par Jacques RICHALET Directeur société ADERSA

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1 Commande prédictive par Jacqes RICHALET Directer société ADERSA 1. Les qatre principes de la commande prédictive... R Modèle interne Trajectoire de référence Strctration de la variable maniplée Rappel Éqation de commande Régime permanent Atocompensater Réglage Spécifications Compromis de réglage Contraintes Cas général Contraintes sr la variable maniplée Contraintes sr ne sortie dynamiqe Mise en œvre Système d premier ordre Système intégrater pr Commande partagée Dex actions exclsives Dex actions coopératives Évalation Avantages Inconvénients Pratiqe indstrielle Conclsion Références bibliographiqes L essentiel des réglations indstrielles sera tojors réalisé par des réglaters PID. Ils ont, qand ils s appliqent, ne efficacité remarqable, et n rapport prix/performance avec leqel il est difficile de rivaliser. Ils sont, por ces raisons, commercialisés sr ne échelle indstrielle mondiale et sont n otil de base classiqe de l indstrie de prodction. Mais ce réglater ne covre pas tos les besoins et ses performances s essofflent dans plsiers cas, citons : les processs «difficiles», non linéaires, instables, non stationnaires, à grand retard pr, et assi mltivariables ; lorsqe les performances exigées par l tilisater sont très tendes : forte atténation des pertrbations, errer de traînage nlle en porsite, réponse en temps minimal, ce qi amène à fonctionner sr des contraintes qi affectent soit les variables d action, soit des variables internes d processs. Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

2 COMMANDE PRÉDICTIVE Por la compréhension ltériere des conditions de mise en œvre de la commande prédictive, il est important de savoir qe l acceptation indstrielle d PID vient d fait q ne fois le matériel installé (capter, actionner), il sffit, sans étde préalable, de fixer qelqes valers de paramètres, sans grande réflexion o difficlté particlière, et q n essai expérimental sffit. L atomatiqe est alors l affaire des réglers. La sitation est tot atre avec la commande prédictive. Si les bocles élémentaires, d type réglation d débit par ne vanne, sont très efficacement traitées par le PID, il en est tot atre des bocles difficiles qi, en jste contrepartie, ont généralement n impact économiqe fort, ce qi jstifie la démarche. L atre composante, en pls de ce besoin de performance, qi a favorisé l éclosion de la commande avancée, se site sr le plan méthodologiqe avec l apparition des méthodes de modélisation et de simlation. Sr le plan techniqe, l accessibilité pls aisée ax calclaters nmériqes ssceptibles de réaliser des traitements algorithmiqes, mélangeant calcl et logiqe, inaccessibles à des organes prement analogiqes, a également considérablement facilité l introdction de ces méthodes de commande à base de modèle. La rptre entre l atomatiqe classiqe et la commande prédictive est dans le fait qe le réglater prédictif va être constrit sr la base d n modèle, q il va tiliser sr le site, en temps réel. Le modèle s est fait réglater. Le PID Smith à compensation de retard tilise également n modèle, mais il ne fait pas de prédiction d ftr. Remerciements : nos tenons à exprimer nos vifs remerciements à madame Nathalie Flget, enseignante à l ESISAR, Valence, qi a participé à la rédaction de cet article. 1. Les qatre principes de la commande prédictive Plsiers méthodes de commande prédictive existent. Il est normal q il en soit ainsi car les 3 nités indstrielles significativement pilotées par n réglater prédictif (1996) sont de natre variée. Des problèmes différents, traités par des aters d origine diverse, créent ne mltiplicité de soltions. Cependant, par la force logiqe de la démarche, si les soltions sont très overtes, la méthode s appie sr qatre principes niversels, axqels on doit se somettre, si l on vet tirer tos les avantages de cette commande. Décrivons ces qatre composantes. 1.1 Modèle interne La modélisation et l identification sont des sjets déjà abordés et sr lesqels nos allons nos appyer (cf. J. Richalet, Pratiqe de l identification, 1991, éditions Hermès) [9] [13]. Si l on était capable de modéliser parfaitement les processs et les signax, la commande serait qasiment rédite à n calcl en bocle overte. À l opposé, la bocle fermée a précisément été inventée por piloter essentiellement avec comme sele information, des mesres, sans intervention explicite de la connaissance d processs. Entre ces dex approches extrêmes, la commande par modèle tente de trover n moyen terme qi apporterait la performance recherchée, tot en ne nécessitant pas ne connaissance parfaite d processs, mais qi tiliserait qand même ne information de strctre d processs por obtenir des performances meilleres. Le modèle est le pls sovent embarqé explicitement dans le calclater de commande et por cela dénommé modèle interne. Le choix de la strctre d modèle dépend d processs et des spécifications de la commande. Il doit être capable de réaliser ne prédiction véritable d comportement ftr d processs, sos l effet d ne action spposée conne dans l avenir. Ce modèle pet être de connaissance o de représentation, sa forme est overte. Il pet être mathématiqe, o simplement logiqe, à base de règles, o même être constité d ne base de données expérimentales pls o moins brte. Dex types fondamentax de modèles internes existent : modèles indépendants où la sortie d modèle interne n est calclée q avec les entrées connes, mesrées, d processs (figre 1a) ; modèles réalignés (o recalés) où la sortie d modèle est calclée avec des sorties passées o des variables internes d processs, mesrées o estimées (figre 1b). Notons l entrée, et y M les sorties d processs P et d modèle, δ Nmes les pertrbations non mesrées, δ Mes les pertrbations mesrées. Prenons l exemple pédagogiqe simple d n système d premier ordre décrit par l éqation (1) dont la sortie discrète (n) ne dépend qe de la sortie précédente (n 1) et de l entrée (n 1) : ( n) = α ( n 1) ( 1 α) K ( n 1) (1) R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

3 COMMANDE PRÉDICTIVE δ NMes δ Mes M y M P a M 1 y M M 1 y M1 δ Mes M 2 M 2 a modèle indépendant b δ NMes δ Mes P M 1 y M M 1 M 2 c y M2 δ Mes M 2 Figre 2 Principe de décomposition b modèle recalé Figre 1 Modèle indépendant et modèle recalé Por calcler la sortie d modèle y M (n) qe l on vet simler, dex possibilités sont offertes : la sortie d modèle est exprimée avec la sortie passée d processs (modèle recalé) : y M ( n) = α M ( n 1) ( 1 α M )K M n ( 1) (2) o bien l éqation récrrente où y M (n 1) intervient donne (modèle indépendant) : y M ( n) = α M y M ( n 1) ( 1 α M )K M n ( 1) (3) On retrove là d aillers la différence entre la méthode d identification des moindres carrés et la méthode d modèle. La première ne nécessite pas de simlater, mais donne n résltat biaisé en général. La dexième nécessite d intégrer ne éqation grâce à n solver o n simlater, mais donne des résltats non biaisés. Les dex démarches ont ler intérêt a priori. En effet, si le processs est instable en bocle overte, il est clair qe la dexième soltion n est pas applicable, car la sortie d modèle divergerait. Par contre, elle laisse la liberté complète d choix de la strctre d modèle qi, sr n plan algorithmiqe, va joer le rôle d ne sosrotine, qi n a d atre argment qe l entrée, alors qe la première soltion exige de mesrer soit l état interne (techniqe d observation pe accessible dans l indstrie), soit les sorties passées si l on tilise ne représentation polynomiale, dont la robstesse nmériqe est faible dès qe l ordre d processs agmente et qe sa stabilité se dégrade. Principe de décomposition Considérons n système représenté par n transfert M avec n mode instable o mal amorti (figre 2a). On pet tojors le représenter sos la forme de dex systèmes stables M 1, M 2 (figre 2b). Le principe de décomposition consiste alors à remplacer dans le schéma 2b la sortie d modèle y M1 par la sortie d processs prise comme étant ne variable de tendance (figre 2c) (cf. 3). Si l on satisfait la condition : M = M 1 ( 1 M 2 ) (4) Les comportements des sorties y M et seront identiqes, dans le cas nominal ( objet modèle ). On a donc en fait ne représentation mixte qi n tilise qe la sortie mesrée et qi permet de n avoir qe des modèles stables, ssceptibles d être implantés. Une telle procédre permet de piloter des processs instables avec cependant la techniqe d modèle indépendant qi accepte n importe qelle représentation, entre atres celle d état, qi est la pls générale et la pls robste nmériqement. Cette décomposition est d tilisation très fréqente et tend à éliminer les méthodes avec modèles réalignés. Nos verrons a paragraphe 2.1 qe les méthodes avec modèles réalignés ont, de pls, l inconvénient majer de présenter ne errer de position si l on n y apporte pas ne correction spécifiqe spplémentaire. 1.2 Trajectoire de référence Le ftr de la sortie d processs est spécifié par l intermédiaire d ne trajectoire (figre 3), initialisée sr la valer mesrée o estimée de la sortie d processs, qi tend vers la consigne, qelle q elle soit, sivant ne certaine dynamiqe ; cette dynamiqe va ainsi définir, de façon évidente, le comportement en bocle fermée. En pratiqe, on se limite sovent à la trajectoire exponentielle qi a le mérite d être simple, de ne nécessiter q n sel point de mesre por être initialisée, et de donner n comportement désiré sans srtension. Ce choix se jstifie d atant pls qe le ftr proche est désensibilisé, par l introdction d n horizon de coïncidence (H 1 H 2 ). Il ne Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

