- Cours de mécanique - STATIQUE

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1 - Cous de mécanque - STTIQUE

2 SOMMIRE. GENERLITES 5.. RPPELS DE NOTIONS DE PHYSIQUE REPERE, CONVENTIONS REPÈRE DE L STTIQUE 6.3. SOLIDE RÉEL SOLIDE DÉORMLE SELON UNE LOI CONNUE : (HYPOTHÈSE DE L R.D.M.) OJET DE L STTIQUE DÉINITION D UN SOLIDE RIGIDE OU SOLIDE INDÉORMLE DÉINITION D UN SYSTÈME MTÉRIEL OJET DE L STTIQUE 8. CTIONS MECNIQUES 9.. DÉINITION D UNE CTION MÉCNIQUE CLSSIICTION DES CTIONS MÉCNIQUES CLSSIICTION SELON L NTURE PHYSIQUE DES CTIONS : 9... CLSSIICTION SELON LEUR POSITION PR RPPORT U SYSTÈME MTÉRIEL ISOLÉ CTIONS DISTNCE cton de la pesanteu : utes actons à dstance..4. CTIONS DE CONTCT cton ponctuelle cton lnéque cton sufacque..5. ORCE..5.. Mesue et unté des foces :..6. MOMENT D'UNE ORCE..6.. Défnton..6.. Conventon de epésentaton d'un vecteu moment su un système d'axes plan : Méthode patque de calcul des coodonnées (ancennement composantes) du VECTEUR moment Calcule le bas de leve 3.3. MODÉLISTION DE L'CTION MÉCNIQUE D'UNE ORCE PPLIQUÉE SUR UN SOLIDE : NOTION DE TORSEUR MODÉLISTION DE L'CTION MÉCNIQUE D'UN SYSTÈME DE ORCES SUR UN SOLIDE TORSEURS PRTICULIERS COMMENTIRES SUR LE COUPLE 7.6. PPLICTION DE L RELTION ONDMENTLE CHRGE UNIORMÉMENT RÉPRTIE CHRGE RÉPRTIE LINÉIREMENT ÉQUIVLENCE DES SYSTÈMES D CTIONS CENTRE DE GRVITÉ DÉINITION COORDONNÉES DU CENTRE DE GRVITÉ CENTRE DE GRVITE DE SURCES ET VOLUMES USUELS LIISONS ENTRE SOLIDES CTIONS DE LIISON CINÉMTIQUE DES LIISONS DEGRÉ DE LIERTÉ: 6

3 5. LIISONS MECNIQUES CRCTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES DES CONTCTS CONTCT PONCTUEL CONTCT LINÉIQUE CONTCT SURCIQUE NOTION DE LIISON «PRITE» LIISONS ÉLÉMENTIRES EN ÂTIMENT Remaques pélmnaes : Modèle cnématque : Schéma mécanque : Lason de type «PPUI SIMPLE» : Lason de type «RTICULTION» : Lason de type «ENCSTREMENT» : TLEU RÉCPITULTI DES LIISONS EN ÂTIMENT PRINCIPE DES CTIONS MUTUELLES UN UTRE CLSSEMENT- ORCES INTÉRIEURES - ORCES EXTÉRIEURES : NOTION D ISOLEMENT CLSSIICTION SELON LEUR POSITION PR RPPORT U SYSTÈME MTÉRIEL ISOLÉ EXERCICE D PPLICTION PRINCIPE ONDMENTL DE L STTIQUE RPPEL DU PRINCIPE DE L INERTIE ÉNONCÉ DU PRINCIPE DE L STTIQUE CS DES PROLÈMES PLNS THÉORÈME DES CTIONS MUTUELLES ETUDE DE L'ÉQUILIRE EQUILIRE D UN SYSTEME MTERIEL RIGIDE DÉINITION D UN SYSTÈME MTÉRIEL RIGIDE RPPEL DU PRINCIPE ONDMENTL DE L STTIQUE THÉORÈME CONDITION NÉCESSIRE D ÉQUILIRE D UN SYSTÈME MTÉRIEL S PRINCIPE DE SUPERPOSITION DOMINE DE VLIDITÉ ORMULTION, ÉNONCÉ PROLÈME DE RÉSISTNCE DES MTÉRIUX : COMMENT DÉTERMINER L LÈCHE MXIMUM DNS UNE POUTRE SOUMISE À UN CS DE CHRGE COMPLEXE, MIS DÉCOMPOSLE EN CS SIMPLES REPRESENTTION DES CHRGES REPRTIES 54. NLYSE DE L STILITE D'UNE STRUCTURE. : DEINITION DU DEGRE D'HYPERSTTICITE D'UNE STRUCTURE PLNE COMPOSEE DE POUTRES OJET DÉINITION MODÉLISTION DE L STRUCTURE Modélsaton des lasons Modélsaton de la stuctue REMRQUE SUR L REPRÉSENTTION DES NOEUDS OÙ TOUTES LES RRES Y SONT RTICULÉES STRUCTURES CONSTITUEES DE RRES RTICULEES UX NOEUDS MECNISME EXEMPLES DE STRUCTURES (DEGRÉ D HYPERSTTICITÉ À DÉTERMINER)...65

