COURS DE MATHEMATIQUE FINANCIERE A COURT ET LONG TERME Promotion : Première année de graduat

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1 P R O F E S REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO ENSEIGNEMENT SUPEREIEUR ET UNIVERSITAIRE INSTITUT SUPERIEUR DE GESTION INFORMATIQUE DE GOMA /I.S.I.G-GOMA DEVELOPPEMENT ISIG M A T I O N COURS DE MATHEMATIQUE FINANCIERE A COURT ET LONG TERME Promoto : Premère aée de graduat Auteur: BUGANDWA Deogratas, PhD Cours esegé à l'isig par Assstat KINDU Jea-Chrac Aée académque

2 Pla du cours Parte I Opératos facères à Court terme CHAP I INTERET SIMPLE CHAP II ESCOMPTE A INTERET SIMPLE CHAP III EQUIVALENCE DES EFFETS OU DES CAPITAUX CHAP IV LA VENTE A TEMPERAMENT Parte II Opératos facères à Moye et Log terme CHAP VI INTERETS COMPOSES CHAP VII LES ANNUITES CHAP VIII LES EMPRUNTS OBLIGATAIRES Objectfs du cours Ce cours a pour objectfs prcpaux : 1. De préparer les étudats à meux aborder d autres matères e rapport avec les faces e gééral à travers le recours à l usage de taux d térêt pour les opératos d actualsato et de captalsato qu costtuet le fodemet du rasoemet facer ; 2. De permettre aux étudats, das le ve professoelle, de compredre le processus d vestssemet et de placemet des captaux ; de gérer ratoellemet les opératos bacares et d élaborer des projets et compredre les redemets attedus de ces derers. 2

3 CHAP I INTERET SIMPLE I.1 NOTIONS D INTERET, DE TEMPS, ET DE TAUX L térêt est le loyer de l arget placé ou prêté, c est-à-dre l demté à laquelle a drot toute persoe (créacer ou prêteur) qu a prêté à ue autre persoe (débteur ou empruteur) ue certae somme d arget pour ue durée be détermée. Cette demté sera d autat plus grade que la durée du prêt est mportate ou que le captal prêté est élevé. Pour e précser le motat, o fxe covetoellemet l térêt d ue somme be détermée (ex. 100 utés moétares) placés pedat ue durée utare appelée pérode de placemet (ordaremet l aée, mas pas toujours). Cet térêt est appelé taux du prêt ou du placemet. Le taux pourcet est l térêt de cet utés moétares pedat ue certae pérode. Il est possble et ous le verros das la sute de cosdérer 1 utés moétares pour le développemet des formules gééralsables. Il est be etedu que le taux est déf que s l o metoe la pérode à laquelle l se rapporte. Lorsque cette précso est pas doée, o sous-etedra gééralemet que cette pérode est d ue aée. I.2 INTERET SIMPLE ET INTERET COMPOSE L térêt est dt «smple» quad le captal placé reste varable pedat toute la durée de placemet. Il sera dt «composé» quad à la f de chaque pérode l est reporté sur le captal pour u costtuer u ouveau captal plus élevé produsat à so tour des térêts. E d autres termes, das la logque d térêts composés, les térêts portet auss des térêts. Ce processus est appelé «la captalsato des térêts». Nous y revedros das la 2 ème parte du cours. L térêt smple est réservé aux opératos à court terme (objet de la premère parte de ce cours). La durée de placemet sera toujours ue certae fracto d aée (quelques mos, quelques jours). L térêt composé quat à lu est réservé aux opératos à Moye et Log terme, c est-à-dre plus d u a. I.3 CALCUL DES JOURS ENTRE DEUX DATES I.3.1 Types d aées cosdérées das le calcul des jours e mathématques facères O dstgue tros types d aées, selo le pays 3

