CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

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1 Chapit II CONDUCTEURS EN EQUILIRE ELECTROSTTIQUE En élcticité, un conductu st un miliu matéil dans lqul ctains chags élctiqus, dits «chags libs», sont suscptibls d s déplac sous l action d un champ élctiqu. Nous nous poposons, dans c chapit, d étudi ls popiétés ds conductus n équilib élctostatiqu, à l échll macoscopiqu où ls dimnsions considéés sont tès gands pa appot aux distancs int atomiqus.. EQUILIRE ELECTROSTTIQUE. L équilib élctostatiqu st attint losqu aucun chag élctiqu n s déplac à l intéiu du conductu. Nous allons établi, dans ctt pati, ls popiétés ds distibutions d équilib d un conductu isolé dans l vid... Champ élctiqu. L champ élctiqu st nul n tout point à l intéiu d un conductu n équilib élctostatiqu. En fft, la pésnc d un champ ntaînait l xistnc d un foc F q E () qui mttait ls chags n mouvmnt t l conductu n sait plus n équilib. En tout point à l intéiu d un conductu n équilib, l champ élctiqu E st nul. L champ élctiqu su la sufac du conductu st ppndiculai à la sufac. En fft, pou ls mêms aisons qu pécédmmnt, un composant du champ paallèl à la sufac agiait su ls chags libs t ntaînait lu déplacmnt. O, d tls déplacmnts n xistnt pas dans ls conditions d équilib élctostatiqu : L champ st nomal à la sufac d un conductu n équilib... Potntil élctiqu. Considéons la ciculation du champ élctiqu nt dux points M t M infinimnt voisins à l intéiu d un mêm conductu. La vaiation du potntil dv nt ls dux points st alos donné pa : dv E. dl où dl MM ' V = constant L. ït Gougam, M. ndaoud, N. Doulach, F. Mékidèch

2 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus L champ étant nul à l intéiu du conductu, l potntil st donc unifom dans tout l volum du conductu. Un conductu n équilib élctostatiqu constitu un volum équipotntil..3. Répatition ds chags. - l intéiu du conductu. Considéons un conductu doté d un chag ntt Q t choisissons un sufac fmé qulconqu d façon qu ll s touv sous la sufac du conductu. D apès l théoèm d Gauss, on a : Qint Eint. ds S Comm Eint, on n déduit qu Qint. Pa conséqunt l intéiu d un conductu chagé n équilib, la chag élctiqu st null. - la sufac du conductu : Expéinc du cylind d Faaday. Ctt xpéinc a pou but d mtt n évidnc la épatition supficill ds chags élctiqus. On dispos: - d un boul métalliqu, chagé positivmnt, solidai d un tig lié à un manchon isolant, - d un cylind d Faaday C, (c st un cylind métalliqu cux dont la hautu st tès gand pa appot à son diamèt), - t d un élctoscop à fuill d o E. L cylind C st posé su l platau d l élctoscop E. - - C E a b c d Figus II. La figu II..a mont qu losqu la boul s touv hos du cylind, l nsmbl fomé pa C t E n pot aucun chag. Losqu on intoduit la boul dans l cylind, un phénomèn d élctisation pa influnc st déclé pa l élctoscop. Ds chags négativs sont induits su la fac intn d C t ds chags positivs su sa sufac xtn (figu II..b). Losqu t C sont mis n contact, on constat, là nco, qu ls fuills d l élctoscop s écatnt (Figu II..c), ct écat st maintnu losqu on ti. Pou véifi qu la boul a ntièmnt tansmis sa chag à C, on ti l cylind, on déchag l élctoscop (figu. 44

3 E Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus II..d), puis on mt n contact t l platau d E. On constat alos qu ls fuills d o stnt vticals (figu. II..). En conclusion : tout la chag d la boul s st touvé épati à la sufac xtéiu du conductu. La chag élctiqu d un conductu n équilib st ntièmnt épati su sa sufac..4. Champ au voisinag d un conductu : théoèm d Coulomb. Considéons un conductu d fom qulconqu. On s popos d calcul l champ élctiqu n un point au voisinag immédiat d la sufac xtn du conductu. Constuisons, pou cla, un sufac d Gauss cylindiqu aplati, dont un bas s touv à l xtéiu d la sufac t l aut bas à un pofondu tll qu la chag supficill soit totalmnt à l intéiu du cylind (figu II..a). En appliquant l théoèm d Gauss su ctt sufac fmé, nous obtnons: Qint E. ds Comm mntionné plus haut, aux points situés au voisinag immédiat d la sufac du conductu, l champ st nomal à la sufac. L champ étant nul patout à l intéiu du conductu, on n tint compt qu du flux à tavs la sufac situé à l xtéiu du conductu. L flux sotant d la sufac latéal du cylind étant nul, il n st plus qu clui qui sot d la bas, soit S E S où S st la chag ntt compis à l intéiu d la sufac d Gauss. On obtint alos : E soit vctoillmnt : E n E n ds E E (a) Figus II. Intéiu Couch supficill (b) Extéiu C st l xpssion du champ élctostatiqu, au voisinag immédiat d un sufac conductic chagé. C st la fomulation du théoèm d Coulomb. Théoèm : l champ élctostatiqu à poximité immédiat d un conductu potant un chag d dnsité sufaciqu vaut : E n (). 45

4 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus où n st un vctu unitai nomal au conductu t ointé vs l xtéiu. L champ élctiqu à l intéiu d un conductu n équilib st nul, n son voisinag immédiat xtéiu, il vaut : E Pa conséqunt, à la tavsé d la sufac du conductu, pa continuité, l champ vai d la maniè indiqué su la figu II..b ( st un infinimnt ptit). En paticuli, su la sufac du conductu, il vaut : E. (3) Ctt dniè xpssion du champ sa utilisé pou l calcul d la pssion élctostatiqu..5. Pssion élctostatiqu. Calculons maintnant ls focs auxqulls sont soumiss ls chags élctiqus situés à la sufac d un conductu n équilib. Cs chags d sufac sont soumiss à ds focs épulsivs d la pat ds auts chags du conductu (Voi Excic II.8). Considéons un élémnt d sufac ds, potant un chag dq ds. L champ E n xc su la chag dq un foc élctostatiqu : df dq E ds n soit : df ds n Ctt foc st donc nomal à la sufac t diigé vs l xtéiu qulqu soit l sign d la chag. Ell st popotionnll à l élémnt d sufac ds t pésnt, pa conséqunt, l caactè d un foc d pssion. La foc pa unité d sufac, c'st-à-di la pssion élctostatiqu, st alos donné pa : P (4).6. Pouvoi ds points. poximité d un point, l champ élctostatiqu st tès intns. Cla ésult du fait qu la dnsité sufaciqu d chags st tès élvé au voisinag d un point. C phénomèn put êt xpliqué n considéant dux sphès conductics d ayons R t R ( R R ), liés pa un long fil conductu minc (Figu 3). D c fait, ls dux sphès sont potés au mêm potntil ; t comm lls sont tès éloignés l un d l aut, on put éci : R Fil Figu II.3 R L xpssion (3) st démonté dans l xcic II.8 (Voi la solution II.8). 46

5 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus K K V V ds ds R R Pou ds aisons d syméti, ls chags sont épatis unifomémnt à la sufac d chaqu sphè ( t sont constants). Il s n suit qu : (5) R R Ctt dniè équation mont qu la sphè ayant l plus ptit ayon pot la plus gand dnsité d chags. (Voi xcic II. ) C ésultat s généalis à un conductu d fom qulconqu t xpliqu l pouvoi ionisant d un point. pplications. - L pouvoi d point st util pou facilit la déchag d l élcticité ; c st l ôl ds paatonns qu on plac su ls édifics pou ls potég cont la foud. La foud st un phénomèn natul d déchag élctiqu qui s poduit, los d un oag, nt dux nuags chagés d élcticité statiqu, ou nt un nuag élctiqumnt chagé t la T qui st un conductu élctiqu. Los d un oag, ls constituants d un nuag, goutts d plui, gêlons, paticuls d glac, s hutnt à tès gands vitsss t s élctisnt pa tiboélcticité (voi chapit I). La déchag s poduit losqu la diffénc d potntil nt l nuag t la T, pa xmpl, dépass un ctain suil (plusius millions d volts). La foud s accompagn d un phénomèn luminux l éclai t d un détonation l tonn. Figu II.4 «La Tou Eiffl, paatonn géant» Photogaphi pis à h l 3 Juin 9 t publié dans l ulltin d la société stonomiqu d Fanc n Mai 95. Documnt : WIKIPEDI - Expéinc d la bougi- vnt élctiqu u voisinag d la point (figu 5), l champ st si intns qu l ai s ionis. Ls ions, d mêm sign qu clui ds chags d la point, sont poussés. Il n ésult un déplacmnt d ai, un vnt élctiqu, qui aiv à étind la flamm d un bougi placé au voisinag d la point. Généatu H.T. Figu II.5. 47

6 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus.7. Conductu cux. Considéons maintnant un conductu d fom abitai contnant un cavité (voi figu II.6.). Supposons qu il n xist aucun chag à l intéiu d la cavité. Dans c cas, l champ élctiqu à l intéiu d la cavité doit êt nul indépndammnt d la distibution d la chag su la sufac xtn du conductu. D plus, l champ à l intéiu d la cavité st nul mêm s il xist un champ élctiqu à l xtéiu du conductu. Pou étay c point, nous utilisons l fait qu chaqu point du conductu st poté au mêm potntil élctiqu, dux points qulconqus t d la sufac d la cavité sont donc au mêm potntil. Imaginons maintnant qu un champ élctiqu E xist à l intéiu d la cavité t calculons la diffénc d potntil V V défini pa l équation : V V E. dl E n étant pas nul, nous pouvons toujous touv un chmin nt t pou lqul E. dl st un nomb positif, l intégal st alos positiv. O V V, la ciculation d E. dl st null pou tous ls pacous nt dux points qulconqus du conductu, il n ésult qu l champ élctiqu st patout nul. Pa conséqunt, un cavité ntoué pa ds mus conductus st un égion où l champ st nul, qulls qu soint ls conditions xtéius au conductu. C dni constitu un écan élctostatiqu : aucun champ xtéiu n put êt déclé dans la cavité. Ctt dniè st à l abi d tout influnc xtéiu. E= E= Figus II.6 Ctt popiété st valabl mêm si l conductu cux compot ds ouvtus, c st l cas d un cag d Faaday. pplications : Cag d Faaday. C st un cag métalliqu qui pmt d ffctu ds msus à l abi ds champs xtéius. Invsmnt, cs msus n ptubnt pas ds xpéincs mnés à l xtéiu. Considéons un cag d Faaday fabiqué à l aid d un gillag métalliqu. Ds pnduls élctostatiqus sont mis n contact avc ls paois intns t xtns d la cag comm l montnt ls figus II

