en coodonnées polaes (vo VI-) : γ(m) = dv(m) = [ d γ(m) = γ e + γ ϕ e ϕ dϕ - ] e d + [ dϕ d ϕ + ] e ϕ Pa défnton du mouvement à accéléaton centale, nous savons que : γ(m) Λ e = 0 En emplaçant γ(m) pa son expesson nous avons : (γ e + γ ϕ e ϕ ) Λ e = 0 ( γ ϕ e ϕ ) Λ e = γ ϕ e z = 0 d'où γ ϕ = 0 donc γ(m) = γ e c'est-à-de γ(m) = [ d dϕ - ] e Elmnons le temps dans cette expesson :

65 d = d d = d dϕ d dϕ d = dϕ dϕ ϕ d d dϕ o d'où dϕ C = d = C d dϕ d dϕ C = C d dϕ 1 d dϕ = - C d dϕ ( 1 ) et en emplaçant dans l'expesson de l'accéléaton nous obtenons la deuxème fomule de Bnet γ(m) = - C 1 d 1 + ( ) dϕ e En fasant le changement de vaable u = 1 ; nous obtenons : d = - C u d u dϕ et dϕ = C u 3 donc: γ(m) = - C u u + d u dϕ e qu epésente la deuxème fomule de Bnet avec la vaable u. 4- Exemples de mouvements à accéléaton centale a- Patcule dans un champ Newtonen.

66 Sot une patcule de masse m soumse à l'acton d'une foce centale en - : F = K - K est postf ou négatf suvant que la foce est attactve ou épulsve. Pa exemple dans le cas de l'nteacton coulombenne la foce s'éct : F = 1 q1q 4πε0 elle est attactve s les chages électques sont de sgnes contaes et épulsves s elles sont de même sgne. Dans le cas de la foce de gavtaton execée pa la masse M su la masse m la foce Newtonenne gavtatonnelle s'éct : F = - GMm avec G = MKSA Cette foce est toujous attactve; on dt que m se touve dans un champ Newtonen attactf et sot µ = GM. A pat de la elaton fondamentale F = mγ, on peut éce : mγ = - µm emplaçons γ pa son expessson dans la deuxème fomule de Bnet : - µ m u = - m C u u + d u dϕ d'où d u dϕ + u = µ C La soluton généale de cette équaton dfféentelle est : u = 1 = A cos (ϕ + α) + µ C C, A et α sont des constantes à détemne à l'ade de la poston et de la vtesse ntales. On pose

67 p = C µ et e = AC µ d'où 1 = 1 p = [1+ e cos (ϕ + α)] et l'équaton de la tajectoe est donc : = p 1+ e cos (ϕ + α) C'est l'équaton, en coodonnées polaes, d'une conque de foye O, de paamète focal p et d'excentcté e. La natue de la conque tajectoe est donnée à pat de la valeu de l'excentcté e ; ans: - s e = 0, la tajectoe est un cecle de ayon = P - s 0 < e < 1, la tajectoe est une ellpse de foye O - s e = 1, la tajectoe est une paabole - s e > 1, la tajectoe est une hypebole. Remaque : * Une foce centale popotonnelle à 1 ntevent dans le mouvement des planètes. Nous montons dans les chaptes de la dynamque que cette lo de Newton en 1 peut ête dédute des los expémentales de Keple suvantes : 1 èe lo : les obtes des planètes sont des ellpses dont le solel est l'un des foyes. ème lo : le ayon vecteu d'une planète balae en des temps égaux des aes égales. 3 ème lo : le appot des caés des péodes de évoluton su les cubes des dem-gands axes de l'ellpse sont constants (ndépendants de la planète). b- Patcule soumse à une foce centale attactve popotonnelle à la dstance : Sot un pont matéel M de masse m soums à une foce centale constamment dgée de M ves O, et telle que : F = - K OM La tajectoe de M est dans le plan passant pa O et pependculae au vecteu constant C :

68 C = OM Λ v (M) Consdéons que la tajectoe est stuée dans le plan Oxy. y M (x,y) *f O x La elaton fondamentale de la dynamque : F = m γ = m OM d = - K OM pojetée su les axes Ox et Oy, donne les équatons : m d x = - K x m d y = - K y qu s'écvent auss : d x + ω x = 0 d y + ω y = 0 avec ω = K m. L'ntégaton des équatons dfféentelles condut à :

69 x = A cos (ωt + ϕ 1 ) y = B cos (ωt + ϕ ) Les constantes d'ntégaton A, B, ϕ 1 et ϕ sont détemnées à pat des condtons ntales su la poston et la vtesse. En élmnant le temps ente x et y, on obtent l'équaton de la tajectoe : x A + y B - xy AB cos (ϕ 1 - ϕ ) = sn (ϕ 1 - ϕ ) C'est l'équaton d'une ellpse nscte dans un ectangle de côtés A et B (fgue VIII.3). y B M *F - A A x - B Fg. VIII.3 Comme x et y sont péodques de péode π ω, alos l'ellpse sea décte avec la péode : T = π ω Le sens de pacous su l'ellpse dépend du sgne de la constante des aes. En effet : C = ds = suface de l'éllpse péode

70 o la suface de l'ellpse est égale à πab sn (ϕ 1 - ϕ ) d'où C = πab sn (ϕ 1 - ϕ ) m π K = AB ω sn (ϕ 1 - ϕ ) Donc le sens dans lequel est décte l'éllpse dépend de ϕ 1 - ϕ ; ans : s 0 <ϕ - ϕ 1 < π alos C < 0. Le mouvement s'effectue donc dans le sens tgonométque étogade : l'ellpse est dote (fgue VIII.4,5). s π < ϕ - ϕ 1 < π l'éllpse est gauche (fgue VIII.6,7). Cas patcules : * S ϕ = ϕ 1, la tajectoe est ectlgne : c'est la pemèe dagonale du ectangle. * S ϕ = ϕ 1 + π, la tajectoe est la deuxème dagonale du ectangle. * S ϕ = ϕ 1 ± π, la tajectoe est cculae, pacouue dans le sens dot ou gauche.

71 Fg. VIII.4 < ϕ ϕ 0 1 π < Fg. VIII.5 π < ϕ ϕ 1 < π Fg. VIII.6 π < ϕ ϕ 1 π < 3 3π < ϕ ϕ1 < π Fg. VIII.7

72 IX- Changement de Réféentel. 1- Poston du Poblème : Un cops laché dans un tan en mache déct une dote vetcale pou un obsevateu asss dans le tan, tands que, vue pa un obsevateu su le bod de la voe la tajectoe est une paabole. Le mouvement du même pont se manfeste donc de façon dfféente suvant le éféentel dans lequel on se place pou le déce. Le but de ce chapte est de monte comment détemne les caactéstques cnématques assocées au mouvement d'un pont matéel pa appot à un éféentel losqu'on connat déjà ce mouvement dans un aute éféentel lu-même en mouvement pa appot au peme. Consdéons deux éféentels (R) et (R') en mouvement elatf l'un pa appot à l'aute (vo fgue IV.1). Dans (R) un pont M en mouvement est défn pa ses paamètes cnématques poston OM, vtesse v (M) /R, accéléaton γ (M ) /R. M *e z' *e y' O' (R' ) *e x' *e z O *e y *e x (R) Fg. IX.1 Dans (R'), M est défn pa O M, v(m) /R', γ (M ) /R'. Le mouvement est déct de façon dfféente selon qu'l est consdéé dans (R) ou dans (R'). Il s'agt donc dans un changement de éféentel d'expme les caactéstques cnématques, d'un pont matéel M, en mouvement dans (R) en foncton des caactéstques cnématques du même pont dans (R') supposées connues.

73 En généal pou déce le mouvement d'un moble, nous utlsons deux éféentels: un éféentel "mmoble" (R) (qu poua ête supposé dans cetans cas comme "absolu" ou galléen), et un éféentel moble (R') dans lequel on supposea connus les paamètes cnématques ; selon le type de mouvement de (R') pa appot à (R), on dédua pa la sute (dans des cas smples) les elatons analytques ente ces mêmes paamètes expmés dans (R) et (R'). - Dves types de mouvements smples de (R') pa appot à (R). a- Mouvement de tanslaton Le éféentel (R'), de vecteus untaes e ' 1, e ', e ' 3 est en tanslaton pa appot au éféentel (R), de vecteus untaes e 1, e, e 3, s et seulement s la base ( e ' 1, e ', e ' 3 ) est ndépendante du temps, c'est-à-de que ces vecteus untaes gadent une oentaton constante pa appot à (R) au cous du mouvement de (R') (vo fgue IX.). D'où : e ' = cte de' = 1,, 3 et R = 0 *e' 3 O' *e' 3 *e' (R' ) *e' 1 *e 3 O' *e' (R' ) *e' 1 O *e 1 (R) *e IX. *e' 3 *e' *e' 1 O' (R' ) Fg. A pat de cette défnton nous voyons que tout vecteu ABlé à (R'), este équpollent à lu même au cous du mouvement de tanslaton de (R') pa appot à (R). Le vecteu ABest donc constant, d'où :

74 dab / R = 0 donc d OB / R = d OA / R ce qu s'éct : v (B) /R = v (A) /R Tous les ponts lés à (R') ont même vtesse et, donc même accéléaton pa appot à (R) ; cependant cette même vtesse et cette même accéléaton peuvent ête quelconques. b- Mouvement de otaton de (R') autou dun axe lé à (R) Sot les éféentels (R) : (O;x 1,x,x 3 ) et (R') : (O';x' 1,x',x' 3 ) où les axes O x 3 et Ox 3 sont confondus (vo fgue IX.3). x 3 x' 3 x' *e 3 *e x *e' *e1 ϕ (t) *e' 1 x 1 Fg. IX.3 On dt que (R') est en mouvement de otaton pa appot à (R) autou de l'axe avec une vtesse angulae ω R'/R s : x' 1 ω R'/R = dϕ e ' 3 avec ( e 1, e ' 1 ) = ( e, e ' ) = ϕ(t)

75 et ( e 3, e ' 3 ) = 0 S dϕ > 0, la otaton a leu dans le sens dect de Ox1 ves Ox ; S dϕ < 0, la otaton a leu dans le sens nvese de Ox ves Ox. 1 La otaton de (R) pa appot à (R') est défne pa : ω ' R'/R = - ω R'/R Les ponts stués su l'axe commun Ox ont une vtesse nulle pa appot à (R), alos que les 3 autes ponts, lés à (R'), ont des vtesses non nulles. En effet, à pat des dévées des vecteus de base du éféentel (R') nous avons : e' d 1 / R = de' 1 dϕ = dϕ dϕ e dϕ = e' Λ e = ω R'/R Λ e' 1 3 ' 1 e' d / R = de' dϕ = - dϕ e' 1 dϕ dϕ = - e' Λ e = ω R'/R Λ e' ' 3 de' 3 / R = ω R'/R Λ e ' 3 = 0 On vot que tout pont M, lé à (R'), de vecteu poston : O M = a e ' 1 + b e ' + c e ' 3 (a,b,c étant des constantes) est anmé d'un mouvement de vtesse : v (M) /R = d O' M / R

76 de' = a 1 / R + b de' R + c e' = ω R'/R Λ (a e 1 + b e + c e 3) d 3 R donc v (M) /R = ω R'/R Λ O M c- Angles d'eule Pou caactése la poston d'un éféentel (R) (ou d'un solde lé à (R)) en mouvement pa appot à un éféentel (R 0 ), l faut en généal connate sx paamètes : tos paamètes pou caactése à un nstant t la poston d'un pont de (R) (ou du solde) et tos paamètes pou caactése l'oentaton de (R) autou de ce pont à cet nstant. On utlse en généal comme paamètes d'oentaton les tos angles de Eule que nous allons défn c-dessous. Ans, s O est un pont fxe du solde, les angles d'eule ψ,θ,ϕ défnssent à chaque nstant l'oentaton des axes (O; x, y, z ) (lés à (R) et au solde) pa appot aux axes ( x 0, y 0, z 0 ) (lés à (R 0 ) et amenés en O). Pou les détemne, on opèe de la façon suvante en patant de (O; x 0, y 0, z 0 ) (vo fgue IX.4) : *z θ *z 0 *y Rϕ *ω ψ *w *v *x 0 ψ ϕ R θ *x *y 0 *u Fg. IX.4 * On fat une pemèe otaton autou de O 0 z et d'angle ψ = (O 0 x, O u ) appelé ''angle de pécesson'' et tel que 0 ψ< π. Cette otaton R ψ d'angles ψ (appelée pécesson)

77 pemet de passe de (O; x 0, y 0, z 0 ) à (O; u, v, z 0 ) avec le vecteu vtesse de otaton dy z, ( 0 0 ω ψ = x, y 0, z 0 ) et ( u, v, z 0 ) étant des bases de vecteus untaes assocées aux axes de mêmes noms. Une epésentaton plane de la pécesson donne : *v *y 0 *u ψ *z 0 ψ *x 0 * On effectue ensute une seconde otaton autou de O u et d'angle θ = (O u,o z ) appelé ''angle de nutaton'' et tel que 0 θ π. Cette otaton R θ (appelée nutaton) pemet de passe de (O; u, v, z 0 ) à (O; u, w, z ) avec la vtesse angulae de otaton de vecteu ω dθ θ = u. La epésentaton plane de la nutaton est donnée pa la fgue c-dessous. *z *z 0 *w θ *u θ *v * On effectue enfn une tosème otaton autou de O z et d'angle ϕ = (O u,o x ) appelé angle de otaton pope et tel que 0 ϕ < π. Cette otaton R ϕ (appelée otaton pope) pemet de passe de (O; u, w, z ) à (O; x, y, z ) avec la vtesse angulae de

78 otaton de vecteu donée pa : ω dϕ ϕ = z et la epésentaton plane assocée à la otaton pope est *w *y *x ϕ *z ϕ *u En ésumé : R ψ R θ R ϕ (O; x 0, y 0, z 0 ) (O; u, v, z 0 ) (O; u, w, z ) (O; x, y, z ) Les angles ψ,θ et ϕ sont les tos angles d'eule; la détemnaton supplémentae des composantes de O 0 A qu donnent la poston d'un pont A (du solde) dans R 0 pemet d'avo les sx paamètes de poston évoqués pécédemment. Pa alleus, les otatons successves effectuées sont : R ψ R θ R ϕ (A; x 0, y 0, z 0 ) (A; u, v, z 0 ) (A; u, w, z ) (A; x, y, z ) Le mouvement généal de otaton autou d'un pont A se décompose donc en tos otatons autou des axes O z 0, O u, O z qu s'effectuent avec les vtesses angulaes ( ω ψ = dψ z 0, ω dθ θ = u, ω dϕ ϕ = z ) D'apès la composton des vtesses angulaes le vecteu otaton du mouvement composé de (R') pa appot à (R) est : ω R'/R = ω ψ + ω θ + ω ϕ Οn obtent faclement les coodonnées de ω R'/R dans la base ( z 0, u, z ) :

79 ω R'/R = dψ dθ dϕ z0 + u + z A pat de ces expessons, on éct ω R'/R dans la base ( u, v, z 0 ) : ω R'/R = dθ u dϕ - sn θ v + ( dψ + dϕ cos θ) z 0 et dans la base ( u, w, z ) : ω R'/R = dθ u dψ + sn θ w + ( dψ cos θ + dϕ ) z A pat des expessons, on éct ω R'/R dans les bases ( x 0, y 0, z 0 ) et ( x, y, z ) ω R'/R = (dθ dϕ cos ψ + sn θ sn ψ) x 0 + ( dθ + ( dψ dϕ sn ψ - sn θ cos ψ) y 0 + dϕ cos θ) z 0 et ω R'/R = (dθ cos ϕ + dψ sn θ sn ϕ) x + ( dψ sn θ cos ϕ - dθ sn ϕ) y + ( dϕ + dψ cos θ) z 3- Tansfomaton du vecteu vtesse. a- Dévaton d'un vecteu pa appot au temps elatvement aux éféentels (R) et (R')