4 1. L aée commercale Tous les mos sot comptés à 30 jours et l aée à 360 jours. Le derer jour du mos est cosdéré comme état le 30. Cette aée est d usage das les pays tels que l Allemage, la Susse, et les pays Scadaves. Nous y recourros égalemet pour la plupart des formalsatos mathématques e vue de développer des formules d usage. 2. L aée cvle Les mos sot comptés à leur juste valeur et l aée à 365 jours. C est cette aée qu est cosdéré e Grade-Bretage et autres pays aglo-saxos, et aux Etats- Us. 3. L aée mxte Les mos sot comptés à leur valeur et l aée à 360 jours. Elle est applquée das la plupart des pays (Frace, Belgque, et Républque Démocratque du Cogo). I.3.2 Décompte des jours etre 2 dates Au Cogo, l est d usage das les calculs des jours etre deux dates, de e pas ter compte du 1 er jour mas du derer. Ex : Du 17 jullet au 31 jullet o a 14 jours. De la date d u mos à ue date dfférete d u autre mos, o compte le ombre exact des jours qu les sépare. Ex : Du 20 févrer au 15 ma o a : 8j + 31j + 30j + 15j = 84 jours. As, le ombre des jours à compter das le mos du placemet s obtet e retrachat la date (20 févrer) du total de jours de ce mos (das otre exemple : 28 jours 20 jours = 8 jours). De la date d u mos à la date d u autre mos, o compte le temps e mos. Ex : du 25 ovembre au 25 avrl l y a doc 5 mos. I.4 FORMULES GENERALES DE CALCUL DE L INTERET SIMPLE L térêt smple est calculé comme état drectemet proportoel au captal, au taux et au temps (durée de placemet). Ex : Quel est l térêt produt par u captal C placé au taux r % pedat jours. S le s exprme e aées, ous pourros écrre 4

5 : Telle est la formule de l térêt smple (u produt du captal, temps et taux). Quel est l térêt rapporté par u captal de 1 FC placé pedat 1 a au taux r%? =r/100 D où la défto du taux d térêt qu est l térêt rapporté par u captal de 1 u.m placée pedat 1 a. Remarque : Das le calcul de l térêt, o peut admettre que le temps sot doé e fracto d ue aée. Par exemple, s l est doé e mos, o aura =m/ aées et o remplacera cette expresso das la formule Exemples 1. Calculez l térêt produt par u captal de FC placé pedat 72 jours au taux de 4 % 2. U captal placé pedat 5 as au taux de 12 % à térêt smple porte la fortue d u vestsseur à FC. Quelle état la mse tale? 3. U captal de 1000 $, placé pedat 10 as vot sa valeur acquse égale à 2000 $. A quel taux auel ce captal état-l placé? 4. U captal de $ placé à 14 % rapporte $ d térêts. E combe d aées cet térêt a-t-l été gééré? 5. U captal de $ est placé aux taux 2,5 % pedat 125 jours. Quel térêt rapportera-t-l? Quel serat cet térêt s le captal état placé pedat 2 mos? I.5. ETUDE DE LA FONCTION VALEUR ACQUISE O a déjà vu, à travers l exercce uméro 2, que la valeur acquse est le captal tal auquel o ajoute les térêts portés pedat ue certae pérode. O peut doc écrre C.. r C = C Sot r/100 =, ous pouvos oter C = C + C.. Pour u captal de 1 uté moétare, ous auros C =

6 Nous pouvos doc costater que C = f() Graphquemet, cette focto peut être représetée comme ue focto léare dot la pete est doée par le taux d térêt. C C = 1 +. I.7 LES METHODES COMMERCIALES DE CALCUL D INTERET Les calculs d térêt sot logs lorsqu ls portet sur u esemble de somme comme c est souvet le cas das la pratque. Auss, les méthodes commercales ou méthode de calcul rapde des térêts présetet-elles des grads avatages prcpalemet pour la baque. Il exste pluseurs méthodes, mas ous e étuderos que quelques ues. Nous verros les avatages et les covéets de chacue d elles et e trouveros des applcatos. I.7.1 Méthode de ombre et dvseur fxe. Sot la formule de l térêt C.. r = S o dvse le umérateur et le déomateur par r, ous obteos = C r C. (umérateur) est appelé ombre. C est doc le captal multplé par le ombre (e jours). Nous écrros N = C. Le dvseur fxe est le chffre obteu e dvsat par le taux. Nous le oteros D. 6

