Exercices d Électrocinétique

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1 ercces d Électrocnétque Intensté et densté de courant -1.1 Vtesse des porteurs de charges : On dssout une masse m = 20g de chlorure de sodum NaCl dans un bac électrolytque de longueur l = 20cm et de secton S = 10cm 10 cm rempl d eau. La dssoluton est totale. On fat passer un courant d ntensté I = 100m entre deu électrodes stuées au etrémtés de la cuve. onnées : masses molares : M(Cl) = 35, 5 g.mol 1 et M(Na) = 23g.mol 1. Nombre d vogadro est N = 6, mol 1 ; charge élémentare est e = 1, C. Q : Sachant que les vecteurs vtesse des ons chlorure et des ons sodum sont de sens opposés et dans le rapport 1, 5, détermner la vtesse et le sens de déplacement de ces ons. ép : v + = 2, m.s 1 ; v = 3, m.s Sem-conducteur : Les sem-conducteurs sont des matérau utlsés en électronque et dont la conducton vare fortement avec la température ou avec la présence d mpureté. ans un sem-conducteur, l este deu types de porteurs de charge : les électrons, de charge q e = e, de densté n e ; et les trous, de charge q p = +e, de densté n p. À une température donnée, du fat des proprétés dues au lasons nternes au sem-conducteur, le produt n e n p = n 2 est constant. La présence d mpuretés (= atomes étrangers au réseau) permet de modfer n e et n p tout en mantenant le produt n e n p constant. n l absence d mpuretés, ces deu valeurs sont égales : n e = n p = n. Pour le slcum, nous avons : n = 1, m 3. ans les condtons d étude, la vtesse des électrons est v e = 12cm.s 1 et celle des trous v p = 5 cm.s 1. 1) étermner la densté de courant du slcum dans les condtons d étude. 2) Comment vare la densté de courant j avec n e? Tracer l allure de la courbe correspondante j = j(n e ) et eplquer l ntérêt de la présence d mpuretés dans le slcum utlsé en électronque. ép : 1) j = 4, m 2 ; 2) j mn = j 0 = 3, m 2 pour n e,0 = n vp v e = 9, m 3. 1 Calculs de tensons et de courants -2.1 éseau à deu malles étermner, pour le crcut c-contre, l ntensté qu traverse la 1 résstance 2 et la tenson u au bornes de la résstance 3 : 1) en fasant des assocatons de résstances et en applquant le u dvseur de tenson. 2) en fasant une transformaton Thévenn Norton et en applquant le dvseur de courant. 3) pplcaton numérque pour = 6 V, 1 = 100 Ω, 2 = 3 = 4 = 50 Ω 3 ép : 1/2) = ( )( ) ; u = 3 ( ) ( )( ) ; 3) = 15 m et u = 1, 5 V

2 ercces d Électrocnétque Crcut lnéare ans le crcut c-contre : 1) Calculer U F, 2) Calculer l ntensté I 0 crculant dans la branche prncpale; 3) Calculer l ntensté I crculant dans la branche contenant le générateur (précser son sens) ; 4) Calculer les ntenstés 1, 2 et 3. onnées : = 1 Ω, = 5V et = 3V. ép : U F 1, 67 V ; I 0 0, 83 ; I 0, 17 ; 1 = 3 0, 33 ; 2 0, strbuton de courant sur les arêtes d un cube Le courant d ntensté I arrve sur le sommet d un cube dont les arêtes sont consttuées par un fl métallque; chaque arête a une résstance r. Le courant ressort par le sommet H opposé à. 1) Calculer les ntenstés dans chaque branche. 2) Sot V = V et V H = 0 V les potentels des ponts et H. Calculer les potentels des dfférents sommets. 3) Quelle est la chaleur dsspée dans le cube par unté de temps?.n. : I = 500 m et r = 0, 2 Ω. ép : 2) V = V F = V G = r I 3 = 2 5 V ; V = V = V C = V r I 3 = 3 5 V ; 3) P J = δq dt = 5 6 ri2 42 mw. ssocaton de générateurs -2.4 Modélsaton de Thévenn (1) onner le générateur de Thévenn équvalent au crcut c-contre entre et. I C 2 F ' ép : éq = 2 et Th = e + η Modélsaton de Thévenn (2) étermner le générateur de Thévenn équvalent au réseau dpolare entre les bornes et c-contre. onnées : η = 1, = 6 Ω et = 24V. 5h 2 2 η? eq Th ép : eq = 2 = 3 Ω et Th = 2η + 4 = 18 V Calculs de résstances équvalentes -2.6 ésstance équvalente d un réseau dpolare (1) Calculer la résstance équvalente à un réseau à malles carrées, chaque côtés ayant la résstance r. ép : éq = 13 7 I M C N G F I 2 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com

