Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version mars 2014

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1 Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014

2 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien etc.. Mouvement d un point dans le champ coulombien. Dynamique en relativité restreinte 3. Relativité générale La métrique de Schwarzschild La moindre action et le lagrangien La dynamique dans la gravité relativiste Les corrections de GR 4. Appendices La métrique de Schwarzschild 0-a

3 La force coulombienne Le potentiel gravitationnel figure 1 ϕ = 4πG ρ( x) si ρ = m δ( x) ϕ = Gm r La force gravitationnelle F = grad (m ϕ) = G mm r u avec u = r 1 x Référentiel de Copernic est galiléen : Loi de Newton F /m = A = ( r r θ ) u + d r dt (r θ) uθ = G m r u 1

4 Dynamique Lagrangienne Principe de moindre action A A = 1 L(x, v) dt = 1 H dt + p dx minimisation : équation de Lagrange-Euler d dt ( L v ) = L x Mouvement non-relativiste contraint par une énergie potentielle L = 1 mv mϕ(x) H = v p L p = L v en coordonnées sphériques (r, θ, ψ) et pour la gravitation L = 1 m(ṙ + (r θ) + r sin (θ) ψ ϕ(r)) Equations de Lagrange-Euler p r = m ṙ p θ = mr θ pψ = mr sin θ ψ ṗ r /m = r θ + mr sin θ ψ ϕ r ṗ θ /m = r sin θ cos θ ψ ṗ ψ = 0 choix du référentiel tel que ψ = cte ψ = 0

5 Les constantes du mouvement ψ = cte p θ /m = l = r θ H/m = E = ṙ + l r + ϕ(r) En passant à la variable u = r 1 on construit l équation sur u avec u = du dθ r θ = l u ṙ = l u E = l ( 1 (u + u ) Gm l u) Les solutions u = A cos θ + B = p 1 (1 + e cos θ) Les contraintes u u 0 B = p 1 A/B = e = = Gm l 1 + E( l Gm ) E (Gm ) l et u = 0 possible si E 0 Les demi-axes de l ellipse (cas E < 0) a = p 1 e b = p 1 e Approximation e << 1 r = a+b a b cos θ

6 figure Mouvement classique Les trajectoire sont des cercles si pour mercure E = (Gm ) l a = 57, m e = 0, 1 T = 0, 41 y 3

7 Dynamique en relativité restreinte La métrique ds = c dt dx L intervalle de temps "propre" sur une trajectoire dτ = dt dx dτ = Principe de moindre action A dans le vide 1 v dt soit dt = γdτ A = mc 1 ds L = mc ds dt p = L v = m v 1 β = mγv La 4-vitesse sur une trajectoire La loi dynamique : v µ = dx µ dτ = (γ, γ v) : p µ = m v µ dp µ dτ = F µ 4

8 Remarque : par construction v = 1 et l accélération alors : p = m se conserve au cours de F µ v µ = 0 Théorème de l énergie cinétique : l action de la force en terme d énergie dp 0 dτ = F 0 = F. v

9 figure 3 Mouvement sur une surface 5

10 La gravitation générale Equation d Einstein Référence [1] ( R µν 1 g µνr ) g µν Λ = a T µν R = a T 4Λ avec T ou R = Tr (T )(ou R) et Tr (X) = g µν X µν R µν = = a T µν g µν ( a T + Λ ) En principe, le programme est simple mais... T µν R µν (courbure) la métrique (diff ième ordre) géodésique (t, x) Equation aux dimensions (physiques) soit à vérifier R ij L G L M W a L W T 00 W L 3 R 00 a T 00 1 L cqfd. a = 8πG c 4 =, m J 1 6

11 La métrique à symétrie sphérique La métrique : ds = e ν (dx 0 ) e λ dr r (dθ + sin θ dψ ) Les coordonnées sont : avec λ(r, t) et ν(r, t) q 0 = ct; q 1 = r; q = θ; q 3 = ψ g 00 = e ν g 11 = e λ g = r g 33 = r sin θ Γ k (lj) g (00) 00 g 00 q 1 g 00 0 g 11 q (01) 1 g 00 g 00 q 1 1 g 11 g 11 q (0) (03) (11) 1 g 00 g 11 q g 11 g 11 q (1) g g q g (13) g 33 q 1 () 0 1 g 11 g q g (3) g 33 q (33) 0 1 g 11 g 33 q 1 1 g g 33 q 0 la symétrie sphérique 7

12 La symétrie sphérique (suite) g 00 = e ν g 11 = e λ g = r g 33 = r sin θ Γ k (lj) (00) ν ν c e(ν λ) 0 0 (01) ν λ c 0 0 (0) (03) λ c (11) (1) 0 0 r 1 0 (13) r 1 () 0 r e λ 0 0 (3) cot θ (33) 0 r sin θ e λ sin θ cos θ 0 e( ν+λ) λ 0 0 avec si f(r, t) f = c 0 f et f = 1 f 8

