Projet de fin d études

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1 Unversté Franços Rabelas Tours Ecole Polytechnque Unverstare de Tours Département Informatque Projet de fn d études Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks Chopn Antone Mrault Arnaud 3ème année -3 Ensegnants : T Kndt Vncent Esteve Bertrand

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4 I.Remercements Nous tenons à remercer toute l équpe ordonnancement du laboratore de l école polytechnque unverstare de Tours pour leur écoute et leur attenton. Nous remercons plus partculèrement Bertrand Estève et Vncent T kndt pour leur encadrement, leur patence, ans que leurs nombreux consels. Nous remercons auss Jean Charles Bllaut pour sa partcpaton à la résoluton du problème.

5 Sommare I. REMERCIEMENTS... SOMMAIRE... 5 INTRODUCTION... 7 II. ORDONNANCEMENT JUSTE À TEMPS... 8 A. LE JUSTE À TEMPS... 8 B. LE MULTICRITÈRE... 1 III. ETAT DE L ART... 1 A. ARTICLE DE OUENNICHE ET BOCTOR: LOT SIZING AND SCHEDULING PROBLEMS... 1 B. ARTICLE DE SRISKANDARAJAH ET WAGNEUR : LOT STREAMING... 1 C. ARTICLE DE YOON ET VENTURA : MINIMIZING THE MEAN WEIGHTED ABSOLUTE DEVIATION FROM DUE DATES IN LOT-STREAMING FLOW SHOP SCHEDULING D. ARTICLE DE OUENNICHE ET BOCTOR: THE MULTI-PRODUCT, ECONOMIC LOT-SIZING PROBLEM IN FLOW SHOPS E. ARTICLE DE OUENNICHE ET BOCTOR: THE TWO-GROUP HEURISTIC TO SOLVE THE MULTI-PRODUCT ECONOMIC LOT SIZING AND SCHEDULING PROBLEM IN FLOW SHOPS... 1 IV. APPROCHE PAR DÉCOMPOSITION (MÉTHODE DE MARTEL)... A. HYPOTHÈSES... B. ETUDE DU CAS OÙ PI,1 > PI,... 7 C. ETUDE DU CAS OÙ PI,1PI, D. FACTORISATION DES FONCTIONS DE COÛTS... E. CONCLUSION... 5 F. MODÈLE MATHÉMATIQUE G. RÉCAPITULATIF V. APPROCHE PAR DÉCOMPOSITION (PRODUIT-CONSOMMÉ) A. ETUDE DU CAS OÙ PI,1PI, B. ETUDE DU CAS OÙ PI,1 > PI, C. PREUVE D. GÉNÉRALISATION: PROBLÈME DE FLOWSHOP À M MACHINES E. CALCUL DES CONSOMMATIONS ET PRODUCTION

6 F. PARTICULARISATION DANS LE CAS DU FLOWSHOP MACHINES VI. IMPLÉMENTATION CPLEX A. INITIALISATION B. ETUDE DE LA FONCTION DE COÛT DANS LE CAS C. ETUDE DE LA FONCTION DE COÛT DANS LE CAS D. TABLEAU DES VARIABLES E. IMPLÉMENTATION DES CONTRAINTES F. FONCTION OBJECTIF... 7 G. FONCTIONNEMENT DU PROGRAMME VII. HEURISTIQUES A. HEURISTIQUE DÉVELOPPÉE POUR UNE PREMIÈRE APPROCHE B. IMPLÉMENTATION D ALGORITHMES GÉNÉTIQUES... 8 C. C. PREMIER ALGORITHME GÉNÉTIQUE D. SECOND ALGORITHME GÉNÉTIQUE E. IMPLÉMENTATION D UNE RECOVERY BEAM SEARCH (RBS) F. CAMPAGNES DE TESTS CONCLUSION...99 BIBLIOGRAPHIE... 1 ANNEXES

7 Introducton Le thème de notre projet de fn d études est l étude de l Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks. Nous avons tout d abord étudé la lttérature exstante sur des problèmes se rapprochant du nôtre. En effet des études ont déjà été menées sur l ordonnancement avec geston de stock. Nous nous sommes donc nsprés des artcles exstants en y ajoutant les méthodes de juste à temps et multcrtères pour élaborer un premer modèle. La réalsaton de ce modèle s nspre de la méthode de Martel. Nous nous sommes attachés ensute à le smplfer pour permettre la créaton d un programme utlsant Cplex fournssant une soluton optmale au problème. Le défaut d un tel programme étant son manque de rapdté, nous avons par la sute réalsé des heurstques, dont nous avons pu tester l effcacté. Nous allons donc vous présenter dans un premer temps quelques défntons fondamentales sur les méthodes utlsées dans notre problème, pus nous nous attarderons sur les artcles étudés. Par la sute, nous aborderons la réalsaton du modèle mathématque, pus la réalsaton du programme Cplex, et enfn nous étuderons les dfférentes heurstques et évaluerons leurs performances. 7

8 II.Ordonnancement Juste à Temps A.Le juste à temps 1.Défnton Donnée par Brauer Le juste à temps (JIT) est une approche ndustrelle qu se concentre sur un but smple, à savor, produre les artcles avec la qualté et dans les quanttés au temps précs où ls sont exgés. Autre défnton ( ou Le juste à temps est une phlosophe de producton qu a pour but de produre la bonne parte dans le bon endrot au bon moment, sans pertes de temps entre les actvtés qu ajoutent un coût sans valeur ajoutée, telle que déplacer et stocker. Le JIT (également connu sous le nom de producton sans stock) dot amélorer les coûts en rédusant les nveaux de stock, en amélorant la qualté du produt, en rédusant les talles de lots, les délas d'exécuton de la lvrason, et en rédusant d'autres coûts (comme ceux lés à l'nstallaton de machne et à la panne d'équpement). Dans un système juste à temps, la capacté de stockage sous utlsée est employée comme stock tampon pour fare face aux dfférents problèmes pouvant survenr. Le JIT s'applque prncpalement aux procédés de fabrcaton répéttfs dans lesquels les mêmes composants et produts sont fabrqués à pluseurs reprses. L'dée générale est de mettre en place des procédés par flux (quelque sot le mode d agencement de processus utlsé par le servce à savor, par tâche ou un tratement par lots) en lant des centres de traval de sorte qu'l y at un flux de produt égal et équlbré dans tous les procédés de la producton, semblables à ce que l on trouve dans une chaîne de montage. Pour attendre cet objectf, on tente de condure tous les nveaux de stockage vers zéro et de trouver la talle déale de lot d'une unté..poston du Problème Dans un modèle JIT tout ne concerne pas l ordonnancement, à savor : Le postonnement des machnes de sorte à rédure les temps de déplacement, Rédure la durée des temps de chargement, etc. Pour parvenr à un modèle JIT nous allons plus partculèrement nous ntéresser à : Rédure les coûts, Rédure les délas (retard pour un clent et temps de producton d une commande). Rédure la talle de lots. La phlosophe du JIT montre que le produt est le plus mportant et non la machne. Le but prncpal de cette phlosophe est de satsfare le clent, et d élmner les gaspllages. 8

9 Dans la lttérature on peut constater qu l exste deux modèles de juste à temps : Modèle 1 : Son but est de satsfare au bon moment le clent, c est à dre ne pas commencer trop tôt la producton, et optmser les stocks Modèle : Ce modèle est basé sur les prncpes de dversté et de réactvté. Il établt une réducton des temps de chargement (le mons de setup tme possble). Son fonctonnement est basé sur le prncpe du Lot-Sreamng (lsser la charge). Représentaton du Just n Tme Dsponble Ateler Setup tme Dsponble Clent Process tme Queue tme Transport tme Leadtme On peut également remarquer le modèle japonas du JIT, cependant l apparaît comme étant un cas extrême de la méthode. Modèle Japonas : - aucun défaut - aucun temps de chargement - aucun stock - aucune manutenton - aucun déla - aucune panne - talle de lot untare Le but de notre PFE est de trouver un modèle mathématque qu mnmse dans le même temps les stocks, les délas, et les talles de lot. Ce traval sera fat après avor étudé pluseurs artcles nous permettant d analyser les hypothèses de traval que nous devrons mettre en œuvre. 9

10 Exemple : Soluton déale Temps auss fable que possble d Ce schéma explcatf montre l agencement optmal des tâches, afn d obtenr le coût le plus fable (Pas de temps d attente concourt à rédure les stocks ntermédares). De plus, le fat de fnr à la date souhatée permet de ne pas ajouter de coût de retard ou d avance au job. Remarques : Notre problème ne s occupe que de la parte ordonnancement. L déal serat de prendre en compte le stock de matère premère avec la geston scentfque des stocks. Stock de matère premère Geston scentfque des stocks Stock de produts sem-fns Ordonnancement Stock de produts fns B.Le multcrtère 1.Présentaton En général, dans de nombreux artcles, le Just n Tme est représenté par un seul crtère. n mn z = α E + β T = 1 Ce crtère nous permet d obtenr une soluton optmale à mondre coût. Cependant cette soluton peut ne pas forcément convenr à un décdeur. C est pourquo une approche multcrtères apporterat un ensemble de solutons acceptables selon les crtères retenus. 1

11 Exemple : Avec jobs on obtent une soluton optmale mono-crtère (mnmsant les coûts): J1=1(Retard) et J=. Cette soluton n est pas forcement acceptable pour un décdeur car elle pénalse le clent N 1. Avec l approche multcrtères on obtent un ensemble de solutons. En reprenant l exemple on peut trouver les solutons : J1=1(Retard) et J=. J1=3(Avance) et J=5(Retard) Ces solutons ne mnmsent pas le coût mas peuvent apporter une melleure soluton pour le décdeur..optma de Pareto En reprenant la formule générale, on consdère : Z = α E + β T 1...n Les crtères Z sont appelés crtères de dévaton pondérée. Il s agt donc de trouver un optmum de Pareto pour ces crtères. On rappelle qu un ordonnancement S est un optmum de Pareto strct s et seulement s l n exste pas un autre ordonnancement S tel que Z(S') Z(S) = 1...n, avec au mons une égalté strcte. Ce problème, déjà traté dans la lttérature, est NP-dffcle au sens fort. En mnmsant la somme Z, sachant que nous bornons les Z par des valeurs b, on consdère : mn Z Sachant que Z b On retrouve c une relaton de domnance que nous allons explquer par un exemple : Z1 1 Z 3 Z3 Soluton domnée domnante La premère lgne du tableau montre que la soluton est domnée par la seconde lgne. Ce qu nous permet de dre que la soluton domnée n a plus d ntérêt pour le décdeur. Soluton domnante Soluton domnée 11

12 III.Etat de l art A.Artcle de Ouennche et Boctor: Lot szng and schedulng problems Dans cette artcle, Ouennche et Boctor se proposent de résoudre un problème de flowshop à n machnes avec stock ntermédare, nspré du modèle de Martel et du lot szng. Prenons un exemple de flowshop à deux machnes, n produts, avec stock d encours entre la machne 1 et la machne. La capacté de stockage est nfne. Chaque produt a son stock. Au début tous les stocks son consdérés vdes. Modèle Mathématque : Sur une pérode de producton H composée de cycles dentques de longueur T, Ouennche et Boctor proposent de trouver une valeur optmale de T qu mnmse le coût. Dans cet artcle le crtère est Cmax. Le but est de trouver l équlbre entre T = H et T.ε = H avec ε. 1

13 Lot szng : Découpage des jobs en lots ndépendants qu seront tratés par dfférents cycles T. Cette méthode convent pour une producton de masse. H T 1 T Cycles dentques s H=1 Le modèle proposé est de la forme : Mn z = TA + BT Avec A le coût d nstallaton d une machne qu augmente quand T1 augmente et B le coût de stockage qu dmnue quand T1 augmente. Le problème est dt NP-Dffcle. Les deux auteurs proposent de résoudre ce problème avec types de résolutons : - PSE vor PSE tronquée (solutons optmales) - heurstques (solutons approchées mas rapdes) Pour une PSE tronquée, l faut trouver une relaton de domnance afn de supprmer les morceaux d arbre qu ne peuvent pas donner de bonnes solutons. Deux heurstques sont abordées pour trouver une soluton approchée : - Recherche tabou, - Recut smulé. Exemple : Courbe de nveau nstantané de stock avec le modèle de Martel à machnes 13

14 B.Artcle de Srskandarajah et Wagneur : Lot streamng L artcle de Srskandarajah et Wagneur propose de mnmser le MakeSpan. C est à dre, rédure les temps morts entre les dfférentes opératons. Pour cela les auteurs utlsent le lot streamng, méthode qu permet de lsser la charge. Lot streamng : C est le fat de couper une tache en un certan nombre de sous lots de talles égales. Les sous lots ne sont pas ndépendants. Cec permet de commencer à produre sur la machne suvante avant la fn de la producton de la tache sur la machne courante. Exemple : Méthode tradtonnelle : Le job est transféré s l est termné sur la machne 1. M1 1 M M Lot streamng : L ntérêt est de fludfer le passage sur les dfférentes machnes. Les sous lots sont consécutfs. M M.1..3 M

15 Srskandarajah et Wagneur proposent le modèle mathématque suvant pour répondre à leur problème : Exemple d applcaton du modèle mathématque avec machnes et lot streamng : 15

16 C.Artcle de Yoon et Ventura : Mnmzng the mean weghted absolute devaton from due dates n lot-streamng flow shop schedulng L objectf de la méthode proposée est de mnmser la dévaton absolue pondérée (moyenne) avec quatre mécansmes de recherche par vosnage. Modèle mathématque : L artcle trate des sous lots de talles égales, des sous lots de talles dfférentes, des stocks ntermédares de capacté lmtée et nfne, sans délas entre les opératons successves. De plus les setup tme ne sont pas prs en compte. No-wat flowshop: Ce type de flowshop ne permet pas d nterrupton entre les tâches successves. Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Stock ntermédare lmté : On note b la capacté du stock entre deux machnes et + 1. Il représente le nombre de tâches maxmum qu peuvent être stockées. Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Deux cas peuvent alors se présenter : Blocage autorsé : Lorsque le stock ntermédare est plen, la machne précédente ne peux recommencer une tâche sans qu l sot en parte vdé et que la machne sot lbérée. 16

17 Exemple : Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Blocage non autorsé : Lorsque le stock ntermédare est plen, la machne précédente ne peut commencer une tâche avant qu une place sot dsponble dans le stock. Exemple : Cec rajoute la contrante suvante au modèle : Problèmes de sous lots consstants : Des sous lots sont dts consstants lorsqu ls sont de talles dfférentes. Les contrantes suvantes sont alors rajoutées au modèle : 17

