LICENCE DE SCIENCES PHYSIQUES UV 3LSPH50. Année MODÉLISATION. Recherche des paramètres d'une représentation analytique J.P.

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1 LICENCE DE SCIENCES PHYSIQUES UV 3LSPH50 Année MODÉLISATION Recherche des paramètres d'une représentaton analytque JP DUBÈS

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3 3 MODÉLISATION Recherche des paramètres d'une représentaton analytque Utlsaton d'un tableur (Quattro Pro) en vue de la détermnaton des paramètres d'une foncton analytque I)INTRODUCTION6 II)GÉNÉRALITÉS 7 A)Exemples de smulaton III)PRÉSENTATION DU TABLEUR 7 A)Introducton 7 B)Prse en man de quattro pro pour Wndows9 )Chargement de QUATTRO PRO pour Wndows9 a)les zones de l'écran 0 b)le contenu d'une cellule c)la recope des formules4 d)le déplacement5 e)les MACROS 5 f)dvers 5 C)Exercces d'applcaton 6 )Calcul de la concentraton 6 )Sute de Fbonacc (modélsaton du comportement d'une populaton) 7 3)Ttrage d'un acde fort par une base forte (modèle de connassance)8 4)Mathématques fnancères 3 5)Modélsaton d une réacton totale33 a)rappel Cas d une réacton totale (réactfs = produts)33 b)cas d une cnétque 35 c)cas d un équlbre35 IV)LA RÉGRESSION LINÉAIRE PAR LA MÉTHODE DES MOINDRES CARRÉS 36 A)Rappels 36 B)Ajustement lnéare par la méthode des mondres carrés36 V)RÉGRESSION POLYNOMIALE38 VI)OPTIMISATION PAR UTILISATION DES OUTILS MATHÉMATIQUES DE QUATTRO 39 A)Régresson lnéare 39 B)Régresson polynomale 39 C)Optmsaton 39 VII)APPLICATION À DIFFÉRENTES MESURES PHYSIQUES ET CHIMIQUES4

4 4 A)Cnétque chmque4 )Rappels 4 )Exemples4 a) Détermner l'ordre et la vtesse de la réacton (fcher CINE)4 b)détermnaton des paramètres de l'équaton d'arrhénus (fcher CINE)4 c)étude de la dmérsaton du butadène (fcher CINE3) 4 B)Résstance thermométrque 00 4 C)Capacté calorfque de l'alumne en foncton de la température 43 D)Enthalpe molare ntégrale en foncton de la fracton molare 43 )Exemple 43 )Exemple 44 3)Exemple 3 44 E)Détermnaton de la foncton d'apparel d'un mcrocalormètre TIAN- CALVET44 F)Équatons d'état des gaz 45 )Équaton du vrel46 )Équaton de Van der Waals 46 G)Exemples dvers46 )Cnétque46 ) Presson atmosphérque 47 3)Volume d excès 47 4)Prx de l occason47 5)L'équaton d'antone 48 a)ébullton de l eau 48 b)ébullton de NbCl548 6)Évoluton d une épdéme 48 7)Lo du refrodssement 49 8)La sgmoïde 49 a)cnétque enzymatque 49 b)phonétque 49 9)Lo logstque 49 0)Modélsaton du trafc router 50 H)Résoluton d'un système d'équatons dfférentelles Balstque5 I)Calcul d'une ntégrale défne Estmaton d'une ntégrale ndéfne 53 J)Fonctonnement acoustque d'un haut-parleur54 )Introducton54

5 5 )Modélsaton d'une encente actf-passf 56 3)Modélsaton d'une encente Bass Reflex59 VIII)NOTE SUR L'OPTIMISATION ET L'AJUSTEMENT DES PARAMÈTRES 6 IX)REMARQUE 63

6 6 I) INTRODUCTION La pussance des calculateurs actuels et la connassance précse des los régssant les phénomènes physques et chmques ont perms le développement d'un type nouveau de recherche : la modélsaton et son corollare, la smulaton La smulaton permet à la fos de gagner du temps et de l'argent Les exemples sont nnombrables Cette pussance décuplant régulèrement, des domanes qu parassaent utopques l y a quelques années sont mantenant à la portée de la modélsaton C'est par exemple le cas de l'étude de la turbulence Il y a deux démarches fondamentales en modélsaton : les modèles de connassance et les modèles de représentaton On établt un modèle de connassance à partr de los physques ou chmques fondamentales Nous verrons, par exemple, c-après le cas des courbes de ttrage acdebase Par contre, un modèle de représentaton ou expérmental est obtenu en chosssant a pror une relaton mathématque qu semble rendre compte au meux les valeurs expérmentales C'est le cas par exemple de l'équaton de Redlch-Kster, modèle de représentaton très utlsé des grandeurs molares d'excès Toutefos, ces deux approches ne sont pas forcément antagonstes, elles sont complémentares : la recherche d'un modèle de représentaton peut (et dot) s'appuyer sur un mnmum de connassances physques Ce chox étant fat, la modélsaton du phénomène comporte tros étapes : - recherche d'une représentaton analytque pour décrre le comportement d'un phénomène réel, sot par l'applcaton de los fondamentales, sot par le chox a pror d'une équaton analytque - dans les deux cas, l'étape suvante est l'estmaton des paramètres de (ou des) équatons choses précédemment par des calculs de régresson en mnmsant un crtère quadratque C'est l'étape que nous traterons dans ce module L'outl nformatque utlsé sera le tableur Quattro Pro pour Wndows Enfn, ces équatons et leurs paramètres étant connus (ans que leur domane de valdté), on peut procéder à une smulaton

