Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples

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1 Groupoïdes quantiques mesurés : axiomatique, étude, dualité, exemples Franck LESIEUR Mathématiques et Applications, Physique Mathématique d Orléans UMR BP ORLEANS CEDEX 2 - FRANCE web : Soutenance de thèse p.1/26

2 Introduction PARTIE I : Notations - Outils PARTIE II : Définitions - Théorie générale PARTIE III : Exemples Soutenance de thèse p.2/26

3 Introduction PARTIE I : Notations - Outils PARTIE II : Définitions - Théorie générale PARTIE III : Exemples Soutenance de thèse p.2/26

4 Introduction PARTIE I : Notations - Outils PARTIE II : Définitions - Théorie générale PARTIE III : Exemples Soutenance de thèse p.2/26

5 PARTIE I : Notations - Outils Soutenance de thèse p.3/26

6 Théorie spatiale N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N, α une *-représentation non dégénérée et normale de N sur H. Soutenance de thèse p.4/26

7 Théorie spatiale N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N, α une *-représentation non dégénérée et normale de N sur H. On définit les éléments bornés de α H par rapport à ν : D( α H, ν)={ξ H C, α(y)ξ C Λ ν (y), y N ν } Soutenance de thèse p.4/26

8 Théorie spatiale N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N, α une *-représentation non dégénérée et normale de N sur H. On définit les éléments bornés de α H par rapport à ν : D( α H, ν)={ξ H C, α(y)ξ C Λ ν (y), y N ν } Alors, pour tout ξ D( α H, ν), il existe un opérateur borné R α,ν (ξ) Hom N (H ν, H) tel que, pour tout n N ν, on a : R α,ν (ξ)λ ν (n) = α(n)ξ Soutenance de thèse p.4/26

9 Théorie spatiale N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N, α une *-représentation non dégénérée et normale de N sur H. On définit les éléments bornés de α H par rapport à ν : D( α H, ν)={ξ H C, α(y)ξ C Λ ν (y), y N ν } Alors, pour tout ξ D( α H, ν), il existe un opérateur borné R α,ν (ξ) Hom N (H ν, H) tel que, pour tout n N ν, on a : R α,ν (ξ)λ ν (n) = α(n)ξ On définit aussi, pour tous ξ, η D( α H, ν), l opérateur : < ξ, η > α,ν = R α,ν (η) R α,ν (ξ) π ν (N) N o Soutenance de thèse p.4/26

10 Produit tensoriel relatif N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N α (resp. β) une *-(resp. anti-)représentation non dégénérée et normale de N sur un espace de Hilbert H (resp. K). Soutenance de thèse p.5/26

11 Produit tensoriel relatif N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N α (resp. β) une *-(resp. anti-)représentation non dégénérée et normale de N sur un espace de Hilbert H (resp. K). On définit l espace de Hilbert K β α H comme le complété ν séparé du produit tensoriel algébrique K D( α H, ν) pour le produit scalaire : (ξ η ξ η ) = (β(< η, η > α,ν )ξ ξ ) pour tous ξ, ξ K et tous η, η D( α H, ν). Soutenance de thèse p.5/26

12 Produit tensoriel relatif N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N α (resp. β) une *-(resp. anti-)représentation non dégénérée et normale de N sur un espace de Hilbert H (resp. K). On définit l espace de Hilbert K β α H comme le complété ν séparé du produit tensoriel algébrique K D( α H, ν) pour le produit scalaire : (ξ η ξ η ) = (β(< η, η > α,ν )ξ ξ ) pour tous ξ, ξ K et tous η, η D( α H, ν). On peut définir, de manière naturelle, un opérateur x β α N pour tous x β(n) et y α(n). y Soutenance de thèse p.5/26

13 Produit fibré Si β(n) M 1 L(K) et α(n) M 2 L(H), on définit le produit fibré des algèbres de von Neumann M 1 par M 2 au-dessus de N par : M 1 β α N M 2 = (M 1 β α N M 2) L(K β α ν H) Si (P 1, β ) et (P 2, α ) satisfont des relations analogues et si Φ 1 et Φ 2 sont des *-homorphismes normaux tels que : Φ 1 : (M 1 ) β (P 1 ) β et Φ 2 : α (M 2 ) α (P 2 ) alors on peut définir un *-homomorphisme normal : Φ 1 β α N Φ 2 : M 1 β α N M 2 P 1 β α N P 2 Soutenance de thèse p.6/26