18 1.Méthode d nter changement par pare : Il exste quatre méthodes pour ntalser les séquences de jobs : Les mécansmes de recherche par vosnage utlsés sont : API (Adjacent Parwse Interchange) : cette méthode consste à nter-changer une pare de jobs consécutfs NAPI (Non Adjacent Parwse Interchange) : cette méthode consste à nter-changer une pare de jobs non consécutfs EFSR (Extracton and Forward Shft Renserton) : cette méthode consste à extrare un Job et à le rénsérer plus lon dans la séquence. EBSR (Extracton and Backward Shft Renserton) : cette méthode consste à extrare un Job et à le rénsérer avant dans la séquence. Le mécansme est stoppé lorsque plus aucune améloraton de la foncton objectf n est obtenue. 18

19 D.Artcle de Ouennche et Boctor: The mult-product, economc lot-szng problem n flow shops Cet artcle propose une heurstque effcace pour résoudre un problème de lot-szng mult produts et mult phases de mnmsaton des coûts. Modèle mathématque de base : On en dédut le cycle T* optmal : La méthode de résoluton propose alors de défnr une borne nféreure et une borne supéreure telle que : et : Une fos que ces deux bornes sont trouvées on détermne une soluton approchée en chosssant pour chaque étape une valeur de T. Pus on détermne les dates de début qu mnmsent le coût. En fxant T on obtent un programme lnéare. 19

20 1.La méthode pussance de Cette méthode permet de résoudre des problèmes mult produts, en posant l hypothèse : T = m F avec m =,1,,... T est un multple enter de F Le modèle devent alors :

21 E.Artcle de Ouennche et Boctor: The two-group heurstc to solve the mult-product economc lot szng and schedulng problem n flow shops Cet artcle consdère les problèmes mult-produts. La procédure réalsée tent compte des contrantes de capactés et garantt l obtenton d une soluton réalsable. 1.Concepts de Base : Explcaton des contrantes : Pour évter des retards quand un produt est réalsé sur des cycles de longueur T, la producton dot être de talle rt (avec r taux de demande de fn du produt). Par conséquent, le tratement à la pérode j nécesste rt / p j untés de temps. Par restrcton, l est nterdt de trater un produt à une pérode donnée, sans qu l sot termné à la pérode précédente. rt (1) d j 1 + p j 1 d j, j =,..,m De plus, le cycle T dot être suffsamment grand pour permettre le chargement et le tratement des opératons à chaque pérode. rt () t j + p j T, j = 1,..,m Le temps qu s écoule entre le début du tratement du premer produt et la fn du tratement du derner produt dans la séquence est nféreur ou égal à T A chaque pérode un produt ne peut être traté sans que le temps de chargement de la machne correspondant ne sot réalsé. Contrantes de non négatvté : (5) T dj Toutes ces contrantes sont lnéares. 1

22 .Détermnaton de la foncton objectf m Coût total de stockage entre machnes : h j= r d j + rt d j 1 rt p j p j 1 j 1 Coût total de stockage de fn : h. r 1 prm T Foncton objectf à mnmser : Le cycle optmal T* est donc : 3.Procédure de résoluton 1. On détermne une borne nféreure. On détermne une borne supéreure Où Zlb est la valeur de la foncton objectf z du cycle commun correspondant à la borne nféreure 3. On trouve une valeur approchée de T* dans l ntervalle [Tlb,Tub]. Chaque étape consste à chosr une valeur de T, pus pour cette valeur on détermne les dates de début qu mnmsent le coût total. Cec peut être réalsé en résolvant le programme lnéare obtenu à partr du cycle commun en fxant la valeur de T. Il peut être avantageux de résoudre le dual de ce problème lnéare.

23 .La méthode TG (two-group) Cette méthode restrent les cycles T à être des multples enters d une pérode élémentare F. C est à dre T = m F pour tout. Chaque multplcateur m prend comme valeur sot 1 ou sot K (où K est un enter postf). Les produts sont alors dvsés en deux prncpaux groupes. Le premer, nommé Go, content no produts devant être tratés sur chaque pérode élémentare ( m = 1 ). Les produts restants appartenant au second groupe, nommé Gk, sont tratés une fos toutes les K pérodes élémentares ( m = K ). Le cycle global sera de longueur T = KF. On dvse alors Gk en K sous ' ' ' groupes, nommés J1, J,..., J k de cardnaltés respectves n1,n,...n k. On assgne alors un unque sous-groupe à chaque pérode élémentare. Pour résumé, la méthode TG dvse les produts en groupes Go et Gk, pus calcule une lmte supéreure du multple K. Pour chaque valeur de K entre et sa lmte supéreure, on dvse Gk en K sous groupes. Pus on détermne la séquence σ k pour chaque sous produts Pk et on résout le modèle mathématque pour détermner les valeurs de F et dj qu mnmsent le coût total. Pour préserver du temps de calcul, l faut être sur que les parttons choses ans que les séquences de producton σ k sont telles que le modèle mathématque correspondant possède un ensemble non vde de solutons réalsables. 3

24 IV.Approche par décomposton (méthode de Martel) A.Hypothèses Notre étude portera sur un problème de FlowShop de permutaton à machnes en JIT, avec lot streamng. De plus, nous ntégrerons la noton de mult-crtéres. 1.Les coûts : Nous allons consdérer dans notre modèle les coûts suvants : Coût de setup (chargement et montage sur une machne). Coût de stockage de : * Produt sem fn (entre la machne 1 et la machne ), * Produt fn, Coût de dvson d un job en sous-lots, Coût de mécontentement du clent (retard). On ne prendra pas en compte la capacté des stocks ans que le coût de stockage des matères premères pour les rasons suvantes : Superflu et complqué, Lé surtout à une stratége d approvsonnement, Approvsonnement déconnecté de l ordonnancement. Dans le cas normal, s les jobs sont non dvsbles (ex : constructon d un avon) la foncton de coût se résume (s on ne prend pas en compte les stocks ntermédares) à : Z j = α j E j + β j T j j = 1,..,n Rappel de la défnton : Lot streamng : C est le fat de couper une tache en un certan nombre de sous lots de talles égales. Les sous lots ne sont pas ndépendants. Cec permet de commencer à produre sur la machne suvante avant la fn de la producton de la tache sur la machne courante. Dans le cas d opératons dvsbles, on a ntérêt à utlser la méthode du lot-streamng, car elle tend à décroître le coût de stockage de produts sem fns, et les délas de producton. Le lot-szng est quant à lu plus appropré pour la producton de masse or le juste à temps concerne prncpalement les produts fabrqués à façon. On s ntéressera dans un premer temps au cas de travaux dvsbles. C est à dre qu ls sont consttués en lots tratés successvement.

25 .Setup Tme : On a des Setup Tme dépendants de la séquence. On utlsera une matrce contenant le temps du setup du job j après le job ( Sj ).Cette matrce est la même pour toutes les machnes. j Sj En premer leu on tendra compte du temps des Setup Tme et non des coûts des Setup Tme. 3.L nserton de temps mort L nserton de temps mort volontare n est autorsée qu entre les opératons. On ne peut donc pas avor de temps morts sur la premère machne. Exemple : M1 M j : Temps morts volontare j j d j j j dj : Temps morts mposés.les données Comme on s autorse la méthode du lot-streamng, on consdère que le nombre de sous-lots par opératon, et quelque sot le traval, est découpé en sous lots de talles dentques sur toutes les machnes. La durée d un sous-lot sur la machne Mj, avec j={1,}, pour le traval P, j est. On note γ, le coût untare de stockage de entre M 1 et M pendant une unté de temps. On note λ, le coût d un sous lot ; ce qu évte au problème de tendre vers un nombre de lots contenant un seul élément. 5

26 On pose : P, j : Temps opératore de sur Mj. q : Nombre d éléments consttuant. n : Nombre de jobs : Le nombre de sous-lots par opératon. γ : Coût untare de stockage d un élément de pendant 1 unté de temps dans un stock de produt sem-fn. κ : Coût untare de stockage d un élément de pendant 1 unté de temps dans un stock de produt fn. λ : Coût untare d un sous-lot. β : Coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps S, j : Setup tme du traval j précédé de. d : Date de fn du job Nous allons dans notre étude dstnguer deux cas : La machne 1 produt auss vte vore plus vte que la machne ne consomme ( P1 P ), et le cas où la machne 1 produt mons vte que la machne ( P1 > P ). Pour établr la foncton de coût d un traval nous allons tout d abord nous ntéresser au stock ntermédare. 6

27 B.Etude du cas où P,1 > P, 1.Coût des stocks de produt sem fn ( avec P1 > P ) Le stock ntermédare est défn entre deux machnes. Pour un modèle à deux machnes le calcul du stock ntermédare peut varer selon les dates de début des jobs sur la deuxème machne. Nous allons tout d abord supposer que P1 > P ; ce qu équvaut à dre que la machne consomme plus vte que la machne 1 ne produt. Pluseurs cas peuvent alors apparaître : Cas «ABF» M1 1 3 Nveau Instantané du stock (NIS) A µ1 B µ F µ6 M 1 3 7

28 Cas «ABCF» M1 1 3 Cas«A[DE]F»3 M1 NIS 1 A NIS B µ1 M M A µ1 D C F µ µ3 µ6 E D E F µ5 µ µ5 µ 3 µ

29 Cas «AF» M1 1 «AGF» Cas 3 1 M1 NIS 3 A NIS µ1 µ6 A M µ1 F G F 1µ7 3 µ 6 M 1 3 9

30 Cas «ABC[DE]F» M1 Nous allons étuder plus partculèrement ce derner cas pour trouver une foncton 3 ntermédare pour le job 5. Le calcul mathématque nous donnant1la valeur du coût du stock du coût de stockage ntermédare revent à calculer l are stuée sous les pentes de stockage multplée par le coût untare de stockage ntermédare. Le nombre de pentes sera foncton du nombre de sous lots. On remarque qu l y a au maxmum pentes pour le stock. NIS a)calcul de l are de A : A Calcul de µ 1 : B C D E D E F C est la date de début du lot 1 du deµ 5début µ 1 job sur la machne µ µ 3 mons µ 5 laµ date µ du lotµ 16 du job sur Mla machne 1. µ 1 = mn( P,1;t,,1 t,1,1 ) Calcul de la hauteur : C est la quantté de pèces produtes pendant µ 1 untés de temps,.e. la vtesse de producton de la machne 1 multplée par le temps de producton. h = µ 1. q P,1 La valeur de A est donc : A= 1 µ 1. q P,1 b)calcul de l are de B : Le prncpal problème pour B est de détecter les premers lots consécutfs sans temps mort. Calcul de : Supposons que k sous-lots sont tratés consécutvement sur M, sans temps mort. On a : P C,,k = t,,1 + k, P,1 C,1,k = t,1,1 + k Il faut trouver la plus pette valeur de k telle que : C,,k < C,1,k + 1 3

31 t,,1 + k. k. k> P, < t,1,1 + (k + 1) P,1 P, P,1 P < t,1,1 t,,1 +,1 ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 P, P,1 ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 d où = mn ;, car P, P,1 P, P,1 P,1 NB : Dans le cas où t,1,1 t,,1 = on a = (cas ADEF). Calcul de µ : C est le nombre de lots consécutfs multplé par la durée d un sous-lot. P, µ = mn. ;max(;t,1,1 + P,1 t,,1) On notera que le derner terme de µ n est le mnmum que dans le cas «ABF». Calcul de la hauteur : On notera que la grande hauteur de l are B est la valeur de la hauteur pour l are A. On s ntéresse donc à la pette hauteur qu correspond au nombre d éléments du traval dans le stock ntermédare. Autrement l s agt du nombre d éléments produts à la date t,1,1 + µ 1 + µ mons le nombre d éléments consommés à cette même date. h= ( µ + t,,1 t,1,1 ) q q q q µ. = ( µ + µ 1 ) µ. P,1 P, P,1 P, L are B se compose d un rectangle et d un trangle, et on a donc : q q B = ( µ + µ 1 ) µ..µ + 1 µ.q. 1 1.µ P, 1 P, P, P,1 c)calcul de l are de C : Calcul de µ 3 Cette valeur correspond à la largeur du premer temps mort. Ce temps mort n est pas forcément maxmal suvant la date de début du job sur la machne. Snon nous calculerons la valeur de l are de E. 31

32 Pour tenr compte du cas «ABF» afn que C dsparasse de l équaton fnale du coût de stock de produts sem fns: µ 3 = max ;mn( ; + 1). P,1 µ 1. P, Calcul de la hauteur On notera que la pette hauteur de l are C est la pette hauteur de l are B, déjà calculée. On s ntéresse donc à la grande hauteur qu est le nombre de pèces en stock (.e. nombre de pèces produtes mons le nombres de pèces consommées). On a : h= q On en dédut alors l are C, composée d un rectangle et d un trangle : q q q q q C = ( µ + µ 1 ) p,1 µ p, µ µ 3 ( µ + µ 1 ) p,1 + µ p, q q q µ µ 3+ 1 µ 3 C = 1 ( µ + µ 1) p,1 p, La valeur ½ devant la deuxème lgne correspond à une factorsaton de la forme ntale de C. Note : Dans le cas «A[DE]F, C est égal à. 3

33 d)calcul de l are de D : D et E sont un motf qu revent sans cesse suvant le nombre de sous lots et du recouvrement qu l peut se produre entre le tratement d éléments sur la machne 1 et sur la machne. Calcul de µ 5 µ 5 = p, p, Où, correspond au temps nécessare à la consommaton d un sous lot du job sur la machne quand l y a un temps mort avant le sous lots (sauf dans le cas partculer A[DE]F). Calcul de la hauteur : D correspond a une pente descendante qu démarre toujours de valeur de la producton de la machne 1. h= q et qu descend à la µ 5 q p,1 µ 5 q µ 5q on a alors : D = + p,1 e)calcul de l are de E : Calcul de µ µ = P,1 P, Largeur du temps mort après le sous lot +1 du job. Calcul des hauteurs : Elle sont les mêmes que pour D, sauf que la pente est montante. E devent donc : µ 5q q µ 5q E = µ ( P,1 + 1 P,1 ) µ q µ 5.q E = + P,1 33

