CONDUCTEURS EN EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

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1 Chapit II CONDUCTEURS EN EQUILIRE ELECTROSTTIQUE En élcticité, un conductu st un miliu matéil dans lqul ctains chags élctiqus, dits «chags libs», sont suscptibls d s déplac sous l action d un champ élctiqu. Nous nous poposons, dans c chapit, d étudi ls popiétés ds conductus n équilib élctostatiqu, à l échll macoscopiqu où ls dimnsions considéés sont tès gands pa appot aux distancs int atomiqus.. EQUILIRE ELECTROSTTIQUE. L équilib élctostatiqu st attint losqu aucun chag élctiqu n s déplac à l intéiu du conductu. Nous allons établi, dans ctt pati, ls popiétés ds distibutions d équilib d un conductu isolé dans l vid... Champ élctiqu. L champ élctiqu st nul n tout point à l intéiu d un conductu n équilib élctostatiqu. En fft, la pésnc d un champ ntaînait l xistnc d un foc F q E () qui mttait ls chags n mouvmnt t l conductu n sait plus n équilib. En tout point à l intéiu d un conductu n équilib, l champ élctiqu E st nul. L champ élctiqu su la sufac du conductu st ppndiculai à la sufac. En fft, pou ls mêms aisons qu pécédmmnt, un composant du champ paallèl à la sufac agiait su ls chags libs t ntaînait lu déplacmnt. O, d tls déplacmnts n xistnt pas dans ls conditions d équilib élctostatiqu : L champ st nomal à la sufac d un conductu n équilib... Potntil élctiqu. Considéons la ciculation du champ élctiqu nt dux points M t M infinimnt voisins à l intéiu d un mêm conductu. La vaiation du potntil dv nt ls dux points st alos donné pa : dv E. dl où dl MM ' V = constant L. ït Gougam, M. ndaoud, N. Doulach, F. Mékidèch

2 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus L champ étant nul à l intéiu du conductu, l potntil st donc unifom dans tout l volum du conductu. Un conductu n équilib élctostatiqu constitu un volum équipotntil..3. Répatition ds chags. - l intéiu du conductu. Considéons un conductu doté d un chag ntt Q t choisissons un sufac fmé qulconqu d façon qu ll s touv sous la sufac du conductu. D apès l théoèm d Gauss, on a : Qint Eint. ds S Comm Eint, on n déduit qu Qint. Pa conséqunt l intéiu d un conductu chagé n équilib, la chag élctiqu st null. - la sufac du conductu : Expéinc du cylind d Faaday. Ctt xpéinc a pou but d mtt n évidnc la épatition supficill ds chags élctiqus. On dispos: - d un boul métalliqu, chagé positivmnt, solidai d un tig lié à un manchon isolant, - d un cylind d Faaday C, (c st un cylind métalliqu cux dont la hautu st tès gand pa appot à son diamèt), - t d un élctoscop à fuill d o E. L cylind C st posé su l platau d l élctoscop E. - - C E a b c d Figus II. La figu II..a mont qu losqu la boul s touv hos du cylind, l nsmbl fomé pa C t E n pot aucun chag. Losqu on intoduit la boul dans l cylind, un phénomèn d élctisation pa influnc st déclé pa l élctoscop. Ds chags négativs sont induits su la fac intn d C t ds chags positivs su sa sufac xtn (figu II..b). Losqu t C sont mis n contact, on constat, là nco, qu ls fuills d l élctoscop s écatnt (Figu II..c), ct écat st maintnu losqu on ti. Pou véifi qu la boul a ntièmnt tansmis sa chag à C, on ti l cylind, on déchag l élctoscop (figu. 44

3 E Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus II..d), puis on mt n contact t l platau d E. On constat alos qu ls fuills d o stnt vticals (figu. II..). En conclusion : tout la chag d la boul s st touvé épati à la sufac xtéiu du conductu. La chag élctiqu d un conductu n équilib st ntièmnt épati su sa sufac..4. Champ au voisinag d un conductu : théoèm d Coulomb. Considéons un conductu d fom qulconqu. On s popos d calcul l champ élctiqu n un point au voisinag immédiat d la sufac xtn du conductu. Constuisons, pou cla, un sufac d Gauss cylindiqu aplati, dont un bas s touv à l xtéiu d la sufac t l aut bas à un pofondu tll qu la chag supficill soit totalmnt à l intéiu du cylind (figu II..a). En appliquant l théoèm d Gauss su ctt sufac fmé, nous obtnons: Qint E. ds Comm mntionné plus haut, aux points situés au voisinag immédiat d la sufac du conductu, l champ st nomal à la sufac. L champ étant nul patout à l intéiu du conductu, on n tint compt qu du flux à tavs la sufac situé à l xtéiu du conductu. L flux sotant d la sufac latéal du cylind étant nul, il n st plus qu clui qui sot d la bas, soit S E S où S st la chag ntt compis à l intéiu d la sufac d Gauss. On obtint alos : E soit vctoillmnt : E n E n ds E E (a) Figus II. Intéiu Couch supficill (b) Extéiu C st l xpssion du champ élctostatiqu, au voisinag immédiat d un sufac conductic chagé. C st la fomulation du théoèm d Coulomb. Théoèm : l champ élctostatiqu à poximité immédiat d un conductu potant un chag d dnsité sufaciqu vaut : E n (). 45