7 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Si la cag n st pas chagé, Q =, tous ls pnduls stnt à la vtical (figu.ii.7.a). Si on chag la cag à l aid d un généatu pa xmpl, on constat qu ls pnduls à l intéiu stnt à la vtical, alos qu cux qui sont placés à l xtéiu s écatnt d la cag (figu.ii.7.b). Un tll ncint st lagmnt utilisé pou potég ds appails élctiqus ds champs xtéius. C st la aison pou laqull, la plupat d cs appails sont placés à l intéiu d un cacass métalliqu lié à la t. (a) Généatu Figus II.7 (b).8. Capacité d un conductu. Considéons un conductu isolé n équilib élctostatiqu, placé n un point O d l spac t potant un chag Q, épati su sa sufac xtn avc un dnsité sufaciqu tll qu : Q ds Si la chag Q augmnt, la dnsité sufaciqu augmnt popotionnllmnt : = a Q Cla, n aison d la linéaité ds équations qui égissnt l poblèm d l équilib ds conductus. L potntil céé pa Q, n un point M d l spac tl qu OM =, s écit ds V K soit V K Q a ds C ésultat st valabl pou tout point d la sufac du conductu. L intégal dépnd uniqumnt d la géométi t ds dimnsions du conductu On n déduit qu l appot, nt la chag t l potntil auqul st poté l conductu, Q Q C V V n dépnd qu d la géométi du conductu, on l appll capacité pop du conductu. Cll-ci st donné pa l xpssion : Q CV (6) C st un gandu positiv, dont l unité st applé l faad n hommag à Michal Faaday (79-867). L faad st ainsi défini comm la capacité d un conductu isolé dont l potntil st d volt losqu il çoit un chag d coulomb. L faad st un unité tès gand, on utilis plutôt ds sous multipls : 6 9 L micofaad : F F, l nanofaad: nf F, l picofaad: pf F. Excic II.. Calcul la capacité d un conductu sphéiqu d ayon R..N. R = m t R = 6 4 km (ayon d la t) Solution II.. Considéons un sphè d ayon R t d chag Q. Son potntil st donné pa l xpssion suivant : Q V 4 R. 49

8 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus D où sa capacité : Q C 4 V R insi la valu d la capacité d un sphè d ayon R = m vaut C =.nf. Dans l cas d la T, la capacité vaut : CT 4 RT.7mF 9 9 Excic II.. Un sphè conductic cus, d ayon R st sépaé n dux patis inégals pa un plan hoizontal : on obtint dux calotts sphéiqus inégals dont la bas commun st un ccl d ayon Rsin. La sphè st poté au potntil V puis isolé. ) En supposant la calott inféiu fix, détmin la foc qu ll xc su la calott supéiu n fonction d V t. ) Calcul ctt foc dans l cas d dux hémisphès potés à un potntil V = 3 kv. O z R Solution II.. ) La chag sufaciqu appaaissant su la sphè conductic st donné Q CV pa : S S vc C 4 R t Un chag élémntai dq S 4 R, on n déduit : ds st soumis au champ V R E n, il ésult un foc élémntai df dqe ds n On put touv c ésultat à pati d l xpssion d la pssion élctostatiqu obtnu n (4) : P df P. dsn soit df dsn Pou ds aisons d syméti, la foc total xcé pa la calott inféiu su la calott supéiu st poté pa l ax oz t ll st ascndant, son modul st donné pa : F Fz dfz df cos cos ds où S st la sufac d la calott supéiu t un angl compis nt t. Donc ds R sind, d où : F R cos sin d R sin ) Dans l cas d dux hémisphès = / t soit S F V F sin V.N. F 3,5 N.. 5

9 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus. PHENOMENES D INFLUENCE... Elémnts cospondants. Figu II.8 Considéons dux conductus t n équilib t potant ds chags Q t Q t dux élémnts d sufacs ds su t ds su découpés pa l tub d foc pésnté su la figu II.8. ds t ds, applés élémnts cospondants potnt ds dnsités d chags t. ppliquons l théoèm d Gauss à un sufac fmé S s appuyant su ls sufacs ds t ds t limité pa ls ligns d champ t dux sufacs à l intéiu d t. L flux du champ, sotant d S, st nul. En fft l champ st nul à l intéiu ds conductus t il st tangnt au tub d focs. Donc : ds ds D où : Théoèm ds élémnts cospondants : Dux élémnts cospondants potnt ds chags égals t opposés... Influnc patill. Considéons un conductu élctiqumnt nut (figu II.9.a). ppochons d c dni, un conductu chagé positivmnt, tl qu pésnté su la figu II.9.b. L conductu cé dans l'spac t n paticuli dans l conductu un champ élctiqu. E E i E (a) Figus II. 9 (b) Ls élctons libs du conductu vont, sous l action d c champ, s déplac dans l sns invs d E. Cs élctons s accumulnt pogssivmnt su la fac n gad d t fomnt à l équilib ds chags négativs dont la ésultant st -Q. l'invs, ds chags positivs, dont la ésultant st Q, vont appaaît su l aut fac pa défaut d'élctons comm l mont la figu II.9.b. Cs chags, qui ésultnt d un élctisation pa influnc, appotnt lu contibution au champ élctiqu à l'intéiu t à l'xtéiu du conductu. Ells cént un champ induit Ei qui vint s'oppos au champ inductu E t édui ainsi l champ élctiqu total. l'intéiu du conductu ls élctons Ls tms inductu t induit sont utilisés sutout n élctomagnétism (voi chapit V). 5

10 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus libs n cssnt lu mouvmnt qu losqu l champ élctiqu total s annul. L systèm fomé pa ls dux conductus attint alos un état d équilib. Rmaqus : ) Los d l évolution d c phénomèn, ls chags Q t -Q, induits ou céés pa influnc, intvinnnt n ajoutant lu action à cll ds chags inductics. Il s poduit un influnc tou d su. On dit qu il y a influnc mutull. ) Dans ctt xpéinc, l conductu a été élctisé pa influnc. L systèm étant isolé, l pincip d la consvation d la chag impliqu qu la somm ds chags induits st null. insi, los d un élctisation pa influnc, il n y aucun céation, mais simplmnt un déplacmnt d chags. Ligns d champ : La topogaphi d l spac élctiqu, pésnté su la figu II. 9. b, mont qu suls ctains ligns d champ, qui émannt du cops inductu, aboutissnt au conductu. Il n ésult, n vtu du théoèm ds élémnts cospondants, qu la chag Q céé pa influnc, st inféiu à la chag inductic du conductu. On li, à pésnt l conductu à la t, au moyn d un fil conductu (figu II.). La t t l conductu fomnt ainsi un sul conductu ; ls chags positivs sont alos poussés vs la t. L potntil d c conductu st nul t plus aucun lign d champ n l quitt. Figu II. Dans cs xmpls, l influnc st dit patill, ca touts ls ligns d champ issus du conductu n aboutissnt pas su. Nous pouvons cé ds conditions d influnc total n plaçant tout simplmnt l conductu à l intéiu d un conductu cux (.. 3).3. Influnc total. On pal d influnc total losqu touts ls ligns d champ patant d aboutissnt su. Cci st obtnu losqu ntou complètmnt (figu II.). L application du théoèm ds élémnts cospondants, mont qu la chag qui appaaît su la sufac intn d st égal t opposé à la chag du conductu. Q Q int Figu II. Qxt. 5

11 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excic II. 3. ) Rtouv l ésultat du.3 n utilisant l théoèm d Gauss. ) Calcul la chag xtéiu Q xt dans ls cas suivants : a - L conductu st isolé t initialmnt nut. b - L conductu pot un chag initial q. Solution II. 3. ) On appliqu l théoèm d Gauss n considéant un sufac à l intéiu du conductu. Sachant qu l champ st nul à l intéiu du conductu (équilib élctostatiqu) on a : Q - Q Q xt Q xt Q Q Q int int int. E ds Q int Q ) a) Cas où l conductu st initialmnt nut: Q Q Q Q Q xt int xt int b) Cas où l conductu pot initialmnt un chag q : Q Q q Q q Q Q q Q xt in t xt int xt 3. CONDENSTEURS. 3.. Ls condnsatus. Un condnsatu st un systèm constitué d dux conductus élctiqus n influnc total. On éalis un tl systèm n utilisant dux conductus dont l un st cux t ntou complètmnt l aut (Figu II.). L spac compis nt ls dux conductus, applés amatus, st vid ou mpli d un miliu isolant (diélctiqu). Losqu un diffénc d potntil st appliqué nt ls amatus d un condnsatu, n l liant pa xmpl à un souc d élcticité, il s chag. Ls dux plaqus acquiènt alos ds chags égals t opposés. Un condnsatu st un appail qui st à mmagasin d l éngi élctiqu. Il st lagmnt utilisé n élctoniqu t n élctotchniqu. Q Figu II Q Condnsatu plan : Un condnsatu plan st fomé d dux conductus plans, paallèls, distants d. L spac st tès ptit pa appot aux dimnsions ds amatus afin qu clls-ci soint n influnc total. (figu II..). Rmaqus : ) Il st impotant d not qu un condnsatu st caactéisé pa la valu absolu d la chag Q poté pa chaqu amatu t non pas la chag ésultant qui st null. D mêm, il st caactéisé pa la diffénc d potntil V nt ss amatus t non pas l potntil d l un d ss amatus pa appot à un éfénc donné. ) L nom d condnsatu, donné à un systèm d dux conductus n influnc total, povint du fait qu cs systèms mttnt n évidnc l phénomèn d «condnsation d l élcticité», à savoi l accumulation d chags élctiqus su la sufac ds amatus.. 53

