Incertitudes expérimentales

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1 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 995 Icerttudes érmetales par Fraços-Xaver BALLY Lcée Le Corbuser Aubervllers et Jea-Marc BERROIR École ormale supéreure Pars RÉSUMÉ Cet artcle s téresse aux problèmes lés à l évaluato des certtudes érmetales que l o peut recotrer lors d ue séace de travaux pratques, das l esegemet secodare, e classes préparatores ou à l uversté. Issu d u esegemet e préparato à l agrégato de phsque, l est davatage cetré sur la pratque que sur des cosdératos théorques. Les pots suvats sot abordés : défto de l certtude érmetale, étude statstque, propagato des certtudes, modélsato et vérfcato d ue lo phsque. De ombreux exemples pratques sot présetés. INTRODUCTION La oto d certtude est essetelle das la démarche érmetale. Sas elle, o e peut juger de la qualté d ue mesure, de sa pertece ou de sa compatblté avec ue lo phsque. Cet artcle vse à fourr les outls écessares à l aalse de résultats érmetaux. O trodut d abord la oto d certtude. Pus, o motre commet, à l ade d ue étude statstque, o peut quatfer les certtudes assocées au caractère aléatore des processus de mesure. O motre esute commet évaluer l certtude sur ue gradeur obteue par calcul à partr d u certa ombre d autres gradeurs mesurées. Ef, o aborde le problème de la modélsato et de la vérfcato d ue lo phsque. O fourt les outls écessares à ue approche quattatve de ce problème. Das tous les cas, l accet est ms sur la pratque et de ombreux exemples cocrets sot présetés. 1. ERREUR ET INCERTITUDE Beaucoup de scetfques cofodet ces deux termes et parlet de calculs d erreurs au leu de calculs d certtudes Erreurs Défto de l erreur Lors de la mesure d ue gradeur phsque x, l erreur est la dfférece etre la valeur Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

2 996 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E mesurée (1) x et la valeur vrae X. La valeur vrae est e gééral coue (pusqu o la cherche) Erreurs aléatores et erreurs sstématques Erreurs aléatores Lorsqu o mesure la pérode d oscllato d u pedule e opérat avec u chroomètre mauel, o costate qu e répétat les mesures o trouve des résultats légèremet dfférets, dus surtout aux retards de déclechemet qu vot rédure ou accroître la valeur de la pérode suvat qu ls ot leu au début ou à la f de la mesure. Ce phéomèe sera détecté par ue étude statstque. O parle d erreur aléatore. Le résultat de la mesure est caractérsé par ue dstrbuto de probablté () réparte autour de la valeur vrae das le cas d erreurs puremet aléatores Erreurs sstématques Supposos mateat qu o mesure la pérode d oscllato d u pedule avec u chroomètre faussé qu dque toujours des temps % trop fables. L étude statstque e le détectera pas. O parle d erreur sstématque : c est la composate de l erreur qu e vare pas das des codtos de mesure répétées. Plus gééralemet les erreurs sstématques ot des orges dverses : Erreur d étaloage Exemple : MILLIkAN a trouvé ue valeur exacte de la charge de l électro parce qu l avat prs ue valeur fausse de la vscosté de l ar. Oubl d u paramètre Exemple : Ifluece de la température sur la vtesse du so (s o e précse pas la température l est mpossble de comparer la mesure à ue valeur de référece). Procédure erroée Exemple : Mesure d ue résstace sas ter compte des résstaces de l ampèremètre et du voltmètre Les erreurs sstématques sot dffcles à détecter a pror, mas ue fos détectées, o peut souvet les corrger (par exemple e teat compte des résstaces de l ampèremètre et du voltmètre lors de la mesure d ue résstace). O représete classquemet les rôles respectfs des erreurs aléatores et sstématques par ue aaloge avec u tr sur cble (cf. fgure 1, page c-cotre), le cetre de la cble représetat la valeur vrae de la gradeur à mesurer : s tous les mpacts sot proches du cetre : fables erreurs aléatores et fable erreur sstématque ; s les mpacts sot très étalés, mas cetrés e moee sur la cble : fortes erreurs aléatores et fable erreur sstématque ; (1) Pour smplfer les otatos, das toute la sute o désge par la même lettre x la gradeur phsque et sa valeur mesurée. () Des rappels élémetares de statstques sot présetés e aexe. Icerttudes érmetales Le Bup 98