13 Equations d Einstein, dans le vide autour d une source sphérique : T µν = 0 = R µν Elles conduisent à (seulement) 3 équations sur ν(r, t) et λ(r, t) (appendice 1) λ = 0 (ν + λ) = 0 e λ (λ 1 r ) + 1 r = r 1 ( r(1 e λ ) ) = 0 Intégration des équations : λ + ν = f(t) et (1 e λ ) = C r on prend ν ν + f(t) ν = λ (choix de t) et e ν = e λ = g 00 = 1 C r quand r g 00 1 Gm r c La métrique Schwarzschild (1916), les trous noirs de rayon r s ds = ( 1 r s r ) c dt ( 1 r s r ) 1 dr r ( dθ + sin θ dψ ) Une singularité! pour r = r s = G m c soit pour c = G m r s ( ou la vitesse de libération = c) pour le soleil M = M on a r s = 3 km

14 Dynamique dans le champ central de gravitation L action (la moindre action) Le lagrangien avec A = mc ds = mc 1 ds dt ṙ dt L = mc ds dt L = mc ( (1 + ϕ(r) c ) c ( 1 + ϕ(r) + r Ω ) ) 1/ = mc F c Ω = θ + sin (θ) ψ dimension de t v = ṙ + r Ω ϕ(r) = Gm r dimension de v α(r) = ϕ c sans dimension 0 F = ( 1 + α 1 c (v α αṙ ) ) 1/ = ( 1 + α 1 v 1 + c ( 1 + α + α 1 + α (r Ω) ) ) 1/ Quantités de mouvement, variables conjuguées, selon Lagrange p r = L ṙ p θ = L θ p ψ = L ψ 9

15 Quantités de mouvement et variables conjuguées p r = 1 L L ṙ = m c 4 L ( 1 v c ṙ + 1+αṙ) α = m F ( (1 α 1+α )ṙ ) = m F 1 1+α ṙ p θ = 1 L L θ = m c 4 L ( 1 c v θ ) = m F (r θ) p ψ = 1 L L ψ = m c 4 L ( 1 v c ψ ) = m F (r sin θ ψ) Equations dynamiques de Lagrange Euler ṗ r = dt d ( L ṙ ) = L r ṗ θ = dt d ( L ) = L θ θ ṗ ψ = dt d ( L ψ ) = L ψ = 0 La rotation du référentiel permet le choix ψ = cte ψ = 0 = p ψ

16 L hamiltonien L hamiltonien (intégrale première du mouvement) Construction du hamiltonien p r ṙ + p θ θ = m F ( v α 1+αṙ ) H = p q L L = L L = m F ( c (1 + α) v + α 1+αṙ ) H = mc ( 1 + α ) F 1 F = ( 1 + α 1 c (v α 1+αṙ ) ) 1/ p θ /m = (r θ)f 1 = l ṙ = r θ = u l F avec u = r 1 H/m = c ( 1 + α ) F 1 = E Développement à l ordre 0 par rapport à c H = mc F ( 1 + α ) = mc ( 1 + α ) ( 1 α + v c ) = mc + mϕ(r) + mv 10

17 Développement à l ordre c rappel : pour n = 1/ (1 + ϵ) n = 1 + nϵ + n(n 1) ϵ +... (1 + ϵ) 1/ = 1 (1/)ϵ + (3/8)ϵ +... H = mc ( 1 + α ) ( 1 + α 1 c (v α 1+αṙ ) 1/ ϵ = (α v c ) + αṙ c = ϵ 1 + ϵ H = mc ( 1 + α ) ( 1 (1/)ϵ + (3/8)ϵ ) H = mc ( 1 (1/)(ϵ 1 + ϵ ) + (3/8)ϵ 1 + α(1 (1/)ϵ 1 ) ) H = mc ( 1 (1/)ϵ 1 + α (1/)ϵ + (3/8)ϵ 1 (1/)αϵ 1 ) ) H RG H = ( mc + m v + mϕ ) + H RG = mc ( (1/)ϵ + (3/8)ϵ 1 (1/) ϕ c ϵ 1) ) H RG = mc c 4 ( ϕṙ (1/)ϕ (1/)ϕv + (3/8)v 4 ) H = mc + m v ṙ (1 + (3/8)v) + mϕ(1 c c ϕ c v c )