7 As, la formule d térêt devet = N/D Règle : O peut obter l térêt d u captal pour u certa ombre de jours e dvsat le ombre par le dvseur fxe. Pratquemet, o e calcule pas le dvseur, l est cou de ceux qu l utlset. E effet, est dvsble par la plupart des taux courammet employés et le dvseur obteu est u motat facle à reter. Voc u tableau correspodat aux taux usuels Taux e % Dvseur D=36000/r Taux e % Dvseur D=36000/r , , , , Exemple Calculez l térêt produt par le captal de FC placé à 4 % pedat 75 jours. N = C. = x 75 = D = 36000/4 = 9000 I = /9000 = 45 Par la méthode géérale o aurat (5400x75x4)/36000 = 45 I.7.2 Méthode des partes alquotes I Partes alquotes du Captal La méthode trouve so orge das la costatato fate sur le cas partculer où le captal est égal au dvseur fxe (D). Nous avos vu e effet que = N/D ou = C./D Supposos mateat que C = D. Il e découle que =. Doc lorsque le captal est égal au dvseur, l térêt est égal au ombre de jours. A partr de ce cas partculer, o peut effectuer tout le calcul d térêt. O calcule stataémet l térêt produt par u captal dot le motat est égal au dvseur. Or l térêt est proportoel au captal. S o double le captal, l térêt est doublé ; et s le captal est dvsé, l térêt l est auss. 7

8 O peut doc décompter le captal e partes alquotes (partes coteat u ombre exact de fos), jusqu à ce qu o attege le motat du captal dot o recherche l térêt. Pus o calcule l térêt correspodat et o l scrt au regard des partes alquotes. Ef, o totalsera les partes alquotes d ue part, les térêts correspodat d autre part. Exemple : Quel est le motat de l térêt produt par u captal de 4840 FC placé 96 jours à 4,5 % Soluto Au taux de 4,5 %, le dvseur est 8000 As, pour u captal de 8000, l térêt est de 96 FC. S C = D ; I = Décomposos 8000 e partes alquotes jusqu à obter FC FC +800 (1/5) +9,6 FC + 40 (1/20) +9,6/20 FC I Partes alquotes du Temps Elle part d ue costatato fate das u cas partculer où l térêt est égal au 1/100 du captal. S das la formule I N = 100 ou Base C xj I = 100 o fat J = base, o obtet I=C/100. Base E d autres termes, lorsque le ombre de jours de placemet est égal au dvseur fxe (D), l térêt vaut la 100 ème parte du captal. Ex : Au taux de 3 % (base = 120), 1552 FC placés pedat 120 jours produt u térêt de 15,52 FC. Au taux de 4% (base = 90), 495 FC placé pedat 90 jours produset 49,50 FC. Au taux de 5 % (base = 72), 3728 FC placés pedat 72 jours produset 37,28 d térêt. Ces cosdératos foursset ue ouvelle méthode de calcul d térêt. Celle-c cosstera à décomposer le ombre de jours de placemet e partes alquotes d ue 8

9 durée base compreat le ombre de jours égale au dvseur fxe (D) et à rechercher les térêts correspodats. Ex1 : Calculer l térêt produt par u captal de 3726 placé à 5 % pedat 96 jours. Soluto Base = 360/5 = 72, doc durée de base = 72 jours. Or 96 jours = L térêt produt à 72 jours = 3726/100 = 37,26 FC L térêt produt à 24 jours = 37,26/3 = 12,42 FC (37,26 x 24/72) L térêt produt pedat 96 jours = 49,68 FC (37, ,42). Ex2 : Quel est l térêt produt par u captal de 4263 FC placé à 2% pedat 54 jours? I Partes alquotes du taux Lorsque le taux est pas cou das 360 jours, o évte l emplo d u dvseur fxe fractoare e procédat as : O calcule les térêts à u taux fctf (appelé taux base) coteu exactemet das 360 jours pus o ramèe le calcul au taux doé e décomposat celu-c par voe d addtos et de soustractos e partes alquotes du taux base chos. Ex1 Pour calculer les térêts à 2,75%, o calculera d abord les térêts produts à 2 %, pus les térêts à ½%, qu vaudrot le ¼% du précédet, pus les térêts à ¼% qu vaudrot la moté du résultat précédet. Calculer les térêts produts par u captal de 3264,90 Fc placé à 2,75% pedat 85 jours. 1 ère soluto : Taux de base = 2 % N/100 = 3264,90 = 32,65 N = C.J = 32,65 x 85 = 2775,25 D = 36000/100 = 360/2 = 180 I de 2 % = 2775/180 = 15,41 I à ½% ou ¼ du précédet = 15,41/4 = 3,85 I à ¼% ou ½ du précédet = 3,85/2 = 1,92 Itérêt à 2,75 % = I à 2% + I à ½% + I à ¼% = 15,41 + 3,85 + 1,92 =21,18 FC. 9