34 f)calcul du plateau G : Calcul de µ 7 G n apparaît que s la date de début du job sur la machne est supéreure à la date de fn du job sur la machne 1. µ 7 = max( ; t,,1 t,1,1 P,1 ) Calcul de la hauteur La hauteur de G est fxe : elle est égale à la quantté q du job. G a donc pour valeur : G = µ 7.q g)calcul de l are F : Pour calculer F nous allons nous ntéresser à 3 ponts partculers : α, γ, β. Ces 3 ponts défnssent la hauteur et la durée de F. α F γ β Sot e la quantté produte par la machne 1 et f la quantté consommée par la machne. e = q β = t,1,1 + P,1 + µ 7 Pour le cas ABF, AF, AGF : f = max(; C,1 t,,1 ). q P, α = e f γ = t,,1 + p, γ β = t,,1 + P, t,1,1 P,1 µ 7 = mn( P,;t,,1 + P, t,1,1 P,1 ) Autre cas : 3

35 f ' = ( 1) α = e f ' q γ '= C,1 + P, γ ' β = P, En généralsant : α = e mn( f, f ' ) µ 6 = γ β = max(t,,1 + p, t,1,1 p,1 µ 7; P, )= max mn( P,;t,,1 + P, t,1,1 P,1 ); P, q F = 1.µ 6. q mn max(;c,1 t,,1). ; 1.q P, h)coût des stocks de produts sem fns ( avec P1 > P ): CSPSF = γ ( A +B + C + max ( ; 1 )( D + E ) + F +G) Remarque : Selon les dfférents cas étudés la valeur de dffère: Cas «ABF» Cas «ABCF» Cas «ABC[DE]F» Cas «A[DE]F» Cas «AGF» Cas «AF» = = 1 < = = = 35

36 .Coût des stocks de produts fns (avec P1 > P ) Nous allons mantenant nous ntéresser au stock de produts fns toujours en consdérant que P1 > P. On peut supposer 3 cas pour la lvrason du produt fn : - La lvrason est réalsée dès la mse en stock d un sous lot du produt fn, - La lvrason est réalsée progressvement dès la fn du produt sur la machne jusqu à la date due, - La lvrason est entèrement effectuée à la date due. Les deux premers cas ne sont pas consdérés car sans ntérêt : Le premer cas n est pas prs en compte car l revent à calculer des coûts de stockage ntermédare (produts sem-fns). Le clent étant consdéré comme une machne 3. Le second cas paraît redondant et mons pertnent que le trosème. On suppose donc que le produt fn est un traval lvré en un seul bloc à la date due q q A µ ' 1 C B µ ' 1 µ ' 1 D TM1 µ 3 µ ' 1 E TM µ µ ' 1 FF d a)calcul de [ABCDE] : µ '1 = P, q 1 A =.µ '1. q B = A+ P,. q C = B + P,. p q D = C +,. On peut généralser par : [ABCDE] = 1 P, q 36

37 Preuve du calcul : [ABCDE] = A + P, q 1 Moyenne de la sute [ABCDE] = A + ( j =1 1 ( j) j =1 j ) = ( + 1) P, q ( 1) [ABCDE] = P q 1 1 P, q +, ( 1) [ABCDE] = 1 P, q b)calcul de FF : Cette are correspond à l avance du produt. Plus le produt sera en avance par rapport à la date due, plus cette are sera grande. Cependant s le produt est en retard, on consdère que FF est nul. FF = max( ; d C, ).q c)calcul de TM1 : TM1 apparaît unquement s pluseurs lots se succèdent sur la machne avant un temps mort. La durée de TM1 est égale à la durée du temps mort sot µ 3 (défn page 8). TM 1 = µ 3. q où est le nombre de sous-lots tratés sans temps mort (cf page 7) d)calcul de TM : TM correspond à la somme des temps mort non transtores. TM = 1 v = + 1 µ. v.q où µ est défn page 9 e)coût des stocks de produt fns ( avec P1 > P ): CSPF = κ ( [ABCDE] + TM1 + TM +FF ) 37

38 C.Etude du cas où P,1 P, 1.Coût des stocks de produt sem fn ( avec P1 P ) Nous allons mantenant calculer les coût de stockage de produt sem-fn avec P,1 P,. Nous allons dans un premer temps calculer l are suvant les cas «ABC» et «ADE» pus nous multplerons cette are par le coût untare γ. Cas «ABC» M1 NIS B C A µ µ1 M µ3 Cas «ADE» M1 NIS A M µ1 D E µ µ3 38

39 a)calcul de l are de A : Comme dans le cas P, < P,1, et concernant la valeur de l are de A, nous allons calculer la durée pendant laquelle seule la machne 1 produt, multplée par la quantté d éléments fabrqués. Donc on pose µ 1 : µ 1 = mn( P,1 ; t,,1 t,1,1 ) Le premer terme correspond au cas «ADE» où le job sur la machne 1 est termné avant le début du job sur la machne. On prend le deuxème terme snon (.e. cela sgnfe qu l y a recouvrement). Calcul de la hauteur : Comme pour la durée, nous reprenons le calcul fat pour le cas P, < P,1. h= µ1 q P,1 On a donc : A= q 1 µ 1² P,1 Cette formule d are étant smlare au cas où P, < P,1. b)calcul de l are de B : Le calcul de l are de B revent à calculer la pente montante de durée µ. On a µ = max(; t,1,1 + P,1 t,,1 ) La valeur de µ vaut zéro s l n y a pas recouvrement. Calcul de la hauteur : On notera que la pette hauteur de l are B est la valeur de la hauteur pour l are A. On s ntéresse donc à la grande hauteur qu correspond au nombre d éléments du traval dans le stock ntermédare. Autrement l s agt du nombre d éléments produts à la date t,1,1 + µ 1 + µ mons le nombre d éléments consommés à cette même date. µ q h = q P, 39

40 B à donc pour valeur : µ 1q µ q B = 1 ( q + ). µ P,1 P, c)calcul des ares de C et E : Pour le calcul de ces deux ares nous allons calculer un mnmum entre la durée du job sur la machne et dans le cas ou l y a recouvrement, on calcule la soustracton entre la fn du job sur la machne et la fn du job sur la machne 1. D où on a µ 3 = mn( P, ; t,,1 + P, t,1,1 P,1 ) Calcul de la hauteur : La valeur de la hauteur de E est q, car l n y a pas recouvrement (.e. le job sur la machne 1 est fn alors que la machne ne l a pas commencé). Pour l are de C, l y a recouvrement donc l faut soustrare à q ce que la machne a déjà commencé à consommer. q On obtent donc h = q max ; (t,1,1 + P,1 t,,1 ) P, µ q On obtent donc C = E = q max ; (t,1,1 + P,1 t,,1 ) 3 P, d)calcul de l are de D : On retrouve la même formule que pour G, dans le cas P, < P,1. Où D vaut : D = max( ; t,,1 t,1,1 P,1 ) q Le premer terme correspond à la durée entre la fn du job sur la machne 1 et le début du job sur la machne. D vaut zéro s l y a un recouvrement.(cas ABC) e)coût des stocks de produts sem fns ( avec P1 P ): CSPSF = γ.(a+ B+ D+ C)

41 .Coût des stocks de produts fns ( avec P1 P ) M NIS A FF d a)calcul de l are de A : L are de A correspond au calcul de [ABCDE] dans le cas où P1 > P, c est à dre : A= 1 P, q b)calcul de FF : De même que pour A l se calcule de la même façon que dans le cas où P1 > P, c est à dre : FF = max( ; d C, ).q c)le coût de stockage de produt fn : Comme P1 P l n exste aucun temps mort sur la machne. Le coût de stockage de produt fn devent donc : CSPF = κ (A +FF ) 1

42 D.Factorsaton des Fonctons de coûts 1.Foncton de coût dans le cas P,1 P, µ q q µ 1q 1 µ q P,q + q max( ; d t,,1 P, )) + γ ( 1 µ 1 + µ (1 q + 1 ) + q µ + 1 µ 3(q )) Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + κ ( 1 P,1 P,1 P, P, NB1 : µ 1 = µ 3 P, + P,1 NB : Z est ndépendant de la valeur de (.e. du nombre de sous-lots) Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + qκ max( ; d t,,1 P, ) + κ q q q 1 P,q + µ 1µ µ + µ q + q µ + + γ ( 1 µ 1 P,1 P,1 P, 1 µ 3q 1 µ 3µ q ) P, Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + qκ max( ; d t,,1 P, ) + κ q q q P,q µ q + µ + µ 1µ µ + γ(1 + q µ + 1 P,1 1 P,1 P, 1 µ 1q + 1 q P, 1 q P,1 1 µ 1µ q 1 µ q + 1 µ q P,1 ) P, P, P,q + γ( q µ q µ + q µ 1+ µ 1µ q q + µ q P,1 1 q P,1 P,1 1 P, P,1 P, P, + q P, + q µ ) Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + qκ max( ; d t,,1 P, ) + κ On notera que µ 1 = mn(p,1;t,,1 t,1,1)= mn(;t,,1 t,1,1 P,1)+ P,1 = µ + P,1

43 D où on obtent : P,q + γ( q q q q q q P,1 1 q P,1 q µ ( µ + P,1 ) µ µ + P,1µ + µ + ) + q P, P,1 P, P,1 P, P, Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + qκ max( ; d t,,1 P, ) + κ q ( µ + P,1 ) q µ + P,1 P, P,q + γ( q q q P,1 q q q q q q q P,1 1 q P,1 q µ µ µ + µ q µ + P,1 µ + P,1µ + µ + q P, + ) P,1 P, P,1 P, P,1 P, P, Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + qκ max( ; d t,,1 P, ) + κ Z = β max ( ; t,,1 + P, d ) + qκ max( ; d t,,1 P, ) + κ P,q q + γ ( µ q + ( P, + P,1) + q µ ) sachant que C,1 = t,1,1 + P,1 C, = t,,1 + P, On a Z = β T + qκ E - γ max( ; C,1 C, + P,)q + γ q max( ; C, P, C,1) + Constante avec Constante = κ P,q q +γ ( P, + P,1) or - γ max( ; C,1 C, + P,)q + γ q max( ; C, P, C,1) = γ q (C, P, C,1) d où Z = β T + qκ E + γ q (C, P, C,1) + Cste Avec Cste = κ P,q q +γ ( P, + P,1) 3

44 .Foncton de coût dans le cas P,1> P, q 1 vq Z = β max( ; C, d ) + κ 1 P,q + µ 3 + µ + max(;d C,)q + v = + 1 q q q q ( µ + µ 1 ) q µ q + µ 5 q + µ 5q + µ 1 q + µ 5q.max( ; 1) + γ 1 µ 1 + µ ( µ + µ 1 ) µ + 1 µ q µ P,1 P,1 P, 1 P, P, P, 1 P,1 P, P,1 1 µ 6 q mn max{;c,1 t,,1} q ; 1q + µ 7q P, Avec [ ] µ 1= mn(p,1;t,,1 t,1,1) µ = mn P, ;max( ;t,1,1 + P,1 t,,1 ) et (t,1,1 t,,1 )+ P,1 = mn ; P, P,1 µ 3 = max ;mn( ; 1) P,1 µ 1 P, µ = P,1 P, µ 5 = P, µ 6 = max t,,1 + P, C,1 µ 7; P, = max mn{ P,;t,,1 + P, t,1,1 P,1}; P, µ 7 = max( ;t,,1 t,1,1 P,1 )

45 q P,1 P, q + P,q ( 1) + Z = β T + κ q E + κ + µ 3 + q µ q q µ q 1 1 q q q P,q P,q q( P,1 P, ) q P,( P,1 P, ) γ [ 1 + µ ( µ + µ 1 ) µ + µ + + max( ; 1) µ 3 ( µ + µ 1 ) + ² ²P,1 P,1 P,1 P, P, P,1 P,1 P, ² ²P,1 1 µ 6 q mn max{ ;C,1 t,,1} q ; 1q µ 7 q ] P, + (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q q P,1q P,1 P, Z = β T + κ q E + κ µ 3 + q + ² ² q µ q q µ q 1 1 q q q P,q + q P,1 γ [ 1 + µ ( µ + µ 1 ) µ + µ + + µ 3 ( µ + µ 1 ) + + max( ; 1) P,1 P, 1 P, P, P, 1 P, 1 P, ² 1 µ 6q 1 µ 6 mn max{;c,1 t,,1} q ; 1q µ 7 q ] P, + (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, + Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² q µ q µ q 1 1 q q q P,q + q P,1 γ [ 1 + µ µ 1 + µ + + µ 3 ( µ + µ 1 ) + + max( ; 1) P,1 P, 1 P, 1 P, P, 1 P, ² 1 µ 6q 1 µ 6 mn max{;c,1 t,,1} q ; 1q µ 7 q ] P, +, µ = mn( ; +1) P, µ 6 Or quelque sot la confguraton, on a toujours µ + µ 6 = mn( ; +1) P (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, + Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² q µ q q q q q γ [ 1 + mn( ; + 1) P, µ 1 + mn( ; + 1) P, 1 1 mn( ; + 1) P, µ µ 6 µ 1 + ( µ 6 ) 1 1 P,1 P,1 P,1 P, P,1 P, P,1 P,1 P, 5

46 P,q + q P,1 + q q q q q µ 3q + max( ; 1) + µ 3 mn( ; + 1) P, µ 3µ 6 + µ 3µ 1 µ 3 mn( ; + 1) P, + µ 3µ 6 + ² P,1 P,1 P,1 P, P, q 1 µ 6q 1 µ 6 mn max{;c,1 t,,1} ; 1q + µ 7 q ] P, et (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, + Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² q P q µ q P, 1 1 q P, q P,q + q P,1 q P, γ [ 1 + mn( ; + 1) µ 1 + mn( ; + 1), 1 1 µ 6 µ 3 + max( ; 1) + µ 3 + P,1 P, 1 ² P, 1 P, P, 1 P, P, 1 ² q µ 6q 1 1 q q q 1 q µ 6 µ 1 + +µ3 + mn max{ ;C,1 t,,1} ; 1q + µ 3µ 1 q + µ 3q + µ 7q ] µ 3 P,1 P,1 P, P,1 P, P, P,1 Notons que µ 7 + µ 1= t,,1 t,1,1 µ 7 = t,,1 t,1,1 µ 1 P, et µ 1 + µ + µ 3 = mn( ; + 1) quelque sot la confguraton. Or comme on a déjà établ que µ = mn( ; + 1) P, µ 6 on en dédut que µ 3 = mn( ; + 1) ( P,1 P, ) µ 1+ µ 6 Ce qu nous donne (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, + Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² γ [ q P q P, q µ 1 q P, 1 1 ( P,1 P, ) µ 1+ µ 6 q P, q + max( ; 1) P,q + q P,1 + mn( ; + 1) µ 1 + mn( ; + 1), 1 1 µ 6 + mn( ; + 1) P,1 P,1 ² P,1 P, P,1 P, ² P,1 6