4 COMMANDE PRÉDICTIVE Passé n Ftr C (n Consigne C ε (n) Trajectoire de référence y ref ε (n Sortie prédite P Sortie processs M Sortie modèle H y M H 1 H 2 Horizon de coïncidence Horizon de prédiction Figre 3 Trajectoire de référence et horizon de coïncidence s agit pas en effet de rechercher ne coïncidence à tos les instants ftrs, mais selement sr n certain nombre de points entre H 1 et H 2. Le premier intérêt de la procédre est de povoir piloter des systèmes à retard pr, en choisissant H 1 a-delà d temps de retard pr. Por n système sans retard, on pet, dans ne première approche, interpréter le choix de cet horizon sr la base physiqe sivante. Spposons qe l on choisisse n horizon cort H 1 = H 2 = 1, la sortie d processs va sivre la trajectoire de référence à chaqe pas d échantillonnage. On transforme alors le processs en n système d 1 er ordre, ce qi a por conséqence qe la commande va être très «active» por compenser tos les modes d processs. Par contre, si l horizon est très lointain, cela revient à ne commander qe le régime statiqe et la commande sera alors voisine d n échelon por n changement de consigne en échelon, mais les modes d processs en bocle overte apparaîtront complètement libres. Nos verrons qe ce choix d horizon a n impact sr la stabilité d processs. Piloter à cort terme engendre donc des actions de grande amplitde por des systèmes passe-bas, avec le cas extrême d système ayant n retard pr, où ne commande infinie rendrait le système boclé instable. La dynamiqe de la trajectoire de référence pet éventellement être variable dans le temps o sivant l état d processs. Elle est le facter qi va régler la dynamiqe en bocle fermée avec ne grande simplicité, directement interprétable par n importe qel régler. La méthode de commande consiste alors à transférer l incrément de sortie désiré d processs, P spécifié par la trajectoire de référence, vers n modèle mathématiqe qi va permettre de calcler ne commande qi réalise, sr ce modèle, le même incrément de sortie modèle M = P. Ce transfert de spécification est n élément clé de la méthode. Il sppose qe le système soit localement linéarisable, pisqe la commande ne sera calclée q avec cette valer, indépendamment de la valer absole de la sortie d processs, o de son état. La trajectoire de référence est prise exponentielle de décrément λ, elle relie le point corant de la sortie à la consigne C (n). A n point ftr, dit de coïncidence, pris à n H, on sohaite q il y ait égalité entre la trajectoire de référence et la sortie prédite d processs. Cette prescription est incrémentale, à savoir : on cherche n projet de variable maniplée tel qe la variation de la variable réglée soit égale à l incrément P de la trajectoire de référence, on a alors : Cn ( y Ref ( n = λ H ( Cn ( ) ( n) ) H 1 H H 2 y Ref ( n = ( n Cn ( ŷ P ( n H ) = λ H ( Cn ( ) ( n) ) Dans le cas où la consigne est constante C (n) = C : P = ( C ( n) ) ( 1 λ H ) = M = y M ( n y M ( n) Cet écart P prescrit, iss de la valer de la consigne et de la mesre de la sortie d processs, est alors transposé dans le monde d modèle mathématiqe M aqel on va demander de réaliser le même incrément sos l effet d ne action de commande à rechercher. (5) R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

5 COMMANDE PRÉDICTIVE 1.3 Strctration de la variable maniplée Rappel La soltion d ne éqation différentielle comporte dex termes, l n y F dit soltion forcée, l atre y L soltion libre. Prenons l exemple simple d n système d premier ordre : y M ( n) = α y M ( n 1) ( 1 α)k( n 1) La soltion libre, dite assi sans second membre, sppose ne entrée ftre nlle : y M ( ) = y n ( i) = i y L ( n i) = y M ( )α i La soltion forcée y F sppose qe les conditions initiales soient nlles, et qe le processs soit somis à ne entrée conne dans le ftr : y M ( ) = n ( i) y F ( n i) = K( 1 α i ) si n ( i) = 1 par exemple Par hypothèse de linéarité, on pet additionner les dex réponses por obtenir la réponse totale : y M ( n i) = y L ( n i) y F ( n i) La réponse totale dépend donc d passé sbi et d ftr qi dépend d réglater. Certaines méthodes s attachent à rechercher les commandes ftres de l instant présent à l instant H 2, avec H 2 degrés de liberté, a pls. Por les dex raisons sivantes, il est pls efficace de strctrer la commande, en la projetant sr ne base de fonctions : on limite le nombre d inconns N B en projetant le ftr sr ne base de fonctions UB K de dimension pls petite qe H 2 ; on limite a priori les discontinités, et le spectre de la commande, en limitant la dimension de la base, soit par exemple son ordre dans le cas d ne base polynomiale (développement de Taylor). La commande ftre sera donc exprimée sos la forme sivante : Nb n ( i) = K ( n)ub K () i K = 1 où les UB K sont dénommées fonctions de base. Chaqe entrée de base UB K indit ne sortie de base SB K conne a priori por n modèle donné. Si l on prend la base polynomiale, on a, par exemple, le schéma de la figre 4. UB = (t) UB 1 = (t).t UB 2 = (t).t 2 Figre 4 Entrées et sorties de base SB SB 1 SB 2 (6) La sortie forcée sera alors, par sperposition linéaire : Nb y F ( n i) = K SB K () i K = 1 Le choix des fonctions de base sera précisé ltérierement. Cette projection sr ne base a jstifié le nom de PFC (Predictive Fnctional Control) [1] Éqation de commande L incrément désiré P à n instant H ( H 1 H 2 ), spécifié par la trajectoire de référence, est alors transporté dans l espace d modèle aqel on demande d incrémenter sa sortie de la même valer. L incrément de sortie modèle est, par contre, complètement conn en fonction des sorties actelles y M (n), libre y L (n H ) et forcée y F (n H ) d modèle, qi est somis à ne entrée (n i ) dont on cherche la valer, soltion de l éqation : P = ( C ( n) )( 1 λ H ) = y L ( n H ) y F ( n y M ( n) Dans le cas élémentaire où la commande serait strctrée par ne sele fonction de base, spposée constante à l avenir (n échelon d amplitde à rechercher), et où n sel point de coïncidence à H serait considéré, on obtient alors la relation la pls simple q il soit : ( C ( n) )( 1 λ H ) = y L ( n n ( )SB ( y M ( n) (8) dont on extrait la valer (n), soltion. Le principe de l horizon glissant amène à recommencer cette opération identiqement à chaqe période d échantillonnage, ce qi pet srprendre. Il est classiqe d entendre : porqoi ne pas viser le point sivant H = 1, pisqe l on calcle à chaqe instant ne trajectoire qi ne sera pas sivie à case des pertrbations d état et de strctre qi affectent le processs? porqoi ne pas appliqer, a contraire, totes les commandes ftres, calclées, et ne calcler q n novea je de H 2 commandes totes les H 2 périodes? La réponse à ces qestions viendra a paragraphe traitant d «réglage». Dans le cas général, l horizon ne se rédit pas à n point de coïncidence, et il convient alors d tiliser n solver qi va, sivant les différentes variantes : minimiser n critère de distance entre la sortie prédite ŷ P ( n i) et la trajectoire de référence y Ref (ni ), critère le pls sovent qadratiqe car différentiable : H 2 C = [ y Ref ( n i) ŷ P ( n i) ] 2 i = H 1 amener la sortie prédite dans n canal donné δ (i ) spécifié ator de la trajectoire de référence, tot en respectant des contraintes sr la o les variables d action et/o sr les variables d état interne d processs. De nombreses propositions de solver existent, l introdction de contraintes compliqe grandement le problème et n compromis est à trover entre la pissance des organes de calcl disponibles, la sophistication de la soltion, et la cadence d échantillonnage. La commande d ne grosse nité de distillation pétrolière, mltivariable, contrainte, mais avec ne cadence d échantillonnage de 5 mintes ne sera pas traitée de la même façon qe la commande d n laminoir avec ne cadence de commande de 5 ms. Un compromis où ne dégradation de performance limitée, de à n solver approché, mais où la commande serait cependant implantable dans ne carte de commande économiqe, est à trover. (7) (9) Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