10 2 ème soluto : Taux de base = 3 % D = 360/3 = 120 I de 3 % = 2775/120 = 23,125 I à ¼% ou le 1/12 ème du précédet = 23,125/12 = 1,927 D où l térêt de 2,75% = I à 3% - I à 0,25% = 21,198. I Emplo combé de la méthode des partes alquotes du taux et du temps Calculer l térêt produt par 6245 FC pedat 114 jours au taux de 4 7/8% Adoptos comme base 4% et procédos d abord par les partes alquotes du temps, et esute par les partes alquotes du taux. A 4 %, base = 90 jours. O fera alors = /5 de /3 de 18. A 4 % après 90 jours l térêt produt = 62,45 A 4 % après 18 jours l térêt produt = 62,45/5 = 12,49 A 4 % après 6 jours l térêt produt = 12,49/3 = 4,16 A 4 % après 114 jours, l térêt produt est 62,45+12,49+4,16 = 79,10 FC. A 7/8% = 4/8 + 2/8 + 1/8 Nous allos d abord calculer l térêt de ½% après 114 jours. C est le 1/8 ème du précédet : = 79,10/8 = 9,888 L térêt à 2/8% après 114 jours = à la moté du précédet 9,888/2 = 4,944 L térêt à 1/8% après 114 jours = à la moté du précédet : 4,944/2 = 2,472 D où à 4 7/8 % après 114 jours l térêt est : 79,10+9,888+4,944+2,472=96,40. I.8 CAPITAL MOYEN, TAUX MOYEN et TEMPS MOYEN I.8.1 Le captal moye Le captal moye peut être déf comme état le captal qu, substtué à ue sére des captaux aux codtos detques de taux et de temps rapporte les mêmes totaux. Sot ue sére des captaux C1, C2, C placés aux codtos r1, r2,, r et 1, 2,, N. S C est le captal moye 10

11 C. r C N = 1 1 r C. r = N = 1 2 C. r C. r. C = N = = 1 N C. r. = 1 C1. r r 1 + C 2. r C N. rn N I.8.2 Le temps moye E procédat de la même maère que pour le captal, o aura le temps moye suvat : = N = 1 C. r. C. r I.8.3 Le taux moye Le taux moye de cette sére de placemets est le ombre r tel que r = N = 1 C. r. C. Exemple1 : Supposos que ous avos $ placés pedat 3 as à 8 % $ placés pedat 2 as à 7 % $ placés pedat 6 as à 10 % Calculez le taux moye de placemet. Exemple2 : Calculez le captal, le taux et le temps moye de deux captaux 4000 et 3000 FC placés au taux de 6 % et 8 % pedat 80 et 60 jours. I.9 CORRESPONDANCE ENTRE INTERET CIVIL ET INTERET COMMERCIAL L térêt commercal est toujours supéreur à l térêt cvl. Les baques état des etreprses commercales (poursuvat le proft), elles utlset l térêt commercal. Sot Co. rc. Icv = et Co. r. Icom = Supposos que Icvl = Icommercal. O aura 73 r c = r 72 11

12 Exemple : Sot u captal de FC placé à 5 % pedat ue pérode allat du 11 javer au 11 ma. Calculez l térêt commercal, l térêt cvl, et détermez le taux cvl qu permettrat d attedre le même térêt. I.10 VALEUR ACTUELLE ET VALEUR ACQUISE D UN CAPITAL La valeur acquse d u captal est le motat omal du captal (Co) auquel o ajoute les térêts produts par ce captal pedat ue certae pérode et à u certa taux. I = N D D' où Co I = C D D Co = C( ) D + Co. = Co + D = Co(1 + D D + ) C = Co( ) D CHAP II. ESCOMTE A INTERET SIMPLE II.1 NOTIONS D ESCOMPTE COMMERCIAL Pour qu u commerçat achète des marchadses à Court-Terme, l s egage ordaremet à payer le motat dû à l exprato du déla coveu sur la présetato d u effet de commerce (lettre de chage ou bllet à ordre). Mas le vedeur (créacer) peut obter u paemet atcpé de sa créace par trasmsso ou égocato de so effet. Il subra toutefos ue reteue appelée «Escompte» pour l térêt du captal avacé. La somme scrte sur u effet de commerce est appelée «valeur omale». La somme payée par le baquer, c està-dre la dfférece etre la valeur omale et l escompte s appelle «Valeur Actuelle de l effet». L époque à laquelle dot être payé u effet de commerce s appelle «Échéace». Par coveto, l escompte commercal est égal à l térêt que la valeur omale produrat pedat le temps qu dot ecore s écouler jusqu à l échéace. Le taux applqué à ce calcul est appelé taux d escompte. II.1.1 Quelques déftos a) Négocer u effet de commerce = vedre l effet de commerce avat l échéace pour e toucher la valeur ette. b) Escompter u effet de commerce = l acheter avat l échéace c) L Ago : c est l esemble de reteus effectués par le baquer compreat gééralemet l escompte, la commsso et parfos dfférets fras supplémetares. II.1.2 Calcul de l Escompte Commercal Nous adopteros les otos suvates V = valeur omale de l effet 12

