Généralités sur les fonctions 1ES

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1 Généraltés sur les fonctons ES GENERALITES SUR LES FNCTINS I. RAPPELS a. Vocabulare Défnton Une foncton est un procédé qu permet d assocer à un nombre x appartenant à un ensemble D un nombre y n note : f : x α ou x f y ou encore y = n dt que y est l mage de x par la foncton f et que x est un antécédent de y par f = x² x 5 L mage de 7 par f est f(7) = 7² x7 5 = 9 5 =. a deux antécédents : et 5 car f( ) = f(5) =. est un antécédent de 5. Défnton Pour une foncton donnée, on appelle ensemble de défnton l ensemble D des valeurs de x pour lesquelles on peut calculer cette expresson. Exemples : = x + 7 x Domane de défnton : l faut que x donc : D f = { } = ] ; [ ] ; + [ n dt auss que est une valeur nterdte pour la foncton f. g(x) = x + 6 n dot avor x + 6 sot x donc : D g = ] ; ] Remarques : Un réel de l ensemble de défnton a touours une et une seule mage. Un réel peut vor zéro, un ou pluseurs antécédents. Pour les fonctons du type fractons ratonnelles, l ensemble de défnton est l ensemble des nombres pour lesquels le dénomnateur est non nul. Pour les fonctons du type racne carrée, l ensemble de défnton est l ensemble des nombres pour lesquels l ntéreur de la racne est postf. b. Représentaton graphque Dans tout le reste du chaptre, on munt le plan d un repère orthonormal (,, ) Défnton Un repère étant chos, on appelle représentaton graphque d une foncton f l ensemble des ponts M de coordonnées ( x ; y ) lorsque x prend toutes les valeurs de D f et que y =. n dt auss courbe représentatve de la foncton f. n dt que la courbe a pour équaton y =. - -

2 Généraltés sur les fonctons ES Méthode : n calcule des mages en nombre suffsant, à l ade de la calculatrce et on présente les résultats dans un tableau de valeurs. Tracer la représentaton graphque de la foncton f, qu à x assoce x,,5,5,, + x² sur [ ; ]. y x Lecture graphque d mages et d antécédents : Pour détermner l mage de x par f, on place x en abscsse pus on lt l ordonnée sur la courbe. Pour détermner les antécédents de k par f, on place k en ordonnée pus on cherche les abscsses des ponts d ntersecton de la drote horzontale d équaton y = k avec la courbe. Exemples : Sur la courbe suvante, détermner :. L ensemble de défnton de f. D f = [ ; ]. f() ; f(). f() = ; f() =.. Image de ; de. L mage de est,5 et l mage de est.. Antécédent(s) de ; de,5 ; de. n a pas d antécédent ; l antécédent de,5 est ;les antécédents de sont et 5. x tels que = ; =. S = { ; ; } - -

3 Généraltés sur les fonctons ES c. Sens de varatons Défntons f est une foncton défne sur un ntervalle I. Dre que f est crossante sur I sgnfe que pour tous réels x et x de I, s x x alors f(x ) f(x ) Autrement dt, les mages réels x et x sont rangées dans le même ordre que réels x et x. Dre que f est décrossante sur I sgnfe que pour tous réels x et x de I, s x x alors f(x ) f(x ). Autrement dt, les mages réels x et x sont rangées dans l ordre nverse que réels x et x. Dre que f est constante sur I sgnfe que pour tous réels x et x de I, on a f(x ) = f(x ). Une foncton monotone sur I est une foncton sot crossante sur I, sot décrossante sur I. d. Extremum Défnton La foncton f admet un maxmum f(a) en a sur l ntervalle I lorsque, pour tout x de I, f(a). La foncton f admet un mnmum f(b) en b sur l ntervalle I lorsque, pour tout x de I, f(b). So f la foncton représentée c-dessous. Quels sont les extremum de f? Pour quelles valeurs sont-ls attents? La foncton f admet un mnmum en 5 qu vaut et un maxmum en qu vaut

4 Généraltés sur les fonctons ES e. Tableau de varatons Etuder les varatons d une foncton sgnfe trouver les ntervalles sur chacun desquels la foncton est monotone. Les résultats sont représentés dans un tableau de varatons. Des flèches schématsent la crossance, la décrossance ou la constance de la foncton. Donner le tableau de varatons de la foncton f défne sur [ 8 ; ] de la courbe c-dessus. x II. FNCTINS DE REFERENCE Courbe représentatve Tableau de varatons Varatons f (x) = x² x + f est décrossante sur ] ; ] et crossante sur [ ; + [ f (x) = x x + f est crossante sur f (x) = x x + f est décrossante sur ] ; [ et sur ] ; + [ f (x) = x x + f est crossante sur [ ; + [ f (x) = x x + f est décrossante sur ] ; ] et crossante sur [ ; + [ - -