14 Unitaire pseudo-multiplicatif N désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur N, α (resp. β, ˆβ) une *-(resp. anti-) représentation non dégénérée et normale de N sur un espace de Hilbert H. On suppose que α, β, ˆβ commutent 2 à 2. Soutenance de thèse p.7/26

15 Unitaire pseudo-multiplicatif Un unitaire pseudo-multiplicatif au-dessus de N pour α, β, ˆβ est un opérateur W : H ˆβ α ν H H α β ν o H tel que : Soutenance de thèse p.7/26

16 Unitaire pseudo-multiplicatif Un unitaire pseudo-multiplicatif au-dessus de N pour α, β, ˆβ est un opérateur W : H ˆβ α ν W est un unitaire ; H H α β ν o H tel que : Soutenance de thèse p.7/26

17 Unitaire pseudo-multiplicatif Un unitaire pseudo-multiplicatif au-dessus de N pour α, β, ˆβ est un opérateur W : H ˆβ α ν W est un unitaire ; H H α β ν o H tel que : W vérifie, pour tous n, n N, les relations de commutations suivantes : ( ˆβ(n) α β N o (β(n) α β N o α(n ))W = W (α(n ) ˆβ α N ˆβ(n ))W = W (β(n) ˆβ α N β(n)) ; ˆβ(n )) ; Soutenance de thèse p.7/26

18 Unitaire pseudo-multiplicatif Un unitaire pseudo-multiplicatif au-dessus de N pour α, β, ˆβ est un opérateur W : H ˆβ α ν W est un unitaire ; H H α β ν o H tel que : W vérifie, pour tous n, n N, les relations de commutations suivantes : ( ˆβ(n) α β N o (β(n) α β N o α(n ))W = W (α(n ) ˆβ α N ˆβ(n ))W = W (β(n) ˆβ α N β(n)) ; ˆβ(n )) ; Relation pentagonale : W 12 W 13 W 23 = W 23 W 12 Soutenance de thèse p.7/26

19 Bimodule de Hopf N, M désignent des algèbres de von Neumann, α une *-représentation non dégénérée et normale de N dans M, β une *-antireprésentation non dégénérée, normale de N dans M. On suppose que α et β commutent 2 à 2. On désigne par bimodule de Hopf tout quintuplet (N, M, α, β, Γ) où Γ désigne un *-homomorphisme de M dans M β α N normal tel que, pour tout n N, on a : M injectif et Γ(α(n)) = α(n) β α N 1 et Γ(β(n)) = 1 β α N β(n) ; Γ satisfait la relation (Γ β α N id) Γ = (id β α N Γ) Γ. Soutenance de thèse p.8/26

20 POP invariant (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf. Soutenance de thèse p.9/26

21 POP invariant (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf. Un POP nsf T L de M + dans α(n) + est invariant à gauche si : (id β α N T L )Γ(x) = T L (x) β α N 1 pour tout x M + T L Soutenance de thèse p.9/26

22 POP invariant (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf. Un POP nsf T L de M + dans α(n) + est invariant à gauche si : (id β α N T L )Γ(x) = T L (x) β α N 1 pour tout x M + T L Un *-anti-automorphisme R de M est une coinvolution si : R 2 = id, R α = β et ς N o (R β α N R) Γ = Γ R Soutenance de thèse p.9/26

23 POP invariant (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf. Un POP nsf T L de M + dans α(n) + est invariant à gauche si : (id β α N T L )Γ(x) = T L (x) β α N 1 pour tout x M + T L Un *-anti-automorphisme R de M est une coinvolution si : R 2 = id, R α = β et ς N o (R β α N R) Γ = Γ R REMARQUE Si T L est un POP nsf invariant à gauche et si R et une coinvolution de M, alors R T L R est un POP nsf invariant à droite. Soutenance de thèse p.9/26

24 PARTIE II : Définitions - Théorie générale Soutenance de thèse p.10/26

25 Unitaire fondamental (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf, T L (resp. T R ) un POP nsf sur N invariant à gauche (resp. droite), H un espace de Hilbert sur lequel M agit, µ un poids nsf sur N. On note Φ = µ α 1 T L et ˆβ(n) = J Φ α(n )J Φ pour tout n N. Soutenance de thèse p.11/26