47 q q ( P,1 P, ) µ 1+ µ 6 q q + q µ 6q + µ 6 µ 1 P,1 1 mn max{ ;C,1 t,,1} P, ; 1q + P1,1 P1, + mn( ; + 1) P, P,1 ( P,1 P, ) µ 1+ µ 6 µ 1 q + mn( ; + 1) ( P,1 P, ) µ 1+ µ 6 q + q(t,,1 t,1,1 µ 1 ) ] + mn( ; + 1) P,1 (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, + Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² q µ q P, q P, q ( P,1 P, ) q + µ 1q + µ 6 q P, µ 6 q γ [ 1 + mn( ; + 1) µ 1 µ6 + µ 6 mn( ; + 1) P,1 P, 1 P,1 P,1 + ² q q µ 6q 1 1 P,1 P, q q µ 1 q q + µ 6 q q + q µ 6 µ 1 1 mn max{ ;C,1 t,,1} ; 1q + + mn( ; + 1) P, P,1 P, P,1 P,1 P, P, P,1 P,1 P, q q q q q q + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 µ 1 + µ 1µ 6 + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 + µ 6 + q( t,,1 t,1,1 µ 1 ) ] P,1 P,1 P,1 d où (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, + Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² q P, q q q P, P,1 P, γ [mn( ; + 1) µ µ 6 P,1 mn( ; + 1) ² q + P, 1 q q 1 q q q q q q µ 6 µ 1 + mn max{;c,1 t,,1} ; 1q + mn( ; + 1) P,1 P, + + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 + µ 1µ 6 P, P,1 P, P,1 P,1 P, P,1 q q q + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 + µ 6 + q( t,,1 t,1,1 µ 1 ) ] En smplfant 7

48 q (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, γ [mn( ; + 1) µ 1 mn( ; + 1) P,1 P, q Z = β T + κ q E + κ µ 3 q ² ² ² µ 1q 1 q q q q q q µ 6 mn max{ ;C,1 t,,1} ; 1q + mn( ; + 1) P,1 P, + + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 + µ 6 + q( t,,1 t,1,1 µ 1 ) ] P, P, P, 3. Proprété Proprété 1 : Dans le cas où P,1 P, l ntroducton du lot-streamng n nfluence pas la valeur du coût assocé au traval. Corollare 1 : S = 1,..,n, P,1 P, alors l exste un ordonnancement optmal sans découpage en sous-lots,.e. = 1. Lemme 1 : Dans le cas où le lot-streamng n est pas autorsé, la foncton de coût d un traval tel que P,1 P, est dentque à celle du cas ou P,1> P,. Preuve : Dans le cas P,1> P, et lorsque le lot-streamng est nterdt (on a = 1, = ) on a : q P P (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, γ [mn( ; + 1) µ 1 mn( ; + 1),1, q Z = β T + κ q E + κ µ 3 q ² ² ² µ q 1 P P, q q 1 q µ 6 1 mn max{; C,1 t,,1} ; q + mn( ; + 1),1 + P, P, P, q q q + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 + µ 6 + q( t,,1 t,1,1 µ 1 ) ] or µ 1= mn(p,1;t,,1 t,1,1)= P,1 8

49 µ 6 = max t,,1 + P, C,1 µ 7; P, = max mn{ P,;t,,1 + P, t,1,1 P,1}; P, = P, alors on a : P,1 P, q + κ P,1q γ [ P,1q P,1 P, q P, P,1q + ( P,1 P, ) q + q + Z = β T + κ q E - κ + P, P, q q q + ( P,1 P, ) P,1 + P, + q( t,,1 t,1,1 P,1 ) ] Z = β T + κ q E + κ P,q q + γ [ (P,1+ P, )+ (t,,1 t,1,1 P,1)q ] Or on obtent la foncton de coût dans le cas P,1 P, car C,1 C, + P, 9

50 E.Concluson La foncton objectf pour un produt dvsble en lots apparaît comme telle : Z = CSPSF + CSPF + β T + λ C est la somme des coûts de stockage ntermédare et fnal ajoutée au coût de mécontentement du clent (retard) et au coût de mse en sous lots d un job. Avec SI P,1 P, ALORS CSPSF = γ.( A + B + D + C + E ) CSPF = κ (A +FF ) SINON CSPSF = γ ( A +B + C + max ( ; 1 )( D + E ) + F +G ) CSPF = κ ( [ABCDE] + TM1 + TM +FF ) La foncton objectf pour un produt ndvsble apparaît comme telle : Z = CSPSF + α E + β T où CSPSF = max(; t, t,1 p,1 ).γ Avec : t, t,1+ P,1 C, = t, + P, Contrantes d ndvsblté 5

51 F.Modèle Mathématque Données : P, j : processng tme du job sur la machne j ( de 1 à n, j {1,} ) q : nombre de pèces du job n : nombre de jobs γ : coût de stockage du produt sem fn par unté de temps κ : coût de stockage du produt fn par unté de temps β : coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps λ : coût untare d un sous-lot. S, j : setup tme entre et j d : date de fn du job Varables : x, j : varable booléenne {.1} x, j = 1 s le job précède le job j x, j = snon. t, j,k : date de début du kéme sous lots du job sur la machne j : nombre de sous lots par job C, j : date de fn du job sur la machne j : nombre de sous lots consécutfs du job avant le premer temps mort Foncton objectf : Z1 = CSPSF1 + CSPF1 + β 1.T1 + λ 1 Z n = CSPSFn + CSPFn + β n.tn + λ n } Approche multcrtères Contrantes dsjonctves :, j = 1,..., n 1) t,1,1 t j,1,1 + Pj,1 + S j, HV(1 x j,) Le job et le job j ne seront jamas superposés sur la machne 1. Pj, + S j, HV(1 x j,), j = 1,..., n ) t,,1 t j,, + Le job et le job j ne seront jamas superposés sur la machne. 51

52 = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., 3) t, j, k La date de début du job est toujours postve., j j ) x j, + x, j = 1 Sot le traval précède le traval j, sot l nverse. = 1,..., n b) x, = Contrante complémentare à la contrante (). = 1,..., n et k = 1,..., 5) t,,k t,1,k + P,1 La date de début du sous lot k sur la machne est supéreure à la date de fn du même sous lot sur la machne 1. P, j = 1,...,n, j = 1,, k = 1,..., 5b) t, j, k + 1 t, j, k + La date de début du sous-lot k+1 est supéreure ou égale à la date de début du sous-lot qu le précède ajouté au temps opératore d un sous-lot. = 1,..., n 6) q Le nombre de sous lots ne peut être supéreur au nombre d éléments. 7) > Contrante de postvté. = 1,..., n 8) C,1 = t,1,1 + P,1 La date de fn du job sur la machne 1 est égale à sa date de début ajoutée à son temps opératore. P, j = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., 8b) C, = t,, + La date de fn du job sur la machne est égale à sa date de début du derner souslots ajoutée au temps opératore d un sous-lot. = 1,..., n 9) Le nombre maxmum de sous-lots du traval avant un temps mort sur M est nféreur au nombre total de sous-lots du job. 9b) ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 P, P,1 9c) > ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 = 1,..., n, p, p,1 1 P, P,1 les contrantes (9b) et (9c) donnent la valeur entère nféreure du calcul. = 1,..., n, p, p,1 1) contrante de postvté. 5

53 G.Récaptulatf Données j {1,} ) P, j : processng tme du job sur la machne j ( de 1 à n, q n γ κ β λ S, j : nombre de pèces du job : nombre de jobs : coût de stockage du produt sem fn par unté de temps d : date de fn du job : coût de stockage du produt fn par unté de temps : coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps : coût untare d un sous-lot. : setup tme entre et j Varables x, j : varable booléenne {.1} x, j = 1 s le job précède le job j x, j = snon. t, j,k : date de début du kéme sous lots du job sur la machne j : nombre de sous lots par job C, j : date de fn du job sur la machne j : nombre de sous lots consécutfs du job avant le premer temps mort 53

54 mnmser Z = n Z = 1 (P,1 P,)q ² (P,1 P,)q κ P,1q q P,1 P, Z = Z = β T + κ q E + κ µ 3 q + ² ² q P,1 P, q + + γ [mn( ; + 1) µ 1 mn( ; + 1) ² µ 1q 1 q q q µ 6 mn max{ ;C,1 t,,1} ; 1q + mn( ; + 1) P,1 P, + P, P, P, q q q + mn( ; + 1) P,1 P, µ 1 + µ 6 + q( t,,1 t,1,1 µ 1 ) ] s P,1> P, Z = β T + qκ E + γ q (C, P, C,1) + κ Avec, (1) P,q q +γ ( P, + P,1) s P,1 P,, j = 1,..., n (3) t,1,1 t j,1,1 + Pj,1 + S j, HV(1 x j,) t,,1 t j,, + Pj, + S j, HV(1 x j,) t, j, k () x j, + x, j = 1, j j x, = = 1,..., n t,,k t,1,k + P,1 t, j, k + 1 t, j,k + P, j q = 1,..., n et k = 1,..., () (5) (6) (7) (8) (9) > C,1 = t,1,1 + P,1 C, = t,, + P, j ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 P, P,1 ( t,1,1 t,,1 ) + P,1 > 1 P, P,1 (1), j = 1,..., n = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., = 1,...,n, j = 1,, k = 1,..., = 1,..., n = 1,..., n = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., = 1,..., n = 1,..., n, p, p,1 = 1,..., n, p, p,1 = 1,..., n 5

55 V.Approche par décomposton (Produt-Consommé) Prncpe général : Le prncpe de base de cette approche est de calculer ce que l on produt mons ce que l on consomme. On consdère toujours les deux cas P,1 P, et P,1 > P,. Cette méthode a pour conséquence de rédure le calcul. On ne calcule plus drectement produt mons consommé à chaque changement de pente mas on calcule tous les produts mons tout le consommé à la fn de chaque traval. A.Etude du cas où P,1 P, M1 M M1 produt A M consomme B Le coût de stockage ntermédare est égal à : γ (A B) Or, P,1.q P,.q γ (A B)= γ ( T t,1,1).q (T t,,1 ).q + ( P P,1 ) γ ( A B ) = γ ( t,,1 t,1,1 ).q + q, ( P, P,1) CSPSF = q.γ ( t,,1 t,1,1 ) + 55

56 Coût de stockage de produts fns : M produt CSPF = κ.q.p, + κ.q.e 56

57 B.Etude du cas où P,1 > P, M1 M M1 produt A M consomme B Le coût de stockage ntermédare est égal à : γ (A B) Or, [ γ (A B)= γ (T t,1,1 ).q P,1.q P,.q q t,, t,,1 P,. q t,,3 t,, P,.... ( 1)q t,, t,, 1 P,. T t,, P,.q q γ (A B)= γ q. 1 t,, j t,1,1 + P, P,1 j= 1 ] 57

58 C.Preuve Sot T l horzon de producton, e. T est tel que t T tous les travaux sont tratés. On peut prendre T =. Pour le traval on note S la surface défne par le nveau de stock (peu mporte quel stock). T On a S = f( t )dt où f(t) est le nombre de pèces en stock à l nstant t. Sot t la plus pette date telle que f( t ) > et t< t, f( t ) = NB : S on consdère le stock de produts fns on a t = t,,1 S on consdère le stock de produts sem fns on a t = t,1,1 T S = f( t )dt On a f( t ) = f( t 1) +Prod ( t ) -Conso ( t ) Car on consdère une échelle dscrète du temps. T Donc S = (f( t 1) + Prod ( t ) -Conso ( t ) )dt Ce qu récursvement s écrt T t S = ( Prod ( j ) -Conso ( j ) )dt j = t T t S = j = t t or j = t t et j = t T t Prod ( j ) dt - Conso ( j ) dt j = t Prod ( j ) = f P( t ) est le nombre de pèces totales produtes à l nstant t Conso ( j ) = f C ( t ) est le nombre de pèces totales consommées à l nstant t. T T Donc S = f P( t )dt f C ( t )dt Ce qu mplque que l are S est défne comme étant la dfférence entre l are relatve à la producton mons l are relatve à la consommaton du stock. Comme le temps est dscrétsé on a : T T t = t t = t S = f P( t )dt f C ( t )dt 58

59 D.Généralsaton: Problème de Flowshop à M machnes Notatons : γ j : Coût untare de stockage entre M j et M j + 1 pour le traval t,pj( t ) : Nombre total de pèces de produtes dans le stock entre M j et M j + 1 à l nstant t t,cj( t ) : Nombre total de pèces de consommées dans le stock entre M j et M j + 1 à l nstant t κ : coût untare de stockage du produt fn par unté de temps après M m CS : coût total de stockage du traval m 1 T T T j C ( t ) + κ. P( t ) CS = γ. f f On a j = 1 t = t, j,1, j t = t, j + 1,1, j t = t,m,1f ( t ) + κ q E où f ( t ) est la producton de produts fns après M m par T Or on a t = t, j,1 f,cj 1( t ) = T f (t ) j = 1,...,m 1 P, j t = t, j,1 Donc, CS = γ 1 f,p1( t ) + (γ j + 1 γ j ) T m t = t,1,1 j= 1 T T f,pj + 1( t ) γ m 1 f,cm 1( t ) + κ t = t, j + 1,1 t = t, m,1 T f (t) t = t, m,1 Lemme 1 : Lorsque = 1,...,n, j = 1,...,m, γ j = γ j + 1 T T t = t,1,1 t = t, m, 1 On obtent CS = γ 1 f,p1( t ) γ m 1 f,cm 1( t ) + κ T f (t) t = t, m, 1 Autrement dt, on se ramène à l expresson de coût d un problème à deux machnes consttué des machnes 1 et m. Donc le coût, dans ce cas là n est foncton que de la producton de la premère et la consommaton de la dernère. NB : Ce rasonnement est très faclement utlsable pour le JobShop et l OpenShop. Pour le premer cté on n a qu à changer dans l expresson de CS, les j par π ( j ) qu est le numéro de la jème machne dans la gamme de. On a alors (en général) : CS = γ π (1) T t = t,π ( 1),1 f,pπ (1) ( t ) + (γ π ( j + 1) γ π ( j ) ) m j= 1 T f,pπ ( j + 1) ( t ) γ π ( m 1) t = t,π ( j + 1),1 T f,cπ ( m 1) ( t ) + κ t = t,π ( m ),1 T f,π ( m ) t = t,π ( m ),1 Dans le cas de l OpenShop, on a la même formule que pour le JobShop sauf que les sont des varables à détermner. (t) π ( j ) 59