7 7 II) GÉNÉRALITÉS La pussance des calculateurs actuels et la connassance précse des los régssant les phénomènes physques et chmques ont perms le développement d'un type nouveau de recherche : la modélsaton et son corollare, la smulaton La smulaton permet à la fos de gagner du temps et de l'argent Les exemples sont nnombrables : le Boeng 777, qu est le plus gros avon bmoteur du monde, a d'abord été construt comme un avon vrtuel, de la chaîne de montage jusqu'au comportement en vol (à l'ade d'un programme nformatque de CAO ms au pont par Dassault Systemes) On a ans pu, d'une part, optmser au maxmum les méthodes de producton et, d'autre part, réalser l'apparel en un temps record Parm les 000 pèces envron que compte une Fl moderne, certanes n'auraent pu être élaborées sans les outls de concepton assstée par ordnateur (CAO), en partculer la maquette numérque 3D Celle qu est le plus utlsée depus longtemps dans les secteurs de l'aéronautque et de l'automoble s'appelle CATIA (Dassault Systèmes) Sa présence en Formule I s'est renforcée ces tros dernères années : 80% des monoplaces roulent grâce à des pèces vues d'abord sur les écrans d'ordnateur En effet, ce logcel faclte la concepton des pèces, pus l est susceptble de les soumettre à des smulatons de contrantes, ce qu consttue une premère valdaton De la même façon, la maquette numérque est essentelle pour smuler leur assemblage fnal et leur cycle de producton avant leur fabrcaton Ensute, les machnes à commandes numérques sont ndspensables pour réalser notamment les pèces de très grande précson Prost Peugeot Réalsée en CAO Par CATIA Hewlett Packard a lancé des smulatons de cartes mères d'ordnateurs à base du processeur Intel Pentum Pro pour comparer leurs caractérstques sans les construre Le Boeng 777 est le premer apparel de l'avonneur de Seattle a avor été entèrement conçu sur ordnateur Cec marque l'entrée dans une nouvelle ère au sen de laquelle les énormes modèles (souvent des maquettes en bos) préfgurant l'aspect fnal d'une nouvelle réalsaton sont devenus désormas nutles Chaque pèce est d'abord modélsée sur un pussant ordnateur qu est ensute capable d'assembler ce puzzle géant afn de vor s tout concorde Ce procédé confère à l'ensemble une précson jamas attente par les moyens tradtonnels, ce qu augmente encore la qualté de fabrcaton Une des facettes étonnantes de cette nouvelle méthode de traval est le mécancen vrtuel La tache de ce derner est de vérfer que toutes les actons de mantenance requses sont asément exécutables Ce qu, pour la pette hstore, a perms de mettre en lumère le fat qu'l état, dans les ébauches prélmnares, mpossble de changer une des lampes des feux de poston!

