GEA I Mathématiques nancières Poly. de révision. Lionel Darondeau

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1 GEA I Mathématques nancères Poly de révson Lonel Darondeau

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3 Intérêts smples et composés

4 Voc la lste des exercces à révser, corrgés en cours : Exercce 2 Exercce 3 Exercce 5 Exercce 6 Exercce 7 Exercce 8 Exercce 9 Exercce 11 Exercce 14 Exercce 17 Exercce 19 Exercce 20 Exercce 21 Exercce 25 Exercce 26 Exercce 29 Pour toute queston, envoyer un mal à : loneldarondeau AT mathu-psudfr

5 Annutés et emprunts

6 Sutes de versements Ce sont des problèmes de consttuton de captal, donc on utlse la somme des valeurs acquses Exercce 4 ) Il s'agt d'une consttuton de captal On recherche donc la somme des valeurs acquses à la n de la 15 e année D'après le cours, la valeur acquse au début de la 15 e année c'est : V 15 = a 1 + )15 1 Donc à la n de la 15 e année, on dot ajouter les ntérêts et : V = V ) = a 1 + ) 1 + )15 1 AN : Ic, a = 5000, = 4, 03% Donc : V = , 18 euros ) On utlse la même formule, mas on cherche l'annuté a L'nverson de la formule donne : 1 a = V ) 15 1 AN : Ic, V = , = 4, 03% Donc : a = euros ) Juste après le n e versement, d'après le cours, la valeur acquse est : On sole 1 + ) n : V = V n = a 1 + )n ) n = V a + 1 On peut ensute applquer ln : V ) n ln1 + ) = ln a + 1 6

7 7 Fnalement : n = ln V a + 1 ) ln1 + ) AN : Ic, V = , a = 5000, = 4, 03% Donc : n = 20, 06 Comme on veut un enter, on dot prendre l'enter suvant : l faut 21 années pour dépasser euros Exercce 5 ) Comme la durée est plus d'un an, on utlse les ntérêts composés On suppose que le taux est annuel On commence les versements tout de sute ) La formule de la somme des valeurs acquses de n versements consécutfs est : V = V n = a 1 + )n 1 On sole 1 + ) n : 1 + ) n = V a + 1 On peut ensute applquer ln : V ) n ln1 + ) = ln a + 1 Fnalement : n = ln V a + 1 ) ln1 + ) AN : Ic, V = 30000, a = 3500, = 1, 75% Donc : n = 8, 06 Comme on veut un enter, on dot prendre l'enter suvant : l faut 9 années pour consttuer un captal qu dépasse euros En tout on a versé : = 31500, donc avec les ntérêts on dépasse euros De plus, les sommes sont du même ordre de grandeur

8 8 Exercce 6 Premère parte ) Il y a une seule somme placée C'est un placement à ntérêts composés à taux varable S n est plus pett que 3, alors on est placé n année à 3% donc la valeur acquse V vaut : V = K n = K %) n S n est plus grand que 3, on est placé 3 années à 3% pus n-3 années à 2,5% donc : V = K n = K %) , 5%) n 3 Ic : K 0 = 5000 ) L'armaton est manfestement fausse s n est plus pett que 3, donc elle ne peut pas être vrae pour tous les n ) Au bout de tros ans : K 3 = , 03) 3 = 5463, 64 < 7000 Donc l faut plus que 3 ans S n 3, on a : On sole 1, 025) n 3 : V = K n = K 0 1, 03) 3 1, 025) n 3 1, 025) n 3 V = K 0 1, 03) 3 Comme c'est postf, on peut applquer ln, on obtent : V ) n 3) ln1, 025) = ln K 0 1, 03) 3 Fnalement : ln ) V K 0 1,03) 3 n = 3 + ln1, 025) AN : Ic, V = 7000, K 0 = 5000 Donc : n = 1304 Comme on veut un enter, on prend l'enter suvant Il faut 14 ans pour dépasser 7000 euros Deuxème parte ) Le taux est xe et vaut =2,5% On note a = 5000 euros La somme placée au début de la 4 e année est placée à t=3 Au moment du derner versement, t=9 La somme des valeurs acquses est alors la somme des valeurs acquses de 7 versements consécutfs au moment du derner versement : ) 1 + ) V 7 = a 1 + ) 6 + a 1 + ) a 1 + ) ) + a = a

