Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version mars 2014

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Université de Caen. Relativité générale. C. LONGUEMARE Applications version 2.0. 4 mars 2014"

Transcription

1 Université de Caen LMNO Relativité générale C. LONGUEMARE Applications version.0 4 mars 014

2 Plan 1. Rappels de dynamique classique La force de Coulomb Le principe de moindre action : lagrangien, hamiltonien etc.. Mouvement d un point dans le champ coulombien. Dynamique en relativité restreinte 3. Relativité générale La métrique de Schwarzschild La moindre action et le lagrangien La dynamique dans la gravité relativiste Les corrections de GR 4. Appendices La métrique de Schwarzschild 0-a

3 La force coulombienne Le potentiel gravitationnel figure 1 ϕ = 4πG ρ( x) si ρ = m δ( x) ϕ = Gm r La force gravitationnelle F = grad (m ϕ) = G mm r u avec u = r 1 x Référentiel de Copernic est galiléen : Loi de Newton F /m = A = ( r r θ ) u + d r dt (r θ) uθ = G m r u 1

4 Dynamique Lagrangienne Principe de moindre action A A = 1 L(x, v) dt = 1 H dt + p dx minimisation : équation de Lagrange-Euler d dt ( L v ) = L x Mouvement non-relativiste contraint par une énergie potentielle L = 1 mv mϕ(x) H = v p L p = L v en coordonnées sphériques (r, θ, ψ) et pour la gravitation L = 1 m(ṙ + (r θ) + r sin (θ) ψ ϕ(r)) Equations de Lagrange-Euler p r = m ṙ p θ = mr θ pψ = mr sin θ ψ ṗ r /m = r θ + mr sin θ ψ ϕ r ṗ θ /m = r sin θ cos θ ψ ṗ ψ = 0 choix du référentiel tel que ψ = cte ψ = 0

5 Les constantes du mouvement ψ = cte p θ /m = l = r θ H/m = E = ṙ + l r + ϕ(r) En passant à la variable u = r 1 on construit l équation sur u avec u = du dθ r θ = l u ṙ = l u E = l ( 1 (u + u ) Gm l u) Les solutions u = A cos θ + B = p 1 (1 + e cos θ) Les contraintes u u 0 B = p 1 A/B = e = = Gm l 1 + E( l Gm ) E (Gm ) l et u = 0 possible si E 0 Les demi-axes de l ellipse (cas E < 0) a = p 1 e b = p 1 e Approximation e << 1 r = a+b a b cos θ

6 figure Mouvement classique Les trajectoire sont des cercles si pour mercure E = (Gm ) l a = 57, m e = 0, 1 T = 0, 41 y 3

7 Dynamique en relativité restreinte La métrique ds = c dt dx L intervalle de temps "propre" sur une trajectoire dτ = dt dx dτ = Principe de moindre action A dans le vide 1 v dt soit dt = γdτ A = mc 1 ds L = mc ds dt p = L v = m v 1 β = mγv La 4-vitesse sur une trajectoire La loi dynamique : v µ = dx µ dτ = (γ, γ v) : p µ = m v µ dp µ dτ = F µ 4

8 Remarque : par construction v = 1 et l accélération alors : p = m se conserve au cours de F µ v µ = 0 Théorème de l énergie cinétique : l action de la force en terme d énergie dp 0 dτ = F 0 = F. v

9 figure 3 Mouvement sur une surface 5

10 La gravitation générale Equation d Einstein Référence [1] ( R µν 1 g µνr ) g µν Λ = a T µν R = a T 4Λ avec T ou R = Tr (T )(ou R) et Tr (X) = g µν X µν R µν = = a T µν g µν ( a T + Λ ) En principe, le programme est simple mais... T µν R µν (courbure) la métrique (diff ième ordre) géodésique (t, x) Equation aux dimensions (physiques) soit à vérifier R ij L G L M W a L W T 00 W L 3 R 00 a T 00 1 L cqfd. a = 8πG c 4 =, m J 1 6

11 La métrique à symétrie sphérique La métrique : ds = e ν (dx 0 ) e λ dr r (dθ + sin θ dψ ) Les coordonnées sont : avec λ(r, t) et ν(r, t) q 0 = ct; q 1 = r; q = θ; q 3 = ψ g 00 = e ν g 11 = e λ g = r g 33 = r sin θ Γ k (lj) g (00) 00 g 00 q 1 g 00 0 g 11 q (01) 1 g 00 g 00 q 1 1 g 11 g 11 q (0) (03) (11) 1 g 00 g 11 q g 11 g 11 q (1) g g q g (13) g 33 q 1 () 0 1 g 11 g q g (3) g 33 q (33) 0 1 g 11 g 33 q 1 1 g g 33 q 0 la symétrie sphérique 7

12 La symétrie sphérique (suite) g 00 = e ν g 11 = e λ g = r g 33 = r sin θ Γ k (lj) (00) ν ν c e(ν λ) 0 0 (01) ν λ c 0 0 (0) (03) λ c (11) (1) 0 0 r 1 0 (13) r 1 () 0 r e λ 0 0 (3) cot θ (33) 0 r sin θ e λ sin θ cos θ 0 e( ν+λ) λ 0 0 avec si f(r, t) f = c 0 f et f = 1 f 8

13 Equations d Einstein, dans le vide autour d une source sphérique : T µν = 0 = R µν Elles conduisent à (seulement) 3 équations sur ν(r, t) et λ(r, t) (appendice 1) λ = 0 (ν + λ) = 0 e λ (λ 1 r ) + 1 r = r 1 ( r(1 e λ ) ) = 0 Intégration des équations : λ + ν = f(t) et (1 e λ ) = C r on prend ν ν + f(t) ν = λ (choix de t) et e ν = e λ = g 00 = 1 C r quand r g 00 1 Gm r c La métrique Schwarzschild (1916), les trous noirs de rayon r s ds = ( 1 r s r ) c dt ( 1 r s r ) 1 dr r ( dθ + sin θ dψ ) Une singularité! pour r = r s = G m c soit pour c = G m r s ( ou la vitesse de libération = c) pour le soleil M = M on a r s = 3 km

