TRAVAUX DIRIGÉS DE M 6

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1 D M 6 Coection PCSI RVUX DIRIGÉS DE M 6 Execice 1 : Pemie vol habité (pa un homme) Le 1 avil 1961, le commandant soviétique Y Gagaine fut le pemie cosmonaute, le vaisseau spatial satellisé était un engin de masse m 475 kg Les altitudes au péigée P et à l apogée étaient z P 180 km et z 37 km Expime la vitesse v du satellite en fonction de son altitude z, de z P, z, M, R (masse et ayon de la ee) et de G, la constante de gavitation Calcule v en P et en Comme l énoncé pale de péigée et d apogée, on est dans le cas d un état lié (mouvement elliptique, heueusement pou Youi!) et la elation E m k s applique a En notant M z + R la distance ente le cente de la ee et l engin spatial, on a ici a + P R + z + R + z P R + z + z P et k GmM d où GmM E m E c + E p 1 R + z + z P mv GmM ( ) v 1 1 GM z + R R + z + z P Les applications numéiques donnent v P v max 7,9 kms 1 et v v min 7,7 kms 1 Execice : Satellite et fottements Un satellite M de masse m est placé su une obite ciculaie de ayon contenue dans le plan équatoial de la ee On tavaillea dans le éféentiel géocentique R Géo considéé comme galiléen On notea Ω la vitesse angulaie de otation de la ee dans R Géo 1 Détemine la vitesse v 0 du satellite, l énegie potentielle E p0, cinétique E c0 et mécanique E m0 du satellite su cette obite en fonction de la constante de gavitation G, M la masse de la ee et des données vant d ête placé su son obite, le satellite est posé su le sol, en un point P de latitude λ Sa vitesse est la vitesse d entaînement v e due à la otation de la ee, supposée sphéique de ayon R Détemine E p1, E c1 et E m1 du satellite au point P Pou le place su son obite, il faut lui founi E E m0 E m1 Où doit-on place les bases de lancement pou que E soit minimale? 3 On suppose maintenant que l altitude du satellite étant faible devant R, il subit les fottements de l atmosphèe Son énegie mécanique E m diminue avec le temps selon la loi E m E m0 (1 + αt) Quel est le signe de α? On suppose que la tajectoie este patiquement ciculaie Détemine en fonction de t, le ayon de la tajectoie, et la vitesse v du satellite Comment v vaie-t-elle? Commentez a O M P x 1 On est dans le cas classique d un mouvement ciculaie 1

2 D M 6 Coection PCSI En tavaillant dans la base polaie, on a ici OM e d où v θ eθ et enfin a θ 0 e + θ eθ La seule foce appliquée au satellite { M } est la foce de gavitation F GmM e 0 Dans le éféentiel géocentique, supposé galiléen, pa application du pincipe fondamental de la dynamique su M dans la base polaie, m( θ e + θ eθ ) GmM 0 e Oz R F v Pa pojection selon e θ, on obtient θ 0 θ v0 Cte, le mouvement est donc ciculaie et unifome : θ v 0 Pa pojection selon e, on obtient M m θ GmM 0 v 0 0 GM 0 v 0 GM On en déduit ensuite son énegie cinétique E c0 1 mv 0 GmM et E m0 E c0 + E p0 1 mv 0 k avec k GmM d où E m0 GmM (on etouve E m0 k avec a a 0 ca l état est lié) Le satellite étant posé à la suface du globe on a simplement E p1 k R xe des pôles GmM R Dans le éféentiel géocentique, il est animé d un mouvement ciculaie unifome de ayon 1 HP R cos λ et en notant Ω la vitesse angulaie de otation de la ee dans R Géo et v e Ω 1 ΩR cos λ On en déduit E c1 1 mv e 1 mω R cos λ et E m1 E c1 + E p1 1 mω R cos λ GmM R Pou place le satellite su son obite, il faut lui founi E E m0 E m1 Cette énegie sea minimale quand λ 0, c est à die su l équateu Équateu 3 Si l énegie mécanique de M diminue, dem E dt m0 α < 0 o le satellite était (et este) dans un état lié donc E m0 < 0 α > 0 Si on considèe que la tajectoie este quasiment ciculaie, on peut encoe utilise la elation H Ω O λ P E m k E m0(1 + αt) GmM GmM E m0 (1 + αt) 1 + αt Donc diminue au cous du temps En epenant le ésultat du 1, v GM Cela povient du fait que E m E c dec inteveni Execice 3 : oisième loi de KEPLER GM dt Em dt (1 + αt) augmente au cous du temps > 0, la foce de fottement n est pas la seule à 1 Sachant que la tajectoie de la ee est pesque un cecle de ayon a km et que la constante de gavitation G 6, SI, calcule la masse du soleil