8 8 Motorola étude des prototypes vrtuels de téléphones cellulares avant de lancer la producton Le nouvel aéroport de Mam a été réalsé vrtuellement et étudé par Lockheed Martn avant d'être construt La pussance des ordnateurs décuplant régulèrement, des domanes qu parassaent utopques l y a quelques années sont mantenant à la portée de la modélsaton C'est par exemple le cas de l'étude de la turbulence Les fludes en mouvement nous entourent et nous font vvre : du sang crcule dans nos venes et de l'ar est en mouvement dans nos poumons ; certans de nos véhcules crculent dans l'atmosphère, tands que d'autres sllonnent les océans, almentés par des fludes qu se mélangent dans des chambres de combuston L'écoulement de ces fludes est généralement turbulent La connassance de la turbulence pourrat amélorer de façon spectaculare le rendement des tous ces phénomènes Contrarement aux écoulements lamnares (cas des vtesses d'écoulement lentes), les écoulements turbulents sont rrégulers et snueux La turbulence n'est pas toujours ndésrable : dans les cylndres de moteurs à combuston, elle favorse le mélange du carburant et de l'ar Grâce à la turbulence créée par le relef bosselé des balles de golf, celles-c peuvent attendre des dstances deux fos et deme supéreures à des balles lsses! Découvertes l y a 50 ans par Claude Naver et George Stokes, les équatons (dtes de Naver-Stokes) dérvent des los du mouvement de Newton Ce ne fut qu'à la fn des années 960 que les ordnateurs attegnrent des vtesses de calcul suffsantes pour les résoudre dans des cas smples! Jusqu'à présent, de nombreux essas en soufflere (entre 0 et 5) étaent un passage oblgé pour les constructeurs d'avon Aujourd'hu, grâce à la mécanque des fludes numérque, deux ou tros seulement sont nécessares Les fabrcants de moteur d'avon envsagent d'attendre vers l'an 003, une améloraton de 00% de la poussée rapportée au pods des moteurs et une réducton de 40% de leur consommaton! Dans le même domane, les hélces ont fat récemment des progrès spectaculares La modélsaton des hélces d'avons ou de bateaux tent compte de la masse volumque du flude ambant, de la presson hydrodynamque ou aérodynamque sur les pales, de l'nteracton des champs d'écoulement et enfn des contrantes mposées par le type de vasseau et par son moteur En 865, l'ngéneur écossas W Rankne établ la premère théore de l'hélce Pus, à partr des travaux de W Kutta (90) et N Joukovsk (9), A Betz et L Prandlt en 99 et enfn S Goldsten en 99, modélsent avec précson le comportement des hélces Mas, trop complexes pour être applqués, ces travaux tombent dans l'oubl jusqu'à leur reprse dans les années 80 par F Larrabee au MIT Il met au pont des algorthmes de calcul performants qu ont condut à des dessns d'hélce ayant des rendements pluseurs fos supéreurs aux hélces conventonnelles, rendant ans possble entre autre, le vol à propulson humane ou solare et le renouveau des avons à turbopropulseurs dont la vtesse de crosère a été augmentée de 0 à 50% pour une consommaton nchangée, smplement en changeant d'hélce et en amélorant ans consdérablement leur rendement aux vtesses élevées (c-dessus, hélce d'un ATR 4 de l'aérospatale permettant d'attendre une vtesse de crosère de 565 km/h à une alttude de 7000 m sot un gan de près de 00 km/h) À gauche, l'avon-cargo quadrmoteur russe Antonov AN-70, équpé de turbofans doubles contrarotatfs, (turbnes de 0300 kw chacune), est capable de décoller sur des pstes de

9 9 ant sous-marne Écoutons Larrabeee : 600 à 900 m seulement avec une charge de 47 tonnes! Il attent 800 km/h à plus de 0000 m d'alttude À drote, un modèle Farchld d avon de lutte " j'a eu la chance de partcper à une expérence pratque, démontrant la valdté de ce qu'on peut appeler, à juste ttre, une théore classque de l'aérodynamque de l'hélce Cette théore avat été publée en 99 et pratquement abandonnée vers 940 Cette démonstraton fut réalsée par tros étudants enthousastes de l'insttut de Technologe du Massachusetts qu entreprrent en janver 979 la constructon d'un avon à pédales Pour l'hélce, ls me demandèrent de les ader à applquer les prncpes de calcul que j'avas ms au pont pour résoudre ce problème Ces étudants rêvaent au prx de lvres sterlng offert par l'ndustrel brtannque Henry Kremer pour la réalsaton d'un avon susceptble de traverser la Manche à l'ade de la seule force musculare humane Pour commencer, mes tros lascars, Hyong Bang, Robert Parks et Harold Youngren, programmèrent un de mes algorthmes pour le calcul sur ordnateur des hélces Ils applquèrent cet algorthme au tracé d'une hélce destnée à un modèle rédut de bplan à l'échelle un hutème, télégudé par rado L'aéroplane fut baptsé Chrysals (chrysalde) Cette maquette d'une envergure de,74 mètres, état mue par le moteur d'un apparel photographque Polarod SX-70 Le moteur actonnat l'hélce par l'ntermédare d'un réducteur à engrenages de rapport / L'avon fut construt en une semane Par rapport aux hélces classques tracées emprquement et avec lesquelles la maquette aurat à pene pu se mantenr en vol avec les batteres à plene charge, l'hélce théorquement correcte, ben adaptée à la structure et au moteur choss, permt à la maquette d'accomplr tros fos et deme un crcut en hut autour de deux mâts dstants de 0 mètres avant que les batteres soent épusées" (Extrat de "Pour la Scence" n 35, sept 980) Les étudants ont obtenu le prx Kremer lorsque Bryan Allen, aux commandes du Gossamer Albatross (c-contre) a franch le Pas de Calas en heures 49 mnutes (jun 979) Le porte-avons "Charles De Gaulle" a beaucoup fat parler de ses hélces dessnées d'après les nouveaux algorthmes! Nonobstant leur fraglté due à des problèmes de fondere, elles lu permettent un gan de vtesse de près de 4 nœuds, gan effectvement constaté lorsqu'l a fallut les remplacer par les hélces conventonnelles du porte-avons "Clemenceau", la vtesse de crosère chutant à 4 nœuds

