Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite.

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1 Comment tracer une droite représentative d'une fonction et méthode de calcul de l'équation d'une droite. Introduction : Avant de commencer, il est nécessaire de prendre connaissance des trois types de fonctions principales dont leur représentation graphique est une droite : La fonction constante, de la forme f(x) = k, où k est une constante réelle. exemple : f(x) = 5 La fonction linéaire, de la forme f(x) = ax, où a est le coefficient directeur. exemple : f(x) = 3x La fonction affine, similaire à la fonction linéaire. Néanmoins, la représentation graphique de la fonction affine ne passe pas par l'origine. La fonction affine est de la forme f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine¹. exemple : f(x) = 4x 5 Les représentations graphiques dans les trois cas sont sous la forme d'une droite. Dans le cours qui va suivre, nous allons voir comment faire ces représentations graphiques pour chacun des cas. Enfin nous verrons comment déterminer son équation à partir de sa simple représentation graphique. I. Représentation graphique à partir de l'équation de la fonction a) Présentation d'un repère Lorsque l'on annonce un repère, on définit ses paramètres : Le plan P muni d'un repère orthonormal (O; i, j) O représente l'origine, c'est à dire le point d'intersection de l'axe des abscisses et de l'axe des ordonnées. i représente l'axe des abscisses (horizontal) j représente l'axe des ordonnées (vertical)

2 Voici un exemple de repère orthonormal ne comportant pas pour l'instant de représentation graphique : b) Représentation graphique Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Pour avoir sa représentation graphique, nous aurons besoin de construire deux points (deux points car cela suffit pour construire la droite). Ces deux points nous allons les placer sur un repère. Prenons comme exemple, la fonction affine définie par : f(x) = 2x + 3 Remarque, pour faciliter la compréhension de la représentation graphique, on peut remplacer f(x) par y. Ce qui donne ici : y = 2x + 3 Soit A et B, deux points de la droite représentative de la fonction f(x) = 2x +3 que nous nommerons D1. Libre à nous de choisir les deux valeurs de x pour les deux points. Nous prendrons ici 0 et 1.

3 Voici un tableau représentatif de la situation : Point A B x 0 1 y = 2x + 3 Pour remplir la dernière ligne du tableau, il suffit de résoudre l'équation pour déterminer y pour les deux points. Ainsi : - A(0, ya) ya = 2* = 3 Donc le point A a pour coordonnées (0, 3) - B(1, yb) yb = 2* = 6 Donc le point B a pour coordonnées (1, 6) Note : Les coordonnées d'un point se lisent de la manière suivante : A(xA, ya). xa représente sa position sur l'axe des abscisses et ya représente sa position sur l'axe des ordonnées Remplissons notre tableau : Point A B x 0 1 y = 2x Nous avons maintenant les coordonnées de nos deux points. Nous pouvons à présent tracer la droite D1 représentative de la fonction f(x) = 2x + 3 :

4 On trace la droite après avoir positionné les deux points A et B. Dans le cas de la fonction linéaire, on utilise la même méthode sauf que le point ayant pour abscisse 0 aura obligatoirement pour ordonnée 0. D'où le fait que la droite passe par l'origine. Dans le cas de la fonction constante, sa construction graphique est extrêmement rapide. En effet, f(x) = k où k est une valeur fixe. Par conséquent, pour n'importe quelle valeur en abscisse, l'ordonnée sera toujours égale à k. Sa représentation graphique est donc une droite parallèle à l'axe des abscisses. Voici qui suit les représentations graphiques des trois types de fonctions : Note : Si le coefficient directeur est positif, la fonction est croissante. Si le coefficient directeur est négatif, la fonction est décroissante. Ici, f(x) est une fonction croissante, h(x) est une

5 fonction décroissante et la fonction g(x) est une fonction constante. II. Calcul de l'équation de la fonction à partir de la représentation graphique a) Formules Imaginez que vous avez une représentation graphique d'une fonction affine (donc sous la forme de ax + b) et que l'on vous demande de déterminer son équation de sa fonction. Jusque ici, nous avons appris comment faire la représentation graphique à partir de l'équation de la fonction. Nous allons donc apprendre à faire l'inverse. Pour cela, la maîtrise de deux formules est nécessaire. L'équation de la fonction est la suivante : y = mx + p m = coefficient directeur p = ordonnée à l'origine¹ Note : Pourquoi ne pas utiliser la notation y = ax + b? Car lors de l'application des formules, on peut se tromper avec les coordonnées des points A et B

6 Les deux formules qui suivent permette de déterminer m et p : m = (yb ya)/(xa xb) Où : yb = ordonnée du point B ya = ordonnée du point A xb = abscisse du point B xa = abscisse du point A p = ya - m*xa Une fois les deux valeurs connues, on obtient l'équation de la fonction. Rien ne nous empêche de vérifier l'exactitude de l'équation en utilisant la méthode [ voir I)b) ] b) Application Passons à la pratique. Prenons la droite représentative suivante :

7 Tout d'abord, prenons deux points sur la droite, A et B : On a A(-4, 7) et B(0, -1) Remarque : Rien ne vous empêche de prendre d'autres points que ceux-ci sur la droite. Ici il ne s'agit que d'un exemple. Nous avons xa, xb, ya et yb. Nous pouvons commencer le calcul : m = (yb ya)/(xb xa) m = (-1-7))/(0 - (-4)) m = - 8 / 4 = -2 p = ya m*xa p = 7 - ((-2)*(-4)) p = 7 8

8 p = -1 Ainsi : y = mx + p y = -2x + (-1) y = -2x 1 La droite représenté ici a pour équation : y = -2x - 1 III. Exemples A vous maintenant! Voici deux exercices reprenant l'intégralité de la leçon. Le premier consiste à trouver la droite représentative de chaque fonction. Le second exercice demande de trouver l'équation de chaque droite représentative. Exercice 1 :

9 y = 2x + 3 y = -x + 4 y = 3x y = -2 y = x + 5 Quelle équation appartient à quelle droite? Exercice 2 : Quelles sont les équations de ces trois droites représentatives de fonctions affines?

10 IV. Conclusion Le cours est terminé, la correction des deux exercices viendra par la suite de ce cours. Voici un petit bloc de l'essentiel à retenir : Nous avons appris trois types de fonctions : Affine, sous la forme de f(x) = ax + b, avec a comme coefficient directeur et b comme ordonnée à l'origine. Linéaire, sous la forme de f(x) = ax, avec a comme coefficient directeur. La droite représentative passe par l'origine. Constante, sous la forme de f(x) = k avec k comme constante. La droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses. Pour calculer une équation d'une droite à partir de sa simple représentation graphique: Équation : y = mx + p avec : A(xA, ya) et B(xB, yb) m = coefficient directeur = (yb-ya)/(xb xa) p = ordonnée à l'origine¹ = ya m*xa ¹ordonnée à l'origine : Pourquoi appeler cela comme ça? Car en effet, lorsque vous voulez construire une droite à partir d'une fonction affine, prenez un point situé sur 0 dans l'axe des abscisses (x) soit donc à l'origine. Vous verrez que sa position sur l'axe des ordonnées (y) correspondra à la valeur de l'ordonnée à l'origine. Regarde les précédentes équations et leur représentations graphiques pour vous donner un exemple.

11 Just For Fun (ou pas): Quelles sont les équations pour chacune de ces courbes représentatives? Trop facile, non?

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