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1 ISTITUT SUPERIEUR DE L EDUCATIO ET DE LA FORMATIO COTIUE Départemet Bologe Géologe S0/ " BIOSTATISTIQUE - " Cours & Actvtés : Modher Abrougu Aée Uverstare Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC - 008

2 PLA DU COURS - BIOSTATISTIQUE BIOSTATISTIQUE L : Statstques descrptves à ue ou deux varables BIOSTATISTIQUE L : Statstques féretelles à ue ou deux varables BIOSTATISTIQUE 3 L3 : Statstques multfactorelles descrptve et féretelles BIOSTATISTIQUE STATISTIQUES DESCRIPTIVES À UE OU DEUX VARIABLES CHAPITRE I. ELEMETS DE STATISTIQUE ET DE BIOSTATISTIQUE. ITRODUCTIO A LA STATISTIQUE. OBJECTIF DES MODULES DE BIOSTATIQUE.. Le module bostatstque I : Statstques descrptves.. Le module bostatstque II : Statstques féretelles.3. Le module bostatstque III : Statstques multfactorelles descrptve et féretelle 3. DEMARCHE GEERALE E STATISTIQUE 3.. L detfcato du problème 3.. Le recuel des doées 3.3. L'aalyse et l'terprétato des doées 4. OTIOS DE BASE ET TERMIOLOGIE 4.. Esemble / Populato / Echatllo / Elémet / Idvdu 4.. Recesemet / Echatlloage 4... Le recesemet 4... L échatlloage 4.3. Caractère / Modalté / Varable: Le caractère Modalté / Mesure Tableau élémetare La varable statstque ature des varables statstques et échelles de mesures Varable quattatf Varable qualtatve Exemple d llustrato des prcpaux types de descrpteurs Varables dépedates et dépedates Les varables dépedates Les varables dépedates La varablté et l'certa e bologe La varablté bologque La varablté métrologque Proprétés des varables 4.4. Iférece et rsque statstque 4.5. Ue défto plus explcte de la bostatstque : 4.6. Déomato mathématque : Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC - 008

3 5. REPRESETATIO DES DOEES 5.. Tableaux statstques 5.. Représetatos graphques et statstque descrptve 5... L hstogramme 5... L hstogramme : paramètres de descrpto (mode et symétre) 5... Barre à moustache - Box Plot 6. STATISTIQUES DESCRIPTIVES UIVARIEES 6.. Paramètre de posto et valeurs cetrales 6... Le mode, ou valeur domate 6... La moyee Calcul de la moyee par chagemet d orge et d uté Autres dcateurs de moyee : La médae et la classe médae Défto géérale : Médae, pour les doées ragées Médae, pour les doées codesées Médae, pour les doées répartes par classes 6..4 Quatles : Mesures de posto statstque e référece à la médae Défto des quatles Les quartles Les décles Les cetles Calculs des quatles Détermato des valeurs de la varable à partr d u rag cetle doées Détermato du rag cetle à partr d ue valeur doée de la varable Moyee et médae Avatages et covéets des dfféretes valeurs cetrales : 6.. Paramètre de dsperso 6... Les paramètres de dsperso absolue 6... L étedue de la varato 6... Quartle et tervalle terquartle : Mesures de la dsperso statstque e référece à la médae 6... L'tervalle terquartle 6... L'tervalle ter-décle Mesures de la dsperso statstque e utlsat l écart sem-terquartle Mesures de la dsperso statstque e référece à la moyee arthmétque Ecart absolu moye ou Ecart Moye Absolu «EMA» 6... Varace et écart-type : 6... Les paramètres de dsperso relatve 6.3 Exercces d Applcatos avec explctato et utlsato du logcel Excel 6.3. Paramètres de forme Coeffcet d asymétre et de dérve Coeffcet d asymétre Coeffcet de dérve Coeffcet d aplatssemet PARTIE EXERCICES CHAPITRE II Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

4 ETUDE DE DEUX VARIABLES STATISTIQUES - SERIE STATISTIQUE DOUBLE -. PRESETATIO D UE SERIE A DEUX VARIABLES. GEERALISATIO DES REPRESETATIOS 3. CALCUL DES FREQUECES D UE STATISTIQUE A DEUX VARIABLES 3.. Fréqueces relatves partelles 4. CALCUL DES MOYEES MARGIALES D UE STATISTIQUE A DEUX VARIABLES 5. COVARIACE 6. COEFFICIET DE CORRELATIO 7. DROITE DE REGRESSIO OU D AJUSTEMET 7.. Importace de l étude de corrélato etre varables statstques 7.. Drote de régresso léare CHAPITRE III. IFORMATIQUE ET STATISTIQUE : Pré-requs, mse à veau et appretssages. IFORMATIQUE : PRE-REQUIS ET MISE A IVEAU.. Matérels et terfaces utles. Pré requs.3 Mse à veau théorque et pratque. APPRETISSAGES IFORMATIQUE ORIETE STATISTIQUE.. Gesto de doées umérque et de tableau sur Word et Excel.. Gesto de calculs et de formules statstque das Excel.3. Gesto et élaborato de calcul statstque sur Excel.4. Gesto et élaborato de représetatos graphques sur Excel.5. Utlsato et serto de Macro das Excel.6. Représetato de séres et calculs statstque (tableau et graphque).7. Ajustemet léare de séres chroologques avec et sas varatos sasoères..8. Présetato et prcpe de logcel d aalyse de doée statstque.9. Utlsato Excel et présetato d XLSTAT comme outl pour statstque descrptve APPLICATIOS ET TRAVAUX DIRIGES EXERCICES APPLIQUES : STATISTIQUES ET IFORMATIQUE PLACHE D ACTIVITES QUELQUES STATISTICIES LEXIQUE FRAÇAIS / AGLAIS BIBLIOGRAPHIE Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