3 D M 6 Coection PCSI La péiode de évolution de Mas autou du Soleil est de 1,9 année, en déduie a le demi gand axe de l ellipse décite pa Mas du soleil 3 Une comète décit une obite elliptique autou du soleil, avec une péiode de 11,5 années La distance au péigée est P 0,a ( a : distance tee soleil si on considèe le mouvement de la ee autou du Soleil comme ciculaie), calcule la distance de l apogée au soleil et l excenticité e de la tajectoie elliptique e étant poche de 1, calcule sa vitesse maximale 4 La comète de Halley est passée en 1986 au voisinage de la ee Sa péiode de évolution autou du Soleil est de 76 ans et sa distance minimale au Soleil est 0,59 ua (unité astonomique coespondant à la distance moyenne ee Soleil) Calcule la plus gande distance de cette comète au Soleil et l excenticité de sa tajectoie 1 Mouvement quasi ciculaie de la ee autou du Soleil Pou elie M S à a, G et des valeus connues, on peut passe pa l expession de v la vitesse de la ee su son obite L énegie mécanique de la ee est E m k a E c+e p E c k a E c GM M S a 1 M v v GM S a S a v Le mouvement étant ciculaie et unifome, on a également v πa 4π a GM S a a 4π M 3 S 4π GM S G Où est la péiode de évolution de la ee autou du Soleil : 365, secondes L application numéique donne M S kg Pa utilisation de la oisième loi de Keple, [ ] ee [ ] Mas a 3 a a 3 À nouveau, pa utilisation de la oisième loi de Keple, [ ] ee [ ] Pa ailleus, comme Comète ( ) a 3 P + a ( ( a ) km p 1 + e cos θ p 1 e et P p 1 + e e P + P 0,96 Comme e 1, on a pesque un mouvement paabolique, ) 3 P km E m 0 E c E p 1 mv k GmM S v max v P GMS P 90 kms 1 4 oujous pa utilisation de la oisième loi de Keple, on calcule de la même manièe 35,9 ua et e 0,97 3

4 D M 6 Coection PCSI Execice 4 : Comète paabolique Dans le éféentiel Héliocentique, on considèe le mouvement d une comète et celui de la ee La masse du Soleil sea notée M 0 La tajectoie de la ee est supposée ciculaie de ayon 1 Calcule, en fonction de M 0, et G (la constante de gavitation), la vitesse v 0 de la ee su son obite ainsi que sa péiode de otation 0 La tajectoie de la comète est coplanaie à celle de la ee, sa distance péicentique est et sa vitesse maximale est alos v 0 Pécise la fome de la tajectoie de la comète (elliptique, paabolique ou hypebolique) Expime la vitesse de la comète en fonction de la distance qui la sépae du soleil 3 L obite de la comète coise celle de la ee en deux points et B Monte que B est un diamète de l obite teeste 4 Quel est le temps τ passé pa la comète à l intéieu de l obite teeste en fonction de 0? Ce temps donne un ode de gandeu de la duée de visibilité à l œil nu de la comète depuis la ee On donne π π dθ (1+cos θ) Pa un calcul classique (PFD su la ee soumis à la foce de gavitation due au Soleil ou pa une méthode énegétique), on obtient v 0 GM 0 et comme le mouvement est ciculaie unifome, 0 π v 0 Pou pécise la natue de la tajectoie de la comète, on calcule son énegie mécanique Comme elle est constante, on peut la détemine en se plaçant à n impote quel point et comme l énoncé pécise et v au péiaste ( ; v v 0 GM 0 ), on obtient en utilisant le ésultat pécédent : E m E c + E p 1 m(v 0) GmM 0 / GmM 0 GmM 0 0 ce qui signifie qu on a affaie à une tajectoie paabolique (d où le tite de l execice) Comme à tout instant E m 0 E c + E p 1 mv GmM 0, on a v GM0 3 La tajectoie est paabolique, son excenticité est donc égale p à 1 et 1+1 cos θ De plus, on sait que minimum (valeu de quand θ 0) est égal à d où p et p Finalement, l équation polaie de la tajectoie de la comète O est 1+cos θ L obite de la comète coise celle de la ee (ayon ) quand, c est à die pou θ ± π ce qui veut die que les points et B d intesection de l obite de la comète avec B celle de la ee sont diamétalement opposés : B est bien un diamète de l obite teeste 4 La foce de gavitation étant centale, on a consevation du moment cinétique de la comète pa appot au cente du Soleil et la loi des aies est espectée : L 0 Cte θ v 0 (valeu en θ 0) soit θ dθ v 0 d où dt dt v 0 dθ avec 1+cos θ O, τ, la duée pendant laquelle la comète est située à < coespond à π θ π d où τ Execice 5 : Voyage ee Mas π θ π dθ v 0 (1 + cos θ) 0 3π 77,5 jous 4