3 ercces d Électrocnétque -2.7 ésstance équvalente d un réseau dpolare (2) Chaque trat représente un résstor de résstance. étermner la résstance équvalente de ce réseau vu des ponts : 1) et C (5/4) 2) et (3/2) 3) et F (7/8) 4) et (5/6) 5) H et () 6) et (17/24) 7) et F (7/12) C H F G J -2.8 Théorème de Kennelly (À comprendre!) On consdère les deu crcuts c-dessous : celu de gauche est appelé le crcut «étole» et celu de drote crcut «trangle». prmer les résstances r 1,r 2 et r 3 du crcut étole en foncton des résstances 1, 2 et 3 du crcut trangle pour que les deu crcuts soent équvalents. La relaton obtenue consttue le théorème de Kennelly. 2 3 ép : r 1 =, r 2 et r 3 se dédusent par permutaton crculare des ndces ésstance équvalente d un réseau dpolare (3) 1 C 2 1) Calculer la résstance équvalente du réseau suvant : a. en utlsant les los de Krchoff. b. en utlsant les regroupements de résstances (sére, parallèle, trangle-étole) ) On applque entre et une tenson U = 11 V. Calculer l ntensté du courant dans la branche C avec : 1 = 2, 2 = 4, et = 1 Ω. ép : 1) éq = ; 2) I = I C = U = 1. Équaton dfférentelle et Condtons ntales d un crcut eu bobnes réelles en parallèle étermner, dans le cas partculer où 1 L 2 = 2 L 1, l équaton dfférentelle lant la tenson u et le courant dans le montage c-contre, consttué de deu bobnes réelles en parallèle. d ép : (L 1 + L 2 )u = L 1 L 2 dt + 2L eu condensateurs réels en sére étermner l équaton dfférentelle lant la tenson u et le courant dans le montage c-contre, consttué de deu condensateurs avec fute en sére. On notera u 1 et u 2 les tensons au bornes de chaque condensateur. du ép : Cas où 2 C 2 = 1 C 1 : (C 1 + C 2 ) = C 1 C 2 dt + C 1 u Fltre de Wen (ercce mportant!) Le montage c-contre comporte deu résstances dentques et deu condensateurs de capactés dentques C. 1) Écrre l équaton dfférentelle lant la tenson de sorte v au bornes du condensateur et la tenson d entrée u. 2) À l nstant ntal, les deu condensateurs sont déchargés et la tenson u = est constante. étermner les condtons ntales portant sur v et dv dt v(0 + ) et dv dt (0+ ). juste après le branchement du crcut : qadrpcs@aol.com http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ 3

4 ercces d Électrocnétque ép : 1) du dt = C d2 v dt 2 + 3dv dt + v C ; 2) v(0+ ) = 0 et dv dt (0+ ) = C obne réelle en sére avec un condensateur avec futes Une bobne réelle d nductance L possède une résstance r. lle est placée avec un condensateur de capacté C et de résstance de fute. 1) étermner l équaton dfférentelle lant l ntensté et la tenson u. 2) À t = 0, la tenson au bornes du condensateur vaut v 0 et pour t 0, on mpose u = 0 grâce à un court-crcut. Juste après l nstallaton du court-crcut, que valent (0 + )? v(0 + )? d dt (0+ )? et dv dt (0+ )? ( ép : 1) LC d2 dt 2 + rc + L ) d 2) (0 + ) = 0 ; v(0 + ) = v 0 ; ) = u + C du dt (1 dt + + r d dt (0+ ) = v 0 L ; dv dt (0+ ) = v 0 C. Soluton ) près avor ntrodut et nommé les nœuds, on peut ntrodure la résstance équvalente à 2 et 4 qu sont en sére : 5 = Il apparaît que 3 est en parallèle avec 5. n smplfant : 6 = 3 // 5 = On reconnaît un dvseur de tenson, 1 et 6 étant en sére, soumses à la tenson : U = Sot : u = U = = U 5 Sot : = = ( ) ( )( ) sur le premer schéma équvalent ( )( ) que : ttenton! n apparaît plus sur le second schéma équvalent. Il fallat revenr au premer schéma équvalent pour l eprmer. 2) On ntrodut et on nomme les nœuds. On reconnaît un générateur de Thévenn de f.é.m. et de résstance nterne 1 entre et. On peut fare une transformaton Thévenn Norton. Il apparaît le c.é.m. : η = 1. 1 et 3 sont en paralèle, de résstance équvalente : 0 = est en parallèle avec 5, mas on ne smplfe pas! car : - on cherche - on reconnaît un dvseur de courant au nœud almenté par η : = η = Sot : = η η 1 1 u u ( )( ). 4 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com u u