14 Dynamique dans le champ central de gravitation L action (la moindre action) Le lagrangien avec A = mc ds = mc 1 ds dt ṙ dt L = mc ds dt L = mc ( (1 + ϕ(r) c ) c ( 1 + ϕ(r) + r Ω ) ) 1/ = mc F c Ω = θ + sin (θ) ψ dimension de t v = ṙ + r Ω ϕ(r) = Gm r dimension de v α(r) = ϕ c sans dimension 0 F = ( 1 + α 1 c (v α αṙ ) ) 1/ = ( 1 + α 1 v 1 + c ( 1 + α + α 1 + α (r Ω) ) ) 1/ Quantités de mouvement, variables conjuguées, selon Lagrange p r = L ṙ p θ = L θ p ψ = L ψ 9

15 Quantités de mouvement et variables conjuguées p r = 1 L L ṙ = m c 4 L ( 1 v c ṙ + 1+αṙ) α = m F ( (1 α 1+α )ṙ ) = m F 1 1+α ṙ p θ = 1 L L θ = m c 4 L ( 1 c v θ ) = m F (r θ) p ψ = 1 L L ψ = m c 4 L ( 1 v c ψ ) = m F (r sin θ ψ) Equations dynamiques de Lagrange Euler ṗ r = dt d ( L ṙ ) = L r ṗ θ = dt d ( L ) = L θ θ ṗ ψ = dt d ( L ψ ) = L ψ = 0 La rotation du référentiel permet le choix ψ = cte ψ = 0 = p ψ

16 L hamiltonien L hamiltonien (intégrale première du mouvement) Construction du hamiltonien p r ṙ + p θ θ = m F ( v α 1+αṙ ) H = p q L L = L L = m F ( c (1 + α) v + α 1+αṙ ) H = mc ( 1 + α ) F 1 F = ( 1 + α 1 c (v α 1+αṙ ) ) 1/ p θ /m = (r θ)f 1 = l ṙ = r θ = u l F avec u = r 1 H/m = c ( 1 + α ) F 1 = E Développement à l ordre 0 par rapport à c H = mc F ( 1 + α ) = mc ( 1 + α ) ( 1 α + v c ) = mc + mϕ(r) + mv 10

17 Développement à l ordre c rappel : pour n = 1/ (1 + ϵ) n = 1 + nϵ + n(n 1) ϵ +... (1 + ϵ) 1/ = 1 (1/)ϵ + (3/8)ϵ +... H = mc ( 1 + α ) ( 1 + α 1 c (v α 1+αṙ ) 1/ ϵ = (α v c ) + αṙ c = ϵ 1 + ϵ H = mc ( 1 + α ) ( 1 (1/)ϵ + (3/8)ϵ ) H = mc ( 1 (1/)(ϵ 1 + ϵ ) + (3/8)ϵ 1 + α(1 (1/)ϵ 1 ) ) H = mc ( 1 (1/)ϵ 1 + α (1/)ϵ + (3/8)ϵ 1 (1/)αϵ 1 ) ) H RG H = ( mc + m v + mϕ ) + H RG = mc ( (1/)ϵ + (3/8)ϵ 1 (1/) ϕ c ϵ 1) ) H RG = mc c 4 ( ϕṙ (1/)ϕ (1/)ϕv + (3/8)v 4 ) H = mc + m v ṙ (1 + (3/8)v) + mϕ(1 c c ϕ c v c )

18 Le lagrangien Le lagrangien complet Développement à l ordre 0 L = = mc F = mc ( (1 + α 1 c (v α 1 + αṙ ) ) 1/ L 0 Développement à l ordre c = mc ( α v c ) = = mc mϕ(r) + mv (1 + ϵ) n = 1 + nϵ + n(n 1) ϵ +... L = mc ( 1 + α 1 c (v α 1+αṙ ) 1/ = L 0 + L RG ϵ = (α v c ) + αṙ c = ϵ 1 + ϵ L = mc ( 1 + (1/)(ϵ 1 + ϵ ) (1/8)ϵ 1 ) L RG = mc ( (1/)ϵ + (1/8)ϵ 1 ) L RG = mc ( (1/)αṙ c + (1/8)(α v c ) ) L = mc + m v v (1 + 4c ) mϕ(1 + ṙ c ϕ c + v c ) 11

19 Le facteur F Le facteur F complet introduisons u = r 1 avec θ = u l F et ṙ = u lf Développement à l ordre 0 F = ( 1 + α 1 1+α (ṙ c ) (r θ) ) F = ( 1 + α 1 1+α (lf c ) u ( lf c ) u ) F = ( 1 + α ) ( 1 + ( l c ) ( 1 1+α u + u ) ) 1 Rappels c F c ( α v c ) v = ṙ + ( l r ) = (lf) (u + u ) En conclusion L/m = c F c ϕ + v H/m = c (1 + α)f 1 +c + ϕ + v (H/m) = E = c ( (1 + α) ( 1 + ( l 1 c ) ( 1 + α u + u ) ) ) 1/ 1

20 Conclusions - α "mesure" de la correction de gravité générale (GR) et v c pour Mercure celle de relativité restreinte (RR) α = ϕ c = 51, 10 9 v c = 5, α le facteur F est déterminant F = ( (1 + α 1 c (v α 1 + αṙ ) ) 1/ le lagrangien L = mc F le "moment cinétique "p θ p θ /m = F 1 (r θ) = l r θ = l r F = ± v ṙ l énergie E H/m = c F 1 ( 1 + α ) = E En fonction des paramètres E et l les lois de conservation déterminent ṙ et θ, donc : la donnée initiale de la position et de la vitesse détermine la trajectoire Il reste à étudier ces équations dans des cas particuliers 13

21 références 0 L. Landau & E. Lifchitz, Mécanique, Ed MIR L. Landau & E. Lifchitz, Théorie des champs, Ed MIR 1970 R. Feynman, Leçons sur la gravitation, Ed Odile Jacob C. Missner & al, Gravitation, Ed W.H. Freeman & Co C.D. Walecka, Introduction to general relativity, Ed World Scientific D. Bleecker, Gauge theory and variational principles, Ed MIR C. Nash & al, Topology and geometry for physicists, Ed Dover K.L. Wardle, Differential geometry, Ed Dover D.F. Lawden, Introduction to tensor calculus, relativity and cosmology, Ed Dover , http ://scienceworld.wolfram.com/physics/, www 10 -, http ://en.wikipedia.org/wiki/einstein field equations /, www 14