80 Pou touve les elatons qu exstent ente les caactéstques cnématques, vtesse et accéléaton d'un même pont M, elatvement à (R) et (R'), nous seons amenés à établ la elaton ente les dévées d'un même vecteu pa appot au temps elatvement à (R) et (R'). Sot un vecteu u de composantes x 1, x, x 3 dans la base ( e 1, e, e 3) de (R) et x 1, x, x 3 dans la base ( e ' 1, e ', e ' 3 ) de (R'). Dans la base de (R) l s'éct : u = x 1 e 1+ x e + x 3 e 3 et dans la base de (R') : u = x' 1 e ' 1 + x' e ' + x' 3 e ' 3 (1) La dévée de u pa appot au temps dans (R) est : du dx / = 1 dx e R 1 + dx e + 3 e3 ca e / R = 0 = 1,,3 d les vecteus e étant lés à (R). du / = dx' 1 dx' R e ' 1 + dx' e + 3 e 3 ca e' d / = 0 = 1,,3 R ' les vecteus e étant lés à (R'). Dévons mantenant l'expesson (1) dans (R) du R = dx' 1 dx' e1 + dx' e + 3 e 3 de' + x' 1 1 de' / R + x' /R + x' de' 3 3 / R () O nous avons vu que s ω R'/R est la vtesse angulae de (R') pa appot à (R) alos :

81 e' R = ω R'/R Λ e = 1,,3 d donc du du / R = / R' + ω R'/R Λ u Cette expesson pemet ben de détemne la dévée du vecteu u elatvement à (R) connassant sa dévée elatvement à (R'). de' Notons que la elaton / R = ω R'/R Λ e est véfée quelle que sot la decton de l'axe de ω R'/R et pas nécessaement celle de e 3 comme nous l'avons supposé pécédemment pou smplfe. Remaque : Nous pouvons dédue quelques ésultats en consdéant les cas patcules suvants: * S (R') est en mouvement de tanslaton pa appot à (R), dans ce cas : ω R'/R = 0 et du du / R = / R' * S le vecteu u epésente le vecteu otaton de (R') pa appot à (R), c'est-à-de s on pend u = ω R'/R l'expesson () s'éct alos : d ω R'/ R d / R = ω R'/ R / R' ce qu veut de que l'accéléaton angulae de (R') pa appot à (R) défne pa d v ω R'/ R est la même elatvement à (R) et à (R') quel que sot le mouvement de (R') pa appot à (R). * Dans le cas où u est un vecteu fxe dans (R'). du / R' = 0 d'où du / R = ω R'/R Λ u

82 * Consdéons tos éféentels (R), (R 1 ) et (R'), tels que le éféentel (R') sot en otaton avec la vtesse angulae ω R'/R1, pa appot à (R 1 ), et ce dene en otaton, avec la vtesse angulae ω R1/R' pa appot à (R'). S u est un vecteu lé à (R') alos : du / R' = 0 d'où et du / R = ω R'/R Λ u (3) du / = ω R1 R'/R 1 Λ u (4) d'aute pat : du du / R = / + ω R1 R1/R' Λ u (5) En potant (3) et (4) dans (5) on obtent quel que sot u : ω R'/R Λ u = ( ω R'/R1 + ω R1/R ) Λ u (5') donc : ω R'/R = ω R'/R1 + ω R1/R Cette expesson expme la composton des vtesses angulaes, elle sgnfe que la vtesse angulae de (R') pa appot à (R) est la somme des vtesses angulaes de (R') pa appot à (R 1 ) et de (R 1 ) pa appot à (R). En généal s l'on sat décompose un mouvement de otaton en otatons successves autou d'axes connus, on obtent l'expesson de la vtesse angulae de otaton en ajoutant (vectoellement) les vtesses angulaes de otaton autou des dfféents axes. Remaque : En fat la elaton (5') mplque que ω R'/R = ω R'/R1 + ω R1/R + k u quel que sot u, en patcule pou k = 0 et nous détemnons ω R'/R = ω R'/R1 + ω R1/R. Pa alleus, cette denèe elaton peut ête généalsée au cas de pluseus éféentels ntemédaes et on monte que : ω R'/R = ω R'/R1 + ω R1/ R + ω R/ R3 + ω Rn/R

83 b- Lo de composton du vecteu vtesse Les vtesses du même pont M pa appot aux éféentels (R) et (R') sont défnes pa v (M) /R et v (M) /R' : v (M) /R = d OM / R O pont fxe de (R) et v (M) /R' = d OM / R' O' pont fxe de (R'). En utlsant le vecteu poston, OM s'éct dans la base ( e 1, e, e 3) lée à (R) : OM = x 1 e 1+ x e + x 3 e 3 3= =1 x e on obtent : v (M) /R = d OM 3 / R = = 1 dx e ca les e sont fxes pou l'obsevateu lé à (R). De même pou le vecteu poston O M dans la base ( e ' 1, e ', e ' 3 ) lée à (R'). O M = x'1 e ' 1 + x' e ' + x' 3 e ' 3 d'où v (M) /R' = 3 d O' M dx' / = R e' = 1 3 = x' e =1

84 où les e sont fxes pou l'obsevateu lé à (R'). Pou détemne la elaton ente ces vtesses on utlse l'expesson OM = OO ' + O M en écvant O M dans la base de (R'), nous avons : OM = ' OO + x'1 e ' 1 + x' e ' + x' 3 e ' 3 En dévant pa appot au temps dans le éféentel (R), nous avons : v (M) /R = 3 d OO' dx' / R = e' = =1 de' x' / R o e' d / R = ω R'/R Λ e donc v (M) /R = v (O') /R + v (M) /R' + ω R'/R Λ O ' M (6) On appelle vtesse d'entanement la somme des deux temes : v e (M) = (O') v /R + ω R'/R Λ O ' M Elle epésente la vtesse d'un pont P lé au éféentel moble (R') et qu, à l'nstant consdéé, coïndce avec le pont M, comme nous allons le monte dans la emaque qu va suve. Pa conséquent : v (M) /R = v (M) /R' + v e (M) La vtesse de M dans le éféentel moble (R') est en généal appelée "vtesse elatve" v, alos que la vtesse de M pa appot au éféentel (R) supposé fxe los du mouvement (de (R') pa appot à (R)) est appelée "vtesse absolue" v a. Ans v a = v + v e

85 La vtesse absolue est la somme de la vtesse elatve et de la vtesse d'entanement. Notons c que les appellatons "absolue" et "elatve" ne sont utlsées que pa commodté de langage, ca en cnématque les deux éféentels sont ntechangeables. Remaque : Sgnfcaton de la vtesse d'entanement et du pont concdant : Soent (x 1 x x 3 ) les coodonnées du pont M dans (R'), et sot P un pont fxe de (R') qu, à l'nstant t, concde avec M. A l'nstant t les coodonnées de P qu s'écvent : X' 1 = x' 1 (t), X' = x' (t) et X' 3 = x' 3 (t) sont donc constantes ca P est fxe; P est appelé pont concdant. C'est le pont fxe du éféentel moble (R') qu, à l'nstant t, concde avec le pont moble M. Pusque le pont P ne coespond plus au pont concdant à un nstant t' dfféent de t, on notea le pont concdant à tout nstant sous la fome M R'. Donc à l'nstant t on aua dx' = dx' = 0 = 1,,3 v (P) /R = v (O') /R + ω R'/R Λ et à tout nstant on poua éce : v(m R') /R = v (O') /R + ω R'/R Λ O ' M P O Cec tadut que la vtesse d'entanement de M est égale à la vtesse du pont concdant pa appot au éféentel (R).

86 PARTIE B X - Pncpes de la dynamque (Los de Newton). 1- Pncpe d'nete Il exste au mons un éféentel pvlégé (R G ) appelé éféentel d'nete ou galléen dans lequel un pont matéel M solé (c'est-à-de qu n'est pas soums à des actons d'autes cops) est sot au epos ( v (M) /R G = 0), sot en mouvement ectlgne unfome v (M) /R = G cte Remaques : * Le pncpe d'nete postule l' exstence des éféentels galléens et les défnt en même temps. * S le pncpe d'nete est valable dans un éféentel (R G ), l est valable également dans tout éféentel (R) en mouvement de tanslaton ectlgne unfome pa appot à (R G ). En effet nous avons : v (M) /R G = v (M) /R + v e (M) et pusque (R) est un mouvement de tanslaton ectlgne unfome v e (M) = cte nous avons pa conséquent γ(m) / R G = γ(m) / R (vo tansfomaton de Gallée IX-5). Ans, s'l exste un éféentel galléen, l en exste une nfnté en mouvement de tanslaton ectlgne unfome les uns pa appot aux autes. * Selon le poblème physque à tate on fat l'appoxmaton selon laquelle les éféentels teestes (local ou géocentque) ou le éféentel de Copenc sont galléens, en fat l n'exste pas de éféentel galléen absolu. - Pncpe fondamental de la dynamque Pa appot à tout éféentel galléen R G, la ésultante des foces qu s'execent su un pont matéel M est égale à la dévée pa appot au temps du vecteu quantté de mouvement de ce pont. F d = p(m) / R G / R G

87 avec p (M) / R G = m v (M) / R G Dans le cas patcule où la masse m du pont matéel est constante nous avons : F dv = m (M) / R G = m γ(m) / R G Remaque : * Le pncpe fondamental de la dynamque tadut le fat que los du mouvement d'un pont matéel dans un éféentel galléen, on peut dentfe deux temes de natue dfféente : Un teme "physque" F qu caactése l'nteacton du pont matéel M d avec son envonnement et un teme "cnétque" p(m) / R qu caactése G / RG l'évoluton dans le temps du mouvement de ce pont. Ans la queston essentelle qu se touve posée losque l'on éct le pncpe fondamental de la dynamque est celle du chox du éféentel supposé galléen; en effet toute appoxmaton fate dans ce chox pa appot à un "vétable" éféentel galléen mpose une modfcaton des foces qu ntevennent, snon névtablement cetans écats, plus ou mons sensbles, appaassent ente les pévsons de la descpton pa l'applcaton du pncpe et le mouvement obsevé. 3 - Pncpe de l'acton et de la éacton Sot un système de deux ponts matéels M 1 et M en nteacton ente eux et soums à leus seules actons mutuelles. Le pncpe de l'acton et de la éacton affme que la foce F 1 execée su M 1 pa M est égale et opposée à la foce F 1 execée su M pa M 1. La decton commune de F 1 et F 1 étant celle de M 1M. Ans le pncpe mplque les elatons smultanées : F 1 + F 1 = 0 et F 1 Λ M 1M = F 1 Λ M M 1 = 0 Remaque : * Toutes les foces ne véfent pas le pncpe de l'acton et de la éacton; c'est le cas pa exemple des foces d'nete (vo suvant) qu ont une ogne "cnématque" ou encoe des

88 foces éléctomagnétques qu'execent ente elles deux chages en mouvement, leu ogne étant elatvste. z' z M (R' ) O' y' (R ) G O y x' x D'apès la lo de composton des accéléatons du mouvement de (R') pa appot à (R G ) (vo IX-4) nous avons : γ (M) / R G = γ (M) / R' + γ e ( M) + γ c ( M). Pa alleus, pusque (R G ) est galléen, nous avons d'apès le pncpe fondamental de la dynamque: F = m γ (M) / R G F étant la ésultante de toutes les foces qu s'execent su M de la pat de son envonnement. En emplaçant γ (M) / R G pa son expesson (1) dans (), nous avons : F = m γ (M) / R G = m γ (M) / R' + m γ e ( M) + m γ c ( M) sot encoe : m γ (M) / R' = F - m γ e ( M) - m γ c ( M) (3) On pose F e = - mγ e (M), et on l'appelle foce d'nete d'entaînement tands que F c = - mγ c (M) est appelée foce d'nete de Cools. Ans la elaton (3) s'éct donc : m γ (M) / R' = F + F e + F c Cec epésente la fomulaton du pncpe fondamental de la dynamque dans un éféentel quelconque (R'). Remaques : * Le pncpe fondamental de la dynamque peut ête applqué dans tout éféentel (galléen ou non galléen) à condton d'ajoute aux foces dont la ésultante est F (foces d'nteacton qu s'execent su le pont M de la pat de son envonnement),des foces supplémentaes qu sont les foces d'nete F e et F c.

89 * La ésultante F ne change pas quand on passe d'un éféentel à un aute, alos que les foces d'nete F e = - m γ e (M) et F c = - m γ c (M) changent pusque γ e ( M) et γ c (M) sont détemnées pa les calculs cnématques développés pécédemment (vo XI- 4) ; de ce fat on dt que ces foces d'nete sont dues aux effets cnématques de l'accéléaton dans le mouvement de (R') pa appot à (R G ). * Les foces d'nete F et e F exstent même s le pont matéel M n'est soums à c aucune foce ( F = 0) c'est-à-de même s'l est solé. D'un aute côté les foces d'nete sont nulles losque le éféentel (R') est lu même un éféentel galléen comme nous le monteons dans le paagaphe qu sut. * Les foces d'nete ne véfent pas le pncpe de l'acton et de la éacton du fat qu'elles ne sont pas dues à l'acton execée su M de la pat de son envonnement, leu ogne étant lée plutôt aux effets cnématques de l'accéléaton, comme nous venons de l' évoque. 3- Foces d'nete dans les cas de mouvements patcules a- Mouvement de tanslaton de (R') pa appot à (R G ) Nous avons vu dans le IX-4 que dans le cas d'un mouvement de tanslaton de (R') pa appot à (R G ) les accéléatons d'entaînement et de Cools s'écvent : γ e (M) = et γ c (M) d OO' / R G = γ(o') / R G = 0 d'où la foce d'nete d'entaînement : F e = - m γ e (M) = - mγ (O') / R G (celle-c s'annule s la tanslaton de (R') pa appot à (R G ) est ectlgne et unfome ca γ(o') / R G =0 dans ce cas). La foce de Cools F c = - mγ c (M) étant nulle dans le cas généal de la tanslaton. b- Mouvement de otaton de (R') pa appot à (R G ) autou d'un axe ( ) passant pa O' Nous avons vu IX-4 que dans ce cas l'accéléaton d'entaînement a pou expesson : dω R'/ R γ e (M) = G Λ O ' M - ω R '/ R HM G et la foce d'nete d'entaînement est donc : F = - mγ e (M) e

90 dω R'/ R S la otaton est unfome, G = 0 et nous avons dans ce cas : F e = m '/ R HM ω R G Cette foce est dgée de l'axe ( ) ves le pont M (H étant la pojecton de M su l'axe ( )), c'est donc une foce centfuge. Pou l'accéléaton de Cools nous avons vu également que : γ c (M) = ω R'/ R G Λ v (M) / R' et pa conséquent : F c = - m γ c (M) = -m ω R'/ R G Λ v (M) / R' Remaque : * Nous emaquons que la foce d'nete de Cools F n'exste que s c ω R'/ R G 0 et s le pont matéel M est en mouvement dans (R') c'est à de s v (M) / R' 0. Pa exemple un voyageu mmoble dans un bus en mouvement, est soums à une foce d'nete d'entaînement F e ( foce centfuge) los d'un vage, mas s pendant ce vage le voyageu se déplace dans le bus (mouvement pa appot à (R')) l sea alos soums en plus à une foce de Cools. * Dans le mouvement pa appot au éféentel (R') la foce de Cools n'effectue aucun taval. En effet : F c = -m ω R'/ R G Λ v (M) / R' Un déplacement élémentae de M dans son mouvement pa appot à (R') sous l'effet de F c s'éct : d M = v (M) / R' le taval de F c los de ce déplacement est donc : dw = F c.d M = F c. v (M) / R' * On appelle foces gyoscopques les foces du type de la foce de Cools, c'est-àde celles qu dépendent de la vtesse du pont matéel et qu agssent selon la decton pependculae à cette vtesse. Comme aute exemple ctons également la foce de Loentz F = qvλb 4- Equlbe d'un pont matéel dans un éféentel non galléen Un pont M est en équlbe dans un éféentel (R'), s le vecteu poston O ' M