26 Unitaire fondamental Il existe un unique unitaire U H : H α ˆβ H Φ H β α µ o µ tel que : H Φ U H (v α ˆβ µ o Λ Φ (a)) = i I ξ i β α µ Λ Φ ((ωv,ξ i β α µ id)(γ(a))) pour tous v D(H β, µ o ), a N TL N Φ et toute (N o, µ o )-base (ξ i ) i I de H β, et tel que : Γ(x) = U H (1 α ˆβ x)uh pour tout x M N o Soutenance de thèse p.11/26

27 Unitaire fondamental Il existe un unique unitaire U H : H α ˆβ H Φ H β α µ o µ tel que : H Φ U H (v α ˆβ µ o Λ Φ (a)) = i I ξ i β α µ Λ Φ ((ωv,ξ i β α µ id)(γ(a))) pour tous v D(H β, µ o ), a N TL N Φ et toute (N o, µ o )-base (ξ i ) i I de H β, et tel que : Γ(x) = U H (1 α ˆβ x)uh pour tout x M N o Soutenance de thèse p.11/26

28 Unitaire fondamental Il existe un unique unitaire U H : H α ˆβ H Φ H β α µ o µ tel que : H Φ U H (v α ˆβ µ o Λ Φ (a)) = i I ξ i β α µ Λ Φ ((ωv,ξ i β α µ id)(γ(a))) pour tous v D(H β, µ o ), a N TL N Φ et toute (N o, µ o )-base (ξ i ) i I de H β, et tel que : Γ(x) = U H (1 α ˆβ x)uh pour tout x M N o Soutenance de thèse p.11/26

29 Unitaire fondamental Il existe un unique unitaire U H : H α ˆβ H Φ H β α µ o µ tel que : H Φ U H (v α ˆβ µ o Λ Φ (a)) = i I ξ i β α µ Λ Φ ((ωv,ξ i β α µ id)(γ(a))) pour tous v D(H β, µ o ), a N TL N Φ et toute (N o, µ o )-base (ξ i ) i I de H β, et tel que : Γ(x) = U H (1 α ˆβ x)uh pour tout x M N o W = U H Φ est un unitaire pseudomultiplicatif au-dessus de N pour α, ˆβ, β unitaire fondamental Soutenance de thèse p.11/26

30 Groupoïde quantique mesuré (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf, T L (resp. T R ) un POP nsf sur N invariant à gauche (resp. droite). T L est β-adapté s il existe un poids ν L nsf sur N tel que : σ T L t (β(n)) = β(σ ν L t (n))pour tous n N et t R T R est α-adapté s il existe un poids ν R nsf sur N tel que : σ T R t (α(n)) = α(σ ν R t (n))pour tous n N et t R Soutenance de thèse p.12/26

31 Groupoïde quantique mesuré (N, M, α, β, Γ) désigne un bimodule de Hopf, T L (resp. T R ) un POP nsf sur N invariant à gauche (resp. droite). T L est β-adapté s il existe un poids ν L nsf sur N tel que : σ T L t (β(n)) = β(σ ν L t (n))pour tous n N et t R T R est α-adapté s il existe un poids ν R nsf sur N tel que : σ T R t (α(n)) = α(σ ν R t (n))pour tous n N et t R Soutenance de thèse p.12/26

32 Groupoïde quantique mesuré On appelle groupoïde quantique mesuré tout bimodule de Hopf (N, M, α, β, Γ) muni de : T L (resp. T R ) POP nsf invariant à gauche (resp. droite) ; ν poids nsf sur N qui rend T L β-adapté et T R α-adapté. On note (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) ν : poids quasi-invariant Soutenance de thèse p.12/26

33 Groupoïde quantique mesuré On appelle groupoïde quantique mesuré tout bimodule de Hopf (N, M, α, β, Γ) muni de : T L (resp. T R ) POP nsf invariant à gauche (resp. droite) ; ν poids nsf sur N qui rend T L β-adapté et T R α-adapté. On note (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) ν : poids quasi-invariant REMARQUE Si T L est β-adapté par rapport à ν et R est une coinvolution alors R T L R est α-adapté par rapport à ν Soutenance de thèse p.12/26

34 Antipode (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, W l unitaire fondamental associé. On note Φ = ν α 1 T L. Soutenance de thèse p.13/26

35 Antipode (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, W : unitaire fondamental associé. On note Φ = ν α 1 T L. La fermeture faible de l espace vectoriel engendré par les opérateurs (id ω v,w )(W ) pour tout v D( α H Φ, ν) et tout w D((H Φ ) ˆβ, ν o ) est égale à M. Soutenance de thèse p.13/26