4 . STRUCTURES ISOSTTIQUES DÉINITION D UNE STRUCTURE ISOSTTIQUE COROLLIRE THÉORÈME INVENTIRE DES STRUCTURES LES PLUS COURNTES COMPRISON DES STRUCTURES ISOSTTIQUES ET HYPERSTTIQUES...7. METHODES GRPHIQUES 73.. EXEMPLE D PPLICTION THÉORÈMES ONDMENTUX THÉORÈME POUR UN SOLIDE OU UN SYSTÈME MTÉRIEL RIGIDE SOUMIS À ORCES THÉORÈME POUR UN SOLIDE OU UN SYSTÈME MTÉRIEL RIGIDE SOUMIS À 3 ORCES PPLICTION U PROLÈME PROPOSÉ LORSQUE LE SYSTÈME MTÉRIEL ÉTUDIÉ, ICI LE SOLIDE DE NOTRE EXEMPLE, EST SOUMIS À 4 ORCES DONT DE CONNUES, IL EST POSSILE D UTILISER LE THÉORÈME PRÉCÉDENT UTRE CS PRTICULIER : LE SYSTÈME ÉTUDIÉ EST SOUMIS À 4 ORCES DONT UNE PRITEMENT CONNUE, POUR LES 3 UTRES SEUL LEUR SUPPORT EST CONNU NOTIONS SUR LE ROTTEMENT DÉINITIONS MISE EN ÉVIDENCE EXPÉRIMENTLEMENT. ETUDIONS L ÉQUILIRE D UN SOLIDE EN ORME DE PRLLÉLÉPIPÈDE RECTNGLE NOTÉ SOLIDE ET POSÉ SUR UN PLN INCLINLE CS DU PLN HORIZONTL ÉTT CS DU PLN INCLINÉ D UN NGLE α SUR L HORIZONTLE cas α< ϕ ( P m g R ) adhé, on sole, nventae des actons =, / cas α = ϕ adhé, c est l équlbe lmte cas α> ϕ adhé, le solde est en mouvement UTRE EXPÉRIENCE : SOIT LE MÊME SOLIDE POSÉ SUR UN PLN HORIZONTL ET SOUMIS À UNE ORCE D INTENSITÉ VRILE. ON CONSTTE QU IL EXISTE UNE VLEUR LIMITE l, TELLE QUE SI < l LORS LE SOLIDE EST EN ÉQUILIRE, ET SI > l LE SOLIDE EST EN MOUVEMENT LOI DU ROTTEMENT DITE DE COULOM CONCLUSION ICHE SYNTHESE DEGRÉ D HYPERSTTICITÉ : UTRE MÉTHODE DE DÉTERMINTION 9