12 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus La boutill d Lyd : La boutill d Lyd st l pmi condnsatu d l histoi, il a été mis au point, n 745, pa l savant hollandais Musschnbock à Lyd. C st un condnsatu fomé d dux conductus, ds fuills d étain pou l pmi t un fuill métalliqu qui nvlopp la boutill dont l v constitu l diélctiqu. Losqu on communiqu un chag q à la boutill, un diffénc d potntil appaaît nt l élctod lié au conductu intn t l amatu xtn. La boutill s déchag losqu ll st lié à un cicuit xtéiu. C était l sul moyn d mmagasin d l éngi élctiqu jusqu à c qu Volta invnt n 8 la pil élctiqu. Figu II Capacité d un condnsatu. L concpt d capacité élctiqu, intoduit dans l cas d un sul conductu, put êt étndu à un condnsatu. On définit la capacité d un condnsatu pa : Q Q C (7) V V V Q st la chag poté pa chacun ds amatus ( Q pou l un t Q pou l aut) t V = V V st la diffénc d potntil nt cs amatus. La capacité st un constant pop à chaqu condnsatu. Sa valu dépnd d la fom, ds dimnsions t d la position lativ ds dux conductus qui l constitunt. Ell dépnd égalmnt d la natu du miliu qui ls sépa. La méthod d calcul d la capacité d un condnsatu s appui su la lation : Q CV. On commnc d abod pa calcul l champ élctiqu n un point qulconqu à l intéiu du condnsatu. La ciculation du champ nt ls dux amatus, pmt d ti l xpssion du potntil. L appot Q C V nous donn la valu d la capacité du condnsatu considéé. Capacité d un condnsatu plan. Soit un condnsatu plan (figu II.4), constitué d dux conductus plans, potant spctivmnt ds chags Q t -Q, d sufacs S, sépaés pa un distanc. Du fait d la syméti d la distibution, l champ élctiqu nt ls amatus d c condnsatu st unifom, il st donné pa : E La épatition d chag étant unifom, on a :. 54

13 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Q st la chag du condnsatu. En choisissant l ax plans (figu II.4), nous avons : dv E. dl E dx Q S ox slon la nomal aux Soit, n faisant cicul l champ nt ls dux amatus : Q V S O Q CV, d où la capacité d un condnsatu plan : E O C (8) S R R x Figu II.4 Figu II.5 Capacité d un condnsatu sphéiqu. Un condnsatu sphéiqu (figu II.5), st constitué d dux sphès conductics t concntiqus. La pmiè d ayon R pot un chag positiv Q t son potntil st V ; la scond d ayon R ( R < R ), pot un chag - Q t son potntil st V, En appliquant l théoèm d Gauss, on obtint l champ élctiqu nt ls amatus d un tl condnsatu: Q E u 4 Sachant qu E dv on a: dv E. d d En faisant cicul c champ nt ls dux amatus, il vint : V V R dv Q 4 V R d Q soit V V V 4 R R D où, l appot Q V : RR C 4 R R (9) N.. Un matéiau diélctiqu, placé nt ls amatus, pmt d augmnt la capacité d un condnsatu, sa pmittivité étant nttmnt supéiu à cll du vid o. La pmittivité lativ = o vaut nvion: (papi) ;,5 (polyéthylèn) ;,4 (polystyèn) ; 5 (v) ; 6 (mica) ; 8 (téflon). vai n fonction d la tmpéatu, d l humidité t d la féqunc d la tnsion appliqué.. 55

14 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excic II.4: Détmin l xpssion d la capacité d un condnsatu cylindiqu (figu II.6), constitué d dux cylinds conductus coaxiaux d ayons R t R, d hautus l, potant su lus sufacs n gad ls chags Q t Q..N. l = cm R = mm R = 3 mm Z R R R l l R Z Figus II.6 Répons II.4: soit C = 5 pf C l o R Log R () 3.3. ssociation d condnsatus. Pou ds aisons patiqus, on utilis ds associations d plusius condnsatus afin d mmagasin l plus d éngi possibl. On distingu dux typs d goupmnts d condnsatus : l goupmnt n séi t l goupmnt n paallèl. La capacité équivalnt ds systèms qui n ésultnt dépnd du goupmnt choisi. ssociation n séi. Considéons l goupmnt d N condnsatus n séi pésnté su la figu 3 II.7.a. Losqu un diffénc d potntil V V VN st appliqué nt ls points xtêms d l nsmbl ds condnsatus, l amatu d gauch du pmi condnsatu va acquéi un chag Q. En supposant qu tous ls condnsatus sont initialmnt nuts, il s établit la chag Q (pa influnc) su ls amatus ds condnsatus adjacnts. La diffénc d potntil total aux bons d l nsmbl ds condnsatus s écit alos simplmnt : Soit V V V V V V V3... VN VN N Q Q Q Q V... Q C C C C C 3 N i i 3 Qulqu soit la géométi éll du condnsatu, on l pésnt schématiqumnt pa dux taits paallèls.. 56

15 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Ctt diffénc d potntil cospond à cll d un condnsatu uniqu d capacité équivalnt N C C () q i Intéêt : C montag st utilisé losqu la diffénc d potntil appliqué st gand t n put pas êt suppoté pa un sul condnsatu. ssociation n paallèl. Soint N condnsatus, placés n paallèl, avc la mêm diffénc d potntil V (Figu II.7.b). On désign pa Q i t C i la chag élctiqu t la capacité du i èm condnsatu, on a Qi Ci V La chag élctiqu total poté pa l nsmbl ds condnsatus st alos donné pa : N N N Q Q C V V C i i i i i i La capacité équivalnt st la somm ds capacités individulls. i V V V N C q N C () i i C C C N C C C N V (a) Figus II.7 (b) Intéêt : C montag pmt d obtni un capacité équivalnt élvé. Excic II.5: Soit l goupmnt d condnsatus suivant : Détminz la capacité équivalnt du cicuit. Solution II.5: C F, C 6F C 8 C 6 C3 4 6 F, C4 4 F C 6 4 D où C C C4 F q 4 8μF μf 4μF μf 3μF 4μF μf. 57

16 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus 4. ENERGIE & FORCE. 4.. Engi élctostatiqu d un conductu. Comm nous l avons vu au chapit I, l éngi élctostatiqu d un conductu isolé st calculé pa l tavail nécssai qu il faut founi pou l chag. Ell pésnt la somm ds vaiations d éngi potntill subis pa touts ls chags du conductu. Soit de p la vaiation d éngi potntill subi pa un chag élémntai dq, amné d l infini (choisi comm éfénc du potntil) jusqu au conductu : de p v dq où q t v désignnt ls valus d la chag t du potntil dans un état intmédiai. u cous du tansft d chags su l conductu, sa chag total ainsi qu la valu absolu d son potntil augmntnt. L éngi intn du conductu losqu il attint sa chag complèt st alos donné pa : Soit finalmnt: E p E p Q v Q q dq dq C Q CV (3) C Ou bin: E p QV (4) 4.. Engi élctostatiqu d un nsmbl d conductus n équilib. Considéons n conductus n équilib, chacun d ux pot un chag Q i t s touv poté à un potntil V i. En généalisant l équation (4) à un nsmbl d n conductus, l éngi mmagasiné dans c systèm st E p n Qi Vi (5) Il st possibl d calcul la ésultant ds focs F qui s xc su l un d ux Calcul d la foc à pati d l éngi. Losqu on chch à calcul ls focs élctostatiqus à pati d l éngi mmagasiné dans un systèm, dux cas paticulis doivnt êt nvisagés slon qu l évolution s fait à chag constant ou à potntil constant. - L systèm d conductus n st lié à aucun souc d tnsion, la chag st alos constant, - L systèm st lié à un souc d tnsion, l potntil st constant. i. 58

17 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus a) Ls conductus sont isolés. Ls conductus n sont liés à aucun souc d élcticité, ls chags Q i stnt donc constants t ls potntils vaint au cous d un déplacmnt ds conductus. Los d un tanslation élémntai dli du i èm conductu, l tavail d la foc F st dw F dx F dy F dz (6) F. dl i = x i y i z i C tavail st dû à la vaiation d l éngi de p mmagasiné. Comm l systèm st isolé, l pincip d la consvation d l éngi pmt d éci : d où dw de p = soit Fx dxi Fy dyi Fz dzi = - de p F x E x p Q F y E p y Q F z E p z Q (7) On déiv l éngi pa appot aux coodonnés x, y, z n maintnant la chag constant. Dans l cas d un otation autou d un ax fix, l momnt d la foc pa appot à ct ax st : M E p Q (8) b) Ls conductus sont liés à ds généatus. Ls conductus sont, à pésnt, liés à ds soucs d élcticité, ls potntils V i stnt constants t ls chags vaint. Là nco, au cous d un déplacmnt élémntai dli du i èm conductu, l tavail d la foc F st dw F dx F dy F dz (9) F. dl i = x i y i z i Mais à pésnt, ls potntils stnt constants. Soit dq i la chag élémntai founi pa la souc au i èm conductu, son éngi vai d : Ls n conductus çoivnt un éngi total : de i Vi dqi () de xt n V dq () i i i. 59

18 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Ctt éngi, mpunté aux généatus, founit : - du tavail dw qui pmt à la foc F d déplac ls conductus - t d l éngi de p au systèm d conductus. de xt = dw de p () O l éngi mmagasiné dans c systèm d conductus st: E p n Qi Vi (3) d où d E p i n Vi dqi (4) i vc (), () t (4) on a : dw = de p soit dw = Fx dx Fy dy Fz dz = de p d où F x E p x V F y E p y V F z E p z V (5) Dans l cas d un otation autou d un ax fix, l momnt d la foc pa appot à ct ax st : E p M (6) V Rmaqu : Il st impotant d maqu l changmnt d sign dans l xpssion d la foc dans ls dux cas nvisagés. 4.4 Engi mmagasiné dans un condnsatu Considéons un condnsatu dont : - l amatu intn st poté au potntil V t dont la chag st Q = Q - t l amatu xtn st poté au potntil V t dont la chag d la sufac intéiu st Q =-Q. La sufac xtéiu pot un chag Qxt V Figu II.7 V = L éngi du condnsatu st d apès (5) Q V V Q V (7) xt E p Si l amatu xtn st lié à la t, on a : V = t Q xt = d où : E p QV (8) Soit : E p CV t E p Q C (9). 6