22 Appendice 1 : La métrique à symétrie sphérique de Schwarzschild soit g 00 = e ν g 11 = e λ g = r g 33 = r sin θ Γ k (lj) (00) ν ν c e(ν λ) 0 0 (01) ν λ c 0 0 (0) (03) λ c (11) (1) 0 0 r 1 0 (13) r 1 () 0 r e λ 0 0 (3) cot θ (33) 0 r sin θ e λ sin θ cos θ 0 avec si f(r, t) f = c 0 f et f = 1 f e( ν+λ) λ

23 Le tenseur de Ricci R ik = R l ilk = l Γ l ik k Γ l il + Γ l lsγ s ik Γs il Γl ks Les composantes non identiquement nulles du tenseur de Ricci sont les suivantes : R 01 = l l Γ l 01 1 Γ l 0l + Γ l lsγ s 01 Γ l 0sΓ s 1l R ii = l i l Γ l ii i Γ l il + Γ l lsγ s ii Γ l isγ s il i = 0, 1, Remarque : i Γ l 0i 0 l = 0, 1 Calcul de R 01 R 01 = 0 Γ Γ (Γ l lsγ s 01) s=0,1 (Γ l 0sΓ s 1l) l=0,1 R 01 = 0 + (Γ l l0γ 0 01) l=0,1 + (Γ l l1γ 1 01) l=0,1.. (Γ 0 0sΓ s 10) s=0,1 (Γ 1 0sΓ s 11) s=0,1.. R 01 = 0 + (Γ l l1γ 1 01) l=0,1.. (Γ 1 0sΓ s 11) s=0,1 R 01 = ( ν + λ + r 1 ) λ c λ (ν 4c + λλ λ ) = r 1 4c c Dans le vide R 01 = 0 λ = 0 Calcul de R 00 R 00 = l 0 l Γ l 00 0 Γ l 0l + Γ l lsγ s 00 Γ l 0sΓ s 0l R 00 = 1 Γ Γ (Γ l lsγ s 00) s=0,1 (Γ l 0sΓ s 0l) l=1

24 R 00 = 1 Γ Γ (Γ l l0γ 0 00) l=1 + (Γ l l1γ 1 00) l 0 (Γ 1 0sΓ s 01) s=0,1 R 00 = 1 Γ Γ (Γ 1 10Γ 0 00) + (Γ l l1γ 1 00) l=1,,3 (Γ 1 01Γ 1 01) (Γ 1 00Γ 0 01) R 00 = ( ν eν λ ) λ c + ( λ ν 4c) + (λ + r 1 ) ν eν λ ( λ c ) ( ν ) e ν λ R 00 = e ν λ ( ν + ν (ν λ ) 4 + r 1 ν ) λ c + ( λ ν λ 4c) ( c ) Calcul de R 11 R 11 = l 1 l Γ l 11 1 Γ l 1l + Γ l lsγ s 11 Γ l 1sΓ s 1l R 11 = 0 Γ 0 11 ( 1 Γ l 1l) l=0,,3 + (Γ l lsγ s 11) s=0,1 (Γ l 1sΓ s 1l) l 1 R 11 = 0 Γ 0 11 ( 1 Γ l 1l) l 1 + (Γ l l0γ 0 11) l=0 + (Γ l l1γ 1 11) l 1 (Γ l 1sΓ s 1l) l 1 R 11 (Γ l 1l) l 1 = ν + r 1 (Γ l 1sΓ s 1l) l 1 = (Γ 0 11Γ 1 10) + (Γ l 1sΓ s 1l) l=s=0,,3 R 11 = 0 ( λ c e(λ ν) ) ( ν + r 1 ) ν λ + ( 4c e(λ ν) ) + ( ν + r 1 ) λ = ( λ c e(λ ν) ) ν ( ( ν ) + (r 1 ) + ( λ c ) e (λ ν) ) ( ν λ 4c e(λ ν) ) + ( ν + r 1 ) λ ( (ν ) ( λ c ) e (λ ν) )

25 conclusion : R 11 = e (λ ν) ( λ ν λ c 4c + ( λ c ) ) ν + ν λ 4 + r 1 λ ( ν ) R 11 e ν λ + R 00 = r 1 (ν + λ )e (ν λ) Dans le vide R 00 = R 11 = 0 ν + λ = 0 et ν ν r 1 ν = 0 Calcul de R R = l l Γ l Γ l l + Γ l lsγ s Γ l sγ s l R = 1 Γ 1 Γ (Γ l l1γ 1 ) l (Γ l sγ s l) l (Γ l 1l) l = ν + λ + r 1 (Γ l sγ s l) l = Γ 1Γ 1 + Γ 3 3Γ 3 3 R = 1 Γ 1 Γ Γ 1 (Γ l l1) l (Γ 1Γ 1 + Γ 3 3Γ 3 3) R = ( re λ ) + (1 + cot (θ)) + ( re λ )( ν + λ + r 1 ) ( e λ + cot (θ)) R = 1 re λ ( ν λ + r 1 ) Dans le vide R = e λ (rλ 1) = 1 (re λ ) = 0

26 Vérification de R 33 R 33 = l Γ l 33 3 Γ l 3l + Γ l lsγ s 33 Γ l 3sΓ s 3l l 3 remarquons : 3 = 0 Γ l 33 l = 1, Γ l 3s) l 3 s = 3 R 33 = ( l Γ l 33) l=1, 0 + (Γ l lsγ s 33) s=1, (Γ l 3sΓ s 3l) s 0 l 3 (Γ l 1l) l 3 = ν + λ + r 1 (Γ l l) l 3 = 0 (Γ l 3sΓ s 3l) l 3 = Γ 1 33Γ 3 3,1 + Γ 33Γ 3 3 R 33 = 1 Γ Γ 33 + Γ 1 33 (Γ l l1) l (Γ 1 33Γ 3 3,1 + Γ 33Γ 3 3) R 33 = ( rsin (θ)e λ ) +(sin (θ) cos (θ))+( rsin (θ)e λ )( ν + λ +r 1 ) ( sin (θ)e λ cos (θ)) R 33 = sin (θ)(1 re λ ( ν λ + r 1 )) = sin (θ)r la solution λ = 0 ν = λ e λ = 1 C r ν + ν + r 1 ν = 0 La métrique de Schwarzschild est de la forme (si ν + λ = f(t) = 0) ds = ( 1 C r ) c dt ( 1 C r ) 1 dr r ( dθ + sin θ dφ ) si f(t) = 0 C = r s est le rayon de Schwarzschild = G M c

