Structure et Evolution des étoiles

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1 Structure et Evolution des étoiles

2 Rayon = km Luminosité = W Notre Soleil Mesurable connaissant : - Sa distance d (mesure de parallaxe) - Son diamètre angulaire θ R = d tg θ/2 Mesurable connaissant : - Sa distance d (mesure de parallaxe) - Le flux reçu sur terre C L = 4π d 2 C Température effective = 5777 K ~ Température de surface Obtenue via sa définition : L = 4π R 2 σt eff 4 Masse = kg Mesurable par la mécanique céleste, 3 ème Loi de Kepler : GM = 4π 2 a 3 /P 2

3 Caractéristiques interne des étoiles Symétrie sphérique Masse Une seule dimension spatiale : la distance au centre : r Masse de chaque coquille sphérique d épaisseur dr dm dm = ρ dv = ρ 4 π r dm dr = 4π ρ r 2 2 dr m Soleil : ~ kg/m 3

4 Sphère de gaz à l équilibre hydrostatique Résultante des forces sur chaque volume matériel infinitésimal = 0

5 Sphère de gaz à l équilibre hydrostatique -P(r+δr) Résultante des forces sur un volume matériel infinitésimal de section unitaire : g δm P(r) δr Pression : -P(r+δr) + P(r) (force de surface) Pesanteur : -ρ g δr F r Equilibre des forces : = 0 dp dr = ρ g (force de volume) Forme intégrée : P( r) = R r g ρ dr = M m( r) Gm 4π r 4 dm

6 Etat de la matière stellaire Modèle à densité constante : ~ Pa ~ kg/m 3 Atomes d hydrogène neutre en contact H H H H H H d 0 ~ m Mais la répulsion entre les atomes est-elle suffisante pour soutenir un tel poids? La matière est ionisée

7 Etat de la matière stellaire La matière stellaire est ionisée : plasma Distance moyenne entre particules ~ m >> m Taille des noyaux Equation d état d un gaz parfait : Estimation de la température centrale Poids moléculaire moyen : µ He = 4/3 µ H = 1/2 µ * ~ Température suffisante pour les réactions de fusion nucléaire

8 Réactions nucléaires : Chaîne p-p H + 2 e He γ e - e + e - γ e +

9 Température suffisante pour des réactions de fusion nucléaire? La barrière coulombienne Potentiel d un noyau E Cb r 0 : rayon nucléaire r min pour T ~ 10 7 K Le franchissement de la barrière coulombienne semble impossible

10 Température suffisante pour des réactions de fusion nucléaire? Certains noyaux peuvent franchir la barrière coulombienne grâce à : l effet tunnel E Cb r min Rappel : Barrière carrée : E V Probabilité de franchissement de la barrière carrée : Eq. Schroedinger :

11 Rôle des réactions nucléaires 1) Production d énergie Fusion de H H + 2 e 2He Chaleur fournie par la réaction E = M c 2 : Masse du noyau : Masse atomique

12 Rôle des réactions nucléaires 1) Production d énergie Energie de liaison par baryon : A : Nbre baryonique M : Masse atomique Energie de liaison par baryon Fusions Fer : exothermique Au-delà : endothermique

13 Rôle des réactions nucléaires 2) Nucléosynthèse des éléments de l univers Fusion de l hydrogène Fusion de l hélium Fusion du carbone Fusion de L oxygène Fusion du silicium 4 H He 4 (T ~ 10 7 K, Q = MeV) 3 He 4 C 12 (T ~ 10 8 K C 12 + He 4 O 16 He 4 + Be * 8 C 12 + γ Q = MeV) 2 C 12 O He 4 (T ~ (0.5-1) 10 8 K, Q ~ 13 MeV) (Ne 20, Na 23, Mg 24, ) He 4 + He 4 Be 8 * 2 O 16 Si 28 + He 4 (T ~ K, Q ~ 16 MeV) (S 32, Mg 24,...) 2 Si 28 Fe 56, (T ~ 3 x 10 9 K) équilibre thermodynamique nucléaire, T ~ 7 x 10 9 K)