19 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Od d gandu t utilisation ds condnsatus. outill d Lyd : C = 6 - F, V = 6 kv E p =,8 J (uhat [4] p 54). vc ls diélctiqus suivants : papi ou mica : C -6 F, céamiqu : -6 F < C < -4 F. Ls condnsatus élctochimiqus: C -3 F. Ls condnsatus sont lagmnt utilisés n élctoniqu dans ls cicuits, t n élctotchniqu pou l lèvmnt du factu d puissanc (voi ch.vi) En out ds sup condnsatus pmttnt d stock d l éngi élctiqu puis d la stitu comm un batti d accumulatus : La dnsité d éngi, n watt-hu/kg, mmagasiné dans un batti vai nt 5 t 5 t, dans un supa condnsatu, ll s situ nt 4 t Localisation d l éngi : Dnsité d éngi élctostatiqu. Considéons l cas d un condnsatu plan, dont ls amatus ont un sufac S, sont écatés d t potnt su lus sufacs ls chags Q t Q. L éngi élctostatiqu d un tl condnsatu st donné pa : E p CV En mplaçant la capacité pa son xpssion t n faisant appaaît l champ élctostatiqu, nous obtnons : V S E p V S E S Où S st l volum V du miliu limité pa ls amatus t E V / st l champ élctiqu nt ls amatus (qui st unifom). On obtint ainsi la dnsité volumiqu d éngi élctostatiqu associé au champ élctiqu: d p w E = dv E (3) Ctt dniè fomul, établi ici dans un cas paticuli, st généal 4 : c st la dnsité d éngi élctiqu localisé dans un miliu d pmittivité. Dans l vid, ll st donné pa 4.6. Foc s xçant su l amatu d un condnsatu. On considè l cas d un déplacmnt unidimnsionnl. a) L condnsatu st isolé : la chag st constant. Dans l cas d un déplacmnt l long d un ax ox la foc qui s xc su un amatu st d apès (7) F E p x Q, t avc (9) w E Q E p on a : C F Q C C x (3) 4 C st l éngi élctiqu véhiculé pa un champ élctiqu E los d la popagation ds onds élctomagnétiqus. 6

20 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus b) Un ds amatus st poté à V = V l aut st poté à V = vc (5) F E p x V t (8) E p CV il vint : F V C x (3) Cas d un otation autou d un ax. M V C (33) Excic II. 6. Elctomèt absolu : l élctomèt absolu, pésnté su la figu ci-cont, s compos d un balanc dont l un ds plataux st solidai d l amatu mobil d un condnsatu plan. La scond amatu st fix. Un d.d.p. V st appliqué au condnsatu, il n ésult un foc élctostatiqu F. Cll-ci st équilibé pa un foc m g obtnu n plaçant ds masss maqués su l aut platau d la balanc. Expim la d.d.p. V à msu n fonction ds caactéistiqus du condnsatu d m t g..n. Rayon ds amatus R = 6 cm, écatmnt x = cm, m = 5 g t g = m/s. mg Solution II. 6. ) è méthod : La foc élctiqu put êt calculé dictmnt à pati d la pssion élctostatiqu (.5): P o La foc élctiqu qui s xc su l amatu mobil st vtical t d modul : q F P. S o S avc q C V o soit q S V on a : x o F S V x x èm méthod : La foc élctiqu put êt calculé à pati d l éngi : Supposons qu l amatu mobil ffctu un déplacmnt élémntai dx. u cous d c déplacmnt vitul sul x l écatmnt x vai ls potntils V = V t V = F stnt constants. La foc qui s xc su l amatu mobil st diigé l long d l ax ox t a pou modul o (voi Equation 3) C o F V soit F S V x x ) Dans l cas d l élctomèt absolu, ctt foc st équilibé pa la foc P mg. l équilib : V x m g S o x V m g S =. volts o. 6

21 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Rmaqu : Dans un condnsatu plan pafait, touts ls ligns d champs sont ppndiculais aux amatus ciculais. En éalité, il ya un distosion d cs ligns aux xtémités. Pou y médi on utilis un annau d gad, c st un élctod qui a la fom indiqué su la figu cicont t qui st poté au mêm potntil qu l élctod potégé. Excic II. 7. Elctomèt à déviation Soit un condnsatu plan dont ls amatus ont la fom d sction d ccl. L un ds amatus st fix t poté à un potntil V =, L aut st mobil autou d un ax D ppndiculai aux plans ds amatus. Ctt amatu st poté au potntil V à msu, n out ll st solidai d un aiguill dont ls positions sont péés su un cadan gadué. ) Calcul l coupl motu. ) C coupl st équilibé pa un coupl d appl céé pa un ssot à spial d constant k ( M = k ) Solution II. 7. L coupl motu a pou xpssion (6) C S. M V avc C o (condnsatu plan) Pa constuction, ctt capacité st popotionnll à la sufac S du condnsatu fomé pa ls patis ds plaqus qui s touvnt n fac l un d l aut, donc C st popotionnll à. C où st un constant M V k l équilib, ls dux coupls sont égaux t opposés : K V K st un constant qu l on détmin pa étalonnag d l appail d msu. Rmaqu : Un appail absolu pmt d msu un gandu inconnu (ici un d.d.p V) à pati d gandus d spècs diffénts (un épaissu x, un sufac S, un mass m t l accéléation d la psantu g). Nous vons, dans c cous, d auts appails absolus : élctodynamomèts, balanc d cotton. Un appail à déviation, compot un élémnt motu (ici motu élctostatiqu) qui, dans c cas, tansfom l éngi élctiqu n éngi mécaniqu t fait cospond, à la tnsion à msu, un déviation péé su un cadan gadué. Ls appails à déviation nécssitnt un étalonnag péalabl.. 63

22 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excics : Chapit II Excic II. 8. Champ au voisinag t à la sufac d un conductu. L champ élctiqu, n un point M, infinimnt poch d la sufac d un conductu n équilib, a pou xpssion n vtu du théoèm d Coulomb : E n où st la dnsité d chags supficills t n un vctu unitai poté pa la nomal à la sufac. On pos, n vtu du pincip d supposition : E E E E st l champ céé pa un élémnt d sufac ds infinimnt voisin d M t E l champ dû aux auts chags du conductu. En considéant un élémnt d sufac ds ciculai t n patant du champ céé pa un disqu chagé avc un dnsité supficill (Ch I, 4.3), calcul ls champs E t E à l intéiu, à l xtéiu t à la sufac du conductu. Rtouv l théoèm d Coulomb o Excic II. 9 Phénomèn d influnc. La figu ci-cont pésnt un pndul constitué d un ptit sphè conductic (s), d cnt O d ayon t d mass m suspndu à un potnc pa un fil conductu d mass t d capacité négligabls. Ctt sphè (s) st élctisé pa influnc à l aid d un scond sphè conductic (S) d ayon R d cnt O t poté à un potntil V. ls cnts O t O sont su un mêm doit hoizontal t situés à un distanc D = OO. ) Mont qu l on put mplac la sphè (S), potant un chag Q, pa un chag ponctull Q placé n O cnt d (S). (S) D (s) ) Déci ls phénomèns dans ls dux cas suivants : a) l pndul st isolé b) l pndul st lié à la T. 3 ) Dans l cas où l pndul st poté au potntil zéo (il st lié à la T), calcul ls chags Q t q potés spctivmnt pa ls sphès (S) t (s). En dédui l angl qu fom, à l équilib, l pndul avc la vtical..n. V = 3 volts, R = 3 cm, = mm D = 6 cm, m = 5 mg g = 9.8 m/s N.. On mont n mathématiqus, qu l liu ds points, dont l appot k ds distancs à dux points P t Q st constant, st un sphè cnté su la doit PQ t qui coup ctt doit n points t tls qu cs quat points fomnt un division hamoniqu d appot k. Q Q k = P P Excic II.. Un sphè conductic S, d cnt O t d ayon R = cm, pot un chag élctiqu q = nanocoulombs. ) Calcul son potntil V t son éngi intn W ) On li, pa un fil conductu, S à un scond sphè conductic S, initialmnt nut, d cnt O t d ayon R = cm. Ls cnts ds dux sphès sont sépaés pa un distanc d = O O = 5 cm. On néglig ls caactéistiqus du fil d jonction t on n tint pas compt du phénomèn d influnc. Calcul, à l équilib, ls chags q t q potés spctivmnt pa S t S. 3 ) En dédui ls dnsités d chags cospondants t t ls champs E t E. 64

23 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus au voisinag d S t S. 4 ) Calcul l éngi du systèm fomé pa ls dux sphès avant t apès la connxion. Où st passé l éngi pdu? 5 ) Rpnd la duxièm qustion dans l cas paticuli où la distanc d st considéé comm infini. Excic II... Msu d un capacité pa un méthod d zéo. L pont d capacités, pésnté su la figu ci-cont, s compos d quat condnsatus montés comm l mont ctt figu. Cx st la capacité à msu, C E la capacité d un condnsatu étalon, C t C dux capacités vaiabls. Cs condnsatus sont chagés pa un souc d élcticité qui établit nt ls points t un diffénc d potntil V V. On fait vai C t C jusqu à c qu l détctu d zéo (un élctomèt) indiqu un diffénc d potntil null. Expim la capacité inconnu n fonction ds tois auts capacités..n. C = 4 F C = F C E = 3 F. M C x C E D C 3 C 4 N Excic II.. Engi localisé dans un condnsatu cylindiqu. Un condnsatu cylindiqu, constitué d dux cylinds conductus coaxiaux d ayons R t R ( R R ), sépaés pa du vid. ) Soit V V la diffénc d potntil nt l amatu intn t l amatu xtn du condnsatu, t q l la chag d c condnsatu pa unité d longuu. Rappl l xpssion du potntil n un point M situé nt ls dux amatus t cll d la capacité C pa unité d longuu d c condnsatu. l ) En utilisant l éngi mmagasiné nt ls amatus, touv l xpssion d C. l R R Excic II. 3. Elctomèt à condnsatu cylindiqu L élctomèt absolu, pésnté su la figu ci-cont, s compos d un balanc dont l un ds plataux st solidai d l amatu intn mobil d un condnsatu cylindiqu. L amatu xtn st fix. Un diffénc d potntil V st appliqué au condnsatu, il n ésult un foc élctostatiqu F. Cll-ci st équilibé pa un foc m g obtnu n plaçant ds masss maqués su l aut platau d la balanc. V mg Expim la diffénc d potntil V, qu l on doit msu, n fonction ds caactéistiqus du condnsatu d m t d g..n. Rayon ds amatus R = 6 cm, R = 6, cm, m = 5 g t g = 9,8 m/s.. 65

24 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excic II. 4. (Epuv Final /, ST. Excic noté points/) Un conductu sphéiqu cux, initialmnt nut, d ayon intéiu R = R t ayon xtéiu R3 = 4R ntou un duxièm conductu sphéiqu, d ayon R = R, poté à un potntil Vo pa l intmédiai d un généatu. (Voi figu ci-dssous). L conductu pot un chag Qo. R 3 R R o Vo ) Qulls sont ls chags potés pa ls sufacs intéiu t xtéiu du conductu. Justifi. ) En appliquant l théoèm d Gauss, détmin l xpssion du champ élctiqu E dans ls quat égions suivants : < R, R < < R, R < < 4 R, > 4 R. 3 ) En considéant qu V st l potntil du conductu t sachant qu l potntil élctiqu st nul à l infini, détmin l xpssion du potntil élctiqu dans ls quat égions. 4 ) En dédui la chag Qo n fonction d R, Vo t o.. 66

