Trous de ver en gravité classique et semi-classique

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1 Master Science de la matière Stage Ecole Normale Supérieure de Lyon Université Claude Bernard Lyon I M2 Physique Trous de ver en gravité classique et semi-classique Résumé : L objet de ce stage est l étude des trous de ver. En particulier, les trous de ver dits traversables en Relativité Générale sont présentés et les propriétés exotiques de la matière les créant discutées. Les problèmes soulevés par le caractère classique de cette matière nous mène à considérer les trous de ver dans le cadre de la gravité semi-classique. Mots clefs : Trous de ver, relativité générale, gravité semi-classique, anomalie conforme. Stage encadré par : Sergey Solodukhin sergey.solodukhin@lmpt.univ-tours.fr Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique Avenue Monge Parc de Grandmont Tours er août 204

2 Remerciements Je tiens à remercier Sergey Solodukhin qui m a permis d effectuer ce stage au LMPT. Je suis très heureux de pouvoir continuer en thèse sous sa direction! Je remercie également Amaury Mouchet, co-directeur du laboratoire, pour son accueil ainsi que pour son implication dans ma poursuite en thèse. Table des matières Introduction 2 Trous de ver en Relativité Générale 2. Trou de ver de Schwarzschild Trous de ver traversables de Morris-Thorne La métrique Géométrie du trou de ver Calculs dans le référentiel de repos Les équations d Einstein Matière "exotique" et conditions sur l énergie Exemples simples de trous de ver Trous de ver en gravité semi-classique 2 3. Gravité semi-classique Motivations Anomalie conforme Construction de l action effective Equations de champs Variation de l action totale Variation de l action totale Conditions initiales pour un début de solution Conclusion 9 A Notations et conventions 2 B Rappels de Relativité Générale 2

3 Introduction Les trous de ver sont des objets théoriques qui suscitent l intérêt des chercheurs depuis bien longtemps. Dès 935, Einstein et Rosen [] ont postulé l existence de "ponts" connectant deux univers identiques. Le principal problème de ces ponts est qu ils sont très instables et pas franchissables, donc pas très amusants. Les travaux de Morris et Thorne [2] ont relancé l intérêt lié aux trou de ver en considérant des modèles dits traversables. Malheureusement, il a vite été découvert que la matière nécessaire à la création de ce type de trou de ver possédait des propriétés exotiques, violant les conditions sur l énergie. Etant donné l impossibilité d obtenir des trous de ver traversables en relativité générale avec de la matière classique, le cadre de la gravité semi-classique semble tout indiqué pour résoudre ce problème car il est bien connu que certains champs quantiques peuvent violer les conditions sur l énergie (ex. Effet Casimir). Le but de ce stage a été d étudier les trous de ver de manière générale. Dans une première partie, nous étudierons les trous de ver traversables en relativité générale. Nous en présenterons quelques solutions et nous verrons certaines implications étranges sur la matière les soutenant. Nous nous tournerons dans la deuxième partie vers la gravité semi-classique. 2 Trous de ver en Relativité Générale Nous commencerons par discuter la solution bien connue de Schwarzschild puis nous verrons une méthode générale pour construire des trous de ver traversables en Relativité Générale. 2. Trou de ver de Schwarzschild La solution de Schwarzschild [3] des équations d Einstein dans le vide est une solution exacte parmi les plus connues. En coordonnées sphériques elle s écrit, ds 2 = ( r s/r)dt 2 + r s/r dr2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) () où r s = 2m et le rayon de Schwarzschild (horizon), m étant la masse. () décrit un espace-temps statique à symétrie sphérique et asymptotiquement plat. Sous cette forme, la métrique de Schwarzschild présente quelques pathologies. En effet, elle possède deux singularités, en r = r s et r = 0. La première n est en fait qu une singularité dite de coordonnées que l on peut éviter par le simple changement u 2 = r r s, qui transforme () comme u2 ds 2 = u 2 dt 2 + 4(u 2 + r s )du 2 + (u 2 + r s ) 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (2) + r s avec u ], + [. Ainsi nous évitons la région r < r s et couvrons deux fois la région r r s. Dans la région proche de u = 0 se trouve le trou de ver connectant les deux régions asymptotiquement plates en u = ±. Par ce changement de coordonnées, nous nous sommes débarrassés de la "singularité" en r = r s de () mais nous oublions le domaine r < r s. Ce dernier est pourtant d une grande importance si l on souhaite étudier le trou de ver de Schwarzschild puisque l espace-temps n y est plus statique. t devient la coordonnée spatiale et r la coordonnée temporelle. Les conséquences pour un voyageur sont dramatiques puisqu une fois passé l horizon des évènements r s, il se rapprochera inéluctablement de la singularité en r = 0, le flow du temps allant dans ce sens. Nous cherchons donc un système de coordonnées adapté au trou de ver, c est-à-dire qui inclue les régions asymptotiquement plates (r = ± ) ainsi que la région proche de r = 0. Kruskal [4] proposa l extension maximale de la métrique de Schwarzschild sous la forme ds 2 = 4r3 s r r e. On pourra trouver en annexe les notations/conventions utilisées rs ( dv 2 + du 2 ) + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (3)