36 Antipode Il existe une antipode non bornée S telle que : pour tous v, w D( α H Φ, ν) D((H Φ ) ˆβ, ν o ), l élément (id ω v,w )(W ) D(S) et on a : S((id ω v,w )(W )) = (id ω v,w )(W ) Soutenance de thèse p.13/26

37 Antipode Il existe une antipode non bornée S telle que : pour tous v, w D( α H Φ, ν) D((H Φ ) ˆβ, ν o ), l élément (id ω v,w )(W ) D(S) et on a : S((id ω v,w )(W )) = (id ω v,w )(W ) S(x) D(S) et S(S(x) ) = x pour tout x D(S) ; Soutenance de thèse p.13/26

38 Antipode Il existe une antipode non bornée S telle que : S = R τ i/2 est une décomposition polaire où τ est un groupe à un paramètre d automorphismes qui vérifie : τ t α = α σ ν t et τ t β = β σ ν t ; Γ τ t = (τ t β α N τ t ) Γ et R est une coinvolution qui commute avec τ ; Soutenance de thèse p.13/26

39 Antipode Il existe une antipode non bornée S telle que : S = R τ i/2 est une décomposition polaire où τ est un groupe à un paramètre d automorphismes qui vérifie : τ t α = α σ ν t et τ t β = β σ ν t ; Γ τ t = (τ t β α N τ t ) Γ et R est une coinvolution qui commute avec τ ; S, R et τ sont indépendants de T L et T R. R : antipode unitaire et τ : groupe d échelle Soutenance de thèse p.13/26

40 Module et opérateur d échelle (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, R est l antipode unitaire associée. Soutenance de thèse p.14/26

41 Module et opérateur d échelle (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, R est l antipode unitaire associée. (N, M, α, β, Γ, ν, T L, R T L R) est un groupoïde quantique mesuré. On note Φ = ν α 1 T L. Soutenance de thèse p.14/26

42 Module et opérateur d échelle (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, R est l antipode unitaire associée. (N, M, α, β, Γ, ν, T L, R T L R) est un groupoïde quantique mesuré. On note Φ = ν α 1 T L. Il existe δ strictement positif affilié à M α(n) β(n) et λ strictement positif affilié à Z(M) α(n) β(n) tels que : [DΦ R : DΦ] t = λ it2 2 δ it pour tout t R δ : module et λ : opérateur d échelle Soutenance de thèse p.14/26

43 Module et opérateur d échelle Pour tous s, t R, on a : [DΦ τ s : DΦ] t = λ ist [DΦ R τ s : DΦ R] t = λ ist [DΦ σ Φ R s [DΦ R σ Φ s : DΦ] t = λ ist : DΦ R] t = λ ist Soutenance de thèse p.14/26

44 Module et opérateur d échelle Pour tous s, t R, on a : [DΦ τ s : DΦ] t = λ ist [DΦ R τ s : DΦ R] t = λ ist [DΦ σ Φ R s [DΦ R σ Φ s : DΦ] t = λ ist : DΦ R] t = λ ist R(λ) = λ, R(δ) = δ 1, τ t (δ) = δ et τ t (λ) = λ ; Soutenance de thèse p.14/26

45 Module et opérateur d échelle Pour tous s, t R, on a : [DΦ τ s : DΦ] t = λ ist [DΦ R τ s : DΦ R] t = λ ist [DΦ σ Φ R s [DΦ R σ Φ s : DΦ] t = λ ist : DΦ R] t = λ ist R(λ) = λ, R(δ) = δ 1, τ t (δ) = δ et τ t (λ) = λ ; δ est un cocaractère i.e Γ(δ) = δ β α N δ. Soutenance de thèse p.14/26

46 Unicité (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, On note Φ = µ α 1 T L. THÉORÈME Soit T L un POP nsf de M vers α(n) invariant à gauche et β-adapté par rapport à ν. Alors, il existe p strictement positif affilié à Z(N) tel que : [D T L : DT L ] t = β(p) it pour tout t R Soutenance de thèse p.15/26

47 Unicité THÉORÈME Si (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré et s il existe h et k strictement positifs, affiliés à N et commutants fortement tels que : [Dν : Dν] t = k it2 2 h it pour tout t R Alors les objets fondamentaux sont donnés, pour tout t R, par : R = R, τ t = Ad α([dν :Dν] t )β([dν :Dν] t ) τ t, λ = λ et δ = δ où δ désigne la classe d équivalence de δ pour la relation δ 1 δ 2 si, et seulement s il existe z strictement positif affilié à Z(N) tel que δ it 2 = β(z) it δ it 1 α(z) it. Soutenance de thèse p.15/26