5 D M 6 Coection PCSI u cous d un voyage inteplanétaie, un vaisseau spatial V de masse m 1000 kg, est tansféé depuis la ee jusqu à la planète Mas M Ce tansfet s effectue selon une obite elliptique (ellipse de HOHMNN) tangente aux deux obites coplanaies patiquement ciculaies, de et M, de ayons S 150 millions de km et M SM 30 millions de km, et dont le soleil est un foye On négligea l influence des autes cops et on ne considéea que l attaction solaie Masse du soleil M S kg et G 6, SI Détemine en fonction de, M, G et M S, puis calcule : 1 L excenticité e et le paamète p de l obite de tansfet de HOHMNN La duée τ de ce voyage 3 La vaiation de vitesse à communique au vaisseau los du lancement depuis l obite teeste puis los de son aivée aux abods de Mas 4 L augmentation de l énegie mécanique totale du vaisseau au cous de ce tansfet 5 Mas doit se situe en au même instant qua le vaisseau V En déduie la position que doit avoi M pa appot à à l instant du dépat : angle α (S,SM) θ V S M α 1 Su l obite de tansfet de HOHMNN d excenticité e et le paamète p, p 1+e cos θ, V M θ S α u péigée, su la figue, θ 0 et alos p 1+e De même à l apogée, θ π, M p On en déduit 1 e M 1 e 1 + e e M M + 0,1 p (1 + e) km Los du voyage, le vaisseau pacout la moitié de l ellipse donc sa duée τ coespond à une demi péiode H du vaisseau su l obite de HOHMNN Et, d apès la toisième loi de Keple, [ ] ee [ ] Hohmann 3 4τ ( + M ) τ 1 [ + M 3 ] 3 0,71 où est la péiode de évolution de la ee autou du soleil (1 an) On en déduit τ 8 mois et 0 jous 5

6 D M 6 Coection PCSI Le vaisseau étant dans un état lié (tajectoie ciculaie ou elliptique), E m k a E c + E p 1 mv k [ v k 1 m 1 ] a [ 1 GM S 1 ] a u voisinage de la ee, su l obite ciculaie c est à die avant l allumage des moteus a d où v( ) GM S puis toujous en R mais su l obite elliptique a + M d où v( + ) GM S [ M ] On en déduit au niveau de la ee v GM S ( M + M 1) 3 kms 1 ux envions de Mas pa le même type de calculs, v M kms 1 4 Dans le cas d un mouvement ciculaie de ayon E m k GM Sm d où a GM S M (1 + M ),7 E m E m (M) E m () GM Sm ( 1 1 ) 1 M GmM M S 1, J M 5 Pou ne pas manque le endez-vous, il faut que M se situe en au même instant que V, c est à die à t τ M étant animé d un mouvement ciculaie unifome, sa vitesse angulaie est π M π α avec τ d apès la toisième loi de Keple, M 3 M 3 H [ ] 3 M α π [ 1 τ ( ] ) 3 45,3ř M Execice 6 : Changement d obite - Ellipse de tansfet La ee est supposée à symétie sphéique, de cente C, de ayon On note g 0 l intensité du champ de pesanteu teeste au niveau du sol On donne 6400 km et g 0 9,8 ms 1 Un satellite, de masse m, décit une tajectoie ciculaie asante de ayon Quelles sont les expessions de sa vitesse v 0 et de sa péiode de évolution 0? Un satellite géostationnaie semble fixe pou un obsevateu teeste Détemine sa vitesse v 1 et le ayon 1 de son obite 3 On veut faie passe un satellite de l obite ciculaie asante de ayon CP à l obite géostationnaie de ayon 1 C Un moteu auxiliaie pemet de modifie la vitesse du satellite aux points P et pès l allumage du moteu en P, le satellite pacout une demi-ellipse, dite de tansfet jusqu en où le moteu s allume à nouveau pou le alenti (a) Détemine les vitesses v 0 et v 1 du satellite en P et en su sa tajectoie elliptique (b) Calcule la duée τ du tansfet de P à (c) Quelle est l excenticité de l obite de tansfet P C 6