91 qu défnt le pont matéel M dans (R') est une constante vectoelle (pa appot au temps) c'est-à-de encoe que v (M) / R' = 0 et γ(m) / R' = 0 Deux cas peuvent ête envsagés : - S (R') est galléen (R') = (R' G ), nous avons alos d'apès le pncpe fondamental de la dynamque : F = m γ(m) /RG ' et d'apès les condtons d'équlbe : γ(m) /RG ' = 0 pa conséquent cec mplque que la ésultante F des foces qu agssent su le pont M est nulle. - S (R') n'est pas un éféentel galléen, nous avons : m γ (M) / R' = F + F e + c F m γ (M) / R' = F + F e + F c Les condtons d'équlbe dans (R') mplquent : F c = -m ω R'/ R G Λ v (M) / R' = 0 ( ca v (M) / R' = 0 ) et γ (M) / R' = 0 d'où : F + F e = 0 Dans ce cas la ésultante des foces (autes que les foces d'nete) qu s'exece su le pont matéel M en équlbe est égale et opposée à la foce d'nete d'entaînement. XII - Applcaton des éféentels non galléens à la dynamque teeste. 1- Noton de pods d'un cops. Pesanteu a- Défnton Sot un éféentel teeste (R) et M un pont matéel de masse m ; on appelle foce de la pesanteu teeste (ou tout smplement pods) la foce opposée à celle qu mantent le pont M en équlbe dans (R). C'est donc la foce qu compense celle qu mantent M en équlbe. Exemple : Une masse ponctuelle M à l'extémté d'un essot est soumse, à l'équlbe, à son

92 pods P qu compense la tenson T du essot su M (vo fgue XII.1). Ans nous avons : P + T = 0 *T M b - Causes de la pesanteu *P Le éféentel teeste (R) est supposé non galléen. Le pont matéel M est alos soums aux foces suvantes : les foces de gavtaton m G (M), où G (M) est le champ de gavtaton podut pa la Tee et pa les autes planètes, astes etc ; les foces d'nete - m γ ( M) et - m γ ( M) pusque (R) n'est pas Galléen. e c A l'équlbe du pont M dans le éféentel (R) nous avons : v (M) / R = 0 ( donc γ c ( M) = 0 ) et également : γ(m) / R = 0 Sot T la foce qu mantent à l'équlbe le pont M. Nous avons : T + m G (M) - m γ ( M) = 0. Pa défnton le pods P est tel que : P + T = 0 e d'où : P = m G (M) - m γ e ( M) L'ogne du pods (pesanteu) est donc due, d'apès la elaton pécédente, à la gavtaton et à la foce d'nete d'entaînement. Remaque : Pncpe d'équvalence :

93 Dans un champ de gavtaton, en mécanque non elatvste, tous les cops ont le même mouvement et ce, ndépendamment de leu masse pou des condtons ntales supposées dentques. Cette popété fondamentale des champs de gavtaton pemet de fae une analoge ente le mouvement d'un pont matéel (ou d'un cops quelconque) dans un champ gavtatonnel et le mouvement du pont matéel dû aux "foces de épèe" c'est-àde losque l'on consdèe le éféentel non galléen, (ou non netel). Le pncpe d'équvalence établt donc une équvalence de natue ente le champ de gavtaton et un éféentel non netel. On monte alos qu'l y a dentté ente la masse pesante (celle qu ntevent dans la détemnaton du champ de gavtaton) et la masse nete (celle qu ntevent dans le pncpe fondamental). S le pncpe d'équvalence concene la natue des foces de gavtaton et des foces de epèe, des dfféences ente ces deux types de foces appaassent notamment ente leus popétés à l'nfn. Pa exemple le champ de gavtaton s'annule à l'nfn alos que cec n'est pas le cas pou les champs qu ont pou équvalent des éféentels non netels (exemple des foces centfuges qu augmentent d'ampltude avec la dstance). Une aute dfféence essentelle povent du fat que les champs de gavtaton pesstent et ne peuvent ête élmnés quelle que sot la natue du éféentel dans lequel on se place, alos que les champs dûs aux epèes s'annulent et pa conséquent s'élmnent losqu'on passe à un éféentel galléen. - Pncpe fondamental de la dynamque dans le éféentel teeste (R) Sot M un pont matéel soums à :. des foces de ésultante F 1 autes que les foces de gavtaton et que les foces d'nete ;. des foces d'nete d'entaînement F e = - mγ e (M) et de Cools ω Λ v (M) / R ( avec ω = ω R / R G ).. des foces de gavtaton m G (M) F = - mγ c (M) = -m Dans le éféentel teeste (R) supposé non galléen le pncpe fondamental de la dynamque s'éct : c

94 m γ(m) / R F + m G (M) - mγ e (M) = 1 - m ω Λ v (M) / R o nous avons vu (vo XII-1 ) que le pods P est défn pa : P = m G (M) - mγ e (M) d'où : m γ(m) / R = F 1 + P - m ω Λ v (M) / R 3- Champ de la pesanteu teeste - Vetcale d'un leu Sot m la masse du pont matéel M ; on défnt le champ de la pesanteu teeste pa : g P = = G (M) - γ e (M) () m G (M) est le champ de gavtaton en un pont M, dû à l'attacton teeste ans qu'à l'attacton des autes astes. En explctant les dfféentes contbutons à G (M) nous avons donc la contbuton teeste au pont M : G0MT G T (M) = - u avec : G 0 = 6, Nm /Kg constante unveselle de gavtaton M T = masse de la Tee = CM u CM = vecteu untae ; C étant le cente de masse de la Tee. CM Pa alleus sot G 1 (M) la contbuton due aux autes astes au nveau du pont M. Le champ de gavtaton total est donc : G (M) = G T (M) + G 1 (M) (3) Dans l'expesson () ntevent l'accéléaton d'entaînement du pont M, le éféentel teeste (R) consdéé n'étant pas galléen. S nous nous plaçons dans le cas patcule où le éféentel (R) est lé à la Tee avec pou ogne le cente de masse C et s nous consdéons comme éféentel galléen (R G ) le éféentel géocentque, la vtesse de otaton ω dans R / R G ce cas est la vtesse de otaton de la Tee autou de l'axe des pôles; cette vtesse est supposée constante. Ans dans le mouvement de (R) pa appot à (R G ), l'accéléaton d'entaînement s'éct sous la fome déjà encontée (vo IX-8). dω R / R γ e (M) = γ(c) / R G + G Λ CM - ω R / R HM (4) G

95 H étant la pojecton de M su l'axe de ω R / R G ( passant pa C), c'est à de su l'axe ω R / R G = cte dω R / R et G = 0, l'expesson de γ e (M) devent : γ e (M) = γ(c) / R G - ω R / R HM G est l'accéléaton du cente de masse de la Tee, elle est égale à l'accéléaton execée des pôles. Pusque γ(c) / R G pa les autes astes su la Tee, c'est-à-de: γ(c) / R G = G 1 (C) et pa conséquent, en emplaçant dans (4) nous avons : γ e (M) = G 1 (C) - ω R / R G HM En tenant compte de (3) et (4') dans () nous dédusons le champ de la pesanteu teeste : g = G T (M) + G 1 (M) - G 1 (C) + HM (5) ω R / R G (4') avec espectvement : G T (M) champ de gavtaton execé pa la Tee seule au pont M.(c'est-à-de G 1 (M) champ de gavtaton execé pa les astes (autes que la Tee) au pont M. G 1 (C) champ de gavtaton execée pa les astes autes que la Tee au cente de masse C de celle-c. Posons dans la elaton (4) g = - g u ' avec u ' le vecteu untae de la decton ésultante des dfféentes contbutons vectoelles à l'expesson de g (vo Fg.XII.) M C C' *u *u' *g Fg.XII. Cette decton de u ' et donc de g epésente la vetcale au pont M c'est-à-de la decton du fl à plomb. Le plan pependculae à cette decton vetcale est le plan hozontal au leu consdéé. Remaque : * Dans l'expesson (5) : g = G T (M) + G 1 (M) - G 1 (C) + ω R / R G HM

96 le teme G T (M) qu est dû à la Tee est pédomnant. Pa alleus, G 1 (M) - G 1 (C) epésente la vaaton du champ de gavtaton (dû aux astes et planètes aute que la Tee) aux ponts M et C. Cette dfféence que l'on néglge en généal pemet d'explque le phénomène des maées, conséquence de la non unfomté en tout pont de la Tee du champ de gavtaton G 1 (M). 4 - Vaaton du champ de la pesanteu avec la lattude Repésentons su les fgues XII (3 ; 3') un pont M de lattude λ su la suface de la Tee. N N *ω *ω H λ M Y H C *u 1 *u λ M *g ω HM x ω t C' *u' (C) (C) x X S S Fg. XII.(3 ; 3') Nous avons vu pécédemment que l'on a : g = G T (M) + G 1 (M) - G 1 (C) + ω HM ω = ω R / R G est la vtesse de otaton de la Tee autou de l'axe des pôles. Nous néglgeons le teme G 1 (M) - G 1 (C) ; en effet la dstance CM ente le cente de la Tee et le pont M su sa suface (ou en son vosnage), est elatvement fable pou que le champ de gavtaton G 1 sot consdéé comme à peu pès le même en ces deux ponts C et M. Nous avons alos :

97 g = G T (M) + ω HM = - g u ' G T (M) = - g 0 u G avec g 0 = 0 M T HM = HM u 1= R cosλ u 1 avec u HM 1 = HM Ans le champ g s'éct de manèe plus explcte : g = - g 0 u + ( R ω cosλ) u 1 et pa conséquent vae avec la lattude λ du pont M. Remaques : * S le pont M est au pôle (λ = π, HM = R) alos g = - g 0 u ca le teme centfuge ω HM = ( R ω cosλ) u 1 s'annule. Le module du champ g est alos maxmum : g = (g 0 ) pôle = G 0 M T R = 9.83 m/s S le pont M est à l'équateu (λ = 0, HM = R') nous avons : g = - g u ' = - g 0 u + ( R' ω cosλ) u 1 les vecteus u, u ' et u 1 étant colnéaes à l'équateu nous avons, compte tenu de λ = 0 : g = (g 0 ) équateu - R' ω avec ω ad/s, R' le ayon de la Tee à l'équateu, (g 0 ) équateu = G 0 R' M T * En pncpe s la Tee état sphéque, on auat (g 0 ) pôle = (g 0 ) équateu ; cependant la Tee étant applate aux pôles et pa conséquent (R) pôle = R < (R) équateu = R', nous avons alos : (g 0 ) équateu < (g 0 ) pôle La valeu à l'équateu est m/s et celle aux pôles est 9.83 m/s.

98 5 - Etat d'apesanteu dans un satellte atfcel Fg. XII.4 Il s'agt de vo dans quelles condtons un pont matéel A en mouvement dans un satellte atfcel se touve en étant d'apesanteu, c' est à de qu'l "ne éagt pas" à l'acton du champ de gavtaton extéeue. Sot donc un satellte atfcel de cente de masse C et de masse M, et en mouvement pa appot à un éféentel galléen (R G ); supposons que les moteus du satellte sont aêtés, (vo fgue XII.4). Ce satellte est soums aux foces dues à la gavtaton de la Tee (T), et des autes astes. Sot pa alleus (R 1 ) le éféentel lé au satellte et A un "pont matéel" (le cente d'nete d'un passage pa exemple) de masse m en mouvement pa appot à (R 1 ). Le pont A est soums en pncpe : aux foces de gavtaton G (A), aux foces d'nete - m γ e (A) gavtaton. et -m ω R1 / R G Λ v (A) / R 1 et aux foces F 1 autes que la Supposons que le satellte a les moteus aêtés et ne toune pas pa appot à R G ; nous avons donc de ce fat la foce d'nete de Cools nulle : -m ω R1 / R Λ v (A) G / R 1 = 0 L'équaton du pncpe fondamental de la dynamque applquée dans (R 1 ) dans son mouvement pa appot à (R G ), s'éct :

99 m γ(a) / R 1 = F 1 + m G (A) - m γ e (A) -m ω R1 / R Λ v (A) G / R 1 (6) et en tenant compte de l'hypothèse où les moteus sont aêtés nous avons : m γ(a) / R 1 = F 1 + m G (A) - m γ e (A) (7) Vs à vs de la cabne et du passage, la Tee, la Lune, le Solel etc, céent un champ de gavtaton extéeu qu sea consdéé comme homogène, les dmensons de la cabne étant supposée suffsamment pette. Dans ce cas on a : γ e (A) G (C) C étant le cente de masse de la cabne. Pa alleus γ e (A) étant l'accéléaton du pont fxe de (R 1 ) qu coïncde avec A et nous avons également : γ e (A) = G (A) = G (C) d'où fnalement d'apès l'expesson (7) : m γ(a) / R 1 = F 1 S A n'est soums à aucune foce aute que la gavtaton, l'accéléaton de A pa appot à (R 1 ) est alos nulle. γ(a) / R 1 = 0 Le pont A ne subt pas dans ce cas l'acton du champ de gavtaton extéeu qu se touve compensé pa la foce d'nete -m γ e (A) ; on dt alos que A se touve en état d'apesanteu "locale". Remaque : * Quant la capsule a un mouvement de otaton, c'est-à-de ω R 1/RG 0, l appaat un teme non compensé -m ω R1 / R G Λ v (A) / R 1 ce qu povoque une "pesanteu atfcelle" su A. De même s les moteus de populson fonctonnent, F 1 ( qu compend notamment les foces de populson ) n' est pas nulle et dans ce cas également le cops A n' est plus en état d'apesanteu. 6 - Dévaton ves l'est des tajectoes de chute lbe a- Descpton du poblème Sot (R) un éféentel teeste supposé non galléen. Nous avons vu que pa appot à ce éféentel nous avons : m γ(m) / R = F 1 + P - m ω Λ v (M) / R (8) R1 / R G F 1 ésultante des foces autes que les foces gavtaton ; P = m g = m G (M) - m γ e (M)

100 ω = vtesse de otaton de la Tee Il s'agt d'étude le mouvement de chute lbe ( F 1 = 0) d'un pont matéel M à pat d'un pont M 0 d'alttude h, sans vtesse ntale (t = 0, (M ) = 0 ) v 0 Ans dans le mouvement de chute lbe le pont M sea soums à son pods P et à la foce de Cools F c = - m ω R / Λ v (M) / R 1 R G On monte que la tajectoe de chute lbe subt une dévaton ves l'est et ves l'équateu. C'est ce que nous allons établ à pat des équatons du mouvement. b - Equatons du mouvement Sot O'xyz un système d'axes teestes tels que O' z coespond à la vetcale ascendante (ne passant pas pa le cente de la Tee ca le pods compend la foce d'entaînement), O' x est tangent au cecle paallèle en O', et oenté ves l'est, O' y est tangent au méden en O' et oenté ves le Nod (vo fgues XII.5 ; 5'); λ étant la lattude de O' avec ( λ π ). *ω N O λ y *ω O' M 0 z x N O y λ x X λ O' *ω M 0 M z S S Fg. XII.5 Fg. XII.5' L'équaton du mouvement d'un pont matéel M en chute lbe est donc d'apès l'équaton (8) : mγ (M) Dans le système d'axes O'xyz nous avons : / R = mg mωλv(m) / R

101 v γ(m) / R d x d y = d z ; g 0 = 0 g ; 0 ω ωcosλ ωsn λ ; v (M) / R = d x d y et l'équaton pécédente pojetée su les axes nous donne le système suvant : d x dz dy = - ω cosλ sn λ 9(a) d y dx = - ω snλ 9(b) d z dx = -g + ω cosλ 9( c) avec les condtons ntales : d z t =0 x = 0 y = 0 z = h dx dy dz = = = 0 coespondant pou t = 0 au pont M o d'alttude h et de vtesse (M ) = 0 v 0 L'ntégaton des équatons (9a), (9b) et (9c) ente t = 0 et un nstant t quelconque pou lequel les coodonnées de M sont x,y,z nous donne espectvement : dx = - ω[( cosλ) (z-h) - y snλ] (10a) dy = - ( ω snλ) x (10b) dz = - gt + ( ω cosλ) x Nous epotons (10b) et (10c) dans (9a) pou dédue x(t) sot encoe : d x = - ω[ (-gt + ωx cosλ) cosλ + ωx snλ ] (10c) d x + 4 ω x = ω gt cosλ (11) La soluton généale de cette équaton est de la fome : x(t) = x 0 (t) + x 1 (t)

102 ω gt avec x 0 (t) = gt cosλ = cosλ 4ω ω qu est une soluton patculèe de (11) et x 1 (t) la soluton généale de l'équaton (11) sans second teme, c'est-à-de de l'équaton: d x + 4 ω x = 0 donc x 1 (t) = A cos ωt + B sn ωt et pa conséquent la soluton généal de (11) : gt x(t) = cosλ + A cos ωt + B sn ωt ω Les constantes A et B sont détemnées à pat des condtons ntales : x(t = 0) = 0 d'où A = 0 dx t= 0 = [ g ω cosλ - ω A sn ωt + ωb cos ωt]t=0 g = cosλ + ωb ω = 0 gcosλ d'où B = 4ω Ans la soluton généale s'éct en défntve : gcosλ x(t) = [ (sn ωt) - ωt] 4ω La vtesse angulae de otaton de la Tee est ω = ad/s ; pa alleus s on suppose la duée de chute lbe elatvement pette, on peut emplace dans l'expesson pécédente sn ωt pa les pemes temes de son développement en sée : 3 (ωt) sn ωt ωt - 3! d'où : 3 gcosλ (ωt) x(t) = [ ωt - - ωt] 4ω 3! cosλ = ( ωg ) t 3 3 π pusque λ, cosλ est postf (ou nul) et pa conséquent x(t) qu epésente la pojecton selon O'x de la poston du pont matéel M à l'nstant t, est également postve (ou nulle) ; x(t) > 0 coespond à une dévaton ves l'est de la tajectoe du pont M.

