E1 - LOIS GÉNÉRALES DE L ÉLECTROCINÉTIQUE

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1 E1 - LOIS GÉNÉRLES E L ÉLECTROCINÉTIQUE OBJECTIFS L Électrocnétqe est la branche de l Électromagnétsme q étde le transport des charges électrqes dans les crcts condcters. Ses applcatons, de l électrotechnqe à l électronqe, ont révoltonné la socété hmane, à tel pont qe l on pet placer l nventon d crct électrqe a même nvea qe celles de l agrcltre, de la roe o de l écrtre dans l hstore de l Hmanté. Elle a envah tos les secters de l économe et de la ve qotdenne et jamas ne socété n a été atant trbtare d ne technologe. Il sfft d magner ce q l nos arrverat s la terre état prvée de tot corant électrqe pendant vngt-qatre heres... L énerge électrqe est essentellement obtene par converson d énerge chmqe, dans les centrales thermqes les énerges hydralqes (barrages) et ncléares (centrales) restant mnortares à l échelle planétare. Elle est enste dstrbée sos forme de corant alternatf par n résea trphasé en tole d aragnée et n sos-résea dphasé radal à tos les tlsaters. fat de ses applcatons nnombrables, l Électrocnétqe est ensegnée dans n bt pratqe. Il ne s agt pas d exposer des théore spectaclares o de réalser des proesses mathématqes, mas de décrre les statons smples et concrètes qe rencontre la technologe. Objectfs de cette leçon : Vocablare et concepts de base de l électrocnétqe. Los de Krchhoff et cadre dans leqel elles sont valables. Étde énergétqe d n dpôle. I COURNT ÉLECTRIQUE I.1 Charge éfnton : Une grander physqe est ne grander extensve lorsq elle est proportonnelle à la qantté de matère. Le blan d ne telle grander caractérsant n système S, entre t et t+dt, s écrt : dg varaton de la grander G de S pendant dt dg = δ e G+δ p G avec δ e G le terme d échange (entre S et le mle extérer) et δ p G le terme de prodcton(spécfqe à S). δ e G dg δ p G (S) Prncpe de conservaton de la charge : La charge est ne grander extensve conservatve. La charge électrqe ne pet être n créé, n détrte; elle ne pet être q échangée : dq = δ e Q car δ p Q 0 Il s agt d ne lo fondamentale de la physqe. Conséqence en électrocnétqe : n générater ne créé acne charge; par contre, l pet commnqer ax charges ne énerge électrqe et les mettre ans en movement. I.2 Intensté éfnton : L ntensté d n corant à travers ne srface S orentée est égale à la charge électrqe q traverse S par nté de temps : = dq dt où en ampère () dq est la charge élémentare (en colomb, C) traversant S pendant la drée élémentare dt (en seconde, s) n srface S orentée Q : S = 10 m dans n condcter métallqe de secton S, qel est le nombre d électrons N q traversent cette secton par seconde? Rép. : En régme statonnare, = dq dt = Q τ avec Q = N.e, e = q e = 1, C et τ = 1 s.

2 E1 I. Corant électrqe Sot N =.τ e électrons (60 mllons de mllards!). I.3 Vecter densté de corant a éfnton On fat les hypothèses svantes : - Sot n matéra condcter dans leqel tos les porters de charge sont de même type : tos les porters portent la même charge q (spposée postve sr le schéma). - chaqe porter a ne vtesse assmlée à la vtesse de grope v (cf. cors d Électromagnétsme). - la densté volmqe des porters (n, en m 3 ) est nforme. Pendant la drée élémentare dt les porters q traversent la srface S (plane et orentée) sont contens : - dans le cylndre de base S, - de génératrce v dt - et de hater vdtcosα. Le volme de ce cylndre est dv = vdtcosα.s Il content le nombre dn de porters de charge q traversent S entre t et t+dt : dn = n.dv. porters traversant S à l nstant t+dt vdt v α vdtcosα La charge q traverse S pendant la drée dt est donc : dq = q.dn = q.n.vdtcosα.s L ntensté d corant q traverse S est donc : = dq dt = nqvcosαs À la srface S orentée par le vecter ntare n, on assoce le vecter srface : Or, v n = vcosα, d où : = nq v S j S M v dt n porters traversant S à l nstant t S = S n. éfnton : On appelle vecter densté volmqe de corant et on note j le vecter (exprmé en.m 2 ) : n est la densté volmqe de porters (en m 3 ) j = nq v où q est la charge d n porter (en C) v est la vtesse d ensemble des porters (en m.s 1 ) O encore : j = ρ v où ρ est la densté volmqe de charges mobles (en C.m 3 ). éfnton : (Généralsaton) L ntensté q traverse ne srface S qelconqe et orentée par n contor C est égale a flx de la densté de corant à travers S : = j (M) ds avec ds = ds. n (M) C I j (M) M n ds S ds b Corants créées par dfférents types de porters ans n mle condcter, la densté de corant totale j est la somme des denstés de corants correspondant à chaqe type de porters de charges : j = jk = k k n k q k vk = k ρ k vk 2 http ://atelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