3 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 997 s les mpacts sot groupés, mas lo du cetre : fables erreurs aléatores et forte erreur sstématque ; s les mpacts sot étalés et lo du cetre : fortes erreurs aléatores et forte erreur sstématque. Le défaut de cette aaloge est qu e gééral, das les mesures phsques o e coaît pas le cetre de la cble! U exemple plus complexe : S o mesure ue dstace avec ue règle e métal souple, la flexo de la règle va trodure ue erreur sstématque (la dstace lue est toujours trop grade) et aléatore (la flexo de la règle est varable). 1.. Icerttude Fgure 1 : Rôles respectfs des erreurs aléatores et sstématques. L certtude δx tradut les tetatves scetfques pour estmer l mportace de l erreur aléatore commse. E absece d erreur sstématque, elle déft u tervalle autour de la valeur mesurée qu clut la valeur vrae avec u veau de coface détermé. La détermato de l certtude est pas smple a pror. O recotre e prat - que deux stuatos : δx est évalué statstquemet : o parle alors d évaluato de tpe A de l certtude. O cherche das ce cas à caractérser la dstrbuto de probablté des valeurs de x, e évaluat le meux possble la valeur moee et l écart-tpe de cette dstrbuto. Cec se fat par l aalse statstque d u esemble de mesures de x, présetée e détal au paragraphe. E l absece d erreur sstématque, l estmato de la valeur moee est la melleure estmato de la valeur vrae X tads que l certtude δx, drectemet relée à l estmato de l écart-tpe de la dstrbuto, déft u tervalle das lequel la valeur vrae de X se trouve avec u veau de coface cou. O chost le plus souvet comme certtude l estmato de l écart-tpe de la dstrbuto. O parle alors d certtude-tpe. δx est évalué par d autres moes : o parle alors d évaluato de tpe B de l certtude. S o e dspose pas du temps écessare pour fare ue sére de mesures, o estme δx à partr des spécfcatos des apparels de mesures et des codtos érmetales. Exemple 1 : Das ue érece d terféreces avec les fetes d Youg, o mesure Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

4 998 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E la dstace d (de l ordre du mètre) etre les bfetes et l écra avec ue règle graduée e cetmètres. O estme alors gééralemet l certtude-tpe δx sur la mesure à 1/4 de graduato (3). Et s o utlse ue règle graduée e mllmètres? Décder d ue certtude-tpe égale à 0,5 mm serat llusore, e effet au fur et à mesure que la précso d affchage de l strumet augmete, l faut accroître l aalse des causes d erreur. As das le cas préset la posto de la bfete placée das so support est dffcle à repérer précsémet à l échelle du mllmètre alors qu elle état facle à repérer à l échelle du cetmètre. Exemple - Utlsato d u voltmètre umérque : E ouvrat la otce d u voltmètre umérque, o trouve tpquemet les dcatos suvates : la précso D de la mesure est doée par ± fos le derer dgt ± 0,1 % de la valeur lue. O peut cosdérer que l dcato doée par le fabrcat a deux orges (4) : Celle qu provet d ue erreur de calbrage (varable d u apparel à l autre, d u calbre à l autre ). Cette erreur est sstématque quad o utlse le même calbre d u même apparel. Elle devet aléatore quad o utlse pluseurs calbres ou pluseurs apparels, même de modèles detques. Elle est essetellemet présete das les ± 0,1 % de la valeur lue. Celle qu provet d erreurs aléatores (brut ). Elle est essetellemet présete das les ± fos le derer dgt. Pour évaluer l certtude-tpe sur ue mesure, o procède à ue évaluato de tpe B. (5) O covet de dvser la précso D dquée par le fabrcat par Présetato d u résultat érmetal L écrture rapportat la mesure d ue gradeur phsque x est : valeur mesurée de x = x! δx où x est la melleure estmato de la valeur vrae X et δx l certtude-tpe sur la mesure (certtude absolue). E l absece d erreurs sstématques, la valeur vrae de x se trouve probablemet das (ou proche de) l tervalle allat de x δx à x + δx. O déft auss l certtudetpe relatve ou fractoare : δx/ x. Exemple : Das ue érece d odes statoares e acoustque o mesure la dstace (3) Pour formalser ce résultat, o peut supposer que la répétto de la mesure codurat à ue dstrbuto de probablté uforme cetrée sur la valeur vrae et de dem-largeur 0,5 cm. Le calcul de l écart-tpe de cette dstrbuto doe ue certtude-tpe de 0, 5/ 3 = 09cm,. (4) cf. paragraphe..7. (5) Comme das le cas de la règle, cela revet à supposer ue dstrbuto de probablté uforme de largeur D. Icerttudes érmetales Le Bup 98

5 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 999 etre sept œuds de presso, o trouve 86 mm avec ue certtude-tpe absolue estmée à 0 mm (parce qu o a du mal à repérer précsémet les œuds). À la calculatrce o obtet pour la logueur d ode et pour l certtude-tpe absolue les résultats suvats : 86 /3=87,333 mm et 0 /3=6,667 mm. Compte teu du ombre de chffres sgfcatfs de la mesure tale o garde : λ = 87, 3 mm. L certtude-tpe état toujours évaluée grossèremet, o garde u à deux chffres sgfcatfs : δλ = 7mm. Le derer chffre sgfcatf de la mesure dot être cohéret avec l certtude-tpe, o écrra doc : valeur mesurée de λ = 87! 7 mm et valeur mesurée de λ = 87! % Comparaso etre valeur mesurée et valeur acceptée Aat obteu la valeur mesurée avec so tervalle d certtude, o la compare à la valeur de référece (pour ue valeur érmetale de référece, e pas parler de valeur exacte, parler de valeur tabulée). Il est pas aormal que l tervalle e cotee pas la valeur de référece. As das le cas fréquet d ue dstrbuto gaussee, le tableau 4 doé e aexe motre qu l a 3 % de chaces, sot evro ue chace sur tros, d être das ce cas. O commecera à douter de la mesure lorsque l écart attet plus de δx (probablté que la mesure sot boe : ue chace sur vgt au-delà de δx et ue chace sur cet au-delà de,5 δx pour ue dstrbuto gaussee). S c est le cas, l faut voquer des erreurs sstématques. Exemple pratque : O mesure la vtesse du so das l ar à 0 C. O effectue ue sére de mesures qu codut à v = 335 m $ s 1 et à ue certtude-tpe δ v = 5m$ s 1. O a doc : v = 335! 5 m $ s 1. La valeur tabulée dque à cette température : v = 343 m $ s 1. Elle est e-dehors du domae d certtude, mas l écart etre 343 et 335 vaut 1,6 δv. La table doée e aexe (paragraphe A3) dque qu l a evro ue chace sur dx pour qu u écart supéreur ou égal à 1,6 δv se produse. O pourra cosdérer que la mesure est valde, mas éamos pas très satsfasate. Il est pas possble de ter compte des erreurs sstématques das u calcul d certtude, c est pourquo o les supposera églgeables, qutte à rever à la f sur cette supposto e cas de désaccord etre la valeur trouvée et la valeur tabulée (6). (6) A cotraro, le fat de trouver u bo accord e prouve pas qu l a pas d erreur sstématque : l peut e avor pluseurs qu se compeset. Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