13 v = valeur actuelle de l effet =ombre de jours s éparat l opérato d escompte de l effet de l échéace ; r=taux e pourcetage e = Escompte commercal D = Dvseur fxe correspodat E applquat la formule de l térêt smple, o obtet V. r. e = (1) O peut auss utlser la formule du ombre et dvseur fxe. Das ce cas, o aura e = N D V. = D V. D v = V = V ( ) (2) D D II.1.3 Calcul de la valeur actuelle v=v-e V. r. r r. v = V = V (1 ) = V (3) v = V Exemple1 O présete à l escompte le 10/5 u effet de valeur omale 3000 FC échéat le 7/07 suvat. Trouver l escompte commercal as que la valeur actuelle, sachat que le taux d escompte est de 6%. E=29 FC ; v = = 2981 FC. Exemple2 Quelle est la valeur omale d u effet dot la valeur actuelle est de 3561 FC sachat qu l a été escompté e-dehors au taux d escompte de 4%, pour 65 jours. Rép : II.2. ESCOMPTE EN DEDANS Das la logque de l escompte commercal, ous veos de vor que le baquer calcule la reteu sur la valeur supéreure à celle qu l remet au clet. Normalemet, 13

14 l escompte devrat être calculé sur la valeur que perçot ce derer. Mas, la baque cherchat à maxmser sa retablté, préfère calculer l escompte sur ue valeur supéreure à celle qu elle remet à so clet. L escompte ratoel ou e dedas reste doc u escompte théorque. D où so appellato d escompte théorque. L appellato «escompte e-dedas» tet au fat que l escompte devrat être sur le motat perçu par le clet, c est-à-dre la valeur actuelle (v). Toutefos, das les cas extrêmes, et e focto de la pure égocato etre partes, le clet peut obter de la baque l applcato de l escompte ratoel. II.2.1 Calcul de l escompte ratoel Sot v : la valeur actuelle ratoelle e : l escompte ratoel Par défto, l escompte ratoel est u térêt soustractf qu devrat se calculer sur la valeur actuelle et o sur la valeur omale. v'.. r e ' = (1) Et par la formule de ombre et dvseur fxe v'. e'= (2) D v'. v'. v' = V e' v' = V V = v' + Nous savos que D D D + V. D V = v'( ) v' = (3) D D + = v'(1 + D ) E remplaçat (3) das (2), o a e' = V. D + Cette formule ous doe l escompte ratoel e termes de valeur omale. Elle permet de paller la dffculté de devor calculer l escompte ratoel à partr de la valeur v qu reste coue au momet de l escompte. II.2.2 Relato etre escompte commercal et escompte ratoel La formule c-dessus motre déjà asémet que l escompte ratoel sera toujours plus pett que l escompte commercal. E effet, o peut démotrer que la dfférece etre les deux est postve (e > e ). 14