5 ercces d Électrocnétque Pusque U = 5, on retrouve : u = U = 3) = 15 m et u = U = 1, 5 V. 3 ( ) ( )( ) Soluton ) On reconnaît un montage «vseur de tenson» entre et F, donc : U F = + 2 = 1 V 2) Il faut d abord eprmer la résstance équvalente eq entre et C. eq = (//)//2 = 2 //2 = 2 5 u pont de vue de la branche prncpale, la branche {, 2,, F } est nutle pusqu une force éloctromotrce en parallèle mpose la tenson à ses bornes. On peut donc l enlever sur un schéma équvalent. Il apparaît deu forces électromotrces en sére qu s oppose : on peut donc les remplacer par une seule et unque f.é.m. de valeur 0 = = 2 V et de même sens que. Le crcut est mantenant équvalent à un crcut formé d une seule malle - parcourue par I 0, - consttué d une f.é.m. 0 de même sens que I 0 - et d une résstance équvalente 0 = + eq + = la lo des malles donne I 0 = 0 = ( ) = 5 0, ) Pour connaître l ntensté I crculant dans la branche contenant on calcule d abord l ntensté I qu crcule de vers F dans la branche contenant les résstances 2 + = 3 soumses à la tenson. La lo d Ohm donne, en conventon récepteur : I = 3 = 1 On en dédut donc, d après la lo des nœuds et en défnssant I par rapport à en conventon générateur, que I = I I 0 = 1 6 0, 17 (I drgée de F vers ). 4) Tout d abord, les symétres mposent que 1 = 3. On reconnaît ensute entre et C un dvseur de courant : On a donc : 1 = G 1 G eq I 0 = eq I 0 = 1 = 3 = 2 5 I 0 = 1 3 0, 33 e même : 2 = G 2 I 0 = eq G eq 2 I 0 = 2 = 1 5 I 0 = 1 0, 17 6 On vérfe ben entendu la lo des nœuds en : I 0 = qadrpcs@aol.com http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ 5

6 ercces d Électrocnétque Groupement dode déale-résstances eprésenter la caractérstque Intensté-Tenson I(U) du dpôle équvalent au groupement entre les ponts et. I ' U vseur de Tenson (Généralsaton) Montrer que la lo à laquelle obét ce dvseur de tenson est : 2 U = e e U lmentaton d une dode (*) Le montage de la fgure c-contre montre un ensemble de générateurs assocés avec une résstance 3 et une dode à joncton. Celle-c est déale, sans résstance dynamque, et possède une tenson de seul U S. (e 1, r 1 ) (e 2, r 2 ) n supposant que la dode est polarsée dans le sens drect, et est parcourue par un courant non nul, eprmer en foncton de e 1, e 2, U S, 1, 2, 3, r 1 et r 2. À quelle condton portant sur ces grandeurs l hypothèse 0 est-elle justfée? ép : > 0 pour 3 (r )e (r )e 2 3 (r r ) + (r )(r ) > U S Protecton d une dode Zener (**) étermner la valeur mamale ma de la tenson contnue pour que la dode Zener ne claque pas. ' Les caractérstques de la dode Zener sont : la tenson Zener U Z ; ρ la résstance dynamque en régme Zener ; P ma la pussance mamale que la dode peut recevor ; ma et V ma l ntensté et la tenson mamales que la dode supporte en régme Zener. ép : ma = 1 ( 2 (U Z + UZ 2 + 4ρP ma) ) U Z ρ ρ U Équvalence entre générateur de tenson et générateur de courant (*) Sot le crcut c-contre avec : = 4 V, r = 2 Ω. est un électrolyseur de force contre-électromotrce égale à = 1, 5 V. ntre et, la résstance totale est de 12 Ω. On pourra poser : 2 = et 1 = 12. C r ' étermner la valeur de l ntensté dans la branche de l électrolyseur en foncton de la poston du curseur du potentomètre, donc de la valeur de. ép : = pour > 0, ce qu revent à dre que 8, 25 Ω < < 12 Ω. 6 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com