25 Chapit III LES COURNTS CONTINUS Nous avons taité, au pmi chapit, ls phénomèns élctiqus dans ds conditions où aucun gandu physiqu n évolu au cous du tmps : c st l cas d l élctostatiqu où touts ls chags élctiqus sont supposés immobils dans l spac. Nous allons dans c chapit, nous intéss au cas où cs chags s déplacnt n donnant naissanc à un couant élctiqu continu. L étud ds ésaux élctiqus pacouus pa d tls couants sa taité dans c chapit.. COURNTS ELECTRIQUES... Oigin du couant élctiqu. Soint dux conductus t, initialmnt n équilib élctostatiqu, potant ds chags Q t Q t dont ls potntils spctifs sont V t V tls qu V > V pa xmpl. Dans cs conditions, un champ élctiqu E xist nt t. (Fig. III..a) Q V > V Q V V = V = V M,, Q Fil E. M Q, V V, V (a) Conductus sépaés (b) Conductus liés Figus III. Losqu on li ls conductus t pa un fil conductu, l équilib s ompt t un mouvmnt d chags élctiqus appaait, sous l action d un foc élctiqu F qe. C mouvmnt s pousuit jusqu à l établissmnt d un nouvl état d équilib dans l nouvau conductu fomé pa, t l fil(fig. III..b). Ctt ciculation d chags cospond au passag d un couant élctiqu dans l fil d connxion. C couant st tmpoai. L. ït Gougam, M. ndaoud, N. Doulach, F. Mékidèch

26 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Los d c mouvmnt, la chag total ds conductus t s consv : Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q () ' ' ' ' Dans ct xmpl, V > V, la vaiation d chags cospond à un diminution ds chags positivs ou à un augmntation ds chags négativs du conductu... Couant pmannt. Pou avoi un ciculation pmannt du couant élctiqu, il faut maintni un état d déséquilib nt ls dux conductus t losqu ils sont liés. ct fft, il st nécssai d amn d façon continu ds chags su l un ds conductus. Cci put êt éalisé à l aid d appails qu l on appll généatus (voi 4) Un couant pmannt cospond à un déplacmnt inintompu d chags libs..3. Sns convntionnl du couant. Généatu Figu III. Dans ls métaux, l couant ésult d un déplacmnt d élctons, c st à di d chags négativs. L sns convntionnl du couant, choisi pa mpè au début du dix nuvièm siècl, st opposé à clui ds élctons. Ctt convntion st toujous n viguu. Pa conséqunt, l couant élctiqu cicul du pôl positif au pôl négatif à l xtéiu du généatu t du pôl négatif au pôl positif à l intéiu du généatu (figu III.). Dans ls auts matéiaux, l couant élctiqu st dû aux mouvmnts d diffénts potus d chags : élctons, ions positifs, ions négatifs... Nous n considéons, dans c qui suit, qu la conduction élctiqu dans ls métaux..4. Intnsité du couant. Soit un conductu métalliqu d sction S. L intnsité I du couant élctiqu st, pa définition, la quantité d élcticité dq qui tavs la sction S pndant un intvall d tmps dt. I dq dt () L intnsité I st xpimé n ampès (). Un couant élctiqu st continu si son intnsité I st constant au cous du tmps. Gaz, élctolyts, smi conductus, diélctiqus tc. Pou la définition d l ampè, voi Chapit IV

27 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus.5. Lign d couant. Un lign d couant st la tajctoi ointé décit pa un chag positiv n mouvmnt. Un tub d couant st constitué pa l nsmbl ds ligns d couant qui s appuint su un contou fmé..6. Vctu dnsité d couant. Considéons un conductu métalliqu, cylindiqu, d sction S t d ax ox. Choisissons un tub d couant cylindiqu dont l ax st paallèl à ox t d sction doit ds tavsé pa la quantité d chags dq (figu III.4.a). Désignons pa : v la vitss d déplacmnt d cs chags, t lu dnsité volumiqu. v J Tub d couant Lign d couant Figu III.3 ds M M v ox ds dx = v dt (a) Figus III. 4 (b) La quantité d chag dq, qui tavs la sction ds ppndiculai à l ax du tub d couant, occup, pndant un tmps dt, un volum cylindiqu dv = dx ds = v dt ds, t a pou valu : dq = ρ dv = ρv dt ds, v t ds sont ici paallèls. Dans l cas où ds n st plus paallèl à v (figu III.4.b), ctt xpssion dvint : dq ρv.ds dt (3) Intoduisons un vctu J tl qu: J = ρ v (4) L xpssion (3) dvint : dq J.dS dt Si on considè, à pésnt, la sction S du conductu, la chag total qui la tavs st : dq J dt.ds S 69

28 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Soit avc (): I = s J. ds (5) L intnsité du couant élctiqu appaaît comm l flux du vctu J à tavs la sufac S. La gandu vctoill J st applé dnsité d couant 3, ll st msué n ampès pa mèt caé (/m ). L xpssion (5) qui appaait ici dans un cas paticuli st valabl dans tous ls cas ; la sufac S st, dans l cas généal, un sufac qulconqu fmé ou non..7. Mouvmnt ds élctons dans l vid. On soumt dux plaqus métalliqus t, paallèls, placés dans l vid t sépaés d un distanc d, à un diffénc d potntil V V V. (figu III.5.a). Cs conditions ntaînnt la céation d un champ élctiqu E nt ls dux plaqus tl qu : V -V V E = = d d Si un élcton st émis pa la plaqu, il sa soumis à un foc élctiqu : dv F = - E = ma a = = - E dt m L accéléation étant constant, l mouvmnt ds élctons, dans l vid, st donc unifomémnt accéléé, c qui n st pas l cas dans ls métaux. E v d F - f ox E (a) Figus III. 5 (b).8. Mouvmnt ds élctons dans un conductu. Dans un métal (figu III.5.b), n l absnc d champ élctiqu, ls élctons libs s déplacnt dans touts ls dictions. Lu vitss moynn st null, il n y a donc pas d couant. En pésnc d un champ élctiqu, un mouvmnt d ntainmnt s cé, il n ésult un couant élctiqu. 3 Dans l cas d un métal, la conduction st du à un déplacmnt d élctons d chag. L vctu dnsité d couant s écit : J n v v. n st l nomb d élctons pa unité d volum. 7

29 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus L étud ds mécanisms d conduction dans ls métaux fait appl à la mécaniqu quantiqu 4. Néanmoins on put considé, n pmiè appoximation, qu l fft du ésau cistallin su l mouvmnt ds élctons s taduit pa un foc d finag d la fom : f = -k v (6) En écivant la lation fondamntal d la dynamiqu pou l élcton (figu III. 5.b), on a : F f = ma où a st l accéléation d l élcton. La pojction d ctt lation su l ax ox donn avc E x = E : dv x -E - k v x = max m k v x = - E dt ou nco : dv x k v x = - E dt m m C st un équation difféntill du pmi od, à cofficints constants, avc scond mmb. La solution généal st la somm d dux solutions : - un solution d l équation homogèn (sans scond mmb) : k h = xp - v t m soit : - t un solution paticuliè : v p = - E k v x k (t)= - E xp- t k m En tnant compt d la condition initial v x()= C qui donn : v E - xp(- k t) - xp(- t ) x(t) = - v l (7) k m τ où v l = E (8) k st la vitss limit attint pa ls élctons t, on obtint la constant v (m/s) = E. k Régim tansitoi Régim pmannt m τ = (9) k Figu III. 6 la constant d tmps ou tmps d laxation. L modul d la vitss ds élctons st pésnté su la figu III.6. Rmaqus : ) La dué du égim tansitoi étant xtêmmnt faibl (Excic. III. ), c égim put êt négligé. La vitss ds élctons dans un métal st donc égal à cll du égim pmannt. ) L xistnc d un foc d fottmnt dans ls métaux s taduit pa un dégagmnt d chalu (Efft Joul 3). vl t (s) 4 Cs mécanisms sont étudiés n toisièm anné d licnc d physiqu (S6). 7

30 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus. LOI d OHM... Loi d Ohm à l échll macoscopiqu. L xpéinc mont qu: L appot, nt la diffénc d potntil V nt dux points d un conductu métalliqu t l couant qui l tavs, st constant, la tmpéatu étant maintnu constant. V = R I () C st la loi d Ohm. La constant R st, pa définition, la ésistanc élctiqu du conductu, ll st xpimé n ohms ( )...Fom local d la loi d Ohm. Conductivité Un conductu cylindiqu, d longuu l t d sction S, st soumis à un diffénc d potntil V : il n ésult, n tout point du conductu, un champ élctiqu E tl qu : dv = -E.dl () V V E l Figu III. 7 E t dl étant paallèls, on a : V l dv = - E V dl V = V V E l () La diffénc d potntil V donn naissanc à un couant élctiqu I dont la valu st donné pa la loi d Ohm () : soit : V = R I vc (), on a : E l = R J S l J = E = σe R S (3) où l σ = R S. (4) st la conductivité du conductu ; ll st xpimé n - m - ou n simns pa mèt (S. m - ). pati d (4) on a l xpssion d la ésistanc élctiqu : l R = (5) σ S l échll micoscopiqu, on put éci avc (4) t (8) : n J = - nv = E k vc (3 ) il vint : 7

31 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus n σ = k En fonction du tmps d laxation (9), la conductivité s écit : n σ = τ (6) m L xpssion (3) s écit, sous fom vctoill J = σe (7) Ctt xpssion st généal, ll constitu la fom local d la loi d Ohm. En tout point M d un conductu d conductivité, l xistnc d un champ E ntaîn l appaition d un dnsité d couant J dont l xpssion st donné n (7) Résistivité La ésistivité st l invs d la conductivité : ρ = (8) σ Ω Ell s xpim n.m. Dans l cas généal, la ésistivité dépnd d la tmpéatu: ρω = ρ Ω (α ΔT) (9) où : o st la ésistivité à la tmpéatu C, un constant caactéistiqu du métal t T l élévation d tmpéatu. Mobilité La vitss st lié au champ élctiqu pa (8): v = E on pos v E () k st la mobilité ; ll s xpim n m / V.s. En fonction d la conductivité on a : n n soit k n () Excic III.. ) Calcul l tmps d laxation t la mobilité ds chags libs dans l cuiv. ) Calcul la vitss ds chags libs dans un fil d cuiv cylindiqu t homogèn d sction S =,5 mm. l fil étant pacouu pa un couant I =. On donn la mass volumiqu du cuiv : M = 8,8 3 kg/m 3, sa mass atomiqu M =63,6g, sa conductivité élctiqu =5,88 7 S/m t l nomb d vogado N = 6, 3. On suppos qu il y a un élcton lib pa atom d cuiv. ( = -,6-9 C, m = 9,. -3 kg). Solution III.. ) La conductivité st lié au tmps d laxation pa (6) n m 73