5 CHAPITRE I. ELEMETS DE STATISTIQUE ET DE BIOSTATISTIQUE. ITRODUCTIO A LA STATISTIQUE Statstque : le terme statstque désge à la fos : ) l'esemble des doées umérques cocerat ue catégore de fats (ses très ace). Il s'agt de l'expresso das sa sgfcato la plus usuelle. ) l'esemble des méthodes mathématques permettat : a) de résumer quattatvemet l'formato recuelle sur u esemble d'élémets au moye d'ue vestgato exhaustve. C'est la statstque descrptve, qu fat l'objet de ce cours. b) de gééralser à de grads esembles d'élémets les coclusos trées des résultats obteus avec des esembles beaucoup plus restrets appelés échatllos. C'est la statstque féretelle ou probablste, qu sera brèvemet explctée das ce module et plus explctée das les modules de Bostatstque II et III. Les statstques ot pour orge le beso des États pour gérer ratoellemet leurs ressources. Pour cela, l état écessare après collecte d'formatos (écessté de techques de quatfcato ; producto de doées ombreuses, orgasées e tableaux) de dsposer de méthodes permettat de défr les varatos, les évolutos, les ressemblaces ou les dfféreces etre régos, etre aées, etre catégores. Exemple de problèmes : Déombremet des populatos humaes : recesemets Déombremet des terres et leur répartto. Calcul et répartto des mpôts. Ces techques se sot mses e place grâce au développemet du calcul des probabltés au 8 ème sècle; pus, au 9 ème sècle grâce à l émergece des méthodes statstques. Il s'agssat au départ de l'étude méthodque des fats socaux par des procédés umérques : classemets, déombremets, vetares chffrés, recesemets, destés à reseger et à ader les gouveremets das leurs prses de décsos. À partr de 843, la statstque désge l'esemble de techques d'terprétato mathématque applquées à des phéomèes pour lesquels ue étude exhaustve de tous les facteurs est mpossble, à cause de leur grad ombre ou de leur complexté. Les statstques s'appuet sur les probabltés et sur la lo des grads ombres. La statstque vse à décrre, à résumer et à terpréter des phéomèes dot le caractère essetel est la varablté. Elle fourt de la maère la plus rgoureuse possble des élémets d'apprécato utles à l'explcato ou à la prévso de ces phéomèes, mas elle 'explque e prévot aucu d'etre eux (Vgero 997). La méthode statstque permet égalemet d'éprouver la valdté de résultats (obteus, mesurés, collectés) e focto même de leur varablté, das les domaes où les varatos sot la règle, c'est-à-dre les domaes de la bologe sesu lato, das celu des sceces de l'evroemet égalemet. La méthode statstque fourt de ce fat à tous les persoels cofrotés à l'terprétato de résultats d'observato ou d'expérmetato, u outl d'terprétato adapté aux codtos partculères de leur domae d'actvté. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