48 Structure duale (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, W l unitaire fondamental et R l antipode unitaire associés. On note Φ = ν α 1 T L. Soutenance de thèse p.16/26

49 Structure duale (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, W l unitaire fondamental et R l antipode unitaire associés. On note Φ = ν α 1 T L. Hypothèse supplémentaire de densité : D(H β, ν o ) J Φ Λ Φ (N Φ N TL ) est dense dans H Soutenance de thèse p.16/26

50 Structure duale (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) désigne un groupoïde quantique mesuré, W l unitaire fondamental et R l antipode unitaire associés. On note Φ = ν α 1 T L. Hypothèse supplémentaire de densité : D(H β, ν o ) J Φ Λ Φ (N Φ N TL ) est dense dans H REMARQUE Cette hypothèse est vérifiée dans le cas où la base est semifinie. Soutenance de thèse p.16/26

51 Structure duale la base = N ; Soutenance de thèse p.16/26

52 Structure duale la base = N ; ˆM désigne la fermeture faible de l espace vectoriel engendré par les opérateurs (ω v,w id)(w ) pour tout v D( α H Φ, ν) et tout w D((H Φ ) β, ν o ) ; Soutenance de thèse p.16/26

53 Structure duale la base = N ; ˆM désigne la fermeture faible de l espace vectoriel engendré par les opérateurs (ω v,w id)(w ) pour tout v D( α H Φ, ν) et tout w D((H Φ ) β, ν o ) ; la représentation = α et l antireprésentation = ˆβ ; Soutenance de thèse p.16/26

54 Structure duale la base = N ; ˆM désigne la fermeture faible de l espace vectoriel engendré par les opérateurs (ω v,w id)(w ) pour tout v D( α H Φ, ν) et tout w D((H Φ ) β, ν o ) ; la représentation = α et l antireprésentation = ˆβ ; ˆΓ(x) = σ ν ow (x β α N 1)W σ ν pour tout x ˆM ; Soutenance de thèse p.16/26

55 Structure duale la base = N ; ˆM désigne la fermeture faible de l espace vectoriel engendré par les opérateurs (ω v,w id)(w ) pour tout v D( α H Φ, ν) et tout w D((H Φ ) β, ν o ) ; la représentation = α et l antireprésentation = ˆβ ; ˆΓ(x) = σ ν ow (x β α N 1)W σ ν pour tout x ˆM ; ˆR(x) = J Φ x J Φ pour tout x ˆM ; Soutenance de thèse p.16/26

56 Structure duale la base = N ; ˆM désigne la fermeture faible de l espace vectoriel engendré par les opérateurs (ω v,w id)(w ) pour tout v D( α H Φ, ν) et tout w D((H Φ ) β, ν o ) ; la représentation = α et l antireprésentation = ˆβ ; ˆΓ(x) = σ ν ow (x β α N 1)W σ ν pour tout x ˆM ; ˆR(x) = J Φ x J Φ pour tout x ˆM ; il existe T L POP nsf de ˆM vers α(n) invariant à gauche et ˆβ-anti-adapté par rapport à ν dans le sens suivant : Soutenance de thèse p.16/26

57 Structure duale DÉFINITION On dit qu un POP nsf T L de ˆM vers α(n) est ˆβ-anti-adapté s il existe ν poids nsf sur N tel que : σ T L t ( ˆβ(n)) = ˆβ(σ ν t (n)) pour tous n N et t R Soutenance de thèse p.16/26

58 Structure duale DÉFINITION On dit qu un POP nsf T L de ˆM vers α(n) est ˆβ-anti-adapté s il existe ν poids nsf sur N tel que : σ T L t ( ˆβ(n)) = ˆβ(σ ν t (n)) pour tous n N et t R THÉORÈME La structure duale est un groupoïde quantique mesuré si, et seulement si la base est semifinie. Dans ce cas, le groupoïde quantique mesuré et la structure biduale coïncident. Soutenance de thèse p.16/26

59 PARTIE III : Exemples Soutenance de thèse p.17/26

60 Groupoïdes (G, G 0, s, r) désigne un groupoïde localement compact et σ-compact. On suppose que : G est muni d un système de Haar {λ u, u G 0 }, G 0 est muni d une mesure quasi-invariante ν. On note µ = ν λ et L la représentation régulière gauche. Soutenance de thèse p.18/26

61 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Soutenance de thèse p.18/26