10 0 Toujours dans le domane de la mécanque des fludes, ctons une lettre de lecteur parue dans "La Recherche", n 33, page 6, Octobre 998, qu se passe de commentares! " Je souhate réagr à votre artcle sur la stablté du tot du Stade de France paru dans le numéro de jun Je sus drecteur de recherche au CNRS, spécalsé en aérodynamque applquée, entre autres, aux stes et bâtments Du pont de vue aérodynamque, la concepton de ce tot est pour le mons nepte, car sa géométre semble parfatement adaptée à la " prse au vent " Vous ctez une vtesse de vent constante de 46 km/h : cela me paraît léger, car le vent, surtout lorsqu'l est volent n'est jamas constant et c'est justement son caractère aléatore qu est dangereux pour une structure D'autre part, vous fates référence aux essas en soufflere pour détermner les "coeffcents de sécurté", donc les efforts exercés par le vent sur la structure or, l est ben connu, du mons de la part des vras aérodynamcens, qu'à de telles échelles de tels essas ne sont pas du tout représentatfs (pour des rasons de non respect des condtons de smltude d'écoulements)! Par contre, l exste aujourd'hu des moyens de smulaton ben plus représentatfs et ben mons coûteux que le mondre essa en soufflere, consstant en la smulaton numérque de l'écoulement du vent autour d'une telle structure, et je sus ébah que les bureaux d'études et d'archtectes en soent encore à l'gnorer! Je fas parte des nouveaux spécalstes dans le monde (et surtout pas en France) de ces nouveaux moyens qu sont " combattus " ben entendu par les explotants desdtes souffleres dont l'avenr est séreusement comproms par ces nouvelles méthodes Le coût de ces essas pourrat-l d'alleurs être rendu publc? " Jacques Marcllat Drecteur de recherche, CNRS Marselle " (Fort heureusement, les tempêtes de décembre 999, avec des vents de 70 km/h, n'ont pas donné rason à J Marcllat, son modèle de connassance étant mparfat!) L'étude des mouvements turbulents à grande échelle va pouvor permettre de modélser le comportement de l'atmosphère et, ans, la météorologe pourra effectuer des prévsons fables Pour réalser des prévsons météorologques, l faut prévor l'évoluton du flude atmosphérque (c'est-à-dre l'évoluton de son état dynamque, thermque et hygrométrque) Arpège, le modèle théorque de Météo-France, dvse pour cela l'atmosphère en 7 couches superposées de quelques centanes de mètres de hauteur, pus en boîtes de pluseurs klomètres de côté Chaque boîte consttue un volume d'atmosphère dans lequel les paramètres météorologques (température, humdté, presson, vent) sont supposés être homogènes : ls provennent des relevés des statons, bouées ou satelltes Le calcul de l'évoluton de l'atmosphère, dans un déla de 6 à 96 heures, est confé à un modèle de l'atmosphère programmé en FORTRAN par les ngéneurs de Météo-France, l tourne sur un super calculateur Fujtsu VPP700 E à archtecture parallèle qu comporte 3 processeurs (d'où une pussance de 4 ggaflops, équvalente à 500 Pentum Pro 00) Ce programme totalse envron lgnes de code Chaque con d'une boîte d'atmosphère représente un "pont de grlle" La dstance horzontale entre deux ponts détermne ce qu'on appelle la malle Plus la malle est serrée, plus y a donc de ponts de grlle, et plus la

11 prévson est fable Arpège, qu recense actuellement ponts de grlle par tranche, a pour prncpale caractérstque de posséder une malle varable : 5 km de côté sur la France, pour plus de précson, et 300 km aux antpodes (Toutefos, ce "super-ordnateur" n'a pas prévu la force de la tempête de décembre 999! ) Grâce aux super-ordnateurs du futur (proche), les physcens passeront progressvement du stade de la prédcton des effets de la turbulence à celu de leur commande Cette commande peut avor des effets consdérables : s l'on rédusat la traînée des avons de lgne de %, on accroîtrat de 40% les bénéfces des compagnes aérennes! La smulaton a montré que des cannelures de 40 µm de large (dmenson des sllons d'un dsque nor) sur les ales d'un avon réduraent sa traînée de 5 à 6% La peau des requns et des dauphns comporte de mnuscules dentcules qu font le même offce et leur procurent une remarquable vtesse de ponte Il y a deux démarches fondamentales en modélsaton : les modèles de connassance et les modèles de représentaton On établt un modèle de connassance à partr de los physques ou chmques fondamentales Nous verrons, par exemple, c-après le cas des courbes de ttrage acdebase Par contre, un modèle de représentaton ou expérmental est obtenu en chosssant a pror une relaton mathématque qu semble rendre compte au meux les valeurs expérmentales C'est le cas par exemple de l'équaton de Redlch-Kster, modèle de représentaton très utlsé des grandeurs molares d'excès Le modèle de représentaton décrt donc un ensemble de données dans le contexte expérmental concerné, ce qu lmte fortement son utlsaton En effet, l ne s'agt que d'une façon commode et concse pour "transporter" un grand nombre de données qu sont remplacées par quelques paramètres et une équaton Mas l faut savor que cette représentaton analytque posée a pror ne peut pas rendre compte des proprétés ntrnséques du phénomème physque Toute nterpolaton ou, a fortor, extrapolaton n'a pas de sens physque pusqu'elle est foncton de l'équaton chose L'obtenton de grandeurs dérvées, par exemple, peut condure à des résultats complètement erronés Nous verrons plus lon que les enthalpes partelles obtenues en dérvant l'équaton de Redlch-Kster (modèle de représentaton des enthalpes ntégrales) peuvent faclement donner leu à des nterprétatons qu n'ont ren à vor avec la réalté Toutefos, ces deux approches ne sont pas forcément antagonstes, elles sont complémentares : la recherche d'un modèle de représentaton peut (et dot) s'appuyer sur un mnmum de connassances physques Ce chox étant fat, la modélsaton du phénomène comporte tros étapes : - recherche d'une représentaton analytque pour décrre le comportement d'un phénomène réel, sot par l'applcaton de los fondamentales, sot par le chox a pror d'une équaton analytque