6 1000 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E. ÉVALUATION DES INCERTITUDES PAR DES MÉTHODES STATISTIQUES (ÉVALUATION DE TYPE A) L évaluato d ue certtude érmetale à partr de l étude statstque drecte de la gradeur phsque recherchée est présetée das la parte 1. Das la parte, o doe les méthodes de calcul d ue certtude das le cas où ue formule mathématque rele la gradeur phsque étudée aux dverses gradeurs effectvemet mesurées..1. Aalse statstque d ue sére de mesures O s occupe c de la mesure d ue gradeur phsque x dot les sources de varablté sot uquemet aléatores. Das les deux premers paragraphes, o décrt les méthodes statstques qu permettet d évaluer la valeur vrae de x et l certtude-tpe. Das le paragraphe suvat, o motre commet rédure l certtude sur la détermato de x. Le tratemet statstque est basé sur la répétto des mesures de x. S o état capable de réalser ue fté de mesures, o détermerat la dstrbuto de probablté de x, e partculer sa valeur moee X (ou valeur vrae) et so écart-tpe s. Das la pratque, o réalse u ombre f de mesures, de résultats respectfs x 1, x, x, dot o cherche à extrare les melleures estmatos de X et s. Les méthodes statstques qu permettet d obter ces melleures estmatos sot présetées das les paragraphes suvats, sas démostrato Melleure estmato de la moee de la dstrbuto des valeurs de x La melleure estmato de la valeur vrae X, otée mesures,, est la moee de ces mesures (7). x 1 x x x x x Melleure estmato de X x = = x, obteue à partr des.1.. Melleure estmato de l écart-tpe de la dstrbuto des valeurs de x La melleure estmato de s dédute des mesures,,, otée, est doée par (cf. ote 7) : (7) La démostrato de ce résultat est assez smple das le cas où la gradeur à mesurer a ue dstrbuto de probablté gaussee (cf. J.R. TAYLOR ([1], paragraphe 5.5, p. 18 et aexe E1, p. 80). Les melleures R `x estmatos pour X et s maxmset la probablté P 1/ e Xj / v X, v \ σ d obter les résultats x 1,, x lors de mesures. O obtet x (resp. σx ) e dérvat P X, par rapport à X (resp. ) à fxés. v σ x x 1 x x σ x Icerttudes érmetales Le Bup 98

7 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1001 Melleure estmato de σ= σ = x 1 /_ x x 1 = 1 Note : Le facteur 1, et o pas, vet du fat que la formule c-dessus utlse x, seule quatté accessble à l érece, et o pas X. Il est asé de s e souver : o coçot be qu l est pas possble d estmer l écart-tpe d ue dstrbuto à partr d ue seule mesure. Il est mateat légtme de se poser la questo de la précso de ces estmatos, e partculer de celle de la moee Écart-tpe de la moee E répétat de ombreuses fos l érece cosstat à mesurer valeurs de la gradeur x dot o pred esute la valeur moee, o obtet la dstrbuto de probablté de xr. La valeur moee de cette dstrbuto est X. So écart-tpe, oté σ x et auss appelé écart-tpe de la moee, est doé par : σ x Icerttude- tpe sur de x = σ = représete l certtude-tpe sur la détermato de la valeur vrae X à partr de la moee de mesures. Cette détermato est doc fos plus précse que celle obteue à partr d ue mesure uque (cf. fgure, page c-après). Das la pratque, croît letemet et amélorer la précso d u facteur 10 oblge à effectuer cet fos plus de mesures. U exemple smple pour llustrer cette proprété : s o a beso d ue résstace de 1kW l vaut meux utlser dx résstaces de 100 W à 1 % e sére plutôt qu ue seule résstace de 1000 W à 1 %. E pratque s est pas cou et o utlse so évaluato σ pour détermer. x σx Das le cas où o effectue ue moee sur u pett ombre de mesures, σ x est pas σx ue boe estmato de s et la théore motre qu l faut alors utlser σ = t # où t x est appelé coeffcet de Studet. Ce coeffcet, qu est tabulé, déped du ombre de pots moeés et du veau de coface (8). E TP usuel, l est suffsat de e pas parler de ce coeffcet ce qu revet à le predre égal à 1 quel que sot le ombre de mesures (vor l exemple du pagraphe suvat). (8) Ic o utlse u veau de coface correspodat à u écart-tpe (68 %), certas auteurs préfèret utlser u veau de coface correspodat à deux écart-tpes (95 %). x r σ Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