5 Généraltés sur les fonctons ES III. FNCTINS ASSCIEES n suppose que f est représentée par la courbe et g par la courbe C g dans un repère (,, ). a. Foncton f(x + a) Courbe représentatve de la foncton g(x) = f(x + a) n obtent la courbe C g en effectuant une translaton de de vecteur a Exemples : Tracer les représentatons graphques des fonctons g(x) = x et h(x) = x C g est l mage de par la translaton de vecteur et C h est l mage de C par la translaton de vecteur b. Foncton et + b Courbe représentatve de la foncton g(x) = + b n obtent la courbe C g en effectuant une translaton de de vecteur b Remarque : Les fonctons f et f + b ont le même sens de varaton. Tracer les représentatons graphques des fonctons g(x) = x² + et h(x) = x² C g est l mage de C par la translaton de vecteur et C h est l mage de C par la translaton de vecteur - 5 -

6 Généraltés sur les fonctons ES c. Foncton et f(x+a) + b Courbe représentatve de la foncton g(x) = f(x + a) + b n obtent la courbe C g en effectuant une translaton de de vecteur a + k Tracer la représentaton graphque de la fonctons g(x) = x C g est l mage de C par la translaton de vecteur +. Autrement dt, on «décale» la courbe C de untés vers la gauche et untés vers le haut. d. Fonctons k Courbe représentatve de la foncton g(x) = k n obtent la courbe C g en multplant les ordonnées des ponts de par k. Tracer la représentaton graphque de la fonctons g(x) = x² Remarques : S k >, alors la foncton k f a le même sens de varaton que la foncton f. S k <, alors la foncton k f a le sens de varaton contrare de la foncton f

7 Généraltés sur les fonctons ES Cas partculer lorsque k = : g(x) = C g est la symétrque de la courbe par rapport à l axe des abscsses. Tracer la courbe représentatve de la foncton g(x) = e. Foncton Courbe représentatve de la foncton Pour représenter f, on conserve la parte de qu est au-dessus de l axe des abscsses et on complète par le symétrque de la parte qu est au-dessous de cet axe. Tracer

8 Généraltés sur les fonctons ES IV. PERATINS SUR LES FCNTINS Sot f et g deux fonctons défnes sur un même ntervalle I de. La foncton f + g est la foncton défne sur I par : x α + g(x). La foncton f g est la foncton défne sur I par : x α g(x). Courbes représentatves des fonctons f + g et f g n obtent les courbes représentatves de f + g [resp. f g] en addtonnant [resp. soustrayant] les ordonnées des ponts de et de C g ayant la même abscsse. Remarque : S deux fonctons ont le même sens de varaton sur un ntervalle I alors la foncton f + g garde ce sens de varaton. Exemples : Tracer f + g C g - -6 Tracer f g C g

9 Généraltés sur les fonctons ES V. FNCTINS CMPSEES a. Défnton Sot f la foncton défne sur [ ; + [ par = x + Pour calculer avec x, on calcule d abord X = x +, pus la racne carrée de X : n note = X Avec X = x +. Dstnguer ans les étapes du calcul de condut à la décomposton suvante de la foncton f. x g x + h X X x f x+ n dt que f est la composée de g suve de h et on note = h(g(x)) Sot g(x) = 5 x et h(x) = x n a = h(g(x)) = + x = = x 7 5 x 5 x 5 x b. Sens de varaton des fonctons composées En se plaçant sur un ntervalle I où la foncton composée exste : S les deux fonctons ont même sens de varaton, alors leur composée est crossante sur I. S les deux fonctons ont des sens de varaton contrares, alors leur composée est décrossante sur I. Sot la foncton f défne sur R \ {} par = x f est la composée de la foncton g suve de la foncton h où : g(x) = x h(x) = x Sur ] ; + [, la foncton affne g est crossante et à valeurs dans ] ; +[ sur ] ; + [, la foncton nverse h est décrossante donc par composée, la foncton f est décrossante sur ] ; + [. Sur ] - ; [ la foncton g est crossante et à valeurs dans ] - ; [ Sur ] - ; [ la foncton nverse h est décrossante donc par composée, la foncton f est décrossante sur ] - ; [