6 L'attrat des chffres tet das la croyace que la mesurato est le crtère prmordal de toute étude scetfque (Fracs Galto (8-9)). Cette fascato répod à l'dée que ce que ous voyos et mesuros das le mode 'est que la représetato superfcelle et mparfate d'ue réalté cachée. Il faut se méfer de cette tedace qu veut que les mesures abstrates résumat de grads tableaux de doées dovet exprmer écessaremet quelque chose de plus réel et de plus fodametal que les doées elles-mêmes. Tout statstce dot fare u effort pour cotrebalacer cette tedace. C'est pourquo toute terprétato statstque dot précser claremet quelles doées (populato, échatllo), et quelles hypothèses ot été utlsées pour aboutr à u certa type de cocluso.. OBJECTIF DES MODULES DE BIOSTATIQUE L esegemet de la bostatstque est subdvsé e 3 modules : Bostatstque I, Bostatstque II et Bostatstque III. Ces tros modules complémetares ot pour objectfs de permettre aux étudats de développer des compéteces qu leur permettrot : - d acquérr et de parfare la coassace des prcpales otos relatves à l utlsato des méthodes statstques, - de résoudre des questos emprques par l utlsato des tests statstques, - de maîtrser et de compléter les otos de bases des statstques e vue de les applquer à des exemples spécfques aux sceces bologques, prses das leur ses gééral (bologe, médece, pharmace, écologe ) - d applquer ces otos et méthodes sur des doées bologques à partr de logcels smples - d utlser des logcels de statstque et d appredre la lecture de leurs résultats. Les statstques costtuet, e bologe, l'outl permettat de répodre à de ombreuses questos qu se poset e permaece aux bologstes, e voc, à ttre d exemples quelques ues : - Quelle est la valeur ormale d'ue gradeur bologque, talle, pods, glycéme? - Quelle est la fablté d'ue mesure ou d ue observato? - Quel est le rsque ou l avatage d u tratemet? - Les codtos expérmetales A sot-elles plus effcaces que celles des codtos de B? - Les effets de la varable A sot-ls les mêmes ou dffèret-ls des effets de la varable B? Ces cours vset à développer la compréheso coceptuelle des bostatstques, à travers l applcato, les suppostos sous-jacetes, et l terprétato d aalyses statstques présetées avec u mmum de formules et avec l assstace d terface et de logcels formatques... Le module bostatstque I : Statstques descrptves Ce module est ue tato aux otos fodametales de statstque descrptve (o paramétrque et paramétrque). Il explctera les procédés classques de la statstque à ue dmeso, u-modale, bmodale et u-varée qu permettet de résumer et d aalyser l formato recuelle sur chaque caractère (varable (cotue ou dscrète, qualtatve ou quattatve)) prs solémet. Ce module de Bostatstque, vse à ter les étudats aux statstques et à préseter brèvemet la premère étape de l aalyse des doées : la descrpto. L objectf poursuv das ue telle aalyse est de 3 ordres : - tout d abord, obter u cotrôle des doées et élmer les doées aberrates, - esute, résumer les doées (opérato de réducto) sous forme graphque ou umérque, - ef, étuder les partculartés de ces doées Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

7 Ce qu permettra évetuellemet de chosr des méthodes plus complexes. Les méthodes descrptves se classet e deux catégores qu souvet sot complémetares : la descrpto umérque et la descrpto graphque. La présetato sythétque d u grad esemble de doées résultat de l étude de pluseurs caractères quattatfs ou qualtatfs sur ue populato sera tratée par le module de bostatstque III... Le module bostatstque II : Statstques féretelles Ce module repred les élémets de bases des statstques descrptves e y trodusat ue approche plus probablste. Les méthodes statstques sot oretées vers des études classques d estmato et d hypothèse, de maère à satsfare les codtos d'applcatos des méthodes de l'férece (approche déductvste). Il four des outls statstque qu permettet d'étedre ou de gééralser, das certaes codtos, les coclusos obteues par la statstque descrptve à partr de la fracto des dvdus (échatllo) que l'o a observé ou étudé expérmetalemet, à l'esemble des dvdus costtuat la populato. L'objectf de ce module de statstque féretelle est de fourr des résultats relatfs à ue populato à partr de mesures statstques réalsées sur des échatllos ou de comparer statstquemet et de faço sgfcatve s des échatllos sot detques ou o selo u ou pluseurs paramètres ou tests (dépedace, hypothèses, estmato, )..3. Le module bostatstque III : Statstques multfactorelles descrptve et féretelle Ce module complète les modules de bostatstque I et II. Il sera cetré sur l étude multfactorelle qu fourt des méthodes vsat à décrre l formato globale dot o dspose quad o cosdère les caractères étudés das leur esemble. Les terrelatos etre les caractères et leurs effets sur la structurato de la populato serot prs e cosdératos. L Aalyse e Composates Prcpales (ACP) et l Aalyse Factorelle des Correspodaces (AFC) ot pour but de révéler ces terrelatos etre caractères et de proposer ue structure de la populato. U des térêts majeurs de ces aalyses est de fourr ue méthode de représetato d ue populato décrte par u esemble de caractères dot les modaltés sot quattatves (mesures cotues), pour ue ACP, ou qualtatves (pour ue AFC). 3. DEMARCHE GEERALE E STATISTIQUE Toute étude statstque peut être décomposée e deux phases au mos : le recuel ou la collecte des doées statstques, et leur aalyse ou leur terprétato. 3.. L detfcato du problème La phase prélmare à toute approche statstque vse à détermer et detfer le problème par u esemble de questoemets qu permettrot de délmter les vestgatos et les dfféretes approches : Quels sot les objectfs? Quelle est la populato ou l échatllo à étuder? Quels sot les caractérstques et les varables? Que pourra apporter ue étude statstque? Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