12 - dans les deux cas, l'étape suvante est l'estmaton des paramètres de ou des équatons choses précédemment par des calculs de régresson en mnmsant un crtère quadratque - enfn, ces équatons et leurs paramètres étant connus (ans que leur domane de valdté), on peut procéder à une smulaton A) Exemples de smulaton On peut smuler une expérence réelle après en avor détermné exactement toutes les équatons analytques entrant en jeu et tous les paramètres des équatons la décrvant Le pont de Normande, sur la Sene, qu rele le Havre à Honfleur, premère mondale pour un ouvrage de cette dmenson, est un bon exemple de smulaton Il ne s'agssat pas unquement de calculer le pont, mas d'étuder auss toutes ses déformatons en cours de constructon pour planfer le réglage de mse en tenson de ses haubans au fur et à mesure de l'avancement des travaux, de calculer le boucler de protecton des pylônes contre le choc éventuel d'un cargo, de smuler la température du béton lors de son coulage (réacton exothermque) pour évter des ponts chauds qu auraent pu provoquer des fssures et, enfn, de smuler l'effet des tempêtes et des vents très volents dans l'embouchure de la Sene Un autre exemple est celu des smulateurs de vol qu permettent économquement et sans danger la formaton et l'entraînement des plotes cvls et mltares On peut ans les mettre dans des stuatons qu seraent trop rsquées ou trop onéreuses dans la réalté Les équatons qu ntervennent sont celles qu régssant le vol d'un apparel partculer en foncton de ses caractérstques (aérodynamsme, pussance, dmensons ) C est le cas de la majorté des smulateurs de vol Par contre, X-Plane de Austn Meyer, a la partcularté d'être basé sur la modélsaton du flude atmosphérque, qu'l reprodut avec fdélté Les apparels utlsent alors l'ar envronnant (ou sa raréfacton) pour se déplacer, en foncton du profl des pales de l'hélce, des ales, du fuselage, etc, et non de smples algorthmes de vol La pénétraton dans l'ar d'un corps proflé dépendant de nombreux paramètres, les dfférentes valeurs étables dans le monde réel par les ngéneurs aéronautque servent de base pour reprodure les apparels dans X-Plane Grâce à ce concept orgnal, tous les types de "plus lourds que l'ar" sont modélsables, qu'ls soent de type avon-école ou gros porteurs, récents ou ancens, commercaux ou expérmentaux, mus par la chaleur (ballons et drgeables), par un (ou des) moteurs/réacteurs, à volure tournante propulsée (hélcoptère) ou lbre (gyrocoptère et autogre), mangeurs de pste ou à décollage vertcal, sans oubler la navette Orbter et cela dans toutes les condtons atmosphérque possble Autre partcularté, la base de données qu, non contente d'être de couverture mondale, reprodut sur le même prncpe l'atmosphère de Mars en récupérant et combnant les toutes dernères données satelltares (USGS, FAA, NOAA & MIMA)sot plus de 400 Mo de données de terran, 63 Go de données de ponts d'élévaton ssues de 578 cartes, Dans ce domane, la pussance des ordnateurs personnels est suffsante pour que des programmes de smulaton ntalement destnés au grand publc (X-Plane, Elte Pro ou RTS) aent reçu l approbaton de la fédératon nternatonale aéronautque (FAA) pour l'entranement IFR (vol aux nstruments)!