8 100 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E Fgure : Lorsqu o effectue ue mesure uque, la valeur trouvée sut la dstrbuto de probablté représetée e potllés. mesures dépedates se répartsset aléatoremet sur cette courbe. Lorsqu o pred la valeur moee de ces mesures, les écarts à la valeur vrae se compeset statquemet, avec d autat plus d effcacté que est grad. S o réalse pluseurs détermatos de la moee de mesures, elles suvet la dstrbuto e trat ple. E résumé, s o réalse mesures de x, avec les résultats x 1, x, x, o écrra le résultat fal sous la forme : σ x x x! σ x = où x et sot les melleures estmatos de la valeur vrae et de l certtude-tpe Exemple pratque d aalse statstque d ue sére de mesures Hut étudats mesuret la logueur d ode de la rae verte du mercure e utlsat ue fete fe éclarée par la lampe, ue letlle et u réseau. Ils obteet les résultats suvats : ( de l étudat) l trouvée (m) 538, 554,3 545,7 55,3 566,4 537,9 549, 540,3 Tableau 1 : Mesures dépedates de la rae verte du mercure. Icerttudes érmetales Le Bup 98

9 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1003 E utlsat u logcel de tratemet des doées (9), o obtet : λ = 548, 04 m et σ = 97m,. O e dédut que l certtude sur la moee des hut mesures vaut : m δλ = σm = 9, 7/ 8 = 3, 44 m. O peut doc écrre : melleure estmato de r λ = 548! 3 m ou 545 G λ G 551 m. O peut comparer à la valeur tabulée : λ = 545, 07 m et coclure qu l a ue boe cocordace. tab Remarque : L certtude-tpe δλ est calculée à partr de qu est ue estmato de l écart-tpe de la dstrbuto des mesures de λ. Cette estmato, correcte das le cas d u grad ombre de mesures, devet mprécse s ce ombre est fable. La lo de Studet metoée au paragraphe.1.3. permet de ter compte de cet effet. Le tableau doe les valeurs du coeffcet t e focto du ombre de mesures pour u tervalle de coface de 68 %. Nombres de mesures Coeffcet de Studet t 1,84 1,3 1,0 1,14 1,11 1,09 Nombres de mesures Coeffcet de Studet t 1,08 1,07 1,06 1,03 1,01 1,00 t = 1 Le tableau doe Tableau : Coeffcet de Studet. t = 108, ). O dot doc écrre e toute rgueur : pour hut mesures (pour u ombre f de mesures, σm λ = λ! t # = 548, 04! 1, 08 # 9, 7/ 8 = 548! 4 m. Cet exemple motre qu o peut oubler la correcto de Studet das le cadre des TP usuels. σ m.. Propagato des certtudes O s téresse c au problème suvat : o coaît les gradeurs érmetales x, (9) Sous Igor, utlser (Aalss " Statstcs : V avg = xr et V ). sdev = σ x Sous Schroe, le module «Statstques» e doe pas σ mas 1 x σ, qu est e pratque x très vos de. σ x Sous Excel, utlser (Iserto " Focto : MOYENNE = x et ECARTYPE = σx ). Sous Kaledagraph, utlser (Fuctos " Statstcs : Mea et Std Devato). Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

10 1004 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E, avec les certtudes-tpes δ,, (10) x δ. Quelle est l certtude-tpe sur la gradeur q = fx (,, )?..1. Cas gééral : q = f (x,, ) S les erreurs sur x et sot dépedates, o peut motrer que (11) : f f δq = < F _ δx + < F _ δx + x O dt que les certtudes-tpes s ajoutet e quadrature (1).... Cas de la somme : q = x + δ = _ δ + _ δ q x L addto e quadrature doe u résultat plus fable que l addto e module : _ δx + _ δ G δx + δ. O peut le compredre phsquemet : la probablté pour que x + s écarte de sa valeur moee de plus d u écart-tpe est plus fable que la somme des probabltés correspodates pour x et. E effet, x et peuvet s écarter smultaémet de leur valeur moee de plus d u écart-tpe sas qu l e sot de même pour leur somme. Applcato : Le résultat c-dessus permet de retrouver la formule, doée au paragraphe.1.3., relat l écart-tpe de la valeur moee de mesures dépedates de la même varable à l écart-tpe de la varable : σ x = σ. δ q..3. Exemple : q = / x + 3 / Pour calculer δq, o pred la dfféretelle des deux membres : dq= _ / x dx + _ 6/ 3 d. O remplace d par carrée pour obter : δ, l addto par ue addto quadratque et o pred la race δ = 7 / x A _ δ + 7 6/ A _ δ 3 q x (10) Par exemple, s o a mesuré valeurs de x, o a δ = σ. (11) O trouvera ue justcato de ce résultat das [1], paragraphe 5.6, p. 13. (1) De même qu e optque, o addtoe les testés de deux sources cohéretes et pas leurs ampltudes. x x Icerttudes érmetales Le Bup 98