103 Pou détemne y(t) nous patons de l'équaton (10b) dans laquelle nous emplaçons x(t) pa son expesson (1). En effet : dy = - ( ω snλ) x cosλ = - ( ω snλ) ( ωg ) t 3 3 ω = - g (snλ) t 3 3 et en ntégant ente les nstants 0 et t et compte tenu des condtons ntales, nous obtenons : ω y(t) = - g ( snλ) t 4 1 Dans l'hémsphèe Nod ( 0< λ π, y(t) est négatf tands que dans l'hémsphèe sud (- π λ < 0, y(t) est alos postf. Dans les deux cas l y a donc une dévaton de la tajectoe ves l'equateu (en plus de la dévaton ves l'est). effet : Pou détemne z(t), nous emplaçons également x(t) dans l'expesson (10c). En dz = - gt + ( ω cosλ) x = - gt + ( ω cosλ) ( ωg cosλ ) t 3 3 ω = - gt + g (cosλ) t 3 3 en ntégant ente les nstants 0 et t, compte tenu des condtons ntales, nous obtenons : t t [ z(t] 0 = - g + ω g cos λ t 4 6 t cos λ z(t) = h - g + ω g t 4 6 et en néglgeant le teme en t 4 nous avons alos : z(t) = h - g t (14) Remaque :

104 * Nous pouvons détemne le pont d'mpact au sol du pont matéel M. Au sol z = 0 et d'apès (14) t 0 h h - g = 0 d'où t 0 = g dans (1) nous pouvons dédue : x 0 = x(t=0) = g et dans (13) nous avons 3 / cosλ h ω 3 g ω y 0 = y (t=0) = - sn λ 3g les coodonnées du pont d'mpact au sol du pont matéel M lâché en chute lbe sont (x 0, y 0, 0).

105 (Extat du document ''cous de Mécanque'' : Pendule de Foucault a- pncpe Sot un pendule (SM) oscllant su une platefome tounante ; (R) un éféentel fxe (absolu) et (R') un éféentel (elatf) lé à la platefome (vo fgue XII.6). S (P) M" M' M (R' ) (R) Fg. XII.6 Pou un obsevateu lé au éféentel fxe (R) le pendule osclle dans un plan nvaable (P) = (SM'M"). Pou un obsevateu lé à la platefome tounante; c'est-àde lé à (R'), le plan (P) d'oscllaton toune pa appot à l'obsevateu dans le sens nvese de la otaton de la platefome. Cec s'ntepète pa le fat que pa appot à (R') le pont M (masse à l'extémté du pendule) est en mouvement sous l'acton du pods, de la tenson et des foces d'nete. Le fat que le plan (P) vae tadut le caactèe non absolu du éféentel (R'). Le pendule de Foucault lluste ben cec dans le cas de la Tee; c'est-à-de que cellec ne consttue pas un éféentel d'nete (ou galléen). En effet l'expéence de Foucault fate en 1851 à Pas su un pendule de masse m = 8 Kg suspendue à un fl de longueu l = 67 m a pems de monte que le plan d'oscllaton du pendule se déplaçat dans le sens de otaton des agulles d'une monte et fasat un tou complet en 3h envon. Ce déplacement du plan d'oscllaton tadut le caactèe non galléen du éféentel lé à la Tee. (fxe)

106 b - Equatons du mouvement Sot (R') : (O'xyz) le éféentel local lé à la Tee tel que O ' z sot la vetcale ascendante, O' x tangent au plan paallèle et oenté ves l'est et O ' y tangent au dem plan méden oenté ves le Nod (vo fg. XII.7); et sot (R) le éféentel géocentque supposé galléen. (R') est en mouvement de otaton pa appot à (R); le vecteu otaton ω est alos stué dans le dm-plan méden (O'y,O'z). ω O' y M S z x λ Fg. XII.7 La masse m du pendule de sommet S et de longueu l est soumse aux foces suvantes : le pods P = m g = - mg e z, la tenson T du fl et la foce de Cools F c = - m ω Λ v (M) /R' (vo fg. XII.8).

107 z S fg.xii.8 O' T y x *F c M P = mg En généal pou un éféentel teeste la foce d'nete est néglgée en pemèe appoxmaton. En effet, l'accéléaton d'entaînement d'un epèe lé à la Tee ésulte de l'nteacton de gavtaton execée su la Tee pa les autes astes (Lune et autes planètes, Solel ), la Lune et le Solel exeçant l'essentel de cette acton; o g l'acton de la Lune su un objet teeste est de envon, celle du solel étant encoe plus fable. Ans donc, c'est la foce d'nete de Cools nomale au plan d'oscllaton du pendule qu détemne la otaton de ce plan. Pa appot à (R') nous avons donc : m γ(m) /R' = m g + T - m ω Λ v (M) /R' (15) avec les composantes expmées dans (O'xyz) γ(m) T = - T /R' : d x d y d z SM = - T SM SM : l - T l x - T l y - T l (z - l) g 0 : 0 - mg

108 ω 0 : ω cos λ ω sn λ v (M) dx dy dz /R' : La elaton (15) pojetée nous donne les tos équatons dfféentelles du mouvement suvantes : d x = - Tx ml - ω dz dy cos λ - sn λ (15'a) d y = - Ty ml - ω dx sn λ (15'b) d z = - g - T dx ml (z - l) + ω cos λ (15'c) S nous nous plaçons dans le cas des oscllatons lentes et de fable ampltude, on peut fae les appoxmatons suvantes : z << l, dz d z 0 et 0 l'équaton (15'c) s'éct alos : - g + T dx m + ω cos λ = 0 Le dene teme de l'équaton pécédente est en généal néglgé devant g et nous avons alos : T m g et en emplaçant dans 15'a et 15'b nous obtenons le système : d x = - gx l + ω sn λ dy (16) d y = - gy l - ω sn λ dx La ésoluton de ce système d'équatons (vo emaque c-apès) se fat en ntodusant la vaable complexe Z(t) = x(t) + y(t) et on démonte que la tajectoe de M dans le plan (Ox,Oy) est un ellpse applate duant l'oscllaton du pendule. Les axes de l'ellpse tounent alos avec la vtesse Ω = ω snλ dans le sens de otaton Est Sud et Ouest Nod dans l'hémsphèe Nod (vo fgue XII.9) tands que dans l'hémsphèe Sud la otaton se fat dans le sens Est Nod et Ouest Sud.

109 Nod y y' Ouest Est x - (ω sn λ) t x' Sud Fg. XII.9 La fgue XII.10 epésente avec plus de détal la tajectoe décte pa le pendule de Foucault au cous de ses oscllatons pa appot au éféentel teeste; l'nfléchssement ves la dote de la tajectoe (A B), (B C) etc, dû à la foce de Cools à été volontaement exagéé su la fgue. D y Nod B Ouest A Est x C Sud E Fg. XII.10 La péode de otaton T du plan, c'est-à-de un tou complet de l'éllpse est :

110 T = π Ω = π ω sn λ = T 0 sn λ avec T 0 = π ω duée de la otaton de la Tee. Ans pou la lattude λ = 47 et T 0 = s, on touve T = 3H 5O mn. Remaque : * Comme nous l'avons annoncé pécédemment on peut monte que la tajectoe de M dans le plan (Ox,Oy) est une ellpse pendant une oscllaton du pendule. En effet, epenons les équatons (16) en posant ω 0 = g l d x dy - ω sn λ - ω 0 x = 0 : d y dx + ω sn λ + ω 0 y = 0 Sot le nombe complxe Z = x + y; les équatons dfféentelles pécédentes peuvent ête egoupées en ntodusant Z, sous la fome : d Z dz + ω sn λ + ω 0 Z = 0 (17) Le dscmnant édut de l'équaton caactéstque assocée à cette équaton dfféentelle est : ' = - ω sn λ - ω 0 Ÿ ω 0 (ca - ω sn λ Ÿ ω 0 ) La soluton de (17) est donc : Z(t) = [exp - ( ω sn λ)t] [A cos ω 0 t)) + B sn ω 0 t] (18) Supposons qu'à l'nstant t = 0 le pont M est à la poston x = a et y = 0 et sa vtesse ntale est nulle dx dy = 0 et = 0 ; nous pouvons donc dédue alos de ces condtons ntales les constantes A et B à pat des équatons : A + B = a - (ω sn λ) A + B ω 0 = 0 d'où : A = a B = a ω sn λ ω 0 et dans l'expesson (18) nous obtenons :

111 Z(t) = [exp - ( ω sn λ)t] [cos ω 0 t + ω ω 0 sn λ sn ω 0 t] que l'on peut éce sous la fome : Z(t) = Z'(t) exp - Ωt avec : Ω = ω sn λ et Z'(t) = cos ω 0 t + ω sn λ sn ω ω 0 t 0 S nous posons Z'(t) = x'(t) + y'(t), nous avons pa dentfcaton des deux fomes de Z'(t) : x'(t) = a cos ω 0 t y'(t) = a ω ω 0 sn λ sn ω 0 t = a Ω ω 0 sn ω 0 t Ce sont les équatons paamétques d'une ellpse de dem axes a et a Ω ; cette ellpse ω 0 est donc tès applate du fat que Ω << ω 0 (fgue XII.9). Notons que la elaton Z(t) = Z'(t) exp - Ωt ente Z(t) et Z'(t) epésentant le vecteu OM dans la base (Oxy) et dans la base (Ox'y') qu toune pa appot à la pécédente avec une vtesse angulae - Ω autou de la vetcal du leu.

112 XIV- Taval et Pussance d'une foce. 1- Taval élémentae Consdéons un pont matéel M epéé, à l'nstant t, pa le vecteu poston OM dans un éféentel (R). Ce pont matéel est en mouvement su une tajectoe (C) sous l'acton d'une foce F. Pendant un temps cout t, le pont matéel M déct l'ac MM ' que l'on peut assmle à la code MM'. Le déplacement du pont matéel pendant l'ntevalle de temps t est donc ectlgne et s'éct MM' = M. Pou un ntevalle de temps nfntésmal, M a pou lmte le déplacement nfntésmal dm poté pa la tangente à la tajectoe au pont M. *F M' d*m θ M (C) (R) O Le taval élémentae de la foce F pou le déplacement dm est défn pa le podut scalae de la foce pa le déplacement : δ w = F. dm = F dm cos θ Nous avons consdéé que la foce est constante en gandeu, decton et sens au cous du déplacement élémentae dm. Dans un epèe catésen où les composantes de F sont F x, F y, F z et celles de dm sont dx, dy, dz, on a :

113 δ w = F x dx + F y dy + F z dz δ ndque que dw est à po une fome dfféentelle non ntégable, et donc n'est pas la dfféentelle totale exacte d'une foncton. Remaques : * Le taval élémentae d'une foce est dt vtuel s le déplacement dm dehos de la tajectoe. est en * S le mouvement du pont matéel ésulte de l'acton de pluseus foces F 1, F, F.. Fn de ésultante F = F alos le taval de F s'éct : δ w = F. M d = F.dM = F.dM = δw *Le taval de la ésultante est donc égal à la somme algébque des tavaux effectués pa chaque foce pou le même déplacement. - Le taval est ésstant s δ w = F. dm = F dm cos θ < 0 c'est à de pou θ > π. - Le taval est moteu s δ w = F. dm = F dm cos θ > 0 c'est à de pou θ < π. - S la foce est pependculae au déplacement, le taval élémentae est nul π θ = ; c'est le cas pa exemple de la foce de Cools F C = -m ( ω Λ v ) ou de la foce de Loentz F = ( q v B Λ ). - Taval le long d'une tajectoe cuvlgne Supposons que le pont matéel M se touve en A à la date t 1 et se touve en B à t. Le taval d'une foce F au cous du déplacement ente A et B le long de la tajectoe (C) est donné pa l'ntégale cuvlgne B A W = AB F.dM

114 étendue à l'ac de tajectoe AB déct ente les nstants t 1 et t. En emaquant que dm = v., nous pouvons éce le taval de la foce F ente t 1 et t sous la fome : B W A = F.v t = F.v t1 t = F.v t1 t où F t désgne la composante tangentelle de la foce. Le taval de la composante F n de la foce suvant la nomale pncpale est nulle ( F n. v = 0). 3 - Pussance d'une foce La pussance d'une foce F est le taval élémentae effectué pa cette foce pa unté de temps : P = F. v (M) / R = F dm dw = (1) La pussance caactése la vtesse avec laquelle le taval de F est effectué. Il est essentel de emaque que cette défnton n'a de sens que s on ndque le pont matéel auquel est applquée la foce F et le éféentel (R) pa appot auquel on défnt v = v (M) / R. pa conséquent la pussance dépend du éféentel. 4 - Untés de taval et de pussance L'équaton aux dmensons elatve au taval est : [W] = [F][L] =[M][L] [T] - et l'équaton aux dmensons elatve à la pussance compte tenu de (1) est : [P] = [M][L] [T] -3 Dans le système MKSA, l'unté de taval est le Joule et l'unté de pussance est le Watt. 1 Joule = 1 Newton. mète Dans le système CGS, l'unté de taval est l'eg et l'unté de pussance est

115 1 Watt = 1 Joule/seconde l'eg/seconde 1 eg = 1 dyne. cm La elaton ente ces untés est : 1 Joule = 1 Newton ; 1 mète = 10 5 dynes ; 10 cm = 10 7 egs et 1 Watt = 10 7 eg/seconde. 5- Pussance dans le cas des foces patculèes a- Pussance du pods d'un pont matéel Consdéons un pont matéel M de masse m placé dans le champ de pesanteu g. Le pods de ce pont matéel dans un éféentel R (Oxyz) (vo fgue XIV.1) s'éct : P = - mg e z z M *e x *e z O *e y m *g y x La pussance P du pods P est : P = P. v (M) / R pa alleus la vtesse s'éct en coodonnées catésennes sous la fome : v (M) / R = dx e + x dy e dz + y e z

116 En potant dans l'expesson de la pussance on obtent : dz P = -mg Remaque : * S le déplacement du pont matéel est pependculae au pods, c'est-à-de s la composante de la vtesse suvant e z est nulle, alos la pussance est nulle. En effet dz = 0 mplque P =0 b- Pussance d'une foce centale La foce centale est toujous potée pa le vecteu poston = OM. Elle passe donc constamment pa le pont O appelé cente du mouvement, elle s'éct en coodonnées polaes sous la fome : F = F e et la pussance de cette foce est alos : P = F. v (M) / R = F e ( d e dθ + dz e θ + e ) z = F d XV- Théoème de la pussance -Théoème de l'énege cnétque. 1- Défnton de l'énege cnétque Sot M un pont matéel de masse m et de vtesse v (M) / R pa appot à un éféentel (R). L'énege cnétque de ce pont matéel est défne pa : E c (M) /R = 1 m En utlsant la quantté de mouvement p (M) / R, on peut éce l'énege cnétque sous la fome v (M) / R : 1 p (M)/R E c (M) /R = m On emaque que cette défnton tent compte du éféentel (R) pa appot auquel on défnt la vtesse v (M) / R. - Théoème de la pussance v (M) / R