6 COMMANDE PRÉDICTIVE Régime permanent Il n y a pas d errer permanente, malgré la présence de pertrbations de strctre o de pertrbations d état constantes : C = ( ) impliqe qe : y L ( n y M ( n) = y F ( n Si nos sommes dans le cas d n modèle réaligné, cette éqation est satisfaite por tot système asymptotiqement stable : la réponse lâchée d n régime permanent vers est l opposée de la réponse forcée de à ce régime permanent. L éqation est cohérente car elle fait intervenir les variables isses d modèle et les paramètres d même modèle. En mélangeant mesres isses d processs et paramètres isss d modèle, l éqation de commande ne bocle pas à, ce qi fait qe les commandes à modèle réaligné présentent n biais, ce qi contribe encore à diminer ler intérêt pls académiqe q indstriel. R P F.E.P. R P M P M δ -- y M e (n) filtrage, estimation, prédiction réglater processs modèle F.E.P. ~ e (n 1.4 Atocompensater Figre 5 Atocompensater Le modèle interne étant embarqé dans le calclater de commande, il est a priori intéressant d observer la qalité de la modélisation en temps réel par l écart objet-modèle e( n) = ( n) y M ( n) et éventellement d exploiter ce signal por améliorer la commande (figre 5). Ce signal est en général non nl, por dex raisons essentielles : pertrbations d état : le processs physiqe est pertrbé par des entrées inconnes (δ ), qi indisent, de façon linéaire additive sr les variables d état d système, et entre atres sr la sortie, des écarts aléatoires (cople pertrbater sr n servomécanisme, perte thermiqe inconne non prise en compte sr n réacter chimiqe, etc.) ; pertrbations de strctre : le modèle étant tojors «fax», dans sa strctre qalitative, et/o dans la valer nmériqe de ses paramètres strctrax, les sorties d processs vont différer, même sans pertrbations d état (inertie d n système mécaniqe, coefficient d échange thermiqe d n réacter, etc.). Sivant ces dex hypothèses, les traitements vont être pltôt de natre : estimation de l état d processs, reconstrction des pertrbations, par des techniqes qi relèvent de la théorie des observaters, à spposer qe le modèle soit correct dans sa strctre ; identification en temps réel de la strctre, o pltôt réadaptation nmériqe des paramètres, ce qi relève des techniqes d ato-adaptation en temps réel. On voit là qe totes les méthodes ssmentionnées, abondamment étdiées théoriqement dans le passé, pevent à loisir s intégrer dans le schéma de la commande prédictive. En fait, ne approche simplifiée, intégrant implicitement les dex aspects, pet être proposée : les dex types de pertrbations étant tojors présents, il ne s agit pas dans le cadre restreint de l horizon de prédiction, qi nos intéresse ici, de faire ne détermination en temps réel des caractéristiqes spposées stationnaires d brit additif, o de réidentifier le modèle dans n schéma d ato-adaptation, mais de faire ne simple prédiction, à l instant n H, de l errer non stationnaire de modélisation, dite DOM, Différence Objet-Modèle sr n horizon glissant (figre 6). Il convient alors de faire ne estimation de l incrément de l errer de modélisation, terme qe l on va ajoter dans le membre de droite de l éqation de commande (7), qi va ainsi continer de se compléter. Elle devient alors : P = ( C ( n) )(1 λ H ) = y L ( n y F (n y M ( n) ( ẽ( n en ( )) (1) Figre 6 Correction de DOM d ordre 1 s e e (n) = DOM n -- H* n n H e entrée prédite s sortie prédite ~ 1 e (n Le problème revient alors à faire n filtrage, ne estimation et ne prédiction (F.E.P.) sr n horizon relativement cort, à chaqe instant réactalisées en état, d n signal monodimensionnel dans le cas d n processs monovariable. De nombreses techniqes sont disponibles, elles passent totes par les étapes sivantes : hypothèse sr la strctre d signal, c est-à-dire polynôme de degré N, o signal harmoniqe à M composantes, etc. ; calage de cette strctre sr n horizon passé (H*), par exemple par ne techniqe de minimisation qadratiqe... ; hypothèse qe, sr l horizon de prédiction, la strctre retene et les paramètres glissants identifiés sont constants ; initialisation de la strctre retene et extrapolation à l instant n H. On introdit alors en fait ne dexième bocle de retor comme le montre le schéma de la figre 5, à laqelle on va demander de rattraper des écarts basse fréqence, par exemple de type polynomial o fréqentiel. L estimater-prédicter risqe donc de provoqer des instabilités par boclage, s il est trop actif, commençant alors à joer n rôle éqivalent à celi de la bocle principale de rétroaction. On va donc, por ces raisons, demander à l atocompensater de ne rattraper qe des biais dynamiqement lents o des dérives. Un atocompensater harmoniqe à la fréqence ω δ crée ne absorption sélective à cette fréqence qi pet être de 2 db (figre 7). R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

7 COMMANDE PRÉDICTIVE δ db ω δ ω C ω R ω et d ne sortie ftre por laqelle on est amené à faire ne hypothèse de strctre (prédiction plate, figre 9) o polynomiale d ordre pls élevé. L incrément de sortie ( T ei ) est à ajoter dans le membre de droite de l éqation de commande. Cette procédre est très efficace, car étant en bocle overte, elle ne risqe pas de déclencher des instabilités ; elle repose sr la qalité d modèle. Elle est à tiliser por des pertrbations de fréqence moyenne, étant intile por des pertrbations qi seraient déjà dans la zone de réjection natrelle de la bocle ordinaire. Figre 7 Réjection de pertrbation 2. Réglage T ext P 2 T ei 2.1 Spécifications T cons Figre 8 Variable de tendance R T ext T ei Figre 9 Prédiction plate de l effet de tendance q P 1 R réglater T cons consigne q action T ei pertrbation ~ T ext Il convient de noter q n écart permanent est déjà natrellement compensé par la techniqe d modèle indépendant, qi contient implicitement n intégrater non exprimé explicitement, ce qi élimine d aillers élégamment les problèmes de satration d intégrater (wind-p). C est donc por des écarts, a moins strctrables par ne rampe, qe se jstifie la méthode. Dans le cas d n atocompensater fréqentiel, il convient de filtrer le signal d errer dans la zone spectrale d intérêt et de faire la prédiction d n signal harmoniqe à la fréqence choisie ω δ. Variable de tendance Un cas particlier de la démarche, très tile en pratiqe, est celi de la prise en compte des variables de tendance, définie comme ne pertrbation mesrable, mais sr laqelle on ne pet agir, par exemple : dans la réglation de la températre (T int ) d ne habitation, prise en compte de la températre extériere (T ext ). Spposons por simplifier qe ce soit l entrée mesrée d n processs conn modélisé, (figre 8) ; son effet incrémental sr la sortie est composé d ne sortie lâchée, qi est parfaitement calclable, Tei n -- H n n H ~ T ext températre prédite T int Tos les systèmes de commande doivent satisfaire trois principax types de spécification : précision, dynamiqe, robstesse. Précision Le système est asservi, c est-à-dire qe sa sortie doit être égale à ne consigne constante o variable dans le temps, malgré des pertrbations d état et de strctre : le réglater idéal serait celi qi se comporterait comme n filtre «passe-tot» por le signal de consigne, et «passe-rien» por totes les pertrbations. Dynamiqe Lors d n changement de consigne, le processs en bocle overte, qe l on sppose ici asymptotiqement stable, répond avec ne certaine dynamiqe, évalée classiqement par son temps de réponse à 5 %, (temps a-delà dqel le processs reste à ± 5 % de sa réponse asymptotiqe) : temps de réponse en bocle overte : TRBO. Le système boclé répondra en n temps dénommé temps de réponse en bocle fermée : TRBF. Le rapport TRBO/TRBF va joer n rôle important dans le réglage d réglater, amenant à des commandes srtensives o non. Une atre façon de spécifier les performances dynamiqes porte sr sa capacité de réjection des pertrbations, exprimées dans le domaine fréqentiel, et principalement, en pratiqe indstrielle, par le diagramme de Bode qi donne le rapport des modles entre ne pertrbation additive sr la sortie (δ) et cette sortie (y), en fonction de la fréqence (diagramme sovent appelé «colline», par sa forme caractéristiqe, figre 1). ω y δ ω y δ La fréqence de copre ω c montre q a-delà d ne certaine fréqence ω c, le réglater agmente l effet des pertrbations. On voit l importance de la position relative de cette fréqence par rapport a spectre des pertrbations additives d processs. δ db Figre 1 Réjection de pertrbation ω C ω R ω Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