60 E.Calcul des Consommatons et Producton On se place dans le cadre de la producton de produts dvsbles et on approxmera les courbes d évolutons des stocks par des représentatons en contnu. T Calcul du terme T t = t, j, 1 t = t, j,1 f,pj( t ) : P, j.q q + t, j, t, j,1 P, j. q + t, j,3 t, j, P, j. f,pj( t ) = +... ( 1)q + t, j, t, j, 1 P, j. + T t, j, P, j.q q P, j q = P, j.q + T.q k t, j,k ² k= 1 k= 1 q P, j ( + 1) q = P, j.q + T.q. t, j,k ² k=1 q P, j q P, j q = P, j.q + T.q t, j,k k= 1 = T.q q P, j q t, j,k k=1 Par alleurs, on a ( 1)q q q + t,m, t,m,1 P,m. + t,m,3 t,m, P,m t,m, t,m, 1 P,m. t = t, m,1 T q.p,m q f( t ) = q E + t,m,k + q.t,m, k=1 t = t, m,1 T q.p f (t)= q E +, m Réécrture du CS : CS = γ 1 f,p1( t ) + (γ j + 1 γ j ) T m t = t,1,1 j= 1 T T f,pj + 1( t ) γ m 1 f,pm,1( t ) + κ t = t, j + 1,1 t = t, m,1 T f (t) t = t, m,1 NB : f c a dsparu! 6

61 Développement de CS : q.p,1 q CS = γ 1 T.q t,1,k k= 1 m q.p, j + 1 q + (γ j + 1 γ j ). T.q t, j + 1,k k=1 j= 1 q.p,m q q.p,m q γ m 1 T.q t,m,k + κ q E + t,m,k + q.t,m, k=1 k=1 or tous les termes en Tq s annulent entre eux d où q m j j 1 q m 1 q.p, m CS =. (γ γ ). t, j, k + κ.q.e. (γ j γ j 1 ).P, j + κ + κ.q.t,m, j= 1 j = 1 k= 1 Avec γ = et γ m = κ F.Partcularsaton dans le cas du Flowshop machnes Retrouve t on la formule synthétque dédée construte pour le F précédemment? Dans le cas du F, on a m= et : q q γ. t,1, k + ( κ γ ). t,, k + κ.q.e [γ.p,1 γ.p, ]+ κ q.p, + q.t,, k = 1 k=1 q P,1.q P,.q P,.q q q CS = γ. t,,k. t,1,k + + κ. t,,k + q.e + + qt,, k= 1 k= 1 k= 1 CS = Pour se ramener dans le cadre précédemment étudé, l faut poser : t,1,k + P,1 = t,1,k + 1 = t,1,1 + k. P,1 On a alors : q CS = γ. t,,k q.t,1,1 k= 1 q CS = γ. t,,k q.t,1,1 k= 1 q CS = γ. t,,k q.t,1,1 k= 1 q CS = γ. t,,k q.t,1,1 k= 1 q.p,1 1 q.p,1 q.p, P,.q q k + + κ. t,,k + q.e + + qt,, ² k=1 k= 1 q.p,1 ( 1) q.p,1 q.p, P,.q q. + + κ. t,,k + q.e + + qt,, ² k= 1 q.p,1 q.p,1 q.p,1 q.p, P,.q q κ. t,,k + q.e + + qt,, k= 1 q.p,1 q.p, P,.q q + + κ. t,,k + q.e + + qt,, k= 1 61

62 Modèle Mathématque Données : P, j : processng tme du job sur la machne j ( de 1 à n, j {1,} ) q : nombre de pèces du job n : nombre de jobs γ : coût de stockage du produt sem fn par unté de temps κ : coût de stockage du produt fn par unté de temps β : coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps λ : coût untare d un sous-lot. S, j : setup tme entre et j d : date de fn du job Varables : x, j : varable booléenne {.1} x, j = 1 S le job précède le job j x, j = Snon. t, j,k : date de début du kéme sous lots du job sur la machne j : nombre de sous lots par job C, j : date de fn du job sur la machne j Foncton objectf : Z1= CSPF1+ β 1.T1+ λ 1 Zn = CSPFn + β n.tn + λ n } Approche multcrtères Contrantes dsjonctves : 1), j = 1,..., n t,1,1 t j,1,1 + Pj,1 + S j, HV(1 x j,) Le job et le job j ne seront jamas superposés sur la machne 1. ) 3), j = 1,..., n t,,1 t j,, + Pj, + S j, HV(1 x j,) Le job et le job j ne seront jamas superposés sur la machne. t, j, k = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., La date de début du job est toujours postve. ) x j, + x, j = 1, j j 6

63 Sot le traval précède le traval j, sot l nverse. = 1,..., n b) x, = Contrante complémentare à la contrante (). 5) = 1,..., n et k = 1,..., t,,k t,1,k + P,1 La date de début du sous lot k sur la machne est supéreure à la date de fn du même sous lot sur la machne 1. P, j = 1,...,n, j = 1,, k = 1,..., 5b) t, j, k + 1 t, j, k + La date de début du sous-lot k+1 est supéreure ou égale à la date de début du sous-lot qu le précède ajouté au temps opératore d un sous-lot. = 1,..., n 6) q Le nombre de sous lots ne peut être supéreur au nombre d éléments. 7) > Contrante de postvté. = 1,..., n 8) C,1 = t,1,1 + P,1 La date de fn du job sur la machne 1 est égale à sa date de début ajoutée à son temps opératore. P, j = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., 8b) C, = t,, + La date de fn du job sur la machne est égale à sa date de début du derner sous-lot ajoutée au temps opératore d un sous-lot. 63

64 Données j {1,} ) P, j : processng tme du job sur la machne j ( de 1 à n, q n γ κ β λ S, j : nombre de pèces du job : nombre de jobs : coût de stockage du produt sem fn par unté de temps d : coût de stockage du produt fn par unté de temps : coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps : coût untare d un sous-lot. : setup tme entre et j : date de fn du job Varables x, j : varable booléenne {.1} x, j = 1 s le job précède le job j x, j = snon. t, j,k : date de début du kéme sous lots du job sur la machne j : nombre de sous lots par job C, j : date de fn du job sur la machne j mnmser Z = n Z = 1 q q.p, q Z = β T + κ q E + γ q. 1 t,, j t,1,1 + P, P,1 + κ t,,k + q.t,, k = 1 j= 1 s P,1> P,, P q q Z = β.t + q.κ.e + γ.q.(c, P, C,1)+ λ + κ, + γ ( P, + P,1 ) P,1 P, Avec, (1) + λ, j = 1,..., n (3) t,1,1 t j,1,1 + Pj,1 + S j, HV(1 x j,) t,,1 t j,, + Pj, + S j, HV(1 x j,) t, j, k () x j, + x, j = 1, j j x, = = 1,..., n t,,k t,1,k + P,1 t, j, k + 1 t, j,k + P, j q = 1,..., n et k = 1,..., () (5) (6) (7) (8) > C,1 = t,1,1 + P,1 C, = t,, + P, j s, j = 1,..., n = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., = 1,...,n, j = 1,, k = 1,..., = 1,..., n = 1,..., n = 1,..., n, j = 1,, k = 1,...,6

65 VI.Implémentaton CpleX Le développement et la mse en applcaton du modèle a été réalsé sous Vsual C++ 6., en utlsant CpleX 8.. A.Intalsaton Les Données utlsées en entrée sont : P, j : Processng tme du job sur la machne j ( de 1 à n, j {1,} ) (float), q : Nombre de pèces du job (nteger), n : Nombre de jobs (nteger), γ : Coût de stockage du produt sem fn par unté de temps (float), : Coût de stockage du produt fn par unté de temps (float), κ β : Coût de mécontentement clent (retard) par unté de temps (float), S, j : Setup tme entre et j (float), : Nombre de sous lots par job (nteger), : Date de fn souhatée du job (float), d λ : Coût untare d un sous-lot (float). Les Varables utlsées sont : x, j t, j,k C, j : Varable booléenne {.1} (mplémentée en type enter) x, j = 1 S le job précède le job j x, j = Snon. : Date de début du kéme sous lots du job sur la machne (Implémentée en type float) : Date de fn du job sur la machne j (Implémentée en type float) B.Etude de la foncton de coût dans le cas P,1 P, Foncton de coût pour P,1 P, : Z = β T + qκ E + γ q (C, P, C,1) + λ + Cste 65

66 avec Constante = κ P,q q +γ ( P, + P,1) Analyse pour l mplémentaton : Pour mplémenter cette foncton sous CpleX, nous allons utlser de nouvelles varables avec les contrantes suvantes : 1. Pour F = max(;t,,1+ P, d) : F t,,1+ P, d F. Pour E = max(;d t,,1 P,) : E t,,1 P, + d E La foncton de coût devent alors : Z = β.f + q.κ.e + γ.q.(c, P, C,1)+ λ + Cste C.Etude de la foncton de coût dans le cas P,1> P, Foncton de coût pour P,1> P, q q.p, q Z = β F + κ q E + γ q. 1 t,, j t,1,1 + P, P,1 + κ t,,k + q.t,, k = 1 j= 1 + λ Analyse pour l mplémentaton : Certanes varables étant communes aux deux cas, nous n allons pas les redéfnr, à savor : E et F La foncton de coût devent alors : q q.p, q Z = β F + κ q E + γ q. 1 t,, j t,1,1 + P, P,1 + κ t,,k + q.t,, k= 1 j = 1 + λ 66

67 D.Tableau des varables Les x, j ( x, j 1 ) Enter : Indce CpleX 1 n 1 Modèle x1,1 x1, x1,n Mathématque Les t, j,k ( t, j,k ) Reel : Indce CpleX n² n²+ 1 n² + 1 Modèle t1,1,1 t1,1, t1,1, Mathématque Les C, j ( C, j ) Reel: Indce CpleX n²+ n n² + n + 1 Modèle C1,1 C1, Mathématque ( F ) Reel : Indce CpleX n² + n + n n²+ n + n+ 1 Modèle F1 F Mathématque ( E ) Reel : Indce CpleX n² + n + n n ² + n + n + 1 Modèle E1 E Mathématque x x x x x x x x x x x x xn xn+ 1 xn² 1 x,1 x, xn,n xn²+ t1,,1 xn²+ 1 xn²+ t1,, xn²+ n + n 1 Cn, xn²+ n + 3n 1 Fn xn²+ n + 5n 1 En 67 t,1,1 xn²+ n 1 tn,,

68 E.Implémentaton des Contrantes Pour mplémenter les contrantes spécfées dans le modèle, l faut consdérer que les varables sont déclarées dans un tableau X sous CpleX. Le plus dffcle c est de retrouver l ndce du tableau correspondant à la varable voulue. 1.Contrante n 1 : t,1,1 t j,1,1 + Pj,1 + S j, HV(1 x j,), j = 1,..., n Pour réalser cette contrante sur le tableau de varables nous avons créé une foncton récursve. Cette foncton dot posséder en entrée l ndce t1,1,1.pus elle se rappelle récursvement jusqu à l ndce tn,1,1. L algorthme pour l mplémentaton de cette contrante est le suvant : vod contrante1 (nt ndce,ilonumvararray x,ilorangearray c) { nt ; nt numjobj; nt numjob; // on cherche le numéro du job correspondant à l ndce numjob=numjob_tj_machne(ndce); // test s on est pas au derner ndce f (numjob<n) { // mse a jours des contrantes pour tous les ndces for(=n*n;<=(n*n)+(*d*n)-1;=+*d) { // S l'ndce de est le même on passe f (!=ndce) { // on cherche le numéro du job correspondant à numjobj=numjob_tj_machne(); // mse a jours de la contrante // pour trouver le xj correspondant : // xj = x[pow(n,numjobj-1)+numjob] c.add(x[ndce]>=x[]+pj[numjobj][]+ Sj[numjobj][numjob]HV*(1-x[(n*numjobj)+numjob])); } //on passe à l'ndce suvant } //on passe à l'ndce suvant contrante1(ndce+*d,x,c); } //Fn de la mse à jours } 68

69 .Contrante n : t,,1 t j,, + Pj, + S j, HV(1 x j,), j = 1,..., n Cette contrante ressemblant fortement à la contrante n 1, l algorthme pour son mplémentaton est smlare. 3.Contrante n 3 : = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., t, j,k Lors de la déclaraton des varables t, j,k, l ntervalle de donnée spécfé est de à +. Cette contrante est donc étable à la déclaraton..contrante n et b: x j, + x, j = 1, j j x, = = 1,..., n Ces contrantes sont assez smples à mplémenter. Il faut pour cela se doter de fonctons permettant de retourner l ndce, la valeur de, ans que la valeur de j d un X,j du tableau de varables. L algorthme utlsé est le suvant : vod contrante (IloNumVarArray x,ilorangearray c) { nt ; //On boucle sur tous les X,j for (=;<n*n;++) { //On regarde s X,? f(de()!=jde()) { //pour ne pas fare deux fos la même contrante f(de()<jde()) { c.add(x[]+x[ndcede(jde(),de())]==1); } } else{ c.add(x[]==); } } } 69

70 5.Contrante n 5 : t,,k t,1,k + P,1 = 1,..., n et k = 1,..., Comme pour la contrante n 1 et n, l algorthme utlsé est une foncton récursve. Cette foncton a pour but d affecter les contrantes correspondantes à chaque t,,k. Elle dot donc posséder en entrée l ndce t1,,k. Pus elle se rappelle récursvement jusqu à l ndce tn,,k pour affecter la contrante à la totalté des varables. vod contrante5 (nt ndce,ilonumvararray x,ilorangearray c) { nt k; nt numjob; //On cherche le numero de job correspondant numjob=numjob_tj_machne(ndce); //Test s on n'est pas au derner job f (numjob<n) { //On boucle sur les sous lots du job for(k=;k<d;k++) { //Ajout de la contrante c.add(x[ndce+d+k]>=x[ndce+k]+(double)(pj[numjob][]/(double)d)); } //On rappelle recursvement au job suvant contrante5(ndce+(*d),x,c); } } 6.Contrante n 5b : t, j, k + 1 t, j,k + P, j = 1,...,n, j = 1,, k = 1,..., Cette contrante ressemblant fortement à la contrante n 5, l algorthme pour son mplémentaton est smlare. 7.Contrante n 6 : q = 1,..., n Cette contrante est réalsée au chargement du fcher de données. S elle n est pas respectée, le programme s arrêtera. 7

71 8.Contrante n 7 : > Cette contrante est réalsée au chargement du fcher de données. S elle n est pas respectée, le programme s arrêtera. 9.Contrante n 8 et 8b : = 1,..., n C,1 = t,1,1 + P,1 = 1,..., n, j = 1,, k = 1,..., C, = t,, + P, j Les deux contrantes sont spécfées dans la même foncton. L algorthme utlsé est le suvant : vod contrante8 (IloNumVarArray x,ilorangearray c) { nt ; nt ndcec1; for(=;<n;++) { //On calcule l'ndce C1 ndcec1=(n*n)+(*n*d)+(*); //On ajoute la contrante c.add(x[ndcec1]==x[indce_tjk_machne1()]+pj[][]); c.add(x[ndcec1+1]==x[indce_tjk_machne()+d-1]+ (double)(pj[][1]/(double)d)); } } 71