14 Transport de l énergie du centre vers la surface 1) Radiation Sources d opacité Dans les étoiles : k T ~ h ν < kev transitions électroniques Transitions lié-lié Transitions lié-libre Libre-libre Diffusion E + E ν = E/h e - Continu E + χ ν > χ/h e - Z e - e - hν e - E E hν e - hν Libre parcours moyen des photons : l = (κρ) 1 < ( m -1 ) -1 ~ cm Les étoiles sont complètement opaques κ es (1 X ) m 2 /kg Fraction en masse d H

15 Transport de l énergie du centre vers la surface 1) Radiation Libre parcours moyen des photons ~ cm à l intérieur des étoiles! L intérieur des étoiles est complètement opaque et à l équilibre thermodynamique Le spectre de rayonnement est exactement celui d un corps noir dans les régions profondes

16 Transport de l énergie du centre vers la surface 1) Radiation Les photons se propagent dans toutes les directions, (libre parcours ~ cm) mais quel est le flux d énergie net? La température décroît vers l extérieur. La densité d énergie radiative décroît vers l extérieur. Cela conduit à un flux d énergie net du centre vers la surface. T+dT L = σ ( T + dt ) = 4 σ T 3 dt 4 σ T 4 ~ l = (κρ κρ) 1 Ce calcul était approximatif, la valeur rigoureuse est : T

17 Transfert de l énergie (du centre à la surface) 2) Convection Si ρ e < ρ m m T m T e ρ ρ m e P P T 0 ρ 0 m m P 0 Poussée d archimède vers le haut Milieu instable vis-à-vis De la convection

18 Transfert de l énergie (du centre à la surface) 2) Convection Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : ρ e < ρ m Equilibre de pression : Critère en température? P e = P m Gaz parfait P e = R ρ e T e = P m = R ρ m T m ρ e < ρ m T e > T m Critère d instabilité vis-à-vis de la convection en température

19 2) Convection Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : T e > T m Transport d énergie! On suppose une détente adiabatique du gaz pour l élément convectif : Gaz mono-atomique Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : ( ln P < 0!! ) Gaz parfait La convection apparaît quand le gradient de température est grand.

20 2) Convection Milieu instable vis-à-vis de la convection ssi : La convection apparaît quand le gradient de température est supérieur au gradient adiabatique. 2 64π σ r Cela sera le cas quand le milieu est très opaque; c est typiquement le cas dans l enveloppe des étoiles «froides». Les étoiles «froides» ont une enveloppe convective En général, le transport d énergie par la convection est très efficace dans les régions profondes de l étoile car la capacité calorifique (ρ T c p ) y est gigantesque un gradient à peine supérieur au gradient adiabatique suffit : dt dr = 3κ ρ LR T 3

21 Le Soleil r = 0 2/3 R : zone radiative r = 2/3 R R : zone convective

22 La granulation à la surface du soleil

23 La granulation à la surface du soleil

24 Equation de conservation de l énergie Bilan d énergie : Source volumique d énergie ds les étoiles : réactions nucléaires On définit ε n comme le taux de production d énergie nucléaire par unité de masse et de temps ε n dm est la quantité de chaleur fournie par les réactions nucléaires à la coquille sphérique de masse dm par unité de temps.

25 Equation de conservation de l énergie Bilan d énergie : Quantité de chaleur échangée par la coquille sphérique avec l extérieur / unité de temps : L(r+dr) L(r) = dl = dl/dr dr A l équilibre thermique : chaleur fournie = chaleur perdue dl = ε n dm d L/d m = ε n dl/dr = 4π r2 ρ ε n

26 Equations de structure d une étoile Conservation de la masse Equilibre hydrostatique Transfert d énergie Conservation de l énergie dm dr dp dr Radiation Convection dl dr = 4π ρ r Gρ m = 2 r dt dr dt dr = 4π ρ r 2 3κ ρ L = 2 64πσ r T = 2 ε - n 2 5 Gmρ T 2 r P 3

27 L évolution temporelle des étoiles

28 Formation des étoiles Nuages moléculaires

29 Nuages moléculaires Taille : ~ 4 a.l.

30 3 grands types de nuages interstellaires : 1) Nuages moléculaires H 2 majoritairement Masse : ~ M. Taille : ~ 1 50 pc Température : ~ K Densité en nombre : ~ m -3 2) Nuages atomiques : régions HI H atomique majoritairement Les plus abondantes mais aussi les plus difficiles à détecter (raie à 21 cm) Température : ~ K Densité en nombre : ~ m -3 3) Nuages ionisés : régions HII H + majoritairement Température : ~ 8000 K Densité en nombre : ~ m ρ air