3 II. Lo d Ohm E1 c Exercce : secton des fls électrqes Les fls de cvre tlsés dans les nstallatons domestqes spportent sans dommage ne densté volmqe de corants de l ordre de 7.mm 2. Q : Qelle est la secton mnmale d n fl cylndrqe destné à véhcler n corant de 16? Rép : Sot S l are de la secton drote d fl cylndrqe. Spposons ne répartton nforme de corants, c est-à-dre n vecter densté volmqe de corants j dentqe en tot pont d fl, donc de sa secton S. On a : = j ds = j n nds = j.ds = j ds = j.s. Psqe I = 16 et qe la densté de corants ne dot pas dépasser j max = 7.mm 2, on conclt : S mn = I j max 2,3 mm 2 II LOI OHM Physcens Fls de serrrer, Georg Ohm commence à travaller avec son père. À la ste de plsers séjors en Ssse, l termne ses étdes à Erlangen et l accepte n modeste poste à Bamberg. Qelqes années pls tard, l est très herex d être nommé à Cologne où l trove n envronnement et des moyens propces à ses recherches. G. Ohm est l ater en 1827 de la lo fondamentale q rele la tenson électrqe ax bornes d n condcter à l ntensté q le parcort. Il décovre cette lo relatvement smple après des séres de mesres très délcates sr les températres locales et les forces exercées a sen même des condcters. Nommé professer à l cadéme Mltare de Berln, ps à l Insttt Polytechnqe de Nremberg et enfn en 1849 à l Unversté de Mnch, l porst ses travax dans les domanes Georg Smon Ohm de la polarsaton des ples électrqes, de l acostqe, de la Erlangen (Bavère) polarsaton de la lmère. Mnch 1854 Il se fat remarqer par des expérences spectaclares et par des tratements mathématqes sophstqés. ans le domane de l acostqe, l montre en 1843 qe l orelle est capable de séparer dans n son complexe les dfférentes composantes snsoïdales. II.1 Tenson et potentel électrqe Le movement des charges q constte le corant dans ne certane régon de l espace est provoqé par n déséqlbre de natre électrqe a sen de celle-c. On défnt en tot pont de l espace n champ scalare noté V(M) q on appelle potentel électrqe. Nos ne porrons défnr correctement le potentel électrqe qe dans le cors d Électromagnétsme. Por le moment, l sfft de savor qe lorsqe le potentel électrqe n est pas nforme, l apparaît n champ électrqe E. lors, les porters de charges mobles sont soms à la force électrqe q E q ler commnqe n movement d ensemble. Ils engendrent alors n corant électrqe (cf.i). la descrpton d ne porton de crct électrqe comprse entre dex ponts et B fat donc appel à dex granders, d ne part l ntensté d corant, d atre part la dfférence de potentel U B = V V B entre et B. éfnton : On appelle tenson (électrqe) la dfférence de potentel entre et B. Elle s exprme, comme le potentel, en volts (V). Par conventon, la tenson U B entre les ponts et B se représente dans n schéma électrqe par ne flèche drgée vers le pont. B U B = V V B Qadr J.-Ph. PTSI http ://atelerprepa.over-blog.com/ 3