72 F.Foncton Objectf n mn Z = Z = 1 La foncton objectf est réalsée job par job en foncton du crtère suvant : S P,1> P, alors q q.p, q Z = β F + κ q E + γ q. 1 t,, j t,1,1 + P, P,1 + κ t,,k + q.t,, k = 1 j= 1 + λ S P,1 P, alors Z = β.f + q.κ.e + γ.q.(c, P, C,1)+ λ + Cste Avec Cste = κ P,q q +γ ( P, + P,1) 7

73 G.Fonctonnement du programme Le programme TestCplex.exe peut s exécuter sous deux formes : en mode standard et en mode ntégraton. Il se lance en lgne de commandes «Dos», ou en l appelant à partr d un second programme. Le programme nécesste deux fchers pour son fonctonnement : le fcher TestCplex.n, ans que le fcher de données. Son fonctonnement en mode ntégraton nécesste un trosème fcher : le fcher de séquence. De plus, le programme génère dans ce mode un fcher de sorte. 1.TestCplex.n Le but de ce fcher est d ndquer au programme les noms de fchers en entrée et en sorte. Il se présente sous cette forme : [Entree] Donnee=Data.dat Sequence=Sequence.dat [Sorte] Fcher=sorte.dat Le premer bloc ndque au programme le nom du fcher de données ans que le nom du fcher de séquence. Le second bloc ndque au programme le nom du fcher de sorte à générer..le fcher de données Ce fcher content toutes les données nécessares pour pouvor lancer le programme. Il se présente sous cette forme : 8.;15.;.;1.;1.;1.;1.;159.;6963.;.;. 6.;6.;15.;1.;1.;1.;1.;196.;1193.;.;. Le premer champ ndque le nombre de jobs. Le second représente le nombre de sous lots par jobs. Les champs suvants représentent les descrptfs des données pour chaque job. Ils sont composés ans : P,1 ; P, ; q ; γ ; κ ; β ; λ ; d ; b ; S,1 ; ; S,n 73

74 3.Le fcher de séquence Lorsque le programme est utlsé en mode ntégraton, l nécesste ce fcher. Il content en réalté la séquence de jobs à optmser. Il se présente sous cette forme : n job 1 ; n job ; n job 3; ;n job n Evdemment le nombre de jobs présents dans ce fcher dot correspondre avec le nombre présent dans le fcher de données..le fcher de sorte Le fcher de sorte a pour but d ndquer le résultat trouvé à un second programme. Il se présente sous cette forme : 3 3 1; ;7.; ;7.; ; ; ; ;35.; ;35.; ; ; 3; ; ;.;3.;.; ; Les deux premers champs sont un rappel du fcher de donnée, à savor : le nombre de jobs et le nombre de sous lots. Le trosème champ ndque les dates de début de chaque sous lots de chaque jobs. Il est composé comme cec : n job 1 ;... t1,1,1 ;... ; t1,1, ; t1,,1 ;... ; t1,, n job n ; tn,1,1 ;... ; tn,1, ; tn,,1 ;... ; tn,, 5.Fonctonnement standard Dans ce mode, le programme ne consdère aucune séquence à suvre : l cherche la soluton optmale au problème donné. Il génère un affchage permettant de vsualser la soluton ans que les valeurs de chaque varable. Pour un affchage mons conséquent, et pour permettre de vsualser ces varables à partr d un fcher, l est possble d appeler le programme avec l argument «-e». Un fcher texte nommé «Sortevar.txt» sera généré regroupant toutes les varables avec leurs valeurs respectves. Une ade a également été réalsée. Elle peut être appelée en lançant le programme avec l argument «-h» ou «-?». Le prncpal problème de ce mode est qu l peut être long vore très long avec un nombre de jobs conséquent. C est pourquo le second mode a été développé. 7

75 6.Fonctonnement ntégraton Ce mode de fonctonnement permet de spécfer une séquence au programme. Ans on ne cherche plus la soluton optmale du problème, mas la melleure soluton pour la séquence donnée ce qu rédut consdérablement les temps de calcul. Comme vu précédemment le programme nécesste en entrée en plus du fcher de donnée, le fcher de séquence. Le programme générera alors un fcher de sorte contenant le résultat trouvé. 75

76 VII.Heurstques A.Heurstque développée pour une premère approche Cette heurstque a été développée par des étudants en deuxème année dans le cadre de leur projet de GPAO. Elle utlse un tableau de prorté des jobs Exemple : Consdérons jobs et j dont les dates de fn souhatées sont égales : d=dj. S on place le job de telle sorte qu l termne à sa date due, on est contrant de placer le job j avant ou après, ce qu entraîne oblgatorement un coût de stockage de produts fns (s j termne en avance) ou un coût de retard. Quel job faut-l placer à sa date due au détrment de l autre? L heurstque se base sur le fat qu l vaut meux placer en prorté les jobs qu rsquent d avor un coût élevé s jamas ls sont en retard. Consdérons à nouveau jobs et j dont les dates dues sont très proches : Lorsqu l termne à sa date due, coûte Z=1 Lorsqu l termne une unté de temps après sa date due, coûte Z =1 Lorsqu l termne à sa date due, j coûte Zj= Lorsqu l termne une unté de temps après sa date due, j coûte Z j=5 Placé en retard d une unté de temps, c est le job qu coûte le plus cher. Cependant, on vot que, comparé à j, a un coût très élevé qu l sot en retard ou non et que l augmentaton du coût Z -Z= est fable Par contre, l augmentaton du coût du job j est beaucoup plus mportante : Z j-zj=3. C est donc le job j qu rsque de coûter le plus cher s l est placé en retard. En conséquence, afn de détermner la prorté d un job, l heurstque va se baser non pas sur le coût du job en retard Z, mas sur l augmentaton du coût Z -Z. Pour chaque valeur de : On calcule l augmentaton du coût Z -Z de chaque job. On classe, dans le tableau prorté, les jobs selon l ordre décrossant des augmentatons de coûts. En suvant l ordre des prortés, on place chaque job de sorte qu l coûte le mons cher 76

77 1.La foncton placer_job La foncton placer_job(, a1, b1, a, b) a pour but de placer le job dans le couple d ntervalles de temps( [a1,b1], [a,b] ). [a1, b1] (respectvement [a,b]) est l ntervalle de temps pendant laquelle la machne M1 (respectvement M) est dsponble, comme le montre la fgure suvante : M1 M b1 a1 a b S le job tent dans ces deux ntervalles, l y est placé de sorte à termner au plus près de sa date due et la foncton renvoe VRAI. Snon, la foncton renvoe FAUX. Remarque : la foncton ne place un job que temporarement, dans la mesure où elle met à jour les varables t,1, t,, C,1 et C,. Le job n est placé défntvement que lorsqu l est nséré dans la séquence σ. placer_job( : enter, a1 : réel, b1 : réel, a : réel, b : réel) t,1, t,, C,1, C, : réels r : booléen // On place temporarement le job le plus à gauche possble dans l'ntervalle t,1 a1 t, max(a, t,1+p,1/) C,1 t,1+p,1 S (p,1 p,) Alors C, t,+p, Snon C, max(c,1+p,/, t,+p,) S C,1 b1 et C, b Alors // Le job est placé dans l'ntervalle l écart entre C, et d sot mnmale t,1 t,1 t, t, C,1 C,1 C, C, S p,1 p, Alors C, max(a+p,, mn(d,b)) t, C,-p, t,1 mn(b1-p,1, t,-p,1/) C,1 t,1+p,1 Snon C, max(a1+p,1+p,/, a+p,, mn(d,b)) C,1 mn(b1, C,-p,/) t,1 C,1-p,1 t, max(a, t,1+p,1/) FnS r VRAI Snon r FAUX FnS Retourner(r) 77

78 .Algorthme de l heurstque Zopt sup mn 1 n {q} Pour de 1 à sup Fare σ Ø // Pour chaque job, on calcule l augmentaton du coût, qu est la // dfférence entre le coût du job termnant à sa date due et le coût // du job termnant une unté de temps après sa date due. Pour de 1 à n Fare t,1 t, t,1+p,1/ C,1 t,1+p,1 S (p,1 p,) C, t,+p, Snon C, max(c,1+p,/, t,+p,) // Sauvegarde de la valeur ntale de d dtemp d // Calcul du coût s le job termne à sa date due d C, Z calcz() // Calcul de l'augmentaton du coût d C,-1 Z calcz()-z // Restauraton de la valeur ntale de d d dtemp FnPour // Dans le tableau des prortés, les jobs sont ordonnés selon // l ordre décrossant des augmentatons de coût Pour de 1 à n Fare prorte[] j tq Z j=max1 k n{z k} Z j Z FnPour pasordo FAUX 1 TantQue n et pasordo=faux Fare j prorte[] S σ = Ø Alors placer_job(j,,,, ) σ σ + j Snon Zmn Pour s de 1 à σ +1 Fare S s=1 Alors k σ[s] pl placer_job(j,, tk,1-sj,k,, tk,-sj,k) Snon S (s= σ +1) p σ[s-1] pl placer_job(j, Cp,1+Sp,j,, Cp,+Sp,j, ) Snon 78

79 k σ[s] p σ[s-1] pl placer_job(j, Cp,1+Sp,j, tk,1-sj,k, Cp,+Sp,j, tk,-sj,k) FnS FnS S (pl=vrai et calcz(j)<zmn) Alors Zmn calcz(j) sopt s FnS FnPour // Le job est placé à la poston sopt qu entraîne le coût le mons élevé S sopt=1 Alors k σ[sopt] placer_job(j,, tk,1-sj,k,, tk,-sj,k) Snon S (sopt= σ +1) Alors p σ[sopt-1] placer_job(j, Cp,1+Sp,j,, Cp,+Sp,j, ) Snon k σ[sopt] p σ[sopt-1] placer_job(j, Cp,1+Sp,j, tk,1-sj,k, Cp,+Sp,j, tk,-sj,k) FnS FnS FnS // Le job j est nséré dans la séquence à la poston sopt Insérer(σ, j, sopt) S Zj>bj Alors pasordo VRAI Snon +1 FnTantQue S pasordo=faux et ΣZ<Zopt Alors // Sauvegarde des valeurs optmales opt σopt σ Zopt ΣZ FnS FnPour 79

80 B.Implémentaton d algorthmes génétques L avantage des algorthmes génétques est leur possblté de fournr une soluton assez bonne rapdement. L optmalté n étant pas garante, ces algorthmes sont de nature heurstque. Nous allons présenter c-dessous une verson d un algorthme génétque qu résout un problème de FlowShop de permutaton à machnes avec geston de stock. 1.Prncpe L nconvénent d un algorthme génétque dans le cadre d un problème d ordonnancement est qu l ne garantt pas l optmalté des solutons trouvées. Le prncpal avantage est d obtenr une «bonne» soluton rapdement. L algorthme génétque prend tout son sens dans le cadre de notre PFE, pusque l on ne possède pas d algorthmes optmaux nous apportant une soluton en un temps acceptable. Nous allons développer l algorthme génétque dans l espor de trouver de bonnes solutons plus rapdement. Dans notre programme un ndvdu est équvalent à un ordonnancement réalsable. L algorthme génétque consste à applquer des modfcatons judceuses à un ensemble d ndvdus, préalablement ntalsés, pour créer de melleures génératons d ndvdus suvantes. Exemple : L ndvdus X représentera l ordonnancement O=(,1,5,,3). Des heurstques ont été développées pour notre problème. Elles fournssent de melleures solutons qu un algorthme de type «trage aléatore» où les ordonnancements seraent trés au hasard. Nous avons donc décdé d utlser ces heurstques pour ntalser une parte des ndvdus. Cec nous permet de converger plus rapdement vers une soluton plus acceptable qu un smple trage aléatore pour tous les ndvdus. 8

81 .Présentaton de l algorthme génétque Cet algorthme génétque (AG) est basé sur la trame d un algorthme génétque canonque. C est à dre que l on garde à chaque tératon les melleurs ndvdus. Voc l dée générale : Etape : Intalsaton Trer aléatorement n%hasard ndvdus (Ordonnancement). Calculer les n%(1-hasard) ndvdus restants grâce à une heurstque. Etape 1 : Début de l algorthme génétque Générer une nouvelle populaton fls, les ndvdus seront modfés comme sut : Pour j=1 à PourCentSelecton Fare Sélectonner un ndvdu I1 ; Sélectonner un ndvdu I; Les croser (I1, I) ; Fn_Pour Pour j=1 à PourCentMutaton Fare Sélectonner un ndvdus I3 ; Fare muter; Fn_Pour Etape : Sélectonner parm les ndvdus père et les ndvdus fls, les n melleurs (melleur Z) Ils forment la nouvelle populaton Etape 3 : S la condton de fn est vrae (Nombre de génératons maxmum attent) alors STOP Snon Aller à l étape 1 Les varables pour notre problème sont présentés comme sut : - Un tableau de date de début de chaque sous lot : Tjl, - Une date de fn : Cj. Les algorthmes de crosement, de mutaton et de sélecton seront présentés dans la parte suvante. 81

82 3.Schémas explcatfs Intalsaton Intalsaton du programme Génératon Génératon d ndvdus d ndvdus aléatorement aléatoreme (m1 nt (m1 ndvdus) ndvdus) Génératon Générat d ndvdus par on l heurstque d ndvd (m us par Pères Pères Composé de M ndvdus M=m1+m Algorthme Génétque Pères 1 Génératon N Composé de M ndvdus Fls Composé de M ndvdus Passage d une Génératon N à une Génératon N+1 Crosement Mutaton SélectonSélecton S Nombre de Génératons non attent Pères Génératon N+1 Composé de M ndvdus 8