13 3 plus de 4 mllons de références vsuelles répartes sur 60 zones de scènes et regroupant la majeure parte des routes et autoroutes, voes de chemn de fer, fleuves, rvères et cours d'eau, lgnes à haute tenson, forêts, champs, zones ardes, vlles, etc Dans et aux abords de ces dernères, les véhcules se déplacent en respectant le code de la route pusqu'ls sont dotés d'éclarage (feux de route, feux stop, clgnotants, etc) et qu'l est possble de les vor évoluer sur les routes et autoroutes À noter que les routes ne sont pas de smples éléments de décor, et que le revêtement est prs en compte pour d'éventuel atterrssages d'urgence Austn Meyer vent de décrocher l'agrément FAA (Federal Avaton Admnstraton) dans le catégore vol aux nstruments, mas auss pour le certfcat de vols commercaux et surtout pour le certfcat de transport aéren (passagers) ce qu est unque pour un logcel «grand publc» Il faut ensute, d'une part un pussant programme graphque exécuté sur un calculateur rapde et, d'autre part un envronnement recréant le poste de plotage et ses mouvements pour donner l'lluson de la réalté Les auto-écoles commencent à s'équper elles auss de smulateurs de condute automoble Grâce à la pussance et au fable prx des mcroprocesseurs actuels (Intel Pentum, Dgtal R4000) l est possble de réalser des consoles graphques pussantes à un tarf abordable Un autre domane ntéressant est celu de la smulaton des collsons de votures automobles obtenues en applquant les équatons régssant la déformaton des tôles et de la structure du véhcule compte tenu des lens et nteractons entre les dfférents éléments Le nombre d'équatons et de paramètres est consdérable En fasant suvre ces calculs par une représentaton graphque suffsamment rapde pour affcher en temps réel le résultat des calculs (consoles Slcon Graphcs ou Kubota par ex), on peut assster vrtuellement à l'écrasement d'une voture lancée à 00 km/h contre un mur, suvre la déformaton et le déplacement de tous les éléments du véhcule et en dédure économquement les pèces qu dovent être renforcées Toujours dans le domane de la sécurté routère : le programme européen Humos (Human Model for Safety), qu a été lancé à la fn de 997 est de développer un modèle mathématque nformatsé du corps human permettant de smuler le comportement au choc d'un ndvdu et d'évaluer les rsques de blessures qu'l encourt à partr de smulatons effectuées sur une maquette numérque vrtuelle Cet outl est destné au développement de la protecton des personnes contre les accdents de la route et d'autres moyens de transport (ferrovare, aéren) ou encore contre les accdents du traval ou de losr Grâce à une ade de la Commsson Européenne, les travaux des qunze partenares européens de ce programme et équpementers d'automobles, édteurs de logcels et laboratores de recherche à perms d'aboutr, en 000, à un premer modèle par éléments fns fondé sur la géométre externe et nterne d'un homme de talle moyenne Cette géométre, obtenue à partr de coupes anatomques sérées d'un corps légué à la scence par un condamné à mort amércan mmédatement congelé après njecton létale, a été mallée en quelques dzanes de mllers d'éléments qu reprodusent la structure des pèces osseuses et des prncpaux organes nternes Des proprétés mécanques caractérstques des dvers éléments bologques (os, muscle, lgament ) ont été attrbuées à chacun de ces éléments de façon à pouvor

14 4 calculer, par ntégraton spatale et temporelle le comportement de l'ensemble du corps lorsque celu-c est soums a une charge applquée par un élément extéreur comme une centure de sécurté ou un sac gonflable Ces caractérstques mécanques ans que des los probablstes relant la valeur de certanes grandeurs mécanques - comme l'accélératon ou la force de compresson - à un rsque de léson ont été en parte mesurées expérmentalement sur des pèces anatomques La premère verson de ce modèle, correspondant à la premère phase du programme appelée Humos I, est déjà utlsée par certans constructeurs pour la concepton ces véhcules La seconde phase HUMOS II qu a débuté en septembre 00, a pour but de produre toute une famlle de modèles à partr de ce modèle de base, par le bas de méthodes d'adaptaton du mallage à des formes, des dmensons et des postures dfférentes C'est ans que l'on dsposera, d'c a 005, de modèles pour une pette femme et pour un homme de grande talle, dans deux postures de référence (debout et asss) Grâce aux méthodes d'adaptaton, des modèles de talle ntermédare pourront alors être produts dans des postures adaptées à des confguratons partculères de véhcules À terme, ce type de modèle pourra remplacer les mannequns mécanques d'essas de choc actuellement utlsés pour l homologaton des véhcules dont le comportement ne s est pas révélé satsfasant, pas plus que celu des cadavres parfos utlsés! La Thrust SSC, premère machne roulante à franchr le mur du son (7 km/h) en 997 a fat l'objet d'étude de smulaton numérque qu ont perms cet explot Les effets au sol du passage à une vtesse supersonque étaent nconnus : l'engn pouvat se mettre à vbrer ou décoller comme un avon Il a donc fallu trouver les formes optmales qu garantssent au bolde une parfate adhéson au sol, tout en allant plus vte que le son L'apparel a été réalsé sans aucun essa en soufflere, n maquette à échelle rédute : tout a été conçu par smulaton numérque assstée par ordnateur (Unversté de Swansea, pays de Galles) 3 Depus les premers modèles botanques, des méthodes mathématques et nformatques ont été mses au pont pour modélser et smuler la crossance et l'archtecture des végétaux On peut ans prévor le comportement des plantes ou celu d'un peuplement dans un envronnement donné La conformaton de molécules chmques auss complexes que celles des peptdes peut être obtenue par des programmes de smulaton, par exemple le programme GENMOL La recherche de la conformaton la plus stable est fate en applquant des règles précses de géométre obtenues par l'expérence (résultats de dffracton de rayons X en partculer) et une mnmsaton de l'énerge totale de déformaton sous contrante de la molécule formée Cette énerge est obtenue emprquement en consdérant la molécule comme un système de sphères dures lées par des ressorts L'énerge totale de déformaton s'écrt : E = E S + E B + E + E VdW + E H + E C E S : énerge de lason, E B : énerge de flexon, 3 Projet concu par Rchard Noble, plotée Andy Green, le 5 Octobre 997 à Black Rock Desert, Nevada