4 avec v 2 u 2 = ( r r s )e r rs et 2uv v 2 + u 2 = tanh t r s (4) Ici, v est la cordonnée temporelle. La figure représente l espace-temps pour la métrique de Kruskal (3). Dans le premier système de coordonnées de Schwarzschild (), seule la région I est couverte. La métrique (2) couvre quant à elle les régions I et II. Le passage aux coordonnées de Kruskal permet finalement d étendre l espace-temps aux régions III et IV qui sont isométriques à II et I, respectivement. D après la métrique (3), pour dθ = 0 = dφ, une géodésique de type lumière (photon) est caractérisée Figure Diagramme de Kruskal. Les coordonnées angulaires ont été supprimées : chaque point du diagramme représente une 2-sphère (de rayon r(v, u)). La singularité en r = 0 est donnée par l équation v = ± + u 2 et représentée par une ligne ondulée. Une surface à r = const est représentée par une ligne bleue pleine et une surface à t = const par une ligne bleue hachurée. Extrait du cours "Black Holes" de Fay Dowker. par v = ±u + const, c est-à-dire des lignes à ±45 par rapport aux axes dans le diagramme de Kruskal (figure ). Le cône de lumière ressemble à celui de l espace de Minkowski car l espace à deux dimensions ds 2 = 4r3 s r r e rs ( dv 2 + du 2 ) est conformément plat. A partir de (4), on voit que r = const équivaut à l hyperbole v 2 u 2 = const. r = r s correspond donc aux droites u = ±v (asymptotes des hyperboles r = const) et r = 0 correspond aux hyperboles v = ± + u 2. De façon similaire, t = const équivaut à u/v = const. Les valeurs limites t = ± correspondent à v = ±u et t = 0 correspond à u = 0 et v = 0 pour r < r s et r > r s, respectivement. A présent, nous avons toutes les cartes en main pour interpréter physiquement l extension maximale de la solution de Schwarzschild. La région II représente l intérieur du trou noir (singularité futur, rien ne peut s en échapper) tandis que sa copie III représente l intérieur du trou blanc (singularité passé, rien ne peut y pénétrer). Les régions miroirs I et IV sont asymptotiquement plates il y aurait donc deux univers. Ces deux univers sont en fait connectés par un trou de ver, également appelé pont d Einstein-Rosen [], en r = 0. La question que l on peut se poser est : peut-on traverser ce pont? Pour y répondre, nous devons analyser la dynamique du trou de ver. 2

5 Trous de ver en gravité classique et semi-classique Commençons par regarder la métrique (3) pour v = 0 et θ = π /2, ds2 = 4rs3 rr 2 e s du + r2 dφ2 r (5) ds2 = dr2 + r2 dφ2 rs /r (6) que l on peut récrire en utilisant (4), Afin de visualiser cet espace (statique) à deux dimensions, nous devons le plonger dans l espace euclidien à trois dimensions dont la métrique en coordonnées cylindriques s écrit ds2e3 = dz 2 + dr2 + r2 dφ2 (7) r dz rs =± dr r rs (8) p z(r) = ± 4rs (r rs ) + const (9) En égalisant (6) et (7) on trouve, que l on intègre facilement, Nous avons représenté cette surface figure 2. Deux espaces (distincts) asymptotiquement plats sont connectés en r = rs par un pont d Einstein-Rosen. Nous aurions également pu représenter le trou de ver de façon à ce qu il relie deux régions distantes (I et IV) au sein d un même univers. Comme nous I IV Figure 2 Plongement dans E3 de l espace défini par la métrique (6). Deux espaces asymptotiquement plats sont connectés en r = rs par un pont d Einstein-Rosen. Les régions I et IV y sont identifiées. Les lignes circulaires correspondent à u = const et les autres à φ = const. venons de le voir, il est relativement facile de se représenter le trou de ver statique. Cependant, ce cas ne concerne que les régions I et IV car les régions II et III sont dynamiques (r y devient la coordonnée temporelle). Que se passe-t-il lorsque l on fait évoluer le temps? Réfléchissons avec les coordonnées de Kruskal. Pour v <, les deux univers sont déconnectés et contiennent chacun une singularité (r = 0). Ces deux singularité se rejoignent à v = pour former un trou de ver (r < rs ). Celui-ci "s élargit" jusqu à atteindre un rayon maximal, r = rs, au temps v = 0. Pour v > 0, la dynamique du trou de ver est essentiellement la même que pour < v < 0 mais en sens inverse. Le pont rétrécit jusqu à v = et les deux univers sont séparés pour v >, contenant à nouveau chacun une singularité. L évolution temporelle du trou de ver est illustré figure 3. Finalement, en sachant que toute particule peut se déplacer uniquement dans le cône de lumière délimité par des lignes à ±45 par rapport aux axes dans le diagramme de Kruskal (figure ), on 3

6 Figure 3 Illustration de l évolution temporelle du trou de ver de Schwarzschild. De gauche à droite : v < avant la formation du pont ; v = formation ; v = 0 le pont atteint sa largeur maximale ; v = séparation ; v > après la séparation du pont. s aperçoit que les régions I et II sont causalement déconnectées des régions III et IV. Rien, pas même un photon, ne peut donc traverser ce pont d Einstein-Rosen de la région I vers la région IV sans être écrasé au milieu du pont lorsque celui-ci se ferme. Cependant, un voyageur téméraire aura la (très brève) satisfaction de pouvoir observer à travers le trou de ver des signaux provenants de l autre univers. Nous venons de montrer que le trou de ver de Schwarzschild n est pas traversable... Mais est-il seulement approchable? Cette question est pertinente car un corps en chute libre vers un trou noir subira des forces de marée gravitationnelles. Si ces forces sont trop importantes, c est-à-dire si nos pieds subissent une accélération beaucoup plus élevée que ne subit notre tête, cela risque d avoir de fâcheuses conséquences pour notre intégrité physique! Pour un observateur en chute libre vers le trou noir, dans son référentiel instantané de repos, F radiale r s r 3, F transverse r s r 3 (0) L observateur sera donc compressé dans les directions transverses (signe ) et étiré dans la direction radiale (signe +). On peut remarquer que ces forces sont finies en r = r s et F radiale (r s ). rs 2 m 2 Les forces de marée au niveau de l horizon sont plus élevées pour des trous noirs de faible masse. Pour un trou noir de 0 M nous serions transformés en spaghettis à quelques centaines de kilomètres de l horizon! A contrario, nous franchirions sans sourciller l horizon d un trou noir de masse > 0 4 M. 2.2 Trous de ver traversables de Morris-Thorne Nous avons vu qu un trou de ver de Schwarzschild n est pas traversable pour plusieurs raisons. En premier lieu, celui-ci est dynamique et s ouvre et se ferme tellement vite que même un photon n aurait pas le temps de traverser. L existence d un horizon empêcherait un voyage dans les deux sens. Enfin, les forces de marée gravitationnelles sont bien trop grandes. Morris et Thorne [2] ont déterminé les propriétés que doit posséder un trou de ver pour qu il soit traversable (par l Homme) : ) La solution doit satisfaire les équations d Einstein! 2) La métrique doit être à symétrie sphérique et statique, par soucis de simplicité. 3) Le trou de ver doit connecter par un pont deux régions asymptotiquement plates. 4) Aucun horizon. 5) Les forces de marée gravitationnelles doivent être supportables pour un voyageur. 6) Le trou de ver doit être traversable en un temps propre fini et faible. 7) Le tenseur énergie-impulsion doit être physique. 8) La solution doit être stable sous de faibles perturbations. 4