4 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus où n st un vctu unitai nomal au conductu t ointé vs l xtéiu. L champ élctiqu à l intéiu d un conductu n équilib st nul, n son voisinag immédiat xtéiu, il vaut : E Pa conséqunt, à la tavsé d la sufac du conductu, pa continuité, l champ vai d la maniè indiqué su la figu II..b ( st un infinimnt ptit). En paticuli, su la sufac du conductu, il vaut : E. (3) Ctt dniè xpssion du champ sa utilisé pou l calcul d la pssion élctostatiqu..5. Pssion élctostatiqu. Calculons maintnant ls focs auxqulls sont soumiss ls chags élctiqus situés à la sufac d un conductu n équilib. Cs chags d sufac sont soumiss à ds focs épulsivs d la pat ds auts chags du conductu (Voi Excic II.8). Considéons un élémnt d sufac ds, potant un chag dq ds. L champ E n xc su la chag dq un foc élctostatiqu : df dq E ds n soit : df ds n Ctt foc st donc nomal à la sufac t diigé vs l xtéiu qulqu soit l sign d la chag. Ell st popotionnll à l élémnt d sufac ds t pésnt, pa conséqunt, l caactè d un foc d pssion. La foc pa unité d sufac, c'st-à-di la pssion élctostatiqu, st alos donné pa : P (4).6. Pouvoi ds points. poximité d un point, l champ élctostatiqu st tès intns. Cla ésult du fait qu la dnsité sufaciqu d chags st tès élvé au voisinag d un point. C phénomèn put êt xpliqué n considéant dux sphès conductics d ayons R t R ( R R ), liés pa un long fil conductu minc (Figu 3). D c fait, ls dux sphès sont potés au mêm potntil ; t comm lls sont tès éloignés l un d l aut, on put éci : R Fil Figu II.3 R L xpssion (3) st démonté dans l xcic II.8 (Voi la solution II.8). 46

5 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus K K V V ds ds R R Pou ds aisons d syméti, ls chags sont épatis unifomémnt à la sufac d chaqu sphè ( t sont constants). Il s n suit qu : (5) R R Ctt dniè équation mont qu la sphè ayant l plus ptit ayon pot la plus gand dnsité d chags. (Voi xcic II. ) C ésultat s généalis à un conductu d fom qulconqu t xpliqu l pouvoi ionisant d un point. pplications. - L pouvoi d point st util pou facilit la déchag d l élcticité ; c st l ôl ds paatonns qu on plac su ls édifics pou ls potég cont la foud. La foud st un phénomèn natul d déchag élctiqu qui s poduit, los d un oag, nt dux nuags chagés d élcticité statiqu, ou nt un nuag élctiqumnt chagé t la T qui st un conductu élctiqu. Los d un oag, ls constituants d un nuag, goutts d plui, gêlons, paticuls d glac, s hutnt à tès gands vitsss t s élctisnt pa tiboélcticité (voi chapit I). La déchag s poduit losqu la diffénc d potntil nt l nuag t la T, pa xmpl, dépass un ctain suil (plusius millions d volts). La foud s accompagn d un phénomèn luminux l éclai t d un détonation l tonn. Figu II.4 «La Tou Eiffl, paatonn géant» Photogaphi pis à h l 3 Juin 9 t publié dans l ulltin d la société stonomiqu d Fanc n Mai 95. Documnt : WIKIPEDI - Expéinc d la bougi- vnt élctiqu u voisinag d la point (figu 5), l champ st si intns qu l ai s ionis. Ls ions, d mêm sign qu clui ds chags d la point, sont poussés. Il n ésult un déplacmnt d ai, un vnt élctiqu, qui aiv à étind la flamm d un bougi placé au voisinag d la point. Généatu H.T. Figu II.5. 47

6 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus.7. Conductu cux. Considéons maintnant un conductu d fom abitai contnant un cavité (voi figu II.6.). Supposons qu il n xist aucun chag à l intéiu d la cavité. Dans c cas, l champ élctiqu à l intéiu d la cavité doit êt nul indépndammnt d la distibution d la chag su la sufac xtn du conductu. D plus, l champ à l intéiu d la cavité st nul mêm s il xist un champ élctiqu à l xtéiu du conductu. Pou étay c point, nous utilisons l fait qu chaqu point du conductu st poté au mêm potntil élctiqu, dux points qulconqus t d la sufac d la cavité sont donc au mêm potntil. Imaginons maintnant qu un champ élctiqu E xist à l intéiu d la cavité t calculons la diffénc d potntil V V défini pa l équation : V V E. dl E n étant pas nul, nous pouvons toujous touv un chmin nt t pou lqul E. dl st un nomb positif, l intégal st alos positiv. O V V, la ciculation d E. dl st null pou tous ls pacous nt dux points qulconqus du conductu, il n ésult qu l champ élctiqu st patout nul. Pa conséqunt, un cavité ntoué pa ds mus conductus st un égion où l champ st nul, qulls qu soint ls conditions xtéius au conductu. C dni constitu un écan élctostatiqu : aucun champ xtéiu n put êt déclé dans la cavité. Ctt dniè st à l abi d tout influnc xtéiu. E= E= Figus II.6 Ctt popiété st valabl mêm si l conductu cux compot ds ouvtus, c st l cas d un cag d Faaday. pplications : Cag d Faaday. C st un cag métalliqu qui pmt d ffctu ds msus à l abi ds champs xtéius. Invsmnt, cs msus n ptubnt pas ds xpéincs mnés à l xtéiu. Considéons un cag d Faaday fabiqué à l aid d un gillag métalliqu. Ds pnduls élctostatiqus sont mis n contact avc ls paois intns t xtns d la cag comm l montnt ls figus II