15 5 E : énerge de torson, E VdW : énerge de Van der Waals, E H : énerge de lason des atomes hydrogène, (remplace le terme précédent dans certans cas fasant ntervenr un atome d'hydrogène) E C : énerge de Coulomb Ces équatons étant écrtes, on mnmse la foncton E par les méthodes classques de Newton ou du gradent conjugué Ic encore, une console graphque évoluée permet de vsualser dans l'espace les molécules obtenues Dans tous les cas, l est prmordal de connaître le domane de valdté du modèle L'unversté amércane l'iowa a même ms au pont un modèle de comportement électoral qu a perms de prédre les résultats des électons françases avec un pourcentage d'erreur correct sur une pérode de plus de 0 ans : P% = 68,8 - (0,38 x popularté du présdent) - (0,3 x taux de crossance) dans laquelle P% est le pourcentage obtenu par les parts de gauche Lors des électons de ma 997, avec "popularté du présdent" = 30% et "taux de crossance" = 0,, on obtenat P% = 56,9! (55,3% des députés élus étaent de gauche au deuxème tour) Il faut toutefos rester réalste : tout ne peut pas être modélsé Voc par exemple un extrat d'artcle paru dans Scences et Avenr concernant le crash bourser de l'été 998 : " le pège des modèles mathématques en économe " "Comment explquer que des professonnels habtués à jongler avec les modèles mathématques complexes n'aent pas vu la crse arrver? En partculer, Robert Merton et Myron Scholes prx Nobel d'économe en 997 ont ms au pont une formule pour détermner la stratége à suvre pour gagner en Bourse LTCM (Long Term Captal Management), une entreprse de geston des fonds d'nvestssement, s'en est abondamment serv pour réalser des opératons fnancères En tros ans, elle fera un gan de 0 %! En août 998, pourtant, c'est la chute Le 3 septembre, LTCM, au bord de la banqueroute, est sauvé n extrems par un consortum de banques, sous l'égde de la banque centrale amércane Les modèles mathématques n'ont apparemment pas été capables de prédre la chute Il exste pluseurs modèles mathématques du comportement bourser Ils sont utlsés par nombre de gestonnares fnancers et donnent d'assez bons résultats depus pluseurs années Mas comment fonctonnent-ls? Ils ne prédsent pas le cours d'une acton détermnée Une telle prédcton serat absurde, trop de paramètres mprévsbles pouvant ntervenr à tout moment pour modfer le marché Plus modestement, les modèles analysent la " volatlté " du marché, c'est-à-dre les varatons des cours Ces varatons sont ponctuellement mprévsbles, mas obéssent globalement aux fonctons mathématques qu décrvent le chaos À partr de ces modèles, les mathématcens calculent la stratége optmale d'achat et de vente sur certans produts fnancers Mutats mutands, c'est un peu l'hstore de la trajectore de l'homme vre : l fat de manère aléatore un pas toutes les deux secondes dans n'mporte quelle drecton II n'est

16 6 pas possble de prédre quel sera son prochan pas, mas on peut prédre la probablté qu'l sot à tel ou tel endrot au bout d'un certan nombre de secondes II est ensute possble de calculer la melleure stratége pour le rattraper Mas que se passe-t-l s, au leu de fare un pas à drote ou à gauche, l'homme vre s'effondre au sol? Le modèle ne fonctonne plus Toute proporton gardée, c'est un peu ce qu s'est passé cette année : le déséqulbre a faussé les modèles, rendant les stratéges nopérantes (Scences et Avenr, n 6 décembre 998)" En astronome, la smulaton a perms des avancées spectaculares En cosmologe tout partculèrement, la smulaton a changé notre compréhenson de l'unvers parce qu'elle a perms l'expérmentaton vrtuelle, ce qu état mpossble matérellement! Mas les calculateurs nécessares sont les plus pussants dsponbles et une queston se pose : dans quelle mesure reprodure un phénomène sgnfe-t-l qu'on l'a comprs? L'expérmentaton réelle étant mpossble, l'aller-retour nécessare entre l'expérence et la smulaton ne peut être fat Par exemple, une smulaton de la formaton de notre système solare (par Rchard Lboff) montre la formaton d'une dxème planète qu n'a pas (encore?) été observée, à une dstance égale à 5 fos celle de la terre au solel Dans ce cas on peut penser que l'exploraton future de notre système solare pourra confrmer ou nfrmer la prévson de cette smulaton Par contre le résultat, annoncé à la une de Nature du 7 novembre "Neptune, peu après sa formaton aurat mgré lon du solel Ce fasant elle a entraîné avec elle pluseurs dzanes de gros objets à l'orgne de la future centure de Kuper " est un pur produt de la smulaton numérque Est-l juste ou faux? Nul ne pourra jamas le détermner 4 On pourrat multpler les exemples à l'nfn 4 Cel & Espace Fév 004