5 . GENERLITES PHYSIQUE.. RPPELS DE NOTIONS DE PHYSIQUE On utlsea les notons suvantes dédutes de la physque Réféentel = epèe généalement chos othonomal (ancennement désgné othonomé)+ un epèe de temps Repèe hélocentque : epèe dont l ogne est stuée au cente du solel, et dont les axes pontent ves 3 étoles que l on consdèe comme fxe. Repèe géocentque : epèe dont l ogne est stuée au cente de la tee, et dont les axes estent constamment paallèles à ceux du epèe hélocentque. Repèe de Copenc epèe attaché au cente d nete du système solae(donc tès pès du cente du solel) et dont les axes pontent ves 3 étoles fxes. Réféentel galléen. Les Réféentels galléens sont des éféentels patcules ou le pncpe d nete est applcable. Les éféentels hélocentque, géocentque et de Copenc sont de tès bonnes appoxmatons du éféentel galléen. Pncpe d nete : Tout cops este mmoble ou en mouvement ectlgne et unfome s aucune foce ne s exece su lu. Pncpe de elatvté : les los de la physque estent les mêmes dans n mpote quel éféentel galléen. Cente de masse, le cente de masse se désgne auss pa le cente d nete. On appelle cente de masse d un solde ndéfomable S, le baycente G de tous les ponts matéels M affectés de coeffcents espectfs n m. ( m epésente la masse du pont matéel M.), m= m n Défnton du baycente G : mgm = = = n n mgm = avec GM = G + M = M G étant un pont quelconque m. M = m. G = n m M. G = = m x G n n m. x m. y m. z = = = = yg = zg = m m m Pa appot à un epèe, les coodonnées de G s obtennent pa les elatons : n S le solde S peut ête décomposé en soldes élémentaes dont on connaît leu cente de masse espectfs G, on peut éce : n m= m m. G = m. G G = m. G n = = = m n S Ω est une suface géométque, en toute gueu G devat s appele cente de suface. Le cente de gavté est le pont d applcaton du pods, s on admet (c est une smplfcaton) que le champ de pesanteu est unfome au vosnage de la tee (en toute gueu, le champ de pesanteu g est un vecteu dgé ves le cente de la tee, ces vecteus ne sont pas paallèles n de même ntensté, comme le solde étudé est de pette dmenson, on consdèe le même vecteu g pou tous les ponts du solde étudé), alos le cente de gavté et le cente de masse sont confondus. Défnton d un système matéel Un système matéel S est un ensemble de patcules M, un mleu qu peut ête consdéé comme contnu ou dscet (nous étudeons des systèmes à baes, c est-à-de des systèmes composés de baes et éventuellement de câbles toujous tendus. Ces éléments sont lés ente eux aux ponts de concous que l on nomme nœud. On nomme ces systèmes matéels : stuctue, ossatue, tells losque les nœuds sont des atculatons,. C est une quantté de matèe, homogène ou non, dont la masse este constante pendant son étude. On appelle confguaton à l nstant t, notée S t t, le domane défn pa l ensemble des postons M des patcules M de S à l nstant t. Chos un système matéel consste à dvse l unves en deux pates : d une pat, le système matéel consdéé, objet de l étude ; d aute pat, l extéeu, c est-à-de tout ce qu n est pas le système consdéé. Il est tès mpotant au début de toute étude de ben le délmte, d nventoe tous les éléments qu font pate du système consdéé afn de le défn tès pécsément. Il convenda de l sole fctvement pa la pensée. Nous pécseons, dans le cous qu sut, les dfféents systèmes matéels. = - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

6 .. REPERE, CONVENTIONS... epèe de la statque Le epèe de éféence utlsé en statque est un epèe othonomal lé à la tee qu peut ête consdéé comme galléen avec une bonne appoxmaton: Dans toute la sute du cous de mécanque, on penda comme epèe de l'espace, le REPERE ORTHONORML DIRECT ( ancennement nommé othonomé ) suvant: z y O x Repèe: ( Oxyz,,, ) ( ) ou O,, jk, O est l'ogne du epèe. En statque plane, le epèe aua les dfféentes epésentatons c-dessous: y x Les vecteus x, y, z sont othogonaux et untaes. x = y = z = x. y = y. z = z. x = Le epèe est dect x y = z y z O x y O z x O En généal, nous tavalleons dans le plan epésenté pa le tableau ou la feulle de pape, nous utlseons la epésentaton de gauche, dans laquelle l'axe des Z est pependculae à la feulle. epèe dect, sens postf: Nous seons amenés à défn des déplacements (tanslatons, otatons) dans l'espace ans que des pojectons de gandeus mécanques dveses dans le epèe dect. Pa conventon, nous pendons les sens postfs suvants: z pou les tanslatons: y pou les otatons: y z + + O + x z + O + + x Le chox du epèe en statque est tès mpotant, Les foces coespondant au pods pope, à la chage d explotaton et à la nege étant vetcales, l est ntéessant de chos l axe Y vetcal pou smplfe la détemnaton de leus coodonnées, de plus ce epèe est unque, l dot ête consevé pou toute la ésoluton du poblème. On le nomme epèe de la statque ou epèe global. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