15 V. V. V. e e' = =. D D + D D + ev. e e' = e. e' = e = D + D + e'( D + ) D Par ces formules, ous veos d établr la relato etre l escompte ratoel et l escompte commercal. Exercces 1. U effet de V=1000 dollars est ameé à l escompte 30 jours avat l échéace au taux de 6 %. Détermez le motat de l escompte reteu par la baque sur cette trasacto et l escompte ratoel. 2. Mr Alfred égoce ue lettre de chage à la baque BCC, 45 jours avat so échéace. La V=2500. La BCC lu commuque u taux de 10 % L a. Détermer l escompte commercal et ratoel Dégagez la relato etre ces deux escomptes Détermez les deux valeurs actuelles S la valeur actuelle commercale état placée à la baque aux mêmes codtos de taux et de temps, quelle serat la valeur acquse? CHAP III EQUIVALENCE D EFFETS OU DE CAPITAUX Le chaptre précédet a motré que le crédt réel accordé par ue baque lors de la égocato d u effet de commerce est la valeur actuelle (v). E effet, be que l escompte commercal sot calculé sur la valeur omale (V), l mportace du crédt déped be de la valeur actuelle v. Ce chaptre va doc se baser essetellemet sur la valeur actuelle des effets ou des captaux pour s artculer sur des problèmes de remplacemet de pluseurs effets sas dommages pour les deux partes. Nous étuderos les questos d échéace moyee et d échéace commue des effets de commerce. III.1 JUSTIFICATION PRATIQUE DES QUESTIONS D EQUIVALENCE Das la pratque commercale, l équvalece des effets se pose otammet das les cas suvats : - Lorsqu u débteur demade à so créacer de modfer ou de reporter la date d échéace d u effet de commerce ; - Lorsque la valeur omale d u effet dot être modfée : par exemple lorsqu u débteur églgeat ou e dffcultés facères a lassé protester u effet mpayé. Il y a alors reouvellemet par la créato d u ouvel effet. 15

16 Le problème relatf aux effets peut se rameer à 3 types suvats que l o dot calculer : -La valeur omale de l effet de remplacemet ; -L échéace de l effet de remplacemet ; -Le taux auquel o a calculé l équvalece. III.2 PRINCIPE D EQUIVALENCE Sot ue sére d effets de commerce V1, V2,, V (avec V Vj j) ; échéat respectvemet à 1, 2,, (avec j j) et placés à u taux r. De maère géérale, o dra que 2 ou pluseurs effets ou captaux de valeurs omales dfféretes sot équvalets lorsqu escomptés à la même date ou au même taux, ls doet la même valeur actuelle. La date à laquelle ls sot escomptés est dte «date d équvalece». Soulgos éamos que la logque de l escompte ratoelle est écartée du rasoemet sur les effets équvalets. Le rasoemet a pour uquemet fodemet, l escompte commercal. Exemple Soet les effets de valeurs omales : V1 et V2 à échéaces respectves 1 et 2 qu sot égocés à u même taux r. Les deux effets serot dts équvalets s et seulemet s v1 = v2. D 1 D 2 v1 = v2 doc V1 ( ) = V2 ( ) V 1( D 1 ) = V2 ( D 2 ) D D Pour effets, o aura D 1 D 2 D V1 = V2 =... = V V1(D-1)=V2(D-2)= = V(D-). D D D Exemple : (1) Deux effets de commerce de valeurs omales 9840 et 9900 échéat respectvemet le 31 octobre et le 30 ovembre sot égocés au taux d escompte de 7,2%. S l exste ue date à laquelle les deux captaux aurot des valeurs actuelles égales, ces derers serot dts équvalets. N.B. La date d équvalece dot être atéreure à la date qu est premère suvat l ordre chroologque de dates d échéaces des effets. Das otre exemple c-dessus, désgos par x le ombre de jours qu séparet la date d équvalece de la premère échéace (31 octobre). Das ce cas, pour trouver le ombre de jours qu séparet la date d équvalece d avec l échéace du 2 ème effet, l sufft d ajouter 30 jours à x (car du 31 octobre au 30 ovembre, l y a 30 jours). 16

17 Equvalece X 31/10 30/11 Doées : r = 7,2% V1 = 9840 V2=9900 D= 36000/7,2 = 5000 D 1 D 2 V1 = V2 D D 5000 X 5000 ( X + 30) 9840 = X = 50 jours D où 1 = 50 jours, et 2 = 80 jours, c à d La date d équvalece est doc le 31/10 50 jours ou le 30 ovembre 50 jours ; sot le 11 septembre. O peut vérfer s à la date du 11 septembre, les 2 captaux sot égaux. V V = 9840 = 9741,6 FC = 9900 = 9741,6FC 5000 O peut remarquer que la valeur actuelle de chacu des deux effets est ue focto affe de la durée x. E d autres termes 9840 v1 = 9840 x v1 = ,968x 5000 ( x + 30) v2 = v2 = ,98x 59,4 v2 = 9840,6 1,98x 5000 Pour x = 50, v1 = v2 = 9741,6 FC Graphquemet o a 17