7 Nous allons commencer par choisir une métrique sur la base de ) à 4) et qui nous semble raisonnable puis nous regarderons si le tenseur énergie-impulsion associé est physiquement acceptable (ou non!). Nous suivons Morris et Thorne [2] La métrique Nous choisissons pour métrique la forme de départ suivante : ds 2 = e 2ν(l) dt 2 + e 2λ(l) dl 2 + r 2 (l)(dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) () où l ], + [. Regardons d abord ce qu impliquent les propriétés 2 à 4 sur notre métrique. L absence d horizons implique que e 2ν(l) 0. Si l on souhaite que notre géométrie soit asymptotiquement plate, on doit avoir r 2 (l)/l 2 = ainsi que ν(l) = const et lim λ(l) = const. La lim l ± lim l ± l ± largeur de la gorge (pont) est définie comme l unique minimum de r(l), = r(0) = min{r(l)}. La forme de la métrique () n est pas celle qu utilisent habituellement les auteurs. Nous l utiliserons simplement pour calculer les différents tenseurs puis nous nous ramènerons à la métrique de Morris et Thorne suivante, ds 2 = e 2ν(r) dt 2 + b(r)/r dr2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (2) pour laquelle r a un minimum en et b(r)/r 0. Pour satisfaire les propriétés 2 à 4, on doit avoir e 2ν(l) 0 (pas d horizons), lim b(r) /r = 0 (géométrie asympotiquement plate) et b( ) = r + (conséquence du fait que r est minimum en ). On appelle ν(r) la fonction de redshift car elle détermine le redshift gravitationnel et b(r) est appelé la fonction de forme car, nous allons le voir, elle détermine la géométrie du trou de ver Géométrie du trou de ver Comme nous l avons vu pour Schwarzschild, la représentation d un trou de ver traversable (à deux dimensions) dans E 3 doit être qualitativement comme la figure 2. Lorsqu on plonge notre espace décrit par la métrique (t = const et θ = π/2) ds 2 = b(r)/r dr2 + r 2 dφ 2 (3) dans E 3 (7), on obtient une fonction z(r) décrivant notre espace (surface équatoriale) satisfaisant dz dr = ± b/r (4) b/r Afin d obtenir une géométrie de type trou de ver nous devrons donc veiller à plusieurs choses : La première est évidente, b/r 0. Ensuite, au niveau de la gorge en, les deux univers sont connectés ; la surface décrite par z(r) y est alors verticale et donc (4) doit diverger. Enfin, comme nous souhaitons que la géométrie soit asymptotiquement plate, (4) doit tendre vers 0 lorsque r Calculs dans le référentiel de repos Les calculs des différents tenseurs (Riemann, Ricci, etc.) et les équations d Einstein ainsi que l interprétation des composantes du tenseur énergie-impulsion se retrouvent grandement simplifiés lorsque l on se place dans le référentiel de repos. Les vecteurs de base e a pour ce référentiel satisfont e a e b = η ab et e a = η ab e b (5) 5

8 où η est la métrique de Minkowski. Cette base représente le référentiel propre d un observateur étant au repos par rapport au trou de ver. Nous utiliserons des indices latins pour les tenseurs dans cette nouvelle base et des indices grecs pour la base naturelle associée au système de coordonnées (t, r, θ, φ). Les indices latins et grecs s abaissent et s élèvent avec η ab et g αβ, respectivement. Dans cette nouvelle base, un vecteur s écrit V a = e a V = e a µv µ (6) On a donc pour le tenseur de Riemann, R a bmn = ea αe β b e µ m e ν n R α βµν (7) Explicitement, les vecteurs e a de la nouvelle base s écrivent en composantes, e µ m = gmm δµ m (8) Nous pouvons maintenant écrire nos différents tenseurs dans le référentiel instantané de repos. Tenseur de Riemann Les 24 composantes non nulles sont 2 : R t rtr = R t rrt = R r trt = R r ttr = e 2λ (λ ν ν ν 2 ) R t θtθ = Rt θθt = R θ tθt = R θ ttθ = r r ν e 2λ R t φtφ = Rt φφt = Rφ tφt = Rφ ttφ = r r ν e 2λ (9) R r θrθ = Rr θθr = Rθ rrθ = Rθ rθr = e 2λ (λ r r r r ) R r φtφ = Rr φφr = Rφ rrφ = Rφ rφr = e 2λ (λ r r r r ) R θ φθφ = Rθ φφθ = Rφ θθφ = Rφ θφθ = r 2 r 2 r 2 e 2λ Tenseur de Ricci Les 4 composantes non nulles sont : Scalaire de Ricci R tt = e 2λ (2ν r r λ ν + ν + ν 2 ) R rr = e 2λ (λ ν ν ν 2 + 2λ r r 2r r ) (20) R θθ = R φφ = e 2λ r 2 (e2λ rr + rr (λ ν ) r 2 ) 2 e 2λ r 2 ( e 2λ 2rr + 2rr ( λ ν ) r 2 + r 2 ( λ ν ν ν 2)) (2) Tenseur d Einstein Les 4 composantes non nulles sont : 2. On note ν = dν dl G tt = e 2λ r 2 (e2λ 2rr + 2rλ r r 2 ) G rr = e 2λ r 2 ( e2λ + 2rν r + r 2 ) (22) G θθ = G φφ = e 2λ r (r + r (ν λ ) + r( λ ν + ν + ν 2 )) 6