7 .3. SOLIDE REEL C'est le solde tel qu'l appaaît éellement, l possède : - une masse constante - un volume dont les lmtes vaent sous l'acton d'un système de foces. Ex. : tous les cops dans la natue.4. SOLIDE DEORMLE SELON UNE LOI CONNUE : (HYPOTHESE DE L R.D.M.) C'est un solde qu possède : - une masse constante - un volume dont les lmtes vaent suvant une lo théoque connue. Ex : un essot P = k. L Lo de compotement du essot : Le essot à un compotement élastque L P L allongement du essot est popotonnel à P. k est la adeu du essot s = est appelé la souplesse du essot : L = sp k La ésstance des matéaux étude les matéaux dont le compotement est élastque. (ace, ).5. OJET DE L STTIQUE C'est l'étude de l'équlbe des ensembles de cops soldes dans leu géométe ntale; c est-à-de dans la stuctue non défomée pa appot à un epèe Galléen. Le solde sea consdéé comme nfnment gde..5.. Défnton d un solde gde ou solde ndéfomable Pa défnton, un solde gde est un cops supposé ndéfomable. Un solde ndéfomable possède une masse constante et un volume dont les lmtes sont nvaantes quelles que soent les actons extéeues auxquelles l est soums. Sot S un solde, les ponts et S, = cte. On peut l'expme en dsant que la dstance d( ), = cte ou nvaante. Un fl (câble) toujous tendu poua ête consdéé comme ndéfomable. (suspentes, haubans, tants, ).5.. Défnton d un système matéel On appelle système matéel, une quantté de matèe homogène ou non dont la masse este constante pendant son étude. Un système matéel peut ête consttué: - d'un pont matéel : cops de masse m et de dmensons néglgeables - d'un solde «défomable» : Ex.: une masse de flude compessble (gaz) ou ncompessble (eau) - d'un solde «ndéfomable» : Ex : une semelle de fondaton - d'un ensemble de soldes : Ex : un bâtment consttué de poutes, poteaux...que l on appelle ossatue ou stuctue. On appellea système de soldes ou système matéel (en géne cvl, on pale de stuctue ou d ossatue), un ensemble de soldes connectés ente eux, complètement ou patellement, pa dveses lasons et soums à un système de foces ou d actons mécanques. Un système mécanque est un ensemble destné à tansmette, tansfome ou stocke de l énege. On dstngue types de systèmes : - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

8 système matéel gde : losque les lasons sont telles que tout mouvement elatf d un des soldes pa appot aux autes est mpossble. Les systèmes utlsés pou les ouvages de géne cvl appatennent à cette catégoe. On les classea en systèmes sostatques ou hypestatques. Les déplacements ésultent des seules défomatons des éléments qu le consttuent. Dans ce cas, l énege mse en jeu appaaît sous fome d énege de défomaton. n = Un système matéel gde composé de n soldes sea noté : S = S = S + S S +... S n système matéel défomable : losque les lasons sont telles qu l pusse exste un mouvement elatf d un ou de pluseus soldes les uns pa appot aux autes. On utlse auss les dénomnatons suvantes : systèmes hypostatques ou mécansmes. Exemple : une pae de cseaux. Ces systèmes ne dovent pas ête utlsés en constucton GC. La fome sous laquelle est tansfomée l énege dépend de la cnématque de ces mécansmes Objet de la statque ae l'étude statque d'une stuctue c'est étude sa stablté extene, d'une pat en véfant qu'elle ne se compote pas comme un mécansme ( hypostatque ), et d'aute pat en détemnant les actons aux lasons (assemblages ente les dfféents soldes et ente la stuctue et la fondaton ou le sol, ces dfféents ponts sont des zones généalement sensbles des stuctues) ou dans une secton dote quelconque en céant une coupue vtuelle dans un des soldes. L'objet de la ésstance des matéaux est l'étude de la stablté ntene c'est à de la détemnaton des contantes et des défomatons à l'ntéeu de la matèe et les déplacements des lgnes moyennes des stuctues généés. Elle est basée su des hypothèses smplfcatces véfées expémentalement. Le solde est alos consdéé défomable selon une lo de compotement connue (pa exemple la lo de Hooke qu tadut le compotement élastque). Il possède toujous une masse constante, mas les lmtes du volume vaent de façon pévsble et quantfable en foncton des actons applquées. La statque et la ésstance des matéaux consttuent l'outl ndspensable de l'ngéneu constucteu pou concevo et éalse des ouvages économques qu ne squent n de se ompe n de se défome excessvement sous les actons qu leu sont applquées. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