Le principe de moindre action

Le principe de moindre action Le principe de moindre action F. Hérau Laboratoire de Mathématiques Université de Reims Fete de la science novembre 2008 Définition Principe de moindre action : en physique, hypothèse selon laquelle la

Plus en détail

Système formé de deux points

Système formé de deux points MPSI - 2005/2006 - Mécanique II - Système formé de deux points matériels page /5 Système formé de deux points matériels Table des matières Éléments cinétiques. Éléments cinétiques dans R.......................2

Plus en détail

Chapitre 1. Cinématique et Dynamique. 1.1 Grandeurs cinématiques. 1.1.1 Base cartésienne

Chapitre 1. Cinématique et Dynamique. 1.1 Grandeurs cinématiques. 1.1.1 Base cartésienne Chapitre 1 Cinématique et Dynamique 1.1 Grandeurs cinématiques En classe de 2 e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mouvement d un point matériel : l abscisse curviligne,

Plus en détail

UNIVERSITE DE CAEN LMNO 6 avril 2010. Physique des particules et invariance de jauge C. LONGUEMARE

UNIVERSITE DE CAEN LMNO 6 avril 2010. Physique des particules et invariance de jauge C. LONGUEMARE UNIVERSITE DE CAEN LMNO 6 avril 2010 Physique des particules et invariance de jauge C. LONGUEMARE Quelques repères historiques [1] électricité : Coulomb - Ampère 1827 Faraday-Maxwell 1861 [2] électron

Plus en détail

Notes du Cours de Mécanique 1 er semestre, année 2011/2012

Notes du Cours de Mécanique 1 er semestre, année 2011/2012 Ecole Polytechnique de l Université de Nice - Sophia Antipolis CiP1 Notes du Cours de Mécanique 1 er semestre, année 2011/2012 Patrizia Vignolo Jean-Michel Chauveau Thibault Gayral Sommaire : Introduction

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

Précession du périhélie de Mercure

Précession du périhélie de Mercure Préparation à l Agrégation de Sciences Physiques ENSP - Montrouge François Levrier Problème de mécanique Précession du périhélie de Mercure 1 er décembre 25 Ce problème, qui est basé en partie sur celui

Plus en détail

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES

DYNAMIQUE DE FORMATION DES ÉTOILES A 99 PHYS. II ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,

Plus en détail

Chapitre 3: Dynamique

Chapitre 3: Dynamique Introduction Le mot dynamique désigne ou qualifie ce qui est relatif au mouvement. Il est l opposé du mot statique. Le mouvement d un point matériel est liée à son interaction avec le monde extérieur ce

Plus en détail

Michel Le Bellac. HAL Id: cel-00092961 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092961

Michel Le Bellac. HAL Id: cel-00092961 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092961 Relativité générale pour débutants Michel Le Bellac To cite this version: Michel Le Bellac. Relativité générale pour débutants. DEA. 2004. HAL Id: cel-00092961 https://cel.archives-ouvertes.fr/cel-00092961

Plus en détail

Centrale-TSI Physique 2012 page 1/7

Centrale-TSI Physique 2012 page 1/7 Centrale-TSI Physique 0 page /7 Centrale TSI physique 0 : "De la Terre à la Lune" I - De la Terre A - Décollage Choix du référentiel : a) Le référentiel géocentrique est le référentiel en translation par

Plus en détail

Travail, énergie et puissance, V7.1. conservation de l'énergie mécanique, forces dissipatives

Travail, énergie et puissance, V7.1. conservation de l'énergie mécanique, forces dissipatives 5 Travail, énergie et puissance, V7.1 conservation de l'énergie mécanique, forces dissipatives 1 Le travail L'objet O subit un déplacement indiqué par le vecteur s. Si une force F agit sur O, alors le

Plus en détail

MÉCANIQUE PHQ 310. David Sénéchal. Département de physique Faculté des sciences Université de Sherbrooke

MÉCANIQUE PHQ 310. David Sénéchal. Département de physique Faculté des sciences Université de Sherbrooke MÉCANIQUE II PHQ 310 David Sénéchal Département de physique Faculté des sciences Université de Sherbrooke 25 juin 2015 2 Table des matières 1 Mécanique de Lagrange 9 1.1 Équations de Lagrange........................................

Plus en détail

U 315 J. 5008 SESSION 2003. Filière MP PHYSIQUE. ENS de Paris. Durée : 6 heures

U 315 J. 5008 SESSION 2003. Filière MP PHYSIQUE. ENS de Paris. Durée : 6 heures U 315 J. 5008 SESSION 2003 Filière MP PHYSIQUE ENS de Paris Durée : 6 heures L usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d accompagnement,

Plus en détail

Principes de base de la relativité générale

Principes de base de la relativité générale Principes de base de la relativité générale Monique SIGNORE Directeur de recherche associé à l Observatoire de Paris Monique.Signore@obspm.fr Sophie REMY, Comité national EPhy sophie.remy@prepas.org L

Plus en détail

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire

2. Déplacement d une charge ponctuelle dans un champ magnétique uniforme stationnaire Chapitre VII Forces électromagnétiques VII.a. Force de Lorentz La force à laquelle est soumis, à un instant t, un point matériel de charge q, situé en M et se déplaçant à une vitesse v(t) par rapport à

Plus en détail

par Gilbert Gastebois

par Gilbert Gastebois Le gyroscope 1. Schémas par Gilbert Gastebois 2. Étude du mouvement d'une toupie. Une toupie est un gyroscope dont l'une des extrémités de l'axe est posée sur le sol sans possibilité de glissement. : vitesse

Plus en détail

Physique. De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d aventure spatiale