9 À la n de la 10 e année, où t=10, on dot ajouter les ntérêts de la dxème année donc la valeur acquse est : 1 + ) 7 1 ) V = V ) = a 1 + ) AN : Ic, a = 5000, = 0, 025 Donc : V = , 58 euros ) Les valeurs acquses sont addtonnées donc la valeur acquse totale est : V = , 03) 3 1, 025) , 58 = , 13 euros 9

10 Emprunts à annutés constantes Ce sont des problèmes de remboursement d'emprunt, donc on utlse la somme des valeurs actuelles au moment de l'emprunt t=0) Exercce 9 On note C, la somme restant à verser après le versement mmédat : C = 0, = ) Il s'agt d'un emprunt à annutés constantes La formule d'égalté des valeurs actuelles s'écrt : ) n ) On en dédut : C = a a = C ) n ) AN : Ic C = 56250, n = 10 et = 0, 0341, donc le montant des annutés est : a = 6732, 94 euros ) Par dénton, l'amortssement est : Donc : m 1 = a C m 1 = 4814, 81 euros ) S on consdère seulement les deux premères annutés Juste après le paement de la deuxème, l reste à payer C V 2 où : ) 2 ) Il reste donc : V 2 = a = 12807, 14 D = , 14 = 43442, 86 Juste avant la trosème annuté, on dot cette somme, plus les ntérêts écoulés pendant l'année, sot : 1 + ) D = 44924, 27 euros Avant le trosème paement, l reste 44924, 27 euros à payer 10

11 11 Exercce 10 0) Le premer versement est habtuellement une pérode après le déblocage des fonds t=1) ) Il s'agt d'un emprunt à annutés constantes La formule d'égalté des valeurs actuelles s'écrt : ) n ) On en dédut : C = a a = C ) n ) AN : Ic C = 10000, n = 6 et = 0, 0595, donc le montant des annutés est : a = 2030, 44 euros En tout on pae 6 a > C et du même ordre de grandeur, donc c'est vrasemblable ) Il faut ajouter 0, 4% = 40 euros Donc l'annuté eectvement payée est : a = 2070, 44 euros Le TEG est le taux qu correspond à l'équaton avec les annutés eectvement payées : ) Le total des fras est = a ) 6) a = euros, ce qu correspond à 12,57% de euros Exercce 11 La formule d'égalté des valeurs actuelles s'écrt : ) n ) C = a Où n est le nombre de mos et est le taux mensuel On prend le taux mensuel proportonnel On a donc c : n = = 180, a = 450, = , 65% AN : La capacté d'emprunt C est donc : C = 62303, 46 euros En tout on a versé = euros > C et les sommes sont du même ordre de grandeur donc c'est vrasemblable

12 12 Exercce 12 La formule d'égalté des valeurs actuelles s'écrt : ) n ) C = a Où n est le nombre de mos et est le taux mensuel On prend le taux mensuel proportonnel On a donc c : C = 60000, a = 650, = , 90% On sole 1 + ) n : C ) 1 + ) n = a 1 = 1 C a C'est postf, donc on peut applquer ln, on obtent : n ln1 + ) = ln 1 C ) a Fnalement : AN : n = ) ln 1 C a ln1 + ) n = 116, 10 La durée sera approxmatvement 116 mos Exercce 12 bs S on commence à payer tout de sute On a : C = a + a 1 + ) 1 + a 1 + ) a 1 + ) n 1)) La valeur actuelle du versement mmédat n'est ren d'autre que sa valeur! Pour les autres versements, entre parenthèse, on reconnaît un remboursement à annutés constantes de n 1 versements, donc : AN : C = a + a ) n 1 Comme précédemment, on en dédut : ) ln 1 C a) a n = 1 + ln1 + ) n = 115, 50 La durée sera approxmatvement 116 mos

13 13 Exercce 13 ) On ne place qu'une seule somme Il s'agt d'ntérêts composés à taux varable On place euros à 3,75% pendant deux ans pus à 2,75% pendant tros ans La valeur acquse est donc : V = , 0375) 2 1, 0275) 3 = 23353, 49 euros ) Il s'agt d'un remboursement à annutés constantes L'égalté des valeurs actuelles au moment de l'emprunt s'écrt : ) n ) On en dédut : C = a a = C ) n ) AN : Ic C = , n = 20 et = 0, 0380, donc le montant des annutés est : a = euros En tout on pae 20 a = > C et du même ordre de grandeur, donc c'est cohérent

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