4 E1 III..R.Q.S Rq1 : U B > 0 V > V B : s ne tenson est postve, alors la flèche de tenson est dans le sens des potentels crossants. Rq2 : Les potentels V sont défns à ne constante près. Sele la tenson o dfférence de potentels a n sens physqe. II.2 Lo d Ohm Por de nombrex condcters, la tenson (= dfférence de potentels) entre les extrémtés d condcter est proportonnelle à l ntensté traversant le condcter : U B = V V B = RI B I B = GU B avec R = 1 G R est la résstance (en ohm, Ω) d condcter ohmqe et G la condctance (en semens, S). Cas partcler : condcter métallqe cylndrqe homogène, de longer l et de secton S : R = ρ l S avec ρ 1 γ { ρ s appelle la résstvté (en Ω.m) γ s appelle la condctvté (en S.m 1 ) Ordres de grander : condcter : ρ 10 8 Ω.m et γ S.m 1 : ρ = 2, Ω.m et ρ C = 1, Ω.m Por n solant comme le verre : ρ 10 6 Ω.m et γ 10 6 S.m 1. Q : Qelle est la résstance d n fl électrqe en cvre de damètre φ = 1 mm et de longer l = 1 m? Por n fl de même natre mas de damètre doble (φ = 2 mm)? l Rép. : R fl = ρ C S = ρ 1 C π( φ Ω et R 2 )2 fl Ω Conclson : La résstance d n fl de connexon est néglgeable devant les atres résstances d n crct : R fl 0 Ω U fl 0 V III pproxmaton des régmes qas-statonnares III.1 Régme permanent et régme varable éfnton : On parle de résea en régme contn a (o statonnare o permanent) lorsqe les granders (ntensté, corant, charge...) sont ndépendantes d temps. On note de telles granders par des majscles (I, U B, Q 0...). Un résea électrqe fonctonne en régme varable lorsqe les granders q l sont assocées varent a cors d temps ((t), (t), q(t)...). a. ce terme n a acn rapport avec la contnté mathématqe. III.2 pproxmaton des régmes qas-statonnares Q : Sot le crct c-contre. Le condensater C est ntalement déchargé. près la fermetre de l nterrpter K, les ampèremètres vont-ls ndqer, à chaqe nstant, la même valer de l ntensté? Rép : en tote rger, non. Car l expérence montre qe l ntensté (la tenson, et totes lers manfestatons) sont des granders q se propagent avec ne vtesse énorme (c c 0 = m.s 1 ) mas avec ne vtesse fne. 4 http ://atelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI M (t) M K N (t) N E C R

5 IV. Los de Krchhoff E1 ns, en tote rger, N (t) est en retard sr l ntensté M (t) : N (t) = M (t τ), où τ est la drée de propagaton d sgnal électrqe de M à N. Q : Portant, en régme varable (snsoïdal le pls sovent) nos consdérerons qe l ntensté est la même en tos ponts d ne même branche, sos certanes condtons. où la qeston : à qelle condton pet-on parler de l ntensté dans ne branche d n crct, c est-à-dre, à qelle condton a-t-on : M (t) N (t)? Rép : Une étde complète nécesste le cadre de l Électromagnétsme et sera abordée en Math. Spé. Mas nos povons retenr qe cela nécesste qe la drée de propagaton τ = MN sot c néglgeable devant les drées caractérstqes d régme étdé (temps de relaxaton lorsqe le sgnal est transtore, o pérode lorsqe le sgnal est pérodqe). L approxmaton des régmes qas statonnares (RQS) o qas permanents (RQP) revent à néglger tos les effets lés à la propagaton des sgnax électro-magnétqes sos forme de tenson o de corant. lors, l ntensté est la même en tos les ponts d ne branche d n crct : M (t) = N (t) = (t) Condtons de l RQS por n sgnal snsoïdal : λ l T τ f 1 τ avec τ = l c - l est la dmenson caractérstqe d crct (longer d n fl de connexon) - τ est la drée caractérstqe de propagaton des sgnax. - T est la pérode d sgnal snsoïdal, f = 1 T sa fréqence et λ = c.t sa longer d onde. Ordre de grander : En pratqe, a laboratore, l 1 m τ = l c s = 3 ns. Et la condton : T τ f < 1 τ = Hz. Conclson : por 0 Hz < f < 1 MHz Hz, on est dans l RQS a laboratore. lors la mesre de l ntensté dans ne branche a n sens. Cec revent à travaller avec des sgnax de pérode : T > 1 f max = 10 6 s = 1 μs. IV LOIS E KIRCHOFF IV.1 Vocablare Fl de connexon : fl dont la résstance est néglgeable devant les atres résstances d montage. Masse Sgnal : référence des potentels d n crct donné. ce potentel n est pas forcément constant dans le temps (mas ce n est pas grave psqe seles les dfférences de potentels nos ntéressent). Symbole :. Masse Carcasse o «Terre» : c est n pont de potentel constant. La carcasse métallqe d n apparel électrqe ayant vocaton à être relée à la terre par l ntermédare de la prse de terre et la Terre étant conventonnellement a potentel nl, la carcasse électrqe pet servr de référence des potentels. Symbole :. pôle : composant électrqe lmté par dex bornes, appelées encore «pôles». Mltpôles : composant électrqe dont l accès se fat par pls de dex bornes. En partcler : les qadrpôles. Sovent, les qadrpôles possèdent ne borne commne entre l entrée et la sorte. On branche n qadrpôle entre n dpôle d entrée («sorce») et n dpôle de sorte q on appelle dpôle d tlsaton o encore «charge». Qadr J.-Ph. PTSI http ://atelerprepa.over-blog.com/ 5