7 ercces d Électrocnétque éseau lnéares en régme contnu -3.1 Pont de Weahtsone Un pont de Weahtsone est un montage électrque permettant de détermner une résstance nconnue. 1) Équlbrage du pont La résstance à détermner est 1. Les résstances 3 et 4 sont fes et connues. 2 est une résstance varable dont on connaît la valeur. Le pont est dt équlbré lorsque la tenson u mesurée entre C et est nulle. 3 a) étermner la tenson u en foncton de et des résstances 1, 2, 3 et 4. b) À quelle condton le pont est-l équlbré? étermner alors 1. onnées : 3 = 100 Ω; 4 = 5kΩ ; 2 = Ω; = 6V. c) Le voltmètre ndque la tenson «u = 0» s, en réalté, on a : u < 1 mv. ans le cadre de l applcaton numérque de la queston b), donner la précson sur la mesure de 1. 2) Présence d une f.é.m paraste Le pont précédent est supposé équlbré, c est-àdre qu on a rgoureusement u = 0. Nous allons mantenant étuder l nfluence d une force électromotrce e sur l équlbre du pont (e est placé en sére avec la résstance ; cela peut modélser une tenson apparue lors du contact de deu matérau de nature chmque dfférente.) a) prmer la tenson u apparue à cause de la présence de e. b) On veut que l nfluence de e sot néglgeable au cours de la mesure. On estme que cette nfluence est néglgeable s u < 1 mv. Quelle est alors la condton portant sur e? On rappelle qu on a 3 = 100 Ω; 4 = 5kΩ ; 2 = Ω et = 6V. ép : 1.a) u = ( a) pplquer le prncpe de superposton ; u = -3.2 Théorème de Mllman 1) Énoncer la lo des nœuds en termes de potentels pour le nœud N dans le montage c-contre. n dédure le courant dans la résstance. 2) Trouver cette même ntensté en utlsant les transformatons thévenn Norton. ) ; 1.b) 1 = 36, 5 Ω ; 1.c) 1 = 36, 5 ± 0, 3 Ω ; 2e ; 2.b) e < 1, 02 mv N 3 3 ép : = ( ) qadrpcs@aol.com http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ 7

8 ercces d Électrocnétque Calculs de courants étermner les courants I 1, I 2 et I 3 du montage c-contre. ép : I 1 = ; I 2 = 3 2 ; I 3 = I I 2 I Lo des nœuds en termes de potentels Le nœud est connecté à la masse du crcut de la fgure c-contre. On donne : η = 15; = 1 Ω et = 1V. 1) étermner les relatons entre V, V C et V en applquant la lo des nœuds en termes de potentels au nœuds, C et. 2) Un voltmètre numérque, branché entre et, mesure u = 10V. n dédure les valeurs de V et V C C 4 η ép : V = 24 V et V C = 18 V Théorème de superposton et théorème de Mllman étermner l ntensté du courant qu crcule dans la branche 2 M 2 en consdérant deu états successfs du crcut et en applquant le théorème de Mllman. ép : = 1 ( ) M -3.6 Pont double Sot le crcut c-contre tel que ab = a b. La résstance varable, entre C (curseur du potentomètre ) et, est notée. prmer, la résstance à mesurer, en foncton de, lorsque le pont double est équlbré (= courant nul dans le galvanomètre G qu se comporte comme une fable résstance). a a' b G b' C ép : = a b e r 8 http ://pcs-unautreregard.over-blog.com/ qadrpcs@aol.com