11 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E Calcul drect de l certtude relatve Lorsque q cotet des produts, rapports ou pussaces, o a térêt à utlser la dfféretelle logarthmque pour rmer drectemet l certtude relatve sur q e focto des certtudes sur x,, Premer exemple : q = 3x /z O pred le logarthme épére de la valeur absolue des deux membres : l q = l 3 + l x + l l z pus o calcule la dfféretelle : dq/ q= ( 1/ xdx ) + ( / d ) + ( 1/ zdz ) O e dédut : δ / q = 71/ xa _ δ + 7/ A _ δ + 7 1/ za _ δ q x z Deuxème exemple : q = (x ) / (x + ) (o suppose x >0 et x +>0) Cet exemple est téressat, car les flueces de x au umérateur et au déomateur se compeset partellemet (s x augmete, umérateur et déomateur augmetet doc q vare peu). La dfféretelle logarthmque codut à : dq/ q= 71/( x ) Adx 71/( x ) Ad 71/( x+ ) Adx 71/( x+ ) Ad. La formule de propagato des certtudes état valable que pour des varables dépedates, l faut mpératvemet mettre e facteur dx et d avat dévaluer dq : dq/ q= 71/( x ) 1/( x ) Adx+ 7 1/( x+ ) 1/( x+ ) Ad d où : d / q = 71/( x ) 1 /( x + ) A _ d + 71/( x ) + 1/( x + ) A q x _ d La compesato évoquée c-dessus se tradut par le sge das le terme e facteur de _ δ. x..5. Exemples pratques a. O déterme la pérode T d u pedule e chroométrat mauellemet vgt oscllatos. O décleche et arrête le chroomètre aux stats t 1 et t où le pedule passe par la posto d équlbre. O a T = _ t. O a mesuré et avec t1/ 0 t = 0 t = 13, 8 s 1 1 δ = δ = 0, 3s. La formule géérale doe : t1 t δt = 71/ 0A _ δt + 7 1/ 0A _ δt = 0, 0 s. 1 S o admet que la dstrbuto de probablté est gaussee, o peut dre qu l a deux chaces sur tros (68 %) pour que l erreur aléatore sur T sot féreure à cette valeur (cf. tableau 4, doé e aexe). Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

12 1006 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E b. O déterme ue pussace électrque par la formule P = RI. O mesure R = 15, 7 Ω avec δr = 1 Ω (à cause de problèmes de cotact) et I = 074A, avec δ I = 000A, (d après le fabrcat de l apparel). O e dédut la formule de propagato des certtudes dépedates : δp/ P = _ δr/ R + 4_ δi/ I = 4$ 10 + $ 10. 4$ 10. 0, 06 ou 6 %. O remarque que l certtude sur l testé est églgeable. De maère géérale, l est mportat de comparer les certtudes des dfféretes gradeurs mesurées. Il est clar que das l exemple c-dessus, la prcpale cause d erreur porte sur la résstace et que s o veut amélorer la mesure de P, c est sur elle qu l faut porter ses efforts. Il e servrat à re d acheter u ampèremètre haut de gamme. c. Pour trouver la capacté thermque massque c d u lqude lors d ue érece de calormétre, o mesure l élévato de température d ue certae quatté de ce lqude das laquelle o dsspe ue éerge électrque coue. O obtet la capacté thermque cherchée par la formule : c = UIt / 7m _ θ où U, I, t, m et représetet respectvemet ue teso, ue testé, ue durée, ue masse et ue vara- θ1a _ θ θ1 to de température. O a estmé : δ / U = 1%, δ / I = %, t = 153 s, δ = s U I T, m = 345 g, δ m = 5g, θ = 193 C,, θ = 03 C, et δ 1 = 0, 1 C. Le calcul d certtude motre que la seule certtude qu joue u rôle est celle sur les températures ; o obtet falemet : δc / c. δ /_ θ θ 1= 14%. Les commetares du paragraphe précédet s applquet ecore c. O costate auss qu l faut s possble évter l apparto de pettes dfféreces : l certtude relatve sur la dfférece de deux ombres très voss est grade. Pour amélorer cette érece, l faudrat accroître ettemet la varato de température e augmetat la durée de l érece et/ou l testé du courat...6. Cas où les certtudes e sot pas au même veau de coface Certas fabrcats dquet la précso de leurs apparels e utlsat l certtude-tpe qu correspod à u écart-tpe doc à u veau de coface de 68 % (13). D autres utlset l certtude-élarge qu correspod à u veau de coface de 95 % sot evro deux écart-tpes (14). Exemple : O déterme ue pussace par la relato P = UI. O mesure I = 1,7 A avec ue certtude-tpe égale à 0,0 A. O mesure U = 15,4 V avec ue certtude- (13) E supposat la statstque gaussee. (14) E réalté, la orme défssat les certtudes des strumets est plus complexe que ce qu est préseté c (cf. []). Icerttudes érmetales Le Bup 98