8 3.. Le recuel des doées ous appelleros doées les valeurs obteus et référecées sute à ue vestgato ou ue étude réalsée (mesures, observatos, equêtes, ). Le recuel des doées peut être réalsé sot par la smple observato des phéomèes, sot par l'expérmetato, c'est-à-dre e provoquat volotaremet l'apparto de certas phéomèes cotrôlés. Exemple : le rôle de quelques substaces (, P, K) das la producto de bomasse chez les végétaux. Lorsque les doées sot très ombreuses, ou partculèremet dffcles à obter, l sera écessare pour la mse e oeuvre ratoelle du recuel de défr des méthodes approprées de collecte. Il s'agra de plas d'échatlloage ou de plas d'expérece dot la mse e oeuvre sera focto du type de problème que l'o est ameé à résoudre. Exemple : la umérato des mammfères d'ue are protégée : vetare et recesemet. Il exste de ce fat pluseurs méthodes de collecte des doées (vor otos de base et termologe): 3.3. L'aalyse et l'terprétato des doées L'aalyse statstque se subdvse e deux étapes : - La statstque déductve ou descrptve : elle a pour but de résumer et de préseter les doées observées sous la forme la plus accessble (smplfcato et réducto des doées, à la fos vsuelle et coceptuelle). - L'aalyse ductve ou férece statstque est l'esemble des méthodes permettat de formuler e termes probablstes u jugemet sur ue populato, à partr des résultats observés sur u échatllo extrat au hasard de cette populato. Les méthodes statstques les plus classques sot celles de l'estmato (estmato par domae de coface) et celles de l'épreuve d'hypothèse. Leurs coceptos de base sot dues essetellemet à R.A. Fsher (890-96). Elle permet d'étedre ou de gééralser, das certaes codtos, les coclusos obteues par la statstque descrptve à partr de la fracto des dvdus (échatllo) que l'o a observé ou étudé expérmetalemet, à l'esemble des dvdus costtuat la populato. Les codtos (de valdté) sot lées aux hypothèses fates sur la populato coteat les dvdus et sur la faço dot ot été prses les mesures. Cette phase ductve comporte des rsques d'erreur qu'l covet d'apprécer. Ces deux étapes sot terdépedates. E partculer, l'observato et l'expérmetato dovet être orgasées (protocole) de maère à satsfare les codtos d'applcatos des méthodes de l'férece. L'objectf de la statstque féretelle est de fourr des résultats relatfs à ue populato à partr de mesures statstques réalsées sur des échatllos (prévso, décso..) Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

9 4. OTIOS DE BASE ET TERMIOLOGIE 4.. Esemble / Populato / Echatllo / Elémet / Idvdu - L esemble e statstque, est la collecto (fe ou fe) d'utés, ou d'élémets, sur laquelle porte l'observato. Pour que cet esemble sot correctemet déf, l faut lu doer ue défto précse de faço à ce que deux persoes dfféretes aboutsset toujours à la même lste d'élémets. L'esemble des élémets observés sera appelé E. - Les élémets sot les objets costtutfs de l'esemble. Ce sot des objets détermés dot l'apparteace à tel ou tel esemble E est sas ambguïté. Les élémets peuvet être désgés par leur posto das le tableau de doées : pour le premer, pour u élémet quelcoque, pour le derer élémet, pour la somme des élémets costtuat l esemble. * Exemple : Élémet : membre d'ue populato statstque (spécme, prélèvemet d'eau, dvdu...) * Questo Quel est l'élémet? Il faut le défr de maère à pouvor le recoaître sas ambguïté. - La populato correspod à l'esemble des dvdus sur lequel porte l étude ou la prévso, (l est gééralemet dffcle de l étuder das sa totalté), et l échatllo représete la fracto de cette populato qu est réellemet observée ou étudée : - Populato-cble : esemble des élémets vsés, e prcpe, par l'échatlloage. * Questo Quelle est la populato-cble? Il s'agt là de la populato sur laquelle o amerat be que les coclusos de l'étude portet. - Populato statstque : esemble des élémets effectvemet représetés par l'échatlloage. Les élémets qu la composet se caractérset par au mos ue caractérstque commue et exclusve qu permet de les dstguer sas ambguïté. * Questo Quelle est la populato statstque? Il faut metoer la ou les caractérstques qu permettet de la dstguer de tout autre populato statstque. - Populato bologque: esemble des dvdus d'ue même espèce habtat u leu doé à u momet doé. oto qu relève davatage de la bologe que de la statstque. * Questo Quelle est la populato bologque? Il faut spécfer le temps et le leu. - Commuauté : esemble des dvdus de dverses espèces retrouvés das u espace et u temps doés. oto qu relève davatage de la bologe que de la statstque. - Quelle est la commuauté? Il faut spécfer le temps et le leu. Exemples gééraux: - Pour les sttuts de sodage, la populato étudée sera u esemble d'hommes et de femmes occupat ue porto défe de l'espace (pays, régo, commue) et l'échatllo " représetatf" sera u ombre lmté mas représetatf des catégores pertetes e focto Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