32 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus L nomb d élctons pa m 3 n M M N 3 8,8 3 9 n 6,83 3 t 63,6 m L tmps d laxation st : n soit =,5. -4 s La mobilité ds élctons dans l cuiv a pou valu : = 4,4-3 m / V.s. n ) On obtint à pati d l xpssion d la dnsité d couant (4) J n v, la vitss ds élctons : J v n avc J I S 6 4. /m v =,3 mm/s Rmaqu : La dué du égim tansitoi st tès cout t put êt négligé La ésistanc élctiqu d un conductu cylindiqu d longuu l t d sction S, s xpim, comm l mont l équation 4, n fonction d sa ésistivité, pa: l R = ρ () S Ω Dans l cas d un conductu d fom qulconqu, la ésistanc put êt calculé à pati d la loi d Ohm. Excic III.. Exmpl d calcul d ésistanc d un conductu Calcul l xpssion d la ésistanc d un conductu annulai cylindiqu, homogèn d conductivité dont ls facs sont ds cylinds d ayons, t d longuu l. Ells sont soumiss à un diffénc d potntil V = V - V. Solution III.. En aison d la syméti du poblèm, ls équipotntills sont ds cylinds coaxiaux d sufac S t ls ligns d champ t d couant sont adials. En tout point M, à l intéiu du conductu ègn un champ E tl qu : dv E. d En intégant d à, il vint M J E V dv V E d V V V E d D apès la loi d Ohm on a : J E V V d où V J. d J d D aut pat l intnsité du couant st : (a) I I J. ds soit I J l d l J S J (b) l En fft J st constant t ppndiculai à la sufac S = l, donc paallèl à ds 74

33 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus pati d (a) t (b), on put éci : I I d V d l l soit V I ln l Sachant qu V R I, on n déduit :.3. Goupmnt d ésistancs. R ln l Goupmnt n séi. L mêm couant I tavs touts ls ésistancs, montés n séi. R R R 3 R n M N I I I P I R q V - V = V - V M VM - V N VN - V P.. soit V - V = R I R I... Rn I = Rq I Figus III. 8 R = La ésistanc équivalnt st égal à la somm ds ésistancs. q n Ri (3) i= Goupmnt n paallèl. pésnt la mêm diffénc d potntil V = V - V st appliqué aux bons ds ésistancs, pa conséqunt : V - V = R I = R I =...= Rn I n t I = I I... I n V - V V - V V - V V - V =... R R R R donc q n R I I I R I R q R n I n Figus III. 9 d où la ésistanc équivalnt n R q = R (4) i= i 75

34 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Excic III.3. ) Dux ésistancs R = (,5 ±,) t R = (4,5 ±,) sont montés n séi. Calcul la ésistanc équivalnt R S t l u R S. ) Mêm qustion si ls dux ésistancs sont montés n paallèl. Solution III.3. ) R S = R R = (,5 4,5) = 5,77 RS = R R = (,,) =,3 R S = (5,77 ±,3) ) R R R P R P R. R,98 R R Calcul d'u: La déivé logaithmiqu d l xpssion pécédnt st : dr dr dr dr dr R R R R R R R dr R dr R dr Soit R R R R R R R On pass aux us : R R R R R =,7% R P =(,98 ±,7) R R R R R R R 3. L EFFET JOULE. La ciculation d un couant I à tavs un conductu élctiqu, ntaîn un pt d éngi qui s taduit pa un échauffmnt. On put détmin l éngi dissipé pndant l passag du couant. Si dq st la quantité d chag qui pass d un point à un point du conductu, l tavail ds focs élctiqus st : dw = (V -V )dq (5) Ctt quantité d chag st lié au couant pa : dq = I dt D où : dw = (V -V ) I dt Si R st la ésistanc d c conductu, on a d apès la loi d Ohm: L tavail s écit alos : V =V -V = RI dw =V I dt = RI dt (6) Ctt éngi st dissipé sous fom d chalu : c st l fft Joul Ell cospond à un puissanc : dw p = = RI dt (7) soit V p = R (8) ou p =VI (9) Comm V t I sont constants, la puissanc p st constant au cous du tmps. 76

35 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Dnsité d puissanc dissipé pa fft Joul. Dans l cas d un conductu cylindiqu (figu III.7), l xpssion (7) s écit : l p = J.S = J σ S σ V V st l volum du conductu. En tout point M, la dnsité d puissanc dissipé pa fft Joul st : p π = = J V soit = J E σ Comm ls vctus J t E sont paallèls on put éci : π = J.E Ctt fomul st généal. 4. GENERTEURS ÉLECTRIQUES. 4.. Définitions. Un généatu élctiqu st un dispositif qui, placé dans un cicuit élctiqu, st capabl d maintni un champ élctiqu. C dni, n déplaçant ls chags mobils, assu la ciculation du couant élctiqu t l tanspot d l éngi à tavs l cicuit. Notons qu ctt éngi n st pas céé pa l généatu, c dni n fait qu tansfom un fom d éngi, mécaniqu, chimiqu, luminus tc.. n un éngi élctiqu 5. On distingu dux typs d généatus : Un généatu d tnsion st un dispositif capabl d maintni un diffénc d potntil constant à ss bons, qulqu soit l cicuit xtéiu. Un généatu d couant st un appail qui déliv un couant patiqumnt constant, qulqu soit l cicuit xtéiu. Dans c cous, nous n considéons qu ls généatus d tnsion. 4.. Généatu à vid: Foc élctomotic (f.é.m) Dans c cas, l généatu n débit pas d couant élctiqu ; ls chags, qu il nfm sont immobils. Un quantité d chag élémntai dq st soumis à l action - d un foc élctostatiqu : df S = dq ES - d un foc poduit pa l généatu: dfm applé foc motic. E S désign ici l champ élctostatiqu. (3) (3) (3) 5 La pil tansfom d l éngi chimiqu n un éngi élctiqu, l dynamo tansfom d l éngi mécaniqu n un éngi élctiqu. 77

36 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Comm ls chags sont immobils, on a : df df = S m df dq E m S Ctt condition, n st satisfait qu si la foc motic st, ll aussi, popotionnll à dq. On écit alos : dfm dq Em (33) L vctu E m st applé champ élctomotu 6. vid : ES Em (34) La diffénc d potntil aux bons du généatu st : V V E. dl S soit V V E. dl m Ctt quantité V V (36) st un caactéistiqu du généatu ; c st sa foc élctomotic 7. (f.é.m.), ll st msué n volts : Em. dl l xpssion (37) mont qu l champ élctomotu n déiv pas d un potntil. (35) (37) 4. 3.Généatu n chag. L généatu débit, à tavs un cicuit xtéiu, un couant élctiqu I. Pa convntion, l couant sot pa la bon positiv du généatu t nt pa sa bon négativ En chag c st l champ total E E E qui intvint. En chaqu point on a : S m I Généatu Em E Cicuit xtéiu Figu III. J E E E S m (38) La ciculation, dans l généatu, du champ total d à (c st l sns du couant comm l mont la figu III.) st : 6 L concpt d champ élctomotu sa éintoduit au chapit V los d l étud d l induction élctomagnétiqu. insi, l champ élctiqu E s compos d dux champs : l champ élctostatiqu E t S l champ élctomotu E m E E S E m 7 L tm foc élctomotic put pêt à confusion, il n s agit pas d un foc tll qu ll st défini n mécaniqu, mais d un gandu qui a la dimnsion d un potntil. 78

37 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus S m. E E dl = E. dl E. dl S m = V V = J l En multipliant t n divisant l dni tm pa couant, on a : V V = I S, sction tavsé pa l où st la ésistanc intn du généatu. Pa conséqunt : V - V = - I (39) V - V st la diffénc d potntil utilisabl aux bons du généatu. La loi d Ohm appliqué au cicuit xtéiu, d ésistanc R, donn : D où V - V = R I (4) R I (4) La lation (4) xpim la loi d Pouillt, établi xpéimntalmnt n 837 pa l physicin fançais Claud Pouillt. ilan éngétiqu t ndmnt: L généatu tansfom l éngi qu il çoit, sous fom mécaniqu ou chimiqu pa xmpl, n éngi élctiqu. Tout chag élémntai dq, qui tavs l généatu çoit un éngi dw égal au tavail d à d la foc motic : df dq E m En faisant intvni l couant élctiqu, on a : m dw dq E. dl dq dw I dt La puissanc instantané founi pa l champ élctomotu st : En couant continu, ctt quantité st constant au cous du tmps ; ll st égal à la puissanc moynn : P I (4) En multipliant ls dux mmbs d l xpssion (4) pa I, on obtint dw p I dt R I I R I m 79

38 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus vc (4), il vint : P RI I (43) L pmi tm RI pésnt la puissanc consommé dans l cicuit xtéiu t l scond I la puissanc dissipé dans l généatu. L ndmnt d un généatu st défini comm étant l appot nt la puissanc P' (V V ) I utilisabl dans l cicuit xtéiu t la puissanc P I absobé pa l généatu. Il s écit : P' P V V = Notons qu dans l cas d un généatu idéal, la tnsion utilisabl à ss bons st confondu avc sa f.é.m : son ndmnt st alos égal à. Dans l cas du généatu él, V -V st toujous inféiu à t l ndmnt du généatu st donc inféiu à. Excic III.4. Puissanc dissipé dans un ésistanc On considè un généatu (, ) aux bons duqul st banché un ésistanc R. / Calcul la puissanc dissipé dans la ésistanc R. / Pou qull valu d R, ctt puissanc st maximal Solution III.4 / La puissanc dissipé dans la ésistanc R s écit : P RI I d où R / Ctt puissanc st maximal si Schéma équivalnt d un généatu. P R R dp R dr P Max 4 Généatu d tnsion idéal : un généatu d tnsion idéal n possèd pas d ésistanc intn ; il déliv un tnsion égal à sa f.é.m qulqu soit l couant débité. Il st modélisé pa l schéma d la figu III..a: I I (a) (b) (c) (d) Figus III. Généatu d tnsion él : un généatu d tnsion él st modélisé pa la mis n séi d un généatu d tnsion idéal t d un ésistanc applé ésistanc intn du généatu. ( voi la figu III..b). Dans c qui suit, on n considè qu ds pils (schéma c) ou ds battis d accumulatus 8 (schéma d). 8 La diffénc nt un pil t un accumulatu st qu c dni put êt chagé, alos qu un pil, un fois déchagé, n put plus êt utilisé. 8