7 D M 6 Coection PCSI PFD su satellite v 0 g 0 7,9 kms 1 et 0 π v 0 si dans plan équatoial 1 1 jou, v 1 π 1 1 et 1 ( 1 km ( km du sol) 3a Su l ellipse, E m k a v et v 1 1,56 kms 1 3b τ 1 0( + 1 ) 3/ 5 h 14 min 3c e h 5 min F ie + F gav 0 que 0 ) 3/ d où v 1 3,08 kms 1 et g0 ( ) soit v 0 10,4 kms 1 Execice 7 : Comète de Halley La comète de Halley est passée en 1986 au voisinage de la ee Sa péiode de évolution autou du Soleil est de 76 ans et sa distance minimale au Soleil est 0,59 ua (unité astonomique coespondant à la distance moyenne ee Soleil) Calcule la plus gande distance de cette comète au Soleil et l excenticité de sa tajectoie oisième loi de Keple 35,9 ua et e 0,97 Execice 8 : Foce de gavitation 1 Rappele l expession de la foce de gavitation execée pa la ee de cente et de masse M su un objet de masse m en fonction de la Constante de gavitation G 6, SI et de En déduie l expession de l énegie potentielle de gavitation 3 Donne l expession de l énegie mécanique du point ayant une vitesse v à la suface de la ee, en déduie la valeu de la vitesse de libéation v L : vitesse minimale donnée à l objet pou qu il puisse se libée de l attaction teeste Calcule v L (M kg et R 6400 km) 4 La ee décit autou du soleil S de masse M S 0, M une obite patiquement ciculaie de ayon a km Détemine en fonction de a, la position d équigavité du système S pa appot à la ee ; endoit de l espace où la foce de gavitation due à S est compensée pa celle due à 1 F GmM 3 δw( F) dep E p GmM 3 E m 1 mv GmM E m 0 pou R soit v L GM R F S/ F / km et v v L quand 11, kms 1 4 ente et S : a S + et Execice 9 : Objets en obite autou du Soleil On donne G 6, SI la constante de gavitation et M kg la masse du Soleil 1 Mouvement de la ee (a) Expime la vitesse v 0 de la ee pa appot au epèe galiléen associé au Soleil en fonction de G, M 0 et R 0 1,510 8 km, le ayon de l obite teeste, supposée ciculaie, autou du Soleil (b) Expime, en fonction de G, M 0, R 0 et M la masse de la ee, l énegie cinétique, l énegie potentielle (nulle à l infini), l énegie totale dont on commentea le signe et le moment cinétique L 0 de la ee pa appot au Soleil ainsi que sa péiode de évolution autou de Soleil 0 Mouvement d une comète paabolique Une comète, dont la tajectoie est coplanaie à l obite teeste a une masse m c Son péihélie (point le plus poche du Soleil) se touve à la distance R 0 du cente du Soleil et sa vitesse est en ce point de v 0 (a) Monte que la tajectoie de la comète est une paabole 7

8 D M 6 Coection PCSI (b) Expime la vitesse v c de la comète en fonction de sa distance au cente du Soleil c (c) L obite de la comète coise celle de la ee en deux points et B Monte que B est un diamète de l obite teeste (d) Quel est le temps τ passé pa la comète à l intéieu de l obite teeste en fonction de 0? Ce temps donne un ode de gandeu de la duée de visibilité à l œil nu de la comète depuis la ee On donne π π dθ (1+cos θ) Comète de HLLEY Le péihélie de la comète de HLLEY se touve à 0,6R 0 du cente du Soleil ; sa péiode est de 76 années teestes (a) Calcule l excenticité e et le paamète p de la comète de HLLEY (b) chaque passage, elle ped de sa masse du fait du vent solaie Sa tajectoie est-elle modifiée? 4 Satellite Un satellite S étant situé en un point P à la distance h (1 + α)r du cente O du Soleil où R est le ayon du Soleil et α 5,0010, on lui communique une vitesse V pependiculaie au ayon vecteu OS et de valeu V βv 0 en notant V 0 la valeu de V qui lui pemettait de décie une obite ciculaie autou de O Calcule sous fome littéale puis en effectuant les applications numéiques, ente quelles valeus doit ête compis β si l on veut évite que le satellite ne touche la suface du Soleil, mais aussi qu il échappe définitivement à son attaction Execice 10 : Satellite géostationnaie Un satellite est géostationnaie si il semble immobile pou un obsevateu situé su la suface de la ee 1 Monte que le satellite obite focément dans le plan équatoial On poua epésente les foces appliquées au satellite dans le éféentiel géocentique galiléen Calcule le ayon R de la tajectoie du satellite géostationnaie dans le éféentiel géocentique connaissant la valeu du champ de pesanteu au sol g 0 9,8 ms et le ayon de celle-ci : R 6400 km 3 Calcule l énegie à founi pou satellise ainsi une masse m 1 kg depuis un point à la suface de la ee et à l équateu Expime cette énegie en kwh et commente 1 R ( g 0R ) 1/3 où 1 jou sidéal 3 h 56 min W mπ (R R 4π )+mg 0 R (1 R R ) 57,7 J 16 kwh elativement faible ca on a négligé les fottements, le endement des moteus 8

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