18 Le lagrangien Le lagrangien complet Développement à l ordre 0 L = = mc F = mc ( (1 + α 1 c (v α 1 + αṙ ) ) 1/ L 0 Développement à l ordre c = mc ( α v c ) = = mc mϕ(r) + mv (1 + ϵ) n = 1 + nϵ + n(n 1) ϵ +... L = mc ( 1 + α 1 c (v α 1+αṙ ) 1/ = L 0 + L RG ϵ = (α v c ) + αṙ c = ϵ 1 + ϵ L = mc ( 1 + (1/)(ϵ 1 + ϵ ) (1/8)ϵ 1 ) L RG = mc ( (1/)ϵ + (1/8)ϵ 1 ) L RG = mc ( (1/)αṙ c + (1/8)(α v c ) ) L = mc + m v v (1 + 4c ) mϕ(1 + ṙ c ϕ c + v c ) 11

19 Le facteur F Le facteur F complet introduisons u = r 1 avec θ = u l F et ṙ = u lf Développement à l ordre 0 F = ( 1 + α 1 1+α (ṙ c ) (r θ) ) F = ( 1 + α 1 1+α (lf c ) u ( lf c ) u ) F = ( 1 + α ) ( 1 + ( l c ) ( 1 1+α u + u ) ) 1 Rappels c F c ( α v c ) v = ṙ + ( l r ) = (lf) (u + u ) En conclusion L/m = c F c ϕ + v H/m = c (1 + α)f 1 +c + ϕ + v (H/m) = E = c ( (1 + α) ( 1 + ( l 1 c ) ( 1 + α u + u ) ) ) 1/ 1

20 Conclusions - α "mesure" de la correction de gravité générale (GR) et v c pour Mercure celle de relativité restreinte (RR) α = ϕ c = 51, 10 9 v c = 5, α le facteur F est déterminant F = ( (1 + α 1 c (v α 1 + αṙ ) ) 1/ le lagrangien L = mc F le "moment cinétique "p θ p θ /m = F 1 (r θ) = l r θ = l r F = ± v ṙ l énergie E H/m = c F 1 ( 1 + α ) = E En fonction des paramètres E et l les lois de conservation déterminent ṙ et θ, donc : la donnée initiale de la position et de la vitesse détermine la trajectoire Il reste à étudier ces équations dans des cas particuliers 13

21 références 0 L. Landau & E. Lifchitz, Mécanique, Ed MIR L. Landau & E. Lifchitz, Théorie des champs, Ed MIR 1970 R. Feynman, Leçons sur la gravitation, Ed Odile Jacob C. Missner & al, Gravitation, Ed W.H. Freeman & Co C.D. Walecka, Introduction to general relativity, Ed World Scientific D. Bleecker, Gauge theory and variational principles, Ed MIR C. Nash & al, Topology and geometry for physicists, Ed Dover K.L. Wardle, Differential geometry, Ed Dover D.F. Lawden, Introduction to tensor calculus, relativity and cosmology, Ed Dover , http ://scienceworld.wolfram.com/physics/, www 10 -, http ://en.wikipedia.org/wiki/einstein field equations /, www 14

22 Appendice 1 : La métrique à symétrie sphérique de Schwarzschild soit g 00 = e ν g 11 = e λ g = r g 33 = r sin θ Γ k (lj) (00) ν ν c e(ν λ) 0 0 (01) ν λ c 0 0 (0) (03) λ c (11) (1) 0 0 r 1 0 (13) r 1 () 0 r e λ 0 0 (3) cot θ (33) 0 r sin θ e λ sin θ cos θ 0 avec si f(r, t) f = c 0 f et f = 1 f e( ν+λ) λ

23 Le tenseur de Ricci R ik = R l ilk = l Γ l ik k Γ l il + Γ l lsγ s ik Γs il Γl ks Les composantes non identiquement nulles du tenseur de Ricci sont les suivantes : R 01 = l l Γ l 01 1 Γ l 0l + Γ l lsγ s 01 Γ l 0sΓ s 1l R ii = l i l Γ l ii i Γ l il + Γ l lsγ s ii Γ l isγ s il i = 0, 1, Remarque : i Γ l 0i 0 l = 0, 1 Calcul de R 01 R 01 = 0 Γ Γ (Γ l lsγ s 01) s=0,1 (Γ l 0sΓ s 1l) l=0,1 R 01 = 0 + (Γ l l0γ 0 01) l=0,1 + (Γ l l1γ 1 01) l=0,1.. (Γ 0 0sΓ s 10) s=0,1 (Γ 1 0sΓ s 11) s=0,1.. R 01 = 0 + (Γ l l1γ 1 01) l=0,1.. (Γ 1 0sΓ s 11) s=0,1 R 01 = ( ν + λ + r 1 ) λ c λ (ν 4c + λλ λ ) = r 1 4c c Dans le vide R 01 = 0 λ = 0 Calcul de R 00 R 00 = l 0 l Γ l 00 0 Γ l 0l + Γ l lsγ s 00 Γ l 0sΓ s 0l R 00 = 1 Γ Γ (Γ l lsγ s 00) s=0,1 (Γ l 0sΓ s 0l) l=1