117 La dévée pa appot au temps de l'énege cnétque d'un pont matéel elatve à un éféentel R est égale à la pussance de toutes les foces applquées su ce pont : de P / R = c/r En effet, d'apès le pncpe fondamental de la dynamque (X-) F d = p(m) / R on a : F. v d (M) / R = p(m) / R. v (M) / R En utlsant la défnton de la pussance et en consdéant que la masse du pont matéel est constante, nous obtenons : P / R = F. v d (M) / R = m v(m) / R. v (M) / R d 1 = ( mv (M)/ R ) qu s'éct : de P / R = c/r Remaques : * S le éféentel est non galléen, l fauda ajoute la pussance de la foce d'nete d'entaînement. La pussance de la foce d'nete de Cools est nulle. * S le pont matéel est solé, alos son énege cnétque est constante E c /R = cte. En effet, s le pont matéel est solé, alos la ésultante des foces qu lu sont applquées est nulle. F = 0 pa conséquent la pussance est nulle : P / R = F. v (M) / R = 0 et à pat du théoème de la pussance on dédut que : de c/r d'où : E c (M) /R = cte

118 * A pat de la elaton (1) : P / R = F. v d (M) / R = m v(m) / R on constate que :. v (M) / R - S le mouvement est accéléé alos P / R = foncton cossante. de c /R >0 donc l'énege cnétque est une de - S le mouvement est etadé alos P / R = c /R <0 donc l'énege cnétque est une foncton décossante. 3- Théoème de l'énege cnétque La vaaton de l'énege cnétque d'un pont matéel ente deux nstants t A et t B est égale au taval de toutes les foces applquées su le pont matéel au cous de son mouvement : A W B = E (B) - E (A) c/ R c/ R En effet, le taval d'une foce F ente deux ponts A et B est donné pa l'ntégale : B A W B = F.v(M) / R = P / R En utlsant le théoème de la pussance : A de P / R = c/r On a : B A W B = A d'où : de c / R A W B = E (B) - E c/ R c/ R (A) Remaques : * Le théoème de l'énege cnétque est patculèement adapté aux systèmes dont la poston est défne pa un seul paamète, c'est-à-de aux systèmes possèdant un degé de lbeté, pusqu'l ne fount qu'une seule équaton scalae. * Le théoème de l'énege cnétque est valable également quel que sot le éféentel - galléen ou non galléen - mas à condton de ten compte de la foce d'nete d'entanement dans le taval, le taval de la foce de Cools étant nul.

119 * Dans le cas d'un système fomé de pluseus ponts matéels, l faut ten compte des foces ntéeues (d'nteacton) et extéeues. En effet, ben que les foces ntéeues s'équlbent d'apès le pncpe de l'acton et de la éacton : F jk = - F kj la somme des tavaux de ces foces d'nteacton n'est pas nulle en généal : F jk. dom j F kj. dom k En effet, consdéons un système fomé de deux ponts matéels Mj et M k sous l'acton espectvement des foces F jk et F kj Le taval élémentae de F jk est : dw j = F jk. dom Le taval élémentae de F kj est : dw k = F kj. dom j k Le taval élémentae total : dw = dw j + dw k F. dom j + F kj. dom = jk = F jk.( dom - j dom ) k k = jk F.d M km j Le déplacement elatf d MkM j est non nul s le système n'est pas gde; dans ce cas, le taval des foces ntéeues est non nul. XVI- Champ consevatf - Enege potentelle. 1- Champ de foces consevatf Consdéons un pont matéel M soums à l'acton de la foce F = F x e + F x y e + F y z e z Pa défnton, on dt que la foce F déve d'une foncton de foce U(x,y,z), s les composantes du vecteu foce sont les dévées patelles de la foncton U pa appot à x,y,z :

120 F x = U x F y = U y F z = U z Le taval effectué pa la foce F au cous d'un déplacement élémentae dm du pont matéel M s'éct : dw = F x dx + F y dy + F z dz d'où : dw = U x dx + U y dy + U z dz On emaque que le taval élémentae est la dfféentelle totale exacte de la foncton U(x,y,z) dw = du avec : du = F. dm et donc : F = gadu Le taval de la foce consevatve F effectué pou déplace le pont matéel M de la poston A(x A,y A,z A ) à la poston B(x B,y B,z B ) s'éct : W B A = U(x B,y B,z B ) - U(x A,y A,z A ) Dans ce cas le taval pou alle de A à B ne dépend pas du chemn suv. Il ne dépend que de la poston ntale et fnale de la patcule. Il est nutle de connaîte le mouvement et la tajectoe de la patcule (vo fgue XV.1). W B A F.dM = F.dM (AB) 1 (AB)

121 (1) B () A Fg. XV.1 - Enege potentelle Dans le cas patcule où le taval ne dépend que des postons ntale et fnale, c'est-à-de ne dépend n de la façon dont le pacous est effectué au cous du temps, n du pacous suv, alos la foce est consevatve et déve d'une énege potentelle Ep. Pa défnton la vaaton de l'énege potentelle Ep = Ep(B) - Ep(A) du champ de foce F est égale à l'opposé du taval de la foce F ente A et B. Ep = Ep(B) - Ep(A) = - W B A = - B F. A d M pa alleus : B Ep = Ep(B) - Ep(A) = dep A d'où : dep = - F. d M Le champ consevatf F déve d'une énege potentelle Ep donc : F = - gadep E p (1) Le sgne "mons" dans l'expesson (1) monte que le taval de F est une foncton décossante de l'énege potentelle.

122 Remaques : * En généal, l'énege potentelle est nulle (E p = 0) pou des cops en nteacton et qu sont nfnment élognés. * L'énege potentelle en un pont M est défne à une constante addtve pès ; en effet, la vaaton élémentae de l'énege potentelle s'éct : de p = - F. d M sa vaaton ente les ponts A et M est : M A M de p = - F. A d M donc : M E p (M) - E p (A) = - F. A d M d'où : M E p (M) = E p (A) - F. A d M Donc l'énege potentelle en un pont M est défne à une constante addtve pès, (E p (A) dans ce cas). Pa exemple, s l'ogne des éneges potentelles est chose à l'nfn. E p (A) = E p ( ) = 0 d'où : M E p (M) = - F. d M C'est-à-de que l'énege potentelle au pont M est le taval qu'l faut foun pou amene ce pont de l'nfn à sa poston, au cous d'un déplacement évesble.

123 * Dans le cas d'une foce qu déve d'un potentel U qu dépend du temps, le taval élémentae ne se confond plus avec la dfféentelle du. En effet, s le potentel U dépend des coodonnées et du temps également : U = U(x,y,z,t) alos la dfféentelle totale s'éct : du = U x dx + U y dy + U z dz + U t d'où : du = gadu d M. + U t = F. d M + U t donc : du = dw + U t Donc le taval élémentae ne se confond plus avec la dfféentelle du. 3- Expesson de l'énege potentelle dans des cas patcules a- Cas d'un champ Newtonen Consdéons un pont matéel M placé dans le champ d'une foce Newtonenne F : F = - K e

124 M *F O *e Le taval élémentae de cette foce est : dw = F. d M en coodonnées sphéques (, θ, ϕ ) le déplacement élémentae s'éct : d M = d e + dθ e θ + sn θ dϕ e ϕ d'où : dw = - K d pa alleus : dw = - de p donc : de p = K d L'énege potentelle au pont M s'obtent pa ntégaton : E p (M) = - K + cte

125 S on consdèe que l'ogne de l'énege potentelle est à l'nfn, E p ( ) = 0, alos la constante est nulle et l'énege potentelle au pont M s'éct : E p (M) = - K b- Enege potentelle de la pesanteu pods : Consdéons un pont matéel M de masse m soums à l'acton de son P = m g = - mg e z z M *P O y x Le taval élémentae de P est : dw = P. dm d'où : dw = - mg dz Pa alleus : dw = - de p

126 donc : Ep = mg z + cte s l'ogne de l'énege potentelle est à l'alttude zéo (E p = 0 pou z = 0), alos : E p = mg z On emaque que le sgne de l'énege potentelle dépend de l'oentaton de l'axe des z. c- Relaton ente l'énege potentelle de la pesanteu et l'énege potentelle du champ Newtonen A la suface de la tee la foce de gavton s'éct : F = - K e où R est le ayon de la tee supposée sphéque. S le pont matéel est stué à l'alttude z de la suface de la Tee son énege potentelle est : d'où : E p (M) = - E p (M) = - K R K R + z z/r On consdèe que le pont matéel se touve à fable alttude alos le appot z R est tès pett et l est asonnable de fae le développement suvant :

127 1 1 + z = 1 - z R + (z R ) - donc : E p (M) = - K R [1 - z R + (z R ) - ] Pa alleus le champ de pesanteu s'éct : g = K m R d'où : E p (M) = - m g R [1 - z R + (z R ) - ] En néglgeant les temes nfnment petts du ème ode ou d'un ode supéeu on a : E p (M) = m g z - m g R d- Enege potentelle de la foce de appel d'un essot Consdéons un pont matéel de masse m attaché à un essot de constante de adeu K. Losque ce pont matéel est écaté de sa poston d'équlbe x 0, l sea soums à une foce de appel : F s = - K (x - x 0 ) e x on pose : X = x - x 0 d'où : F s = - K X e x

128 O *e x x 0 *F x Le taval élémentae de cette foce de appel est : dw = = F. d M Pa alleus : = - K X dx dw = - de p donc : E p = K X + cte S on pend pou ogne de l'énege potentelle la poston d'équlbe (E p = 0 pou x = 0), alos : E p = K X On dt que la foce de appel - K X déve de l'énege potentelle E p = K X

129 e- Cas où l'énege potentelle dépend du temps Consdéons un "pendule pesant" consttué d'un enfant su une balançoe, et sot G le cente de gavté du système. Ce pendule est assmlable à un pendule smple de longueu l = OG et de masse m. O θ G L'énege potentelle du système est : E p = m g l (1 - cosθ) où l'ogne de l'énege potentelle est à l'équlbe (θ = 0). Supposons qu'au cous du mouvement l'enfant change de poston, pa conséquent le cente de gavté se déplace et la longueu l est alos une foncton du temps. Dans ce cas la dfféentelle totale de l'énege potentelle s'éct : de p = - dw + E p t C'est-à-de que le taval élémentae ne se confond plus avec la dfféentelle - de p.

130 f - Enege potentelle d'nteacton de deux atomes d'une molécule (lason onque) Consdéons une molécule datomque fomée de deux atomes A et B. L'atome B est supposé en mouvement pa appot à l'atome A, on pose AB =. Supposons que B est soums à l'acton de deux foces, l'une attactve et l'aute épulsve. - La foce coulombenne attactve (chages opposées) : k 1 F 1 = - e k 1 > 0 - La foce épulsve due au pncpe d'excluson de Paul selon lequel deux électons ne peuvent occupe les mêmes états quantques : k F = - 3 e k > 0 Ces deux foces dévent chacune d'une énege potentelle : E p1 () = - k 1 et E p () = 1 k L'énege potentelle totale s'éct : E p () = E p1 () + E p () = - k k sa epésentaton gaphque en foncton de la dstance est :

131 Remaque : * La condton nécéssae pou que B sot en équlbe est F = F1 + F = 0 d'où : - k 1 + k 3 = 0 donc la poston d'équlbe est à : 0 = k k 1 et la vtesse de B en ce pont est nulle

132 v = 0 XVII - Enege Mécanque - Théoème de consevaton. 1- Défnton Un pont matéel M est caactésé à chaque nstant t pa son énege cnétque E c (M) et son énege potentelle E p (M). L'énege mécanque du pont M est la somme de ces éneges : E(M) = E c (M) + E p (M) - Théoème de consevaton de l'énege mécanque L'énege mécanque E(M) d'un pont matéel M dans un champ de foces consevatf est constante au cous du mouvement (c'est la consevaton de l'énege mécanque) : E(M) = E c (M)+ E p (M) = cte En effet, d'apès le théoème de l'énege cnétque, la vaaton de l'énege cnétque d'un pont matéel est égale au taval de la foce applquée à ce pont : de c = δ W s le pont matéel est placé dans un champ de foces consevatf, alos le taval de cette foce consevatve est égal à l'opposé de la vaaton de l'énege potentelle : δw = - de p Les deux elatons pécédentes on dédut : d(e c + E p ) = 0 d'où :

133 donc : E c + E p = cte E(M) = cte Cette constante est détemnée pa les condtons ntales du mouvement. S pa exemple à l'nstant ntal t = t 0 le pont matéel est en M = M 0 et sa vtesse est v = v 0, alos la constante est donnée pa : cte = E c (M 0 ) + E p (M 0 ) Remaque : * L'énege mécanque est une ntégale pemèe des équatons du mouvement ca elle ne fat nteven que les dévées pemèes des coodonnées pa appot au temps (alos que la lo de Newton ou le théoème de l'énege cnétque fat nteven la dévée seconde). E(M) = 1 m [ dx dy dz + + ]+ E p (M) = cte De manèe généale on appelle ntégale pemèe d'une gandeu (énege pa exemple) qu se conseve, l'équaton de consevaton ne fasant nteven que les dévées pemèes des coodonnées pa appot au temps (équaton dfféentelle du peme ode). 3- Cas des foces applquées pas toutes consevatves Dans ce cas l n'y a plus consevaton de l'énege mécanque. En effet, consdéons que le pont matéel est soums à deux foces : - F 1 foce consevatve qu déve d'une énege potentelle Ep de p = - F 1. dm = - (dw) F 1

134 - F foce non consevatve. D'apès le théoème de l'énege cnétque : la vaaton de l'énege cnétque est égale au taval de toutes les foces : de c = (dw) F1 + (dw) F d'où : de c = - de p + (dw) F donc : d(e c + E p ) = (dw) F La vaaton élémentae de l'énege mécanque est donc égale au taval élémentae des foces non conseatves qu s'applquent à M : de = (dw) F La vaaton de l'énege mécanque ente deux ponts A et B s'éct : E(B) - E(A) = [W F ] B A (1) Donc los d'un déplacement ente deux ponts A et B, la vaaton de l'énege mécanque est égale à la somme algébque des tavaux de toutes les foces non consevatves (dsspatves) qu s'éxecent su le pont matéel ente A et B. Exemple : Consdéons un moble M qu glsse avec fottement le long d'une pente. Ce moble est abandonné à l'nstant t = 0 sans vtesse ntale du haut de

135 la pente (z A = h). A l'nstant t f le moble ave au bas de la pente (z B = 0). En un pont M ente A et B L'énege cnétque s'éct : E c (M) = 1 mv et l'énege potentelle : E p (M) = m g z au pont A la vtesse est nulle d'où : E c (A) = 0 et l'énege mécanque est sous fome d'énege potentelle E(A) = m g h alos qu'au pont B c'est l'énege potentelle qu est nulle E p (B) = 0

136 et l'énege mécanque est sous fome d'énege cnétque : E(B) = 1 mv B En applquant la elaton (1) on a : 1 mv B - m g h = WB A Le deuxème membe epésente le taval des foces de fottement ente A et B, c'est l'énege dsspée pa fottement ente A et B. XVIII- Equlbe et stablté d'un pont matéel dans un champ consevatf. 1- Poston du Poblème Sot M un pont matéel dans un champ de foces consevatf : F = - gad Ep Cheche une poston d'équlbe stable event à étude s le pont matéel M lâché sans vtesse ntale ne va pas évolue de lu même ves une aute poston à laquelle l va se stablse (apès une oscllaton autou de cette poston). Comme les foces sont consevatves, l'énege mécanque est alos consevée : E = E c + E p = cte S on consdèe qu'à l'état ntal le pont matéel est au epos, alos E c = 0 et au cous de l'évoluton du pont son énege cnétque coît et son énege potentelle décoît. L'état fnal coespond à une poston d'équlbe stable qu coespond à un mnmum local de l'énege potentelle. - Condton d'équlbe su l'énege potentelle