39 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Not qu l couant élctiqu nt pa la bon négativ t ssot pa la bon positiv du généatu ssociation d généatus. ssociation n séi Soint N généatus ( i, i ) montés n séi, c'st-à-di d façon qu l pôl positif èm du i généatu soit lié au pôl négatif du (i ) èm généatu. La figu III., qui pésnt c montag dans l cas d N pils, mont qu un sul t mêm couant I tavs chacun d ux. I N E I E E N N I Figu III. Figu II.3. La diffénc d potntil aux bons du i èm généatu s écit : V i - V i- = i - i I La diffénc d potntil aux bons d l nsmbl ds généatus s écit : V- V = (... N ) - ( I I... N I) = - I Ctt diffénc d potntil cospond à cll d un généatu uniqu d f.é.m t d ésistanc intn, tl qu : = =... i N i N (44) Si plusius généatus sont associés n séi, lus focs élctomotics t lus ésistancs s ajoutnt. Un tll association pésnt un avantag t un inconvénint. Son avantag ésid dans l obtntion d un f.é.m plus gand qu clls ds généatus utilisés. La valu impotant d la ésistanc intn du généatu équivalnt obtnu pésnt l inconvénint d c typ d association. ssociation n paallèl Soint N généatus (pils) idntiqus (, ) montés n paallèl. La figu 3 mont qu l généatu équivalnt débit un couant d intnsité I égal à la somm ds intnsités qu débit chaqu généatu N I I (45) i La diffénc d potntil nt ls bons t st : I V V I N N La ésistanc intn du généatu équivalnt st N fois plus faibl qu cll d chaqu généatu. i I I n N I nn I I n N E E E I Figu III. 3. Figu II.3. 8

40 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus 5. RECEPTEURS. Ls écptus sont ds systèms qui, pacouus pa un couant élctiqu, tansfomnt l éngi élctiqu sous un aut fom d éngi. Ls écptus actifs founissnt d l éngi mécaniqu, chimiqu, luminus tc... Pa cont, ls écptus passifs, comm ls ésistancs, dissipnt l éngi absobé sous fom d chalu. 5.. Foc cont élctomotic ''f.c.é.m'' d un écptu. Un écptu xc su ls chags élctiqus qui l tavsnt, un foc ésistant. Cll-ci st du à un champ cont élctomotu E. L tavail d c champ donn naissanc à un foc cont élctomotic ', xpimé pa l appot nt l éngi élctiqu tansfomé pa l écptu t la quantité d chag Q qui l tavs pndant un tmps t. 5.. Schéma équivalnt d un écptu. Comm pou ls généatus, un écptu put êt modélisé comm suit : C I Figu III. 4 Dans un écptu, l couant nt pa la bon positiv d c dni t sot pa sa bon négativ. - ' pésnt la f.c.é.m du écptu. - st sa ésistanc intn Diffénc d potntil ''d.d.p'' aux bons d un écptu. Un écptu placé dans un cicuit pacouu pa un couant I, çoit du st du cicuit un puissanc total égal au poduit d la diffénc d potntil V -V à ss bons pa l couant I qui l pacout. Ell s écit : P = (V-V ) I. Un pati d ctt puissanc st dissipé pa fft Joul à l intéiu du écptu t a pou xpssion : I. L aut pati st tansfomé sous un aut fom, ll s écit: 'I. L pincip d consvation d l éngi nous pmt d éci : (V - V ) I = 'I I Soit : (V-V ) = ' I 5.4. Rndmnt d un écptu. Comm pou ls généatus, on définit l ndmnt d un écptu comm étant l appot nt la puissanc utilisabl qu il déliv (' I ) t la puissanc qu il consomm (V -V ) I. Il s écit : ' I ' V V I V V 8

41 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus 6.NLYSE D UN RESEU ELECTRIQUE. 6.. Définitions. Dipôl: un dipôl st un élémnt élctiqu qui possèd un bon d nté t un bon d soti. Il st qualifié d actif losqu il founit d l éngi (cas d un généatu) t d passif losqu il n consomm. (figu III.5.a) Résau: st un cicuit complx constitué d un nsmbl d dipôls (ésistancs, généatus, écptus ) liés nt ux (figu III.5.b) Nœud: on appll nœud, un point tl qu, où aboutissnt au moins tois dipôls du ésau. anch: un banch st un potion du ésau tll qu, compis nt dux nœuds. Maill: un maill du ésau st constitué pa un nsmbl d banchs, fomant un cicuit fmé tl qu C. (a) (b) C Figus III.5 Figu II.3. E D 6.. Lois d Kichhoff. Etablis n 845 pa l physicin allmand Gustav Kichhoff, cs lois, au nomb d dux, xpimnt la consvation d l éngi t d la chag dans un cicuit élctiqu. Loi ds nœuds ux nœuds,, C, d la figu 5.b, on appliqu l pincip d la consvation d la chag élctiqu. En fft, ls chags n puvnt pas s accumul n un point qulconqu du cicuit, donc : La somm ds intnsités ds couants qui aivnt à un nœud st égal à la somm ds intnsités ds couants qui n ssotnt. I I 4 I I 3 C st la pmiè loi d Kichhoff : Dans l cas d la figu III.6, on a : Figu III.6. I I 3 I I 4 Ctt loi put êt taduit mathématiqumnt pa l xpssion : n Ii (46) i où I i désign la valu algébiqu du i èm couant. Ctt valu st affcté du sign () si l couant aiv au nœud considéé t du sign (-) s il s n éloign. 83

42 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Loi ds maills Ell constitu un généalisation d la loi d Ohm : RI (47) On pocèd d la maniè suivant : On choisit, su chaqu banch, un sns du couant abitai. On choisit un sns d pacous d la maill abitai. Chaqu tm RI st affcté d un sign () si l sns du pacous choisi coïncid avc l sns du couant. Sinon on l affct du sign (-). La f.é.m. (ou f.c.é.m) st affcté du sign du pôl pa lqul on sot du généatu (ou du écptu). Excic III. 5. Méthod d opposition On considè l montag pésnté su la figu, où t désignnt ls f.é.m d dux G i i 3 i Solution III. 5. ) Ls sns ds couants t ds pacous ds maills étant choisis abitaimnt comm l indiqu la figu, on appliqu : La loi ds nœuds n : i i i La loi ds maills : Maill : Maill : R 3 R R i i 3 C 3 ( R i ) R i R i pils élctiqus, R t R dux ésistancs vaiabls. Un galvanomèt G tès snsibl, d ésistanc intn R 3, st placé n séi avc la duxièm pil su la banch. ) Calcul l couant i 3 qui tavs l galvanomèt..n. R =, R = 5, t R 3 =,, = 3 volts t = 3, volts. R3 i3 R i On obtint un systèm d 3 équations à 3 inconnus d où : R R R i3 = 6,6 m R R R R R R ) On mplac la duxièm pil pa un pil dont on vut msu la foc élctomotic x. puis on fait vai ls ésistancs R t R jusqu à c qu l galvanomèt indiqu i 3 =. Ls valus ds ésistancs sont, dans c cas, R = 75, t R = 36. Calcul la f..m d la nouvll pil. 3 3 ) On mplac, dans l ésultat pécédnt, pa x. l équilib i 3 = x R R R =,97 volts 84

43 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus 7. CHRGE ET DECHRGE D UN CONDENSTEUR. Dans ls paagaphs pécédnts, ls gandus élctiqus considéés (intnsité du couant élctiqu, diffénc d potntil ) étaint supposés indépndants du tmps : lls appatinnnt au domain ds égims pmannts ou stationnais. Dans c qui suit, nous considéons l égim tansitoi ou lntmnt vaiabl (c st à di un succssion d égims stationnais), pou lqul on suppos qu à chaqu instant t, la loi d Ohm st valabl : c st l cas d la chag t d la déchag d un condnsatu. i K K C R C R (a) Figus III.7 (b) Considéons l cicuit d la figu III.7.a, fomé d un généatu idéal d f.é.m, d un ésistanc R, d un intuptu K t d un condnsatu d capacité C initialmnt déchagé. 7.. Etud d la chag du condnsatu. L intuptu K st n position : dès qu l intuptu K st mis n position, un couant i commnc à cicul dans l cicuit d la figu III.7.b En fft, ls élctons quittnt la bon négativ du généatu, tavsnt la ésistant R t s accumulnt su la plaqu du condnsatu. La plaqu s chag alos positivmnt pa phénomèn d influnc. u fu t à msu qu l condnsatu s chag, l couant i diminu jusqu à c qu la d.d.p nt ls amatus du condnsatu soit égal à la f.é.m du généatu. Un égim d équilib st alos attint losqu i dvint égal à zéo. fin d établi l équation d la chag du condnsatu, on appliqu la duxièm loi d Kichhoff à la maill du cicuit d la figu III.7.b. On obtint alos, VC Ri( t ) = q t où : VC C st la d.d.p nt ls amatus du condnsatu 85

44 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus dq( t ) t it dt l intnsité du couant qui cicul dans l cicuit pndant la chag. Soit dq q( t ) R (48) dt C C st un équation difféntill du od avc scond mmb. En utilisant la mêm méthod 9 qu au.8, avc ls conditions initials t s q K ln C (49) on touv ls xpssions d la quantité d chag q(t) t du couant i(t): t q( t) C xp RC (5) dq t i t xp dt R RC (5) La gandu RC qu l on nota τ, a la dimnsion d un tmps t st applé ''constant d tmps du cicuit''. pati ds gaphs pésntant Ls évolutions n fonction du tmps d q(t) t i(t) (figus III.8), plusius constatations émgnt, à savoi : 9 Voici un aut méthod pou ésoud l équation (48). On put l éci sous la fom: En intégant ctt équation, on obtint : dq dt q C RC dq dt t ln q C K (5) q C RC RC la fin d la chag, l condnsatu aua accumulé un quantité d chag q tll qu : q V. C C La chag q accumulé à un instant qulconqu t st inféiu à Q. L équation (5) dvint alos : t ln C q K (53) RC Où K st un constant d intégation, qu on put facilmnt détmin à pati ds conditions initials. En fft, t s K ln C q Losqu on mplac dans l équation (53), K pa ctt valu, on obtint : ln q t C RC D où l xpssion d la quantité d chag q (t) : t q(t ) C xp RC 86