8 COMMANDE PRÉDICTIVE Robstesse Il s agit là d être capable de fonctionner, avec ne stabilité assrée, malgré des désadaptations de la strctre d processs estimée lors d réglage initial d réglater. La difficlté fondamentale de l atomatiqe est qe ces spécifications sont contradictoires, elles s opposent, propriété vraie por totes méthodes. Le rôle de l atomaticien est de trover n compromis. Dans le cas d PID, agmenter le gain d réglater dimine, certes, l errer de traînage vis-à-vis d ne consigne en rampe, dimine également le temps de réponse, mais dimine assi la marge de stabilité, évalée par exemple par la marge de gain. L acceptation indstrielle d ne méthode de commande dépend de son apport en performance, mais assi de sa facilité de réglage, et de son aptitde à négocier ces compromis. La méthode de réglage optimale serait ne méthode «orthonormale», où chaqe spécification serait réglée par n sel paramètre, sans interaction sr les atres spécifications. Dans le cas de la commande prédictive, de qoi dispose-t-on? 1) Modèle : principe fondamental C est l essentiel d réglage, c est sr ce poste q est passé le pls de temps, et où sont les risqes de l opération. 2) Fonctions de base : précision On montre la propriété fondamentale sivante : Spposons qe le processs soit asymptotiqement stable et possède k intégraters, et qe la consigne C soit de la forme : d c C = c i t i i = Si l on choisit comme fonctions de base des polynômes de la forme : UB K () t = t K 1, K = 1, m avec m d c k il n y a pas d errer de traînage dans le cas nominal. Par exemple, n système de porsite avec n intégrater, somis à ne consigne paraboliqe (robotiqe, systèmes d armes...) sivra sans errer de traînage ne consigne «participative» paraboliqe, c est-à-dire conne sr l horizon de coïncidence, si l on prend comme fonctions de base, n échelon UB = t et ne rampe UB 1 = t 1 (performance très difficile à obtenir facilement avec tote atre techniqe de commande) figre 11. La précision apparaît alors aisée à spécifier, car les atres paramètres de réglage n ont pas d incidence sr elle, étant complètement décoplée. 3) Trajectoire de référence : dynamiqe La trajectoire de référence a ne signification immédiate à tot instant : si l on sppose le processs dans n état zéro et si l on appliqe n changement de consigne en échelon, la première trajectoire de référence, si elle était sivie parfaitement, fixerait la réponse dynamiqe d processs en bocle fermée. Il n en est pas exactement ainsi, car le principe d horizon glissant fait q à chaqe période d échantillonnage ne novelle trajectoire de référence est initialisée sr la sortie d processs pertrbé. Mais le temps de réponse effectif constaté et le temps de réponse de la référence sont voisins et varient dans le même sens. Comme nos l avons v, si le point de coïncidence était niqe et si à la période d échantillonnage sivante, le processs était sans pertrbation, sa sortie sivrait parfaitement la première trajectoire de référence exponentielle, transformant alors le processs en n système d 1 er ordre de réponse spécifiée. Inversement, si le point de coïncidence est très lointain, en fait sr le régime permanent, on pilote alors avec le gain statiqe d processs et, por n écart donné, le réglater répondra par n échelon, avec ne commande qi sera donc très «doce», proche de la sortie libre d n processs. Le choix de l horizon de coïncidence va donc avoir ne certaine inflence sr l allre de la variable maniplée et sr le respect de la spécification de la dynamiqe. 4) Horizon de coïncidence : robstesse Comme le raisonnement précédent le laisse entendre, l horizon de coïncidence a ne inflence majere sr la stabilité et la robstesse d processs boclé. Une analyse mathématiqe pls précise est ici nécessaire [1], totefois ne interprétation physiqe simple est possible. Prenons le cas des systèmes à retard pr et à déphasage non minimal (réponse inverse), figre 12. Avec ne fonction de base en échelon, il est clair qe l on ne pet spécifier ne réponse en bocle fermée avec n point de coïncidence qi tomberait avant le temps de retard pr H D (figre 12a). De pls, si le système est à déphasage non minimal, la réponse forcée, étant ici négative, amènerait à ne commande négative qi rendrait le système immédiatement instable (H > H D ). Le choix de l horizon de coïncidence est en fait déterminé par ne procédre d aide a choix qi vient compléter ces informations qalitatives, en analysant divers réglages. Por les processs asymptotiqement stables non srtensifs, avec ne fonction de base en échelon et n point niqe de coïncidence, on démontre la stabilité a priori, en choisissant H > H F (H F point d inflexion de la réponse indicielle d processs) (figre 12b). On montre également qe, dans ce cas, la performance dynamiqe (λ : décrément de la trajectoire de référence) et la robstesse, ici mesrée par la marge de gain MG, sont liées par la relation : ( 1 λ H ) MG = Cte y p Consigne 2.2 Compromis de réglage Errer de traînage = Sortie processs t Figre 11 Cible participative - porsite à errer de traînage nlle Nos avons v qe l on pet exclre des compromis de synthèse, la spécification de précision en régime permanent, obtene sans interaction avec les atres caractéristiqes. D ne façon générale, il convient, dans la relation liant la robstesse à la performance dynamiqe (figre 13), de déterminer le besoin en marge de stabilité, évalée par la marge de gain (MG) (facter mltiplicatif d gain d processs qi rend instable le système), o par la marge de retard (MR) (temps de retard pr négligé qi rend le système instable), o par la marge de stabilité absole (MRS), [distance la pls corte entre le point critiqe (, 1), d plan de Nyqist et le lie de transfert de la bocle fermée]. R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

9 COMMANDE PRÉDICTIVE y Si l on affecte 2 à l inflence la pls forte et à pas d inflence, on obtient le gide d tablea 1. Tablea 1 Réglage - Effet des actions Précision Dynamiqe Robstesse Fonction de base 2 Trajectoire de référence 2 1 Horizon de coïncidence 1 2 H D H y a réponse inverse Des réglages complémentaires sont possibles, concernant la présence d n terme d adocissement de variation de la commande (γ) qi intervient dans le critère (C ), mais il a ne interaction avec le temps de réponse : H F b réponse non srtensive Figre 12 Choix d point de coïncidence i H 2 C = ( ŷ P ( n h) y R ( n h) ) 2 γ [ ( k) ( n 1) ] 2 H 1 H 2 1 où (k) est la dérivée d ordre k de la commande, (11) y R la référence, γ n coefficient de pondération. Dans les cas élémentaires, tels qe décrits a paragraphe sivant, le lien entre les caractéristiqes d processs et les paramètres d réglater sont explicites ; dans les cas indstriels ordinaires, n logiciel de conception assistée par ordinater (CAO) est nécessaire (cf. P.F.C.). i = MG PCF PID 3. Contraintes 1 MG 1 MG 3.1 Cas général 1 TRBF/TRBO Figre 13 Compromis : marge de gain - dynamiqe Les spécifications sont très dépendantes d processs, par exemple : n asservissement d antenne, sos n dôme protecter, qi n est pas somis à des pertrbations aérodynamiqes et reste de strctre constante, devra satisfaire des performances dynamiqes très fortes : on choisira ne robstesse définie par ne marge de gain de 6 db, mais avec n rapport TRBO/TRBF entre 5 et 1 ; n for de traitement thermiqe qi pet fonctionner avec des charges très variables, présentant ne inertie thermiqe qi pet varier dans n rapport 1, va exiger ne très grande robstesse. Dex cas se présentent alors : o bien, por respecter n fonctionnement stable en totes circonstances, on choisit ne dynamiqe en bocle fermée assez lente (TRBO/TRBF=1), o bien, si les exigences de réjection de pertrbations sont fortes, on adapte en temps réel le modèle interne d réglater en fornissant l information de charge d for qi est probablement disponible dans le système de gestion de prodction, laissant à la robstesse passive le soin de prendre en compte tot ce qi serait trop difficile de receillir por des raisons techniqes o économiqes. Les nécessités de la commande indstrielle pevent être interprétées, dans ne formlation simplifiée comme sit : dans n temps donné, agir sr le processs de telle sorte qe, malgré des pertrbations d état et de strctre, son vecter d état soit à n instant n H dans n domaine spécifié, tot en respectant n champ de contraintes qi affecte ses actionners (limitations énergétiqes), et ses composantes d état (sorties dynamiqes). Le problème se pose clairement en terme de maîtrise permanente, à horizon fini, glissant avec le temps. Dex types de considérations sont à prendre en compte : à partir d moment où l on demande des performances élevées a système de commande, la probabilité de bter sr ne contrainte agmente. Il importe alors de connaître le domaine des contraintes, d avoir ne bonne robstesse et ne dynamiqe satisfaisante : problème essentiellement temporel, q il s agit de traiter impérativement à chaqe instant de façon non stationnaire ; l évalation a posteriori des caractéristiqes statistiqes de la réjection des pertrbations, comme moyen de qalification des performances, observées sr n horizon infini, présente également de l intérêt, en particlier por l indstrie de prodction contine qi va povoir en tirer directement ne information à signification économiqe et optimiser les conditions de marche des nités. La malchance est qe les commandes à horizon infini sont étdiables dans n environnement théoriqe pls confortable qe les commandes à horizon fini, qi sont, par contre, bien adaptées ax problèmes véritablement posés par l tilisater indstriel. La commande prédictive à horizon fini est donc en présence d n problème complexe de minimisation d n critère de qalité, tot en Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