Physique. De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d aventure spatiale Physique TSI 4 heures Calculatrices autorisées De la Terre à la Lune : Programme Apollo, 15 ans d aventure spatiale 2012 Ce problème aborde quelques aspects du Programme Apollo, qui permit à l Homme de

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons

I - Quelques propriétés des étoiles à neutrons Formation Interuniversitaire de Physique Option de L3 Ecole Normale Supérieure de Paris Astrophysique Patrick Hennebelle François Levrier Sixième TD 14 avril 2015 Les étoiles dont la masse initiale est

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2

Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition. Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 10 11 m 3 kg 1 s 2 Introduction Page xxi (milieu de page) G = 6, 672 59 1 11 m 3 kg 1 s 2 Erratum de MÉCANIQUE, 6ème édition Page xxv (dernier tiers de page) le terme de Coriolis est supérieur à 1% du poids) Chapitre 1 Page

Plus en détail

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE

Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Chap 8 - TEMPS & RELATIVITE RESTREINTE Exercice 0 page 9 On considère deux évènements E et E Référentiel propre, R : la Terre. Dans ce référentiel, les deux évènements ont lieu au même endroit. La durée

Plus en détail

MECANIQUE DU POINT. y e y. z e z. ] est le trièdre de référence. e z. où [O, e r. r est la distance à l'axe, θ l'angle polaire et z la côte

MECANIQUE DU POINT. y e y. z e z. ] est le trièdre de référence. e z. où [O, e r. r est la distance à l'axe, θ l'angle polaire et z la côte I) Cinématique du point matériel: 1) Référentiel: MECANIQUE DU POINT L ensemble de tous les systèmes d axes de coordonnées liés à un même solide de référence S constitue un repère Soit une horloge permettant

Plus en détail

Université de Franche-Comté - UFR Sciences et Techniques - Département de Physique Master de Physique 1ère année. Mécanique Quantique Travaux Dirigés

Université de Franche-Comté - UFR Sciences et Techniques - Département de Physique Master de Physique 1ère année. Mécanique Quantique Travaux Dirigés Master de Physique 1ère année Mécanique Quantique Travaux Dirigés 1 Master de Physique 1ère année - Mécanique Quantique TD 1: Systèmes quantiques de dimension finie Exercice 11- Atome à 2 niveaux dans

Plus en détail

spectrales Jerome.Novak@obspm.fr Laboratoire Univers Théories (LUTH) CNRS / Observatoire de Paris, France

spectrales Jerome.Novak@obspm.fr Laboratoire Univers Théories (LUTH) CNRS / Observatoire de Paris, France Jerome.Novak@obspm.fr Laboratoire Univers Théories (LUTH) CNRS / Observatoire de Paris, France en collaboration avec Éric Gourgoulhon & Philippe Grandclément 10 décembre 2007 Plan 1 : exemple avec les

Plus en détail

Trous de ver en gravité classique et semi-classique

Trous de ver en gravité classique et semi-classique Master Science de la matière Stage 203 204 Ecole Normale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon I M2 Physique Trous de ver en gravité classique et semi-classique Résumé : L objet de ce stage

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 2e année

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 2e année Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 2e année Courbes et surfaces Boris Thibert Les courbes et les surfaces interviennent

Plus en détail

A propos de la sonde Rosetta. Corrigé de l'épreuve

A propos de la sonde Rosetta. Corrigé de l'épreuve Concours EPITA IPSA Épreuve de physique A propos de la sonde Rosetta Corrigé de l'épreuve A Navigation spatiale Questions préliminaires 1 Compte-tenu des symétries, on détermine l'expression du champ de

Plus en détail

Concours CCP 2001 PSI PREMIER PROBLEME

Concours CCP 2001 PSI PREMIER PROBLEME c A vos cours 2001 1 Concours CCP 2001 PSI PREMIERE COMPOSITION DE SC. PHYSIQUES (Durée : 4 heures) Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous réserve des conditions définies

Plus en détail

Cours de physique. Classes 1B et 1C. Athénée de Luxembourg

Cours de physique. Classes 1B et 1C. Athénée de Luxembourg Cours de physique Classes 1B et 1C Athénée de Luxembourg Table des matières 1 Cinématique et Dynamique 5 1.1 Grandeurs cinématiques.............................. 5 1.1.1 Base cartésienne..............................

Plus en détail

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif -

POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux. - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section Audioprothésiste / stage i-prépa intensif - 70 Chapitre 8 : Champ de gravitation - Satellites I. Loi de gravitation universelle : (

Plus en détail

Le second nuage : questions autour de la lumière

Le second nuage : questions autour de la lumière Le second nuage : questions autour de la lumière Quelle vitesse? infinie ou pas? cf débats autour de la réfraction (Newton : la lumière va + vite dans l eau) mesures astronomiques (Rœmer, Bradley) : grande

Plus en détail

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h)

Sujet. calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h) DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ CONCOURS BLANC calculatrice: autorisée durée: 2 heures (10h-12h) Sujet Vaisseau spatial... 2 I.Vaisseau spatial dans un champ newtonien... 2 II.Vitesse de libération...3 A.Option

Plus en détail

Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction

Electricité et magnétisme - TD n 10 Induction Electricité et magnétisme - TD n 1 Induction 1. Inductance mutuelle - transformateur On considère un solénoïde de section circulaire, de rayon R 1, de longueur, et constitué de N 1 spires. A l intérieur

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe.