13 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1007 élarge égale à 0,06 V. O peut doc poser : δ I = 00A, et comme l certtude-élarge vaut le double de l certtude-tpe : δ V = 003V,. O e dédut l certtude-tpe sur P : δ / P = ( 0017, /, ) + ( , /, ). %. P..7. Cas d erreurs aléatores lées La lo de propagato des certtudes dépedates suppose que les varables x,, ot des erreurs aléatores dépedates. S cette codto est pas vérfée, la formule de combaso quadratque e s applque pas. Par cotre, l égalté o quadratque suvate est toujours vérfée : q q δq G δ x + δ + x O va vor cepedat sur u exemple pratque que cette égalté rsque d être de peu d térêt. Exemple pratque : U fabrcat de voltmètres grad publc effectue u test statstque sur ses apparels et trouve que l certtude-tpe relatve vaut 1 %. Il l dque das la otce e précsat que l certtude aléatore de chaque apparel est églgeable (s o fat dx fos la même mesure avec le même apparel, o obtet le même résultat) et que l certtude aocée provet des défauts d étaloage d u apparel à l autre (par mesure d écoome, les apparels e sot pas réglés e sorte de la chaîe de producto). Il faut compredre que pour l utlsateur d u apparel, l s agt d ue certtude aléatore (sauf s l procédat à u étaloage de so apparel, ce qu l e fat pas, e dsposat pas d u apparel de référece). V 1 V L utlsateur mesure deux tesos voses : V1 = 1, 71 V et V = 93V, af de détermer V = V V et V = V + V S l utlse deux voltmètres, l u pour mesurer V 1, l autre pour mesurer V, les certtudes aléatores δ V = 1, 71 # 0, 01 = 0, 13 V 1 et δ V = 93, # 001, = 009V, sot dépedates et l applque doc la combaso quadratque : δv3 = δv4 = (, 013) + (, 009) = 016V,. S l utlse le même voltmètre sur le même calbre pour mesurer V 1 et V, les deux certtudes deveet lées (s est trop grad, est trop grad e proporto). E utlsat la otato dfféretelle, o peut écrre : dv3 = dv1 dv avec dv / V = dv / V 1 1 pusqu l a uquemet ue erreur de calbrage. O e dédut dv3 = dv1_ 1 V/ V1 pus, e passat aux certtudes, δv3 = δv171 V/ V1A = 0035, V qu est très féreur à la valeur obteue avec deux voltmètres, car o est sûr que les erreurs sur et se retrachet. De même, o trouve δv = δv 71 + V / VA = 0V,. V 1 V Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

14 1008 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E V 4 Pour, l certtude obteue avec u voltmètre est supéreure à celle obteue avec deux voltmètres, car o est sûr que les erreurs s addtoet. E réalté, chaque apparel a e plus ue certtude aléatore qu lu est propre et qu vet complquer l étude, mas attéuer l effet des erreurs lées. 3. VÉRIFICATION D UNE LOI PHYSIQUE AJUSTEMENT DE DONNÉES EXPÉRIMENTALES PAR UNE FONCTION O cherche souvet à vérfer ue lo phsque relat deux gradeurs dstctes. As, das ue érece sur les semcoducteurs, o est ameé à vérfer que la teso de Hall V H aux bores d u échatllo semcoducteur est relée de maère léare au champ magétque B par VH = _ I/ qbpb où I est le courat qu traverse l échatllo, q la charge d u porteur, b l épasseur das la drecto de B et p est le ombre de porteurs par uté de volume du semcoducteur. E mesurat V H pour dfféretes valeurs de B à I fxé, o souhate d ue part vérfer érmetalemet que la relato lat V H à B est léare et d autre part détermer la valeur de p. Plus gééralemet, o cherche à vérfer que deux gradeurs x et sot relées par ue lo du tpe = fx () où f est ue focto dépedat d u certa ombre de paramètres. O mesure ue sére de valeurs x 1, x, x et les valeurs correspodates 1,,,. L objet des paragraphes suvats est de motrer commet o déterme les melleures valeurs des paramètres de la focto f à partr de ces mesures, d abord das le cas léare pus das le cas gééral. O présete égalemet des outls qu permettet d estmer das quelle mesure la focto f as détermée s ajuste aux doées érmetales Régresso léare Das de ombreux cas, o cherche à savor das quelle mesure des doées érmetales s accordet avec ue lo léare (15) du tpe = a+ bx. O cherche égalemet ue estmato des paramètres a et b et o souhate coaître la précso de cette estmato. O supposera c que les certtudes sur x sot églgeables devat celles sur (o peut très souvet se rameer à cette stuato, car l est très fréquet que les certtudes relatves sur ue varable soet beaucoup plus fables que les certtudes relatves sur l autre). O dspose doc d u tableau de mesures _ x1, 1, _ x,,, _ x, et évetuellemet pour chacue de ces mesures, de l certtude assocée à la mesure de (o ote alors l certtude-tpe sur ). O commece par représeter graphque- σ (15) Le cas d ue lo du tpe = bx est pas détallé c car la démarche est exactemet la même. Les deux tpes d ajustemet léare sot proposés par tous les programmes de tratemet de doées. Icerttudes érmetales Le Bup 98