62 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G : L (G, µ) L (G 2, µ 2 ) tel que Γ G (f)(x, y) = f(xy) ; Soutenance de thèse p.18/26

63 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G : L (G, µ) L (G 2, µ 2 ) tel que Γ G (f)(x, y) = f(xy) ; j G f(x) = f(x 1 ) ; Soutenance de thèse p.18/26

64 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G : L (G, µ) L (G 2, µ 2 ) tel que Γ G (f)(x, y) = f(xy) ; j G f(x) = f(x 1 ) ; P G f(y) = f(x) G dλr(y) (x) Soutenance de thèse p.18/26

65 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G : L (G, µ) L (G 2, µ 2 ) tel que Γ G (f)(x, y) = f(xy) ; j G f(x) = f(x 1 ) ; P G f(y) = f(x) G dλr(y) (x) (L (G 0, ν), L (G, µ), α, β, Γ G, ν, P G, j G P G j G ) groupoïde quantique mesuré commutatif Soutenance de thèse p.18/26

66 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Soutenance de thèse p.18/26

67 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G (L(g))ξ(x, y) = G g(s)ξ(s 1 x, s 1 y) dλ r(x) (s) ; Soutenance de thèse p.18/26

68 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G (L(g))ξ(x, y) = G g(s)ξ(s 1 x, s 1 y) dλ r(x) (s) ; P G (L(f)) = α(f G 0) Soutenance de thèse p.18/26

69 Groupoïdes α : f f r et β : f f s de L (G 0, ν) dans L (G, µ); Γ G (L(g))ξ(x, y) = G g(s)ξ(s 1 x, s 1 y) dλ r(x) (s) ; P G (L(f)) = α(f G 0) (L (G 0, ν), L(G), α, α, Γ G, ν, P G, P G ) groupoïde quantique mesuré symétrique Soutenance de thèse p.18/26

70 Groupes quantiques THÉORÈME Les groupoïdes quantiques mesurés dont la base N est égale à C sont exactement les groupes quantiques localement compacts (dans le cadre des algèbres de von Neumann) introduits par J. Kustermans et S. Vaes. La dualité obtenue dans ce travail généralise la dualité des groupes quantiques. Soutenance de thèse p.19/26

71 Dimension finie (M, Γ, κ, ε) désigne une C*-algèbre de Hopf faible, h la mesure de Haar et ε t l application but, Eh s et Et h les esp. cond. de Haar source et but. On note N = ε t (M) la sous algèbre de Cartan but. Soutenance de thèse p.20/26

72 Dimension finie (M, Γ, κ, ε) désigne une C*-algèbre de Hopf faible, h la mesure de Haar et ε t l application but, Eh s et Et h les esp. cond. de Haar source et but. On note N = ε t (M) la sous algèbre de Cartan but. On suppose que κ 2 N = id. Soutenance de thèse p.20/26

73 Dimension finie (N, M, id N, κ N, Γ, h α, Eh t, Es h ) est un groupoïde quantique mesuré. Soutenance de thèse p.20/26

74 Dimension finie (N, M, id N, κ N, Γ, h α, Eh t, Es h ) est un groupoïde quantique mesuré. Réciproquement, tout groupoïde quantique mesuré de dimension finie est une C*-algèbre de Hopf faible. On utilise la théorie des isométries partielles multiplicatives de J.M Vallin. Soutenance de thèse p.20/26

75 Cas compact W est un unitaire pseudo-multiplicatif au-dessus de N pour α, β, ˆβ de type compact et faiblement régulier, ν la forme canonique et ξ un vecteur fixe et binormalisé. Soutenance de thèse p.21/26

76 Cas compact W est un unitaire pseudo-multiplicatif au-dessus de N pour α, β, ˆβ de type compact et faiblement régulier, ν la forme canonique et ξ un vecteur fixe et binormalisé. On désigne par : A l algèbre de von Neumann engendré par la jambe droite de W ; Γ(x) = σ ν ow (x α β ν o 1)W σ ν pour tout x A ; E = (ω ξ β α ν id) Γ et F = (id β α ν ω ξ ) Γ. Soutenance de thèse p.21/26

77 Cas compact (N, A, α, β, Γ, ν, E, F ) est un groupoïde quantique mesuré. F = R E R, λ = δ = 1, Ŵ : unitaire fondamental associé. Soutenance de thèse p.21/26