18 v 1,v 2 Equvalece v 1 v 2 50 x S la date d équvalece exste, elle dot être féreure à la date de l échéace de l effet. Pour que ce problème at u ses, la date d équvalece dot être postéreure aux dates auxquelles les deux effets ot été créés. S les deux drotes sot parallèles, cela veut dre qu l exste aucue soluto (cas des effets ayat même valeur omale mas des dates dfféretes). S les deux drotes sot cofodues, l y a ue fté des solutos. S les deux drotes se coupet comme das otre cas, l y a ue soluto uque. III.3 APPLICATION PRATIQUES DU PRINCIPE D EQUIVALENCE III.3.1 Cas de reouvellemet d effets Le problème de reouvellemet d effets cosste à trouver u autre effet qu remplacerat le précédet effet sas léser aucue des deux partes (débteurs et créacer). Il s agt plus cocrètemet de trouver u effet V* de faço que sa valeur actuelle v* sot égale à la valeur actuelle de l effet précédet V à u taux d escompte doé r. Ex : B dot à A ue somme de 7110 payable le 31 ma. Le 16 ma, B sollcte de remplacer l effet par u autre échéat le 30 ju. S le taux d escompte est de 10 %, quel est le motat du ouvel effet (l effet de remplacemet?) 18

19 Soluto V 1 = 7110 V 2 =? 1 = 15 jours 2 = 45 jours r = 10% 16/5 15jrs 31/5 30jrs 30/6 7110( ) V2 ( ) = jours La résoluto de cette pette équato doe V2 = O costate que est supéreur à Cela se justfe par le fat que 7110 état exgble le 31 ma. Lorsque le débteur demade de payer plus tard, l pae u térêt supplémetare dû au temps. E termes facers, o dra que 7110 au 31/05 est équvalet à 7170 au 30/06. Ue autre faço de poser le problème d équvalece c est de recherche la date à laquelle deux effets peuvet être équvalets. C est le cas lorsque le débteur sat qu à l échéace l e saura pas payer, mas qu après, l pourrat être capable de payer u peu plus. Il proposera alors u certa motat et demadera à so créacer à quelle date l pourra payer ce motat. Ex : S l propose de payer 8000, c est-à-dre V2 = 8000, toutes les autres codtos restat chagées, quel sera la ouvelle échéace? 7110( ) 8000(3600 2) = Ce qu doe 2 = 387,1 jours. III.3.2 Échéace commue L échéace commue de deux ou pluseurs effets ou captaux est la date à laquelle ces effets ou captaux, ayat des échéaces dfféretes peuvet être remplacés par u seul paemet sas qu l e résulte u dommage pour les partes e présece, c est-à-dre le débteur et le créacer. Les paramètres de rasoemet sot les suvats : 1 Sot, à partr d ue date de egocato coue d avace, l faut rechercher la valeur omale de l effet (captal uque désgé par Vx) qu vedrat e remplacemet de pluseurs autres. 2 Sot que la valeur de l effet uque de remplacemet est coue ; doc das ce cas l faut détermer la date de égocato de cet effet. 19

20 CHAP IV LA VENTE A TEMPERAMENT IV.1 NOTIONS GENERALES La vete à tempéramet est ue opérato par laquelle l acheteur d u be (gééralemet les bes d équpemets) peut se lbérer d u motat de la facture e payat ue avace au comptat (acompte) et e effectuat ue sére de paemets partels écheloés à des tervalles de temps régulers. De cette défto, l covet de dstguer le prx de vete au comptat du prx de vete à tempéramet. Le prx de vete à tempéramet est gééralemet supéreur au prx de vete au comptat car l corpore les térêts sur le crédt accordé. Il faut oter que les autres fras egagés par le vedeur parm lesquels ous ctos les fras de dosser, les fras de otare, les fras de recouvremet des créaces, etc. devrot être supportés par l acheteur. Pour etrer e possesso du be, l suffra alors pour le clet de : - Payer l acompte qu est le premer versemet effectué au comptat et qu représete habtuellemet u pourcetage du prx de vete de la marchadse. L acompte est doc le motat à payer pour permettre à l acheteur de jour de la faculté de posséder le be avat le paemet du prx total. - Payer le solde qu représete la dfférece etre le prx de vete et l acompte. Cette dfférece se pae e ue sére de versemets pérodques dot le ombre est préalablemet détermé. L aalyse de l acompte du pot de vue socal et écoomque peut ous permettre d e sasr le double rôle, selo que ous ous stuos du côté du vedeur ou de l acheteur. Du pot de l acheteur, l acompte 1. Allège la dette ; 2. Ecourte le terme de paemet 3. Procure à l acheteur l avatage de posséder le be et même de l utlser avat d e payer le prx total. Du pot de vu du vedeur, l acompte permet 1. D élmer les acheteurs solvables et spéculateurs 2. D évter l mmoblsato de tout le captal das les opératos de crédt. 3. Soulgos par alleurs que deux rasos fodametales sous-tedet la poltque de la vete à tempéramet : 20