10 COMMANDE PRÉDICTIVE respectant n champ de contraintes qi pet rapidement être de grande dimension. La minimisation qadratiqe sos contrainte d ne fonctionnelle, chapitre de mathématiqe appliqée abondamment étdié, pet être tilisée, de même qe les techniqes de programmation linéaire d type Simplex. Les soltions sont, là encore, très overtes. Elles sont lordes de mise en œvre et nécessitent beacop de calcls et sont, avec la technologie actelle, encore inaccessibles por le pilotage de systèmes rapides, mais d tilisation corante por les processs lents d type pétrolier. Nos traiterons ici, à titre d exemple, ne procédre approchée mais sffisamment simple por être implantée sr des cartes de commande élémentaire por des processs rapides. P 2 y 2 C 2 C 1 (b) (a) P 1 y Contraintes sr la variable maniplée Dès qe l on tend à agmenter les performances d n processs, on toche donc les limites des actionners (par exemple, corant maximm d n moter, débit maximm d ne vanne d alimentation, valers extrêmes, vitesse et accélération limitées, etc.). Une soltion simple, mais théoriqement non optimale, consiste à tiliser ne procédre de boclage intermédiaire qi alimente le modèle interne, non pas avec la valer calclée par l algorithme, mais avec la mesre de l action effectivement appliqée, qelle qe soit son origine : commande manelle, atre réglater, valer limitée a priori après le calcl de la commande, etc. Notons a passage qe cette procédre assre des transitions sans à-cops, appréciées des opératers. Le modèle y M est calclé avec l action appliqée A : y M = y M ( A ( n) ) Dans l éqation de commande (7), on trove alors les termes «sortie modèle» et «sortie lâchée», calclés correctement avec ne entrée d modèle effectivement contrainte, qi donne ne commande qi va être passée à travers n limiter (figre 14), mais calclée à l instant corant. Procédant ainsi, le processs, v d réglater, reste linéaire et la prédiction est correcte ; cependant, la commande n est qe sosoptimale, car les limitations qi pevent intervenir sr la commande dans le ftr, et non pas niqement instantanément, ne sont pas prises en compte. L expérience montre qe la perte d optimalité est en général faible, alors qe la procédre est simple, ce qi jstifie sa large tilisation. 3.3 Contraintes sr ne sortie dynamiqe Il n est pas possible dans ce cas d éviter la prise en compte d ftr. La stratégie sos-optimale proposée ici est tilisée por sa facilité de réglage. Soit donc n processs P 1 à piloter tot en respectant ne contrainte Max sr le processs dynamiqe P 2, par exemple : régler la températre profonde d ne pièce dans n for de traitement tot en respectant n gradient spatial o temporel de sa températre de srface. R A P Figre 15 Commande avec contrainte d état La procédre consiste à faire implicitement le scénario sivant (figre 15). 1) calcler la commande d réglater R 1 qi tend à satisfaire la prescription de la trajectoire de référence, pis prédire par le modèle interne de P 2 le comportement de la sortie de P 2. 2) cela est fait en considérant qe l incrément de la sortie d processs est égal à l incrément conn de la sortie d modèle calclé de façon habitelle. Dex cas se présentent : a) la sortie prédite ne viole pas la contrainte sr l horizon de coïncidence. Le projet est alors acceptable (figre 15a) ; b) la sortie prédite viole la contrainte et, dans ce cas, le miex qi pisse être fait est de faire tendre la sortie de P 2 vers la contrainte C 2, sans dépassement, à l aide d n réglater R 2 avec (figre 15b) : valer de consigne de P 2 = valer de contrainte C 2 et y 2 La mise en œvre consiste alors à avoir en permanence dex réglaters qi fonctionnent en permanence avec les dex consignes (P 1, consigne), (P 2, contrainte), avec des modèles internes alimentés par la variable maniplée effectivement appliqée, ce qi garantit ne commtation sans à-cops. Un sperviser fait alors, dans n ordre hiérarchiqe défini, le test de la prédiction d projet de l atre réglater. La méthode pet s étendre facilement à plsiers contraintes dynamiqes par n système voter (figre 16), qi va sélectionner la commande qi satisfait (o viole moins) les diverses contraintes. Elle doble ici le nombre de réglaters, mais la procédre a ne complexité qi n est qe répétitive et linéaire avec le nombre de contraintes, ce qi jstifie son sccès indstriel. 4. Mise en œvre Nos traitons ici complètement dex exemples : n système d premier ordre et n système intégrater pr, d ne part parce qe l on rencontre en fait sovent des processs qe l on pet approximer par ce type de modèle, d atre part parce q ils ont ne valer pédagogiqe certaine. Tos les calcls pevent être faits à la main, démontrant ainsi clairement tote la mise en œvre de la procédre, qi, dans le cas de processs pls complexes, nécessitera de passer par ne CAO por obtenir les éqations d réglater. 4.1 Système d premier ordre Figre 14 Limitater sr la variable maniplée M y M On considère n processs de fonction de transfert : K Hp ( ) = Tp R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

11 COMMANDE PRÉDICTIVE C 1 M 1 1 Sperviser P 1 y 1 P 2 y 2 C 2 M 2 2 Processs Figre 16 Commande contrainte avec sperviser Caractéristiqes choisies por la commande prédictive PFC : consigne ftre constante : C (n) ; fonction de base : échelon ; trajectoire de référence (exponentielle) de décrément logarithmiqe λ = exp ech T où T R = TRBF/3 est la constante de temps T R de la trajectoire de référence et T ech est la période de commande ; n point de coïncidence à H. 1 ) Expression de la sortie lâchée d modèle y L (n H ) et de la sortie forcée y F (n H ) Le modèle est représenté par l éqation sivante : Si la fonction de base est n échelon, on a donc : (12) La réponse d n système d premier ordre à ne fonction échelon à l instant n H est la somme de la réponse lâchée (y L ) et de la réponse forcée (y F ) de ce système : 2 ) Expression de la trajectoire de référence y R (n Ralliement de la trajectoire de référence à la consigne avec ne dynamiqe d premier ordre : por le point de coïncidence H : Por ne consigne constante : d où : y M ( n 1) = α M y M ( n) K M ( 1 α M )n ( ) y L ( n = α H M y M ( n) y F ( n = K M ( 1 αh M )n ( ) y M ( n = y L ( n y F ( n Cn ( y R ( n = λ H [ Cn ( ) ( n) ] Cn ( = Cn ( ) y R ( n = Cn ( ) λ H [ Cn ( ) ( n) ] 3 ) Expression de la sortie processs prédite ŷ P ( n ŷ P ( n = y M ( n ( ( n) y M ( n) ) 4 ) Expression de la variable maniplée (n ) L éqation de commande est obtene à partir de l éqation : y R ( n = ŷ P ( n soit en tilisant les éqations précédentes : Cn ( ) λ H [ Cn ( ) ( n) ] ( n) = y M ( n y M ( n) Cn ( )( 1 λ H ) ( n) ( 1 λ H ) y M ( n) ( 1 αh M ) = K M ( 1 αh M )n ( ) d où : [ Cn ( ) y n ( ) P ( n) ]( 1 λ H ) 1 = y (13) K M ( 1 αh M ) K M ( n) M ce qi pet être représenté par la figre 17. La trajectoire de référence caractérisée par λ dans l éqation établie intervient comme n facter (1 λ H ) de l écart consigne C (n ) sortie processs (n ). On constate q il n y a pas d intégrater explicite et par conséqent q il y a sppression d problème de satration (PID). 5 ) Transfert liant la commande à l écart (C ) et à la consigne Nos avons : et d où : soit : y M = H M ( δ = ) ( C y P )( 1 λ H ) 1 = y K M ( 1 αh M ) K M M ( K M ( C ) 1 λh ) = ( αh M ) H M ( K ( M H M ) ( C ) 1 λh ) = ( 1 αh M ) ( 1 λ H ) 1 = C ( 1 αh M ) H M ( z) (14) On retrove donc n intégrater implicite entre l écart 1 z 1 ( C ) et la commande. K M H M K M ( 1 α M )z 1 = α M z 1 ( 1 λ H ) 1 α M z 1 = C ( 1 αh M ) K M ( 1 α M z 1 ) K M ( 1 α M )z 1 ( 1 λ H ) 1 α M z 1 = C ( 1 αh M )K M 1 z 1 Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

