TD 1. Statistiques à une variable.

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1 Danel Abécasss. Année unverstare 2010/2011 Prépa-L1 TD de bostatstques. Exercce 1. On consdère la sére suvante : TD 1. Statstques à une varable. 1. Calculer la moyenne et l écart type. 2. Calculer la médane et les quartles de cette sére. Exercce 2. Dans cet exercce, l vous at demandé de calculer 1. La moyenne. 2. L écart type. 3. Le pourcenatge de valeurs appartenant à l ntervalle [ x σ ; x + σ ] Exercce 3. La répartton par dscplne des étudants en unversté en 1996 est la suvante : 1. Sachant qu l y avat étudants, détermner les effectfs de chaque modalté. 2. Fare un dagramme crculare de cette sére.

2 Exercce 4. Le 31 décembre derner, le drecteur d un grand magasn d électronque a enregstré le montant des ventes et le nombre des artcles vendus, selon le tableau suvant où n désgne le nombre d artcles vendus dont le prx exprmé en euros est stué dans l ntervalle correspondant : 1. Donner une valeur approchée de l étendue, e la dfférence entre la plus grande et la plus pette valeur de cette sére. 2. Quelle est la classe modale? 3. Construre l hstogramme des effectfs cumulés crossant. 4. On fat l hypothèse que les prx sont répartt de façon unforme dans chaque classe. Construre une lgne brsée qu peut remplacer l hstogramme précédent. 5. Détermner alors une valeur approchée à un euro près de la médane de cette sére. Que représente cette médane? Exercce 5. On consdère les notes suvantes, obtenues en mathématques de la dernère sesson d un examen de BTS par les 35 canddats d un centre d examen : 1. Regrouper en classe cette sére statstque 2. Tracer le dagramme en bâton de cette sére. 3. Détermner une valeur approchée à 0,1 près de la moyenne ans que la valeur de la médane. 4. a. Donner une valeur approchée de l étendue de cette sére. b. Quel est le pourcentage de notes appartenant à l ntervalle [ 7,5;13,5]? quel est approxmatvement l nterquartle de cette sére? c. Donner une valeur approchée à 0,1 près de l écart type de cette sére? 2 2 d. Détermner le pourcentage de notes obtenues appartenant à l ntervalle [ x σ, x + σ ] 3 3

3 Exercce 6. Une mason d édton confe la frappe de ses manuscrts à une entreprse extéreure spécalsée dans la sase nformatque. Cette entreprse effectue une premère sase du manuscrt qu est envoyée à l auteur pour correcton des fautes de frappe. On s ntéresse à la populaton consttuée d un grand nombre de partes, toutes du même nombre de sgnes, de la premère sase du document. De cette populaton, on extrat un échantllon de 315 partes et on compte sur chacune d elles le nombre de fautes de frappe. On a obtenu les résultats suvants, les pourcentages étant arronds : 1. Construre l hstogramme des fréquences de cette sére statstque 2. En utlsant les fréquences cumulées crossantes, tracer le polygone des fréquences cumlées crossantes. 3. Détermner la classe médane. 4. En admettant que la répartton de l effectf est unforme à l ntéreur de chaque classe, détermner la valeur de la médane Me. Que représente cette valeur? Exercce 7. Un sondage effectué sur un ensemble de 800 automoblstes et portant sur la dépense semestrelle relatve à le consommaton de leurs véhcules a donné les résultats suvants : 1. Construre l hstogramme des effectfs cumulés crossants. 2. S, dans chaque classe, les éléments sont réparts de manère unforme, quelle lgne brsée peut remplacer cet hstogramme. 3. En dédure une valeur approchée du nombre d automoblstes dont la dépense est nféreure ou égale à 700 Euros.

4 Exercce 8. Le responsable d un magasn de vêtements a relevé, pendant une semane, le montant en euros des achats de 200 clents. Les résultats fgurent dans le tableau suvant : 1. Quel est le pourcentage des clents dont le montant des achats est stué dans l ntervalle [250 ;550] 2. Dresser le tableau des fréquences cumulées crossantes de cette sére statstque. 3. Représenter l hstogramme des fréquences cumulées crossantes de cette sére. On prendra comme untés 1 cm pour 50 e sur l axe des abscsses et 1 cm pour 0,1 sur l axe des ordonnées. 4. On suppose que, dans chaque classe, les éléments sont réparts de manère unforme. On peut remplacer alors l hstogramme par la lgne brsée défne par le pont d abscsse 50 et d ordonnée 0 et chacun des sommets supéreurs drots des rectangles. a. Tracer cette lgne brsée. On admet que cette sére a pour moyenne x = 375 et pour écart type : σ = 131, 43 b. Par lecture du graphque précédent, estmer le pourcentage de clents dont le montant des achats est comprs entre x σ et x + σ c. Détermner par le calcul une valeur approchée à un euro près de l abscsse du pont I de la lgne brsée d ordonnée 0,5. Vérfer par le graphque. Que représente cette abscsse? Exercce 9. Le gérant d un supermarché effectue une enquête sur le montant des achats des clents. Pour cela, l relève les paements des 300 clents passés à une casse au cours de la journée. Le tableau c-dessous donne la répartton des montants des achats en euros. 1. Construre le polygone des effectfs. On convent de remplacer la dernère classe par une classe ayant la même ampltude que la classe adjacente. 2. Détermner le pourcentage d achats dont le montant est comprs entre 200 F et 700Fr. 3. Calculer la médane, et les quartles Q 1 et Q 3. En dédure l ntervalle nterquartle. 4. Calculer la moyenne et l écart type. 5. Détermner le pourcentage des achats appartenant à l ntervalle [ x σ ; x + σ ]

5 Exercce 10. On consdère la répartton en pourcentages des agents cvls de l Etat selon le montant de leurs salares net mensuels en 1980, en néglgeant les salares au-delà de F. Nous admettrons une répartton unforme à l ntéreur de chaque classe. 1. Tracer l hstogramme des denstés de fréquence de cette dstrbuton. 2. Détermner le mode de cette dstrbuton. 3. Tracer la foncton de répartton emprque. 4. Détermner la valeur de la médane Me. 5. Détermner l ntervalle nterquartle. Exercce 11 Le mare de la commune de «Sant Clocher» ( habtants) vous a accepté en stage d essa, vu vos brllants résultats en statstque descrptve. Il vous soumet le tableau c-dessous, donnant la répatton f % ( fréquences relatves) des habtants selon le montant anuuel x de leurs mpôts locaux ( en centanes d euros). Malheureusement, des tâches de gras empêchent de lre certanes données ( repéréés par les* cdessous). Impôts ( 10 2 Euros ) [2 ;4[ [4 ;6[ [6 ;8[ [8 ;9[ [9 ;10[ [10 ;x*[ [x* ;16[ [16 ;20[ [20 ;40[ [40 ;80[ f % z* / Vous bondssez sur vos peds et vous donnez au mare les deux valeurs manquantes du tableau, ausstôt qu l vous at dt se rappeler que la moyenne x des mpôts état égale à 14,36 (en 10 2 Euros ). 2/ Le mare, très content, vous demande la valeur de l mpôt modal et celle de l mpôt médan. Vous établssez mmédatement un tableau des fréquences cumulées et calculez le mode et la médane de ctte dstrbuton. 3/ on vous sert un café très fort et le mare vous demande dans quel ntervalle est comprs 90% des effectfs. Vous vous revellez et calculez mmédatement la valeur de l écart type σ et répndez alors à la queston du mare.

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