31 1) Nuages moléculaires H 2 majoritairement Nébuleuse d orion : Masse : ~ M. Taille : ~ 1 50 pc Température : ~ K Densité en nombre : ~ m -3 2) Nuages atomiques : régions HI H atomique majoritairement Température : ~ K Densité en nombre : ~ m -3 3) Nuages ionisés : régions HII H + majoritairement Température : ~ 8000 K Densité en nombre : ~ m ρ air

32 Formation des étoiles Nuages moléculaires Si la densité du nuage interstellaire est suffisante et la température suffisamment basse, les atomes peuvent s associer et former des molécules. Nous avons un nuage moléculaire. Molécule la plus abondante : H 2. Problème : pas très détectable!! On les repère car leurs poussières cachent ce qu il y a derrière! Et grâce aux ondes radio provenant de la molécule CO.

33 Effondrement du nuage Les nuages ne s effondrent pas car il existe : - une force due au champ magnétique interstellaire. - un gradient de pression interne. - une force centrifuge. Mais ce n est pas un équilibre éternel!!! Masse : ~ M Taille : ~ 1 pc Barnard 68, un globule de Bok composé de gaz et de poussière. Les forces de gravité et de pression sont encore en équilibre, mais le nuage risque à tout moment de s'effondrer Facteurs pouvant rompre l équilibre : - Passage dans une zone de haute densité (bras spiraux). - Onde de choc due à l explosion d une supernova.

34 Effondrement du nuage Etape 1 : Effondrement gravifique Attraction gravifique : Gmρ/r 2 > gradient de pression : P La pression centrale augmente Le gradient de pression augmente Etape 2 : Equilibre hydrostatique Le gradient de pression devient suffisant pour compenser l attraction gravifique Equilibre hydrostatique

35 Contraction gravifique initiale d une étoile Théorème du Viriel Une intégration par partie de l équation d équilibre hydrostatique donne : Gaz parfait monoatomique Energie potentielle gravifique totale E g = - 2 E i Energie interne totale E i = - (1/2) E g La moitié de l énergie potentielle gravifique libérée lors de la contraction de l étoile conduit à une augmentation de son énergie interne totale.

36 Théorème du Viriel Equilibre hydrostatique P m = G m 4π r 4 Masse r = m 1 4π r 2 ρ Intégration par partie Gaz parfait ionisé dégénéré ou non, non-relativiste Energie potentielle gravifique totale E g = - 2 E i Energie interne totale : E i = 0M u dm

37 Contraction gravifique initiale d une étoile Théorème du Viriel Par conservation de l énergie totale, en l absence de réactions nucléaires, l autre moitié de l énergie potentielle gravifique libérée ne peut qu être rayonnée par l étoile. Lors de la contraction gravifique initiale : La moitié de l énergie potentielle gravifique libérée conduit à une augmentation de l énergie interne de l étoile. L autre moitié est rayonnée par celle-ci.

38 Contraction gravifique initiale d une étoile Contraction gravifique Théorème du Viriel La durée approximative de cette phase de contraction s évalue facilement, C est le temps d Helmholtz Kelvin : τ HK = (1/2) E g / L ~ GM 2 / (2 R L)

39 L évolution temporelle des étoiles Combustions nucléaires : oui ou non?

40 Naissance ou non des réactions nucléaires? Question : Lors de la contraction gravifique, T c augmente-t-elle toujours? Theorème du Viriel : r diminue u augmente a) Gaz parfait normal : u = c v T la température centrale augmente Quand elle est suffisante, réactions de fusion de l H : Une étoile est née!