15 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1009 met les dfférets couples de pots. À ttre d exemple, o a représeté sur la fgure 3a les doées du tableau 3 (c = 1). x ,79 33,5 36,50 51,88 63,11 66,94 x ,58 9,46 89,50 109,9 117,40 118,37 Tableau 3 : Doées utlsées pour les exemples de régresso léare. Fgure 3 : Régresso léare : exemples. Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

16 1010 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E O appelle esute le programme de modélsato mathématques (ou ft (16) ) du logcel utlsé (17). Celu-c trace la melleure drote passat par les pots e utlsat les résultats du paragraphe suvat Melleure estmato des paramètres a et b Deux cas dfférets se présetet : a. Cas où toutes les mesures de ot la même certtude-tpe C est e partculer ce qu est supposé mplctemet s o a pas précsé les certtudes-tpes σ. La méthode utlsée, appelée méthode des modres carrés, cosste à chercher les valeurs de a et b qu redet mmum : Cette mmsato codut drectemet à : Σ x x x = 1 Σ= 1 Σ= 1 Σ= 1 a = où /_ _ a+ bx = 1 Σ x x = 1 Σ= 1 Σ= 1 b = / / = 1 = 1 = x d x Note : Ces formules e sot be etedues applcables que pour >. D alleurs, pour = 1 elles doet des formes détermées pour a et b. La fgure 3b (cf. page précédete) motre les résultats obteus pour les doées du tableau 3 sas avor précsé les certtudes sur. Les fgures 3c, 3d et 3e présetet les mêmes doées avec des certtudes-tpes respectves σ = 1, σ = 5 et σ = 0. O peut vérfer sur ces quatre fgures que les valeurs de a et b obteues sot detques (et doc dépedates de l certtude ). b. Cas où toutes les mesures de ot des certtudes-tpes dfféretes O peut gééralser les résultats c-dessus au cas où o précse pour chaque mesure (16) E aglas, ft = ajuster, mettre à la boe dmeso. (17) Sous Igor : Aalss " Curve Fttg " Fucto = le. Pour predre e compte les certtudes : oglet Data Opto " Weghtg " om de la wave das laquelle o a ms les certtudes. Lasser par défaut l opto «Stadard Dev.» (l autre opto sert à la compatblté avec ue acee verso d Igor). Atteto, la prse e compte des certtudes est dépedate de l affchage des barres d erreur sur le graphe. Sous Schroe : Tratemet " Modélsato. Schroe e permet pas d affcher les barres d erreur! σ v (1) () Icerttudes érmetales Le Bup 98

17 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1011 l certtude-tpe σ. O trodut le pods de la ème w = 1/ _ σ mesure qu est d autat plus grad que cette mesure est précse. E redat mmum : O obtet : où / = 1 w _ _ a+ bx Σ = 1 wx Σ= 1 w Σ= 1 wx Σ= 1 wx a = Σ w wx wx w = 1 Σ= 1 Σ= 1 Σ= 1 b = / / / = 1 = 1 = 1 = d wd wx d wx La fgure 3f présete les résultats obteus pour les doées du tableau 3 avec σ = / 10. O costate que les valeurs de a et b sot cette fos-c dfféretes de celles obteues avec des certtudes detques. Le programme de ft fourt égalemet les valeurs des certtudes-tpes sur a et b. Pour cela, l utlse les résultats du paragraphe suvat. σa et σb Icerttudes-tpes s a et s b sur les paramètres a et b Pour évaluer σ et, o utlse les formules 1 et et les techques de propagato des certtudes dépedates décrtes au paragraphe.. a σb a. Cas où toutes les mesures de ot la même certtude Σ x O obtet alors (18) = 1 : σa = σ et σ b = σ où : S o a four l certtude-tpe sur les mesures de σ σ = σ O peut as vérfer sur les fgures 3c, 3d et 3e que σ et sot proportoelles à v a σb. S o a pas dqué d certtudes sur les mesures de σ = σ stat où σ est l estmato statstque décrte c-dessous de l certtude-tpe sur les mesures de. Comme chaque mesure se dstrbue autour de la valeur vrae a+ bx avec la σa σb (18) Remarquer que et e dépedet que des x. σ σ stat Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

18 101 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E même certtude-tpe σ, les écarts _ a+ bx se dstrbuet autour de la valeur ulle avec ue certtude-tpe σ. De la répartto des pots de mesure autour de la drote d équato = a+ bx, o peut doc remoter à l certtude-tpe v sur les mesures de. O peut motrer que la melleure estmato de cette certtude-tpe est (19) stat : 1 σ a bx = / + b. Cas où toutes les mesures de ot des certtudes-tpes dfféretes Les certtudes-tpes sur a et b sot alors doées par : σ a = Σ w = = 1 et σb = Σ wx Accord de doées érmetales avec ue lo léare À partr de l exemple préseté c-dessus, o dscute c qualtatvemet de l accord etre des doées érmetales (cluat évetuellemet leurs certtudes) et la lo léare du tpe = a+ bx détermée das les paragraphes précédets. Sur la fgure 3d, les certtudes sot comparables aux écarts à la drote. Les doées et leurs certtudes sot e bo accord avec ue lo léare (0). Sur la fgure 3c, les certtudes sot e moee pettes par rapport aux écarts à la drote. Les doées et leurs certtudes e peuvet être modélsées par ue lo léare (1). Sot la lo est pas léare, sot o a sous-estmé les certtudes. Sur la fgure 3e, les certtudes sot grades par rapport aux écarts à la drote. Les doées et leurs certtudes peuvet être modélsées par ue lo léare. Il est cepedat probable qu o a surestmé les certtudes. Comme o a pas précsé les certtudes, le cas préseté fgure 3b e permet pas de valder la lo léare. Par cotre, s o admet cette lo, o a l certtude statstque sur a et b. E cocluso : La dscusso qualtatve c-dessus sufft be souvet. Le paragraphe propose éamos ue verso quattatve de cette dscusso. = Coeffcet de corrélato léare Das tous les cas, le programme de ft doe la valeur du coeffcet de corrélato (19) Vor [1] paragraphe 8.3, p (0) Atteto, ce est pas ue preuve de léarté, c est juste ue compatblté. (1) Paradoxamet, c est das ce cas que les certtudes sur a et b sot les plus fables. O e peut doc pas trer de ces certtudes u crtère de valdté de la lo. Icerttudes érmetales Le Bup 98