9 Tenseur énergie-impulsion D après (22), le tenseur énergie-impulsion doit être diagonal. L interprétation de chacune de ses composantes est aisée dans la base que nous utilisons. Si l on prend T ab = diag(ρ(l), p r (l), p t (l), p t (l)), (23) ρ est la densité d énergie totale qu un observateur statique dans le référentiel mesure, p r la pression dans la direction radiale et p t la pression transversale. On définit également τ = p r la tension radiale par unité de surface Les équations d Einstein Les équations d Einstein dans le référentiel de repos avec une constante cosmologique Λ sont D après (22) et (23) on en déduit G ab + Λη ab = κt ab (24) ρ = e 2λ κr 2 (e2λ 2rr + 2rλ r r 2 ) Λ κ p r = e 2λ κr 2 ( e2λ + 2rν r + r 2 ) + Λ κ p t = e 2λ κr (r + r (ν λ ) + r( λ ν + ν + ν 2 )) + Λ κ Nous pouvons maintenant récrire ces équations pour la métrique (2) en posant simplement λ(r) = 2 ln( b(r)/r) et r 2 (r) = r 2. On obtient (25) (26) (27) ρ = b κr 2 (28) p r = κr 2 (2ν (r b) b r ) (29) p t = r 2 (ν (ρ + p r ) + p r) + p r (30) où on a pris Λ = 0. Cette dernière forme de nos équations est assez commode et va nous permettre d analyser les propriétés du tenseur énergie-impulsion... De bien étranges propriétés! Matière "exotique" et conditions sur l énergie Nous avons établi les équations d Einstein avec un certain tenseur énergie-impulsion. Mais quelles sont les propriétés de la matière y étant associée? La géométrie que l on impose afin d obtenir la forme du trou de ver souhaitée pose des restrictions sur ρ, p r et p t. Commençons par regarder l équation (4) dont on tire d dz = ± r/b d dr Au niveau de la gorge du trou de ver en (minimum) on a d 2 r dz 2 = 2b 2 (b rb ) > 0 b < b r = (3) d 2 r dz 2 r0 0 b 0 b 0 = (32) Evaluant (28) et (29) en et sachant que ν (r b) r0 0 on obtient la contrainte p r ( ) = τ 0 ρ 0. On a également par (3), τ > ρ. Cette dernière nous dit que la tension (par unité de surface) τ est supérieure à la densité d énergie (sauf au niveau de la gorge ou il peut y avoir égalité). Morris et Thorne ont appellé "exotique" ce type de matière ayant cette propriété. Cette matière exotique viole les conditions sur l énergie qu est supposée respecter la matière classique (bien que ce ne soit pas le cas pour certains champs quantiques - exemple : effet Casimir). Rappelons rapidement ces différentes conditions sur l énergie. 7

10 Null energy condition (NEC) : Pour tout vecteur k µ de genre lumière Pour notre tenseur énergie-impulsion (23), on a T µν k µ k ν 0 (33) ρ + p r 0 et ρ + p t 0 (34) Weak energy condition (WEC) : Pour tout vecteur U µ de genre temps T µν U µ U ν 0 (35) Pour notre tenseur énergie-impulsion (23), un observateur mesure ρ 0 et ρ + p r 0 et ρ + p t 0 (36) WEC NEC Strong energy condition (SEC) : Pour tout vecteur U µ de genre temps (T µν 2 T g µν)u µ U ν 0 (37) avec T = T µ µ. Pour notre tenseur énergie-impulsion (23), on a ρ + p r 0 et ρ + p t 0 et ρ + p r + p t 0 (38) SEC NEC mais SEC WEC Dominant energy condition (DEC) : Pour tout vecteur U µ de genre temps T µν U µ U ν 0 et T µν U µ n est pas de genre espace (39) Cela signifie que l énergie ne peut pas circuler plus rapidement que la lumière. Pour notre tenseur énergie-impulsion (23), on a ρ 0 et p r, p t [ ρ, ρ] (40) DEC WEC NEC mais DEC SEC. On a montré un peu plus haut que, τ > ρ pour r ], + [ et τ 0 ρ 0 la NEC est donc violée partout (ou sur le point de l être au niveau de la gorge du trou de ver!) et par conséquent, toutes les conditions sur l énergie le sont également. De la matière violant la NEC est dite "exotique". Nous verrons si les solutions que nous allons présenter dans la suite violent la NEC Exemples simples de trous de ver Nous présentons ici quelques solutions de trous de ver "traversables". Nous ne discuterons pas les forces de marée gravitationnelles, les temps de traversée ainsi que leur stabilité sous de faibles perturbations. 8

11 Solution ν = 0 et b(r) = r2 0 r Cette solution est la plus simple que l on puisse trouver. La surface de plongement bi-dimensionnelle est donnée par l équation z(r) = ± ln(r + r 2 r0 2) (4) et est qualitativement identique à la figure 2. L équation d état de la matière est ρ = p r = p t = r2 0 κr 4 (42) Le tenseur énergie-impulsion a la même forme que celui d un champ électromagnétique radial excepté que la densité d énergie est négative... Toutes les conditions sur l énergie sont violées. On a tracé ρ et τ en fonction de r en figure 4 (gauche) ρ, τ ρ, τ ρ τ r/ Figure 4 Tracés de la densité d énergie et de la tension radiale en fonction de r solution ν = 0 et b(r) = r2 0 r (gauche) et ν = 0 et b(r) = r2 0 ( + ln r r 2 ) (droite). (κ = ) pour la Solution ν = 0 et b(r) = r2 0 r 2 ( + ln r ) Pour cette solution, la surface de plongement bi-dimensionnelle est toujours qualitativement identique à la figure 2 et le tenseur énergie-impulsion est ρ = r2 0 κr 4 ln r, p r = r2 0 κr 4 ( + ln r ), p t = r2 0 2κr 4 ( + 2 ln r ) (43) Cette fois la densité d énergie est nulle au niveau de la gorge mais est négative ailleurs et toutes les conditions sur l énergie sont violées. Observant lfigurea figure 4 on en vient à se demander s il est possible de minimiser la quantité de matière exotique. Il existe différentes méthodes pour cela trois sont discutées dans Morris et Thorne [2]. La première consiste à utiliser de la matière exotique en s assurant que sa densité décroisse très rapidement lorsqu on s éloigne de la gorge du trou de ver. La deuxième consiste à confiner le matériau exotique dans une petite région et joindre (de façon lisse) cette solution à l espace de Schwarzschild. Enfin, la troisième méthode reprend la précédente mais cette fois on "entoure" la matière exotique par de la matière classique. 9