17 7 III)PRÉSENTATION DU TABLEUR Nous allons utlser le tableur QUATTRO PRO pour effectuer les calculs de régresson et de smulaton A) Introducton Pour présenter avec clarté les résultats d'expérences ou de travaux pratques nous utlsons tous régulèrement la dsposton en tableau ou feulle de calcul Établr un programme permettant la réalsaton automatque d'une feulle de calcul état donc une chose naturelle et VISICALC 5 fût, au début du développement des ordnateurs, l'ancêtre des tableurs Ce que l'on vot sur l'écran n'est qu'une fable parte de la feulle de calcul : c'est une fenêtre que l'on peut déplacer à volonté Chaque case ou cellule est repérée par ses coordonnées : une lettre pour les colonnes et un chffre pour les lgnes La grande dée du tableur est de pouvor ntrodure dans ces cellules des ordres sous forme de formules de calcul mathématque ou logque, formules qu n'apparassent pas normalement à l'écran, lassant ans la place aux données ou aux résultats des calculs Le recalcul automatque (ou non) des résultats se fat à chaque modfcaton d'une donnée quelconque Ans, l'affectaton de ces cases est double : elles contennent sot une donnée ntrodute par l'utlsateur, sot le résultat d'un calcul effectué à l'ade du contenu de certanes cases C'est cette nteractvté mmédate entre données et résultats qu fat la supérorté du tableur dans certans types de calculs et qu offre une alternatve ntutve aux langages classques dont l'écrture s'adresse à des spécalstes Dans un tableur, le résultat affché dans une cellule est éventuellement foncton du contenu d'autres cellules selon la formule qu'elle content Chaque cellule accède ans à un envronnement composé d'autres cellules, vosnes ou lontanes Mas elle ne vot de cet envronnement que les résultats affchés (publcs) alors que la formule est une caractérstque prvée Exemple : calcul de la concentraton d'une soluton contenant un volume V = 00 ml d'eau dans laquelle on a versé un volume V = O, ml d'une soluton d'un sel quelconque de concentraton C sel = 0, mol/l La concentraton C est calculée par la relaton C = Aspect du tableur : contenu publc des cellules V * C V V sel Aspect du tableur : contenu prvé des cellules 5 Créé en 979 par Dan Brckln et Bob Franston, les premères utlsatons se stuaent dans le monde économque

18 8 (La présence du sgne $ dans les formules sera explquée c-après) L'écrture des formules dans un tableur est grandement facltée par des possbltés de recope des formules Dans l'exemple c-dessus, on peut magner que l'expérence est reprse en apportant un volume V' dfférent dans la soluton ntale Il est alors facle de recoper les formules des cellules B3 et C3 dans les cellules B4 et C4 L'adaptaton à leur nouvelle lgne est automatque (A3 et B3 sont remplacés par A4 et B4, par contre la présence du sgne $ fxe les coordonnées des cellules B et D lors de la recope de la formule) L'ntroducton d'une valeur en A4 provoque mmédatement l'affchage des résultats Consdérons mantenant que le volume de soluton est ajouté chaque fos à la soluton précédente (cas par exemple d'un ttrage) Le volume total est alors égal au volume ntal V ntal, plus la somme des volumes ajoutés V V TOTAL = V ntal + V et la quantté totale de sel en soluton est égale à la somme des quanttés ajoutées La concentraton en sel après ajouts de volumes V de sel peut alors s'écrre C = Il n'est pas facle de transcrre cette formule dans le tableur De façon générale l vaut meux utlser une formulaton tératve qu fat appel à des résultats obtenus dans d'autres cellules On peut noter, par exemple, que le volume total V total() est égal au volume total calculé pour l'ajout précédent V Total(-) plus le volume ntal V ntal C sel V * V V et, de même pour la concentraton V total() = V ntal + V Total(-)

19 ( Vtotal ) V C = V ( ntal )* total ( ) On écrt les formules C4 et B4 en applquant les relatons c-dessus Après recope de B4 vers B5B3 et C4 vers C5C3, on obtent les tableaux suvants : contenu prvé : C sel contenu publc : B) Prse en man de quattro pro pour Wndows ) Chargement de QUATTRO PRO pour Wndows Clquer sur l'cône de QUATTRO PRO 9

20 0 a) Les zones de l'écran Une feulle de calcul se dvse en 5 zones : - En haut de l'écran, la barre de menu déroulant propose 9 sous-menus Pour l'actver, appuyer sur la barre oblque Pour fare dérouler un menu, taper la lettre clef en surbrllance ou de couleur dfférente, par exemple F pour le menu Fcher La touche + permet d'obtenr la verson ntégrale du menu déroulant, la touche - la verson abrégée L'utlsaton d'une sours faclte consdérablement l'utlsaton du tableur : l sufft de "clquer" sur le menu ou la commande souhatée - Les boutons de la barre d'cônes permettent de sélectonner rapdement les commandes ou proprétés les plus couramment utlsées - Le menu Fcher comporte toutes les fonctons de geston et d'mpresson de fchers : Le menu Édton content les commandes de base pour la modfcaton et la recherche de données Elles utlsent le Presse-paper de Wndows comme zone de stockage temporare, ce qu permet d'exporter vers d'autres applcatons, comme Word par exemple, des pages de calcul :