78 Cas compact (N, A, α, β, Γ, ν, E, F ) est un groupoïde quantique mesuré. F = R E R, λ = δ = 1, Ŵ : unitaire fondamental associé. Réciproquement, si (N, M, α, β, Γ, ν, T L, T R ) est un groupoïde quantique mesuré, tel que T L est une espérance conditionnelle, alors : ν état normal et fidèle sur N tel que σ ν = σ ν l unitaire fondamental est de type discret. Soutenance de thèse p.21/26

79 Inclusion de profondeur 2 M 0 M 1 désigne une inclusion d algèbres de von Neumann de profondeur 2 munie d un POP nsf T 1 de M 1 vers M 0. Soutenance de thèse p.22/26

80 Inclusion de profondeur 2 M 0 M 1 désigne une inclusion d algèbres de von Neumann de profondeur 2 munie d un POP nsf T 1 de M 1 vers M 0. M 0 M 1 M 2... est la tour de Jones associée qui est munie canoniquement de POP nsf T i de M i vers M i 1 pour tout i 1. Soutenance de thèse p.22/26

81 Inclusion de profondeur 2 M 0 M 1 désigne une inclusion d algèbres de von Neumann de profondeur 2 munie d un POP nsf T 1 de M 1 vers M 0. M 0 M 1 M 2... est la tour de Jones associée qui est munie canoniquement de POP nsf T i de M i vers M i 1 pour tout i 1. On suppose que : T 2 M 0 M 2 et T 3 M 1 M 3 sont semifinis, M 0, M 1 et M 0 M 1 sont semifinies. Soutenance de thèse p.22/26

82 Inclusion de profondeur 2 M 0 M 1 désigne une inclusion d algèbres de von Neumann de profondeur 2 munie d un POP nsf T 1 de M 1 vers M 0. M 0 M 1 M 2... est la tour de Jones associée qui est munie canoniquement de POP nsf T i de M i vers M i 1 pour tout i 1. On suppose que : T 2 M 0 M 2 et T 3 M 1 M 3 sont semifinis, M 0, M 1 et M 0 M 1 sont semifinies. On peut munir alors M 0 M 2 et M 1 M 3 de structures de groupoïdes quantiques mesurés en dualité dont la base est M 0 M 1. Soutenance de thèse p.22/26

83 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, Soutenance de thèse p.23/26

84 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, j : M M qui à x associe J ν x J ν, Soutenance de thèse p.23/26

85 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M β α Z(M) M qui à x associe 1 β α Z(M) x, Soutenance de thèse p.23/26

86 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M β : M M β α Z(M) β α Z(M) M qui à x associe 1 β α x, Z(M) M qui à x associe j(x) β α Z(M) 1, Soutenance de thèse p.23/26

87 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M β : M M β α Z(M) β α Z(M) τ une trace nsf sur Z(M), M qui à x associe 1 β α x, Z(M) M qui à x associe j(x) β α Z(M) 1, Soutenance de thèse p.23/26

88 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M β : M M β α Z(M) β α Z(M) τ une trace nsf sur Z(M), M qui à x associe 1 β α x, Z(M) M qui à x associe j(x) β α Z(M) T un POP nsf de M vers Z(M) tel que ν = τ T, 1, Soutenance de thèse p.23/26

89 GQM espace M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann et ν un poids nsf sur M, j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M β : M M β α Z(M) β α Z(M) τ une trace nsf sur Z(M), M qui à x associe 1 β α x, Z(M) M qui à x associe j(x) β α Z(M) T un POP nsf de M vers Z(M) tel que ν = τ T, T R = id β α Z(M) T et R = ς Z(M) (j β α Z(M) j) 1, Soutenance de thèse p.23/26

90 GQM espace (M, M β α Z(M) M, α, β, id, ν, R T R R, T R ) est un groupoïde quantique mesuré. R : antipode unitaire, σ t ν σt ν : groupe d échelle, β α Z(M) λ = δ = 1 Soutenance de thèse p.23/26

91 GQM espace (M, M β α Z(M) M, α, β, id, ν, R T R R, T R ) est un groupoïde quantique mesuré. R : antipode unitaire, σ t ν σt ν : groupe d échelle, β α Z(M) λ = δ = 1 (M, Z(M), id, j, id, ν, j T 1 j, T 1 ) désigne l objet dual. Soutenance de thèse p.23/26

92 GQM des paires M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann, Soutenance de thèse p.24/26

93 GQM des paires M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann, ν un poids nsf sur M et H = L 2 (M) Soutenance de thèse p.24/26

