Assurance maladie et aléa de moralité ex-ante : L incidence de l hétérogénéité de la perte sanitaire

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1 Assurance malade et aléa de moralté ex-ante : L ncdence de l hétérogénété de la perte santare Davd Alary 1 et Franck Ben 2 Cet artcle examne l ncdence de l hétérogénété de la perte santare sur les contrats d assurance malade en présence d aléa moral. Même s le rsque santare peut ncter les assurés à réalser un effort préventf en présence d une couverture complète ce qu ndut l absence d un tcket modérateur, celu s avère nécessare pour dscrmner entre les assurés lorsque leur hétérogénété les amène à réalser des actons préventves dfférentes. HEALT INSURANCE AND HAZARD MORAL : THE INCIDENCE OF TYPE OF HEALTH RISK Ths paper nvestgates the mpact of the heterogenety of loss status on the nsurance contracts. If a full coverage s possble wth moral hazard, the heterogenety of loss status lead to a deductble to acheve screenng between nsured. Classfcaton JEL : D8, I1 La dernère réforme de l assurance malade utlse le tcket modérateur comme nstrument de régulaton des dépenses de santé qu résulteraent d un comportement de rsque moral ex-ante. Un résultat théorque en économe de l assurance stpule qu l est optmal d adopter une couverture partelle (prenant notamment la forme d un co-paement équvalent au tcket modérateur afn de rédure les comportements de rsque moral ex-ante (Shavell [1979] et Arnott et Stgltz [1988]. On peut donc s nterroger sur la pertnence de l absence de tckets modérateurs qu prévaut pourtant dans de nombreux cas en assurance malade et également de la dfférence de tckets modérateurs pour dfférentes stuatons santares. 1 SDF, Unversté PARIS-DAUPHINE Place du Maréchal De Lattre de Tassgny Pars Cedex EURIsCO-LEGOS, Unversté PARIS-DAUPHINE Place du Maréchal De Lattre de Tassgny Pars Cedex 16.

2 L assurance malade est spécfque pusqu elle couvre un rsque qu génère deux effets : un fnancer et un santare. Ben que le premer effet sot assurable, le second ne l est pas. Ans, la perte santare peut être appréhendée comme un «background rsk» dans le sens où l s agt d un rsque supplémentare non assurable. Toutefos, ce rsque modfe la percepton de la rchesse sans l altérer ce qu le dfférence d un «background rsk» fnancer. A la sute de Cook et Graham [1977] qu défnssent un ben rremplaçable comme un ben modfant l utlté obtenue par la rchesse 3, nous consdérons que le captal santare est un exemple d un ben dt rremplaçable. La spécfcté du rsque santare modfe les caractérstques des contrats d assurance en présence d aléa moral. En effet, une couverture complète du rsque fnancer ne désncte pas toujours l assuré à fournr un effort préventf car l subsste un bénéfce lé à la réalsaton d un effort préventf qu modfe la probablté d occurrence de la perte santare non assurable. Ben [2004] et Bardey et Lesur [2005] montrent qu une couverture complète est offerte en présence de rsque moral sans générer d neffcacté, et ce pour dfférentes spécfctés de la foncton d utlté (respectvement une dérvée crosée 4 négatve et une dérvée crosée nulle. Dans cet artcle, nous nous proposons d apporter quelques éléments de réflexon sur la relaton entre la couverture d assurance malade, l effort de préventon et l hétérogénété de la perte santare. A pror, la dfférence de perte santare devrat ncter l assuré à entreprendre des actons préventves dfférentes pusque le rsque malade les affecte dfféremment. Par conséquent, l ntroducton de l hétérogénété de la perte santare condut à ajouter un problème de sélecton adverse à un problème d aléa de moralté 5. Pour une couverture complète du dommage fnancer, les deux types d agents ne réalsent pas le même effort préventf. Dans un cadre de sélecton adverse, les résultats de Rothschld et Stgltz [1976] (noté par la sute RS stpulent que la dscrmnaton entre deux types d agents est réalsée s la condton de crosement unque de Spence-Mrless 6 est vérfée 3 Rey [2003] caractérse les contrats d assurance optmaux pour une utlté bvarée et dans un cadre d nformaton parfate. 4 L utlté retenue est bvarée et elle dépend de la rchesse fnancère et du captal santare de l agent. 5 Pour un état de la lttérature des travaux consdérant aléa moral et sélecton adverse, se référer à Fagart et Chopn [2007]. Nous ne présentons c que deux travaux afn de comparer nos résultats. Il est à noter que la présence de l aléa de moralté mplque l absence d une couverture complète. Jullen, Salané et Salané [2001] montrent que l hétérogénété de l averson au rsque modfe les nctatons ndvduelles. Plus l agent est averse au rsque et plus son effort préventf est élevé. La vérfcaton de la contrante de crosement unque mplque que le contrat est séparateur. Il s en sut que la couverture de l agent plus averse au rsque est plus fable que celle de l autre agent pusqu l présente la probablté d occurrence du rsque la plus fable. Fagart et Chopn [2007] montrent que l ntroducton de l hétérogénété du coût d autoprotecton dans un cadre d aléa moral condut à offrr une couverture plus mportante aux agents dont le coût est le plus élevé a contraro des agents aux coûts les plus fables pusque ces premers présentent la probablté d occurrence du rsque la plus élevée. 6 Cette condton énonce que les courbes d ndfférence ne se coupent qu une seule fos. Cette proprété mplque que l assuré de type haut rsque préférera toujours le contrat de l autre type. Par conséquent, l équlbre sera séparateur.