7 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Si la cag n st pas chagé, Q =, tous ls pnduls stnt à la vtical (figu.ii.7.a). Si on chag la cag à l aid d un généatu pa xmpl, on constat qu ls pnduls à l intéiu stnt à la vtical, alos qu cux qui sont placés à l xtéiu s écatnt d la cag (figu.ii.7.b). Un tll ncint st lagmnt utilisé pou potég ds appails élctiqus ds champs xtéius. C st la aison pou laqull, la plupat d cs appails sont placés à l intéiu d un cacass métalliqu lié à la t. (a) Généatu Figus II.7 (b).8. Capacité d un conductu. Considéons un conductu isolé n équilib élctostatiqu, placé n un point O d l spac t potant un chag Q, épati su sa sufac xtn avc un dnsité sufaciqu tll qu : Q ds Si la chag Q augmnt, la dnsité sufaciqu augmnt popotionnllmnt : = a Q Cla, n aison d la linéaité ds équations qui égissnt l poblèm d l équilib ds conductus. L potntil céé pa Q, n un point M d l spac tl qu OM =, s écit ds V K soit V K Q a ds C ésultat st valabl pou tout point d la sufac du conductu. L intégal dépnd uniqumnt d la géométi t ds dimnsions du conductu On n déduit qu l appot, nt la chag t l potntil auqul st poté l conductu, Q Q C V V n dépnd qu d la géométi du conductu, on l appll capacité pop du conductu. Cll-ci st donné pa l xpssion : Q CV (6) C st un gandu positiv, dont l unité st applé l faad n hommag à Michal Faaday (79-867). L faad st ainsi défini comm la capacité d un conductu isolé dont l potntil st d volt losqu il çoit un chag d coulomb. L faad st un unité tès gand, on utilis plutôt ds sous multipls : 6 9 L micofaad : F F, l nanofaad: nf F, l picofaad: pf F. Excic II.. Calcul la capacité d un conductu sphéiqu d ayon R..N. R = m t R = 6 4 km (ayon d la t) Solution II.. Considéons un sphè d ayon R t d chag Q. Son potntil st donné pa l xpssion suivant : Q V 4 R. 49

8 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus D où sa capacité : Q C 4 V R insi la valu d la capacité d un sphè d ayon R = m vaut C =.nf. Dans l cas d la T, la capacité vaut : CT 4 RT.7mF 9 9 Excic II.. Un sphè conductic cus, d ayon R st sépaé n dux patis inégals pa un plan hoizontal : on obtint dux calotts sphéiqus inégals dont la bas commun st un ccl d ayon Rsin. La sphè st poté au potntil V puis isolé. ) En supposant la calott inféiu fix, détmin la foc qu ll xc su la calott supéiu n fonction d V t. ) Calcul ctt foc dans l cas d dux hémisphès potés à un potntil V = 3 kv. O z R Solution II.. ) La chag sufaciqu appaaissant su la sphè conductic st donné Q CV pa : S S vc C 4 R t Un chag élémntai dq S 4 R, on n déduit : ds st soumis au champ V R E n, il ésult un foc élémntai df dqe ds n On put touv c ésultat à pati d l xpssion d la pssion élctostatiqu obtnu n (4) : P df P. dsn soit df dsn Pou ds aisons d syméti, la foc total xcé pa la calott inféiu su la calott supéiu st poté pa l ax oz t ll st ascndant, son modul st donné pa : F Fz dfz df cos cos ds où S st la sufac d la calott supéiu t un angl compis nt t. Donc ds R sind, d où : F R cos sin d R sin ) Dans l cas d dux hémisphès = / t soit S F V F sin V.N. F 3,5 N.. 5

9 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus. PHENOMENES D INFLUENCE... Elémnts cospondants. Figu II.8 Considéons dux conductus t n équilib t potant ds chags Q t Q t dux élémnts d sufacs ds su t ds su découpés pa l tub d foc pésnté su la figu II.8. ds t ds, applés élémnts cospondants potnt ds dnsités d chags t. ppliquons l théoèm d Gauss à un sufac fmé S s appuyant su ls sufacs ds t ds t limité pa ls ligns d champ t dux sufacs à l intéiu d t. L flux du champ, sotant d S, st nul. En fft l champ st nul à l intéiu ds conductus t il st tangnt au tub d focs. Donc : ds ds D où : Théoèm ds élémnts cospondants : Dux élémnts cospondants potnt ds chags égals t opposés... Influnc patill. Considéons un conductu élctiqumnt nut (figu II.9.a). ppochons d c dni, un conductu chagé positivmnt, tl qu pésnté su la figu II.9.b. L conductu cé dans l'spac t n paticuli dans l conductu un champ élctiqu. E E i E (a) Figus II. 9 (b) Ls élctons libs du conductu vont, sous l action d c champ, s déplac dans l sns invs d E. Cs élctons s accumulnt pogssivmnt su la fac n gad d t fomnt à l équilib ds chags négativs dont la ésultant st -Q. l'invs, ds chags positivs, dont la ésultant st Q, vont appaaît su l aut fac pa défaut d'élctons comm l mont la figu II.9.b. Cs chags, qui ésultnt d un élctisation pa influnc, appotnt lu contibution au champ élctiqu à l'intéiu t à l'xtéiu du conductu. Ells cént un champ induit Ei qui vint s'oppos au champ inductu E t édui ainsi l champ élctiqu total. l'intéiu du conductu ls élctons Ls tms inductu t induit sont utilisés sutout n élctomagnétism (voi chapit V). 5