9 . CTIONS MECNIQUES.. DEINITION D UNE CTION MECNIQUE On appelle acton mécanque toute cause susceptble de manten un cops au epos, de cée ou de modfe un mouvement, de défome un cops. L'état d'équlbe ou de mouvement du cops dépend de la natue des lasons mécanques avec le este de la stuctue. Le teme généal "acton mécanque" epésente sot une foce, sot un couple, sot les deux enttés pécédentes pésentes smultanément... CLSSIICTION DES CTIONS MECNIQUES... classfcaton selon la natue physque des actons : on dstngue : π acton à dstance (telles que celles execées pa le champ de gavtaton, ou de pesanteu, ce sont généalement des foces, elles sont communément dénommées chages pemanentes ou pods pope en géne cvl) π actons de contact (au nveau d une lason mécanque)... classfcaton selon leu poston pa appot au système matéel solé on dstngue ; π Les actons mécanques extéeues : actons qu execent, su les dfféents éléments du système solé, tous les soldes n appatenant pas au système matéel solé. (actons de contact qu s execent à la fontèe du système solé ou actons à dstance). Ce qu n est pas solé est souvent appelé le mleu extéeu. π Les actons mécanques ntéeues : ce sont les nte-effots qu execent les dfféents éléments du système solé les uns su les autes aux dfféents ponts de contact. Ces effots ntéeus peuvent ête des effots de cohéson tadusant la ésstance du matéau aux sollctatons. ttenton! Ces actons ne peuvent pas ête vsualsées donc epésentées. Elles n appaassent pas dans l nventae des actons los de l solement...3. CTIONS DISTNCE L acton mécanque ente soldes est dte à dstance s elle ne ésulte pas d une lason mécanque ente les soldes cton de la pesanteu : C'est l'acton mécanque execée pa la tee su un solde. L'acton de la pesanteu est appelée «pods», elle a pou caactéstques : - pont d'applcaton : cente de gavté du solde - decton : vetcale du leu Solde G P = mg - sens : ves le cente de la tee - ntensté : P = mg. P P = pods du solde en N (Newton) m masse du solde en klogamme m = ρ.v avec ρ : masse volumque, v : volume g = g 9, 8 m / s accéléaton de la pesanteu (on peut pende pou smplfe la valeu de g m / s ) Ex. : pou une masse P = 9, 8 multples N m = kn = N dan = N kg - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

10 utes actons à dstance Elles peuvent ête d'attacton ou de épulson mant - les actons magnétques ou électomagnétques ae métallque - les actons électostatques Ex : épulson..4. CTIONS DE CONTCT Une acton mécanque est dte de contact losqu elle ésulte d une lason mécanque ente au mons deux soldes. Tout contact ente deux soldes donne nassance à une acton de contact. Ex. : - un lve posé su une table acton de contact ente le polycopé de méca. et la table. - la table epose su le sol acton de contact ente la table et le sol. Cous de méca Table Les actons de contact peuvent ête classées en foncton du type de contact ente deux soldes : - actons ponctuelles - actons lnéques - actons sufacques cton ponctuelle cton applquée en un pont matéel, pa exemple une foce Ex.: l'acton d'une boule (sphèe) su un plan ponctuelle. L'unté de foce ponctuelle est N (Newton) Multples : dan,kn, MN boule / plan cton lnéque Exemple d une foce lnéque, foce applquée su un ensemble de ponts matéels fomant une lgne dote ou coube. L'unté de foce lnéque est : Ou multples : N / m dan / m,kn / m, MN / m Ex.: l'acton d'un cylnde su un plan p cton sufacque Exemple d une foce sufacque, foce applquée su un ensemble Ex.: l'acton d'un cube su un plan de ponts matéels fomant une suface. L'unté de l'acton sufacque est : Ou multples : dan / m,kn / m N / m, MN / m S p.losque la foce est toujous pependculae à la suface de contact, on nomme cette foce une pesson, celle-c peut ête d ntensté vaable (pesson de l eau su les paos du écpent)...5. ORCE - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

11 Défnton d une foce. On appelle foce, l'acton mécanque qu s'exece mutuellement ente patcules élémentaes appatenant à deux soldes, pas focément en contact. Une foce est toujous applquée en un pont, elle est modélsable pa un vecteu (on dt auss un ponteu). Le vecteu est le concept ou objet mathématque utlsé pou epésente ( ou modélse ) la foce. Ce VECTEUR sea entèement défn pa les caactéstques suvantes: - pont d'applcaton - decton ( suppot ) - sens - nome ou ntensté ( teme spécfque de la mécanque) - unté légale de foce le Newton N On admetta que l acton mécanque, qu ésulte du contact de cops selon sufaces tangentes, est epésenté pa un vecteu (ponteu) applquée au pont de contact. Pou vsualse cette foce, l faut sole l'un des soldes en contact. Pa exemple, Sot soldes en contact au pont. / /..5.. Mesue et unté des foces : L'ntensté des foces est évaluée pa la mesue de défomatons. Les dynamomètes, nstuments destnés à mesue l'ntensté des foces, compennent une pate défomable et un dspostf d'évaluaton des défomatons. Gaduaton La taducton des défomatons en foces se fat pa étalonnage. Les étalons conventonnels sont défns pa le pods de soldes dont la masse est connue. Ex. : - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