12 ( r ) [ ( r ) k ] Solution ν = 0 et b(r) = rp N exp Nous allons chercher une solution avec b/r sous la forme d un polynôme P N ( r ) de degré N en facteur d une exponentielle décroissant très rapidement. Pour simplifier les calculs on pose r = x et avec P N (x) = N + N x n, N (entier) et k > 0. n=0 f(x) = P N (x)e xk (44) Détermination de l exposant k f(x) est une fonction de x monotone décroissante variant de en x = (r = ) à 0 en l infini. Sa dérivée doit donc être négative ou nulle entre et. On va déterminer k dans (44) tel que d(x) soit monotone décroissante : d e xk ( N f(x) = n x n k x k dx x N + n=0 N n=0 x n) 0 (45) k x k N n=0 n xn N n=0 xn x, N (46) Le membre de droite dans (46) s écrit plus simplement, N n=0 n xn N n=0 xn = N 2 N x + N + x N+ N x = x > x = (47) Develeppons (46) au voisinage de x = en posant x = + ɛ avec ɛ, k + k 2 ɛ N 2 + (N2 3 N )ɛ (48) 2 Cette dernière inéquation est satisfaite pour k N 2 et N. Nous prendrons k = N 2 +, f(x) = e xn/2+ N + N x n (49) n=0 Surface de plongement bi-dimensionnelle On peut maintenant regarder la surface de plongement au voisinage de r = et vérifier si nous obtenons la géométrie du trou de ver souhaité, dz dr = ± /f r0 + O( r ) (50) r La surface définie par z(r) sera donc la même qu en figure 2. 0

13 Tenseur énergie-impulsion associé L équation d état de la matière est ρ = e ( τ = e ( r ) N/2+ κr 2 N + r ) N/2+ κr 2 N + ( N n=0 ( r ) n N ( r ) N n + ( ( 2 + ) 2 + ) N ( r ) n ) n=0 0 (5) N ( r ) n 0 (52) n=0 r p t = e ( ) r N/2+ 0 (( N ( r ) N 2κr 2 N ) 2 + N n=0 ( r ) n N n=0 ( r ) n ) n 0 (53) Nous avons tracé ρ et τ en fonction de r pour différentes valeurs de N en figure 5. Plus N est grand, plus la densité d énergie ρ est piquée (négativement) et plus ce pic se "déplace" vers la gorge en r =. Quant à la tension radiale τ, elle est bornée supérieurement par (en r = ) et décroit rapidement. La matière exotique peut donc être "concentrée" près de la gorge. Malheureusement (même si on s y attendait!), toutes les conditions sur l énergie sont violées. ρ, τ r/ 3 5 N = 5 N = 0 N = 5 Figure 5 Tracés de la densité d énergie (traits pleins) et de la tension radiale (traits hachurés) en fonction de r pour la solution ν = 0 et b(r) = r e ( r ) r N/2+ 0 N N+ n=0 ( r ) n pour différentes valeurs de N. (κ = )

14 3 Trous de ver en gravité semi-classique Etant donné l impossibilité d obtenir des trous de ver traversables en relativité générale avec de la matière classique, le cadre de la gravité semi-classique semble tout indiqué pour résoudre ce problème car il est bien connu que certains champs quantiques peuvent violer les conditions sur l énergie (ex. Effet Casimir). 3. Gravité semi-classique 3.. Motivations Depuis plusieurs décennies, à cause de l incompatibilité entre relativité générale et mécanique quantique, d intenses recherches sont menées afin de construire une théorie quantique de la gravité. Cette tâche s avère malheureusement très difficile et c est pourquoi certains se sont tournés vers une théorie semi-classique. Cette dernière est motivée par le succès de l électrodynamique quantique où les électrons sont quantiques et les champs électromagnétiques externes sont classiques. Dans la théorie semi-classique que nous considérons, le champ gravitationnel est traité classiquement tandis que les champs de matière sont quantifiés. Il s agit en fait d une théorie des champs en espace courbe. Les équations d Einstein sont la base du telle théorie, G µν + Λ g µν = κ T µν (54) avec le tenseur énergie-impulsion T µν considéré comme valeur moyenne quantique. Nous cherchons donc une action effective pour ces champs de matière quantiques. Les équations d Einstein semi-classiques (54) peuvent être dérivées à partir de l action S = S EH,Λ +Γ telle que δs = 0 et avec S EH,Λ = d 4 x g(r 2Λ) et 2 δγ 2κ g δg µν = T µν. Pour être un peu plus rigoureux, 2 δγ g δg µν = 0, out T µν 0, in 0, out 0, in ( 0, out 0, in en général) (55) où 0, out 0, in est l amplitude de persistance du vide (amplitude de probabilité que les champs reste dans cet état s ils sont au départ dans cet état) Anomalie conforme Afin de trouver l action effective Γ on va commencer par considérer des champs pour lesquels l action classique S M est invariante sous transformations conformes D après la définition de la dérivation fonctionnelle on a on utilise δg αβ = 2g αβ δσ et on obtient g µν (x) g µν (x) = e 2σ(x) g µν (x) (56) S M [g µν ] = S M [g µν ] + d n x δs M[g µν ] δg αβ δg αβ (57) Tα α [g µν ] = δs M [g µν ] (58) g δσ σ=0 Il découle de (57) et (58) que si l action est invariante conforme, le tenseur énergie-impulsion est sans trace, i.e. T α α = 0. 2

15 On applique maintenant cela à notre théorie quantique de champs (conformes) en espace courbe, contenant N 0 champs scalaires, N /2 spineurs de Dirac et N champs vectoriels, et en considérant seulement ces champs non massifs car la présence d un terme de masse dans la théorie briserait l invariance conforme. De (58) on a Tα α [g] = δγ[g] (59) g δσ σ=0 Le calcul de (59) est effectué dans [7]. Il montre que les effets quantiques produisent dans T α α une anomalie de trace. En effet, T µν acquiert après renormalisation une trace qui n est donc plus nulle comme dans le cas classique. Cette anomalie de trace est indépendante de l état quantique, purement géométrique et prend la forme suivante T α α = (a C 2 + b E + c R) (60) avec C 2 = C αβµν C αβµν = R αβµν R αβµν 2R αβ R αβ + 3 R2 scalaire de Weyl (6) E = R αβµν R αβµν 4R αβ R αβ + R 2 terme de Gauss-Bonnet (62) Les quantités barrées sont construites avec la métrique g µν. Les constantes a, b et c sont reliées aux nombres des différents champs, 3..3 Construction de l action effective ( N0 a = (4π) N / N ) 0 b = ( N0 (4π) N /2 + 3N ) ( N0 c = (4π) N /2 30 N ) 0 Nous pouvons à présent construire Γ, la partie de l action effective générant (60). On ne considèrera pas le terme c R car on peut toujours ajouter un terme en R 2 dans l action et utiliser l identité g g µν δ δg d n x g R 2 = 6 R pour faire varier c. µν Nous suivons [5]. On commence par récrire δγ δσ = ( ) g a C 2 + b E = ( ) g (a + b) C 2 2b(R αβ R αβ 3 R2 ) En se rappelant que g µν = e 2σ g µν on a 2 g C = g C 2 (67) g(rαβ R αβ 3 R2 ) = g[ R αβ R αβ 3 R2 4R αβ ( α β σ α σ β σ) + 2R σ ] 4( σ) 2 4 σ α σ α σ + 4 α β σ α β σ 8 α β σ α σ β σ (68) On intègre (67) et (68) par rapport à σ (en ignorant les termes de bords) et on obtient alors l action effective Γ[σ, g µν ] = a d 4 x g σ C 2 + b d 4 x g σ E (69) 2b d 4 x ( g 2G µν µ σ ν σ + 2 σ µ σ µ σ + ( µ σ µ σ) 2) + Γ 0 [g µν ] Γ 0 [g µν ] est un terme invariant conforme ne dépendant que de g µν et qui peut être vu comme une "constante" d intégration par rapport à σ. Dans la suite nous ne considèrerons pas ce terme. 3 (63) (64) (65) (66)