94 GQM des paires M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann, ν un poids nsf sur M et H = L 2 (M) j : M M qui à x associe J ν x J ν, Soutenance de thèse p.24/26

95 GQM des paires M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann, ν un poids nsf sur M et H = L 2 (M) j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M M qui à x associe 1 x, Soutenance de thèse p.24/26

96 GQM des paires M L(L 2 (M)) désigne une algèbre de von Neumann, ν un poids nsf sur M et H = L 2 (M) j : M M qui à x associe J ν x J ν, α : M M M qui à x associe 1 x, β : M M M qui à x associe j(x) 1 Soutenance de thèse p.24/26

97 GQM des paires (M, M M, α, β, id, ν, ν id, id ν) est un groupoïde quantique mesuré. R = ς (j j) : antipode unitaire, σ t ν σt ν : groupe d échelle, λ = δ = 1 Soutenance de thèse p.24/26

98 GQM des paires (M, M M, α, β, id, ν, ν id, id ν) est un groupoïde quantique mesuré. R = ς (j j) : antipode unitaire, σ t ν σt ν : groupe d échelle, λ = δ = 1 (M, L(H), id, j, id, ν, j ν 1 j, ν 1 ) désigne l objet dual. Soutenance de thèse p.24/26

99 Opérations ((N i, M i, α i, β i, Γ i, ν i, T i L, T i R )) i I désigne une famille de groupoïdes quantiques mesurés. ( i I N i, i I M i, i I α i, i I β i,......, i I Γ i, i I ν i, i I T i L, i I T i R) devient un groupoïde quantique mesuré. une somme de groupes quantiques localement compacts, avec différents scalaires d échelle, produit un groupoïde quantique mesuré avec un opérateur d échelle non scalaire. Soutenance de thèse p.25/26

100 Opérations Pour i = 1, 2, (N i, M i, α i, β i, Γ i, ν i, T i L, T i R ) désignent des groupoïdes quantiques mesurés. (N 1 N 2, M 1 M 2, α 1 α 2, β 1 β 2,......, Γ 1 Γ 2, ν 1 ν 2, T 1 L T 2 L, T 1 R T 2 R ) devient un groupoïde quantique mesuré. Soutenance de thèse p.25/26

101 Opérations Pour i = 1, 2, (N i, M i, α i, β i, Γ i, ν i, T i L, T i R ) désignent des groupoïdes quantiques mesurés. (N 1 N 2, M 1 M 2, α 1 α 2, β 1 β 2,......, Γ 1 Γ 2, ν 1 ν 2, T 1 L T 2 L, T 1 R T 2 R ) devient un groupoïde quantique mesuré. Intégrale directe de groupoïdes quantiques mesurés. Soutenance de thèse p.25/26

102 Références G. Böhm, F. Nill & K. Szlachányi : Weak Hopf algebras I. Integral theory and C*-structure, J. Algebra, 221 (1999), ; S. Baaj & G. Skandalis : Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C*-algèbres, Ann. Sci. ENS, 26 (1993), ; A. Connes : Non Commutative Geometry, Academic Press, 1994 ; M. Enock : Inclusions of von Neumann algebras and quantum groupoïds II, J. Funct. Analysis, 178 (2000), ; M. Enock : Quantum groupoids of compact type, à paraître au Journal de l Institut de Mathématiques de Jussieu ; M. Enock & J.M. Vallin : Inclusions of von Neumann algebras and quantum groupoids, J. Funct. Analysis, 172 (2000), ; J. Kustermans & S.Vaes : Locally compact quantum groups, Ann. Scient. Ec. Norm. Sup., 33(6) (2000), ; J. Kustermans & S.Vaes : Locally compact quantum groups in the von Neumann algebraic setting,math. Scandinava, 92(1)(2003), ; D. Nikshych & L. Vainerman : Algebraic versions of a finite dimensional quantum groupoid, Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 209 (2000), ; J.M Vallin : Bimodules de Hopf et Poids opératoriels de Haar, J. Operator theory, 35 (1996), ; J.M Vallin : Unitaire pseudo-multiplicatif associé à un groupoïde, applications à la moyennabilité, J. Operator theory 44 (2000), ; J.M Vallin : Groupoïdes quantiques finis, J. Alg. 239 (2001), ; J.M Vallin : Multiplicative partial isometries ans finite quantum groupoids, Proceedings of the Meeting of Theorical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, 2002, IRMA Lectures in Mathematics and Theorical Physics (2) Soutenance de thèse p.26/26

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