45 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus La constant d tmps RC pésnt l tmps nécssai pou qu l condnsatu attign 63% d sa chag total. Donc, τ pmt la msu d la vitss à laqull l condnsatu s chag. Un condnsatu n s chag pas instantanémnt losqu on l li à un généatu. - La chag q n attint jamais tout à fait la valu maximal C. En fft, au bout d un dué égal à 5τ, l condnsatu attinda 99% d sa chag final. q(t)/c.99 q(t) C / R i(t) i o (a) t RC t/ (b) t RC t/ Figus III. 8 Patiqumnt, la chag final d un condnsatu st attint au bout d un dué d 5 τ : c st la dué du égim tansitoi. - t = s, l couant i vaut io (la d.d.p nt ls amatus du R condnsatu st null). Il diminu d un façon xponntill avc l tmps, t au bout d un dué égal à τ, il attint 37% d sa valu initial. Od d gandu d la constant d tmps : pou un condnsatu d capacité C=µF t un ésistanc R = Ω on a un constant d tmps = RC =. -4 s. En généal, un condnsatu s chag totalmnt n un tmps tès cout. ilan d éngi pès multiplication ds mmbs d l équation (48) pa idt dq, il vint : D où, Ri dt dq q dq C C C Ri dt dq q dq C (54) C qui donn : C C Ri dt C C L éngi dissipé pa fft Joul dans R st donc égal à = éngi founi pa l généatu = éngi mmagasiné pa l condnsatu C 87

46 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Excic III.6. Soit l cicuit d la figu ci-cont, constitué d un généatu él (, ), d un ésistanc R t d un condnsatu d capacité C. Sachant qu à t=s, l condnsatu était complètmnt déchagé : / Eci l équation difféntill qui égit la chag du condnsatu. En dédui l xpssion d q(t). / qul instant on put di qu l condnsatu s st totalmnt chagé? 3 /Calcul ls couants qui ciculnt dans c cicuit n égim pmannt..n : E = 5 V, = 5 Ω, R = 5 kω t C = µ F I I I R C Solution III. 6. / On appliqu la pmiè loi d Kichhoff au nœud : I I I (a) La diffénc d potntil, nt ls points t, st : V I (b), V R I (c) t V q C (d) O I dq V (), (c ) I avc (d) I q dt R RC (f) pati d (a), ( ) t (f), il vint : I q dq RC dt (g) V (b) I q t avc (d) I C (h) pati d (g) t (h) on obtint : dq dq q ou bin q dt R C dt R où : C = 49,5. -6 s st l tmps d laxation. R La solution généal d l équation (j) st : t 6 q ( t) xp avc q o C / Calculons la valu d la chag pou diffénts valus d t : (j) t q/q o l instant t 5, l condnsatu put êt considéé complètmnt chagé 3 / En égim pmannt, on a : I = m t I I.99 R m 88

47 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus 7.. Etud d la déchag du condnsatu. L condnsatu ayant attint sa chag final C, plaçons l intuptu K (Figu III.7.a) n position. Il n ésult un couant i n povnanc d la plaqu du condnsatu chagé positivmnt. Il s diig vs l aut plaqu n tavsant la ésistanc R (figu III.9). fin d établi l équation d la déchag du condnsatu, on écit la loi d la maill du cicuit d la figu III.9, n choisissant comm sns positif d pacous d la maill, l sns él du couant. On obtint alos, q V c = = d.d.p nt ls amatus du condnsatu C Vc Ri( t ) avc dq i(t)= - (on a un diminution d la chag, (dq<)) dt L équation ci-dssus dvint : q dq = - R (55) C dt C st un équation difféntill du pmi od, sans scond mmb. En tnant compt ds conditions initials (t = s, q = C ), l équation (55) aua pou solution : t. q( t) C xp (56) RC L couant d déchag st dictmnt déduit à pati d l équation (56). Il s écit : K C i R Figu III.9 dq t i( t) xp - dt R RC (57) Ls évolutions d q(t) t i(t) n fonction du tmps sont pésntés pa ls gaphs d la figu III.. q(t) / C q(t) C R i(t)/ i(t) i o (a) t RC t/ Figus III (b) t RC t/ Il st à not qu dans c cas, l condnsatu pd au bout d un dué égal à τ, 63% d sa chag initial. 89

48 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Excics : Chapit III Excic III.7. Calcul d un ésistanc. Calcul l xpssion d la ésistanc d un conductu, homogèn d conductivité dont ls facs sont ds sphès concntiqus, d ayons t, soumiss à un diffénc d potntil V = V - V. Excic III. 8. Montag amont, montag aval. ) Msu d puissanc : Pou msu la puissanc élctiqu P consommé pa un écptu, il suffit d utilis un ampèmèt t un voltmèt. On obtint la puissanc msué Pm n multipliant ls indications I t V d cs dux appails. Dans c poblèm on utilis un ampèmèt d ésistanc intn R =, 5 t un voltmèt d ésistanc R V = 5 k. Calcul la puissanc P t l u systématiqu qu l on commt losqu l voltmèt st placé n amont d l ampèmèt t du écptu ; ls indications ds dux appails sont : V = 5,5 V t I = 5 m. Mêm qustion losqu il st placé n aval ; on lit, à pésnt, V = 5 V t I = 55 m. V I I U R é c p t u I V I V I U R é c p t u Montag amont Montag aval U st la tnsion aux bons du écptu. ) Msu d un ésistanc : pou msu un ésistanc élctiqu, on put utilis la méthod pécédnt avc un ampèmèt t un voltmèt. L écptu st un ésistanc pu R. Calcul R t l u systématiqu qu l on commt dans l montag amont puis dans l montag aval. (Utilis ls mêms valus numéiqus qu dans la è qustion). Excic III. 9. Shunt d un ampèmèt. Un ampèmèt st un appail d msu dont la ésistanc R d l élémnt motu n put suppot qu d faibls intnsités I d l od d qulqus milliampès. Pou msu ds intnsités I plus impotants, on n fait pass dans l élémnt motu qu un faibl faction I du couant I. L aut pati I S st déivé vs un ésistanc R S placé n paallèl aux bons d R. R S st applé shunt. ) L factu multiplicatu n d un shunt st l nomb pa lqul il faut multipli I pou avoi l couant à msu I. Mont qu : R n R S ) L indication d un ampèmèt shunté indiqu I = 35 m, l factu multiplicatu du shunt st n =, calcul l couant I t la ésistanc R S du shunt si R = 4. Un u systématiqu st du à un caus bin détminé t s poduit dans un mêm sns. Un u aléatoi st du à un caus mal défini. Cs us vaint n fonction du tmps t s épatissnt d pat t d aut d un valu moynn. 9

49 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Excic III.. Résistanc intn d un pil. Pou msu la ésistanc intn d un pil d f..m, on utilis l dispositif d la figu ci-dssous où K désign un intuptu, R un ésistanc vaiabl fixé à 6, t V un voltmèt d ésistanc intn V. Losqu K st ouvt, l voltmèt indiqu V = 4,5 volts t losqu il st fmé la tnsion indiqué st V = 3 volts ) Expim la valu d la ésistanc intn n fonction d R, V t V losqu V st supposé infini. ) Evalu l u / sachant qu R/R = % t qu l u V qui ésult d la pécision du voltmèt st la mêm l long d l échll ds gaduations. Su l calib utilisé ( 7,5 volts), l u maximal gaanti pa l constuctu st V =, volt. 3 ) Calcul l u systématiqu du à la pésnc, dans l cicuit, du voltmèt, sachant qu sa ésistanc intn V =.5. V R K Excic III.. Pont d Whatston. M L pont d Whatston, pésnté su la figu ci-cont, st constitué pa quat ésistancs fomant un quadilatè su ls diagonals dsqulls on a placé d un pat un galvanomèt G t d aut pat un souc d couant continu. X st la ésistanc à msu, R un ésistanc étalon, P t Q dux ésistancs vaiabls. l équilib, l galvanomèt indiqu un couant nul (i = ) Expim, à l équilib, la ésistanc inconnu X n fonction d R, P t Q. Excic III.. Pont à fil. Eus liés. Pou msu un ésistanc inconnu X on utilis, comm l mont la figu ci-cont, un pont d Whatston à fil calibé, d longuu L. ) Expim la ésistanc X n fonction ds ésistancs a, b, t R. ) Calcul l u X. On n tint pas X compt d l u d indétmination du zéo 3 ) Qull st la position du cusu qui cospond à la valu minimal d l u?.n. L = 6 cm, a = (3 ±, ) cm, R = ( ±,). X X P a D E G N R b Q R Excic III. 3. Pont d Manc. Dans l but d msu la ésistanc intn d un pil, d foc élctomotic, on utilis l pont d Manc pésnté su la figu ci-cont. R st un ésistanc étalon, R t R dux ésistancs églabls. ) Détmin l intnsité du couant qui cicul dans l milliampèmèt, inséé dans la banch, losqu l intuptu K st a) ouvt b) fmé. ) Qull lation doit xist nt ls quat ésistancs, R, R t R, pou qu l couant soit l mêm dans ls dux cas. En dédui l xpssion d la ésistanc intn d la pil. R M N K R R 9

50 Licnc : Elcticité S Ch. III : Couants continus Excic III. 4. Oscillations d laxation. R L oscillatu, pésnté su la figu ci-cont, compot un généatu d couant continu d f..m qui alimnt un condnsatu d capacité C à tavs un ésistanc vaiabl R. Un lamp à néon st banché aux bons du condnsatu nt lsqulls la tnsion st u(t). Ctt lamp n fonctionn qu à pati d un tnsion d amoçag U t s étint à la tnsion d désamoçag U D. C Lamp La lamp s compot comm un faibl ésistanc losqu ll s allum t comm un ésistanc infini losqu ll st étint. ) La lamp st étint : u(t ) < U. Expim la tnsion u(t ) n fonction d t, t d la constant d tmps = RC. ) La lamp st allumé : U D < u(t ) < U. Expim u(t ) n fonction d t,, t C. 3 ) Tac la coub pésntativ d la fonction u(t ). 4 ) Mont qu, si l on néglig la dué d la déchag du condnsatu, la péiod d ct oscillatu st : U D T RC Log U 5 ) On vut éalis avc l dispositif pécédnt, où = V, C =,8 F U = 9 V t U D = 4 V, a ) un fu clignotant : on ègl alos la ésistanc d façon à avoi R = 5 k. Qull st la féqunc ds éclais luminux? b ) un stoboscop : qull doit-ll la valu d R si on vut véifi la vitss d otation d un motu dont la plaqu signalétiqu indiqu 3 tous pa minut Un stoboscop st un souc d lumiè qui nvoi ds éclais à féqunc églabl. Pou msu la vitss d otation d l ab d un motu, on ffctu la msu losqu la péiod ds éclais st égal à cll d la péiod d otation d l ab. c momnt un tait tacé su l ab paait immobil. 9