12 ..6. MOMENT D'UNE ORCE En statque, une foce peut ête epésentée pa un vecteu glssant (apès avo solé le système étudé, on peut déplace la foce su son suppot, le pont d applcaton n ntevent plus). La défnton du moment d'une foce est donc smlae au moment d'un vecteu. La seule noton de foce est nsuffsante pou epésente une acton mécanque. En effet suvant le pont d'applcaton d'une foce, un solde peut toune; ce mouvement peut ête assocé au moment de la foce en un pont. Losqu on vsse ou devsse un écou, losqu on vsse un te-bouchon, losqu on agt su le volant d une votue, le solde en queston tend à toune su lu-même ; l subt un mouvement de otaton, autou d un axe de otaton. Ce mouvement est de natue dfféente de la tanslaton, l a pou cause une acton de natue nouvelle, le moment Défnton On appelle moment pa appot au pont d'une foce applquée au pont, le vecteu d'ogne défn pa la elaton suvante : podut vectoel de et, l ode de ces deux vecteu est mpotante! M ( ) = M : Caactéstques de ( ) ogne le pont decton plan fomé pa le suppot de la foce et le pont sens tel qu un obsevateu tavesé pa le vecteu moment des peds ves sa tête vot toune la foce dans le sens tgonométque. M = d. ; ntensté: ( ) d = H est le bas de leve, c est la plus coute dstance ente et le suppot de la foce. M ( ) Il exste d autes expessons donnant l ntensté M ( ) =..sn β en emaquant que d H ( π ) = H d.sn β =.sn β = β M P On peut fae ccule la foce su son suppot c est un vecteu glssant, le moment est ndépendant de la poston du pont Conventon de epésentaton d'un vecteu moment su un système d'axes plan : L'essentel des poblèmes tatés en statque peut ête amené à des systèmes coplanaes (toutes les foces dans un même plan). Exemple : y ns, pou évte de epésente les vecteus moments (de decton pependculae au plan fomé pa les foces et le pont de calcul du moment) pa des pespectves, on adopte la conventon de epésentaton suvante : o + x y - Le moment d une foce ou d un système de foces pa appot à un pont est epésenté pa une flèche ncuvée dont le sens se appote au sens de otaton de la foce ou du système de foces autou du pont. - Le sens postf du moment coespond au sens tgonométque dect (angles postfs). o + M ( ) x - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

13 Méthode patque de calcul des coodonnées (ancennement composantes) du VECTEUR moment: X Y Z x y z x y z On dspose les coodonnées sous fome de détemnants en commençant pa y y et Y et on détemne les dfféentes coodonnées du podut vectoel en calculant les détemnants d ode (dfféence des poduts des temes dagonaux). y y Y z z Z x x X y y Y L y Z z z Y = M( ) M = z z X x x Z N = x Y y y X ( y ) ( ) ( ) ( ) ( x ) ( ) Une deuxème soluton plus smple consste à consdée que les coodonnées sont postves, les sens des foces étant alos connus, on peut détemne le moment de celles-c, ca le sgne s en dédut vsuellement. Vo appels de Maths. S on se lmte à la statque plane, la défnton du moment la plus patque à utlse est la suvante: On appelle valeu algébque du moment d'une foce pa appot à un pont la gandeu égale au podut de la nome (ou ntensté) de notée pa la valeu du "bas de leve" d affectée du sgne défn pa la otaton autou de. ttenton! Il faut toujous commence pa détemne le sgne. Le sgne est détemné vsuellement, l faut compae le sens de otaton potentel ndut pa la foce autou du pont, avec celu du epèe de éféence. Su le epèe c-conte, le sens dect (toune de x ves y autou de z) condut au sgne postf et est matéalsé pa un ac oenté sumonté du sgne Calcule le bas de leve y O x Pou calcule le bas de leve Depus le pont, on abasse la pependculae su le suppot de la foce, sot H l ntesecton. d = d(, H) = H C est la plus coute dstance depus le pont au suppot de la foce. M = sgne. d ( ) ( ) Ic, avec > on éca la valeu algébque du moment : M = d - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 3/93