6 E1 IV. Los de Krchhoff Nœd : c est n pont d crct q est la borne commne à pls de dex dpôles (et/o mltpôles). Branche : ensemble de dpôles montés en sére et stés entre dex nœds. Malle : ensemble de branches formant n contor fermé q on ne pet parcorr en ne passant q ne sele fos par chaqe nœd ntermédare. Une malle est orentée arbtrarement! Malle élémentare : c est ne malle délmtant dans le crct n enclos connexe. Résea o Crct : système de condcters relés les ns ax atres (par des fls de connexon) q on pet analyser en terme de malles, nœds, branches... Exercce : ans le crct c-contre, tos les dpôles sont dentqes. Q : énombrer les branches (b) et nommer les malles élémentares (m) et les nœds (n). Rép : On compte : - b = 5 branches (atant qe d ntenstés) - m = 3 malles élémentares : (PECNP), (BCE) et (BCB). - n = 3 noeds :, B et C. ttenton : N, P et E ne sont pas des nœds. 2 1 P e B E 3 4 N = M C Physcens près des étdes effectées à Köngsberg, Gstav Krchhoff ensegne la physqe à Berln. À vngt ans, l établt les los q régssent les corants électrqes dans les crcts dérvés (1845). Pls tard, l élabore ne théore générale de l électrcté dans laqelle l ntrodt les notons de potentel scalare et de potentel vecter. Nommé professer à Bresla, l collabore avec son am R. Bnsen q l entraîne en 1854 à Hedelberg où ls effectent ensemble des travax remarqables. ans ne expérence célèbre de spectroscope des flammes, ls montrent qe les raes d n gaz pevent être nversées, brllantes à l émsson, obscres à l absorpton. Ils explqent ans le doblet nor d sodm observé en 1814 par J. Franhofer dans le spectre solare. Sr la base d n sel argment de thermodynamqe, G. Krchhoff établt en 1859 la proportonnalté entre le povor émssf et le povor absorbant des corps chads. Introdsant enste le concept de corps nor, l dentfe en 1862 ce cœffcent de proportonnalté avec la brllance d rayonne- Gstav Robert Krchhoff Köngsberg (llemagne) Berln 1887 ment thermqe. Il émet également l hypothèse qe les los d corps nor ne dovent dépendre qe de la températre, hypothèse q joe n grand rôle dans les recherches en ce domane à la fn d XIX e sècle. Il nvente n spectroscope q l tlse avec R. Bnsen por réalser en 1859 l analyse spectrale des composés chmqes. Cette méthode ler permet de décovrr pe après dex éléments chmqes noveax, le césm et le rbdm. Le thallm, l ndm et le gallm seront enste dentfés avec cette même méthode d analyse. IV.2 Lo des nœds ans les réseax et en régme varable, l n est pas tojors facle de connaître le sens d corant. On chost n sens arbtrare d corant por chaqe branche, le corant réel I étant algébrqe. Lo des nœds : En régme contn, comme dans l RQS, La somme des ntenstés des corants arrvant en n nœd N est égale à la somme des ntenstés q en repartent : j = allant vers N venant de N k 6 http ://atelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