10 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus libs n cssnt lu mouvmnt qu losqu l champ élctiqu total s annul. L systèm fomé pa ls dux conductus attint alos un état d équilib. Rmaqus : ) Los d l évolution d c phénomèn, ls chags Q t -Q, induits ou céés pa influnc, intvinnnt n ajoutant lu action à cll ds chags inductics. Il s poduit un influnc tou d su. On dit qu il y a influnc mutull. ) Dans ctt xpéinc, l conductu a été élctisé pa influnc. L systèm étant isolé, l pincip d la consvation d la chag impliqu qu la somm ds chags induits st null. insi, los d un élctisation pa influnc, il n y aucun céation, mais simplmnt un déplacmnt d chags. Ligns d champ : La topogaphi d l spac élctiqu, pésnté su la figu II. 9. b, mont qu suls ctains ligns d champ, qui émannt du cops inductu, aboutissnt au conductu. Il n ésult, n vtu du théoèm ds élémnts cospondants, qu la chag Q céé pa influnc, st inféiu à la chag inductic du conductu. On li, à pésnt l conductu à la t, au moyn d un fil conductu (figu II.). La t t l conductu fomnt ainsi un sul conductu ; ls chags positivs sont alos poussés vs la t. L potntil d c conductu st nul t plus aucun lign d champ n l quitt. Figu II. Dans cs xmpls, l influnc st dit patill, ca touts ls ligns d champ issus du conductu n aboutissnt pas su. Nous pouvons cé ds conditions d influnc total n plaçant tout simplmnt l conductu à l intéiu d un conductu cux (.. 3).3. Influnc total. On pal d influnc total losqu touts ls ligns d champ patant d aboutissnt su. Cci st obtnu losqu ntou complètmnt (figu II.). L application du théoèm ds élémnts cospondants, mont qu la chag qui appaaît su la sufac intn d st égal t opposé à la chag du conductu. Q Q int Figu II. Qxt. 5

11 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excic II. 3. ) Rtouv l ésultat du.3 n utilisant l théoèm d Gauss. ) Calcul la chag xtéiu Q xt dans ls cas suivants : a - L conductu st isolé t initialmnt nut. b - L conductu pot un chag initial q. Solution II. 3. ) On appliqu l théoèm d Gauss n considéant un sufac à l intéiu du conductu. Sachant qu l champ st nul à l intéiu du conductu (équilib élctostatiqu) on a : Q - Q Q xt Q xt Q Q Q int int int. E ds Q int Q ) a) Cas où l conductu st initialmnt nut: Q Q Q Q Q xt int xt int b) Cas où l conductu pot initialmnt un chag q : Q Q q Q q Q Q q Q xt in t xt int xt 3. CONDENSTEURS. 3.. Ls condnsatus. Un condnsatu st un systèm constitué d dux conductus élctiqus n influnc total. On éalis un tl systèm n utilisant dux conductus dont l un st cux t ntou complètmnt l aut (Figu II.). L spac compis nt ls dux conductus, applés amatus, st vid ou mpli d un miliu isolant (diélctiqu). Losqu un diffénc d potntil st appliqué nt ls amatus d un condnsatu, n l liant pa xmpl à un souc d élcticité, il s chag. Ls dux plaqus acquiènt alos ds chags égals t opposés. Un condnsatu st un appail qui st à mmagasin d l éngi élctiqu. Il st lagmnt utilisé n élctoniqu t n élctotchniqu. Q Figu II Q Condnsatu plan : Un condnsatu plan st fomé d dux conductus plans, paallèls, distants d. L spac st tès ptit pa appot aux dimnsions ds amatus afin qu clls-ci soint n influnc total. (figu II..). Rmaqus : ) Il st impotant d not qu un condnsatu st caactéisé pa la valu absolu d la chag Q poté pa chaqu amatu t non pas la chag ésultant qui st null. D mêm, il st caactéisé pa la diffénc d potntil V nt ss amatus t non pas l potntil d l un d ss amatus pa appot à un éfénc donné. ) L nom d condnsatu, donné à un systèm d dux conductus n influnc total, povint du fait qu cs systèms mttnt n évidnc l phénomèn d «condnsation d l élcticité», à savoi l accumulation d chags élctiqus su la sufac ds amatus.. 53

12 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus La boutill d Lyd : La boutill d Lyd st l pmi condnsatu d l histoi, il a été mis au point, n 745, pa l savant hollandais Musschnbock à Lyd. C st un condnsatu fomé d dux conductus, ds fuills d étain pou l pmi t un fuill métalliqu qui nvlopp la boutill dont l v constitu l diélctiqu. Losqu on communiqu un chag q à la boutill, un diffénc d potntil appaaît nt l élctod lié au conductu intn t l amatu xtn. La boutill s déchag losqu ll st lié à un cicuit xtéiu. C était l sul moyn d mmagasin d l éngi élctiqu jusqu à c qu Volta invnt n 8 la pil élctiqu. Figu II Capacité d un condnsatu. L concpt d capacité élctiqu, intoduit dans l cas d un sul conductu, put êt étndu à un condnsatu. On définit la capacité d un condnsatu pa : Q Q C (7) V V V Q st la chag poté pa chacun ds amatus ( Q pou l un t Q pou l aut) t V = V V st la diffénc d potntil nt cs amatus. La capacité st un constant pop à chaqu condnsatu. Sa valu dépnd d la fom, ds dimnsions t d la position lativ ds dux conductus qui l constitunt. Ell dépnd égalmnt d la natu du miliu qui ls sépa. La méthod d calcul d la capacité d un condnsatu s appui su la lation : Q CV. On commnc d abod pa calcul l champ élctiqu n un point qulconqu à l intéiu du condnsatu. La ciculation du champ nt ls dux amatus, pmt d ti l xpssion du potntil. L appot Q C V nous donn la valu d la capacité du condnsatu considéé. Capacité d un condnsatu plan. Soit un condnsatu plan (figu II.4), constitué d dux conductus plans, potant spctivmnt ds chags Q t -Q, d sufacs S, sépaés pa un distanc. Du fait d la syméti d la distibution, l champ élctiqu nt ls amatus d c condnsatu st unifom, il st donné pa : E La épatition d chag étant unifom, on a :. 54