10 du problème posé (âge, sexe, catégores soco-professoelles, orge géographque, etc.) (Pour la Tuse, échatllos de 000 à 00 dvdus pour ue populato de près de 0 mllos d'habtats). - Toute l'eau qu s'écoule d'ue rvère à u momet doé costtue la populato. Les 0 prélèvemets de 0 cm 3 que l'o va aalyser costtuet l'échatllo. - Le sag d ue persoe peut être cosdéré comme ue populato, ue prse de sag comme u prélèvemet (dvdu, observato) et l esemble des prélèvemets sera cosdéré comme u échatllo. La oto d dvdu est très large : les élémets d u échatllo ou d ue populato sot appelés gééralemet des dvdus, cepedat cette oto peut être remplacé par pluseurs déomatos: uté statstque, sujet, objet, élémet, observato, mesure, doses, toutefos, dès que la déomato est chos aucue ambguïté e dot persstée. 4.. Recesemet / Echatlloage 4... Le recesemet : qu cosste gééralemet e u recuel d formatos auprès de tous les dvdus d ue populato (ce qu est très dffcle das le cas de la Bostatstque, mas plus facle das des études démographque). Il est plus adapté à l étude des populatos. Il cosste e u déombremet de toutes les persoes ou dvdus ou attrbuts d ue populato das sa totalté. Il s agt de la source de doées la plus complète dot o dspose sur la populato. La méthode est très fastdeuse car re est églgé pour ter compte de chaque dvdu. E effet, le recesemet est très mportat pusqu l s agt de la seule equête permettat de brosser u tableau détallé de toute la populato. L equête ou la prse de doées ou le référecemet des attrbuts couvre toute la populato, ce qu faclte la comparaso des resegemets eregstrés. Exemples : populato d u pays ; polluto modale ; amaux e voe de dsparto ; géome huma ; L échatlloage : qu cosste gééralemet e u recuel d formatos auprès de quelques dvdus ou parte d ue populato «l échatllo», (ce qu est gééralemet le cas e Bostatstque). Parfos l échatlloage se fat par sodage (cas e géologe (tremblemet de terre), e médece) Échatllo : fragmet d'u esemble prélevé pour juger de cet esemble. Fracto de la populato statstque sur laquelle des mesures sot fates pour coaître les proprétés de cette populato. * Questo - quel est l'échatllo? Quel est so effectf? Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

11 Fgure : Populatos et échatllos Échatllo représetatf : échatllo qu représete fdèlemet la composto et la complexté de la populato statstque. - pour être représetatf, u échatllo dot être aléatore. - représetatf e veut pas dre "coforme à l'dée que le chercheur se fat de la populato"! Échatllo aléatore: échatllo prélevé de maère à ce que chacu des élémets de la populato statstque at ue probablté coue et o ulle d'apparter à cet échatllo. - u échatllo aléatore est représetatf de sa populato statstque - aléatore e sgfe pas "'mporte commet"! Échatllo aléatore smple : prélèvemet au hasard, de faço dépedate, d'u certa ombre d'élémets de la populato statstque. Tous les élémets ot la même probablté d'être clus das l'échatllo Caractère / Modalté / Varable: Le caractère, les élémets d'u esemble sot décrts par u caractère. Cela revet à établr ue correspodace etre chaque élémet de l'esemble E et l'esemble X des modaltés ou des valeurs du caractère. La focto f : E X x est ue applcato au ses mathématque : chaque élémet de E a ue modalté (caractère qualtatf) ou ue valeur (caractère quattatf) et ue seule das X. As le caractère peut être déf comme ue des caractérstques ou des attrbuts d u dvdu, Modalté / Mesure : la modalté (respectvemet la mesure) est l ue des formes partculère d u caractère. Les dfféretes stuatos où les élémets de E peuvet se trouver à l'égard d'u caractère qualtatf cosdéré, sot les dfféretes modaltés du caractère qualtatf X. Das le cas ou le caractère X est quattatf, les dfféretes stuatos où les élémets de E peuvet se trouver sot des mesures. Ces modaltés ou ces mesures dovet être à la fos compatbles (u élémet de E e peut predre qu'ue seule modalté) et exhaustve (à chaque élémet de E dot pouvor correspodre ue modalté de X) de sorte que chaque élémet de E at ue modalté et ue seule das X. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC - 008

12 E statstque, chaque dvdu peut être déft par u esemble d attrbuts qu le caractérse das le cotexte d u problème étudé. La couleur du pelage est u caractère Les varates de la couleur du pelage sot des modaltés : or, grs,... Le sexe est u caractère, ses modaltés sot de types : sot male sot femelle La talle peut predre pluseurs modaltés : m ;,m ;,m etc Autres exemple de caractères : Le taux de glycéme, la vtesse de coagulato ; la producto latère ; Tableau élémetare : c'est u tableau à smple etrée où les lges correspodet aux élémets de l'esemble étudé et les coloes aux caractères (ou varables) décrvat ces élémets (Tableau (. et.)). Observatos Varables Varable Varable Varable Varable p Observato Observato Observato Observato Tableau. : exemple de tableau de sase élémetare La premère coloe est e prcpe réservée à la lste omale des élémets. Tableau. : Exemples de tableaux de doées La varable statstque, chaque attrbut (ou caractère ou caractérstque) a des modaltés, ou peut s exprmer selo ue mesure, celles-c varet d u dvdu à l autre ou d u groupe d dvdus à u autre groupe d dvdus. La varable statstque est le om que l o doe à ces caractères (attrbuts, caractérstques). Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC - 008