Chapitre I. Calcul vectoriel. Nous nous placerons dorénavant toujours dans une base orthonormée directe. Chapitre I INTRODUCTION ATHÉATIQUE I.A. I.A.1. Calcul vectoriel Produit vectoriel Plaçons-nous dans un espace vectoriel euclidien à trois dimensions. En faisant subir des rotations identiques aux trois

Plus en détail

ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points)

ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points) ARISTOTE, GALILÉE ET NEWTON (6 points) Pour cet exercice, l'utilisation de la calculatrice est autorisée Trois siècles avant notre ère, le célèbre savant grec Aristote affirmait qu "une masse d or, de

Plus en détail

La fonction d onde et l équation de Schrödinger

La fonction d onde et l équation de Schrödinger Chapitre 1 La fonction d onde et l équation de Schrödinger 1.1 Introduction En physique classique, une particule est décrite par sa position r(t). L évolution de sa position (la trajectoire de la particule)

Plus en détail

Stéphane Paltani. Cosmologie I, 2012 2013

Stéphane Paltani. Cosmologie I, 2012 2013 Stéphane Paltani Stephane.Paltani@unige.ch Département d astronomie, Université de Genève Cosmologie I, 2012 2013 Ce cours est essentiellement basé sur le cours Lectures on Gravitational Lensing, de Ramesh

Plus en détail

Le GPS : une précision toute relativiste

Le GPS : une précision toute relativiste Le GPS : une précision toute relativiste Table des matières 1 Structure du poster 1 2 Anecdotes 2 3 Signaux transmis par les satellites 3 4 Effets relativistes 4 5 Traversée de l atmosphère 6 6 Galileo

Plus en détail

Chapitre 3 : Dynamique du point matériel

Chapitre 3 : Dynamique du point matériel Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 3 : Dynamique SMPC1 Chapitre 3 : Dynamique du point matériel I Lois fondamentales de la dynamiques I.1)- Définitions Le Référentiel de Copernic: Le référentiel

Plus en détail

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées.

EPREUVE SPECIFIQUE FILIERE MP PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures. Les calculatrices sont autorisées. EION 003 EPREUVE PECIFIQUE FIIERE MP PHYIQUE 1 Durée : 4 heures es calculatrices sont autorisées NB : e candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

Gravitation universelle

Gravitation universelle Chapitre 7 Gravitation universelle Révision et Résumé Où commencer? En plus de l apprentissage du cours, que vous devez recopier, réciter, rerecopier, jusqu à en savoir la moindre virgule, refaites les

Plus en détail

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES

RAPPELS DE MATHEMATIQUES. ORTHOPHONIE Première année. Dr MF DAURES RAPPELS DE MATHEMATIQUES ORTHOPHONIE Première année 27 28 Dr MF DAURES 1 RAPPELS DE MATHEMATIQUES I - LES FONCTIONS A - Caractéristiques générales des fonctions B - La fonction dérivée C - La fonction

Plus en détail

La Relativité générale aujourd hui

La Relativité générale aujourd hui Séminaire Poincaré IX (2006) 1 40 Séminaire Poincaré La Relativité générale aujourd hui Thibault Damour Institut des Hautes Études Scientifiques 35, route de Chartres 91440 Bures-sur-Yvette, France 1 Introduction

Plus en détail

Objectifs du Chapitre. Initiatiaon à l Analyse Dimensionnelle. Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude.

Objectifs du Chapitre. Initiatiaon à l Analyse Dimensionnelle. Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude. Objectifs du Chapitre Initiatiaon à l Analyse Dimensionnelle. Introduction à la Théorie de Maquettes et Similitude. Adil Ridha (Université de Caen) Analyse Dimensionnelle et Similitude 2009-2010 1 / 31

Plus en détail

Chapitre 1 Cinématique du point matériel

Chapitre 1 Cinématique du point matériel Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la

Plus en détail

Eléments de Relativité générale

Eléments de Relativité générale Eléments de Relativité générale par Gilbert Gastebois 1. Notations 1.1 Unités En relativité générale on adopte certaines conventions sur les unités pour simplifier les formules : On prend la vitesse de

Plus en détail

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1

Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Chafa Azzedine - Faculté de Physique U.S.T.H.B 1 Définition: La cinématique est une branche de la mécanique qui étudie les mouements des corps dans l espace en fonction du temps indépendamment des causes

Plus en détail

1 Mise en application

1 Mise en application Université Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014 TD : Corrigé TD1 - partie 2 1 Mise en application Exercice 1 corrigé Exercice 2 corrigé - Vibration d une goutte La fréquence de vibration d une goutte d eau

Plus en détail

Matière Noire et Alternatives

Matière Noire et Alternatives Séminaire Collège de France Matière Noire et Alternatives Luc Blanchet Gravitation et Cosmologie (GRεCO) Institut d Astrophysique de Paris 21 janvier 2015 Luc Blanchet (IAP) MN et alternatives Séminaire

Plus en détail

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées.

Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. Les correcteurs accorderont une importance particulière à la rigueur des raisonnements et aux représentations graphiques demandées. 1 Ce sujet aborde le phénomène d instabilité dans des systèmes dynamiques

Plus en détail

ELECTROSTATIQUE - 2. 1. Rappels. 2. Outils mathématiques. 3. Distribution de charges. 4. Exemples de calculs de champ électrique

ELECTROSTATIQUE - 2. 1. Rappels. 2. Outils mathématiques. 3. Distribution de charges. 4. Exemples de calculs de champ électrique ELECTROTATIQUE - 2 1. Rappels 2. Outils mathématiques 2.1. ystèmes classiques de coordonnées 2.2. Volume élémentaire dans chaque système de coordonnées 2.3. Intégrales des fonctions de points 2.4. Circulation

Plus en détail

Physique générale I Examen Janvier 2014 Prof. J-Ph. Ansermet. A. L anneau et le ressort (4/10 points) 20 janvier 2014-12h15-15h15

Physique générale I Examen Janvier 2014 Prof. J-Ph. Ansermet. A. L anneau et le ressort (4/10 points) 20 janvier 2014-12h15-15h15 Physique générae I Examen Janvier 014 Prof. J-Ph. Ansermet 0 janvier 014-1h15-15h15 Nom : Prénom : N Sciper : A. L anneau et e ressort (4/10 points) Un objet de masse m, considéré comme un point matérie

Plus en détail

Modèle d une automobile.

Modèle d une automobile. Modèle d une automobile. On modélise une automobile par deux disques homogènes identiques de masse m de rayon a, de moment d inertie J = (1/) m a par rapport à leurs axes respectifs, de centre C, en contact

Plus en détail

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières

SYSTEME DE PARTICULES. DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) Table des matières Physique Générale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE (suite) TRAN Minh Tâm Table des matières Applications de la loi de Newton pour la rotation 93 Le gyroscope........................ 93 L orbite

Plus en détail

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ

Champ et potentiel électrostatique. 1 Cas d une distribution de charges ponctuelles. Outils mathématiques. 1.1 Rappel (ou pas) : notion de champ 2 Champ et potentiel électrostatique Les e ets électriques peuvent être décrits par deux grandeurs que nous allons étudier dans ce chapitre : le champ électrostatique (grandeur vectorielle) et le potentiel

Plus en détail

Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications.

Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. Sébastien Bourdreux Agrégation de Physique Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand Utilisation des intégrales premières en mécanique. Exemples et applications. septembre 2003 Correcteur : Pascal DELLOUVE

Plus en détail

1 Outils mathématiques pour la Physique

1 Outils mathématiques pour la Physique Licence 3 Sciences de la Terre, de l Univers et de l Environnement Université Joseph-Fourier TUE 302 : Outil Physique et Géophysique 1 Outils mathématiques pour la Physique k Daniel.Brito@ujf-grenoble.fr

Plus en détail

Mécanique du Point Matériel

Mécanique du Point Matériel LYCEE FAIDHERBE LILLE ANNEE SCOLAIRE 2010-2011 SUP PCSI2 JFA. Bange Mécanique du Point Matériel Plan A. Formulaire 1. Cinématique du point matériel 2. Dynamique du point matériel 3. Travail, énergie 4.

Plus en détail

DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique

DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique DM n o 8 TS1 2012 Physique 10 (satellites) + Chimie 12 (catalyse) Exercice 1 Lancement d un satellite météorologique Le centre spatial de Kourou a lancé le 21 décembre 200, avec une fusée Ariane, un satellite

Plus en détail

Propagation des Ondes Sismiques

Propagation des Ondes Sismiques Propagation des Ondes Sismiques Jean-Arthur Olive Notes de cours de sismologie - Ecole Normale Supérieure, Département Terre-Atmosphère-Océan Table des matières 1 Equation des ondes de volume 3 1.1 Equation

Plus en détail

PeiP Polytech Paris-Sud

PeiP Polytech Paris-Sud PeiP Polytech Paris-Sud Année 1 - Semestre 2 MECANIQUE 2011-2012 C.Pasquier Polycopié réalisé avec la suite libre Openoffice.org 3.3.0 (http://www.openoffice.org) Cours de mécanique S2-PoPS et L1: C.Pasquier,

Plus en détail

Vers une généralisation multidimensionnelle de la notion de géodésique sur les groupes de Lie (1 ère partie).

Vers une généralisation multidimensionnelle de la notion de géodésique sur les groupes de Lie (1 ère partie). Vers une généralisation multidimensionnelle de la notion de géodésique sur les groupes de Lie 1 ère partie. Florie-Anne Baugé, Joël Bensoam IRCAM, centre. Pompidou, CNRS UMR 9912, Acoustic Instrumental

Plus en détail

Mathématiques II. Session de rattrapage

Mathématiques II. Session de rattrapage NOM :... FIPA BTP Prénom :... Date :... Mathématiques II Session de rattrapage Thème: Opérateurs vectoriels, potentiels scalaires, circulations vectorielles, intégrales doubles Durée: 1H00 Outils autorisés:

Plus en détail

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ)

3.1 Circulation du champ d une charge ponctuelle A(Γ) Chapitre 3 Le potentiel électrostatique Le champ électrostatique peut être caractérisé simplement à l aide d une fonction que nous appellerons potentiel électrostatique. Cette fonction scalaire est souvent

Plus en détail

Mécanique analytique et vibrations

Mécanique analytique et vibrations Mécanique analytique et vibrations Gerald R. Kneller Université d Orléans et Centre de Biophysique Moléculaire, CNRS Rue Charles Sadron 45071 Orléans Table des matières 1 Introduction 2 2 Mécanique de

Plus en détail

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement

L oscillateur OSCILLATEUR HARMONIQUE. Chapitre 1. I. Introduction, définitions. I.1. Exemple. I.2. Caractérisation du mouvement Chapitre 1 OSCILLATEUR HARMONIQUE harmonique étudié dans ce chapitre est un oscillateur mécanique constitué d un ressort et d une masse. Cet exemple simple permettra L oscillateur d introduire le concept

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

TD : les lois de Kepler et la détermination de la masse de Jupiter. 1. Les lois de la mécanique céleste dans le système solaire :

TD : les lois de Kepler et la détermination de la masse de Jupiter. 1. Les lois de la mécanique céleste dans le système solaire : TD : les lois de Kepler et la détermination de la masse de Jupiter Objectif : calculer la masse de Jupiter en observant le mouvement de ses satellites et en utilisant la 3ème loi de Kepler 1. Les lois

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

2013-2014 UE FC5. Relativité générale

2013-2014 UE FC5. Relativité générale Observatoire de Paris, Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11, École Normale Supérieure Master Astronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale Année M2 - Parcours Recherche 2013-2014 UE FC5 Relativité

Plus en détail

La notion de temps. par Jean Kovalevsky, membre de l'institut *

La notion de temps. par Jean Kovalevsky, membre de l'institut * La notion de temps par Jean Kovalevsky, membre de l'institut * Introduction : le temps classique Nous avons de la notion de temps une connaissance primaire, vivant dans un présent coincé entre un passé

Plus en détail

TD de Physique n o 1 : Mécanique du point

TD de Physique n o 1 : Mécanique du point E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M FE 3 e année Phsique appliquée 011-01 TD de Phsique n o 1 : Mécanique du point Exercice n o 1 : Trajectoire d un ballon-sonde Un ballon-sonde M, lâché au niveau du

Plus en détail

MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I

MAT 1720 A : Calcul différentiel et intégral I MAT 1720 A : et intégral I Paul-Eugène Parent Département de mathématiques et de statistique Université d Ottawa le 30 novembre 2015 Au menu aujourd hui 1 2 Problèmes 1) Un homme se trouve sur la rive

Plus en détail

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables

Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Relations fondamentales de la dynamique des milieux continus déformables Lois universelles de la physique des milieux continus conservation de la masse bilan de quantité de mouvement bilan de moment cinétique

Plus en détail

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA

Professeur Eva PEBAY-PEYROULA UE3-1 : Physique Chapitre 2 : Électrostatique Professeur Eva PEBAY-PEYROULA Année universitaire 2010/2011 Université Joseph Fourier de Grenoble - Tous droits réservés. II- Électrostatique Finalité du chapitre