13 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Q st la chag du condnsatu. En choisissant l ax plans (figu II.4), nous avons : dv E. dl E dx Q S ox slon la nomal aux Soit, n faisant cicul l champ nt ls dux amatus : Q V S O Q CV, d où la capacité d un condnsatu plan : E O C (8) S R R x Figu II.4 Figu II.5 Capacité d un condnsatu sphéiqu. Un condnsatu sphéiqu (figu II.5), st constitué d dux sphès conductics t concntiqus. La pmiè d ayon R pot un chag positiv Q t son potntil st V ; la scond d ayon R ( R < R ), pot un chag - Q t son potntil st V, En appliquant l théoèm d Gauss, on obtint l champ élctiqu nt ls amatus d un tl condnsatu: Q E u 4 Sachant qu E dv on a: dv E. d d En faisant cicul c champ nt ls dux amatus, il vint : V V R dv Q 4 V R d Q soit V V V 4 R R D où, l appot Q V : RR C 4 R R (9) N.. Un matéiau diélctiqu, placé nt ls amatus, pmt d augmnt la capacité d un condnsatu, sa pmittivité étant nttmnt supéiu à cll du vid o. La pmittivité lativ = o vaut nvion: (papi) ;,5 (polyéthylèn) ;,4 (polystyèn) ; 5 (v) ; 6 (mica) ; 8 (téflon). vai n fonction d la tmpéatu, d l humidité t d la féqunc d la tnsion appliqué.. 55

14 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excic II.4: Détmin l xpssion d la capacité d un condnsatu cylindiqu (figu II.6), constitué d dux cylinds conductus coaxiaux d ayons R t R, d hautus l, potant su lus sufacs n gad ls chags Q t Q..N. l = cm R = mm R = 3 mm Z R R R l l R Z Figus II.6 Répons II.4: soit C = 5 pf C l o R Log R () 3.3. ssociation d condnsatus. Pou ds aisons patiqus, on utilis ds associations d plusius condnsatus afin d mmagasin l plus d éngi possibl. On distingu dux typs d goupmnts d condnsatus : l goupmnt n séi t l goupmnt n paallèl. La capacité équivalnt ds systèms qui n ésultnt dépnd du goupmnt choisi. ssociation n séi. Considéons l goupmnt d N condnsatus n séi pésnté su la figu 3 II.7.a. Losqu un diffénc d potntil V V VN st appliqué nt ls points xtêms d l nsmbl ds condnsatus, l amatu d gauch du pmi condnsatu va acquéi un chag Q. En supposant qu tous ls condnsatus sont initialmnt nuts, il s établit la chag Q (pa influnc) su ls amatus ds condnsatus adjacnts. La diffénc d potntil total aux bons d l nsmbl ds condnsatus s écit alos simplmnt : Soit V V V V V V V3... VN VN N Q Q Q Q V... Q C C C C C 3 N i i 3 Qulqu soit la géométi éll du condnsatu, on l pésnt schématiqumnt pa dux taits paallèls.. 56

15 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Ctt diffénc d potntil cospond à cll d un condnsatu uniqu d capacité équivalnt N C C () q i Intéêt : C montag st utilisé losqu la diffénc d potntil appliqué st gand t n put pas êt suppoté pa un sul condnsatu. ssociation n paallèl. Soint N condnsatus, placés n paallèl, avc la mêm diffénc d potntil V (Figu II.7.b). On désign pa Q i t C i la chag élctiqu t la capacité du i èm condnsatu, on a Qi Ci V La chag élctiqu total poté pa l nsmbl ds condnsatus st alos donné pa : N N N Q Q C V V C i i i i i i La capacité équivalnt st la somm ds capacités individulls. i V V V N C q N C () i i C C C N C C C N V (a) Figus II.7 (b) Intéêt : C montag pmt d obtni un capacité équivalnt élvé. Excic II.5: Soit l goupmnt d condnsatus suivant : Détminz la capacité équivalnt du cicuit. Solution II.5: C F, C 6F C 8 C 6 C3 4 6 F, C4 4 F C 6 4 D où C C C4 F q 4 8μF μf 4μF μf 3μF 4μF μf. 57

16 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus 4. ENERGIE & FORCE. 4.. Engi élctostatiqu d un conductu. Comm nous l avons vu au chapit I, l éngi élctostatiqu d un conductu isolé st calculé pa l tavail nécssai qu il faut founi pou l chag. Ell pésnt la somm ds vaiations d éngi potntill subis pa touts ls chags du conductu. Soit de p la vaiation d éngi potntill subi pa un chag élémntai dq, amné d l infini (choisi comm éfénc du potntil) jusqu au conductu : de p v dq où q t v désignnt ls valus d la chag t du potntil dans un état intmédiai. u cous du tansft d chags su l conductu, sa chag total ainsi qu la valu absolu d son potntil augmntnt. L éngi intn du conductu losqu il attint sa chag complèt st alos donné pa : Soit finalmnt: E p E p Q v Q q dq dq C Q CV (3) C Ou bin: E p QV (4) 4.. Engi élctostatiqu d un nsmbl d conductus n équilib. Considéons n conductus n équilib, chacun d ux pot un chag Q i t s touv poté à un potntil V i. En généalisant l équation (4) à un nsmbl d n conductus, l éngi mmagasiné dans c systèm st E p n Qi Vi (5) Il st possibl d calcul la ésultant ds focs F qui s xc su l un d ux Calcul d la foc à pati d l éngi. Losqu on chch à calcul ls focs élctostatiqus à pati d l éngi mmagasiné dans un systèm, dux cas paticulis doivnt êt nvisagés slon qu l évolution s fait à chag constant ou à potntil constant. - L systèm d conductus n st lié à aucun souc d tnsion, la chag st alos constant, - L systèm st lié à un souc d tnsion, l potntil st constant. i. 58