13 Explctato de varable e bologe : caractérstque mesurable ou observable sur u élémet (varable propre) ou das so evroemet (varable assocée) ature des varables statstques et échelles de mesures Das chaque étude statstque l est très mportat de cosdérer la ature des doées (observatos, caractères, attrbuts) que l'o va tester. D'elle déped la ature des opératos possbles et doc des statstques utlsables das chaque stuato. Il est doc prmordal de précser la ature de chaque varable, ou caractère. Il exste deux types de varables (ou observatos, celles-c peuvet être sot quattatves sot qualtatves. Ces varables peuvet être mesurées d où l mportace du chox des échelles de mesures, c'est-à-dre, des règles permettat d affecter ue valeur à chaque dvdu de la populato ou de l échatllo Varable quattatf : c'est u caractère auquel o peut assocer u ombre c'est-àdre, pour smplfer, que l'o peut "mesurer" (gradeur mesurable). Les dfféretes stuatos où peuvet se trouver les élémets sot des mesures; elles sot ordoables et la moyee a ue sgfcato O dstgue alors deux types de caractère quattatf : a - Varable dscrète ou dscotue : c'est u caractère quattatf, u tel caractère e pred qu'u ombre f de valeurs (valeur etère déombrable et sas aucue valeur termédare). Les dfféretes stuatos où peuvet se trouver les élémets (observatos, mesures, valeurs, ) sot des ombres solés dot la lste peut être étable a pror. Exemple: (ombre d'efats, ombre de pétales d ue fleur, ombre de dets,..) : ( ; ; 3 ; 4 ; 5 ;.0 ; ; ) b - Varable cotue : c'est u caractère quattatf, u tel caractère peut, théorquemet, predre toutes les valeurs d'u tervalle de l'esemble des ombres réels. Toutes les valeurs e sot pas déombrables et e peuvet pas être établt a pror. Ses valeurs sot alors regroupées e classes (talle, temps, pods, vtesse, glycéme, alttude, surfaces,.) (,60 m ;,6 m ;,6 m ;..) c - Les mesures des doées ou varables quattatves compreet les déombremets (ou comptages) et les mesures (ou mesuratos). c - Das le cas des déombremets, la caractérstque étudée est ue varable dscrète ou dscotue, e pouvat predre que des valeurs etères o égatves (ombre de fruts par rameau, ombre de pétales par fleur, ombre de têtes de bétal..). Il sufft de compter le ombre d'dvdus affectés par chacue des valeurs de la varable. Exemple : ombre de pétales par fleur das u échatllo de 000 fleurs de Reoculus repes. ombre de pétales par fleur ombre de fleurs c - Das le cas des mesures, la varable est de ature cotue (hauteur, pods, surface, cocetrato, température..). Les valeurs possbles sot llmtées mas du fat des méthodes de mesure et du degré de précso de l'apparel de mesure, les doées varet toujours de faço dscotue. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