41 La naissance des étoiles Amas des pléiades

42 Gaz dégénéré : Naissance ou non des réactions nucléaires? Dans des conditions de grande densité et «faible» température, le principe d exclusion de Pauli est très contraignant. Principe d exclusion de Pauli pour un gaz de fermions : maximum 2 particules identiques dans le volume de phase : dp x dp y dp z dx dy dz = h 3 n e ( r, p ) dx dy dz dp x dp y dp z : nbre. d électrons dans le volume dx dy dz dp x dp y dp z Princ. d excl. de Pauli : n e ( r, p ) h 3 2 n e ( r, p ) 2/h 3 Cas général : statistique de Fermi-Dirac Cas extrêmement dégénéré ( ρ, T ) : n e ( r, p ) ~ 2/h 3 pour p < p F Toutes les cases sont occupées jusqu à l impulsion de Fermi Composante x de l impulsion 2/h 3 Impulsion de Fermi x

43 Naissance ou non des réactions nucléaires? Gaz dégénéré : Principe d exclusion de Pauli : maximum 2 fermions identiques dans le volume de phase : dp x dp y dp z dx dy dz = h 3 Dans des conditions de grande densité et «faible» température, le principe d exclusion de Pauli est très contraignant. Toutes les faibles énergies sont occupées par des électrons. Les seules places encore disponibles correspondent à une énergie cinétique très élevée (E > E Fermi ). Lors de la contraction, l espace disponible diminue et il faut porter des électrons à ces très hautes énergies. L énergie gravifique libérée lors de la contraction n est pas suffisante pour accélérer les électrons aux énergies requises. L énergie manquante est puisée dans l énergie cinétique (~ 3/2 kt) des ions non-dégénérés de sorte que la température diminue!! 2/h 3 Impulsion de Fermi Composante x de l impulsion x

44 Evolution de la température centrale en fonction de la densité centrale pour des étoiles de différentes masses Gaz non-dégénéré Log T central M Gaz dégénéré Log ρ central

45 Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion T 10 7 K de l Hydrogène M < 0.08 M Naine brune Densité centrale (augmente au cours du temps)

46 Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion de l Helium T 10 8 K Combustion T 10 7 K de l Hydrogène 0.08 M < M < 0.5 M Naine blanche M < 0.08 M Naine brune Densité centrale (augmente au cours du temps)

47 Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion du Carbone Combustion de l Helium T K T 10 8 K Combustion T 10 7 K de l Hydrogène 0.08 M < M < 0.5 M Naine blanche M < 0.08 M Naine brune 0.5 M < M < 9 M Naine blanche Densité centrale (augmente au cours du temps)

48 Panorama des scénarios possibles d évolution des étoiles Température centrale Combustion du Silicium Combustion du Carbone Combustion de l Helium T 10 9 K T K T 10 8 K Combustion T 10 7 K de l Hydrogène 0.08 M < M < 0.5 M Naine blanche M < 0.08 M Naine brune 0.5 M < M < 9 M Naine blanche Explosion en Supernova Densité centrale (augmente au cours du temps) M > 9 M

49 Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 1) contraction gravifique La moitié de l énergie potentielle gravifique libérée lors de la contraction de l étoile conduit à une augmentation de son énergie interne. L autre moitié est rayonnée.

50 Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 2) Séquence principale M ~ 100 M Phase la plus longue: Fusion de l hydrogène en hélium La plupart des étoiles sont dans cette phase M ~ 0.1 M C est le cas de notre soleil

51 Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 2) Séquence principale M ~ 100 M Relation masse-luminosité Pression au cœur ~ G M 2 / R 4 Densité ~ M / R 3 Température ~ P/ρ ~ M/R M ~ 0.1 M L M ν

52 La séquence principale Relation Masse-Luminosité, conséquences : 1) M L 2) M L Durée de vie Q pp ~ 25 Mev τ nuc ~ (Q pp /4) 1000 N av (M/10) / L ~ ans (soleil)

53 Le parcours des étoiles dans le diagramme de Hertzsprung-Russell 2) Séquence principale Contraction du cœur au fur et à mesure de la diminution de combustible et dilatation modérée de l enveloppe Faibles masses (M < 1.2 M 0 ) L, R, Teff? Grandes masses (M > 1.2 M 0 ) L, R, Teff

54 Evolution: Le parcours post-séquence des étoiles principale dans diagramme de Hertzsprung-Russell 3) Expansion rapide de l enveloppe Refroidissement (T eff ) L étoile traverse très rapidement le diagramme HR et devient une Géante rouge Temps de traversée << Phase séquence principale Fusion de l hydrogène en couche En-dessous, le cœur se contracte et la température centrale augmente lentement (faibles masses).