12 COMMANDE PRÉDICTIVE δ C λ H 1 -- α H M K M K 1 Tp K M. (1 -- α M ) z α M z --1 y M 1 K M Figre 17 Commande éqivalente (n) Amplitde maximm Amplitde minimm Figre 18 Prise en compte de contraintes d amplitde Temps (o n) 6 ) Prise en compte de contraintes Contrainte d amplitde Une contrainte d amplitde se tradit, a point de ve des éqations de commande, par l introdction d ne inégalité spplémentaire. Celle-ci fixe ne limite (maximale o minimale) qe la variable d action ne pet pas dépasser : exemple : 2, n ( ) 15,, ce qi impliqe la prise en compte de dex inégalités (figre 18). Contrainte de vitesse Une contrainte de vitesse limite l amplitde de la variation de la variable d action entre dex instants conséctifs, séparés par ne période d échantillonnage T ech. Cette contrainte correspond à ne contrainte d amplitde sr la dérivée de (n ). n ( ) n ( 1) Sos forme de représentation discrète : V T max ech dans le cas d ne contrainte sr l accroissement, o encore n ( ) n ( 1) V, dans le cas d ne contrainte minimale. De T min ech même qe la contrainte d amplitde, la contrainte de vitesse se tradit par la prise en compte d ne inégalité spplémentaire (exemple : n ( ) V max T ech n ( 1) ). Il est à noter qe la valer de la variable maniplée (n 1) tilisée por calcler la sortie modèle est celle résltant de la prise en compte des contraintes. Prise en compte des contraintes dans l algorithme de commande algorithme sans contrainte : initialisation débt bocle sr n acqisition de (n ) et de C (n ) calcl de y M (n ) = f (y M (n 1), (n 1)) calcl de (n ) = f (, C, y M,...) fin bocle sr n algorithme avec ne contrainte de vitesse et ne contrainte d amplitde : initialisation débt bocle sr n acqisition de (n ) et de C (n ) calcl de y M (n ) = f (y M (n 1), (n 1)) calcl de (n ) = f (, C, y M,...) (1) si n ( ) > n ( 1) V max T ech alors n ( ) = n ( 1) V max T ech (2) si n ( ) > U max alors (n ) = U max fin bocle sr n Les dex novelles lignes (1) et (2) de ce dernier algorithme mettent en évidence la possible modification de la valer de la variable d action (n ). Il fat remarqer qe le calcl de y M (n ) prend en compte, lors de chaqe itération, l éventelle limite imposée à (n ), calclée lors de la précédente itération. On obtient por n changement de consigne le comportement de la figre 19. 1,5 (n) Temps (nités arbitraires) Variable maniplée 1,8,6,4 c (n) (n) = y M (n), Temps (nités arbitraires) Consigne c, sorties modèle et processs Figre 19 Techniqe PFC, premier ordre, avec contraintes de vitesse et d amplitde (nités arbitraires) R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

13 COMMANDE PRÉDICTIVE Figre 2 Décomposition 4.2 Système intégrater pr Considérons le système de fonction de transfert : Décomposons-le en 2 systèmes (figre 2) où (α < 1 arbitraire) : On vérifie bien qe : Dans le cas nominal, on remplacera y M de la figre 2 par. Éqations de commande : Les caractéristiqes de la commande PFC sont : consigne constante : C (n ) ; fonction de base échelon ; trajectoire de référence ; point de coïncidence H ; prédiction plate écart objet-modèle. Éqation de prédiction : avec : G y M = M 1 M 2 Hz ( 1 ) M 1 ( z 1 ) y1 y 2 G z = z 1 z = α z 1 M 2 ( z 1 ) = ( 1 α)m 1 ( z 1 ) M 2 ( z 1 ) ( 1 α)z = α z 1 y M = G M 1 y M M 2 y M ( z 1 )( 1 M 2 ) = G M 1 y M ( z 1 ) y M ( z 1 ) GM 1 GM = = M 2 1 ( 1 α)m 1 y M Gz 1 Gz = αz 1 ( 1 α)z 1 = z 1 y R ( n ŷ P ( n = y R ( n = Cn ( λ H [ Cn ( ) ( n) ] ŷ P ( n H ) = y M ( n ( n) y M ( n) avec avec Soit : L éqation de prédiction devient : avec : y M1L ( n = α H y M1 ( n) y M1F ( n G 1 = αh 1 α n ( ) y M2 ( n = y M2L ( n y M2F ( n y M2L ( n = α H y M2 ( n) y M2F ( n = ( 1 α H ) ( n). ŷ P ( n α H y M1 ( n) G 1 = αh 1 α n ( ) α H y M2 ( n) ( 1 α H ) ( n) y M ( n) [ Cn ( ) ( n) ]( 1 λ H ) α H y M ( n) G αh n ( ) 1 α ( 1 α H ) ( n) y M ( n) = G αh 1 α n ( ) = [ Cn ( ) ( n) ]( 1 λ H ) n ( ) ( α H 1)y M ( n) ( 1 α H ) ( n) ( 1 α) ( 1 λ H ) 1 α = G 1 α H [ Cn ( ) ( n) ] [ y G M ( n) ( n) ] y M ( n) = y M1 ( n) y M2 ( n) y M1 y M2 ( n) = α y M1 ( n 1) G( n 1) ( n) = α y M2 ( n 1) ( 1 α) ( n 1) S il n y a pas d errer de modélisation H M = H P, cela impliqe y M =. L expression de la variable d action devient : ( 1 α) ( 1 λ n ( ) H ) = G ( α H [ ) Cn ( ) ( n) ] En porsivant les calcls, on trove qe dans le cas nominal (H M = H P ), le système en bocle fermée se comporte bien comme n système d premier ordre, de gain nitaire et ayant por décrément celi de la trajectoire de référence λ rejetant complètement les pertrbations additives constantes sr la sortie (figre 21). Dans le cas d n système intégrater avec retard pr, on obtient, por n changement de consigne, le comportement de la figre Commande partagée Donnons ici n exemple d overtre de la commande prédictive, montrant sa capacité de s adapter à n environnement particlier. où : et : y M2 y M1 y M ( n) = y M1 ( n) y M2 ( n) ( n) = αy M1 ( n 1) G( n 1) ( n) = αy M2 ( n 1) ( 1 α)y M ( n 1) y M ( n = y M1 ( n y M2 ( n y M1 ( n = y M1L ( n y M1F ( n 5.1 Dex actions exclsives Il arrive sovent qe l on dispose de plsiers variables d action por piloter la sortie d n processs somis à plsiers actionners de natre différente (gain statiqe, dynamiqe). C est typiqement le cas de la commande des réacters chimiqes où, por chaffer le flide caloporter, l on dispose par exemple d n crayon électriqe alors qe, por le refroidir, il fat passer par n échanger thermiqe. La soltion classiqe avec n réglater PID est de considérer qe l on a n sel actionner et de régler n PID sr n processs Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

14 COMMANDE PRÉDICTIVE 1,5 --,5 (n) Temps 1,5 1,5 c (n) (n) = y M (n) Variable maniplée Temps Consigne c, sorties modèle et processs Figre 21 Techniqe PFC : intégrater pr, avec pertrbation sr l entrée y commande, on déclenche des oscillations de pompage d flide caloporter, alors qe la températre d réacter reste encore relativement correcte, tandis qe la dimintion escomptée d temps de réponse n est pas obtene. La difficlté vient de ce qe, lors de la commtation d n organe à l atre, les sorties lâchées des dex systèmes ne sont pas prises en compte, alors q avec PFC, il n y a pas de difficltés particlières. L éqation de commande comporte alors 2 sorties lâchées et forcées (à droite), alors qe les sorties lâchées et sorties modèles sont tojors actives. A chaqe échantillonnage, on calclera d abord ne action, l atre étant mise à ; si le résltat est positif, elle est appliqée, sinon c est l atre action qi le sera. On note y LF, y MF, y FF les sorties lâchées, modèle et forcées froides et y LCH, y MCH, y FCH les sorties lâchées, modèle et forcées chades. Calcl de CH : ( C )( 1 λ H ) = y LCH ( n y MCH ( n) y LF ( n Calcl de F : ( C ) 1 λ H y MF ( n) CH ( n)s FCH ( n ( ) = y LCH ( n y MCH ( n) y LF ( n y MF ( n) F ( n)s FF ( n Chaqe action pet également être passée dans n limiter et fornir ainsi ne commande agissant sr contrainte. L on gagne alors en performance et, ce qi est pet-être encore pls apprécié, en commodité de réglage. 5.2 Dex actions coopératives,8,6,4,2 (n) Temps 1,8,6,4 c (n) y may (n) Variable maniplée (n) = y M (n), Temps y may sortie modèle non retardée Consigne c, sorties modèle et processs Figre 22 Techniqe PFC : intégrater pr, avec retard pr (nités arbitraires) «moyen», intermédiaire entre les dex processs réels, de coper en dex le champ d action : de % à 5 % de l atorité de commande, l action sera aigillée vers le «froid», et a-delà vers le «chad» (figre 23). S il s agit d ne réglation pe exigeante, n réglage moyen robste, donc mo, donnera satisfaction ; mais, dès qe l on vet diminer le temps de réponse, tirer le maximm d système de Un atre cas est celi où l on dispose de dex actionners qi vont agir ensemble en permanence, mais qi ont encore des caractéristiqes différentes. Par exemple, l n a ne grande atorité de commande mais ne dynamiqe lente, à laqelle on va demander de contrer les pertrbations à basse fréqence et de tenir le régime permanent, alors qe l atre a ne dynamiqe rapide mais ne excrsion faible. Le bt est alors de faire tendre la variable d action rapide vers 1, a milie de sa plage d action, por contrer les pertrbations à hates fréqences, alors qe l action lente tient le régime permanent. Le risqe avec ne soltion PID est d avoir ne commande non coopérative, à savoir l action lente contrerait l action rapide qi li serait opposée. La soltion PFC consiste à modifier le critère de commande (1) en introdisant n terme spplémentaire de satisfaction de l objectif, et de faire tendre 1 vers 1, alors q en régime permanent, 2 est stabilisé : C = H 2 H 1 [ y Ref ( n) ( n) ] 2 λ 1 [ 1 ( n) 1 ( n) ] 2 H 2 H 1 H 2 λ 2 [ 2 ( n) 2 ( n 1) ] 2 H 1 Le critère est nl si, et selement si : satisfaction de la trajectoire de référence : y Ref ( n) = ( n) 1 tend vers sa valer de repos idéale : 1 (n ) = 1 2 se stabilise à ne valer qi va contrer les pertrbations 2 (n) = Cte En dérivant l expression d critère par rapport à 1 et 2, on montre qe la soltion obtene est éqivalente, d ne part, à ne considérer q ne variable d action passée à travers dex filtres complémentaires : F 2 = 1 ( 1 τp) et F 1 = τp ( 1 τp) et, d atre part, à attriber la sortie d filtre passe-bas F 2 à l action lente et la sortie d filtre dérivater F 1 à la variable d action rapide qi doit tendre vers 1 (figre 24). R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