3 et s les assurés se voent offrr des contrats d assurance dfférents 7.. Il s en sut que le tcket modérateur redevent optmal afn de pourvor à la dscrmnaton entre les types. A pror, pour une couverture complète du dommage fnancer, plus la perte santare est mportante plus l effort de préventon réalsé est grand. Ans, le mauvas rsque santare devent le bon rsque fnancer pusque sa probablté d occurrence du rsque santare est la plus fable. Nous en dédusons qu l serat optmal d offrr une couverture ncomplète au mauvas rsque santare et une couverture complète au bon rsque santare. Ans, la relaton négatve qu prévaut entre la gravté du rsque santare et le tcket modérateur ne serat pas effcace. L artcle est organsé comme sut. Le cadre du modèle sera décrt dans une premère secton 8. L effort optmal sera décrt dans une seconde secton. La condton de crosement unque sera étudée dans une trosème secton. La quatrème secton caractérsera les contrats d assurance d équlbre. La dernère secton conclura l artcle. MODELISATION DES CHOIX INDIVIDUELS Nous consdérons une économe comportant des compagnes d assurance malade ntervenant sur un marché parfatement concurrentel dans lequel les ndvdus dffèrent par leur perte santare. Nous posons comme hypothèse qu une parte de la populaton de proporton λ subt une perte santare nette après tratement notée H H et l autre parte une perte H L avec H L < H H. Chaque agent connaît son type de rsque santare a contraro des compagnes d assurance : H et L pour respectvement une perte santare H H et H L. En rason de la concurrence, les assureurs offrent des contrats à prme actuarelle notés C(π,q où π désgne le montant de la prme et q le montant des ndemntés qu ne peut être supéreur au montant des dommages fnancers (absence de sur assurance. L utlté des assurés dépend du nveau de leur rchesse fnancère W et de leur état de santé H. U(W,H est une foncton d utlté addtve et séparable : U(W,H = u(w + H (1 Cette foncton est crossante et concave en la rchesse. Il est à noter que la dérvée seconde crosée notée ' est égale à 0 9. Cette hypothèse permet de U '12 7 L assuré de type haut rsque obtent une couverture complète et l autre assuré une couverture partelle. 8 Ce traval reprend en parte la logque de résoluton de Jullen, Salané et Salané [2001]. En effet, comme pour Fagart et Chopn [2007], résoudre un problème d assurance en présence d aléa moral et de sélecton adverse revent à consdérer un problème d assurance de sélecton adverse avec des probabltés endogènes. Dans un premer temps, les contrats d assurance en présence d aléa moral sont défns. Pus, l ntroducton de la sélecton adverse les modfe. 9 Cette forme d utlté est équvalente à une forme addtve d utlté dépendante de l état de la nature. Karn [1983].

4 conserver un corps d hypothèses le plus semblable à celu de Shavell [1979] et de lmter les effets santé à leur plus smple expresson 10. W 0 et H 0 désgnent respectvement la rchesse ntale et l état de santé ntal de l assuré, m le coût du tratement curatf. L assuré chost un effort de préventon e qu dmnue la probablté d occurrence de la malade. Nous supposons que e ε R +, p (e < 0 et p (e > 0, ce qu sgnfe que l effort de préventon rédut la probablté d occurrence de la malade mas que le rendement margnal de l effort est décrossant. Le coût monétare d une unté d effort est noté c. Nous supposons que ce coût est suffsamment fable, c est-à-dre que sans assurance un ndvdu est ncté à effectuer un effort préventf ex-ante. EFFORT OPTIMAL En présence d aléa moral, l nobservablté de l effort préventf mplque que la prme d assurance ne sot plus ndexée sur le nveau d effort. Le contrat d assurance offert à un agent maxmse à l équlbre l espérance de l utlté sous contrante d nctaton ndvduelle : p'( e max EU q, e + (1 e u( W = e u( W 0 0 p q ce + H m + q p q ce 0 e H [ u( W m + q p q ce u( W p q ce H ] (2 0 0 (3 c = e u1( m + q pq ce + (1 e u1( pq ce avec u 1 et u 11 respectvement les dérvés premères et secondes, et ( L, H. Résultat 1 S l assuré est suffsamment averse au rsque fnancer (toutes choses égales par alleurs, une couverture complète peut être offerte tout en nctant à réalser un effort. Preuve : Après réarrangements, les condtons optmales de premer rang calculées avec une couverture complète mplquent : EU e sgn q = m = sgn (4 q q e p' u1(. pu11(. = (5 q p'' H u11(. L effort est une foncton crossante de la couverture s l assuré est u 11 p' suffsamment adverse au rsque c est-à-dre s >. Ans, avec une u1 p couverture complète, l espérance d utlté margnale par rapport à la 10 Absence d averson au rsque santare.