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Électromagnétisme et Optique Physique

Électromagnétisme et Optique Physique Électromagnétisme et Optique Physique Dr.R.Benallal DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE École Préparatoire en Sciences et Techniques de Tlemcen Physique 4 Fevrier-Juin 2013 Programme du module I Électromagnétisme

Plus en détail

Michel Henry Nicolas Delorme

Michel Henry Nicolas Delorme Michel Henry Nicolas Delorme Mécanique du point Cours + Exos Michel Henry Maître de conférences à l IUFM des Pays de Loire (Le Mans) Agrégé de physique Nicolas Delorme Maître de conférences à l université

Plus en détail

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE

M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE M4 OSCILLATEUR HARMONIQUE I Modèle de l oscillateur harmonique (O.H.) I. Exemples Cf Cours I. Définition Définition : Un oscillateur harmonique à un degré de liberté x (X, θ,... ) est un système physique

Plus en détail

Tutorat 2 de Mathématiques (1ère année)

Tutorat 2 de Mathématiques (1ère année) Tutorat 2 de Mathématiques (ère année) 9//200 Transformée de Radon et Tomographie par Rayons X Compte-rendu à déposer svp le casier de mon bureau. N hésitez pas à me contacter en cas de difficultés majeures

Plus en détail

DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45)

DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45) DS n o 5 TS1 2012 Chutes des boulets (8 points, 1h45) Exercice 1 Galilée à Pise (5,5 points) O i Selon la légende, Galilée (1564-1642) aurait étudié la chute des corps en lâchant divers objets du sommet

Plus en détail

Courbes paramétriques et équations différentielles pour la physique (Mat237)

Courbes paramétriques et équations différentielles pour la physique (Mat237) Courbes paramétriques et équations différentielles pour la physique (Mat237) Bernard.Parisse@ujf-grenoble.fr 2015 Remarque : dans la version PDF de ce cours, le lecteur pourra s étonner de ne voir aucune

Plus en détail

Chapitre 12 Physique quantique

Chapitre 12 Physique quantique DERNIÈRE IMPRESSION LE 29 août 2013 à 13:52 Chapitre 12 Physique quantique Table des matières 1 Les niveaux d énergie 2 1.1 Une énergie quantifiée.......................... 2 1.2 Énergie de rayonnement

Plus en détail

UN EXEMPLE DE PRÉPARATION DES PETITES CLASSES DU COURS DE DE MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

UN EXEMPLE DE PRÉPARATION DES PETITES CLASSES DU COURS DE DE MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Département de Mécanique École Polytechnique UN EXEMPLE DE PRÉPARATION DES PETITES CLASSES DU COURS DE DE MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS O. Thual, mars 1998 Avertissement au lecteur Ce document regroupe

Plus en détail

L éther et la théorie de la relativité restreinte :

L éther et la théorie de la relativité restreinte : Henri-François Defontaines Le 16 octobre 2009 L éther et la théorie de la relativité restreinte : Univers absolu ou relatif? Imaginaire ou réalité? «Ether : PHYS. Anc. Fluide hypothétique, impondérable,

Plus en détail

SOLUTIONS EXACTES POUR DES MODÈLES D'UNIVERS À SYMÉTRIE SPHÉRIQUE EN COSMOLOGIE NON-HOMOGÈNE

SOLUTIONS EXACTES POUR DES MODÈLES D'UNIVERS À SYMÉTRIE SPHÉRIQUE EN COSMOLOGIE NON-HOMOGÈNE Charly Nayet 2ème année du Master Sciences de la Matière Ecole Nationale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon1 avril-juillet 28 SOLUTIONS EXACTES POUR DES MODÈLES D'UNIVERS À SYMÉTRIE SPHÉRIQUE

Plus en détail

Électromagnétisme. Chapitre 2. Approche locale du champ ( E, B)

Électromagnétisme. Chapitre 2. Approche locale du champ ( E, B) Électromagnétisme Chapitre 2 Approche locale du champ ( E, B) I Potentiel électrostatique Approche locale du champ ( E, B) Dans le premier chapitre, nous avons étudié les champs avec une approche globale,

Plus en détail

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites

Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites I- Les trois lois de Kepler : Chapitre 9 : Applications des lois de Newton et Kepler à l'étude du mouvement des planètes et des satellites Les lois de Kepler s'applique aussi bien pour une planète en mouvement

Plus en détail

Dynamique des systèmes 1

Dynamique des systèmes 1 Dynamique des systèmes 1 Mai 2010 Ch. Duval 2 Figure 1 Astronomia Nova (Kepler,1609) 1. Unité d Enseignement PHY1 des Licences Physique, Chimie et Informatique et Mathématiques UFR Sciences de Luminy 2.

Plus en détail

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS

INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS INTRODUCTION À LA THÉORIE DE STABILITÉ DES SYSTÈMES CONSERVATIFS David Ryckelynck Centre des Matériaux, Mines ParisTech David.Ryckelynck@mines-paristech.fr Bibliographie : Stabilité et mécanique non linéaire,

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Bigravité, modèle bimétrique d univers. 2 : Solution non-linéaires exactes et effets de lentille gravitationnelle, positif et négatif.

Bigravité, modèle bimétrique d univers. 2 : Solution non-linéaires exactes et effets de lentille gravitationnelle, positif et négatif. 1 Bigravité, modèle bimétrique d univers. : Solution non-linéaires exactes et effets de lentille gravitationnelle, positif et négatif. Jean-Pierre Petit et Gilles d Agostini CITV Août 007 Résumé : Après

Plus en détail

M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL

M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL M6 MOMENT CINÉTIQUE D UN POINT MATÉRIEL OBJECTIFS Jusqu à présent, nous avons rencontré deux méthodes pour obtenir l équation du mouvement d un point matériel : - l utilisation du P.F.D. - et celle du

Plus en détail

Géométrie harmonique des fibrés tangents

Géométrie harmonique des fibrés tangents République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Faculté des Sciences Exactes et Appliquées Département de Mathématiques Thèse de doctorat

Plus en détail