16 Finalement, notre action totale est la suivante S = d 4 x g (R 2Λ) + a d 4 x g σ C 2 + b d 4 x g σ E (70) 2κ 2b d 4 x ( g 2G µν µ σ ν σ + 2 σ µ σ µ σ + ( µ σ µ σ) 2) + Γ 0 [g µν ] 3.2 Equations de champs 3.2. Variation de l action totale Afin de déterminer les équations de champs, nous devons varier notre action (70) tel que δs = 0. Pour cela nous considérons g µν et σ comme indépendants et nous varions alors S par rapport à la métrique g µν et par rapport au facteur conforme σ. Le calcul est un peu long mais sans grande difficulté. La variation de S par rapport à la métrique donne 0 = e2σ [ ] G µν + e 2σ Λg µν + 2 µ σ ν σ + 2 µ ν σ + 2 ν µ σ g µν ( α α σ α σ α σ) 2κ 2 σ gµν (ac 2 + be) (a + b)( 2σ R µαβρ R ν αβρ + 2 α β (σr µαβν ) + 2 α β (σr ναβµ )) (2a + 4b)(2σ R µα R ν α α µ (σr αν ) α ν (σr αµ ) + (σr µν ) + g µν α β (σr αβ )) +( a 3 + b)( µ ν (σr) ν µ (σr) + 2g µν (σr) + 2σRR µν ) [ +2b g µν (G αβ α σ β σ + σ α σ α σ + 2 ( ασ α σ) 2 ) 2R µα α σ ν σ 2R να α σ µ σ + α µ ( α σ ν σ) + α ν ( α σ µ σ) ( µ σ ν σ) g µν α β ( α σ β σ) 2 µ ν ( α σ α σ) 2 ν µ ( α σ α σ) + g µν ( β σ β σ) + R µν α σ α σ + R µ σ ν σ ] µ ν σ α σ α σ ν µ σ α σ α σ 2 µ σ ν σ σ 2 µ σ ν σ α σ α σ (7) En variant S par rapport à σ on a ( ) 0 = 4b 2G µν µ ν σ ( µ σ µ σ) + 2( σ) µ σ µ σ + 2( µ σ µ σ) σ + 4 µ σ ν σ µ ν σ + e2σ ( ) 2R 8e 2σ Λ 2 σ 2 µ σ µ σ + ac 2 + be (72) 2κ En jetant un simple coup d oeil à (7) on pourrait penser qu il nous sera très difficile voire impossible d écrire ces équations en termes des composantes de la métrique... et on aurait raison! Cela serait beaucoup trop fastidieux et quand bien même nous y parviendrions, on se heurterait à des difficultés supplémentaires en fonction de la métrique que nous utilisons. En effet, selon la métrique choisie, certains termes de (7) et (72) peuvent s écrire comme des divergences totales et peuvent donc se retrouver dans nos équations du mouvement alors qu ils auraient dû être éliminés lors de la variation de l action. A titre d exemple, regardons ce qui arrive si nous souhaitons prendre σ = constante. Exemple σ = cst Nous devons faire attention lorsqu on souhaite poser σ = cst. Regardons d un peu plus près la partie de l action potentiellement problématique : S R = d 4 x g σ (ac 2 + be). Le scalaire de Weyl et le terme de Gauss-Bonnet sont liés par C 2 = 2R αβ R αβ 2 3 R2 + E (73) En quatre dimensions il est bien connu que E est une divergence totale telle que E = µ J µ, avec J µ = ɛ µβγδ ɛρσ αν Γ αβ( ρ 2 Rσ νγδ + ) 3 Γσ λγ Γλ νσ. Par conséquent, on peut récrire (après une intégration 4

17 par partie), S R = 2a d 4 x [ g σ (R αβ R αβ ] 3 R2 ) (a + b) d 4 x g J µ µ σ (74) Lorsqu on variera le second terme dans S R on va obtenir une expression proportionnelle à µ σ qui disparaitra en posant σ = cst. Nous pouvons à présent écrire les équations de champs et ensuite poser σ = cst, 0 = e2σ 2κ (Gµν + e 2σ Λg µν ) aσ(r αβ R αβ 3 R2 )g µν +2σa( R µν + 2 gµν R µ ν R 2R µαβν R αβ ) (75) +σ2 a 3 (2 µ ν R 2g µν R 2RR µν ) où on a utilisé les relations ci-dessous 0 = e2σ 2κ (2R 8e2σ Λ) + ac 2 + be (76) α β R µαβν = 2 µ ν R + R µα R ν α + R µαβν R αβ R µν (77) α µ R αν + α ν R αµ = 2 ( µ ν R + ν µ R) + 2R µαβν R αβ + 2R µα R ν α (78) µ ν R µν = R (79) 2 Si nous n avions pas fait attention, nous aurions des termes inutiles en plus, par exemple un terme R µαβρ Rαβρ ν, dans (75). On peut redéfinir les constantes tel que e 2σ 2κ 2κ and e 2σ Λ Λ On peut par exemple poser σ = /2, ainsi (75) et (76) deviennent 2κ (Gµν +Λg µν ) a 3 (3 2 gµν R αβ R αβ 2 gµν R 2 + µ ν R + 2 gµν R + 2RR µν + 6R µαβν R αβ 3 R µν ) = 0 } {{ } tenseur de Bach pour gravité conforme de Weyl (80) κ (R 4Λ) + ac2 + be = 0 (8) Pour Λ = 0, R µν = 0 (Schwarzschild, Kerr) est solution de (80) et la contrainte (8) impose a = b. Mathématiquement cela ne pose pas de problème, mais physiquement oui car d après la définition des constantes a et b, (63) et (64), a = b a = 0 = b et on se retrouve donc dans la cas purement classique de la relativité générale. L espace de Minkowski est bien évidemment solution de (80) et (8). Etant donné que (7) et (72) sont difficilement utilisables lorsque σ est dynamique, nous allons chercher un moyen plus aisé pour dériver nos équations de champs Variation de l action totale 2 Une manière plus facile de dériver les équations de champs est de substituer directement dans l action S l ansatz de notre choix pour la métrique et ensuite varier S par rapport aux composantes de cette métrique. Nous adoptons une métrique à symétrie sphérique et statique telle que g µν = e 2σ g µν, ds 2 = e 2σ ds 2 = e 2σ(l)( ) dt 2 + e 2ν(l) dl 2 + e 2λ(l) (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) (82) Nous devons maintenant calculer différentes quantités (tenseur de Ricci, symboles de Christoffel, etc.). Seuls les éléments non nuls sont présentés et nous noterons ν = dν dl. 5