14 .3. MODELISTION DE L'CTION MECNIQUE D'UNE ORCE PPLIQUEE SUR UN SOLIDE : NOTION DE TORSEUR Sot un solde soums à l'acton d'une foce unque / mécanque ( foce / ) su le solde au pont pa le vecteu R / applquée au pont. On poua epésente l'acton et le moment M ( ) / tels que: R = M ( ) = (moment de / / / / / en pont de l' espace) / / / / / L'ensemble de ces vecteus est appelé TORSEUR de l'acton mécanque ( foce / et est noté { T } / ) su le solde au pont Pluseus éctues sont possbles suvant les calculs à développe: { T ( )} / R = M / / / = / = X Y Z / / / L M N / / / Le toseu est composé de vecteus toseu en. R / M /,, ces vecteus sont appelés les éléments de éducton du X Y Z / / / coodonnées de L/ / M/ N / coodonnées de M / L'éctue des actons mécanque sous fome de toseus n'ajoute en. C'est seulement une façon synthétque d'éce ces actons. Elle paaît peut-ête loude au peme abod, mas c'est une méthode tès effcace. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 4/93

15 .4. MODELISTION DE L'CTION MECNIQUE D'UN SYSTEME DE ORCES SUR UN SOLIDE Un solde S en équlbe est soums de la pat du mleu extéeu à au mons foces, et s l'on veut détemne l'acton mécanque du système composé de n foces que l'on peut note ( S ) ou ( ), l faut détemne le vecteu somme des dfféentes foces ans que la somme des vecteus moments en un pont commun que l on a péalablement chos. On obtent ans le toseu de l'acton mécanque du système de foces ( S ) au pont. ( S ) = ( ( ) ) = (,,..., n ). RS = n M ( S) = M ( ) + M ( ) M ( ) M ( ) RS ( ) n est appelé la ésultante du toseu de l'acton mécanque du système consttué des n foces applquées su le solde S étudé. M ( S) est appelé le moment du toseu au pont coespondant à l'acton mécanque du système consttué des n foces applquées su le solde S étudé. { } Le TORSEUR ( ) ( S ) = (,,..., n ) T S modélse l'acton mécanque du système de foces su un solde S. Ses éléments de éducton au pont sont: RS ( ) somme vectoelle des foces (Résultante du toseu) M ( ) S { T ( S) } somme vectoelle de tous les moments des foces pa appot au pont (Moment du toseu au pont ) RS = = M ( ) ( S) = n = n M Pncpe: Les éléments de éducton du toseu d'un système d'actons mécanques (S) caactésent entèement au pont de vue mécanque ce système (S). Cela tadut que l'on peut emplace au pont ces n foces pa éléments : une foce ( ) RS M S et un moment ( ). Cela tadut auss que l'on peut emplace une chage épate pa une foce unque (sa ésultante généale). Il content le pncpe de tansmssblté des foces qu peut s énonce : «l équlbe ou le mouvement d un solde este nchangé s on déplace une foce su sa lgne d acton (ou suppot).» En statque, les foces sont des glsseus, le pont d applcaton n ntevent pas. Ce pncpe ne peut ête utlsé qu apès avo effectué l solement. - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 5/93

16 Théoème, Relaton fondamentale des toseus: Sot un système matéel S soums à un système d'actons mécanques ( S ) Connassant le toseu de ( S ) au pont, le toseu de ( S ) au pont se détemne comme sut : { T ( S) } ( ) ( ) = RS RS ( ) ( ) { T S } M S = M ( S) M S = M S + R S avec ( ) ( ) ( ) S RS ( ) est othogonal à ( ) M RS ( ) alos une dote contenant I tel que { T ( S) } = I S Cette dote contenant I est appelé axe cental du toseu, elle consttue le suppot du glsseu équvalent. I S l'on veut calcule le moment de en un aute pont de l'espace on peut donc utlse la elaton suvante: M ( ) = M ( ) + ^.5. TORSEURS PRTICULIERS ( ) Le Couple: T S { } = ( ) M S { T ( S) } = O O Théoème: Un couple a même valeu en tout pont. { } ( ) Le Glsseu: T S ( ) Le Toseu nul T S = { } RS ( ) = - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 6/93