137 Sot M un pont matéel soums à la foce consevatve F : F = - gad Ep et de p = - F. dm dans le système de Seet-Fénet et en fasant nteven l'abscsse cuvlgne dm = ds τ donc : dep = - F τ ds d'où : dep ds = - F. τ C'est-à-de que la dévée de l'énege potentelle pa appot à l'abscsse cuvlgne est égale à l'opposée de la composante tangentelle de la foce consevatve F. Supposons que le pont matéel M est en équlbe dans un éféentel (R). La condton d'équlbe applquée su toutes les foces F est : F = F = 0 S M 0 = M(s 0 ) est la poston d'équlbe alos : dep ds = - F. τ = 0 s0

138 donc la condton d'équlbe en un pont M 0 = M(s 0 ) est : dep ds = 0 s0 cet équlbe est stable s : d Ep ds > 0 s 0 Nous avons alos le cas de la fgue XVIII.1 : Fg. XVIII.1 un écat pa appot à s 0 mplque de petts mouvements snusoïdaux dts mouvements hamonques. L'équlbe est nstable s : d Ep ds < 0 s 0

139 Fg. XVIII. Un écat pa appot au pont d'équlbe s 0 est amplfé et le pont évolue ves une aute poston, éventuellement d'équlbe plus stable s elle exste. Le asonnement fat avec l'abscsse cuvlgne s peut ête fat avec une aute coodonnée quelconque q qu caactése la foncton du pont M. La condton d'équlbe su l'énege potentelle est dans ce cas : dep dq = 0 Pou l'équlbe stable : d Ep dq > 0 pou l'équlbe nstable : d Ep dq < 0 s d Ep dq = 0 l'équlbe est dt "ndfféent". 3- Exemple : Applcaton au cas d'un système de patcules

140 Sot un système de n patcules A, de masse m, placées en des ponts de côte z. L'énege potentelle du système s'éct sous la fome : n E p = = 1 m g z + E p (0) Sot M la masse du système et z la côte du cente de masse. L'énege potentelle s'éct : E p = M g z + E p (0) Le mnmum de E p coespond au mnmum de z d'où l'énoncé du pncpe de Tocell : L'équlbe d'un système pesant est stable losque son cente de masse est le plus bas possble. XIX- Etude qualtatve d'un système consevatf patcule - Etat lé - Etat de dffuson. 1- Equaton du mouvement Sot un pont matéel M de masse m en mouvement su une coube plane (C), sans fottement et sous l'acton d'une foce qu déve d'un potentel F = - gad Ep. Comme l n'y a pas de fottement la éacton de la coube est nomale à la tajectoe : R = R N Applquons le pncpe fondamental de la dynamque dans un éféentel galléen (R G ) : m d v (M) /RG = F + R

141 L'accéléaton s'éct dans le système d'axes de Seet - Fénet sous la fome : γ (M) /RG = d v (M) /RG = dv τ + v ρ n où ρ désgne le ayon de coubue de la tajectoe (C) au pont M. La pojecton de la elaton fondamentale suvant la tangente donne : mγ. τ = F. τ m d v (M) /RG = F. τ () Comme F déve d'un potentel E p alos : de p = gad Ep. dm de p = - F. dm pa alleus : dm = ds τ d'où : de p = F. τ ds donc : de p ds = - F. τ

142 ce qu veut de que la dévée de l'énege potentelle pa appot à l'abscsse cuvlgne est l'opposée de la composante tangentelle de F. En multplant les deux membes de la elaton () pa v = ds : ; on obtent mv dv = - de p ds ds d'où : d (1 m v ) = - de p donc : d (1 m v + E p ) = 0 L'ntégaton de cette équaton dfféentelle donne : 1 m v + E p (s) = cte = E 0 La constante est détemnée pa les condtons ntales. On etouve ans l'ntégale pemèe de l'énege comme équaton du mouvement. Remaque : * L'expesson de la éacton est dédute de la pojecton de la elaton fondamentale suvant la nomale à la coube : mγ. n = F. n + R. n donc :

143 v ρ = F. n + R N d'où l'expesson de la éacton : R N = v ρ - F. n - Etude du mouvement dans un cas patcule de l'énege potentelle On se place dans le cas patcule où l'énege potentelle E p (s) est de la fome décte au XVI.3.f (vo fgue XIX.1). Fg. XIX.1 où l'ogne des éneges potentelles est à l'nfn E p ( ) = 0. A chaque nstant nous avons : 1 m v + E p = E d'où : 1 m v = E - E p 0

144 donc toutes les égons où E - E p (s) < 0 sont ntedtes. Pou étude le mouvement de la patcule dans le champ de foces consevatf qu déve de l'énege potentelle E p nous allons consdée les cas patcules suvants : Peme cas : Consdéons que E = E 1 E p ( ) = 0 (vo fgue XIX.1'). Supposons que la patcule M pat du pont M 0 (s 0 ) et se déplace ves la gauche alos elle attent la poston M 1 (s 1 ) telle que E 1 = E p (s 1 ) ce qu coespond à E c = E 1 - E p (s 1 ) = 0; la patcule s'aête ca la égon E 1 - E p (s) < 0 est ntedte. La vtesse de la patcule s'annule donc en ce pont et celle-c epat. M(s 1 ) est appelé pont de eboussement ; la patcule peut alle à po à l'nfn (ves la dote). Fg. XIX.1' En ésumé : S le pont matéel M est laché à t = 0 du pont M 0 (s 0 ) alos l va tende ves la poston d'équlbe M(s e ), au cous de cette évoluton son énege potentelle basse alos que son énege cnétque coît. Le mouvement du pont matéel est alos accéléé jusqu'en s e.

145 S le pont matéel se déplace de sa poston d'équlbe M(s e ) à la poston M 1 (s 1 ) alos son énege potentelle coît tands que son énege cnétque décoît. Le mouvement du pont matéel est alos décéléé. Au cous du déplacement de M 1 (s 1 ) à M(s e ) l'énege potentelle décoît et l'énege cnétque coît donc le mouvement est accéléé. Deuxème cas : Consdéons que E = E < E p ( ) = 0. Dans ce cas toute la égon E p > E est ntedte. La dote E = cte coupe la coube E p (s) en deux ponts Q et Q'. Seul l'ntevalle QQ' est pems au mouvement de la patcule qu osclle alos ente les postons coespondant à l'abscsse cuvlgne s telle que : s Q < s < s Q' 3- Etat lé et état de dffuson a- Etat lé

146 Une patcule dans un champ de foces qu déve d'un potentel est dans un état lé losque cette patcule ne peut pas s'élogne nfnment de sa poston ntale (cec coespond au ème cas du paagaphe pécédent). Cela suppose que : - Le potentel possède au mons un mnmum - L'énege mécanque est plus pette que la valeu de E p ( ) et plus gande que le mnmum de l'énege potentelle. b- Etat de dffuson Une patcule dans un champ de foces qu déve d'un potentel est dans un état de dffuson losque cette patcule peut s'élogne nfnment de sa poston ntale. Pou cela l faut que l'énege mécanque sot supéeue ou égale à l'énege potentelle à l'nfn. E E p ( ) (Cec coespond au peme cas du paagaphe pécédent). Remaques : * S une patcule est dans un état lé, on appelle énege de lbéaton E l, l'énege mnmale qu'l faut foun pou qu'elle passe dans un état de dffuson. * S l'énege mécanque est égale au mnmum de l'énege potentelle E = E p (s e ) alos l'état est lé et le mouvement est statonnae. Il est possble de monte que ce mouvement statonnae est stable, c'est-à-de que toute légèe petubaton du pont matéel povoque un mouvement d'oscllatons autou de la poston ntale. Développons l'énege potentelle au vosnage de la poston d'équlbe s e : E p (s) = E p (s e ) + (s - s e ) de p ds + (s - s ) s = s e! d E p ds + s = se Comme E p (s e ) epésente un mnmum, on a :

147 d'où : de p ds = 0 et s = s e d E p ds = K > 0 s = se 1 m (ds ) + E p (s e ) + 1 K (s - s e ) = 0 C'est l'équaton dfféentelle d'une oscllaton autou de s = se avec la pulsaton K m 1/. En effet, s on déve, on obtent l'équaton dfféentelle du second ode ben connue : d (s - s e ) + ω 0 (s - s e ) = 0 où : ω 0 = K m Pa conséquent, l'équlbe (s e = cte) est stable s l'énege potentelle est mnmale. XX - Etude dynamque du mouvement d'un pont matéel soums à une foce centale. 1- Défnton Un pont matéel M est soums à une foce centale s l'énege potentelle d'nteacton de ce pont avec un cente de foces O ne dépend que de la nome du vecteu poston = OM. La foce centale s'éct en coodonnées polaes sous la fome : F = - gad Ep () = - de p d e

148 elle est potée pa le vecteu poston, elle passe donc constamment pa le cente O, ce qu justfe le nom de "foce centale". - Popétés dédutes du mouvement à foce centale a- Caactèe plan de la tajectoe Le mouvement d'un pont matéel soums à une foce centale est plan. En effet, le moment en O de la foce centale est nul M F /o = OM F = 0 et à pat du théoème du moment cnétque : dl o = M F /o on dédut que le moment cnétque est constant : L o = cte d'où : OM mv (M) /R = cte donc le vecteu poston OM et la vtesse v (M) /R sont constamment nomaux au moment cnétque L o. Il en ésulte que la tajectoe de M est contenue dans le plan pependculae à L o et passant pa O. Donc le mouvement d'un pont matéel soums à une foce centale est plan. b- Lo des aes :

149 Les aes balayées pa le vecteu poston pendant des ntevalles de temps égaux sont égales. Pou smplfe on consdèe que le moment cnétque est oenté suvant Oz : L o = Lo e z. Ce moment expmé en coodonnées polaes s'éct : L o = e d m ( e dϕ + e ϕ ) = m dϕ e z d'où le module du moment cnétque : L o = m dϕ (1) nous avons défn (VIII--c) la constante des aes pa : C = dϕ de la elaton (1) on vot que : C = L o m C est une constante, pusque le moment cnétque est constant.

150 On vot su la fgue que l'ae élémentae ds, balayée pa le ayon vecteu est : ds = 1 dϕ elle s'éct en foncton de la constante des aes sous la fome : ds = 1 C ce qu démonte la lo des aes : les aes balayées pendant des ntevalles de temps égaux sont égales. c- Natue consevatve de la foce centale centale : Toute foce centale déve d'un potentel. En effet, consdéons la foce F = F() e Le taval élémentae de cette foce est : dw = F. dm

151 où le déplacement élémentae en coodonnées polaes dm = d e + dϕ eϕ d'où : dw = F() e. (d e + dϕ eϕ ) = F() d Le taval de la foce centale ente A et B s'éct : B W B A = A F() d Comme F() ne dépend que de alos le taval ente A et B, W B A A et B, ou en dédut que F() déve d'un potentel. Alos :, ne dépend que de dw = - de p et de p = - F d 3- Equaton du mouvement - tajectoe Sot un pont matéel M placé dans un champ de foces consevatf. La consevaton de l'énege mécanque s'éct : E = E c + E p = cte = 1 m v + E p () En coodonnées polaes la vtesse est donnée pa : v (M) /R = d e dϕ + e ϕ

152 d'où l'ntégale pemèe de l'énege. E = 1 [ m d + dϕ ] () pa alleus (1) : C = L o m dϕ = Ces deux équatons pemettent de détemne les équatons du mouvement et la tajectoe. En effet, à pat de (1) on a : dϕ = C = L o m (3) en potant dans () on a : m [E - E p()] = d + C 4 d'où : d = m [E - E p () - m C ] = m [E - E p () - L o ] m donc :

153 d = ± L o m [E - E p () - m ]1/ (4) Le appot de (3) su (4) donne : dϕ = dϕ d = L o 1 m [ m (E - L E o p - ) m ]1/ La tajectoe s'obtent pa ntégaton : ϕ = L o d {m (E - E p - L o m )}1/ + ϕ 0 * Cas patcule d'une foce Newtonenne : Consdéons que la foce centale F est newtonenne, c'est-à-de : K F = - e K est postf ou négatf suvant que la foce est attactve ou epulsve. L'énege potentelle assocée à F est : E p = K e K d = - S on adopte comme ogne des éneges potentelles celle pou nfn, donc : E p = - K

154 L'équaton de la tajectoe : ϕ = L o d {m (E - ε K - L o m )}1/ + ϕ 0 où ε = +1 dans le cas attactf. = -1 dans le cas épulsf. Posons le changement de vaables : a = m d'où : L o K + m E et b = m ε K L o + L o a - b = m (E - ε K - L o m ) et : db = - L o d donc : db ϕ = - (a - b ) 1/ + ϕ 0 = - Ac cos ( b a ) + ϕ 0 cec s'éct également sous la fome : cos (ϕ - ϕ 0 ) = + (m ε L o K + L o ) m K = L + m E 1/ o L o ε + m K L 1/ o 1 + m K E S on pose :

155 L o P = m K L et e = (1+ o m K E)1/ On obtent : ε + P = e cos (ϕ - ϕ 0 ) Sot : = P e cos (ϕ - ϕ 0 ) - ε Cette équaton epésente en coodonnées cylndques une conque dont le cente O est l'un des foyes, p le paamète focal et e l'excentcté (vo annexe).

156 P A R T I E E Etude des Systèmes de Ponts matéels Théoèmes généaux. Tout objet peut ête consdéé comme un système de ponts matéels M de masse m et de vtesse v(m). La foce F qu agt su le pont M du système peut ête également consdéée comme étant la ésultante d'une foce f ext pont M et d'une foce j M. Ans la foce F agssant su M s'éct : j execée de l'extéeu du système su le f execée pa toutes les patcules M j (j ) du système su F = ext f + f j j ext f est une foce dte extéeue. f est une foce dte d'nteacton qu est une foce ntene au système. j La ésultante F des foces applquées su tout le système c'est-à-de su l'ensemble des ponts M est : F = F = ext f n + = 1 j f j O la double sommaton j f est nulle ca les foces d'nteacton s'annulent deux j à deux et l este donc unquement la somme des foces extéeues dans la ésultante F : F = F ext = f XXXVI- Théoèmes généaux pou un système de ponts matéels.