18 Symbole de Christoffel Γ l ll = ν, Γ l φφ = sin2 θ Γ l θθ = e2(λ ν) λ sin 2 θ Γ θ lθ = Γφ lφ = λ, Γ θ φφ = cos θ sin θ, Γφ φθ = cot θ Tenseur de Ricci R ll = 2e 4ν (λ λ ν + λ 2 ) R θθ = sin 2 θr φφ = e 2(λ+ν) ( λ + λ ν 2λ 2 + e 2(ν λ) ) Scalaire(s) de Ricci R = 4e 2ν λ + 4e 2ν λ ν 6e 2ν λ 2 + 2e 2λ R = 2e 2(λ+ν+σ)( 2e 2λ λ + 2e 2λ λ (ν 3σ ) 3e 2λ λ 2 + 3e 2λ ν σ 3e 2λ σ 3e 2λ σ 2 + e 2ν) Tenseur d Einstein G tt = 2e 2ν λ + 2e 2ν λ ν 3e 2ν λ 2 + e 2λ G ll = e 4ν (λ 2 e 2(ν λ) ) G θθ = sin 2 θ G φφ = e 2(λ+ν) ( λ λ ν + λ 2) Scalaire de Weyl Terme de Gauss-Bonnet C 2 = 4 3 (e 2ν λ e 2ν λ ν + e 2λ ) 2 E = 0 Déterminant de la métrique g = e 4σ g = e 4σ e ν+2λ sin θ On peut également calculer les expressions suivantes, G µν µ σ ν σ = G µν µ σ ν σ = G ll l σ l σ = e 4ν (λ 2 e 2(ν λ) ) σ 2 σ = g µν µ ( ν σ) = g µν ( µ ν σ Γ α µν α σ) = g ll σ σ (g ll Γ l ll + gθθ Γ l θθ + gφφ Γ l φφ ) = e 2ν (σ + σ (2λ ν )) µ σ µ σ = g µν µ σ µ σ = g ll σ 2 = e 2ν σ 2 Après ces quelques calculs, nous pouvons enfin récrire l action (70), S = ( d 4 x sin θ 2λ 2λ ν + 6λ σ + 3λ 2 + 3σ 2 3σ ν + 3σ e 2(ν λ) + Λe 2(ν+σ)) e 2σ+2λ ν κ a d 4 x sin θ e ν+2λ σ (e 2ν λ e 2ν λ ν + e 2λ ) 2 (83) 2b d 4 x sin θ e 3ν+2λ( 2(λ 2 e 2(ν λ) ) σ 2 + 2(σ σ 2 + σ 3 (2λ ν )) + σ 4) 6

19 Les équations de champs sont alors obtenues en variant (83) par rapport à ν, λ et σ. Une fois les équations du mouvement dérivées, on fait les changements 3 ν ν σ et λ λ σ et on obtient, 0 = κ (e2(ν λ) 2λ σ λ 2 ) Λ κ e2ν 2b e 2ν σ 2 (4e 2λ λ σ 6e 2λ λ 2 e 2λ σ 2 + 2e 2ν ) a e 2ν( 4σλ 3 ν + 3σλ 2 ν 2 + 2e 2λ+2ν λ σ + 4σλ 3 σ + e 4ν 2λ σ 2λ 2 ν σ + 6σλ 2 ν σ 6σλ ν 2 σ + 2λ 2 σ 2 9σλ 2 σ 2 2e 2λ+2ν σ 2 +4λ ν σ 2 4λ σ 3 + 6σλ σ 3 2ν σ 3 2σν σ 3 + 3σν 2 σ 2 +4σλ ν σ 2λ σ 2 4σλ λ ν + 2λ λ σ 4σλ λ σ + 4σλ 2 λ σλ 2 + 4σλ ν σ 2σλ 2 ν + 4σλ ν σ 2σλ 2 σ 2σν σ 2 2λ σσ + 2σλ σ 2σσ λ 2λ σ σ + 2λ σλ + 2σ 4 σσ 4 4σν σ σ σσ 2 + 2σσ σ + 2σ 2 σ + 2σσ 2 σ ) (84) 0 = 2 κ (λ λ ν + λ σ + λ 2 ν σ + σ + σ 2 ) 2 Λ κ e2ν 4b σ e 2ν ( 2λ σ + 6λ ν σ 4λ σ 2λ σ 2 2λ 2 σ 2ν σ 2 + σ 3 + 2σ σ ) 8 3 a e 2ν( 4λ 2 ν σ + 4σλ 3 ν σλ 2 ν 2 + 6σλ ν 3 4σλ 3 σ 5λ ν 2 σ + 4σλ ν 2 σ + 2λ ν σ 2 4σλ ν σ 2 + 0σλ 2 ν σ +3λ σ 3 + 4σλ σ 3 4σλ 2 λ 6ν σ 3 + 5ν 2 σ 2 + 7σν 2 σ 2 +7λ ν σ + 4σλ ν σ σλ ν 2 + 8σλ λ ν 4λ λ σ 0σλ λ σ 3λ σ 2 + 3σλ σ 2 3σλ 2 + 2λ ν σ σλ ν σ + 4σλ 2 ν +4σλ ν + λ ν σ σλ ν σ 2ν σ 2 3σν σ 2 + 7σν ν σ +λ σ σ + σλ σ σ + σν 2 σ 8ν σ σ σν σ σ + 6σ 2 σ +6λ σν 2λ σ λ σ + 2σλ σ 4λ σλ 4σν σ + σ 2 2λ σσ + ν σλ + 3σσ λ ν σσ + e 2(ν λ) ν σ + e 4(ν λ) σ + σσ 2 4λ 2 σ 2 + σλ 2 σ 2 6σν 3 σ e 2(ν λ) σ 2 + σ 4 σσ 4 7σλ ν ν λ σ 6σσ ν + σσ + 2σ σ + 3σσ σ e 2(ν λ) σ ) (85) 0 = 2 κ ( 2λ + 2λ ν 2λ σ 3λ 2 + ν σ σ σ 2 + e 2(ν λ) ) 4 Λ κ e2ν + 4 ( 3 ae 2ν λ λ ν + λ σ + ν σ σ σ 2 + e 2(ν λ)) 2 8be 2ν( 3λ 2 ν σ λ 2 σ 2λ 3 σ λ 2 σ 2 2λ λ σ e 2(ν λ) ν σ +e 2(ν λ) σ + e 2(ν λ) σ 2) (86) Afin de simplifier ces équations, on peut faire le choix de jauge ν = 0, l étant ainsi la distance radiale 3. On souhaite se ramener à la métrique ds 2 = e 2σ dt 2 + e 2ν(l) dl 2 + e 2λ(l) (dθ 2 + sin 2 θ dφ 2 ) 7