19 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E 1013 léare (, 3) : où x et sot respectvemet les moees des x et des. r = 0 pour u grad ombre de pots réparts au hasard et r =! 1 pour des pots parfatemet algés. r est u outl utlsé par les statstces qu reflète la tedace à la léarté. E pratque, e TP, quad o fat ue régresso léare, o trouve toujours r très vos de 1. Ce est pas c u outl effcace pour dscuter de la valdté d ue lo léare Le c r = Das le cas où tous les sot égaux, c est la somme des carrés des écarts à la drote dvsée par le carré de l certtude-tpe sur (5, 6). O déft esute le χ rédut : Σ Σ = 1 _ x x_ _ x x Σ _ = 1 = 1 O déft le paramètre χ par (4) : _ _ a+ bx χ = / = 1 _ σ σ χrdut é χ = est le ombre de degrés de lberté du problème, égal au ombre de pots mesurés mos le ombre de paramètres détermés (c a et b) (7). Das le cas où toutes les certtudes-tpes sot égales, l est facle d établr que : χrdut é σ = f p σ stat σ () La formule doée c-dessous est valable lorsque tous les ot la même certtude. (3) Sous Igor, l est doé par la varable V_ Pr. Sous Schroe, c est r. (4) Sous Igor, l est doé par la varable V_ chsq (pour «chsquare»). (5) De maère géérale, les paramètres a et b doés par la méthode des modres carrés sot ceux qu mmset le χ. (6) Sur les fgures 3c, 3d et 3e, o peut vérfer que le χ est versemet proportoel au carré de l cert- tude. (7) Das le cas d u ajustemet par ue lo du tpe = bx, o a χ = χ /( 1). rédut Vol Novembre 010 Fraços-Xaver BALLY et Jea-Marc BERROIR

20 1014 U N I O N D E S P R O F E S S E U R S D E P H Y S I Q U E E T D E C H I M I E stat où σ est l certtude statstque évaluée par le logcel (cf ). χrdut é Le fourt u bo crtère quattatf pour décder s des doées et leurs certtudes s accordet avec ue lo léare : Les doées érmetales sot e bo accord avec ue lo léare s χr é dut est de l ordre de 1. C est le cas de la fgure 3d. stat Das le cas de la fgure 3c, χrdut é & 1 doc σ & σ. La lo est pas valdée ou σ a été sous-estmé. Le cas χ 1 r é dut % correspod à la fgure 3e. Les doées peuvet être modélsées par ue lo léare. Il est cepedat probable qu o a surestmé les certtudes. Remarque : Certas logcels, comme Igor, revoet quad même ue valeur de χ même s o e leur a pas four les certtudes σ (cf. fgure 3b). Cette valeur est calculée e preat σ = 1. O e peut alors pas trer grad-chose du χ s ce est rdut é stat stat la valeur de (o a alors χ = _ σ ). σ rédut 3.. Cas gééral d u ajustemet par ue lo = f(x) Les prcpes développés das le cas de la régresso léare s applquet ecore das le cas d u ajustemet par ue focto quelcoque = fx (), dépedat d u certa ombre de paramètres. Les logcels d ajustemet détermet umérquemet les valeurs des paramètres qu mmset le χ. Remarque : Cotraremet au cas léare, l faut c doer des valeurs tales aux paramètres de la focto. Cec dot être fat avec ue précso suffsate pour que la procédure de mmsato coverge. E cas d échec de la procédure : Cotrôler que le ft est fat sur les boes varables e ordoée et abscsse. Peser à ter compte d évetuels décalages sur x et. Par exemple, au leu de la focto ax b b =, l peut être judceux d utlser = a( x c) + d. Amélorer les valeurs tales des paramètres. Pour cela, tracer la focto avec les paramètres taux sas opérato d ajustemet jusqu à obter u accord vsuel suffsat. O peut essaer de bloquer provsoremet la valeur de certas paramètres, de procéder à l ajustemet, pus de lbérer u à u les paramètres bloqués. Rédure la plage des doées qu o cherche à ftter e effectuat ue sélecto sur la courbe. À ttre d exemple, la fgure 4 présete la relato de dsperso ω() k mesurée pour Icerttudes érmetales Le Bup 98

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