55 Evolution: Le parcours post-séquence des étoiles principale dans diagramme de Hertzsprung-Russell 4) L étoile grimpe le long de la Branche des Géantes Rouges. Faibles masses (M < 2.3 M ) Branche horizontale B R A N C H E D E S G E A N T E S R O U G E S - Le cœur se contracte et l enveloppe se dilate considérablement. - Combustion en couche de H - Quand M coeur ~ 0.45 M 0,T ~ 10 8 K Combustion de l hélium dans un Gaz d électrons dégénérés (volume figé) : flash de l hélium, structure bouleversée Redémarrage calme de la combustion sur la Branche Horizontale

56 Evolution: Le parcours post-séquence des étoiles principale dans diagramme de Hertzsprung-Russell 4) L étoile grimpe le long de la Branche des Géantes Rouges. Masses élevées (M > 2.3 M 0 ) La dégénérescence des électrons n apparaît jamais. Démarrage de la combustion de l hélium en douceur. L étoile fait une boucle dans le diagramme HR. Céphéides B R A N C H E D E S G E A N T E S R O U G E S

57 Les géantes et supergéantes rouges Grande enveloppe convective très diluée (taille > orbite terrestre!!) Bételgeuse Cœur très dense : R coeur ~ 0.01 R et chaud : T > 10 8 K R coeur ~ 10-5 R tot R tot ~ 600 R

58 Fin de vie : M < 9 M - Faible cohésion gravifique de l enveloppe : R GM/R 2 - Instabilités thermiques : pulses au niveau des couches de combustion de l hydrogène et de l hélium. Ejection «douce» de l enveloppe Phénomène de nébuleuse planétaire

59 nébuleuse planétaire

60 Variation du rayon du Soleil

61 Nébuleuses planétaires Phénomène de fluorescence du gaz chauffé par la naine blanche centrale

62 Nébuleuse planétaire de l hélice 2 Années lumières Nébuleuse de l hélice NGC7293 (HST)

63 Détail nébuleuse planétaire de l hélice (zoom) ~ 200 UA

64 Nébuleuses planétaires

65 Nébuleuses planétaires Nébuleuses Planétaires

66 Nébuleuses planétaires

67 Nébuleuses planétaires Nébuleuses Planétaires

68 Nébuleuses Planétaires

69 Nébuleuses Planétaires

70 Nébuleuses Planétaires

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72 Fin de vie : M < 9 M nébuleuse planétaire naine blanche

73 La naine blanche Le cœur résiduel est une naine blanche. Le gaz d électron est dégénéré. R ~ 0.01 R sun ~ km ~ planète M < 1.4 M, L ~ L ρ ~ 1 tonne / cm 3 La contraction est stoppée. L étoile puise son rayonnement dans son réservoir thermique : dt/dt < 0 Sa température décroît lentement. Sa luminosité décroît naine noire Sirius B : 1 ère naine blanche découverte (1862) identifiée comme telle en 1915

74 Séquence de refroidissement des naines blanches log (L/L ) Ejnar Hertzsprung Henry Norris Russell (1910) log(t eff )

75 Fin de vie : M > 9 M Différentes couches de fusion nucléaire au coeur Structure en pelures d oignon

76 Cœur d une étoile massive Durée des phases ultimes (15 M ) : Fusion du Carbone : ~ 6000 ans Néon : ~ 7 ans Oxygène : ~ 2 ans Silicium : ~ 6 jours Fer Silicium Oxygène Carbone Hélium Hydrogène Structure en pelure d oignon

77 S u p e r n o v a e d e t y p e I I Quand la masse du coeur de Fe ~ 1.46 M, différents facteurs physiques conduisent à son effondrement : a) Gaz dégénéré d électrons relativistes : ils saturent à la vitesse de la lumière et ne peuvent plus soutenir le poids de l étoile. Prod uction d e neutrons et ém ission d e neutrinos b) Capture d e - par les noyaux et les protons libres : e - + p n + ν e M o in s d é le c tro n s p o u r so u te n ir le p o id s d e l é to ile e t perte d e l énergie em portée par les neutrinos c) Photo-désintégration du fer : endothermique! T et d onc P n augm entent plus assez lors d e la contraction Le coeur ne peut plus soutenir son propre poids et s effondre