20 propre. On fait également les changements e 2σ(l) Ω 2 (l) et e 2λ(l) r 2 (l). On obtient alors, 0 = κ ( Λr2 Ω 2rr Ω Ωr 2 + Ω) + 8 a ( 3 rω 2 Ω rω Ωr ) ( rωr rr Ω + Ωr 2 + r 2 Ω Ω ) + 4a ( 3r 2 Ω 2 ln Ω 2r r 3 Ω 2 Ω + 2r 3 Ω 2 r Ω 2r 3 Ωr Ω 2 2r 3 Ω 2 Ω r 4r 2 Ω 2 r 2 Ω + 2r 3 r Ω 3 5r 2 Ωr 2 Ω 2 Ω 3 r 4 +6r 3 Ωr Ω Ω + 2r r 2 Ω 3 r + 2r 2 Ω 2 r r Ω + 4rΩ 2 r 3 Ω +2r 4 ΩΩ Ω 2r 4 Ω 2 Ω + Ω 3 r 2 Ω 3 r 2 r 4 ΩΩ 2) +2b Ω 2 Ω 3 ( 4rΩr Ω + 6Ω 2 r 2 + r 2 Ω 2 2Ω 2) (87) 0 = 2 κ (Λr2 Ω + rωr + rr Ω + r 2 Ω ) 8a 3Ω 2 ( 2rr Ω 2 Ω rω 2 r Ω 2rΩr Ω 2 + Ω 2 r 2 Ω + 2rr Ω 3 2Ωr 2 Ω 2 +rωr Ω Ω + 2Ω 2 r r Ω + r 2 ΩΩ 2 + 2r 2 ΩΩ Ω 2r 2 Ω 2 Ω Ω 2 Ω ) 8a ( 3r 2 Ω 2 ln Ω r r 3 Ω 3 2r r 3 Ω 2 Ω + 2r 3 Ω 2 r Ω + r 3 Ωr Ω 2 Ω 3 r 4 +3r 3 Ω 2 Ω r 2r 2 Ω 2 r 2 Ω r 3 r Ω 3 + 2rΩ 2 r 3 Ω + 2r 3 Ωr Ω Ω + r 4 Ω 2 Ω 4r 2 Ω 2 r r Ω + 2rΩ 3 r 2 r + r 4 Ω 2 Ω 2r 4 ΩΩ 2 r 4 ΩΩ Ω + Ω 3) + 4b ( Ω 3 rω 2Ω 2 r Ω + 4Ω 2 r Ω 2Ωr Ω 2 + rω 3 2rΩΩ Ω ) (88) 0 = 2 ( ) 2Λr 2 Ω + 2rΩr + 2rr Ω + Ωr 2 + r 2 Ω Ω κ + 4a ( ) 2 3r 2 rωr rr Ω + Ωr 2 + r 2 Ω Ω Ω +8b(r 2 Ω + 2r r Ω Ω ) (89) Les équations différentielles (87) et (88) sont respectivement de 3 ème et 4 ème ordre en Ω et r. (89) est d ordre 2 et joue le rôle de contrainte. 3.3 Conditions initiales pour un début de solution Nous cherchons des solutions de types trou de ver et pour ce faire nous devons spécifier des conditions appropriées sur les fonctions Ω(l) et r(l) au niveau de la gorge en l = 0, à savoir Ω(0), Ω (0), Ω (0), Ω (0), Ω (0) et r(0), r (0), r (0), r (0), r (0). Rappelons ces conditions : r(0) > 0, r (0) = 0 et r (0) 0 r(l) est une fonction croissante de l Ω(0) > 0, Ω (0) = 0 et optionnellement Ω (0) 0 r(l) = r( l) et Ω(l) = Ω( l) qui éliminent par symétrie toutes les dérivées impaires en l = 0 Ecrivons maintenant les équations (87), (88) et (89) en l = 0 : 0 = Ω 0 κ + 4a 3 ln Ω 0 (2 r 0Ω 0 + r 2 0 Ω 0 Ω 0 r 2 0 r 2 0Ω 0 Ω 2 0 ) (90) 0 = 2 κ (Ω 0 + Ω 0) 8a 3 (r 0Ω 0 Ω 0 Ω r0 Ω 0) + 8a 3 ln Ω 0 ( r 0 Ω 0 + 2Ω 0 r 0Ω 0 + Ω 0 2 Ω 0 Ω r 3 0 Ω 0) (9) 0 = 2 κ (2r 0 + r 2 0Ω 0 Ω 0 ) 4a 3 (r 0 Ω 0 Ω 0 + r 0 )2 + 8bΩ 0 (92) 8