83 C.C. Premer algorthme génétque 1.Descrpton des algorthmes utlsés a)opérateur de crosement Le crosement ne dot pas ntrodure d ncohérences dans les ndvdus. C est à dre que l on ne dot pas retrouver deux fos le même job dans l ordonnancement. Mode de fonctonnement Sot deux ndvdus I1=[,3,5,,1] et I=[5,3,1,,] que l on veut croser. On chost aléatorement deux ponts de coupes coupg et coupd entre 1 et le nombre de job (pour l exemple 5) avec coupg > coupd. Par exemple on obtent coupg=3 et coupd=. On recope entèrement I1 dans I3 et I dans I s I3 et I sont les ndvdus résultants. On obtent alors une zone de mappng. CoupG CoupD I I I1 I On prend le premer élément de la zone de mappng dans I3 (donc 5) et on recherche sa poston dans I (le 5 est en 1ère poston dans I). On ntervertt alors l élément 5 avec l élément de la poston 1 dans I3 (sot ). On fat de même en prenant le premer élément de la zone de mappng de I (donc 1). On recherche sa poston dans la chaîne I1 (5 ème poston) et on échange l élément 1 avec l élément de I. On obtent alors : CoupG CoupD I I I1 I On rétère ce processus pour tous les éléments de la zone de mappng. Problèmes rencontrés Nous avons rencontré quelques problèmes lors du développement de cet opérateur. En effet, le fat d ntervertr deux jobs n est pas un problème trval. Il faut valder la nouvelle poston de ce job. C est à dre mettre à jour les varables (date de début du job, ) afn que celu-c s nsère correctement dans le nouvel ordonnancement. De plus, l se peut que ce déplacement entraîne des modfcatons sur les jobs suvants, en foncton des caractérstques du job déplacé (Processng tme). 83

84 b)opérateur de mutaton Pour garder des ordonnancements cohérents, tout en convergeant vers une melleure soluton, nous avons chos de réalser une mutaton qu ne sot pas brutale. La mutaton ne dot pas provoquer de trop grandes modfcatons sur les ndvdus sur lesquels elle est applquée. C est pourquo nous avons chos de déplacer un job de l ndvdu chos en foncton de sa date de fn souhatée (d). En effet s le job se stue avant ou après sa d, on pourra le déplacer en conséquence. d Déplacement à Drote d Déplacement à Gauche Le job est auss chos aléatorement pour un ndvdu. S toutefos le job chos se trouve à sa date de fn on ne le déplacera pas. S l ne l est pas, on calcule le déplacement possble. Celu-c est égal à la dfférence entre la date de fn du job sur la machne et sa date de fn souhatée (généralement). Une fos le déplacement et son sens trouvés, on décde alors de bouger le job chos dans le sens voulu avec la valeur du déplacement calculé. Par conséquent, selon leurs postons, des jobs suvants et précédents au job courant peuvent auss être déplacés d Déplacement à Drote du job 8

85 Cependant, le déplacement calculé n est pas forcément égal à la dfférence entre la date de fn sur M et la d du job. Cec est vra pour un déplacement vers la drote, mas pour un déplacement vers la gauche l faut tenr compte à ce que ce déplacement ne provoque pas un dépassement en dessous de. En effet, on peut déplacer un job vers la drote car l n exste aucune lmte. Mas vers la gauche, on ne peut pas déplacer un job en dessous de la lmte. Il faut donc fare attenton à calculer au meux la valeur du déplacement. Pour cela l faut parcourr la lste de jobs vers la gauche afn d dentfer les «trous» entre les jobs. La valeur du déplacement vers la gauche est donc égale au mnmum entre la somme de ces trous et la dfférence entre date de fn M et d. DéplacementGauche = Mn (Somme des trous, date de fn M d) Par cette méthode nous sommes sûrs de ne pas trop déplacer les jobs vers la gauche. On ne pourra pas bouger un job en dessous de la lmte. Comme un déplacement de job entraîne généralement le déplacement de l un de ses vosns, nous avons développé deux fonctons BougerJobGauche, BougerJobDrote récursves. L algorthme général de la mutaton est le suvant : Intalsaton des varables Chosr un job n au hasard S(date de fn M<d) Alors DeplacementDrote=(d date de fn M) Snon S(date de fn M>d) Alors Calculer somme des trous DeplacementGauche=Mn (somme des trous, date de fn M d) Snon Retourner en 1. FnS FnS S(DeplacementDrote>) Alors BougerJobDrote(, DeplacementDrote) FnS S(DeplacementGauche>) Alors BougerJobGauche(, DeplacementGauche) FnS 85

86 a)opérateur de sélecton Pour cet opérateur, on prend un pourcentage des melleurs ndvdus de l ancenne génératon, un pourcentage des melleurs ndvdus de la nouvelle génératon. On complète ensute la séquence avec une sélecton par tournos. La sélecton par tournos a pour but de sélectonner aléatorement et unformément k ndvdus, et on ne garde que le melleur. Dans notre cas cela permet de garder une dversté de mauvases solutons. On prendra k=. Pères Génératon N Fls Génératon N Composé de M ndvdus Composé de M ndvdus 1% des Melleurs Indvdus 1% des Melleurs Indvdus Duplcaton du melleur ndvdu pour 5% Sélecton par tourno de 75% des ndvdus Pères Génératon N+1 Composé de M ndvdus 86

87 .Fonctonnement du programme Nous avons développé cet algorthme génétque en C++, en sachant que celu c peut être mons performant qu un programme C. Cette perte de performance vent du fat que Vsual C++ peut générer des copes nternes de varables. Cec étant, le C++ nous permet de créer des objets que nous pouvons chaîner et manpuler plus asément. a)interface Utlsateur Pour passer des paramètres au programme tel que la durée d exécuton, celu-c dspose d un fcher n. Le fcher AG.n est composé comme cec : [AG] NbIndv=1 PCM=.15 PCC=.3 [CrtereArret] NbS=-1 Tps=-1 NbAmelore=3 ParetoSum= [Int] PCH=.5 Le premer bloc consdère les paramètres propres à l algorthme génétque. Le paramètre NbIndv permet de régler le nombre d ndvdus de chaque génératon. PCM permet de régler le pourcentage de mutaton applqué aux ndvdus à chaque tératon de l algorthme. PCC permet de régler le pourcentage de crosement applqué à chaque tératon de l algorthme. Le second bloc consdère les crtères d arrêt de l algorthme. Le paramètre NbS permet de défnr un nombre d tératons maxmum. Le paramètre Tps permet de défnr un temps d exécuton maxmum (en secondes). Le trosème paramètre permet de défnr un nombre d tératon maxmum sans améloraton de la soluton. Une valeur 1 pour l un de ces paramètres désactve le crtère d arrêt correspondant. Le trosème bloc concerne l ntalsaton du programme. Le paramètre PCH permet de régler le pourcentage d ndvdus ntalsés par l heurstque hasard. Cette heurstque place les jobs au hasard. La seconde parte des ndvdus est ntalsée à partr d une heurstque plus évoluée qu tente de placer les jobs à leur date de fn souhatée. Le programme utlse également un fcher de données. Ce fcher est composé du nombre de jobs, du nombre de sous lots, et des nformatons nécessares pour défnr chaque job. Ce fcher est de même nature que celu utlsé par le programme Cplex. 87

88 b)fonctonnement Interne Optmum de Pareto Notre problème est mult-crtères, c est à dre que chaque job a un coût borné par une valeur b. Cette valeur, s elle est dépassée rend l ordonnancement nfasable. Pour vor s un ordonnancement est melleur, l faut d abord vérfer que les Z respectent les b et calculer la somme des dévatons (b Z). S cette somme est nféreure à celle du melleur ordonnancement actuel alors on prend l ordonnancement qu a la plus pette somme des Z. Pour l algorthme génétque pluseurs optons de prse en compte de l optmum de Pareto sont possbles : La premère est celle explquée précédemment, c est à dre la somme des dévatons (ParetoSum=). La seconde possblté est de calculer la valeur maxmum de dévaton (ParetoSum=1). Et enfn la trosème possblté est de compter le nombre de jobs qu volent leurs bornes. Calcul du coût mnmum Lors de chaque tératon, le programme lance un calcul des valeurs de Z (somme des Z) sur tous les ndvdus. Le melleur ndvdu (vor..1) est conservé en mémore. Il est ensute duplqué dans la nouvelle génératon lors de la sélecton. A la fn du programme l ordonnancement du melleur ndvdu est affché à l écran. Lste chaînée Nous avons développé cette applcaton avec des lstes chaînées. Les dfférents ndvdus sont chaînés les uns aux autres. De plus un ndvdu est composé de deux lstes chaînées : Une pour l ordonnancement sur la machne 1 et l autre pour l ordonnancement de la machne. 88

89 D.Second algorthme génétque Dans cette seconde verson de l algorthme génétque, nous avons décdé d utlser une verson du modèle mathématque. Celu-c a pour but de placer les jobs optmalement suvant une séquence donnée. Dans cette verson l opérateur de crosement et de sélecton restent les mêmes. Il a pour de but de modfer la séquence de deux ndvdus dfférents (cf. C.1.a) a)opérateur de mutaton Cet opérateur est le seul à être modfé dans ce nouvel algorthme génétque. Nous avons ajouté dans le projet une nouvelle classe correspondant à un objet de type Cplex. Une varable de cet objet est créée une seule et unque fos dans la classe prncpale. Il sufft alors d appeler la méthode «run» de cette nstance avec les paramètres de séquence et les varables pour obtenr un ordonnancement optmal pour cette séquence (cf. G.3). Cec rend notre algorthme génétque plus performant au nveau du résultat obtenu mas le rend auss ben plus lent. Effectvement, le code utlsé pour défnr le modèle mathématque en Cplex n est pas optmsable, dû aux contrantes de la programmaton Cplex. b)classe Cplex L ntalsaton de la classe permet de charger les données une seule fos au démarrage de l heurstque, de même pour la destructon des données lors de la suppresson de la classe. Le corps de la classe est le même que celu développé pour le programme Cplex de notre modèle. c)problème rencontré Le prncpal problème rencontré est la lenteur de la classe par rapport au reste du programme. La programmaton Cplex est très rgde. De plus le problème étant complexe, l y a beaucoup de contrantes et de varables à ntalser à chaque utlsaton de l nstance de cette classe. Ce problème sera réglé avec algorthme génétque optmsé. d)interface Utlsateur Pour passer des paramètres au programme, celu-c dspose d un fcher n. Le fcher AG.n est composé comme cec : [AG] NbIndv=1 PCM=.5 PCC=.3 [CrtereArret] NbS=-1 Tps=-1 89

90 NbAmelore=1 ParetoSum= [Int] PCH=.5 Ce fcher est le même que pour l algorthme génétque 1 (cf. C..a). PCM agt sur le pourcentage d utlsaton de la classe Cplex sur les ndvdus. Il faut que ce pourcentage reste fable snon le temps opératore de cet algorthme augmente fortement. e)fonctonnement nterne Le fonctonnement de cet algorthme est le même que celu vue précédemment (cf. C..b). 9

91 E.Implémentaton d une Recovery Beam Search (RBS) La Recoverng Beam Search est une méthode heurstque hybrde pour l optmsaton combnatore. La Beam Search utlse un arbre de recherche avec troncature des branches les mons bonnes. Cette méthode consste à chosr W nœuds les plus prometteurs à chaque nveau de l arbre de recherche. W représente la largeur du fasceau, c est à dre que l on ne retent que quelques nœuds. Evdement plus la largeur du fasceau est grande, plus l algorthme est lent. Un nœud est composé de deux lstes de travaux : - la lste des travaux déjà ordonnancés : Lste1, - la lste des travaux restant à ordonnancer : Lste. Chaque nœud a autant de descendants que de travaux restants à ordonnancer. Le processus d évaluaton à chaque nœud est la queston prncpale de cette méthode. Un bon comproms entre l exacttude et la vtesse est nécessare. Par exemple une évaluaton approxmatve et rapde peut avor comme effet de rejeter de bonnes solutons, tands qu une évaluaton très précse prend beaucoup plus de temps. S une erreur est commse lors de l évaluaton et rejette un nœud menant à l optmal ou presque, alors cette soluton ne sera jamas récupérée. C est le prncpal défaut de la BS. Pour amélorer cette méthode, la RBS met en place une étape de récupératon. Cette étape consste à rechercher une soluton partelle parms les nœuds sélectonnés dans le fasceau, s une soluton est trouvée alors elle est gardée parms les nœuds du fasceau. Ce qu surmonte le problème vu précédemment. Chaque nœud est évalué au moyen d une somme pesée de lmtes nféreures (LB) et supéreures (UB). Le rapport est représenté par l expresson V=(1Alpha)*LB+ Alpha*UB, ou V est la foncton d évaluaton. Aplha est le paramètre pesant. Il est généralement défn par essa expérmental. Dans la méthode RBS, l exste auss une phase de fltrage. Elle examne l état de domnance de chaque nœud, s l exste. 1. Intalsaton: Nveau d exploraton de l arbre l = ; S ={root_node} melleur soluton de l arbre au noeud courant X = X + Infne.. Pour k = 1..w o branche Sk génératon des nouveaux noeuds enfant. o Phase de fltrage: Chosr tous les noeud enfant qu ne sont pas domnés. 3. S = {}.. Pour chaque noeud enfant: o Calculer la LB et la UB. o S (UB < X) X = UB. o Calculer la foncton d évaluaton V = (1-alpha)*LB + alpha*ub 5. Trer tous les enfants choss dans l ordre crossant de la foncton d évaluaton: lassez Sk être le kth melleur nœud sur le total de t nœud. 6. k = 1 7. Tant que (dm(s) < w) et (k < t) 91

92 o Etape de récupératon: recherchez une soluton partelle Sk qu domne Sk moyen d'opérateurs d'nter changement. s une telle soluton est trouvée, alors placez Sk = Sk. o S Sk n'appartennent pas à S alors ajouter dans S S, Snon supprmer Sk. o k = k+1 8. l = l + 1. S (l < u) GOTO, Snon return X. Pour notre problème la foncton d évaluaton est calculée grâce au modèle mathématque développé sous Cplex mas auss avec l heurstque mplémentée lors des TPs de GPAO de ème année. Calcul des bornes de la foncton d évaluaton : Calcul de la borne supéreure : Nous calculons la UB en applquant l heurstque pour trouver un premer ordonnancement, à la sute duquel on utlse le modèle mathématque avec la séquence trouvée précédemment. Calcul de la borne nféreure : Nous Calculons le LB grâce au modèle mathématque avec la séquence des jobs déjà placés en varables entères, pus les jobs restant à placer en varables réelles. Par manque de temps nous n avons pas développé la phase de récupératon, n la phase de fltrage. Pour la phase de récupératon l faut mettre en place un algorthme d nter changement des travaux. Enfn, s l on voulat trouver un fltre effcace l nous faudrat fare une nouvelle étape d analyse du problème. 9