78 S u p e r n o v a e d e t y p e I I C h r o n o lo g ie s t a n d a r d 1) C o lla p se d u c o e u r d e F e r : 10 m s << te m p s d e c h u te d e l e n ve lo p p e 2 ) F in d u c o lla p se, le s n e u tro n s so n t e n c o n ta c t e t sto p p e n t b ru sq u e m e n t l e f f o n d re m e n t u n e o n d e d e c h o c n a ît a u so m m e t d u c o e u r e f f o n d ré e t tra n sm e t l é n e rg ie d e l e f f o n d re m e n t à l e n ve lo p p e q u i e st é je c té e. 3 ) L e s n e u trin o s a rrive n t à s é c h a p p e r se u le m e n t a p rè s 10 s (d if f u sio n ) 4 ) L o n d e d e c h o c se p ro p a g e p lu s vite q u e la m a tiè re e x p u lsé e e t a rrive à la su rf a c e d e l é to ile e n :- 3 jo u rs p o u r u n e su p e rg é a n te ro u g e (R = c m ) - 1 h e u re p o u r u n e su p e rg é a n te b le u e (R = c m ) 5 ) D é b u t d e l é m issio n lu m in e u se ~ L!! (ra y o n n e m e n t th e rm iq u e )

79 L e s s u p e r n o v a e d e t y p e I I L e c œ u r d e f e r s e t r a n s f o r m e e n u n c o e u r d e n e u t r o n s E f f o n d r e m e n t d u c œ u r E j e c t io n d e l e n v e lo p p e L e r é s id u e s t u n e é t o ile d e n e u t r o n s u n t r o u n o ir La nébuleusedu crabe l é t o ile e s t u n e s u p e r n o v a!

80 L e s s u p e r n o v a e d e t y p e I I ~ 1 0 m s!! ~ 1 0 m s!!

81 S u p e r n o v a e d e t y p e I I E n e r g i e r a y o n n é e : ~ L

82 L a n é b u le u s e d u C r a b e

83 Tycho

84 SN1987a

85 Nébuleuse de la Tarentule dans le LMC et SN1987a SN1987a

86 SN1987a

87 SN1987a

88 La méduse

89 Le pinceau

90 La sorcière

91 Le voile

92 Trou noir CassA

93 captures de neutrons processus r captures de neutrons processus s

94

95 Enrichissement de la matière interstellaire

96 source: NASA/Marshall Space Flight Center L étoile de neutrons

97 L étoile de neutrons Croute (Epaisseur ~ 1 km, ~ 0.1 % de la masse) Immenses noyaux hyper-riches en neutrons (ex: Sn!), état solide Coeur (rayon ~ km) Liquide dégénéré de neutrons Les pulsars Découverte : A. Hewish et J. Burnell : t ~ 20 ms D < c t ~ 6000 km Little Green Man Grand champs magnétique car B R 2 ~ constant et R ցց B րր générés par effet dynamo (courants induits par la rotation et la convection) B ~ 10 9 gauss (pulsar) B ~ gauss (magnétar)

98 Relativité générale Les trous noir Espace plat, coordonnées sphériques Invariant spacio-temporel : Même valeur du point de vue de tous les référentiels en mouvement uniforme Espace courbe engendré par un trou noir (métrique de Schwarzschild) ds 2 Courbure du temps : Temps propre du point de vue d un observateur à une distance r : Rayon de Schwarzschild ~ 3 km pour 1 M Du point de vue d un obs. à l infini, tout se passe au ralenti près de r=r s. En r = r s, le temps semble s arrêter!!

99 Relativité générale Les trous noir Espace courbe engendré par un trou noir (métrique de Schwarzschild) ds 2 Courbure de l espace : Distance radiale : Rayon de Schwarzschild ~ 3 km pour 1 M Périmètre d un cercle = 2 π r < 2 π distance au centre! Trajectoire des photons : déviée par le trou noir! Géodésiques ds = 0 Direction radiale : La lumière ne peut sortir de la sphère de Schwarzschild!!