15 COMMANDE PRÉDICTIVE CH Chad -- PID -- P F Froid Figre 23 Commande partagée exclsive R 6. Évalation Qestion sovent posée à jste titre par n atomaticien indstriel, familier de commande classiqe PID : qels sont les avantages et inconvénients comparés de la commande prédictive par rapport ax techniqes classiqes? Une expérience de longe date, dans de nombrex secters, permet de présenter objectivement les performances et limites de la commande prédictive. 6.1 Avantages 1 1 = Figre 24 Commande partagée coopérative F 1 PH F 2 PB a) Pissance Tot système théoriqement commandable, monovariable, mltivariable, linéaire o non, stationnaire o non, avec contraintes diverses, pet être piloté par cette techniqe. Si l on doit tojors exploiter a maximm totes les particlarités de chaqe processs, la procédre de mise en œvre reste la même por tot processs. La méthode est génériqe et permet totes sortes d extensions, nos en avons v qelqes-nes (commandes partagées, par exemple). b) Insensibilité Fondamentalement, tote commande revient à inverser le processs à régler, ce qi amène à introdire des «zéros» dans le réglater, sorce d ne grande sensibilité ax brits divers qi affectent les mesres. La spécification d errer nlle en régime permanent impose également d avoir n intégrater dans ce réglater, sorce de problèmes de commtation et de désatration. Si implicitement ces fonctions sont satisfaites, elles ne le sont pas explicitement, ce qi élimine ainsi ne grande sensibilité ax brits et les problèmes de gestion de l intégrater. P 1 P 2 c) Contraintes (entrée-sortie) C est la caractéristiqe fondamentale et niqe, qi en fait tot l intérêt indstriel. La prise en compte des contraintes pet se faire de façon complète o approchée sivant l optimalité recherchée et les moyens de calcls disponibles. d) Tendance La prise en tendance d ne pertrbation mesrée ne pet se faire qe si l on se donne n rendez-vos dans le ftr, ce qi impose en fait le schéma prédictif. Facile à mettre en œvre, stable car en bocle overte, cette possibilité est à tiliser dès q elle est possible. Elle permet de diminer les écarts de réglation tot en ne compromettant pas la robstesse. e) Précision La projection de la commande sr ne base ftre permet de ne pas avoir d errer de traînage sr ne consigne qelconqe conne o estimée sr l horizon de coïncidence : propriété très appréciée des éqipements réalisant des asservissements de porsite. f) Compromis dynamiqe - stabilité Acne commande n est robste par natre. Cette propriété s oppose ax performances dynamiqes et le bt est de «casser» le caractère fatal de cette opposition. La démarche professionnelle honnête est de laisser le concepter choisir entre ces dex exigences en li présentant les termes d compromis. g) Professionnalisme Étant systématiqe et rationnelle, la commande prédictive est ssceptible de rentrer dans le cadre d ne démarche de CAO, capable d attaqer des problèmes indstriels de grande dimension. Docmentée à totes les étapes, car partant d n modèle, elle est donc transférable et facile à maintenir par la jstification explicite de ces choix. Cependant, elle laisse la porte overte à totes «astces» spécifiqes qi vont valoriser l ater. h) Diagnostic Le modèle est disponible en ligne. La comparaison entre les sorties o états d modèle et d processs permet d aller pls loin qe le simple atocompensater ici exposé. Une analyse possée pet condire ax techniqes de diagnostic, de maintenance prédictive selon état, etc., qi contribe fort à la dimintion d démérite. 6.2 Inconvénients Ils sont la contrepartie normale des avantages, dex aspects opposés de la même caractéristiqe fondamentale isse de la modélisation. a) Nécessité d n modèle : difficlté scientifiqe Il fat faire explicitement ne réflexion de modélisation. Celle-ci pet être complète et débocher sr n modèle de connaissance, o rapide et se contenter d n modèle de représentation (boîte noire). Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle R

16 COMMANDE PRÉDICTIVE Elle est le pls sovent intermédiaire et nécessite de mettre en œvre des otils de simlation et d identification. Modéliser présente tojors n risqe pisqe le prodit final (éqations mathématiqes) est par natre hétérogène avec les données de base. b) Pissance de calcl : difficlté techniqe Par rapport à n PID classiqe, il est clair qe, s il pet s appliqer, son rapport «pissance de calcl/performance» est bien spérier. Même dans le cas de réglater mis sos forme compacte, le nombre d opérations agmente avec l ordre d processs et la prise en compte des contraintes. L optimalité a n coût, interdisant l emploi de la méthode dans des organes frstres de calcl, por certains processs très rapides. L espoir qe les progrès de la technologie électroniqe permettent de disposer de calclaters de pls en pls performants est à modérer par les exigences de pls en pls grandes demandées ax systèmes de commande qi satreront éternellement les possibilités offertes. L tilisation en temps réel de modèle de connaissance (déjà possible dans certains cas), qi apportera ne robstesse active remarqable tant en état q en strctre par ne adaptation natrelle à l environnement, est très exigeante en pissance de traitement (mémoire, temps de cycle). c) Novelle démarche : difficlté indstrielle Après les inconvénients scientifiqes et technologiqes, voyons maintenant les modalités indstrielles de mise en œvre, liées ax strctres de l entreprise. Les répartitions de responsabilité étaient aparavant bien clairement distribées dans l entreprise. L atomatiqe était l affaire des réglers : instrmentation, actionners, capters, maintenance et calclaters, fonction essentiellement perçe par le reste de l entreprise par sa partie matérielle visible. Le prodcter, spécialiste d processs, connaît son système dans ses aspects matériels, fonctionnels, logiqes, etc., et tilise, en tant qe de besoin, les services d «régler». Il est pls sociex d optimalité de marche qe de réglation dynamiqe, alors qe l atomaticien, fonction horizontale de l entreprise, n a pas à connaître tos les processs. L atomatiqe à base de modèle nécessite, par contre, ne coopération certaine entre ces dex acters, qi pet, por totes sortes de raisons dépassant le cadre techniqe qi est ici le nôtre, se mettre en place o non. L atomatiqe avancée est n projet de l entreprise et qi ne pet être entrepris sans prise de conscience et désir de travailler dans ce novel environnement cltrel. Le personnel doit alors avoir ne formation complémentaire portant sr la modélisation, l identification, la simlation et la commande avancée, dont certains déciders aront pet-être encore, pendant n certain temps, des difficltés à en apprécier l tilité. 7. Pratiqe indstrielle Qelles sont les étapes q il convient de sivre por attaqer n problème de commande indstriel avec ce type de stratégie de commande? Décrivons ici totes les étapes possibles. Elles pevent, sivant les cas, être banales o critiqes. a) Première approche Il s agit de récpérer, à n nivea pls qalitatif qe qantitatif, totes informations sr le système à piloter. Il fat conslter la littératre sr le sjet, les «experts», l expérience des tilisaters, à tot nivea, etc., et receillir des données objectives, avec des tests simples por se familiariser avec la natre des signax : variables d action, de tendance, à régler. La natre des processs (stables, intégraters, mono o mltivariables, retard pr, etc.), variation de la strctre sivant les conditions de marche, contraintes diverses, etc. Première tentative de mise en correspondance entre des faits expérimentax et des hypothèses. Premières spécifications : qe demande-t-on a système de commande? réglation, porsite, optimisation, etc.? Totes ces réflexions débochent sr n premier simlater, frstre, qi n a qe la simple ambition de mettre en place ne première cohérence entre totes ces informations, sans prétendre simler qantitativement de façon précise le réel. C est ne phase délicate, où le métier intervient et où les contacts hmains ont ler importance. Sr ce premier simlater, on va povoir dialoger et entreprendre l étape fondamentale sivante. b) Synthèse des protocoles d essais O bien le processs n existe pas et, dans ce cas, on travaillera sr n modèle théoriqe, qi a le pls sovent servi a calcl de la strctre matérielle d processs, o bien il existe et il va falloir par itérations sccessives caler les modèles qi vont se perfectionner à l occasion d application de signax de tests. Cela va permettre de faire tendre le comportement d modèle vers celi d processs. Il convient tot d abord de s assrer de la qalité d système de mesre : étalonnage cohérent des capters, fidélité de l instrmentation, qalité d système d acqisition de données, fréqence d échantillonnage, capacité de stockage, possibilité de tracer et d observer les signax, etc. L ensemble des signax de test, dit protocole d essai, va joer n rôle fondamental. C est pratiqement le sel contact avec le processs et son propriétaire, saf a moment de l implantation définitive, et c est de li qe va décoler la qalité d modèle et donc d réglater. Le protocole idéal por le propriétaire qi ne vet pas être pertrbé serait n test de drée nlle et d amplitde nlle! Ce protocole fera donc en général l objet d ne optimisation, fatalement spécifiqe, ce qi exclt des techniqes conçes sr des considérations théoriqes qi ne prenaient pas en compte à l époqe ces contraintes de dimintion de la nisance (amplitde-drée) qe représente n test expérimental. Les techniqes d type signal binaire psedo-aléatoire, sont donc à proscrire d ne façon générale ; elles donnent ne précision insffisante dans les basses fréqences a prix d ne drée (o amplitde) qi pet être dans n rapport 2 avec n protocole optimisé. L expérience montre qe c est sr ce poste, avec la réflexion sr la strctre d modèle, qe l on passe le pls de temps. c) Application des essais Étant volontairement rares, ces essais doivent donc être préparés avec grande précation. Les signax de test sont appliqés soit en bocle overte, soit en bocle fermée comme des consignes additives à la consigne d n réglater dont il s agit alors d améliorer les performances, sivant ne procédre qi va se perfectionner progressivement a fr et à mesre de la connaissance d processs. Tot doit être noté avec soin lors des essais, et n test de ce type ne pet être fait en «cachette», car il va mobiliser des intervenants divers. d) Prétraitement La probabilité qe des artefacts pertrbent l essai est très grande : entrées secondaires atoritaires, défat d système d acqisition, interventions intempestives d n opérater, etc. Il convient alors de vérifier, à ve, la qalité des enregistrements. A l opposé, ne démarche académiqe qi consisterait à alimenter sans intervention hmaine n algorithme d identification avec des données inexploitables est à proscrire. e) Identification Elle doit donner de préférence tos les modèles qi sont à ne distance donnée d processs, dans le doble bt de povoir opti- R Techniqes de l Ingénier, traité Mesres et Contrôle