14 Les mesuratos peuvet être réalsées das pluseurs échelles de mesure : l échelle umérque, l'échelle de rapport, l'échelle d'tervalle. Elles sot mapulables suvat les opératos de l'arthmétque. c. - L'échelle umérque est caractérsée par l mportace des valeurs mesurées. Le (0) sgfe be l'absece du phéomèe. Exemple : populato, taux de fécodté, précptatos. c. - L'échelle de rapport ou de taux exprme le rapport etre deux valeurs. Leur total 'a pas de sgfcato et caractérsé par l'exstece d'u zéro absolu et de dstaces de talle coue etre deux valeurs quelcoque de l'échelle. C'est le cas de la mesure de la masse ou du pods. E effet, les échelles de mesure des pods e pouds ou e grammes ot toutes deux u zéro absolu et le rapport etre deux pods quelcoque d'ue échelle est dépedat de l'uté de mesure (le rapport des pods de deux objets mesurés e pouds et celu de ces mêmes objets mesurés e grammes sot detques). (Desté de populato, proporto à ue date ou à u leu doée). c.3 - Das l'échelle d'tervalle, le pot zéro et l'uté de mesure sot arbtrares mas les dstaces etre deux valeurs quelcoques de l'échelle sot de talle coue. Ue telle échelle permet de repérer la posto de chaque élémet par rapport à ue orge arbtrare. La valeur 0 est doc covetoelle et e sgfe pas l'absece du phéomèe C'est le cas de la mesure de la température (échelle Fahrehet ou Celsus), de la Lattude de la Logtude, l alttude,... Ces échelles quattatves sot compatbles avec l'utlsato de tests paramétrques Varable qualtatve : c'est u caractère qualtatf, das ce type de varable les modaltés e sot pas quatfables (pas mesurables) (couleur des yeux, douleur, ). Ce sot des oms ou ce qu revet au même des sgles ou des codes. Les dfféretes modaltés e sot pas ordoables. Atteto, même s les modaltés sot des codes umérques, les opératos sur les modaltés 'ot aucu ses. Exemple : type de relef avec tros modaltés (plae, motage, plateau), ou ecore talle d ue che écologque avec quatre modaltés (pette, moyee, grade, très grade). Les doées qualtatves peuvet être assmlées au cas des varables dscotues, e supposat que les dfféretes varates du caractère qualtatf sot ragées das u ordre correspodat par exemple à la sute des ombres eters postfs (dfféretes couleurs, dfférets degrés d'fecto...). Les doées qualtatves peuvet être réalsées das deux échelles de mesure : échelle de ragemet et l'échelle omale. Ces doées e sot pas mapulables par l'arthmétque. a - Das l'échelle ordale (de ragemet), o parle das ce cas de caractère ordal (caractères qu peuvet être exprmés sur ue échelle ordale) : das cette échelle chaque modalté est explctemet sgfcatve du rag prs par chaque dvdu pour le caractère cosdéré. S E possède élémets, les modaltés serot er, eme, 3 eme,... eme. Comme o possède juste l'ordre des dvdus, o e sat re de l'tervalle des valeurs. Il exste ue certae relato etre les objets du type plus grad que, supéreur à, plus dffcle que, préférée à... Ue trasformato e chageat pas l'ordre des objets est admssble. La statstque la plus approprée pour décrre la tedace cetrale des doées est la médae. b - Das l'échelle omale, les ombres ou symboles detfet les groupes auxquels dvers objets apparteet. C'est le cas des uméros d'mmatrculato des votures ou de sécurté Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

15 socale (chaîes de caractères). Le même ombre peut être doé aux dfféretes persoes habtat le même départemet ou de même sexe costtuat des sous-classes. Les symboles désgat les dfféretes sous-classes das l'échelle omale peuvet être modfés sas altérer l'formato essetelle de l'échelle. Les seules statstques descrptves utlsables das ce cas sot le mode, la fréquece... et les tests applcables serot cetrés sur les fréqueces des dverses catégores. Ces deux derères échelles e permettet que l'utlsato de tests o paramétrques Exemple d llustrato des prcpaux types de descrpteurs Fgure : Typologe des caractères pour ue approche statstque Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

16 Fgure 3 : Exemples de varables statstques et échelles de mesures Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

17 APPLICATIO I Applcato I. Idetfez le type (et le sous-type) des varables suvates : Réposes a) Le ombre d amaux par laboratore ; a) quattatf dscret b) La che écologque prcpale ; b) qualtatf omal c) Le modèle de matérel utlsé ; c) qualtatf omal d) La dstace e klomètre etre le prélèvemet A et le prélèvemet B ; d) quattatf cotue e) Être végétare ou o ; e) qualtatf ordal f) Le temps passé à observer le comportemet X ; f) quattatf cotue g) Avor ou o ue répose; g) qualtatf ordal h) Le ombre de frères et soeurs. h) quattatf dscret Varables dépedates et dépedates E statstque o adopte ecore ue autre dchotome pour le cocept de varable e parlat de varables dépedates et de varables dépedates Les varables dépedates sot celles qu sot mapulées par l expérmetateur (l apparteace au groupe et ous cotrôlos les tratemets applqués aux dfférets groupes) Les varables dépedates sot celles qu sot mesurés, référecés, exemple de doées (surve, résstaces, tolérace, performace, ). Fodametalemet, ue étude porte sur les varables dépedates et les résultats de l étude (les doées) sot les varables dépedates La varablté et l'certa e bologe Toutes les questos, propremet bologque e relato avec les statstques, reflètet ue proprété fodametale des systèmes bologques qu est leur varablté. Cette varablté est la somme d'ue varablté expérmetale (lée au protocole de mesure) et d'ue varablté propremet bologque. O peut as décomposer la varablté d'ue gradeur mesurée e deux grades composates : Varablté Totale Varablté Bologque + Varablté Métrologque La varablté bologque Elle peut être décomposée e deux termes : - d'ue part la varablté tra-dvduelle, qu fat que la même gradeur mesurée chez u sujet doé peut être soumse à des varatos aléatores ; - d'autre part la varablté terdvduelle qu fat que cette même gradeur vare d'u dvdu à l'autre. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