7 IV. Los de Krchhoff E1 Exemple d applcaton : Sr le schéma c-contre, la lo des nœds a nœd N donne : somme des ntenstés arrvant en N = somme des ntenstés repartant de N Sot : = Q on pet encore écrre : = 0 Ce q condt a corollare svant de la lo des nœds : 5 1 N Corollare : En régme contn, comme dans l RQS, La somme algébrqe des ntenstés en n nœd est nlle : ε k k = 0 nœd en comptant : - postvement les ntenstés des corants arrvant en (ε k = +1) - et négatvement celles des corants repartant de (ε k = 1). IV.3 Lo des malles Lo des malles : En régme contn comme dans l RQS, La somme algébrqe des tensons prses le long d ne malle orentée est nlle : { εk = +1 s la tenson ε k k = 0 avec k est drgée dans le sens chos por la malle ε k = 1 snon malle Exemple d applcaton : Lo des malles por la malle orentée (CB) c-contre : = 0 4 = + 1 = B 3 = C Sot : + C + BC + B = 0 Corollare : lo d addtvté des tensons (o relaton de Chasles) : S, B et C sont tros ponts d n crct, alors : C = B + BC B 2 = CB C IV.4 pplcaton On reprend le crct étdé dans l exercce de IV.1. Q : Écrre totes les los des nœds et totes les los des malles élémentares. onnées : U PN = 12 V, U C = 3,6 V, U BC = U B 2, = 0,042 et 4 = 0,012. Q : étermner totes les ntenstés d crct, la tenson ax bornes de chaqe dpôle et le potentel de chaqe pont. Rép. : Los des nœds : Nœd : = (N 1 ) Nœd B : 2 = (N 2 ) Nœd C : = (N 3 ) = (N 1 )+(N 2 ) Los des malles : (PCNP) : U PN +U P +U E +U CE +U NC = 0 (M 1 ) (BCE) : U B +U CB +U EC +U E = 0 (M 2 ) (BCB) : U CB ( 4 )+U BC ( 3 ) = 0 (M 3 ) ex dpôles dentqes parcors par le même corant sont soms à la même tenson. onc : U E = U EC por la branche parcore par l ntensté 1. onc U C = U E +U EC = 2U E, sot U E = U EC = U C 2 = 1,8 V. Qadr J.-Ph. PTSI http ://atelerprepa.over-blog.com/ 7

8 E1 V. pôle et Pssance U P = U NC, sot (M1) e+2u P +U C = 0 U P = U CN = e U C 2 e pls, comme U BC = U B 2 U B = 2 3 U C = 2,4 V et U BC = U B 2 et U C = U B +U BC = 3,6 V, on en dédt : = 1,2 V. = 4,2 V Entre B et C, on a dex dpôle dentqes soms à la même tenson, donc : 3 = 4 = 0,012. La lo des nœds en B donne : 2 = 2 3 = 0,024. Celle en : 1 = 2 = 0,018. Par défnton de la masse, V N = V M = 0 V. La défnton de la tenson (U ab = V a V b ) permet d obtenr les potentels de tos les ponts : V P = 12 V V = 7,8 V V B = 5,4 V V C = 4,2 V V E = 6 V V IPÔLE ET PUISSNCE ÉLECTROCINÉTIQUE V.1 Caractérstqe d n dpôle éfnton : ex conventons por étder n dpôle : - et de sens opposés ( = B ) : - et sont de même sens ( = B ) : l s agt de la conventon récepter : l s agt de la conventon générater : B B B B éfnton : ex corbes permettent de caractérser n dpôle : - La corbe = () est la caractérstqe Tenson-Intensté. - La corbe = () est la caractérstqe Intensté-Tenson. Rqe : Tojors ndqer la conventon chose lorsq on trace ne caractérstqe () o (). Por cela, ndqer le symbole d dpôle et l ndcaton des sens de et à proxmté de la caractérstqe. Conventon récepter B B Conventon générater B B B. < 0 dpôle générater B. > 0 dpôle récepter B. > 0 dpôle récepter B. < 0 dpôle générater B. < 0 dpôle récepter B. > 0 dpôle générater B. > 0 dpôle générater B. < 0 dpôle récepter En conventon récepter, s l ntensté traversant le dpôle et la tenson à ses bornes ont le même sgne, alors le dpôle possède n caractère récepter. En conventon générater, s l ntensté traversant le dpôle et la tenson à ses bornes ont le même sgne, alors le dpôle possède n caractère générater. 8 http ://atelerprepa.over-blog.com/ Qadr J.-Ph. PTSI

9 V. pôle et Pssance E1 éfnton : On appelle : pôle Symétrqe : n dpôle dont le fonctonnement ne dépend pas d sens d corant. Exemples : résstance, condensater, bobne, thermstance... B R pôle d-symétrqe o encore dpôle «polarsé» : n dpôle dont le fonctonnement dépend d sens d corant. Exemples : dode, condensater électrochmqe, génératers... B Rq : la caractérstqe Intensté-Tenson (o Tenson-Intensté) d n dpôle polarsé n est pas symétrqe par rapport à l orgne O(0,0), d où le nom de «dpôle non-symétrqe». éfnton : pôle passf : dpôle ayant ne tenson nlle à ses bornes qand l n est parcor par acn corant : I = 0 U = 0 sa caractérstqe passe par l orgne. ans le cas contrare, on parle d n dpôle actf. Exemples : - dpôles passfs : dode, résstance. - dpôles actfs : générater de corant (I(U = 0) = 0) o de tenson (U(I = 0) = 0). V.2 Pssance reçe par n dpôle Qadr J.-Ph. PTSI http ://atelerprepa.over-blog.com/ 9