17 COMMANDE PRÉDICTIVE miser les protocoles d essais et d avoir ne mesre de la spécification de robstesse qi va être demandée a réglater. f) Simlater Tos les modèles partiels ainsi identifiés, concaténés, créent n simlater, sr leqel des tests complémentaires de son povoir prédictif sont appliqés, à partir d ne base de données qi n a pas servi à l identification. Des analyses de sensibilité sont alors possibles por déterminer les risqes encors par les variations de strctre éventelles d processs. g) Retor sr les spécifications Le processs est alors miex appréhendé, miex perç par les intervenants, et l expérience montre qe les spécifications évolent tojors. La fixation des contraintes est miex argmentée, les compromis entre robstesse et dynamiqe pls clairs dans la tête de l exploitant. h) Réglater C est la récompense de tos les efforts. La CAO de commande prédictive fornit alors tos les éléments de choix dans le domaine temporel et fréqentiel en ce qi concerne la dynamiqe, et totes les marges de stabilité nécessaires. Le respect des contraintes apporte alors tos les avantages et ne comparaison avec la sitation antériere et la sitation proposée est alors faisable dans les environnements (pertrbation d état et de strctre) qi doivent être pls drs qe ce qe le processs ne rencontrera jamais. Une évalation de l intérêt économiqe est à faire. Si cet intérêt est confirmé, il fat alors passer à l implantation dans n organe de calcl qi va recevoir, soit directement le code C généré par la CAO, soit ne formle génériqe dont les paramètres vont être chargés par n organe spérier. La mise en rote devra être faite avec prdence, en particlier en demandant ne trajectoire de référence assez molle a débt, à drcir avec le temps. C est là qe l on apprécie la validation d modèle, pisqe seles les errers d implantation d réglater sont à craindre. La génération de code, sans intervention de transfert par n intermédiaire hmain, donc faillible, facilite ici la tâche. i) Évalation Il importe alors d évaler le pls objectivement possible les performances comparées, entre «avant» et «après», soit par ne réponse dynamiqe, soit par n histogramme de l écart par rapport à la consigne. Mais la commodité de réglage et la soplesse de modification des objectifs sont dex éléments importants. Opérater, prodcter, directer, n attendent pas d n réglater novea les mêmes améliorations et ils doivent être tos satisfaits. j) Maintenance Tos les dangers commencent alors. Il est maintenant relativement aisé, en procédant strictement sivant le plan ci-desss exposé, de faire des progrès techniqes et économiqes très significatifs. Rester tojors adapté malgré des changements d objectifs, de matière première, d instrmentation, etc., est atrement pls difficile. Amaterisme et professionnalisme se distingent à ce nivea. La docmentation, la jstification des choix de modèle, d réglage d réglater, etc., doivent être facilement accessibles et de façon claire. Une formation est nécessaire ; sinon, a moindre changement d environnement, il y ara régression et retor à l état primitif antérier. Ordre et riger s imposent. Il fat faire remarqer qe la disponibilité de la sortie d modèle en temps réel et de la sortie d processs, ovre la porte vers les techniqes de diagnostic et de maintenance sivant état, qi pevent apporter ne contribtion significative à l agmentation de la disponibilité, et donc de la prodction, d processs. 8. Conclsion Ce qi a été présenté ici n a d atre prétention qe d être ne simple introdction ax concepts de la commande prédictive, car beacop reste à dire tant a nivea des développements et jstifications théoriqes qe de l implantation informatiqe des réglaters. Il ne s agissait qe de présenter les principes, qi nécessitent n effort certain de compréhension. Cette commande n est pas à ajoter à la liste des commandes proposées par aillers, car elle est pls ne démarche q ne proposition spécifiqe, comme ont p l être, dans le passé, le PID, la commande qadratiqe o le placement des pôles, etc. C est ne démarche overte, qi, si l on respecte ses principes fondamentax, est capable d intégrer précisément tos les résltats de ces méthodes. Mises à part les commandes de nivea : manel, tot o rien, logiqe, PID, etc., commandes sans modèle qi en nombre covriront tojors l essentiel des besoins alimentaires, l avenir appartient, lorsq il s agit de piloter des nités économiqement significatives, ax commandes avec modèle interne. Q elles soient prédictives ne compliqe pas le travail de l atomaticien mais li donne la possibilité techniqe, et la rentabilité économiqe attachée, de prendre en compte les contraintes, porte overte vers l optimalité à horizon fini, qi est le véritable problème indstriel à résodre. La difficlté, éternelle, reste donc la modélisation, investissement premier fondamental, qi fait sortir d domaine strict de la commande. L atomaticien indstriel qi était n «régler», car il adaptait les paramètres de réglage d n réglater préexistant, devient en partie n modéliste, et cette fonction rencontre celle d «spécialiste processs», avec tot l intérêt qe cela entraîne et totes les difficltés organisationnelles attachées. Références bibliographiqes [1] BITMEAD (R.R.), GEVERS (M.) et WERTZ (V.). Adaptive optimal control : the thinking man s GPC. Prentice-Hall, 199. [2] BORNE (P.), DAUPHIN-TANGUY (G.), RICHARD (J.P.), ROTELLA (F.) et ZAMBETTA- KIS (I.). Commande et optimisation des processs. Éditions Technip, [3] BOUCHER (P.) et DUMUR (D.). La commande prédictive. IFP Techniqe, [4] CLARKE (D.W.), MOHTADI (C.) et TUFFS (P.S.). Generalized predictive control. Part 1 : The basic algorithm, Atomatica, vol. 23, n 2, p , and Generalized predictive control. Part 2 : Extensions and interpretations. Atomatica, vol. 23, n 2, p [GPC], [5] CORRIOU (J.P.). Commande des procédés. Tec. et Doc. 1996, Paris. 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