21 - Des rasos commercales, le vedeur préfère attrer la cletèle à reveu fable e lu proposat ue vete à tempéramet. - C est ue raso socale : l éparge du cosommateur s avère, das la plupart des cas, suffsate pour acquérr des bes au comptat. La vete à tempéramet cotoure cette dffculté et permet as d amélorer le veau de ve de la populato. Cepedat, e perdos pas de vue que tout artcle acheté à tempéramet coûte plus cher que celu acheté au comptat. Normalemet, le vedeur à tempéramet corpore au prx de vete au comptat, u térêt qualfé de chargemet e guse de sa rémuérato pour les rsques courus. Ce chargemet peut être calculé par la formule suvate : Chargemet = Versemet pérodque x Nombre de versemets Crédt E réalté, das ce chargemet, l y a pas que les térêts mas auss les fras egagés par le vedeur ou l orgasme de facemet pour orgaser l opérato. Parm ces fras o trouve : - Les fras de costtuto de l effet ; - Les fras de recouvremet à l échéace ; - Les fras de rsque de o paemet. L acheteur peut alors être ameé à calculer le coût réel qu l supporte das ue opérato de vete à tempéramet. IV.2 COUT DU CREDIT A TEMPERAMENT ET NOTION DE TAUX D INTERET REEL Le vedeur à tempéramet stpule le coût du crédt qu l accorde au clet de tros faços : - Taux forfatare - Taux d escompte - Taux d térêt. IV.2.1 Le taux forfatare Il compred tous les élémets costtutfs du coût du crédt. Pour coaître le motat de la charge totale, l faut et l sufft de multpler le crédt accordé par le taux forfatare. Charge Totale = T.F x Crédt (T.F.= Taux forfatare). U tel coût fat terver certas élémets dépedats de la durée du crédt. Le coût est pas strctemet proportoel aux sommes et à la durée du crédt comme le sera les térêts. 21

22 Exemple : Le baquer retet forfataremet 5 % sur u crédt de 150 $ payable moyeat 5 mesualtés de 30 $ chacue. Après déducto de l acompte qu se chffre à 100 $. Soluto : Acompte = 100 $ Crédt = 150 $ T.F. = 5 % Prx de vete = Acompte + crédt = 100 $ $ = 250$. Charge totale = T.F. x Crédt = 5 % x 150 = 7,50 $ D où le crédt réel est = ,5 = 157,5. O peut alors calculer la mesualté charges cluses : 157,5/5 = 31,5$ IV.2.2 Taux d escompte Ce taux suppose que le vedeur clus das ses fras de crédt u taux auel d escompte de x%. Cela sgfe qu l désre que la somme de chargemet et des autres reteues représetet u pourcetage auel (x %) d escompte. Das ce cas, l mporte de réalser au préalable la coverso de taux d escompte e taux forfatare qu sera applqué au crédt pour détermer la charge totale. IV.2.3 Taux réel d térêt C est le coût réel payé par le bééfcare de crédt e termes de taux. Ce taux est fxé e focto de l térêt réel que le vedeur souhate gager. Pour détermer ce coût qu tègre das sa logque la oto du temps, Il faut partr du rasoemet logque suvat : Pour u crédt C e ue fos e échéace moyee m, le vedeur désre gager u taux réel d térêt r. Alors la charge totale sera obteue grâce à la formule suvate : C.r. Charge Totale = 1200 m (C est le crédt) Il covet de oter par alleurs que le vedeur peut décder de trer u effet sur l acheteur pour le égocer. Das ce cas, la oto de coût se scde e deux : - Le vedeur supportera u coût du fat qu l se dessassse de sa créace. L térêt payé par l acheteur revedra o plus au vedeur mas à la baque ou à ue autre sttuto facère qu aurat escompté l effet. - Le coût orgel de l opérato reste supporté par l acheteur. 22