17 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus a) Ls conductus sont isolés. Ls conductus n sont liés à aucun souc d élcticité, ls chags Q i stnt donc constants t ls potntils vaint au cous d un déplacmnt ds conductus. Los d un tanslation élémntai dli du i èm conductu, l tavail d la foc F st dw F dx F dy F dz (6) F. dl i = x i y i z i C tavail st dû à la vaiation d l éngi de p mmagasiné. Comm l systèm st isolé, l pincip d la consvation d l éngi pmt d éci : d où dw de p = soit Fx dxi Fy dyi Fz dzi = - de p F x E x p Q F y E p y Q F z E p z Q (7) On déiv l éngi pa appot aux coodonnés x, y, z n maintnant la chag constant. Dans l cas d un otation autou d un ax fix, l momnt d la foc pa appot à ct ax st : M E p Q (8) b) Ls conductus sont liés à ds généatus. Ls conductus sont, à pésnt, liés à ds soucs d élcticité, ls potntils V i stnt constants t ls chags vaint. Là nco, au cous d un déplacmnt élémntai dli du i èm conductu, l tavail d la foc F st dw F dx F dy F dz (9) F. dl i = x i y i z i Mais à pésnt, ls potntils stnt constants. Soit dq i la chag élémntai founi pa la souc au i èm conductu, son éngi vai d : Ls n conductus çoivnt un éngi total : de i Vi dqi () de xt n V dq () i i i. 59

18 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Ctt éngi, mpunté aux généatus, founit : - du tavail dw qui pmt à la foc F d déplac ls conductus - t d l éngi de p au systèm d conductus. de xt = dw de p () O l éngi mmagasiné dans c systèm d conductus st: E p n Qi Vi (3) d où d E p i n Vi dqi (4) i vc (), () t (4) on a : dw = de p soit dw = Fx dx Fy dy Fz dz = de p d où F x E p x V F y E p y V F z E p z V (5) Dans l cas d un otation autou d un ax fix, l momnt d la foc pa appot à ct ax st : E p M (6) V Rmaqu : Il st impotant d maqu l changmnt d sign dans l xpssion d la foc dans ls dux cas nvisagés. 4.4 Engi mmagasiné dans un condnsatu Considéons un condnsatu dont : - l amatu intn st poté au potntil V t dont la chag st Q = Q - t l amatu xtn st poté au potntil V t dont la chag d la sufac intéiu st Q =-Q. La sufac xtéiu pot un chag Qxt V Figu II.7 V = L éngi du condnsatu st d apès (5) Q V V Q V (7) xt E p Si l amatu xtn st lié à la t, on a : V = t Q xt = d où : E p QV (8) Soit : E p CV t E p Q C (9). 6

19 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Od d gandu t utilisation ds condnsatus. outill d Lyd : C = 6 - F, V = 6 kv E p =,8 J (uhat [4] p 54). vc ls diélctiqus suivants : papi ou mica : C -6 F, céamiqu : -6 F < C < -4 F. Ls condnsatus élctochimiqus: C -3 F. Ls condnsatus sont lagmnt utilisés n élctoniqu dans ls cicuits, t n élctotchniqu pou l lèvmnt du factu d puissanc (voi ch.vi) En out ds sup condnsatus pmttnt d stock d l éngi élctiqu puis d la stitu comm un batti d accumulatus : La dnsité d éngi, n watt-hu/kg, mmagasiné dans un batti vai nt 5 t 5 t, dans un supa condnsatu, ll s situ nt 4 t Localisation d l éngi : Dnsité d éngi élctostatiqu. Considéons l cas d un condnsatu plan, dont ls amatus ont un sufac S, sont écatés d t potnt su lus sufacs ls chags Q t Q. L éngi élctostatiqu d un tl condnsatu st donné pa : E p CV En mplaçant la capacité pa son xpssion t n faisant appaaît l champ élctostatiqu, nous obtnons : V S E p V S E S Où S st l volum V du miliu limité pa ls amatus t E V / st l champ élctiqu nt ls amatus (qui st unifom). On obtint ainsi la dnsité volumiqu d éngi élctostatiqu associé au champ élctiqu: d p w E = dv E (3) Ctt dniè fomul, établi ici dans un cas paticuli, st généal 4 : c st la dnsité d éngi élctiqu localisé dans un miliu d pmittivité. Dans l vid, ll st donné pa 4.6. Foc s xçant su l amatu d un condnsatu. On considè l cas d un déplacmnt unidimnsionnl. a) L condnsatu st isolé : la chag st constant. Dans l cas d un déplacmnt l long d un ax ox la foc qui s xc su un amatu st d apès (7) F E p x Q, t avc (9) w E Q E p on a : C F Q C C x (3) 4 C st l éngi élctiqu véhiculé pa un champ élctiqu E los d la popagation ds onds élctomagnétiqus. 6