93 F.Campagnes de tests Pour évaluer les performances des heurstques réalsées nous avons établ pluseurs campagnes de tests. Les algorthmes génétques pouvant être «réglés» par pluseurs paramètres, nous avons réalsé une pré-campagne permettant d évaluer ces paramètres afn de les ajuster de façon optmale. Une premère campagne vse à comparer les résultats et les performances des heurstques par rapport au programme Cplex. Une seconde campagne vse à comparer les heurstques entre elles. 1.Pré-campagne Les paramètres des algorthmes pouvant être ajustés sont : Le nombre d ndvdus, Le pourcentage de crosement, Le pourcentage d ntalsaton hasard, Le pourcentage de mutaton. Les algorthmes génétques proposent également pluseurs crtères d arrêt. Nous avons retenu le crtère d arrêt du nombre d tératons sans améloraton. Ce crtère a été fxé à tératons. Les deux algorthmes génétques utlsent un fcher n permettant le réglage de ces paramètres et crtères. La pré-campagne consste donc, pour un même jeu de données, à modfer les paramètres dans les fchers n des heurstques, de lancer les heurstques, pus de conserver les résultats pour une analyse ultéreure. Nous devons consdérer les résultats obtenus, le temps par exécuton, le nombre de job à l heure. Résultats obtenus : Vor Annexes tableau 1 et tableau A partr des résultats obtenus nous avons décdé d utlser les paramètres suvants pour les heurstques : Algorthme génétque 1 : Nombre d ndvdus : 5 Pourcentage de crosement : 3% Pourcentage d ntalsaton hasard : 8% Pourcentage de mutaton : 6% Algorthme génétque : Nombre d ndvdus : Pourcentage de crosement : % Pourcentage d ntalsaton hasard : 8% Pourcentage de mutaton : 5% 93

94 .Campagne de Test n 1 : Comparatf avec Cplex Dans cette campagne nous allons générer aléatorement des jeux de données selon les règles suvantes pour chaque job: 1< P, j < 1 1< q < 5 1< γ < 5 1< κ < 5 1< β < 1 1< λ < 1 Les d sont générés selon 3 classes : Classe 1 : P,1 + P, < d < P, j Classe : P,1 + P, < d < 3,5 P, j Classe 3 : P,1 + P, < d < 5 P, j les b sont générés selon 3 cas, ls tennent compte de l évaluaton de la foncton de coût du pre cas. On consdère le pre cas égal à : Precas = B*(SomPj-d)+(K*q*d)+(G*q*SomPj)+L*q/ Selon cette constante on élabore deux possbltés pour les b b contrant : 5% Precas<b<5% Precas b llmté : b=precas Une campagne se déroule suvant un schéma smple. On désre tester les heurstques selon un certan nombre de jobs, et selon une certane classe de d. L algorthme général est le suvant : Pour (=1 ;<=NBJobMax ;++) Fare Pour (classed=1 ;classed<=3 ;classed++) Fare Pour (Instance= ; Instance<3 ; Instance ++) Fare Generer les données (,classed) Lancer Cplex Lancer Heurstques Sauvegarder Résultats Fn Pour Fn Pour Fn Pour 9

95 Les programmes sont testés à Delta (nombre de sous lots) non fxés. C est à dre que chaque programme devra être lancé un certans nombre de fos afn de trouver la valeur de Delta donnant la melleure soluton. On pose donc qu l exste une valeur de Delta comprse entre Delta=1 et DetaMax= Mn (q) tel que la valeur de Z trouvée par l heurstque sot mnmale. On estme que les résultats formeront une courbe de ce type : Z Delta La recherche de la melleure valeur de Delta s effectue de la façon suvante : On réalse un jeu de données On fxe delta à deltamax Tant Que l ncrément est dfférent de zéro On lance l heurstque avec delta S l on trouve une melleure soluton On la conserve On ajoute l ncrément à delta Snon On dmnue l ncrement (% de DeltaMax) On change son sgne Fn S Fn Tant Que Fn. On peut llustrer cet algorthme par le schéma suvant : Z Delta 95

96 Nous devons consdérer les résultats obtenus (valeur de Z), le temps de lancement de chaque programme, le nombre de job à l heure (ot), ans que le pourcentage d nfasablté (pour Cplex) et le pourcentage de dévaton par rapport au Z optmal (pour les heurstques). Nous avons généré deux programmes de la Campagne de Test 1 selon chaque cas de b. Pus nous avons analysé les résultats. Nous avons pu constater qu au delà de jobs, Cplex pene à résoudre le problème. En effet nous avons constaté qu l peut parfos mette deux heures à résoudre un problème à 5 jobs en b llmté. Résultats avec AG1 et AG à b llmté AG1 Nb job ot nf,6,,,3,, nf,1,1,1,1, tps moy delt,1,1,,,3,3,5,6 dev dev tps ot moy(%) max(%) moy,8,3 5,3,5,,5 1,3,7, 1,1 5,6,7,1 1,3 8,8,1 8,7 1,1,1,3 53,7 1,,1 3 81, 1,9,1 3, 87,,7 AG tps max nf 1 1, 1,5,6 11,3 1,9 tps moy delt,,5,6,7,7 1 1,5 dev dev tps tps ot moy(%) max(%) moy max,7,5 8,7 1,8 5,3,3,3 3,6, 8,5,,6 9,1,5 9,5,,6 13,9 8,3,1,8 3,8 3, 11,,1,9,1,1 11,7,1 1, 6, 6,3,1 1,6 37, 7,8 1,8 On peut constater que l AG permet d obtenr de melleures solutons par rapport à l AG1. Cependant l met en moyenne plus de temps. Résultats avec AG1 et AG à b borné AG1 Nb job ot,,3,,,,1,1 nf,3,3,,,1,1,1 nf,1,,,3,3,,3 Tps moy delt,1,1,,3,3,,5,7 dev dev tps tps ot moy(%) max(%) moy max nf,8,38 6,3,5 1,3 1,7 1,79,6 1,3, 3 18,7 1,5,,5 15,9 1,1,8,1 7,5 6,87 1,1 3,,1 13,19 9,93 1,5 3,5,1 18,58 58,7 1,9 6,1,1,9 7,67,6 9,1 AG Tps moy delt,,,6,7,8,9 1,9, dev dev tps tps ot moy(%) max(%) moy max,8,7 8,53 1,6 3,1, 1,15 9,3 1,8 3,5, 1,89 1,18,7 9,,,1 1,8 3,1 8,8,1 5,3 8,7 3,5 15,5,1 6, 31,9 3,8 1,,1 9,7 5,77 7,5 18,1,1 1,5 53,17 8,6 1,7 On peut constater d un premer coup d œl que l AG1 est mons bon que l AG. De plus, en regardant les résultats de plus prés, on note que l AG1 génère plus de solutons nfasables. L AG quand à lu ne génère que des solutons réalsables (qu ne volent pas les b). L AG est donc melleur que l AG1. 96

97 Sute aux résultats obtenus nous avons modfé l AG afn de dmnuer sa durée d exécuton. L heurstque RBS étant développée nous avons décdé de tester ces deux algorthmes avec Cplex. Résultats avec RBS et AGmod à b llmté RBS Nb job ot nf nf,7,5,3,5,,1 tps moy delt,1,,,3,6 1,1, 11,8 dev dev tps tps ot moy(%) max(%) moy max nf,9,1,5 1,1,,,8,,3,1,9 1,6,,1 1,3,1,,,,7,1,1,5 8,3,1,1, 16,9 9,9,1, 7,3 59,7 AG tps moy delt,1,1,1,,,,,7 dev dev tps tps ot moy max moy max,8,6,1,5 1,5,,3 5,,6 1,7,,5 8,5,6 1,,,5 19,1,7 1,9,1,9 1,,8 1,7,1 1,1 1,1,1 1, 38,8 1,8 3,,1 1,3 33,9,7,9 On peut constater que la RBS permet d obtenr de melleures solutons par rapport à l AG modfé. Cependant elle met en moyenne plus de temps à partr de 15 jobs. Résultats avec RBS et AGmod à b borné RBS Nb job ot,,,3,3,,1,1 nf nf,,1,3,1,,,3,,1,3,1,,1,, tps moy delt,1,,3,,8 1,3, 9,7 dev dev tps tps ot moy(%) max(%) moy max nf,9,,6 1,7,1,,5 13,9,7,1,3, 11,3 1,,9,1,, 15,5 1,5 3,,1,1,8 33,9 3 6,,1,1,8,,9 8,5,1,1 1,5 65,5 15, 8,1,1 1,7 15,5 36,3 93,8,1 AG tps moy delt,1,1,,,,3,,6 dev dev tps tps ot moy(%) max(%) moy max,7, 9,6,7,,8 17,5,6,,6 13,,6 1,9,,8 39,,8,,1 1,1 1,8,1 1,1 5,8 1,,,1 1,8 59,3 1,6 3,,1 6,1,3 5,3 L heurstque RBS nous donne de très bons résultats à b bornés. Cependant elle met en moyenne plus de temps à s exécuter à partr que l AG. 3.Campagne de Test n : Comparatf des heurstques Cette campagne est smlare à la précédente : elle lance les heurstques à delta non fxé. Cette campagne s ntéresse unquement aux heurstques et ne tent pas compte d une soluton optmale. Cette approche permet d utlser des jeux de données avec un plus grand nombre de jobs. Le prncpal nconvénent d une telle campagne est sa durée d exécuton. En effet, elle peut nécesster plus d une journée pour se termner. Il est donc nécessare de pouvor bloquer une machne durant ce temps. 97

98 L heurstque RBS n étant pas complètement fnalsée, les temps de calculs restent conséquents. En effet d après quelques tests, nous pouvons attendre des durées d exécuton de prés de 8 secondes à 1 jobs et à delta non fxé. Nous n avons donc pas pu réalser la campagne pour comparer cet algorthme à AG. 98

99 Concluson Le problème que nous avons abordé est nconnu. C est pourquo nous avons passé un certan temps à étuder ce qu exstat dans la lttérature, pus à établr une modélsaton mathématque du problème (modèle 1). Pour pouvor développer ce modèle sous Cplex, pus aborder l élaboraton d heurstques, nous avons du nous attarder à smplfer le modèle mathématque exstant (modèle ). Cette approche nous a perms d obtenr un modèle mplémentable. En parallèle de notre projet de fn d études, le projet de modélsaton bommétque nous a perms de réalser une premère heurstque : l algorthme génétque. Nous avons donc ensute améloré cette heurstque. Enfn nous avons commencé une trosème heurstque basée sur la méthode RBS. Cependant, par manque de temps, cette heurstque reste nachevée. Il reste à l optmser afn d obtenr de melleurs résultats à b bornés. Nous sommes très satsfats de l expérence que ce PFE nous a perms d acquérr dans le domane de l ordonnancement. 99

100 Bblographe V. T kndt et JC. Bllaut, Multcrtera Schedulng Wllams, Lnear and non lnear programmng n ndustry C. Srskandarajah et E. Wagneur, Lot streamng and schedulng multple products n twomachne no-wat flowshops, IIE Transactons (1999) E. Houghton et V. Portougal, Trade-Offs n JIT Producton Plannng for Mult-Stage Systems: Balancng Work-Load Varatons and WIP Inventores, Int. Trans. Opl Res Vol., 1997 J. Ouennche et F. Boctor, Sequencng, lot szng and schedulng of several products n job shops: the common cycle approach, INT. J. PROD. RES., 1998 J. Ouennche et F. Boctor, The mult-product, economc lot-szng problem n flow shops: the powers-of-two heurstc, Computers & Operatons Research 8 (1) J. Ouennche et F. Boctor, The two-group heurstc to solve the mult-product, economc lot szng and schedulng problem n flow shops, European Journal of Operatonal Research (1) C. Aubjoux et A. Charter, Résoluton heurstque d un problème d ordonnancement de type Juste-A-Temps par l approche multcrtère, PFE B. Estève, Calcul des dates de début des opératons avec contrantes de précédence et fonctons de cout convexes, DEA 1 V. T kndt, Arane X et Etude de problèmes de Flowshop, PFE 1996 B. Esteve, C. Aubjoux, A. Charter et V. T kndt, A recoverng beam search algorthm for the sngle machne Just-n-Tme schedulng problem, Journal of the Operatonal Research Socety () P. Chrétenne et F. Sourd, PERT schedulng wth convex cost functons 1

101 Annexes 11

102 Tableau1 Résultats Pré Campagne AG1: NOM AG Type Changement valeur résultat AG1 NB_INDIV AG1 NB_INDIV AG1 NB_INDIV AG1 NB_INDIV AG1 NB_INDIV AG1 NB_INDIV AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_MUT AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_CRO AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS AG1 PRCT_HAS ot temps

103 Tableau Résultats Pré Campagne AG: NOM AG Type Changement valeur résultat AG NB_INDIV AG NB_INDIV AG NB_INDIV AG NB_INDIV AG NB_INDIV AG NB_INDIV AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_MUT AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_CRO AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS AG PRCT_HAS ot temps

104 Campagne1 Dévaton Moyenne par rapport a Cplex 3,5 Dévaton 3,5 AG1 llmte AG llmte 1,5 1, Nb jobs Campagne 1 Temps Moyen 9 Temps (en sec.) AG1 llmte AG llmte Nb Jobs 1

105 Dévaton moyenne par rapport à Cplex 5 Dévaton 15 AG1 borne AG borne Nb Jobs Infasablté,35 Infasablté,3,5, AG1 borne,15 AG borne,1, Nb Jobs 15

106 Dévaton moyenne Campagne 1 Dévaton moyenne par rapport à Cplex RBS llmté AG mod llmté Nb Jobs Temps en sec. Campagne 1 temps moyen d'éxecuton RBS llmté AG mod llmté Nb Jobs 16

107 Campagne1 Dévaton Moyenne par rapport a Cplex,5 Dévaton 1,5 RBS borne AG mod borne 1, Nb jobs Campagne 1 Temps Moyen Temps (en sec.) RBS borne AG m od borne Nb Jobs 17

108 Résumé : Le thème de notre projet de fn d études est l étude de l Ordonnancement Juste à Temps avec geston des stocks. Après avor étudé ce qu exstat dans la lttérature, nous y abordons les méthodes de Juste à Temps, d ordonnancement multcrtères, ans que le lot streamng. Nous avons réalsé dans un premer temps le modèle mathématque du problème pus nous avons élaboré des heurstques. Mots clefs : Juste à temps Multcrtères Geston de stock Lot Streamng Heurstques Cplex Abstract: The topc of our project s a study of Just n Tme wth stock management schedulng. After havng studed what exsted n the lterature, we approach there the methods of Just n Tme, Multcrtera Schedulng, as well as the lot streamng. We ntally carred out the mathematcal model of the problem then we worked out the heurstc ones. Key words : Just n Tme Multcrtera Schedulng Stock management Lot Streamng Heurstcs Cplex 18