24 R 00 = 1 Γ Γ (Γ l l0γ 0 00) l=1 + (Γ l l1γ 1 00) l 0 (Γ 1 0sΓ s 01) s=0,1 R 00 = 1 Γ Γ (Γ 1 10Γ 0 00) + (Γ l l1γ 1 00) l=1,,3 (Γ 1 01Γ 1 01) (Γ 1 00Γ 0 01) R 00 = ( ν eν λ ) λ c + ( λ ν 4c) + (λ + r 1 ) ν eν λ ( λ c ) ( ν ) e ν λ R 00 = e ν λ ( ν + ν (ν λ ) 4 + r 1 ν ) λ c + ( λ ν λ 4c) ( c ) Calcul de R 11 R 11 = l 1 l Γ l 11 1 Γ l 1l + Γ l lsγ s 11 Γ l 1sΓ s 1l R 11 = 0 Γ 0 11 ( 1 Γ l 1l) l=0,,3 + (Γ l lsγ s 11) s=0,1 (Γ l 1sΓ s 1l) l 1 R 11 = 0 Γ 0 11 ( 1 Γ l 1l) l 1 + (Γ l l0γ 0 11) l=0 + (Γ l l1γ 1 11) l 1 (Γ l 1sΓ s 1l) l 1 R 11 (Γ l 1l) l 1 = ν + r 1 (Γ l 1sΓ s 1l) l 1 = (Γ 0 11Γ 1 10) + (Γ l 1sΓ s 1l) l=s=0,,3 R 11 = 0 ( λ c e(λ ν) ) ( ν + r 1 ) ν λ + ( 4c e(λ ν) ) + ( ν + r 1 ) λ = ( λ c e(λ ν) ) ν ( ( ν ) + (r 1 ) + ( λ c ) e (λ ν) ) ( ν λ 4c e(λ ν) ) + ( ν + r 1 ) λ ( (ν ) ( λ c ) e (λ ν) )

25 conclusion : R 11 = e (λ ν) ( λ ν λ c 4c + ( λ c ) ) ν + ν λ 4 + r 1 λ ( ν ) R 11 e ν λ + R 00 = r 1 (ν + λ )e (ν λ) Dans le vide R 00 = R 11 = 0 ν + λ = 0 et ν ν r 1 ν = 0 Calcul de R R = l l Γ l Γ l l + Γ l lsγ s Γ l sγ s l R = 1 Γ 1 Γ (Γ l l1γ 1 ) l (Γ l sγ s l) l (Γ l 1l) l = ν + λ + r 1 (Γ l sγ s l) l = Γ 1Γ 1 + Γ 3 3Γ 3 3 R = 1 Γ 1 Γ Γ 1 (Γ l l1) l (Γ 1Γ 1 + Γ 3 3Γ 3 3) R = ( re λ ) + (1 + cot (θ)) + ( re λ )( ν + λ + r 1 ) ( e λ + cot (θ)) R = 1 re λ ( ν λ + r 1 ) Dans le vide R = e λ (rλ 1) = 1 (re λ ) = 0

26 Vérification de R 33 R 33 = l Γ l 33 3 Γ l 3l + Γ l lsγ s 33 Γ l 3sΓ s 3l l 3 remarquons : 3 = 0 Γ l 33 l = 1, Γ l 3s) l 3 s = 3 R 33 = ( l Γ l 33) l=1, 0 + (Γ l lsγ s 33) s=1, (Γ l 3sΓ s 3l) s 0 l 3 (Γ l 1l) l 3 = ν + λ + r 1 (Γ l l) l 3 = 0 (Γ l 3sΓ s 3l) l 3 = Γ 1 33Γ 3 3,1 + Γ 33Γ 3 3 R 33 = 1 Γ Γ 33 + Γ 1 33 (Γ l l1) l (Γ 1 33Γ 3 3,1 + Γ 33Γ 3 3) R 33 = ( rsin (θ)e λ ) +(sin (θ) cos (θ))+( rsin (θ)e λ )( ν + λ +r 1 ) ( sin (θ)e λ cos (θ)) R 33 = sin (θ)(1 re λ ( ν λ + r 1 )) = sin (θ)r la solution λ = 0 ν = λ e λ = 1 C r ν + ν + r 1 ν = 0 La métrique de Schwarzschild est de la forme (si ν + λ = f(t) = 0) ds = ( 1 C r ) c dt ( 1 C r ) 1 dr r ( dθ + sin θ dφ ) si f(t) = 0 C = r s est le rayon de Schwarzschild = G M c

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