18 Varablté Bologque Varablté tra-dvduelle + Varablté terdvduelle La varablté tra-dvduelle peut être observée lors de la mesure de la performace d'u athlète qu 'est pas capable des mêmes performaces à chaque essa, mas qu se dfférece des autres athlètes (varablté terdvduelle). E gééral, la varablté tra est modre que la varablté ter La varablté métrologque Elle peut être elle auss décomposée e deux termes : d'ue part les codtos expérmetales dot les varatos etraîet u facteur d'aléas ; et d'autre part les erreurs dutes par l'apparel de mesure utlsé. Varablté Métrologque Varablté Expérmetale + Varablté strumetale (apparel de mesure) La mesure de la presso artérelle peut grademet varer sur u dvdu doé suvat les codtos de cette mesure ; l est as recommadé de la mesurer après u repos d'au mos 5 mutes, allogé, e mettat le patet das des codtos de calme maxmal. Cette recommadato vse à mmser la varablté due aux codtos expérmetales. La précso de l'apparel de mesure est ue doée trsèque de l'apparel, et est foure par le costructeur Proprétés des varables Caractérstques mesurables ou observables. Propres (attrbut de l'élémet) ou assocées (composate de so evroemet). Aléatores (dfféretes varates peuvet apparaître, chacue avec ue certae probablté) ou cotrôlées (le chercheur obtet avec certtude la varate désrée, e gééral par mapulato). Dépedates (o cherche à e compredre ou prévor le comportemet) ou dépedates (explquet par hypothèse au mos ue parte du phéomèe étudé). Smples ou complexes (ex.: rapports, pourcetages...). Dvers types mathématques et échelles de varato Iférece et rsque statstque Iférece statstque: gééralsato à la populato statstque des résultats d'u test statstque réalsé sur u échatllo représetatf de cette populato. Cette gééralsato se fat au rsque du statstce. Gééralsato à la populato-cble: lorsque cette derère est dfférete de la populato statstque, cette gééralsato se fat au rsque du bologste. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

19 Fgure 4 : Représetato graphque de dfféretes populatos et des rsques 4.5. Ue défto plus explcte de la bostatstque : La statstque est u esemble d strumets scetfques par lesquels o recherche à explquer certas phéomèes. Elle se compose de méthodes permettat de recuellr, de classer, de préseter et d aalyser des observatos relatves à ces phéomèes pour e trer esute des coclusos et predre des décsos. E bologe, la statstque est u esemble de méthodes vsat à décrre, à résumer et à terpréter des phéomèes dot le caractère essetel est la varablté Déomato mathématque : - E : représete l esemble de tous les dvdus sur lequel porte l étude statstque - Ω : représete la populato sur laquelle porte l étude statstque, S E est ue éumérato exhaustve de tous les dvdus susceptbles d être aalysés, l peut être appelé populato ou uvers et sera oté Ω. Das le cas cotrare, E sera u échatllo de Ω. - E : représete le cardal de E, c est le ombre de doées (ou d observatos) référecées, l correspod à l effectf ou la talle qu est gééralemet oté. La talle de l échatllo est l effectf ou le ombre d dvdus sur lequel sot réalsé effectvemet les observatos, c est u sous esemble de E (das le cas où E caractérse la populato etère), l correspod gééralemet au cardal E. - : représete la talle d ue populato ou d u échatllo, c est u ombre qu désge le ombre d dvdu que rassemble u échatllo ou ue populato. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

20 - p : représete l esemble des varables caractérsat les dvdus sur lequel porte l étude statstque. E est de dmeso p, s l aalyse de E est fate selo p varables (où p IΝ (eter aturel)). Exemple : Das ue populato E, o étude 4 varables (w, x, y, et z) : w : age, x : le sexe, y : la talle et z : le pods. Das ce cas E est de dmeso p, ou de dmeso 4 - Système de otato Lorsqu'o mesure la valeur ou observe l'état d'u certa ombre de varables sur u élémet, o utlse l'ue ou l'autre des otatos suvates pour désger les varables : - s'l y a ue, deux ou tros varables : x, y et z - s'l y a plus de tros varables: x, x, x3... xj... xp Les varables sot doc umérotées de la premère, à la p-ème, ue varable quelcoque état la jème. U jeu de doées (p.ex. u échatllo) comporte élémets. U quelcoque de ces élémets est le -ème. Ces élémets sot souvet qualfés d'observatos ou d'objets. - lorsqu'o mesure la valeur d'ue varable x sur u élémet quelcoque (le -ème), o désge cette valeur par x. - vare de à, doc o a les mesures x, x,... x... x. S le jeu de doées cosste e u tableau de élémets décrts par p varables (tableau p), o ote: Il arrve que les élémets soet réparts e k groupes caractérsés par ue varable qualtatve. Das ce cas, o peut auss oter les observatos d'ue varable par u double dce, le premer désgat le uméro de l'observato au se d'u groupe (-ème élémet), le deuxème désgat le uméro du groupe (gème groupe ou j-ème groupe): - xg ou ecore xj la mesure prse sur le -ème élémet du g-ème (ou j-ème) groupe. Modher Abrougu Bostatstque «I» ISEFC

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