157 1- Quantté de mouvement d'un système - Théoème assocé a- Défnton Sot un système de n ponts matéels M 1, M,..., M,... M n de masses espectves m 1, m,..., m,..., m n et de vtesses espectves v (M 1 ) /R, v (M ) /R,..., v (M ) /R..., v (M n ) /R pa appot à un éféentel quelconque (R). La quantté de mouvement d'un pont M est défne pa : P = m v (M ) /R et la quantté de mouvement totale du système de ponts matéels est défne alos pa appot au éféentel (R) pa : n P = P = m v(m ) /R = 1 n = 1 b- Théoème de la quantté de mouvement Sot P la quantté de mouvement totale d'un système de ponts matéels pa appot à un éféentel (R) et F ext la ésultante des foces extéeues applquées au système; le théoème de la quantté de mouvement expme que la dévée pa appot au temps de P est égale à F ext : dp = F ext (1) Démonstaton : On applque le pncpe fondamental à un seul pont, M pam les n ponts matéels qu consttuent le système : dp = F

158 avec P = m v (M ) /R et F = ext f + j f j telle que nous l'avons défne au début du chapte. Pou tout le système nous avons, compte tenu de ce qu pécède : dp = d ( n = 1 P ) n dp = = 1 n = F = 1 o : n = 1 j f = 0 j n = f = 1 ext n + = 1 j f j d'où : dp n = = 1 ext f = F ext Remaques : * On peut véfe asément que la double sommaton est nulle su un exemple d'un système à tos patcules : 3 f j = 1 j = f 1 + f 13 + f 1 + f 3 + f 31 + f 3 o : f 1 + f 1 = 0 ; f 13+ f 31 = 0 et f 3 + f 3 = 0 donc : 3 f j = 1 j = 0 ce que l'on peut généalse pou un système à n patcules, n quelconque. * S le système de ponts matéels est solé; nous avons alos F ext = 0 et dans la elaton (1) nous auons :

159 dp = 0 d'où P = cte donc l y a dans ce cas consevaton de la quantté de mouvement totale du système. * Dans ce qu pécède nous n'avons pas pécsé s le éféentel (R) est galléen ou pas. Dans le cas où (R) n'est pas galléen l faut nclue dans f ext et pa conséquent dans F n ext ext = f les foces d'nete. = 1 - Moment cnétque d'un système - Théoème assocé a- Défnton Sot un système de n ponts matéels M 1, M,..., M..., M n de masses m 1, m,..., m,... m n et de vtesses espectves v (M 1 ) /R, v (M ) /R,..., v (M ) /R..., v (M n ) /R pa appot à un éféentel (R); le moment cnétque d'un pont M en un pont O est défn pa : L 0 = OM Λ m v (M ) /R L 0 epésente donc le moment pa appot à O du vecteu quantté de mouvement P = m v (M ) /R applqué au pont M. Pou le système de ponts matéels, le moment cnétque total L 0 en un pont O est la ésultante des moments cnétques en O de chaque pont M, c'est-àde : L n 0 = = 1 L 0 n = = 1 OM Λ m v (M ) /R ()

160 n = OMΛP = 1 b- Théoème du moment cnétque La dévée pa appot au temps du moment cnétque en O d'un système de ponts matéels est égale à la somme des moments pa appot à O des foces extéeues qu agssent su les dfféents ponts du système ; et nous avons : dl 0 = n = 1 OM Λf ext (3) Démonstaton : Pou le pont M nous avons L 0 = ; d'où la dévée pa appot au temps : OM Λ P dl 0 dp = OM Λ dom + Λ P O, les vecteus conséquent le teme dom dom = v (M ) /R et P = m v (M ) /R sont colnéaes, pa Λ P est nul et nous avons : dl 0 dp = OM Λ = OM ΛF F = F ext = f + f j étant la foce agssant su M. j dl Détemnons 0 compte tenu de ce qu pécède : dl 0 d = L 0

161 = dl 0 = OM ΛF = OM Λf ext + OM Λ f j j Le teme OM Λ f j = 0, ca, en développant la double sommaton, à chaque j foce f j applqué au pont M on lu assoce f j applqué au pont j et ans on touve des temes qu s'annulent deux à deux ca étant de la fome : OM Λf j + OM Λf j j que nous pouvons éce, du fat que f j = - f j sous la fome : = OM Λf j - OM Λ f j = ( OM - OM ) Λ f j j j decton = M jm Λ f j = 0 pusque la foce f j M jm. est pa défnton potée pa la Fnalement, nous avons : dl 0 = d L = 0 OM Λf ext expesson que nous chechons à démonte.

162 Remaque : * L'expesson f OM Λ j j système à tos ponts matéels = 1,, 3. En effet : = 0 peut ête véfée asément su un exemple de 3 OM Λ j = 1 j f = OM1 Λ 1 + f + OM Λ 1 OM Λ f 13 f + 1 OM Λf 3 + OM Λ f OM Λ f 3 3 et en egoupant les temes en f j et f j nous avons : 3 OM Λ j = 1 j f = OM Λf 1 + OM Λf OM Λ f 13 + OM Λ f OM Λf 3 + OM3 Λ f 3 = M M Λ 1 f 1 + M 3 M 1 Λ f 13 + M 3 M Λ 3 f o : M M Λ 1 1 f = 0 M 3 M 1 Λ 13 f = 0 d'où : M Λ f 3 = 0 3 M 3 OM Λ j = 1 j f = 0

163 ext * Pou un système solé de ponts (dans le sens où l'on a f = 0 quel que sot le pont M ), l y a consevaton du moment cnétque total pa appot à un pont O. En effet : dl 0 d = L 0 = d L 0 O nous avons : d L 0 = OM Λ ext f = 0 (système solé) d'où : dl 0 = d L 0 = 0 et pa conséquent : L 0 = L 0 = cte l y a alos consevaton du moment cnétque total. XXVII- Noton de cente de masse d'un système - Théoème assocé. 1- Défnton On consdèe un système de n ponts matéels M 1, M,... M,..., M n de masses espectves m 1, m,..., m,..., m n et sot O un pont ogne quelconque.

164 On appelle cente de masse (ou cente d' nete) C d'un système de ponts matéels, un pont fctf dont la poston pa appot au pont ogne quelconque O est donnée pa : OC = m m OM S m = m est la masse totale du système, nous pouvons également éce : OC = m OM (4) m Remaques : * La poston du cente de masse C ne dépend pas de l'ogne O, mas dépend unquement de la dstbuton géométque des masses. En effet : OC = m m OM L'ogne O peut ête pse au pont C lu même et nous avons alos : m = 0 CM cette denèe elaton défnt donc le pont C sans nteventon de ponts extéeus ; donc C ne dépend pas du pont ogne O. Pa alleus C est défn de manèe unque pa cette même elaton. En effet sot un aute pont C' véfant également la elaton (5). Nous avons alos : m C' M = 0 (5)

165 = m C' C + m CM o : m = 0 d'apès (5) CM d'où : m C' C = 0 et pa conséquent C' et C sont confondus, ce qu tadut l'uncté du cente de masse C. * Le cente de masse coïncde avec le cente de gavté s le système de ponts matéels est dans un champ de la pesanteu g unfome dans la lmte du système. x x M 1 M x x x x M M n En effet le cente de gavté G du système est défn pa : OG = m g m g OM (6) m est la masse du pont M et g le module du champ de la pesanteu au pont M ; comme ce champ est supposé constant ( g unfome) alos g = g = cte et la elaton (6) s'éct : OG = m g m gom = m OM m

166 = m m OM = OC Le cente de masse C coïncde donc ben avec le cente de gavté G dans le cas de g unfome. - Vtesse du cente de masse Sot (R) un éféentel quelconque et C le cente de masse d'un système. On défnt la vtesse de C pa appot à (R) pa : v (C) /R = doc / R = m v(m ) m / R que l'on peut éce également sous la fome : v 1 (C) /R = P m (7) avec m = m masse totale du système et P = m v(m) /R quantté de mouvement du pont M pa appot à (R). Remaques : * Sot P = P d'apès (7) nous avons donc : la quantté de mouvement totale du système de ponts matéels; P = m v (C) /R

167 C'est-à-de que la quantté de mouvement totale d'un système de ponts matéels est égale à celle de son cente de masse affecté de la masse totale du système. * S la vtesse du cente de masse est nulle, le système de ponts matéels en tant qu'un tout est au epos, les dfféents ponts pouvant ête en mouvement. 3- Moment cnétque d'un système de ponts matéels en ntodusant le cente de masse Le moment cnétque total en un pont O d'un système de ponts matéels est égal à la somme du moment cnétque en O du cente de masse C affecté de la masse totale m du système et anmé de la vtesse v (C) /R, et du moment cnétque du système de ponts matéels au cente de masse C ; c'est-à-de : L 0 /R = OC Λ m v (C) /R + CM Λ m v(m ) /R (8) Démonstaton : Nous avons vu I, que L 0 /R = OM Λ m v (M ) /R pou le pont matéel M ; ntodusons le cente de masse C dans cette expesson : OM = OC + CM L 0 /R = OC Λ m v (M ) /R + CM Λ m v (M ) /R et le moment cnétque total s'éct : L 0 /R = 0 L /R = OC Λ m v (M ) /R + CM Λ m v (M ) /R

168 = OC Λ m v(m ) /R + CM Λ m v (M ) /R O nous avons vu pécédemment II, que : m v(m) /R = m v (C) /R = P d'où : L 0 /R = OC Λ m v (C) /R + CM Λ m v(m) /R 4- Théoème du mouvement du cente de masse Dans le mouvement d'un système de ponts matéels pa appot à un éféentel (R), le cente de masse C se déplace comme s toute la masse du système état concentée en ce pont C et su lequel étaent applquées toutes les foces extéeues agssant su le système. Ans on poua éce : m d v (C) /R = F ext (9) avec : F ext = f ext Démonstaton : Sot P = m v(m) /R la quantté de mouvement du pont M. D'apès le pncpe fondamental applqué à M : dp = F = ext f + f j j en fasant la sommaton su les dfféents ponts du système :

169 dp = F n = f = 1 ext n + = 1 j f j n = f = 1 ext = F ext o : dp = d P d = P avec P = P v (C) / R. D'où : la quantté de mouvement totale du système, ou encoe P = m m d v (C) /R = F ext Remaques : * S le système est solé, F ext = 0 et pa conséquent m d v (C) /R = 0, c'est-à-de v (C) / R = cte ; le cente de masse C est alos anmé d'un mouvement ectlgne et unfome. * S le éféentel (R) n'est pas galléen, la ésultante des foces extéeues F ext concene auss ben les foces applquées que les foces d'nete. XXVIII- Réféentel du cente de masse - Théoèmes de Koeng. 1- Défnton

170 On appelle éféentel du cente de masse (R c ) assocé à un éféentel (R) un éféentel lé au cente de masse C du système et tel qu'l sot en mouvement de tanslaton pa appot au éféentel (R). Remaques : * Le éféentel du cente de masse (R c ) n'est pas en généal galléen; pou qu'l le sot l faut que la tanslaton pa appot à (R) sot ectlgne unfome, c'est-à-de que l'on at v (C) / R = cte et que (R) sot lu même galléen. * La quantté de mouvement totale du système pa appot au éféentel du cente de masse (R c ) est nulle, c'est-à-de : P /Rc = 0. En effet sot un pont M du système et (R) le éféentel pa appot auquel (R c ) est en mouvement de tanslaton. D'apès la lo de composton des vtesses nous avons : v(m ) /R = v(m ) /Rc + v (M ) e (1) avec v(m) /Rc = d CM et la vtesse d'entaînement v e(m) = v (C) / R ( Rc) étant en mouvement de tanslaton pa appot à ( R ) ; o la vtesse du cente de masse est pa défnton : v (C) / R = m v(m ) / R m () et en emplaçant v(m ) /R pa son expesson (1) nous obtenons dans () : m v (C) / R = m v(m) /Rc + m v (C) / R = m v(m ) /Rc + m v (C) / R d'où m v(m) /Rc =0, c'est-à-de que la quantté de mouvement totale du système est nulle pa appot à (R c ).

171 P /Rc = m v(m ) /Rc = m v (C) /R c = 0 (3) - Peme théoème de Koeng (elatf au moment cnétque) Sot (R c ) le éféentel du cente de masse (donc en mouvement de tanslaton pa appot à un éféentel (R)); le peme théoème de Kœng expme que le moment cnétque d'un système de ponts matéels L 0 /R pa appot à (R) en un pont O quelconque est égal à la somme du moment cnétque en O du cente de masse C affecté de la masse totale du système et anmé de la vtesse v (C) /R et du moment cnétque total en C du système pa appot au éféentel (R c ) : L 0 /R = OC Λ m v (C) /R + CM Λ m v(m ) /Rc (4) Démonstaton : Pou un pont M du système nous avons : v(m ) /R = v (M ) /Rc + v (C) /R qu expme la lo de composton des vtesses ; d'où : m v(m ) /R = m v(m ) /Rc + m v (C) /R (5) la quantté de mouvement totale du système pemet d'éce : P /R = m v(m ) /R v P (C) /R = / R m et en emplaçant dans (1) : P m v(m) /R = m / R m + m v(m ) /Rc (6)

172 Le moment cnétque d'un système de ponts est donné pa la elaton II, 8 : L 0 /R = OC Λ m v (C) /R + CM Λ m v(m) /R et en y emplaçant m v(m) /R pa son expesson (6) nous obtenons : L 0 /R = OC Λ m v (C) /R + CM P Λ m / R + CM Λ m v(m) /Rc m Le second teme est nul ; en effet : P CM Λ m / R m du fat que m echechée: = P m CM Λ / R m CM = 0 = 0 d'apès II,5. Fnalement nous avons l'expesson L 0 /R = OC Λ m v (C) que l'on peut éce également sous la fome : /R + CM Λ m v(m) /Rc L 0 /R = OC Λ P /R + CM Λ P /Rc (4') avec P /R = m v (C) /R et P /Rc = m v(m) /Rc Remaque : * Dans les expessons (4) et (4'), la quantté L c /Rc = CM Λ P /Rc epésente le moment cnétque ntene du système, c'est-à-de le moment cnétque au pont C pa appot au éféentel (R c ). Ans nous pouvons éce le moment cnétque en un pont O quelconque : L 0 /R = OC Λ P /R + L c /Rc S on se place dans (R c ) : L 0 /Rc = OC Λ P /Rc + L c /Rc

173 = L c /Rc ( P /Rc étant nul) O étant quelconque, l est pa conséquent nutle de pécse le pont où l'on détemne le moment cnétque ntene et on éct tout smplement : L c /Rc = L /Rc 3- Deuxème théoème de Kœng (elatf à l'énege cnétque) Avec les mêmes données pécédentes, le deuxème théoème de Kœng expme que l'énege cnétque totale E c/r d'un système de ponts matéels pa appot à un éféentel (R) est égale à la somme de l'énege cnétque (expmée pa appot à (R)) du cente de masse C affecté de la masse totale m du système et anmé de la vtesse v (C) /R, et de l'énege cnétque du système en mouvement pa appot au éféentel du cente de masse (R c ) assocé à (R). Ans le théoème s'expme pa la elaton : E c/r = m v (C) / R + m v (M ) /Rc (7) avec : E c/r = m / R m v (M ) /R est l'énege cnétque totale du système pa appot à (R) ; v (C) est l'énege cnétque pa appot à (R) du cente de masse C ; m v (M ) /Rc est l'énege cnétque du système en mouvement elatf dans le éféentel du cente de masse, appelée également énege cnétque ntene du système. Démonstaton : L'énege cnétque du système est :

174 m E c/r = v (M ) /R D apès la lo de composton des vtesses pou le mouvement de tanslaton de (R c ) pa appot à (R) v(m ) /R = v (M ) /Rc + v (C) /R et en emplaçant dans l'expesson de l'énege cnétque nous obtenons : E c/r = m ( ) v(m ) / Rc + v(c) /R = m v (M ) / Rc + v (C) /R m v(m ) /Rc + m v (C) /R Le second teme est nul d'apès (III,3) et le tosème teme s'éct : m v (C) m /R = v (C) /R nous avons fnalement le ésultat (7) echeché : E c/r = m v m (C) /R + v (M ) / Rc expesson que nous pouvons éce également sous la fome : P / R E c/r = m + E c/r c P / R avec m système. m = v m (C) /R et E c/rc = v (M ) / Rc l'énege cnétque ntene du Remaques : * D'apès l'expesson (7') nous avons :

175 P / R E c/r = + E c/r m c et pa conséquent E c/r E c/r c. Ans nous pouvons de que l'énege cnétque d'un système est mnmale dans le éféentel du cente de masse (R c ) 4- Popété de l'énege cnétque dans (R c ) dans le cas d'un système à deux patcules Sot un système de deux patcules M 1 et M de masses espectves m 1 et m, et de quantté de mouvement P 1 /Rc et P /Rc. Expmons le appot des éneges cnétques de M 1 et M. E c (M 1 ) /R c = 1 m 1 v (M 1 ) /R c = P 1/Rc m E c (M ) /R c = 1 m v (M ) /R c = P /Rc m d'où le appot : E c (M 1 ) /R c E c (M ) /R c = m m 1 P P 1/Rc /Rc (8) O nous avons d'apès, la quantté de mouvement totale du système : P /Rc = P 1 /Rc + P /Rc = 0 d'où : P 1 /Rc = - P /Rc et encoe : P 1 /Rc = P /Rc Sot en emplaçant dans (8) E c (M 1 ) /R c E c (M ) /R c = m m 1 (9)