5 couverture est une foncton crossante de celle-c. Par conséquent, la couverture complète est ben la couverture optmale pusque la surassurance est nterdte. CQFD. Une couverture complète ne désncte pas toujours l assuré à fournr un effort préventf car l subsste un bénéfce margnal lé à l effort préventf qu résulte de la varaton de l état de santé. Pour une couverture complète, ce bénéfce margnal de réalsaton de l effort pour une couverture complète est dfférent de 0 car le rsque santare engendre une perte nette santare après tratement. A l optmum, ce bénéfce est égal au coût margnal. Il exste donc une valeur non nulle de l effort préventf qu vérfe la contrante d nctaton ndvduelle (3. Lemme 2 : En présence d aléa moral, l effort de préventon est une foncton crossante de la perte santare. Preuve : En dérvant l équaton (3 par rapport à la perte santare, nous obtenons : e p ' = (6 2 H EU 2 e L exstence d une soluton ntéreure (e 0 mplque que le dénomnateur e est négatf. p <0 mplque que >0. H CQFD. L effort de préventon est donc corrélé postvement à la perte santare. Plus un agent supporte une perte santare mportante, plus le bénéfce à réalser un effort est élevé pusqu l rédut ans la perte santare espérée. Il s en sut que le haut rsque santare (type H H est mons rsqué (sa probablté d occurrence du rsque santare est plus fable que le bas rsque santare (type H L 11. Par conséquent, l hétérogénété des agents ntrodut de la sélecton adverse dans le modèle d aléa moral. LA CONDITION DE CROISEMENT UNIQUE L équlbre séparateur de RS est possble s et seulement s la condton de Spence Mrlees est vérfée. Dans le cadre RS, elle mplque que les agents dont la probablté d occurrence du rsque fnancer est plus élevée, sont dsposés à payer un montant plus fable par unté monétare reçue en cas de réalsaton de la perte que les agents de type bas rsque. 11 Comme Jullen, Salané et Salané [2001] et contrarement à Fagart et Chopn [2007], nous obtenons une corrélaton négatve entre la valeur du paramètre consdéré (respectvement averson au rsque et coût de l effort et le rsque fnancer évalué par l espérance du dommage. Cette dfférence avec le second artcle s explque par l ntroducton de la santé dans le problème usuel de l aléa de moralté. En effet, coût de l effort et perte santare génèrent des effets contradctores.

6 Graphquement, cette proprété est caractérsée par le fat que la pente de la courbe d ndfférence du type bas rsque est supéreure à celle du type haut rsque. L assuré de type haut rsque santare réalse plus d effort de préventon que le type bas rsque santare ce qu condut à une probablté d occurrence du rsque santare plus fable (bas rsque au sens de RS. Ans, l agent de type haut rsque santare préfère des schémas de transfert plus performants 12. Lemme 3 : Pour un contrat C(π,q, la proprété de Spence-Mrless est vérfée 13 s l averson absolue au rsque fnancer est une foncton non crossante de la rchesse. Preuve : Cette proprété est vérfée s la pente de la courbe d ndfférence dans le plan des rchesses (état de non occurrence du rsque santare, état d occurrence du rsque santare du type haut rsque fnancer (type H L est nféreure à celle du type bas rsque fnancer (type H H. Pour un contrat C(π,q, ladte pente s énonce : 1 e u1( π ce (7 e u1( m + q π ce D après le lemme (2, e H >e L et e étant décrossante, nous obtenons que 1 eh 1 el >. La condton de crosement unque est vérfée s e e H L u1( π ceh u1( π cel > (8 u1( m + q π ceh u1( m + q π cel Une condton suffsante est que le rapport des utltés margnales est une foncton décrossante de l effort. Après dérvaton et arrangements, ladte condton est respectée s et seulement s u11( π ce u11( m + q π ce (9 u1( π ce u1( m + q π ce L néquaton (9 est vérfée s pour tout q m, l averson absolue au rsque fnancer est une foncton non crossante de la rchesse. CQFD. Le lemme (3 établt que l ensemble de classes de fonctons d utlté admettant une soluton est mons restrctf que celu de Jullen, Salané et Salané [2001] et Fagart et Chopn [2007]. En effet, aux fonctons CARA sont ajoutées les fonctons DARA. LES CONTRATS D EQUILIBRE L ntroducton de l hétérogénété ntrodut 12 Nous supposons que la performance d un schéma est mesurée par le transfert obtenu dans l état occurrence du rsque. 13 Condton suffsante.

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