20 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus b) Un ds amatus st poté à V = V l aut st poté à V = vc (5) F E p x V t (8) E p CV il vint : F V C x (3) Cas d un otation autou d un ax. M V C (33) Excic II. 6. Elctomèt absolu : l élctomèt absolu, pésnté su la figu ci-cont, s compos d un balanc dont l un ds plataux st solidai d l amatu mobil d un condnsatu plan. La scond amatu st fix. Un d.d.p. V st appliqué au condnsatu, il n ésult un foc élctostatiqu F. Cll-ci st équilibé pa un foc m g obtnu n plaçant ds masss maqués su l aut platau d la balanc. Expim la d.d.p. V à msu n fonction ds caactéistiqus du condnsatu d m t g..n. Rayon ds amatus R = 6 cm, écatmnt x = cm, m = 5 g t g = m/s. mg Solution II. 6. ) è méthod : La foc élctiqu put êt calculé dictmnt à pati d la pssion élctostatiqu (.5): P o La foc élctiqu qui s xc su l amatu mobil st vtical t d modul : q F P. S o S avc q C V o soit q S V on a : x o F S V x x èm méthod : La foc élctiqu put êt calculé à pati d l éngi : Supposons qu l amatu mobil ffctu un déplacmnt élémntai dx. u cous d c déplacmnt vitul sul x l écatmnt x vai ls potntils V = V t V = F stnt constants. La foc qui s xc su l amatu mobil st diigé l long d l ax ox t a pou modul o (voi Equation 3) C o F V soit F S V x x ) Dans l cas d l élctomèt absolu, ctt foc st équilibé pa la foc P mg. l équilib : V x m g S o x V m g S =. volts o. 6

21 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Rmaqu : Dans un condnsatu plan pafait, touts ls ligns d champs sont ppndiculais aux amatus ciculais. En éalité, il ya un distosion d cs ligns aux xtémités. Pou y médi on utilis un annau d gad, c st un élctod qui a la fom indiqué su la figu cicont t qui st poté au mêm potntil qu l élctod potégé. Excic II. 7. Elctomèt à déviation Soit un condnsatu plan dont ls amatus ont la fom d sction d ccl. L un ds amatus st fix t poté à un potntil V =, L aut st mobil autou d un ax D ppndiculai aux plans ds amatus. Ctt amatu st poté au potntil V à msu, n out ll st solidai d un aiguill dont ls positions sont péés su un cadan gadué. ) Calcul l coupl motu. ) C coupl st équilibé pa un coupl d appl céé pa un ssot à spial d constant k ( M = k ) Solution II. 7. L coupl motu a pou xpssion (6) C S. M V avc C o (condnsatu plan) Pa constuction, ctt capacité st popotionnll à la sufac S du condnsatu fomé pa ls patis ds plaqus qui s touvnt n fac l un d l aut, donc C st popotionnll à. C où st un constant M V k l équilib, ls dux coupls sont égaux t opposés : K V K st un constant qu l on détmin pa étalonnag d l appail d msu. Rmaqu : Un appail absolu pmt d msu un gandu inconnu (ici un d.d.p V) à pati d gandus d spècs diffénts (un épaissu x, un sufac S, un mass m t l accéléation d la psantu g). Nous vons, dans c cous, d auts appails absolus : élctodynamomèts, balanc d cotton. Un appail à déviation, compot un élémnt motu (ici motu élctostatiqu) qui, dans c cas, tansfom l éngi élctiqu n éngi mécaniqu t fait cospond, à la tnsion à msu, un déviation péé su un cadan gadué. Ls appails à déviation nécssitnt un étalonnag péalabl.. 63

22 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excics : Chapit II Excic II. 8. Champ au voisinag t à la sufac d un conductu. L champ élctiqu, n un point M, infinimnt poch d la sufac d un conductu n équilib, a pou xpssion n vtu du théoèm d Coulomb : E n où st la dnsité d chags supficills t n un vctu unitai poté pa la nomal à la sufac. On pos, n vtu du pincip d supposition : E E E E st l champ céé pa un élémnt d sufac ds infinimnt voisin d M t E l champ dû aux auts chags du conductu. En considéant un élémnt d sufac ds ciculai t n patant du champ céé pa un disqu chagé avc un dnsité supficill (Ch I, 4.3), calcul ls champs E t E à l intéiu, à l xtéiu t à la sufac du conductu. Rtouv l théoèm d Coulomb o Excic II. 9 Phénomèn d influnc. La figu ci-cont pésnt un pndul constitué d un ptit sphè conductic (s), d cnt O d ayon t d mass m suspndu à un potnc pa un fil conductu d mass t d capacité négligabls. Ctt sphè (s) st élctisé pa influnc à l aid d un scond sphè conductic (S) d ayon R d cnt O t poté à un potntil V. ls cnts O t O sont su un mêm doit hoizontal t situés à un distanc D = OO. ) Mont qu l on put mplac la sphè (S), potant un chag Q, pa un chag ponctull Q placé n O cnt d (S). (S) D (s) ) Déci ls phénomèns dans ls dux cas suivants : a) l pndul st isolé b) l pndul st lié à la T. 3 ) Dans l cas où l pndul st poté au potntil zéo (il st lié à la T), calcul ls chags Q t q potés spctivmnt pa ls sphès (S) t (s). En dédui l angl qu fom, à l équilib, l pndul avc la vtical..n. V = 3 volts, R = 3 cm, = mm D = 6 cm, m = 5 mg g = 9.8 m/s N.. On mont n mathématiqus, qu l liu ds points, dont l appot k ds distancs à dux points P t Q st constant, st un sphè cnté su la doit PQ t qui coup ctt doit n points t tls qu cs quat points fomnt un division hamoniqu d appot k. Q Q k = P P Excic II.. Un sphè conductic S, d cnt O t d ayon R = cm, pot un chag élctiqu q = nanocoulombs. ) Calcul son potntil V t son éngi intn W ) On li, pa un fil conductu, S à un scond sphè conductic S, initialmnt nut, d cnt O t d ayon R = cm. Ls cnts ds dux sphès sont sépaés pa un distanc d = O O = 5 cm. On néglig ls caactéistiqus du fil d jonction t on n tint pas compt du phénomèn d influnc. Calcul, à l équilib, ls chags q t q potés spctivmnt pa S t S. 3 ) En dédui ls dnsités d chags cospondants t t ls champs E t E. 64