176 c est-à-de que dans le cas d'un système à deux patcules, le appot des éneges cnétques de ces deux patcules pa appot à (Rc) est égal à l'nvese du appot de leus masses. Pa alleus nous pouvons également dédue de la elaton (9) que s m 1 > m, alos E c (M 1 ) /R c < E c(m ) /R c XXIX- Noton d'énege ntene d'un système de patcules. 1- Enege potentelle d'nteacton (d'ogne ntene au système) En epenant ce que nous avons vu au début de cette pate, une patcule M d'un système est soumse à une foce ésultante qu peut s'éce : F = ext f + f j j ext où f est la foce execée pa le mleu extéeu au système su la patcule M et f j la foce d'nteacton execée su M pa la patcule M j et pa conséquent f j est j la ésultante de toutes ces foces d'nteacton agssant su M. Le taval élémentae de la foce extéeue f ext agssant su M los d'un déplacement dm est : dw ext = ext f. dm De même le taval élémentae de la ésultante des foces d'nteacton agssant su M los d'un déplacement dm est : dw nt = f. j j dm Dans le cas où les foces d'nteacton dévent d'un potentel, on défnt la dfféentelle de l'énege potentelle d'nteacton de la patcule M pa : (de p ) nt = - dw nt

177 = - ( j f ). d (1) j M et pou l'ensemble du système le taval élémentae assocé est pa conséquent : dw nt = dw nt = ( f j j ). d M et on défnt alos la dfféentelle de l'énege potentelle d'nteacton du système pa : de nt p = (de p ) nt = - (( f j j ). d ) () M Fnalement l'énege potentelle d'nteacton du système est E nt p ntégaton de l'expesson () : que l'on obtent pa E nt p = - fj. dm + cte j cette énege potentelle d'nteacton est donc défne à une constante pès. Remaques : * Le teme (( f j j ). d ) dans la elaton () n'est pas nul en généal; en effet cette M double sommaton compote des temes que l'on peut egoupe deux à deux sous la fome : f. d j M + f. j dm j O f j = - f j et donc la somme pécédente s'éct :

178 f. j dm + f j. dm j = f j ( dm - dm j ) = f j. d M j M d M j M est le déplacement elatf de M pa appot à M j qu n'est pas nul losque le système n'est pas gde. Su un exemple smple de tos patcules, la double sommaton peut ête explctée asément en fxant à chaque fos une valeu de et en fasant vae j. 3 f j = 1 j. dm = ( f 1. 1 j 3 dm 1 + f 13. dm 1 ) + ( 1 + ( f 31. dm 3 + f 3. dm 3 ) f. dm + f 3. dm ) f ( dm - 1 = 1 dm ) + 13 f ( dm - 1 dm 3 ) f ( d M dm 3 ) o : dm - 1 dm = M1 do - d OM = (OM + OM ) d 1 = d MM 1 d'où : 3 f j = 1 j. dm = f 1. d M 1 M + 13 * En écvant la elaton (1) : (de p ) nt f. d M 3 1 = - ( M + 3 j f ). d j f. d MM 3 M comme dfféentelle totale, nous avons mplctement supposé que la ésultante des foces d'nteacton qu agssent su M est consevatve, c'est-à-de encoe que l'on a :

179 - ( j f ). d nt = - gad(e ) P j M * L'énege potentelle d'nteacton ne dépend pas du éféentel mas dépend de la confguaton du système. - Enege ntene d'un système de patcules On appelle énege ntene U d'un système de ponts matéels, la somme de l'énege cnétque (expmée pa appot à (R c )) et de l'énege potentelle d'nteacton défne pécédemment. U = E c/r c + Ent p 3 - Cas d'un système solé - Consevaton de l'énege ntene Sot un système de ponts matéels soums à des foces consevatves, l y a consevaton de l'énege mécanque E du système E = E c/r + E p = cte (3) o d'apès le deuxème théoème de Koeng (.XXVIII,3) nous avons : E c/r = E c/r c + P /R m et dans l'expesson (3) : E = E c/r c + P /R m + E p = cte (4) Le système étant supposé solé, la quantté de mouvement totale est constante P /R = cte, donc P /R m de (4) nous avons : de = d(e c/r c + P /R m + E p) = 0 est un teme constant; et en penant la dfféentelle

180 et donc de = de c/r c + de p = 0 (5) Pusque le système est solé dep = de nt p, l'énege potentelle du système est égale à une constante pès à l'énege potentelle d'nteacton des patcules du système. En effet : de p = de nt p + deext p (6) de ext p étant l'élément dfféentel de l'énege potentelle assocée aux foces ext consevatves f d'ogne extéeue au système et agssant su les ponts M, c'està-de : p = - f ext. dm de ext Les ponts matéels étant solés de ext p = 0 ext f = 0, donc : l' expesson (5) se édut alos à : de p = de nt p et dans (5) nous obtenons : de c/r c + dent p = d(e c/rc + Ent p ) = 0 o U = E c + E nt p fnalement : epésente l'énege ntene du système; donc nous avons du = 0 et U = cte

181 L'énege ntene d'un système de ponts solés soums à des foces consevatves est une constante du mouvement. Remaque : * Losque les foces d'nteacton (d'ogne ntene) pou un système solé ne dévent pas toutes d'un potentel, l'énege ntene n' est plus consevée, comme c'est le cas d'une collson nélastque.

182 PARTIE A I - Repéage d'un pont matéel. Systèmes de coodonnées, sufaces et coubes coodonnées 1- Systèmes de coodonnées a- Coodonnées catésennes b- Coodonnées cylndques c- Coodonnées sphéques II - Sufaces coodonnées. Coubes coodonnées 1- Défntons a- Suface coodonnée b- Coube coodonnée - Applcaton au cas de systèmes de coodonnées smples a- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées catésennes. b- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées cylndques c- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées sphéques III - Systèmes d'axes locaux ("epèes locaux") 1- Poston du poblème - Détemnaton du "epèe local" dans le cas généal a- Decton et sens des axes locaux b- Vecteus untaes de base du système d'axes locaux 3- Systèmes d'axes locaux en coodonnées catésennes, cylndques et sphéques a- "Repèe local" en coodonnées catésennes (q = x, q 1 = y, q 3 = z) b- Repèe local en coodonnées cylndques (q 1 =, q = ϕ, q 3 = z) c- Repèe local en coodonnées sphéques : (q 1 = ρ, q = θ, q 3 = ϕ) d- Passage d'un epèe local à un aute 4- Cas patcule : epèe local de Seet Fenet et fomules assocées. a - Pésentaton b - Eléments caactéstques d'une coube (tajectoe) c - Tède et base de SERRET FRENET d - Fomules de SERRET-FRENET

183 IV - Caactéstques fondamentales de la cnématque 1- Tajectoe - Equatons paamétques du mouvement a - Tajectoe b- Equatons paamétques - Vtesse d'un pont matéel a- Vtesse moyenne b- vtesse nstantanée c. Hodogaphe du mouvement 3- Accéléaton d'un pont matéel V - Composantes de la vtesse dans dfféents epèes locaux 1- Repèe local en coodonnées catésennes - Repèe local en coodonnées cylndques 3- Repèe local en coodonnées sphéques 4- Dans le epèe de SERRET-FRENET : VI - Composantes de l'accéléaton dans dfféents epèes locaux 1- Repèe local en coodonnées catésennes - Dans le epèe local en coodonnées cylndques 3- Dans le epèe local en coodonnées sphéques 4. Dans le epèe de SERRET FRENET VII - Exemples de mouvements patcules smples 1- Mouvement ectlgne a- Défnton b- Mouvement ectlgne unfome c- Mouvement ectlgne unfomément vaé d - Mouvement ectlgne snusoïdal - Mouvement cculae a- Défnton b- Vecteu vtesse de otaton c- Vecteu accéléaton 3- Mouvement hélcoïdal

184 a- Défnton b- Equatons paamétques. c- Expesson du vecteu vtesse : d- Expesson de l'accéléaton VIII - Mouvement à accéléaton centale 1- défnton : - Popétés du mouvement à accéléaton centale. a- Constante du mouvement b- Caactèe plan du mouvement : c- Lo des aes : d- Sens du mouvement : 3- Fomules de Bnet : a- Pemèe fomule de Bnet b- Deuxème fomule de Bnet 4- Exemples de mouvements à accéléaton centale a- Patcule dans un champ Newtonen. b- Patcule soumse à une foce centale attactve popotonnelle à la dstance IX - Changement de Réféentel 1- Poston du Poblème : - Dves types de mouvements smples de (R') pa appot à (R). a- Mouvement de tanslaton b- Mouvement de otaton de (R') autou dun axe lé à (R) c- Angles d'eule. 3- Tansfomaton du vecteu vtesse. a- Dévaton d'un vecteu pa appot au temps elatvement aux éféentels (R) et (R') b- Lo de composton du vecteu vtesse c- Cas patcules smples du mouvement de (R') pa appot à (R). d- Applcaton de la lo de composton des vtesses 4- Tansfomaton du vecteu accéléaton. a- Lo de composton b- Cas patcules smples du mouvement de (R') pa appot à (R). c- Exemple de mouvement composé : mouvement cycloïdal. 5- Tansfomaton de Gallée.

185 PARTIE B X - Pncpes de la dynamque (Los de Newton) 1- Pncpe d'nete - Pncpe fondamental de la dynamque 3 - Pncpe de l'acton et de la éacton : XI - Fomulaton du pncpe fondamental de la dynamque dans un éféentel non galléen. 1- Poston du poblème : - Foces d'nete 3- Foces d'nete dans les cas de mouvements patcules : a- Mouvement de tanslaton de (R') pa appot à (R G ). b- Mouvement de otaton de (R') pa appot à (R G ) autou d'un axe ( ) passant pa O'. 4- Equlbe d'un pont matéel dans un éféentel non galléen. XII - Applcaton des éféentels non galléens à la dynamque teeste 1- Noton de pods d'un cops. Pesanteu. a- Défnton : b - Causes de la pesanteu : - Pncpe fondamental de la dynamque dans le éféentel teeste (R). 3- Champ de la pesanteu teeste - Vetcale d'un leu. 4 - Vaaton du champ de la pesanteu avec la lattude. 5 - Etat d'apesanteu dans un satellte atfcel. 6 - Devaton ves l'est des tajectoes de chute lbe. a- Descpton du poblème. b- Equatons du mouvement : 7 - Pendule de Foucault a- pncpe b - Equatons du mouvement

186 PARTIE C XIV - Taval et Pussance d'une foce 1- Taval élémentae. - Taval le long d'une tajectoe cuvlgne. 3 - Pussance d'une foce : 4 - Untés de taval et de pussance 5- Pussance dans le cas des foces patculèes. a- Pussance du pods d'un pont matéel b- Pussance d'une foce centale. XV - Théoème de la pussance -Théoème de l'énege cnétque 1- Défnton de l'énege cnétque : - Théoème de la pussance 3- Théoème de l'énege cnétque XVI - Champ consevatf - Enege potentelle 1- Champ de foces consevatf. - Enege potentelle 3- Expesson de l'énege potentelle dans des cas patcules : a- Cas d'un champ Newtonen : b- Enege potentelle de la pesanteu : c- Relaton ente l'énege potentelle de la pesanteu et l'énege potentelle du champ Newtonen d- Enege potentelle de la foce de appel d'un essot e- Cas où l'énege potentelle dépend du temps : f- Enege potentelle d'nteacton de deux atomes d'une molécule (lason onque) XVII - Enege Mécanque - Théoème de consevaton 1- Défnton - Théoème de consevaton de l'énege mécanque : 3- Cas des foces applquées pas toutes consevatves

187 XVIII - Equlbe et stablté d'un pont matéel dans un champ consevatf 1- Poston du Poblème - Condton d'équlbe su l'énege potentelle : 3- Exemple : Applcaton au cas d'un système de patcules XIX - Etude qualtatve d'un système consevatf patcule - Etat lé - Etat de dffuson. 1- Equaton du mouvement : - Etude du mouvement dans un cas patcule de l'énege potentelle : 3- Etat lé et état de dffuson : a- Etat lé b- Etat de dffuson XX - Etude dynamque du mouvement d'un pont matéel soums à une foce centale 1- Défnton - Popétés dédutes du mouvement à foce centale : a- Caactèe plan de la tajectoe c- Natue consevatve de la foce centale 3- Equaton du mouvement - tajectoe

188 Pate D Oscllateus Hamonques XXI - Etude du mouvement d'un pont matéel au vosnage de l'équlbe stable 1 - Rappel a- Poston d'équlbe b- Stablté de l'équlbe - Vosnage de l'équlbe 3 - Equaton du mouvement au vosnage de l'équlbe XXII - Oscllateu hamonque non amot 1- Défnton - Exemples a- Pendule élastque hozontal b- Pendule smple c- Pendule cycloïdal 3 - Apect énegétque de l'oscllateu hamonque a- moyenne de l'énege cnétque b- moyenne de l'énege potentelle c- moyenne de l'énege mécanque 4 - Oscllateu hamonque bdmensonnel XXIII - Oscllateus hamonques amots 1-oscllateu amot pa fottement vsqueux a- oscllateu fablement amot b- cas ctque c- oscllateu fotement amot d- pete d'énege d'un oscllateu fablement amot - oscllateu amot pa fottement solde. XXIV - Oscllatons focées 1 - poston du poblème

189 - Equatons et natue du mouvement 3 - Résonance d'ampltude 4 - Aspect énegétque a- énege mécanque b- pussance foune pa l'exctateu à l'oscllateu c- acuté de ésonance XXV - Analoge Electque - Mécanque 1 - Poston du poblème - Etude de la déchage d'un condensateu

190 Pate E Etude des systèmes de ponts matéels - Théoèmes généaux XXVI - Théoèmes généaux pou un système de ponts matéels 1- Quantté de mouvement d'un système - Théoème assocé a- Défnton b- Théoème de la quantté de mouvement - Moment cnétque d'un système - Théoème assocé a- Défnton b- Théoème du moment cnétque XXVII - Noton du cente de masse d'un système - Théoème assocé 1 - Défnton - Vtesse du cente de masse 3 - Moment cnétque d'un système de ponts matéel en ntodusant le cente de masse 4 - Théoème du mouvement du cente de masse XXVIII - Réféentel du cente de masse - Théoème de Kœng 1- Défnton - Peme théoème de Kœng (elatf au moment cnétque) 3- Deuxème théoème de Kœng (elatf à l'énege cnétque) 4- Popété de l'énége cnétque dans (R c ) dans le cas d'un système à deux patcules. XXIX - Noton d'énege ntene d'un système de patcules 1- Enege potentelle d'nteacton - Enege ntene d'un système de patcules 3- Cas d'un système solé - consevaton de l'énege ntene.

191 Pate F Etude des collsons ente patcules XXX - Noton de collson - Collsons élastque et nélastque 1- Défnton - Collson élastque 3- Collson nélastque XXXI - Descpton de la collson élastque dans le éféentel du cente de masse (R c ) assocé à un éféentel (R) 1- Enege cnétque et quantté de mouvement de deux patcules expmées dans (R c ). a- Enege cnétque b- Quantté de mouvement - Etude de la collson élastque dans (R c ) a- Expesson des vtesses des patcules apès la collson b- Popétés de la collson élastque Popété 1 Popété XXXII - Cas patcules de collsons élastque et nélastque 1 - Collson élastque decte (ou fontale) - Collson pafatement nélastque 3 - Coeffcent de esttuton.

192 PARTIE G RELATIVITE RESTREINTE XXXIII - Cnématque elatvste 1. Intoducton.. Tansfomaton de Loentz. 3. L'expéence de Mchelson-Moely. XXXIV - Dynamque elatvste 1. Equvalence ente masse et énege.. Tansfomaton des vtesses. 3. Enege elatvste. 4. Tansfomaton de l'énege et de la quantté de mouvement. 5. Quad-vecteu quantté de mouvement.

193 Pate H Inteacton de deux ponts matéels Etude de la dffuson des patcules XXXIII - Etude de l'nteacton de deux ponts matéels 1- Mouvement du cente de Masse - Homothéte des tajectoes 3- Caactéstques du mouvement dans le éféentel du cente de masse a- Poston elatve des ponts b- Consevaton du mouvement cnétque c- Eneges cnétque et mécanque. XXXIV - Détemnaton de la dévaton ente deux patcules en nteacton 1- Poston du poblème - Dffuson d'une patcule pa un cente de foce 3- Cas patcule : dffuson d'une patcule α pa un noyau XXXV - Noton de secton effcace 1- Poston du poblème - Secton effcace élémentae 3- Secton effcace dfféentelle 4- Secton effcace de dffuson de RUTHERFORD.