17 .5.. Commentaes su le couple On peut toujous emplace un couple pa un ensemble de deux foces égales et opposées mas ayant des suppots dfféents. d C = d O - M C Exemple concet: encastement d'une poute console. l Sot le solde solé Le moment d'encastement en, acton du suppot su la poute a pou expesson. (la détemnaton sea effectuée plus tad) p M enc = pl M enc = d d = dstance ente les ponts et fctfs. p P P=pl Connassant d, on peut en dédue : pl d = et nvesement. et d vaent en sens contaes. On peut emplace un moment d encastement pa foces // de suppots dfféents et de sens contaes. - -P P=pl - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 7/93

18 .6. PPLICTION DE L RELTION ONDMENTLE.6.. Chage unfomément épate Y L p On consdèe la chage épate su comme une juxtaposton de chages élémentaes épates su un tonçon élémentae de longueu dx dx p X x C'est équvalent à: R R p ( ) (p) M = pl. y M ( p) p L = z. C'est équvalent à: R( p) L/ = pl I (p) R (p) Démonstaton c-dessous (pou TS) Cette chage épate su dx est assmlée à une foce ponctuelle applquée à l abscsse x. dr p ( ) R ( p) = p. dx. y epésente la somme vectoelle de ces chages élémentaes. L R p dr p p y dx ( ) = ( ) =.. La chage p est constante, le vecteu untae y est constant. Ces éléments peuvent sot de l ntégale L L L R p = p.y.dx = p.y. dx = p.y. x =... L ( ) [ ] pl. y M p M dr p p x z dx ( ) ( ) = ( ) =... la chage p est constante, le vecteu untae z est constant Ces éléments peuvent sot de l ntégale M L L x ( p) = p.x.z.dx = p.z xdx = p.z = p. z... Détemnons la poston du pont I, pont d applcaton de la ésultante généale. Dans les applcatons, l faut utlse le théoème c-conte, sans le démonte. L ( R( p) ) = d(,i ). R( p).z = d(,i ).pl.z = p. z (,I ) d = L L L - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 8/93

19 .6.. Chage épate lnéaement. L p(l) Y p (x) p (x) dx X x C'est équvalent à: R R p ( ) (p) M ( ) pl = Ly. (p) M ( p) p( L) L = z 3. On pose pl ( ) px ( ) ( ) >, > px = ax+ b examnons les condtons aux lmtes, au nveau des ponts et. en ( ) en ( ) p = b= pl = al a= ( ) ( ) pl L pl px ( ) =.x L pl ( ) dr( p) = p( x). dx. y =. xdx.. y L L pl ( ) R( p) = dr( p) =. xydx.. L L L ( L) p( L) x p( L) p R( p) =.y. xdx.y. L = == L L pl ( ) M( p) = M( dr( p) ) =. xxzdx... L M ( p) L = ( ) pl. x. z. dx L.L.y M ( p) L 3 L ( L) p( L) x p( L) p =.z x dx = L.z 3 = L....L 3.z C'est équvalent à: R (p) I L/ 3 L /3 Détemnons la poston du pont I, pont d applcaton de la ésultante généale. Dans les applcatons, l faut utlse le théoème c-conte, sans le démonte. M ( p) R p ( ) p = ( L).L 3.z = d (,I ) p. pl ( ) = L d (,I ) = L 3 ( L).L.z - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n 9/93

20 .7. EQUIVLENCE DES SYSTEMES D CTIONS Compaons les deux systèmes d actons c-dessous: ( S ) et ( ) matéel : une feme. S. Ils s applquent su le même système Une foce est un vecteu glssant ( ou glsseu ), on peut la déplace su son suppot, le pont d'applcaton peut ête ps quelconque su son suppot. Les actons de contact en et sont dentques dans les deux systèmes. Pa conte, les effots nomaux dans les baes dffèent. On peut déplace la foce ponctuelle, mas unquement apès avo solé le système étudé, c la feme. En effet, s on s ntéesse unquement à la détemnaton des actons de lasons, on sole le système complet : la feme, les actons de lason en et sont stuées à la fontèe du système. S nous voulons détemne les actons dans les baes, l faut consdée le système ntal ( ) sute d solement. Le pont d applcaton de la foce des solements sauf pou l solement de l ensemble. S, pocéde à une dot ête consevé tel qu l est éellement pou l ensemble système ( S ) système ( S ) E E C D C D a/4 a/4 S H S a/4 a/4 H a a - Statque - LT «le Gaos» UCH Ch. LOUY,. CROL,G. JOLLY Page n /93

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