23 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus au voisinag d S t S. 4 ) Calcul l éngi du systèm fomé pa ls dux sphès avant t apès la connxion. Où st passé l éngi pdu? 5 ) Rpnd la duxièm qustion dans l cas paticuli où la distanc d st considéé comm infini. Excic II... Msu d un capacité pa un méthod d zéo. L pont d capacités, pésnté su la figu ci-cont, s compos d quat condnsatus montés comm l mont ctt figu. Cx st la capacité à msu, C E la capacité d un condnsatu étalon, C t C dux capacités vaiabls. Cs condnsatus sont chagés pa un souc d élcticité qui établit nt ls points t un diffénc d potntil V V. On fait vai C t C jusqu à c qu l détctu d zéo (un élctomèt) indiqu un diffénc d potntil null. Expim la capacité inconnu n fonction ds tois auts capacités..n. C = 4 F C = F C E = 3 F. M C x C E D C 3 C 4 N Excic II.. Engi localisé dans un condnsatu cylindiqu. Un condnsatu cylindiqu, constitué d dux cylinds conductus coaxiaux d ayons R t R ( R R ), sépaés pa du vid. ) Soit V V la diffénc d potntil nt l amatu intn t l amatu xtn du condnsatu, t q l la chag d c condnsatu pa unité d longuu. Rappl l xpssion du potntil n un point M situé nt ls dux amatus t cll d la capacité C pa unité d longuu d c condnsatu. l ) En utilisant l éngi mmagasiné nt ls amatus, touv l xpssion d C. l R R Excic II. 3. Elctomèt à condnsatu cylindiqu L élctomèt absolu, pésnté su la figu ci-cont, s compos d un balanc dont l un ds plataux st solidai d l amatu intn mobil d un condnsatu cylindiqu. L amatu xtn st fix. Un diffénc d potntil V st appliqué au condnsatu, il n ésult un foc élctostatiqu F. Cll-ci st équilibé pa un foc m g obtnu n plaçant ds masss maqués su l aut platau d la balanc. V mg Expim la diffénc d potntil V, qu l on doit msu, n fonction ds caactéistiqus du condnsatu d m t d g..n. Rayon ds amatus R = 6 cm, R = 6, cm, m = 5 g t g = 9,8 m/s.. 65

24 Licnc d Physiqu S: Elcticité Ch. II : Conductus Excic II. 4. (Epuv Final /, ST. Excic noté points/) Un conductu sphéiqu cux, initialmnt nut, d ayon intéiu R = R t ayon xtéiu R3 = 4R ntou un duxièm conductu sphéiqu, d ayon R = R, poté à un potntil Vo pa l intmédiai d un généatu. (Voi figu ci-dssous). L conductu pot un chag Qo. R 3 R R o Vo ) Qulls sont ls chags potés pa ls sufacs intéiu t xtéiu du conductu. Justifi. ) En appliquant l théoèm d Gauss, détmin l xpssion du champ élctiqu E dans ls quat égions suivants : < R, R < < R, R < < 4 R, > 4 R. 3 ) En considéant qu V st l potntil du conductu t sachant qu l potntil élctiqu st nul à l infini, détmin l xpssion du potntil élctiqu dans ls quat égions. 4 ) En dédui la chag Qo n fonction d R, Vo t o.. 66

25 Chapit III LES COURNTS CONTINUS Nous avons taité, au pmi chapit, ls phénomèns élctiqus dans ds conditions où aucun gandu physiqu n évolu au cous du tmps : c st l cas d l élctostatiqu où touts ls chags élctiqus sont supposés immobils dans l spac. Nous allons dans c chapit, nous intéss au cas où cs chags s déplacnt n donnant naissanc à un couant élctiqu continu. L étud ds ésaux élctiqus pacouus pa d tls couants sa taité dans c chapit.. COURNTS ELECTRIQUES... Oigin du couant élctiqu. Soint dux conductus t, initialmnt n équilib élctostatiqu, potant ds chags Q t Q t dont ls potntils spctifs sont V t V tls qu V > V pa xmpl. Dans cs conditions, un champ élctiqu E xist nt t. (Fig. III..a) Q V > V Q V V = V = V M,, Q Fil E. M Q, V V, V (a) Conductus sépaés (b) Conductus liés Figus III. Losqu on li ls conductus t pa un fil conductu, l équilib s ompt t un mouvmnt d chags élctiqus appaait, sous l action d un foc élctiqu F qe. C mouvmnt s pousuit jusqu à l établissmnt d un nouvl état d équilib dans l nouvau conductu fomé pa, t l fil(fig. III..b). Ctt ciculation d chags cospond au passag d un couant élctiqu dans l fil d connxion. C couant st tmpoai. L. ït Gougam, M. ndaoud, N. Doulach, F. Mékidèch

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